学部卒業研究 ミューオンの寿命の測定 - 東京工業大学...学部卒業研究...
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学部卒業研究
ミューオンの寿命の測定
東京工業大学 理学部 物理学科 柴田・陣内研究室 三瓶恭佑
平成 22年 2月 24日
要旨
本研究では、基本的な素粒子測定技術の習得と弱い相互作用について学ぶことを目的として、ミューオンの寿命測定を行った。一次宇宙線は陽子や原子核である。しかし、地球大気中の原子核と衝突をしてシャワーが発生し、地表に到達する際には宇宙線の大部分はミューオンになる。このミューオンを用いて研究を行った。ミューオンの崩壊は弱い相互作用であり、W ボソンの交換により生じている。弱い相互作用は文字通り相互作用が弱いため理論が確立するのに時間がかかったが、1983年にW±とZ0ボソンが実験で確認されたことで標準理論として確立した。 宇宙線ミューオンをプラスチックシンチレーター中に静止させることによってミューオンの寿命を測定した。プラスチックシンチレーターを 3枚重ね合わせ、真ん中の厚さ10 cmのプラスチックシンチレーターに静止させた。プラスチックシンチレーターの厚さ 10 cmでは運動エネルギーが約 50 MeV以下のミューオンが止まる。ミューオンが静止してから崩壊するまでの時間差を測定するために、時間差を波高として出力するTAC
（時間差-波高変換器）とADCを使用した。65000秒間、即ち 18時間測定した。ミューオンの寿命測定を行うのに先駆けて、時間差とADCのチャンネル数の較正を行った。[時間差 (µs)] = 0.0207[チャンネル数]− 0.0151という結果を得た。この値をもとにミューオンの寿命を決定した。測定の結果、ミューオンの寿命τは (2.08 ± 0.36) × 10−6 sとなった。3つのパラメーターでフィットし、フィットする際に生じたパラメーターの誤差について検討した。具体的には、各パラメーターと χ2の関係を調べた。パラメーター同士の相関を考慮して算出された誤差と、2つのパラメーターを固定し 1つのパラメーターのみを動かした場合の誤差を比較した。本研究では寿命の誤差が約 20％であるのに対し、µ+と µ−の寿命の差は約 8％であり測定誤差の範囲内であった。最後に、測定したミューオンの寿命をもとにして、フェルミ定数を算出したところ、
Gµ
(h̄c)3= (1.20± 0.1)× 10−5 (GeV)−2となった。
1
目 次
第 1章 序論 7
1.1 弱い相互作用の理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 β崩壊 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
第 2章 ミューオンの性質 12
2.1 宇宙線ミューオン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 ミューオン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 ミューオンの崩壊からの電子ないし陽電子のエネルギー . . . . . 14
2.2.2 ミューオンの寿命 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
第 3章 ミューオンと物質の相互作用 17
3.1 エネルギー損失 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 飛程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
第 4章 測定装置 21
4.1 シンチレーションカウンター . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1.1 プラスチックシンチレーター . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1.2 光電子増倍管 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 NIMモジュール . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2.1 Discriminator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2.2 Coincidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2.3 Delay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2.4 TPHC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2.5 ADC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2.6 MCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
第 5章 測定 24
5.1 TACを用いたADCの較正 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.1.1 実験 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.1.2 測定器の配置、各種設定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.1.3 測定結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.1.4 解析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.2 宇宙線ミューオンの寿命測定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2
5.2.1 実験 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2.2 測定器の配置、各種設定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2.3 測定結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2.4 解析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.2.5 誤差の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3 µ+と µ−の寿命の差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
第 6章 結論と今後の課題 48
3
図 目 次
1.1 フェルミ理論による β崩壊 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 湯川型の β崩壊 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 標準理論による β崩壊 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 β−崩壊のファインマン図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 β+崩壊のファインマン図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1 宇宙線の生成機構 [19] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 µ−、µ−の崩壊のファインマン図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 µ−捕獲のファインマン図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1 物質中でのエネルギー損失 [18] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 ミューオンのプラスチック中での飛程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 ミューオンのプラスチック中での飛程 (縦軸を拡大したもの) . . . . . . 19
3.4 ミューオンのプラスチックシンチレーター（断面図） . . . . . . . . . . . 20
4.1 測定に使用したTAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.1 較正の回路図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.2 測定結果 (ADC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.3 時間差とチャンネル数の較正 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.4 プラスチックシンチレーターと光電子増倍管のセットアップ . . . . . . . 27
5.5 TACのスタート信号をつくるタイムチャート . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.6 ミューオン寿命測定の回路図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.7 検出器の配置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.8 ミューオンの寿命測定の結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.9 ミューオンの寿命の測定結果 (縦軸を拡大したもの) . . . . . . . . . . . . 31
5.10 フィットの結果（2.5µs～10.45µs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.11 ミューオン寿命の測定結果 (片対数) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.12 フィット結果 (片対数) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.13 p0の誤差の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.14 p1の誤差の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.15 p2の誤差の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.16 p0の誤差の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4
5.17 p1の誤差の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.18 p2の誤差の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.19 異なるAの値における χ2と p1の関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.20 µ+とµ−の崩壊数の関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.21 µ+とµ−の崩壊数の関係 (片対数) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5
表 目 次
5.1 ROOTを用いた計算値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2 計数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.3 誤差の比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.4 ROOTを用いた計算値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.5 誤差の比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.6 p1の誤差の比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.7 ROOTを用いた計算値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.8 µ+と炭素中でのµ−の崩壊数の比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6
第1章 序論
本研究の目的は、宇宙線ミューオンの寿命の測定を通して基本的な素粒子測定技術の習得をすること、弱い相互作用について学ぶことである。厚さ 10 cmのプラスチックにミューオンを静止させ、崩壊したミューオンから放出される電子ないし陽電子を光電子増倍管を介して電気パルスにし、TAC(時間差-波高変換器)を使い、ミューオンが静止してから崩壊するまでの時間差を測定する。一次宇宙線は陽子や原子核であるが、地球大気中の原子核と衝突をして中間子が生成する。その中間子が崩壊し、地表に到達する際には宇宙線の大部分はミューオンになる。このミューオンを用いた。 検出方法としては、プラスチックシンチレーションカウンターを用いる。シンチレーションカウンターによる測定は、荷電粒子が通過することにより生じる発光現象を利用した検出方法である。プラスチックシンチレーターは発光継続時間が非常に短いのが特徴である。本研究では、プラスチックシンチレーターを 3枚用いる。真ん中の分厚いプラスチックシンチレーターで静止したミューオンを用いた。データは 65000秒間、即ち 18
時間測定し PCに取り込んだ。3つのパラメーターをもつ崩壊曲線でフィットし、フィットする際に生じたパラメータの誤差について検討した。パラメータ同士の相関を考慮して算出した誤差と、2つのパラメーターを固定し 1つのパラメーターのみを動かした場合の誤差を比較した。次いで、ミューオンの寿命をもとにして、フェルミ定数を算出した。
1.1 弱い相互作用の理論弱い相互作用は原子核の β崩壊で発見された。β崩壊では β線つまり電子のもつエネルギーが連続分布するのみならず、他に余分な粒子が放出される兆候がみられなかった。すなわち、エネルギー保存が破れているようにみえた。W. A. Pauliは 1931年に、このエネルギーを持ち去る粒子としてニュートリノ仮説を唱えた。1935年にE. Fermiがこれを取り入れて最初の弱い相互作用の理論を提唱した。この理論は当時よく知られていた電磁相互作用の類推でつくられたものであり、時空四次元空間の一点において、4個のフェルミ粒子が直接に相互作用するとしたものである。これを 4-フェルミ相互作用という。
7
図 1.1: フェルミ理論による β崩壊
弱い相互作用の型は β崩壊のときに放出される電子とニュートリノの角度相関実験によって、ベクトル型と軸性ベクトル型が必要だということが分かった。各種の角度分布を測定することにより、軸性ベクトル型の結合定数はベクトル型の結合定数の 1.25倍であり、相対的に異符号であることが分かった。これをV-A相互作用という。フェルミ相互作用は、β崩壊のみならず原子核による µ−の捕獲や、µ粒子の自然崩壊にも適用できる。これら 3現象において、それぞれの結合定数がほぼ同じであることが 1948年以降G.
Puppiなどによって指摘されてをり、相互作用の型はいずれもV-Aであることが確かめられている。これを弱い相互作用の普遍性という。1935年湯川秀樹は、核力が π中間子によって媒介されるという中間子論を提唱した。この論文において、核子とレプトン間に中間子が交換されることによって、β崩壊が起こるという提案をした。これを湯川型の β崩壊という。湯川秀樹の考えは拡張され、現在では、質量が極めて大きいWボソンが交換されることにより、弱い相互作用の諸現象が起こると理解されている。1983年の、W ボソンとZ0
ボソンの発見によって弱い相互作用の標準理論は確立した。
8
図 1.2: 湯川型の β崩壊
図 1.3: 標準理論による β崩壊
9
1.2 β崩壊前述した β崩壊についてさらに詳しく述べる。β崩壊では、質量数を保存しながら原子量Zと中性子数N が 1だけ変化する。原子核の β−崩壊では、核内にある中性子が陽子と電子と反ニュートリノに崩壊する。質量数Aと原子量Zの変化は、
(A,Z)→ (A,Z + 1) + e− + νe (1.1)
のように表わされる。これを素過程で表わすと
n→ p+ e− + νe (1.2)
となる。
図 1.4: β−崩壊のファインマン図
これとは逆に陽子が中性子に変わる β+崩壊がある。この崩壊は
(A,Z)→ (A,Z − 1) + e+ + νe (1.3)
のように表わされ、素過程ではp→ n+ e+ + νe (1.4)
と書くことができる。
10
図 1.5: β+崩壊のファインマン図
11
第2章 ミューオンの性質
2.1 宇宙線ミューオン
図 2.1: 宇宙線の生成機構 [19]
宇宙線とは、宇宙空間から飛来する放射線で、1911年にHessによって発見された。最もエネルギーの高いものは 1020 eV以上に及ぶ。宇宙線がいつ、どのような場所で加速されたのか、その起源については未だ完全には解明されていない。地球大気に入射する宇宙線を一次宇宙線と呼ぶ。一次宇宙線は陽子や原子核である。これが地球大気中で、大気中の原子核と衝突して原子核を破壊するとともに、多くの中間
12
子を生成する。地球大気中で発生したこれらの粒子を二次宇宙線と呼ぶ。二次宇宙線は多種多様な成分からなり、直接に核衝突現象から飛び出してくる核子や中間子のほかに、中間子が飛行中に自然崩壊して転化する粒子も含まれる。一次宇宙線は大気中での衝突により急激に減少するので、地上に到達するほとんどが二次宇宙線である。
宇宙線ミューオンは二次宇宙線である。π中間子、Ｋ中間子が次のように崩壊することによって生成したものである。
π+→μ+ +νμ (2.1)
π−→μ− +νμ (2.2)
K+→μ+ +νμ (2.3)
K−→μ− +νμ (2.4)
地上には宇宙線としてミューオンが降り注ぎ、1 cm2あたり毎分 1個程度である。本実験では 144 cm2のプラスチックシンチレーターを用いるので観測されるミューオンは毎分 144個程度、即ち毎秒 2個程度である。
2.2 ミューオンミューオンはレプトンの一種である。質量mμ = 105.658369± 0.000009 MeV [7]、スピンは 1/2、電荷±1に応じて µ+、µ−と書く。
ミューオンの主な崩壊は
µ−→ e− +νe + νµ (2.5)
µ+→ e+ + νe +νµ
である。
13
図 2.2: µ−、µ−の崩壊のファインマン図
2.2.1 ミューオンの崩壊からの電子ないし陽電子のエネルギー
エネルギーと運動量の保存則から、
mµc2 = mec
2 +mνc2 +mνc
2 + Ee + Eν + Eν (2.6)
0 =−→Pµ =
−→Pe +
−→Pν +
−→Pν (2.7)
式 (2.7)はベクトルの各成分についての挙式であるから実際は 3つの式である。したがって、運動学的な条件の式は全部で 4つである。これに対し未知数は、Ee、Eν、Eν、
−→Pe、
−→Pν、−→
Pν の12個である。条件としては、各粒子についてアインシュタインの関係式E2 = p2+m2
が成り立つ。しかし、式に比べて変数が多いので、電子のエネルギーは一意的には決まらない。この場合エネルギーは 0から極大値まで分布する。極大値は
Ee =(mµ −me)
2 − (mν −mν)2
2mµ
・c2 (2.8)
である。Eeは 0～55MeVに分布する。
14
2.2.2 ミューオンの寿命
ミューオンの真空中での寿命
ミューオンは弱い相互作用により崩壊する。この際、時刻 tまでに崩壊したミューオンの数Ndecay(t) は、元のミューオンの数N0 に対して崩壊公式
Ndecay(t) = N0(1− e−t/τ) (2.9)
に従う。ここで、崩壊幅 ΓはV-A 理論により [1]
Γµ =h̄
τ=
G2
192π3(h̄c)6・(mµc
2)5・(1 + ϵ) (2.10)
フェルミ定数： G(h̄c)3
= 1.16637× 10−5 [(GeV )−2]
寿命：τ
粒子の質量：mµ
高次の過程 (輻射補正)や位相空間の影響を考慮するための補正項：ϵ
で与えられる。このmµにミューオンの質量 [7]
mμ = 105.658369± 0.000009MeV (2.11)
を代入すると Γµ = 2, 996× 10−10 [s−1]であり、
τ = (2.19703± 0.00004)× 10−6 s (2.12)
となる。
ミューオンの物質中での寿命
正ミューオン、負ミューオンがそれぞれが物質中で起こす相互作用について述べる。
a) 正ミューオン
正ミューオンは、物質中で単独で存在するものと、ミューオニウムを形成するものとがある。ミューオニウムとは、正ミューオンが物質中の電子を捕獲しあたかも原子核のように振る舞うものである。しかし、どちらの場合でも正ミューオンはその後陽電子へと 100％崩壊する。そのため、寿命には影響は与えない。
b) 負ミューオン
15
負ミューオンは物質中の原子核に捕獲され、K殻の電子と置き換わりミューオン原子を形成する。この場合、原子核との間の弱い相互作用により
μ− + p→νμ + n (2.13)
のように、核内の陽子がμ−を吸収して中性子に変じ、ニュートリノを放出する。この結果、負ミューオンの寿命が見かけ上縮まったことになる。ターゲット原子核がCの場合τµ− = 2.020± 0.020 µs (－ 8.05％)、Hの場合 τµ− = 2.194903± 0.000066 µs (－ 0.097％)
となる。[11]
全崩壊幅は寿命に反比例する量である：
Γtot =h̄
τµ−= 3.26× 10−10 s−1 for C (2.14)
Γtot =h̄
τµ−= 2.999× 10−10 s−1 for H (2.15)
全崩壊幅は、原子核による吸収の幅とミューオンの崩壊の幅の和である。
Γtot = Γcap + Γfree (2.16)
Γfree =h̄
τµ,free= 2.996× 10−10なので
Γcap =h̄
τµ−= 2.52× 10−11 s−1 for C (2.17)
Γcap =h̄
τµ−= 3× 10−13 s−1 for H (2.18)
となる。
(Γcap
Γtot
,Γfree
Γtot
) = (7.7％, 91.9％) for C (2.19)
= (0.001％, 99.8％) for H (2.20)
となる。
図 2.3: µ−捕獲のファインマン図
16
第3章 ミューオンと物質の相互作用
3.1 エネルギー損失Bethe-Bloch方程式
重い荷電粒子の物質中でのエネルギー損失は物質 x [g/cm2]あたり [16]
−dE
dx=
z2e4n
4πϵ02V 2me
ln[meV
2
I] (MeV/cm) (3.1)
電子の質量：me
重荷電粒子の電荷：ze
重荷電粒子の速度：V
標的物質の単位体積中の電子の数：n
標的物質の平均イオン化ポテンシャル：I
である。
17
図 3.1: 物質中でのエネルギー損失 [18]
3.2 飛程運動エネルギーE0[MeV]で入射した重荷電粒子の飛程R(E0)は [16]
R(E0) =∫ E0
0(−dE
dx)−1 dE (cm) (3.2)
重荷電粒子の標的入射時の運動エネルギー：E0
である。プラスチックシンチレーター中のミューオンの飛程は下図のようである。
18
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 50 100 150 200 250
muon
粒子の入射時の運動エネルギー (MeV)
µR (
cm)
図 3.2: ミューオンのプラスチック中での飛程
プラスチックシンチレーターの比重は 2.267 [g/cm3]とした。プラスチックシンチレーターの化学組成は (CH)nである。
図 3.3: ミューオンのプラスチック中での飛程 (縦軸を拡大したもの)
本研究では、10 cmのプラスチックを用いるので、運動エネルギー 0 ～ 50 MeVの宇宙線ミューオンがプラスチック内部で止まると考えられる。
19
下の図では、プラスチックシンチレーターに鉛直方向から入射したミューオンと鉛直方向から 30°傾いて入射した場合のエネルギー損失を示す。
図 3.4: ミューオンのプラスチックシンチレーター（断面図）
20
第4章 測定装置
4.1 シンチレーションカウンター
4.1.1 プラスチックシンチレーター
プラスチックシンチレーターは有機シンチレーターの一種である。電離放射線が通過するとシンチレーター内部の原子が励起される。その後、原子が基底状態に戻る際にエネルギーが可視光として放出される。今回の実験では、18× 8 cm2、厚さ 6 mmの板状のプラスチックシンチレーターを 2枚、16× 8 cm2、厚さ 10 cmのブロック状のプラスチックシンチレーターを 1個使用した。
4.1.2 光電子増倍管
シンチレーターからの光を光電面にあてて光電子を放出させる部分と、この電子をダイノードにあてて二次電子を増殖させて大きな電流として取り出す部分より構成されている。浜松ホトニクス製 H7195 RD0734 を使用した。
4.2 NIMモジュール
4.2.1 Discriminator
入力した信号があらかじめ設定した閾値を超えたときのみデジタルパルスを出力する装置である。Le Croy製 4608C を使用した。
4.2.2 Coincidence
2個以上のパルスが時間的に重なって入力された場合のみデジタルパルスを出力する装置である。豊伸電子製 N017 を使用した。
4.2.3 Delay
入力信号を時間的に遅らせて出力する装置である。テクノ・ランド・コーポレーション製 N-TM205 を使用した。
21
4.2.4 TPHC
Time to Pulse Height Converter(時間差-波高変換器)の略。TAC(Time to Amplitude
Converter)と呼ばれることもある。時間間隔をパルスの振幅に変換して出力する装置である。以後TACと表記する。ORTEC製 467 を使用した。
図 4.1: 測定に使用したTAC
22
4.2.5 ADC
Analog to Digital Converter(アナログ-デジタル変換器)の略。アナログ信号をデジタル信号に変換する装置である。ラボラトリ・イクイップメント・コーポレーション製 510
を使用した。
4.2.6 MCA
Multi Channel Analyzerの略。ADC、ヒストグラムメモリ、メモリに記録されたヒストグラムを表示するための装置である。ラボラトリ・イクイップメント・コーポレーション製 500 を使用した。
23
第5章 測定
5.1 TACを用いたADCの較正
5.1.1 実験
パルサーのパルスを用いて測定した。パルサーとは、1.1 × 104Hzでパルス幅 16 ns、パルス高 1.2 Vのパルスを出す装置である。パルサーの信号をDiscriminatorでデジタル信号に変換した。二つに分岐し、片方をそのままTACに入れてスタートとした。もう片方の信号を delayを通し 1、2、4、6µs遅らせた信号をTACに入れストップとした。TAC
では、このスタートからストップまでの時間を波高に変換する装置である。このデータをADCとMCA を使ってパソコンに出力した。それぞれ 100秒間測定を行った。
5.1.2 測定器の配置、各種設定
測定回路
図 5.1: 較正の回路図
24
各種設定
装置 値
光電子増倍管のHV 2000 V
TAC フルスケール 10 µs
5.1.3 測定結果
図 5.2: 測定結果 (ADC)
25
5.1.4 解析
0
1
2
3
4
5
6
7
0 50 100 150 200 250 300 350
tim
e (
μs)
channel
図 5.3: 時間差とチャンネル数の較正
時間差とADCのチャンネル数の関係は
y(µs) = 0.0207x− 0.0151 (5.1)
となった。これをもとにして、チャンネル数を時間に変換することによりミューオンの寿命を求める。
26
5.2 宇宙線ミューオンの寿命測定
5.2.1 実験
プラスチックシンチレーター 面積 厚さ＃ 1 18× 8 cm2 6 mm
＃ 2 16× 8 cm2 10 cm
＃ 3 18× 8 cm2 6 mm
図 5.4: プラスチックシンチレーターと光電子増倍管のセットアップ
プラスチックシンチレーターを上図のように 3枚重ねた。ミューオンの寿命を測定するためには、宇宙線ミューオンを静止させる必要がある。本実験では＃ 2のプラスチックシンチレーター内で静止したミューオンを用いた。＃ 2で静止するということを言い換えると、＃ 1を通過して＃ 3を通らないということである。したがって、＃ 1∩＃ 2∩＃ 3が＃ 2
の内部で止まったという条件である。光電子増倍管からのアナログ信号をDiscriminator
でデジタル信号に変換し、Coincidence回路に通した。この際、＃ 3からの信号をVETO
に通すことにより＃ 3を実現した。この信号をスタートとしてTACに入れた。静止したミューオンは時間が経つと崩壊する。その際に放出される電子または陽電子をとらえる必要がある。＃ 2からの信号をデジタル信号に変えて直接TACにストップとして入力した。これをADCとMCAを用いてパソコンに出力した。65000秒間、即ち 18
時間測定を行った。タイムチャートと回路図を以下に示す。
27
図 5.5: TACのスタート信号をつくるタイムチャート
図 5.6: ミューオン寿命測定の回路図
28
5.2.2 測定器の配置、各種設定
各種設定
装置 値光電子増倍管のHV 2000 V
Discriminatorスレッショルド 15 mV
TAC フルスケール 10 µs
図 5.7: 検出器の配置
29
5.2.3 測定結果
チャンネル数は 497だったが、チャンネル数あたりのカウント数自体が少ないので 10
binずつまとめてヒストグラムを作り直した。1チャンネルの幅は 200 nsで、t = 84nsから 10.45 nsまで 51チャンネルである。そのグラフを下図に示す。
time (sec)0 2 4 6 8 10
-610×
cou
nts
per
ch
ann
el
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
図 5.8: ミューオンの寿命測定の結果
30
縦軸を拡大したグラフである。
time (sec)0 2 4 6 8 10
-610×
cou
nts
per
ch
ann
el
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
図 5.9: ミューオンの寿命の測定結果 (縦軸を拡大したもの)
31
5.2.4 解析
フィット
フィットに用いた関数はdNdecay(t)
dt= p0e
−t/p1 + p2 (5.2)
である。フィットの範囲は、2.5µsから 10.45µsとした。フィットに用いたチャンネル数は 39点である。フィット結果を表 5.1に示す。
time (sec)0 2 4 6 8 10
-610×
cou
nts
per
ch
ann
el
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
図 5.10: フィットの結果（2.5µs～10.45µs)
32
フィット結果
表 5.1: ROOTを用いた計算値
値データ数 39
χ2 38.05
p0 281.3± 70.1
p1 (2.079± 0.357)× 10−6
p2 37.41± 3.092
そして、実験の計数は以下の表のようになった。
表 5.2: 計数
実際に計測された 実際に計測された0 µsから 10.45 µsまでの計数 2.5 µsから 10.45 µsまでの計数
7591 2384
0.117 /s 0.037 /s
上の段は、65000 s測定したときの計数である。下の段は、単位時間あたりの計数である。
次に、データの中の指数関数の成分を確認するために、dNdecay(t)
dt− 37.41でプロットし
た。37.41は、上のフィットで決めたバックグランドレベルである。
33
time (sec)2 4 6 8 10
-610×
cou
nts
per
ch
ann
el
10
210
310
Graph
図 5.11: ミューオン寿命の測定結果 (片対数)
同じグラフを、縦軸を対数に変えてプィットすると次のようになる。これにより、指数関数の部分のフィットとデータの関係を検証することができる。
34
time (sec)2 4 6 8 10
-610×
cou
nts
per
ch
ann
el
10
210
310
Graph
図 5.12: フィット結果 (片対数)
35
5.2.5 誤差の評価
前のページで示した誤差は、ROOTで計算した誤差である。ROOTは、世界中の高エネルギー、原子核物理の実験室で広く使われている。データをモニターしたり、蓄積したり、解析するために用いられる。この誤差は p0、p1、p2の 3つのパラメーターの相関を考慮して決定されたものである。3つのパラメーターのうち 2つのパラメーターを固定して 1つのパラメーターを動かし誤差を考察した。誤差は χ2に 1を足したところに対応するので、χ2 = 39.05 におさまるp0、p1、p2を計算した。これをROOTで導き出された誤差と比較した。χ2は以下の式で与えられる:
χ2 =∑i
(yi − f(xi))2
(√yi)2
=∑i
(yi − f(xi))2
yi(5.3)
以下では、フィット関数を dNdecay(t)
dt= p0e
−(t−A)/p1 + p2で表わし、このとき 3つのうち2つのパラメーターは固定する。まず、A=0のときの∆χ2 = 1に対応する p0、p1、p2を計算する。次に、A = 2.5× 10−6 s のときの∆χ2 = 1に対応する p0、p1、p2の誤差を計算する。そして、A = 3.5、4、5× 10−6 s のときの∆χ2 = 1に対応する p1の誤差を計算し、誤差の広がりについて検討する。
A=0
a) p1 = 2.079× 10−6、p2 = 37.41に固定して p0を 260、270、281.3、290、300としχ2を計算した。
37.5
38
38.5
39
39.5
40
40.5
41
255 260 265 270 275 280 285 290 295 300 305
χ^2
p0
図 5.13: p0の誤差の評価
グラフより、∆χ2 = 1に対応する誤差は±13である。
36
b) p0 = 281.3、p2 = 37.41に固定してp1を2×10−6、2.05×10−6、2.079×10−6、2.1×10−6
、2.15× 10−6とし χ2を計算した。
図 5.14: p1の誤差の評価
グラフより、∆χ2 = 1に対応する誤差は±0.51× 10−7である。
37
c) p0 = 281.3、p1 = 2.079× 10−6に固定して p2を 36、36.5、37.41、38.5、39とし χ2を計算した。
37.5
38
38.5
39
39.5
40
35.5 36 36.5 37 37.5 38 38.5 39 39.5
χ^2
p2
図 5.15: p2の誤差の評価
グラフより、∆χ2 = 1に対応する誤差は±1.39である。これらは、ROOTで決定された誤差と大きな差があることが次の表のように分かる。
表 5.3: 誤差の比較
parameter ROOTによる誤差計算 2つのパラメーターを固定したときの誤差p0 ±70.1 ±約 13
p1 ±3.57× 10−7 ±約 0.51×10−7
p2 ±3.092 ±約 1.39
ミューオンの寿命を表わす p1に着目すると、ROOTによる誤差計算の方が 2つのパラメーターを固定したときの誤差に比べて約 7倍大きかった。これは、パラメーター間の相関があるためである。
そこで、p0と p1の相関を弱めるために、
dNdecay(t)
dt= p0e
−(t−2.5×10−6)/p1 + p2 (5.4)
38
でフィットした。フィットには、t = 2.5 ∼ 10.45 µsのデータを用いているので、2.5 µs は使うデータの初めの時刻である。
表 5.4: ROOTを用いた計算値
値データ数 39
χ2 38.05
p0 84.53± 6.126
p1 (2.079± 0.357)× 10−6
p2 37.41± 3.092
ROOTによるフィットはパラメーター間の相関を考慮しているので、表 5.1とパラメーターの値も誤差もほぼ同じ結果になった。
a) p1 = 2.079 × 10−6、p2 = 37.41に固定して p0を 78、80、83、84.53、86、88、90としχ2を計算した。
37.5
38
38.5
39
39.5
40
40.5
41
76 78 80 82 84 86 88 90 92
χ^2
p0
図 5.16: p0の誤差の評価
グラフより、∆χ2 = 1に対応する誤差は±4.47である。
39
b) p0 = 84.53、p2 = 37.41に固定してp1を1.9×10−6、1.95×10−6、2×10−6、2.079×10−6
、2.1× 10−6、2.15× 10−6、2.2× 10−6、2.25× 10−6とし χ2を計算した。
37.5
38
38.5
39
39.5
40
40.5
1.85 1.9 1.95 2 2.05 2.1 2.15 2.2 2.25 2.3
χ^
2
p1 (μs)
図 5.17: p1の誤差の評価
グラフより、∆χ2 = 1に対応する誤差は±1.351× 10−6である。
c) p0 = 84.53、p1 = 2.079× 10−6に固定して p2を 35.6、36、37、37.41、38、39、39.2とし χ2を計算した。
37.5
38
38.5
39
39.5
40
40.5
41
34 36 38 40
χ^2
p2
図 5.18: p2の誤差の評価
40
グラフより∆χ2 = 1に対応する、誤差は±1.39であると分かる。
表 5.5: 誤差の比較
parameter ROOTによる誤差計算 2つのパラメーターを固定したときの誤差p0 ±6.126 ±約 4.47
p1 ±3.57× 10−7 ±約 1.31×10−7
p2 ±3.092 ±約 1.39
p1に着目すると、ROOTによる誤差計算の方が 2つのパラメーターを固定したときの誤差に比べて約 2.7倍大きかった。dNdecay(t)
dt= p0e
−t/p1 + p2でフィットした場合と比べれば、誤差は 2.5倍大きくなった。まだ差はあるが、3つのパラメーター間の相関を弱めることでROOTにより求めた誤差に近づけることができた。
41
更に、横軸の平行移動を dNdecay(t)
dt= p0e
−(t−A)/p1+p2で表わし、A = 2.5、3.5、4、5×10−6
のとき、2つのパラメーター p0、p2を固定して p1を動かした場合のχ2の変化を考察した。
A = 0、2.5、3.5、4、5× 10−6
図 5.19: 異なるAの値における χ2と p1の関係
グラフより、A = 2.5から 4 × 10−6にかけて誤差が広がっていく様子が分かる。しかし、A = 4× 10−6を境に再び誤差が狭まることがみてとれる。A = 3.5から 4× 10−6の間に相関を小さくする点があることが分かる。
表 5.6: p1の誤差の比較
ROOTによる誤差計算 A = 0 A = 2.5× 10−6 A = 3.5× 10−6
p1 ±3.57× 10−7 ±0.51× 10−7 約±1.31× 10−7 約±1.86× 10−7
42
A = 4× 10−6 A = 5× 10−6
約±1.91× 10−7 約±1.66× 10−7
ここで、dNdecay(t)
dt= p0e
−(t−A)/p1 + p2とは違ったフィットの仕方について述べておきたい。関数 p0e
−(t−A)/p1 + p2の特徴は t = Aにおいて、関数の値は p0 + p2となり、p1に依らないことである。p0e
−(t−A)/p1 + p2＝ p0eA/p1e−t/p1 + p2と書き直すことができる。関数
p0e−t/p1 + p2に比べ、
p0 → p0eA/p1
p1 → p1
p2 → p2
と置き換えたことになる。 最初に簡単な関数で示す。関数Be−t/τ について、t = 0 ∼ ∞の積分値は∫ ∞
0Be−t/τdt = [B(−τ)e−t/τ ]
∞0 = Bτ (5.5)
なので、Bτ = B0とおくとB = B0
τであり、Be−t/τ = B0
τe−t/τ となる。B0は実験データ
の全計数によって決まる量なので、B0は小さな誤差で決定できる。実質的にフィットするべきパラメーターは τ のみである。t = t1 ∼ t2をフィットに使う場合には、∫ t2
t1Be−t/τdt = [B(−τ)e−t/τ ]
t2
t1= Bτ(e−t1/τ − e−t2/τ ) (5.6)
となる。Bτ(e−t1/τ − e−t2/τ ) = B0とおくと、B = B0
τ(e−t1/τ−e−t2/τ )であり、
Be−t/τ =B0
τ(e−t1/τ − e−t2/τ )e−t/τ (5.7)
となる。B0は t = t1 ∼ t2の統計数によって決まる量である。実質的にフィットするべきパラメーターはこの場合も τ のみである。 関数がBe−t/τ + Cで、t = t1 ∼ t2でフィットする場合には、∫ t2
t1(Be−t/τ + C)dt = [B(−τ)e−t/τ + Ct]
t2
t1= Bτ(e−t1/τ − e−t2/τ ) + C(t2 − t1) (5.8)
Bτ(e−t1/τ − e−t2/τ ) + C(t2 − t1) = Dとおくと、B = D−C(t2−t1)
τ(e−t1/τ−e−t2/τ )、即ち
Be−t/τ + C =D − C(t2 − t1)
τ(e−t1/τ − e−t2/τ )e−t/τ + C (5.9)
Dは t = t1 ∼ t2の統計数によって決まる量である。実質的にフィットするべきパラメーターは τ とCである。
43
実際に、dNdecay(t)
dt= p0−p2(t2−t1)
p1(e−t1/p1−e−t2/p1 )e−t/p1+p2でフィットすると次の表のようになった。
フィット結果
表 5.7: ROOTを用いた計算値
値データ数 39
χ2 38.05
p0 (4.317± 0.09337)× 10−4
p1 (2.079± 0.356)× 10−6
p2 37.41± 3.082
となる。予想されたように、p0の相対誤差は ∆p0p0
= 0.094.3
= 0.02であり、表 5.1の ∆p0p0
=70281
= 0.25より小さい。 D即ち p0は積算値で基本的に統計数を表わす量であるが、4× 10−4のような小さな値になるのは、BやCが counts per channel、即ち counts per 200 n second time bin であるのに対し、τ は秒を単位として表わしているためである。
44
5.3 µ+とµ−の寿命の差最後に、µ+と炭素中でのµ−の寿命の違いによる dNdecay(t)
dtの傾きはどのくらい違うか
を確認するためグラフを作成した。ただし、初めにあったミューオンの数は 159.35で等しいとした。
表 5.8: µ+と炭素中でのµ−の崩壊数の比較
ミューオンの種類 数式µ+ dNdecay(t)
dt= 121.94e−t/2.197×10−6
+ 37.41
µ− dNdecay(t)
dt= 121.94e−t/2.020×10−6
+ 37.41
µ+ + µ− dNdecay(t)
dt= 121.94e−t/2.197×10−6
+ 121.94e−t/2.020×10−6+ 74.82
0
50
100
150
200
250
300
350
0 0.000002 0.000004 0.000006 0.000008 0.00001 0.000012
cou
nts
pe
r ch
an
ne
l
time (s)
μ⁺
μ⁻
μ⁺+μ⁻
図 5.20: µ+とµ−の崩壊数の関係
45
1
10
100
1000
0 0.000002 0.000004 0.000006 0.000008 0.00001 0.000012
cou
nts
pe
r ch
an
ne
l
time (s)
μ⁺
μ⁻
μ⁺+μ⁻
図 5.21: µ+とµ−の崩壊数の関係 (片対数)
上のグラフより、炭素中でのミューオンの寿命の違いはわずかであると確認できた。今回の測定の誤差の範囲である。
46
フェルミ定数の算出
ミューオンの寿命が求まったので、ここから接触型相互作用のフェルミ定数を求めることができる。[1]
Γµ =h̄
τµ=
G2
192π3(h̄c)6・(mµc
2)5・(1 + ϵ) (5.10)
なので、本研究で求まった τµ = (2.079± 0.357)× 10−6 s を代入すると
G
(h̄c)3= (1.20± 0.1)× 10−5 (GeV)−2 (5.11)
となる。
47
第6章 結論と今後の課題
本研究では、宇宙線ミューオンをプラスチックシンチレーター中に静止させることにより、ミューオンの寿命測定を行った。プラスチックシンチレーターは厚さ 10 cmのものを用いて、運動エネルギーが約 50 MeV以下のミューオンを静止させた。ミューオンが静止してから崩壊するまでの時間を測定するためTAC(時間差-波高変換器)を用いた。時間差とADCのチャンネル数の較正は [時間差 (µs)] = 0.0207[チャンネル数]− 0.0151という結果を得た。これをもとに、ミューオンの寿命を決定した。測定の結果、ミューオンの寿命 τ は (2.08± 0.36)× 10−6 sとなった。誤差は 17％程度であった。20時間程度でミューオンの寿命を測定することができた。フェルミ定数も、測定したミューオンの寿命を代入し、 G
(h̄c)3= (1.20± 0.1)× 10−5 (GeV)−2と算出した。
本研究の目的でもあった測定装置の扱い方や弱い相互作用について非常に理解が深まった。その他にも、誤差の決定方法やフィット関数のパラメーター間の相関についても学ぶことができ、素粒子実験の解析方法を知ることができた。 今後の発展の一つは、物質中の µ+とµ−の寿命の差を区別することである。本研究でµ+とµ−を区別するのは不可能であった。それは、µ+とµ−の寿命の違いは約 8％であるのに対し、寿命の測定の誤差は約 17％だからである。今回はプラスチック (炭素)中にミューオンを静止させたが、アルミや鉛にミューオンを静止させれば区別できる可能性がある。なぜなら、アルミ中ならば µ−の寿命は 880ns(－約 60％)だからである。µ+とµ−の寿命差が大きければ区別できると考えられる。
48
謝辞
本研究を進めるにあたり柴田利明教授には研究方針から実験結果の解析に至るまで、論文作成においても数々の助言を頂きました。 柴田研究室の皆様には、実験装置の扱いや解析の仕方について教えて頂きました。特に、小林慶鑑氏にはROOTの扱い方において大変お世話になりました。その他にも私の研究に協力してくださった方々へ感謝の意を表します。
49
関連図書
[1] B.ポッフ/K.リーツ/C.ショルツ/F.サッチャ 柴田利明 訳『素粒子・原子核物理入門』(シュプリンガー・フェアラーク東京株式会社, 2001)
[2] 長島順清『素粒子物理学の基礎』(朝倉書店, 1998)
[3] 福井崇時『粒子物理計測学入門』(共立出版株式会社, 1992)
[4] 加藤貞幸『放射線計測』(培風館, 1994)
[5] 川島勝弘・山田勝彦『放射線測定技術』(通商産業研究社刊, 1997)
[6] 物理学辞典編集委員会『物理学辞典 -縮刷版-』(培風館, 1998)
[7] Caso et al., Particle Data Group 『The European Physical Journal C』(Springer,
1998), http://pdg.lbl.gov/
[8] R. Brun et al.,『ROOT Users Guide 4.04』(CERN LIBRARY, 2005)
[9] 東京工業大学 理学部 物理学実験第一テキスト
[10] 東京工業大学 理学部 物理学実験第ニテキスト
[11] T. Suzuki and D.F.Measday ”Total Nuclear Capture Rates For Negative Muons”,
Phys. Rev. C Vol. 35, No. 6, pp. 2212-2224 (1987)
[12] D.F.Measday ”The Nuclear Physics of Muon Capture”, Phys. Rep. 354, pp. 243-409
(2001)
[13] Donald E.Groom ”Muon Stopping Power And Range Tables 10MeV-100TeV”,
Atomic Data and Nuclear Data Tables, 78, pp. 183-356 (2001)
[14] Shuhei Tsuji et al., ”Measurements of Muons at Sea Level”, J. Phys. G: Nucl. Part.
Phys. 24, pp. 1805-1822 (1998)
[15] 岡村勇介 学士論文 (2009) 東京工業大学 理学部 物理学科 柴田研究室
[16] 岡村勇介 物理学コロキウム第二 (2008) 東京工業大学 理学部 物理学科 柴田研究室
50
[17] 鈴木研人 学士論文 (2009) 東京工業大学 理学部 物理学科 柴田研究室
[18] 水頭慎一 学士論文 (2008) 東京工業大学 理学部 物理学科 柴田研究室
[19] http://www.rist.or.jp/atomica/data/fig＿ pict.php?Pict＿No=09-02-07-09-05
51