einführung in die astronomie und astrophysik i kapitel iii: das planetensystem 1 kapitel iii: das...
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Kapitel III:Das Planetensystem
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Tycho Brahe (1546-1601)Tycho Brahe (1546-1601) Letzter großer Astronom ohne Fernrohr Außergewöhnlich sorgfältig und
systematischer Beobachter erster moderner Wissenschaftler
Brahesches Weltbild: Erde im Zentrum, Planeten umkreisen die Sonne
Detaillierte Vermessung der Marsbahn über 30 Jahre Er bestimmte die Parallaxe von Kometen Kometen
ziehen ihre Bahnen jenseits des Mondes Er beobachtete eine Supernova [“neuer Stern”] im
Sternbild Kassiopeia, konnte aber keine Parallaxe messen Supernova ist Teil der Himmelssphäre
Letzter großer Astronom ohne Fernrohr Außergewöhnlich sorgfältig und
systematischer Beobachter erster moderner Wissenschaftler
Brahesches Weltbild: Erde im Zentrum, Planeten umkreisen die Sonne
Detaillierte Vermessung der Marsbahn über 30 Jahre Er bestimmte die Parallaxe von Kometen Kometen
ziehen ihre Bahnen jenseits des Mondes Er beobachtete eine Supernova [“neuer Stern”] im
Sternbild Kassiopeia, konnte aber keine Parallaxe messen Supernova ist Teil der Himmelssphäre
Seine Beobachtungen erschütterte die Seine Beobachtungen erschütterte die Aristotelische Idee eines ewigen und Aristotelische Idee eines ewigen und unveränderlichen Himmels unveränderlichen Himmels
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Johannes Kepler (1571-1630)Johannes Kepler (1571-1630) Tycho Brahes Nachfolger in Prag Er fand heraus, dass weder
das Ptolemäische noch das Brahesche noch das helio-zentrische Modell die Beobachtungen mit hinreichender Genauigkeit reproduzieren kann.
Schluss: Planeten bewegen sich auf Ellipsen, nicht auf Kreisen
Tycho Brahes Nachfolger in Prag Er fand heraus, dass weder
das Ptolemäische noch das Brahesche noch das helio-zentrische Modell die Beobachtungen mit hinreichender Genauigkeit reproduzieren kann.
Schluss: Planeten bewegen sich auf Ellipsen, nicht auf Kreisen
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Keplers drei Gesetze der PlanetenbewegungKeplers drei Gesetze der Planetenbewegung
1. Keplersches Gesetz: Die Planeten umlaufen die Sonne auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.
1. Keplersches Gesetz: Die Planeten umlaufen die Sonne auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.
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Ellipsen - KegelschnitteEllipsen - Kegelschnitte
Kegelschnitte =0: Kreis 0 < < 1: Ellipse =1: Parabel >1: Hyperbel
Kegelschnitte =0: Kreis 0 < < 1: Ellipse =1: Parabel >1: Hyperbel
=SC/AC = eccentricity
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Keplers drei Gesetze der PlanetenbewegungKeplers drei Gesetze der Planetenbewegung
2. Keplersches Gesetz: Der Radiusvektor von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen
2. Keplersches Gesetz: Der Radiusvektor von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen
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Keplers drei Gesetze der PlanetenbewegungKeplers drei Gesetze der Planetenbewegung
3. Keplersches Gesetz: Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben der großen Halbachsen
3. Keplersches Gesetz: Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben der großen Halbachsen
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a
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3. Keplersches Gesetz3. Keplersches Gesetz
Beispiel: Abstand der Erde zur Sonne: RE = 1AU
Umlaufzeit: PE = 1a
Umlaufzeit des Mars: PM = 1.88a Die große Halbachse der Marsbahn um die
Sonne kann berechnet werden:
Beispiel: Abstand der Erde zur Sonne: RE = 1AU
Umlaufzeit: PE = 1a
Umlaufzeit des Mars: PM = 1.88a Die große Halbachse der Marsbahn um die
Sonne kann berechnet werden:
2
2
3
3
E
M
E
M
P
P
R
R = RRMM = 1.88 = 1.882/32/3
AU = 1.52 AU AU = 1.52 AU
Immer noch die wichtigste Methode in der Immer noch die wichtigste Methode in der Astronomie, um die Ausdehnung Astronomie, um die Ausdehnung astronomischer Systeme zu vermessenastronomischer Systeme zu vermessen
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Weiteres BeispielWeiteres Beispiel
1781: Herschel entdeckt Uranus Abstand Erde zur Sonne: RE = 1AU
Umlaufzeit der Erde: PE = 1a
Über Parallaxen: RU = 19.2 AU Die Umlaufzeit von Uranus um die
Sonne kann berechnet werden:
1781: Herschel entdeckt Uranus Abstand Erde zur Sonne: RE = 1AU
Umlaufzeit der Erde: PE = 1a
Über Parallaxen: RU = 19.2 AU Die Umlaufzeit von Uranus um die
Sonne kann berechnet werden:
2
2
3
3
E
M
E
M
P
P
R
R = PPUU = 19.2 = 19.23/23/2
yr = 84 yr yr = 84 yr
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Galileo Galilei (1564-1642)Galileo Galilei (1564-1642) Er war nicht der Erfinder des
Fernrohrs ! Aber er war der erste, der es gen Himmel
richtete Er entwickelte Test für die Aristotelische
Physik und verwarf daraufhin letztere Berühmt für seinen Ketzerei-Prozess
1633 vom Vatikan rehabilitiert 1980 !
Er war nicht der Erfinder des Fernrohrs !
Aber er war der erste, der es gen Himmel richtete
Er entwickelte Test für die Aristotelische Physik und verwarf daraufhin letztere
Berühmt für seinen Ketzerei-Prozess 1633
vom Vatikan rehabilitiert 1980 !
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Beispiel: FallgesetzeBeispiel: Fallgesetze
Fällt ein Hammer schneller als eine Feder? Aristoteles: ja, Hammer besteht mehr aus
Erde, Feder mehr aus Luft Galileo: nein, beide fallen (im luftleeren
Raum) gleich schnell Apollo 15: beide fallen gleich schnell
Fällt ein Hammer schneller als eine Feder? Aristoteles: ja, Hammer besteht mehr aus
Erde, Feder mehr aus Luft Galileo: nein, beide fallen (im luftleeren
Raum) gleich schnell Apollo 15: beide fallen gleich schnell
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Galileis astronomische EntdeckungenGalileis astronomische Entdeckungen
Berge auf dem Mond ähnlich denen auf der Erde keine perfekt Kugelgestalt
Sterne punktartig, Planeten: Sphären Entdeckung der Phasen der Venus
Ptolemäischen Weltmodell Entdeckung der Monde des Jupiter Miniatur-Sonnensystem
Entdeckung(?)/Interpretation der Sonnenflecken Himmel ist unveränderlich
Milchstraße = Zillionen von Sternen
Berge auf dem Mond ähnlich denen auf der Erde keine perfekt Kugelgestalt
Sterne punktartig, Planeten: Sphären Entdeckung der Phasen der Venus
Ptolemäischen Weltmodell Entdeckung der Monde des Jupiter Miniatur-Sonnensystem
Entdeckung(?)/Interpretation der Sonnenflecken Himmel ist unveränderlich
Milchstraße = Zillionen von Sternen
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Die Phasen der VenusDie Phasen der Venus
heliozentrischheliozentrisch
geozentrischgeozentrisch
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Der Prozess des Galileo GalileiDer Prozess des Galileo Galilei Schwieriger Charakter, sehr arrogantes
Auftreten Er hielt Vorlesungen für die Öffentlichkeit. Herausragender Redner und Lehrer Er publizierte auf italienisch. 1632 berühmtes Buch “Dialog über die beiden
hauptsächlichen Weltsysteme“. Das Ptolemäische Weltbild wurde von Simplicio verteidigt, einem offensichtlichen Dummkopf
Weiteres, noch extremeres Beispiel: Giordano Bruno
Schwieriger Charakter, sehr arrogantes Auftreten
Er hielt Vorlesungen für die Öffentlichkeit. Herausragender Redner und Lehrer Er publizierte auf italienisch. 1632 berühmtes Buch “Dialog über die beiden
hauptsächlichen Weltsysteme“. Das Ptolemäische Weltbild wurde von Simplicio verteidigt, einem offensichtlichen Dummkopf
Weiteres, noch extremeres Beispiel: Giordano Bruno
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Die drei Newtonschen BewegungsgesetzeDie drei Newtonschen Bewegungsgesetze
1. Newtonsches Gesetz: Ein Körper beharrt im Zustand der Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Geraden, sofern er nicht einer äußeren Kraft unterworfen wird.
1. Newtonsches Gesetz: Ein Körper beharrt im Zustand der Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Geraden, sofern er nicht einer äußeren Kraft unterworfen wird.
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Die drei Newtonschen BewegungsgesetzeDie drei Newtonschen Bewegungsgesetze2. Newtonsches Gesetz
Die zeitliche Änderung des Impulses eines Körpers ist proportional der Größe der äußeren Kraft, die auf ihn wirkt.
2. Newtonsches Gesetz Die zeitliche Änderung des Impulses eines Körpers ist proportional der Größe der äußeren Kraft, die auf ihn wirkt.
F = m F = m a a
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Die drei Newtonschen BewegungsgesetzeDie drei Newtonschen Bewegungsgesetze3. Newtonsches Gesetz
Die Kräfte, die zwei Körper aufeinander ausüben, sind ihrer Größe nach gleich und entgegengesetzt gerichtet.
3. Newtonsches Gesetz Die Kräfte, die zwei Körper aufeinander ausüben, sind ihrer Größe nach gleich und entgegengesetzt gerichtet.
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Keplers Gesetze und Newtons GesetzeKeplers Gesetze und Newtons Gesetze Worin besteht der Unterschied ?
Kepler: empirische Gesetze, beschreiben Zusammenhänge in der Natur
Newton: Axiome, auf denen das physikalische Gesamtmodell beruht
Worin besteht der Unterschied ? Kepler: empirische Gesetze, beschreiben
Zusammenhänge in der Natur Newton: Axiome, auf denen das
physikalische Gesamtmodell beruht
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Gravitationskonstante G = 6.6725910-8 dyne cm2 g-2
schwere und träge Masse Trägheit: Resistenz der Masse mT ihren Bewegungszustand zu ändern ist
proportional zu mT
Schwerkraft: die Masse mS übt eine Anziehung aus, die proportional zu mS ist
beide Massen sind proportional zueinander Im Experiment: Unterschied kleiner als 10-12 Zur Bequemlichkeit: mT=mS
Gravitationskonstante G = 6.6725910-8 dyne cm2 g-2
schwere und träge Masse Trägheit: Resistenz der Masse mT ihren Bewegungszustand zu ändern ist
proportional zu mT
Schwerkraft: die Masse mS übt eine Anziehung aus, die proportional zu mS ist
beide Massen sind proportional zueinander Im Experiment: Unterschied kleiner als 10-12 Zur Bequemlichkeit: mT=mS
Das Newtonsche GravitationsgesetzDas Newtonsche Gravitationsgesetz
2r
MmGF −= 2r
MmGF −=
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Das Newtonsche GravitationsgesetzDas Newtonsche Gravitationsgesetz Warum ein r-2
Gesetz? Kepler III:
k: eine Konstante
Aus Geometrie Kreisbahn
Warum ein r-2 Gesetz?
Kepler III:
k: eine Konstante
Aus Geometrie Kreisbahn
Zentripetalkraft Fc
Da Fc=FG gilt, muss, um Kepler III zu erhalten,
Zentripetalkraft Fc
Da Fc=FG gilt, muss, um Kepler III zu erhalten,
32 rkT =
2
222 4
v
rT
π=
2
22
c
4
kr
m
r
vmF
π==
2G
1
rF ∝
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Das Newtonsche GravitationsgesetzDas Newtonsche Gravitationsgesetz Kraft einer Punktmasse i der Masse mi bei
Position ri auf Testteilchen m bei r
Kraft eines Systems von N Teilchen
Kontinuumslimit
Kraft einer Punktmasse i der Masse mi bei Position ri auf Testteilchen m bei r
Kraft eines Systems von N Teilchen
Kontinuumslimit
( )rrrr
mmGrF i
i
ii
rrrr
rr−
−= 3)(
( )∑=
−−
=N
ii
i
i rrrr
mmGrF
13)(
rrrr
rr
Vmmi Δ→Δ→ ρ
( )rrrr
rrdGmrF
V
rrrr
rrr
−′−′
′′= ∫ 3
3 )()(
ρ
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Das Newtonsche GravitationsgesetzDas Newtonsche Gravitationsgesetz
Mathematisch identisch zum Coulomb-Gesetz, allerdings gilt für die Gravitation immer ρ ≥ 0
Gravitation sättigt nicht (Elektrostatik: Ladungsneutralität für hinreichend große Volumina) zum Teil schwierig korrigierbare Singularitäten
Deutliche Vereinfachungen für sphärische Symmetrie
Mathematisch identisch zum Coulomb-Gesetz, allerdings gilt für die Gravitation immer ρ ≥ 0
Gravitation sättigt nicht (Elektrostatik: Ladungsneutralität für hinreichend große Volumina) zum Teil schwierig korrigierbare Singularitäten
Deutliche Vereinfachungen für sphärische Symmetrie
( )rrrr
rrdGmrF
V
rrrr
rrr
−′−′
′′= ∫ 3
3 )()(
ρ
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TheoremTheorem
Eine homogene Kugelschale vom Radius r, von der Dicke Δr und der Masse ΔM übt keinerlei Kraft auf einen beliebigen Punkt im Innern der Schale aus. Außerhalb der Schale ist die Kraft äquivalent zu der einer Punktmasse ΔM am Schwerpunkt der Schale.
Beweis: nicht offensichtlich Methode 1: Berechne Integral aufreibend und langweilig Carrol and Ostlie
Methode 2: etwas Vektoranalysis
Eine homogene Kugelschale vom Radius r, von der Dicke Δr und der Masse ΔM übt keinerlei Kraft auf einen beliebigen Punkt im Innern der Schale aus. Außerhalb der Schale ist die Kraft äquivalent zu der einer Punktmasse ΔM am Schwerpunkt der Schale.
Beweis: nicht offensichtlich Methode 1: Berechne Integral aufreibend und langweilig Carrol and Ostlie
Methode 2: etwas Vektoranalysis
( )rrrr
rrdG
V
rrrr
r−′
−′
′′∫ 3
3 )(ρ
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BeweisBeweis
( )
rr
MGGM
rrrr
rrdGG
GmFm
V
rr
rrrr
rr
rr
: teilchenfür Einzel
)( :nsfeldGravitatio
: Teilchen aufKraft
3
33
−=
−′−′
′′=
=
∫ρ
dAr
GMdAnGnM θcos: Richtungin vonnsfeldGravitatio 2−=⋅
rrr
Ω−= dGM
×M
nr
Gr
rr
Ω= drdA 2cosθ
ΩdV
∂V
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BeweisBeweis
×M
1nr
1Gr
1rr
Ωd
×M
1nr
1Gr
1rr
Ωd
2Gr
2nr
2nr
2Gr2r
r
2rr
Ω=Ω=
==Ω
dd
r
dA
r
dAd
2
22
22
1
11
Betrachte zwei gegenüberliegende Punkte auf ∂VBetrachte zwei gegenüberliegende Punkte auf ∂V
Ω−=Ω−Ω−=
⋅+⋅
GMd
GMdGMd
dAnGdAnG
2
222111
rrrr
0
222111
=Ω+Ω−=
⋅+⋅GMdGMd
dAnGdAnGrrrr
V V
∂V ∂V
![Page 26: Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 1 Kapitel III: Das Planetensystem](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/55204d7e49795902118cf345/html5/thumbnails/26.jpg)
2626
Ein
führ
ung
in d
ie A
stro
nom
ie u
nd A
stro
phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
BeweisBeweis
×M
1nr
1Gr
1rr
Ωd
×M
1nr
1Gr
1rr
Ωd
2Gr
2nr
2nr
2Gr2r
r
2rr
Ω=Ω=
==Ω
dd
r
dA
r
dAd
2
22
22
1
11
Integriere über Halbkugel jeweils gegenüberliegende Paare auf ∂V
Integriere über Halbkugel jeweils gegenüberliegende Paare auf ∂V
011 =⋅∫∫∂
nGdAV
rr
V V
∂V ∂V
![Page 27: Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 1 Kapitel III: Das Planetensystem](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/55204d7e49795902118cf345/html5/thumbnails/27.jpg)
2727
Ein
führ
ung
in d
ie A
stro
nom
ie u
nd A
stro
phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
BeweisBeweis
Für ein Vielteilchensystem von N Teilchen:
für Kontinuum:
Für ein Vielteilchensystem von N Teilchen:
für Kontinuum:
=⋅∫∫∂V
nGdArr -4πGM für M innerhalb von V
0 für M außerhalb von V
unabhängig von der genauen Lage von M innerhalb/außerhalb von Sunabhängig von der genauen Lage von M innerhalb/außerhalb von S
ρπ
ρπ
GG
rrdGGrdnGdAVVV
4
)(4 33
−=⋅∇⇒
−=⋅∇=⋅ ∫∫∫∫∂ r
rrrr
∑∫∫⊂∂
−=⋅Vi
i
V
GnGdA M4πrr
![Page 28: Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 1 Kapitel III: Das Planetensystem](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/55204d7e49795902118cf345/html5/thumbnails/28.jpg)
2828
Ein
führ
ung
in d
ie A
stro
nom
ie u
nd A
stro
phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
BeweisBeweis
Für homogene Kugelschale mit Radius R, Dicke ΔR und Masse M=4πρR2ΔR:
Integriere über Kugeloberflächemit Radius r r<R
Für homogene Kugelschale mit Radius R, Dicke ΔR und Masse M=4πρR2ΔR:
Integriere über Kugeloberflächemit Radius r r<R
R
r
00
04 2
=⇒=⇒
==⋅∫∫∂
FG
rGnGdAV
rr
rrrπ
ΔR
![Page 29: Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 1 Kapitel III: Das Planetensystem](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/55204d7e49795902118cf345/html5/thumbnails/29.jpg)
2929
Ein
führ
ung
in d
ie A
stro
nom
ie u
nd A
stro
phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
BeweisBeweis
Für homogene Kugelschale mit Radius R, Dicke ΔR und Masse M=4πρR2ΔR:
Integriere über Kugeloberflächemit Radius r r>R
Für homogene Kugelschale mit Radius R, Dicke ΔR und Masse M=4πρR2ΔR:
Integriere über Kugeloberflächemit Radius r r>R
R
r
rr
GMmF
r
GMG
GMrGnGdAV
rrr
rrr
32
2 44
−=⇒−=⇒
−==⋅∫∫∂
ππ
q.e.dq.e.d
ΔR
![Page 30: Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 1 Kapitel III: Das Planetensystem](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/55204d7e49795902118cf345/html5/thumbnails/30.jpg)
3030
Ein
führ
ung
in d
ie A
stro
nom
ie u
nd A
stro
phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
Zur Erinnerung: wesentliche AnnahmenZur Erinnerung: wesentliche Annahmen r-2-Kraftgesetz unabhänging von r Gilt z.B. nicht für Kernkräfte
Lineare Superposition der Massen Zentralkraft
sphärische Symmetrie
r-2-Kraftgesetz unabhänging von r Gilt z.B. nicht für Kernkräfte
Lineare Superposition der Massen Zentralkraft
sphärische Symmetrie 24 rGnGdA
V
πrrr
=⋅∫∫∂
Ω−=⋅ dGMdAnGrr
r
rGG
rrr=
![Page 31: Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 1 Kapitel III: Das Planetensystem](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/55204d7e49795902118cf345/html5/thumbnails/31.jpg)
3131
Ein
führ
ung
in d
ie A
stro
nom
ie u
nd A
stro
phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
Bereits gezeigt: r-2-Kraftgesetz Kepler III (für Kreisbahn)
Betrachte Kreisbahn, gleichförmige Bewegung In Δt überstrichene Fläche:
Drehimpulserhaltung: Kepler II aber gilt das auch für nicht-zirkulare Bahnen?
Kepler I ???
Bereits gezeigt: r-2-Kraftgesetz Kepler III (für Kreisbahn)
Betrachte Kreisbahn, gleichförmige Bewegung In Δt überstrichene Fläche:
Drehimpulserhaltung: Kepler II aber gilt das auch für nicht-zirkulare Bahnen?
Kepler I ???
Newton ⇨ KeplerI. MotivationNewton ⇨ KeplerI. Motivation
ΔA( ) rv
dt
dA
t
AtvrA 2
121 =≈
Δ
Δ⇒Δ=Δ
const.=rv
v
r
![Page 32: Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 1 Kapitel III: Das Planetensystem](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/55204d7e49795902118cf345/html5/thumbnails/32.jpg)
3232
Ein
führ
ung
in d
ie A
stro
nom
ie u
nd A
stro
phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
zeige, dass allgemein gilt P2 a3
dA/dt = const. Kegelschnitt:
zeige, dass allgemein gilt P2 a3
dA/dt = const. Kegelschnitt:
Newton ⇨ KeplerI. MotivationNewton ⇨ KeplerI. Motivation
( )
ϕ
ϕϕ
cos1
cos1
1)(
2
+=
+
−=
p
ar p
![Page 33: Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 1 Kapitel III: Das Planetensystem](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/55204d7e49795902118cf345/html5/thumbnails/33.jpg)
3333
Ein
führ
ung
in d
ie A
stro
nom
ie u
nd A
stro
phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
Zweikörperproblem Einkörperproblem⇨
Aufstellen der Bewegungsgleichung
Lösung der Bewegungsgleichung
Ableitung der Keplerschen Gesetze
Einkörperproblem ⇨ Zweikörperproblem
Zweikörperproblem Einkörperproblem⇨
Aufstellen der Bewegungsgleichung
Lösung der Bewegungsgleichung
Ableitung der Keplerschen Gesetze
Einkörperproblem ⇨ Zweikörperproblem
Newton ⇨ KeplerII. ÜberblickNewton ⇨ KeplerII. Überblick
![Page 34: Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 1 Kapitel III: Das Planetensystem](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/55204d7e49795902118cf345/html5/thumbnails/34.jpg)
3434
Ein
führ
ung
in d
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nd A
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phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
Zweikörperproblem ⇨ EinkörperproblemZweikörperproblem ⇨ Einkörperproblem
×Schwerpunkt r
r2r1
2121 rrrrrr
−=
Schwerpunkt:Schwerpunkt:
12
213
21111
12
121
22112211
1
0
rm
mm
r
mmGrmF
rm
mrrr
rmrmrmrm
r&&rr
rrrr
rrrr
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−==⇒
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=−=⇒
−=⇒=+
M: Gesamtmasse
![Page 35: Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 1 Kapitel III: Das Planetensystem](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/55204d7e49795902118cf345/html5/thumbnails/35.jpg)
3535
Ein
führ
ung
in d
ie A
stro
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ie u
nd A
stro
phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
Zweikörperproblem ⇨ EinkörperproblemZweikörperproblem ⇨ Einkörperproblem
×Schwerpunkt r
r2r1
2121 rrrrrr
−=
Beschleunigungen:Beschleunigungen:
μF
rmm
mm
r
mGmr
r
GMrrr
rr
MGr
rr
MGr
rrr&&r&&r&&r
r&&r
r&&r
=+
−=−=−=
−=
−=
21
213
21321
232
131
=μ-1: reduzierte Masse μ
( ) 212121
21 mmmmmm
mmM =+
+=μ
![Page 36: Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 1 Kapitel III: Das Planetensystem](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/55204d7e49795902118cf345/html5/thumbnails/36.jpg)
3636
Ein
führ
ung
in d
ie A
stro
nom
ie u
nd A
stro
phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
Zweikörperproblem ⇨ EinkörperproblemZweikörperproblem ⇨ Einkörperproblem Beschleunigung:
ErgebnisDas gekoppelte Zweikörperproblem reduziert sich zu der Bewegung einer Testmasse μ im Zentralfeld der gemeinsamen Masse M im Schwerpunkt.
Beschleunigung:
ErgebnisDas gekoppelte Zweikörperproblem reduziert sich zu der Bewegung einer Testmasse μ im Zentralfeld der gemeinsamen Masse M im Schwerpunkt.
rr
MGr
r&&r3
μμ −=
21
21
111
mm
mmM
+=
+=
μ
![Page 37: Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 1 Kapitel III: Das Planetensystem](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/55204d7e49795902118cf345/html5/thumbnails/37.jpg)
3737
Ein
führ
ung
in d
ie A
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ie u
nd A
stro
phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
BewegungsgleichungBewegungsgleichung
In mitbewegten Zylinderkoordinaten (r,,z)
In Zylinderkoordinaten hängen und von der Zeit ab !
Beschleunigung
In mitbewegten Zylinderkoordinaten (r,,z)
In Zylinderkoordinaten hängen und von der Zeit ab !
Beschleunigung
zr ezererdt
rdv
r&
r&r&
rr
++== ϕϕ
rer
rer
ϕer
ϕer
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ee
ee
r
r
r&&r
r&&r
=
−=
( ) zr ezerrerrdt
vda
r&&
r&&&&r&&&r
r+++−== ϕϕϕϕ )2(2
![Page 38: Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 1 Kapitel III: Das Planetensystem](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/55204d7e49795902118cf345/html5/thumbnails/38.jpg)
3838
Ein
führ
ung
in d
ie A
stro
nom
ie u
nd A
stro
phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
BewegungsgleichungBewegungsgleichung
( ) ( )
( ) ( )
( )2222
22222
3
022
1
zr
z
zr
MGzF
rrF
zr
r
zr
MGrrF
z
r
++−==
=+=
++−=−=
μμ
ϕϕμ
μϕμ
ϕ
&&
&&&&
&&&
![Page 39: Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 1 Kapitel III: Das Planetensystem](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/55204d7e49795902118cf345/html5/thumbnails/39.jpg)
3939
Ein
führ
ung
in d
ie A
stro
nom
ie u
nd A
stro
phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
Lösung der BewegungsgleichungLösung der Bewegungsgleichung Gleichung (3)
Wähle Anfangsbedingungen so, dass Bewegung bleibt in der durch und zu t=0 aufgespannten Ebene
Gleichung (2) × r
Spezifischer Drehimpuls l ist erhalten
Gleichung (3) Wähle Anfangsbedingungen so, dass
Bewegung bleibt in der durch und zu t=0 aufgespannten Ebene
Gleichung (2) × r
Spezifischer Drehimpuls l ist erhalten
00,0 =⇒== zzz &&&
rer
ϕer
( ) ( )const
02 22
=×==⇒
===+
vrrvl
rvdt
dr
dt
drrr
rr
&&&&&
ϕ
ϕϕϕϕ
![Page 40: Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 1 Kapitel III: Das Planetensystem](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/55204d7e49795902118cf345/html5/thumbnails/40.jpg)
4040
Ein
führ
ung
in d
ie A
stro
nom
ie u
nd A
stro
phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
Lösung der BewegungsgleichungLösung der Bewegungsgleichung Gleichung (1)
mit
Gleichung (1)
mit
3
2
2
3
2
22
r
l
r
GMr
r
lr
r
GMrr
+−=⇒
−=−=−
&&
&&&&& ϕ
Gravitations-kraft zieht anGravitations-kraft zieht an
Zentrifugal-kraft stößt abZentrifugal-kraft stößt ab
( ) ( )dt
dr
r
l
r
GMr
dt
drrr
dt
d⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=⇒=
3
2
22
212
21 &&&&&
Ziel: Umschreiben als totales Differential in r
![Page 41: Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 1 Kapitel III: Das Planetensystem](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/55204d7e49795902118cf345/html5/thumbnails/41.jpg)
4141
Ein
führ
ung
in d
ie A
stro
nom
ie u
nd A
stro
phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
Lösung der BewegungsgleichungLösung der Bewegungsgleichung
2
2
3
2
2eff 2r
l
r
GM
r
l
r
GMdr +−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−=Φ ∫
Gravitations-potentialGravitations-potential
Zentrifugal-potentialZentrifugal-potential
effektivesPotentialeffektivesPotential
( )
const.eff2
21
effeff2
21
==Φ+⇒
Φ−=Φ−=
Er
dt
d
dt
dr
dr
dr
dt
d
μμ &
& Energie ist erhalten Energie ist erhalten
![Page 42: Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 1 Kapitel III: Das Planetensystem](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/55204d7e49795902118cf345/html5/thumbnails/42.jpg)
4242
Ein
führ
ung
in d
ie A
stro
nom
ie u
nd A
stro
phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
Lösung der BewegungsgleichungLösung der Bewegungsgleichung Anmerkungen
r 0 Zentrifugalpotential wächst schneller als Gravitationspotential Objekte fallen nicht zum Zentrum
Minimum des effektiven Potentials Kreisbahn
Anmerkungen r 0 Zentrifugalpotential wächst schneller
als Gravitationspotential Objekte fallen nicht zum Zentrum
Minimum des effektiven Potentials Kreisbahn
0=r&
0=r&
![Page 43: Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 1 Kapitel III: Das Planetensystem](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/55204d7e49795902118cf345/html5/thumbnails/43.jpg)
4343
Ein
führ
ung
in d
ie A
stro
nom
ie u
nd A
stro
phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
Lösung der BewegungsgleichungLösung der Bewegungsgleichung
![Page 44: Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 1 Kapitel III: Das Planetensystem](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/55204d7e49795902118cf345/html5/thumbnails/44.jpg)
4444
Ein
führ
ung
in d
ie A
stro
nom
ie u
nd A
stro
phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
Lösung der BewegungsgleichungLösung der Bewegungsgleichung
.const22
1mit
.const22
max
min
max
min
222
2
2
2
2
∫
∫
+−+
=⇒=
+
−+
=⇒=
u
u
r
r
uulGM
lE
dur
u
rl
rGME
drrl
rl
dtd
μ
ϕ
μ
ϕϕ
![Page 45: Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 1 Kapitel III: Das Planetensystem](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/55204d7e49795902118cf345/html5/thumbnails/45.jpg)
4545
Ein
führ
ung
in d
ie A
stro
nom
ie u
nd A
stro
phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
Lösung der BewegungsgleichungLösung der Bewegungsgleichung
Wähle Integrationskonstante so, dass r = rmin bei = 0
Wähle Integrationskonstante so, dass r = rmin bei = 0
1;2
;2
4
2arccos
1
22
22
−===
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
+−
−=
++∫
clGM
blE
a
acb
cxbccxbxa
dx
μ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++= ϕμϕ
cos2
11)(
122
2
2 MG
El
l
GM
r
![Page 46: Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 1 Kapitel III: Das Planetensystem](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/55204d7e49795902118cf345/html5/thumbnails/46.jpg)
4646
Ein
führ
ung
in d
ie A
stro
nom
ie u
nd A
stro
phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
Ableitung der Keplerschen GesetzeAbleitung der Keplerschen Gesetze
Vergleiche
mit Gleichung für Kegelschnitt
Kepler I !!! mit
Vergleiche
mit Gleichung für Kegelschnitt
Kepler I !!! mit
ϕμ
ϕcos
211
)(
22
2
2
MGEl
GMl
r
++
=
ϕϕ
cos1)(
+=
pr
22
22
22 2
1;)1(MG
El
GM
lap
μ +==−=
![Page 47: Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 1 Kapitel III: Das Planetensystem](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/55204d7e49795902118cf345/html5/thumbnails/47.jpg)
4747
Ein
führ
ung
in d
ie A
stro
nom
ie u
nd A
stro
phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
Ableitung der Keplerschen GesetzeAbleitung der Keplerschen Gesetze Überstrichene Fläche
Kepler II !!! Gesamtfläche:
Kepler III !!!
Überstrichene Fläche
Kepler II !!! Gesamtfläche:
Kepler III !!!
.const22
1
2
1)( 22
0
===⇒=′′=∫l
dtd
rdtdF
drdrrddFr ϕϕϕ
GMa
l221 =−
![Page 48: Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 1 Kapitel III: Das Planetensystem](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/55204d7e49795902118cf345/html5/thumbnails/48.jpg)
4848
Ein
führ
ung
in d
ie A
stro
nom
ie u
nd A
stro
phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
Ableitung der Keplerschen GesetzeAbleitung der Keplerschen Gesetze Bahnenergie
im Perizentrum
alle Bahnen der großen Halbachse a haben dieselbe Energie, unabhängig von
Bahnenergie
im Perizentrum
alle Bahnen der großen Halbachse a haben dieselbe Energie, unabhängig von
r
GM
r
lrE
μμμ −+= 2
22
21
21 &
( ) ( )
( )a
GM
l
MG
l
MG
l
MGlE
rGM
lr
μεμ
εμεμ
ε
2
11
2
1
112
1
0;1
1
22
22
2
222
4
222
2
−=−−=
+−+=⇒
=+
= &
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4949
Ein
führ
ung
in d
ie A
stro
nom
ie u
nd A
stro
phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
Ableitung der Keplerschen GesetzeAbleitung der Keplerschen Gesetze Bahnenergie
im Perizentrum
alle Bahnen der großen Halbachse a haben dieselbe Energie, unabhängig von
Bahnenergie
im Perizentrum
alle Bahnen der großen Halbachse a haben dieselbe Energie, unabhängig von
r
GM
r
lrE
μμμ −+= 2
22
21
21 &
( ) ( )
( )a
GM
l
MG
l
MG
l
MGlE
rGM
lr
μεμ
εμεμ
ε
2
11
2
1
112
1
0;1
1
22
22
2
222
4
222
2
−=−−=
+−+=⇒
=+
= &
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5050
Ein
führ
ung
in d
ie A
stro
nom
ie u
nd A
stro
phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
Ableitung der Keplerschen GesetzeAbleitung der Keplerschen Gesetze Bahngeschwindigkeit:
Über Energieerhaltung
Bahnform E<0, <1: Ellipse E=0, =1: Parabel E>0, >1: Hyperbel
Bahngeschwindigkeit: Über Energieerhaltung
Bahnform E<0, <1: Ellipse E=0, =1: Parabel E>0, >1: Hyperbel
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⇒
−=−=
arGMv
r
GMv
a
GME
122
1
2
2 μμ
μ
Coulomb, Gravitationanziehend
Coulomb, Gravitationanziehend
nur Coulomb, abstoßend
nur Coulomb, abstoßend
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5151
Ein
führ
ung
in d
ie A
stro
nom
ie u
nd A
stro
phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
Einkörperproblem ⇨ ZweikörperproblemEinkörperproblem ⇨ Zweikörperproblem
zwei Ellipsen mit gleicher Exzentrizität Beispiel Erde-Mond-System:
a=384400 km a1=4700km a2=379700km
zwei Ellipsen mit gleicher Exzentrizität Beispiel Erde-Mond-System:
a=384400 km a1=4700km a2=379700km
( )
amm
maa
mm
mar
mm
mr
ea
r r
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
+
−=
21
12
21
21
21
21
2
;
cos1
1
rr
rrϕε
ε
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5252
Ein
führ
ung
in d
ie A
stro
nom
ie u
nd A
stro
phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
N-KörperproblemN-Körperproblem
allgemein für N>2 nicht streng mathematisch lösbar
Interessante Spezialfälle Librationspunkte (3 Körper) Störungsrechnung Virialtheorem
allgemein für N>2 nicht streng mathematisch lösbar
Interessante Spezialfälle Librationspunkte (3 Körper) Störungsrechnung Virialtheorem
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5353
Ein
führ
ung
in d
ie A
stro
nom
ie u
nd A
stro
phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
Störungsrechnung, ein BeispielStörungsrechnung, ein Beispiel Zweikörperproblem
Führe nun eine Störterm der Form ein
Zweikörperproblem
Führe nun eine Störterm der Form ein
BAur
u
l
GMu
d
ud
rl
GM
rd
dr
rd
d
r
+=⇒=
=+⇒−=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ϕ
ϕϕϕ
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;111
22
2
2
22322
3r
C+
αϕ
ααϕ
ϕ
cos1
)1(
cos Ansatz
2
2
2
22
2
2
2
2
+
−=⇒
−±=⇒+=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
ar
l
ClBAu
l
GMu
l
Cl
d
ud
Rosettenbahnen, präzessierende Ellipsen Rosettenbahnen, präzessierende Ellipsen
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5454
Ein
führ
ung
in d
ie A
stro
nom
ie u
nd A
stro
phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
Störungsrechnung, ein BeispielStörungsrechnung, ein Beispiel
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5555
Ein
führ
ung
in d
ie A
stro
nom
ie u
nd A
stro
phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
Das VirialtheoremDas Virialtheorem
Für das Zweikörperproblem war
für eine Kreisbahn ist somit
für elliptische Bahnen kinetische und potentielle Energie variieren Mittelwerte ?
Für das Zweikörperproblem war
für eine Kreisbahn ist somit
für elliptische Bahnen kinetische und potentielle Energie variieren Mittelwerte ?
a
GMEEE
2potkin −=+=
potkinpot 22
1EEEE −=⇒=
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5656
Ein
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stro
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ie u
nd A
stro
phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
Das VirialtheoremDas Virialtheorem
Mittelwert der potentiellen Energie Mittelwert der potentiellen Energie
kinpot
2
2
0
2
0
2
pot2
2
0
1
0
pot
2
1
2
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1mit
cos1
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)(
1
)(
1
Ea
GME
d
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TE
r
l
r
GMd
Ttr
GMdt
TE
T
−=−=⇒
−=
+
+−
−=⇒=
−=−=
∫
∫
∫∫ −
μ
πϕ
ϕ
ϕμϕϕ
ϕμϕϕμ
π
π
π
&
&
Gilt im Zeitmittel auch für elliptische Bahnen
Gilt im Zeitmittel auch für elliptische Bahnen
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5757
Ein
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ung
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ie A
stro
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phys
ik I
K
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tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
Das VirialtheoremDas Virialtheorem Allgemein für N Teilchen, definiere Allgemein für N Teilchen, definiere
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∑∑
==
==
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⋅=⋅=
N
iii
N
iii
N
iiii
N
iii
rprpQ
rvmrpQ
11
11
:
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rrrrr
Trägheitsmoment(Achtung, etwas andere Definition als beim Kreisel)
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( )
∑
∑∑
=
==
=
==⋅=
N
iii
N
iii
N
iiii
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1
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1
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5858
Ein
führ
ung
in d
ie A
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phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
Das VirialtheoremDas Virialtheorem Allgemein für N Teilchen, definiere Allgemein für N Teilchen, definiere
∑∑
∑∑
==
==
⋅+⋅=⇒
⋅=⋅=
N
iii
N
iii
N
iiii
N
iii
rprpQ
rvmrpQ
11
11
:
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rrrrr
∑∑==
==⋅=N
iii
N
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221
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5959
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in d
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Das
Pla
nete
nsys
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Das VirialtheoremDas Virialtheorem Allgemein für N Teilchen, definiere Allgemein für N Teilchen, definiere
∑∑
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==
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⋅+⋅=⇒
⋅=⋅=
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1 11
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rrrrrr
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![Page 60: Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 1 Kapitel III: Das Planetensystem](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/55204d7e49795902118cf345/html5/thumbnails/60.jpg)
6060
Ein
führ
ung
in d
ie A
stro
nom
ie u
nd A
stro
phys
ik I
K
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tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
Das VirialtheoremDas Virialtheorem Allgemein für N Teilchen, definiere Allgemein für N Teilchen, definiere
∑∑
∑∑
==
==
⋅+⋅=⇒
⋅=⋅=
N
iii
N
iii
N
iiii
N
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11
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∑∑= =
=−−
−=N
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N
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ji
ji Errrr
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1 1pot
2
32
1 rrrr
![Page 61: Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 1 Kapitel III: Das Planetensystem](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062404/55204d7e49795902118cf345/html5/thumbnails/61.jpg)
6161
Ein
führ
ung
in d
ie A
stro
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ie u
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stro
phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
Das VirialtheoremDas Virialtheorem Allgemein gilt für ein System aus N
Teilchen
Im stationären Zustand verschwinden die Zeitableitungen zeitgemittelter globaler Größen, folglich
Allgemein gilt für ein System aus N Teilchen
Im stationären Zustand verschwinden die Zeitableitungen zeitgemittelter globaler Größen, folglich
kinpot2
2
22
1EE
dt
Id+=
potkin
2
2
02
2
2
0
EE
dt
Iddt
dt
d
dt
Id
dt
d T
−=⇒
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∫
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6262
Ein
führ
ung
in d
ie A
stro
nom
ie u
nd A
stro
phys
ik I
K
api
tel I
II:
Das
Pla
nete
nsys
tem
Das VirialtheoremDas Virialtheorem Für große Teilchenzahlen N ist die
Mittelung über die Zeit äquivalent zu einer über verschiedene Ensembles (Teilbereiche können als unabhängig voneinander angesehen werden), d.h. es gilt auch instantan für stationäre Systeme
Für große Teilchenzahlen N ist die Mittelung über die Zeit äquivalent zu einer über verschiedene Ensembles (Teilbereiche können als unabhängig voneinander angesehen werden), d.h. es gilt auch instantan für stationäre Systeme
potkin2 EE −=