TECHNISCHE MECHANIK 3(1982)Heft2

Manuskripteingang: 4. 12.1981

Eine nid'nlineare Theorie dünner Dreisdriditschalen und

ihre Anwendung auf die Stabilitätsuntersudiung eines

dreischichtigen Streifens

Holm Altenbach, Pawel Shilin

Dreischichtige Schalenkonstruktionen können in vielen

Bereichen der Technik eingesetzt werden. Dabei gibt es

verschiedene Möglichkeiten zum Formulieren einer The-

orie der Dreischichtschalen mit starr verbundenen

Schichten. Die einfachste Variante einer solchen Theorie

beruht auf der Kirchhoff-Loveschen Hypothese für das

gesamte Schalenpaket. Diese Variante liefert leider un-

genügende Ergebnisse, wenn sich die Steifigkeiten der

Schichten stark unterscheiden. Jedoch ist dieser Fall für

die Praxis besonders interessant. Daher schlagen verschie-

dene Autoren verbesserte Theorien vor. Die einfachste

Erhöhung der Genauigkeit läßt sich durch die Einbezie-

hung der Querschubdeformationen erzielen, d. h. durch

den Übergang zu einer Theorie, analog der Timoschenko-

-Reissner-Mindlinschen Theorie. Es wurde jedoch festge-

stellt, daß bei der traditionellen Definition der Steifig-

keitsparameter für die Schale (Einführung von kinema-

tischen Hypothesen) diese Variante ebenfalls nicht an-

wendbar ist, wenn starke Inhomogenitäten über die-

Schalendicke auftreten [l].

Wesentlich besser sind Varianten, die auf der von E. I.

Grigoljuk, W. W. Bolotin und anderen Autoren einge-

führten Hypothese der gebrochenen Normalen beruhen.

Hier kann man eine verhältnismäßig gute Übereinstim-

mung der Berechnungen mit experimentellen Ergebnis-

sen bei Stabilitätsuntersuchungen erzielen. Die Ordnung

des Gleichungssysteme ist bei diesen Varianten jedoch

wesentlich höher im Vergleich zur klassischen Theorie

einschichtiger Schalen. In der Theorie von E. I. Grigoljuk

ist die Ordnung des Systems doppelt so groß, in der The-

orie von W. W. Bolotin ‚dreifach so groß [2].

In der vorliegenden Arbeit wurde als Grundlage fiir die

Theorie der Dreischichtschalen die Theorie einfacher

Schalen [3], [4], [5] genommen. Die einfache Schale ist

ein formales Modell, dessen Spannungszustand durch

zwei Kraftgrößentensoren (Kräftetensor, Momenten-

tensor) vollständig beschrieben wird. Dabei werden keine

Annahmen über den Charakter der Verschiebungen und

Spannungen über die Schalendicke getroffen. Die Grund-

gleichung erhält man mit Hilfe der Erhaltungssätze (Im-

pulssatz, Drehimpulssatz), der Symmetrietheorie (s. z. B.

[6]) und den asymptotischen Entwicklungen. Dadurch

kann man die Problematik auf die Bestimmung soge-

nannter spezifischer Moduli [l] zurückführen. Wenn die-

se bestimmt sind, so ist die Theorie für die gegebene

Klasse von Schalen vollständig formuliert. Die Theorie

dünner Dreischichtschalen unterscheidet sich bei dieser

Vorgehensweise von Theorien für andere Klassen von

Schalen nur in den Werten der Elastizitätsmoduli.

In der Arbeit wird, wie das in der Kontinuumsmechanik

üblich ist, die Tensorschreibweise verwendet. Um Ver-

wechslungen zu vermeiden, sind im Text die meisten

Symbole und Operationen erklärt. Hier nur kurz die

allgemeine Symbolik:

Symbole ohne Unterstreichungen stellen Skalare dar,

Symbole mit einer Unterstreichung sind Vektoren,

Symbole mit doppelter Unterstreichung sind Ten-

soren,

wenn g und _b zwei Vektoren sind, so ist gliein dya-

disches Produkt (hier ein Tensor zweiter Stufe),g ' b

ein skalares Produkt (hier erhält man ein Skalar) und

gx_b_ ein vektorielles Produkt (hier erhält man einen

Vektor),

wenn A und 1} Tensoren 2. Stufe sind, so kann man

sie folg—enderm—aßen darstellen: A = a b , _B_ = gdund

das Doppelskalarprodukt der Te—nsoren laütet I; ' ' g

= (11' J (8_' 11)-

l. Grundgleichungen der Theorie einfacher

Schalen

Als einfache Schale bezeichnet man laut Definition ein

zweidimensionales Objekt, dessen Spannungszustand

durch zwei Kraftgrößentensoren vollständig definiert ist.

Deshalb ist das kinematische Modell der einfachen

Schale eine materielle Fläche, bei der alle Elemente star-

re Punkt-Körper mit 6 Freiheitsgraden sind. Die Bewe-

gungen eines solchen Modells sind durch eine Vektor-

funktion l_l (x1, x2, t) = E (xa, t) und durch einen ortho-

gonalen Tensor B(x°‘,t) gegeben. Der Vektor beschreibt

die Translationsbewegung der Punkt-Körper, der Tensor

die Rotationsbewegung. Hier sind mit x1, x2 die mate-

riellen Koordinaten der Fläche bezeichnet, der Parame-

ter t gibt die Zeit an. Die Vektorbasis der Fläche wird

wie folgt eingeführt:

flaw,» = 6a 5061.05 i sonst) ‚ (1—1)ax“

wobei die griechischen Indizes hier und später die Werte

l, 2 annehmen. Weiterhin führen wir den Vektor der

Einheitsnormalen l! (xa, t) ein: H!I = 1, H ' ä: O. Damit

haben wir eine Vektorbasis im Raum. Die kontravariante

Basis wird mit ä“ (xo‘, t), E6“, t) bezeichnet: ä“ ' R

= 8a, Ea ' 13 = 0. Der Gradient ist in der aktuellen

(t#0) und Ausgangskonfiguration (t=0) folgenderma-

ßen definiert (Summation über unterschiedlich hohe

Indizes):

Grad g = 3a 3a; , grad g =vg 10160,; , (1.2)

23

wobei grad =V = Gradlt=o , f = ä“ (161,0) und g ein

beliebiges Tensorfeld auf der Fläche sind.

Der Spannungszustand wird in der einfachen Schale

durch zwei unsymmetrische Tensoren 2. Stufe definiert

g<xa,t>=11a1a, 1a=v£a-3a Law-".14). (1.3)

gamma“,M“ =~/ s s“ Maw-w. (1.4)

Hier sind 1(a) und Mm) die physikalischen Kräfte- und

Momentenvektoren, die je Längeneinheit der Kurve x“ =

konst. wirken und dabei die Reaktion des Kontinuums,

welches sich auf der Seite des Zuwachses der Koordinate

x“ befindet, modelliert. Entsprechend kann man I und

h=’l als Cauchysche Kräfte- und Momententensoren be-

zeichnen. Dabei gelten folgende Formeln:

I(„)=2‘;‚M(„)=z'h=4‚ 13| =l,_g' 13:0. (1.5)

Die Vektoren In». und MW) wirken auf Flächen, die

dem Vektorg (xa, t) orthogonal sind.

Die Bewegungsgleichung kann man in den beiden ge-

bräuchlichen Formen angeben. In der aktuellen Konfi-

guration lauten sie:

Divl+pE =p(x+2i-Q)'‚ (1.6)

Divh=4+lx+pL= p(21'1+22°@' +

(1.7)

+1”:ng ‘fl.

Hier bedeuten: p(x°‘,t) — die Massendichte, pE und

pl_.. —— die äußere Kraft und das äußere Moment je Flä-

cheneinheit, 2x = Lia x11“, Q1 und Q2 - der erste und

zweite Trägheitstensor, die die Massenverteilung inner-

halb der Punkt-Körper kennzeichnen, i; und fl — die

lineare und die Winkelgeschwindigkeit der Punkt-Körper

1(X°‘¢)= 36"» ‚ — = -i [ä ' E 1x - (1.8)

Der obere Index T bedeutet „transponiert“, ( )'= ä

und die Divergenz führen wir folgendermaßen ein:

Div9__=1_t°"aas‚ float).

Das Massenerhaltungsgesetz gibt den Zusammenhang

zwischen den Dichten in beiden Konfigurationen an

JA (xost) p (x01, t) = po (xa) \/a_ , (1.9)

A E det(B_a ' EB) , a=A(xa,0) .

Die Trägheitstensoren kann man wie folgt definieren:

ga<x°et> = goat) - 2° (x0!) ~1T<xa,t> ‚ -

g; (x0!) = ga(xa,t)| F0 , (1.10)

wobei ;(x°‘,0) = E (Einheitstensor) vorausgesetzt wird.

Die konkrete Form fiir p (xa,t) und ga(x°‘, t) hängt von

24

der Spezifik der zu betrachtenden Aufgabe ab. So läßt

sich z. B. für Schalen mit konstanter oder sich schwach

ändemder Dicke zeigen, da5 folgende Formeln gelten:

po=<30>, pO @‘1’ = <30z> 2x2, (1.11)

peg; =<30z2>g‚

wobei; =V L , L (xo‘) = I_{(x°‘,0) , n =E(x°‘,0) sind und

p~o (xa) die Dichte des dreidimensionalen Kontinuums in

der Ausgangskonfiguration, z der A bstand in Normal-

richtung von der Bezugsfläche beeeuten und die eckigen

Klammern wie'folgt definiert sind:

<f(x°‘,z) > = f f(x°‘,z) (1—2zH+z2K) dz,¥f. (1.12)

Die Integration erfolgt über die Dicke der Schale und H

und K sind als mittlerer und Gaußscher Krümmungs-

radius eingeführt.

Nach Definition der Kirchhoff-Piolaschen Kräfte- und

Momententensoren

2n= fig (Grad;)T-;,

L’Ir 1—1} (Grame-n

kann man die Bewegungsgleichungen (1.6) und (1.7) in

der Ausgangskonfiguration darstellen:

V.

(1.13)

= now + (2T -2>'‚ (1.14)

IIH

I’TJ

+p0

+(V

' T

=P0(C;)1'1+C;>2'fl> +Poix91'fl-

v- TIIZ

I51

211%; + PoL Z

(1.15)

Bei gewissen Einschränkungen auf die Klasse der be-

trachteten Schalen [5] wird die Verformung der einfa-

chen Schale durch folgende Deformationstensoren de-

finiert:

g =%(vä'VäT—g)‚ 7=vs-P n, (1.16)

2 =I=<"g'2T'VäT+ äg-g VB-VRT +

+ äg. g. (1.17)

Hiersind

2'g=VBXL§"g'£T -‘

= ¥§La<aag-1T>— 1-; (1.18)

ll“ =-—ng.

Der Tensor ‚es enthält die Dehnungen und Gleitungen in

der Bezugsfläche, _'y_ ist der Querschuhdeformationsvek-

tor und 2 der Biegeverformungs- und Verdrillungstensor.

Für elastische Schalen kann man ein elastisches Potential

Wg, g, 1) einführen. Die Kräfte- und Momententenso-

ren lassen sich als Ableitungen dieses Potentials darstel-

ÖW 3W 3W T x T: ." a ‚K n .P __

l. 3W 3W T_ __ . . _ __ a u a R,2g: a? (32) g g1v_( 9)

(1.20)öW T

an = Evas-g; -

Um eine geschlossene Theorie zu erhalten, muß man eine

konkrete Form der Deformationsenergie annehmen. Nur

in diesem Punkt unterscheiden sich die verschiedenen

Schalenklassen in der Theorie einfacher Schalen. In der

vorliegenden Arbeit werden im weiteren nur dünne Drei-

schichtschalen betrachtet.

2. Die Deformationsenergie für dünne Drei-

schichtschalen

Alle Informationen über die physikalischen Eigenschaf-

ten der Schale sind in der Struktur der Deformations-

energie enthalten. Treffen wir folgende Einschränkun-

gen:

a) Die Schale sei aus steifen Materialien, welche nur ver-

hältnismäßig kleine elastische Verformungen zulassen

(Aussehluß von Elastomeren).

b) Das dreischichtige Paket sei relativ dünn, d. h. h/L

< l, wobei h die Gesamtdicke des Pakets und L die

kleinste charakteristische Längenausdehnung der Be-

zugsfläche sind.

Bei diesen Einschränkungen kann man die Deforma-

tionsenergie als quadratische Form annehmen:

W(g’2,1): gouglopg+£ougzoug+l2

+1 ..

IIO

II0‘3e. „Läl-r-Z + (2.1)

2

+(gco

II")

1+

"’9' „29.1,

dabei sind g], g2, g3 Tensoren 4. Stufe, _I_:1, E2 Tenso.

ren 3. Stufe und E ein Tensor 2. Stufe. Diese Tensoren

heißen Elastizitätstensoren. Ohne weitere Einschränkun-

gen vorzunehmen, kann man zeigen, da5 die Elastizitäts-

tensoren folgenden Bedingungen genügen müssen:

g..g1:gl„g’ Eng-1:93.111, gnglfl),

goeg2=0, 2";1'40, (2.2)

dabei sind g ein beliebiger, g ein schiefsymmetrischer

Tensor 2. Stufe.

Die Elastizitätstensoren hängen von den Materialeigen-

schaften und dem Aufbau der Schale in den betrachte-

ten Punkten ab. Auf Grund der Einschränkung b) kann

man annehmen, daß die Elastizitätstensoren nicht von

den Krümmungsradien der Bezugsfläche abhängen. Der

Fehler hat dabei die Größenordnung O (h/R), wobei R

der Betrag des minimalen Krümmungsradius ist. Im

Weiteren wird angenommen, daß die Schale aus drei

orthotropen Schichten besteht, wobei zwei Symmetrie-

ebenen im Paket existieren. Diese Symmetrieebenen sind

zu folgenden Vektoren orthogonal 510(01), 22(xa) :

9.1 '22 :01 Ifial = l,_e_a '3 = O. Dann kann man zeigen,

daß die Elastizitätstensoren folgende Form haben [7]:

_ 1 1 1

E1 “C11 i121 +C22;2;2+C12(§—_1;2 “123) +

1

+ C44 24:4: (2.3)

c —c3 +c3 +03:3 ~ 332323 222222 „(23241423) +

+ c3 a +(:3 (24)44=4é4 1121—21 ’ '7

_ 2 2

C2 ’Claäläs+ci4älä4+cäsä2ä3 +

2 2 2

+ C24 i2 s4 + C41 $451.1 + C42 g4 g2 » (2.5)

P3F1gl+P2g-2, £1=0, £220.

Hier sind C1 , . . . , P2 die elastischen Moduli, welche

experimentelll bestimmt werden müssen. Dabei werden

Tensoren 2. Stufe als Basis verwendet:

äi =ä= 6:121 +222, g2 =§1§1 -§2§2a

(2.7)

is 22:2122 “§2§1’ 24:21 22 +2221-

Für Schalen aus apolarem Material ( L - - g= 0, wenn L der

Spannungstensor in der dreidimensionalen Elastizitäts-

theorie ist) verschwinden Cf] und C21 .

Somit wird eine dünne Dreischichtschale aus apolarem

orthotropen Material durch 15 Moduli beschrieben. Die

Anzahl der Moduli läßt sich im Rahmen dieses Material:

modells nicht verringern. Im Falle einer orthotropen

Schale mit symmetrischem Aufbau über die Dicke (die

äußeren Schichten sind gleich und als Bezugsfläche wird

die geometrische Mittelfläehe genommen) läßt sich zei-

gen, daß £2 = 0 wird. Wenn eine Schale aus transversal-

isotropen Materialien besteht, so kann man zeigen, daß

(2:2 = (:34 = r2 = 0 sind und cal,2 = 0,114,032 = €24

werden. Solches Material läßt sich mit 5 Moduli beschrei-

ben. Wenn die Schale aus transversal-isotropen Materia-

lien besteht, jedoch eine Symmetrie in Normalrichtung

fehlt, so müssen die Elastizitätstensoren transversal-

isotrop sein:

1-1 1_3_ 3_3 2_2_ _

C22"C44’Clz‘C34.'0’sz'C44’Cl4FCza‘Cia‘o’

2 _ 2 _C42——C24,F2—0.

25

Diese Klasse von Schalen wird durch 7 Moduli beschrie-

hen.

Hier seien die elastischen Moduli fiir dreischichtige Scha-

len mit orthotropen Schichten angeführt. Eine Methodik

zu ihrer Bestimmung mit Hilfe von mathematischen Ex-

perimenten ist in [7] dargestellt. Das Hookesche Gesetz

für orthotropefix Material [8] lautet (Index i — Konstan-

ten der i-ten Schicht):

i 1

311-1 ”12 ”13 au a 1'

5‘5“E°Y‘ET”Z’ a—y*ä=%1 2* 3 G12

V12 E1 = V21 E2,

z;i:l_a_vlla__2_30 Ö_u_+Öw_sz

y EiyEiinz’az a—x‘T2 1- 3 G13

V13 E1:1’31 E31

V1 „1

a: La ~20- av +aw_Tyz

az Ei z Ei‘x E1 Y’s; g“?

3 1 2 023

”23 E2 = ”32 Esv

1 . 1 .

C =2H.A‘, C =2H.A‘,11 (i) l 2 22 (i) l l

Die Bezugsfläche sei die geometrische Mitte der Schale.

Die Schichtdicken betragen H1 = h—hl , H2 = h1 + h2 ‚

H3 =h—h2, H1 +H2 +H3 =2h.

. 11 l 2 11 l 2 2Außerdem sei HI = ä(112—111),H2= 5011 412), H; =

l 2 2 **_1 3 3 **_113 3 *4o_

§(h2_h )’ H1 "50' ’hl)’H2 '§(h1+h2)’H3 "

ä<h3 —hä). Die Bezeichnungen entsprechen Bild l.

Bildl

Wenn man folgende Abkürzungen verwendet:

i 2 1

A:1 _”12 1 1 1+1 2"12

l 1 1 T ’ 1~4A- i —— 'ElE2 E2 1 E1 El E; i

i ‚

1:_1__ L+i+2"12 11:1} 1‘1

2 1

so lassen sich die Elastizitätsmoduli als Summen einfiihren,

=EH-Ai, c1 =2H.Gi , 2.8(i) l 3 44 1 l2 ( )

c2 =_>:H?’Ai,c2 =2H?‘Ai, c2 2-2 TA‘ (32 =2H*Ai c2 — *i13 (i) 1 2 14 (i) 1 3 23 (i) 1 3’ 24 (i) i 1’ 42”“)Hiclza (2-9)

3 11* - 3 *41- C *at- ~ an:- -

0 22H. A' ‚c 22H. A‘,c3 =EH. A‘ (:3 =2H G‘33 I 2 44 1 l 34 1 3’ 22 i 12’ (2.10)

(Summation für i = l, 2, 3).

Die Querschubsteifigkeiten F1 und F2 lassen sich nicht

in Form eines geschlossenen Ausdrucks angeben. Sie

werden durch die kleinsten positiven Wurzeln folgender

transzendenter Gln. bestimmt:

2_ i i 2_ i i

“(Gm/G2? 31'G12/G13

COSUI — 1 *sin (12 A011 +112) I 0

‘1 '

(1230111111111 101—111) 0 ' 4323012 cosa2 >1(h1+h2) 0

(2.11)

0 cosaz Ä(h1 +h2) 0 ——cosa3 Mil—112)

2 .0 G23 (12 11111112 1011 +112) a3 G; a3 sin (13 101—112)

26

Die Lösungsbedingung lautet det(7\)=0, woraus Äo als kleinste positive Lösung folgt.

00851 1Nil—111) —.1 —sinß2 n(h1 + h2) 0

1 .

G13 (31 3mg;i 1101—111) o _Gf3 (32 cosßz n(hl + h2) 0 (2.12)

O COSß2 O -COSß3

2 . 3 .

0 013 I32 811152 "(h1 +h2) ß3 G13 p3 smß3 n(h—h2)

Die Lösungsbedingung lautet auch in diesem Fall det(n)

= 0, woraus no als kleinste positive Lösung folgt.

Für P1 und P2 erhält man die Ausdrücke:

3 1 2 2

(770 + "oXC22 C44 “((142) )

F1 = 2 c1 ’44

(2.13)

_ (no — wng C14 — (Ging)

2 c}14

F2-

Für das in den nächsten Abschnitten betrachtete Bei-

spiel benötigen wir den Spezialfall einer Schale aus iso-

tropen Schichten [9] mit Symmetrie in Normalrichtung,

d. h. mit gleichen Außenschichten:

E 1.—1. E h

Ci1:Al:i l) + 12 1’‘V "’2 (2.14)

E(h—h) E hl _ __ 1 2 l

C22”???- * m2 ’

3 3 33 E(h _hl) E2}.1

C =C1:-——-—— + _— ,

33 3(1—12) 3(1—v2)

3 3 (2.15)

E(h3——h1) E2hl

c3 =c =—— + —— ‚

44 2 30+») 3(l+v2)

P1=F=72€2lh2, (2.16)

'y ist die kleinste positive Wurzel der Gln.

G sin7(1——a) sinya — G2 cos7(1—a) cos7a= 0 , (2.17)

h1 = ah, Ka<1, G=E/2(1+v), G2=E2/2(l+ V2).

In den Gln. (2.14) bis (2.17) bedeuten E, v, h—hl

Youngscher Modul, Querkontraktionszahl und die

Dicke der äußeren Schicht, E2, V2, h1 — Youngscher

Modul, Querkontraktionszahl und die halbe Dicke der

Mittelschicht (vgl. Bild 2).

Bid 2

3. Das Verzweigungsproblem bei Gleichgewichts-

untersuchungen für den dreischiehtigen Strei-

fen

Gegeben sei eine Platte mit symmetrischem Aufbau über

die Dicke. Die Bezugsfläche falle mit der Mittelfläche zu-

sammen. Als materielle Koordinaten der Fläche wählen

wir x1 = x, x2 = y. Eine Plattenausdehnung sei so groß,

da6 man die Platte als Streifen mit lxl < l und lyl < °°

betrachten kann. Der Streifen sei an den Rändern x = i l

durch Längskräfte der Intensität p = konst. begrenzt

(s. Bild 2). Die Bezugsfläche ist durch den Vektor

r_ = x £1 + y g2 definiert. Hier sind Ea orthogonale Ein-

heitsvektoren. Der Nablaoperator nimmt die Form

a a

V=£1K +225; a"-

Die Verformungen lassen sich folgendermaßen einführen:

§=L+ 110021 + w(x)2, (3~1)

; (my) = 22.6.2 + c°s¢(x)(§ —2222) +

+ aim/(x) 22 XE- (3-2)

Hier sind u, w die Längs- und Normalverschiebungen,

W der Verdrehwinkel der Punkt-Körper der Fläche. Die

Gln. (1.14) und (1.15) werden damit zu

v-;=0‚ V'M + WIE-2m. = 0- (3-3)

Für Platten gilt g ° g = O. Somit erhalten wir als Defor-

mationstensoren entsprechend den Gln. (1.16) bis (1.18)

und (3.1), (3.2):

_ d 1 d 2 2 _

2‘6112121 ‚ e11= §+§[(d—:) Wg) l, (3-4)

_dW2352122, (3.5)

7:71 e1 ‚ 71 z(14E)!!in+d~—wcomll ‘(3 6)_ _ dx dx . .

Die konstitutiven Gln. (1.19) und (1.20) werden zu

in = e11 [(A1 +A2)£1£1 +(A1”A2)_§2£2] +

du+ e11(A1 +A2)£1 d—x + I‘1‘71219 +

d 2

+ (d—b (C1+Cz)2222 . 12=sinw21+coswa,(3.7>

27

d

L411 = ä[(C1+C2)£122_(C1_C2)2221 HE42 L3) -

dudd! d

—K(Cl—C2)£2(§*J; am (3-8)

wobei A1 , . .

Die Randbedingungen lauten:

x=il:£1'l'£1=p,g'£2=0,w=0, (3.9)

21'Il=’1‘22=0‚ 2'22222- (3-10)

Damit haben wir eine nichtlineare Randwertaufgabe für

die Funktionen u, w, w erhalten.

4. Die Lösung der Randwertaufgabe und Bestim-

mung der kritischen Last

Da in und l\__/ln nur von x abhängen, folgt aus G1. (3.3)

21 0;“ = qlgl + +q3g_ ‚ qj=konst(j= 1,2,3) . (4.1)

Entsprechend Gl. (3 'l) ist ql = p. Wenn man Gl. (4.1)

auf die Orte 3a, n abbildet, erhält man folgendes Glei-

chungssystem:

d .611(1’\1+1‘\2)(1+ä)+[‘71 smlll=p, q2=0, (4.2)

d

611(A1+A2)£ + F71 “Wuls-

Da

T _ d

(VB “211).. - W322 J'KQÄXH)

ist, folgt aus der zweiten Gl. (3.3) unter Beachtung der

Gl. (3.8)

d1}![(Cl +C2) d—X + wp — uq3 —q3 x132 = cp = konst, (4.3)

hierbei ist (p ein konstanter Integrationsvektor. Da die

Aufgabe begüglich x = 0 symmetrisch ist, wird q3 = 0.

Die Bedingung (3.10) ergibt g? = 0 bei x = :1. Daher istX

der Vektor g nach Gl. (4.3) und Bedingung

w(x = i l) = 0 Null. Somit erhält man

dill+ — + = . .4(Cl C2) dx pw 0 <4 >

Das System (4.2), (4.4) ergibt bei q3 = O drei Gln. zur

Bestimmung der 3 gesuchten Funktionen. Dieses System

hat bei allen Werten für p Lösungen der Form

u(x)#0,w=0,ill=0, (4.5)

u=0,w=0,w=wo=konst,Mokg. ' (4.6)

Im ersten Fall erfährt der Streifen die reine Zug-Druck-

deformation, im zweiten Fall die Querschubdeforma-

tion. Zuerst wird der Fall (4.6) untersucht:

28

. ‚ l" den Gln. (2.14) bis (2.16) entsprechen.

211 = P Sinwo£1(3in‘p021 + cOB‘I’OE) a L4H : 0'

Als Randbedingung haben wir

Psin2 wo = p, (4.7)

welche bei'p > O und pF—l < 1 erfüllt werden kann. Da-

mit wird die Gleichgewichtsgl. zu (En)x = 0,

sin lilo cos 1110 = 0,

i110 = i g . Eine Gleichgewichtskonfiguration tritt folg-

lich nur bei einer Zugbelastung p = F auf. Zur Unter-

suchung der; Stabilität betrachtet man eine unend—

lich nahe Konfiguration i1: ‚v; 215 * W W058i :1" W; ‘i’ “n"

endlich klein sind. Man kann zeigen, da5 gemischte

Gleichgewichtsformen nicht existieren, d. h. die Konfi-

guration ist stabil gegenüber kleinen Auslenkungen. Je-

doch ist diese Konfiguration physikalisch nicht interes-

sant, da sie großen Querschubverformungen entspricht

(71 = i 1), bei denen die Energie offensichtlich nicht

mehr in der quadratischen Form (2.1) darstellbar ist.

Im Falle der Untersuchung des Zustandes (4.5) erhält

man statt des Systems (4.2), (4.4) nur eine Gl.

1 <322 dx

Bei Zugbelastung (p > 0) erhält man nur eine Lösung.

Bei Druckbelastung (p < 0) muß man folgende Fälle,

du du du

— — = ——— ~ . 4.dx(1+dx><1+ > p/<A1+A2>‚ dx> 1 < 8)

die der Bedingung g]: > — 1 genügen, unterscheiden:

x

1 p . ..a u- m < —— <0 zwei Losungen,

) 3V? A1 + A2

keine Lösung,

c) p = «(A1 + A2>I3¢§

Dieses Verhalten des Streifens bei Druck läßt sich schwer

mit intuitiven Vorstellungen in Übereinstimmung brin-

gen. Das hat seine Ursache darin, dafs auch hier die De-

formationsenergieannahme in der Form (2.1) nicht aus-

eine Lösung.

reicht. Physikalisch läßt sich nur die Lösung bei 3—“ < 1

x

in Gl. (4.8) angeben, d. h. bei lp/Al +A2l < 1 (die Be- “

lastungsintensität muß klein sein). Diese Einschränkung

wird nur bei genügend steifen Schalen erfüllt. Die

„kleine” Lösung der Gl. (4.9) lautet

_. PX

u _ A1 +

Gemeinsam mit der Konfiguration (4.9) wird ein unend-

lich naher Zustand betrachtet:

~ _ px ~_ ~—

11 — m+ul, w— W1, ill— .

Hier sind ul, wl , III} unendlich kleine Größen. Nach Ein-

setzen der Ausdrücke (4.10) in die Gln. (4.2) und (4.4)

und nachfolgender Linearisierung erhält man folgendes

Gleichungssystem z

dul p+[" dwl (11/11 p___ = __: —-+———-— :0.

dx O’WIK r 7dx O’dx (31+c2W1

(4.11)

Darausfolgt:

dwl _ p+I‘ dwl

“1:0,a—;—+K2W1=0,w1——( P Fit—1

K2=____I’_E___._ .

(01+C2)(P+F)

Bei p > 0 hat dieses System nur eine triviale Lösung. Bei

p < 0 erhält man folgende, den Randbedingungen genü-

gende Lösung:

2n—1

w1=AncosKnx‚ Kn: T"-

Das bedeutet, daß im Falle des gedrückten Streifens ein

Verzweigungsproblem auftritt. Der kleinste Wert |pl‚ bei

dem mehrere Lösungen auftreten, wird kritische Bela-

stung pkr genannt. pkr kann man nach folgender G1. be-

rechnen:

2 C +C

Pkr = "— —1_2_ _ (4,13)1 + +C2 n2

r E?

Wenn der Streifen aus drei gleichen Materialien besteht,

so ist

. ZEh3 n2

Nach Einsetzen in Gl. (4.13) erhält man die Eulerschc

kritische Belastung mit einem kleinen Korrekturfaktor

für den Querschub:

E I 2:2 2Eh2 1

pl“ 1153(1_v2)1+2 g

1Av12

Für einschichtige Schalen mit h2/l2 < 1 kann man diesen

Einfluß vernachlässigen. Für mehrschichtige Streifen mit

G2 < G wird der Einfluß wesentlich, da

C1 + C2 „2

r 117~1

sogar bei’h2/12 < 1 wird. Dies läßt sich damit begründen,

daß die Querschubsteifigkeit in diesem Fall sehr klein

sein kann.

5. Numerische Ergebnisse und ihr Vergleich mit

bekannten experimentellen und theoretischen

Ergebnissen

Die Gl. (5.13) vergleichen wir mit Ergebnissen aus [10].

Die äußeren Schichten bestehen aus Dur'aluminium

D—16T mit folgenden Werkstofflcenngrößen: E = 6,96

- 106 N/cm2, v = 0,3. Die Füllschicht besteht aus ver-

schiedenen Sorten von Phenoplasten mit v2 = 0,4. In

allen betrachteten Fällen war :x—u ~— 0,001. Die Moduli

wurden nach den Gln. (2.14) und (2.15) ermittelt. Für

die Querschubsteifigkeiten wurden 3 Methodiken ver—

wendet

a) nach den Gln. (2.16), (2.17) ,

b) nach I‘, = —6— G(h—-h1)+ G2 hl , (5.1)

1:2 GGZhl (h-hi)c) nach I‘H — -6—W. (5.2)

Die Formeln (5.1) und (5.2) stellen mögliche „Schal—

tungsmodelle” der Steifigkeiten dar. Die Formel (5.1)

entspricht dabei einer Parallelschaltung der Schichten,

analog den eingeführten Steifigkeitsmoduli (2.8) bis

(2.10). Dies kommt der Annahme kinematischer Hypo—

thesen gleich. Die Formel (5.2) stellt eine Reihenschal-

tung dar. Man kann zeigen, daß

r„<r<r,

ist. Aus Gl. (5.13) folgt, da13 die kritische Belastung sich

mit der Abnahme der Querschubsteifigkeit verringert.

Daraus folgt

pkr(ri*)‘<‘Pk1-(P)<Plu(n) -

Es ist zu erwarten, daß die experimentellen Werte pe

unter den Werten pk‚(l") liegen. In der Tabelle 1 werden

die Ergebnisse einiger Beispiele angeführt. Mit p]; wird

die kritische Belastung nach [10] bezeichnet. Die Be-

rechnung dieser Werte ist wesentlich komplizierter, als

die Berechnungsmethodik in diesem Artikel. Aus der

Tabelle l ist erkennbar, da1": die Annahme kinematischer

Hypothesen nicht befriedigt. Dies war auch der Grund

zur Formulierung komplizierterer Theorien. Allgemein

läßt sich feststellen, da13

“(1(F*i)< pe g pkr

ist und der Unterschied zwischen pkr (11*) und pk|.(I‘)

in den Beispielen nicht mehr als 20 % beträgt. Das be—

deutet, daß man den Bereich der experimentellen Werte

verhältnismäßig stark einengen kann. Der Vergleich von

pkr (F) und 31;? ergibt, daß die Werte, die mit der einn

facheren Theorie erhalten wurden, qualitativ gleich mit

p}: sind.

Tubdle l

Nr. h1 h; a 21 G; p1/‘ul pi. pk," p1ru) pkr“

1 O: 3 a 3 3cm cm cm cm Mun-10 N/cm-1 N/cm-10 N/cmr10 N/crn-10 N/Cfiflo

1 0.800 0,500 40 34,5 0.321 0.383 0,459 0,483 4.157 0,478

2 0.500 0.050 1.0 3&5 1.470 0.707 0.725 0.831. 1.706 0.677

3 0.790 0,100 65 38.9 0.516 0,608 0.776 0.810 6,509 0.739

4 0.800 0.050 40 34,5 0,645 0.705 0.810 0.872 5.161 0.810

5 1.000 0.050 40 34.5 0,705 0.931 1.132 1.209 5.359 0.933

6 1,000 0.050 L0 3/..5 0.958 1.261. 1.479 1.51.1 636/. 1.109

7 1.000 0.050 40 34.5 1.084 1.389 1.550 1.590 6.366 1.456

8 0.500 0.120 1.0 34.5 5.136 2.218 2,303 2.725 4.670 2.559

29

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Anschriften der Verfasser:

Dipl-Ing. Holm Altenbach

TH „Otto von Guericke”

Sektion Dieselmotoren,

Pumpen und Verdichter

3010 Magdeburg, Bierutplatz 5

Doz. Dr. Pawel A. Shilin

Leningrader Polytechnisches Institut

Leningrad, Politechnitscheskaja 29