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Einführung zum Material für Lehrer

Thema: Der chinesische Abakus

Dieses Material für Lehrer ist Teil einer Zulassungsarbeit und steht für jedermann frei zur

Verfügung. Alle Bilder wurden selbst aufgenommen und die Skizzen wurden eigenständig mit

Microsoft Word erstellt.

Die Arbeitsblätter zum chinesischen Abakus sind gleich aufgebaut. Zunächst wird die Theorie

erklärt und ein Beispiel gegeben. Es folgen entweder Aufgaben zum Verständnis oder

Rechenaufgaben. Bei den Übungen werden schwierigere Aufgaben durch einen roten Stern

gekennzeichnet (*). Diese Sternchenaufgaben können beispielsweise für schnellere Schüler

oder für das Arbeiten in Gruppen angeboten werden, wohingegen schwächere Schüler sich

auf die Basisaufgaben konzentrieren sollten.

Die Arbeitsblätter umfassen die Zahlendarstellung, die Addition, die Subtraktion und die

Multiplikation mit dem Abakus. Die Materialien wurden didaktisch reduziert und möglichst

einfach erklärt. Zur Zahlendarstellung wurde ein Bonusblatt zum Thema Zahlensysteme und

deren Umrechnung erstellt. Anhand der Vielzahl an Themen, kann jeder Schüler selbst

entscheiden, welche Inhalte er bearbeiten will. So kann das Lernangebot vom Schüler

eigenständig ausgewählt, reduziert oder erweitert werden. Es gilt nur zu beachten, dass Blatt

1 und 2.1 als Basiswissen notwendig sind.

Zu jedem Arbeitsblatt existieren zwei Lösungsformen. Eine Schülerlösung, welche sehr knapp

gehalten ist und ausschließlich auf die Überprüfung der Ergebnisse abzielt. Sowie eine

Lehrerlösung, welche weitere Kommentare und Erklärungen beinhaltet. Außerdem sind kurze

Erfahrungsberichte aus der Praxis in die Lehrerlösung eingearbeitet.

Das Material wurde bisher ausschließlich von Schülern in Einzelarbeit zuhause bearbeitet.

Daraus lässt sich abschätzen für welche Jahrgangsstufen es sich eignet und wie viel Zeit für die

Bearbeitung nötig ist. Die nachstehenden Materialien sind grundsätzlich für die 7. bis 9. Klasse

geeignet. Das Material kann von konzentriert arbeitenden Schülern in einer Doppelstunde

bearbeitet werden, allerdings empfiehlt es sich für die Durchführung in einer Schulklasse circa

drei Schulstunden einzuplanen.

Selbstverständlich kann das Material auch in anderen Klassenstufen eingesetzt werden. So

wurde es bereits mit zwei Grundschülern der vierten Jahrgangsstufe getestet. Für den Einsatz

im primären Schulwesen sollte nur die Zahlendarstellung sowie die Addition und einfache

Subtraktionen thematisiert werden. Außerdem ist eine vollkommen selbstständige

Bearbeitung nicht möglich, daher würde es sich anbieten betreute Kleingruppen zu bilden.

Alles in Allem würde ich mich sehr über ein konstruktives Feedback freuen, um das Material

noch vorteilhafter gestalten zu können. Senden Sie mir eine Mail mit Ihren Erfahrungen unter

[email protected].

Am Ende dieses Dokuments sind noch einige hilfreiche Links zu finden, sowie die für die

Ausarbeitung benutzen Literaturangaben.

Hilfreiche Links:

Anleitung Abakus bauen, Stand: 22.09.2015

http://mathe-abakus.fraedrich.de/onlinelg/ababau00.html

Zahlensysteme, Stand: 22.09.2015

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/Zahlensysteme.htm

Arbeitsblatt, Stand: 23.09.2015

www.mathematik.uni-mainz.de/arbeitsgruppen/fachdidaktik/bicker/fd-seminar-

ss07/projekte/zahlen_ak

Literaturangaben:

Friedhelm Padberg, Christiane Benz: Didaktik der Arithmetik - für Lehrerausbildung und Fortbildung. Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg, 2011, S. 126ff, S. 240ff, S.274ff

Robert Oscar Meier & Co.: Anleitung für die chinesische Rechenmaschine Abacus, Bremen, 1972, 9. Auflage, S. 1 – 14

Y. Yoshino: The japanese Abacus explained, Dover, 1963, S. 1 – 154

Abakus als Rechenhilfsmittel, Stand: 01.09.2015 http://de.wikipedia.org/wiki/Abakus_(Rechenhilfsmittel)

Facharbeit zum chinesischen Abakus, Stand: 01.09.2015

http://www.benjaminwrightson.de/abakus/homepage.htm

Rechnen mit dem Abakus, Stand: 01.09.2015

http://www.henked.de/begriffe/algorithmus.htm

Rechnen mit dem chinesischen Abakus, Stand: 22.09.2015

http://mathe-abakus.fraedrich.de/mathematik/index.htm

Suanpan, Stand: 01.09.2015

http://www.chinarundreisen.com/china-info/chinesischer-abakus.htm

Umrechnung von Zahlensystemen, Stand: 22.09.2015

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/Zahlensysteme.htm

Universität Mainz, Fakultät für Mathematik, Projektarbeit zum chinesischen Abakus, Stand:

23.09.2015

http://www.mathematik.uni-mainz.de/arbeitsgruppen/fachdidaktik/bicker/fd-seminar-

ss07/projekte/zahlen_ak

Der chinesische Abakus

Blatt 1


Was ist ein Abakus?

Das Wort „abacus“ stammt aus dem Lateinischen

und bedeutet wörtlich übersetzt die Tafel bzw. das

Brett. Wir verstehen unter einem Abakus ein

Rechenbrett, welches als Rechenhilfsmittel dient.

Entwickelt wurde dieses vor mehr als 3000 Jahren

in Japan und China. Der chinesische Abakus wird

auch „Suan Pan“ genannt und besteht aus einem

Holzrahmen und mehreren Holzstäben mit je

sieben Holzperlen.

Wie funktioniert dieser Abakus?

Um die Funktionsweise des Abakus zu verstehen, muss man den Aufbau des etwas anderen

Rechenhilfsmittels betrachten. Dabei hilft dir die nachfolgende Skizze. Der Abakus ist durch

einen Querbalken in einen oberen und einen unteren Teil getrennt.

Der obere Teil wird als Himmel

bezeichnet. Hier besitzt jede der beiden

Kugeln die Wertigkeit 5.

Im unteren Teil, auch Erde genannt, ist

jede der fünf Kugeln nur einwertig.

Ein solcher Abakus kann 9, 11 oder 13 Holzstäbe mit je sieben Perlen besitzen. In diesem

Beispiel siehst du den kleinsten chinesischen Abakus. Die Spalte ganz rechts steht für die

Einer und die links daneben für die Zehner usw.

Aufgabe 1

Welche Spalte steht für die Tausender?

Markiere die betreffende Spalte in der obigen Skizze.


Blatt 2.1

Wie kann man Zahlen mit dem Abakus darstellen?

Der Abakus, wie du ihn auf dem Bild und in der Skizze sehen kannst, stellt eine Zahl dar. Der

Startwert und somit Ausgangszustand des Rechenbretts hat den Wert Null. Wenn du die Skizze

von Blatt 1 genauer betrachtest, siehst du, dass zwischen allen Perlen und dem Querbalken

ein freier Platz ist.

Wenn du eine Zahl mit dem Abakus darstellen möchtest, so musst du den Wert an Perlen zum Balken hinauf oder runterschieben. Die Darstellung der Zahlen mit den Skizzen erfolgt durch Markieren der Perlen.

Beispiel: 571

In der Spalte der Einer wurde eine einwertige Perle zum Querbalken bewegt, dann eine

fünfwertige und zwei einwertige Perlen der Zehnerspalte. Zuletzt wurde in der

Hunderterspalte eine fünfwertige Perle aus dem oberen Bereich an den Balken geschoben.

Aufgabe 2

Wie viele Arten gibt es, die Zahl 10 mit dem Abakus darzustellen? Skizziere diese!

Eine Regel besagt, dass die oberste und die unterste Perle einer Spalte so wenig wie möglich

benutzt werden sollen. Diese beiden Perlen sollten nur für die Rechnungen benutzt werden.

Aufgabe 3

3.1 Welche deiner Darstellungen aus Aufgabe 2 ist die offizielle Darstellung der Zahl 10?

3.2 Wie lautet die größte

a) ungerade bzw. gerade Zahl

b) Zehnerpotenz

die mit einem Abakus unter Beachtung obiger Regel mit 9 Spalten dargestellt werden kann?


Blatt 2.2

Zusatz: Zahlendarstellung

Schrittweise Zahlen mit dem Abakus darstellen:

Um eine Zahl schrittweise darzustellen, kann die Zahl

in ihre Zehnerpotenzen zerlegt werden.

Beispiel: 7502 = 7 · 103 + 5 · 102 + 0 · 101 + 2 · 100

Die Zehnerpotenz gibt die Spalte an, der Faktor davor

gibt den Wert der Spalte an.

Beginne am besten immer mit den Einern ganz rechts

am Abakus.

1. Schritt: Die Spalte ganz rechts beschreibt die Einer.

Schiebe in der Spalte der Einer zwei Perlen von unten zum

Querbalken.

2. Schritt: Die zweite Spalte von rechts beschreibt die Zehner.

Diese Spalte bleibt unverändert, da die Zahl 7502 keine Zehner

besitzt.

3. Schritt: Die dritte Spalte von rechts beschreibt die

Hunderter. Um fünf Hunderter nach der Regel darzustellen,

schiebst du eine fünfwertige Perle von oben zum

Querbalken hinunter.

4. Schritt: Die vierte Spalte von rechts beschreibt die

Tausender. Du stellt die Zahl sieben dar, indem du eine

fünfwertige Perle von oben nach unten schiebst und

zusätzlich zwei Perlen von unten nach oben schiebst.

Aufgabe 4

Stelle folgende Zahlen dar:

a) 402 b) 5 000 c) 900 900 d) 1 234 321

Lies die Zahlen ab:

a) b) c)

Zur Erinnerung:

Eine Regel besagt, dass die

oberste und die unterste Perle

einer Spalte so wenig wie möglich

benutzt werden sollen. Diese

beiden Perlen sollten nur für die

Rechnungen benutzt werden.

2

502

7502


Blatt 2.3

Zahlensysteme und der chinesische Abakus

Im Allgemeinen benutzen wir die Potenzen einer festen Zahl n. Die Ziffern geben an, wie oft die entsprechende Potenz benötigt wird. Zahlen der Basis n besitzen die Ziffern 0, 1,…, n-1.

Aufgabe 5 *

Wenn du am Abakus nur die unteren Perlen

benutzt, kannst du Zahlen mit der Basis 5

darstellen.

Stelle die Zahl 206 mit Basis 5 am Abakus dar und

notiere deine Überlegungen und Rechenschritte.

Versuche auch andere Zahlen mit Basis 5

darzustellen.

1 0 0 1

Einer (20)

Zweier (21)

Vierer (22)

Achter (23)

In der Mathematik gibt es verschiedene

Zahlensysteme. Dezimalsystem (Basis 10)

lautet das System, welches du aus der Schule

kennst. Wie der Name Dezimalsystem

vermuten lässt gibt es hier 10 verschiedene

Ziffern, nämlich 0, 1, …, 9.

Jede Zahl im Dezimalsystem kann aus

Zehnerpotenzen und oben-genannten Ziffern

dargestellt werden. Zum Beispiel die

Zahl 158:

1 · 102 + 5 · 101 + 8 · 100 = 100 + 50 + 8 = 158

Ein weiteres Beispiel für ein Zahlensystem ist das

Binärsystem. Hier ist die Basis 2 und es gibt nur

die Ziffern 0 und 1.

Darstellung der Zahl 9 im binären System:

Zerlegung von 9 als Summe von Zweierpotenzen

8 + 1 = 9

Schreibweise der Potenzen und deren Anzahl

1 · 23 + 0 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9

Die Vorfaktoren der Potenzen ergeben

schließlich die Ziffern 1001.

1 5 8

Einer (100)

Zehner (101)

Hunderter (102)

Tipp: Im Internet kannst du zusätzliche Informationen sammeln. Dort findest du auch

Rechner, welche Zahlensysteme umrechnen. So kannst du deine Aufgaben

überprüfen.

Beispiel: 70 in Basis 7

70 – 49 = 21 72 1 · 72

21 – 7 = 14 71

14 – 7 = 7 71 + 3 · 71

7 – 7 = 0 71

0 70 + 0 · 70

130


Blatt 3.1

Addition einstelliger Zahlen am Abakus

Wenn du eine Addition mit dem Abakus

durchführen möchtest, musst du zunächst den

ersten Summanden mit dem Abakus darstellen.

Im Anschluss wird der zweite Summand addiert.

1. Beispiel: 3 + 1 = 4

Der erste Summand 3 wird dargestellt.

1 lässt sich addieren, indem du in der Spalte der Einer eine

weitere Perle nach oben schiebst.

2. Beispiel: 9 + 3 = 12

Hierbei kann jedoch die Zahl 3 nicht in der Spalte der Einer addiert werden. Es ist ein Übertrag

notwendig.

Anstatt die Zahl 3 zu addieren, kannst du 10 addieren und 7 subtrahieren.

Aufspaltung : +3 = +10 – 7

Im 1. Schritt wird also 10 zu 9 addiert, indem du in der Zehnerspalte eine Perle von unten nach

oben schiebst.

Im 2. Schritt subtrahierst du 7, indem du in der Einerspalte die fünfwertige Perle vom

Querbalken weg und zwei einwertige Perlen nach unten schiebst.

In der Praxis wirst du Aufspaltungen, wie im zweiten Beispiel, oft benutzen. Es gibt nicht nur

Aufspaltungen für einen Zehnerübertrag, sondern auch für einen Fünferübertrag innerhalb

der Spalte.

Aufgabe 6

Führe die Reihe der Aufspaltungen fort:

6 = _____________________ 7 = _____________________

8 = _____________________ 9 = _____________________

Anmerkung: Zur Verdeutlichung werden

neue Rechenschritte in der Darstellung

dunkler markiert. Wenn etwas abgezogen

wird, wird dies durch eine dickere

Umrandung gekennzeichnet.

1 = 10 – 9 = 5 – 4

2 = 10 – 8 = 5 – 3

3 = 10 – 7 = 5 – 2

4 = 10 – 6 = 5 – 1

5 = 10 – 5


Blatt 3.2

Addition mehrstelliger Zahlen am Abakus

Mithilfe der bisher erworbenen Grundkenntnisse kannst du nun auch größere Zahlen mit dem

Abakus addieren.

Dabei gehst du immer schrittweise vor. Nachdem du einen Summanden dargestellt hast,

addierst du den zweiten hinzu, indem du bei den Einern beginnst und diese unter

Berücksichtigung der Aufspaltungen addierst.

Beispiel: 569 + 324 = 893

Stelle die Zahl 569 mit dem Abakus dar.

Addiere 20.

Addiere 300. Das Ergebnis lautet 893.

Aufgabe 7

Berechne folgende Additionen schrittweise:

a) 454 + 27 = ?

b) 3 491 + 829 = ?

c) 24 + 71 + 7 = ? (*)

Addiere 4, indem du zuerst 10 addierst und dann 6

subtrahierst. 4 = 10 – 6

Tipp: Du kannst dein Ergebnis mit einer schriftlichen Addition überprüfen.


Blatt 4

Subtraktion am Abakus

Bei der Addition hast du bereits einfache Subtraktionen im Rahmen der Aufspaltungen

durchgeführt. Du hast subtrahiert, indem du Perlen vom Querbalken weg bewegt hast, also

von der dargestellten Zahl abgezogen hast.

Aus dem Unterricht weißt du bereits, dass manchmal eine Entbündelung notwendig ist, um

die Subtraktion durchzuführen. Dies gilt auch für die Berechnung am Abakus, allerdings

können hier nicht nur Zehner sondern auch Fünfer entbündelt werden.

Aufgabe 8

Sieh dir die Aufspaltungen der Addition gut an und fertige solch eine Tabelle für die Subtraktion an. Beispiel: -3 = 2 – 5 = 7 – 10

Zur Anwendung dieser Aufspaltungen folgt das Beispiel: 28605 – 360 = 28245

Darstellung der Zahl 28605.

Addition von 40.

Subtraktion von 100.

Addiere 200.

Subtrahiere 500.

Aufgabe 9

Berechne folgende Subtraktionen schrittweise!

a) 27 546 – 14 918 = ? b) 1 000 – 7 = ? (*) c) 10 000 – 100 = ? (*) (Tipp mit n = 2; N = 4)

Tipp:

-1 ·101 = 9·101 + 9·102 – 103

-1 ·10n = 9·10n + 9·10n+1 + … + 9 · 10N-1 – 10N

Subtrahiere 60, indem du 40

addierst und 100 subtrahierst.

-6 = 4 – 10

-60 = 40 - 100

Subtrahiere 300, indem du 200

addierst und 500 subtrahierst.

-3 = 2 – 5

-300 = 200 - 500

Ergebnis: 28 245


Blatt 5

Multiplikation am Abakus

Im Gegensatz zur Addition und Subtraktion funktioniert die Multiplikation am Abakus nicht

wie im Unterricht gelernt. Du lernst jetzt wie man eine mehrstellige Zahl unter Verwendung

des Abakus mit einer einstelligen Zahl multipliziert.

Die einstellige Zahl ist der Multiplikator (1. Faktor) und die mehrstellige Zahl ist der

Multiplikand (2.Faktor). An dem nachstehenden Beispiel siehst du, wie du vorgehen musst.

Dabei wirst du merken, dass Kopfrechnen im Bezug auf das kleine 1x1 als Grundwissen

vorausgesetzt wird.

Beispiel: 3 · 7264 = 21792

Aufgabe 10 *

Multipliziere schrittweise!

a) 4 · 123 = ?

b) 9 · 5 678 = ?

Rechnung: 4 · 3 = 12 Addition von 2, Addition von 10 und Überschreiben der verbrauchten Ziffer 4 des Multiplikanden. Stand: 12

Rechnung: 6 · 3 · 10 = 180 Addition von 80, Addition von 100 und Überschreiben der verbrauchten Ziffer 6 des Multiplikanden. Stand: 192

Rechnung: 2 · 3 · 100 = 600 Addition von 600 und Löschen der verbrauchten Ziffer 2 des Multiplikanden. Stand: 792

Rechnung: 7 · 3 · 1 000 = 21 000 Addition von 1 000, Addition von 20 000 und Überschreiben der verbrauchten Ziffer 7 des Multiplikanden.

Ergebnis: 21 792

Die Darstellung des Multiplikanden mit einer freien Spalte zum rechten Rand wird orange hinterlegt, sodass dieser besser sichtbar ist.

Den Multiplikator, die Zahl 3, musst du dir merken. (Optional kannst du diesen auch ganz links am Abakus darstellen.)

Die Multiplikation beginnt bei den Einern. Die jeweils verbrauchte

Ziffer des Multiplikanden wird gelöscht, um Platz für das Ergebnis zu

schaffen.

Skizze: Chinesischer Abakus

Skizzen: Chinesischer Abakus

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Skizzen Abakus:

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Der chinesische Abakus Lösungen

S e i t e 1 | 9

Lösungsblatt

Lösung 1

Die Tausender werden durch die vierte Spalte von rechts repräsentiert.

Lösung 2

Es gibt folgende drei Arten die Zahl 10 auf dem Abakus darzustellen.

Lösung 3.1

Die erste Darstellung, skizziert durch eine einwertige Perle aus der Zehnerspalte, ist korrekt.

Bei der zweiten Darstellung wird die unterste und bei der dritten Darstellung die oberste Perle

benutzt, welche nach der eingeführten Regel so wenig wie möglich verwendet werden sollen.

Lösung 3.2 a)

Ob eine Zahl gerade oder ungerade ist, entscheidet die letzte Ziffer. Die Zahlen 0, 2, 4, 6 und

8 sind gerade, wohingegen 1, 3, 5, 7, und 9 ungerade Zahlen sind.

größte darstellbare ungerade Zahl: 999 999 999 = 109 - 1

größte darstellbare gerade Zahl: 999 999 998 = 109 - 2

. 1000 100 10 1


S e i t e 2 | 9

Erklärung 1:

Gesucht ist eine Zahl, die kleiner ist als eine Milliarde (109), da der Abakus nur 9 Spalten besitzt.

Die nächstkleinere Zahl ist 109 - 1 = 999 999 999. Diese Zahl ist ungerade, da die letzte Ziffer 9

ist. Wenn von dieser Zahl erneut 1 subtrahiert wird, erhält man die Zahl 109 - 2 = 999 999 998,

die wegen der letzten Ziffer (8) eine gerade Zahl darstellt.

Erklärung 2:

Wenn alle neun Stellen des Abakus mit der größtmöglichen einstelligen Ziffer 9 ersetzt

werden, so erhält man die größte neunstellige Zahl, 999 999 999. Die Zahl 8 stellt hingegen

die größte gerade Zahl zwischen 0 und 9 dar. Daraus lässt sich folgern, dass nur die letzte Ziffer

der größten ungeraden Zahl mit 8 ersetzt werden muss, um die größte gerade Zahl zu

erhalten.

Lösung 3.2 b)

108 ist die größte darstellbare Zehnerpotenz mit höchstens 9 Ziffern. Sie besitzt genau 9

Stellen und steht für Hundertmillionen, ausgeschrieben 100 000 000.

Lösung 4.1

a) 402 b) 5 000

c) 900 900 d) 1 234 321

Lösung 4.2

a) 453 525 150

b) 1 512 151

c) 91 909


S e i t e 3 | 9

Lösung 5

Es bietet sich an in diesem Fall nur mit dem unteren Bereich, der Erde, zu arbeiten. Um eine

Verwirrung zu vermeiden, werden alle Perlen des Himmels nach oben geschoben und der

Bereich völlig ausgeblendet.

Anschließend bezeichnen wir die Spalten mit ihrem Stellenwert.

Einer (50)

Fünfer (51)

Fünfundzwanziger (52)

125er (53)

Darstellung der Zahl 206

206 = 125 + 75 + 5 + 1 = 1 · 125 + 3 · 25 + 1 · 5 + 1 · 1 = 1 · 53 + 3 · 52 + 1 · 51 + 1 · 50

Resultierende Ziffern in Basis 5 : 1 311

Stichwörter für Internetrecherche: Zahlensysteme, Rechner Zahlensysteme, Zahlensysteme

umrechnen

Lösung 6

6 = 10 – 4 = 5 + 1

7 = 10 – 3 = 5 + 2

8 = 10 – 2 = 5 + 3

9 = 10 – 1 = 5 + 4

ausblenden


S e i t e 4 | 9

Lösung 7a)

Notwendige Aufspaltung: 7 = 10 - 3

Darstellung 454

Addition von 10

Addition von 7

Subtraktion von 3

Addition von 20, Ergebnis 481

Lösung 7b)

Die Addition ist ohne Aufspaltungen möglich, allerdings sind hierzu viele Übertragungen

vonnöten.

Darstellung 3 491

Addition von 9

10er Übertrag

10er Übertrag


S e i t e 5 | 9

5er Übertrag

Addition von 20

Addition von 800

10er Übertrag, Ergebnis: 4 320

Lösung 7c)

Zunächst werden die ersten beiden Zahlen addiert:

Darstellung von 24

Addition von 1

5er Übertrag

Addition von 70


S e i t e 6 | 9

Daraufhin wird das Ergebnis mit dem dritten Summanden addiert.

Anmerkung: Selbstverständlich kann man auch folgendermaßen rechnen:

(24 + 1 + 7) + 70 = 102, also zuerst alle Einer addieren. Eine schrittweise Addition der einzelnen

Zahlen ist jedoch meist übersichtlicher.

Lösung 8

-1 = 4 – 5 = 9 – 10

-2 = 3 – 5 = 8 – 10

-3 = 2 – 5 = 7 – 10

-4 = 1 – 5 = 6 – 10

-5 = 5 - 10

-6 = 4 - 10

-7 = 3 - 10

-8 = 2 - 10

-9 = 1 - 10

Addition von 7

10er Übertrag

10er Übertrag, Ergebnis 102


S e i t e 7 | 9

Lösung 9a)

Lösung 9b)

Diese Rechnung stellt einen Spezialfall dar. Der Rechenschritt - 7 wird ersetzt durch - 7 = 3 - 10. Jedoch ist 0 - 1 in der Zehnerspalte nicht möglich, sodass eine weitere Aufspaltung notwendig ist. Nämlich - 10 = 90 - 100. Minus 100 kann ebenso nicht direkt durchgeführt werden und wird erneut aufgespalten, also durch - 100 = 900 - 1000 realisiert. Diese Rechnung ist zwar nicht einfach, aber unter Berücksichtigung der Regeln der Subtraktion und den gegebenen Aufspaltung gut durchführbar. Es wird folgende Vorgehensweise benutzt: -10 = 90 + 900 – 1 000

1 000

Darstellung 27 546

-8 = 2 – 10

-10

-900 = 100 – 1 000

-4000 = 1 000 – 5 000

-10 000, Ergebnis 12 628


S e i t e 8 | 9

Addition von 3

Addition von 90

Addition von 900

Subtraktion von 1 000, Ergebnis: 993

Lösung 9c)

-1 ·10n = 9·10n + 9·10n+1 + … + 9 · 10N-1 – 10N mit n = 2 und N = 4

↔ -1 ·102 = 9·102 + 9·103 – 104

↔ -100 = + 900 + 9 000 -10 000

10 000

Addition von 900

Addition von 9 000

Subtraktion von 10 000, Ergebnis: 9 900


S e i t e 9 | 9

Lösung 10a)

Lösung 10b)

Darstellen des Multiplikanden 123

Addition von 2

Addition von 10 und löschen der Ziffer 3 des Multiplikanden

Addition von 80

Löschen von 2 des Multiplikanden

Addition von 400

Löschen der letzten Zahl des Multiplikanden Ergebnis 482

Darstellung des Multiplikanden 5 678

8 · 9 = 72 Stand: 72 Löschen der Ziffer 8

7 · 9 · 10 = 630 Stand: 702 Löschen der Ziffer 7

6 · 9 · 100 = 5 400 Stand: 6 102 Löschen der Ziffer 6

5 · 9 · 1 000= 45 000 Ergebnis: 51 102 Löschen der Ziffer 5

3 · 4

2 · 4 · 10

1 · 4 · 100


S e i t e 1 | 16

Lösungsblatt mit Kommentare für Lehrer

Kommentar: Für die Bearbeitung ist zwar kein Abakus notwendig, allerdings ist es zur

Vorstellung von Vorteil, wenn eine Frage zu einer Aufgabe am Original beantwortet wird.

Aufgabe 1

Welche Spalte steht für die Tausender?

Markiere die betreffende Spalte in der obigen Skizze.

Lösung 1

Die Tausender werden durch die vierte Spalte von rechts repräsentiert. Da es sich hierbei stets

um 10er Potenzen handelt ist der Aufbau vergleichbar zu einer Stellenwerttafel, wie wir sie

aus dem Mathematikunterricht kennen.

Aufgabe 2

Wie viele Arten gibt es die Zahl 10 mit dem Abakus darzustellen? Skizziere diese!

Kommentar: Als Hilfestellung könnte man die Schüler fragen, wie sich 10 aus den Zahlen 5

und 1 zusammensetzen lässt.

Lösung 2

Es gibt folgende drei Arten die Zahl 10 auf dem Abakus darzustellen.

T H Z E

. 1000 100 10 1

103 102 101 100

Kommentar: Die Stellenwerttafel

kann auch als stiller Impuls an die

Tafel gezeichnet werden.


S e i t e 2 | 16

Aufgabe 3

3.1 Welche deiner Darstellungen aus Aufgabe 2 ist die offizielle Darstellung der Zahl 10?

3.2 Wie lautet die größte

a) ungerade bzw. gerade Zahl

b) Zehnerpotenz

die mit einem Abakus unter Beachtung obiger Regel mit 9 Spalten dargestellt werden kann?

Kommentar: Falls sich bereits hier die Frage stellt, wofür die oberste und die unterste Perle

gebraucht werden, kann an dieser Stelle kurz darauf hingewiesen werden, dass diese zum

vereinfachten Rechnen notwendig sind.

Lösung 3.1

Die erste Darstellung, skizziert durch eine einwertige Perle aus der Zehnerspalte, ist korrekt.

Bei der zweiten Darstellung wird die unterste und bei der dritten Darstellung die oberste Perle

benutzt, welche nach der eingeführten Regel so wenig wie möglich verwendet werden sollen.

Kommentar: Ein häufiger Fehler ist, dass 100 000 000 als größte gerade Zahl gewählt wird.

Lösung 3.2 a)

Ob eine Zahl gerade oder ungerade ist, entscheidet die letzte Ziffer. Die Zahlen 0, 2, 4, 6 und

8 sind gerade, wohingegen 1, 3, 5, 7, und 9 ungerade Zahlen sind.

größte darstellbare ungerade Zahl: 999 999 999 = 109 - 1

größte darstellbare gerade Zahl: 999 999 998 = 109 - 2

Erklärung 1: Gesucht ist eine Zahl, die kleiner ist als eine Milliarde (109), da der Abakus nur 9 Spalten besitzt. Die nächstkleinere Zahl ist 109 - 1 = 999 999 999. Diese Zahl ist ungerade, da die letzte Ziffer eine 9 ist. Wenn von dieser Zahl erneut 1 subtrahiert wird, erhält man die Zahl 109 - 2 = 999 999 998, die wegen der letzten Ziffer (8) eine gerade Zahl darstellt.

Erklärung 2: Wenn alle neun Stellen des Abakus mit der größtmöglichen einstelligen Ziffer 9 ersetzt werden, so erhält man die größte neunstellige Zahl, 999 999 999. Die Zahl 8 stellt hingegen die größte gerade Zahl zwischen 0 und 9 dar. Daraus lässt sich folgern, dass nur die letzte Ziffer der größten ungeraden Zahl mit 8 ersetzt werden muss, um die größte gerade Zahl zu erhalten.

Lösung 3.2 b)

108 ist die größte darstellbare Zehnerpotenz mit höchstens 9 Ziffern. Sie besitzt 9 Stellen und

steht für Hundertmillionen, ausgeschrieben 100 000 000.


S e i t e 3 | 16

Aufgabe 4

4.1 Stelle folgende Zahlen dar:

a) 402 b) 5 000 c) 900 900 d) 1 234 321

4.2 Lies die Zahlen ab:

a) b) c)

Kommentar: Jede natürliche Zahl kann als Summe von Zehnerpotenzen geschrieben werden.

Dies kann bei der Zuordnung der Spalten hilfreich sein.

Beispiel: 402 = 400 + 0 + 2 = 4 · 102 + 0 · 101 + 2 · 100

Lösung 4.1

a) b)

c) d)

Lösung 4.2

Kommentar: Besonders das Ablesen der Zahlen ist für die Schüler - auch für Grundschüler -

sehr einfach zu bewältigen. Hier ist zu beobachten, dass Kinder nicht die Zahl an sich, sondern

eine Reihe von Ziffern schreiben. Sie beginnen meist links mit dem Ablesen der Ziffer von jeder

Spalte des Abakus. Dabei ist ihnen die Größe dieser resultierenden Zahlen nicht bewusst, da

dies den Zahlenraum der Grundschule überschreitet und die Spalten immer nur separat und

nacheinander betrachtet wurden.

a) 453 525 150

b) 1 512 151

c) 91 909


S e i t e 4 | 16

Aufgabe 5 *

Wenn du am Abakus nur die unteren Perlen benutzt, kannst du Zahlen mit der Basis 5

darstellen.

Stelle die Zahl 206 mit Basis 5 am Abakus dar und notiere deine Überlegungen und

Rechenschritte.

Versuche auch andere Zahlen mit Basis 5 darzustellen.

Kommentar: Diese Aufgabe fällt den Schülern schwer, da eine Umrechnung in ein anderes

Zahlensystem nicht Teil des Unterrichtsstoffs ist. Als Hilfestellung kann die Lehrkraft hier die

Potenzgesetze wiederholen und genauer auf eine Potenz mit dem Exponenten 0 eingehen.

Vielen Schülern bereitete es anfangs Schwierigkeiten zu verstehen, dass die Zahl 1 mit jeder

Basis a durch den Exponenten 0 dargestellt wird, da a0 = 1 gilt.

Dieses Arbeitsblatt bietet sich als Differenzierungsarbeit an. Die Bearbeitungszeit für dieses

Blatt beträgt circa 20 Minuten.

Lösung 5

Da der Querbalken die Perlen bereits in zwei Bereiche unterteilt, bietet sich an in diesem Fall

nur mit dem unteren Bereich, der Erde, zu arbeiten. Um eine Verwirrung zu vermeiden,

werden alle Perlen des Himmels nach oben geschoben und der Bereich völlig ausgeblendet.

Anschließend bezeichnen wir die Spalten mit ihrem Stellenwert.

Einer 50

Fünfer (5er) 51

Fünfundzwanziger (25er) 52

Hundertfünfundzwanziger (125er) 53

Darstellung der Zahl 206

206 = 125 + 75 + 5 + 1 = 1 · 125 + 3 · 25 + 1 · 5 + 1 · 1 = 1 · 53 + 3 · 52 + 1 · 51 + 1 · 50

ausblenden


S e i t e 5 | 16

Resultierende Ziffern in Basis 5 : 1 311

Stichwörter für Internetrecherche: Zahlensysteme, Rechner Zahlensysteme, Zahlensysteme

umrechnen

Alternative Lösung:

206 – 125 = 81 1 · 53

81 – 25 = 56 1 · 52

56 – 25 = 31 1 · 52 3 · 52 1 311

31 – 25 = 6 1 · 52

6 – 5 = 1 1 · 51

1 – 1 = 0 1 · 50

Aufgabe 6

Ergänze die fehlenden Aufspaltungen:

6 = _____________________ 7 = _____________________

8 = _____________________ 9 = _____________________

Kommentar: Häufig wird die Aufspaltung mit 5 vergessen, da bei den Ziffern 1, 2, 3, 4 etwas von 5 abgezogen wurde. Falls der Schüler nicht selbst auf die Idee kommt etwas zur Zahl 5 zu addieren, genügt ein Beispiel oder die Hilfe des Banknachbarn.

Lösung 6

6 = 10 – 4 = 10 – (5 – 1) = (10 – 5) + 1 = 5 + 1

7 = 10 – 3 = 10 – (5 – 2) = (10 – 5) + 2 = 5 + 2

8 = 10 – 2 = 10 – (5 – 3) = (10 – 5) + 3 = 5 + 3

9 = 10 – 1 = 10 – (5 – 4) = (10 – 5) + 4 = 5 + 4


S e i t e 6 | 16

Aufgabe 7

Berechne folgende Additionen schrittweise:

a) 454 + 27 = ?

b) 3 491 + 829 = ?

c) 24 + 81 + 7 = ? (*)

Kommentar: Bei der Ausführung mit Aufspaltungen ist es wichtig, dass zuerst addiert und

anschließend subtrahiert wird, um Teilschritte nicht zu vergessen. Bei Spezialfällen wie in den

Teilaufgaben 9b und c wird dies klar. Manchmal kann eine Subtraktion nicht ohne erneute

Aufspaltung ausgeführt werden.

Beispiel: 100 – 7 = 100 + 3 – 10 = 100 + 3 + 90 – 100 = 93

Die Zahlen die bei der Aufspaltung addiert werden sind immer Zehnerpotenzen (10, 100, 1000

usw.) oder fünfmal eine Zehnerpotenz (5, 50, 500 usw.)

Lösung 7a)

Notwendige Aufspaltungen: 7 = 10 – 3. Da die Zahl 7 in der Einerspalte nicht direkt als eine

fünfwertige und zwei einwertige Perlen addiert werden kann, wird dieser Prozess ersetzt

durch die Addition von 10 und die Subtraktion von 3. Die 10 zu addieren und die 3 zu

subtrahieren erfordert keine weiteren Aufspaltungen.

Darstellung 454

Addition von 10

Addition von 7

Subtraktion von 3

Addition von 20, Ergebnis 481


S e i t e 7 | 16

Lösung 7b)

Die Addition ist ohne Aufspaltungen möglich, allerdings sind hierzu viele Übertragungen

vonnöten.

Darstellung 3 491

Addition von 9

10er Übertrag

10er Übertrag

5er Übertrag

Addition von 20

Addition von 800

Zehnerübertrag, Ergebnis: 4 320

Kommentar: Es ist erforderlich, dass die Übertragungen sofort durchgeführt werden, da sonst

anschließende Rechenschritte behindert werden können.


S e i t e 8 | 16

Lösung 7c)

Zunächst werden die ersten beiden Zahlen addiert:

Daraufhin wird das Ergebnis mit dem dritten Summanden addiert.

Anmerkung: Selbstverständlich kann man auch folgendermaßen rechnen:

(24 + 1 + 7) + 70 = 102, also zuerst alle Einer addieren. Eine schrittweise Addition der einzelnen

Zahlen ist jedoch meist übersichtlicher.

Darstellung 24

Addition von 1

5er Übertrag

Addition von 70

Addition von 7

10er Übertrag

10er Übertrag, Ergebnis 102


S e i t e 9 | 16

Aufgabe 8

Sieh dir die Aufspaltungen der Addition gut an und fertige eine solche Tabelle für die Subtraktion an.

Lösung 8

Kommentar: Im Gegensatz zur Addition gibt es für die Zahlen 6, 7, 8 und 9 keine Aufspaltung

mit 5. Dem Schüler muss dafür klar sein, dass die Subtraktion einer natürlichen Zahl um 5 nie

kleiner als -5 sein kann (0 – 5 = -5).

-1 = 4 – 5 = 9 – 10 -6 = 4 - 10

-2 = 3 – 5 = 8 – 10 -7 = 3 - 10

-3 = 2 – 5 = 7 – 10 -8 = 2 - 10

-4 = 1 – 5 = 6 – 10 -9 = 1 – 10

-5 = 5 - 10

Aufgabe 9

Berechne folgende Subtraktionen schrittweise!

a) 27 546 – 14 918 = ? b) 1 000 – 9 = ? (*) -1 ·101 = 9·101 + 9·102 – 103 c) 10 000 – 100 = ? (*) mit n = 2; N = 4 -1 ·10n = 9·10n + 9·10n+1 + … + 9 · 10N-1 – 10N

Kommentar: Die Lehrkraft soll nicht darauf verharren, dass die Tipps verwendet werden. Die

Resonanz hierzu ist sehr unterschiedlich, einige Schüler fanden diese verwirrend, wohingegen

andere diese als hilfreich empfunden haben.

Lösung 9a)

Hier sind die Aufspaltungen jeweils in einem Schritt in der Skizze gezeigt.

Darstellung 27 546

-8 = 2 – 10

Tipp:


S e i t e 10 | 16

Lösung 9b)

Diese Rechnung stellt einen Spezialfall dar. Der Rechenschritt - 7 wird ersetzt durch - 7 = 3 - 10. Jedoch ist 0 - 1 in der Zehnerspalte nicht möglich, sodass eine weitere Aufspaltung notwendig ist. Nämlich - 10 = 90 - 100. Minus 100 kann ebenso nicht direkt durchgeführt werden und wird erneut aufgespalten, also durch - 100 = 900 - 1 000 realisiert. Diese Rechnung ist zwar nicht einfach, aber unter Berücksichtigung der Regeln der Subtraktion und den gegebenen Aufspaltung gut durchführbar. Es wird folgende Vorgehensweise benutzt: -10 = 90 + 900 – 1 000

Darstellung 1 000

Addition von 3

-10 (ohne Aufspaltung möglich)

-900 = 100 – 1 000

-4 000 = 1 000 – 5 000

-10 000 (ohne Aufspaltung möglich) Ergebnis 12 628


S e i t e 11 | 16

Addition von 90

Addition von 900 Subtraktion von 10

Subtraktion von 1 000, Ergebnis: 993

Lösung 9c)

-1 ·10n = 9·10n + 9·10n+1 + … + 9 · 10N-1 – 10N mit n = 2 und N = 4

↔ -1 ·102 = 9·102 + 9·103 – 104

↔ -100 = + 900 + 9 000 -10 000

10 000

Addition von 900

Addition von 9 000

Subtraktion von 10 000, Ergebnis: 9 900


S e i t e 12 | 16

Aufgabe 10 *

Multipliziere schrittweise!

a) 4 · 123 = ?

b) 9 · 5 678 = ?

Kommentar: Die Aufgaben zur Multiplikation wurden von den meisten Schülern als einfacher

als die der Subtraktion empfunden, da hier die Addition mehr im Vordergrund steht.

Lösung 10a)

Darstellung des Multiplikanden 123

Addition von 2

Addition von 10 und Löschen der Ziffer 3 des Multiplikanden

Addition von 80

Löschen von 2 des Multiplikanden

Addition von 400

Löschen der letzten Ziffer des Multiplikanden Ergebnis 482

3 · 4

2 · 4 · 10

1 · 4 · 100


S e i t e 13 | 16

Lösung 10b)

Kommentar: Häufig wird von Schülern gefragt, wie größere Zahlen multipliziert werden

können. Hierzu reicht es zu sagen, dass eine derartige Multiplikation zusammengesetzt ist aus

einstelligen Multiplikationen mal eine Zehnerpotenz. Die jeweilige Zehnerpotenz ist durch die

Position der Stelle im Abakus festgelegt. Mit diesem Prinzip können auch größere Zahlen

multipliziert werden.

Der Abakus kann des Weiteren auch zum Dividieren, Quadrieren oder Wurzelziehen benutzt

werden. Dies ist jedoch nicht für den Unterricht geeignet und nur als Eigenstudium zu

empfehlen.

Darstellung des Multiplikanden 5 678

8 · 9 = 72 Stand: 72 Löschen der Ziffer 8

7 · 9 · 10 = 630 Stand: 702 Löschen der Ziffer 7

6 · 9 · 100 = 5 400 Stand: 6102 Löschen der Ziffer 6

5 · 9 · 1 000= 45 000 Ergebnis: 51102 Löschen der Ziffer 5


S e i t e 14 | 16

Exkurs: Mehrstellige Multiplikation am Abakus

Es gibt eine spezielle Methode der Multiplikation für den Abakus, diese ist jedoch für den Unterricht nicht notwendig. Vorgehensweise: Die Ausgangssituation besteht darin, den Multiplikator am linken Rand darzustellen. Daraufhin stellt man den Multiplikand mit einem gewissen Abstand zum rechten Rand dar. Dieser Abstand entspricht der Anzahl der Stellen des Multiplikators. Zu Rechnen beginnt man dann mit der Einerziffer des Multiplikanden und der zweiten Ziffer von links des Multiplikators. Darauf folgen die Multiplikationen der Einerziffer mit der dritten, vierten (und so weiter) Ziffer des Multiplikators. Als letztes wird die erste Ziffer mit der Einerziffer des Multiplikanden verrechnet. Der Grund, weshalb die Einerziffer des Multiplikators als letztes verrechnet wird, ist die Möglichkeit eines Übertrags. In diesem Fall wird zuerst die verbrauchte Ziffer des Multiplikanden gelöscht und durch das Ergebnis aufgefüllt. Wenn dies zuvor geschehen würde, müsste sich die zur Rechnung benötigte Stelle des Multiplikanden gemerkt werden. Dieses Schema läuft dann ebenfalls für die Zehnerziffer des Multiplikanden ab. Analog folgen alle weiteren Stellen. Die Darstellung des Ergebnisses beginnt zwei Spalten rechts von der Einerziffer des Multiplikanden. Sobald die Einerziffer abgearbeitet ist, wird mit der Darstellung der Ergebnisse der Zehnerziffer ebenfalls zwei Spalten rechts von dieser fortgefahren. Als Zusatz wird ein Beispiel gezeigt: 123 · 257 = 31611. Die gerahmten Zahlen neben der Darstellung geben den aktuellen Stand des Ergebnisses an. Zunächst wird der 123 mit 7 multipliziert: 123 · 7

Zunächst werden die beiden

Faktoren dargestellt. Da der

Multiplikator 3 Stellen besitzt,

sind rechts 3 Spalten frei zu

halten.

Daraufhin folgen alle

Multiplikationen mit 7 des

Multiplikanden, sowie die

Addition der Ergebnisse.

Am Ende wird die Zahl 7 des

Multiplikanden gelöscht, da sie

verrechnet wurde und nicht

mehr gebraucht wird.


S e i t e 15 | 16

Dann wird + 123 · 50 durchgeführt:

Dasselbe Prinzip läuft nun mit

der Ziffer 5 des Multiplikanden

ab.

Hier ist schön zu sehen, dass

durch die Addition der

Zwischenergebnisse immer

wieder Überträge notwendig

sind.

Am Ende wird nun die Ziffer 5

gelöscht, da sie komplett

verrechnet wurde.


S e i t e 16 | 16

Es folgt + 123 · 200:

Im letzten Block wird die Ziffer 2

des Multiplikanden verrechnet.

Schließlich wird die Ziffer 2 des

Multiplikanden gelöscht, dass

dieser nicht irrtümlich als Teil

des Ergebnisses abgelesen wird.

Ergebnis: 31611

einführung zum material für lehrer thema: der c hinesische...

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