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Eine neue Informatik fur Quantenrechner?
Roland Rudiger
Fachbereich Informatik – FH Braunschweig/Wolfenbuttel
6. Dezember 2005Beitrag zur FH-Vortragsreihe Wissenschaft trifft Wirtschaft
sowie zur Vortragsreihe der
Regionalgruppe Braunschweig der Gesellschaft fur Informatik (GI)
Roland Rudiger Eine neue Informatik fur Quantenrechner?
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1 Einfuhrung
2 QuantensystemeGrundpostulate der TheorieKonsequenz der Linearitat: No-CloningKonsequenz der Linearitat: Verschrankung
3 QuantenalgorithmikBerechnungsmodelleEin Quantenalgorithmus
4 QuantenprogrammiersprachenZiele und DesignBeispiel: zwei imperative Sprachen
5 Ausblick und Resumee
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3 QuantenalgorithmikBerechnungsmodelleEin Quantenalgorithmus
4 QuantenprogrammiersprachenZiele und DesignBeispiel: zwei imperative Sprachen
5 Ausblick und Resumee
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3 QuantenalgorithmikBerechnungsmodelleEin Quantenalgorithmus
4 QuantenprogrammiersprachenZiele und DesignBeispiel: zwei imperative Sprachen
5 Ausblick und Resumee
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3 QuantenalgorithmikBerechnungsmodelleEin Quantenalgorithmus
4 QuantenprogrammiersprachenZiele und DesignBeispiel: zwei imperative Sprachen
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2 QuantensystemeGrundpostulate der TheorieKonsequenz der Linearitat: No-CloningKonsequenz der Linearitat: Verschrankung
3 QuantenalgorithmikBerechnungsmodelleEin Quantenalgorithmus
4 QuantenprogrammiersprachenZiele und DesignBeispiel: zwei imperative Sprachen
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3 QuantenalgorithmikBerechnungsmodelleEin Quantenalgorithmus
4 QuantenprogrammiersprachenZiele und DesignBeispiel: zwei imperative Sprachen
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Ausblick und Resumee
”klassische“ Informatik 1/27
Klassenhöhere Programmiersprachen
ModuleADTsfunktionale SprachenProzessalgebren...
höhere Strukturen
klassische Hardware
0, 1 + Instruktionssatz eines Prozessors
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”Quanten-Informatik“ – ein neues Gebiet? 2/27
Quantenprogrammiersprachen
höhere Strukturen???
???
...
Quantenhardware
|0>, |1> + unitäre Transformationen
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Grundpostulate der TheorieKonsequenz der Linearitat: No-CloningKonsequenz der Linearitat: Verschrankung
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2 QuantensystemeGrundpostulate der TheorieKonsequenz der Linearitat: No-CloningKonsequenz der Linearitat: Verschrankung
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Grundpostulate der TheorieKonsequenz der Linearitat: No-CloningKonsequenz der Linearitat: Verschrankung
Zustandsraume klassisch 3/27
. Zustandsraum in klassischem System:z. B.: in Algorithmus oder Automat
. typisch: von der Realisierung (Implementierung) vonZustanden und Zustandsubergangen wird abstrahiert
. Gemeinsamkeiten von Quanten- und klassischen Systemen:
Innerhalb eines Alg. befindet sich das System jederzeit ineinem Zustand, reprasentiert durch lokale Variablen des Alg.Das System wird prapariert durch einen Aufruf, eineAktivierung des AlgorithmusDer Zustand unterliegt einer Dynamik, z. B. Berechnung vonAusdrucken, Zuweisungenam Ende: Ergebnis wird mit return ausgelesen (
”Messung“)
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Grundpostulate der TheorieKonsequenz der Linearitat: No-CloningKonsequenz der Linearitat: Verschrankung
Zustandsraume quantenmechanisch 4/27
. analog: Bestandteile der Beschreibung von Quantensystemen:1 Zustandspraparation2 zeitliche Entwicklung des Zustands3 abschließende Messung
. tiefliegende Unterschiede von Quanten- zu klass. Systemen:
Zustande sind interferenzfahig, insbesondere auch inzusammengesetzten SystemenNur statistische Aussagen sind moglich.Dynamik in abgeschlossenen Systemen ist reversibel(”U-Entwicklung“, Roger Penrose in [Pen94])
Die abschließende Messung (”Vergroberung auf die klassische
Ebene“) vernichtet irreversibel einen Teil der vorhandenenInformation (
”R-Entwicklung“, Penrose in [Pen94]).
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Grundpostulate der TheorieKonsequenz der Linearitat: No-CloningKonsequenz der Linearitat: Verschrankung
Formale Postulate (1) 5/27
. Postulat 1: Zu jedem isolierten physikalischen System gehortein komplexer Vektorraum mit Skalarprodukt (Hilbert-Raum),der Zustandsraum. Traditionelle Notation fur Vektoren: |ψ〉
. Postulat 2: Die zeitliche Entwicklung eines abgeschlossenenQuantensystems wird beschrieben durch eine unitareTransformation (in diesem Kontext: eine Drehung):
|ψ′〉 = U|ψ〉(|ψ′〉 = statet=t2 , |ψ〉 = statet=t1
)
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Formale Postulate (2) 6/27
. Postulat 3: Eine Messung bedeutet eine”Zustandsreduktion“.
. Postulat 4: Zustandsraum eines zusammengesetztenphysikalischen Systems (das “UND” in der Quantenphysik(Penrose [Pen94])): Tensorprodukt der Zustandsraume derKomponenten-Systeme.
formal:|ψn−1〉 ⊗ · · · ⊗ |ψ1〉 ⊗ |ψ0〉
und Superpositionen solcher Zustande
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Grundpostulate der TheorieKonsequenz der Linearitat: No-CloningKonsequenz der Linearitat: Verschrankung
Quanten kann man nicht klonen 7/27
. |b〉 = blank (”leeres Blatt“)
. (nicht erreichbares) Ziel: Kopieren von |ψ〉 auf |b〉 unterErhaltung des Originals
Ucopy
|b〉
|ψ〉 |ψ〉
|ψ〉??
. Es gibt keinen (exakt arbeitenden) Kopierer fur beliebigeQuantenzustande
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Grundpostulate der TheorieKonsequenz der Linearitat: No-CloningKonsequenz der Linearitat: Verschrankung
Begrundung und Anwendung 8/27
. Einfache Begrundung (im Prinzip): Die Operation Ucopy in
|ψ〉|ψ〉 = Ucopy (|b〉|ψ〉)
kann im zweiten Argument nicht linear sein (Widerspruch zurUnitaritat von Ucopy)
. Konkrete Konsequenzen:
Z. B. gibt es also kein Gerat, das den Polarisationszustandeines Photons registriert (ohne Messung), diesen auf einzweites Photon ubertragt und dann beide weiterschickt.bereits realisierte Anwendung: Quantenkryptographie
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Grundpostulate der TheorieKonsequenz der Linearitat: No-CloningKonsequenz der Linearitat: Verschrankung
Verschrankung: Historie 9/27
. Begriff gepragt von E. Schrodinger, 1935: Verschrankung alsdie Essenz der Quantentheorie
. Arbeit von Einstein, Podolski und Rosen (EPR), 1935:Ist die Quantentheorie eine vollstandige Theorie?(Grundlagendebatte)
. EPR-Variante von D. Bohm, 1951: verschranktes Paar vonSpin-1
2 -Teilchen
. J. Bell, 1964 Bellsche Ungleichungen: Einschrankung vonKorrelationen in klassischen Systemen, konnen durchQuantensysteme verletzt werden.
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Grundpostulate der TheorieKonsequenz der Linearitat: No-CloningKonsequenz der Linearitat: Verschrankung
Verschrankung als Ressource 10/27
. experimenteller Nachweis der Verletzung: Aspect, 1981/82[AGR81], Gruppe in Genf um N. Gisin, 1998 [TBZG98]
. inzwischen:”Verschrankung“ in popularwissenschaftlichen
Zeitschriften [Spr01] und als technisches Hilfsmittel mitBeschreibung in Computer-Zeitschriften, z. B.: [Sti04, Win04]
. quantenkryptographisches Experiment, Wien [PFU+04]
. Beim Ablauf von Quantenalgorithmen spielt Verschrankungein wesentliche Rolle.
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Grundpostulate der TheorieKonsequenz der Linearitat: No-CloningKonsequenz der Linearitat: Verschrankung
Charakterisierende Eigenschaften 11/27
. charakt. Eigenschaften eines (maximal) verschranktenZustands in einem System aus zwei Komponenten (einembipartiten System)
Der Zustand jedes der beiden Teilsysteme ist vollstandigundefiniert.Gleichzeitig ist der Zustand des Gesamtsystems vollstandigdefiniert (im Sinne der Quantentheorie).Die Information uber das Gesamtsystem steckt (ausschließlich)in den Korrelationen.popular (und moglicherweise mißverstandlich):
”Das Ganze ist mehr als die Summe seiner Teile.“
. Eine Messung”separiert“ die beiden Teilsysteme.
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Grundpostulate der TheorieKonsequenz der Linearitat: No-CloningKonsequenz der Linearitat: Verschrankung
Ein Beispiel 12/27
. Beispiel: Zustand vor der Messung (sog. Singlett-Zustand):
|ψ〉 =1√2(|0〉A|1〉B − |1〉A|0〉B)
. und nach der Messung:
entweder |0〉A und |1〉B mit Wahrscheinlichkeit∣∣∣1/√2
∣∣∣2 =1
2
oder |1〉A und |0〉B mit Wahrscheinlichkeit∣∣∣−1/
√2∣∣∣2 =
1
2
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Grundpostulate der TheorieKonsequenz der Linearitat: No-CloningKonsequenz der Linearitat: Verschrankung
Eine kleine Illustration 13/27
. Alice und Bob auf Wahlkampftour in der Galaxis
In je einem Interview haben beide jeweils genau eine von3 Fragen zu beantworten.Wahrscheinlichkeit fur gleiche / verschiedene Antwort: je 1/2(Zufallig) gleiche Fragen sind stets verschieden zu beantworten.
.1.5 10 Lj −5
Alice
AldebaranBeteigeuze
BobF1?
Ja
Nein
F ?2
Ja
Nein
F ?3
Ja
Nein
F1?Ja
Nein
F ?2
Ja
Nein
F ?3
Ja
Nein
Erde
Sonne
53 Lj270 Lj
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Grundpostulate der TheorieKonsequenz der Linearitat: No-CloningKonsequenz der Linearitat: Verschrankung
Wie laßt sich die”Wahlkampftour“ realisieren? 14/27
. Z. B. mit einem Paar verschrankter Spin-12 -Teilchen (einem
”EPR-Paar“) und 3 Messrichtungen unter 1200-Winkeln
(entsprechend den Fragen F1,F2,F3)
. Zufallig gleich gewahlte Richtungen ergeben bei einerMessung mit Sicherheit verschiedene Spin-Einstellungen:
entweder ↑↓oder ↓↑
. Der Versuch einer klassischen”Erklarung“ fuhrt zu falschen
Wahrscheinlichkeiten.
. Fazit: Ein raumlich verteiltes Quantensystem kann i. a. nichtdurch ein raumlich verteiltes System klassischer Rechnersimuliert werden ohne zusatzliche Ressourcen.
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BerechnungsmodelleEin Quantenalgorithmus
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1 Einfuhrung
2 QuantensystemeGrundpostulate der TheorieKonsequenz der Linearitat: No-CloningKonsequenz der Linearitat: Verschrankung
3 QuantenalgorithmikBerechnungsmodelleEin Quantenalgorithmus
4 QuantenprogrammiersprachenZiele und DesignBeispiel: zwei imperative Sprachen
5 Ausblick und Resumee
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BerechnungsmodelleEin Quantenalgorithmus
Modell Quantum Random Access Machine (QRAM) 15/27
. Turing-Maschinen, Zellularautomaten, . . .
. heute popular: QRAM, Gattermodell (”Schaltkreismodell“)
device
quantum quantum
devicedriver
bytecode
measure
Classical Computer
(Master) (Slave)
Quantum Processor
. detaillierte Instruktionssatze fur beide Komponenten:SQRAM [NPW05]
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BerechnungsmodelleEin Quantenalgorithmus
Gattermodell (1) 16/27
. Beispiel: 1 qubit (H = C2):
preparation /state
|ψ〉„
. .
. .
«| {z }U(2)
measurement /observable
Zustande sind |ψ〉 = α|0〉+ β|1〉, wobei |α|2 + |β|2 = 1:
→ |α|2 = Wahrscheinlichkeit, dass eine Messung 0 ergibt→ |β|2 = Wahrscheinlichkeit, dass eine Messung 1 ergibt
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BerechnungsmodelleEin Quantenalgorithmus
Gattermodell (2) 17/27
. Beispiel: 3 qubits (H = C2 ⊗ C2 ⊗ C2):
preparation /state
|ψ0〉|ψ1〉|ψ2〉
0BBBBBBBBB@
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
1CCCCCCCCCA| {z }
U(8)
measurement /observable
Zustand ist |ψ〉 = |ψ2〉 ⊗ |ψ1〉 ⊗ |ψ0〉z. B.:
|0〉 ⊗ |1〉 ⊗ |1〉 = |011〉 = |3〉|1〉 ⊗ |0〉 ⊗ |1〉 = |101〉 = |5〉Uberlagerung: |3〉 + |5〉
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BerechnungsmodelleEin Quantenalgorithmus
Simulation auf”klassischem“ Rechner 18/27
. Auszufuhren sind die Vektorraumoperationen (elementar).
. In n qubit-System: die Große der Matrizen ist 2n × 2n.
. Fazit: Das Verhalten von Quantensystemen kann man aufklassischen Rechnern numerisch nachvollziehen, imallgemeinen aber nicht effizient.
. Frage: Gibt es Algorithmen, die ein Quantenrechner
”schneller“ abarbeitet als ein klassischer Rechner?
. Die Anwort JA widerlegt die sog. starke Church-Turing These:Jede (physikalisch realisierbare) Anordnung, die rechnen kann,kann durch eine probabilistische Turing-Maschine mithochstens polynomiellem Overhead simuliert werden. [EW04]
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BerechnungsmodelleEin Quantenalgorithmus
Faktorisierungsalgorithmus von Shor: Grundidee 19/27
. Die Faktorisierung wird zuruckgefuhrt auf die Bestimmung derPeriode einer periodischen Funktion.
. technisch: Rechnung erfolgt in den Bereichen ZN und Z∗N :
ZN = {0, 1, . . .N − 1} = additive Gruppe modulo NZ∗
N = {x | x ∈ ZN ∧ N, x teilerfremd: gcd(x ,N) = 1} =multiplikative Gruppe modulo N
. Die Entdeckung dieses Algorithmus war eine wissenschaftlicheSensation: mit einer Realisierung ließe sich u. a. dasRSA-Verfahren brechen.
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BerechnungsmodelleEin Quantenalgorithmus
Faktorisierungsalgorithmus von Shor: Details 20/27
. Zusammenfassung [NC00, Hir01, Wer02] als Pseudocode:
Factorize(N)
1 if N is even2 then return (2,N/2)3 if N = qb for prime q ≥ 3 and b ≥ 24 then return (q,N/q)5 repeat6 repeat choose a ∈ ZN , a ≥ 27 d ← gcd(a,N)8 if d > 19 then return (d ,N/d) � we luckily guessed d correctly
10 determine period r of x 7→ a x mod N � the quantum part11 until no failure indicated and r is even
12 d+ ← gcd(N, ar/2 + 1) � evaluate 2nd argument modulo N13 until d+ < N
14 d− ← gcd(N, ar/2 − 1)15 return (d+, d−) � the algorithm guarantees 1 < d+, d− < N
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Ausblick und Resumee
Ziele und DesignBeispiel: zwei imperative Sprachen
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1 Einfuhrung
2 QuantensystemeGrundpostulate der TheorieKonsequenz der Linearitat: No-CloningKonsequenz der Linearitat: Verschrankung
3 QuantenalgorithmikBerechnungsmodelleEin Quantenalgorithmus
4 QuantenprogrammiersprachenZiele und DesignBeispiel: zwei imperative Sprachen
5 Ausblick und Resumee
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Ziele und DesignBeispiel: zwei imperative Sprachen
Was soll erreicht werden? 21/27
. Wozu? (Großere) Quantenrechner gibt es noch nicht!
. Aber es gibt Simulatoren!
. Anwendung in der Algorithmik
bekannte Algorithmen genau formulierenneue Algorithmen finden?
. aber: keine der (vielen) Quantenprogrammiersprachen (QPLs)hat bisher zur Entdeckung eines neuen Algorithmus gefuhrt,
. auch der (Nicht-Quanten)-Programmierer sollteQuantenprogramme schreiben konnen (
”ADT-Idee“)
. tieferes Verstandnis von Informatik und Quantentheorie
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Ziele und DesignBeispiel: zwei imperative Sprachen
QCL (1) 22/27
Erste echte Quantenprogrammiersprache von B. Omer[Om98, Om00, Om02]
. Features
QCL: eine prozedurale Sprache in der Tradition von Pascal / Cerweitert um spezifische Konstrukte fur Quantenrechner(eigentlich: Konstrukte zur Steuerung einesQuantenexperiments)Operatoren sind syntaktisch auf der Ebene von Prozedurenangesiedelt, also statische GebildeAufrufhierarchie zur Vermeidung von Nebeneffektenprocedure ⊂ operator ⊂ qufunct ⊂ functionSprachkonstrukt zur Invertierung eines Operators
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Ziele und DesignBeispiel: zwei imperative Sprachen
QCL (2) 23/27
. Features
qubits werden zusammengefasst zu Registern, reichhaltigeSprachkonstrukte zur Manipulation von Registern (ahnlich zuArrays bzw. Strings)Register verschiedener Typenlokale Variablen, die quantenmechanisch automatisch korrektbehandelt werden (
”quantum memory management“)
didaktisch bestens geeignet
. (vielleicht) Nachteile / Schwachen
nur prozedural, nicht OOPkeine formale Semantik, daher: Analyse von Algorithmen nuruber Standardformalismus der Quantentheorieals Folge der Aufrufhierarchie: Ruckgabe von Werten nur uberglobale Variablen oder durch direkte Ausgabe
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Ziele und DesignBeispiel: zwei imperative Sprachen
Qlanguage (1) 24/27
Sprache von S. Bettelli, L. Calarco und T. Serafini [BCS03]
. Features:
Verwendung einer Standardsprache (C++)OO-basierte Spracherweiterung mittels ADTszur implementierten Schnittstelle gehoren u. a.:
qubits / RegisterQuantenoperationenvordefinierte elementare Standardoperationen
Quantenoperationen sind dynamische Sprachkonstrukte(Objekte)daher: potenziell automatische Optimierung vonQuantennetzwerken (Gattern)didaktisch geeignet: bekannte Welt der imperativen /OO-Sprachwelt
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Ziele und DesignBeispiel: zwei imperative Sprachen
Qlanguage (2) 25/27
. (vielleicht) Nachteile / Schwachen
keine formalisierte SemantikDer Compiler kann moglicherweise fehlerhaften Code nichterkennen (u. a. Typfehler, die Verstoße gegen Gesetze derQuantenmechanik bedeuten)Beispiel: unitarer Operator, der eine Messoperation enthaltdas Problem aus C++-Sicht: manche Methodenaufrufe sindnicht zugelassen im Kontext bestimmter anderer MethodenDiese Situation ist fur einen C++-Compiler nicht als Fehler zuentdecken.
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AktuellesEine
”neue“ Informatik?
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3 QuantenalgorithmikBerechnungsmodelleEin Quantenalgorithmus
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AktuellesEine
”neue“ Informatik?
Literatur
Aktuelle Forschungsaktivitaten 26/27
. Versuch einer”Quantisierung“ von theoretischen Konzepten
der Informatik und Logik [Sel04, Sel05]
. Ziel: tiefergehendes Verstandnis diese Konzepte und derQuantentheorie
Kategorientheorie
Funktionale Sprachen
Lineare Logik
Lambda−Kalkül
Prozessalgebren
Denotationale Semantik
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Worin konnte die neue Informatik bestehen? 27/27
. pragmatischer Aspekt
Zu speziellen Probleme gibt es”schnellere“ Algorithmen, also
solche in besseren Komplexitatsklassen.U. a. ist eine schnelle Simulationen physikalischer Vorgangedurch Quantensysteme moglich (Feynman).kryptographische Anwendungen auf der Basis von No-Cloningund Verschrankung
. theoretischer Aspekt
Hoffnung fur die Zukunft: vielleicht tiefergehendes Verstandnisder Grundlagen1
1also der Informatik (so die Physiker) bzw. der Physik (so die Informatiker)
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AktuellesEine
”neue“ Informatik?
Literatur
Zum Nachlesen von Details
Literaturverzeichnis
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[BCS03] S. Bettelli, T. Calarco, and L. Serafini. Toward an architecturefor quantum programming. Eur. Phys. J., D 25(2):181–200, 2003.http://arXiv.org/abs/cs.PL/0103009abs.
[EW04] J. Eisert and M. M. Wolf. Quantum computing, 2004.http://arXiv.quant-ph/0401019 v1.
[Hir01] Mika Hirvensalo. Quantum Computing. Springer-Verlag, Berlin, Hei-delberg, 2001.
[NC00] Michael A. Nielsen and Isaac L Chuang. Quantum Computationand Quantum Information. Cambridge University Press, Cambridge,2000.
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[Om98] B. Omer. A procedural formalism for quantum computing. Master’sthesis, TU Wien, 1998. http://tph.tuwien.ac.at/˜oemer/papers.html.
[Om00] B. Omer. Quantum programming in QCL. Master’s thesis, TU Wien,2000. http://tph.tuwien.ac.at/˜oemer/papers.html.
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[Pen94] Roger Penrose. Shadows of the mind. Oxford University Press, 1994.
[PFU+04] A. Poppe, A. Fredrizzi, R. Ursin, R. Bohm, T. Lorunser, O. Maur-hardt, M. Peev, M. Suda, C. Kurtsiefer, H. Weinfurter, T. Jennewein,and A. Zeilinger. Practical quantum key distribution with polariza-tion entangled photons. Optics Express, 12(16), 2004.
[Sel04] Peter Selinger, editor. Proceedings of the 2nd International Work-shop on Quantum Programming Languages, volume TUCS GeneralPublication No 33, Turku, Finland, July 12-13 2004. Turku Centrefor Computer Science.
[Sel05] Peter Selinger, editor. Proceedings of the 3rd International Workshopon Quantum Programming Languages, Chicago, USA, June 30 - Ju-ly 1 2005. Electronic Notes in Theoretical Computer Science, URL:www.elsevier.nl/locate/entcs.
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[TBZG98] W. Tittel, J. Brendel, H. Zbinden, and N. Gisin. Violation of Bellinequalities by photons more than 10 km apart. Phys. Rev. Lett.,81:3563, 1998.
[Wer02] R.F. Werner. Quantenrechner – die neue Generation von Supercom-putern? In Jurgen Audretsch, editor, Verschrankte Welt. Faszinationder Quanten. Wiley-VCH, 2002.
[Win04] Veronika Winkler. Durchs Nadelohr. Verschrankte Photonen fur klei-ne Chipstrukturen. c’t, 12:48, 2004.
A. Aspect, P. Grangier, and G. Roger.Experimental tests of realistic local theories via Bell’s theorem.Phys. Rev. Lett., 47:460–463, 1981.
S. Bettelli, T. Calarco, and L. Serafini.Toward an architecture for quantum programming.Eur. Phys. J., D 25(2):181–200, 2003.http://arXiv.org/abs/cs.PL/0103009abs.
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