연립미분방정식

응용: coupled oscillator, electric circuit

′′⋮′

⋯ ⋯ ⋮

⋮

⋮⋯

⋮

⋮

⇒

1. 소거해법

Ex1) ′ ′

답: 첫 번째 식에서 ′ → 이므로 이를 두 번째 식

에 대입하면 ′ → ′ 가 된다.

∴

위에서 을 이용하였다. 따라서 위 연립방정식의 해는

Ex 2) ′ ′

첫 번째 식에서

′이고 이를 두 번째 식에 대입하면

∴

″′

′

정리하면 ″′ → ∴ ±

cos sin

′ cossin

Ex 3) ′

← ′

′

′ →

′ →

식 (1) × +식 (2) ⇒

따라서 해는

이를 식 (1)에 대입하면

∴

Ex 4) 비제차(Non-homogeneous) 미분방정식

′ →

′ →

식 (2)에서

이를 식 (1)에 대입하면

← 이므로

∴ →

Homogeneous 해는

Particular 해는

←

←

← ∴

따라서

이를 식 (2)에 대입하면

Ex 5) 비제차(Non-homogeneous) 미분방정식

함수: 변수:

식 (2) ×

≡

이를 식 (1)과 더하면

→ → ∴ ±

cos sinParticular 해는

⋯

∴ cos sin

식 (2)에서

cossin

∴ sin cos cos sin

2. 대각화법

(1) 1계 연립미분방정식의 일반적인 해법

′′⋮′

⋯ ⋯ ⋮

⋮

⋮⋯

⋮

⋮

Matrix 형태로 표현하면

′ ← : 상수계수의 matrix, : 변수 의 함수

개의 서로 연결된(coupled) 1계 선형미분방정식을 푸는 방법

→ 상수계수의 matrix 를 대각화(diagonalized)하여 서로 연결

되지 않은(decoupled) 미분방정식으로 만든다.

대각화를 위하여 변수변환을 한다.

(변수변환) ← :변환 matrix로서 이에 따라

′ ′으로 변환된다. ← : 상수계수의 matrix

′ ⇒ ′ ′ (← )

∴ ′

′′⋮′

⋯

⋯

⋮

⋮

⋮⋯

⋮

⋮

위와 같이 대각화된다. 이에 따라 서로 연결된(coupled) 함수들

에 대한 연립미분방정식들이 서로 연결되지 않은 함수들의 연립

방정식들로 변하였다.

′ ′ ⋮

′

번째 미분방정식의 경우 그 해는

이므로 위 연립미분방정식의 해는

← (matrix 형태)

(2) 연립 1차 제차(homogeneous) 미분방정식의 해법

연립미분방정식: ′

(변수변환)

′ ⇒ ′ ′

∴ ′

′′⋮′

⋯

⋯

⋮

⋮

⋮⋯

⋮

′ → ′ → ⋮

′ →

′′⋮′

⋮

⋯

⋮

⋯ ⋯ ⋮

⋮

⋮⋯

⋮

⋯

여기서 ≡

⋮

Matrix 의 eigenvalue()와 eigenfunction()을 구하는 방법

를 ′ 에 적용하면 이므로

∴ 에서 을 이용하면

위 관계식이 Trivial 해를 가지지 않기 위한(≠) 조건;

det

위 식을 이용하여 (eigenvalue of matrix )를 결정하고 이에

대응하는 (eigenvectors of matrix )를 구한다.

에서 각 에 대응하는 를 결정할 수 있다. 이는

⋮

을 의미한다. 결과적으로 일반해는

⋯

다중근의 경우 (Homogeneous)

(a) 이 2중근인 경우 ← 1개의 eigenvector (1개의 미지 상

수)

나머지 하나의 해는

≡

⋮

≡

⋮

미분방정식 ′ 에 대입하면

′ 이므로

∴

→

모든 에 대해 위 식이 만족되어야 하므로

(b) 3중근인 경우

두 번째 해:

세 번째 해:

미분방정식 ′ 에 대입하여 정리하면

역행렬 (Inverse matrix) ← 을 확인할 때

필요

⋯ ⋯ ⋮

⋮

⋮⋯

⋯ ⋯ ⋮

⋮

⋮⋯

←부호

→

→

Ex1) Matrix 형태로 고치기

′ ′

′′

′

← ′ ′′

Ex2) Matrix 형태로 고치기 (초기조건이 있는 경우)

′ ′

′′

′

초기조건

→

Ex3) 대각화법

′

det

∴

인 경우 에서

에서 →

∴

←

인 경우 에서

에서 →

∴ ←

따라서 일반해는

⋯

이므로

초기조건을 적용하면

←

∴ 에서

따라서

또는

대각화의 확인

←

따라서

: 대각화됨을 확인할 수 있음

Ex4) 대각화법

′

det

∴

인 경우 에서

에서 →

∴

←

인 경우 에서

에서 →

∴

←

따라서 일반해는

⋯

이므로

초기조건을 적용하면

←

∴ 에서

따라서

또는

Ex5) 대각화법 (복소수 eigenvalue의 경우)

′

det

∴ ±

인 경우 에서

에서

→

∴

←

Matrix 식의 아래 line에서 얻는 를 이용하

여 구하는 eigenvector는 에서 얻는 것과 동일한

형태이다.

인 경우 계산할 필요가 없이

가 되는

데(복소수이므로), 이를 확인해 보면

에서

→

∴

←

여기서도 matrix식의 아래 line에서 얻는

에서 구한 eigenvector는 에서 얻는 것과 동일한 형

태이다.

인 경우의 해는

이고 cos sin

을 이용하면

cos sin

cos cos sin sin

sin cos

을 얻는다. 인 경우의 해도 위와 동일한 형태를 가

진다. 위 식에서 와 는 두 개의 독립적인 해이고, 허수를 나타

내는 도 하나의 상수로 생각할 수 있으므로 일반해의 형태는

로 표현할 수 있다. 따라서 일반해는

cos cos sin sin

sin cos

이다. 위의 해에 초기조건을 적용하면

←

∴ →

또는

cos sin

cos sin

Ex6) 대각화법(Non-homogeneous의 예)

′

′

det

→

∴

Particular 해(비제차 항이 이므로)는 의 형태

→ ′

′ 에 대입하면

→

∴

에서

→

에서

→

∴

Ex7) 대각화법(Non-homogeneous의 예) 전기회로에 적용

스윗치가 닫히는 순간(t=0) 전류와 전하가 0이라고 할 때 t 시간

후의 전류 와 를 구하라.

회로 1:

→′

회로 2: →

회로 2의 식을 미분하면

′ ′ →′′

회로 1의 식을 정리하면 ′ (1)

이를 위 식에 대입하여 정리하면

′ (2)

위의 두식을 matrix 형태로 표현하면

′

Homogeneous 해는

det

∴

인 경우 에서

에서 →

∴

←

인 경우 에서

에서 →

∴

←

따라서 Homogeneous 해는

⋯

이므로

Particular 해는 가 상수이므로

→ ′

′ 에서

∴ 에서

따라서

초기조건

을 적용하면

←

∴ →

또는

의 극한값은 3A (안정상태에서 인덕터는 도선과 동일)

의 극한값은 0 (축전기에 충전이 완료되면 전류는 0)

Ex8) Tank1: 순수한 물 100

Tank 2: 순수한 물 100 +150kg의 비료

액체는 분당 2의 일정한 속도로 두 tank를 순환하면서 비료가

골고루 섞인다. 시간 t에서 tank1과 tank2에 녹아있는 비료의 량

을 각각 라고 두면

′유입량유출량

′유입량유출량

′

초기조건: tank1에는 비료가 없고

tank2에는 비료가 150kg

det

∴

인 경우 에서

에서

∴ ←

인 경우 에서

에서 →

∴

←

따라서 Homogeneous 해는

⋯

이므로

초기조건을 이용하면

←

∴ →

∴

Ex9) Coupled oscillator

∴

인 경우

← cos cos

: symmetric mode

: antisymmetric

Symmetric mode:

Antisymmetric mode:

Eigenvector:

인 경우 인 경우

∴ cos

cos

Ex)

← ″

det 에서

인 경우 에서

에서

∴ ←

인 경우 에서

에서 →

∴

←

: 변환 matrix가 에 의해 가 로 변환

″ ″ →∴ ″ → ″ ∴ ″

←

″″

″ → cos sin ← ″ → cos sin ←

------------------------------------------------

이 2중근인 경우 ← 1개의 eigenvector (1개의 미지 상수)

나머지 하나의 해는

≡

⋮

≡

⋮

미분방정식 ′ 에 대입하면

′ 이므로

∴

→

모든 에 대해 위 식이 만족되어야 하므로

------------------------------------------------

Ex10) 대각화법 (2중근의 경우)

′

det

∴ (2중근)

인 경우 에서

에서 →

∴

←

다른 하나의 해는

→

위 연립방정식은 동일하므로 는 무한한 set가 가능, 간략하

게 하기 위해

로 두면 .

이므로

∴

(b) 변수변환법 (variation of parameters)

미분방정식 ′ 해의 기본집합(fundamental set of

solution)이 ⋯인 경우

⋯

로 표현된다. 이는 와 같이 표현할 수 있다. 여기서

⋯ ⋯ ⋮

⋮

⋮⋯

,

⋮

이다. 변수변환법에서는 를 변수로 치환한다. 즉, 대신에

를 정의하여 이를 미분방정식에 대입하여 만족하는 matrix를 구

한다.

⋮

→

여기서 는 비제차 미분방정식 ′ 의 특수해이

다. ′ ′ ′이므로 이를 위 미분방정식에 대입하면

′ ′

′ 이고 ′ ′이므로 ′ 이다. 이를

위 식에 대입하면

∴ ′

를 얻는다. 따라서 ′ →

이므로

이고

Ex1) 변수변환법 (Non-homogeneous 미분방정식)

′

제차 미분방정식의 해는

det

∴

인 경우 에서

에서 →

∴

←

인 경우 에서

에서 →

∴

←

따라서 homogeneous 해는

∴

←

∵

→

Ex2) 변수변환법 (Non-homogeneous 미분방정식)

′

제차 미분방정식의 해는

det

∴

인 경우 에서

에서 →

∴ ←

인 경우 에서

에서 →

∴

←

따라서 homogeneous 해는

∴

←

∵

→

3. 고계미분방정식을 1계 연립미분방정식으로 변환

′ ″ ⋯

′ ′⋮ ′ ′

Ex1) ″′ ′

2계이므로 2개의 변수를 도입: ′

′ ′ , ′ ″

∴ ′′

→ ′

′ → 이므로 경계조건은

Ex2) ″

′ ′ ′ ′ ″

∴ ′′

det

∴

인 경우 에서

에서 →

∴ ←

인 경우 에서

에서 →

∴

←

∴

Ex2) ″sin ′ 초기조건 ′ ″

→ ′ ′ ′→ ′ ″ ″→ ′ ″′ ″′→ ′ ″sin′

sin

초기조건

→

′ → ″ → ″′ →

′′′′

sin

초기조건