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Eine Darstellung vollst~indig distributiver algebraischer Verb~inde durch Kongruenzverb~inde

Von

HANS-J~GEN BANDELT

Diese Note schlieBt sich an die Arbeit [1] an, in der eine konkrete Charakterisierung der Kongruenzverb~nde zweiwertiger Algebren gegeben worden ist. Dieses Ergebnis wollen wir bier benutzen, um zu zeigen, dal~ die vollst~ndig distributiven algebra- ischen Verb~nde bis auf Isomorpbie gerade die Kongruenzverb~nde regul~rer, bzw. vertauschbarer zweiwertiger Algebren sind.

Beziiglich der Terminologie verweisen wit auf [1], geben im folgenden abet noch einige Definitionen wieder.

Unter einer zweiwertigen Algebra versteht man eine universelle Algebra, deren Operationen einstellig sind und auf der zugrunde liegenden Menge jeweils genau zwei verscbiedene Bildwerte annehmen. Eine Algebra ~( heigt regul6r, wenn jede Kon- gruenz yon 2 durch jede ihrer Kongruenzklassen eindeutig bestimmt ist. Eine Algebra 9~ nennen wir vertauschbar, wenn je zwei Kongruenzen yon 2 vertauschbar sind.

Unter einem Sprung in einem Verband L versteht man ein Intervall in L, das aus genau zwei Elementen yon L besteht.

Als d-Intervall in einem vollsts Verband L bezeichnen wir jedes nichttriviale Intervall in 15 der F o r e

S X ~ S X ~ S

wobei S eine t~enge yon Teilmengen yon L i s t . L ist genau dann vollst~ndig distri- burly, wenn L keine d-Ialtervalle enth~lt. L heil~t Brouwersch, wenn x ^ V M = ~/ (x ^ y) fiir alle x e L, M C/5 gilt. Ist start dessen die duMe Identit~t erffillt, so

yeM nennt man L dual Brouwerseh. Falls aber x v A M ~ A (x v y) ffir ein x e L, M C L gilt, so ist Ix v A M, A (x v y)] ein d-Intervall in L. yeM

y e M

Lemma 1 (A. Haviar [4] Th. 2). Sei L ein distributiver vollstdndiger Verband. L i s t genau dann Brouwersch, wenn Z nicht ein Element x und eine Kette K enthglt, so daft die folgenden Bedingungen er/i~llt sind:

(*) Ir 4 A K=z- xH I~ V k e K ,

X A k = h K V k e K ,

A ( x v / ~ ) = x , x < v K . k e K

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Lemma 2. Sei L ein distributiver algebraischer Verband. Wenn L nicht voUstdndig distributiv ist, dann enthdlt L ein Element x und eine Kette K, so daft Ix, V K] und [x Alc, Ic] /is alle Ice K d-Intervalle in .L sind, wobei x v k -~ V K [is alle k e K und A K ~ x g{lt.

Beweis . Zuns sei angemerkt, dal~ ein algebraischer Verband genau dann roll. st~ndig distributiv ist, wenn er dual Brouwersch ist (s. etwa [3] Th. 6). Sei nun Z ein distributiver algebraischer Verband, der nieht vollst~ndig distributiv ist. ~qaeh dem Dualen yon Lemma 1 gibt es daher ein Element x e L u n d eine Ket te K C L, die die zu (*) dualen Bedingungen erfiillen. Insbesondere gilt dana A K < x ~ V K---- ~- x v k ftir alle k e K. Somit ergibt sich x v A K ~- x und A (x v k) ----- V K, also ist

k e K

Ix, V K] ein d-Intervall. Ebenso erh~lt man fiir k e K (x A k) v A K---- x A k und A ((x A k) v k') = k A V K ---- k, d.h. fiir jedesk e K ist [x A k, k] ein d-Intervall in L.

k'eK

Lemma 3. Sei [0, qS] ein Intervall in dem Jt'quivalenzverband Eq(A) einer Menge A. Dann sind /olgende Bedingungen dquivalent:

(i) Je zwel .~quivalenzen in [0, qS] sind vertauschbar,

(ii) [O, r ist distributiv,

(iii) Jede Aquivalenzl~lasse yon qb ist Vereinigung yon hSchstens zwei ~quivalenz- ]dassen yon O.

Beweis . Zun~chst beachte man, dab [O, ~5] isomorph ist zu einem Produkt yon ~quivalenzverbs und zwar [O, qS] = ] - ~ E q ( B ) , wobei ~ die dutch ~5/O ge-

Beg gebene Partit ion yon A/O bezeiehnet. Aus dieser Darstellung ergibt sich sofort (ii) ~ (iii). Gilt (iii) und sind ~1, T~ e [O, ~], so ist jede ~quivalenzklasse yon ~1 v ~2 eine Klasse yon ~1 oder yon ~e. Also sind ~1 und ~2 vertauschbar, und es gilt (i). Ist (iii) nicht erffillt, so gibt es drei verschiedene Aquivalenzklassen B1, B2, Bs yon O, die in einer Klasse yon ~ enthalten sind. Die beiden Aquivalenzen, die aus O durch Vereinigung der Klassen B1 und B~, bzw. B2 und B~ jeweils hervorgehen, liegen dann in [O, ~b] und sind nicht vertauschbar, d.h. (i) ist verletzt.

Lemma 4. Der Kongruenzverband Con 92 einer reguYiren zweiwertigen Algebra 9.I ist vollst5ndig distributiv.

Beweis . Sei 92 eine zweiwertige Algebra, und Con92 sei nicht vollst~ndig distributiv. Dann gibt es jeweils naeh Lemma 2 und [1] Lemma 3 ein d-Intervall [O, ~5] in Con 2, das nicht ein Sprung in Con~ mit ~5----t ist. Naeh [t] Satz 2 ist aber [O, r gleieh- zeitig ein Intervall in dem zugehSrigen J~quivalenzverband Eq (A). Sei ~ dann eine beliebige Kongruenz aus [O, ~b], fiir die [O, T ] ein Sprung in Eq(A) ist. Wegen

~= t besitzen O und ~ mindestens eine gemeinsame Kongruenzklasse. Also ist 2[ nieht r e e l e r , und das Lemma ist bewiesen.

Lemma 5. Der Kongruenzverband Con 92 einer vertauschbaren zweiwertigen Algebra ~st vollstgndig distributiv.

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Bewei s . Es sei 92 eine vertauschbare zweiwertige Algebra. Con2 ist dann not- wendig modular. Nehmen wir an, Con92 sei nicht vollst/~ndig distributiv. ~ach [1] Satz 2 mfissen alle d-Intervalle in Con92 sogar Intervalle in Eq(A) sein. Wegen Lemma 3 sind folglich alle d-Intervalle distributiv, weswegen angesichts [1] Lemma 3 auch Con 92 distributiv ist. Somit folgt aus Lemma 2 die Existenz einer Kongruenz O e Con 92 und einer Ket te C C Con 92 derart, dal3 0 v r = V C ffir alle 4 e C, ('1Cc 0 gilt und [0, V C], [0 n 4 , 4] ffir alle 4 e C nichttriviale Intervalle in Con 92 sind, die gleiehzeitig auch Intervalle in Eq (A) sind. Nach Lemma 3 gibt es eine Kongruenz- klasse B yon V C, die gerade die Vereinigung zweier Kongruenzklassen yon 0 ist. Wegen CI C C 0 gibt es ein 4 e C, so dal3 4 nicht B als Kongruenzklasse besitzt. Da 0 v 4 = V C gilt, existiert ein Paar (a, b) e 4 mit [a] 0 u [b] 0 = B. Sei k rr die kleinste Kongruenz in [0 r3 4 , 4] , ffir die (a, b) e k r/gilt. Weft B keine Klasse yon ist, gibt es c e B m i t c ~ [a] T ~-- [b] T . Nach Wahl yon ~ gilt [c] T = [c] 0 c~ 4 = = [c] 0 C~ ~ , d.h. entweder [c] YJ C [a] 0 oder [c] k rr C [b] 0 . Sei o.B.d.A. (a, e) e 0 , dann ist (b, c) e ~rro 0 , jedoch (b, c) ~ 0 o ~r/, ein Widersprueh zur Vertauschbarkeit yon 0 und T. Also schliel3en wir, daf~ Con 92 vollst/~ndig distributiv ist.

Lemma 6. Jeder vollstgndig distributive algebraische Verband L ist isomorph zum Kongruenzverband einer reguliiren, vertauschbaren zweiwertigen Algebra 92.

Bewei s . Sei L ein vollst/~ndig distributiver algebraischer Verband. Jedes Intervall in L enth/~lt dann einen Sprung. Bezeichne X die Menge aller Spriinge in L. Naeh G. Bruns [2] Darstellungssatz ist L isomorph zu einem vollst/~ndigen Teilverband des Booleschen Verbandes 2 X aller Teilmengen yon X. Da 2x vollst/~ndig eingebettet werden kann in seinen Kongruenzverband Con2 X, ist L isomorph zu einem voll- st~ndigen Teilverband C yon Con2 X. Naeh [1] Satz 3 ist C der Kongruenzverband einer zweiwertigen Algebra 92 mit 2 x als zugrunde liegender Menge. Der Boolesche Verband 2 X ist bekanntlich regul/~r und vertauschbar. Somit hat 92 wegen Con 2 C C Con 2 x dieselben Eigenschaften.

Die letzten drei Lemmata kSnnen wir nun in unserem abschliel~enden Satz zu- sammenfassen.

Darstellungssatz. Sei L ein Verband. Dann sind /olgende Bedingungen dquivalent:

(i) Lis t algebraisch und vollstiindig distributiv,

(ii) L ist isomorph zum Kongruenzverband einer regul~iren zweiwertigen Algebra,

(iii) List isomorph zum Kongruenzverband einer vertauschbaren zweiwertigen Algebra,

(iv) L i s t isomorph zum Kongruenzverband einer regulSren, vertauschbaren zwei- wertigen Algebra.

Literaturverzeiehnis

[1] H.-J. BANDELT, Zur konkreten Charakterisierung yon Kongruenzverb~nden. Arch. Math. 26, 8--13 (1975).

[2] G. B~uNs, Verbandstheoretische Kennzeichnung vollst~ndiger Mengenringe. Arch. Math. 10, 109--112 (1959).

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[3] H. Dl~A~KovI~ov~, On a representation of lattices by congruence relations. Mat. ~asopis Sloven. Akad. Vied 24, 69--75 (1974).

[4] A. HAyeR, On a generalized distributivity in modular lattices. Acta Fac. Rerum Natur. Univ. Comenian. Math. 29, 35--42 (1974).

Anschrift des Autors:

Hans-Jfirgen Bandelt Fachbereich IV Universit~t Oldenburg D-2900 Oldenburg

Eingegangen am 4. 4. 1975