분석방법 정리 - wess.hannam.ac.krwess.hannam.ac.kr/lecturenotes/ets/arma.pdftrend와 w proc...
TRANSCRIPT
ProfessoCopyrigh
시계열
(1)설명
분석의
(3)독립
분석보
ARMA
분석방
목적
예측
계절
조정
or Kwon, Seht @ http://wo
열 데이터는
명변수 설정
의 주요 목적
립성 가정을
보다는 과거
A 모형 방법
방법 정리
기법
지수평활
Smooth
ARIMA
분해법
Decomp
ion
ehyug | Depolfpack.hnu.a
(Trend +
이 용이하지
적) 설명변수
을 만족하지
치의 평균을
법이 선호된
법 특
활법
hing 과거
이용
모형
posit
계절
동
조정
t. of Statistiac.kr 2011
Cycle + S
지 못하거나
수에 대한 예
못해 이 문
을 이용하는
다.
특징
거치
용
Sim
Exp
Dou
Exp
Trip
WIN
형화 ARI
절변
정
Mo
Ave
ics, HANNA
easonality
나 (2) }{ tY 에
예측치( tX )
문제를 해결
는 지수 평활
방법
mple
p.
uble
p.
ple Exp.
NSTERS
IMA
ving
erage
AM Universit
y + Irregula
에 대한 예측
가 있어야
결하는 어려
활법이나 과
TREND: 1=
3=이차
WEIGHT: 0
PROC FOR
계절성을 갖
Trend 와 w
PROC FOR
METHOD=
모형 인식
PROC ARIM
시계열 자료
후 적절한
But 계절성
PROC X11
QUARTERL
계절성 문제
Time Ser
y
ar) 성분이
측을 위하여
하는 문제
려움이 있어
과거치를 설
Comme
=변동 없음
0.05~0.3
RECAST ME
갖는 자료
w 옵션은 위
RECAST
=WINSTERS
예측
MA P= Q=
료에서 계절
예측 방법
성을 고려한
; MONTHL
LY)
제
ries Analysis
있으므로
여(시계열 데
가 있고
회귀모형에
설명변수로
ent
음 2=직선
ETHOD=EX
위와 동일
S
=
절성을 제거
법을 사용.
한 예측방법
LY (or
| ARMA
| 1
데이터
에 의한
한
XPO
거한
있음
ProfessoCopyrigh
ARMA
ARIMA
Averag
변수인
ARIMA
있다.
AR Au
ARIM
용어와
AR 모
○과거
,1t YY −
or Kwon, Seht @ http://wo
A 개요
A 모형에 대
ge) 모형은
인 AR 과 과
A 모형에 대
utoRegre
MA 모형에 대
기호
형은 아래
거의 패턴이
,...,2 ptt YY −− 에
ehyug | Depolfpack.hnu.a
대해 살펴보
시계열 데
거의 오차항
대한 분석 방
essive 모형
대한 개념 파
가설에 의
이 지속된다
에 의해 예
t. of Statistiac.kr 2011
보려고 한다
데이터 }{ tY 의
항( ,, 21 −− tt ee
방법은 SAS
형
파악을 위하여
해 제안되었
다면 시계열
측할 수 있
ics, HANNA
다. ARIMA(A
의 과거치(p
,... )들이 설
S/ETS(Econ
여 가장 간단
었다.
열 데이터 관
있을 것이다
AM Universit
Auto-Regres
previous o
명변수인 M
nometrics a
단한 AR(1)
관측치 tY 는
다.
Time Ser
y
ssive Integ
bservation)
MA 모형의
and Time se
모형을 먼저
는 과거 관측
ries Analysis
rated Mov
)들이 설명
합성어이다
eries)에 포
저 살펴 보자
측치
| ARMA
| 2
ving-
다.
포함되어
자.
ProfessoCopyrigh
○어느
영향
않을까
AR(1)
만약 시
따르면
정규분
이유는
해당된
만약 {
가장 많
AR( p )
AR(1)
즉 AR
모형으
MA(∞)
}{ tY 분산
공분산
분산, 공
PACF,
MA(∞)
데이터
공분산
or Kwon, Seht @ http://wo
느 정도의
력을 줄어들
까?
모형: tY − μ
시계열 데이
면(iid) 이 데
분포를 따른
는 평균을 0
된다. }{ tY 를 0μ 가
많이 사용된
모형: tY =
모형을 이를
tY
(1) 모형이
으로 쓸 수
) 모형: =tY
산과 공분산
산 co)( j =γ
공분산 개념
IACF 에 이
)로 쓸 수
터 }{ tY 의 분
산 cov()( jγ =
ehyug | Depolfpack.hnu.a
멀리 있는
들 것이다.
tY −= −( 1 μρμ
이터가 서로
데이는 white
다면 이를
으로 하기
가 되게 shi
된다. 이를
t YY += − αα 211
를 다시 쓰
μ ++= tt eeY ρ
더라도 과거
있다.
++= te βμ
산 ),ov( jtt YY − ,
념은 시계열
이용된다. (다
있음을 알았
분산과 공분
),( jtt YY ρ=−
t. of Statistiac.kr 2011
과거 관측
이런 상황을
te+)μ , ~et
로 독립이고
e noise(백색
Guassian w
위함이다.
ift 하면 AR
일반화 하면
pt YY ++− α...2
쓰면 다음과
22
1 + −− tt ee ρ
거의 흔적을
−− + 22
1 tt ee ββ
분산 (0) =γ
열 데이터에
다음 절에서
았다, 이 사
산을 구하면
)( tj YVar , 분
ics, HANNA
측치까지 이
을 고려할
),0( 2σNiid
유한인 평
색 잡음)이라
white noise
. μ 는 시계
R(1) 모형은
면 AR( p ) 모
tpt eY +− , et
같다.
...33 ++ −teρ
을 모두 모함
− ++ 33
2 teβ
)(YtVar=
에 적절한 A
서 상세히 논
사실을 이용
면 다음과
분산 V(0)γ =
AM Universit
용할 것인가
수 있는 가
평균과 분산
라 한다. 만
e 라 한다.
계열 데이터
은 tt YY += −1ρ
모형은 다음
,0( ~ σNiidt
. t1
1-t ++ e ρρ
함하고 있다
∑∞
=
+=0
...j
μ
AR, MA 모형
논한다.) 앞에
용하면 AR(1
같다. 2
1Var
ρ
σ
−=)(Yt
Time Ser
y
가? 그리고
가중치를 사
을 갖는 동
만약 평균이
}{ tY 대신
의 총 평균
te+ 이고 개
음과 같다.
)2
μ)(t −oY ---(
다. AR( p )도
− jtjeβ ---(
형을 찾는
에서 우리는
) 모형을 따
2
2
ρ --- (3
ries Analysis
멀어질수록
사용해야 하
동일 분포를
0, 분산이
}{ μ−tY 를
균(grand me
개념 설명을
(1)
도 MA(∞)
(2)
함수인 AC
는 AR(1)을
따르는 시계
3)
| ARMA
| 3
록
하지
를
2σ 인
사용한
ean)에
위하여
CF,
계열
ProfessoCopyrigh
그러므
예측(Fo
AR(1)의
(μ
예
- (n+
- (n+
- (n+
- (n+
- (n+
Backsh
)( =tYB
tY =− μ
①AR(1
②( −tYV
③AR(1
④AR(1
AR(1)
아이스
29 주
PLOT 을
or Kwon, Seht @ http://wo
므로 2σ 의 추
orecasting
의 경우 ρ 을
n+1) 시점 100=μ 이고
예측 오차(f
+2) 시점 예
+2) 시점 예
+L) 시점 예
+L) 시점 예
+L) 시점 예
hift Notatio
1−= tY , 2 ( tYB
tYB −= μρ )((
1) 모형이 식
2
2
11
)ρ
σ
−=−
일
1) 모형은 M
1) 모형이 M
맛보기
스크림 데이
자료)의 아
을 살펴보자
ehyug | Depolfpack.hnu.a
추정치는 σ
)
을 추정하면
예측치: ˆnY
3/2=ρ 로
forecasting
예측치 2+nY)
예측 오차 Y
예측치 =+LnY)
예측 오차 e
예측 오차 분
on
2) −= tt Y , …,
t Be −⇒+ 1()
식(1)과 같이
일 때 )( tYV
MA(∞)( β =
MA(∞)임을
터( ICECR
아이스크림 소
자. 경향(tre
t. of Statistiac.kr 2011
1)(0(ˆ 2 γσ −=
면 ,{ 21 −− tt YY
(ˆˆ1 ρμ +=+n YY
추정되었다
error) +nY
(ˆˆ 2ρμ += nY
22 ++ =− nn YY)
(ˆˆ ρμ −+= nL Y
++ −= LnLn Ye
분산: 1(2 +σ
ttp YYB −=)(
tYB += ρμμ)
이 됨을 보
2
2
1)
ρ
σ
−= 임
ρ , 식(2))임
이용하여
REAM.txt, 아
소비량에 대
end)는 없어
ics, HANNA
)ˆ 2ρ 이다.
,...}2 예측치)μ−nY ( 1+teQ
다면 1 =+nY)
11 +++ =− nn eY)
)μ−
12 ˆ ++ + nn ee ρ
)μ−
++ += LnLn eY)
...42 +++ ρρ
p−
te+μ 만약
보이시오.
을 보이시오
임을 보이시
공분산, 분
아이스크림
대해 AR(1)모
어 보이나 계
AM Universit
치를 다음과
1의 평균은(3/2100 + nY
1+
1 ...ˆ − +++ Leρ
). )1(2 −+ Lρ
0=μ 이면
오.
오.
분산 식을 증
소비량, 가
모형을 적합
계절성이 존
Time Ser
y
과 같이 구할
은 0 이기 때)100−
11ˆ +−
nL eρ
AR −⇒ 1()1(
증명하시오.
가격, 소득,
합시켜 보자
존재한다.
ries Analysis
할 수 있다
때문이다) 즉
tt eYB =− )
.
, 기온에 대
자. 우선 TIM
| ARMA
| 4
즉,
대한
ME
ProfessoCopyrigh
지수 평
모형 Y
INENT
데이터
ESTIMA
상수 없
옵션은
다른 출
시계열
noise 가
의미는
존재하
불가능
AR(1)의
or Kwon, Seht @ http://wo
평활법(계절
tt YY =− −(ρμ
TIFY 문은 모
터 값을 평균
ATE 옵션은
없이 추정하
은 예측치를
출력 결과들
열 데이터가
가 아니다.
는 데이터가
하지 않는다
능하게 된다
의 1−tY 의 회
ehyug | Depolfpack.hnu.a
절성 존재)에
te+−− )1 μ 을
모형 판단을
균 이동시키
은 모형 추정
하라는 것이
추정하라는
들은 다음에
white noi
그러므로
랜덤 하다
는 것이다.
.
회귀계수 추
t. of Statistiac.kr 2011
에 의해 향후
을 이용하여
을 위한 AC
키라는 것이
정을 하라는
이다. tY =− μ
는 것이며
에 설명하기
se 인가를
ARMA 모형
다는 의미이
그러므로
추정치 0ˆ =ρ
ics, HANNA
후 6 주간 아
6 주간 아
F, PACF, IA
다. AR 모형
는 것이고 P
tYB −= )(( μρ
LEAD=5 는
로 하고 주
검정하는 것
형을 적합시
므로, 즉 데
원 데이터
925.0 이고 매
AM Universit
아이스크림
이스크림 소
ACF 를 출력
형에서는 가
P=1 은 AR(
te+)μ 이고 ρ
는 향후 5 개
주요한 몇 가
것이다. 아이
시킬 수 있을
데이터에 일
가 white n
매우 유의하
Time Ser
y
소비량을
소비량을 예
력하게 한다
가능하면 해
(1)으로 NO
ρ 를 추정한
개를 예측하
가지만 언급
이스크림 데
을 것이다.
일정한 형태
noise 이면
하다(유의확
ries Analysis
예측해 보
예측해 보자
다. CENTER
해 주는 것이
OCONSTAN
한다. FOREC
하라는 것이다
급하겠다. 원
데이터는 w
White nois
(패턴)가
모형 설정이
확률=<0.000
| ARMA
| 5
자.
자.
옵션은
이 좋다.
NT 는
CAST
다.
원
white
se 의
이
01).
ProfessoCopyrigh
다음은
대한 w
13 번마
35.0ˆ =μ
0ˆ1 −+nY
0ˆ2 −+nY
Proce
①white
평균이
}{ tY 을
하면 이
만약 Y
}{ tY 는
or Kwon, Seht @ http://wo
은 원 데이터
white noise
마다 계절성
59 이다. 그
(925.0359.0 =
925.0359.0 =
ss 정의
e noise pr
이 0 이고 분
백색 잡음
이 시계열
μ=0Y 라 하
동일한 분
ehyug | Depolfpack.hnu.a
터를 AR(1)
e 검정이다.
성이 있었다
러므로 −tY
)359.0( −nY ,
35.0( 12 −+nY
rocess
분산이 2σ 인
음(white noi
데이터의 모
하면 t YY += 0
분포를 가지
t. of Statistiac.kr 2011
모형에 의해
. 완전한 w
다. 이 문제
92.0359.0 =−
예측오차
)59 , 예측오
인 동일분포
se) process
모형은 tY =
ee ++++ ...21
며 서로 독
ics, HANNA
해 추정하고
white noise
때문에 18
35.0(25 1 −−tY
표준편차는
차 표준편차
포로부터 독
s 라 한다.
te+= μ 라 쓸
te+ 가 되며
독립이라는
AM Universit
고 남은 오
는 아니다.
, 24 번째 독
)9 .
는 0.0409(
차는 ( 00.0
립적으로(ii
백색 잡음
쓸 수 있다.
}{ tY 을 ra
가정이다.
Time Ser
y
차(잔차는
. TIME PLO
독립성이 무
001.0ˆ 2 =σ
92.01(01676 +
d) 얻어진
데이터의
ndom walk
ries Analysis
오차의 추정
OT 아이스크
무너진다.
1676 )이다.
0558.0)252 =
시계열 데
평균 수준
k process 라
| ARMA
| 6
정치)에
크림이
8 )이다.
이터
을 μ 라
라 한다.
ProfessoCopyrigh
②statio
,( 1t yyF
proces
분포를
station
(1)평
(2)분
(3)두
YCOV t(
정상적
모형이
ARMA
①AR(p
시계열
설명될
②MA(q
시계열
설명될
③ARM
시계열
오차 e
and M
or Kwon, Seht @ http://wo
onary proc
),...,2 tt nyy =
ss(강한 정상
를 가진다는
nary proces
균이 일정하
산이 존재하
시점 사이
COYY jtt =− ),
적 확률 모형
이다.
A 모형
p) 모형
열 데이터 {Y
될 때 AR(p)
q) 모형
열 데이터 {Y
될 때 MA(q)
MA(p, q) 모
열 데이터 {Y
tt eee −− ,...,, 21
Moving Ave
tY =
ehyug | Depolfpack.hnu.a
cess
,( 21 tkt yyF ++
상성)이라 한
것을 의미
ss(약한 정상
하다. )( tYE
하며 일정하
이의 자기 공
YYV jss =− ),(
형(시계열 데
}tY 에서 시
(차수가 p~ ARYt
}tY 에서 시
) (차수가 q~ MYt
모형
}tY 에서 시
qte − 들에 의
rage) 모형
tY −+ −11 ααμ
t. of Statistiac.kr 2011
),..., ktk ny ++ 이
한다. 일정한
미한다. 다음
상성)라 정의μ=
하다. =)( tYV
공분산(auto
sforjj ≠= ),(γ
데이터 }{ tY
점 t 의 관측
인 Auto-R)( pR ▶ t uY =
점 t 의 관측
q 인 Movin)(qMA ▶ tY =
점 t 의 관측
해 설명될
을 따른다고
tY −−−22 α...α
ics, HANNA
이면 시계열
한 기간의
음 조건을 만
의한다.
∞<= )0(γ
o-correlatio
s
는 확률 변
측치 tY 가
Regressive,
tYu ++ − 211 αα
측치 tY 가
ng-Average
tt ee − −−= 11β
측치 tY 가
때 ARMA
고 한다.
tpt eY −+−pα
AM Universit
열 데이터{Y
종속변수 결
만족하는 시
on)은 시간의
변수)의 대표
과거 관측
자기회귀)
tY ++− p22 α...
과거 오차
e 이동평균)
te − −−− 22 ...β
과거 관측
(p, p) (차수
tt ee − −− 211 ββ
Time Ser
y
}tY 를 stron
결합밀도함
시계열 데이
의 차이에
표적인 것이
치 tt YY −− , 21
모형을 따
tpt eY +−p
tt ee −− ,..., 21
) 모형을 따
qte −qβ
치 tt YY −− , 21
수가 p, q 인
te−+ −− q2 β...
ries Analysis
ngly station
함수는 동일한
터 }{ tY 는
의존한다.
이 AR, MA,
ptY −,...,2 들에
따른다고 한
qte −., 들에 의
따른다고 한
ptY −,...,2 들과
Auto-Reg
tq e+−
| ARMA
| 7
nary
한
weakly
ARMA
에 의해
다.
의해
한다.
과 과거
gressive
ProfessoCopyrigh
Statio
MA(∞)
AR 모
만족하
모형은
▪ }{ tY 는
▪ }{ tY 에
▪그러므
AR(1)
8.01− M
MA(∞)
AR(2)
Inverti
tt eY −=
방정식
Inverti
▪ }{ tY
▪ }{ tY
MA(1)
8.01− M
같이 A
tY = 8.0
9 로 하
or Kwon, Seht @ http://wo
onarity an
) 모형은 언
형 t uY += 1α
하는 근들의
은 MA(∞) 모
는 ,, 1 −− ttt eee
에 대한 ,t ee
므로 1+tY 에
tt YY += −18.0
0=M =⇒ M
)로 쓸 수
tt YY = −17.0
bility
t ee − −− 211 ββ
식을 만족하
bility 하다.
를 AR(∞)로
에 대한 tY
8.0+= tt eY
0=M ⇒ M
AR(∞)로 쓸
tt eY +−18 시
하시오.
ehyug | Depolfpack.hnu.a
nd Invert
언제나 정상
tt YY + −− 2211 α
절대값이
모형으로 변
,...2− 으로 표
,..., 21 −− tt ee 들
대한 예측
te+ 이 정상
25.1 이므로
있다. =t eY
tt eY +− −21.0
t ee − −− q2 β...
는 근들의
이 말은 A
로 표현할 수,..., 21 −− tt Y 들
18 −te 이 Inve
25.1= 이므로
쓸 수 있다.
계열 자료
t. of Statistiac.kr 2011
ibility
상적(station
ptY++ −p2 α...
모두 1 보다
변환할 수 있
표현할 수 있
들의 영향은
측치를 구할
상적인가?
로 정상적이08.0 1 ++ −tt ee
t 모형이 정
qte − MA(q)
절대값이
AR(∞)모형으
수 있으며,
들의 영향은
ertibility 인
로 Invertib
8.0−= tt eY
100 개를
ics, HANNA
ary)이다. w
tp e+ 은 1−
다 클 경우
있음을 의미
있으며,
은 시점이 멀
할 경우 0 =e
다. 그러므로8.08.0 2
2 +−te
정상적인가?
모형에서
모두 1 보다
으로 변환할
즉 ,1 −− tt YY
시점이 멀
가?
bility 이다.
8.08 21 + −− tt YY
생성하자.
AM Universit
why?
αα 221 − MM
우 stationary
미한다. 정상
멀어질수록
0= 으로 사용
로 t YY = 8.0
...8 33 +−te
ββ1 21 −− M
다 클 경우
할 수 있다는,...2− 들로 표
멀어질수록
그러므로 Y
8.0 33
2 − −− tY
00 =Y 으로
Time Ser
y
α... p2 −− pM
y 하다. 정상
상적인 proc
줄어든다.
용해도 무방
tt eY +−1 은 다
β... q2 −− MM
MA 모형은
는 것이다.
표현되며
줄어든다.
8.0+= ttt eeY
...+
하고 오차
ries Analysis
0=p 의 방정
상적인 AR(
cess 인 경우
방하다.
다음과 같이
0=qM 의
은
1−t 은 다음과
차의 분산은
| ARMA
| 8
정식을
p)
우
이
과
ProfessoCopyrigh
상관함
시계열
사용된
Auto C
자기상
)( j =ρ
MA(1)
)0( =γ
그러므
or Kwon, Seht @ http://wo
함수
열 자료 }{ tY
된다.
Correlation
상관함수(A
)0()(
VA
Covj==
γγ
경우: =tY
1()( +== tYV
므로 이를
ehyug | Depolfpack.hnu.a
의 상관 함
n Function
ACF)는 다음
)(
),(
t
jtt
YVAR
YYv − 그
11β −−= tt ee 22
1 σ)β , )1(γ
요약하면
t. of Statistiac.kr 2011
▶
함수는 acf,
(ACF)
음과 같이 정
그러므로 ρ
,(= tt YYCOV
MA(q) 모형
ics, HANNA
pacf, iacf 가
정의한다.
1)0( =ρ , )( jρ
211 σβ) −=−tY ,
형의 경우
AM Universit
가 있는데
)() j−= ρ
, 그러나 γ
qj > 이면 A
Time Ser
y
이는 ARMA
)3()2( == γγγ
ACF )( =jρ
ries Analysis
A 모형 진
0...)4( ==γ
0 (drop off
| ARMA
| 9
단에
f)이다.
ProfessoCopyrigh
AR(1)
정상적
μ=tY
)0( =γ
)( =jγ
이를 정
이를 일
ARMA
AR(p)
있으므
Partial
LAG 1
회귀모
종속변
LAG 3
다중회
▪AR(p
▪MA(
▪ARM
Inverse
역상관
ARM
그러므
같다.
인식
or Kwon, Seht @ http://wo
경우: tY =
적인(statio
αμ 11++ −tt ee
/σ)( 2== tYV
,(= −tt YYCOV
정리하면 ρ
일반화 하면
A(p, q) 경우
모형처럼
므로 꼬리 부
Auto Corr
인 부분상
모형에서 −tY
변수, ,1 −− tt YY
인 부분상
회귀모형에서
p) 모형의
(q) 모형의
MA(p, q) 모
e Auto Cor
관함수(IAC
A(p, q) 모형
므로 AR(p)
. IACF 는 D
방법을 살
ehyug | Depolfpack.hnu.a
tt eY +−11α
nary) AR 모
αα 22
1 ++ −te
)α1/( 21− 가정
1/(σα) 2ji=− j
j1α(j) =ρ 이므
면 AR(p) 모
우 tt YY −− 11α
지수적으로
부분이 갑자
relation Fu
관함수(PAC
1− 의 회귀계,2− 을 설명
관함수(PAC
서 3−tY 의 회
경우 PACF
PACF 는 I
모형의 PAC
rrelation F
F) 다음과
형의 IACF
)의 IACF 는
Drop off 와
살펴 보면 이
t. of Statistiac.kr 2011
모형은 MA
...α 33
1 ++−te
정: 1|| 1 <α ,
)α1 21−
므로 ACF 는
모형의 경우
tY − −− 22 ...α
로 감소한다
자기 줄어들
unction (PA
CF)는 tY 를
계수를 의미
변수로 한
CF)는 tY 를
회귀계수를
F 는 LAG p
nvertibility
F 도 지수적
Function (IA
같이 정의한
는 ARMA(q
는 MA(p)의
Tail off 판
이해가 편하
ics, HANNA
(∞)로 바꾸
(αα t11
1-t1 +e
즉 정상성
지수적으로
ACF 는 지
pt eY − =− pα
. 그러나 M
게 된다. 이
ACF)
종속변수,
미한다. LAG
다중회귀모
종속변수,
의미한다.
이후에는
y 조건 하에
적으로 감소
ACF)
한다.
q, p)의 AC
ACF 와 같
판단이 어려
하다.
AM Universit
꾸어 쓸 수
μ)( −oY 이다
성(stationary
로 감소한다
지수적으로
tt ee − −− 11 ββ
MA(q) 모형
이를 expon
1−tY 을 설
2 인 부분상
모형에서 tY
21 ,, −− tt YYY
0 이다.
에서 지수적
소한다.
CF 이다.
같고 MA(q)의
운 경우 사
Time Ser
y
있다. AR(1
.
y) 가정이 필
다.(exponen
감소한다.
te − −+ q22 β...
의 drop of
entially tai
명변수로 한
상관함수(PA
2−t 의 회귀계
3−tY 설명변
으로 감소한
의 IACF 는
사용한다. 3.
ries Analysis
)인 경우
필요
ntially deca
qte −q
ff 효과가
l off 라 한
한 단순
ACF)는 tY
계수를 의미
변수로 한
한다.
AR(q)의 A
.3.4 절의 모
| ARMA
| 10
ay)
다.
를
미한다.
ACF 와
모형
ProfessoCopyrigh
ARMA
SAS 이
① tY =
② tY =
③ tY =
④ tY =
⑤ =tY
⑥ =tY
⑦ tY =
⑧ =tY
모형③
얻으시
0 으로
or Kwon, Seht @ http://wo
A 모형 인
ACF
PACF
IACF*) T: Tail off
이용하여
모형
tt eY +−18.0
tt eY +− −18.0
t YY +−1 4.03.0
tY −−1 49.07.0
18.0 −+ tt ee
13.0 − −− tt ee
te
16.0 − ++ tt eY
③ tt YY = −13.0
시오. 다음
로 하시오.
ehyug | Depolfpack.hnu.a
식 방법
F
F f exponentiall
모형 진단
tt eY +−2
tt eY +−29
24.0 −− te
14.0 −+ te
t eY ++ −21 4.0
모형의 잔
t. of Statistiac.kr 2011
AR(p)
T
D(p)
D(p) ly *) D(p): D
단 실습
ACF(시뮬
jj 8.0)( =ρjj −= 8.0)(ρ
5.0)1( =ρ
(3.0)( =j ρρ
469.0)1( =ρ(7.0)( =j ρρ
487.0)1( =ρ
14.0)1( −=ρ,0)( >= jjρ
,0)( >= jjρ
756.0)1( =ρ
(6.0)( =j ρρ
te 따르는
차는 ~ Net
ics, HANNA
MA(
D(q
T
TDrop off to 0 a
뮬레이션 결
j
(4.0)1( +−j ρ
8
49.0)1( −−j ρ
9 , ,0)( =jρ
44 , 0)1( −=ρ2>
0>
1
1),1( >− jj
데이터 100
)1,0(N 으로 가
▶
AM Universit
q) A
q)
after lag p
과)
0
-
)2( −j 0
)2( −jρ0.4
1>j 0.4
32.0 -.
0.7
0 개를 추출
가정하고 초
Time Ser
y
ARMA(p, q)
T
T
T
PACF(시뮬
0.8 0
0.8 0
0.3 0.4
4698 -.49
4878 -.31
144 -.35
0 0
7561 -.28
출하고 ACF,
초기치가 필
ries Analysis
)
뮬레이션 결과
0
0
0
9 0
0.22
5 -.13
0
0.1087
F, PACF, IAC
필요하다면
| ARMA
| 11
과)
0
0
0
0
-.17
-.16
0
-.04
CF
모두
ProfessoCopyrigh
우선 T
Expone
없다. 그
*) T: Ta
IDENT
10 시점
계절성
IDENT
0 인지
간주할
상관계
시차가
시차가
or Kwon, Seht @ http://wo
TIME plot 을
ential Smo
그러므로 상
ACF
PACF
IACF
ail off expo
IFY 문장은
점 전까지만
성이 있을 것
IFY 문장에
검정하기
할 수 있음을
계수 ACF 는
가 0 (lag=0)
가 j 인 경우
ehyug | Depolfpack.hnu.a
을 그려보자
oothing 방법
상관함수 A
F
F
onentially
은 상관함수
만 상관함수
것 같으면 분
의해 상관
위한 신뢰
을 의미한다
지수적(ex
)인 공분산(
우 공분산(γ
t. of Statistiac.kr 2011
자.
법과는 달리
ACF, PACF,
AR(p)
T
D(p)
D(p)
*) D(p): D
3 개 그래
수를 계산하라
분석자가 N
관함수 그래
구간을 표시
다.
xponentially
(Covariance
()( tYCovj =
ics, HANNA
리 Time plo
IACF 등을
MA(
D(q
T
T
rop off to
프를 출력하
라는 명령이
NLAG 를 계
래프 3 개가
시한다. “.”
y)으로 감소
e)은 )( tYV
), jtt Y − )은 L
AM Universit
ot 만으로는
이용하게
q) A
q)
0 after lag
하는 문장이
이다(defaul
계절성 주기
출력된다.
안에 있는
소(Tail off)하
,( tt YYCov=
LAG=j 의 값
Time Ser
y
는 ARMA 모
된다.
ARMA(p, q)
T
T
T
p
이다. NLAG
t=11) 시계
이상으로
“.” 표시는
상관계수
하고 있음을
) 을 의미한
값을 보면
ries Analysis
모형을 설정
)
옵션은 시
계열 데이터
지정하면
상관계수가
값들은 “0”
을 알 수 있
한다. 그러므
된다.
| ARMA
| 12
정할 수
시차
가
된다.
가
”이라
다.
므로
ProfessoCopyrigh
상관계
값이다
함수 IA
Lag=3
감소하
함수 P
이것을
이상 징
아래 결
귀무가
설정이
or Kwon, Seht @ http://wo
계수(Correla
다.
ACF 값이
부터는 0 이
하고 있다고
PACF 도 시
을 0 이 아니
징후가 없다
결과는 원
가설이 기각
이 가능한 데
ehyug | Depolfpack.hnu.a
tion)는 공분
“.”에 가깝지
이라 할 수
는 할 수 없
차 2 이후에
니라고 한다
다.
시계열 데이
되므로 원
데이터 이다
t. of Statistiac.kr 2011
분산 값을
지만 Lag=2
수 있다. Dro
없다. 시차
에 drop off
면… 계절성
이터{ tY }가
데이터는
다. 백색 잡음
ics, HANNA
시차=0 인
2 까지는 0
op off 인가?
2 이후에
f 한다고 할
성이 존재함
백색 잡음
백색 잡음이
음이면 모형
AM Universit
공분산(이
이라 할 수
? 아니면 T
Drop off 한
할 수 있다.
함을 의미한
인가에 대한
이 아니다.
형이 다음과
Time Ser
y
것이 분산이
수 없다. 그
Tail off 인가
한다.
문제는 LA
다. 그러나
한 검정 결
그러므로
과 같다. tY =
ries Analysis
이다)으로
러나
가? 지수적으
AG=5? 만약
나 Lag=10 에
과이다.
ARMA 모형
te+= μ 이다
| ARMA
| 13
나눈
으로
약
에는
형
다.
ProfessoCopyrigh
참고 C
시계열
근사한
시계열
아니어
설정이
참고 U
AR(1)
의미한
이에 대
방법 등
“UNIT
or Kwon, Seht @ http://wo
Chi-Squa
열 데이터기
한다. Ljung m
열 데이터의
어야 모형 설
이 올바로 된
Unit-Roo
모형을 갖는
한다. Unit-ro
대한 test 방
등이 있다.
root”라는
ehyug | Depolfpack.hnu.a
are Check
백색 잡음
modified B
백색 잡음
설정이 가능
된 경우이다
ot 검정
는 시계열
oot 갖는 데
방법으로 a
여기서는
귀무가설이
t. of Statistiac.kr 2011
k of Resid
음(white noi
Box-Pierce Q
음 여부를 판
능하다. 또한
다.
데이터의
데이터는 안
ugmented
Phillips-Per
이 기각되므
ics, HANNA
duals
se)인 경우
Q 통계량
판단하는 것
한 모형 설정
경우 UNIT
안정적이지
Dickey-Fu
rron 방법
므로 이 시계
AM Universit
우 자기상관계
()2(
k
1j nnn γ
∑+=
것으로 원 시
정 후 잔차는
root 문제
못하므로 모
ller 검정 방
사용해 보자
계열 자료는
Time Ser
y
계수는 Chi
)(~)
)( 2 kj
jχ
−
시계열 자료
는 백색 잡
는 ( += μtY
모형 설정의
방법, Phillip
자.
는 안정적이
ries Analysis
i-square 분
) . Q-통계량
료는 백색 잡
잡음이면 모형
,1 =+ − αα tY
의 의미가
ps-Perron 검
이다.
| ARMA
| 14
분포에
량은
잡음이
형
1)임을
없다.
검정
ProfessoCopyrigh
ARMA
ARMA
SASHE
데이터
먼저 T
여부, 그
or Kwon, Seht @ http://wo
A 모형 추
A 모형 진
ELP 라이브
터가 있다. 이
Time plot 을
그리고 데이
ehyug | Depolfpack.hnu.a
추정 흐름도
진단 및 추
러리에는 1
이 시계열
을 그려보자
이터의 stat
t. of Statistiac.kr 2011
도
추정 (예제
1937-1980
데이터에 적
자. 이를 통해
tionary 여부
ics, HANNA
중심)
년까지 미국
적합한 ARM
해 알 수 있
부이다.
AM Universit
국 철강 수
MA 모형을
있는 것은 T
Time Ser
y
수출량에 대
을 적용해 보
Trend 나 se
ries Analysis
한 예제
보자.
easonality
| ARMA
| 15
존재
ProfessoCopyrigh
모형 진
이제 모
사용하
원 데이
하에서
없다. 그
ACF 는
11 부터
IACF 는
PACF 는
or Kwon, Seht @ http://wo
진단
모형을 진단
하지 않았으
이터의 백색
서는 “백색잡
그러므로 유
는 LAG=1 이
터 다시 증가
는 LAG=1 이
는 LAG=1
ehyug | Depolfpack.hnu.a
단하기 위하
므로 defau
색 잡음 검정
잡음” 가설을
유의수준을
이후(LAG=0
가하고 있다
이후 drop
이후 drop
t. of Statistiac.kr 2011
하여 ACF, PA
ult 인 lag=
정 결과 유
을 기각할 수
0.1 로 높여
0 은 항상 1
다. 혹시 계
off 한다.
p off 한다.
ics, HANNA
ACF, IACF
11 까지 상
의확률이 0
수 없다. De
여 모형 설
1 이다) Dro
절성? 일단
AM Universit
함수를 얻
상관함수 값
0.05 이상이
ead end? A
정 가능한
op off 한다고
단은 의심하
Time Ser
y
어보자. NL
이 출력된다
이므로 유의
ARMA 모형
데이터라고
고 할 수 있
하자.
ries Analysis
LAG 옵션은
다.
의수준 0.05
형 설정의 의
고 하자.
있다. 그런데
| ARMA
| 16
은
의미가
데
ProfessoCopyrigh
ACF, P
모형은
등이다
보자.
모형 추
ARMA
imimin
AR(1)
회귀계
원 시계
결과 잔
적합하
or Kwon, Seht @ http://wo
PACF, IACF
은 AR(1)(AC
다. 그럼 어떤
추정
A 모형 추정
∑+=
n
ptteize
1
2
tYB− )(1( 1α
계수 1α (AR1
계열 데이터
잔차는 백색
하다.
ehyug | Depolfpack.hnu.a
함수 모두
F 를 tail of
떤 모형이
정 방법: Con
tt eY ⇒=− )μ
1,1)의 유의
터를 AR(1)
색잡음(whit
t. of Statistiac.kr 2011
두 LAG 1 이
ff 한다고 보
가장 적합한
nditional L
tY +=⇒ 1αμ
확률이 0.0
모형에 적
e noise)임을
ics, HANNA
후에 drop
보면), MA(1
한가? 각 모
east Squar
tY +−− )( 11 μ
0012 이므로
합시킨 후
을 알 수 있
AM Universit
p off 하는
1)(ACF 만 d
모형에 대해
re 방법
te+
로 유의하다
얻은 잔차
있다. 그러므
Time Ser
y
형태이다. 그
drop off 한
해 적합성 검
다.
에 대한 백
므로 적합된
ries Analysis
그래서 가능
한다고 보면)
검정을 실시
백색 잡음 검
된 AR(1) 모
| ARMA
| 17
능한
)
시해
검정
모형은
ProfessoCopyrigh
철강 수
tY = 4.4
이 모형
개 시점
예측치
tY = μ
다음 1
다음 2
추정 오
CENTE
의미이
평균과
사용하
or Kwon, Seht @ http://wo
수출량 데이
Y+ 474.0412
형을 이용하
점을 예측할
치와 예측 오
tY −+ −( 11 μα
차 예측치
차 예측치
오차: ˆ 2 +σ
ER 옵션은
이다. 그러면
과 계수에 대
하지 않는다
ehyug | Depolfpack.hnu.a
이터를 이용
tt eY +−1
하여 향후 5
할 것인가를
오차는 다음
te+)μ , 마지
: ˆˆ 451 ==+ YYt
: ˆˆ 462 =+ YYt
ˆ*ˆ 221 =+ σα
시계열 데이
면 반드시 E
대한 추정치
.
t. of Statistiac.kr 2011
용하여 추정
5 개년 자료
를 결정)를 추
음 절차에 의
지막 관측치
4.0412.4 +=
0412.46 +=
01(44.2 +=
이터의 평균
STIMATE 에
치에 약간의
ics, HANNA
된 AR(1) 모
료(FORECAS
추정해 보자
의해 구해진
치, 1.544 =Y
.411.5(474 −
ˆ(474.0 1 −+Yt
7.1)474.0 2 =
균으로 gran
에 “noconst
차이가 있
AM Universit
모형 − 4.01(
ST 문장을
자.
진다.
11
)412 추정오
412.4) +=μ
73
nd mean μ
tant” 옵션을
있다. 일반적
Time Ser
y
tYB = 4.4)474
이용, LEAD
오차: ˆ 2σ
(474.0 442+ Y
μ의 추정치
을 사용해
적으로 CENT
ries Analysis
te+12
D 옵션은 향
144.2 ==
)412.4−
치로 사용하
주어야 한
TER 옵션을
| ARMA
| 18
향후 몇
56.
하라는
다.
을
ProfessoCopyrigh
MA(1)
계수의
추정된
모형의
다음 1
추정오
2 차년
불가능
or Kwon, Seht @ http://wo
tY += 1(μ
의 유의성 잔
된 모형은 Y
의 경우 향후
1 차년도: Y
오차: ˆ 2 =σ
도부터는 Y
능하다. 그러
ehyug | Depolfpack.hnu.a
teB ⇒− 1 )β
잔차의 백색
tY += 0421.4
후 q 차까지
421.4421.4
4.0ˆ 1
+=+=
+=+tY μ
5532.1= , 2 차
2ˆ+tY 을 구하
러므로 총 평
t. of Statistiac.kr 2011
t eY −=⇒ 1βμ
색 잡음 검정
t ee +−1498.0
만 예측 가
(498.0(498.0
42.4ˆ498
−+−+
=
t
t
t
YY
e
차년도 추정
하려면 1ˆ +te
평균으로 예
ics, HANNA
tt ee +−1
정 모두 통과
te 이다. 이제
가능하고 그
49.0412.4ˆ498.0ˆ(498.01
−−+
−t
tee
μ
정 오차: (
을 추정해야
예측한다.
AM Universit
과했다. 적합
제 향후 5 개
그 이후에는
...)ˆ98)
)
1
1=−
−
te
ˆ)ˆ1( 22 =+ σβ
야 하는데
Time Ser
y
합한 모형이
개년 예측치
평균으로
735.1=
관측치 +tY
ries Analysis
이다.
치를 구해보
예측한다.
1+ 가 없어
| ARMA
| 19
보자. MA
ProfessoCopyrigh
ARMA
ARMA
계수가
맞는다
ARMA
원 시계
ARMA
관측치
초기 오
가능하
관측치
예측치
잔차
①아이
구하시
②APP
짝수번
or Kwon, Seht @ http://wo
A(1,1) 1( α−
A(1,1)은 적절
가 유의하지
다면 추정 모
A 모형의 예
계열 데이터
A(1,1) 모형을
치로부터 총
오차 01 =e
하므로 ARM
10
-
0
이스크림 생
시오.
LIANCE 데
번호)출하액에
ehyug | Depolfpack.hnu.a
tYB ))(1 μα −
절한 모형은
않음을 알
모형은 이것
예측치 구하
터 관측치 (
을 추정하였
평균으로
이라 하자.
MA(1,1)도 장
5
6
-1
산량 데이터
이터에서
에 적절한
t. of Statistiac.kr 2011
eB)1( 1β−=
은 아니지만
알 수 있다.
것이다)
하는 방법은
(10, 5, -3, -
였더니 =tY
뺀 값을 이
MA(1)은 향
장기간 추정
-3
2.6
-5.6
터 적절한
냉장고(FRIG
ARMA 모형
ics, HANNA
te
만 한 번 시
B)(23.01( −
AR 과 MA
-8, 1), ( =n
16.0 − += tt eY
이용했다고
향후 1 차
정이 가능하
-8 1
-4.04 -
-3.96 7
ARMA 모형
G. 홀수 번
형을 추정하
AM Universit
도해 보자.
tY 4.426) ( −
A 을 합쳐 놓
)5 이라 하자
14.0 −+ te (계
하자. 즉 μ
밖에 안되나
하다. 76 = ee
1 (t
-6.384 3.
7.384 -
형을 추정하
호)/ 식기
하고 향후 5
Time Ser
y
3258.01( +=
놓은 것과
자. 이것을
계산 간편을
0=μ 이다.
나 AR(1)은
0...== 을
+1) (t+
.554 2.1
-
하고 향후 5
세척기(DIS
5 차 예측치
ries Analysis
teB)8 (만약
같다.
이용하여
을 위하여 각
계속 추정
사용한다.
+2) (t+
132 1.27
-
5 차 예측치
SH,
치 구하시오
| ARMA
| 20
약
각
정이
3)
79
치
오.
ProfessoCopyrigh
모형 적
Infor
적합
SBC(
적합
TREND
이제 시
형태를
데이터
조사한
예측하
Time p
계절성
or Kwon, Seht @ http://wo
적합 정도
rmation Cri
Sometimes
D in ARM
시계열 자료
를 띠고 계수
터 OLYMPIC
한 자료이다
하시오.
plot 은 어떤
성의 존재 여
ehyug | Depolfpack.hnu.a
도 비교
teria: (Akai
s Schwarz's
MA 모형
료 }{ tY 가 경
수 추정에는
C.txt 는 190
. 이 시계열
떤 ARMA 모
여부를 판단
t. of Statistiac.kr 2011
ike 1974; H
s Bayesian
경향(trend)을
는 어떤 문제
00 년부터
열 자료에 적
모형을 적합
단할 수 있도
ics, HANNA
Harvey 198
criterion):
을 띠고 있
제가 발생하
20 개 대회
적합 모형을
합시킬지 제
도록 한다.
AM Universit
1) -2 ln(L) +
-2ln(L) + ln(
있을 때 ACF
하며 해결책
회 멀리 뛰기
을 설정하고
제시하지는
Time Ser
y
+ 2 k 값이
(n) k 값이
F, PACF, IAC
은 무엇인지
기 기록(long
고 향후 5 개
못하지만 경
ries Analysis
적은 모형
적은 모형이
CF 는 어떤
지 살펴보자
g jump)을
개 대회 기록
경향이나
| ARMA
| 21
이 더
이 더
자.
록을
ProfessoCopyrigh
우선 모
하는 것
사용하
AR(1)
off)하기
경향이
or Kwon, Seht @ http://wo
모형 진단을
것이 일반적
하였다.
모형처럼 보
기 보다는
이 존재하는
ehyug | Depolfpack.hnu.a
을 위하며 A
적이나 Long
보인다. 그
직선(linear
시계열 자
t. of Statistiac.kr 2011
ACF. IACF,
g jump 시계
러나 ACF
rly) 형태로
자료에서 나
ics, HANNA
PACF 를 그
계열 자료는
함수는 지수
감소하는
나타나는 현상
AM Universit
그려보자. la
는 20 개 밖
수적으로(ex
경향이 있
상이다.
Time Ser
y
g(시차)의
밖에 없으므
xponentiall
다. 이런 A
ries Analysis
수를 24 개
므로 NLAG=
ly) decay(ta
ACF 함수 형
| ARMA
| 22
개로
=12 을
ail
형태는
ProfessoCopyrigh
ACF 가
AR1,1(
UNIT r
된다. 그
잔차의
이처럼
AR(1)
AR(2)의
경향(시
이용된
기울기
대신 D
우선 일
실제 데
함수는
오른쪽
or Kwon, Seht @ http://wo
가 지수적으
(이는 1−tY 의
root(단일근
그러므로 A
의 분석 결과
럼 경향이 존
모형 적합
의 경우도 안
시계열 자료
된다.
기 문제는 F
tD 에 모형을
일차 차분이
데이터 분석
는 이전 값을
쪽 Time plot
ehyug | Depolfpack.hnu.a
로 tail off
의 계수)이
근) 문제라 한
ARMA 모형
과도 백색 잡
존재하는 시
시 계수는
안정성(stat
료의 전체적
irst Differe
을 적합시킨
이 경향 문제
석에서는 D
을 지정하는
t 에서 보는
t. of Statistiac.kr 2011
한다고 판단
1 이므로 이
한다. 단일근
형의 적합은
잡음이 아님
시계열 자료
는 1 을 넘거
tionarity)을
인 기울기)
nce(1 차 차
킨다. 가장
제를 제거하
1−−= ttt YYD 에
는 것이다. 일
는 것처럼 더
ics, HANNA
단하였다면
이 자료는
근일 때 AR
은 불가능하
님을 알 수
의 ACF 함
거나(stationa
을 만족하지
)을 제거할
차분) =t YD
흔히 사용되
하는지 살펴
에 대한 tim
일차 차분을
더 이상 경향
AM Universit
AR(1)으로
stationary
R(1) 모형의
다. 또한 A
있다. 모형
함수는 직선적
ary 한 시계
못한다. 이
수 있는 1
1−− tt YY 하면
되는 적합
펴보기 위하
me plot 을
을 하면 관측
향(trend) 문
Time Ser
y
로 모형을 적
하지 못하
의 추정치는
R(1) 모형
형 적합에 실
적 감소 경
계열 데이터
이에 대한 해
1 차 차분 방
해결된다.
모형은 MA
하여 다음 작
그릴 필요는
측치 수는
문제는 존재
ries Analysis
적합을 시켜
다. 이런 문
는 이전 관측
적합 후 얻
실패하였다.
경향이 있다
가 아니다)
해결책으로
방법이 주로
원 데이터
A 모형이다
작업을 실행
는 없다. LA
하나 줄어든
재하지 않는
| ARMA
| 23
켜보자.
문제를
측치가
얻은
. T.T.
면
)
로
터 tY
다.
행해보자.
AG
든다.
는다.
ProfessoCopyrigh
일차 차
먼저 적
알았다
의미는
계수도
그러므
tt YY −(
향후 5
or Kwon, Seht @ http://wo
차분 데이터
적합 시켜보
다. 최종적으
는 LONG_JU
유의하고 잔
므로 최종 A
tY +=−1 16.4)
5 개년 멀리
ehyug | Depolfpack.hnu.a
터에 MA 모
보자. 그러나
으로 MA(1)을
UMP 데이터
잔차도 백색
ARMA 모형
−+ 48544.01(
리 뛰기 기록
t. of Statistiac.kr 2011
모형을 적합
나 MA(2) 적
을 적합 시
터의 일차 차
잡음임을 알
은 다음과
teB = 16.4)4
록을 예측해
ics, HANNA
합 시켜보자.
적합 결과 M
킨 결과는
차분 데이터
알 수 있다.
같다.
te− 48544.06
해 보자.
AM Universit
. MA 모형을
MA1,2( 2−te )
다음과 같
터를 사용하
tt e+−1
Time Ser
y
을 적당하므
)의 계수는
다. LONG_
하라는 의미
ries Analysis
므로 MA(2)
는 유의하지
_JUMP(1)의
이다.
| ARMA
| 24
) 정도
않음을
ProfessoCopyrigh
데이터
ARMA
경향이
이차 차
적합시
IACF 를
판단하
DROP
추정해
or Kwon, Seht @ http://wo
터 APPLIANC
A 모형 설정
이 이차 형식
차분 ( − tt YY
시킨다. 우선
를 이용하여
하기 쉽지 않
off 하는 경
해 보았으나
ehyug | Depolfpack.hnu.a
CE.txt 에서
을 해 보자
식을 띄고 있
() 11 −− −− tt YYY
선 이차 형식
여 모형을 진
않으나 ACF
경향이 있다
모두 계수
t. of Statistiac.kr 2011
냉장고(Re
자.
있다. 이처럼
)2−tY 을 이용
식의 경향이
진단해 보자
, IACF 는 감
다. 그래서 우
수의 유의성
ics, HANNA
efrigerator,
럼 원 데이
용하여 문제
이 있는 원
자.
감소 경향(지
우선 AR(5),
, 잔차의 백
AM Universit
변수명 FR
터에 이차
제를 해결한
시계열 데이
지수적?), PA
, AR(4), AR
백색 잡음 만
Time Ser
y
RIG)의 출하
함수 형태
한 후 ARMA
이터 }{ tY 의
ACF 는 5 차
R(3), AR(2),
만족을 하지
ries Analysis
하액에 대한
의 경향이
A 모형을
의 ACF, PAC
차 이후에서
AR(1) 등을
지 못했다.
| ARMA
| 25
한
있다면
CF,
서
을
ProfessoCopyrigh
원 시계
이차 함
차분 (
그러나
그리고
못했다
때문으
대신 일
or Kwon, Seht @ http://wo
계열 데이터
함수 형태의
()( 1− −− tt YYY
나 ACF, PAC
고 MA(1), M
다. 이런 결과
으로 판단된
일차 차분이
ehyug | Depolfpack.hnu.a
터 경향이 이
의 경향은 이
)21 −− − tt YY
CF, IACF 함
MA(2), …의
과가 나온
다. 그리고
이나(과) 계절
t. of Statistiac.kr 2011
이차 형식을
이차 차분을
함수 형태로부
모형을 추정
것이 이 자
일반적으로
절성을 고려
ics, HANNA
을 띄고 있음
을 이용하여
부터 모형
정해 보았으
자료가 분기
로 이차 차
려하는 모형
AM Universit
음을 Time
여 문제를 해
진단은 쉽
으나 잔차가
별 자료로
분 방법은
형 설정이 자
Time Ser
y
plot 을 통해
해결해 보기
지 않음을
가 백색 잡음
계절성이
자주 사용
자주 사용된
ries Analysis
해 알 수 있
기로 하자.
알 수 있다
음을 만족하
존재하기
용하지 않는
된다.
| ARMA
| 26
있었다.
이차
다.
하지
다.
ProfessoCopyrigh
Seaso
시계열
계절성
Trend
differe
차분 구
것이다
Season
월 매출
후 차분
= tt YD
다음은
조사한
or Kwon, Seht @ http://wo
onality in
열 자료에는
성이 존재하
(경향): 자료
ence) 구한
구한다는 것
다.
nality(계절
출액 등 일
분 값( tD )에
6−− tY
은 미국 197
한 시계열 데
ehyug | Depolfpack.hnu.a
ARMA 모
TRCYCLE +
는 경우 A
료 값이 지
후( −= tt YD
것은 trend 를
절성): 주기가
정한 주기를
에 모형을 인
77 년 1 월-1
데이터의 벽
t. of Statistiac.kr 2011
모형
SEASREND +
RMA 모형
속적으로 증
1−− tY ), tD 에
를 없애고
가 일정한 기
를 가지고
인식한다. (A
6 개
1982 년 6
벽돌공 인력
ics, HANNA
IYSONALIT +
설정 방법
증가하거나
ARMA 모
다음과 같
기간마다 반
반복된다. A
ACF, PACF,
개월
월 사이 월
에 대한 tim
▶
AM Universit
IRREGULAR
법을 다루기로
감소하는
모형을 인식
은 형태로
반복된다. 강
ARMA 모형
IACF) (예)
월별 전기 기
me plot 이
Time Ser
y
가 존재한
로 한다.
경우, 1 차
한다. (ACF,
Time plot
강수량, 온도
형: 주기에
주기가 6
기사와 벽돌
다. [SASHE
ries Analysis
다. 이 곳에
차분(first
, PACF, IAC
을 만든다는
도, 냉장고
의해 차분을
개월이면
돌공 인력을
ELP.WORKE
| ARMA
| 27
에서는
CF) 1 차
는
회사
을 구한
을
ERS]
ProfessoCopyrigh
모형 인
첫번째
인식하
것은 T
IDENT
or Kwon, Seht @ http://wo
인식
째 것은 TRE
하였고 두번
TREND, SEA
IFY VAR=M
ehyug | Depolfpack.hnu.a
END, SEASO
째 것은 TR
ASONALITY
MASONRY
t. of Statistiac.kr 2011
ONALITY 고
REND 만 고
Y 모두 고려
NLAG=24;
주기
ics, HANNA
고려하지 않
고려한 자료
려한 자료를
tY
기가 일년 단
AM Universit
않고 자료를
료를 ARMA
를 ARMA 모
위로 일정하
Time Ser
y
를 ARMA 모
모형으로
모형으로 인
하다.
ries Analysis
모형으로
인식, 세번
인식해 보자
| ARMA
| 28
째
.
ProfessoCopyrigh
or Kwon, Seht @ http://wo
ehyug | Depolfpack.hnu.a
t. of Statistiac.kr 2011
ics, HANNA
AM Universit
Time Ser
y
ries Analysis | ARMA
| 29
ProfessoCopyrigh
IDENT
or Kwon, Seht @ http://wo
IFY VAR=
ehyug | Depolfpack.hnu.a
MASONRY
t. of Statistiac.kr 2011
(1) NLAG=
ics, HANNA
=24; =t YD
AM Universit
1−− tt YY
Time Ser
y
ries Analysis | ARMA
| 30
ProfessoCopyrigh
IDENT
다음은
아님에
잡음이
추정하
or Kwon, Seht @ http://wo
IFY VAR=
은 ( −= tt YYD
에 유의하기
이면 ACF, PA
하게 된다.
ehyug | Depolfpack.hnu.a
MASONRY
() 121 −− − tt YY
바란다. 이
ACF, IACF
t. of Statistiac.kr 2011
(1,12) NLA
)13−− tY 에 대
이 말은 { tD
모두 점 선
ics, HANNA
AG=24; tD
대한 백색
}t 는 더 이
선 안에 들어
AM Universit
)( 1−−= tt YY
잡음 검정이
상 모형 할
어간다. 그러
Time Ser
y
( 12 −− −− tt YY
이다. 모형
할 수 없다.
러므로 MA
ries Analysis
)13−
설정 후 잔
자료가 백
A 모형으로
| ARMA
| 31
잔차가
색
ProfessoCopyrigh
예측치
IDENT
출력하
(=t YD
방법으
APPLIA
모형 설
이제 계
(=t YD
이 시계
or Kwon, Seht @ http://wo
구하기
IFY 문에서
하지 않는다
()1− −− ttt YYY
으로 가장 많
ANCE 데이
설정은 실패
계절성을 고
()1 −− −− ttt YYY
계열 자료는
ehyug | Depolfpack.hnu.a
NOPRINT
. 이미 모형
)1312 −− − tY 가
많이 사용되
터에서 FR
패하였다. 이
고려한 모형
)54 −− − tY 의
는 백색 잡음
t. of Statistiac.kr 2011
T 옵션은 모
형을 진단했
가 백색잡음
되는 것은 M
IG 시계열
이유는 분기
형을 설정해
모형을 진
음이므로 다
ics, HANNA
모형 진단을
했으므로…
음이므로 절
ML(Maximu
데이터 모
기별 자료라
보자.
진단해 보자
다음 프로그
AM Universit
을 위한 ACF
절편 없이 추
um Likeliho
형을 설정해
계절성이
.
그램에 의해
Time Ser
y
F, PACF, IA
추정하면 된
od)방법이다
해 보자. 차
존재하는
향후 값을
ries Analysis
ACF 함수를
된다. 추정
다.
차분에 의한
것을 간과했
을 예측하면
| ARMA
| 32
한
했다.
면 된다.
ProfessoCopyrigh
①아이
구하시
②교통
Mexico
구하시
지수평
Mcken
모형이
모형에
단순지
Mcken
Mcken
가중치
or Kwon, Seht @ http://wo
이스크림 생
시오.
통사고 사망
o(짝수), US
시오.
평활법과 A
nzie(1984)는
이라고도 함)
에 적합을 시
지수의 가중
nzie 가 주장
nzie 가 제안
치는 (1-0.19
ehyug | Depolfpack.hnu.a
산량 데이터
자 수(차량
S(홀수) 시계
ARMA 모
는 단순 지수
)과 같다는
시켜 구한 예
치 w 는 M
장했던 것과
안한 β−=1w
9291)을 사용
t. of Statistiac.kr 2011
터 적절한
백만대당)
계열 데이터
모형 관계
수평활법을
것을 보여
예측치와
A(1)의 추정
과는 달리 예
β 를 사용하
용하면 된다
ics, HANNA
ARMA 모형
) 데이터(
터 모형을 추
을 다음과 같
여 주었다. 1
단순지수평
정 계수 −1
예측치의 차
하면 같은 결
다.
AM Universit
형을 추정하
DEATH.txt
추정하고 향
같이 ARMA
1 차 차분 ∇
평활법의 예
β− 와 동일하
차이가 많았
결과를 얻을
Time Ser
y
하고 향후 5
t)에서 NW
향후 5 차 예
모형(이를
( −=∇ ttt YYY
측치와 동일
하다.
다. 만약 가
을 것이다.
ries Analysis
5 차 예측치
W: New
예측치를
를 Box-Jenk
)1−tY 을 MA(
일함을 보였
가중치를
| ARMA
| 33
치
ins
(1)
였다.
ProfessoCopyrigh
Mcken
후 MA
모형에
( B 2)1( −
B)1( 2−
적절한
가중치
있다.
의해 구
우선 가
그러므
이중지
증가하
RENAM
or Kwon, Seht @ http://wo
nzie 에 의하
A(2)를 적용
에 의해 예측
t BY2 )1( β−=
t BY 1( 12 β−=
한 가중치 0
치 0.2 를 사
이제 멀리뛰
구하고 가중
가중치 0.2
므로 _TYPE_
지수평활법에
하여 t 를 만
ME 문을 사
ehyug | Depolfpack.hnu.a
하면 이중지
용하여 얻은
측치를 구해
te2) )와 같다
teB )22β− 이
.05~0.3 을
사용했을 때
뛰기 올림픽
중치 0.2 의
를 사용한
은 “FOREC
에 의해 얻은
만드는 문장이
사용하여 예
t. of Statistiac.kr 2011
지수 평활법
예측치와
해보자. 그의
다고 한다.
이다. 그러므
벗어난다.
향후 5 개
픽 기록 시계
이중지수
이중지수평
CAST”이고
은 예측치
이다. x-축으
측치 변수를
ics, HANNA
의 예측치는
동일하다.
의 주장에 의
2 차 차분
므로 2 ββ ≈
대회 기록
계열 데이터
평활법에 의
평활법 예측
_LEAD_가
데이터이다
으로 사용될
를 forecast
AM Universit
는 원 시계
이제 Mcke
의하면 가중
후 MA(2)를2 이므로 가
록 예측치(이
터에 대한 예
의해 구한
측치 데이터
5 보다 작은
다. t+1;은 관
될 t 가 저장
t_exp 로 바
Time Ser
y
열 데이터를
enzie 가 주
중치 β−= 1w
를 적용하면
가중치는 0.
이전 페이지
예측치를 A
예측치를 함
(A)를 출력
은 관측치를
관측치 순서
장되어 있지
바꾸었다.
ries Analysis
를 이차 차
주장한대로
β
면
55 이다. 그
)과 다소 차
ARMA 모형
함께 나타내
력해 보자.
를 고르면
서에 따라 1
않다.
| ARMA
| 34
차분한
ARMA
그러나
차이가
형에
내 보자.
1 씩
ProfessoCopyrigh
올림픽
모형이
저장되
이제 관
ARMA
or Kwon, Seht @ http://wo
픽 데이터에
이었다. OUT
되었다. RENA
관측치와 두
A 모형에 의
ehyug | Depolfpack.hnu.a
적절한 모
T 옵션에 의
AME 문을
두 예측치를
한 예측치는
t. of Statistiac.kr 2011
모형은 1 차
의해 예측치
사용하여 f
를 합쳐 그래
는 약간의
ics, HANNA
차분한 데
와 예측치
forecast 변
래프를 그리
차이가 있
AM Universit
이터에 MA
신뢰구간
변수명을 for
리자. 이론과
다.
Time Ser
y
A(1)을 적용
데이터가 A
recast_arim
과는 달리 지
ries Analysis
용한 것이 적
ARIMA_OU
ma 로 바꾸었
지수평활법과
| ARMA
| 35
적절한
UT 에
었다.
과
ProfessoCopyrigh
In Min
Icec
30 주간
아이스
판매량
Time
그러
계절
ACF PA
or Kwon, Seht @ http://wo
nitab
ream.xls
간 주별 아
스크림 판매
량을 예측하
e PLOT 활용
나 추세, 계
성(주기=1
ACF 그리기
ehyug | Depolfpack.hnu.a
아이스크림
매량에 대한
하시오.
용 in ARM
계절성 판단
13)
기
t. of Statistiac.kr 2011
판매량 데
한 적절한 A
MA 모형, A
단 가능, A
ics, HANNA
데이터 (주,
ARMA 모형
ARMA 모형
ACF, PACF 에
AM Universit
판매량, 가
형을 얻고
형의 p, q 는
에서 재확인
Time Ser
y
가격, 소득,
향후 4 주
는 판단할
인 증가 추
ries Analysis
온도)
주간 아이스
수 없음
추세,
| ARMA
| 36
스크림
ProfessoCopyrigh
진단 모
AR(1)
or Kwon, Seht @ http://wo
모형: AR(1
적합 tY =
ehyug | Depolfpack.hnu.a
)? ACF 가
tY+= −11αμ
t. of Statistiac.kr 2011
선형적 감
te+
ics, HANNA
감소
AM Universit
Time Ser
y
ries Analysis | ARMA
| 37
ProfessoCopyrigh
(1)계
(2)잔
(*)SS
AR(1,1
예측치
or Kwon, Seht @ http://wo
계수 유의성
잔차의 whit
SE, MSE 는
1) 적합 tY
, 적합치
ehyug | Depolfpack.hnu.a
성: 유의해야
te noise 검
모형 비교
tY+= −11αμ
t. of Statistiac.kr 2011
야 적합
검정: white
교에 사용
tt ee +− −111 β
ics, HANNA
noise 여야
t
(계절과
AM Universit
야 적합
과 추세가 존
Time Ser
y
존재하여 완
ries Analysis
전한 모형
| ARMA
| 38
아님)
ProfessoCopyrigh
In Mi
데이터
(높이뛰
선형중
ACF, PA
ACF 함
그럼에
or Kwon, Seht @ http://wo
nitab 2
터 OLYM
뛰기), 원반
중가 추세 진
ACF 활용
함수가 선형
에도 불구하
ehyug | Depolfpack.hnu.a
PIC.XLS
반던지기, 멀
진단 in tim
모형 추정
형(linearly)적
고 ARMA(1
t. of Statistiac.kr 2011
멀리뛰기 올
me plot
적으로 감소
1,1)이나 A
ics, HANNA
올림픽 기록
소한다.
R(1)으로 추
AM Universit
록
추정한다면…
Time Ser
y
… Unit root
ries Analysis
t 문제
| ARMA
| 39
ProfessoCopyrigh
차분하기
선
이차
차분한
ARMA
차분 데
ARMA
or Kwon, Seht @ http://wo
기 (문제 해
형 추세: 1
차 추세: 2
한 데이터 ti
A(p,q) 모형
데이터 ACF
A(1, 1) 혹은
ehyug | Depolfpack.hnu.a
해결)
차 차분
차 차분
me plot 을
진단 가능
F, PACF
은 AR(1)
t. of Statistiac.kr 2011
을 보면 추세
능
ics, HANNA
세가 제거되
AM Universit
되었다. 이제
Time Ser
y
제 ACF, PAC
ries Analysis
CF 사용하여
| ARMA
| 40
여
ProfessoCopyrigh
AR(1)으
In Min
데이터
선형
PACF
or Kwon, Seht @ http://wo
으로 추정
nitab 3
터 Sales2
추세가 있
F 함수는 계
ehyug | Depolfpack.hnu.a
2.xls
있으므로 A
계절성 주기
t. of Statistiac.kr 2011
ACF 함수가
기 12 이므
ics, HANNA
가 linearly
므로 peak(유
AM Universit
감소
유의한 계수
Time Ser
y
수)가 12 번
ries Analysis
번 마다 반
| ARMA
| 41
복
ProfessoCopyrigh
차분(d
계절
차분
이를
추정하
or Kwon, Seht @ http://wo
ifference)
성 주기가
한 데이터
다시 주기
하기 : (1 차
ehyug | Depolfpack.hnu.a
하기
k 인 경우
time plot
기 12 로 차
차분, 계절
t. of Statistiac.kr 2011
우 tt YY −=∇
t 을 보면 추
차분하면 계
절 주기 =1
ics, HANNA
ktY −−
추세가 제
계절성도 제
12, MA(1)
AM Universit
거되었다.
제거된다. (오
)
Time Ser
y
(왼쪽 그림
오른쪽 그림
ries Analysis
림)
림)
| ARMA
| 42