構造解析のための有限要素法 実践ハンドブック サ …main : 2006/4/27(16:40) iii...
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「構造解析のための有限要素法
実践ハンドブック」
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まえがき
近年，有限要素法の実務設計への利用には，目覚しいものがある．その背景にはまず，線形弾性の応力解析に限定すれば有限要素法理論が既に完成しており，さらに，非線形の分野も多くの現象が解析できるようになったことがある．また，プログラムベンダーが，特にプリポストプロセッサの開発に力点をおき，有限要素法プログラムの利用者の労力を軽減することを可能にしたこともある．さらに，計算機の高速化・大容量化・低廉化も大きな理由であり，中でもパソコンの高性能化が利用者数の拡大を押し進めたといえる．
1985年頃までは，有限要素法の利用者は機械工学科，造船工学科，航空工学科，土木・建築工学科などの卒業者，すなわち材料力学を履習した技術者であった．その後はプリポストプロセッサの完備に伴い，有限要素法がブラックボックス化され，情報処理を専門とする技術者やCADに携わる技術者など，必ずしも材料力学の素養が十分でない技術者への利用が急速に進んだ．筆者は，1983年に「機械のための有限要素法入門」(川井忠彦共編，オーム社)を出版し，さ
らにそれをテキストとして今日まで社内外で講習会を開催し，多くの有限要素法利用者と接してきた．その過程で，有限要素法プログラムを正しく有効に実務に利用するための，新たな入門書が必要であることを痛感した．本書は以上のような背景のもとで，次のような意図で執筆した．
分野：有限要素法の利用が最も進んでいる応力解析を主体に，振動解析，熱伝導解析も含める．それらに関する非線形解析についても一部触れる．
対象：有限要素法プログラムを実際に使用する担当者，問題解決の取りまとめの担当者および彼らを管理するマネージャの方々とする．
構成：設計部門の技術者が正しく有限要素法を利用できるよう，問題中心の記述とし，どこからでも読め，ハンドブック的で実践的な構成とする．
謝辞
本書の執筆に当り，多くの方々に助言や激励を頂きました．特に，下記の方々には度々の資料提供やコメントを頂きました．ここに深く謝意を表します．岡山短期大学：前田昭彦教授，三井造船㈱：丸井英男様，槙本洋二様，金広和彦様また，出版を強くお薦めくださったミシガン大学菊池昇教授，慶応義塾大学野口裕久教授，
東北大学寺田賢二郎助教授，および出版までの多大な労をお取り下さった森北出版の方々にも，あわせて深く謝意を表します．
2006年 3月岸 正彦
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目 次
第 I編 有限要素法解析への導き 1
第 1章 序 章 2
第 2章 有限要素法で解く現象 5
2.1 応力と解析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 熱と解析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 振動と解析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 数値解析法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 強度評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
第 3章 有限要素法のプログラム導入とマネージング 14
3.1 プログラム導入のチェックポイント . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 有限要素法の学習計画 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 プログラムの試用と使い込み . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4 マネージャの方々へ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
第 4章 有限要素法による解析手順 23
4.1 解析の準備 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 形状入力の手順 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3 モデルデータとその検討 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.4 出力とその意味 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.5 出力の検討と取りまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
第 5章 共通的モデル化 37
5.1 構造のモデル化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2 拘束のモデル化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.3 荷重のモデル化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4 材料定数のモデル化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.5 練習問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
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vi 目 次
第 II編 一般構造の応力解析 53
第 6章 骨組構造の解析 54
6.1 構造の特徴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.2 要素の適用条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.3 解析領域と境界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.4 要素分割 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.5 要素の長さと太さと向き . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.6 様々な構造の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.7 評 価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.8 練習問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
第 7章 板構造の解析 65
7.1 構造の特徴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.2 要素の適用条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.3 解析領域と境界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.4 要素分割 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.5 要素の厚さと向き . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.6 様々な構造の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.7 評 価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.8 練習問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
第 8章 シェル構造の解析 76
8.1 構造の特徴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.2 要素の適用条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.3 解析領域と境界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.4 要素分割 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.5 要素の厚さと向き . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.6 様々な構造の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8.7 評 価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8.8 練習問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
第 9章 一般 3次元体構造の解析 89
9.1 構造の特徴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.2 要素の適用条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.3 解析領域と境界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.4 要素分割 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.5 要素の厚さ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.6 様々な構造の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
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目 次 vii
9.7 評 価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
9.8 練習問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
第 10章 配管構造の解析 97
10.1 構造の特徴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
10.2 要素の適用条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
10.3 解析領域と境界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
10.4 要素分割 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
10.5 要素の長さと太さ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
10.6 様々な構造の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
10.7 評 価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
10.8 練習問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
第 III編 特定構造の応力解析 107
第 11章 応力集中部の解析とズーミング 108
11.1 構造の特徴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
11.2 要素の適用条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
11.3 解析領域と境界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
11.4 要素分割 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
11.5 要素の厚さ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
11.6 様々な構造の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
11.7 評 価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
11.8 ズーミング法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
第 12章 クラッド鋼の解析 118
12.1 構造の特徴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
12.2 要素の適用条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
12.3 解析領域と境界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
12.4 要素分割 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
12.5 要素の厚さ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
12.6 様々な構造の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
12.7 評 価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
第 13章 溶接部の解析 122
13.1 構造の特徴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
13.2 要素の適用条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
13.3 解析領域と境界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
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viii 目 次
13.4 要素分割 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
13.5 要素の厚さ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
13.6 様々な構造の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
13.7 評 価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
13.8 溶接シミュレーション . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
第 14章 対称性のある構造の解析 127
14.1 構造の特徴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
14.2 要素の適用条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
14.3 解析領域と境界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
14.4 要素分割 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
14.5 要素の厚さ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
14.6 様々な構造の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
14.7 評 価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
第 15章 接触部のある構造の解析 132
15.1 構造の特徴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
15.2 要素の適用条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
15.3 解析領域と境界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
15.4 要素分割 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
15.5 要素の厚さ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
15.6 様々な構造の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
15.7 評 価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
15.8 線形プログラムによる計算手順 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
第 16章 構造異方性の解析 136
16.1 構造の特徴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
16.2 要素の適用条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
16.3 解析領域と境界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
16.4 要素分割 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
16.5 要素の厚さ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
16.6 様々な構造の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
16.7 評 価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
第 IV編 各種の構造解析 141
第 17章 振動解析 142
17.1 特 徴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
17.2 解析機能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
17.3 モデル化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
17.4 出力と評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
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目 次 ix
17.5 練習問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
第 18章 熱伝導解析 154
18.1 特 徴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
18.2 解析機能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
18.3 モデル化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
18.4 出力と評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
18.5 マックニール チャートとその応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
第 19章 熱変形熱応力解析 163
19.1 特 徴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
19.2 解析機能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
19.3 モデル化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
19.4 出力と評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
第 20章 より高度な解析 (非線形解析) 168
20.1 概 要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
20.2 塑性 (弾塑性，剛塑性) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
20.3 クリープ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
20.4 座 屈 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
20.5 微小ひずみ大変位 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
20.6 有限ひずみ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
20.7 超弾性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
20.8 接 触 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
20.9 摩擦とがた (すきま) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
20.10 特殊なばね . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
20.11 追従力 (follower force) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
20.12 熱伝導と熱伝達 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
第 21章 実験的応力解析 176
21.1 概 要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
21.2 抵抗線ひずみゲージ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
21.3 模型とひずみゲージの貼付 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
21.4 荷重の負荷方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
21.5 応力の算定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
21.6 評 価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
21.7 変位・温度・振動などの計測 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
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x 目 次
第 22章 事故解析 181
22.1 概 要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
22.2 一般的な調査 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
22.3 丸棒の疲労破面の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
第V編 計算結果の評価 185
第 23章 応力と評価 186
23.1 評価の概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
23.2 応力分類と許容応力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
23.3 応力分類の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
23.4 評価応力の算出と疲労強度評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
23.5 練習問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
第 24章 よりよい評価のために 200
24.1 プリポストプロセッサ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
24.2 報告書の書き方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
24.3 有限要素法解析の信頼性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
24.4 有限要素法の新しい機能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
第VI編 資料と付録 213
第 25章 材料力学と有限要素法 214
25.1 材料力学事初め . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
25.2 荷重 (load) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
25.3 応力 (stress) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
25.4 ひずみと変位 (strain & displacement) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
25.5 応力とひずみの関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
25.6 弾性係数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
25.7 部材の種類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
25.8 断面性能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
25.9 疲労と応力集中 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
25.10 熱ひずみと熱変形と熱応力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
25.11 許容値と安全率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
25.12 有限要素法の概論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
25.13 有限要素法の理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
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目 次 xi
第 26章 モデル化の力学的検討 228
26.1 曲げ変形とせん断変形の比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
26.2 真直はりと曲がりはりの応力の比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
26.3 微小変位と大変位の比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
26.4 微小ひずみと有限ひずみの比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
26.5 固有振動数の比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
26.6 円筒と球の限界長さ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
26.7 シェル構造の要素分割寸法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
第 27章 強度問題のクイズ 235
27.1 材料力学関連 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
27.2 線形弾性関連 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
27.3 強度評価関連 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
第 28章 有限要素法を用いない解析 243
28.1 使い分け . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
28.2 データブック記載内容一覧 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
28.3 代表的な算式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
28.4 組合せ部材の合成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
28.5 有限要素法が不得手な分野 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
第 29章 材料定数 249
29.1 解析に必要な材料定数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
29.2 材料の常温における各種材料定数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
29.3 材料の各温度における線膨張係数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
29.4 材料の各温度における縦弾性係数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
29.5 材料の各温度における熱伝導率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
29.6 材料の各温度における熱伝導率と温度伝導率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
第 30章 断面性能と質量特性 256
30.1 断面性能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
30.2 質量特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
第 31章 単位系と単位換算 259
31.1 単位系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
31.2 単位換算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
あとがき 265
索 引 267
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14
第3章
有限要素法のプログラム導入とマネージング
有限要素法の担当者とその上司であるマネージャに必要な知識として，プログラム (ソルバーとも呼ぶ)導入とマネージングについて述べる．
3.1 プログラム導入のチェックポイント
ここでは導入のチェックポイントを述べる．インターネットやカタログなどからプログラムを調べれば，個々の要目は分かるはずである．しかし，どのプログラムが現実の問題を解くのに適切かの判断は容易ではない．有限要素法の先輩，既導入利用者，信頼できるベンダー (プログラムの販売代理店)の技術者などとよく相談する必要がある．
(1) 有限要素法の機能
今解きたい問題と将来の問題を，次のようなプログラム特有の分類で整理する必要がある．そして必要な機能を有するプログラムを選択する．
構 造：骨組構造，板構造，シェル構造，一般 3次元構造，配管構造荷 重：集中荷重・線分布荷重・面分布荷重・体分布荷重 (物体力)，温度・初期ひずみ
(設計で用いる圧力荷重や遠心力荷重などとは表現が異なる．)
拘 束：ばね支持，強制変位，単点・多点拘束要 素：棒，はり，板，一般 3次元体，配管機 能：応力，振動，熱伝導，塑性，クリープ，座屈，大変位，定常・非定常その他：座標系，材料異方性，積層材
(2) プリポストプロセッサの機能
使い勝手の大部分はプリポストプロセッサの機能で決まり，これはプリプロセッサ (前処理プログラム)とポストプロセッサ (後処理プログラム)で構成される．プリプロセッサでは，構造の作り方，要素分割の仕方，自動分割の仕方，荷重や拘束の入力
の仕方などが，問題や担当者に適合していることが望ましい．上記 (1)で荷重について述べたが，これはプリプロセッサの機能といえる部分もある．
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3.1 プログラム導入のチェックポイント 15
ポストプロセッサでは，構造・要素・荷重・拘束条件の分かりやすい表示，計算結果のグラフや図形への柔軟性のある表示などが重要である．有限要素法計算が CAD/CAM/CATシステムと連係した CAEシステムの中で実行される
場合も多い．その際は有限要素法計算の入力データ (主に構造データ)が両者で共有されていることが，データ作成の省力化につながる．したがって CAD/CAM/CAE/CATとの統合を考慮に入れた選択も重要となる．
CAD：Computer Aided Design(Drafting)
CAM：Computer Aided Manufacturing(Machining)
CAE：Computer Aided Engineering
CAT ：Computer Aided Testing
(3) 計算機環境
有限要素法プログラムを載せる代表的計算機環境は，表 3.1 に示すよな形式が考えられる．しかしプログラムによって特定の形式に限定されることがある．したがって，上記 (1)，(2)とあわせて，ベンダーと相談する必要がある．
表 3.1 計算機環境
形式 ソ ル バ ー プリポストプロセッサ1 スーパーコンピュータ ワークステーション，パソコン2 ワークステーション ワークステーション，パソコン3 ワークステーション 4 パソコン
形式 1が最も高速・大規模処理が可能であり，高価となる．形式 4が最も簡便で安価となる．形式 1，2はネットワーク利用を前提としている．どれにするかは，解こうとする問題に要する計算時間や 1日の計算回数などから，実際の設計期間に適合するか，さらに費用が適切か，設備規模が適切かなどで決まってくる．現在は，形式 4で十分な場合が多い．
(4) ベンダーの選択
上記 (1)～(3)が決まっても多くの場合複数のプログラムが候補として残ると思う．その場合どのベンダーにするかを，以下の観点でも評価してみる．・技術的サポート体制：技術者の数，教育コースの有無，コンサルティングの内容・販売の姿勢：ユーザ会の有無，アフターサービスの良否・開発の姿勢：過去のバージョンアップ状況，将来のバージョンアップ計画・企業としての信頼性と永続性：売れ筋商品であるか
(5) その他
近くに利用者のいるプログラムを選ぶ方法もある．分からないことがすぐ聞けるし，多忙時の相互支援や故障時の相互利用が可能である．少なくとも近くにたずねることのできる人がいれば，事前に十分話を聞くことである．有限要素法の先輩として多くのことを経験しているはずである．
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16 第 3章 有限要素法のプログラム導入とマネージング
3.2 有限要素法の学習計画
有限要素法プログラムの導入と同時に，担当者には導入学習が必要なことは当然としても，その後の長期にわたる学習も必要である．
(1) 長期学習
有限要素法プログラムを使いこなし，設計業務に正しく活用できるようになるには，後述するように 5～10年を必要とすることである．その間担当する技術者は，担当する問題ごとに，順序はいずれでもよいが，図 3.1に示すように，理論，実践，モデル化，評価の 4本柱をらせん状に登って行くように繰返し学習するとよい．
図 3.1 有限要素法の学習
学習をらせん状に繰返すことで，知識が点から線へ，線から面へと有機的につながり，初め見えなかった部分が見えてくるようになる．
1) 理論を理解する．理論には有限要素法と材料力学がある．2章，5章，7章，25章，26章，28章などに糸口を示すが，他に参考文献 1)～7)などを併用する．
2) 実践を積む．3.3節のプログラムの使い込みをしてから，実務を処理する．
3) モデル化を学ぶ．要素選択，要素分割，拘束などを適正にし，正しい応力を求められるようにする．モデル化は，4章～16章などに詳述する．
4) 評価法を学ぶ．応力分類，許容応力，疲労解析を理解することで，23章，24章などに詳述する．
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3.3 プログラムの試用と使い込み 17
(2) 導入学習
有限要素法プログラムを導入すると，ベンダーによる教育が受けられる．これで学習できる内容は上記 1)～4)と比べると，かなり限定的である．多くの場合 2) に必要な情報のみで，プログラムの機能・システム構成の説明，プログラムの入力方法の説明，サンプル問題の説明などである．一般の有限要法講習会もある．この場合の内容は，有限要素法の理論，有限要素法のプログ
ラミングの説明が中心である．これらの学習だけでは，実際の設計問題への有限要素法適用は，かなり困難である．有限要
素の使い分けや，適正な要素分割の大きさとパターンも分からないと思う．経験豊富な先輩が近くにいなければ，有限要素法を導入した時点で，早くもつまずくことになる．真に実務に必要な情報は，理論と実際とのつながり，利用上のノウハウ，計算結果の評価・判断のポイント，欠点や問題点などである．これらに本書が役立つことを期待する．
3.3 プログラムの試用と使い込み
有限要素法プログラムの商品カタログを見ると美しい図形やグラフが載っており，すぐにも使えそうな感じになる．しかし，プログラムを導入して使えるようになるには，数週間から数カ月，場合によっては数年を要するものである．その際とるべき手順を述べる．
(1) ベンダーのサンプル問題を解く
多くの場合，購入プログラムにはサンプル問題が付いている．あるいはマニュアルに例題がある．まずこれをそっくりそのまま実行してみて，同じ結果になるかどうかを確かめる．さらに板厚や材料定数を変更し，それに応じた結果が出るかを検証する．また，あってはならないことであるが，プログラムのバグ (誤り)や，例題とバージョンの不適合などがあることもある．
(2) 理論解のある問題を解く
理論解のある問題は，構造形状や荷重条件が単純で入力データが作りやすいはずである．また解が分かっているので検証もすぐに行える．使用する要素や要素分割により結果が多少変化するはずで，数種類の要素分割や異なる要素で計算を行って，その結果の差異を調べることも重要である．プログラムの精度の確認にもなる．
(3) 下敷きのある問題を解く
解こうとする問題と似た下敷きにできる入力データのあるものを探し，下敷きのデータのうち特定部分を修正し計算する．もし計算エラーとなったとしても，誤りは自分で修正した部分に限られるはずで，素早く対応をとることができる．
(4) 小問題で解く
小問題すなわち節点数や要素数が 1000個程度以下の問題で解く．プリプロセッサでデータ
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18 第 3章 有限要素法のプログラム導入とマネージング
を作る時間，ソルバーで解く時間，ポストプロセッサで結果をまとめる時間などすべてが短時間で済み，たとえ誤りがあってもその試行錯誤が容易に行える．特に非線形機能の確認には，まず節点数や要素数が 10個程度の問題で計算してみることが重要である．そして，その結果に目的とする非線形性が確実に表れていることを確認することである．
(5) 事故事例を利用する
過去に事故があり，構造などに改良を加えた事例があれば，改良前と改良後の両構造を例題として計算してみる．計算結果から事故の原因が再確認できれば，計算の正しさとプログラムの有効性が示されたことになる．もし再確認できなければ，モデル化や適用方法に不適切がないか専門家に相談してみる必要がある．
(6) 機能を 1つずつ検証しながら解く
温度分布計算の場合を例にすると，まず定常線形問題を解く．次に材料非線形 (例えば，熱伝導率の温度依存性)を考慮する．次に非定常線形問題 (例えば外部温度が時間と共に変化)を解く．最後に非定常非線形問題として解く．初めて使う機能は順を追って 1つずつ理解し確認していく．最終目標の問題を解きたいと思うはやる気持ちをおさえ，急がば回れの気持ちで，臆病になって取り組む必要がある．
(7) まとめ
いきなり大きい実問題には取り組まないこと．また非線形性を二重三重に重ねたような問題は順を追っていくこと．多くの場合，エラーは分かってみれば極めてつまらぬことである．人間は必ず誤りをするとの気持ちで取りかかることが大切である．成果をあせらずに着実に，点から線へ，線から面へと順次広げて，プリプロセッサ，ソルバー，ポストプロセッサを征服して頂きたい．さらに，その過程で，要素分割の粗密や，解析領域の大小などモデル化の違いによる結果の
差異，その他様々な試行錯誤を重ね，経験を積むことで成長して行く．
3.4 マネージャの方々へ
(1) 有限要素法の環境の変化
1980年頃までは，有限要素法のプログラムを開発しましたとか，持っていますとかいうだけでも尊敬 (?)され，他社に差別化できた時代であった．またそれを使う技術者もベテラン設計技師や研究者であった．現在は高機能の汎用有限要素法プログラムが多数販売されており，それを処理するパソコン
も低廉高性能化して，百万円もあれば立派なシステムが構築できる．誰でもが金さえ出せば，プロの道具だてがすぐできる時代となった．また，有限要素法プログラムを実際に動かし，解析業務を実施していく技術者は，若い人である場合が多くなった．その上司であるマネージャは
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108
第11章
応力集中部の解析とズーミング
11.1 構造の特徴
有限要素法を用いて応力集中部の応力を求める解析が頻繁に行われる．しかし，最大応力を正しく求めるには，かなりの手間と工夫がいる．応力集中は，①構造の形状と荷重の方向との組み合せにより生じ，また，②構造が平滑でも集中荷重点近傍に生じる．典型的な応力集中は図 11.1(a)，(b) に示すように，孔や切欠きを有する棒や板に，引張ま
たは圧縮荷重が作用した場合である．図 11.1(c) に示す段付き棒を引張るような場合を考えると，凹部では力の流れを示す力線が絞られ応力集中し，凸部では力線が届かず応力集中しない．図 11.1(d) のつばが付いている棒を引張る場合は，つばが薄ければ力線は直線状となり応力集中はほとんど生じない．しかし， 図 11.1(e) のようにつばに力が作用する場合は，構造はまったく同じでも，つばの付け根に大きな応力集中が生じ，応力分布の様相は大きく変化する．応力集中を求めるために使用する要素は，構造に依存し，平板要素や一般 3次元体要素である．なお，典型的な構造形状と荷重に基づく応力集中は，有限要素法によらなくても，28章に示
す参考文献に応力集中係数として与えられている．これを利用できれば公称応力 (合応力から求められる応力)を基に，最大応力が求められる．
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
図 11.1 応力集中
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11.3 解析領域と境界条件 109
11.2 要素の適用条件
孔あき板 (図 11.6)のような板構造の問題で，板としての挙動 (隅のだれは問題にしない場合)
の応力集中であれば，平板要素 (この場合は，平面応力要素でもよい)を用いる．曲がりのきつい板構造 (図 11.10)の問題では，一般 3次元体要素を用いる．その他一般的構造では，一般 3次元体要素を用いることが多い．
11.3 解析領域と境界条件
応力集中部を含む構造全体を，解析領域として解析できれば望ましい．しかし，一般に応力集中は構造のごく一部であり，またその部分の要素分割を密にする必要があるために，構造全体を解析することが困難なことも多い．様々な工夫をして，応力集中部近傍だけの部分構造を解析することもある．無限に広がる解析領域に仮想境界を設定し，着目した部分への影響が少ない構造部分を省略する例を示す．図 11.2 に示す面内荷重を受ける無限帯板の荷重点近傍の応力に着目する場合，次式 Lで与
えられる領域 1) をとり，仮想境界では直線保持の拘束を与える．
L � b (1)
P
L
b
図 11.2 面内荷重を受ける無限帯板
図 11.3 に示す両面に垂直荷重を受ける無限板の荷重点近傍の応力に着目する場合，次式で与えられる Lを半径とする円柱領域 1) をとり，仮想境界では円柱外面垂直方向の変位を拘束する．
L � (1 ∼ 1.5)h (2)
図 11.4 に示す引張を受ける帯板の孔まわりの応力や変形に着目する場合，次式 Lで与えられる領域をとり，仮想境界では直線保持の拘束とともに荷重を与える．
L � (5 ∼ 8)r (3)
境界条件は，構造全体を解析する場合にはその構造の拘束条件と荷重条件である．ズーミング法などにより部分構造とする場合は，仮想的な境界に与えるべき条件を適切に設定する必要がある．これについては 11.8節で述べる．
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110 第 11章 応力集中部の解析とズーミング
L
h
P
図 11.3 垂直荷重を受ける無限板
p
L
r
図 11.4 引張を受ける孔あき板
11.4 要素分割
応力集中は構造の形状に依存して発生するから，入力形状が，少なくとも切欠き部や急変する形状の構造外形を正しく再現していなければならず，さらに最大応力が求められるように，適切な分割となっている必要がある．応力集中部の要素分割は，表面半径を rとすると，図 11.5に示すように行う．具体的には，
次の通りである．・要素の辺の長さは r/5以下 (90度の範囲を 8分割以上)
・分割パターンは格子状・4角形の縦横比は 1 : 1～1 : 2
・深さ 3～4層分 (薄墨部)は規則正しく分割・隣接要素の辺長比は 1.5～2以下高次要素を用いる場合の要素の辺の長さは，上記の 2～3倍としてよい．rが 0となるような丸みのない構造の応力集中は，理論的には無限大となる．
r
図 11.5 応力集中部の分割
11.5 要素の厚さ
6.5節, 7.5節, 8.5節で述べた要素の厚さや太さの問題は，応力集中を求める場合に重要となることがある．要素の厚さや太さを無くしたモデルでは，その部分の応力集中は求められない．平板要素の場合，孔あき板のような問題 (図 11.6)では，隅のだれに伴う応力集中の解析はできない．また，板を曲げるような問題 (図 11.8)で，MYによる面外の曲げに伴う応力集中の解析はできない．これらを解析するためには，一般 3次元体要素を用いればよい．
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11.6 様々な構造の例 111
11.6 様々な構造の例
(1) 引張を受ける孔あき板
図 11.6に示す円孔を持つ帯板が引張荷重を受ける場合の，板最小断面の応力集中を求める．解析領域は，板の無限長方向を孔半径の 5倍とし，かつ対称性を利用して全体の 1/4とする．要素は平板要素を用い，分割は，モデル 1が 11.4節の要素分割に従う基準モデルで，それより粗い分割のモデル 2と密な分割のモデル 3を含めた．図 11.7の計算結果は，モデル 1～3とも要素応力を要素重心点における値とみなすと，Y軸
方向無限長の問題に対する最小断面におけるハウランド (Howland) の理論解 2) と良く一致している．しかし，この程度の分割の場合は，応力集中部の最大応力は外挿して求める必要がある．モデル 2では適切な応力の外挿が困難のようである．また，要素分割の粗密の影響が大きく現れるのは，最大応力の外挿に伴う誤差であることが推定できる．中間点付きの平板要素を用いると，適切な要素分割を行えば，外挿することなく最大応力が
良い精度で求められる．
AX
Y
B
15120
40
100
P = 1000 N/mm
mm:
図 11.6 孔あき板 図 11.7 要素分割の粗密と応力分布
(2) 曲げモーメントを受ける板
図 11.8に示す曲げモーメントを受ける板を考える．板は平板要素でモデル化したとする．この場合，適切に分割が行われれば，曲げモーメントMZ に対しては固定部の応力集中が計算される (ただし，図 11.8の分割では固定部の形状表現が不適切)．しかし，曲げモーメントMY
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112 第 11章 応力集中部の解析とズーミング
に対しては，分割を密にしても固定部の応力集中が計算されない．この応力集中を求めるには，一般 3次元体要素を用いるか，後述の (4)の方法による．
Y
X
Z
MY
MZ
図 11.8 曲げモーメントを受ける板
(3) 応力集中部が構造全体に比べ小さい構造
応力集中部が構造全体に対して小さすぎない場合は，(1) のように標準的な手順を踏んで応力を求めればよい．しかし，著しく小さい場合は，要素分割の困難さから 11.8節のズーミング法を用いるのが合理的である．図 11.9 のように骨組構造の一部分である接合部や形状変化部 (断面の変化するはり，板厚変
化部，はりの孔近傍)の詳細応力を求める場合に，ズーミング法が用いられる．はりの接合部などでは，曲げの中立軸が構造としてのはり断面の図心からずれると思われるし，応力集中も生じている．これらを厳密に求めるためには，はり要素による解析だけでは不十分である．そこで，第 1段階は通常の方法ではり要素により構造全体を応力計算し，次に第 2段階として着目するはりの接合部だけを解析領域として，平板要素か一般 3次元体要素を用いて，密な要素分割で計算する．
図 11.9 骨組構造のズーミング 図 11.10 板構造やシェル構造のズーミング
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11.6 様々な構造の例 113
図 11.10のように，板構造やシェル構造の曲率半径が小さい部分や，板厚が変化する部分の詳細応力を求める場合にも，一般 3次元体要素によるズーミング法が用いられる．一般 3次元体構造で切欠き部や段付き部には，頻繁にこの方法が用いられる．
(4) 合応力と応力集中係数による方法
孔あき板，段付き棒，孔付き棒などのような典型的な形状に対しては，データブックなどに応力集中係数が与えられている．その場合，応力集中が生じている断面の合応力 (合力 F と合モーメントM) が求められれば，応力集中係数を用いて，次式により最大応力を求めることができる．合応力は手計算で求められる場合もある．有限要素法で求める場合には，応力集中を生ずる切欠きを考慮しない粗い要素分割のモデルあるいは，平板要素やはり要素によるモデル(図 11.8や図 11.9の例)でよい．
σp = Kmσm＋Kbσb (4)
σm = F/A
σb = M/Z
σp：応力集中部の最大応力, σm：直応力, σb：曲げ応力
F：合力, M：合モーメント, A：断面積, Z：断面係数
Km：直力に対する応力集中係数, Kb：曲げに対する応力集中係数
(5) 合応力と疲労強度減少係数による方法
特にクラック状の切欠きの場合，有限要素法で切欠き底の応力を求めることはかなり困難である．このような場合，疲労強度評価のためには応力を求めるのではなく，疲労強度減少係数を利用することが適切である．計算手順は (4) と同じ方法で，応力集中係数の代りに，疲労強度減少係数を用いればよい．もちろん，クラック状の切欠きの場合にかぎらず，応力集中係数の代わりに常に疲労強度減少係数を用いてもよい．疲労強度減少係数とは，切欠き付き試験片の疲労強度に対する，平滑試験片の疲労強度の比
であり，その疲労限度に対する値は切欠き係数と呼ぶ．疲労強度減少係数は，応力集中係数を上回らない．応力集中係数が形状のみに依存するのに対し，疲労強度減少係数は寸法効果 (構造寸法が小さいほど疲労強度が上昇)や延性 (塑性変形で疲労強度が上昇)などの影響を受ける．応力集中係数が大きいほど，両者の違いが大きくなる．よく使う疲労強度減少係数は，隅肉溶接部で 4，ねじ部で 4以上などである 3)．
(6) 応力集中部の形状を特定しにくい構造
溶接部のビード形状や溶け込み形状のように，形状が不確定な部位の応力集中の算出は，図面寸法からでは求められないし，現実の溶接部の寸法計測もかなり困難である．このような場合は，応力解析としては応力集中の原因である表面形状を無視した公称応力を求め，評価としてはそれに対応できる設計疲労曲線を用いる方法がある．公称応力の求め方としては，①評価点の合応力から応力を求める，②ホットスポット応力を
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214
第25章
材料力学と有限要素法
25.1 材料力学事初め
応力解析を想定した場合，有限要素法の基礎は材料力学である．したがって有限要素法を学んだり利用するに当っては，まず材料力学を学ぶ必要がある．その材料力学には内容豊富な教科書が沢山ある．しかし，有限要素法を正しく使うために必要な材料力学の範囲は，必ずしも広くない．材料力学の基本としてまず知る必要のあることは，荷重，変位(変形)，ひずみ，応力の言葉である．荷重は力，外力，負荷ともいわれ，機械・構造物がそれに耐える必要がある．荷重が作用す
ると，目に見えないほど小さいかもしれないが，機械・構造物はなにがしかの変形をする．その時の機械・構造物の各位置の移動量が変位であり，全体をとらえた表現が変形である．変位(変形)は固定点 (基準点)を 0とした相対的な値である．各位置における変位の度合を表すのがひずみである．このひずみに応じて材料内部に生ずる抵抗力，別ないい方をすれば，荷重に対応する材料内部の抵抗力が応力である (図 25.1)．
図 25.1 荷重・変位・変形・ひずみ・応力
以上のように荷重が存在すれば，変位，ひずみ，応力が存在するが，この 4者のうちの 1つが存在することは，他の 3つが存在することになる．この 4者を数式で関連づける学問が材料力学である．ただ，材料力学では荷重と構造が簡単な場合に限られる．一方，有限要素法では現実の複雑な機械・構造物に任意の荷重が加わった場合の，変位，ひずみ，応力を求めることができ，ひずみや変位を与えて応力を求めることもある．この有限要素法の適正な利用の橋渡しのためには，材料力学とその考え方は，非常に重要である．
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25.2 荷重 (load) 215
本章の範囲の続きとしての材料力学を学ぶには，小山信次，鈴木幸三：はじめての材料力学第 2版 (森北出版，2005)，渥美光，伊藤勝悦：やさしく学べる材料力学 第 2版 (森北出版，1999) などが適切であろう．
用語について
「荷重」は「作用」するまたは「負荷する」といい，「応力」と「ひずみ」は「生じる」または「発生する」という．「応力」が「作用する」は適切でない．口語では「荷重」も「応力」もよく「かかる」といっている．「ひずみ」は，変形による長さの変化を変形前の長さで割った値で，無次元量である．「ひずみ」は，長さの次元を持つ「変形」，「変位」，「たわみ」と混同してはいけない．物を見ながらひずみが大きいという多くは，ひずみは見えないので，変形の誤りである．変形や変位の一部のものは，口語で「伸び」，「縮み」，「曲がり」，「ずれ」などともいう．
25.2 荷重 (load)
荷重の記号は習慣的に F，P，W，M，T，f，p，q，w などを用いる．荷重は，力，外力，負荷などとも呼ばれ，次のように各種の分類ができる．
(1) 部材に生ずる応力に基づく分類引張荷重，圧縮荷重，曲げ荷重，せん断荷重，ねじり荷重
(2) 理論式で扱う荷重分類軸力 (N, kgf)，横荷重 (同左)，モーメント (N·m, kgf·mm)，トルク (同左)
(3) 荷重の分布状態による分類分布荷重 (等分布と不等分布)(N/m, kgf/mm),(N·m/m, kgf·mm/mm),(N/m2, kgf/mm2)
集中荷重 (分布荷重の範囲が相対的に狭い場合の近似)(N, kgf),(N·m, kgf·mm)
(4) 座標を基準とした一点の荷重の分類FX, FY, FZ,MX,MY,MZ
(5) 荷重の作用位置による分類表面力 (表面に作用)，物体力 (質量に作用，重力，遠心力，地震力など)
(6) 部材への荷重の加わり方による分類静荷重，動荷重 (変動荷重，繰返し荷重，交番荷重，移動荷重，衝撃荷重)
(7) 荷重の原因による分類自重，圧力荷重，水頭圧，浮力，ボルト締付力，遠心力荷重，地震荷重，風荷重，温度荷重，焼きばめ，圧入
材料力学では (1)，(2)が重要で，部材の中心軸に対し，どの方向に荷重が作用するかも表している．有限要素法では (3)～(5)が大切である．強度評価に関しては (6)，(7)と関連が深い．
(5)を除き，これらを図 25.2 に示す．同一の荷重が，様々に表現される．
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216 第 25章 材料力学と有限要素法
MY
FX
-FY
図 25.2 荷重
25.3 応力 (stress)
応力の記号は習慣的に σ (シグマ)，τ (タウ)，S などを用いる．
(1) 応力の定義
荷重に対応して部材内部に生ずる抵抗力が応力である．応力は，図 25.3 (a)に示すように，荷重を部材断面積で割った値で，単位面積当たりの力である．
応力 =荷重断面積
(1)
丸棒を引張るような場合は断面の応力は一様であるが，形状や荷重分布が複雑な一般的な場合は，断面の場所により応力の値が異なる．
F 2000 N
A 400 mm2
A 5 N/mm2
5 MPa
F1 F2
A1 A2
1 F1/A1
2 F2/A2
(a) (b)
F /
図 25.3 応力
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25.3 応力 (stress) 217
部材に例えば引張荷重を加え，その荷重を大きくして行くと，ついには部材が引きちぎれ (破壊し)てしまう．この判断の基礎となる値が応力である．応力が大きければ破壊しやすく，小さければ破壊しにくい．たとえいくら荷重が大きくても，応力が小さければ破壊しにくい．部材の破壊のしやすさ，あるいは強弱を比較するには，図 25.3(b)に示すように，荷重 F1, F2 の大小比較でなく，応力 σ1, σ2 の大小比較が必要である．鉄鋼材料が破壊する応力は，400～1000 MPa (40～100 kgf/mm2) である．したがって使
用状態の応力は 100～300 MPa (10～30 kgf/mm2)前後のことが多い．応力の単位は，MPa，N/mm2，kgf/mm2，kgf/cm2，tf/cm2 などが使われる．有限要素法では，構造，荷重，拘束，材料定数などが複雑な条件のもとでも，構造全体の応
力が計算できる．
(2)応力の種類
応力は部材断面に垂直方向に働く垂直応力 (直応力，引張応力と圧縮応力：σ)と，部材断面内 (接線)方向に働く接線応力 (せん断応力：τ)に分けられる．各種の応力を，図 25.4を用いて説明する．
(a) (b) (c) (d) (e)
図 25.4 応力の種類
同図 (a)：棒の両端に相等しい引張荷重を作用させた場合を考える．棒は釣合い状態にあって上下いずれにも動かない．これを中央で上下 2分してみると，その断面には断面に垂直な引張応力が発生している．引張荷重に対応する応力ということで引張応力と呼ぶ．どの垂直断面をとっても同様で，この引張応力を全断面積にわたり総和をすると引張荷重に一致する．
同図 (b)：荷重の向きが同図 (a)と逆の場合は圧縮荷重と呼び，発生する応力は断面に垂直な圧縮応力となる．圧縮応力は一般的に−の符号を付けて表現する．
同図 (c)：曲げ荷重 (モーメント)が作用すると曲げ応力 (断面全体でとらえた表現で，断面の各部では引張応力と圧縮応力)が発生する．
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218 第 25章 材料力学と有限要素法
同図 (d)：せん断荷重が作用するとせん断応力が発生する．このせん断応力は断面にわたり一様ではなく，断面中央付近で最大となり，周辺では 0である．
同図 (e)：ねじり荷重 (トルク)が作用するとねじり応力 (断面全体でとらえた表現で，断面の各部ではせん断応力)が発生する．このせん断応力は断面にわたり一様ではなくねじりの中心で 0である．
有限要素法では，要素断面の垂直応力 (+が引張応力で −が圧縮応力)とせん断応力が計算される．はり要素や板要素では，応力でなく合応力 (合力と合モーメント)が計算される．合力は断面積で割ると垂直応力や接線応力が，合モーメントは断面係数で割ると曲げ応力やねじり応力が求められるものである．
(3) 1点の応力
任意の荷重が作用する物体内に点Oをとり，そこを原点とする直交座標系 x, y, z を考える．点 Oにおける i方向 (x, y, z のいずれか) の応力を σi，i面 (i軸に直角な面)に生じる j 方向(iと異なる x, y, z のいずれか)の応力すなわちせん断応力を τij で表すと，点Oに生じる全応力は，3軸応力状態の場合 σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx となる．図 25.5には，点 Oを立方体に拡大してこれらの応力を示した．なお，τij は τji に大きさが等しい．
z
y
x
σz
σy
σx
τyx
τ
τzyτzx
yz
ττxz
τxyτO
図 25.5 1点の応力
点 Oを原点とする別の直交座標を考え，原点回りで回転させると，点 Oのせん断応力 τ がすべて 0となる方向がある．その方向の座標軸を主応力軸と呼び，その時の垂直応力を主応力と呼ぶ．主応力は 3個あり，一般に σ1 � σ2 � σ3 で表す．この主応力から材料の降伏や破断と関連づけられる相当応力 σe が求められ，これにはミー
ゼス応力 σM やトレスカ応力 σT がある．以上を応力の変換と呼び，具体例を表 25.1(23章表 23.3に同じ)に示す．例えば，薄い板を面内力で引張るような場合，板面に垂角な方向の応力はどこも 0である．
このように，考えている点の主応力 σ1, σ2, σ3 の中の 1つ，例えば σ3 = 0の時，その点は 2軸応力状態 (この場合は平面応力状態ともいう)にあるといい，3軸応力状態に比べ応力の表示は簡単になる．軸対称の場合は 3軸応力状態の特殊な場合で，やはり応力の表示は簡単になる．
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25.4 ひずみと変位 (strain & displacement) 219
表 25.1 応力の変換
構 造 応 力 主応力 角度 相当応力3次元体2次元平面軸対称体
σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx
σx, σy, τxy
σr, σθ, σz, τrz
σ1, σ2, σ3, θ1, θ2
σ1, σ2, θ1
σ1, σ2, σθ, θ1
σM , σT , · · ·σM , σT , · · ·σM , σT , · · ·
変 換 式
σ1
σ2
}=
σx + σy
2±√(σx − σy
2
)2
+ τ2xy (2次元)
θ1 =1
2tan−1 2τxy
σx − σy(2次元)
σM =
√1
2
((σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)2 + (σ3 − σ1)2
)
σT =1
2|σ1 − σ3| または, |σ1 − σ3|
25.4 ひずみと変位 (strain & displacement)
ひずみの記号は習慣的に ε (イプシロン)，γ (ガンマ)，変位の記号は δ (デルタ)，u，v，w
を用いる．荷重が作用すると部材が変形する．この変形をひずみと変位とで説明する．図 25.6 で，一様断面の部材 Aに荷重 F を作用させ，変形した状態を A’とする．a点は変
形後 a’点になったとすると，この点の変位は a’点と a点の差 δa mmである．b点は変形後b’点になったとすると，この点の変位は同様にして δb mmである．もし，b～c間が a～c間の 1/3とすると，変位の大きさも 1/3となる．すなわち δb = 1/3 δa となる．このように長さ方向の変位は一様ではなく，この場合は直線的に変化する．
A A’
a
b
δ a
δ b
La
Lb
F
c
a
b
’
’
図 25.6 ひずみと変位
ひずみはもとの長さに対する変位量の割合である．a～c間のひずみは，a～c間の長さ La に対する変位量 δaの割合で δa/Laで表される (単位はない)．b～c間のひずみは同様に δb/Lbで表される．一般には，Lを微小長さにして考える．
F という荷重で一様に引張られている部材Aでは δa/La も δb/Lb も同一で，ひずみは棒のいたる所で一様である．断面が一様でないか，材質が不均質であると，物体内でひずみは一様とはならない．
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220 第 25章 材料力学と有限要素法
変位は，決めた座標系に従って x軸方向変位，y軸方向変位，z軸方向変位がある．広義にはx軸回り回転，y軸回り回転，z軸回り回転が含まれる．ひずみは，引張荷重・圧縮荷重に従って生ずる縦ひずみ，それと同時に縦ひずみと直角方向に生ずる横ひずみ，せん断荷重に伴って生ずるせん断ひずみがある．縦ひずみと同時に生ずる横ひずみは，縦ひずみより小さく逆符号であり，ポアソン比と関係
する．これについては 25.6節の弾性係数で述べる．
25.5 応力とひずみの関係
部材に荷重が作用すると，応力とひずみ (と変位)が生ずることは既に述べた．この応力とひずみの間には，材料により固有の関係がある．この関係は応力ひずみ図として表現でき，図25.7 のようになる．
0.2%
( )( )
0 ( )
C
B1 D
B2A
(a)
σu
σy
σy
(b)
( )
図 25.7 応力ひずみ図
同図 (a)は軟鋼の丸棒を引張った例で，荷重を 0から次第に増加させ，丸棒が破壊するまでを示している．縦軸は荷重をもとの断面積で割った応力，横軸は変位 (伸び)をもとの長さで割ったひずみである．もとの断面積ともとの長さは一定であるから，縦軸は荷重，横軸は変位と考えてもよく，その方が分かりやすいかもしれない．その場合は荷重変位図となる．
A点を比例限度あるいは弾性限度 (厳密には両者は異なる)と呼び，この点以下で荷重を除くと 0点へ戻り，生じていたひずみが完全に 0となる．
B1，B2 点は材料の降伏点 (σy：yield point)と呼び，荷重のわずかな増加でひずみが急激に増加し出す点である．軟鋼では図に示すように，上降伏点 (B1)と下降伏点 (B2)がある．
C点は応力が最大となる点で，材料の引張強さ (σu：ultimate strength)を示す．D点はネッキング (くびれ)した後の破断点である．同図 (b) は，ステンレス鋼，銅，アルミニウム，鋳鉄のように，降伏点が明確でない材料の
例である．この場合，降伏点の代わりに 0.2％耐力の値がよく使われる．0.2％耐力とは，除荷した場合に 0.2％の永久ひずみを残す応力のことで，0.2％耐力までは応力とひずみが近似的に比例関係にあると考えて扱う．鉄鋼ではσuが400～1000 MPa (40～100 kgf/mm2)，σyが200～800 MPa (20～80 kgf/mm2)
である．機械部品としては一般に σy を越える応力は好ましくない．
main : 2006/4/27(16:40)
25.6 弾性係数 221
25.6 弾性係数
各種の弾性係数の記号は習慣的に E，G，ν (ニュー)，mを用いる．応力の値が材料によって定まるある値以下 (弾性範囲)の場合，図 25.7(a)に示したように，
応力とひずみの比は材料の種類に依存する一定値をとる．これを実験的に確かめた人の名前をとって，この関係をフックの法則と呼ぶ．一定値のことを弾性係数と呼び，引張・圧縮応力と縦ひずみの比が縦弾性係数 (ヤング率：E)であり，せん断応力とせん断ひずみの比が横弾性係数 (せん断弾性係数：G)である (図 25.8)．これらは材料に固有の値であり，有限要素法で求めるものではない．
応力ひずみ
= 一定 (弾性係数) (2)
E =σ
ε, G =
τ
γ: σ = Eε, τ = Gγ (3)
F
F
t
F
A
1
2
B
A
σ =F
Aε1 =
δ1
Lε2 =
−δ2
Bτ =
F
Aγ =
δ
t
σ = Eε1 ν = −ε2/ε1 τ = Gγ
図 25.8 弾性係数
以上は単軸応力状態の場合であるが，2軸応力状態では後に述べるポアソン比 ν も関係し，次式となる (応力とひずみの関係)．
σx =
E
1− ν2(εx + νεy)
σy =E
1− ν2(νεx + εy)
εx =σx
E− ν
σy
E
εy =σy
E− ν
σx
E
(4)
同じ応力でも E が大きければ，E が小さい材料に比べひずみは小さく，同じひずみでも E
が大きければ，E が小さい材料に比べ応力は大きくなる．同一直径の軟鋼とアルミニウムの棒を同一の力で引張ると，生じる応力は両者同一であるが，
ひずみと変位はE の小さいアルミニウムの方が大きくなる．この場合，E は生じるひずみと変位の大小を決めているが，応力には関係していない．各種金属材料の E の値を示す．E は温度の上昇と共に低下する傾向を持つ．
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267
索 引
［あ 行］
アスペクト比 40
アダプティブ法 210
圧縮応力 217
圧縮荷重 215
厚肉要素 66, 71
圧 力 191
圧力容器 76, 79, 84, 120
安全率 225
板 222
板構造 28, 65
板としての特性 67
板曲げ要素 65
板要素 65, 77
板要素の適否 66
1次応力 190
一般 3次元体構造 89
一般 3次元体要素 39, 40, 89
移動荷重 215
異方性 134, 136, 147
異方性板 71, 137, 138
薄肉膜応力 76, 84
薄肉要素 66, 71
遠心力 191
延性破壊 12
応答スペクトル解析 143, 144
応答値 151
応力 5, 33, 216
応力解析書 205
応力指数 98
応力集中 73, 91, 108, 112, 114, 241
応力集中係数 113, 223, 243
応力集中部 240, 248
応力集中部の要素分割 110
応力除去 242
応力塗膜試験法 176
応力の変換 218
応力ひずみ関係 50, 168, 193
応力ひずみ図 220, 241
応力評価 186
応力分類 190, 191, 193
応力変動範囲 196
大たわみ 172
音 9
オフセット 60
重み付き分割 40
［か 行］
解決手段 21
解析による設計 188, 193
解析目的 23
解析領域骨組構造 56
板構造 67
シェル構造 79
一般 3次元体構造 90
配管構造 98
応力集中部 109
対称性のある構造 128, 129, 131
振動解析 143
熱伝導解析 155
熱変形熱応力解析 163
外挿 204
学習計画 16
荷重 215
荷重データ 31
荷重のモデル化 48
荷重変位図 220
荷重履歴 168, 195
風 191
がた 174
楽器 9
上降伏点 220
慣性モーメント 258
完全拘束 44
感度解析 210
機械的荷重 191
規則による設計 187, 193
逆対称問題 129, 157
main : 2006/4/27(16:40)
268 索 引
ギャップ要素 133
境界要素法 11
強軸 59, 63
共振 9, 150, 151
強制変位 191
強度計算書 205
強度評価 12, 186
強度理論 188, 189
極慣性モーメント 258
局所座標系 31
局部振動 145
曲面要素 39, 40, 66
許容応力 192, 225
許容変位 225
金属組織試験 182
くせ 42, 210
口閉じ 132, 135
口開き 132, 135
屈伏座屈 171
組合せばり 61, 246
クラッド鋼 118
クラッド材 118, 119
クリープ 170
繰返し回数 196
繰返し荷重 215
計算請負会社 22
計算機 15
計測 180
限界長さ 77, 84, 233, 234
減衰 143, 147
減衰定数 148, 149
減衰比 149
合応力 33, 218
荷重 48
骨組構造 63
板構造 67, 71
シェル構造 78
応力集中部 113, 116
構造異方性 136, 138
実験応力解析 177
剛結合 235
交差板構造 69
シェル構造 81, 83
熱伝導解析 155
応力表示 204
高サイクル疲労 198
格子状骨組 137–139
公称応力 63, 190
高次要素 41
構造データ 30
構造のモデル化 37
拘束条件 43
拘束データ 30
拘束点反力 33
拘束の分類 47
剛塑性 168
剛体 222
剛体移動 44, 79
剛体回転 44
剛体変位 44
剛体要素 58, 83
光弾性試験法 176
交番荷重 215
降伏点 192, 220
降伏ひずみ 192
合モーメント 58, 218
合力 58, 218
誤差 149, 180, 186, 206, 208
ゴム 173
固有周期 9
固有振動 9
固有振動解析 142, 144
固有振動数 150, 232, 236
固有振動モード 146, 151
コールドスプリング 101
コンター図 203
［さ 行］
最大主応力 188, 240
最大主応力説 189
最大主ひずみ説 242
最大せん断応力 240
最大せん断応力説 189
最適設計 210
材料定数 26, 50, 237, 249
材料データ 31
材料分析 182
材料力学 214
座屈 171, 237, 238
座屈強度 126
座標系 31
サンブナンの原理 116
3角形 41
3角形要素 66
3軸応力状態 218
main : 2006/4/27(16:40)
索 引 269
3次元体 222
残留応力 125, 126, 191, 242
シェークダウン 125, 178, 193, 241, 242
シェル 78, 222
シェル構造 28, 76
シェルとしての特性 78
4角形 41
4角形要素 66
軸 222
軸対称構造 76
軸対称シェル 76
軸対称シェル要素 39, 40, 77
軸対称体要素 40, 90
軸力 215
事故解析 181
事故解析書 205
時刻歴応答解析 143, 144
事故処理 20, 151
事故事例 18
自重 191
地震 191
地震応答 143
実験的応力解析 176
質量 147
質量異方性 147
質量慣性モーメント 146, 258
質量と力 49
自動分割 38
下降伏点 220
弱軸 59
ジャケット管 102
周期対称条件 46
周期対称問題 131, 157
修正グッドマン線図 197
修正マックニール チャート 159, 161, 166
集中荷重 48, 215
集中質量 146
自由度 46
主応力 179, 218
主応力差 176, 190, 195, 196
主応力図 33, 202
出力 32
試用 17
衝撃荷重 215
ショートケーキモデル 77, 85, 129
初期ひずみ 164, 166, 191
初期不整 171, 172, 179
自励振動 10
伸縮継手 102
振動解析 142
振動計算用データ 31
振動現象 9
振動モード 9
垂直応力 217
数値解析法 10
すきま 174
すきま要素 133
スキンストレス 165
筋交い 60
スタンプ圧 95
ステップ変化 157, 160
スパンポイント 59
滑り 46, 132, 135
ズーミング法 47, 112, 115
静荷重 215
正規化 151
精度要素 41, 42, 56, 66 振動数 149
積分点 33
設計疲労曲線 114, 197, 224
接合部 58
接触 173
接触面 132
接触問題 133
接触要素 132–134
接線応力 217
接続部 79
節点座標系 45
全体座標系 31, 59, 202
洗濯機 9
せん断応力 217
せん断荷重 215, 220
せん断ひずみエネルギー説 189
せん断変形 61, 66, 71, 228
せん断面積 55, 57, 257
扇風機 7
線膨張係数 50, 164, 250
相当応力 189, 195, 196, 218
塑性 168
ソリッド要素 39, 40, 89
ソルバー 14, 18, 200
損失係数 149
［た 行］
対称軸上節点 80
main : 2006/4/27(16:40)
270 索 引
対称性 47, 127, 146, 177
対称問題 129, 157
対数減衰率 148, 149
大変位 172, 230
大変形 173
対辺等分割 40
ダイヤルゲージ 180
対流熱伝達 7
タイル張り 66
楕円鏡 85
楕円管 172
縦弾性係数 221, 237, 250
縦ひずみ 220, 222
縦横比 40, 68
多点拘束 45, 73, 83, 131
タービン動翼 92
たわみ係数 98
単位系 31, 147, 158, 259
弾完全塑性 192
弾性挙動 178
弾性係数 221
弾性限度 169, 220
弾性体 222
弾性床上ばり 77
弾塑性 168
担当者 24
断熱面 155
暖房器具 7
断面係数 55, 257
断面性能 55, 223, 256
断面積 55
断面 2次モーメント 55, 257
力制御 191
中間支持構造 99
中間点 41, 66, 90, 111
中空軸 232, 236
中実軸 232, 236
中立軸 62
中立面 67, 78, 93, 194
超弾性 173
調和応答解析 143, 144
直応力 217
追従力 174
使い込み 17
使い分け 243
釣合い 169, 172
抵抗線ひずみゲージ 176
低サイクル疲労 198
定常熱伝導 154
定ひずみ要素 41
テストピース 239
データブック 244
鉄塔 6
テーパ円筒 84
テーパばり 55, 61
動荷重 215
等価節点荷重 48
等高線図 203
特殊なばね 174
飛移り座屈 171
トラス 40, 46, 59, 194, 235
トラス要素 39, 54
トルク 215
トレスカ応力 188, 202, 218, 240
トレスカの説 189
［な 行］
内外挿 203
内外面応力 203
2次応力 190
2軸応力状態 218
二重管 100, 102
入力 30
入力の検討 32
入力ミス 186, 207
ねじり荷重 215
ねじり係数 55, 103, 257
熱 7
熱応力 101, 163, 224
ネッキング 169, 220, 239
熱伝達係数 155, 156
熱伝導 7
熱伝導解析 154
熱伝導計算用データ 31
熱伝導率 250
熱の物理量 158
熱ひずみ 191, 224
熱変形 224
熱変形熱応力 8
熱変形熱応力解析 164
粘性減衰係数 149
［は 行］
配管構造 28, 97, 144
main : 2006/4/27(16:40)
索 引 271
配管要素 39, 40, 97
バイメタル 8, 118, 120
柱 222
破損 12
破損形態 187, 225
パターン 40
八面体せん断応力説 189
ばね支持 44
ばね要素 174
破面 182, 183
破面解析 182
はり 222
はりとしての特性 57
はり要素 39, 40, 54, 56, 60
半楕円鏡 84
ピーク応力 190
比重 250
ひずみ 33, 219
ひずみゲージ 176, 177
非線形 18, 50
非線形解析 168
非線形性の分類 169
非線形ばね 175
ピッチ角 131
引張応力 217
引張荷重 215
引張試験 168
引張強さ 193, 220
非定常熱伝導 8, 154, 156, 157, 165
比熱 250
評価 186
評価応力 195
表面力 215
ビール缶 6, 171, 173
比例減衰 149
比例限度 169, 220
疲労強度 195
疲労強度減少係数 113, 125
疲労曲線 198, 224
疲労限度 198
疲労破壊 223
疲労破面 183
ピン結合 46, 235
ピン支持 44
品質保証 19, 205
付加質量 98
負荷順序 168
複合要素構造 62, 72, 93
ふく射 7
部材の合成 61
フックの法則 221
物体力 14, 215
ブランコ 9
ブーリアン演算 29
フリーメッシュ 38, 40
プリプロセッサ 14, 17, 26, 200
プリポストプロセッサ 14, 19, 200
プリミティブ 29
不連続部 79, 82, 84
不連続力 79
プログラム 14, 19
プログラム導入 14
分岐座屈 171
分布荷重 48, 215
分布質量 146
平均応力 196
平均線膨張係数 251
平面応力要素 65
平板要素 39, 40, 65, 77
平面応力状態 218
平面ひずみ要素 90, 123
平面ひずみ要素を用いる構造 92
ヘルツの式 134, 248
ベローズ 102
変位 33, 219
変位関数 209, 226
変位分布 226
変形 219
変形図 33, 56, 201
変形制御 191, 241
変形様式 246
偏心ばり 60, 69, 71
ベンダー 15, 19
変断面ばり 55, 61
変動荷重 215
変動範囲 190
ポアソン比 167, 173, 222, 242, 250
棒 222
報告書 36, 205
放射 7, 169
法線方向 70
棒要素 39, 40, 54, 56, 59
補強材付きシェル 83
補強材付き板 70
ポストプロセッサ 14, 18, 200
骨組 222
main : 2006/4/27(16:40)
272 索 引
骨組構造 28, 54, 144
［ま 行］
マイナーの仮説 197
曲がった板 72
曲がりはり 62, 229
膜応力 76, 84, 203
曲げ荷重 215
曲げ変形 228
摩擦 132, 174
摩擦係数 134, 135
マージ 30
マックニール チャート 157, 159
マネージャ 18, 23
短い部材 57, 58
ミーゼス応力 188, 202, 218, 240
ミーゼスの説 189
メッシュレス法 211
目安要素分割寸法 42
はりの形状 57, 58, 61
熱伝導解析 156, 157, 159
熱変形熱応力 167
面外変形 138
面内変形 137
モード応力 151
モード図 56, 201
モード数 149
モーメント 215
［や 行］
焼きばめ 166
ヤング率 221
有限差分法 11
有限体積法 11
有限ひずみ 173, 231
有限要素法 6, 11, 14, 226
有限要素法の概論 225
有限要素法の効果 20
用語 215
要所 28
溶接形状 124
溶接シミュレーション 126
溶接部 122, 242
要素 38, 40
要素座標系 32, 59, 70, 202
要素の厚さ 69, 82
要素の選択 37
要素の縦横比 40
要素の表裏 30
要素の向き 59, 70
要素分割 38
骨組構造 56
板構造 68
シェル構造 81, 234
一般 3次元体構造 91
応力集中部 110
振動解析 144
熱伝導解析 156
要素分割数の上限 42
要素分割寸法の目安 42
要素分割のパターン 40
横荷重 215
横倒れ座屈 63
横弾性係数 221
横ひずみ 220, 222
［ら 行］
ライニング材 118, 119
ラーメン 40, 47, 59, 194, 235
ラーメン要素 39, 54
力学的検討 228
立体要素 89
理論解 17, 36, 111, 209
臨界減衰係数 149
リング要素 39, 40, 90
累積被害率 197
レール 8
［英 数］
0.2％耐力 220
h法 210
LC 77, 233, 234
p法 210
R/t 78√R · t 42, 77, 81, 84, 233
r法 210
S-N曲線 224
t/T 83
main : 2006/4/27(16:40)
著者略歴
岸 正彦（きし・まさひこ） 1963 年 横浜国立大学工学部機械工学科 卒業 三井造船株式会社 (玉野) 化工機設計部 1972 年 三井造船株式会社玉野研究所 1977 年 工学博士 (東京大学)
1991 年 三井造船株式会社 (東京) CAE センター長 1998 年 株式会社三造試験センター (玉野) 技師長現在に至る．
著書 (共著)
JIS 圧力容器—解釈と計算例，日本規格協会 (1978)
機械のための有限要素法入門，オーム社 (1983)
NASTRAN for Windows すぐれものマニュアル，日本エムエスシー (1998)
e-CAE「構造解析」CD-ROM，日本エムエスシー (2000)
構造解析のための有限要素法実践ハンドブック c©岸 正彦 2006
2006 年 5 月 30 日 第 1 版第 1 刷発行 【本書の無断転載を禁ず】
監 修 者 非線形 CAE協会著 者 岸 正彦発 行 者 森北 肇発 行 所 森北出版株式会社
東京都千代田区富士見 1–4–11(〒 102–0071)
電話 03–3265–8341 ／ FAX 03–3264–8709
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