三角関数（＝円関数）とフーリエ級数（変換）

x

x

cos

sin

π＝180°

R=1 横軸 x= θ

波の振幅の複素表示

tEE

eEeEE tii

cosRe 0

00

部観測されるのはこの実

x

y

sincos 00 iEEiyx

0E位相

オイラーの公式

tiEtEeE

i

i

iiiie

xxxxe

ti

i

x

sincos

sincos

!5!3!4!21

!4

)(

!3

)(

!2

)(

!11

!4!3!2!11

000

5342

432

432

自然対数の底

71828.21 eei

で波を表す

)sin( kxt

)22

sin( xtT

22 k

T波数角周波数

xkt ,,,t

x

時間

距離

T 周期

波長

可視光の波数

波長）個の波を持つ（あたり 2000020000cm1

cm102

cm10500

1

m10500

1

nm500

1

1

2

nm500

14

7

9

k

フーリエ変換とは

波の 依存性

と

波の 依存性

波の 依存性

と

波の 依存性

の関係を与える変換式

x

k

t

t

フーリエ変換

フーリエ変換

tt

dkekFxfdxexfkF ikxikx

)(2

1)()()(

titititi

ti

edetfdteeF

xFetf

00

0

)(22

1)()(2)(

:)()(2)()(

00

0

デルタ関数

デルタ関数

)()()(

1)(

)0(

)0(0)(

afdxaxxf

dxx

x

xx

x=0

物理数学２

であることより

？関数のフーリエ変換は関数、

)(2

sin)(2

1cos

sincos

iiii eei

ee

波の伝播

t

波の変位

時間

0

00

22

Tf

角周波数

ttf 0cos)(

00

実数軸 )]()([)( 00 F

0

波の伝播

t

波の変位

時間

0

00

22

Tf

ttf 0sin)(

虚数軸 )]()([)( 00 iF

角周波数

000

音の波(振動)

時間

時間

「ド」

「ソ」

波長

周波数（音程）

周波数（音程）

523 Hz

784 Hz

再生

再生

第1の周波数の波

第2の周波数の波

超短パルスレーザーとは？：「周波数軸」

by Minoshima

音の波(振動)

時間

周波数（音程）

時間

周波数（音程）

523 Hz

524 Hz

第1の周波数の波

第2の周波数の波

523 Hz

524 Hz

再生

再生

by Minoshima

音の波(振動)

時間

周波数（音程）

時間

周波数（音程）

523 Hz

524 Hz

第1の周波数の波

第2の周波数の波

523 Hz

524 Hz

時間

周波数（音程）523 524 Hz

523 524 Hz２つの重ね合わせ

再生

by Minoshima

音の波(振動)

時間

周波数（音程）

時間

時間

周波数（音程）

周波数（音程）

523 Hz

524 Hz

第1の周波数の波

第2の周波数の波

523 Hz

524 Hz

520 . . .523. . . 526 Hz7つの重ね合わせ

時間

周波数（音程）523 524 Hz

523 524 Hz２つの重ね合わせ

520 523 526 Hz

再生

by Minoshima

以下の関数のフーリエ変換は？

-1

0

1

-2 20-

f()

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

フーリエ級数

7sin

7

15sin

5

13sin

3

1sin

4)(f

-1

0

1

-2 20-

f()

x

dx

dx

dx

dx

df

7sin

7

15sin

5

13sin

3

1sin

4)(

d 周期 d2

物理数学２

矩形関数は高い空間周波数成分 を含むd

nkn

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

0

1

2

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

0

1

2

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

0

1

2

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

0

1

2

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

0

1

2

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

0

1

2

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

0

1

2

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

0

1

2

-360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360

-1

0

1

回折格子３のパターン

透明部 黒色部

,7,5,3,,0

2

2

2

)(7

1)(

5

1

)(7

1)(

5

1)(

3

1)(

2)(

7cos7

15cos

5

13cos

3

1cos

41)(

2222

2

7755

775533

0

dddd

d

xd

ixd

ixd

ixd

i

xd

ixd

ixd

ixd

ixd

ixd

ixd

ixd

ixi

kkkkK

ddk

d

eeee

eeeeeeeeef

xd

f

周期

フーリエ級数

,2,1sin)(1

,2,1,0cos)(1

2

sincos2

)(1

0

ndxd

xnxf

db

ndxd

xnxf

da

d

d

xnb

d

xna

axf

d

dn

d

dn

n

nn

周期

物理数学２

フーリエ変換

,2,1sin)(1

,2,1,0cos)(1

2

sincos2

)(

]sin)(cos)([2

1)(

)(

]cos)(sin)([2

1

]sin)(cos)([2

1

)sin)](cos()([2

1)(

)()(sin)(cos)(

)sin)(cos()(

)(2

1)()()(

1

0

ndxd

xnxf

db

ndxd

xnxf

da

d

d

nk

d

xnb

d

xna

axf

dkkxkBkxkAxf

xf

dkkxkBkxkAi

dkkxkBkxkA

dkkxikxkiBkAxf

kiBkAkxdxxfikxdxxf

dxkxikxxfkF

dkekFxfdxexfkF

d

dn

d

dn

n

n

nn

ikxikx

周期

と比較せよ

が実関数ならば

物理数学２

ieiiyx sincos

も表せるだけでは表せない関数リエ展開でこうすることで、フー

を加えることに相当の位相シフトを加えることは、任意に

kx

kxkx

kxBkxA

kxbkxaR

kxkxRkxR

cos

sincos

sincos

)sincos(

)sinsincos(cos)cos(

x

y

)(sincos 直交関数　は直交と 物理数学２

フーリエ級数でパルス波を作る

)cos( t

-1440 -1200 -960 -720 -480 -240 0 240 480 720 960 1200 1440

-101-101-101-101-101-101-101-101-101

)1.1cos(9.0 t

)2.1cos(75.0 t

)9.0cos(9.0 t

)8.0cos(75.0 t

)3.1cos(5.0 t

)6.0cos(2.0 t

)7.0cos(5.0 t

)4.1cos(2.0 t

240

4

240

3

240

2

2400

-1440 -1200 -960 -720 -480 -240 0 240 480 720 960 1200 1440

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

)cos(

240

2

t

-1440 -1200 -960 -720 -480 -240 0 240 480 720 960 1200 1440

-2

0

2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

240

4

240

3

240

2

2400

)1.1cos(9.0

)9.0cos(9.0

)cos(

240

2

t

t

t

240

4

240

3

240

2

2400

-1440 -1200 -960 -720 -480 -240 0 240 480 720 960 1200 1440

-4

-2

0

2

4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

)2.1cos(75.0

)8.0cos(75.0

)1.1cos(9.0

)9.0cos(9.0

)cos(

240

2

t

t

t

t

t

240

4

240

3

240

2

2400

-1440 -1200 -960 -720 -480 -240 0 240 480 720 960 1200 1440

-6

-4

-2

0

2

4

6

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

)3.1cos(5.0

)7.0cos(5.0

)2.1cos(75.0

)8.0cos(75.0

)1.1cos(9.0

)9.0cos(9.0

)cos(

240

2

t

t

t

t

t

t

t

-1440 -1200 -960 -720 -480 -240 0 240 480 720 960 1200 1440

-6

-4

-2

0

2

4

6

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

)4.1cos(2.0

)6.0cos(2.0

)3.1cos(5.0

)7.0cos(5.0

)2.1cos(75.0

)8.0cos(75.0

)1.1cos(9.0

)9.0cos(9.0

)cos(

t

t

t

t

t

t

t

t

t

240

4

240

3

240

2

2400

ピークの高さが高くなっていることに注目

Mode locking 位相同期法

一つのレーザー共振器からレーザー発振するさまざまな波長成分の光の位相をそろえる技術

超短パルスの生成

エネルギーが短い時間に集中 さまざまな利用価値がある

フェムト秒パルス

１フェムト秒（１ｆｓ）・・・１０－１５ｓ

t

t

周波数

可視光パルスでは世界最短のサブ５ｆｓの超短パルス

パルスレーザー光とは？

幾つかの周波数成分を含んだ光

それぞれの光の重ね合わせ

パルス光となる

広帯域の可視光を用いて、パルスを作る。

時間軸では、２,３周期の

振動しかパルスの中に含まない。

可視光パルスでは世界最短であるサブ５ｆｓの超短パルスを実現！

東大（電通大）小林孝研究室

位相がそろわないと？

-1440 -1200 -960 -720 -480 -240 0 240 480 720 960 1200 1440

-101-101-101-101-101-101-101-101-101

)cos( t

)1.1sin(9.0 t

)2.1cos(75.0 t

)9.0sin(9.0 t

)8.0cos(75.0 t

)3.1sin(5.0 t

)6.0cos(2.0 t

)7.0sin(5.0 t

)4.1cos(2.0 t

-1440 -1200 -960 -720 -480 -240 0 240 480 720 960 1200 1440

-4

-2

0

2

4-1

0

1

-1

0

1

)4.1cos(2.0

)6.0cos(2.0

)2.1cos(75.0

)8.0cos(75.0

)cos(

t

t

t

t

t

)3.1sin(5.0

)7.0sin(5.0

)1.1sin(9.0

)9.0sin(9.0

t

t

t

t

実部A

虚部B

実関数

dtBtA

dtBtAitBtA

dtitiBAdeFtf

iBAF

ti

sin)(cos)(

cos)(sin)(sin)(cos)(

sincos)()()()(

)()()(

)4,1(2.0

)6.0(2.0

)2.1(75.0

)8.0(75.0

)()(

0

0

0

0

0

A

)3.1(5.0

)7.0(5.0

)1.1(9.0

)9.0(9.0)(

0

0

0

0

B

実部Ａ(ω)が偶関数（cos）,虚部Ｂ(ω)が奇関数（sin）