雪・氷面上の熱収支を考慮した海氷厚推定の理論モデルとそ …...ts tt tq c...

40 寒地土木研究所月報　№794　2019年７月

技術資料

１．はじめに

当研究チームでは、かつて、出漁不能、船舶の待機・損傷など、大きな経済的被害を与えていた港内結氷問題に取り組むため、気象の熱収支観測やその推定、それらを境界条件とし、降雪や氷の融解過程も考慮した海氷の相変化に関する数理モデルと、その数値計算法を構築するとともに、当該問題の解決に大きく貢献した経緯がある1) 2) 3)。とくに、気象条件等の過去の統計情報も考慮する必要があると考え、氷厚や寒さを表す簡便な「代表（間接的）指標」として、正味の熱収支量のうち負の値になる（熱損失発生）期間の負の累積値と定義した。過去数10年分の代表指標を計算し、対応する各年の氷厚を推定することにより、寒さの再現期間の設定など、気象条件の年変動性を考慮した工法の費用便益分析や最適案の決定、等を可能とし、特定の気象条件によらない統計的な評価を行うことを可能とした3)。さらに本手法により、沿岸域や海洋における海氷厚の推定も可能であり、気候変動に対応した、より精度の高い海氷厚の将来予測や、過去に遡った海氷厚の推移、あるいは、それらの統計的な評価等の一助となる可能性があると考えている。特に、海氷厚は、北極海等における船舶航行の効率性・安全性、海洋・沿岸構造物等に作用する海氷の全体荷重など定量評価といった工学的諸問題にも役立つと考えている。本報告では、これらに資する基礎資料を提供する目的で、上述の熱収支と海氷厚推定の数理モデルとその解法を簡潔にとりまとめるとともに、従来から用いられてきた積算寒度による簡易的な方法との相違や使用上の留意点なども踏まえ、新たな考察を加える。

２．氷厚推定に必要な熱フラックスの推定

２．１　概説

本章では、次章で示す氷厚推定のための重要な境界条件となる放射熱や対流熱伝達量などの各熱フラックスの扱いやその推定法について概説する。筆者ら1)はかねて、港内結氷対策工法の効果の定量的評価などを

行う場合に、気象条件等の過去の統計情報も考慮する必要があるものと考え、氷厚や寒さを表す簡便な「代表（間接的）指標」として、後述する正味の熱収支量のうち負の値になる（熱損失発生）日から3月末までの負の累積値と定義した。さらに、過去数10年分の代表指標を計算し、対応する各年の氷厚を次章のモデルで計算した。これにより再現期間の設定など、気象条件の年変動性を考慮した対策工法の費用便益分析や最適案の決定、等が可能となり、特定の気象条件によらない統計的な定量評価を行うことに成功した。本手法は、前述のように、過去に遡った氷厚推定や氷厚の将来予測にも寄与すると思われるので、整理しておく。

２．２　各熱フラックスの推定

２．２．１　日射収支量

気象庁の測候所の観測データを利用することができるが、欠損やデータが存在しない場合には経験式で大体推定できる。例えば、近藤4)による水平面における晴天日の全天日射に関する経験式は次式で表される。

( ) ( )( )ζζ sec04.01055.02

00 107.03.0cos/ eH

ave ddJQ +−×+= (1)

J0は太陽定数、daveとdは太陽と地球間距離の年平均値と瞬間値、ζ は太陽の天頂角であり、観測点の緯度と赤緯、時角を用いて計算できる。eHは水蒸気圧である。日射は雲量にも大きく影響をうけ、雲量を用いた様々な経験式が多く提案されているが、本報では、Kimball(1930)の式5)を用いた。図－1に例として，2019年の網走での測候所での観測値との比較例を示す。

雪・氷面上の熱収支を考慮した海氷厚推定の理論モデルとその計算法について

木岡　信治

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

1/1 1/11 1/21 1/31 2/10 2/20

熱量

（M

J/m

2 ）推定値観測値

図－1　日射量の比較（網走、2019年1～2月）

寒地土木研究所月報　№794　2019年７月 41

２．２．２　長波放射収支量

これについては測候所での観測データが存在しないため、計算によって推定することとなる。長波放射量についてはいくつかの推定式が提案されているが、次式に示すよう本件の場合に最も適合するClark et al.(1974)による経験式を用いた6)。この式は良く用いられるブラント（Brunt）の式に雲の影響、それに表面温度と気温との温度差を考慮したものになっている。

) (4)1)(05.039.0(

2

22/14

aS

LSL

TTTsCBeTQ−+

−−=

εσ

εσ

(2)ここに、ε：海氷/海水の射出率(=0.97)、σ；ステファン・ボルツマン定数、BL=0.51+0.0044・lat（lat ;緯度）、C ;雲量、Ts ;水面/海氷の表面温度(K)、Ta ;気温(K)、e；空気の水蒸気圧である。例として、かつて筆者らが大津漁港で実施した長波放射収支量の観測データ1)と、近傍の帯広測候所から取得される雲量、空気の水蒸気圧、大津アメダスから取得される気温の観測データを用いて、上式より推定される長波放射収支量を比較したものが図－2である。ただし、この場合、海氷/海水の表面温度が必要となるが、通常は与えられていないので、仮に結氷温度として計算した。同図より、両者は変動特性も含めて概ね一致している。この熱フラックスは、熱損失のうち最も大きな比率を占めると推定されることから1)、測候所の気象データより推定できることの意義は大きい。

２．２．３　顕熱・潜熱フラックスの推定

大気と水面/氷表面との乱流熱伝達量である顕熱伝達量（顕熱フラックス）、水蒸気輸送にともなう潜熱伝達量（潜熱フラックス）の直接計測する方法として渦相関法などが挙がられるが、ここでは、筆者等は、風速、気温などのデータを用いてバルク法によって簡便に推定している。顕熱フラックス(QH)と潜熱フラックス(QE)の算定式はそれぞれ次式で表せる。

)3()()3()(

bqqVLCQaTTVCCQ

asEE

asHPH

−=−=

ρρ (3a)

(3b)

ここに、ρ ; 大気の密度、CP ; 大気の定圧熱比熱、V ; 風速、L ; 蒸発の潜熱、qs ; 水面/氷面温度に対する空気の飽和比湿、qa ; 水面/氷面気温に対する空気の比湿、一般に、比湿qは、気圧Pと、水蒸気圧eHを用いて、一般に次式で近似される。

622.0P

eq H= (4)

水蒸気圧も付近の測候所などのデータを参照することを想定しているが、気温データから飽和水蒸気圧をTetensの式を用いて求め、これに相対湿度を乗じることにより算定することもできる。なお水面/氷面上における水蒸気圧は、飽和状態とみなして求める。さらに、輸送係数CH、CEは風速と大気の安定度に依存し、Kondo(1975)7)による式を用いる。なお、現地（大津漁港）において実測されたデータ（風速、気温、水温）からの推定値と近傍（広尾測候所）から取得できるデータから推定された値を比較することにより、近傍のデータを用いることの根拠を得ている。また、筆者等は輸送係数の特性の評価を行い、同じく氷面上での熱収支について検討したMykut(1977)8)による輸送係数の推定値と近い値が得られることを示した1)。

２．３　氷/雪の表面における正味の熱収支量

以上の各熱フラックスより、正味の収支量（Qnet）は次式で表される。

Qnet=(1-α)Qs+QL+QH+QE (5)

前述のように、近傍の測候所やアメダスからデータを入手することを想定しているが、存在しないヒートフラックスについては、上述のように他の気象データから推定する。次章に示すように、これが氷厚推定のための重要な境界条件となる。これはまた、前述のように、「寒さ」や「氷厚」の簡易的な代表的指標となり、過去に遡り「寒さ」や対応する氷厚を推定しておけば、それらの再現期間の設定など、気象条件の年変動性を考慮した、統計的な定量評価を行うことができる。

３．海氷の成長融解モデルとその適用性の評価

３．１　積算寒度を用いた氷厚の推定法

従来から簡易な氷厚の推定法として、積算寒度による方法が良く用いられる。まずその理論的根拠としてStefan9)のモデルを簡単に紹介する。図－3のように、氷の温度分布を直線、氷の表面温度は気温(Ta)に等し

-180

-130

-80

-30

201/1 1/11 1/21 1/31 2/10 2/20

熱量（W

/m

2)

推定値実測値

図－2　長波放射収支量の変化


い、氷の下面温度を融点(Tim)に等しい、と仮定する。さらに、その温度勾配による氷内の熱伝導量は、氷の成長に伴う潜熱にバランスすると考えると、次式の氷厚(hi)に関する1階の常微分方程式を得る。

i

aimi

ihx

icei

ii h

TTkx

TkdtdhL −

≅

∂∂

==

ρ (6)

ρi, ki, Lは氷の密度、伝導率、融解潜熱で、この解は、

Tkh ai Σ= (7)

であり、ka, ΣTは、それぞれ次式で表される。

∫ −=Σ=t

aimiia dtTTTLkk0

)(,/2 ρ (8) (8)

ΣTは積算寒度と呼ばれ、通常、日平均気温の積算値で表される。係数部であるkaは理論的に算出されるが、上記の仮定や条件により誤差があり、経験的な値が用いられる（2～4程度）。以上は、氷厚は積算寒度ΣTから推定できる根拠を与える。以下に、氷厚推定の経験式を2例紹介しておく。式(9a), （9b）はそれぞれ、Zubov(1945)10), Anderson(1961)11)によって提案された。

)9(7.61.5)9(850

2

2

bThhaThh

ii

ii

Σ=+

Σ=+ (9a)(9b)

いずれの氷厚も2次方程式の解であり、その平方根にΣTが含まれる形となる。Stefanモデルも含め、時間とともに氷厚成長は鈍化、つまり、その成長率（dhi/dt）は減少し、氷厚増加による断熱効果が理解できよう。

３．２　氷と雪の相変化モデル2) 3)

３．２．１　基礎方程式と境界条件

降雪・積雪、雪/氷の表面融解、日射の雪/氷内への透過を考慮できるものとした。ここで、図－4に示すような1次元の熱伝導・熱収支のモデルを仮定すると、雪および氷の層における熱伝導方程式はそれぞれ式(10)、(11)となる。

)0(1 sin2

2s

Pss

snows

snow hxx

QCx

Tat

T<<

∂∂

+∂

∂=

∂∂

ρ (10)

)exp()1( xhQQ isssin κκα −−−=

)(12

2hhxh

xQ

Cx

Ta

tT

ssin

Pii

icei

ice +<<∂

∂+

∂

∂=

∂∂

ρ

ここに、

)exp()1(sin xQQ ss κα −−=

00

=

∂∂

−=x

snowsnet x

TkQ (14)

0=

∂∂

x

snows x

Tk

EHLs QQQQQnet +++−= )1( α

0=

∂∂

x

snows x

Tk

h

hs

x

顕熱

日射の透過

Tsnow ;雪の温度分布

反射量降雪量長波放射収支量

雪

氷

Tice ;氷の温度分布

水水中からの熱量 Qwi

日射の透過

潜熱日射量

QL aQsQH QE Qs

Qsin

Qin

hhsx

icei x

Tk+=

∂∂

hsx

icei x

Tk=

∂∂

本文中で用いた記号の説明

QL: 長波放射収支量, QH: 顕熱伝達量,

QE : 潜熱伝達量, Qs :日射量（入射）, α : アルベド Qnet: 大気－雪（氷）表面での熱収支量

=(1-α) Qs+QL+QH+QE Qwi : 海中からの熱伝達量（流れによる）

Qsin : 雪表面を通じた日射透過量

Qin: 氷表面を通じた日射透過量

Tsnow,Tice : 雪，氷の温度

ks, ki : 雪，氷の熱伝導率

ρs, ρi: 雪，氷の密度

CPS,CPi : 雪，氷の比熱

κs, κi,: 雪，氷の減衰定数

hs, h : 雪，氷の厚さ

Tsm , Tim : 雪，氷の融解温度

Ls,Li : 雪，氷の融解潜熱

Rinsnow(t): 単位時間当たりの降水量

(11)

ここに、


)(12

2hhxh

xQ

Cx

Ta

tT

ssin

Pii

icei

ice +<<∂

∂+

∂

∂=

∂∂

ρ

ここに、


00

=

∂∂

−=x

snowsnet x

TkQ (14)

0=

∂∂

x

snows x

Tk


0=

∂∂

x

snows x

Tk

h

hs

x

顕熱

日射の透過



雪

氷



日射の透過

潜熱日射量

QL aQsQH QE Qs

Qsin

Qin

hhsx

icei x

Tk+=

∂∂

hsx

icei x

Tk=

∂∂
















(12)

(13)

また境界条件は、雪の表面において、


)(12

2hhxh

xQ

Cx

Ta

tT

ssin

Pii

icei

ice +<<∂

∂+

∂

∂=

∂∂

ρ

ここに、


00

=

∂∂

−=x

snowsnet x

TkQ (14)

0=

∂∂

x

snows x

Tk


0=

∂∂

x

snows x

Tk

h

hs

x

顕熱

日射の透過



雪

氷



日射の透過

潜熱日射量

QL aQsQH QE Qs

Qsin

Qin

hhsx

icei x

Tk+=

∂∂

hsx

icei x

Tk=

∂∂
















(14)

aice TT =

imice TT =

hihTTk

xTk aim

iice

i−

=

∂∂

温度分布

氷の成長分

潜熱

熱伝導x

図－3　簡易な氷の成長モデル(Stefanの方法)


)(12

2hhxh

xQ

Cx

Ta

tT

ssin

Pii

icei

ice +<<∂

∂+

∂

∂=

∂∂

ρ

ここに、


00

=

∂∂

−=x

snowsnet x

TkQ (14)

0=

∂∂

x

snows x

Tk


0=

∂∂

x

snows x

Tk

h

hs

x

顕熱

日射の透過



雪

氷



日射の透過

潜熱日射量

QL aQsQH QE Qs

Qsin

Qin

hhsx

icei x

Tk+=

∂∂

hsx

icei x

Tk=

∂∂
















図－4　熱伝導・熱収支の模式図


雪/氷の界面において、

hsx

icei

hsx

snows x

Tkx

Tk==

∂∂

=

∂∂

Tsnow (hs , t) = Tice (hs , t)

　

Tice(hs + h, t) = Tim

)(tRdt

dhinsnow

s =

Tsnow(0,t)>Tsm のとき、Tsnow(0,t)→Tsm として、

netx

snowsinsnowssss Q

xTktRL

dtdhL −

∂∂

+==0

)(ρρ

wihhsx

iceiii Q

xTk

dtdhL −

∂∂

=+=

ρ

Tice(hs,t)>Timのとき、Tice(hs,t)→Timとして、

wihsx

icei

hsx

snows

hhsx

iiii

Qx

Tk

xTk

xTk

dtdhL

−

∂∂

−

∂∂

+

∂∂

=

=

=+=ρ

16.28.016.28.0

2.08.0

002443.01622,

/)(

−−−− ⋅==

=

−=

℃　℃ cmscalmWsCwhere

LUChTThQ

wi

wiwi

mbwwiwi

)(0)(

)(0)(

thxth

xice

thxth

xsnow ss

<<=

<<=

ζ

η

を用いて変換すれば、基礎方程式はそれぞれ次式のよ

うに書き換えられる。

dtdhhdtdhhwhere

hhQC

Th

hTha

tT

hQC

Th

hTha

tT

ss

issspii

iceiceiice

ssssPSs

snow

s

ssnow

s

ssnow

/,/,

)23()10()exp()1(1

)22()10()exp()1(1

2

2

2

2

2

2

==

<<−−−+

∂∂

+∂∂

=∂∂

<<−−+

∂∂

+∂

∂=

∂∂

ζζκκακρ

ζζ

ζ

ηηκακρ

ηζ

η

ss

netsnow

ss

s

sinsnows

LQT

Lk

htRh

ρηρ−

∂∂

+=•

0

1)(

1

0 ii

wiice

ii

i

hs

snow

sii

s

b

ice

ii

i

LQT

hLkT

hLk

ThL

kh

ρζρηρ

ζρ

−∂∂

−∂

∂

+∂∂

=•

ただし、Tice(0,t)>Timのとき、Tice(0,t)→ Tim

(15)hsx

icei

hsx

snows x

Tkx

Tk==

∂∂

=

∂∂


　


)(tRdt

dhinsnow

s =


netx

snowsinsnowssss Q

xTktRL

dtdhL −

∂∂

+==0

)(ρρ

wihhsx

iceiii Q

xTk

dtdhL −

∂∂

=+=

ρ


wihsx

icei

hsx

snows

hhsx

iiii

Qx

Tk

xTk

xTk

dtdhL

−

∂∂

−

∂∂

+

∂∂

=

=

=+=ρ

16.28.016.28.0

2.08.0

002443.01622,

/)(

−−−− ⋅==

=

−=


LUChTThQ

wi

wiwi

mbwwiwi

)(0)(

)(0)(

thxth

xice

thxth

xsnow ss

<<=

<<=

ζ

η



dtdhhdtdhhwhere

hhQC

Th

hTha

tT

hQC

Th

hTha

tT

ss

issspii

iceiceiice

ssssPSs

snow

s

ssnow

s

ssnow

/,/,

)23()10()exp()1(1

)22()10()exp()1(1

2

2

2

2

2

2

==

<<−−−+

∂∂

+∂∂

=∂∂

<<−−+

∂∂

+∂

∂=

∂∂

ζζκκακρ

ζζ

ζ

ηηκακρ

ηζ

η

ss

netsnow

ss

s

sinsnows

LQT

Lk

htRh

ρηρ−

∂∂

+=•

0

1)(

1

0 ii

wiice

ii

i

hs

snow

sii

s

b

ice

ii

i

LQT

hLkT

hLk

ThL

kh

ρζρηρ

ζρ

−∂∂

−∂

∂

+∂∂

=•


(16)

氷の底面において、

hsx

icei

hsx

snows x

Tkx

Tk==

∂∂

=

∂∂


　


)(tRdt

dhinsnow

s =


netx

snowsinsnowssss Q

xTktRL

dtdhL −

∂∂

+==0

)(ρρ

wihhsx

iceiii Q

xTk

dtdhL −

∂∂

=+=

ρ


wihsx

icei

hsx

snows

hhsx

iiii

Qx

Tk

xTk

xTk

dtdhL

−

∂∂

−

∂∂

+

∂∂

=

=

=+=ρ

16.28.016.28.0

2.08.0

002443.01622,

/)(

−−−− ⋅==

=

−=


LUChTThQ

wi

wiwi

mbwwiwi

)(0)(

)(0)(

thxth

xice

thxth

xsnow ss

<<=

<<=

ζ

η



dtdhhdtdhhwhere

hhQC

Th

hTha

tT

hQC

Th

hTha

tT

ss

issspii

iceiceiice

ssssPSs

snow

s

ssnow

s

ssnow

/,/,

)23()10()exp()1(1

)22()10()exp()1(1

2

2

2

2

2

2

==

<<−−−+

∂∂

+∂∂

=∂∂

<<−−+

∂∂

+∂

∂=

∂∂

ζζκκακρ

ζζ

ζ

ηηκακρ

ηζ

η

ss

netsnow

ss

s

sinsnows

LQT

Lk

htRh

ρηρ−

∂∂

+=•

0

1)(

1

0 ii

wiice

ii

i

hs

snow

sii

s

b

ice

ii

i

LQT

hLkT

hLk

ThL

kh

ρζρηρ

ζρ

−∂∂

−∂

∂

+∂∂

=•


(17)

式(14)、(15)は、雪と氷の融解がない状態の熱収支の式を表す。また、式(10)と(11)の雪/氷内部の日射吸収量を表す式や係数は、青田ら(1981)12)を参照できる。次に、氷と雪の相変化について考える（これも境界条件に含まれる）。まず、雪の相変化を表す式は、雪の底面では融解が生じないと仮定し、雪表面における熱収支より得られる。この時、雪の表面温度Tsnow(0,t)が雪の融解温度Tsmより低い場合（融解が生じない）、及び融解が生じる場合の条件式は、それぞれ次式で表される。Tsnow(0,t)<Tsmのとき、

hsx

icei

hsx

snows x

Tkx

Tk==

∂∂

=

∂∂


　


)(tRdt

dhinsnow

s =


netx

snowsinsnowssss Q

xTktRL

dtdhL −

∂∂

+==0

)(ρρ

wihhsx

iceiii Q

xTk

dtdhL −

∂∂

=+=

ρ


wihsx

icei

hsx

snows

hhsx

iiii

Qx

Tk

xTk

xTk

dtdhL

−

∂∂

−

∂∂

+

∂∂

=

=

=+=ρ

16.28.016.28.0

2.08.0

002443.01622,

/)(

−−−− ⋅==

=

−=


LUChTThQ

wi

wiwi

mbwwiwi

)(0)(

)(0)(

thxth

xice

thxth

xsnow ss

<<=

<<=

ζ

η



dtdhhdtdhhwhere

hhQC

Th

hTha

tT

hQC

Th

hTha

tT

ss

issspii

iceiceiice

ssssPSs

snow

s

ssnow

s

ssnow

/,/,

)23()10()exp()1(1

)22()10()exp()1(1

2

2

2

2

2

2

==

<<−−−+

∂∂

+∂∂

=∂∂

<<−−+

∂∂

+∂

∂=

∂∂

ζζκκακρ

ζζ

ζ

ηηκακρ

ηζ

η

ss

netsnow

ss

s

sinsnows

LQT

Lk

htRh

ρηρ−

∂∂

+=•

0

1)(

1

0 ii

wiice

ii

i

hs

snow

sii

s

b

ice

ii

i

LQT

hLkT

hLk

ThL

kh

ρζρηρ

ζρ

−∂∂

−∂

∂

+∂∂

=•


(18)

Tsnow(0,t)>Tsmのとき、Tsnow(0,t)→Tsmとして、

hsx

icei

hsx

snows x

Tkx

Tk==

∂∂

=

∂∂


　


)(tRdt

dhinsnow

s =


netx

snowsinsnowssss Q

xTktRL

dtdhL −

∂∂

+==0

)(ρρ

wihhsx

iceiii Q

xTk

dtdhL −

∂∂

=+=

ρ


wihsx

icei

hsx

snows

hhsx

iiii

Qx

Tk

xTk

xTk

dtdhL

−

∂∂

−

∂∂

+

∂∂

=

=

=+=ρ

16.28.016.28.0

2.08.0

002443.01622,

/)(

−−−− ⋅==

=

−=


LUChTThQ

wi

wiwi

mbwwiwi

)(0)(

)(0)(

thxth

xice

thxth

xsnow ss

<<=

<<=

ζ

η



dtdhhdtdhhwhere

hhQC

Th

hTha

tT

hQC

Th

hTha

tT

ss

issspii

iceiceiice

ssssPSs

snow

s

ssnow

s

ssnow

/,/,

)23()10()exp()1(1

)22()10()exp()1(1

2

2

2

2

2

2

==

<<−−−+

∂∂

+∂∂

=∂∂

<<−−+

∂∂

+∂

∂=

∂∂

ζζκκακρ

ζζ

ζ

ηηκακρ

ηζ

η

ss

netsnow

ss

s

sinsnows

LQT

Lk

htRh

ρηρ−

∂∂

+=•

0

1)(

1

0 ii

wiice

ii

i

hs

snow

sii

s

b

ice

ii

i

LQT

hLkT

hLk

ThL

kh

ρζρηρ

ζρ

−∂∂

−∂

∂

+∂∂

=•


(19)

上式(19)において、Tsnow(0,t)<Tsmのとき、境界条件(14)より、右辺2項と3項との和は0となり、式(18)と一致する。一方、氷の相変化も同様に、氷の表面温度Tice(hs,t)が氷の融解温度Timより低い場合（融解が生じない）、氷の底面での熱収支より式(20)で与えられ、融解が生じる場合は、氷表面と氷底面における熱収支により、式(21)で表される。Tice(hs,t)<Timのとき、

hsx

icei

hsx

snows x

Tkx

Tk==

∂∂

=

∂∂


　


)(tRdt

dhinsnow

s =


netx

snowsinsnowssss Q

xTktRL

dtdhL −

∂∂

+==0

)(ρρ

wihhsx

iceiii Q

xTk

dtdhL −

∂∂

=+=

ρ


wihsx

icei

hsx

snows

hhsx

iiii

Qx

Tk

xTk

xTk

dtdhL

−

∂∂

−

∂∂

+

∂∂

=

=

=+=ρ

16.28.016.28.0

2.08.0

002443.01622,

/)(

−−−− ⋅==

=

−=


LUChTThQ

wi

wiwi

mbwwiwi

)(0)(

)(0)(

thxth

xice

thxth

xsnow ss

<<=

<<=

ζ

η



dtdhhdtdhhwhere

hhQC

Th

hTha

tT

hQC

Th

hTha

tT

ss

issspii

iceiceiice

ssssPSs

snow

s

ssnow

s

ssnow

/,/,

)23()10()exp()1(1

)22()10()exp()1(1

2

2

2

2

2

2

==

<<−−−+

∂∂

+∂∂

=∂∂

<<−−+

∂∂

+∂

∂=

∂∂

ζζκκακρ

ζζ

ζ

ηηκακρ

ηζ

η

ss

netsnow

ss

s

sinsnows

LQT

Lk

htRh

ρηρ−

∂∂

+=•

0

1)(

1

0 ii

wiice

ii

i

hs

snow

sii

s

b

ice

ii

i

LQT

hLkT

hLk

ThL

kh

ρζρηρ

ζρ

−∂∂

−∂

∂

+∂∂

=•


(20)


hsx

icei

hsx

snows x

Tkx

Tk==

∂∂

=

∂∂


　


)(tRdt

dhinsnow

s =


netx

snowsinsnowssss Q

xTktRL

dtdhL −

∂∂

+==0

)(ρρ

wihhsx

iceiii Q

xTk

dtdhL −

∂∂

=+=

ρ


wihsx

icei

hsx

snows

hhsx

iiii

Qx

Tk

xTk

xTk

dtdhL

−

∂∂

−

∂∂

+

∂∂

=

=

=+=ρ

16.28.016.28.0

2.08.0

002443.01622,

/)(

−−−− ⋅==

=

−=


LUChTThQ

wi

wiwi

mbwwiwi

)(0)(

)(0)(

thxth

xice

thxth

xsnow ss

<<=

<<=

ζ

η



dtdhhdtdhhwhere

hhQC

Th

hTha

tT

hQC

Th

hTha

tT

ss

issspii

iceiceiice

ssssPSs

snow

s

ssnow

s

ssnow

/,/,

)23()10()exp()1(1

)22()10()exp()1(1

2

2

2

2

2

2

==

<<−−−+

∂∂

+∂∂

=∂∂

<<−−+

∂∂

+∂

∂=

∂∂

ζζκκακρ

ζζ

ζ

ηηκακρ

ηζ

η

ss

netsnow

ss

s

sinsnows

LQT

Lk

htRh

ρηρ−

∂∂

+=•

0

1)(

1

0 ii

wiice

ii

i

hs

snow

sii

s

b

ice

ii

i

LQT

hLkT

hLk

ThL

kh

ρζρηρ

ζρ

−∂∂

−∂

∂

+∂∂

=•


(21)

なお、上式(21)において、Tice(hs,t)<Timのとき、境界条件(15)より、右辺2項と3項との和は0となり、式

(20)と一致する。海中から入ってくる熱量（Qw）は、次式に示す平山(1985)13)により提案される計算式を用いた。

hsx

icei

hsx

snows x

Tkx

Tk==

∂∂

=

∂∂


　


)(tRdt

dhinsnow

s =


netx

snowsinsnowssss Q

xTktRL

dtdhL −

∂∂

+==0

)(ρρ

wihhsx

iceiii Q

xTk

dtdhL −

∂∂

=+=

ρ


wihsx

icei

hsx

snows

hhsx

iiii

Qx

Tk

xTk

xTk

dtdhL

−

∂∂

−

∂∂

+

∂∂

=

=

=+=ρ

16.28.016.28.0

2.08.0

002443.01622,

/)(

−−−− ⋅==

=

−=


LUChTThQ

wi

wiwi

mbwwiwi

)(0)(

)(0)(

thxth

xice

thxth

xsnow ss

<<=

<<=

ζ

η



dtdhhdtdhhwhere

hhQC

Th

hTha

tT

hQC

Th

hTha

tT

ss

issspii

iceiceiice

ssssPSs

snow

s

ssnow

s

ssnow

/,/,

)23()10()exp()1(1

)22()10()exp()1(1

2

2

2

2

2

2

==

<<−−−+

∂∂

+∂∂

=∂∂

<<−−+

∂∂

+∂

∂=

∂∂

ζζκκακρ

ζζ

ζ

ηηκακρ

ηζ

η

ss

netsnow

ss

s

sinsnows

LQT

Lk

htRh

ρηρ−

∂∂

+=•

0

1)(

1

0 ii

wiice

ii

i

hs

snow

sii

s

b

ice

ii

i

LQT

hLkT

hLk

ThL

kh

ρζρηρ

ζρ

−∂∂

−∂

∂

+∂∂

=•


ここに、Uは流速、Twは水温（平均水温）である。３．２．２　固定境界法を用いた数値計算手法

前述のように、以上の問題は、移動境界問題かつ非線形問題であり、今、この数値計算法に固定境界法を適用する14)。この方法は各層において領域を常に固定するように座標変換する方法で、偏微分方程式を最初に変換し、固定境界の問題に置き換える。この変換はLandau変換法とも呼ぶ。各層を次の独立変数（定義域は0～1）

hsx

icei

hsx

snows x

Tkx

Tk==

∂∂

=

∂∂


　


)(tRdt

dhinsnow

s =


netx

snowsinsnowssss Q

xTktRL

dtdhL −

∂∂

+==0

)(ρρ

wihhsx

iceiii Q

xTk

dtdhL −

∂∂

=+=

ρ


wihsx

icei

hsx

snows

hhsx

iiii

Qx

Tk

xTk

xTk

dtdhL

−

∂∂

−

∂∂

+

∂∂

=

=

=+=ρ

16.28.016.28.0

2.08.0

002443.01622,

/)(

−−−− ⋅==

=

−=


LUChTThQ

wi

wiwi

mbwwiwi

)(0)(

)(0)(

thxth

xice

thxth

xsnow ss

<<=

<<=

ζ

η



dtdhhdtdhhwhere

hhQC

Th

hTha

tT

hQC

Th

hTha

tT

ss

issspii

iceiceiice

ssssPSs

snow

s

ssnow

s

ssnow

/,/,

)23()10()exp()1(1

)22()10()exp()1(1

2

2

2

2

2

2

==

<<−−−+

∂∂

+∂∂

=∂∂

<<−−+

∂∂

+∂

∂=

∂∂

ζζκκακρ

ζζ

ζ

ηηκακρ

ηζ

η

ss

netsnow

ss

s

sinsnows

LQT

Lk

htRh

ρηρ−

∂∂

+=•

0

1)(

1

0 ii

wiice

ii

i

hs

snow

sii

s

b

ice

ii

i

LQT

hLkT

hLk

ThL

kh

ρζρηρ

ζρ

−∂∂

−∂

∂

+∂∂

=•


を用いて変換すれば、基礎方程式はそれぞれ次式のように書き換えられる。

hsx

icei

hsx

snows x

Tkx

Tk==

∂∂

=

∂∂


　


)(tRdt

dhinsnow

s =


netx

snowsinsnowssss Q

xTktRL

dtdhL −

∂∂

+==0

)(ρρ

wihhsx

iceiii Q

xTk

dtdhL −

∂∂

=+=

ρ


wihsx

icei

hsx

snows

hhsx

iiii

Qx

Tk

xTk

xTk

dtdhL

−

∂∂

−

∂∂

+

∂∂

=

=

=+=ρ

16.28.016.28.0

2.08.0

002443.01622,

/)(

−−−− ⋅==

=

−=


LUChTThQ

wi

wiwi

mbwwiwi

)(0)(

)(0)(

thxth

xice

thxth

xsnow ss

<<=

<<=

ζ

η



dtdhhdtdhhwhere

hhQC

Th

hTha

tT

hQC

Th

hTha

tT

ss

issspii

iceiceiice

ssssPSs

snow

s

ssnow

s

ssnow

/,/,

)23()10()exp()1(1

)22()10()exp()1(1

2

2

2

2

2

2

==

<<−−−+

∂∂

+∂∂

=∂∂

<<−−+

∂∂

+∂

∂=

∂∂

ζζκκακρ

ζζ

ζ

ηηκακρ

ηζ

η

ss

netsnow

ss

s

sinsnows

LQT

Lk

htRh

ρηρ−

∂∂

+=•

0

1)(

1

0 ii

wiice

ii

i

hs

snow

sii

s

b

ice

ii

i

LQT

hLkT

hLk

ThL

kh

ρζρηρ

ζρ

−∂∂

−∂

∂

+∂∂

=•


(22)

hsx

icei

hsx

snows x

Tkx

Tk==

∂∂

=

∂∂


　


)(tRdt

dhinsnow

s =


netx

snowsinsnowssss Q

xTktRL

dtdhL −

∂∂

+==0

)(ρρ

wihhsx

iceiii Q

xTk

dtdhL −

∂∂

=+=

ρ


wihsx

icei

hsx

snows

hhsx

iiii

Qx

Tk

xTk

xTk

dtdhL

−

∂∂

−

∂∂

+

∂∂

=

=

=+=ρ

16.28.016.28.0

2.08.0

002443.01622,

/)(

−−−− ⋅==

=

−=


LUChTThQ

wi

wiwi

mbwwiwi

)(0)(

)(0)(

thxth

xice

thxth

xsnow ss

<<=

<<=

ζ

η



dtdhhdtdhhwhere

hhQC

Th

hTha

tT

hQC

Th

hTha

tT

ss

issspii

iceiceiice

ssssPSs

snow

s

ssnow

s

ssnow

/,/,

)23()10()exp()1(1

)22()10()exp()1(1

2

2

2

2

2

2

==

<<−−−+

∂∂

+∂∂

=∂∂

<<−−+

∂∂

+∂

∂=

∂∂

ζζκκακρ

ζζ

ζ

ηηκακρ

ηζ

η

ss

netsnow

ss

s

sinsnows

LQT

Lk

htRh

ρηρ−

∂∂

+=•

0

1)(

1

0 ii

wiice

ii

i

hs

snow

sii

s

b

ice

ii

i

LQT

hLkT

hLk

ThL

kh

ρζρηρ

ζρ

−∂∂

−∂

∂

+∂∂

=•


(23)

また、雪の相変化を表す式(19)は、

hsx

icei

hsx

snows x

Tkx

Tk==

∂∂

=

∂∂


　


)(tRdt

dhinsnow

s =


netx

snowsinsnowssss Q

xTktRL

dtdhL −

∂∂

+==0

)(ρρ

wihhsx

iceiii Q

xTk

dtdhL −

∂∂

=+=

ρ


wihsx

icei

hsx

snows

hhsx

iiii

Qx

Tk

xTk

xTk

dtdhL

−

∂∂

−

∂∂

+

∂∂

=

=

=+=ρ

16.28.016.28.0

2.08.0

002443.01622,

/)(

−−−− ⋅==

=

−=


LUChTThQ

wi

wiwi

mbwwiwi

)(0)(

)(0)(

thxth

xice

thxth

xsnow ss

<<=

<<=

ζ

η



dtdhhdtdhhwhere

hhQC

Th

hTha

tT

hQC

Th

hTha

tT

ss

issspii

iceiceiice

ssssPSs

snow

s

ssnow

s

ssnow

/,/,

)23()10()exp()1(1

)22()10()exp()1(1

2

2

2

2

2

2

==

<<−−−+

∂∂

+∂∂

=∂∂

<<−−+

∂∂

+∂

∂=

∂∂

ζζκκακρ

ζζ

ζ

ηηκακρ

ηζ

η

ss

netsnow

ss

s

sinsnows

LQT

Lk

htRh

ρηρ−

∂∂

+=•

0

1)(

1

0 ii

wiice

ii

i

hs

snow

sii

s

b

ice

ii

i

LQT

hLkT

hLk

ThL

kh

ρζρηρ

ζρ

−∂∂

−∂

∂

+∂∂

=•


(24)

ただし、Tsnow(0,t)>Tsmのとき、Tsnow(0,t)→ Tsm　同様に、氷の相変化を表す式(21)は、

hsx

icei

hsx

snows x

Tkx

Tk==

∂∂

=

∂∂


　


)(tRdt

dhinsnow

s =


netx

snowsinsnowssss Q

xTktRL

dtdhL −

∂∂

+==0

)(ρρ

wihhsx

iceiii Q

xTk

dtdhL −

∂∂

=+=

ρ


wihsx

icei

hsx

snows

hhsx

iiii

Qx

Tk

xTk

xTk

dtdhL

−

∂∂

−

∂∂

+

∂∂

=

=

=+=ρ

16.28.016.28.0

2.08.0

002443.01622,

/)(

−−−− ⋅==

=

−=


LUChTThQ

wi

wiwi

mbwwiwi

)(0)(

)(0)(

thxth

xice

thxth

xsnow ss

<<=

<<=

ζ

η



dtdhhdtdhhwhere

hhQC

Th

hTha

tT

hQC

Th

hTha

tT

ss

issspii

iceiceiice

ssssPSs

snow

s

ssnow

s

ssnow

/,/,

)23()10()exp()1(1

)22()10()exp()1(1

2

2

2

2

2

2

==

<<−−−+

∂∂

+∂∂

=∂∂

<<−−+

∂∂

+∂

∂=

∂∂

ζζκκακρ

ζζ

ζ

ηηκακρ

ηζ

η

ss

netsnow

ss

s

sinsnows

LQT

Lk

htRh

ρηρ−

∂∂

+=•

0

1)(

1

0 ii

wiice

ii

i

hs

snow

sii

s

b

ice

ii

i

LQT

hLkT

hLk

ThL

kh

ρζρηρ

ζρ

−∂∂

−∂

∂

+∂∂

=•


(25)



３．２．３　離散化

この方法では、まず、各層をM-1個に分割し、各分割点における温度と座標位置を図－5（例として氷の層について図示）のように定義する。

氷の層

(26)

)exp()1(2

,,2

,

1) 　2(4

)()23()(

2221

,,

1,21,11,21

iissSPii

i

i

iiiceiice

iiceiiceiice

hhQC

tCCI

hthB

hta

Bwhere

MiCCITT

TBBTBTBB

ζκκακρ

ζζ

ζ

−−−∆

=

∆∆

=∆∆

=

−≤≤+−=

+−++−−−−−

+−

雪の層

)exp()1(2

,2

1) 　2(4

)()23()(

2221

,,

1,21,11,21

issssPss

i

s

s

s

s

iisnowisnow

isnowisnowisnow

hQC

tCCS

hth

Ch

taC

MiCCSTT

TCCTCTCC

ηκακρ

ηη

η

−−∆

=

∆∆

=∆∆

=

−≤≤+−=

+−++−−−−−

+−

(27)

さらに、境界条件式を考慮して、次式のように、2M-3個の連立方程式にまとめられる。AT=B (28)where,T=[Tsnow,1,Tsnow,2,…Tsnow,M-1,Tsnow,M,T2,2,…T2,M-1]t　まず未知量である雪の表面温度Tsnow,1を仮定し、内部の温度分布を算出後、これを、次式の雪の表面での熱バランスの式（境界条件、式2-e）

)29(0243 3,2,1, →

∆

+−−

ηs

snowsnowsnowsnet h

TTTkQ (29)

に代入、最も適合する雪の表面温度と内部の温度分布を解とした。このとき、

Tsnow,1>Tsmなら、Tsnow,1=Tsm

Tsnow,M=T2,1=Tsf>Timなら、Tsf=Timとする。

一方、雪および氷の相変化を表す式(24)、(25)を離散化すると、それぞれ式(30)、(31)で表される。

( )

34

)(3

2

4313 3,2,1,)(

)1(

−−−

+

−+

−

∆+

+−∆∆

=

ss

ssinsnow

snowsnowsnownsss

sns

hhL

QtRt

TTTthL

kh

ρ

ηρ

( )

34

32

433

1

)4

343(13

2,1,,

3,2,

1,2,1,,)()1(

−−−

−−

−−+

−+

∆−

+−∆∆

+

+−

++−∆∆

=

hhQwi

Lt

TTTthk

L

TT

TTTTthL

kh

ii

MsnowMsnowMsnows

s

ii

iceice

iceMiceMiceMicenii

in

ρ

ηρ

ζρ

(30)

( )

34

)(3

2

4313 3,2,1,)(

)1(

−−−

+

−+

−

∆+

+−∆∆

=

ss

ssinsnow

snowsnowsnownsss

sns

hhL

QtRt

TTTthL

kh

ρ

ηρ

( )

34

32

433

1

)4

343(13

2,1,,

3,2,

1,2,1,,)()1(

−−−

−−

−−+

−+

∆−

+−∆∆

+

+−

++−∆∆

=

hhQwi

Lt

TTTthk

L

TT

TTTTthL

kh

ii

MsnowMsnowMsnows

s

ii

iceice

iceMiceMiceMicenii

in

ρ

ηρ

ζρ

(31)

なお、nは計算の繰り返し回数を表し、収束するまで上式の演算を実施するが通常1回程度で十分である。

３．３　氷厚の計算例と積算寒度による推定法の評価

例として、かつて結氷問題に取り組み、気象の観測データが比較的そろっている大津漁港を例（2003年1月～2月）1) 2)として、前節の計算手法により、氷厚変化を計算した。まず境界条件となる熱収支について、日射収支量は、現地観測結果を用い、長波放射収支量は前述の方法で計算により推定した。また潜熱、顕熱フラックスについては、前述のバルク法を用いて推定した。計算条件として、Si=8‰, Tim=-1.8℃, ρi=900kg/m3, ki=0.05m-1を適用した。図－6には、前節のモデルによる計算結果、漁港港奥部の氷厚の実測値のほか、積算寒度を用いた推定値（式9-a,b）も示した。このシーズンは比較的暖かく、氷が十分に成長せず、安全性

Tice,1

Tice,2

Tice,3

Tice,M

Snow

Ice

WaterM

01 =ζ

2ζ

3ζ

1=Mζ

123

Tice（hs,t）

Tim

・・・・・・・

図－5　計算グリット

0

10

20

30

40

50

1-Jan 11-Jan 21-Jan 31-Jan 10-Feb

Ice

thic

knes

s (c

m)

Observation data

Current model

Anderson(1961)

Zubov(1945)

Stefan (ka=2)

0

5

10

-10-50Temperature (Celsius)

Dep

th (c

m)

20:0012:00

4:00

0:00

図－6　氷厚の実測値といくつかの推定モデルとの比較

図－7　計算による氷内の温度分布の時間変化

(Jan.16,2003)


を考慮して実測数が限られた。図より、本モデルが最も実測値に近く、融解過程も再現しているのが分かる。参考に図－7には本モデルで計算した氷温分布の時間変化の例を示す。正午では、表面では融解が生じ、氷の中層部が最小の温度となっているが、深夜になるにつれ、氷温は直線に近づくことが推察される。以上より、特に北海道のような亜極地など厳冬期でも日中に融解が生じる場合や、春先の融解時まで含めた氷厚の評価には、本モデルは良い推定値を与え、日射の影響による表面融解の影響は大きいと推察される。他方、氷温分布が直線に近い場合には、積算寒度による方法も良い近似を与える。

４．おわりに

本報では、降雪・積雪、雪/氷の表面融解、日射の雪/氷内への透過を考慮できる、氷厚推定の理論モデルとその数値計算法を紹介した。また、その重要な境界条件となる放射熱や対流熱伝達量などの各熱フラックスの扱いやその推定法について概説した。北海道のような亜極地など厳冬期でも日中に融解が生じる場合や、春先の融解時まで含めた氷厚の評価には、本計算法は良い推定値を与え、氷温分布が直線に近い場合には、従来から用いられる積算寒度による簡易な方法も良い近似を与える事が推察された。本手法により、気候変動に対応した、より精度の高い海氷厚の将来予測や、過去に遡った海氷厚の推定、それらの統計的な評価等の一助となると考えている。

参考文献

1) Kioka, S., D. Honma, Y. Yamamoto, N. Nishida and T. Terashima : Meteorological Observations and Method for Estimation of Ice Production Rate in Fish Port of Hokkaido during Winter Season, Proc. 17th Int. Symp. on Ice, Vol. 1, pp.385-392. 2004

2) Kioka, S., D. Honma, N. Nishida and T. Terashima : Meteorological Observation in Fishing Port of Hokkaido During Winter Season and Numerical Calculation Model of Ice Growth and Melting, Proc. 6th ISOPE Pacific/Asia Offshore Mechanics Symposium (PACOMS-2004), pp.76-83.2004

3) 木岡信治・本間大輔・山本泰司・窪内篤・西多道祐：実用的な港内結氷シミュレーション手法の構築とその活用方法，海岸工学講演会論文集, Vol.52, pp.1311-1315.2005

4) Kondo, J.: Analysis of solar radiation and downward longwave radiation data in Japan, Science Report Yohoku University, 5(18), pp.91-124.1967

5) Kimball,H.:On the Amount of Solar Radiation Received on the Terrestria1surface of the Earth and Sea and Methods of its Measurement,Monthly Weather Review vol.55,No.4,1930

6) 松梨順三郎編書：「環境流体汚染」、森北出版、pp.178-179.

7) Kondo, J.: Air-sea bulk transfer coefficients in diabatic conditions, Boundary-Layer Meteor.,9, 91-112.1975

8) Maykut,G.A.: Estimates of the regional heat and mass balance of the ice cover, Symposium on Sea Ice Process and Models, Vol.Ⅰ, pp.65-74.1977

9) Stefan, J.: Uber die Eibildung, insbesondere uber die Eisbildung imPolarmeere, ANN, Physik, 42, pp.269-286.1891

10) Zubov ,N .N . , Arc t i c i c e ( I zda t e l’ s tvo Glavsevmoputi), Moscow, pp.360.1945

11) Anderson,D.L., Growth Rate o Sea Ice, J.Glaciol., 3, pp.1170-1172.1961

12) 青田昌秋，石川正雄：海氷の消散係数について，低温科学，物理編，Vol.40, pp.127-135.1981

13) 平山健一：河川の結氷過程とそのモデル化、第29回水理講演会論文集、pp.179-184.1985

14) Saitoh,T.:Numerical method for multi-dimensional freezing problems in arbitrary domains, J. Heat Transfer, ASME, Vol.100, p.294.1978

15) Maykut, G..A. and N. Untersteiner : Some results from a time-dependent thermodynamic model of sea ice, J. Geophys. Res.,Vol. 76, pp.1550-1575.1971

16) Yen,Y.C.: Review of the thermal properties of snow, ice ,and sea ice, CREEL Report 81-10, Cold Reg. Res. and Eng. Lab., pp.1-27.1981

17) 小野延雄：海氷の熱的性質の研究，低温科学物理編，26巻，pp.329-349.1968

18) Ono, N.: Specific heat and heat of fusion of sea ice, Physics of Snow and Ice (H.Omura, Ed.)., Part.1, Inst of Low Temp Sci, pp.599-610.1967

木岡　信治　KIOKA Shinji

寒地土木研究所寒地水圏研究グループ寒冷沿岸域チーム主任研究員博士（工学）

雪・氷面上の熱収支を考慮した海氷厚推定の理論モデルとそ …...ts tt tq c...

Documents