egce491 mat lab

เอกสารประกอบการสอน

วศยธ 491 คณตศาสตรขนสงในงานวศวกรรมโยธา

EGCE 491 Advanced Mathematical Method for Civil Engineering Applications

โดย

ดร.วรรณสร พนธอไร โครงการจดตงภาควชาวศวกรรมโยธา

คณะวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยมหดล

คานา

ในปจจบนเทคโนโลยการเรยนการสอนไดกาวหนาไปมาก รปแบบการเรยนรสมยใหมม

แนวโนมทจะผนวกการสอนเชงทฤษฎควบคกบการทดลองในเชงปฏบตผานสอการใชโปรแกรม

คอมพวเตอร ซงสงผลใหนสตนกศกษาสามารถเขาใจหลกการและทฤษฎทซบซอนไดอยางรวดเรว

และมประสทธภาพมากขน การประยกตใชวธทางคณตศาสตรขนสงเพอแกปญหาทางวศวกรรม

โยธาเปนอกหนงรายวชาทเกยวของกบการแกปญหาทซบซอนโดยการใชองคความรวธเชงตวเลข

ประยกตทสามารถนาไปชวยวเคราะห และหาคาเฉลยของปญหาคณตศาสตรขนสงในงานวศวกรรม

การเรยนการสอนของรายวชานเนนการใชโปรแกรมคอมพวเตอรในการวเคราะห ทดสอบแนวคด

เปรยบเทยบกบทฤษฏทางคณตศาสตรเพอการแกปญหาโจทยตางๆ อาทเชน การหาคาเหมาะทสด

ในงานกลศาสตรของแขงและโครงสราง การแกสมการเชงอนพนธ การวเคราะหการสนไหว การ

วเคราะหฟเรยร และปญหาคาขอบ ไดภายในเวลาทมจากด

ขาพเจาไดเรยบเรยงเอกสารประกอบคาสอนนขนทงนเพอใหนสตปรญญาตร ของ

ภาควชาวศวกรรมโยธา คณะวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยมหดล ใชเปนคมอประกอบการเรยนร

การประยกตใชวธทางคณตศาสตรขนสงเพอแกปญหาทางวศวกรรมโยธา โดยสามารถทาความ

เขาใจตามเนอหาในแตละบทซงประกอบดวยทฤษฎทางคณตศาสตรทเกยวของ การยกตวอยางวธ

ประยกตใชงานของฟงกชนของโปรแกรมคอมพวเตอรทกาลงเปนทนยมแพรหลายอาทเชน

MATLAB และ EXCEL ในการแกปญหาโจทย ซงนสตนกศกษาสามารถทาความเขาใจตามเนอหา

ในแตละบทไดภายในเวลาประมาณ 2 -3 ชม. เมออานครบทกบทแลวนสตนกศกษากสามารถเรยนร

คนควา และประยกตใชเพมเตมไดเอง

ทายนขาพเจาขอกราบขอบพระคณคณพอคณแม คณครและอาจารย ผร เพอนๆและพ

นองทกทานทไดมสวนในการประสทธประสาทความรแกผเขยนทงในทางตรงและทางออม ผเขยน

ขออทศความดแกทกทาน หากมขอบกพรองใดๆในหนงสอเลมน ผอานสามารถสงขอคดเหนหรอ

คาแนะนาทเปนประโยชนผานทางไปรษณยอเลกทรอนกสมาไดท e-mail: [email protected]

เพอทผเขยนจะไดดาเนนการแกไขในการจดพมพครงตอไป

ดร. วรรณสร พนธอไร

อาจายประจาภาควชาวศวกรรมโยธา

คณะวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยมหดล

http://www.egmu.net/civil/wonsiri

สารบญ หนา

คานา บทท 1 เทคนควเคราะหเชงตวเลขเพอการแกปญหาระบบสมการเชงเสน 1

1.1 ระบบของสมการเชงเสน 1

1.2 เมทรกซ 2

1.3 การกระทาและคณสมบตเชงมลฐานของเมทรกซ 3

1.4 อนเวอรสการคณของเมทรกซและดเทอรมนนต 5

1.5 การเขยนระบบสมการเชงเสนใหอยในรปเมทรกซ 8

1.6 การแกระบบสมการเชงเสนในรปของเมทรกซเพอหาผลเฉลย 9

1.7 ความรพนฐานเกยวกบ MATLAB เพอการแกปญหาระบบสมการเชงเสน 10

1.8 เทคนคการประยกตใชโปรแกรม MATLAB เพอการแกปญหาระบบสมการ 29

เชงเสนทเกยวของกบงานทางวศวกรรมโยธา – กรณศกษา (การวเคราะห

โครงขอหมน 2 มต)

บทท 2 เทคนควเคราะหเชงตวเลขเพอการประมาณคาในชวงและการประมาณเสนโคง 34

ทเหมาะสม

2.1 บทนา 34

2.2 วธการประมาณเสนโคงทเหมาะสม 35

2.2.1 วธ Linear Regression โดย Least Square Approximation 35

2.2.2 วธ Polynomial Regression โดย Least Square Approximation 47

2.2.3 วธ Multiple Linear Regression โดย Least Square Approximation 50


2.3 วธการประมาณคาในชวง 51

2.3.1 การประมาณคาในชวงเชงเสน (Linear Interpolation) 51

2.3.2 การประมาณคาในชวงกาลงสอง (Quadratic Interpolation) 52

2.3.3 การประมาณคาในชวงฟงกชนพหนาม (Polynomial Interpolation) 53

บทท 3 เทคนควเคราะหเชงตวเลขเพอการแกสมการเชงอนพนธแบบสามญ 57

3.1 บทนา 57

3.2 วธของ Euler 59

3.3 วธของ Huen’s Method (Predictor-Corrector Approach) 62

3.4 วธ Runge-Kutta (RK Method) 66

บทท 4 เทคนควเคราะหเชงตวเลขเพอการอนทรกรลเชงตวเลข 70

4.1 บทนา 71

4.2 การประมาณคาอนทกรลในชวงโดยฟงกชนเชงเสนหรอวธ Trapezoidal rule 75

4.3 พนฐานการประมาณคาอนทกรลโดยฟงกชนใน MATLAB 77

4.4 การประมาณคาอนทกรลในชวงโดยวธ Simpson’s rule 79

4.5 การวเคราะหคาความคลาดเคลอนสาหรบวธ Trapezoidal rule 83

4.6 การวเคราะหคาความคลาดเคลอนสาหรบวธ Simpson’s rule 85

4.7 การประยกตใชวธ Trapezoidal และ Simpson’s rule ในงานวศวกรรม 87


บทท 5 เทคนคการหาคาทเหมาะสมทสด Optimization 90

5.1 บทนา 90

5.2 การนาเอา Optimization ไปใชประโยชนในงานวศวกรรมโยธา 90

5.3 การแกปญหาวศวกรรมโดยใชเทคนค Optimization รวมกบ Excel 92

5.4 การแกปญหาวศวกรรมโดยวธกราฟ 98

บทท 6 อนกรมฟเรยร 107

6.1 บทนา 107

6.2 นยามเกยวกบการเคลอนทแบบฮารโมนกส 108

6.3 การวเคราะหฮารโมนกสในรปอนกรมฟเรยร 114

บรรณานกรม 146

เกยวกบผเขยน 147

บทท 1

เทคนควเคราะหเชงตวเลขเพอการแกปญหาระบบสมการเชงเสน

1.1 ระบบของสมการเชงเสน (System of Linear Equations)

ระบบของสมการเชงเสน (System of Linear Equations) หมายถง ระบบของสมการทอยในรป

ตอไปน

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=++

=+++=+++

L

MMOMM

L

L

2211

22222121

11212111

----------------------------------- (1.1)

โดยท ija และ kb ทกตวเปนจานวนจรง และ nxxx ,,, 21 L เปนตวไมทราบคา

ผลเฉลยของระบบสมการเชงเสนหรอทรจกกนดในนามของคาวา “ราก” ของระบบสมการ (1.1)

ในทนมจานวน n ตว คอ nxxx ,,, 21 L ซงสอดคลองกบสมการ หากระบบของสมการมรากอยางนอย 1ชด

เราจะเรยกระบบวาเปนระบบชนด คอนซสเทนท (Consistent) และถาหากไมสามารถหารากหรอผลเฉลย

ของระบบไดเราจะเรยกวา อนคอนซสเทนท (Inconsistent) และถา 0,,, 21 =mbbb L เราจะเรยกระบบ

สมการนวาระบบสมการเอกพนธ (Homogeneous system)

ตวอยางของระบบสมการไดแก 406632286435434

321

321

321

=++=++=−+

xxxxxxxxx

2

1.2 เมทรกซ (Matrix)

เมทรกซ (Matrix) หมายถง การจดเรยงเลขชดหนงแถว (row) และเปนหลก (column) ซงอยใน

รปลกษณะสเหลยมมมฉากและเขยนแทนดวยสญญลกษณดงน

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

L

MOMM

21

22221

11211

...

...

----------------------------------- (1.2)

ในทน ija เปนจานวนจรง (หรอจานวนเชงซอน) ทอยในตาแหนงแถวท i และหลกท j เพอความสะดวก

ในบางครงเรามกนยมเรยก ija วาเปน “เอนทร” (entry) หรอสมาชกของ A เพอความสะดวกเราจะเขยน

=A ][ ija

ถา A เปนเมทรกซทมจานวนแถว m และ จานวนหลก n เราจะเรยก A วาเปน (m x n)

เมทรกซ และเขยนแทนดวยสญลกษณ nm A ในกรณท จานวนแถว m เทากบจานวนหลก n (m = n) เรา

จะเรยก A วาเปนสแควรเมทรกซอนดบท n และอาจเขยนแทนดวยสญลกษณ nA นนคอ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn

n

n

n

aaa

aaaaaa

A

L

MOMM

21

22221

11211

...

...

----------------------------------- (1.3)

ตวอยางของเมทรกซ เชน ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

663864434

A

3

1.3 การกระทาและคณสมบตเชงมลฐานของเมทรกซ (Matrix Fundamentals and its Operations)

1.3.1 การเทากนของเมทรกซ (Equality of Matrices)

ถา =A ][ ija เปน (m x n) เมทรกซ และ =B ][ ijb เปน (p x q) เมทรกซ เราจะเรยก

เมทรกซ A = เมทรกซ B ถา m = p และ n = q และ ija = ijb สาหรบ i = 1,2,…, m และ j = 1,2,…, n

ตวอยางการเทากนของเมทรกซ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

wvtu

ttt

33

111 กตอเมอ 1 = u; 1-t = 3+t; t = v-3; 1+t = w

นนคอ 1 = u; t = -1; v = 2; w =0

1.3.2 การบวกกนของเมทรกซ (Addition of Matrices)

ถา =A ][ ija และ =B ][ ijb เปน (m x n) เมทรกซ ผลบวกของ A และ B ซงเขยนแทน

ดวยสญลกษณ BA + คอ (m x n) เมทรกซ =C ][ ijc ซงมคณสมบตดงน ijij ac = + ijb สาหรบ i =

1,2,…, m และ j = 1,2,…, n

ตวอยางการบวกกนของเมทรกซ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=431

120;

412321

BA

ถา BA + จะไดวา ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−+++−+

=+023401

443112132201

BA

4

1.3.3 การคณกนของเมทรกซ (Scalar Multiples of Matrices)

a) ถา =A ][ ija เปน (m x n) เมทรกซ และ c เปนจานวนจรง (หรอจานวนเชงซอน) ผล

คณของ A ดวย c ซงเขยนแทนดวย c A คอ (m x n) เมทรกซ =C ][ ijc โดยท ijij cac = สาหรบ i = 1,

2, m และ j = 1, 2,…, n

ตวอยางการคณกนของเมทรกซ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=412321

A กบจานวนจรง c = 2

จะได c A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

824642

412321

2

b) ถา =A ][ ija เปน (m x n) เมทรกซ และ =B ][ ijb เปน (n x p) เมทรกซ ผลคณของ

A และ B ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ ABC = คอ (m x p) เมทรกซ ซง =C ][ ijc มคณสมบตดงน

njinjijikjikn

kij babababac +++==∑ =...22111

สาหรบ i = 1, 2, m และ j = 1, 2, …, n

ตวอยางการคณกนของเมทรกซ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=412321

A กบ ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

1234

52B จะได ABC = = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −166

24

อกตวอยาง ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=3121

A กบ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1012

B จะได AB = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 22

32 และ BA = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 31

71

ขอสงเกต 1) ผลคณ C = AB จะหาคาไดกตอเมอ จานวนหลกของเมทรกซ A เทากบจานวนแถวของเมท

รกซ B นอกจากนนจะพบวาสมาชกทอยในตาแหนงแถวท i และหลกท j ของเมทรกซ C เกดจากแถวท i

และชองท j ของ B นนคอ

2) การคณกนของเมทรกซไมมคณสมบตสลบท นนคอ AB BA≠

5

1.4 อนเวอรสการคณของเมทรกซและดเทอรมนนต

อนเวอรสสาหรบการคณของเมทรกซ A กคอเมทรกซทคณกบเมทรกซ A แลวไดเมทรกซ

เอกลกษณ นนคอ AA-1 = A-1A = I เรยก A-1 วาอนเวอรสการคณของเมทรกซ A

1.4.1 อนเวอรสการคณและดเทอรมนนตของเมทรกซทม 2 แถว 2 หลก

ถา ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

dcba

bcadA

dcba

A 1; 1 ------------------------------------- (1.4)

ถา bcaddcba

Adcba

A −==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= )det(; -------------------------------- (1.5)

ขอสงเกต 1) ถาสงเกตใหดจะพบวาเราจะหาอนเวอรสของเมทรกซ A ไดกตอเมอ ad – bc = 0

เทานน ดงนนจะมเมทรกซอยมากมายทเราไมสามารถหาอนเวอรสได

2) เมทรกซใดหาอนเวอรสสาหรบการคณได เรยกเมทรกซนนวา นอนซงกลารเมทรกซ

3) เมทรกซใดหาอนเวอรสสาหรบการคณไมได เรยกเมทรกซนนวา ฃงกลารเมทรกซ

ตวอยางการหาดเทอรมนนตทม 2 แถว 2 หลก

6

1.4.2 อนเวอรสการคณและดเทอรมนนตของเมทรกซทม 3 แถว 3 หลก

(ก) ไมเนอรของสมาชกในเมทรกซ - ไมเนอร (minor) ของสมาชกในเมทรกซใด คอดเทอรมนนตของเมทรกซดงกลาว แตตดเอาแถวและหลกทสมาชกนนอยออกไป และ เรานยมใชสญลกษณ Mij แทนไมเนอรของสมาชกในแถวท i หลกท j เชน

ไมเนอรของ 6 คอ ตดหลกท 3 และแถวท 2 ออก แลวหาดเทอรมนนต

(ข) โคแฟกเตอรของสมาชกในเมทรกซ - โคแฟกเตอร (cofactor) ของ สมาชกในแถวท iหลกท j นนคอ

Cij = (-1)i+jMij

เชน

โคแฟกเตอรของ 1 = C11 = (-1)1+1M11

(ค) โคแฟกเตอรเมทรกซของเมทรกซ - โคแฟกเตอรเมทรกซของเมทรกซ A คอ เมทรกซทเกดจากการ เอาโคแฟกเตอร ของสมาชก aij ไปแทนทสมาชก aijเรานยมใช Cof.A แทนโคแฟกเตอรเมทรกซของเมทรกซ A

นนคอ ถา

7

จะไดวาโคแฟกเตอรเมทรกซของเมทรกซ A = Cof.A

(ง) เมทรกซผกพน (adjoint matrix) - เมทรกซผกพน คอ เมทรกซทเกดขนจากการนาเอา โคแฟกเตอรเมทรกซของเมทรกซไปทรานสโพส เรานยมใช adj.A แทนเมทรกซ ผ ก พ น ข อ งเมทรกซ A นนคอ adj.A = (Cof.A)t จากเมทรกซผกพนทเราหาไดดงกลาว เราสามารถนาไปหาอนเวอรสไดดงน

ให A เปนเมทรกซมต 3 3 จะไดวา

-------------------------------- (1.6)

เมอ det A 0

ตวอยาง

วธหาดเทอรมนนต det (A)

นาโคแฟกเตอรของแตละหลก หรอแตละแถวมาคณกบคาประจาตาแหนงนน (aij: a11=1 a12=2 a13=3 ...a33=9) แลวรวมกน

(โคแฟกเตอร: Cij หาจากผลคณระหวาง ดเทอรมนนตของไมเนอร: det(Mij) กบ (-1)^(i+j) เมอ i,j คอตาแหนงแถวและหลกของAตามลาดบ) เขยนแทนขนตอนนดวยสญลกษณ

Cij= [(-1)^(i+j)] det(Mij) )

8

วธหาMij ทาโดยตดแถวท i (แนวนอน) และ หลกท j (แนวตง) ของ Aออก เชน

M11= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡9865 ดงนน det M12= (5x9)-(6x8)= -3

C11= [(-1)^(1+1)](-3)=-3

detA=(a11xC11)+(a12xC12)+(a13xC13)

=-3+12-9=0

เนองจาก detA=0 เราไมสามารถหาเมทรกซผกพนได นนหมายถงเมทรกซนไมมอนเวอรส

ขอควรสนใจ

ถา A และ B เปนเมทรกซทหาอนเวอรสการคณได

1.(A-1)t = (At)-1

2.(AB) -1= B-1A-1

ขอควรระวง

ขอความตอไปนไมจรง

(AB)-1 = A-1B-1

1.5 การเขยนระบบสมการเชงเสนใหอยในรปของเมทรกซ

กาหนดระบบสมการเชงเสนดงสมการ (1.1)

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=++

=+++=+++

L

MMOMM

L

L

2211

22222121

11212111

9

จากระบบของสมการน ถากาหนดเมทรกซ A, X และ B ดงตอไปน

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

L

MOMM

21

22221

11211

...

...

; ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nx

xx

XM2

1

; ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mb

bb

BM2

1

เราสามารถเขยนระบบของสมการเชงเสนทกาหนดใหอยในรปของเมทรกซ ไดดงน

A X = B

เมทรกซ A เรยกวาเปน “เมทรกซสมประสทธ” ของระบบสมการเชงเสน

ตวอยางการเขยนระบบสมการเชงเสนใหอยในรปของเมทรกซ

406632286435434

321

321

321

=++=++=−+

xxxxxxxxx

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

402235

663864434

3

2

1

xxx

1.6 การแกระบบสมการเชงเสนในรปของเมทรกซเพอหาผลเฉลย

จากระบบสมการในขอ 1.4 406632286435434

321

321

321

=++=++=−+

xxxxxxxxx

หรอในรปของเมทรกซ AX = B โดยท⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

663864434

A ;⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

3

2

1

xxx

X ; B ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

402235

10

หากเราตองการหาผลเฉลย หรอกคอคาตางๆ ในเมทรกซ X วธทงายทสดกคอการหา “ดเทอรมนนต”

ของเมทรกซ A แลวนาไปคณกบเมทรกซ B หรอ X = A-1B

1.7 ความรพนฐานเกยวกบ MATLAB เพอการแกปญหาระบบสมการเชงเสน MATLAB (MATrix LABoratory) เปนโปรแกรมทออกแบบมาเพอใชสาหรบการคานวณทาง

คณตศาสตรโดยเฉพาะสาหรบงานทางดานวทยาศาสตรและวศวกรรมศาสตร โครงสรางพนฐานการ

คานวณของโปรแกรม MATLAB จะอยในรปของเมทรกซ ซงกเปนทมาของชอโปรแกรมดวย สาหรบ

เนอหาทจะกลาวถงดงตอไปมการเรยงลาดบดงน การเรมตนการใชงานโปรแกรม MATLAB การใชคาสง

สาหรบการสรางตวแปรในรปของเวกเตอรและเมทรกซ ฟงกชนพนฐานสาหรบการสรางเมทรกซ การแก

สมการเชงเสนและตวอยางของโจทยปญหาทเกยวของกบงานวศวกรรมโยธาดวยโปรแกรม MATLAB

1.7.1 เรมตนการใชงานโปรแกรม MATLAB ในการเรยกใชงานโปรแกรม MATLAB ใหเรยกใชโดยการกดดบเบลคลกทชอไฟลทชอวา

“matlab.exe” ในชอไดเรคทอรทตดตงโปรแกรม MATLAB หรอท ไอคอนใชงานทเชอมตอไปยงชอ

ไดเรคทอรทตดตงโปรแกรม MATLAB (รปท 1.1)

Matlab r2006a.lnk

รปท 1.1 ไอคอนใชงานทเชอมตอไปยงชอไดเรคทอรทตดตงโปรแกรม MATLAB

11

ภายหลงกดดบเบลคลกหนาตางแรกทจะถกแสดงขนมากคอ “หนาตางคาสง (command window)” ดง

แสดงในรปท 1.2 หนาตางนจะเปนสวนทผใชงานจะทาการปอนคาสงตางๆเพอผลของการคานวณและยง

เปนสวนทแสดงผลลพธออกมาทางหนาจอคอมพวเตอรอกดวย โดยทเครองหมาย “>>” เปนตวบอกวา

โปรแกรม MATLAB พรอมทจะรอรบคาสง ณ จดน

รปท 1.2 หนาตางคาสงของโปรแกรม MATLAB

หนาตางคาสงของโปรแกรม MATLAB จะประกอบไปดวยเมนหลกหลายๆเมน ซงมรายละเอยด

ดงตอไปน

12

• เมน File จะประกอบไปดวยการสรางหนาตาง editor คาสงขนมาใชใหมอกหนาตางหนง (รปท

1.3)เพอใชในการเขยนหรอแกใขโปรแกรม การเรยกไฟลทมอยขนมาใชงาน การบนทกขอมลตว

แปรตางๆ การเปลยนไดเรกทอรทกาลงทางานอย การพมพขอมลออกทางเครองพมพ การปด

หนาตางคาสง เปนตน

รปท 1.3 หนาตาง editor ของโปรแกรม MATLAB

• เมน Edit, Debug, Desktop, Window ประกอบไปดวย การเลอกสาเนาขอมล การนาขอมล

สาเนาออกไปวาง การเรยกคาสงเดมมาใช

• เมน Help ซงผใชสามารถเรนกดตวอยางการใชงานชดคาสงทโปรแกรม MATLAB จดเตรยมไวให

13

1.7.2 คาสงพนฐานสาหรบการเรมตนใชโปรแกรม MATLAB

ในลาดบแรกจะขอเรมจากการกาหนดคาคงทใหกบตวแปรเชน ถาตองการกาหนดใหตวแปร x ม

คาเทากบ 5 จะตองทาการปอนคาสงลงในหนาตางคาสงดงน

>> x=5

เมอกดปม Enter หนาตางคาสงจะแสดงผลลพธเปน

x = 5 >> นนคอโปรแกรม MATLAB จะแสดงผลลพธของ x = 5 ออกมา พรอมทงแสดงเครองหมาย >> เพอรอรบ

คาสงตอไป

ในกรณทไมตองการใหโปรแกรม MATLAB จะแสดงผลลพธของ x = 5 ออกมาทางหนาจอกใหใส

เครองหมาย “;” ปดทายคาสงนนกอนกดปม Enter เชนถาตองการกาหนดใหตวแปร y มคาเทากบ 3 โดย

ไมตองแสดงผลลพธออกทางหนาจอกสามารถทาไดโดยการปอนคาสง

>> y=3; >> เมอกดปม Enter โปรแกรม MATLAB กจะไมแสดงผลลพธออกทางหนาจอหนาตางคาสงแตจะปรากฎ

เครองหมาย >> แทน

14

1.7.3 การสรางตวแปรในรปของสเกลาร, เวกเตอรและเมทรกซ

ในลาดบตอไปจะเปนการใชคาสงเพอสรางตวแปรในรปแบบตางๆทงนขนอยกบประเภทขอมล

ตางทสามารถใชงานไดในโปรแกรม

(ก) สเกลาร คอ คาทเปนไดทงจานวนจรงหรอจานวนเชงซอน คาสเกลารสามารถทจะถกกาหนด

ลงในตวแปรใดๆตามทตองการไดทนท ตวแปรสเกลารถอวาเปนเมทรกซขนาด 1x1 กลาวคอ

มขนาดแนวนอน 1 แถว (row) และแนวตง 1 หลก (column) เชน

>> x=5;

หากตองการทราบวาตวแปรสเกลาร x มขนาดเทาใดกสามารถทาไดโดยใชคาสง size ซงม

รปแบบการใชงาน คอ

[M,N] = SIZE(X)

โดยทพารามเตอร

X คอตวแปรคาคงทใดๆ (เปนไดทงสเกลาร เวกเตอร และเมทรกซ)

M และ

(ข) เวกเตอร คอ เมทรกซขนาด 1 แถว หรอ 1 หลก (row vector) สามารถสรางไดโดยการใช

เครองมอคอมมา (comma) ‘’,” หรอชองวาง (space) ในการแยกสมาชกแตละตวในเวกเตอร

สมมตให x เปนเวกเตอรแถวทมสมาชกเปน x = [1 2 3 4] การกาหนดให x มคาดงกลาว

จะตองทาการปอนคาสงลงในหนาตางคาสงดงน

15

>> x = [1 2 3 4] x = 1 2 3 4 จะสงเกตไดวาสมาชกหรออลเมนตแตละตวในเวกเตอรแถว x จะเขยนแยกกนโดยชองวาง

หากตองการสรางเวกเตอรแนวตง (column vector) y ซงเปนเมทรกซทรานสโพสของ x เวกเตอร

แถว กสามารถทาไดโดยงายดงน

>> y = x'

และผลลพธทไดบนจอแสดงผลคอ

y = 1 2 3 4

(ค) เมทรกซ เมทรกซขนาด mxn คอเมทรกซทมจานวน m แถว และ n หลก เชน

หากตองการกาหนดเมทรกซทมขนาด 3x4 ขนมาใชงานใหกระทาดงน

>> A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12] A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

16

สงเกตวาเครองหมาย “;” ใชสาหรบระบวาเปนจดสนสดของแตละแถว ถงตรงนอาจใชคาสง “who”

หรอ “whos” เพอขอดตวแปรทงหมด รวมถงขนาดและหนวยความจาของตวแปรแตละตวทไดม

การสรางขนในหนาตางคาสงของโปรแกรม MATLAB

>> who Your variables are: A x y >> whos Name Size Bytes Class A 3x4 96 double array x 1x4 32 double array y 4x1 32 double array ในกรณทตองการทราบขนาดของตวแปรใดตวแปรหนงยกตวอยางเชนตวแปร x ใหใชคาสง >> size(x) และผลลพธทไดบนจอแสดงผลคอ ans = 1 4 ซงบอกเราวา เมทรกซ x มขนาดเทากบ 1x4 คอมเพยงแถวเดยวและมสหลก นอกจากนเราสามารถอางถงหรอกาหนดคาของอลเมนตแตละตวในเมทรกซไดโดยอาศยรปแบบ ดงน

17

>> x=A (2, 3)

x =

7

คาสงนใหนาคาของอลเมนตแถวท 2 และหลกท 3 ของเมทรกซ A ไปบรรจในตวแปร x ทได

กาหนดขนใหม

แตหากตองการอลเมนตทงแถวจากเมทรกซ A เชนตองการอลเมนตทงหมดในแถวท 3 ไปเกบลง

ในเวกเตอร y ทกาหนดขนมาใหมกใหใชคาสงดงน

>> y=A (3, :)

สงเกตวามการใชเครองหมาย “:” เพอระบชวงของคอลมภและผลลพธทไดบนจอภาพคอ

y =

9 10 11 12

นอกจากการกาหนดคาโดยตรงใหกบเวกเตอรแลว ผใชยงสามารถทจะกาหนดคาของเวกเตอรให

มคาเพมขนหรอลดลง โปรแกรม MATLAB จะกาหนดใหเปนคาทเพมขน +1 โดยอตโนมต เชน

>> z = [1:2:10]

z =

1 3 5 7 9

จะเหนไดวาเรมตนทคา 1 แลวเพมทละ 2 จนกระทงถงคามากทสดทไมเกน 10

18

คาสงการลบแถวหรอหลกของเมทรกซกนาสนใจอกเชนเดยวกน สามารถทาไดโดยใชคาสง >> A (1,:)=[ ] คาสงนเปนการลบอลเมนตทงหมดในแถวท 1 ของเมทรกซ A ซงผลลพธเปนดงน A = 5 6 7 8 9 10 11 12 ในโปรแกรม MATLAB การนาเมทรกซหลายชดมาประกอบกนใหไดเปนเมทรกซขนาดใหญขนก

สามารถทาไดและมความสะดวกมาก ยกตวอยางเชน

>> A = [0 0; 1 1; 2 2]; >> B = [3 3; 4 4; 5 5]; >> C = [A B]; เปนคาสงการตอเมทรกซ A และ B ในแนวนอนและไดเปนเมทรกซ C >> C C = 0 0 3 3 1 1 4 4 2 2 5 5 หรอ >> C=[A; B] เปนคาสงการตอเมทรกซ A และ B ในแนวตงและไดเปนเมทรกซ C C = 0 0 1 1

19

2 2 3 3 4 4 5 5 ขอควรสงเกต

1) เมทรกซจตรสเทานนทสามารถหาคาดเทอรมนนตไดโดยใชคาสงพนฐานใน โ ป ร แ ก ร ม

MATLAB ยกตวอยางการหาดเทอรมนนตของงเมทรกซทม 2 แถว 2 หลก

จากสมการ (1.5) bcaddcba

Adcba

A −==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= )det(; ในโปรแกรม MATLAB

>> A=[2 2; 2 4]; >> det(A) ans = 4 2) เมทรกซใดทมคาดเทอรมนนตไมเทากบ 0 กจะสามารถหาอนเวอรสการคณ ไดโดยใช

คาสงพนฐานในโปรแกรม MATLAB

ยกตวอยางจากสมการท 1.6 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=−

acbd

AA

)det(11

>> A=[2 2; 2 4] A = 2 2 2 4 >> inv(A) ans = 1.0000 -0.5000 -0.5000 0.5000

20

1.7.4 คาสงและฟงกชนพนฐานเพอการดาเนนการทางคณตศาสตรในโปรแกรม MATLAB

ตวดาเนนการ (operator) หมายถง ตวกระทาทมผลตอขอมล โดยทวไปสามารถแบงเปน 3 ประเภท อน

ไดแก ตวดาเนนการเลขคณต (arithmetic operator) ตวดาเนนการสมพนธและตรรกะ (relational and

logical operators) และตวดาเนนการระดบบต (bit-wise operator) ใน ลาดบถดไปจะขอกลาวและ

ยกตวอยางแตเพยงตวดาเนนการสองตวแรกทเกยวเนองเชอมโยง ส ม พ น ธ ก บ ฟ ง ก ช น พ น ฐ า นท า ง

คณตศาสตรทใชมากในงานวศวกรรมโยธา

การดาเนนการทเกยวของทางคณตศาสตรทเกยวของในโปรแกรม MATLAB กจะม รปแบบคลาย

กบการดาเนนการทใชโดยทวไปแบบพชคณต ซงจะมรปแบบและลาดบการทางานของตว ดาเนนการจะ

แตกตางกนออกไปขนกบประเภทขอมลดงตอไปน

ก) การดาเนนการทใชในการคานวณทางคณตศาสตรของสเกลาร

ในการคานวณทางคณตศาสตรทเกยวของกบคาคงทหรอของสเกลาร เครองหมายทใชในคาสง

การคานวณแบบพชคณตกบทใชในโปรแกรม MATLAB จะตางกนเลกนอย ตวอยางการ ดาเนนการท

ใชในการคานวณทางคณตศาสตรระหวางคาสเกลารในโปรแกรม MATLAB

>> a=3; >> b=2; >> M = [a+b, a-b, a*b, a\b, a/b, a^b] M = 5.0000 1.0000 6.0000 0.6667 1.5000 9.0000

ซงการดาเนนการดงกลาวสามารถสรปเขยนไดดงตารางท 1.1

21

ตารางท 1.1การดาเนนการทใชในการคานวณทางคณตศาสตรของสเกลาร

การดาเนนการ รปแบบพชคณต รปแบบของ MATLAB

การบวก a+b a+b

การลบ a-b a-b

การคณ axb a*b

การหารซาย ab a\b

การหารขวา ba a/b

การยกกาลง ab a^b

จากตวอยางทแสดงขางตน นอกจากการทางานของตวดาเนนการจะมความสาคญและเรยงลาดบจากซาย

ไปขวาแลว การคานวณทางคณตศาสตรในโปรแกรม MATLAB ยงจาเปนจะตองเปนไปตามลาดบการ

ดาเนนการ “กฎการทากอนหลง” (precedence rule) ซงเมอเขาใจถงลาดบการดาเนนการกจะสามารถ

เขยนคาสงไดในบรรทดเดยว เพอทจะทาการคานวณทางคณตศาสตรทมตาวดาเนนการหลายๆตวได

ตารางท 3.2 และตวอยางขางลางแสดงถงลาดบการทางานของตวดาเนนการ

>> y=10+2*3-4+9/3^2*2-1 y = 13 >> y=10+(2*3)-4+(9/(3^2))*2-1 y = 13

22

ตารางท 1.2 ลาดบการทางานของตวดาเนนการ

ลาดบการดาเนนการ ตวดาเนนการ

1 วงเลบ ( )

2 เลขยกกาลง ^ เรยงจากซายไปขวา

3 การคณและหาร และเรยงจากซายไปขวา

4 การบวกและลบ และเรยงจากซายไปขวา

ตารางท 1.3 ตวดาเนนการทใชในการคานวณทางคณตศาสตรของเวกเตอรและเมทรกซ

ตวดาเนนการ คาอธบายรปแบบของ MATLAB หมายเหต

+ การบวก

- การลบ

*

.*

การคณ

การคณกนในระดบสมาชก

\

.\

การหารซาย

การหารซายในระดบสมาชก

A\B ใหผลลพธเหมอนกบ inv(A)*B

/

./

การหารขวา

การหารขวาในระดบสมาชก

A/B ใหผลลพธเหมอนกบ A*inv(B)

^

.^

การยกกาลง

การยกกาลงในระดบสมาชก

23

ข) การดาเนนการทใชในการคานวณทางคณตศาสตรของเวกเตอรและเมทรกซ

ตวดาเนนการทใชในการคานวณทางคณตศาสตรของเวกเตอรและเมทรกซสามารถสรปและแสดง

ไวในตารางท 1.3 ซงโดยสรป การบวกและการลบของสองเมทรกซจะทาไดกตอเมอเมทรกซทงสองม

ขนาดเทากน โดยผลลพธทไดจะเกดจากการบวกและลบของสมาชกทละตวทอย ณ ตาแหนงตรงกนของ

ทงสองเมทรกซ นอกจากนยงสามารถทาการบวกหรอลบตวเลขทเปนสเกลารกบเมทรกซไดโดยผลลพธท

ไดจะมาจากการนาตวเลขทปนสเกลารไปบวกหรอลบกบสมาชกทละตวในเมทรกซนน ยกตวอยางเชน

A=[1 2 3; 4 5 6]; >> B=[1 1 1; -1 -1 -1]; >> A+B ans = 2 3 4 3 4 5 >> 3+B ans = 4 4 4 2 2 2

การคณของสองเมทรกซจะทาไดกตอเมอขนาดของเมทรกซนนสอดคลองกบเกณฑพนฐานของการคณ

ของเมทรกซ (ซงไดกลาวทวนไวแลวในเบองตน) ยกตวอยางเชน

>> A*B ??? Error using ==> mtimes (ขนาดของเมทรกซนนไมสอดคลองกบเกณฑพนฐาน) Inner matrix dimensions must agree.

24

>> A*B' ans = (ขนาดของเมทรกซนนสอดคลองกบเกณฑพนฐานจงสามารถคานวณได) 6 -6 15 -15

สวนเครองหมายการคณ “.*” ในระดบสมาชก (element wise multiplication) นนหมายถงการนาสมาชกท

อยในตาแหนงเดยวกนของทงสองเมทรกซมาคณกน ซงจะทาไดตอเมอเมทรกซทงสองมขนาดเทากน

นอกจากนยงสามารถทาการคณโดยตวเลขทเปนสเกลารกบเมทรกซไดโดยผลลพธทไดจะมาจากการนา

ตวเลขทปนสเกลารไปคณกบสมาชกทละตวในเมทรกซนน เชนจากตวอยางเดม

>> A.*B ans = 1 2 3 -4 -5 -6 >> 2.*B ans = 2 2 2 -2 -2 -2 เปนททราบกนดวาเครองหมายหารมประโยชนมากในการแกปญหาทางคณตศาสตร ดงนนในสวนนจะขอ

แสดงการประยกตใชงานเครองหมายหารในการแกสมการ 2 ตวแปรดงตอไปน

ถาตองการแกสมการเพอหาคาตวแปร 1x และ 2x จากสมการ

332

21

21

=−=+

xxxx

25

ถาใชหลกสมการในการแกปญหาทางคณตศาสตรสองตวแปรทวไปเพอแกสมการ จะไดวา 1x = 2 และ

2x = -1 เชนเดยวกนสมการทงสองสามารถทจะหาคาตอบไดโดยใชเมทรกซ ซงจากสมการสามารถเขยน

ใหอยในรปของเมทรกซไดดงน

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 3

311

12

2

1

xx หรอ Ax=b

โดยท A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−1112 , x = ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

xx

และ b= ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡33

การหาผลเฉลยของสมการขางตนสามารถทาไดโดยการนาอนเวอรสการคณของ A (A-1) คณเขาไปทงสอง

ขางของสมการซงจะไดผลลพธเปน x = A-1b ซงถาใชโปรแกรม MATLAB ในการหาผลเฉลยของสมการ

ขางตนกสามารถทาโดยชดคาสงดงตอไปน

>> A=[2 1; 1 -1]; >> b=[3; 3] >> x=inv(A)*b x = 2 -1 >> x=A\b x = 2 -1 คาสงพนฐานนอกเหนอจากนสามารถหาอานไดจากคมอการใช (Help) ในโปรแกรม MATLAB

26

(ค)ตวดาเนนการสมพนธและตรรกะ (relational and logical operator) จะใชในการเปรยบเทยบ

ความสมพนธของคาตวแปรทงทเปนสเกลารและเมทรกซ โดยทตวแปรทงสองดานของตวดาเนนการ

จะตองมขนาด (หรอมต) เทากน ในกรณทตวแปรทตองการเปรยบเทยบเปนเมทรกซ การเปรยบเทยบจะ

กระทาในระดบสมาชกแบบหนงตอหนง ในโปรแกรม MATLAB ไดเตรยมตวดาเนนการสมพนธและตรรกะ

ไวดงสรปทงหมด 6 แบบ ดงตารางท 1.4

ตารางท 1.4 ตวดาเนนการสมพนธและตรรกะทใชในโปรแกรม MATLAB

ตวดาเนนการสมพนธใน MATLAB คาอธบาย

== เทากบ

< นอยกวา

> มากกวา

<= นอยกวาเทากบ

>= มากกวาเทากบ

~= ไมเทากบ

(ง)ฟงกชนพนฐานทางคณตศาสตร ในสวนนจะกลาวถง ฟงกชนพนฐานทเกยวกบการแกปญหา

ทางคณตศาสตรพนฐานในงานวศวกรรม อนไดแก ฟงกชนพนฐานทเกยวกบตวเลข ฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนสาหรบเมทรกซ

27

ตวอยางฟงกชนพนฐานทเกยวกบตวเลข ทใชบอยในโปรแกรม MATLAB สามารถสรปไว ดงตารางท 1.5

ตารางท 1.5 ตวอยางฟงกชนพนฐานทเกยวกบตวเลขทใชในโปรแกรม MATLAB


abs(x) การหาคาสมบรณ (absolute value) ของตวแปร x

sqrt(x) การหารากทสอง (square root) ของตวแปร x

int(x) การหาคาจานวนเตมของตวแปร x

conj(x) การหาคาจานวนเชงซอนของตวแปร x

sign(x) การหาคาเครองหมายของตวแปร x

round(x) การหาคาจานวนเตมทมคาใกลกบคา x มากทสด

real(x), imag(x) การหาคาจานวนจรง, จานวนจนตภาพของตวแปร x

ตวอยางฟงกชนเลขชกาลงและลอการทม ทใชบอยในโปรแกรม MATLAB สามารถสรปไว ดงตารางท 1.6

ตารางท 1.6 ฟงกชนเลขชกาลงและลอการทม


exp(x) หาคา ex ของตวแปร x

log(x) หาคา log ฐาน e ของตวแปร x

log2(x) หาคา log ฐาน 2 ของตวแปร x

log10(x) หาคา log ฐาน 10 ของตวแปร x

28

ตวอยางฟงกชนพนฐานทเกยวกบฟงกชนตรโกณมต ทใชบอยในโปรแกรม MATLAB สามารถสรปไว ดง

ตารางท 1.7

ตารางท 1.7 ตวอยางฟงกชนฟงกชนตรโกณมตทใชในโปรแกรม MATLAB


sin(x), sinh(x) การหาคา sine และ hyperbolic sine ของตวแปร x*

cos(x), cosh(x) การหาคา cosine และ hyperbolic cosine ของตวแปร x

tan(x), tanh(x) การหาคา tangent และ hyperbolic tangent ของตวแปร x

asin(y), asinh(y) การหาคา sine inverse และ hyperbolic sine inverse ของตวแปร y*

acos(y), acosh(y) การหาคา cosine inverse และ hyperbolic cosine inverse ของตวแปร y

atan(y), atanh(y) การหาคา tangent และ hyperbolic tangent inverse ของตวแปร y

หมายเหต* x และ y มหนวยเปน radian

ตวอยางฟงกชนพนฐานทางสถต ทใชบอยในโปรแกรม MATLAB สามารถสรปไว ดงตารางท 1.8

ตารางท 1.8 ฟงกชนพนฐานทางสถต ทใชบอยในโปรแกรม MATLAB


min(x), max(x) หาคาตาสด สงสดของตวแปร x

mean(x), median(x) หาคาเฉลยและคามธยฐานของตวแปร x

stdev(x), sort(x) หาคาเบยงเบนมาตรฐาน และเรยงลาดบตวแปร x

sum(x), prod(x) หาคาผลบวกสะสมและผลคณตวเลขทงหมดของตวแปร x

29

1.8 เทคนคการประยกตใชโปรแกรม MATLAB เพอการแกปญหาระบบสมการเชงเสนทเกยวของ

กบงานทางวศวกรรมโยธา – กรณศกษา (การวเคราะหโครงขอหมน 2 มต)

โครงขอหมนเปนโครงสรางทประกอบดวยชนสวนบาง, ยาว ตอกนทปลายดวยการเชอม

(Welding) หรอยดดวยสลกเกลยวเขากบแผนปะกบ (Gusset Plate) วสดทใชประกอบเปนโครงขอหมน

มกจะใชไม แทงเหลก เหลก ชนสวนของโครงขอหมนจะตองประกอบและตอกนอยางแขงแรงและม

เสถยรภาพ จากรปท 1-4(a) จะเหนวาโครง ABCD จะตองพงทลายถาไมมชนสวน AC มาชวยยดไว

รปแบบทมเสถยรภาพมากทสดคอรปสามเหลยม ดงนน simple truss จะเรมตนดวยสามชนสวนตอกน

เปนรปสามเหลยม เชน ABC ดงในรปท 1-4 (b) แลวสรางตอไปดวย

รปท 1.4 โครงขอหมน 2 มต

ในการวเคราะหโครงขอหมนเมอมแรงภายนอก [P] มากระทา สงทตองการจะหากคอ แรงทฐานรองรบ

และแรงภายในทกชนสวน [f] ซงมจานวนเทากบจานวนของชนสวน เนองจากทกชนสวนจะรบแรงตาม

แกนอยางเดยว และในทกขอตอแรงจะอยในระนาบเดยวกนและมจดรวมเดยวกน หมายความวาไมม

30

โมเมนตเขามาเกยวของททกตาแหนง ดงนนสมการสมดลซงแสดงถงความสมพนธระหวาง [P] และ [f] ท

ตองตรวจสอบกคอสมการของแรงในสองแกน (ผลรวมของแรงในแนวดงและแนวราบ) ดงนนเราสามารถ

จะตงสมการสมดลซงอยในรปของสมการเชงเสนททกขอตอ [B][f] = [P] ไดดงตวอยางเชน

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−2500

030sin130cos

2

1

FF ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −750

0060sin160cos

2

3

FF

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −1000

060sin30sin60cos30cos

3

1

FF

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

0254.8660127.433000.500

3

2

1

FFF

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−2500

030sin130cos

2

1

FF ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −750

0060sin160cos

2

3

FF

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −1000

060sin30sin60cos30cos

3

1

FF

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

0254.8660127.433000.500

3

2

1

FFF

รปท 1.5 ตวอยางการวเคราะหโครงขอหมน 2 มต (local)

จากรปท 1.5 เราสามารถตงสมการสมดลในรปของสมการเชงเสนททกขอตอ [B][f] = [P] ในรปของเมท

รกซยอย(local) และแกสมการเพอหา [f] ซงในทนกคอแรงภายใน F1, F2, F3 ทกชนสวนไดทละขอตอ

31

จากตวอยางเดยวกน เราสามารถตงสมการสมดลซงอยในรปของสมการเชงเสนททกขอตอในรป

ของเมทรกซรวม (global) ดงรปท 1.6 ในรป [B][f] = [P] และแกสมการเพอหา [f] ซงในทนกคอแรงท

ฐานรองรบ H1, V2, V3 บวกกบแรงภายใน F1, F2, F3 ทกชนสวนไดในทกขอตอพรอมกน

- H2

- V2

- V3

- H2

- V2

- H2

- V2

- H2

- V2

- V3- V3- V3

รปท 1.6 ตวอยางการวเคราะหโครงขอหมน 2 มต (global)

จะเหนไดวาการแกปญหาโจทยดงกลาวจาเปนจะตองหาอนเวอรสการคณของเมทรกซซงหากเปน

เมทรกซยอยขนาด 2x2 อนเวอรสการคณของเมทรกซกสามารถทาไดโดยงายแตเมอเปนเมทรกซรวม

ขนาด 6x6 การหาอนเวอรสการคณของเมทรกซกสามารถทาไดแตมระยะเวลานาน

Coefficients of F1, F2, F3, H2, V2, V3

F1F2F3H2V2V3

=

Coefficients of F1, F2, F3, H2, V2, V3

F1F2F3H2V2V3

=

32

เพอใหสามารถแกปญหาเราสามารถประยกตใชโปรแกรม MATLAB เพอการแกปญหาดงกลาวไดดงน

เชนเดยวกบภาษาคอมพวเตอรอนๆเชน C, Fortran, Basic เราสามารถเขยนโปรแกรม Matlab ในรปของ

M-files เพอการคานวณ รบคา และ เกบคาเพอการแสดงผลดงน

ตงสมการสมดลของทกขอตอ จะไดวา

รปท 1.7 ตวอยางการวเคราะหโครงขอหมน 2 มต โดยโปรแกรม Matlab ในรปของ M-files

33

1.9 แบบฝกหด จงใชวธทเรยนมาวเคราะหหาแรงทฐานรองรบและแรงภายในทกชนสวนของโครงขอหมน 2 มตตอไปน

กาหนด

a =10 ft, b = 4 ft, p = 2 kip, q = 3 kip, and r = 3 kip

บทท 2

เทคนควเคราะหเชงตวเลขเพอ การประมาณคาในชวงและการประมาณเสนโคงทเหมาะสม

2.1 บทนา

การประมาณคาในชวง (Interpolation) และการประมาณเสนโคงทเหมาะสม (Curve Fitting) นนม

ความสาคญอยางมากในกระบวนการวดและทดสอบโครงสรางในงานทางวศวกรรม ยกตวอยางเชน

อปกรณทใชในการวดแรงนน โดยทวไป จะใช Load Cell ซง แรงทกดบน Load Cell นนจะถก

เปรยบเทยบในรปสญญาณไฟฟา เพออานคาจาก indicator โดยคาinput (แรงทกด) และ output (คาท

อานได) ดงรปท 2.1

รปท 2.1 กระบวนการวดและทดสอบแรงในงานทางวศวกรรม

แรงทกด (X) และคาทอานได (Y) เปนชดขอมลทเราทราบ ความสมพนธระหวางแรงทกด (X) และคาท

อานได (Y) ฟงกชนทอยในรป y(x) = ax + b โดยการประมาณคาในชวง หรอการประมาณเสนโคงท

35

เหมาะสมทผานยานของชดขอมลทใกลเคยงทสดเปนสงทเราตองการหาทงนเพอจะสามารถนาไปสการ

คานวณหาแรงทกด ณ ตาแหนงคาทเราไมรหรออานไมได

2.2 วธการประมาณเสนโคงทเหมาะสม (Curve Fitting Methods)

การประมาณเสนโคงทเหมาะสมมดวยกนหลายวธในทนจะแนะนาเพยง 3 วธทเปนทนยม อนไดแก

วธ Linear Regression, วธ Polynomial Regression และ วธ Multiple Linear Regression

2.2.1 วธ Linear Regression โดย Least Square Approximation สมมตให (xi, Yi), i = 1, 2, . . . , n เปนชดขอมลทเราทราบ เราตองการหาฟงกชน y = f(x) ทผาน

ชดขอมลดงกลาว ตวอยางเชนเรามชดขอมลดงตาราง และตองการหาเสนตรงทผานชดขอมลดงกลาวดง

รปท 2.2

รปท 2.2 การประมาณเสนโคงทเหมาะสมวธ Linear Regression โดย Least Square Approximation

36

สตรสมการเสนตรงใดๆคอ

y = α x + β ------------------------------------------------- (2.1)

ดงนนเราตองการหาคาของ α , β ททาใหสมการเสนตรงนผานยานของชดขอมลทใกลเคยงทสด

พจารณาสาหรบแตละจด (xi, yi), i = 1, 2, . . . , n ทโจทยกาหนดมาให เราตองการ

หาฟงกชนทอยในรป y(x) = α x + β ทผานยานของชดขอมลทใกลเคยงทสด จาก

ตวอยางขางตนทราบวา y(x) = 702.2 + 3.4x

เพอความสะดวกในการเขยนเราจะกาหนดให yi = y(xi) และ คาความผดผลาด error

สาหรบแตละ i =1, 2, . . . , n คอ

|y - yi| = ei

สงทเราตองการคอ สาหรบแตละ i = 1, 2, . . . , n

ei ≈ 0

หลกการของ Least square คอตองการหา a, b ของสมการท 2.1 เพอใหคา (คาความผดผลาด error) 2 ม

คานอยทสด

เราสามารถหาคา minimum ของ Sr ไดจากเงอนไข

37

จดใหสมการขางตนเทากบ 0 จะไดวา

เพราะ จดรปสมการขางตนใหมจะไดวา

ซงเปนระบบสมการเชงเสนสองสมการ สองตวแปรคอ α และ β คาตอบของระบบสมการคอ

หลงจากหาคาตอบของระบบสมการน ซงกคอ α และ β แลวนาเอาคาตอบทไดไปแทนลงใน

y = α x + β กจะไดสมการเสนตรงทเราตองการ

38

ตวอยาง

คาถาม จะทราบไดอยางไรวาประมาณเสนโคงขางตนนนถกตองแมนยา ตอบ เราสามารถดไดจากสมประสทธความเชอมน, coefficient of determination (r2)

39

สรปวาคาสมการประมาณโคงทไดนนถกตองและใกลเคยง 86.8% คาถาม หากเราตองการกาหนดความเชอมนถกตองและใกลเคยง เปน % ทตองการจะทาไง ตอบ เราสามารถใชคา CI, Confidence Interval

43

* การประยกตใชโปรแกรม MATLAB เพอการประมาณเสนโคงทเหมาะสมวธ Linear Regression

โดย Least Square Approximation

เราสามารถประยกตใชโปรแกรม MATLAB เพอการประมาณเสนโคงทเหมาะสมวธ Linear

Regression โดย Least Square Approximation โดยใชคาสง “regress” ใน Matlab ตวอยางเชน

จงประมาณเสนโคงทเหมาะสมวธ Linear Regression โดย Least Square Approximation ของชดขอมล

การกระทาใน Matlab เรมจากการสรางเมทรกซชดขอมลและแสดงผลโดลคาสง plot จะไดวา

44

เสรจแลวใชคาสง regress ดงน

47

2.2.2 วธ Polynomial Regression โดย Least Square Approximation จากตวอยางทผานมา เราประมาณเสนโคงดวยสมการเสนตรง linear function แตในความเปน

จรงแลวชดขอมลทไดมานน เมอนามา plot graph แลว อาจจะไมเรยงกนอยในแนวเสนตรง ดงนนถาเอา

linear function มา fit curve ของชดขอมลนแลว กจะไมสอดคลองกบความเปนจรงหรอ error คอนขางสง

โดยทวไปแลว continuous function ใดๆทสามารถหาอนพนธไดทกอนดบทเราตองการหานน สามารถ

เขยนใหอยในรป Taylor series ได และสามารถประมาณคาของ functionทอยในรปของ Taylor series

ดวย polynomial function degree m ดวยเหตน เราสามารถใช polynomial function degree m มา fit

curve ได โดยใชหลกการเดยวกน เรมจาก polynomial function degree 2

จดรปใหมจะได

48

ตวอยาง จงประมาณการชดขอมลตอไปนดวย วธ Polynomial Regression โดย Least Square

Approximation

49

เชนเดยวกนกบวธแรกเราสามารถประยกตใชโปรแกรม MATLAB เพอการประมาณเสนโคงท

เหมาะสมดวยวธ Polynomial Regression โดย Least Square Approximation โดยใชคาสง “polyfit” และ

ใชคาสง “polyval”ใน Matlab จากตวอยางขางตน

50

2.2.3 วธ Multiple Linear Regression โดย Least Square Approximation

วธนจะแตกตางจากสองวธแรก กเพยงแตท model equation ดงน

ตวอยางการประมาณการเสนโคงดวยวธ Multiple Linear Regression โดย Least Square

Approximation

และตวอยางการกระทาใน Matlab

51

2.3 วธการประมาณคาในชวง (Interpolation)

จากขางตนเราไดกลาวถงวธการประมาณเสนโคงหรอ Curve Fitting ไปแลวซงจะแตกตางกบ

วธการประมาณคาในชวง (Interpolation) อธบายไดดงรปทแสดงขางลางน

ซงโดยสรป การประมาณคาในชวง (interpolation) คอกระบวนการหาฟงกชน (โดยสวนใหญเปน

ฟงกชนพหนาม) ทกราฟของฟงกชนนนผานจด (x, y)ตอไปจะไดกลาวถง วธการประมาณคาในชวง ซงม

ดวยกน 4 วธดวยกน มาเรมจากวธทหนง

2.3.1 การประมาณคาในชวงเชงเสน (Linear Interpolation) เปนวธทงายทสด วธนใหฟงกชน

ประมาณเปนสมการเสนตรงทลากเชอมระหวางจด 2 จด ซงแสดงดวย )()( 0101 xxCCxf −+= โดยท

10 ,CC เปนคาคงตวทไมรคา ท x = x0 : f(x0) = C0+0 = C0 และ ท x = x1 : f(x1) = C0+C1(x- x0) = f(x0)

+C1(x- x0) => C1 = [f(x1) –f (x0)]/[x1- x0] อธบายสมการขางตนไดดงรป

52

จะเหนไดวาหากเรารคาทแทจรงเรากสามารถคานวณคา % ความผดพลาดได

2.3.2 การประมาณคาในชวงกาลงสอง (Quadratic Interpolation) วธนใหฟงกชนประมาณเปน

ฟงกชนกาลงสอง ))(()()( 1020101 xxxxbxxbbxf −−+−+= โดยท 10 ,bb และ 2b เปนคาคงตวท

ไมรคา ท x = x0 : f(x0) = b0+0 = b0 และ ท x = x1 : f(x1) = b0+b1(x- x0) = f(x0) +b1(x- x0)

=> b1 = [f(x1) –f (x0)]/[x1- x0] และ ท x = x2 : f(x2) = b0+b1(x2- x0) +b2(x2- x0)( x2- x1) และคา

b2=

ตวอยาง

53

2.3.3 การประมาณคาในชวงฟงกชนพหนาม (Polynomial Interpolation) หากเรามขอมล n+1 จด

ทตาแหนง x0, x1,…, xn ดงรป

วธนใหฟงกชนประมาณเปนฟงกชนพหนามอนดบ n

))()(())(()()( 21031020101 xxxxxxcxxxxcxxccxf −−−+−−+−+=

))...()((.... 110 −−−−++ nn xxxxxxc

การหาคาคงท สามารถทาไดดงตอไปน

54

ตวอยาง

55

ใน Matlab เราสามารถทาการประมาณการในชวงโดยใชคาสง “interp1” ซงการกาหนดคาจะอย

ในรปคลายกบสมการเบองตนแตอยในรปเมทรกซของลากรานจดงแสดงในตวอยาง

บทท 3

เทคนควเคราะหเชงตวเลขเพอการแกสมการเชงอนพนธแบบสามญ

3.1 บทนา

58

รปท 3.1 ผลเฉลยของ xydxdy

=

ระเบยบวธเชงตวเลขสาหรบการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธคอ การประมาณ

ชดของจดทผาน หรออยบนคาตอบของสมการเชงอนพนธภายใตเงอนไขคาเรมตน (x0, y0)

ทกาหนดมาใหนนเอง ซงมขนตอน ดงน

1. สาหรบจด (x0, y0) ใดๆ เราพจารณาชวงเลกๆจาก x ไปยง x1 ซงมความกวางเปน h

2. และพยายามประมาณคา y ทอยบรเวณจด (x1, y1) ทผานหรออยบนจด (x0, y0)

59

เหตผลทวาทาไมตองใชระเบยบวธเชงตวเลขเพอหาคาตอบของสมการเชงอนพนธคอ ในบางครงการหา

คาตอบโดยวธวเคราะหนนยากมาก และตองเสยเวลาในการหาผลเฉลยแตละครง

ในการศกษาหาระเบยบวธเชงตวเลขเพอหาคาตอบของสมการเชงอนพนธนนเรานยมทจะศกษาและ

เปรยบเทยบกบคาตอบทไดจากวธวเคราะห ควบคกนไป เพอใหเหนจดเดนและดอยของแตละวธได

ชดเจนยงขน

3.2 วธของ Euler

รปท 3.2 แนวคดของวธ Euler กรณหนงชวง

60

รปท 3.3 แนวคดของวธ Euler กรณหลายชวง

61

ตวอยาง จงหาคาตอบเชงตวเลขของสมการเชงอนพนธตอไปนโดยใชวธของ Euler และ

เปรยบเทยบกบคาตอบทแทจรง

ใน Matlab เราสามารถใชชดคาสง odeEuler.m เพอการแกปญหาโจทย

จากตวอยางขางตน ใน Matlab

62

3.3 วธของ Huen’s Method (Predictor-Corrector Approach)

63

รปท 3.4 แนวคดของวธ Heun

ตวอยาง จงหาคาตอบเชงตวเลขของสมการเชงอนพนธตอไปนโดยใชวธของ Heun และ

เปรยบเทยบกบคาตอบทแทจรง

64

ใน Matlab เราสามารถใชชดคาสง odeHeun.m เพอการแกปญหาโจทย


65

เปรยบเทยบกบวธ Euler

66

3.4 วธ Runge-Kutta (RK Method)

รปท 3.5 แนวคดของวธ Runge-Kutta

67

เนองจากการใชคาความชนในการหาคาคาตอบเชงเสน ในบางกรณเราสามารถเรยกวธนวาวธการเฉลย

ความชนแบบมนาหนก Weighted Average โดยมรปสมการทวไปดงน

Third-order RK Method

68

จะเหนไดวา เรามหลายทางเลอกในการกาหนดนาหนก Weightและความสาคญของคาความชนแบบม

นาหนก และแตละวธกจะเรยกชอแตกตางกนไปเปนลาดบ ทเปนทนยมทสดคอ RK ลาดบท 4 ซงจะม

สมการความสมพนธดงน

ตวอยาง จงหาคาตอบเชงตวเลขของสมการเชงอนพนธตอไปนโดยใชวธ RK ลาดบท 4 และเปรยบเทยบ

กบคาตอบทแทจรง

69

ใน Matlab เราสามารถใชชดคาสง odeRK4.m เพอการแกปญหาโจทย


70

3.5 แบบฝกหดทบทวน

บทท 4

เทคนควเคราะหเชงตวเลขเพอการอนทรกรลเชงตวเลข

4.1 บทนา

โดยทวไปแลวมสองสาเหตหลกๆทเราจาเปนตองศกษาอนทกรลเชงตวเลขคอ การอนท

เกรตโดยวธวเคราะหนนทาไดยากหรอในบางครงอาจะหาไมไดกได ในบางกรณเราทราบแต

ขอมลทเปนตวเลข และตองการหาคาอนทกรลของฟงกชนทสอดคลองกบขอมลเชงตวเลขนน

อนทกรลเชงตวเลขจะใชความหมายทางเรขาคณตของอนทกรลจากดเขต คอ พนทใตกราฟของ

ฟงกชนทเราตองการอนทเกรตมาประยกตใช โดยแบงสวนของพนทใตกราฟออกเปนสวนยอยๆ

หลงจากนน กประมาณคาหาพนทแตละสวนยอยแลวนามารวมกนเรากจะไดคาประมาณของ

อนทกรลจากดเขตทตองการ

รปท 4.1: กราฟแสดงแนวคดของอนทกรลเชงตวเลข

72

อยางไรกตามคาตอบทไดโดยระเบยบวธเชงตวเลขนเปนคาตอบโดยประมาณ ไมใชคาตอบท

แทจรงแตอยางใด ดงนนเราจงจาเปนทจะตองทราบขอบเขตคาคลาดเคลอนของแตละวธทเราได

ศกษา

73

ทบทวน Taylor Series

Taylor series of a function

Taylor series expansions for some common functions

74

ตวอยาง

จาก Taylor series ทราบวา

จากตวอยางเราพบวาการใช Taylor series มาชวยในการประมาณคาอนทกรลนน

คอนขางยงยาก หากฟงกชนทนามาอนทเกรตนนอยในรปแบบทซบซอนดงนน เราจงนาเอาการ

ประมาณคาในชวงมาชวยในการประมาณคาฟงกชนกอนการอนทเกรต นนคอ

ซงในทนเราจะพจารณาเฉพาะกรณทระยะหางของแตละชวงยอยในการอทเกรตนน มคาเทากน

ทงหมด ทงนเพอความสะดวกในการคานวณนนเอง

75

4.2 การประมาณคาอนทกรลในชวงโดยฟงกชนเชงเสนหรอวธ Trapezoidal rule

รปท 4.2: กราฟแสดงแนวคดการประมาณอนทกรลเชงตวเลขดวยวธ Trapezoidal Rule

76

ตวอยาง จงประมาณคาของ

วธทา

จากตวอยางจะเหนไดวาการประมาณคามความคลาดเคลอน เพอเพมความแมนยาของการ

ประมาณคาของอนทรกลนไดคอ การแบงชวงของการอนทเกรตออกเปนชวงยอยๆแลวใช

Trapezoidal rule มาชวยในการประมาณคา เชน แบงชวงของการอนทเกรตออกเปนชวงยอยๆ

โดยทแตละชวงยอยมความกวางเทาๆกน วธดงกลาวกเรยกวา Multiple Application

Trapezoidal Rule หรอ Composite Trapezoidal Rule

77

รปท 4.3: กราฟแสดงแนวคดการประมาณอนทกรลเชงตวเลขวธ Composite Trapezoidal Rule

4.3 พนฐานการประมาณคาอนทกรลโดยฟงกชนใน Matlab

การประมาณคาอนทกรลใน Matlab โดยทวไปนนสามารถทาไดโดยการใชคาสง “int” ซง

สามาถทาการอนทเกรตไดทงแบบสญญลกษณ แบบชวงปด และสามารถทาการคานวณ

คาไดอตโนมต การใชคาสง “int” แสดงดงตวอยางขางลาง

78

ตวอยาง

การแบงชวงของการอนทเกรตออกเปนชวงยอยๆแลวใช Trapezoidal rule มาชวยในการ

ประมาณคาหรอทเรยกการประมาณการคงกลาวขางตนวาการประมาณอนทกรลเชง

ตวเลขวธ Composite Trapezoidal Rule กสามารถกระทาไดใน Matlab เชนเดยวกนโดย

ใชคาสง “trapz” ดงแสดงในตวอยางขางลาง

79

4.4 การประมาณคาอนทกรลในชวงโดยวธ Simpson’s rule

4.4.1 วธ Simpson’s 1/3 rule

81

4.4.2 วธ Simpson’s 3/8 rule

การประมาณอนทกรลเชงตวเลขจากสตรขางตนมชอเรยกวา “Simpson’s 1/3 Rule” ซง

ทาการประมาณคาอางองจากขอมล 3 จดหากมการอางองจากขอมล 4 จดการประมาณ

อนทกรลเชงตวเลขกจะมชอเรยกวา “Simpson’s 3/8 Rule” และมสตรการประมาณการดงน

รปท 4.4: กราฟแสดงแนวคดการประมาณอนทกรลเชงตวเลขวธ Simpson’s 1/3 และ 3/8 Rule

82

เชนเดยวกบวธ Trapezoidal Rule เราสามารถแบงชวงอนทเกรตออกเปนชวงยอย แลว

จงทาการประมาณคาดวยวธ Simpson’s Rule เพอใหเกดความแมนยาของการประมาณสงขน

สรปไดวา

83

4.5 การวเคราะหคาความคลาดเคลอนสาหรบวธ Trapezoidal rule

จากทกลาวไปแลววาเทคนคตางๆสามารถทาไดเพอเพมความแมนยาหากแตยงมความ

คลาดเคลอนเมอเทยบกบคาทไดทางทฤษฎ

85

4.6 การวเคราะหคาความคลาดเคลอนสาหรบวธ Simpson’s rule

เชนเดยวกบวธ Trapezoidal Rule วธ Simpson’s rule กมคาความคลาดเคลอนเมอเทยบ

กบคาทไดทางทฤษฎเชนเดยวกน แนวทางพสจนกคลายกบคาความคลาดเคลอนทวเคราะหได

จากวธ Trapezoidal Rule ซงจะขอละไว ณ ทน

โดยคาความคลาดเคลอนสาหรบวธ Simpson’s 1/3 และ Simpson’s 3/8 สามารถหาได

จากตารางทแสดงขางลาง

จากตารางไดมการเปรยบเทยบคาความคลาดเคลอนของวธ Simpson’s 1/3 และ Simpson’s

3/8 ไวดวย จะเหนไดจากสตรสาหรบการคานวณคาคลาดเคลอนวาคาความคลาดเคลอนของ

86

วธ Trapezoidal จะขนอยกบ h2 คอ ถาลดคา h ลงครงละสองเทา (n เพมขนครงละสองเทา)

อตราของคาคลาดเคลอนสาหรบแตละ n ทเพมขนครงละสองเทาจงมคาประมาณเปน 4 ในขณะ

ท คาความคลาดเคลอนของวธ Simpson จะขนอยกบคา h4 ถา h ลดลงครงละสองเทาแลวอตรา

ของคาคลาดเคลอนลดลงในอตราสวนคงตวคอ 16

เพอเปนการทบทวนขนตอนการประมาณการอนทรกรลโดยใชวธทงสามขอใหนกศกษา

พจารณาตวอยางละคานวณหาคาอนทรกรลดงน

ตวอยาง

Comparison of Trapeziod Rule and Simpson's 1/3 Rule

Integrate using 10 intervals

The correct answer is 0.7468

x y mult Calc0 1.0000 1 1

0.1 0.9900 4 3.9601990.2 0.9608 2 1.9215790.3 0.9139 4 3.6557250.4 0.8521 2 1.7042880.5 0.7788 4 3.1152030.6 0.6977 2 1.3953530.7 0.6126 4 2.4505060.8 0.5273 2 1.0545850.9 0.4449 4 1.779432

1 0.3679 1 0.367879

Trapeziod 0.746211

Simpson 0.746825

∫ −=1

0

2

dxeI x

87

4.7 การประยกตใชวธ Trapezoidal และ Simpson’s rule ในงานวศวกรรม

ในตอนนจะขอยกตวอยางการประยกตใชวธ Trapezoidal และ Simpson’s rule ในงาน

การคานวณพนทดนตดดนถมของหนาตดถนน ซงพบเหนไดบอยในงานวศวกรรมการทาง

ตวอยาง คณเปนวศวกรโยธาของบรษทอตาเลยนไทย คณไดรบมอบหมายใหรบผดชอบการหา

ปรมาตรดนตดดนถมของถนนเสนหนง ในชวงระหวาง station 0+00 จนถง station 0+25 ชด

ขอมลงานดนททางบรษทจดหามาใหโดยทมสารวจท station 0+00 ยาวไปจนถง station 0+25

แสดงดงตารางและรปขางลาง

จงใชวธ a) Trapezoidal Rule และ b) Simpson’s 1/3 Rule

เพอคานวณหาปรมาตรดนตดดนถมของถนนเสนดงกลาว กาหนด b=10

88

วธทา เพอคานวณหาปรมาตรดนตดดนถมของถนนเสนดงกลาว ในขนแรกเราจะตองทาการ

คานวณหาพนทดนท station 0+00 โดยใชวธ a) Trapezoidal Rule และ b) Simpson’s

1/3 Rule กอน เสรจแลวคณดวยระยะทาง 25 เมตรเพอคานวณปรมาตร

ปรมาตรดนตดดนถมของถนนคานวณโดยวธ Trapezoidal = 1622.9 x 25 = 40572.5 m3

89

ดงนนปรมาตรดนตดดนถมของถนนคานวณโดยวธ Simpson =1456.8 x 25 = 36420 m3

จะเหนไดวาคาทไดจากวธทงสองมคาแตกตางกน โดยทวไปจะใชคาเฉลยของวธทงสองเปน

คาตอบแตหากมการคานวณคาความคลาดเคลอนกจะสามารถทราบไดวาวธใดดทสด

บทท 5

เทคนคการหาคาทเหมาะสมทสด Optimization

5.1 บทนา

หนงในบรรดาคณคศาสตรสาขาประยกตคอ การศกษาเทคนคเพอการหาคาทเหมาะสม

ทสด หรอ Optimization เปนการนาคณตศาสตรมาใชในการแกปญหาทตองการทราบจดหรอ

คาตอบทเหมาะสมหรอไดประโยชนสงสด (Solving optimization problems) ตวอยางเชน ใน

เรองผลตอบแทนเราตองการจะไดสงทสดทจะเปนไปได (Maximize) สวนเรองเวลาทใช ตนทน

หรอวตถดบ เราตองการใหตาทสดเทาทจะเปนไปได (Minimize) ภายใตเงอนไขและขอจากดท

หลกเลยงไมได เทคนคนไดถกนามาประยกตใชเปนครงแรกโดย Cauchy ในเรองการหาคา

ตาสด และไดถกพฒนาเปนลาดบอยางตอเนองเพอนามาประยกตใชในงานวศวกรรม

5.2 การนาเอา Optimization ไปใชประโยชนในงานวศวกรรมโยธา

การนาเอา Optimization ไปใชกบปญหาตางๆ ทเกดขนมากมาย ยกตวอยางเชน ใน

สวนของวศวกรโครงสราง การออกแบบโครงสราง ไดมการนาเทคนคดงกลาวมาประยกตใชรวม

เพอศกษาพฤตกรรมของโครงสรางโดยใชหลกของพลงงานและ เพอหาตนทนการกอสรางทตา

ทสด หรอในงานวศวกรรมขนสงกไดมการนาเอาเทคนคดงกลาวมาประยกตใชเพอการวางแผน

91

และกาหนดตารางการขนสงในรปแบบของแบบจาลองเครอขาย หรอแมกระทงในงานวศวกรรม

แหลงนากสามารถนาเอาเทคนคดงกลาวมาประยกตใชไดกบการคานวณการควบคมการเคลอน

ตวของปรมาณนาและการขนทงของสารเคม

การศกษาเทคนคเพอการหาคาทเหมาะสมทสด หรอ Optimization ประกอบไปดวย

องคประกอบสาคญ 3 สวนคอ

1. Decision variable หมายถงตวแปรทใชตดสนใจ ซงผวเคราะหโดยทวไปเปนผกาหนด ตว

แปรทกคาเปนอสระตอกน ตวแปรทกคาตองคงทแนนอน และรคาจรง

2. Objective function หมายถงความตองการสดทาย ทตองการจะไดสงทสดเทาทจะเปนไปได

Maximize หรอ ทตองการจะไดตาทสดเทาทจะเปนไปได Minimize แลวแตกรณ

3. Constraints หมายถง ขอจากด หรอ เงอนไข ทจาเปนตองทาตามหรอหลกเลยงไมได

ซงทง 3 องคประกอบนนยมใชรวมกบแบบจาลองทใชสาหรบหา Maximize or

Minimize ท สมการความสมพนธระหวาง Objective function และ Constraints เปนเสนตรง

(Linear relationship) ทงนเพราะธรรมชาตของหลายๆปญหา มความสมพนธกนในลกษณะเชง

เสน (Linear) หรออยางนอยกสามารถอนโลมเปนเชงเสนได โดยทมขอผดพลาดเลกนอยเทานน

นอกจากนเมอเสรจสนการวเคราะหแลว ผวเคราะหยงสามารถมแนวทางการตดสนใจแบบ

"What ....if " เพอใหลองทดสอบเปลยนแปลงเงอนไขไดงาย อนจะทาใหผวเคราะหสามารถใช

เปนเครองมอในการวางแผน รบมอ กบปญหา หรออปสรรค ทอาจเกดขนได

92

5.3 การแกปญหาวศวกรรมโดยใชเทคนค Optimization รวมกบ Excel

เพอกอใหเกดการเรยนรเทคนคเพอการหาคาทเหมาะสมทสด หรอ Optimization ไดใน

ระยะเวลาอนสน ในท นจะขอยกตวอยางการแกปญหาในงานวศวกรรมโดยใชเทคนค

Optimization รวมกบ Excel ในการแกปญหาโจทย

ตวอยาง คณเปนวศวกรโครงการของบรษทตางชาตแหงหนงทเขามาประกอบกจการในประเทศ

ไทย ในชวงระหวางทดลองงานคณเขามาปฏบตหนาทในวนแรกและถกถามใหออกแบบขนาด

ของถงรปทรงกระบอกซงจะตองสามารถทาการตดตงไวทายรถปคอพของบรษทเพอใชในการ

ขนยายนาเสยออกจากพนททเพงทาการขดลอกออกจากบรเวณโครงการดวยงบประมาณท

จากดและกอใหเกดความปลอดภยในเวลาเดยวกน

ตวอยางวธการคด จากทไดเ รยนมาทภาควชาวศวกรรมโยธา คณะวศวกรรมศาสตร

มหาวทยาลยมหดลคณไดรบทราบกระบวนการคดในเบองตนเกยวกบองคประกอบสาคญ 3

สวนคอดงน

• Decision variable หมายถงตวแปรทใชตดสนใจ ในทนคอราคากอสรางของถงรป

ทรงกระบอกประกอบไปดวยสองสวน คอคาใชจายทเกยวเนองกบวสด (สมพนธ

โดยตรงกบนาหนกของวสด) และ คาใชจายทเกยวเนองกบคาการเชอมวสดทงดานใน

และนอกของตวถง (สมพนธโดยตรงกบความยาวของรอยเชอม)

93

• Objective function หมายถงความตองการสดทาย ทตองการจะไดในทนคอราคา

กอสรางของถงทตองการจะไดตาทสดเทาทจะเปนไปได

• Constraints หมายถงขอจากดหรอเงอนไขทหลกเลยงไมไดในทนคอปรมาณสารเคมท

ทตองขนยายและขนาดของกะบะทายรถปกอพทถงจะตองถกตดตง

ตวอยางวธการทา

98

ผลจากการแกปญหาโจทยขางตนโดยใชเทคนค Optimization รวมกบ Excel ในการแกปญหา

โจทยพบวาขนาดของถงทเลกทสดทควรใชอยท D=0.983เมตร และ L=1.053 เมตร โดยราคา

ของคากอสรางอยท $5723.149

5.3 การแกปญหาวศวกรรมโดยวธกราฟ

โดยมากระบบของปญหาในงานทางวศวกรรม จะมตวแปรซงเปนองคประกอบของ

ระบบจานวนมากซงมซบซอนมาก การหาผลลพธจงมกจะใชคอมพวเตอรชวยในการคานวน ใน

ปจจบนไดมการพฒนาโปรแกรมคอมพวเตอรสาเรจรปเพอใชในการแกปญหาโปรแกรมเชงเสน

ดงในตวอยางแรกทเราสามารถใช Excel ในการแกปญหาโจทย อยางไรกตามเราจาเปนตอง

เรยนรถงลกษณะของปญหางายๆ ใหเขาใจเปนขนตอนเพอความเขาใจในการแกปญหาซบซอน

ตอไป สาหรบปญหาทมเพยง 1 หรอ 2 ตวแปร วธกราฟเปนวธงายๆ ซงสามารถจะหาคาตอบ

ตวอยางถดไปจะขอนาเสนอการแกปญหา

99

ตวอยาง พจารณาโปรแกรมเชงเสนตอไปน

การแกปญหาโปรแกรมเชงเสนโดยวธกราฟมขนตอนตอไปน

1. วาดกราฟของสมการแสดงขอบขายท งหมด (สมการขอจากด และ non-negativity

constraints)

2. ระบพนททเปนสอดคลองกบขอจากดทงหมด นนคอคาตอบของสมการแสดงขอบขายทงหมด

อยบนพนทนพนทนเรยกวา (feasible region)

เราจะเหนไดวาคาของตวแปร และ ทอยในพนททแรงเงามคาทสอดคลองกบขอจากดท

กาหนด

3. วาดกราฟของสมการกาหนดเปาหมายโดยการกาหนดใหสมการกาหนดเปาหมายมคาตางๆ

พรอมทงหาทศทางการเปลยนคาของสมการกาหนดเปาหมาย

100

สมการ เปนเสนตรงโดยทจดตางๆ บนเสนตรงจะใหคา z เดยวกน เมอ

กาหนดคา z คาใหมสมการทไดจะเปนเสนตรงทขนานกบเสนเดม จากกราฟขางตนจด

ทกๆจดทอยบนเสนตรง จะมคาของสมการกาหนดเปาหมายเทากบ 2

ในขณะเดยวกนสาหรบจด ทอยบนเสนตรง จะมคาของสมการกาหนด

เปาหมายเทากบ 5 เราจะเหนไดวาเมอคาของสมการกาหนดเปาหมายเพมขนเรอยๆ เสนตรงจะ

เลอนขนไปทางขวามอ ดงแสดงในกราฟ

4. ในการหาคาตอบของโปรแกรมเชงเสนสามารถทาไดโดยการเปลยนคาของสมการกาหนด

เปาหมาย ถาสมการกาหนดเปาหมายตองการหาคาสงสด คาตอบของโปรแกรมเชงเสนขางตน

คอคาของตวแปร และ x2 ททาใหคาของสมการกาหนดเปาหมายมคาสงสดโดยทคาของ

ตวแปรนนจะตองอยในพนททแรเงาดวย

101

จากกราฟขางตน ในการหาคาสงสดของสมการกาหนดเปาหมายทาไดโดยเลอนเสนตรงไป

ทางขวาจนสดเขตพนททแรงเงา จะเหนไดวา คาของ และ ททาใหคาของสมการกาหนด

เปาหมายมคาสงสดคอ โดยทคาของสมการกาหนดเปาหมายมคา

เทากบ 22/3 ถาเราตองการหาคาตาสดของสมการกาหนดเปาหมายทาไดโดยเลอนเสนตรงไป

ทางซายจนสดพนทแรงเงา คาของ และ ททาใหคาของสมการกาหนดเปาหมายมคาตาสด

คอ

เนองจากสมการแสดงขอบขายของแตละสมการเปนเสนตรงจะทาใหพนทของจดทสอดคลองกบ

ขอจากดทงหมด เปน polygon จากตวอยางขางตนพบวาคาของ และ ททาใหสมการ

กาหนดเปาหมายมคาทดทสดจะอยทจดยอดจดใดจดหนงของสมการแสดงขอบขายเหลานน

จากขอสงเกตนเราสามารถแกโปรแกรมเชงเสนไดโดยหาจดยอดทกๆ จดบนพนททแรงเงาหา

คาของสมการกาหนดเปาหมายของจดเหลานน และเปรยบเทยบหาคาตอบ จากตวอยางขางตน

จะไดวา

102

จะเหนไดวาในกรณนคาของสมการกาหนดเปาหมายมคาสงสดเทากบ 8 เมอ และ

หรอ และ จากกราฟเราจะเหนไดวาคาตอบทงหมดคอจดทกๆจด

ของ และ ทอยบนเสนตรง โดยท มคาอยระหวาง 2/3 และ 2

แบบฝกหด จงแกการแกปญหาโดยวธกราฟและเปรยบเทยบกบคาตอบทไดจาก Excel Solver

103

คาตอบ

บทท 6

อนกรมฟเรยร

6.1 บทนา

บอยครงทวศวกรตองเรยนรสภาพทางธรรมชาต เชน การไหลของความรอน ความถ

ธรรมชาตของการสนทางวศวกรรม การสนไหวของโครงสรางและเปลอกโลก การเคลอนทของ

แสงและเสยง ซงเหลานมพฤตกรรมการเคลอนทสามารถทจะเปนการเคลอนทในรปแบบใดกได

ไมมขอจากดทแนนอน แตในการสน วตถทเกดการสนมกจะมการเคลอนทกลบไปกลบมา ใน

รปแบบตางๆ สาหรบการเคลอนทกลบไปมาซาตวเองทงายตอการพจารณาและนามาสราง

แบบจาลองมากทสด คอการเคลอนทแบบฮารโมนกส (Harmonics Motion) ซงการเคลอนท

แบบนจะพบมากในชนสวนทางกลตางๆ และการเคลอนททมลกษณะเปนวงกลมรอบจดคงทจด

หนงหรอเปนคาบ ๆ และสามารถเขยนในลกษณะเปนฟงกชน g(x) แทนคาบเหลานน

(1) ( ) ( )xgpxg =+ สาหรบทก ๆ x

เมอคา P เรยกวา คาบ ของฟงกชน

พจารณาฟงกชนคาบ 2π ถา g(x) มคาบ P ดงนน ( ) ( / 2 )f x g Px π= จะเปนคาบ

2π และสามารถตรวจสอบไดโดยสงเกตจาก

(2) ( )( 2 )2 2Px Pxf x g P g f xππ π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

108

ในสวนตอไปน เราจะสมมตวา ( )f x คอฟงกชนทมคาบ2π ดงน

(3) ( )( 2 )f x f xπ+ = สาหรบทก ๆ x หนวยการเรยนนจะกลาวถงนยามและสวนประกอบตางๆ ทเปนพนฐานของการเคลอนทแบบ

ฮารโมนกส รวมถงการศกษาถงวธทางคณตศาสตรทใชในการวเคราะหฮารโมนกส หรอ

การศกษาอนกรมฟเรยร

6.2 นยามเกยวกบการเคลอนทแบบฮารโมนกส

6.2.1 รอบ (Cycle) การเคลอนทของวตถจากสภาพสมดลหรอจากจดสมดลเรมตนหนง

ไปในทศทางหนงจนกระทงถงจดสงสดหรอไกลทสดในทศทางการเคลอนทนน แลว

ยอนกลบมาผานจดสมดลและเคลอนทตอไปในทศทตรงกนขามกบทศทางแรกจนกระทง

ถงจดสงสดหรอไกลทสดในทศทางนน แลวกลบมาทจดสมดลอกครงหนง การเคลอนท

ครบวงรอบดงทกลาวมาน เราจะเรยกวาวตถนนเคลอนทครบหนงรอบ (Cycle) ของการ

สนหรอรอบของการเคลอนท

6.2.2 ชวงกวาง (Amplitude) ระยะการขจดทวดจากจดสมดลถงจดสงสดหรอไกลจาก

จดสมดลทสดในการเคลอนท เราเรยกระยะนนวา ชวงกวาง (Amplitude) ของการสน

6.2.3 คาบการสน (Period) คอชวงเวลาทใชในการเคลอนครบหนงรอบการเคลอนท

ซงสญลกษณทจะใชในทนคอ

109

6.2.4 ความถ (Frequency) ความถของการสนคอจานวนรอบการสนทวตถเคลอนทใน

หนงหนวยเวลา ดงนนความถ จะมความสมพนธกบคาบการสนคอ

และหนวยของความถจะเปนสวนกลบของเวลา แตทเรานยมใชคอสวนกลบของวนาท

หรอ Hertz, Hz สาหรบความถเชงมมหรอความเรวเชงมม (Angular Frequency หรอ

Angular Velocity) จะเปนมมทวตถเคลอนทรอบจดศนยกลางในหนงหนวยเวลา ซง

ความถเชงมมนจะมความสมพนธกบความถคอ

และความถเชงมมนจะมหนวยเปน

อยางไรกตามแมวานยามของความถและความถเชงมมจะตางกน แตความแตกตางนจะ

ไมคอยไดรบความสนใจในการสนทางวศวกรรมมากนกอาจเปนเพราะวาเราม

ความสมพนธระหวางทงสองคาอยแลวกได โดยในการพจารณาเรองการสนทางวศวกรรม

น เมอเรากลาวถงความถเราอาจหมายถงไดทงความถ f และความถเชงมม ซงการท

จะบอกใหแนชดวาเปนคาใดนนเราจะใชสงเกตจากหนวยของปรมาณนน นอกจากนนแลว

ในการศกษาวชานเมอเรากลาวถงความถ เรามกจะหมายถงความถเชงมม มากกวาคา f

ซงผอานจะไดสงเกตพบในหนวยตอๆ ไป

110

6.2.5 มมเฟส (Phase Angle) หากเราพจารณาการเคลอนทของวตถทเปนอสระตอกน 2

วตถ โดยทงสองมสมการการเคลอนทดงน

และ

ซงกราฟแสดงการเคลอนทของวตถทงสองนแสดงในรปท 6.1 จากสมการการ

เคลอนททกาหนดใหน เราสามารถกลาวไดวาการเคลอนทของวตถทงสองนสอดคลองกน

(Synchronous) เพราะทงคเกดการเคลอนทดวยความถ ทเทากน ซงการเคลอนทท

สอดคลองกนนไมจาเปนตองมชวงกวางเทากน อกทงยงไมมความจาเปนทวตถทงสองจะ

ถงจดการเคลอนทสงสดพรอมกน และมมเฟสคอมมทวตถสองชน เคลอนทถงจดสงสด

แตกตาง โดยวตถทงสองชนตองเคลอนทสอดคลองกน จากรปท 6.1 เราจะพบวากราฟ

จะถงจดสงสดกอนทกราฟ จะถงจดสงสด ซงเรา

สามารถกลาวไดอกอยางหนงวาการเคลอนททงสองมเฟสแตกตางกนเทากบ โดย

การเคลอนทของ จะนา (lead) คอขนถงจดสงสดกอน วตถ ใน

การเคลอนทในรอบเดยวกนอยเทากบ

111

φ

t

x

รปท 6.1 การเคลอนททมมเฟสทแตกตางกน

การเคลอนทแบบฮารโมนกสอยางงายน ถาเราพจารณาอกลกษณะหนงเรากอาจจะมอง

ไดเหมอนกบการเคลอนทของคลนไดเชนกน เชนการเคลอนท และ

หากเรานาการเคลอนททงสองมารวมกน เรากจะไดการเคลอนททเปน

ลกษณะฮารโมนกสอกแบบหนง นนคอถา เราจะไดการเคลอนทเปน

ซงกราฟแสดง และ ไดแสดงไวในรปท 6.2 ซงการรวมการเคลอนทนจะเหน

วาจะคลายกบการรวมคลน การรวมการเคลอนทในลกษณะนจะเกดขนในกรณทระบบมลาดบ

ขนความเปนอสระทมากกวาหนง แลวมวลในระบบเกดการสนขน ซงโดยปกตแลวระบบทม

ลาดบขนความเปนอสระ n จะมความถธรรมชาตเทากบ n คา การทระบบทงระบบสนดวย

ความถธรรมชาตความถใดความถหนงเราเรยกวาระบบเกดการสนใน โหมดปกต (Normal

112

Mode) อยางไรกตามระบบสามารถทจะสนในความถธรรมชาตหลายๆความถไดพรอมกน ซง

ลกษณะกจะเปนการสนทรวมความถธรรมชาตหลายความถเขาดวยกน

รายละเอยดของการสนในโหมดปกตนน เราจะกลาวถงในหวขอของระบบทมลาดบขน

ความเปนอสระเทากบสอง และมากกวาสอง ซงเราจะศกษาในลาดบสงตอๆ ไป

x3 = x1 + x2

x2 = A2 sin ω2t

x1 = A1 sin ω1t

รปท 6.2 การรวมการสน

จากรปท 6.2 การเคลอนททไดจากการรวมการเคลอนทสองสวนเขาดวยกน เราจะ

พบวาทงชวงกวางการสนและความถไมจาเปนทจะตองเทากบการเคลอนทคาใดคาหนง ในการ

รวมการเคลอนทหรอคลนเขาดวยกน จะเกดปรากฏการณทนาสนใจปรากฏการณหนงคอ ถา

การเคลอนททงสองมความถใกลเคยงกนมาก ตวอยางเชนเราให

113

และ

เมอ คอปรมาณทมคานอย เมอเรารวมการเคลอนททงสองเขาดวยกน เราจะได

ซงจากเอกลกษณะตรโกณมต ดงนนเราจะได

ซงหากเรานาคาทไดจากสมการดงกลาวไปเขยนกราฟจะไดกราฟในรปท 6.3 ซงเรา

สามารถประมาณไดวาผลรวมทไดมลกษณะเปนกราฟไซน มความถ และมชวงกวางการสน

เพมขนและลดลงระหวาง 0 ถง 2A ดวยความถ ปรากฏการณนเราเรยกวา การบท (Beat)

และความถทเกดการลดลงและเพมขนของชวงกวางนเราเรยก ความถการบท (Beat

Frequency)

ปรากฏการณการบทน เรามกจะพบเหนในการสนของเครองจกรในกรณทการสนเกด

จากชนสวนทเคลอนทมากกวาสองชนและมความถทใกลเคยงกน หรอเรายงอาจพบไดในกรณท

ความถของแรงกระทาเขาใกลความถธรรมชาตของการสนของระบบ ซงการสนจะเพมและลด

ขนาดลงเปนหวงๆ ซงปรากฏการณเหลานลวนแตเปนอนตรายตอโครงสรางหรอเครองจกร

ทงสน เพราะจะทาใหชนสวนตางๆรบภาระกรรมแบบแรงกระทาซาอยตลอดเวลาและอาจเกด

การเสยหาย เนองจากความลาได นนคอแมวาความเคนทเกดขนยงไมเทากบความเคนสงสดท

วสดรบได แตวสดหรอโครงสรางกอาจเสยหายเนองจากแรงกระทาซานได

114

x = cos(δωt/2)

รปท 6.3 ปรากฎการบท

6.3 การวเคราะหฮารโมนกสในรปอนกรมฟเรยร

แมวาการเคลอนทแบบฮารโมนกส เปนการเคลอนทแบบงายทสดในการพจารณาการ

สนของระบบ แตในทางปฎบตแลวระบบทเกดการสนทงหมดไมจาเปนทจะตองมการเคลอนท

แบบฮารโมนกส อยางไรกตามเนองจากการสนโดยทวไปนนการเคลอนทจะเกดขนในลกษณะ

เปนการเคลอนทแบบซาตวเองหรอเคลอนทเปนคาบเสยเปนสวนใหญ ซงจากหลกคณตศาสตร

แลวเรามทฤษฎหนงททาใหเราพจารณาฟงกชนใดๆกตามทเปนฟงกชนแบบเปนคาบ จะ

สามารถเขยนใหอยในรปของอนกรมของฟงกชนฮารโมนกสได ซงการพจารณาฟงกชนทเปน

คาบใหเปนอนกรมดงกลาวเรามกเรยกวา การวเคราะหฮารโมนกส (Harmonic Analysis) และ

อนกรมทเราใชแทนคาฟงกชนเปนทรจกกนดในชอของ อนกรมฟเรยร (Fourier series) ซงจะ

เปนอนกรมของฟงกชนไซนและโคไซน

115

ถาฟงกชน เปนฟงกชนซาตวเองใดๆ ซงมคาบเทากบ เราสามารถทจะเขยน

ฟงกชนนใหอยในรปของอนกรมอนนตฟเรยรไดในรป

หรอ

เมอ ซงเปนคาความถพนฐาน (Fundamental Frequency) สาหรบพจนทมความถ

พนฐานเรามกจะเรยก ฮารโมนกสพนฐาน สวนพจนทมความถ เรานยมทจะเรยก

ฮารโมนกสลาดบทสอง, ลาดบทสาม ตามลาดบตอๆไป สวนคา และ

จะเปนคาคงท ซงเรานยมเรยก สมประสทธฮารโมนกส (Harmonic Coefficient หรอ Fourier

Coefficient)

ในการหาคาสมประสทธฮารโมนกสเหลานเราสามารถกระทาไดโดยคณสมการดวย

หรอ ตามลาดบ จากนนหาปรพนธในชวงหนงคาบของฟงกชน นนคอหา

ปรพนธจาก ถง ซงทาใหเทอมอนๆจะมคาเทากบศนย และเราจะไดวา

116

สาหรบวธการพสจนเราสามารถหาไดจากหนงสอทางดานคณตศาสตรทวไป

การเคลอนทของระบบใดๆทมลกษณะเปนคาบดวยฟงกชน เมอกระจายฟงกชน

นออกไปเปนอนกรมฟเรยรแลวเราจะสามารถบอกไดวาฟงกชนนนประกอบดวยฟงกชนฮารโม

นกสใดบาง และแมวาอนกรมฟเรยรนจะเปนอนกรมอนนต แตเรากสามารถทจะประมาณคา

ฟงกชนนดวยผลรวมของเทอมตนๆได เพราะโดยทวไปแลวเทอมทมความถสงมากขนมกจะม

ขนาดลดลง

117

แบบฝกหด ในแบบฝกหดท 1 ถง 5 ใหหาคาของอนกรมฟเรยรจากฟงกชนทใหมาคาใบ ใหทาตาม

กระบวนการทแสดงในตวอยางท 5.13 และ 5.14 กราฟแตละฟงกชน และบางสวนของ ( ) ( ) ( )xandSxSxS 432 ,, ของคาอนกรมฟเรยรทสอดคลองกนเหมอนในรปท 5.19

1. ( ) =xf⎩⎨⎧

<<<<−−π

πxfor

xfor01

01

วธทา ja ( ) ( )dxjxxf cos1∫−=π

ππ ท j = 1 , 2 , 3 , …

( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−= ∫∫− dxjxdxjx cos1cos11

0

0 π

ππ

( ) ( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−=

−

π

ππ 0

0

sin1sin11 jxj

jxj

( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++−= 0sin1sin1sin10sin11

jj

jj

jjππ

π

= 0

jb ( ) ( )dxjxxf sin1∫−=π

ππ ท j = 1 , 2 , 3 , …

( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−= ∫∫− dxjxdxjx sin1sin11

0

0 π

ππ

( ) ( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

−

π

ππ 0

0

cos1cos11 jxj

jxj

( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−= 0cos1cos1cos10cos11

jj

jj

jjππ

π

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= π

πj

jjcos221

( )( )ππ

jj

cos12−=

( )( )j

j112

−−=π

118

0a ( )dxxf∫−=π

ππ1

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−= ∫∫− dxdx

π

ππ 0

0111

( )π

ππ 0

01 xx +−=−

( )001−+−−= ππ

π

= 0

( ) ( )( )∑∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

1sin112

j

j jxj

xfπ

2. ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<≤−

<≤−+=

ππ

ππ

xforx

xforxxf

02

02


ππ ท j = 1 , 2 , 3 , …

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += ∫∫− dxjxxdxjxx cos

2cos

21

0

0 π

π

πππ

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

∫

∫∫∫ −−

dxjxx

dxjxdxjxxdxjx

cos

cos2

coscos21

0

0

00

π

π

ππ

ππ

π

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+

++−

= −−−

ππ

π

πππ

ππ

π

002

0

00

2

0

sincos1

sin2

sincos1sin21

jxjxjx

j

jxj

jxjxjx

jjx

j

( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++−= 0cos1cos1cos10cos11

2222 jj

jj

jjππ

π

( ) ( )( )1coscos112 −++−= πππ

jjj

( )( )1cos22 −= ππ

jj

( )( )1122 −−= j

j π

119


ππ ท j = 1 , 2 , 3 , …

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += ∫∫− dxjxxdxjxx sin

2sin

21

0

0 π

π

πππ

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

∫

∫∫∫ −−

dxjxx

dxjxdxjxxdxjx

sin

sin2

sinsin21

0

0

00

π

π

ππ

ππ

π

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−

−−+−

= −−−

ππ

π

πππ

ππ

π

002

0

00

2

0

cossin1

sin2

cossin1cos21

jxjxjx

j

jxj

jxjxjx

jjx

j

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+++

−−−+−=

0cos0cos2

cos2

cos0cos2

0cos21

πππ

πππππππ

π jjj

jj

jj

jjj

= 0

0a ( )dxxf∫−=π

ππ1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += ∫∫− dxxdxx

π

π

πππ 0

0

221

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫∫∫∫ −−

dxxdxdxxdxππ

ππ

πππ 00

00

221

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−++=

−−

ππ

ππ

πππ 0

2

0

020

22221 xxxx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−+−++= 0

20

220

201 2222 ππππ

π

= 0

( ) ( )( )∑∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

12 cos112

j

j jxj

xfπ

120

3. ( ) =xf⎩⎨⎧

<<<<−π

πxforx

xfor0

00


ππ ท j = 1 , 2 , 3 , …

( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ += ∫∫− dxjxxdxjx coscos01

0

0 π

ππ

( ) ( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=

ππ

π 002 sincos11 jx

jxjx

j

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 0cos1cos11

22 jj

jπ

π

( )( )1cos12 −= ππ

jj

( )( )1112 −−= j

j π


ππ ท j = 1 , 2 , 3 , …

( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ += ∫∫− dxjxxdxjx sinsin01

0

0 π

ππ

( ) ( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

ππ

π 002 cossin11 jx

jxjx

j

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= 0cos1 ππ

πj

j

( )( )πjj

cos1−=

( ) j

j11

−−=

0a ( )dxxf∫−=π

ππ1

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ += ∫∫− dxxdx

π

ππ 0

001

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

π

π 0

2

21 x

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

21 2ππ

2π

=

121

( ) ( )( ) ( )∑∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+=

12 sin11cos111

4 j

jj jxj

jxj

xfπ

π

4. ( ) =xf

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−<<−−

<<−

<<−

21

221

21

ππ

ππ

ππ

xfor

xfor

xfor


ππ ท j = 1 , 2 , 3 , …

( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++−= ∫∫∫ −

−

−dxjxdxjxdxjx coscoscos1

2

2

2

2ππ

π

π

π

ππ

( ) ( ) ( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−+−=

−

−

−

π

π

π

π

π

ππ2

2

2

2sin1sin1sin11 jx

jjx

jjx

j

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

2sin10

2sin1

2sin10

2sin11 ππππ

πj

jj

jj

jj

j

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2sin4 π

πj

j


ππ ท j = 1 , 2 , 3 , …

( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++−= ∫∫∫ −

−

−dxjxdxjxdxjx sinsinsin1

2

2

2

2ππ

π

π

π

ππ

( ) ( ) ( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+−=

−

−

−

π

π

π

π

π

ππ2

2

2

2cos1cos1cos11 jx

jjx

jjx

j

( ) ( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

2cos1

cos12

cos12

cos1cos12

cos11

π

πππππ

π jj

jj

jj

jj

jj

jj

= 0

0a ( )dxxf∫−=π

ππ1

122

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++−= ∫∫∫ −

−

−dxdxdx 1111

2

2

2

2ππ

π

π

π

ππ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−= −

−

−

ππ

π

π

π

ππ 2

2

2

21 xxx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−++−=

22221 πππππππ

= 0

( ) ∑∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

1cos

2sin4

jjxj

jxf π

π

5. ( ) =xf

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

<≤−

<≤−

−<≤−−−

πππ

ππ

πππ

xforx

xforx

xforx

2

22

2


ππ ท j = 1 , 2 , 3 , …

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−++

+−+−=

∫∫

∫∫∫ −

−

−

−

−

dxjxxdxjx

dxjxxdxjxxdxjx

coscos

coscoscos1

22

2

2

22

ππ

ππ

π

π

π

π

π

π

π

π

π

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+

++−

−+−

=−−

−

−

−

−

−

−

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

22

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

sincos1

sinsincos1

sincos1sin

1

jxjxjx

j

jxj

jxjxjx

j

jxjxjx

jjx

j

123

( )

( ) ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

2sin

20

2cos1cos1

2sin0

2sin

22sin

2

2cos1

2cos10

2sin

2

cos12

cos102

sin

1

22

22

22

ππππ

ππππππ

ππππ

ππππ

π

jj

jj

jj

jj

jj

jj

jj

jj

jj

jj

jj

jj

= 0


ππ ท j = 1 , 2 , 3 , …

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−++

+−+−=

∫∫

∫∫∫ −

−

−

−

−

dxjxxdxjx

dxjxxdxjxxdxjx

sinsin

sinsinsin1

22

2

2

22

ππ

ππ

π

π

π

π

π

π

π

π

π

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−

−−+

+−

=−−

−

−

−

−

−

−

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

22

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

sinsin1

coscossin1

cossin1cos

1

jxjxjx

j

jxj

jxjxjx

j

jxjxjx

jjx

j

( )

( )

( )

( ) ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

2cos

2cos

2sin10

2coscos

2cos

22cos

2

2sin1

2sin1cos

2cos

2

02

sin1cos2

cos

1

2

22

2

πππππ

ππππππππ

ππππππ

πππππ

π

jj

jj

jj

jj

jj

jj

jj

jj

jj

jj

jj

jj

jj

jj

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2sin41

2

ππ

jj

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2sin4

2

ππ

jj

124

0a ( )dxxf∫−=π

ππ1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+++−+−= ∫∫∫∫∫ −

−

−

−

−dxxdxxdxxdxdx

ππ

ππ

π

π

π

π

π

πππ

π 22

2

2

221

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−++−−=

−

−

−

−

−

π

π

ππ

π

π

π

π

π

πππ

π2

2

2

2

2

2222

2221 xxxxx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−+−++−−=

82288821 222

222

22

22 ππππππππππ

π

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

21 2

2 πππ

22

1 2 πππ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

( ) ∑∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

12 sin

2sin4

4 jjxj

jxf π

ππ

6.ในแบบฝกหดท 1 แทนคา 2π

=x และแสดงวา

K+−+−=71

51

311

4π

วธทา จากขอ1. ( ) ( )( )∑∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

1sin112

j

j jxj

xfπ

( )xf ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++= Kxxxx 7sin

725sin

523sin

32sin22

π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++= Kxxxx 7sin

715sin

513sin

31sin4

π

แทนคา 2π

=x จะได

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2xf ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++= K

71

51

3114

π ; 1

2=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ xf

จงได

K+−+−=71

51

311

4π

125

7.ในแบบฝกหดท 2 แทนคา 0=x และแสดงวา

K++++= 222

2

71

51

311

8π

วธทา จากขอ2. ( ) ( )( )∑∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

12 cos112

j

j jxj

xfπ

( )xf ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−−−= Kxxxx 7cos

725cos

523cos

32cos22

222π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

−= Kxxxx 7cos

715cos

513cos

31cos14

222π

แทนคา 0=x จะได

( )0f ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

−= K222 7

151

3114

π ; ( )

20 π

−=f

จงได

K++++= 222

2

71

51

311

8π

8.หาคาอนกรมฟเรยร cosin ของฟงกชนคาบทสอดคลองกบนยามบนคาบนคอ

( ) ππ <≤−= xwherexxf4

2

วธทา ja ( ) ( )dxjxxf cos20∫=π

π ท j = 1 , 2 , 3 , …

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫ dxjxx cos

42

0

2π

π

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛= ∫ dxjxx cos

21

0

2π

π

( ) ( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−= ∫ dxjxx

jjx

jx sin2sin

21

00

2 ππ

π

( ) ( ) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−−=

πππ

π 002

0

2

cossin12sin21 jx

jxjx

jjjx

jx

( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

π

π 02 cos2

21 jx

jx

( ) j

j11

2 −=

0a ( )dxxf∫=π

π 0

2

126

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫ dxxπ

π 0

2

42

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛= ∫ dxx

π

π 0

2

21

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

π

π 0

3

321 x

( )3

61 ππ

=

( )2

61 π=

( ) ( )∑∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

12

2

cos1112 j

j jxj

xf π

9.สมมตให ( )xf เปนฟงกชนคาบกบคาบ P2 ; ( ) ( )xfPxf =+ 2 สาหรบทกคา x. แลวแสดง รปแบบของ Euler ใน (5) และ (6) จาก f เหลาน

0a ( )dxxfP

P

P∫−=1

ja ( ) dxP

xjxfP

P

P⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫−πcos1 ท j = 1 , 2 , 3 , …

jb ( ) dxP

xjxfP

P

P⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫−πsin1 ท j = 1 , 2 , 3 , …

กาหนดให คาบ = π2 จงทาให ( ) ( ) ππ ==+ Pxfxf ;2

แลวแทนคาจะได 0a ( )dxxf∫−=π

ππ1

ja ( ) dxxjxf ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫− ππ

ππ

πcos1

jb ( ) dxxjxf ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫− ππ

ππ

πsin1

127

ในแบบฝกหด 10 ถง 12 ใชผลของแบบฝกหดท 9 ในการหาคาของอนกรมฟเรยรจากฟงกชนทใหมา กราฟ ( ) ( ) ( )xSandxSxf 64 ,, ในรปแบบทสอดคลองกน

10. ( ) =xf⎩⎨⎧

<≤<≤−201

020xfor

xfor ( ) ( ) 2;4 ==+ Pxfxf

วธทา 0a ( )dxxfP

P

P∫−=1

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ += ∫∫−

2

0

0

20

21 dxdx

( )2

021 x=

= 1

ja ( ) dxP

xjxfP

P

P⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫−πcos1 ท j = 1 , 2 , 3 , …

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫∫− dxxjdxxj 2

0

0

2 2cos

2cos0

21 ππ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2

02sin2

21 xj

jπ

π

( )( )ππ

jj

sin1=

jb ( ) dxP

xjxfP

P

P⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫−πsin1 ท j = 1 , 2 , 3 , …

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫∫− dxxjdxxj 2

0

0

2 2sin

2sin0

21 ππ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

2

02cos2

21 xj

jπ

π

( ) ( )( )0coscos1−−= π

πj

j

( )( )111−−−= j

jπ

( ) ( )( ) ( )( )∑∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

1 2sin111

2cossin1

21

j

j xjj

xjjj

xf ππ

πππ

128

11. ( ) =xf⎪⎩

⎪⎨

⎧

<≤<≤−−<≤−−

31111

131

xforxforxxfor

( ) ( ) 3;6 ==+ Pxfxf


P

P∫−=1

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++−= ∫∫∫ −

−

−dxxdxdx

3

1

1

1

1

311

31

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++−=

−

−

−

3

1

1

1

21

3 231 xxx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−+−= 13

21

2131

31

= 0

ja ( ) dxP

xjxfP

P

P⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫−πcos1 ท j = 1 , 2 , 3 , …

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−= ∫∫∫ −

−

−

3

1

1

1

1

3 3cos

3cos

3cos

31 dxxjdxxjxdxxj πππ

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

= −−

−

−

3

1

1

1

1

122

1

3

3sin3

3sin3

3cos9

3sin3

31

xjj

xjjxxj

jxj

j

ππ

ππ

ππ

ππ

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

3sin30

3sin3

3sin3

3cos9

3cos90

3sin3

31 2222

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

jj

jj

jj

jj

jj

jj

= 0

jb ( ) dxP

xjxfP

P

P⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫−πsin1 ท j = 1 , 2 , 3 , …

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−= ∫∫∫ −

−

−

3

1

1

1

1

3 3sin

3sin

3sin

31 dxxjdxxjxdxxj πππ

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

= −−

−

−

3

1

1

1

1

122

1

3

3cos3

3cos3

3sin9

3cos3

31

xjj

xjjxxj

jxj

j

ππ

ππ

ππ

ππ

129

( )

( ) ⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

3cos3cos3

3cos3

3cos3

3sin9

3sin9cos3

3cos3

31 2222

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

jj

jj

jj

jj

jj

jj

jj

jj

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=

3sin18cos6

31

22

ππ

ππ

jj

jj

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−−=

3sin612

22

πππ

jjj

j

( ) ( )∑∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−−=

122 3

sin3

sin612j

j xnjjj

xf ππππ

12. ( ) 3392 <≤−+−= xforxxf ( ) ( ) 3;6 ==+ Pxfxf


P

P∫−=1

( )dxx∫− +−=3

3

2 931

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−= ∫∫ −−

dxdxx3

3

23

39

31

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−=

−−

3

3

3

3

3

933

1 xx

( )27279931

++−−=

= 12

ja ( ) dxP

xjxfP

P

P⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫−πcos1 ท j = 1 , 2 , 3 , …

( ) dxxjx ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−= ∫− 3

cos931 3

3

2 π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= ∫∫ −−

3

3

3

3

2

3cos9

3cos

31 dxxjdxxjx ππ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

−−

−∫

3

3

3

3

3

3

2

3sin27

3sin6

3sin3

31 xj

jdxxjx

jxj

jx π

ππ

ππ

π

130

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

=

−

−−−

3

3

3

3

3

322

3

3

2

3sin27

3cos3

3sin96

3sin3

31

xjj

xjjxxj

jjxj

jx

ππ

ππ

πππ

ππ

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= π

ππ

πj

jj

jcos54cos54

31

2222

( ) j

j136

22 −−=π

jb ( ) dxP

xjxfP

P

P⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫−πsin1 ท j = 1 , 2 , 3 , …

( ) dxxjx ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−= ∫− 3

sin931 3

3

2 π

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= ∫∫ −−

3

3

3

3

2

3sin9

3sin

31 dxxjdxxjx ππ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−−

−∫

3

3

3

3

3

3

2

3cos27

3cos6

3cos3

31 xj

jdxxjx

jxj

jx π

ππ

ππ

π

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

−

−−−

3

3

3

3

3

322

3

3

2

3cos27

3sin3

3cos96

3cos3

31

xjj

xjjxxj

jjxj

jx

ππ

ππ

πππ

ππ

( ) ( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−

+−−=

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

jj

jj

jj

jj

jj

jj

cos27cos27

cos54cos54cos27cos27

31 3333

= 0

( ) ( )∑∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+=

122 3

cos1366j

j xjj

xf ππ

131

13.แสดง ทฤษฎ 5.6 วธทา Fourier Series ของ ( )xf บน [ ]pp,− คอ

( ) ∑∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

1

0 sincos2 j

nj Pxjb

Pxja

axf ππ

โดยท

0a ( )dxxfP

P

P∫−=1

ja ( ) dxP

xjxfP

P

P⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫−πcos1

jb ( ) dxP

xjxfP

P

P⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫−πsin1

ฟงกชน ( )xf แบงไดเปน ฟงกชนค กะ ฟงกชนค ถา ( )xf − = ( )xf จะเรยกวา ฟงกชนค สมบตของฟงกชนค มดงน - ผลคณของฟงกชนคไดฟงกชนค - ผลคณของฟงกชนคไดฟงกชนค - ผลบวก(ผลตาง)ของฟงกชนคไดฟงกชนค

ถา ( )xf ฟงกชนค ( ) ( )dxxfdxxfPP

P ∫∫ =− 0

2

ดงนนจะไดวา

0a ( )dxxfP

P

∫=0

2

ja ( ) dxP

xjxfP

P⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫πcos2

0

jb = 0

( ) ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

1

0 cos2 j

j Pxja

axf π เรยกวา Cosine Series

132

14.แสดง ทฤษฎ 5.7 วธทา Fourier Series ของ ( )xf บน [ ]pp,− คอ

( ) ∑∞

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

1

0 sincos2 j

nj Pxjb

Pxja

axf ππ

โดยท

0a ( )dxxfP

P

P∫−=1

ja ( ) dxP

xjxfP

P

P⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫−πcos1

jb ( ) dxP

xjxfP

P

P⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫−πsin1

ฟงกชน ( )xf แบงไดเปน ฟงกชนค กะ ฟงกชนค ถา ( )xf − = ( )xf− จะเรยกวา ฟงกชนค สมบตของฟงกชนค มดงน - ผลคณของฟงกชนคกบคไดฟงกชนค - ผลบวก(ผลตาง)ของฟงกชนคไดฟงกชนค

ถา ( )xf ฟงกชนค ( ) 0=∫− dxxfP

P

ดงนนจะไดวา 0a = 0 ja = 0

jb ( ) dxP

xjxfP

P⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫πsin2

0

( ) ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

1sin

jj P

xjbxf π เรยกวา Sine Series

133

อลกอรทมและโปรแกรม 1. ใชโปรแกรม 5.4 โดยกาหนด N = 12 จดและทาตามตวอยางท5.15เพอหาไตรโกนอลเมตรกโพลโนเมยวของดกร M=5 เพอทจะทาใหชองวางของสมการ ( )( ){ }12

1, =kkk xfx เมอ f(x) เปนฟงชนใน (ก.) การบานท1 (ข.) การบานท2 (ค.) การบานท3 และ (ง.) การบานท4 ในแตละกรณ ใหเขยนกราฟระหวางf(x), T5(x) และ ( )( ){ }12

1, =kkk xfx (ก.) function [A,B]=tpcoeff(X,Y,M) X=[-pi,pi]; Y=[-1,1]; M=5; N=length(X)-1; max1=fix((N-1)/2); if M>max1 M=max1; end A=zeros(1,M+1); B=zeros(1,M+1); Yends=(Y(1)+Y(N+1))/2; Y(1)=Yends; Y(N+1)=Yends; A(1)=sum(Y); for j=1:M A(j+1)=cos(j*X)*Y'; B(j+1)=sin(j*X)*Y'; end A=2*A/N; B=2*B/N; A(1)=A(1)/2; function z=tp(A,B,x,M) z=A(1); for j=1:M z=z+A(j+1)*cos(j*x)+B(j+1)*sin(j*x); end x=-pi:.01:pi; y=tp(A,B,x,M); plot(x,y,X,Y,'o')

134

(ข.) function [A,B]=tpcoeff(X,Y,M,x) X=[-pi,pi]; Y=[((-pi/2)+x),((pi/2)-x)]; M=5; N=length(X)-1; max1=fix((N-1)/2); if M>max1 M=max1; end A=zeros(1,M+1); B=zeros(1,M+1); Yends=(Y(1)+Y(N+1))/2; Y(1)=Yends; Y(N+1)=Yends; A(1)=sum(Y); for j=1:M A(j+1)=cos(j*X)*Y'; B(j+1)=sin(j*X)*Y'; end A=2*A/N; B=2*B/N; A(1)=A(1)/2; function z=tp(A,B,x,M) z=A(1); for j=1:M z=z+A(j+1)*cos(j*x)+B(j+1)*sin(j*x); end x=-pi:.01:pi; y=tp(A,B,x,M); plot(x,y,X,Y,'o')

(ค.) function [A,B]=tpcoeff(X,Y,M,x) X=[-pi,pi]; Y=[0,x]; M=5; N=length(X)-1; max1=fix((N-1)/2); if M>max1 M=max1; end A=zeros(1,M+1); B=zeros(1,M+1); Yends=(Y(1)+Y(N+1))/2; Y(1)=Yends; Y(N+1)=Yends; A(1)=sum(Y); for j=1:M A(j+1)=cos(j*X)*Y'; B(j+1)=sin(j*X)*Y'; end A=2*A/N; B=2*B/N; A(1)=A(1)/2; function z=tp(A,B,x,M) z=A(1); for j=1:M z=z+A(j+1)*cos(j*x)+B(j+1)*sin(j*x);

135

end x=-pi:.01:pi; y=tp(A,B,x,M); plot(x,y,X,Y,'o')

(ง.) function [A,B]=tpcoeff(X,Y,M,) X=[pi/2,pi,-pi/2]; Y=[-1,1,-1]; M=5; N=length(X)-1; max1=fix((N-1)/2); if M>max1 M=max1; end A=zeros(1,M+1); B=zeros(1,M+1); Yends=(Y(1)+Y(N+1))/2; Y(1)=Yends; Y(N+1)=Yends; A(1)=sum(Y); for j=1:M A(j+1)=cos(j*X)*Y'; B(j+1)=sin(j*X)*Y'; end A=2*A/N; B=2*B/N; A(1)=A(1)/2; function z=tp(A,B,x,M) z=A(1); for j=1:M z=z+A(j+1)*cos(j*x)+B(j+1)*sin(j*x); end x=-pi:.01:pi; y=tp(A,B,x,M); plot(x,y,X,Y,'o')

136

2. ใชโปรแกรม 5.4 เพอหาคาสมประสทธของ T5(x) ในตวอยางท 5.15 เมอตอนแรกเทากบ 60 หลงจากนนคอ 360 ในสมการชองวางทใช function [A,B]=tpcoeff(X,Y,M) X=[-pi,pi]; Y=X/2; M=5; N=length(X)-1; max1=fix((N-1)/2); if M>max1 M=max1; end A=zeros(1,M+1); B=zeros(1,M+1); Yends=(Y(1)+Y(N+1))/2; Y(1)=Yends; Y(N+1)=Yends; A(1)=sum(Y); for j=1:M A(j+1)=cos(j*X)*Y'; B(j+1)=sin(j*X)*Y'; end A=2*A/N; B=2*B/N; A(1)=A(1)/2; function z=tp(A,B,x,M) z=A(1); for j=1:M z=z+A(j+1)*cos(j*x)+B(j+1)*sin(j*x); end

137

3. ประยกตโปรแกรม 5.4 ในกรณทไตรโกนอลเมตรกโพลโนเมยวของจด 2P = B - A เมอขอมลของจดเปนสมการชองวางเหนอชวง [A,B] function [A,B]=tpcoeff(X,Y,M) X=[-pi,pi]; Y=X/2; M=5; N=length(X)-1; max1=fix((N-1)/2); if M>max1 M=max1; end A=zeros(1,M+1); B=zeros(1,M+1); Yends=(Y(1)+Y(N+1))/2; Y(1)=Yends; Y(N+1)=Yends; A(1)=sum(Y); for j=1:M A(j+1)=cos(j*X)*Y'; B(j+1)=sin(j*X)*Y'; end A=2*A/N; B=2*B/N; z=B-A; for j=1:M z=z+A(j+1)*cos(j*x)+B(j+1)*sin(j*x); end f=z/2;

138

4. ใชการประยกตจากขอทแลว หา T5(x) เพอ (ก.) f(x) ในการบานท 10, ใชขอมลจด 12 สมการชองวาง, และ function [A,B]=tpcoeff(X,Y,M) X=[-2,2]; Y=[0,1]; M=5; N=length(X)-1; max1=fix((N-1)/2); if M>max1 M=max1; end A=zeros(1,M+1); B=zeros(1,M+1); Yends=(Y(1)+Y(N+1))/2; Y(1)=Yends; Y(N+1)=Yends; A(1)=sum(Y); for j=1:M A(j+1)=cos(j*X)*Y'; B(j+1)=sin(j*X)*Y'; end A=2*A/N; B=2*B/N; z=B-A; for j=1:M z=z+A(j+1)*cos(j*x)+B(j+1)*sin(j*x); end f=z/2;

(ข.) ) f(x) ในการบานท 12, ใชขอมลจด 60 สมการชองวาง, และเขยนกราฟ T5(x) และขอมลจด function [A,B]=tpcoeff(X,Y,M) X=[-3,3]; Y=-x^2+9; M=5; N=length(X)-1; max1=fix((N-1)/2); if M>max1 M=max1; end A=zeros(1,M+1); B=zeros(1,M+1); Yends=(Y(1)+Y(N+1))/2; Y(1)=Yends; Y(N+1)=Yends; A(1)=sum(Y); for j=1:M A(j+1)=cos(j*X)*Y'; B(j+1)=sin(j*X)*Y'; end A=2*A/N; B=2*B/N; z=B-A; for j=1:M z=z+A(j+1)*cos(j*x)+B(j+1)*sin(j*x); end f=z/2;

139

ขอ 5 และ 6 ใชโปรแกรม Microsoft Excel และ Visual Basic 5. อณหภม(ฟาเรนไฮท)ตลอดทงวน ในวนท 8 พฤศจกายน ในเมองลอสแองเจอลส ในตาราง 5.10 โดยม 24 ขอมล (ก.) หาไตรโกนอลเมตรกโพลโนเมยวของ T7(x) (ข.) เขยนกราฟ T7(x) และขอมล 24ขอมล (ค.) ทาซาในขอ (ก.) และ (ข.) โดยใชอณหภมพนทของทาน

ตาราง5.10 เวลากลางคน องศาฟาเรนไฮท เวลากลางวน องศาฟาเรนไฮท

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

เทยงคน

66 66 65 64 63 63 62 61 60 60 59 58

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

เทยงวน

58 58 58 58 57 57 57 58 60 64 67 68

140

Sub Macro2()

'

ActiveCell.FormulaR1C1 = "66"

Range("A2").Select


Range("A3").Select


Range("A4").Select


Range("A5").Select


Range("A6").Select


Range("A7").Select


Range("A8").Select


Range("A9").Select


Range("A10").Select


Range("A11").Select


Range("A12").Select


Range("A13").Select


Range("A14").Select


Range("A15").Select


141

Range("A16").Select


Range("A17").Select


Range("A18").Select


Range("A19").Select


Range("A20").Select


Range("A21").Select


Range("A22").Select


Range("A23").Select


Range("A24").Select


Range("A1:A24").Select

Charts.Add

ActiveChart.ChartType = xlXYScatterSmooth

ActiveChart.SetSourceData Source:=Sheets("Sheet1").Range("A1:A24"), PlotBy _

:=xlColumns

ActiveChart.Location Where:=xlLocationAsNewSheet

With ActiveChart

.HasTitle = False

.Axes(xlCategory, xlPrimary).HasTitle = False

.Axes(xlValue, xlPrimary).HasTitle = False

End With

142

ActiveChart.SeriesCollection(1).Select

ActiveChart.SeriesCollection(1).Trendlines.Add(Type:=xlPolynomial, Order:=5 _

, Forward:=0, Backward:=0, DisplayEquation:=True, DisplayRSquared:= _

False).Select

End Sub

Ans y = 8E-06x5 - 0.0002x4 + 0.003x3 - 0.0158x2 - 0.7149x + 67.058

y = 8E-06x5

- 0.0002x4

+ 0.003x3

- 0.0158x2

- 0.7149x + 67.058

50

52

54

56

58

60

62

64

66

68

70

72

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

143

6. ตาราง 5.11 เปนตารางเกยวกบอณหภม(องศาฟาเรนไฮท)ในรอบหนงปของ เมอง แฟรแบงคส รฐอลาสกา โดยมขอมล 13 ขอมล โดยเปนการตรวสสอบและเกบขอมลทกๆ 28 วน (ก.) หาไตรโกนอลเมตรกโพลโนเมยวของ T6(x) (ข.) เขยนกราฟ T6(x) และขอมล13 ขอมล

ตาราง 5.11 วนเวลาทเกบขอมล องศา(ฟาเรนไฮท)โดยเฉลย

1 ม.ค. 29 ม.ค. 26 ก.พ. 26 ม.ค. 23 เม.ย. 21 พ.ค. 18 ม.ย. 16 ก.ค. 13 ส.ค. 10 ก.ย. 8 ต.ค. 5 พ.ย. 3 ธ.ค.

-14 -9 2 15 35 52 62 63 58 50 34 12 -5

144

Sub Macro3()

'

Range("B1").Select

ActiveCell.FormulaR1C1 = "-14"

Range("B2").Select


Range("B3").Select


Range("B4").Select


Range("B5").Select


Range("B6").Select


Range("B7").Select


Range("B8").Select


Range("B9").Select


Range("B10").Select


Range("B11").Select


Range("B12").Select


Range("B13").Select


Range("A1:B13").Select

Charts.Add

ActiveChart.ChartType = xlXYScatterSmooth

145

ActiveChart.SetSourceData Source:=Sheets("Sheet1").Range("A1:B13"), PlotBy _

:=xlColumns

ActiveChart.Location Where:=xlLocationAsNewSheet

With ActiveChart

.HasTitle = False

.Axes(xlCategory, xlPrimary).HasTitle = False

.Axes(xlValue, xlPrimary).HasTitle = False

End With


ActiveChart.SeriesCollection(1).Trendlines.Add(Type:=xlPolynomial, Order:=6 _

, Forward:=0, Backward:=0, DisplayEquation:=False, DisplayRSquared:= _

False).Select


ActiveChart.PlotArea.Select

End Sub

Ans y = -0.0005x6 + 0.0224x5 - 0.3472x4 + 1.9838x3 - 1.9143x2 + 0.7739x - 14.315

y = - 0 . 0005 x 6 + 0 . 0224 x 5

- 0.3472x4

+ 1.9838x3

- 1.9143x2

+ 0.7739x - 14.315

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

บรรณานกรม

1. สมชาย จตะพนธกล, การแปลงฟรเยรและการประยกต, สานกพมพจฬาลงกรณ

มหาวทยาลย, 2547

2. สธรรม ศรเกษม, เมธนทร ทรงชยกล, และสงา ศรศภปรดา, “MATLAB เพอการแกปญหา

ทางวศวกรรม, สานกพมพมหาวทยาลยรงสต, 2521.

3. D. Hanselman, B. Littlefield, “Mastering MATLAB: A comprehensice tutorial and

reference”, Prentice-Hall, 1995.

4. E. Kreyszig, “Advanced Engineering Mathematics”, 8th edition, John Wiley, 1999.

5. J.P. Holman, “Experimental Methods for Engineers”, 7 edition, McGraw-Hill, 2000.

6. R.D. Strum, D.E. Kirk, “Contemporary Linear Systems using MATLAB”, Books/Cole

Thomson Learning, 2000.

7. S.J. Chapman, “MATLAB Programming for Engineers”, 2nd edition, Thomson-

Engineering, 2001.

ประวตผเขยน

วรรณสร พนธอไร

สถานททางาน ภาควชาวศวกรรมโยธา คณะวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยมหดล 25/25 ถนน พทธมณฑลสาย 4, ศาลายา, นครปฐม 73170 โทรศพธ: (+66) 02-889-2138 ext. 6391 แฟกซ: (+66) 02-889-2138 ext. 6388

การศกษา - วศ.บ. โยธา มหาวทยาลยมหดล (เกยรตนยมอนดบสอง)

- M.S., Civil Engineering (Structural Engineering) New Jersey Institute of Technology, New Jersey, USA

- Ph.D., Civil and Environmental Engineering (Major: Structural, Mechanics and Materials) Georgia Institute of Technology, Georgia, USA (Minor: Geotechnical Engineering)

ผลงานวชาการ - Punurai, S., Punurai, W., Hsu ,C.-T.T.(2007), "A very early strength concrete for highway construction", Journal of Testing and Evaluation, 35(6), 9 pages. - Punurai, W., Jarzynski, J., Qu, J., Kurtis, K.E., and Jacobs, L.J. (2007), "Characterization of dissipation losses in cement paste with diffuse ultrasound" , Mechanics Research Communication, 34(3), pp. 289-294. - Punurai, W., Jarzynski, J., Qu, J., Kim, J.-Y., Jacobs, L.J., and Kurtis, K.E. (2007), "Characterization of multi-scale porosity in cement paste by advanced ultrasonic techniques", Cement and Concrete Research, 37(1), pp. 38-46. - Punurai, W., Jarzynski, J., Qu, J., Kurtis, K.E., and Jacobs, L.J. (2006), "Characterization of entrained air voids in cement paste with scattered ultrasound," NDT & E International, 39(6), pp. 514-524. - Hsu ,C.-T.T., Punurai, W., Jia, Y., Bian, H. (2006), "Direct Shear Behavior of Carbon Fiber-Reinforced Polymer Laminates and Concrete", Journal of Testing and Evaluation, 34(3), pp. 158-166.

148

- Hsu ,C.-T.T., Punurai, W., Bian, H., Jia, Y. (2003), "Flexural strengthening of reinforced concrete Beams using carbon fibre reinforced polymer strips", Magazine of Concrete Research, 55(3), pp. 279-288. - Luangviliai, K., Punurai, W., Jacobs, L.J. (2002), "Guided Lamb wave propagation in composite plate/concrete component", Journal of Engineering Mechanics, 128(12), pp. 1337-1341.

egce491 mat lab

Documents