einf¨uhrung in die theoretische physik

373
EINF ¨ UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK FRITZ HAAKE

Upload: vudang

Post on 05-Jan-2017

244 views

Category:

Documents


3 download

TRANSCRIPT

Page 1: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

EINFUHRUNG IN DIE

THEORETISCHE PHYSIK

FRITZ HAAKE

Page 2: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

2

Page 3: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

Vorwort

Das 1982 erschienene Buch ist langst vergriffen. Der Nachfolger des dama-ligen Verlages ist an einer Neuauflage nicht interessiert. Der Anregung vonLesern und Kollegen folgend mache ich den Text nun frei zuganglich. Damitwird Wechselwirkung mit Nutzern moglich. Mir mitgeteilte Druckfehler undUnstimmigkeiten werde ich laufend korrigieren. Auch Anregungen zu großerenAnderungen und Anpassung an inzwischen veranderte Bedurfnisse der Lehrer-ausbildung sind mir willkommen.

Essen, Oktober 2002 Fritz Haake

3

Page 4: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

4

Page 5: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis 5

1 Masse 11

1.1 Freie Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Trage Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Ein Beispiel: konstante Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Das Galileische Relativitatsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Schwere Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Schwingungen 19

2.1 Der harmonische Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Der Energieeigensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Der Energiesatz fur beliebige konservative Krafte . . . . . . . . . 232.4 Der gedampfte harmonische Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . 262.5 Resonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.6 Antwort auf beliebige periodische Anregung (Fourierreihen) . . . 332.7 Antwort auf beliebige Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.8 Idealisierter Kraftstoß (Deltafunktion) . . . . . . . . . . . . . . . 392.9 Zwei gekoppelte harmonische Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . 422.10 Der mechanische Energiesatz fur Systeme vieler Teilchen . . . . . 452.11 Schwingungen von mehreren Freiheitsgraden . . . . . . . . . . . . 482.12 Erzwungene Schwingungen von mehreren Freiheitsgraden . . . . 512.13 Transversale Schwingungen der gespannten Saite . . . . . . . . . 532.14 Theorie der Dampfung(Modell) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3 Nichtrelativistische Bewegung im Gravitationsfeld 63

3.1 Das 1/r-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2 Die Erhaltungssatze bei Bewegungen im 1/r-Potential . . . . . . 653.3 Die Bahnkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.4 Das Zweikorperproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4 Statische wirbelfreie Felder 73

4.1 Wirbelfreie Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2 Quellen wirbelfreier Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.3 Lokale Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.4 Elektrostatisches Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.5 Geladenes Teilchen vor einem Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . 834.6 Spharische Ladungs- bzw. Massenverteilung . . . . . . . . . . . . 84

5

Page 6: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

6 INHALTSVERZEICHNIS

4.7 Monopole, Dipole, Multipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.8 Die Form der Erde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.9 Die Energie eines Haufens von Ladungen . . . . . . . . . . . . . . 934.10 Die Energie eines Ladungshaufens in einem außeren Feld . . . . . 95

5 Statische Magnetfelder 97

5.1 Das magnetische (Induktions-)Feld ~B(~x) . . . . . . . . . . . . . . 975.2 Das Magnetfeld eines geraden stromdurchflossenen Drahtes . . . 995.3 Wirbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.4 Lokale Wirbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.5 Magnetische Monopole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.6 Die Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.7 Das Fernfeld stationarer Strome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.8 Magnetisches Moment und Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . 1115.9 Kraft und Drehmoment eines Feldes ~B(~x) auf einen magnetischen

Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6 Das elektromagnetische Feld 113

6.1 Faradays Induktionsexperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.2 Der Maxwellsche Verschiebungsstrom . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.3 Die Maxwellschen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.4 Der Energieerhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.5 Die Wellengleichung fur die Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . 1196.6 Ebene elektromagnetische Wellen im freien Raum . . . . . . . . . 1206.7 Die retardierten Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.8 Elektrische Dipolstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

7 Elektromagnetische Felder in Materie 129

7.1 Polarisation und Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.2 Materialgesetze fur Polarisation und Magnetisierung . . . . . . . 1347.3 Wellen in linearen Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367.4 Modell eines Dielektrikums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.5 Ohmsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1387.6 Wellen in Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

8 Symmetrien 141

8.1 Der Raum ist homogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.2 Der Raum ist isotrop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1438.3 Die Zeit ist homogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1508.4 Galileiinvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1508.5 Lorentzinvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

9 Spezielle Relativitatstheorie 155

9.1 Die Lorentztransformation der Koordinaten . . . . . . . . . . . . 1559.2 Relativitat der Gleichzeitigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1589.3 Zeitdilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1589.4 Langenkontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1619.5 Addition von Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1629.6 Lorentzinvarianz der Maxwellschen Gleichungen . . . . . . . . . . 1639.7 Feld einer gleichformig bewegten Punktladung . . . . . . . . . . . 165

Page 7: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

INHALTSVERZEICHNIS 7

9.8 Lorentzskalare und Lorentzvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . 1669.9 Relativistischer Impuls und Viererimpuls eines Teilchens . . . . . 1689.10 Bewegungsgleichung eines geladenen Teilchens im elektromagne-

tischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1709.11 Bewegung im konstanten elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . 1739.12 Eine bequeme Schreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

10 Bewegung schneller Teilchen im Gravitationsfeld 179

10.1 Ruckblick auf die Newtonsche Theorie . . . . . . . . . . . . . . . 17910.2 Einsteins Aquivalenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18010.3 Die Viererkraft im Gravitationsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . 18110.4 Lichtstrahlen im Gravitationsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18410.5 Der metrische Tensor ist das Gravitationsfeld . . . . . . . . . . . 18610.6 Der Newtonsche Grenzfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18810.7 Frequenzverschiebung fallender Photonen . . . . . . . . . . . . . 19010.8 Nochmal auf die rotierende Scheibe! . . . . . . . . . . . . . . . . 19210.9 Das statische isotrope Gravitationsfeld . . . . . . . . . . . . . . . 19410.10Bewegungsgleichungen im statischen isotropen Feld . . . . . . . . 19610.11Periheldrehung der Planeten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19910.12Lichtablenkung durch die Sonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

11 Quanten 205

11.1 Teilchen sind Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20511.2 Heisenbergs Unscharferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21011.3 Die Grundprinzipien der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . 21111.4 Die Schrodingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21211.5 Normierung der Wellenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21511.6 Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21611.7 Freie Pakete zerfließen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21811.8 Das Ehrenfestsche Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

12 Quanten in Kasten 223

12.1 Eindimensionale Potentialstufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22312.2 Eindimensionaler Kasten mit starrem Rand . . . . . . . . . . . . 22612.3 Potentialtopf endlicher Tiefe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22912.4 Quanten durchdringen Wande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

13 Harmonisch gebundene Quanten 235

13.1 Eindimensionaler harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . 23513.2 Die Orthogonalitat normierbarer Eigenfunktionen hermitescher

Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24013.3 Die erzwungene Schwingung des harmonischen Oszillators . . . . 24313.4 Die Umgebung belasst nur den Grundzustand stabil . . . . . . . 245

14 Das Wasserstoffatom 253

14.1 Relativ- und Schwerpunktsbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . 25314.2 Bewegung im Coulombfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25414.3 Der Bahndrehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25614.4 Kommutierende Operatoren haben gemeinsame Eigenfunktionen 25714.5 Die Eigenwerte des Bahndrehimpulses . . . . . . . . . . . . . . . 259

Page 8: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

8 INHALTSVERZEICHNIS

14.6 Die Eigenfunktionen des Bahndrehimpulses . . . . . . . . . . . . 263

14.7 Das Radialproblem beim Coulombfeld . . . . . . . . . . . . . . . 266

14.8 Die Auswahlregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

14.9 Verwandte Zweikorpersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

15 Der Einfluss elektromagnetischer Felder auf die Quantenme-

chanik geladener Teilchen 275

15.1 Die Schrodingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

15.2 Die klassische Hamiltonfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

15.3 Klassische (nichtrelativistische) Bewegung im konstanten Magnet-feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

15.4 Geladenes Quant im konstanten Magnetfeld . . . . . . . . . . . . 282

15.5 Eichinvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

15.6 Zeemaneffekt beim Wasserstoffatom (ohne Spin) . . . . . . . . . 286

16 Spin 289

16.1 Der Spin des Elektrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

16.2 Das magnetische Moment von Teilchen mit Spin . . . . . . . . . 292

16.3 Der anomale Zeemaneffekt beim H-Atom . . . . . . . . . . . . . 293

17 Grundbegriffe der Statistik 297

17.1 Wahrscheinlichkeit von Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

17.2 Diskrete eindimensionale Zufallsbewegung . . . . . . . . . . . . . 298

17.3 Die Binomialverteilung fur große N . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

17.4 Eindimensionale Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

17.5 Der Zentrale Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

18 Statistische Behandlung von Vielteilchensystemen 307

18.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

18.2 Stationare Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

18.3 Die Energieabhangigkeit der Zustandsdichte . . . . . . . . . . . . 310

18.4 Das mikrokanonische Ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

18.5 Das kanonische Ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

18.6 Das großkanonische Ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

19 Thermodynamische Variable 319

19.1 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

19.2 Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

19.3 Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

19.4 Chemisches Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

20 Ideale Gase 331

20.1 Ununterscheidbarkeit identischer Teilchen . . . . . . . . . . . . . 331

20.2 Thermische Photonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

20.3 Thermische Phononen in Festkorpern . . . . . . . . . . . . . . . . 340

20.4 Das ideale Bosegas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

20.5 Bose-Einstein-Kondensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

20.6 Das ideale Fermigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

Page 9: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

INHALTSVERZEICHNIS 9

21 Begrundung der Thermodynamik makroskopischer Systeme 359

21.1 Arbeit und Warme bei Zustandsanderungen . . . . . . . . . . . . 35921.2 Erster Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36021.3 Entropieanderungen bei Zustandsanderungen . . . . . . . . . . . 36021.4 Zweiter Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36121.5 Unmoglichkeit des perpetuum mobile zweiter Art . . . . . . . . . 36221.6 Unmoglichkeit des perfekten Kuhlapparats . . . . . . . . . . . . . 36421.7 Die Carnotmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36421.8 Relaxation ins Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

Abbildungsverzeichnis 371

Page 10: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

10 INHALTSVERZEICHNIS

Page 11: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

Kapitel 1

Masse

1.1 Freie Teilchen

Das freie Teilchen ist eine nutzliche Idealisierung. Seine Freiheit ist eineFreiheit von Kraften. Beispiele fur naherungsweise freie Teilchen kennen Sievom Luftkissentisch und aus der Raumfahrt.

Das freie Teilchen andert im Lauf der Zeit seine Geschwindigkeit nicht. Esbewegt sich geradlinig und legt in gleichen Zeitabschnitten ∆t gleiche Wegstucke∆~x = (∆x,∆y,∆z) zuruck, so dass fur seine Geschwindigkeit gilt

~v = (vx, vy, vz) =

(∆x

∆t,∆y

∆t,∆z

∆t

)=−−−→const . (1.1)

Wenn ein Teilchen in einem Bezugssystem S frei ist, so auch in jedem an-deren, S′, das sich relativ zu S gleichformig und geradlinig bewegt. Alle dieseSysteme heißen Inertialsysteme. Es ist gleichgultig, welches Inertialsysteme zurBeschreibung der Bewegung des freien Teilchens benutzt wird. Beispielsweisekann ein Ruhesystem gewahlt werden, d. h. ein Koordinatensystem, bezuglichdessen das Teilchen unbewegt ruht. Jedenfalls gilt ~v =

−−−→const in allen Inertial-

systemen.

Wenn sich zwei Teilchen mit gleichformiger Geschwindigkeit ~v1 und ~v2 be-wegen, so lasst sich aus Prinzip nicht entscheiden, welches von beiden ruht undwelches in Bewegung ist. Im Ruhesystem eines der beiden bewegt sich dasandere.

1.2 Trage Teilchen

Um die Geschwindigkeit eines Teilchens zu andern, bedarf es einer Kraft ~K.Zur Anderung |∆~v| =

√(∆vx)2 + (∆vy)2 + (∆vz)2 in der Zeitspanne ∆t ist eine

um so großere Kraft vonnoten, je trager ein Teilchen ist. Fur hinreichend kleineZeitspannen ∆t und Geschwindigkeitsanderungen ∆~v ergibt sich im Experimentdie Proportionalitat

∆~v

∆t∼ ~K . (1.2)

11

Page 12: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

12 1 Masse

Der Proportionalitatsfaktor heißt die trage Masse m des Teilchens. Je großersie ist, desto trager ist das Teilchen. Fur alle Teilchen gilt

m ≥ 0 , (1.3)

da erfahrungsgemaß die Anderungsrate der Geschwindigkeit ∆~v ∆t und dieKraft ~K gleichgerichtet sind.

Anstatt das Gesetz (1.2) fur endliche aber hinreichend kleine Differenzen ∆tund ∆~v zu formulieren, fuhrt man den Differentialquotienten

lim∆t→0

∆~v

∆t=

d~v

dt=

(dvxdt

,dvydt

,dvzdt

)(1.4)

ein und nennt den Grenzwert d~v/dt der Anderung der Geschwindigkeit im be-liebig kleinen Zeitintervall die Beschleunigung des Teilchens. Mit Hilfe diesesBegriffes schreibt sich das Gesetz (1.2) in der wohlbekannten Form

~K = md~v

dt. (1.5)

Sie kennen (1.5) als eines der Newtonschen Grundgesetze der Mechanik. Eserlaubt, sobald die auf das Teilchen wirkende Kraft als Funktion der Koor-dinaten des Teilchens bekannt ist, die Berechnung der moglichen Bahnkurven~x(t) = (x(t), y(t), z(t)).

1.3 Ein Beispiel: konstante Kraft

Ich erinnere Sie an den einfachsten Fall einer nicht gleichformigen Bewe-gung: Ein Teilchen ist einer raumlich und zeitlich konstanten Kraft ausgesetzt.Beispiele solcher Krafte sind - mit guter Naherung - die Schwerkraft nahe derErdoberflache und die elektrische Kraft, die ein geladenes Teilchen zwischen denparallelen Platten eines ebenen Plattenkondensators erfahrt.

Zur Beschreibung der Bahnkurve wahlen wir das Koordinatensystem so, dass~K = (0, 0,K). Dann lautet das Grundgesetz (1.5)

dvxdt

= 0,dvydt

= 0 ,dvzdt

=1

mK . (1.6)

Die beiden ersten dieser Gleichungen besagen, dass die x- und y-Komponentender Geschwindigkeit sich zeitlich nicht andern, d. h. vx(t) = vx(0) = constund vy(t) = vy(0) = const. Es lasst sich dann ubrigens immer ein Koordina-tensystem angeben, in dem vx = vy = 0 ist. Die letzte der drei Gleichungenbesagt, dass die Beschleunigung des Teilchens in z-Richtung zeitlich konstantist. Demnach gilt fur die Geschwindigkeit

vz(t) =1

mKt+ vz(0) , (1.7)

Page 13: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

1.4 Das Galileische Relativitatsprinzip 13

wobei die Integrationskonstante vz(0) die Bedeutung der anfanglichen Geschwin-digkeit in z-Richtung hat. Die drei Losungen der Gleichungen (1.6) lassen sichzu der Vektorgleichung

~v(t) = ~v(0) +1

m~Kt (1.8)

zusammenfassen.Wenn wir beachten, dass die Geschwindigkeit des Teilchens die zeitliche

Anderung der Ortskoordinaten gibt,

~v = lim∆t→0

∆~x

∆t=d~x

dt=

(dx

dt,dy

dt,dz

dt

), (1.9)

so konnen wir (1.8) als Differentialgleichungen fur den Ortsvektor ~x = (x, y, z)auffassen,

dx

dt= vx(0),

dy

dt= vy(0),

dz

dt= vz(0) +

1

mKt . (1.10)

Durch Integration uber die Zeit erhalten wir die Bestimmungsgleichungen derBahnkurve

x(t) = vx(0)t+ x(0)

y(t) = vy(0)t+ y(0) (1.11)

z(t) =1

2mKt2 + vz(0)t+ z(0) ,

die sich wieder zu einer Vektorgleichung vereinigen lassen,

~x(t) = ~x(0) + ~v(0)t+1

2m~Kt2 . (1.12)

Die drei Integrationskonstanten x(0), y(0), z(0) haben offensichtlich die Be-deutung der anfanglichen Koordinaten des Teilchens. Insgesamt treten in derBahnkurve (1.11) sechs Integrationskonstanten auf, die drei anfanglichen Ge-schwindigkeitskomponenten neben den drei anfanglichen Koordinaten. Die Zahlder Integrationskonstanten erklart sich dadurch, dass jede der drei Bewegungs-gleichungen (1.6) zweimal integriert werden musste, damit die Losung (1.11)entstand.

1.4 Das Galileische Relativitatsprinzip

Uber das freie Teilchen hatte ich gesagt, es sei gleichgultig, von welchemInertialsystem aus seine Bewegung beschrieben wird; in allen Inertialsystemengilt ~v =

−−−→const. Wenn auf ein Teilchen eine Kraft ~K wirkt, so gilt zwar in keinem

Koordinatensystem, bezuglich dessen ~K 6= 0 konstatiert wird, ~v =−−−→const. Ich

Page 14: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

14 1 Masse

zeige aber jetzt, zunachst fur den eben betrachteten Spezialfall einer konstan-ten Kraft, dass zur Beschreibung der Bewegung immer noch alle gleichformigzueinander bewegten Koordinatensysteme gleichberechtigt sind.

Fuhren wir insbesondere ein Koordinatensystem S ′ ein, dessen Ursprung imbisher benutzten Koordinatensystem S die Koordinaten

~x0(t) = ~x(0) + ~v(0)t (1.13)

hat und dessen Achsen zu den entsprechenden von S parallel liegen. S ′ istein anfangliches Ruhesystem des Teilchens. Der Ursprung von S ′ bewegt sichrelativ zu S gleichformig mit ~v(0); zur Zeit t = 0 liegt er bei ~x(0), wo dann auchgemaß (1.12) das betrachtete Teilchen sitzt. Wenn die Uhren im S ′ genausolaufen wie in K, was fur hinreichend kleine Relativitatsgeschwindigkeit ~v(0)eine Erfahrungstatsache ist, so misst der das Koordinatensystem S ′ benutzendeBeobachter fur die Koordinaten des Teilchen

x′(t) = 0, y′(t) = 0, z′(t) =1

2mKt2 (1.14)

bzw. in Vektorform

~x′(t) =1

2m~Kt2 . (1.15)

Zwischen den Koordinaten des Teilchens in S und S ′ besteht der Zusammenhang

~x = ~x′ + ~x(0) + ~v(0)t, t = t′ , (1.16)

der als Galileitransformation bezeichnet wird.Es ist wie gesagt gleichgultig, ob die Bewegung des Teilchens unter dem

Einfluss der Kraft ~K im Koordinatensystem S oder im Koordinatensystem S ′

beschrieben wird. Zwar andert sich unter der Galileitransformation (1.16) dieBahnkurve, und zwar von (1.12) zu (1.15); gleich bleibt jedoch in S und S ′ (und

allen Inertialsystemen) das Grundgesetz ~K = md2~x/dt2. Denn wir erhaltendurch zweimaliges Differenzieren nach der Zeit aus (1.15)

md2~x′

dt′2= m

d2

dt2

(~Kt2

2m

)= ~K

und aus (1.12)

md2~x

dt2= m

d2

dt2

(~Kt2

2m+ ~v(0)t+ ~x(0)

)= ~K ,

also in beiden Fallen dieselbe Differentialgleichung.Was ich hier am Beispiel des speziellen Kraftgesetzes ~K =

−−−→const vorgefuhrt

habe, ist auch fur andere Kraftgesetze ~K = ~K(~x) richtig: Das Grundgesetz~K = md~v/dt gilt in gleicher Form in allen Inertialsystemen, d. h. allen Ko-ordinatensystemen, die durch die Galileitransformation (1.16)verknupft sind.

Page 15: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

1.5 Schwere Teilchen 15

Der Grund fur die Invarianz (Unveranderlichkeit) des Grundgesetzes unter derGalileitransformation ergibt sich aus folgender Uberlegung: einerseits ist die Be-schleunigung eines Teilchens in allen Inertialsystemen gleich. Wenn wir namlichin (1.16)~x und ~x′ als zeitabhangige Ortsvektoren eines Teilchens ansehen, so gilt

d2~x

dt2=

d2~x′

dt2+

d2

dt2(~x(0) + ~v(0)t) =

d2~x′

dt2.

Andererseits sind Große und Richtung der an einem Punkt im Raum auf dasTeilchen wirkenden Kraft ~K(~x) unabhangig davon, ob wir den Raumpunkt mitKoordinaten bezuglich S oder bezuglich S′ versehen.

Die Invarianz des Grundgesetzes unter der Galileitransformation (1.16)ist ei-ne wichtige Symmetrieeigenschaft des Grundgesetzes (1.5). Sie beinhaltet auchdas wohlbekannte Additionsgesetz fur Geschwindigkeiten. Hat ein Teilchen imSystem S′ zu einem bestimmten Zeitpunkt die Geschwindigkeit ~v′ und bewegtsich S′ relativ zu S gleichformig mit ~u, so hat das Teilchen in S die Geschwin-digkeit

~v = ~v′ + ~u .

Abbildung 1.1

Empirisch ist das soeben besprochene Additionstheorem fur Geschwindig-keiten genau wie das Newtonsche Grundgesetz schon abgesichert. Allerdingsnur fur Teilchen- und Relativgeschwindigkeiten, die allesamt klein gegenuberder Lichtgeschwindigkeit c ≈ 300 000 km/s sind. Sobald Geschwindigkeiten imSpiel sind, die betragsmaßig auch nur einige Prozent von c betragen, werden so-wohl das Vektoradditionsgesetz fur Geschwindigkeiten wie auch das NewtonscheGrundgesetz unrichtig. Die dann an ihre Stelle tretenden Gesetze besprechenwir im Kapitel 9. Vorlaufig beschranken wir uns auf den

”nichtrelativistischen“

Newtonschen Grenzfall |~v|/c¿ 1.

1.5 Schwere Teilchen

Die Wanderer und Bergsteiger unter Ihnen kennen den Unterschied zwischenleichten und schweren Rucksacken. Verschiedene Teilchen erfahren an der Erd-oberflache eine verschiedene Schwerkraft. Im durch die Abbildung 1.5 beschrie-benen Gedankenexperiment lasst sich die

”Schwere“ eines Korpers quantitativ

erfassen.

Je schwerer ein an einer Feder aufgehangter Korper ist, desto weiter dehnt sichdieselbe aus. Nach geeigneter Eichung der Feder kann der Betrag der auf einen

Page 16: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

16 1 Masse

Abbildung 1.2

aufgehangten Korper wirkenden Schwerkraft aus der Verlangerung ∆z der Federabgelesen werden.

Die Schwerkraft, die ein Probekorper an der Erdoberflache erfahrt, ist stetszum Erdmittelpunkt hin gerichtet. Ihre Richtung andert sich, wenn der fragli-che Probekorper auf der Erdoberflache bewegt wird. Folglich ist die Schwerkraftnicht eine Eigenschaft des Probekorpers allein, sondern eine gemeinsame Eigen-schaft desselben und der ihn anziehenden Erde.

Um die Schwere eines Probekorpers als richtungsunabhangige Eigenschaftseiner selbst zu charakterisieren, wird der Begriff der schweren Masse eingefuhrtdurch

mschwer ∼ | ~Kschwer| . (1.17)

Wenn die schwere Masse in kg und die Schwerkraft | ~Kschwer| in Newton(1 N = 1 kg ·m · s−2) gemessen werden, so ergibt sich der Proportionalitatsfaktor

g = | ~Kschwer|/mschwer (1.18)

aus Messungen an der Erdoberflache zu

g = 9, 81m·s−2 . (1.19)

Allerdings verkleinert sich der Proportionalitatsfaktor fur wachsende Entfernungvom Erdmittelpunkt.

Sie haben die Anziehungskraft zwischen zwei Teilchen mit den schwerenMassen mschwer und Mschwer im Labor gemessen und das beruhmte NewtonscheGravitationsgesetz gefunden. Dieses besagt:

- Die beiden Teilchen ziehen sich gegenseitig an.

- Die beiden Anziehungskrafte sind betragsmaßig gleich (actio = reactio)und einander entgegengerichtet; ihre Richtungen sind parallel zur Verbin-dungslinie der (Schwerpunkte der) Teilchen.

Page 17: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

1.5 Schwere Teilchen 17

- Der Betrag der Gravitationskraft ist proportional zu den beiden schwerenMassen,

| ~K ∼ mschwer und | ~K| ∼Mschwer

- Mit wachsender Entfernung r der beiden Teilchen nimmt der Betrag derGravitationskraft ab, u. z. umgekehrt proportional zum Quadrat der Ent-fernung,

| ~K| ∼ 1

r2.

Insgesamt lasst sich der Betrag der Gravitationskraft ausdrucken als

| ~K| = GmschwerMschwer

r2, (1.20)

wobei

G = 6, 67× 10−11Nm2 kg−2 (1.21)

die so genannte Gravitationskonstante ist.Jeder Korper ist zugleich trage und schwer. Die Tragheit wird quantifiziert

durch die trage Masse, die Schwere durch die Masse. Warum tragen beideGroßen den Namen Masse? Die Antwort begrundet sich in einem Messergebnis,das zuerst von Galilei (1564 - 1642) gefunden und seither immer wieder mitwachsender Genauigkeit nachgepruft wurde: Das Verhaltnis von schwerer Masseund trager Masse ist fur alle Teilchen gleich. Der Zahlenwert des Verhaltnisseshangt von der Wahl der Einheiten ab, hat also keine physikalische Bedeutung.Es ist ublich, sowohl mschwer als auch mtrage in kg zu messen. Dann gilt

mschwer = mtrage (1.22)

und daher heißen beide Großen Masse. Meistens spricht man undifferenziert vonder Masse eines Korpers, ohne besonders hervorzuheben, ob jeweils die Tragheitoder die Schwere des Korpers zur Debatte steht.

Die Gleichheit von schwerer und trager Masse ist, nach unserem heuti-gen Verstandnis der Materie, von fundamentalerer Bedeutung als die beidenNewtonschen Gesetze ~K = md~v/dt und K = GmM/r2. Ersteres gilt nurnaherungsweise fur Teilchen mit v ¿ c, letzteres nur naherungsweise fur Teil-chen mit hinreichend kleinen Massen in hinreichend großen Entfernungen von-einander. Der Planet Merkur merkt im Perihel (Punkt kleinsten Abstands zurSonne) seiner Bahn eine Abweichung der Anziehungskraft der Sonne von die-sem Gesetz. Einstein folgerte aus mschwer = mtrage eine Gravitationstheorie, dieallgemeine Relativitatstheorie, die genauer ist als das Newtonsche Gesetz.

Page 18: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

18 1 Masse

Page 19: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

Kapitel 2

Schwingungen

2.1 Der harmonische Oszillator

Betrachten wir ein Teilchen der Masse m, das langs einer Geraden beweglichund durch eine harmonische Ruckstellkraft an eine Gleichgewichtslage gebundenist. Wenn wir die Auslenkung des Teilchens aus der Gleichgewichtslage mit derKoordinate x parametrisieren, so kommt die Harmonizitat der Ruckstellkraftzum Ausdruck in der Linearitat der Kraft

K = −kx (2.1)

in der Auslenkung x. Der Proportionalitatsfaktor k wird zuweilen als Kraftkon-stante bezeichnet und ist als positiv definiert. Das Minuszeichen im Kraftgesetz(2.1) zeigt somit an, dass die Kraft der Auslenkung stets entgegenwirkt undtatsachlich eine Ruckstellkraft ist.

Fur das in Rede stehende Teilchen gibt das Newtonsche Gesetz ~K = md~v/dtals Bewegungsgleichung die so genannte Schwingungsgleichung

md2x

dt2= −kx , (2.2)

aus der wir nun die Bahnkurve x(t) gewinnen wollen. Mit Hilfe von

ω2 = k/m (2.3)

und d2x/dt2 = x bringen wir die Bewegungsgleichung (2.2) zunachst in dieschonere Form

x+ ω2x = 0 . (2.4)

Eine Losung der Differentialgleichung (2.4) lasst sich sofort angeben,

x(t) = 0 . (2.5)

19

Page 20: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

20 2 Schwingungen

Sie entspricht dem Ruhezustand des Teilchens in der Gleichgewichtslage undheißt die triviale Losung. Es muss zwei linear unabhangige nichttriviale Losungengeben, da die Differentialgleichung (2.4) von zweiter Ordnung ist. Ein moglichesPaar solcher Losungen ist sinωt und cosωt. Wegen der Linearitat der Bewe-gungsgleichung gilt das Superpositionsprinzip. Die allgemeinste Losung ergibtsich daher als die Schwingung

x(t) = a cosωt+ b sinωt . (2.6)

Die beiden Integrationskonstanten a und b konnen durch Anfangsbedingun-gen festgelegt werden, z. B. durch die anfangliche Auslenkung x(0) und dieanfangliche Geschwindigkeit x(0). Dann entsteht aus (2.6)

x(t) = x(0) cosωt+1

ωx(0) sinωt. (2.7)

Wir konnen auch die Additionstheoreme fur Sinus und Kosinus benutzenund schreiben

x(t) = xmax cos(ωt− ϕ) (2.8)

und die beiden Integrationskonstanten xmax, ϕ durch x(0) und x(0) ausdrucken.Dabei finden wir fur die Amplitude xmax der Schwingung

xmax =√x(0)2 + (x(0)/ω)2 (2.9)

und fur die Phase ϕ

tanϕ = x(0)/ωx(0) . (2.10)

Es ist fur viele, vor allem rechnerische Zwecke bequem, statt mit cosωtund sinωt mit Exponentialfunktionen zu arbeiten. Setzen wir zur Losung derGleichung (2.4) an

x(t) = eλt , (2.11)

so erhalten wir aus (2.4) die Forderung

(λ2 + ω2) eλt = 0 . (2.12)

Der Ansatz (2.11) fuhrt offenbar zu Losungen fur λ = ±iω. Diese lauten e±iωt,oder linear kombiniert,

x(t) = A e−iωt +B e−iωt . (2.13)

Page 21: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

2.2 Der Energieeigensatz 21

Die beiden Integrationskonstanten A und B lassen sich wieder durch x(0) undx(0) ausdrucken

x(t) =1

2

(x(0)− i

ωx(0)

)e iωt +

1

2

(x(0) +

i

ωx(0)

)e−iωt

=1

2

(x(0)− i

ωx(0)

)e iωt + c.c. . (2.14)

Offensichtlich gilt A = B∗, und das muss auch so sein, damit x(t) reell bleibt.Mit Hilfe von

eiα = cosα+ i sinα (2.15)

lasst sich die Losung (2.14) wieder auf die Form (2.7) oder (2.8) zuruckfuhren.

2.2 Der Energieeigensatz

Anstatt Losungen der Schwingungsgleichung zu raten oder durch Exponen-tialansatze zu suchen, konnen wir sie auch durch zweimaliges Integrieren kon-struieren. Dabei finden wir nicht nur die bekannten Losungen, sondern auch,nach einer Integration, einen der wichtigsten Satze der Physik, den Energieer-haltungssatz.

Multiplizieren wir namlich beide Seiten der Schwingungsgleichung (2.2) mitder Geschwindigkeit x, so lasst sich die entstehende Gleichung,

mxx+ kxx = 0 , (2.16)

als das Verschwinden einer totalen Zeitableitung schreiben,

d

dt

(1

2mx2 +

1

2kx2)

= 0 . (2.17)

Folglich bleibt die Große

1

2mx2 +

1

2kx2 = E ≥ 0 , (2.18)

die Energie des Oszillators, zeitlich konstant. Sie besteht aus zwei nichtnegati-ven additiven Anteilen, der kinetischen Energie

T =m

2x2 (2.19)

und der potenziellen Energie

U =k

2x2 . (2.20)

Page 22: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

22 2 Schwingungen

Wenn U zunimmt, d. h. wenn die Auslenkung |x| wachst, muss T abnehmen,d. h. die Geschwindigkeit |x| sich verkleinern, U ist maximal, Umax = E, wennT = 0, d. h. wenn das Teilchen ruht. Ein solcher Momentanzustand liegt immerin den Umkehrpunkten

±x = xmax =√

2E/k (2.21)

vor. Dagegen hat die Geschwindigkeit den Maximalwert

±x = xmax =√

2E/m (2.22)

jedesmal, wenn das Teilchen die Gleichgewichtslage bei x = 0 durchlauft, denndort hat die potenzielle Energie den kleinstmoglichen Wert U = 0 Abbildung(2.1).

Die potenzielle Energie lasst sich durch die Kraft ausdrucken und umgekehrt.Sie verifizieren leicht, dass die Kraft der negativen Ableitung der potenziellenEnergie gleich ist,

K = −kx = − d

dx

(k

2x2)

= − d

dxU , (2.23)

Abbildung 2.1

und die potenzielle Energie dem negativen Integral uber die Kraft,

Page 23: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

2.3 Der Energiesatz fur beliebige konservative Krafte 23

U = +

x∫

0

dx′kx′ =1

2kx2 = −

x∫

0

dx′K(x′) . (2.24)

Man sagt auch, dass beim Vergroßern von x gegen die Kraft K Arbeit geleistetwird. Dabei wird die Arbeit als potenzielle Energie gespeichert.

Die Begriffsbildungen Energie, kinetische Energie und potenzielle Energiewerden wir spater vertiefen. Vorlaufig konzentrieren wir uns auf die Aufgabe,die Bahnkurve x(t) des Oszillators zu konstruieren. Zu diesem Zweck losen wirden Energiesatz (2.18) nach der Geschwindigkeit auf,

x(t) =

√2

m

(E − k

2x2)

=dx

dt, (2.25)

und integrieren. Wir erhalten

x(t)∫

x(0)

dx√2m

(E − k

2 x2) =

t∫

0

dt = t , (2.26)

wobei jetzt x(0) als zweite Integrationskonstante neben E auftritt. Gleichfallsmoglich und sogar ein wenig bequemer ist es, statt der anfanglichen Auslenkungx(0) die großte Amplitude, xmax =

√2E/k, als Integrationskonstante zu wahlen

und einen der (∞ vielen) Zeitpunkte, an denen x = +xmax vorliegt, als tmax zubezeichnen. Mit Hilfe von ω =

√k/m erhalten wir dann statt (2.26)

x(t)∫

+xmax

dx√x2max − x2

= ω(t− tmax) . (2.27)

Das links stehende Integral hat den Wert − arccos (x(t)/xmax). Damit ist dieaus 2.1 bekannte Losung

x(t) = xmax cosω(t− tmax) (2.28)

wiedergefunden. Diesmal, wohlgemerkt, nicht durch gescheites Raten sonderndurch direkte Integration der Bewegungsgleichung.

2.3 Der Energiesatz fur beliebige konservativeKrafte

Beim Integrieren der Bewegungsgleichungmx+kx = 0 zum Energiesatz E =mx/2 + kx2/2 war gar nicht wesentlich, dass die Kraft linear in x ist; vielmehrnur, dass K = K(x) nur von x abhangt und nicht etwa auch von x, x etc.Krafte, die eindeutige Funktionen einer Koordinate x sind, heißen konservativ(konservativ = erhaltend; Energieerhaltung). Wirkt eine beliebige derartigeKraft auf ein Teilchen, so lautet die Newtonsche Bewegungsgleichung

Page 24: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

24 2 Schwingungen

mx−K(x) = 0 . (2.29)

Durch Multiplikation mit der Geschwindigkeit x entsteht hieraus

mxx− xK(x) = 0 . (2.30)

Schreiben wir die Kraft als negative Ableitung einer Funktion U(x)

K(x) = − d

dxU(x) = −U ′(x) , (2.31)

so lasst sich (2.30) offenbar wieder als der Erhaltungssatz

d

dt

(1

2mx2 + U(x)

)= 0 (2.32)

oder

1

2mx2 + U(x) = const = E (2.33)

schreiben. Dabei ist U(x) die potenzielle und T = 12 mx

2 wieder die kinetischeEnergie.

Wie schon beim harmonischen Oszillator erlaubt der Energiesatz (2.33) vorjeder weiteren Rechnung qualitative Einblicke in den Ablauf der Bewegung desTeilchens. Wenn etwa die potenzielle Energie den in Abbildung 2.2 skizziertenVerlauf hat, so gilt fur die Energie

E ≥ Umin , (2.34)

da die kinetische Energie nicht negativ sein kann. Durch den Wert der Energiesind zwei Umkehrpunkte x1(e) und x2(E) festgelegt, in denen das Teilchenmomentan ruht und die die Aufenthaltsmoglichkeit des Teilchens einschranken,

x1(E) ≤ x ≤ x2(E) . (2.35)

Die Teilchenkoordinate schwingt dann zwischen den beiden Umkehrpunkten hinund her. Allerdings verlauft die Schwingung nicht harmonisch, d. h. sinus-oder kosinusformig mit einer Frequenz ω, es sei denn, U(x) habe genau dieForm einer quadratischen Parabel. Man spricht von einer nichtlinearen oderanharmonischen Schwingung.

Die Berechnung der Bahnkurve x(t) kann fur die nichtlineare Schwingungbis auf eine Quadratur genauso durchgefuhrt werden wie fur die harmonischeSchwingung. Durch Auflosen des Energiesatzes (2.33) nach der Geschwindigkeiterhalten wir wieder (2.25), also

Page 25: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

2.3 Der Energiesatz fur beliebige konservative Krafte 25

Abbildung 2.2

dx

dt= ±

√2

m(E − U(x)) (2.36)

und hieraus durch Integration nach der Zeit

t = ±√m

2

∫dx (E − U(x))

−1/2+ const . (2.37)

Zur Gewinnung der Bahnkurve ist nur die eine in (2.37) offene Quadratur aus-zufuhren.

Fur die Dauer einer Schwingung ergibt sich aus (2.37) das Resultat

T =

√m

2

x2∫

x1

dx(E − U(x))−1/2 −x1∫

x2

dx (E − U(x))−1/2

=√2m

x2∫

x1

dx (E − U(x))−1/2

. (2.38)

Im allgemeinen wird die Dauer einer nichtlinearen Schwingung von der EnergieE abhangen. Als kleine Ubung bleibt Ihnen, durch Ausfuhren des Integralsin (2.38) fur den Fall der harmonischen Bindung, U = kx2/2, das altbekannteResultat T = 2π

√m/k = 2π/ω zu gewinnen. Beachten Sie, dass T in diesem

Spezialfall von der Energie E der Schwingung (u. somit auch von der Schwin-gungsamplitude) unabhangig ist.

Page 26: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

26 2 Schwingungen

Die eben gegebene Diskussion lasst sich leicht verallgemeinern auf potenzielleEnergien U(x), die komplizierter verlaufen als in Abbildung 2.2 veranschaulicht.Ein interessanter Fall ist in Abbildung 2.3 dargestellt.

Abbildung 2.3

Wenn die Energie des Teilchens wie in der Skizze eingetragen im Intervall

U2 < E < U4 (2.39)

liegt, so kann sich das Teilchen wegen E = T + U ≥ U im Bereich

x1 ≤ x ≤ x3 (2.40)

aufhalten und dort eine nichtlineare Schwingung der oben beschriebenen Artausfuhren; es kann sich aber auch im nach rechts unbegrenzten Intervall

x5 ≤ x <∞ (2.41)

befinden und wird sich dann fur t→∞ ins Unendliche verfluchtigen.Zur Ubung bleibt Ihnen die qualitative Diskussion der Teilchenbahn in den

Fallen E > U4, E = U4, E ≤ U2. Im ubrigen sollten Sie auch bei Ihrer nachstenFahrt auf der Achterbahn an den Energiesatz denken.

2.4 Der gedampfte harmonische Oszillator

Nicht alle Krafte sind konservativ. Als ein Beispiel einer nichtkonservativenKraft betrachten wir die in der Teilchengeschwindigkeit lineare Reibungskraft

~K = −α~x , α > 0 . (2.42)

Derartige Reibungskrafte wirken z. B. auf makroskopische Korper, die sich durchviskose Flussigkeiten bewegen.

Page 27: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

2.4 Der gedampfte harmonische Oszillator 27

Zur Illustration behandeln wir hier den Einfluss der Reibung auf die eindi-mensionale harmonische Schwingung. Wenn wir neben einer linearen Ruckstell-kraft auch die Reibungskraft (2.41) in Rechnung stellen, so finden wir als New-tonsche Bewegungsgleichung eines Teilchens der Masse m

mx+ αx+ kx = 0 . (2.43)

Da nun die gesamte auf das Teilchen wirkende Kraft geschwindigkeitsabhangigist, gilt der Energiesatz in der bisherigen Form nicht mehr. Anfanglich imOszillator steckende Energie geht demselben im Laufe der Zeit verloren: eingedampft schwingendes Pendel kommt nach einer Weile zur Ruhe. Sie wissen,dass die Oszillatorenergie in Warme verwandelt wird, d. h. sich in ungeordneterBewegung der Teilchen im reibenden Medium wiederfindet. Wir werden diesenDissipationsprozess in 2.13 im Einzelnen diskutieren.

Da die Bewegungsgleichung (2.43) linear ist, lasst sie sich ebenso wie die desungedampften harmonischen Oszillators in 2.1 durch den Exponentialansatz

x(t) = eλt (2.44)

losen. Fur den Parameter λ erhalten wir aus (2.43) die Forderung (die Sakular-gleichung)

mλ2 + αλ+ k = 0 , (2.45)

die durch die beiden Werte (die Eigenwerte)

λ± = −α

2m±√( α

2m

)2− k

m

(2.46)

befriedigt wird. Bequemlichkeitshalber fuhren wir wieder die Frequenz der un-gedampften Schwingung

ω0 =

√k

m(2.47)

ein und zusatzlich die so genannte Dampfungskonstante

γ =α

2m. (2.48)

Damit schreiben sich die beiden Eigenwerte

λ± = −γ ±√γ2 − ω20 . (2.49)

Die beiden gefundenen Losungen (2.44) mit (2.49) der Bewegungsgleichung(2.43) ergeben nach Superposition die allgemeine Losung

x(t) = Ae−(γ−√γ2−ω2

0)t +Be−(γ+√γ2−ω2

0)t . (2.50)

Page 28: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

28 2 Schwingungen

Die beiden Integrationskonstanten A und B konnen ahnlich wie in 2.1 durch An-fangsbedingungen festgelegt, also etwa durch die anfangliche Auslenkung x(0)und die anfangliche Geschwindigkeit x(0) wie folgt ausgedruckt werden

A =

[x(0) + x(0)

(γ +

√γ2 − ω20

)]/2√γ2 − ω20

B =

[−x(0)− x(0)

(γ −

√γ2 − ω20

)]/2√γ2 − ω20 . (2.51)

Der gedampfte Oszillator verhalt sich qualitativ verschieden, je nachdem ob dieDampfungskonstante γ kleiner, gleich oder großer ist als die Frequenz∗) ω0 derungedampften Schwingung. Im Fall schwacher Dampfung, γ < ω0, werden λ±komplex, d. h. in

√γ2 − ω20 = i

√ω20 − γ2 ≡ iω (2.52)

ist dann ω eine reelle Frequenz. Die Losung (2.50) beschreibt eine gedampfteSchwingung,

x(t) = (A e+iωt +B e−iωt)e−γt . (2.53)

Beachten Sie, dass der oszillatorische Faktor in (2.53) harmonisch schwingtmit der Frequenz ω, die von der Eigenfrequenz ω0 bei Abwesenheit von Dampfungverschieden ist. Die Benennung des Parameters γ als Dampfungskonstante ruhrtgenau daher, dass die Losung (2.53) zeitlich exponentiell abklingt, u. z. auf einerZeitskala 1/γ. Die Zeit 1/γ wird auch als Abklingzeit bezeichnet.

Im so genannten Fall der Uberdampfung, γ > ω0, sind beide Eigenwerteλ± reell. Nach hinreichend langer Zeit wird die Losung (2.50) dabei wegen|λ−| < |λ+| dominiert durch den ersten Summanden,

x(t)→ A e−(γ−√λ2−ω2

0)t . (2.54)

Bei starker Uberdampfung, γ À ω0, lasst sich λ− durch wenige Glieder einerPotenzreihe in (ω0/γ) approximieren,

−λ− = γ

(1−

√1− ω20/γ2

)

≈ γ

(1− 1 +

1

2

ω20γ2

. . .

)

≈ ω20/2γ . (2.55)

Da nun 1/|λ−| die Bedeutung einer Abklingzeit hat, sehen wir interessanterweisedieselbe mit wachsendem γ wachsen.

∗)Frequenz bedeutet hier immer das 2π-fache der inversen Schwingungsdauer

Page 29: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

2.5 Resonanz 29

Im Fall der kritischen Dampfung, γ = ω0 fallen die beiden Eigenwerte λ+und λ− zusammen. Der Exponentialansatz (2.44) ergibt somit nur eine Losungder Bewegungsgleichung. Eine zweite, linear unabhangige muss existieren, da(2.43) eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ist. Wir verifizieren sie leichtals te−γt und konnen die allgemeine Losung dann wieder durch Superpositionder beiden Partikularlosungen angeben als

x(t) = (a+ bt)e−γt . (2.56)

Beim Bau von Messinstrumenten mit schwingungsfahigen Zeigern wird oftdie kritische Dampfung eingestellt, um zu erreichen, dass der Zeiger schnellst-moglich auf zeitliche Anderung der zu messenden Große antwortet. Wir hattenoben (s. (2.55)) gesehen, dass die Abklingzeit des Oszillators im Grenzfall großerDampfung mit γ wachst wie 2γ/ω2

0 ; im Grenzfall kleiner Dampfung betragt abergemaß (2.53) die Abklingzeit 1/γ und wachst zu großen Werten mit γ → 0; diekleinstmogliche Abklingzeit ergibt sich gerade fur γ = ω0. Abbildung 2.4 zeigtdas Produkt der Abklingzeit τ mit der Frequenz ω0 als Funktion von γ/ω0 undmacht das Argument sinnfalliger.

Abbildung 2.4

2.5 Resonanz

Manchmal finden Sie im Wald morsche Baume, die sich von Hand fallenlassen. Mit gleichmaßigem Drucken oder Ziehen gelingt es zwar nicht, wohlaber mit rhythmischem Drucken und Ziehen im Takt einer

”Eigenfrequenz“ des

Baumes.

Um die Theorie dieses Resonanzphanomens abzuhandeln, berucksichtigen wirin der Bewegungsgleichung des Oszillators neben der Ruckstell- und der Rei-bungskraft eine außere zeitlich periodische monochromatische Kraft gemaß

mx+ 2mλx+mω20x = F (t) = F1 cosω1t . (2.57)

Aus Bequemlichkeit losen wir diese Gleichung in komplexer Form, d. h. su-chen zunachst die Losung ξ(t) der Differentialgleichung

Page 30: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

30 2 Schwingungen

Abbildung 2.5

mξ + 2mγξ +mω20ξ = F1 eiω1t (2.58)

und nehmen von der Losung den Realteil. Dieser lost die ursprungliche Glei-chung (2.57), denn (2.58) lautet

(m

d2

dt2+ 2mγ

d

dt+mω20

)(Re ξ(t) + i Im ξ(t)

)= F1 cosω1t+ iF1 sinω1t ,

(2.59)und die Gleichheit zweier komplexer Zahlen ist gegeben bei Gleichheit ist ge-geben bei Gleichheit der Real- und Imaginarteile. Es lohnt sich, komplex zurechnen, da Exponentialfunktionen einfachere Differentialregeln haben als Si-nus und Kosinus.

Gleichung (2.58) ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung, deren all-gemeine Losung sich durch Superposition einer beliebigen Partikularlosung derinhomogenen Gleichung mit der allgemeinen Losung der zugehorigen homoge-nen Gleichung ergibt. Eine Partikularlosung der inhomogenen Gleichung findenwir durch den Exponentialansatz

x(t) = a1 ei(ω1t−ϕ1) (2.60)

mit der reellen Amplitude a1 und der Phase ϕ1. Dieser Ansatz liegt nahe, dennwenn Sie mit der Frequenz ω1 am Baum rutteln, so sollte er auch mit dieserFrequenz schwingen. Tragen wir den Ansatz in die Bewegungsgleichung (2.58)ein, so erhalten wir die Forderung

(−mω21 + i2mγω1 +mω20) a1 ei(ω1t−ϕ1) = F1 e

iω1t (2.61)

Offenbar lasst sich diese Forderung erfullen, wenn die komplexe Amplitudea1e−iϕ1 zu

a1 e−iϕ1 =F1/m

ω20 − ω21 + i2γω1(2.62)

Page 31: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

2.5 Resonanz 31

gewahlt wird. Hiermit sind die Phase ϕ1 und die reelle Amplitude a1 festgelegtals

a1 = a1(ω1) =F1/m√

(ω20 − ω21)2 + 4γ2ω21(2.63)

und

tanϕ1 = tanϕ1(ω1) =2γω1ω20 − ω21

. (2.64)

Die allgemeine Losung von (2.58) lautet nun, mit zwei beliebigen reellen Inte-grationskonstanten a und ϕ,

ξ(t) = ae−iϕ e(iω−γ)t + a1 e−iϕ1 eiω1t , (2.65)

denn der erste Summand ist genau die im letzten Paragrafen diskutierte allge-meine Losung der homogenen Schwingungsgleichung mit

ω =√ω20 − γ2 . (2.66)

Der Realteil x(t) = Reξ(t) ist die gesuchte allgemeine Losung von (2.57). Erhat die Form

x(t) = a cos(ωt− ϕ)e−γt + a1 cos(ω1t− ϕ1) . (2.67)

Beachten Sie, dass die hier additiv auftretende freie gedampfte Schwingungnach hinreichend langer Zeit abgeklungen ist, wahrend die erzwungene Schwin-gung der außeren periodischen Einwirkung unentwegt folgt. Diese andauerndeerzwungene Schwingung will ich Ihnen noch in Einzelheiten erlautern.

Die Amplitude a1 = a1(ω1) ist proportional zu F1/m, d. h. um so großer,je weniger trage das schwingende Teilchen und je großer die Amplitude dererzwungenen Kraft F1 sind. Sie konnen letzteres Resultat als die Feststellunglesen, dass sich mit Bulldozern fast jeder Baum umreißen (ω1 = 0) lasst. Einengroßeren morschen Baum merklich aus der Ruhestellung auszulenken oder ihngar zu fallen, gelingt Ihnen aus eigener Kraft i. Allg. jedoch nur, wenn Sie dieFrequenzabhangigkeit der Amplitude a1(ω1) ausnutzen. Diskutieren wir dieseAbhangigkeit fur den Fall schwacher Dampfung γ ¿ ω0.

Die maximale Antwort a1(ω1) des Oszillators stellt sich bei festenWerten vonγ und ω0 fur diejenige Frequenz ω1 der außeren Storung ein, bei der da1/dω1 = 0und d2a1/dω

21 < 0 ist. Aus (2.63) finden wir diese Resonanzfrequenz zu

ωres = (ω20 − 2γ2)1/2 ≈ ω0 − γ2/ω0 . (2.68)

Ebenso wie die Eigenfrequenz (2.66) der freien ungedampften Schwingung liegtdie Resonanzfrequenz ωres nahe der Eigenfrequenz ω0 des freien konservativenOszillators,

ωres ≈ ω0 − γ2/ω0 <∼ ω ≈ ω0 − γ2/2ω0 ∼< ω0 , (2.69)

Page 32: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

32 2 Schwingungen

falls die Dampfung im Sinne von γ ¿ ω0 sehr schwach ist. An der Resonanz-frequenz hat die Schwingungsamplitude den Wert

a1,max =F1

2mωγ, (2.70)

der fur kleine Dampfung sehr groß sein kann; so groß, dass die Resonanzkata-strophe eintritt und der Baum aus den Wurzeln gerissen wird; jedenfalls vielgroßer als die Antwort auf eine statische außere Storung

a1(ω1 = 0) =F1mω20

. (2.71)

Um ein Maß fur die Scharfe der Resonanz zu erhalten, konnen wir nachden Frequenzen fragen, fur die die Amplitude a1(ω1) auf das (1/

√2)-fache des

Maximums (2.70) abgefallen ist. Die Forderung a1(ω) = a1,max/√2 fuhrt auf

eine quadratische Gleichung mit den Wurzeln

ω2 = ω20 − 2γ2 ± 2γω0

√1− γ2/ω20 (2.72)

≈ ω20(1± 2γ/ω0) ,

also

ω ≈ ω0 ± γ . (2.73)

Die Breite der”Resonanzkurve“ a1 = a1(ω1) ist also im betrachteten Grenzfall

proportional zur Dampfungskonstanten und somit klein im Vergleich zur Reso-nanzfrequenz selbst. Die Abbildung 2.6 zeigt den Verlauf der Resonanzkurve.

Abbildung 2.6

Page 33: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

2.6 Antwort auf beliebige periodische Anregung (Fourierreihen) 33

Fur die Phase ϕ1 zwischen der außeren Kraft und der Antwort des Oszillatorsfinden wir aus (2.64) fur Frequenzen weit unterhalb der Resonanz den kleinenWert

ϕ1 ≈2γω1ω20 − ω21

¿ π

2fur ω0 − ω1 À γ ; (2.74)

also schwingt der Oszillator dabei praktisch in Phase mit der außeren Kraft. Furω1 = ω0 ist die Phase ϕ1 auf den Wert π/2 angewachsen und fur Frequenzenweit oberhalb der Resonanz schwingt der Oszillator praktisch im Gegentakt zuraußeren Kraft, d. h. es gilt

ϕ1 ∼< π fur ω1 − ω0 À γ (2.75)

Die Abbildung 2.7 macht deutlich, dass sich der Phasensprung von Null nach πinnerhalb eines Frequenzintervalls der Großenordnung γ vollzieht. Fur die Beob-achtung dieses Phasensprungs sowie der vorher besprochenen Resonanzphanomeneim Labor (lieber doch nicht im Wald!) wunsche ich Ihnen viel Spaß.

Abbildung 2.7

2.6 Antwort auf beliebige periodische Anregung(Fourierreihen)

Im letzten Paragrafen hatten wir nur monochromatische außere Storungenbetrachtet. Jetzt will ich die Untersuchung ausdehnen auf Krafte, die zwarzeitlich periodisch sind mit der Periode τ gemaß

F (t) = F (t+ τ) (2.76)

die aber nicht notwendig monochromatisch schwingen wie ei2πt/τ . Die Antwortx(t) des Oszillators auf derartige außere Krafte finden wir leicht, wenn wir nur

Page 34: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

34 2 Schwingungen

beachten, dass sich eine Funktion f(t) mit der Periodizitat (2.76) immer ∗) durcheine Summe monochromatischer Funktionen, die Fourierreihe

F (t) =∑

n=0,±1,±2,...

Fn einΩt , Ω =2π

τ(2.77)

mit geeigneten Koeffizienten Fn darstellen lasst. Die Fourierkoeffizienten Fnsind durch die Funktion F (t) eindeutig festgelegt. Um sie zu konstruieren,multiplizieren wir beide Seiten von (2.77) mit eimΩt, integrieren uber die Zeitvon 0 bis τ und beachten die fur ganzzahlige m und n gultige Regel

1

τ

τ∫

0

dt ei(n−m)Ωt = δnm =

1 fur n = m0 fur n 6= m .

(2.78)

Es ergibt sich

Fm =1

τ

τ∫

0

dt e−imΩtF (t) . (2.79)

Nach den Uberlegungen des 2.5 ruft eine auf den Oszillator einwirkende KraftFne

inΩt die Antwort

x(t) =Fne

inΩt

m(ω20 − n2Ω2 + i2γnΩ)(2.80)

hervor. Wegen der Linearitat der Schwingungsgleichung

m(x+ 2γx+ ω20x) = F (t) (2.81)

lasst sich die Losung derselben bei Vorliegen der außeren Kraft (2.77) durchSuperposition der Antworten (2.80) auf die monochromatischen BestandteileFne

inΩt konstruieren. Sie lautet also, unter Einschluss des Einschwingungsvor-gangs,

x(t) =∑

n=0,±1,±2,...

Fnm

(ω20 − n2Ω2 + i2γnΩ)−1einΩt + a cos(ωt− ϕ)e−γt (2.82)

mit ω = (ω20−γ2)1/2. Bis auf den zeitlich abklingenden Einschwingungsvorgang

ist diese Losung offenbar auch periodisch mit der Periode τ = 2π/Ω.Zu einer gegebenen periodischen außeren Kraft F (t) sind nur die Fourier-

koeffizienten Fn aus (2.79) zu bestimmen, damit die allgemeine Losung (2.82)der Schwingungsgleichung (2.81) explizit angegeben werden kann. Wenn eine(und nur eine!) der Frequenzen nΩ nahe bei der Resonanzfrequenz ωres des Os-zillators liegt, so wird die Fourierreihe (2.82) vom entsprechenden Summanden

∗)Die Theorie der Fourierreihen ersetzt”immer“ durch Forderungen an die Funktion F (t),

die ich im folgenden als erfullt ansehe.

Page 35: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

2.7 Antwort auf beliebige Anregung 35

dominiert, da alle anderen Koeffizienten Fm betragsmaßig viel kleiner sind alsder zur Resonanz gehorige.

Wurden Sie ubrigens auch brummig reagieren, wenn man Ihnen MozartsKleine Nachtmusik uber einen

”Lautsprecher“ vorspielte, der bei 60 Hertz eine

nur schwach gedampfte Eigenschwingung aufweist?

2.7 Antwort auf beliebige Anregung

Auch bei Vorliegen einer beliebigen nichtperiodischen außeren Kraft F (t)konnen wir die Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators,

x+ 2γx+ ω20x = F (t)/m , (2.83)

losen durch Superposition der Antworten auf monochromatische Krafte. Zudiesem Zweck mussen wir zunachst die Kraft F (t) durch ein Fourierintegral

F (t) =

+∞∫

−∞

2πeiΩtF (Ω) (2.84)

darstellen. Wir hatten die Antwort x(Ω)eiΩt auf die monochromatische KraftF (Ω)eiΩt in 2.6 gefunden,

x(Ω)eiΩt =F (Ω)/m

ω20 − Ω2 + i2γΩeiΩt , (2.85)

wobei der Einschwingvorgang nicht mit aufgeschrieben ist. Mit Hilfe des Su-perpositionsprinzips erhalten wir die Antwort auf die Uberlagerung (2.84) vonmonochromatischen Kraften als

x(t) =

+∞∫

−∞

2πeiΩt

F (Ω)/m

ω20 − Ω2 + i2γΩ. (2.86)

Zur Auswertung der Losung (2.86) bei vorgegebener Kraft F (t) muss zunachstdie Fouriertransformierte F (Ω) bestimmt und dann das Integral in (2.86) be-rechnet werden. Ich verzichte hier auf die Darlegung der erforderlichen mathe-matischen Techniken zugunsten der physikalisch durchsichtigeren Konstruktioneiner zu (2.86) aquivalenten Losung der Bewegungsgleichung (2.83).

Denken wir uns unser schwingungsfahiges Teilchen zu einem Anfangszeit-punkt t0 bei x = 0 ruhend und dann einemKraftstoß ausgesetzt, d. h. einer KraftF (t0), die nur innerhalb einer kurzen Zeitspanne ∆t von t0 bis t0+∆t von Nullverschieden und innerhalb dieses Intervalls konstant ist. Fur das nachfolgendeArgument sind von Interesse die Auslenkung x(t0+∆t) und die Geschwindigkeitx(t0 +∆t) am Ende des Kraftstoßes.

Indem wir x(t) um die Zeit t = t0 in eine Taylorreihe entwickeln,

x(t) = x(t0) + x(t0)(t− t0) +1

2x(t0)(t− t0)2 + . . . , (2.87)

Page 36: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

36 2 Schwingungen

und hier die zur Zeit t0 gestellten Anfangsbedingungen eintragen,

x(t) =1

2x(t0)(t− t0)2 + . . . , (2.88)

erkennen wir, dass x(t0 +∆t) von der Ordnung (∆t)2 und die Geschwindigkeitx(t0 +∆t) von der Ordnung ∆t sind,

x(t0 +∆t) =1

2x(t0)(∆t)

2 + . . .

x(t0 +∆t) = x(t0)∆t+ . . . . (2.89)

Die hier eingehende anfangliche Beschleunigung ist aber durch die Schwin-gungsgleichung (2.83) zu x(t0) = F (t0)/m festgelegt, so dass wir unter Ver-nachlassigung von Gliedern quadratischer und hoherer Ordnung in ∆t am Endedes Kraftstoßes haben

x(t0 +∆t) = 0

x(t0 +∆t) =F (t0)∆t

m. (2.90)

Nach Beendigung des Kraftstoßes schwingt der Oszillator frei. Aus (2.51,2.53) finden wir das spatere Verhalten (fur γ < ω0) zu

x(t) =F (t0)∆t

mωe−γ(t−t0−∆t) sinω(t− t0 −∆t) fur t ≥ t0 +∆t (2.91)

mit

ω =√ω20 − γ2 . (2.92)

Da wir bereits Fehler der Ordnung (∆t)2 in Kauf genommen haben, durfen wirim gewonnenen Ausdruck fur x(t) die Zeit t− t0−∆t durch t− t0 ersetzen, ohneweitere Genauigkeitsverluste zu erleiden.

Nicht zu vergessen ist, dass das Resultat (2.91) gewonnen wurde unter derBedingung x(t0) = x(t0) = 0. Fur den Fall, dass zu Beginn des Kraftstoßesdie Auslenkung x(t0) und die Geschwindigkeit x(t0) nichtverschwindende Wertehaben, zeigt eine geringfugige modifizierte Uberlegung, die ich Ihnen zur Ubunguberlasse, dass sich (2.91) ersetzt durch

x(t) =F (t0)∆t

mωe−γ(t−t0) sinω(t− t0) + . . . . (2.93)

Das Symbol . . . steht hierin sowohl fur Korrekturglieder von hoherer alserster Ordnung in ∆t wie fur eine von der außeren Kraft F (t0) unabhangige,durch x(t0) und x(t0) festgelegte freie gedampfte Schwingung.

Page 37: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

2.7 Antwort auf beliebige Anregung 37

Wegen der Linearitat der Schwingungsgleichung (2.38) kann nun ohne wei-tere Rechnung auch die Antwort des Oszillators auf eine Folge von n nichtuberlappenden Kraftstoßen des beschriebenen Typs angegeben werden. DurchUberlagerung der Antworten auf alle dem Zeitpunkt vorausgehenden Kraftstoßeerhalten wir fur den Zeitraum nach Ende des letzten die Gesamtantwort zurZeit t

x(t) =

n−1∑

ν=0

F (tν)∆t

mωe−γ(t−tν) sinω(t− tν) . (2.94)

Dabei durfen die Kraftstoße untereinander verschiedene Starken F (tν) haben,sind aber alle als zeitlich gleich lang angenommen. Etwaige dem Zeitpunkt tnachfolgende außere Kraftstoße konnen zur Zeit t noch nicht beantwortet seinund treten daher in (2.94) nicht auf.

Ein Blick auf Abbildung 2.8 zeigt, dass sich jede zur Zeit t0 angeschalteteund anschließend vernunftig verlaufende außere Kraft F (t) durch eine stuckweisekonstante

”Treppe“, also eine Folge von n aneinander grenzenden Kraftstoßen

approximieren lasst.

Abbildung 2.8

Fur große Werte von n = (tn − t0)/∆t wird die Antwort (2.94) auf die Kraft-stoßfolge die Antwort auf die außere Kraft F (t) gut annahern. Im Grenzfallbeliebig feiner Unterteilung der außeren Kraft in Kraftstoße sollte die exakteAntwort entstehen. Aus (2.94) entsteht fur n→∞ bei ∆t→ 0 das Integral

x(t) =

t∫

t0

dt′F (t′)G(t− t′) (2.95)

mit der Antwortfunktion

G(t) =

1mω e

−γt sinωt fur t > 0.

0 fur t < 0(2.96)

Beim Aufschreiben der Antwortfunktion habe ich nochmals die oben ange-sprochene Kausalitat zum Ausdruck gebracht: die Antwort G(t − t′) auf einenKraftstoß zur Zeit t′ kann erst nach dem Kraftstoß auftreten. Wegen dieser

Page 38: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

38 2 Schwingungen

Kausalitat und da die außere Kraft als fur t < t0 verschwindend angenommenwurde, kann die Antwort (2.95) auch in der Form

x(t) =

+∞∫

−∞

dt′G(t− t′)F (t′) (2.97)

notiert werden.Die allgemeine Losung der Schwingungsgleichung (2.83) erhalten wir, wenn

wir auf der rechten Seite von (2.95) eine beliebige freie gedampfte Schwingungentsprechend der allgemeinen Losung der zu (2.83) gehorigen homogenen Glei-chung hinzufugen. Letztere beschreibt einen von der außeren Kraft F (t) un-abhangigen Einschwingvorgang.

Die Antwort (2.95) ist aquivalent zur Losung (2.86), die wir durch Superposi-tion der Antworten auf monochromatische Krafte erhalten hatten. Uberzeugenwir uns davon, indem wir die Fourierdarstellung (2.84) der Kraft in (2.95) ein-tragen

x(t) =

+∞∫

−∞

dt′+∞∫

−∞

2πeiΩt

F (Ω)G(t− t′)

=

+∞∫

−∞

2πF (Ω) eiΩt

+∞∫

−∞

dt′ e−iΩ(t−t′)G(t− t′)

+∞∫

−∞

2πF (Ω) G(Ω)eiΩt (2.98)

mit

G(Ω) =

+∞∫

−∞

dt e−iΩt G(t) . (2.99)

Das Zeitintegral (2.99) ist aber leicht auszufuhren und ergibt

G(Ω) =1

m(Ω2 − ω20 + 2iγΩ)−1 . (2.100)

Damit ist (2.98) auf die Form (2.86) gebracht.Halten wir nochmals fest, dass die außere Kraft F (t) sowohl durch Su-

perposition monochromatischer Krafte gemaß (2.84) wie durch eine Folge vonKraftstoßen dargestellt werden kann. Je nach Darstellung ergibt sich die Ant-wort x(t) des Oszillators als Uberlagerung der Antworten auf monochromatischeStorungen bzw. auf Kraftstoße. Wegen der gezeigten Aquivalenz konnen wir dieWahl der Darstellung immer nach Bequemlichkeit treffen. Mathematisch weni-ger aufwendig und physikalisch durchsichtiger, also in der Tat bequemer, ist derGebrauch der Darstellung (2.95).

Page 39: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

2.8 Idealisierter Kraftstoß (Deltafunktion) 39

2.8 Idealisierter Kraftstoß (Deltafunktion)

Der oben eingefuhrte Begriff des Kraftstoßes erlaubt eine Idealisierung, dieuns im folgenden immer wieder Nutzen bringen wird. Nehmen wir an, einendlicher Kraftstoß, der in geeigneten Einheiten die Große 1 habe, werde inverschwindender Zeit ∆t ubertragen, d. h.

1 = lim∆t→0

F ·∆t . (2.101)

Es muss dann offenbar F wie 1/∆t nach ∞ gehen (Abbildung 2.9)

Abbildung 2.9

Man schreibt einen solchen zur Zeit t0 erfolgenden Kraftstoß als F (t) = δ(t− t0)und versteht unter der Deltafunktion δ(t) die Vorschrift (a,b)

(a) δ(t− t0) =

1ε fur t0 − ε

2 < t < t0 +ε2

0 fur |t− t0| > ε/2(2.102)

(b) man fuhre den Grenzwert ε→ 0 aus, aber immererst, nachdem Integrale uber t ausgefuhrt sind.

Lassen Sie mich diese Vorschrift illustrieren, indem ich zunachst das Zeit-integral der Deltafunktion bestimme. Schon ohne Rechnung ist auf Grund derobigen Einfuhrung klar, dass es den Wert 1 haben muss,

+∞∫

−∞

dt δ(t− t0) =+∞∫

−∞

dtδ(t) =

+ε/2∫

−ε/2

dt1

ε= 1 . (2.103)

Zur weiteren Illustration betrachten wir das Integral+∞∫−∞

dt δ(t − t0)f(t) fur

eine beliebige ∗) Funktion f(t). Die folgende kleine Rechnung, die u.a. die

∗)Die Theorie der Distributionen ersetzt”beliebige “ durch genaue Forderungen, die ich im

folgenden stillschweigend als erfullt ansehe.

Page 40: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

40 2 Schwingungen

Taylorentwicklung der Funktion f(t) um die Stelle t0 benutzt, vollziehen Siehoffentlich ohne Muhe nach:

+∞∫

−∞

dt δ(t− t0)f(t0) =+∞∫

−∞

dt δ(t)f(t0 + t)

=

+ε/2∫

−ε/2

dt1

εf(t0 + t) =

+1/2∫

−1/2

dtf(t0 + εt)

=

+1/2∫

−1/2

dt[f(t0) + εtf ′(t0) +O(ε2)] = f(t0) +O(ε) = f(t0) ,

also

+∞∫

−∞

dtf(t)δ(t− t0) = f(t0) . (2.104)

Beachten Sie, dass die Deltafunktion eine Vorschrift ist, mit Integralen umzuge-hen und nicht eine gewohnliche Funktion. Nach einem wohlbekannten elemen-taren Satz der Integralrechnung kann namlich eine gewohnliche Funktion, dieuberall außer an einem Punkt verschwindet, keine von Null verschiedene Flachemit der Abszisse einschließen.

In erster Anwendung des neu gewonnenen Begriffs der Deltafunktion werfenwir einen Blick zuruck auf den einer beliebigen Kraft F (t) ausgesetzten Oszil-lator. In der Bewegungsgleichung

x+ 2γx+ ω20x =

1

mF (t) =

∫dt′δ(t− t′) 1

mF (t′) (2.105)

betrachten wir die außere Kraft F (t) gemaß der Identitat (2.104) als eine kon-tinuierliche Folge von deltafunktionsartigen Kraftstoßen. Die Antwort auf F (t)ist dann die Superposition von Antworten auf den Einheitskraftstoß δ(t − t′).Letztere sind gerade durch die Antwortfunktion G gegeben, die der folgendenDifferentialgleichung genugt.

G(t, t′) + 2γ G(t, t′) + ω20G(t, t′) =

1

mδ(t− t′)

=1

m

1ε fur (t− t′) < ε

2

0 fur (t− t′) > ε2 .

(2.106)

Wir hatten in (2.7) gezeigt, dass fur hinreichend kleines ε (dort ∆t genannt)die Antwortfunktion die Form

G(t, t′) = G(t− t′)

G(t) =

1mω e−γt sinωt t > 0

0 t < 0(2.107)

Page 41: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

2.8 Idealisierter Kraftstoß (Deltafunktion) 41

hat. Die Gesamtantwort des Oszillators ergab sich dann zu

x(t) =

+∞∫

−∞

dt′G(t− t′)F (t′) . (2.108)

Die obige Definition (2.102) der δ-Funktion macht von einem rechteckigenKraftstoß Gebrauch. Das ist nicht notig. Andere Darstellungen sind beliebtund nutzlich, z. B. die folgende Gaußdarstellung

δ(x) =e−x

2/ε

√πε

und ε→ 0 nach Ausfuhrung von Integralen . (2.109)

Auch hier gilt die wichtige Identitat (2.104), wie eine zur obigen ahnliche Rech-nung zeigt:

+∞∫

−∞

dxe−(x−x0)

2/ε

√πε

f(x) =

+∞∫

−∞

dxe−x

2/ε

√πε

f(x0 + x)

=

+∞∫

−∞

dx1√π

e−x2

f(x0 +√εx)

=

+∞∫

−∞

dxe−x

2

√π

(f(x0) +

√εxf ′(x0) + 0(ε)

)

= f(x0) +O(√

ε)

= f(x0) nach ε→ 0 .

Noch beliebter als diese Gaußdarstellung ist die Fourierintegraldarstellung

δ(x) =

+∞∫

−∞

dk

2πe(ikx−ε|k|)

=1

[ ∞∫

0

dk e(ix−ε)k +

0∫

−∞

dk e(ix+ε)k

]

=1

( −1ix− ε +

+1

ix+ ε

)(2.110)

= − 1

ix+ ε− ix+ ε

−x2 − ε2 =1

π

ε

x2 + ε2.

Manchmal spart man sich bei dieser Fourierdarstellung auch, ε hinzuschreiben,

Page 42: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

42 2 Schwingungen

δ(x) =

+∞∫

−∞

dk

2πeikx . (2.111)

Gelegentlich werden wir die Darstellung

δ(x) =1

π

sin(x/ε)

x(2.112)

benotigen. Der Nachweis der Eigenschaft (2.104) erfolgt ahnlich wie bei denobigen Beispielen. Qualitativen Einblick in den Verlauf der in (2.112) definiertenFunktion erhalten wir, wenn wir bei endlichem ε den Grenzubergang x → 0durchfuhren; der anschließende Ubergang ε → 0 gibt eine Divergenz, δ(0) ∼1/πε; andererseits oszilliert (1/x) sin(x/ε) als Funktion von x bei x 6= 0 furε → 0 so schnell um Null herum, dass jedes Integral uber x, welches die Stellex = 0 nicht uberstreicht, im Grenzfall ε→ 0 verschwindet.

Bei kunftigen Anwendungen mussen Sie, wie bereits oben betont, immer imAuge behalten, dass die Deltafunktion eine Vorschrift zum Umgang mit Inte-gralen ist und keineswegs eine gewohnliche Funktion. Allerdings werden Siefeststellen, dass man mit der Deltafunktion weitgehend umgehen kann wie miteiner normalen Funktion mit dem Vorbehalt, dass die ublichen Rechenoperatio-nen nur unter dem Schutz von Integralen Sinn ergeben.

2.9 Zwei gekoppelte harmonische Oszillatoren

Ich will Ihnen nun Schwingungen in einem System mit zwei Freiheitsgradenvorstellen. Betrachten wir dazu zwei Teilchen der Massen m1 und m2,

Abbildung 2.10

die, wie in Abbildung 2.10 gezeigt, an drei (masselos gedachte) Federn gekop-pelt und langs einer Geraden beweglich sind. Die Teilchen haben kraftefreieGleichgewichtslagen x10 bzw. x20 und erfahren bei Auslenkung aus denselbenum qi = xi−xi0 lineare Ruckstellkrafte. Wenn wir der Einfachheit halber allenKraftkonstanten den gleichen Wert k geben∗), so lautet die Kraft auf das ersteTeilchen

K1 = −k(x1 − x10)− k(x1 − x10 − x2 + x20) = −2kq1 + kq2 (2.113)

∗)Im Fall verschiedener Kraftkonstanten treten Schwebungsphanomene auf, die Sie im Laboranschauen sollten.

Page 43: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

2.9 Zwei gekoppelte harmonische Oszillatoren 43

und die auf das zweite

K2 = −k(x2 − x20) + k(x1 − x10 − x2 + x20 = kq1 − 2kq2 .

Zur weiteren Vereinfachung wahlen wir beide Massen als gleich m. Wir erhaltendann die Newtonschen Bewegungsgleichungen

mq1 + 2kq1 − kq2 = 0

mq2 + 2kq2 − kq1 = 0 . (2.114)

Diese linearen Differentialgleichungen mit zeitunabhangigen Koeffizienten konnenmit dem Exponentialansatz

(q1(t)q2(t)

)=

(a1a2

)eiωt (2.115)

gelost werden. Sowohl die Frequenz ω als auch die beiden Amplituden a1 unda2 sind dabei offen. Durch Eintragen des Ansatzes in die Bewegungsgleichungen(2.114) erhalten wir fur die drei Unbekannten die beiden linearen homogenenGleichungen (mit ω2

0 = k/m)

(−ω2 + 2ω20)a1 −ω20a2 = 0

−ω20a1 + (−ω2 + 2ω20)a2 = 0 .(2.116)

Nichttriviale Losungen fur die ai konnen nur auftreten, wenn die Determinantedes Gleichungssystems verschwindet, d. h. wenn die Frequenz ω die Sakularglei-chung

(−ω2 + 2ω20)2 − ω40 = 0 (2.117)

befriedigt. Letztere ist eine quadratische Gleichung fur ω2 mit den beidenLosungen

ω21 = 3ω20

ω22 = ω20 . (2.118)

Die Frequenzen ω1 =√3 ω0 und ω2 = ω0 heißen Eigenfrequenzen des Systems

der gekoppelten Teilchen. Um die Art der zugehorigen Eigenschwingungen zuerkennen, mussen wir die beiden Amplituden a1a und a2a fur a = 1 (zu ω1) unda = 2 (zu ω2) suchen.

Fur die Eigenschwingung mit Frequenz ω1 ergibt sich aus (2.116)

a11 = −a21 (2.119)

und fur die Eigenschwingung mit Frequenz ω2

Page 44: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

44 2 Schwingungen

a12 = a22 . (2.120)

Beachten Sie, dass bei jeder Eigenschwingung nur das Verhaltnis der Amplitu-den a1/a2 festgelegt ist, die Amplituden a1 und a2 selbst also nur bis auf einengemeinsamen Faktor, der die Starke der Anregung der Eigenschwingung angibt;dieser Faktor ist aus der Anfangsbedingung zu bestimmen.

Die erste Eigenschwingung lautet, mit beliebig komplexer Amplitude A1,

(q11q21

)=

(−11

)A1 e

iω1t +A∗1 e−iω1t

, (2.121)

Da q11(t) = −q21(t), konnen wir diese Eigenschwingung antisymmetrisch nen-nen; die beiden Massen schwingen im Gegentakt. Die zweite Eigenschwingung,mit beliebig komplexer Amplitude A2,

(q12q22

)=

(11

)A2 eiω2t +A∗2 e−iω2t

, (2.122)

konnen wir wegen q12 = q22 symmetrisch nennen; die beiden Massen schwingenhier im Takt mit konstantem x12 − x22.

Nicht zufallig ist ω1 =√3 ω0 > ω2 = ω0. Bei der antisymmetrischen Eigen-

schwingung schwingen die beiden Massen unter Deformation aller Federn, beider symmetrischen Eigenschwingung hingegen so, dass die mittlere Feder nichtdeformiert wird; also sieht jede Masse bei der antisymmetrischen Schwingungeine steifere Umgebung als bei der symmetrischen Schwingung. Je großer aberdie Steifheit, desto großer die Frequenz.

Die allgemeine Losung lautet gemaß dem Superpositionsprinzip

(q1(t)q2(t)

)= A1

(−11

)eiω1(t) +A2

(11

)eiω2t + c.c. . (2.123)

Die beiden komplexen Integrationskonstanten A1 und A2 entsprechen vier reel-len Parametern und konnen durch Anfangsbedingungen festgelegt werden.

Keineswegs ohne Grund sind die Eigenfrequenzen ω1 und ω2 reell. Der phy-sikalische Grund ist, dass wir keine Reibungskrafte zugelassen und somit einexponentielles Abklingen von q1(t) und q2(t) ausgeschlossen haben. Daher soll-te auch die Energie der beiden Teilchen zeitlich erhalten bleiben. Tatsachlichfinden wir den Energiesatz ganz ahnlich wie fruher bei Systemen mit einem Frei-heitsgrad. In (2.114) multiplizieren wir beide Seiten der Bewegungsgleichung desi-ten Teilchens mit der Geschwindigkeit qi

mq1 q1 + 2kq1 q1 − kq1 q2 = 0

mq2 q2 + 2kq2 q2 − kq2 q1 = 0 . (2.124)

Durch Addition der linken Seiten finden wir, dass die Zeitableitung der Große

Page 45: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

2.10 Der mechanische Energiesatz fur Systeme vieler Teilchen 45

E =m

2q21 +

m

2q22 + k(q21 + q22 − q1q2) (2.125)

verschwindet, E selber also zeitlich erhalten bleibt. E heißt die Energie desSystems, und die beiden Bestandteile

T =m

2(q21 + q22)

U = k(q21 + q22 − q1q2) (2.126)

sind offenbar sinnvoll als kinetische bzw. potenzielle Energie benannt.Beachten Sie, dass sich die kinetische Energie aus den kinetischen Energien

der beiden Teilchen additiv zusammensetzt und dass die potenzielle Energie Uquadratisch in den Auslenkungen q1 und q2 ist. Die Kraft auf das i-te Teilchenergibt sich aus U zu

Ki = −∂U

∂qi. (2.127)

Die Krafte K1 und K2 verschwinden fur die Ruhelagen, qi = 0. Die potenzielleEnergie U hat fur q1 = q2 = 0 ein Minimum, denn U(0, 0) = 0 und

U(q1, q2) = k(q22 + q22 − q1 q2) = k

∣∣∣∣∣q1 − q21 + i√3

2

∣∣∣∣∣

2

≥ 0 . (2.128)

2.10 Der mechanische Energiesatz fur Systemevieler Teilchen

N Teilchen in drei Raumdimensionen haben 3N Freiheitsgrade, denen wir diekartesischen Koordinaten x1, y1, z1, x2, y2, z2, . . . , xN , yN , zN zuordnen konnen.Wir nummerieren die Koordinaten als qν mit ν = 1, 2, . . . , 3N und die Krafte~Fi entsprechend als Fν (z. B. q5 = y2).

Es seien die Krafte als partielle Ableitung einer potenziellen Energie dar-stellbar,

Fν(q) = −∂

∂qνU(q) . (2.129)

Spater untersuchen wir, unter welchen Bedingungen sich die Fν so darstellen las-sen. Erst zeigen wir, dass bei Gultigkeit von (2.129) immer ein ErhaltungssatzT + U = E = const gilt. Dazu benutzen wir die Newtonschen Bewegungsglei-chungen

mν qν = Fν(q) = −∂U(q)

∂qν(2.130)

Page 46: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

46 2 Schwingungen

Hier multiplizieren wir mit der Geschwindigkeit qν und summieren uber ν. Dielinke Seite der entstehenden Gleichung,

ν

mν qν qν +∑

ν

qν∂U

∂qν= 0 , (2.131)

lasst sich wieder als die Zeitableitung der Gesamtenergie schreiben

d

dt

(∑

ν

2q2ν + U(q)

)=

d

dt(T + U) = 0 . (2.132)

Im Gegensatz zum Fall eines Teilchens in einer Raumdimension erlaubt die-ser Energiesatz naturlich nicht, die Bahnkurven qν(t) alle festzulegen.

Unter welchen Bedingungen kann nun die ν-te Kraft Fν(q) dargestellt werdenals Fν = −∂U/∂qν mit einer eindeutigen potenziellen Energie U(q)? Notwendigist die aus

Fν = − ∂U

∂qν, Fµ = − ∂U

∂qµ. (2.133)

durch Differenziationen entstehende Bedingung

∂Fν∂qµ

=∂Fµ∂qν

= − ∂2U

∂qν ∂qµ. (2.134)

Diese Bedingung ist aber auch hinreichend, wie folgendes Argument zeigt. Be-trachten Sie die beiden 3N -Tupel von Koordinaten

q10 = x0, q20 = y0, qν0 fur ν 6= 1, 2

und

q1 = x, q2 = y, qν = qν0 fur ν 6= 1, 2

Damit U(q) bei festem (3N)-Tupel qν0 eine eindeutige Funktion des 3N -Tupels qν ist, muss gleichgultig sein, auf welchem

”Weg“ von qν0 nach qν man,

gegen die Krafte Fν Arbeit leistend, die potenzielle Energie andert. Wahlen wirinsbesondere die beiden in (Abbildung 2.11) gezeigten stuckweise achsenparal-lelen Wege in der q1 − q2 − Ebene.

Langs derselben werden die Arbeiten

(∆U)Weg1 = −x∫

x0

dq1 F1(q1, y0)−y∫

y0

dq2 F2(x, q2)

bzw.

Page 47: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

2.10 Der mechanische Energiesatz fur Systeme vieler Teilchen 47

Abbildung 2.11

(∆U)Weg2 = −y∫

y0

dq2 F2(x0, q2)−x∫

x0

dq1 F1(q1, y)

geleistet. Fragen wir nun nach Bedingungen fur das Verschwinden der Differenz

(∆U)Weg1 − (∆U)Weg2 = −∫ x

x0

dq1(F1(q1, y0)− F1(q1, y))

−∫ y

y0

dq2(F2(x, q2)− F2(x0, q2)) (2.135)

Sei insbesondere qν so nahe bei qν0, dass die Krafte F1 und F2 mit ausreichenderGenauigkeit in Taylor-Reihen um x0, y0 herum entwickelt werden konnen,

Fi(q1, q2) = Fi(x0, y0) +∂Fi(x0, y0)

∂x0(q1 − x0) +

∂Fi(x0, y0)

∂y0(q2 − y0) + . . . .

(2.136)

Bis auf Korrekturen dritter Ordnung in den Koordinatendifferenzen ergibt sichnun fur die Differenz (2.135)

(∆U)Weg1 − (∆U)Weg2 = +

x∫

x0

dq1∂F1(q1, y0)

∂y0(y − y0)

−y∫

y0

dq2∂F2(x0, q2)

∂x0(x− x0)

=

(∂F1(x0, y0)

∂y0− ∂F2(x0, y0)

∂x0

)(x−x0)(y−y0) + . . . .

(2.137)

Page 48: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

48 2 Schwingungen

Aus (2.137) ist offenbar, dass die Bedingung (2.134) hinreicht, um die Wegun-abhangigkeit von ∆U = U(qν)− U(qν0) zu garantieren.

Krafte, die die Bedingung (2.134) erfullen, heißen auch wirbelfrei. Sie lassensich immer durch Ableitungen einer potenziellen Energie darstellen.

2.11 Schwingungen von mehreren Freiheitsgra-den

Wir verallgemeinern hier das in 2.9 behandelte System zweier Teilchen aufN identische Teilchen, die durch Federn an Ruhelagen xi0 gebunden und langsder Richtung der Federn beweglich sind Abbildung (2.12).

Abbildung 2.12

Bei den Auslenkungen qi = xi − xi0 sollen die Teilchen in diesen Auslenkungenlineare Ruckstellkrafte erfahren, so dass die potenzielle Energie,

U =1

2

N∑

i,j=1

kij qi qj , (2.138)

quadratisch in den qi ist. Die hier auftretende Kraftkonstantenmatrix kannoffenbar symmetrisch gewahlt werden,

kij = kji . (2.139)

Im ubrigen fordern wir von der Matrix kij , dass die potenzielle Energie (2.138)fur beliebige Auslenkungen nichtnegativ ist. Wegen U(0) = 0 hat dann diepotenzielle Energie ein Minimum, wenn jedes Teilchen in seiner kraftefreienGleichgewichtslage sitzt.

Auf das i-te Teilchen wirkt, wenn es aus seiner Gleichgewichtsposition aus-gelenkt ist, die Kraft (in x-Richtung, nur eine Raumdimension ist zugelassen!)

Ki = −∂U

∂qi= −

N∑

j=1

kij qj , (2.140)

so dass die N Bewegungsgleichungen lauten

mqi +

N∑

j=1

kij qj = 0 ; (2.141)

Page 49: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

2.11 Schwingungen von mehreren Freiheitsgraden 49

dabei ist m die Masse jedes Teilchens. Wegen der Linearitat der Bewegungs-gleichungen und der zeitlichen Konstanz der Masse und Kraftkonstanten findenwir die Losung wie immer durch einen Exponentialansatz

qi = ai eiωt . (2.142)

Die Bewegungsgleichungen geben, da eiωt sich heraushebt, N homogene Glei-chungen fur die Amplituden ai,

−mω2ai +N∑

j=1

kij aj = 0 ,

oder, mit dem Kronecker Delta,

δij =

1 i = j0 i 6= j ,

(2.143)

N∑

j=1

(kij −mω2δij)aj = 0 . (2.144)

Den Spezialfall N = 2 (mit kij = ?) hiervon kennen wir aus 2.9. Nicht-triviale Losungen fur die Amplituden ai gibt es nur, wenn die Determinanteverschwindet,

det(kij −mω2δij) = 0 . (2.145)

Diese Sakulargleichung ist eine GleichungN -ter Ordnung fur ω2 mitN Losungenω2α. Die N Losungen konnen je nach Beschaffenheit der Matrix kij teilwei-se ubereinstimmen; der Einfachheit halber verlange ich jedoch von den Kraft-konstanten, dass die ω2

α alle verschieden sind. Jedenfalls sind alle ω2α positiv,

denn komplexe Frequenzen ωα wurden Widerspruche zum Energieerhaltungs-satz bringen.

Zur α-ten Eigenfrequenz ±ωα gibt es einen Satz von Amplituden aiα, deraus (2.144) bis auf einen konstanten Faktor bestimmt werden kann; dieser kon-stante Faktor bestimmt die Starke der α-ten Eigenschwingung und ist durchAnfangsbedingungen festzulegen. Ohne Einschrankung der Allgemeinheit kannder α-te Satz von Amplituden aiα (der α-te Eigenvektor mit Komponenten aiα)als reell gewahlt und normiert werden durch die Verfugung

N∑

i=1

aiαaiα = 1 . (2.146)

Somit sind alle N Eigenvektoren zu reellen Einheitsvektoren geworden.Mit Hilfe der jetzt eindeutig gemachten reellen aiα konnen wir die α-te Ei-

genschwingung angeben als

qi(t) = aiα(Aα eiωαt +A∗α e

−iωαt) (2.147)

Page 50: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

50 2 Schwingungen

mit beliebig komplexen Aα. Die allgemeinste Losung finden wir durch Super-position

qi(t) =

N∑

α=1

aiα(Aα eiωαt +A∗α e

−iωαt) . (2.148)

Die N komplexen Integrationskonstanten Aα sind durch Anfangsbedingungenfestzulegen, z. B. durch die N anfanglichen Geschwindigkeiten qi(0) und Nanfanglichen Auslenkungen qi(0).

Die Bestimmung der Integrationskonstante Aα aus den Anfangsbedingungenwird rechnerisch enorm bequem, wenn wir ausnutzen, dass die N Eigenvektorenaiα orthogonal aufeinander sind gemaß

N∑

i=1

aiαaiβ = δαβ =

1 α = β0 α 6= β .

(2.149)

Die Orthogonalitat folgt aus der Eigenwertgleichung (2.144) durch folgende Be-trachtung. Multiplizieren wir die beiden in (2.144) gleichgesetzten Vektoren

j

kij ajα = mω2αaiα , (2.150)

skalar mit dem β-ten Eigenvektor aiβ ,

ij

aiβ kij ajα = mω2α∑

i

aiβ aiα . (2.151)

Eine ahnliche Gleichung,

ij

aiα kij ajβ = mω2β∑

i

aiα aiβ , (2.152)

folgt, wenn (2.150) fur den β-ten Eigenvektor aufgeschrieben und mit dem α-tenEigenvektor skalar multipliziert wird. Subtraktion von (2.151) und (2.152) gibt

m(ω2β − ω2α)∑

i

aiα aiβ =∑

ij

(aiβ kij ajα − aiαkijajβ) .

Durch Umbenennung der Summationsindizes gemaß i ↔ j im zweiten Sum-manden und nach Beachtung der Symmetrie kij = kji sehen wir, dass die rechteSeite verschwindet. Also gilt auch

(ω2β − ω2α)∑

i

aiα aiβ = 0 . (2.153)

Da die Eigenfrequenzen alle als voneinander verschieden angenommen sind,folgt, dass das Skalarprodukt des α-ten mit dem β-ten Eigenvektor verschwindenmuss, also gerade die Orthogonalitat (2.149).

Page 51: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

2.12 Erzwungene Schwingungen von mehreren Freiheitsgraden 51

Jetzt legen wir die Integrationskonstanten Aα durch die anfanglichen Aus-lenkungen qi(0) und Geschwindigkeiten qi(0) fest. Aus der allgemeinen Formder Losung (2.147) folgt

qi(0) =∑

β

aiβ(Aβ +A∗β) (2.154)

qi(0) =∑

β

aiβ iωβ(Aβ −A∗β) .

Multiplizieren wir in beiden Gleichungen skalar mit dem α-ten Eigenvektor αiα,so folgt aus der Orthogonalitat (2.149) und der Normierung (2.146)

Aα +A∗α =∑

j

ajα qj(0)

Aα +A∗α =∑

j

1

iωαajαqj(0)

oder, nach Aα aufgelost,

Aα =∑

j

ajα1

2

(qj(0)−

i

ωαqj(0)

). (2.155)

Damit lautet die Losung unseres Anfangswertproblems

qi(t) =∑

α

ajα1

2

j

ajα

(qj(0)−

i

ωαqj(0)

)eiωat + c. c. . (2.156)

Ein hochst interessanter Spezialfall ist dieser: Sei am Anfang nur ein Teil-chen, etwa das k-te, ausgelenkt, mit qk(0) = Q, qk(0) = 0, wahrend alle anderenanfanglich in ihren Gleichgewichtslagen ruhen sollen. Zu spateren Zeiten gehtdie ausgezeichnete Rolle des k-ten Teilchens verloren; alle Teilchen geraten inBewegung gemaß

qi(t) = Q∑

α

aiαakα cosωαt . (2.157)

Wenn die Eigenfrequenzen ωα keine rationalen Verhaltnisse zueinander haben,ist die Schwingung i. A. nicht periodisch.

2.12 Erzwungene Schwingungen von mehrerenFreiheitsgraden

Wir betrachten wieder N gleich kollinear harmonisch schwingende Teilchenwie in 2.11, lassen nun aber auch eine außere zeitabhangige Kraft Fi(t) auf dasi-te Teilchen zu, so dass die Bewegungsgleichungen lauten

Page 52: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

52 2 Schwingungen

mqi +N∑

j=1

kij qj = Fi(t) . (2.158)

Die Antwort auf diese außeren Krafte wird am bequemsten mit Hilfe derAmplituden der Eigenschwingung angegeben. Zerlegen wir den Vektor qi(t)nach den in 2.11 eingefuhrten normierten und untereinander orthogonalen Ei-genvektoren aiα der ungestorten Schwingung gemaß

qi(t) =∑

α

aiαΘα(t) (2.159)

bzw.

Θα(t) =∑

j

ajα qj(t) .

Dabei ist Θα(t) die Komponente des Vektors qi langs des α-ten Einheitsvektorsaiα. Man nennt Θα(t) auch die α-te Normalkoordinate des Systems. Ganzentsprechend kann auch der Vektor Fi(t) zerlegt werden

Fi(t) =∑

α

aiα Fα(t) (2.160)

bzw.

Fα(t) =∑

j

αjαFi(t) . (2.161)

Wenn die Einheitsvektoren aiα explizit bekannt sind, konnen die KomponentenFα(t) der außeren Krafte langs der Einheitsvektoren aiα aus (2.161) berechnetwerden.

Tragen wir die Zerlegungen (2.159), (2.160) in die Bewegungsgleichung (2.158)ein, so ergeben sich fur die Normalkoordinaten die N untereinander ungekop-pelten Bewegungsgleichungen

Θβ(t) + ω2βΘβ(t) =1

mFβ(t) , (2.162)

deren jede die Bewegung eines harmonischen Oszillators der Eigenfrequenz ωβunter dem Einfluss einer außeren Kraft Fβ(t) beschreibt. Die Antwort einesharmonischen Oszillators auf eine außere Kraft ist uns aus 2.7 bekannt. DurchUberlagerung dieser Antworten gemaß (2.159) und (2.160) lasst sich die Ant-wort von qi(t) auf Fj(t) gewinnen. Die Antwort wird besonders stark ausfallenfur solche Fi(t), die große Fourierkomponenten bezuglich einer oder mehrererEigenfrequenzen ωβ haben, also in Nahe von Resonanzen liegen.

Page 53: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

2.13 Transversale Schwingungen der gespannten Saite 53

2.13 Transversale Schwingungen der gespanntenSaite

Eine Saite sei zwischen x = 0 und x = l gespannt mit der Spannkraft F undwerde seitlich, d. h. in y-Richtung ausgelenkt.

Im Gegensatz zu bisher betrachteten schwingungsfahigen Systemen habenwir es jetzt nicht mit diskreten Teilchen zu tun, sondern mit einer kontinuierli-chen Saite. Die ZahlN der Freiheitsgrade ist unendlich. Sorgen wir fur endlichesN , indem wir uns die Saite in N Stucke der Lange ∆x = l/N aufgeteilt den-ken. Die beiden Randpunkte sind fest eingespannt, wahrend die N − 1 innerenPunkte transversal beweglich sind und in sich die Masse eines Saitenstucks derLange ∆x vereinigt haben sollen (Abbildung 2.13).

Abbildung 2.13

Wenn diese Aufteilung hinreichend fein ist, wird sich das diskrete System nichterheblich vom kontinuierlichen System unterscheiden.

Die Saite sei elastisch. Beim Auslenken aus der Ruhelage yi = 0 andert sichdie Lange von l auf l+∆l. Die Verlangerung lasst sich durch die Auslenkungenyi wie folgt ausdrucken

∆l =

N∑

i=1

√(∆x)2 + (yi − yi−1)2 − l . (2.163)

Bei der Verlangerung um ∆l wird gegen die Spannkraft die Arbeit F∆l geleistet,die sich als potenzielle Energie U = F∆l in der Saite wiederfindet,

U = F

(N∑

i=1

√(∆x)2 + (yi − yi−1)2 − l

)(2.164)

= ∆xF

N∑

i=1

1 +

(yi − yi−1

∆x

)2

− 1

.

Wenn die Auslenkung klein ist, so dass die Steigung (yi−yi−1)/∆x betragsmaßigklein gegen Eins ist fur alle i, kann die Wurzel entwickelt werden,

Page 54: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

54 2 Schwingungen

U =1

2∆xF

i

(1

∆x

)2

(yi − yi−1)2 + . . . . (2.165)

Dies ist eine quadratische Form in den Auslenkungen yi mit Minimum beiyi = 0. Auf das i-te

”Teilchen“ wirkt jetzt die Kraft (in y-Richtung; bei der

betrachteten transversalen Schwingung verlassen die Teilchen ihre anfanglichenx-Koordinaten nie)

Fi = −∂U

∂yi= −∆xF

(1

∆x

)2

(2yi − yi−1 − yi+1) . (2.166)

Die Saite habe die Masse ρ pro Langeneinheit, das i-te”Teilchen“ also die

Masse mi = ρ∆x. Es gehorcht dann der Bewegungsgleichung

∆xp yi(t) + ∆xF

(1

∆x

)2

(2yi(t)− yi−1(t)− yi+1(t)) = 0

oder nach Division durch die Teilchenmasse

y1(t) +

(F

ρ

)(1

∆x

)2

(2yi(t)− yi−1(t)− yi+1(t)) = 0 . (2.167)

Die Losung dieses Problems haben wir in Abbildung 2.11 kennengelernt. Umsie explizit zu konstruieren, mussten wir die Eigenwerte mω2

α der Kraftkonstan-tenmatrix kij suchen. Das ist kein schweres Problem, da kij eine sehr einfacheStruktur hat: jedes Teilchen wechselwirkt nur mit seinen beiden Nachbarn.

Physikalisch neue Einsicht gewinnen wir, wenn wir hier den Grenzwert ∆x→0 ausfuhren und mit yi(t) → y(x, t) zur Kontinuumsbeschreibung der schwin-genden Saite ubergehen. Dazu bedenken wir

yi±1 = y(xi ±∆x) = y(xi)± y′(xi)∆x+1

2y′′(xi)∆x

2 + . . . (2.168)

und finden fur die Differenz der Auslenkungen im zweiten Term von (2.167)

2yi − yi−1 − yi+1 = −(∆x)2y′′(xi) +O((∆x)3

)(2.169)

und somit fur die Bewegungsgleichung

y(xi, t)− (F/p) [y′′(xi, t) +O(∆x)] = 0 . (2.170)

Bis auf Korrekturen von erster Ordnung in ∆x lautet die Bewegungsgleichung,wenn der Index i weggelassen und die Abkurzung

c2 = F/ρ (2.171)

eingefuhrt wird,

Page 55: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

2.13 Transversale Schwingungen der gespannten Saite 55

(∂2

∂x2− 1

c2∂2

∂t2

)y(x, t) = 0 . (2.172)

Dies ist die so genannte Wellengleichung, hier erhalten aus dem NewtonschenGrundgesetz fur diskrete Teilstucke der Saite im Grenzfall ∆l → 0. Bei derLosung beachten wir die Randbedingung

y(0, t) = y(l, t) = 0 (2.173)

und gehen im ubrigen vor wie in 2.11.Suchen wir Eigenschwingungen. Wir finden sie, da die Wellengleichung linear

ist und keine explizit zeit- und ortsabhangigen Koeffizienten enthalt, mit demExponentialansatz

y(x, t) = a(x)eiωt . (2.174)

(In 2.11 war der Teilchenindex diskret, hier ist er kontinuierlich.) Fur die Am-plitude a(x) ergibt sich die Forderung

a′′(x) +ω2

c2a(x) = 0 . (2.175)

Statt wie in 2.11 mit einem System algebraischer Gleichungen, haben wir eshier mit einer Differentialgleichung fur a(x) zu tun, die, da sie linear ist undkonstante Koeffizienten hat, ihrerseits auch mit einem Exponentialansatz gelostwerden kann,

a(x) = A eikx .

Der Parameter k bestimmt sich dann aus (2.175) zu

k = ±ω/c . (2.176)

Die Wellengleichung hat also Losungen der Form

y(x, t) = eiωt(A eiωx/c +B e−iωx/c) (2.177)

mit beliebigem ω,A,B .Die Randbedingungen schranken die Beliebigkeit ein. Wir finden mit (2.173)

A+B = 0

A eiωl/c +Be−iωl/c = 0 . (2.178)

Es folgt B = −A und sin(ωl/c) = 0. Letztere Forderung legt die Eigenfrequen-zen fest. Nur fur

Page 56: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

56 2 Schwingungen

ω = ωn = nπc/l, n = 1, 2, 3, . . . (2.179)

sind die Wellengleichungen und die Randbedingungen zugleich befriedigbar. Zurn-ten Eigenfrequenz gehort der Eigenvektor (beachte, dass der Vektor jetzt kon-tinuierlich viele, mit x nummerierte Komponenten hat)

sin(ωnx/c) = sin(knx) = an(x) . (2.180)

Die in 2.11 erklarte Orthogonalitat der Eigenvektoren ubertragt sich auch aufdie Eigenvektoren (2.180). Das Skalarprodukt zweier Eigenvektoren mit einerkontinuierlichen Gesamtheit von Komponenten wird in nahe liegender Verallge-meinerung des diskreten Falls definiert durch das Integral

l∫

0

dx an(x)an(x) . (2.181)

Fur die Eigenvektoren (2.180) hat das Skalarprodukt den Wert

l∫

0

dx sin(knx) sin(kn′x) =l

2δn,n′ . (2.182)

Demnach sind die Eigenvektoren auch zu Einheitsvektoren normierbar:√2l sin(πnx/l) ist Einheitsvektor.

Die allgemeinste Losung der Wellengleichung, die zugleich die Randbedin-gung befriedigt, erhalten wir durch Superposition der Eigenschwingungen

y(x, t) =∞∑

n=1

sin(knx)(Aneiωnt +A∗n e−iωnt) (2.183)

mit beliebig komplexen Integrationskonstanten An, die durch Anfangsbedingun-gen festgelegt werden konnen. Unter Beachtung der Orthogonalitat der Eigen-vektoren sin(knx) lassen sich die an wie in 2.11 durch die Anfangswerte y(x, 0)und y(x, 0) angeben.

Die allgemeine Losung (2.183) kann ubrigens auch in der Form

y(x, t) = f(x− ct) + g(x+ ct)

aufgeschrieben werden, wobei f und g durch die Anfangsbedingungen festgelegtsind. Aus dieser Neuformulierung lernen Sie, dass c die Bedeutung der Wellen-geschwindigkeit (hier Schallgeschwindigkeit) hat. Offenbar beschreibt f(x− ct)eine langs der x-Achse mit der Geschwindigkeit c nach rechts laufende Welle,da die Funktion f(x − ct) ein und denselben Wert hat fur alle Koordinaten xund Zeiten t, fur die das Argument x−ct konstant ist. Entsprechend beschreibtg(x+ ct) eine linkslaufende Welle.

Eine grafische Darstellung von Eigenschwingungen finden Sie in Abb. 12.2.Wundern Sie sich nur daruber, dass die Ihnen hier begegnenden Eigenschwin-gungen im dortigen quantenmechanischen Kontext wieder auftreten. Sie werden

Page 57: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

2.14 Theorie der Dampfung(Modell) 57

noch lernen, dass dabei kein Zufall waltet.

2.14 Theorie der Dampfung(Modell)

Bekanntlich ist die gedampfte Bewegung eines makroskopischen Systems dieKonsequenz der Wechselwirkung desselben mit vielen anderen, mikroskopischenSystemen. Letztere sind mit entsprechend feinen Methoden zwar auch beobacht-bar, i. Allg. jedoch nicht sichtbar auf den Langen- und Zeitmaßstaben, auf denensich ihr mittlerer Effekt auf das makroskopische System manifestiert.

Die einfachste, sehr grobschlachtige Abschatzung einer Reibungskraft ist diefolgende: Eine Kugel der Masse M mit Radius r bewege sich mit der Geschwin-digkeit v durch ein Gas, in dem sich pro Volumeneinheit ρ Atome der Mas-se m befinden. In der Zeit ∆t durchstreicht die Kugel das Volumen πr2v∆t,stoßt also gegen ρπr2v∆t-Atome. Bei jedem dieser elastischen Stoße erhaltdas gestoßene Atom, da es sehr viel leichter ist als die Kugel, einen Impulsder Großenordnung mv. Die Kugel erfahrt die entgegengesetzt gleiche Im-pulsanderung. Der einzelne Stoß hat auf die Kugel wegen m/M ≈ 10−23 keinenmerklichen Effekt, die Gesamtheit der in ∆t erfolgten Stoße aber fuhrt zur Im-pulsanderung ∆ρ = −ρπr2v∆tmv. Die sekundliche Impulsanderung ∆ρ/∆tentspricht einer Reibungskraft der Große

F = ρπr2mv2 ∼ v2 . (2.184)

Die folgende Modellrechnung wird etwas detaillierter sein als die eben vorge-stellte grobschlachtige Abschatzung. Zur Vorbereitung gebe ich eine kurze, reinmathematische Uberlegung. Betrachten Sie eine Summe vieler oszillierenderExponentialfunktionen

S(t) =

n∑

ν=1

eiωνt , (2.185)

deren Frequenzen ωv keine rationalen Verhaltnisse zueinander haben sollen.Dann ist S(t) nicht periodisch. Es seien die Frequenzen ωk so zahlreich undso dicht benachbart, dass die Summe S(t) gut durch ein Integral approximiertwerden kann. Die Zahl der ωk im Frequenzintervall ∆ω bei ω sei ρ(ω)∆ω. Danngilt

S(t) ≈+∞∫

−∞

dωρ(ω) eiωt . (2.186)

Die Koordinate zu einem makroskopischen Freiheitsgrad moge durch obige Sum-me S(t) gegeben sein. Das Auftreten der oszillierenden Terme eiωντ macht deut-lich, dass die Bewegung reversibel, d. h. ungedampft ist. Andererseits kann fursehr große N die Bewegung gedampft erscheinen, wie wir sehen, wenn wir furdie spektrale Dichte ρ(ω) der ων eine Lorentzverteilung nehmen,

S(t) ≈+∞∫

−∞

dωeiωt Nγ/π

(ω − Ω)2 + γ2= NeiΩt−γ|t| . (2.187)

Page 58: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

58 2 Schwingungen

Nach diesen Vorbemerkungen nun zum angekundigten Modell, das den mikro-skopischen Ursprung der Dampfung der Schwingung eines makroskopischen Os-zillators beschreibt.

Ein”makroskopischer“ Oszillator der Masse M und viele (N À 1)

”mikro-

skopische“ Oszillatoren der Masse m¿M seien harmonisch an Gleichgewichts-lagen q0 = 0 bzw. qν = 0 mit ν = 1, 2, . . . gebunden gemaß der potenziellenEnergie

U =1

2k0q

20 +

1

2

N∑

ν=1

kν q2ν + λ

N∑

ν=1

q0 qν . (2.188)

Das letzte Glied beschreibt eine Kopplung des makroskopischen Oszillators anseine mikroskopischen Partner. Die Kopplung sei schwach, d. h. λ ¿ k0, kν .Am Anfang, bei t = 0, sollen die mikroskopischen Oszillatoren alle in ihrenGleichgewichtslagen ruhen, wahrend der makroskopische Oszillator eine endlicheAuslenkung und verschwindende Geschwindigkeit habe.

Die zugehorigen Bewegungsgleichungen haben die Form

q0 + Ω20q0 + λ

M

∑ν qν = 0

qν + ω2νqν + λm q0 = 0

(2.189)

mit Ω20 = k0/M und ω2

ν = kν/m.

Die Kraftkonstantenmatrix

kij =

k0 fur i = j = 0kν fur i = j = ν = 1, 2, . . . Nλ/m fur i = 0, j = ν sowie i = ν, j = 00 sonst

(2.190)

ist so einfach strukturiert, dass die Eigenfrequenzen und Eigenvektoren ohneMuhe explizit angegeben werden konnen. Mit anderen Worten, man kann dieAuslenkung q0(t) des makroskopischen Oszillators explizit angeben als Funktionder anfanglichen Auslenkungen qi(0) und Geschwindigkeiten qi(0).

Den fur uns interessanten Grenzfall

λ/k0 ¿ 1 , λ/kν ¿ 1 , 1/N ¿ 1 (2.191)

beschreiben wir jedoch am bequemsten, indem wir gar nicht erst die formalexakte Losung des Problems suchen, sondern sofort die Kleinheit der angege-benen Parameter benutzen. Die entsprechende Naherungslosung, die ich nunvorstelle, ist vor allem bekannt als die Wigner-Weißkopf Losung des Problemsder naturlichen Linienbreite von Spektrallinien, also eines Problems aus derQuantenelektrodynamik.

Wir konnen die Bewegungsgleichung fur die Auslenkung des ν-ten mikro-skopischen Oszillators formal auffassen als die einer erzwungenen Schwingungmit der außeren Kraft −λq0(t). Die Losung mit der Anfangsbedingung qν(0) =qν(0) = 0 lautet (s. 2.95 und 2.96 mit γ = 0)

Page 59: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

2.14 Theorie der Dampfung(Modell) 59

qν(t) = −λ

m

t∫

0

dt′q0(t′)

sinων(t− t′)ων

= 0 . (2.192)

Dies setzen wir ein in die Bewegungsgleichung des makroskopischen Oszillatorsund erhalten

q0(t) + Ω20q0(t)−

λ2

mM

t∫

0

dt′q0(t′)

N∑

ν=1

sinων(t− t′)ων

= 0 . (2.193)

Diese Bewegungsgleichung ist insofern etwas komplizierter als die ursprungliche,als die unbekannte Auslenkung q0(t) auch unter einem Integral auftritt. Al-lerdings sind dafur die Auslenkungen der mikroskopischen Oszillatoren volligeliminiert.

Da die Kopplung des makroskopischen Oszillators an die mikroskopischenOszillatoren schwach ist, wird q0(t) nur wenig abweichen von der freien Schwin-gung, die wir fruher mit dem Ansatz q0(t) ∼ e±iΩ0t gefunden hatten als

q0(t) = q0(0) cos(Ω0t) +1

Ω0q0(0) sin(Ω0t) . (2.194)

Daher wird jetzt der Ansatz

q0(t) = a(t) eiΩ0t (2.195)

sinnvoll sein mit einer Amplitude a(t), die schwach zeitabhangig ist gemaß

|a(t)| ¿ |Ω0a(t)| . (2.196)

Fur a(t) ergibt sich mit Hilfe von

q0(t) =(a(t) + 2iΩ0a(t)− Ω2

0a(t))eiΩ0t ,

also

q0(t) + Ω20q0(t) ≈ (a+ 2iΩ0a) e

iΩ0t

≈ 2iΩ0a eiΩ0t , (2.197)

die genaherte Bewegungsgleichung

a(t) = − λ2

4mMΩ0

t∫

0

dt′ a(t−t′)∑

ν

1

ων

[ei(ων−Ω0)t

′ − e−i(ων+Ω0)t′]. (2.198)

Page 60: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

60 2 Schwingungen

Wir sehen deutlich, dass a(t) verschwindet, a(t) also zeitlich konstant wird,wenn die Kopplung ganz abgeschaltet wird. Da a(t) = 0(λ2), gilt auch a(t−t′) =a(t) + 0(λ2) und unter Inkaufnahme eines Fehlers der Ordnung λ4 konnen wira(t − t′) durch a(t) ersetzen und aus dem Integral herausziehen. Dann ergibtsich

a(t)

a(t)= − λ2

4mMΩ0

t∫

0

dt′∑

ν

1

ων

[ei(ων−Ω0)t

′ − e−i(ων+Ω0)t′]

= − λ2

4mMΩ0

N∑

ν=1

1

ων

[ei(ων−Ω0)t − 1

i(ων − Ω0)+

e−i(ων+Ω0)t − 1

i(ων +Ω0)

].

(2.199)

Bei der Ausfuhrung der Frequenzsummen uber die mikroskopischen Oszilla-toren beachten wir ων ≥ 0. Große Beitrage zur Summe konnen nur die Oszilla-toren machen, die fast oder ganz in Resonanz zum makroskopischen Oszillatorsind, d. h. fur die ων ≈ Ω0 gilt. Insbesondere kann der zweite Summand ver-nachlassigt werden. Nun schlachten wir die Große von N aus und approximierendie Frequenzsumme durch ein Integral. Wenn die Zahl der mikroskopischen Os-zillatoren mit Frequenzen im Intervall ∆ω bei ω gerade ρ(ω)∆ω ist, konnen wirschreiben

a(t)

a(t)= − λ2

4mMΩ0

∞∫

0

dωρ(ω)

ω

[sin(ω − Ω0)t

ω − Ω0+ i

1− cos(ω − Ω0)t

ω − Ω0

]. (2.200)

Die rechts stehenden Integrale werden fur tÀ Ω−10 zeitunabhangig. Fur daserste der beiden sehen wir diese Eigenschaft daraus, dass

sin(ω − Ω0)t

ω − Ω0

∣∣∣∣∣tÀΩ−1

0

= πδ(ω − Ω0) (2.201)

genau die Darstellung (2.112) der Deltafunktion ist. Die strenge Begrundungder Zeitunabhangigkeit des zweiten Integrals ist mathematisch zu aufwendig,als dass sich die Darstellung hier lohnen wurde. Qualitativ lasst sie sich wiefolgt einsehen. Fur ω 6= Ω0 oszilliert der Cosinus cos(ω − Ω0)t wegen t → ∞als Funktion von ω so schnell um Null herum, dass jedes uber ihn erstreckteIntegral verschwindet, wenn die Stelle ω = Ω0 aus dem Integrationsbereichausgespart bleibt; anderseits verschwindet 1−cos(ω−Ω0)t an der Stelle ω = Ω0

quadratisch, also schneller als der Nenner ω−Ω0 im Integranden; insgesamt hatder Imaginarteil der geschweiften Klammer in (2.200) auf das Integral denselbenEffekt wie die Vorschrift, ein beliebig kleines Intervall um die Stelle ω = Ω0 ausdem Integrationsbereich herauszulassen.

Aus (2.200) entsteht also fur große Zeiten

a(t)

a(t)= −Γ− iδ (2.202)

Page 61: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

2.14 Theorie der Dampfung(Modell) 61

mit

Γ =πλ2

4mMΩ20

ρ(Ω0) (2.203)

und

δ =λ2

4mMΩ0

∞∫

0

dωρ(ω)

ω

1− cos(ω − Ω0)t

ω − Ω0

∣∣∣∣∣tÀΩ−1

0

. (2.204)

Die beiden Parameter Γ und δ haben die physikalische Bedeutung einer Dampfungs-konstanten bzw. einer Frequenzverschiebung, wie wir aus der Losung

a(t) = a(0) e−Γt−iδt

der Differentialgleichung (2.202) ersehen. Fur die Amplitude des makroskopi-schen Oszillators erhalten wir als Endresultat

q0(t) = a e−Γt+i(Ω0−δ)t + c.c. . (2.205)

Unter dem Einfluss der vielen mikroskopischen Oszillatoren fuhrt der makro-skopische Oszillator also eine gedampfte Schwingung aus.

Argwohnen Sie, die gefundene Dampfung sei ein Artefakt der naherungsweisenErsetzung von Frequenzsummen durch Frequenzintegrale wie beim Ubergangvon (2.185) zu (2.186) oder insbesondere zu (2.187)? Die Skepsis ware prinzipi-ell berechtigt, im Fall vieler dicht liegender ων jedoch praktisch gegenstandslos.Fur hinreichend viele eng benachbarte ων ist die Summe (2.185) vom Integral(2.186) praktisch nicht zu unterscheiden. Eine genauere Diskussion der Gutederartiger Naherungen stelle ich Ihnen in 21.8 vor.

Die hier beschriebene Modellrechnung wird uns mit geringfugigen Modifika-tionen bei der Diskussion der spontanen Emission von Licht durch angeregteAtome in 13.4 wiederbegegnen.

Page 62: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

62 2 Schwingungen

Page 63: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

Kapitel 3

NichtrelativistischeBewegung imGravitationsfeld

3.1 Das 1/r-Potential

Zwei Teilchen mit den schweren Massen M und m uben aufeinander eineanziehende Gravitationskraft aus, die in Richtung der Verbindungslinie wirktund den Betrag

F = GmM

r2(3.1)

Abbildung 3.1

hat. Legen wir den Ursprung des Koordinatensystems in den Mittelpunkt desTeilchens der Masse M , so lautet die Kraft auf das andere

63

Page 64: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

64 3 Nichtrelativistische Bewegung im Gravitationsfeld

~F = −G mM

r2~x

r. (3.2)

Dieses Kraftfeld ist wirbelfrei (s. 2.10),

∂Fν∂xµ

=∂Fµ∂xν

mit xµ = x, y, z; Fµ = Fx, Fy, Fz , (3.3)

und hat eine potenzielle Energie U(~x), die bei festem Bezugspunkt ~x0 eineeindeutige Funktion der Koordinaten des

”Beobachtungspunktes“ ~x ist. Wir

konnen U(~x) als Wegintegral der Kraft langs eines beliebigen Weges von ~x0nach ~x berechnen. Da gegen ~F bei Wegen auf der Kugelflache |~x| = r = constkeine Arbeit geleistet wird, andert sich U(~x) langs solcher Wege nicht. Alsokann U nur von |~x| = r abhangen, U(~x) = U(r). Die Anderung von U langseines Wegstucks dr in radialer Richtung gemaß d~x = dr ~x

r betragt

dU = − ~F · d~x = GmM

r2dr . (3.4)

Fur endliche Wege langs eines Radialstrahls gilt

U(r)− U(r0) =

r∫

r0

dr′ GmM

r′2= − GmM

(1

r− 1

r0

). (3.5)

Es ist ublich, den Bezugspunkt r0 ins Unendliche zu legen mit U(∞) = 0; dannhaben wir

U(r) = − GmM

r. (3.6)

Abbildung 3.2

Dies ist das sogenannte Keplerpotential (s. Abbildung 3.2). Da alle Massenpositiv sind, ist es immer anziehend.

Die elektrostatische Wechselwirkung zweier Punktladungen q, Q wird auchdurch eine kugelsymmetrische potenzielle Energie, die mit wachsendem r wie1/r abfallt, beschrieben, das Coulombpotential

Uelstat(r) ∼qQ

r. (3.7)

Page 65: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

3.2 Die Erhaltungssatze bei Bewegungen im 1/r-Potential 65

Da elektrische Ladungen verschiedene Vorzeichen haben konnen, liegt hier beiLadungen gleichen Vorzeichens Abstoßung und bei Ladungen ungleicher Vorzei-chen Anziehung vor.

3.2 Die Erhaltungssatze bei Bewegungen im1/r-Potential

Ein Teilchen der Masse m bewege sich unter dem Einfluss der potenziellenEnergie

U = − km

r. (3.8)

Die Bewegungsgleichung lautet, wegen

Fµ = − ∂U

∂xµ, (3.9)

m~x =mk

r2~x

r. (3.10)

Das sind die drei Differentialgleichungen fur die drei Koordinaten~x(t) = (x(t), y(t), z(t)). Obwohl es sich um nichtlineare gekoppelte Differential-gleichungen 2. Ordnung handelt, lasst sich die allgemeine Losung in geschlosse-ner Form angeben.

Ein erstes Integral ist der Energiesatz

T + U = E = const (3.11)

mit T = m2 ~x2 = m

2 (x2 + y2 + z2) ≥ 0 . Wegen T ≥ 0 muss entlang der Bahn~x(t) des Teilchens immer gelten U ≤ E. Dieser Erhaltungssatz reicht naturlichnicht aus, die drei Funktionen ~x(t) festzulegen.

Um ein weiteres Bewegungsintegral zu finden, multiplizieren wir die Bewe-gungsgleichung (3.10) vektoriell mit ~x und beachten

− mk

r2~x

r× ~x = 0 . (3.12)

Die Bewegungsgleichungen geben somit

m~x× ~x = 0 . (3.13)

Die linke Seite dieser Identitat ist aber eine totale zeitliche Ableitung, denn

d

dt(~x× ~x) = ~x× ~x︸ ︷︷ ︸

= 0

+~x× ~x , (3.14)

Page 66: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

66 3 Nichtrelativistische Bewegung im Gravitationsfeld

so dass

d

dt(~x×m~x) = 0 . (3.15)

Bei der Bewegung im 1/r Potential bleibt also das Vektorprodukt aus Ortsvektor

~x und Impulsvektor m~x, der Drehimpuls, zeitlich konstant

~L = ~x×m~x =−−−→const . (3.16)

Aus diesem Drehimpulserhaltungssatz folgt sofort eine wichtige Eigenschaftder Bahnkurven ~x(t). Zu jedem Zeitpunkt spannen die beiden Vektoren ~x und

m~x eine Ebene auf. Die Ebene wird charakterisiert durch ihren Normalenvektor,d. h. einen auf ihr senkrecht stehenden Vektor. Senkrecht auf der Ebene stehtgerade der Drehimpuls ~L. Die zeitliche Konstanz von ~L besagt, dass die Ebene,in der ~x und ~x liegen, sich zeitlich nicht andert. Die Bahnkurve ~x(t) bleibt alsoimmer in einer Ebene.

Weiterhin folgt aus der Konstanz des Drehimpulses die Zeitunabhangigkeitseines Betrages, |~x×m~x| und ebenso die Zeitunabhangigkeit der Große

1

2|~x× ~x| = const . (3.17)

Dieser Erhaltungssatz ist das zweite Keplersche Gesetz, der so genannte Flachensatz:die Verbindungslinie zwischen den beiden Teilchen (bei Kepler Sonne und Pla-net) uberstreicht in gleichen Zeiten ∆t gleiche Flachen, denn bekanntlich ist12 |~x×∆~x| die Flache des von ~x und ∆~x aufgespannten Dreiecks (s. Abbildung3.3).

Abbildung 3.3

Die Erhaltungssatze von Energie und Drehimpuls reichen aus, die Bahn-kurven ~x(t) festzulegen. Wir durfen die Ebene der Bahnkurve (die Ebene derErdbahn heißt Ekliptik) zur x-y-Ebene unseres Koordinatensystems machen.Dann ist eine Losung trivial,

z(t) = 0 , (3.18)

Page 67: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

3.2 Die Erhaltungssatze bei Bewegungen im 1/r-Potential 67

und der Drehimpuls hat die Komponenten

Lx = 0, Ly = 0, Lz = L . (3.19)

Zu bestimmen bleiben x(t) und y(t). Da das Kraftzentrum (im Keplerpro-blem der Ort der Sonne) der einzige ausgezeichnete Punkt der Bahnebene (imKeplerproblem Ekliptik) ist, und das U(~x) = U(r), liegt es nahe, die Bahnkurvein ebenen Polarkoordinaten

x = r cosϕ

y = r sinϕ (3.20)

zu suchen. Die Geschwindigkeiten lassen sich durch r(t) und ϕ(t) und derenAbleitungen ausdrucken gemaß

x = r cosϕ− rϕ sinϕ

y = r sinϕ+ rϕ cosϕ (3.21)

~x2 = x2 + y2 = r2 + r2ϕ2

und entsprechend die z-Komponente des Drehimpulses als

Lz = m(xy − yx) = mr2ϕ . (3.22)

Somit lauten die Erhaltungssatze fur Energie und Drehimpuls

1

2m(r2 + r2ϕ2)− km

r= E (3.23)

mr2ϕ = L . (3.24)

Mit Hilfe des Drehimpulses lasst sich ϕ aus dem Energiesatz eliminieren, wor-aufhin dieser lautet

1

2mr2 +

L2

2mr2− km

r= E . (3.25)

In dieser Form erinnert der Energiesatz an das fur einen Freiheitsgrad Bekannte.Die effektive potenzielle Energie Ueff(r) fur die Radialkoordinate,

Ueff(r) =L2

2mr2− km

r, (3.26)

enthalt außer dem 1/r-Term die abstoßende”Zentrifugalenergie“ L2/2mr2.

Page 68: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

68 3 Nichtrelativistische Bewegung im Gravitationsfeld

Da 12 mr

2 ≥ 0, verlauft die Bahnkurve so, dass immer Ueff(r) ≤ E. Es folgt,dass im Fall der anziehenden Gravitationswechselwirkung (k > 0) die Bahnennegativer Energie und positiver Energie verschiedenen Charakter haben. Wieaus Abbildung 3.4 ersichtlich, liegt fur E < 0

Abbildung 3.4

der Abstand des Teilchens vom Zentrum immer zwischen zwei Schranken rmin

und rmax. Da das Teilchen sich vom Zentrum nie weiter als bis zum Abstandrmax entfernen kann, spricht man auch von gebundenen Bahnen. Das Auftre-ten der unteren Schranke rmin liegt an der abstoßenden Zentrifugalkraft bzw.-energie, die fur kleine Abstande die anziehende Gravitationskraft uberwiegt.Letztere Potentialbarriere liegt zwar auch fur E ≥ 0 vor, jedoch kann sich dasTeilchen nun beliebig weit vom Kraftzentrum entfernen. Ein Teilchen auf sol-cher Bahn wird gestreut und ist nicht gebunden.

3.3 Die Bahnkurven

Wir hatten die Erhaltungssatze fur Energie und Drehimpuls geschrieben als

m

2r2 +

L2

2mr2− km

r= E (3.27)

mr2ϕ = L . (3.28)

Erstere Gleichung ist eine Differentialgleichung erster Ordnung fur die Zeit-abangigkeit der Radialkoordinate r(t). Die Losung

t− t0 =

r∫

r0

dr′√2Em + 2k

r′ − L2

m2r′2

(3.29)

ist mit Hilfe von Integraltafeln auswertbar. Anschließend ergibt sich ϕ(t) durchIntegration des Drehimpulssatzes.

Interessieren wir uns vorlaufig nur fur die geometrische Form r(ϕ) der Bahn-kurven. Dazu fassen wir r als Funktion von ϕ auf und schreiben

Page 69: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

3.3 Die Bahnkurven 69

dr

dt=

dr

dt=

dr

L

mr2. (3.30)

Daraus liefert der Energiesatz eine Differentialgleichung fur die Bahnkurve r =r(ϕ),

(dr

)2L2

2mr4+

L2

2mr2− km

r= E . (3.31)

Die Form der Bahnkurve wird unmittelbar ersichtlich, wenn wir vorubergehend

u =1

r(3.32)

als abhangige Variable einfuhren. Die Transformation (3.32) uberfuhrt denEnergiesatz (3.31) in

(du

2)+ u2 − 2km2

L2u =

2mE

L2(3.33)

Diese Beziehung ist aber formgleich mit dem Energiesatz fur eine harmonischeSchwingung der Frequenz 1 um den Mittelpunkt

km2

L2≡ 1

p. (3.34)

Tatsachlich lost

u =1

r=

1

p[1 + ε cos(ϕ− ϕ0)] (3.35)

mit

ε =

(1 +

2EL2

k2m3

)1/2

(3.36)

und der beliebigen reellen Integrationskonstanten ϕ0 die Differentialgleichung(3.33).

Aus (3.35) erkennen wir die Bahnkurven r = r(ϕ) als ebene Kegelschnitte.Der Parameter ε heißt die Exzentrizitat derselben. Im Fall der anziehenden

Wechselwirkung wird die Bahnkurve je nach ε≤> 1, d. h. E

≤> 0, qualitativ

verschieden verlaufen. Die obige Diskussion kann jetzt prazisiert werden.Fur ε < 1, d. h. E < 0, lauft r periodisch in ϕ (nicht nur in der Zeit t, was

wir schon in 3.2 gesehen hatten) im Intervall

rmin =p

1 + ε≤ r ≤ rmax =

p

1− ε . (3.37)

Die Bahnkurve ist geschlossen und hat die Form einer Ellipse (erstes KeplerscheGesetz), wobei das Kraftzentrum Abbildung (3.5) in einem der Brennpunkteliegt.

Page 70: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

70 3 Nichtrelativistische Bewegung im Gravitationsfeld

Im Grenzfall ε = 0 ist die Ellipse zum Kreis entartet; aus (3.31) ersehen wir,dass der Kreisradius zum Minimum der effektiven potenziellen Energie gehort.

Abbildung 3.5

Fur ε > 1 d. h. E > 0, liegt ein Streuzustand vor. Die Bahnkurve ist eineHyperbel, die das Kraftzentrum umlauft Abbildung (3.6).

Abbildung 3.6

Weit weg vom Zentrum lauft das Teilchen unter dem Winkel ϕ∞ auf praktischgerader Bahn ein. Spater lauft es asymptotisch wieder auf einer Geraden aus,gestreut um den Winkel (s. Skizze)

Θ = 2ϕ∞ − π , (3.38)

wobei 1 + ε cosϕ∞ = 0, also

ϕ∞ =π

2+ arcsin

1

ε. (3.39)

Fur ε = 1, d. h. E = 0, ist die Bahnkurve eine Parabel. Ein so beweg-tes Teilchen hat fur r → ∞ gerade verschwindende kinetische Energie, d. h.verschwindende Geschwindigkeit.

Die Zeitabhangigkeit r(t) lasst sich auch durch elementare Funktionen aus-drucken. Statt hierin Muhe zu investieren, halten wir lieber als allgemeine

Page 71: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

3.4 Das Zweikorperproblem 71

Aussage fest, dass die Geschwindigkeit ~v im Perihel den maximalen Betrag hat.Das ist sofort aus dem Energiesatz ersichtlich.

Ferner erhalten wir die Umlaufzeit T auf einer Ellipsenbahn aus dem FlachenansatzKeplers, d. h. dem Drehimpulserhaltungssatz (3.17)

L

2m=

1

2|~x× ~x| = const . (3.40)

Nach einem Umlauf ist gerade die Flache der Ellipse, F = πab uberstrichen.Also finden wir durch Integration von t = 0 bis t = T

T =πab

L/2m. (3.41)

Nach bekannten Formeln der analytischen Geometrie findet man fur die Halb-achsen der Ellipsen

a =p

1− ε2 =km

2|E| , b =p√

1− ε2=

L√2m|E|

(3.42)

und somit fur die Umlaufzeit

T = πkm

√m

2|E|3 = 2πa3/2√

1

k.

Dieses Resultat enthalt das dritte Keplersche Gesetz: die Quadrate der Umlauf-zeit der Planeten sind proportional zu den Kuben der großen Halbachsen ihrerBahnen.

3.4 Das Zweikorperproblem

Wir haben bisher die Bewegung eines Teilchens im Keplerpotential behandelt.Das ist noch nicht genau das Problem der Planetenbahnen. Die Anziehungskraftder Sonne auf einen Planeten ist entgegengesetzt gleich der Anziehungskraftdes Planeten auf die Sonne und letztere fuhrt dazu, dass sich auch die Sonnebeschleunigt bewegt. Wir haben die beiden (bzw. sechs) Bewegungsgleichungen

mP ~xP +GmPmS

|~xP − ~xS |2~xP − ~xS|~xP − ~xS |

= 0 (3.43)

mS ~xS −GmPmS

|~xP − ~xS |2~xP − ~xS|~xP − ~xS |

= 0 . (3.44)

wobei mP und ~xP Masse und Ortsvektor der Planeten, mS und ~xS die entspre-chenden Großen fur die Sonne sind.

Beachten wir, dass die Beschleunigungen das Betragsverhaltnis |~xS |/|~xP | =mP /mS haben. Fur Jupiter, den schwersten Planeten, hat dieses Verhaltniseinen Wert von etwa 10−3 und fur die Erde gar nur von etwa 2 · 10−6. Wir

Page 72: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

72 3 Nichtrelativistische Bewegung im Gravitationsfeld

erwarten also, dass bei der Behandlung der Planetenbahnen die Sonne bis aufeinen Fehler von ≤ 1% als ruhendes Kraftzentrum angesehen werden kann.

Astronomische Beobachtungen sind phantastisch genau. Zum Vergleich derTheorie mit den Messdaten brauchen wir die Planetenbahnen genauer als bis aufeinen Fehler von etwa 1%. Sie sind, solange die Wechselwirkung der Planetenuntereinander vernachlassigt, also nur das Zweikorpersystem Planet und Sonnebehandelt wird, billig exakt zu haben. Wir fuhren statt der Ortsvektoren ~xPund ~xS Relativkoordinaten

~x = ~xP − ~xS (3.45)

und Schwerpunktskoordinaten

~X =mP~xP +mS~xSmP +mS

(3.46)

ein. Aus den Newtonschen Gleichungen (3.43), (3.44) folgen fur Bewegungsglei-

chungen fur die Koordinaten ~x und ~X. Sie lauten, wenn wir als Abkurzungendie Gesamtmasse

M = mP +mS (3.47)

und die reduzierte Masse

m =mP ·mS

mP +mS(3.48)

einfuhren,

M ~X = 0 (3.49)

m~x+GmM

|~x|2~x

|~x| = 0 . (3.50)

Die erste Gleichung besagt, dass sich der Schwerpunkt des Zweikorpersystemskraftefrei, also mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Die zweite beschreibtein Teilchen der Masse m, das sich unter dem Einfluss der von einem fixenKraftzentrum ausgehenden Gravitationskraft bewegt. Letzteres Problem warin 3.2 und 3.3 gelost worden. Wir haben m dabei als die reduzierte Masse desPlaneten zu interpretieren. Wegen mP ¿ mS weicht die reduzierte Masse nurwenig von der Planetenmasse ab.

Page 73: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

Kapitel 4

Statische wirbelfreie Felder∗

4.1 Wirbelfreie Vektorfelder

Wirbelfreie Vektorfelder hatten wir schon im Kapitel 2 kennengelernt. DieWirbelfreiheit bezeichnet die Eigenschaft

∂Vi∂xj

=∂Vj∂xi

, i, j = 1, 2, 3 bzw. x, y, z. (4.1)

Fur derartige Felder ist, wie wir gesehen hatten, das Wegintegral

~x∫

~x0

d~x′ · ~V (~x′) ≡ −ϕ(~x) (4.2)

fur alle zwischen ~x0 und ~x laufenden Wege gleich und somit, bei festgehaltenem

”Bezugspunkt“ ~x0, eine eindeutige Funktion der Koordinaten des

”Beobach-

tungspunktes“ ~x (s. Abbildung 4.1).

Abbildung 4.1

Da ein Wegintegral sein Vorzeichen wechselt, wenn beim Integrieren der Wegin umgekehrter Richtung durchlaufen wird, muss jedes Wegintegral uber ein

∗In diesem Kapitel werden uberwiegend drei Raumdimensionen in Rechnung gestellt;ein Punkt wird durch den Ortsvektor ~x = (x, y, z) = (x1, x2, x3) beschrieben; ein skala-

res Feld ϕ(~x) ist eine Zuordnung einer Zahl ϕ(~x) zum Punkt ~x; ein Vektorfeld ~V (~x) =(Vx(~x), Vy(~x), Vz(~x)) = (V1, V2, V3) ist eine Zuordnung des Zahlentripels Vx, Vy , Vz zumPunkt ~x.

73

Page 74: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

74 4 Statische wirbelfreie Felder

wirbelfreies Feld langs eines beliebigen geschlossenen Weges (Einschrankung:einfach zusammenhangendes Gebiet!) verschwinden,

ZL =

L

d~x · ~V (x) = 0 . (4.3)

ZL heißt die Zirkulation von ~V langs des geschlossenen Weges L. Das Verschwin-den von ZL ist die anschaulichste Manifestation von Wirbelfreiheit (Gegenbei-spiel: schauen Sie den Wirbel in der Badewanne an).

Aus dem skalaren Wegintegral ϕ(~x) kann das Vektorfeld ~V (~x) durch Diffe-renzieren zuruckgewonnen werden:

Vi = −∂ϕ

∂xi, kurz ~V = − grad ϕ oder ~V = −∇ϕ . (4.4)

Als ein Beispiel kennen wir das Gravitationsfeld eines schweren Teilchensder Masse M. Auf ein Probeteilchen der Masse m am Ort ~x (Nullpunkt in M)wirkt die Gravitationskraft

~F = m~g,

~g = − GM~x

r3= ~g(~x) (4.5)

Abbildung 4.2

Zur Beschreibung des von M am Ort ~x erzeugten Gravitationsfeldes ist ~g, davon der Masse m des Probekorpers unabhangig, besser geeignet als die Gravi-tationskraft ~F . Wir nennen ~g(~x) die Feldstarke oder kurz das Gravitationsfeld.

Zur Gravitationskraft ~F gehort die potenzielle Energie des Probeteilchens

U(~x) = mϕ(~x) ,

ϕ(~x) = ϕ(r) = −GMr

. (4.6)

Das skalare Feld ϕ(~x) heißt Gravitationspotential.Es ist eine Erfahrungstatsache, dass sich (schwache) Gravitationsfelder, die

von verschiedenen Teilchen erzeugt werden, linear superponieren. Also gilt furdas von N Teilchen mit den Massen mi erzeugte Gravitationspotential

ϕ(~x) = −N∑

i=1

Gmi

|~x− ~xi|. (4.7)

Page 75: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

4.1 Wirbelfreie Vektorfelder 75

Ganz entsprechend erhalten wir das Gravitationspotential, das von einer kon-tinuierlichen Massenverteilung der Dichte ρ(~x) erzeugt wird. Wir denken unsdas mit Masse gefullte Volumen in N so kleine Teile ∆x∆y∆z zerlegt, dassinnerhalb jedes Teiles ρ(~x) als konstant angesehen werden kann. Dann gilt, mitmi = ρ(~x)∆x∆y∆z als der i-ten Teilmasse,

ϕ(~x) = −N∑

i=1

Gρ(~xi)∆x∆y∆z

|~x− ~xi|(4.8)

und im Grenzfall beliebig feiner Zerlegung

ϕ(~x) = −∫

d3~x′Gρ(~x′)

|~x− ~x′| . (4.9)

Wir konnen auch die Feldstarken ~g(~x) superponieren und das Integral

~g(~x) =

∫d3~x′

Gρ(~x′)

|~x− ~x′|2~x− ~x′|~x− ~x′| (4.10)

fur eine gegebene Massenverteilung ausrechnen. Meist ist es jedoch erheblichbequemer, die Feldstarke durch Differenziation aus dem Potential zu gewinnen~g = −∇ϕ, da sich skalare Volumenintegrale leichter als vektorielle gewinnenlassen.

Als ein zweites Beispiel kennen wir das elektrostatische Feld ~E(~x), das dieKraft auf ein am Ort ~x befindliches Teilchen der Ladung q gibt gemaß

~F (~x) = q ~E(~x) . (4.11)

Elektrische Felder werden durch ruhende Ladungen erzeugt. Das von einerPunktladung Q erzeugte Feld ist∗)

~E(~x) =

(1

4πε0

)Q

r2~x

r. (4.12)

Abbildung 4.3

Das zugehorige elektrostatische Potential ist das Coulombpotential

ϕ(x) =

(1

4πε0

)Q

r. (4.13)

Das elektrostatische Feld vieler Ladungen erhalten wir wieder durch Superposi-tion. Insbesondere lautet das von einer kontinuierlichen Ladungsverteilung derLadungsdichte ρ(~x) erzeugte elektrostatische Potential

∗)ε0 = 8, 854 . . .× 10−12 Coulomb/Volt · Meter ist die elektrische Feldkonstante.

Page 76: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

76 4 Statische wirbelfreie Felder

ϕ(~x) =

(1

4πε0

)∫d3~x′

ρ(~x′)

|~x− ~x′| . (4.14)

Beachten Sie die Vorzeichenkonvention. Die potenzielle Energie der Ladungq im Feld der Ladung Q (und umgekehrt) lautet

U(~x)

(1

4πε0

)qQ

r. (4.15)

Sie ist anziehend (U < 0, Topf), wenn q und Q verschiedene Vorzeichen habenund abstoßend (U > 0, Wall) fur Ladungen gleichen Vorzeichens.

4.2 Quellen wirbelfreier Felder

Gravitationsfelder werden von massiven Teilchen erzeugt, elektrostatischeFelder durch geladene Teilchen. Man sagt, Massen und Ladungen sind dieQuellen der respektiven Felder. Prazisieren wir diese Redeweise!

Sei ∆~S ein ebenes Flachenelement am Ort ~x, dem Betrag nach so klein,dass das Vektorfeld ~V (~x) als uberall auf dem Flachenstuck konstant angesehen

werden kann. Die Richtung des Vektors ∆~S gibt die Normale zum Flachenstuckan. Als Fluss ∆Φ von ~V durch ∆~S bezeichnen wir das Skalarprodukt

∆Φ(~x) = ~V (~x) ·∆~S . (4.16)

Sei S eine beliebige gekrummte Flache. Der Fluss von ~V durch S ergibtsich, wenn S in so viele kleine gerichtete Flachenstucke ∆~S zerlegt wird, dassjedes als eben und ~V (~x) in jedem als konstant angesehen werden kann, durchSummieren der Teilflusse durch die Flachenstucke zu

φ =∑

i

~V (~xi) ·∆~Si . (4.17)

Im Grenzfall beliebig verfeinerter Zerlegung wird der Fluss Φ durch die FlacheS durch das Integral

φ =

∫ ∫

S

d~S · ~V (~x) (4.18)

gegeben.Soll der Fluss durch eine geschlossene Flache berechnet werden, so wird der

Normalenvektor stets als nach außen gerichtet definiert. Wenn der Fluss Φ von~V durch eine geschlossene Flache S von Null verschieden ist, so umschließt SQuellen von ~V . (Manchmal spricht man von Quellen bei Φ > 0 und von Senkenbei Φ < 0.)

Betrachten wir den Fluss des von einer Ladung Q erzeugten elektrischenFeldes ~E durch die Oberflache einer Kugel am Ort der Ladung als Mittelpunkt.Das Oberflachenelement ∆~S (s. Abbildung 4.4) ist genau wie ~E radial vomUrsprung weg gerichtet und lautet in Kugelkoordinaten

∆~S =~x

rrdΘr sinΘdϕ . (4.19)

Page 77: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

4.2 Quellen wirbelfreier Felder 77

Abbildung 4.4

Der gesuchte Fluss,

Φ = r2π∫

0

dΘ sinΘ

∫ 2π

0

dϕ ·(

1

4πε0

)Q

r2

(~x

r

)2

= Q/ε0 , (4.20)

ist bis auf den Faktor 1/ε0 gleich der umschlossenen Ladung Q.

Dieses Resultat ist unabhangig davon, welche Form die geschlossene FlacheS hat, solange nur die Ladung umschlossen wird. Denn jede solche Flachekann in gerichtete, praktisch ebene Teilstucke ∆~S zerlegt werden, deren jedesvom Ort der Ladung aus gesehen gerade uber (oder unter) dem rechteckigenTeilstuck der Einheitskugel liegt, welches zwischen ϕ und ϕ + dϕ bzw. Θ undΘ + dΘ aufgespannt ist und die Flache sinΘdϕdΘ hat. Ein solches Teilstuckhat, wenn es sich im Abstand r von der Ladung befindet, einen Flachenvektormit Komponente r2 sinΘdϕdΘ = (∆~S · ~x/r) in radialer Richtung. Also gilt

Φ =

∮d~S · ~E =

∮(d~S · ~x/r)Q/r24πε0

= Q/4πε0

π∫

0

sinΘdΘ

2π∫

0

dϕ = Q/ε0 .

Beim eben gegebenen Argument war stillschweigend angenommen, dass je-der von Q ausgehender Radialstrahl die Oberflache S nur einmal schneidet.Diese Annahme ist aber auch unnotig. Jedenfalls liegt eine ungerade Zahl sol-cher Uberschneidungen vor, wie Abbildung 4.5) zeigt.

Betrachten wir die Flachenstucke, die von Q aus gesehen uber einem Rechteckmit Flache sinΘdΘdϕ auf der Einheitskugel erscheinen, so sind die respektivenBeitrage zum Oberflachenintegral alle betragsmaßig gleich,

Page 78: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

78 4 Statische wirbelfreie Felder

Abbildung 4.5

∣∣∣∣Q

r2i

~xiri

∆~Si

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣Q

r2ir2i sinΘdΘdϕ︸ ︷︷ ︸

∣∣∣∣∣∣= QdΩ , (4.21)

alternieren jedoch im Vorzeichen von einem zum nachsten. Bis auf einen hebensie sich paarweise auf, so dass der gesamte Fluss wieder den Wert Q/ε0 hat.

Es ist auch keineswegs notig, dass Q im Ursprung des Koordinatensystemssitzt; noch, dass Q eine einzelne Punktladung ist; Q kann durchaus die Summemehrerer Punktladungen darstellen, Q =

∑i qi, die von S umschlossen werden.

Jedenfalls gilt: Der Fluss des elektrischen Feldes durch eine geschlossene FlacheS ist gleich dem (1/ε0)-fachen der umschlossenen Ladung. Wenn die Ladung imvon S umschlossenen Volumen kontinuierlich verteilt ist, so gilt

Φ =

∫©∫

S

d~S · ~E(~x) = Q/ε0 =1

ε0

∫∫∫d3~xρ(~x) . (4.22)

Wenn die geschlossene Flache S keine Ladungen umschließt, so ist der Flussdurch S Null. Außerhalb des von S umschlossenen Gebietes liegende Ladungentragen zum Fluss von ~E durch S nicht bei, wie wir uns nochmals klarmachenanhand der zur in Abbildung 4.5 analogen Skizze in Abbildung 4.6:

Umgekehrt darf aus dem Verschwinden des Flusses ϕ durch S nicht geschlos-sen werden, S umschließe keine Quellen des Feldes, also keine Ladungen. Eskonnten namlich im umschlossenen Gebiet genauso viele negative wie positiveLadungen sitzen, so dass das Gebiet insgesamt elektrisch neutral ist.

4.3 Lokale Quellen

Der Begriff der Quelle eines Feldes entfaltet seine volle Nutzlichkeit erst,wenn wir infinitesimal kleine Raumbereiche und den Fluss von ~E durch ihreOberflache betrachten. Nehmen wir speziell ein achsenparalleles Parallelepi-ped mit den Kantenlangen ∆x, ∆y, ∆z und berechnen den Fluss durch seineOberflache (Abbildung 4.7).

Page 79: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

4.3 Lokale Quellen 79

Abbildung 4.6

Abbildung 4.7

Da die Normalvektoren auf den Kantenflachen in Richtung der Koordina-tenachsen zeigen, lautet der gesuchte Fluss durch die 6 Kantenflachen

Φ =

y+∆y∫

y

z+∆z∫

z

dζ(− Ex(x, η, ζ) + Ex(x+∆x, η, ζ)

)

+

z+∆z∫

z

x+∆x∫

x

dξ(− Ey(ξ, y, ζ) + Ey(ξ, y +∆y, ζ)

)

+

x+∆x∫

x

y+∆y∫

y

dη(− Ez(ξ, η, z) + Ez(ξ, η, z +∆z)

). (4.23)

Durch Taylorentwicklung der Integranden um den Punkt ~x = (x, y, z) sehenwir, dass Φ fur kleine Kantenlangen von der Ordnung ∆x∆y∆z ist. UnterVernachlassigung von Korrekturen hoherer Ordnung in den Koordinateninkre-

Page 80: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

80 4 Statische wirbelfreie Felder

menten haben wir

Φ =

y+∆y∫

y

z+∆z∫

z

dζ∂Ex(x, η, ζ)

∂x∆x+ (zykl. Vert.)

=∂Ex(x, y, z)

∂x∆x

y+∆y∫

y

z+∆z∫

z

dζ + (zykl. Vert.) (4.24)

= ∆x∆y∆z

∂Ex∂x

+∂Ey∂y

+∂Ez∂z

.

Die hier auftretende Große

∂Ex∂x

+∂Ey∂y

+∂Ez∂z

= div ~E (4.25)

heißt die Quellstarke oder Divergenz von ~E.Wenn die Divergenz von ~E am Ort ~x den Wert div ~E hat, so ist der Fluss

von ~E durch die Oberflache eines kleinen Parallelepipeds bei ~x gleich

Φ = ∆x∆y∆z div ~E =1

ε0ρ(~x)∆x∆y∆z . (4.26)

Wir sehen, dass die Ladungsdichte ρ(~x) bis auf den Faktor 1/ε0 die Quellstarke

div ~E von ~E ist,

div ~E(~x) =1

ε0ρ(~x) . (4.27)

Mit gleicher Begrundung finden wir fur die Quellstarke div ~g(~x) des Gravi-tationsfeldes ~g(~x)

div ~g(~x) = −4π Gρ(~x) , (4.28)

wobei ρ(~x) naturlich die Massendichte bedeutet.

Unser Resultat (3.2) uber den Fluss von ~E durch die Oberflache eines infi-nitesimalen Volumenelements ∆x∆y∆z gestattet sofort eine Aussage uber denFluss von ~E durch die Oberflache S eines endlichen Volumens. Letzteres kannnamlich in infinitesimale Volumina ∆V zerlegt werden, wobei S durch ebeneTeilstucke ∆S approximiert wird. Der Fluss durch S ist dann gleich der Summeder Flusse durch die Oberflache der Teilvolumina ∆V , denn jede innere Kanten-flache ist Teil der Oberflache zweier benachbarter Teilvolumina, und die beidenrespektiven, jeweils auf die nach außen gerichtete Flachennormale bezogenenFlusse heben sich gegenseitig auf (vgl. Abbildung 4.8).

Es folgt somit der Gaußsche Integralsatz, wenn der Fluss durch die Ober-flache jedes Teilvolumens gemaß (4.24) durch die Quellstarke am Ort des Teil-volumens ausgedruckt wird

∫∫

V

∫d3x div ~E =

∫©∫

S

~E · d~S . (4.29)

Page 81: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

4.4 Elektrostatisches Potential 81

Abbildung 4.8

Beachten Sie, dass die eben skizzierte Herleitung des Gaußschen Satzes keinenGebrauch davon macht, dass ~E wirbelfrei ist. Der Satz gilt tatsachlich auch furFelder mit Wirbeln.

4.4 Elektrostatisches Potential

Wirbelfreie Vektorfelder sind durch ihre Quellen und Randbedingungen eindeutigfestgelegt. Um diese Behauptung plausibel zu machen, stelle ich zunachst klar,dass die Angabe der Quellen eines Feldes gemaß

div ~E =1

ε0ρ (4.30)

allein nicht ausreicht, um ~E(~x) festzulegen: obige Gleichung stellt eine Diffe-rentialgleichung fur die drei Unbekannten Ei(~x) dar. Nehmen wir allerdings die

Wirbelfreiheit von ~E hinzu, d. h. stellen das Vektorfeld ~E als Gradienten einesskalaren Feldes dar mit

~E(~x) = −∇ϕ(~x) . (4.31)

so erhalten wir fur das Potential ϕ(~x) die Differentialgleichung 2. Ordnung

div grad ϕ(~x) = ∆ϕ(~x) = − 1

ε0ρ(~x), (4.32)

∆ =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2,

die als die Poissonsche Differentialgleichung bekannt ist.

Die Poissonsche Gleichung ist bei vorgegebener Ladungsverteilung (bzw.Massenverteilung) eine inhomogene Differentialgleichung. Ihre allgemeine Losungergibt sich durch Superposition eines Partikularintegrals der inhomogenen Glei-chung mit dem allgemeinen Integral der homogenen Gleichung. Durch Rand-bedingungen wird eine eindeutige Losung ϕ(~x) fixiert, aus der sich mit (4.32)

auch das Feld ~E eindeutig ergibt.

Ein Partikularintegral der Poissonschen Gleichung kennen wir schon,

ϕ(~x) =1

4πε0

V

d3x′ρ(~x ′)

|~x− ~x ′| . (4.33)

Page 82: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

82 4 Statische wirbelfreie Felder

Es erfullt die Randbedingung ϕ = 0 fur |~x| → ∞. Wir hatten dieses Inte-gral konstruiert, bevor wir die Feldgleichung ∆ϕ = −4πρ aufgestellt hatten.Nachtraglich lernen wir zu verifizieren, dass das Integral die Feldgleichung be-friedigt.

Wenn speziell eine Punktladung Q bei ~x = 0 vorliegt, also

ρ(~x) = Qδ(3)(~x) = Qδ(x)δ(y)δ(z) , (4.34)

so gibt obiges Integral gerade das wohlbekannte Coulombpotential

ϕ(~x) =1

4πε0

Q

|~x| =1

4πε0

Q

r. (4.35)

Erfullt letzteres wirklich die Poissongleichung, d. h. gilt wirklich

∆1

r= − 4πδ(3)(~x) ? (4.36)

Einfaches Nachrechnen zeigt, dass ∆(1/r) = 0 uberall außer fur r = 0. Denn

fur eine nur von r =√x2 + y2 + z2 abhangige Funktion f(r) gilt

gradf(r) = f ′(r)~x

r(4.37)

und

div grad f(r) = divf ′

r~x = ~x · grad f ′

r+f ′

rdiv ~x

= ~x · ~xr

(f ′

r

)′+ 3f ′/r = f ′′(r) + 2f ′(r)/r

und somit ∆ 1r = 0 fur r 6= 0. Am Ursprung selbst ist ∆ 1

r nicht definiert. Umzu sehen, dass die Singularitat am Ursprung von der Art einer Deltafunktionist, haben wir wie immer (s. 2.8) eine geeignete nichtsingulare Darstellung zubetrachten. Wahlen wir etwa

1

r=

1√r2 + ε2

(4.38)

mit dem Vorbehalt, ε letztlich nach Null gehen zu lassen. Dann ist

∆1

(r2 + ε2)1/2= − 3ε2

(r2 + ε2)5/2. (4.39)

Dies uber den ganzen Raum integriert gibt

∫d3x∆

1√r2 + ε2

=

∞∫

0

r2dr

π∫

0

dΘ sin Θ

2π∫

0︸ ︷︷ ︸4π

dϕ−3ε2

(r2 + ε2)5/2

= −12π∞∫

0

dxx2

(1 + x2)5/2

︸ ︷︷ ︸1/3

= −4π . (4.40)

Page 83: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

4.5 Geladenes Teilchen vor einem Leiter 83

Da das Integral unabhangig von ε ist, ist (4.39) tatsachlich bis auf den Faktor− 4π eine Darstellung der Deltafunktion. Damit ist klargestellt, dass das Cou-lombpotential (4.35) die Losung der Poissongleichung fur den Fall der punktformigenLadungsverteilung (4.34) darstellt. Dann folgt mit

∆1

|~x− ~x ′| = − 4πδ(3)(~x− ~x ′) (4.41)

auch die Richtigkeit von (4.33).Wir hatten auch andersherum argumentieren konnen und aus der vorher

erwiesenen Gultigkeit des Potentials (4.33) und der Feldgleichung (4.32) folgernkonnen, dass das Coulombpotential 1/r die Feldgleichung mit ρ(~x) = δ(3)(~x)lost.

Ich betone, dass die bisher betrachteten Potentiale alle die Randbedingungϕ(~x)→ 0 fur |~x| → ∞ erfullen.

4.5 Geladenes Teilchen vor einem Leiter

Abweichungen des Potentials von der Form

ϕ(~x) =1

4πε0

∫d3x′

ρ(~x ′

|~x− ~x ′| (4.42)

ϕ(~x)→ 0 fur |~x| → ∞

werden wichtig, wenn der Abstand des Beobachtungspunktes |~x| von irgendei-nem Teil der Quellverteilung ρ(~x) vergleichbar mit dem (nicht sehr klein gegenden) Abstand von irgendeinem anderen Korper ist. Solche anderen Korper sindgegebenenfalls mit zu berucksichtigen entweder, falls sie auch starr vorgegebe-ne Ladungsverteilungen haben, durch Einbeziehung in die Verteilung ρ(~x) oderdurch Randbedingungen fur ϕ(~x) an ihrer Oberflache.

Letzterer Fall liegt z. B. vor, wenn diese anderen Korper elektrische Lei-ter darstellen. Da Leiter frei bewegliche Ladungen enthalten, muss, wenn einzeitunabhangiger Zustand vorliegt, auf ihrer Oberflache und in ihrem Innerenϕ(~x) = const gelten. Andernfalls wurde ein nichtverschwindendes elektrischesFeld E = −∇ϕ herrschen, welches die Ladungen in beschleunigte Bewegung set-zen wurde. Bei der Bestimmung des elektrischen Feldes außerhalb elektrischerLeiter ist die Randbedingung ϕ = const fur die Leiteroberflache zu stellen.

Als einfachstes nichttriviales Beispiel betrachten wir eine Ladung Q im Ab-stand a vor einem unendlich ausgedehnten Leiter mit ebener Oberflache (Ab-bildung 4.9).

Auf der Leiteroberflache (xy-Ebene) ist ϕ = const; ohne Einschrankung derAllgemeinheit setzen wir

ϕ(0, y, z) = 0 . (4.43)

Im Halbraum x > 0 ist die Losung der Poissongleichung darstellbar als

ϕ(~x) =1

4πε0

Q

|~x− ~a| + ϕhom(~x) , (4.44)

Page 84: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

84 4 Statische wirbelfreie Felder

Abbildung 4.9

wobei ϕhom(~x) eine Losung der homogenen Gleichung ∆ϕhom = 0 ist. DerAnteil ϕhom(~x) muss seine Quellen also im Leiter haben.

Wegen der Symmetrie des Problems liegt es nahe, zu raten

ϕhom(~x) = −1

4πε0

Q

|~x+ ~a| . (4.45)

Das gesamte Potential

ϕ(~x) =1

4πε0

(Q

|~x− ~a| −Q

|~x+ ~a|

)(4.46)

sieht dann so aus, als ware neben der Ladung Q am Ort ~a eine entgegengesetztgleiche Ladung im Innern des Leiters am Ort −~a vorhanden.

Tatsachlich erfullt (4.45) im rechten Halbraum die homogene Gleichung∆ϕ = 0 und die Superposition (4.46) somit die Poissongleichung

∆ϕ(~x) = − 1

ε0Qδ(3)(~x− ~a) . (4.47)

Auch die Randbedingung (4.42) ist offensichtlich erfullt.Wir haben hier die

”Methode der Spiegelladungen“ an einem einfachen Bei-

spiel kennengelernt. Eine Fulle anderer Randwertaufgaben ist ganz ahnlichlosbar.

4.6 Spharische Ladungs- bzw. Massenverteilung

Die Sonne ist in recht guter Naherung eine spharische Massenverteilung. (Tat-sachlich liegt ein abgeplattetes Rotationsellipsoid vor, jedoch unterscheiden sichpolarer und aquatorialer Radius zu wenig.) Spharische Ladungsverteilungenlassen sich im Labor herstellen.

Einfach zu behandeln und illustrativ ist der Fall einer gleichformig mit Masseerfullten oder elektrisch geladenen Kugel mit Radius a. Im elektrischen Falllautet das Potential

Page 85: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

4.6 Spharische Ladungs- bzw. Massenverteilung 85

ϕ(~x) =1

4πε0

Q4π3 a

3

∫d3x′

|~x− ~x ′|

=1

4πε0

Q4π3 a

3

a∫

0

dr′r′2π∫

0

dΘ sinΘ

∫ 2π

0

︸ ︷︷ ︸2π

1√r2 + r′2 − 2rr′ cosΘ

=1

4πε0

3Q

2a3

a∫

0

dr′r′2(r + r′)− |r − r′|

rr′. (4.48)

Fur Beobachtungspunkte außerhalb der Kugel, d. h. fur r > a ergibt sich,da r > r′,

ϕ(~x) =1

4πε0

Q

rfur r > a . (4.49)

Im Innern der Kugel hingegen

ϕ(~x) =1

4πε0

3Q

2a3r

r∫

0

dr′r′2r′ +

a∫

r

dr′r′2r

=1

4πε0Q

r2

a3+

3

2a3(a2 − r2)

=1

4πε0Q

(3

2a− r2

2a3

)fur r ≤ a . (4.50)

Abbildung 4.10 veranschaulicht die Abhangigkeit des Potentials (4.50) vom Ab-stand r.

Abbildung 4.10

Das zugehorige elektrische Feld lautet

Page 86: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

86 4 Statische wirbelfreie Felder

~E = −∇ϕ = −ϕ′(r) ~xr

=

14πε0

Qr2

~xr fur r ≥ a

14πε0

Qra3

~xr fur 0 ≤ r ≤ a

. (4.51)

Außerhalb der Kugel ergibt sich das bekannte Coulombfeld, als ware dieGesamtladung Q (bzw. Masse) im Mittelpunkt vereinigt. Unter anderen ausdiesem Grund ist es moglich, Sonne und Planeten als punktformige Teilchen zubehandeln. Dabei werden die kleinen Abweichungen der betreffenden Korpervon der Kugelform vernachlassigt. Das Feld innerhalb der Kugel lasst sichschreiben als

~E =1

4πε0Q

4πr3/3

4πa3/3

1

r2~x

r(4.52)

und kann als Coulombfeld der von der Kugel mit Radius r umschlossenen La-dung interpretiert werden.

4.7 Monopole, Dipole, Multipole

Außerhalb einer beliebigen nichtspharischen Ladungs- (bzw. Massen-)”Wolke“

fallt ϕ(~x) nicht genau wie 1/r ab. Betrachten wir die Abweichungen in großerEntfernung von den Quellen. Zur Auswertung des Potentials (4.14) legen wirden Ursprung des Koordinatensystems zunachst irgendwohin ins Innere des Ge-bietes, in dem ρ(~x) 6= 0 ist (s. Abbildung 4.11).

Abbildung 4.11

In großer Entfernung gilt fur alle Quellpunkte ~x ′ die Ungleichung |~x′| ¿ |~x|,so dass wir entwickeln konnen

1

|~x− ~x| =1

r

[1− 1

2

(r′2 − 2~x · ~x ′

r2

)+

3

8

(r′2 − 2~x · ~x′

r2

)2

± . . .]. (4.53)

Page 87: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

4.7 Monopole, Dipole, Multipole 87

Im Integranden entstehen dabei Glieder nullter, erster, zweiter und hohererOrdnung in ~x′ bzw. r′. Dieselben geben zum Integral Beitrage entsprechenderOrdnung im “Durchmesser” a (großter Abstand zweier Quellpunkte). Es ergibtsich die so genannte Multipolentwicklung des Potentials

ϕ(~x) = ϕ(0)(~x) + ϕ(1)(~x) + ϕ(2)(~x) . . . , (4.54)

die umso besser durch das niedrigste Glied (oder die paar ersten) reprasentiertwird, je kleiner das Verhaltnis a/r ist.

In nullter Ordnung entsteht der von der inneren Struktur und der außerenGestalt der Ladungswolke unabhangige Coulombterm

ϕ(0)(~x) =1

4πε0

Q

r, (4.55)

wobei

Q =

∫d3x′ρ(~x′) (4.56)

die Gesamtladung der Ladungsverteilung darstellt. Im Falle elektrischer Neu-tralitat der Wolke verschwindet Q und die Entwicklung beginnt fruhestens mitdem Glied erster Ordnung, ϕ(1) = 0(a/r2). Beim Gravitationsfeld kann dieserFall naturlich nicht eintreten, da es keine Teilchen negativer Masse gibt.

Das gerade besprochene Coulombglied (auch Monopolterm genannt) wirdausschließlich durch die Gesamtladung Q bestimmt. Bei spharischen Wolkengibt es bereits das gesamte Potential. Insofern i. A. weitere Glieder ϕ(1)(~x) etc.auftreten, konnen wir sagen, dass diese die Abweichung von der Kugelsymmetriebeschreiben.

Das Glied erster Ordnung lautet

ϕ1(~x) =1

4πε0

~d · ~xr3

, (4.57)

wobei der Vektor

~d =

∫d3~x′ ~x′ ρ(~x′) (4.58)

das Dipolmoment der Wolke bezuglich des Koordinatenursprungs angibt. Be-achten Sie, dass das Dipolpotential ϕ(1)(x) schneller mit wachsendem Abstandabfallt als das Coulombpotential. Im Fall des Gravitationsfeldes und bei elek-trostatischen Systemen, die nur Ladungen eines Vorzeichens enthalten, lasst sichdas Dipolmoment immer zum Verschwinden bringen, indem der Ursprung desKoordinatensystems in den Massen- bzw. Ladungsschwerpunkt gelegt wird.

Wenn wir den Koordinatenursprung um ~x verschieben, so andert sich dieGesamtladung Q der Wolke offenbar nicht, wohl aber das Dipolmoment gemaß

~d ′ =∑

i

Qi(~xi − ~X) = ~d−Q ~X . (4.59)

Also nicht nur im oben erwahnten Fall von Ladungen gleichen Vorzeichens,sondern fur alle Wolken mit endlicher Gesamtladung lasst sich das elektrischeDipolmoment zum Verschwinden bringen, indem der Koordinatenursprung inden Ladungsschwerpunkt gelegt wird. Wir schließen aus (4.59) weiterhin, dass

Page 88: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

88 4 Statische wirbelfreie Felder

bei elektrisch neutralen Systemen das Dipolmoment unabhangig von der Wahldes Koordinatenursprungs ist.

Das Dipolpotential (4.57) lasst sich besonders einfach in Kugelkoordinaten

(r,Θ,Φ) schreiben. Legen wir die z-Achse in Richtung des Dipolmoments ~d, sohaben wir

ϕ−1 =1

4πε0

d cosΘ

r2. (4.60)

In der Unabhangigkeit dieses Potentials vom Azimutwinkel Φ zeigt sich diezylindrische Symmetrie des Dipols. Das zugehorige elektrische Feld hat dieKomponenten

Er = −∂ϕ∂r = 14πε0

2d cosΘr3 = Anderung des Potentials bei Variation

von r mit Φ,Θ = const

EΘ = − 1r∂ϕ∂Θ = 1

4πε02d cosΘr3 = Anderung des Potentials bei Variation

von rΘ mit r,Φ = const

EΦ = − 1r sinΘ

∂ϕ∂Φ = 0 = Anderung des Potentials bei Variation

von r sinΘϕ mit r,Θ = const(4.61)

Hier zeigt sich die erwahnte Zylindersymmetrie im Verschwinden der Azimutal-komponente Eϕ. In der Abbildung 4.12 sind einige Linien konstanten Dipolpo-tentials in der y − z-Ebene aufgezeichnet.

Abbildung 4.12

Ahnlich wie eine spharische Ladungswolke hinsichtlich ihres Feldes außerhalbihrer selbst durch eine Punktladung idealisiert werden kann, hat der

”mathema-

tische Dipol“, den ich gleich konstruieren will, ein Feld, das durch (4.60) bzw.(4.61) exakt wiedergegeben wird. Denken wir uns zwei entgegengesetzt gleichePunktladungen ±Q im Abstand a. Das Dipolmoment dieser Anordnung hatoffenbar den Betrag

Page 89: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

4.7 Monopole, Dipole, Multipole 89

d = Qa . (4.62)

Wegen der elektrischen Neutralitat hat das zugehorige Potential keinen 1/r-Anteil, wohl aber Anteile ∼ 1/rn mit n = 2, 3, . . . . Der mathematische Dipol,dessen Potential ausschließlich den 1/r2-Term enthalt, entsteht im Grenzfall

Q→∞a→ 0

bei aQ = d = const . (4.63)

Das Glied ϕ(2)(~x) der Multipolentwicklung heißt Quadrupolpotential und lautet

ϕ(2)(~x) =1

4πε0

∫d3x′ρ(~x ′)

3(~x · ~x ′)2 − r2r′22r5

. (4.64)

Es fallt fur große r wie 1/r3 ab. Offenbar lasst es sich schreiben als

ϕ(2)(~x) =1

4πε0

1

2

3∑

i,j=1

Qijxixjr5

, (4.65)

wobei die Koeffizienten

Qij =

Qxx Qxy QxzQyx Qyy QyzQzx Qzy Qzz

= Qji (4.66)

Qij =

∫d3x′(3x′i x

′j − δij r′2)ρ(~x)

den symmetrischen Tensor des Quadrupolmoments bilden.Fur wichtige Spezialfalle nehmen das Quadrupolmoment Qij und das Qua-

drupolpotential (4.64) einfache Form an. Wir betrachten insbesondere den Fallvon Ladungsverteilungen mit Rotationssymmetrie. Die Symmetrieachse kannals z-Achse gewahlt werden. Dann verschwinden alle in (4.64) vorkommendenIntegrale, die einen in x′ oder y′ linearen Integranden haben, z. B.

∫d3x′ρ(~x′)x′z′ =

∫d3x′ρ(~x′)x′y′ = 0 . (4.67)

Ebenfalls wegen der Rotationssymmetrie gilt

∫d3x′ρ(~x′)x′2 =

∫d3x′ρ(~x′) y′2 . (4.68)

Es folgt, dass (4.64) sich schreiben lasst als

ϕ(2)(~x) =1

4πε0

2z2 − x2 − y24r5

Q(2) (4.69)

mit dem”Quadrupolmoment“

Q(2) =

∫d3x′ρ(~x′) (2z′2 − x′2 − y′2) . (4.70)

Besonders schon sieht das Potential (4.69) fur einen rotationssymmetrischenQuadrupol in Polarkoordinaten aus, namlich

Page 90: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

90 4 Statische wirbelfreie Felder

ϕ2(~x) =1

4πε0

Q(2)

4r3(3 cos2Θ− 1) . (4.71)

Wir konnen leicht eine Ladungsverteilung angeben, die sowohl elektrisch neu-tral ist als auch kein Dipolmoment aufweist, deren Multipolentwicklung also mitdem Quadrupolglied (4.69) beginnt. Wir haben einfach zwei einander entgegen-

gerichtete Dipole ~d und −~d im Abstand a kollinear zu legen (s. Abbildung 4.13).

Abbildung 4.13

Jeden dieser Dipole denken wir uns punktformig gemaß

|~d| = limb→0Q→∞

bQ . (4.72)

Die zugehorige Ladungsverteilung lautet

ρ(~x) = Qδ(x) δ(y) [δ(z) − δ(z − b) − δ(z − b− a) + δ(z − 2b− a)] .

Ihr sehen wir sofort an, dass die Gesamtladung und das Dipolmoment bezuglichdes Koordinatenursprungs verschwinden. Wegen der Rotationssymmetrie istdas Quadrupolmoment durch den einen Parameter

Q(2) = 2

∫dx

∫dy

∫dz z2ρ(~x)

= 4(b2 + ab)Q . (4.73)

festgelegt. Im Grenzubergang (4.72) entsteht

Q(2) = 4ad . (4.74)

In diesem Grenzfall beginnt die Entwicklung des Potentials mit dem Quadru-polterm (4.71). Um ein reines Quadrupolfeld zu haben, idealisieren wir weitergemaß a→ 0 und d→∞ bei ad = const.

4.8 Die Form der Erde

Von lokalen Erhebungen wie dem Kahlen Asten oder dem Mt. Everest undAbsenkungen wie der oberrheinischen Tiefebene und Death Valley abgesehen

Page 91: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

4.8 Die Form der Erde 91

hat die Erde die Form eines an den Polen abgeplatteten Rotationsellipsoids.Der polare Radius c ist um etwa 21,5 km kleiner als der aquatoriale Radius a,die relative Abplattung also

ε =a− ca

=1

300. (4.75)

Infolge der Abplattung ist das Gravitationspotential der Erde nicht exakt gleichdem Keplerpotential. Bezuglich des Erdschwerpunktes verschwindet das Di-polmoment. Also ist der wichtigste Korrekturterm der Quadrupolterm. Neh-men wir die Nord-Sud-Achse als z-Achse, so lautet das Gravitationspotential ingroßer Entfernung von der Erde

ϕ(~x) = − GM

r− GQ(2)

4r3(3 cos2Θ− 1) . (4.76)

Fur das Quadrupolmoment Q(2) der Erde finden wir leicht eine Abschatzung,wenn wir annehmen, dass die Masse M homogen uber das Rotationsellipsoidverteilt ist (tatsachlich nimmt die Dichte zum Mittelpunkt hin zu). Die Dichteρ lasst sich dann durch die Masse M und das Volumen 4πa2c/3 des Rotations-ellipsoids ausdrucken,

ρ =M

4πa2c/3. (4.77)

Zur Berechnung des Integrals (4.69),

Q(2) = ρ

∫d3x(2z2 − x2 − y2) , (4.78)

uber das Erdvolumen mit der Oberflache

x2

a2+y2

a2+z2

c2= 1 (4.79)

dehnen wir die Integrationsvariablen gemaß

x = ξa , y = ηa , z = cζ , (4.80)

woraufhin das Quadrupolmoment (4.78) die Form

dQ(2) =3M

∫dξ

∫dη

∫dζ (2c2ζ2 − a2ξ2 − a2η2) (4.81)

annimmt und die Erdoberflache durch die Gleichung

ξ2 + η2 + ζ2 = 1 (4.82)

beschrieben wird. Bezuglich der Koordinaten ξ, η, ζ sieht die Erdoberflache alsowie eine Einheitskugel aus. Aus Symmetriegrunden sind die Raumintegralevon ζ2, η2, ξ2 uber das Volumen der Einheitskugel gleich, so dass sich (4.81)vereinfacht zu

Q(2) =3M

2π(c2 − a2)

∫dξdηdζ ζ2 .

Das verbleibende Integral rechnen wir am bequemsten in Kugelkoordinaten ausund finden

∫d3xx2 = 4π/15, also

Page 92: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

92 4 Statische wirbelfreie Felder

Q(2) =2

5M(a2 − c2) ≈ − 4

5Ma2ε . (4.83)

Tatsachlich muss das Quadrupolmoment kleiner sein, da die Dichte der Erdenach innen zunimmt und somit Volumenelemente mit großerem Abstand vomMittelpunkt weniger als in (4.83) beitragen.

Die Erde ist abgeplattet, weil sie rotiert. In Aquatornahe wirkt auf Volu-menelemente des Erdmantels eine großere Zentrifugalkraft als in Polnahe. Ubererdgeschichtlich lange Zeitraume musste und muss die Erdoberflache sich so ein-stellen, dass Volumenelemente des Erdmantels in guter Naherung kraftefrei sindbezuglich Gravitationskraft, Zentrifugalkraft und Druckkraft seitens benachbar-ter Volumenelemente. Ein solcher Zustand wird durch plastische Formanderungenerreicht. Tun wir so, als ware die Erde aus einer extrem viskosen Flussigkeitgebildet ∗). Im beschriebenen Gleichgewichtszustand muss die Erdoberflacheeine Aquipotentialflache darstellen. Ansonsten wurde sich die Gestalt der Erdedadurch andern, dass die Flussigkeit zu Gebieten niedrigeren Potentials fließt.

Vernachlassigen wir die Ortsabhangigkeit der Druckkraft, d. h. der elasti-schen Energie von Volumenelementen nahe der Erdoberflache, so setzt sich dasPotential zusammen aus dem Gravitationspotential (4.76) und dem Potentialder Zentrifugalkraft

ϕzentr(~x) = − 1

2ω2(x2 + y2)

= − 1

2ω2r2 sin2Θ . (4.84)

(Dieses Potential gibt gerade die Zentrifugalkraft auf ein Volumenelement bei

~x mit Masse m, ~Fzentr = −∇ϕm = (mω2x,mω2y, 0) = − m~ω × (~ω × ~x).)Insgesamt lautet das Potential also

ϕ = − 1

2ω2r2 sin2Θ− GM

r+GMa2ε

5r3(3 cos2Θ− 1) . (4.85)

Setzen wir das Potential am Nordpol Θ = 0 gleich dem Potential am AquatorΘ = π/2, so finden wir eine Bestimmungsgleichung fur die relative Abplattungε,

− GM

c+

2GMa2ε

5c3= − 1

2ω2a2 − GM

a− GMa2ε

5a2. (4.86)

Beachten wir, dass ε¿ 1 und daher

1

c=

1

a

a

c=

1

a(1− ε)−1 ≈ 1

a(1 + ε) . (4.87)

Wenn wir schließlich auch in (4.86) Glieder der Ordnung ε2 vernachlassigen, sofinden wir die lineare Gleichung

− GM

a− GM

aε+

2GM

5aε = − 1

2ω2a2 − GM

a− GMa

5aε . (4.88)

∗)Fur die Fruhgeschichte des Planeten vor der Erstarrung der Erdkruste ist die Annahmesicherlich vernunftig. Bis auf die Effekte der Erosion und der Plattentektonik sollte sich dieForm der Erde seither nicht verandert haben.

Page 93: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

4.9 Die Energie eines Haufens von Ladungen 93

Die Losung,

ε =5

4

ω2a3

GM≈ 1

230,

stimmt bis auf 30% mit der beobachteten Abplattung uberein.

4.9 Die Energie eines Haufens von Ladungen

Die Energie eines Haufens von Ladungen wird berechnet, indem wir die denHaufen aufbauenden Teilladungen qi alle nacheinander aus dem Unendlichen(wo die wechselseitige potenzielle Energie verschwindet) in ihre Positionen ~xiim Haufen gebracht denken.

Die erste Teilladung qi nach ~x1 zu bringen, kostet keine Energie, da alleanderen Ladungen noch im Unendlichen (d. h. nirgends) sitzen. Die zweite, q2,nach ~x2 zu bringen, kostet, da q2 im durch q1 erzeugten Feld eine Kraft erfahrt,Energie, u. z.

q2 ϕ1(~x2) =1

4πε0

q1q2|~x1 − ~x2|

. (4.89)

Beim Heranholen von q3 nach ~x3 ins von q1 und q2 erzeugte Feld vergroßert sichdie Energie um

q3ϕ1(~x3) + q3ϕ2(~x3) =1

4πε0

q3q1

|~x3 − ~x1|+

q3q2|~x3 − ~x2|

. (4.90)

Wird schließlich die n-te und letzte Teilladung in ihre Position ~xn geholt, soerhoht sich die gesamte Wechselwirkungsenergie um die Energie der n-ten Teil-ladung im Feld der n− 1 anderen, also um

qn∑

i<n

ϕi(~xn) =1

4πε0qn∑

i<n

qi|~xn − ~xi

| . (4.91)

Die gesamte Wechselwirkungsenergie, die Summe aller aufgelisteten Beitrage,lautet

W +1

4πε0

n∑

j=1

i<j

qjqi|~xj − ~xi|

=1

4πε0

1

2

i6=j

qiqj|~xi − ~xj |

. (4.92)

Beachten Sie, dass per Konstruktion die Wechselwirkungsenergie keine”dia-

gonalen“ Glieder mit i = j enthalt. Eine Definition von W , die solche Gliedermit einschlosse, ware hochst unglucklich, denn die Energie einer Punktladung imeigenen Feld, die

”Selbstenergie“ einer Punktladung, divergiert und hat keinen

Sinn.Fur den Fall einer kontinuierlichen Ladungsverteilung verwenden wir die dis-

krete Formel (4.92), in der wir qi mit ρ(~x)d3x und qj mit ρ(~x′)d3x′ identifizierenund integrieren

W =1

4πε0

1

2

∫d3x

∫d3x′

ρ(~x)ρ(~x′)

|~x− ~x′| . (4.93)

Page 94: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

94 4 Statische wirbelfreie Felder

Allerdings unterscheidet sich (4.92) von (4.93) insofern wesentlich, als in (4.93)Beitrage von ~x = ~x′ nicht ausgeschlossen sind, so dass (4.93) auch Selbstenergie-beitrage enthalt. Dennoch ist W gemaß (4.93) fur kontinuierliche Ladungsver-teilung ρ(~x) wohl definiert. Divergente Selbstenergien treten nur bei diskretenPunktladungen auf. (Woran sich zeigt, dass der Begriff der Punktladung, dain manchen Zusammenhangen zu Unsinn fuhrend, eine mit Vorsicht zu behan-delnde Idealisierung ist.)

Berechnen wir, um ein Beispiel vor Augen zu haben, die Energie eines ho-mogenen kugelformigen Ladungshaufens, in dessen Innerem die Ladungsdichte

p(~x) =Q

4π3 R3

=Q

V(4.94)

vorliegt. Aus (4.93) finden wir

W =1

4πε0

1

2

(Q

V

)2 ∫d3x

∫d3x′

1

|~x− ~x′| . (4.95)

Fuhren wir zuerst die Integration uber ~x′ aus und stellen ~x′ in Kugelkoordinatendar. Dabei konnen wir die vorlaufig feste Richtung von ~x als die z′-Richtungwahlen und erhalten

W =1

4πε0

1

2

(Q

V

)2 ∫d3x

R∫

0

dr′r′2π∫

0

dΘ′

sinΘ′2π∫

0

dΦ′

︸ ︷︷ ︸2π

1√r2 + r′2 − 2rr′ cosΘ′

=1

4πε0π

(Q

V

)2 ∫d3x

R∫

0

dr′r′2+1∫

−1

dξ1√

r2 + r′2 − 2rr′ξ︸ ︷︷ ︸

=

2r fur r > r′

2r′ fur r > r′

=1

4πε02π

(Q

V

)2 ∫d3x

1

r

r∫

0

dr′r′2 +

R∫

r

dr′r′

︸ ︷︷ ︸12R2− 1

6r2

. (4.96)

Nun fuhren wir das zweite Raumintegral aus und erhalten mit

W =1

4πε0

3

5

Q2

R(4.97)

ein Ergebnis, das wir bis auf den numerischen Faktor 3/5 aus einer Dimensions-betrachtung ohne Rechnung hatten gewinnen konnen.

Page 95: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

4.10 Die Energie eines Ladungshaufens in einem außeren Feld 95

Die Energie (4.93) eines Ladungshaufens lasst sich auch durch die von denLadungen erzeugte Feldstarke ausdrucken. Wir gewinnen einen solchen Aus-druck, indem wir (4.93) in der Form

W =1

2

∫d3xρ(~x)ϕ(~x) (4.98)

schreiben und die Ladungsdichte mit Hilfe der Poissongleichung −ρ(~x)/ε0 =+∆ϕ(~x) eliminieren,

W = − ε02

∫d3xϕ(~x) div grad ϕ(~x) . (4.99)

Hierin benutzen wir die Identitat

div(ϕ grad ϕ) = (grad ϕ) · (grad ϕ) + ϕ div grad ϕ , (4.100)

und erhalten

W =ε02

∫d3x|E(~x)|2 + ε0

2

∫d3x div(ϕ~E) . (4.101)

Der zweite Term kann mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes in ein Ober-flachenintegral uber eine im Unendlichen liegende Kugelflache verwandelt wer-den und verschwindet, falls der Ladungshaufen endliche Ausdehnung hat. Be-achten wir nur, dass fur große Entfernung |~x| = r vom Ladungshaufen das Feld ~Emindestens wie 1/r2 und das Potential ϕ mindestens wie 1/r abfallen, wahrend

das Oberflachenelement auf einer Kugel sich wie |d ~f | = r2 sinΘdΘdΩ verhalt.Demnach lautet der gesuchte Ausdruck fur die Energie des Ladungshaufens

W =ε02

∫d3x| ~E(~x)|2 . (4.102)

Das gefundene Resultat legt die Interpretation nahe, dass uberall im elek-trostatischen Feld Energie mit einer Raumdichte

w(~x) =ε02| ~E(~x)|2 . (4.103)

konzentriert ist.

4.10 Die Energie eines Ladungshaufens in einemaußeren Feld

Die Energie eines Ladungshaufens in einem außeren Feld lautet, da eine Ladungq im Potential ϕ(~x) die potenzielle Energie qϕ(~x) hat,

W =

∫d3xρ(~x) ϕ(~x) . (4.104)

Wir studieren diese Energie genauer fur den Fall, dass das außere Potentialϕ(~x) uber den Ladungshaufen hinweg nur schwach veranderlich ist. Dann lasstsich ϕ(~x) in eine Taylorreihe um einen im Ladungshaufen gelegenen Nullpunktherum entwickeln

Page 96: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

96 4 Statische wirbelfreie Felder

ϕ(~x) = ϕ(0) +

3∑

i=1

xi∂ϕ(0)

∂xi+

1

2

3∑

i,j=1

xixj∂2ϕ(0)

∂xi∂xj+ . . .

= ϕ(0)− ~x · ~E(0)− 1

2

3∑

i,j=1

xi xj∂Ej(0)

∂ xi+ . . . (4.105)

Im dritten Term durfen wir, da das außere Feld innerhalb des Ladungshaufens

keine Quellen hat, also ∇· ~E(0) = 0 gilt, ungestraft den Term∑ij

16 r

2δij∂Ej(0)∂xi

abziehen und schreiben

ϕ(~x) = ϕ(0)− ~x · ~E(0)− 1

6

ij

(3xixj − δij r2)∂Ej(0)

∂xi+ . . . (4.106)

Setzen wir diese Reihe in (4.104) ein, so finden wir die Energie des Ladungshau-fens im außeren Feld ausgedruckt durch die Multipolmomente

W = Qϕ(0)− ~d · ~E(0)− 1

6

ij

Qij∂Ej(0)

∂xi. (4.107)

Sehen Sie, dass Parallelstellung eines Dipols zum außeren Feld energetischbegunstigt ist gegen alle anderen Orientierungen? Dass das Quadrupolmomentmit dem Feldgradienten wechselwirkt? Im Labor lernen Sie, diese Eigenschaftenzur Messung von Dipol- und Quadrupolmomenten auszunutzen.

Page 97: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

Kapitel 5

Statische Magnetfelder

5.1 Das magnetische (Induktions-)Feld ~B(~x)

Das magnetische (Induktions-) Feld ~B(~x) ist definierbar und messbar durch dieKraft, die eine mit Geschwindigkeit ~v bewegte Ladung q erfahrt,

~F = q( ~E + ~v × ~B) . (5.1)

Das ist die wohlbekannte Lorentzkraft , deren Coulombanteil q ~E wir schon be-sprochen hatten.

Aus der Experimentalphysik ist Ihnen ebenfalls bekannt, dass stromdurch-flossene Leiter im Magnetfeld eine Kraft erfahren. Uberzeugen wir uns davonnochmal mit Hilfe von (5.1). Dazu zunachst eine Voruberlegung. Betrachtenwir einen Ladungshaufen mit der Ladungsdichte ρ(~x), dessen Ladungselementemit der stationaren Geschwindigkeit ~v(~x) durch den Raum driften. Dann stromt

durch ein Flachenelement ~df im Zeitintervall dt die Ladung

dq = ρ(~x) ~v(~x) · ~df dt . (5.2)

Die hier auftretende Große

ρ(~x) ~v(~x) = ~j(~x) (5.3)

heißt elektrische Stromdichte und ist ein Vektorfeld, das wir hier vorlaufig alszeitunabhangig annehmen.

Der elektrische Strom I, der durch eine beliebige Flache F , z. B. durch denQuerschnitt eines Drahtes fließt, ist einfach der Fluss der Stromdichte ~j durchF , also

I =

F

~df ·~j(~x) . (5.4)

Das ist die elektrische Ladung, die sekundlich durch F stromt.Zuruck zur Lorentzkraft! Da wir uns hier nur fur den magnetischen Anteil

interessieren, nehmen wir an, ~E sei gleich Null. Die Kraft auf eine Ladung qiist ~Fi = qi~vi × ~B(~xi). Haben wir einen Haufen vieler bewegter Punktladungen,so erhalten wir die Gesamtkraft auf alle Punktladungen als

97

Page 98: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

98 5 Statische Magnetfelder

~F =∑

i

qi~vi × ~B(~xi) , (5.5)

bzw. fur ausgeschmierte Haufen,

~F =

∫d3xρ(~x)~v(~x)× ~B(~x) =

∫d3x~j(~x)× ~B(~x) . (5.6)

Schauen wir insbesondere ein Stuck eines dunnen stromdurchflossenen Drah-tes mit dem Querschnitt df und der Lange dl an. Wir konnen das Langenelementdl zum Vektor ~dl ernennen, wenn wir als Richtung die des Drahtstucks nehmen(Abbildung 5.1).

Abbildung 5.1

Insgesamt sei der Querschnitt so klein, dass ~j(~x) darin konstant ist. Dann gilt

~j(~x)d3x = |~j(~x)| df ~dl = I ~dl ,

wobei I der durch den Draht fließende Strom ist. Fur die Kraft auf das Drahtstuckhaben wir

d~F (~x) = I ~dl × ~B(~x) . (5.7)

Die Gesamtkraft auf ein endliches Drahtstuck erhalten wir hieraus durch Su-perposition der Krafte auf kleine Teilstucke,

~F =

∫~dl × ~B(~x)I . (5.8)

Es gilt in der Natur ein Erhaltungssatz fur elektrische Ladungen: Die Ge-samtladung eines abgeschlossenen Systems bleibt zeitlich konstant. Ladun-gen gehen nie verloren und werden nie erzeugt. (Dieser Erhaltungssatz stehtkeineswegs im Widerspruch, vielmehr in schoner Ubereinstimmung zu Paarer-zeugungsprozessen, bei denen ein γ-Quant mit E > 1MeV in ein Elektron-Positronpaar zerfallt: Das γ-Quant ist neutral, das Elektron-Positronpaar auch).Der Ladungserhaltungssatz besagt fur unseren Draht, dass der Strom I durchden Querschnitt unabhangig von ~x ist. Die Ladung, die

”vorne“ durch die

Querschnittsflache df in ein Drahtstuck pro Sekunde hineinfließt, muss, da Sta-tionaritat angenommen, pro Sekunde

”hinten“ wieder herausfließen. Demnach

haben wir fur die Kraft auf einen dunnen, vom Strom I durchflossenen Drahtden Ihnen bekannten Ausdruck

Page 99: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

5.2 Das Magnetfeld eines geraden stromdurchflossenen Drahtes 99

~F = I

∫~dl × ~B(~x) . (5.9)

5.2 Das Magnetfeld eines geraden stromdurch-flossenen Drahtes

Das Magnetfeld eines geraden stromdurchflossenen Drahtes ist Ihnen ebenfallswohlbekannt. ~B hat keine Komponente parallel zum Draht und auch keineradial vom

Abbildung 5.2

Draht weg gerichtete (vgl. Abbildung 5.2)). Der Betrag von ~B fallt umgekehrtproportional zum Abstand vom Draht ab und ist proportional zum Strom I.

Fuhren wir Zylinderkoordinaten ~x = (z, r, ϕ) ein, so lautet ~B

Bz = 0 , Br = 0 , Bϕ = Bϕ(r) =1

4πε0c22I

r. (5.10)

Gemaß einer anschaulichen Redeweise sind die Feldlinien von ~B geschlosseneKreise in Ebenen senkrecht zum Draht (also Ebenen z = const) mit Mittelpunktim Draht.

Das eben in Erinnerung gerufene Feld des geraden stromdurchflossenen Drah-tes ist fur die Beschreibung des magnetostatischen Feldes ein ahnlich bequemerAusgangspunkt wie das Coulombgesetz ~E = (1/4πε0)q~x/r

3 fur die Beschrei-bung des elektrostatischen Feldes. Wir werden lernen, (5.10) zu lesen als: Dasstatische Magnetfeld hat keine Quellen und hat als Wirbel elektrische Strome.

5.3 Wirbel

Die Wirbelstarke alias Zirkulation eines Vektorfeldes ~B(~x) entlang einer ge-schlossenen Kurve K wird gegeben durch das Linienintegral

Page 100: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

100 5 Statische Magnetfelder

K

~B(~x) · ~dl = Z . (5.11)

Im allgemeinen ist die Zirkulation Z eine Eigenschaft des Feldes ~B und derKurve K. Wenn allerdings Z = 0 fur beliebige Kurven K, so kann geschlossenwerden, dass das Feld ~B(~x) keine Wirbel hat.

Betrachten wir das Magnetfeld ~B(~x) des geraden stromdurchflossenen Drah-tes und berechnen Z fur einen Kreis in einer Ebene z = const mit Mittelpunktim Draht. Uberall langs des Weges ist ~dl parallel zu ~B und |~dl| = rdϕ, wenn rder Radius von K ist und ϕ der Azimutwinkel. Also folgt

Z =

2π∫

0

dϕ rBϕ(r) =

2π∫

0

dϕ r1

4πε0c22I

r=

1

ε0c2I . (5.12)

Die Wirbelstarke von ~B langs des betrachteten Kreises ist also zum Strom I pro-portional. Dieses Ergebnis wird erst wirklich interessant durch die Feststellung,dass es unabhangig vom Weg K ist, vorausgesetzt, K umschlingt den Drahtgenau ein Mal.

Um letztere Feststellung als richtig zu erweisen, beobachten wir zunachst,dass Z unabhangig vom Radius r des Kreises und der Lage der Ebene z = constist. Sodann denken wir uns in dieser Ebene den Kreis beliebig deformiert, z. B.so wie in Abbildung (5.3) gezeigt.

Abbildung 5.3

Die Teilstuckzerlegung des Weges denken wir uns so, dass jedes Wegelement~dl vom Durchstoßpunkt des Drahtes durch die Ebene aus gesehen unter demgleichen Winkelstuck dϕ erscheint. Dann ergeben alle Winkelstucke dϕ dengleichen Beitrag zu Z, namlich rdϕ(1/4πε0c

2)(2l/r). Das gilt auch fur solche

Winkelstucke, zu denen mehrere Wegstucke ~dl (namlich 3, 5, 7, ..., jedenfallsungeradzahlig viele) gehoren, denn in solchen Fallen alternieren die Beitrage der

nach außen aufeinander folgenden Wegstucke ~dl im Vorzeichen und heben sichbis auf einen paarweise auf. Die Summe aller Beitrage von allen Winkelelemen-ten ist wieder die in (5.12) gegebene Zirkulation.

Page 101: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

5.3 Wirbel 101

Schließlich lassen wir noch Deformationen des Weges K in z-Richtung zu.Solche Deformationen konnen aber den Wert von Z nicht andern, daz-Komponenten von ~dl keinen Beitrag zum Skalarprodukt ~dl · ~B = (~dl)ϕBϕgeben.

Mit gleicher Argumentation konnen wir zeigen, dass die Zirkulation von ~Bum mehrere stromdurchflossene Drahte, wobei jeder vom geschlossenen Weg Kgenau einmal umschlossen wird, gleich der Summe aller Strome Ii ist. Dabei sindnaturlich die Vorzeichen der Ii als verschieden anzusehen, wenn die respektivenDrahte in verschiedener Richtung von Strom durchflossen werden

Z =

K

d~x · ~B(~x) =1

ε0c2

i

Ii , (5.13)

Die hier rechts stehende Summe aller Strome, die von der geschlossenen Kur-ve K umschlungen werden, lasst sich auch schreiben als Fluss des Stromdichte-feldes ~j(~x) durch irgendeine offene, von K berandete Flache F (vgl. Abbildung5.4),

i

Ii =

F

~df ·~j(~x) . (5.14)

Abbildung 5.4

Da der Strom durch einen Draht (durch die Querschnittsflache des Drahtes)uberall langs des Drahtes gleich ist (Ladungserhaltung und Stationaritat), gilt(5.14) fur alle von K berandeten offenen Flachen F .

Wir schließen, dass die Zirkulation des Magnetfeldes ~B langs der geschlos-senen Kurve K proportional zu dem Fluss der elektrischen Stromdichte durchirgendeine von K berandete Flache F ist,

K

~dl · ~B(~x) =1

ε0c2

F

~df ·~j(~x) . (5.15)

Page 102: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

102 5 Statische Magnetfelder

5.4 Lokale Wirbel

Die Wirbelstarke von ~B langs einer geschlossenen Kurve K gibt erst dann eineeindeutige Auskunft uber das Magnetfeld, wenn wir die Kurve K zu einem be-liebig kleinen Ring schrumpfen lassen. Bleibt K in engster Nachbarschaft einesPunktes ~x, so wird die Wirbelstarke langs K durch die Stromdichte ~j(~k) am Ort~x charakterisiert sein. Uberlegen wir uns, welche differenziellen Eigenschaftendes Magnetfeldes ~B am Ort ~x durch die Stromdichte ~j(~x) festgelegt werden.

Betrachten wir einen Weg K langs eines kleinen Rechtecks. OhneBeschrankung der Allgemeinheit wahlen wir das Koordinatensystem so, dassdas Rechteck in einer Ebene z = const liegt (Abbildung 5.5):

Abbildung 5.5

Die Zirkulation von ~B langs K lautet

Z =

x+∆x∫

x

dξ [Bx(ξ, y, z)−Bx(ξ, y +∆y, z)]

+

y+∆y∫

y

dη [By(x+∆x, η, z)−By(x, η, z)] . (5.16)

Es seien die Kantenlangen ∆x und ∆y so klein, dass die Taylorreihen

Bx(ξ, y +∆y, z) = Bx(ξ, y, z) +∂Bx(ξ, y, z)

∂y∆y + . . .

(5.17)

By(x+∆x, η, z) = By(x, η, z) +∂By(x, η, z)

∂x∆x+ . . .

nach den Gliedern erster Ordnung abgebrochen werden konnen. Dann verein-facht sich Z zu

Page 103: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

5.4 Lokale Wirbel 103

Z = −∆yx+∆x∫

x

dξ∂Bx(ξ, y, z)

∂y+∆x

y+∆y∫

y

dη∂By(x, η, z)

∂x, (5.18)

woraus wir sehen, dass im Grenzfall beliebig kleiner Kantenlangen ∆x,∆y dieZirkulation von der Ordnung des Produktes ∆x ∆y ist. Unter Vernachlassigungvon Gliedern hoherer Ordnung konnen wir (5.18) weiter verschonern zu

Z = ∆x∆y

(∂By(~x)

∂x− ∂Bx(~x)

∂y

). (5.19)

In der Klammer steht, was wir kunftig die z-Komponente der lokalen Wir-belstarke oder Rotation von ~B nennen werden,

(rot ~B)z =∂By∂x− ∂Bx

∂y. (5.20)

Der gesuchte Zusammenhang zwischen der lokalen Wirbelstarke von ~B und derStromdichte ~j ergibt sich, indem wir die Proportionalitat der Zirkulation (5.19)mit dem Fluss der elektrischen Stromdichte ~j(~x) durch das Flachenelement be-achten. Letzterer Fluss ist, da die Normale des Flachenelements in z-Richtungweist, ∆x∆y jz(~x). Wir haben also

(rot ~B)z =1

ε0c2jz . (5.21)

Betrachten wir Flachenstuckchen, die in Ebenen y = const bzw. x = constliegen, so erhalten wir durch simple Wiederholung der zu (5.21) fuhrendenUberlegung zwei weitere Gleichungen, die sich von (5.21) nur durch die Er-setzung des Vektorindex z durch y bzw. x unterscheiden. Insgesamt haben wirals Zusammenhang zwischen der Stromdichte und der Wirbelstarke von ~B dasvektorielle Gesetz

rot ~B =1

ε0c2~j . (5.22)

Als Nebenprodukt unserer Uberlegungen haben wir die Rotation rot ~B einesVektorfeldes ~B gewonnen,

(rot ~B)x =∂Bz∂y− ∂By

∂z. (5.23)

(rot ~B)y =∂Bx∂z− ∂Bz

∂x.

(rot ~B)z =∂By∂x− ∂Bx

∂y.

Wir werden manchmal die Schreibweise

rot ~B = ~∇× ~B

Page 104: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

104 5 Statische Magnetfelder

benutzen, die offenbar sinnvoll ist, denn die vektorielle Multiplikation des”Vek-

tors“ ~∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) mit dem Vektor ~B gibt gerade einen Vektor mitden in (5.23) angegebenen Komponenten.

Als weiteres Nebenprodukt ernten wir den Stokes’schen Integralsatz der Vek-toranalysis, wenn wir nochmal die Zirkulation von ~B langs eines endlichen WegesK und den Fluss der elektrischen Stromdichte durch irgendeine von K beran-dete offene Flache F betrachten. Denken wir uns die Flache F zerlegt in kleineStuckchen dFi mit Berandungen Ki. Die Zirkulation von ~B langs K ist gleichder Summe der Zirkulationen langs der Ki, da die Wegintegrale langs der inne-ren Kanten sich paarweise aufheben (s. Abbildung 5.6).

Abbildung 5.6

Fur jede Teilflache dFi gilt dann

Zi =

Ki

~B · ~dl = d~Fi rot ~B (5.24)

und fur die Summe, im Grenzfall beliebig feiner Unterteilung,

K

~B · ~dl =∫

F

~df · rot ~B . (5.25)

Die Zirkulation eines Vektorfeldes ~B langs einer geschlossenen KurveK ist gleichdem Fluss der Rotation von ~B durch irgendeine von K berandete Flache.

5.5 Magnetische Monopole

Magnetische Monopole sind bisher nie zweifelsfrei beobachtet worden. Obwohldie Suche weitergeht und ein abschließendes Urteil nicht moglich ist, bleibtdie Erfahrungstatsache, dass magnetische Felder keine Quellen haben, vorlaufigunerschuttert.

Dem magnetostatischen Feld des stromdurchflossenen Drahtes sehen wir dieQuellenfreiheit sofort an: alle Feldlinien sind in sich geschlossene Kreise. Wirschließen

Page 105: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

5.6 Die Feldgleichungen 105

div ~B(~x) = 0 . (5.26)

Sollten eines Tages doch Teilchen mit magnetischer Ladung gefunden werden,so ware die Theorie des elektromagnetischen Feldes an dieser Stelle abzuandern.

5.6 Die Feldgleichungen

Die Feldgleichungen des magnetostatischen Feldes sind die oben gewonnenenAussagen uber Quellen und Wirbel von ~B,

div ~B = 0 (5.27)

rot ~B =1

ε0c2~j . (5.28)

Hierin sind die Stationaritat der Stromverteilung ~j und des von ihr erzeugtenFeldes ~B enthalten und ebenso der Erhaltungssatz fur die elektrische Ladung.Nehmen wir, um die Ladungserhaltung zu verifizieren, die Divergenz der in(5.28) gleichgesetzten Vektoren. Wegen div rot ~B = ∇ · (∇ × ~B) = 0 folgt dieQuellenfreiheit der Stromdichte,

div ~j = 0 . (5.29)

Tatsachlich ist klar, dass ~j am Ort ~x nur dann eine Quelle haben kann, wenn sichdort die elektrische Ladungsdichte ρ zeitlich andert, was wir mit der Annahmeder Stationaritat hier ausgeschlossen haben.

Bei vorgegebener Stromverteilung ~j(~x) stellen (5.27) und (5.28) inhomogeneDifferentialgleichungen fur die drei Komponenten Bi(~x) dar, die, zusammen mit

geeigneten Randbedingungen, das Feld ~B eindeutig festlegen. Zur Losung dieserDifferentialgleichungen ist es bequem, das Magnetfeld als die Wirbelstarke einesanderen Vektorfeldes, des so genannten Vektorpotentials, darzustellen,

~B(~x) = rot ~A(~x) . (5.30)

Diese Darstellung hat die Quellenfreiheit von ~B schon eingearbeitet, denn furbeliebiges ~A gilt div rot ~A = 0.

Wahrend das Magnetfeld ~B durch das Vektorpotential ~A in (5.30) eindeutigfestgelegt ist, gilt nicht das Umgekehrte! Uberzeugen wir uns davon, dass wirvon ~A den Gradienten eines beliebigen skalaren Feldes hinzufugen konnen, d. h.statt ~A wahlen durfen

~A ′ = ~A+ gradf(~x) , (5.31)

ohne dass sich ~B andert. Der Grund ist einfach, dass ein Gradientenfeld wir-belfrei ist,

rot gradf(~x) = 0 . (5.32)

Es gilt also

rot ~A ′ = rot ~A = ~B . (5.33)

Page 106: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

106 5 Statische Magnetfelder

Ahnlich war’s in der Elektrostatik. Dort durften wir zum elektrostatischenPotential ϕ eine beliebige Konstante hinzufugen, ohne dass sich das elektrischeFeld anderte. Die willkurliche additive Konstante in ϕ hatten wir aus Bequem-lichkeit meist so festgelegt, dass

ϕ(~x→∞) = 0

Hier benutzen wir den Spielraum in ~A, indem wir die Eichbedingung (Cou-lombeichung)

div ~A = 0 (5.34)

fordern. Die Bequemlichkeit dieser Wahl wird weiter unten sichtbar werden. DieBedingung (5.34) ist immer erfullbar, denn haben wir ein ~A0(~x) mit Quellen,so finden wir mit der

”Eichtransformation“ (5.31) ein skalares Feld f(~x), dessen

Gradient die Quellen von ~A0 aufhebt und ~A = ~A0 + grad f quellenfrei macht.Die Bestimmungsgleichung fur f lautet

0 = div ~A0 + div gradf . (5.35)

Wir erkennen in (5.35) sofort die Poissonsche Differentialgleichung wieder, diewir in der Elektrostatik gelost haben. Eine Losung lautet bekanntlich

f(~x) =1

∫d3x′

div ~A0(~x′)

|~x− ~x ′| . (5.36)

Im ubrigen ist das Vektorpotential ~A durch Angabe des Magnetfeldes ~B und derEichbedingung (5.34) immer noch nicht eindeutig bestimmt, denn wir konnennoch Randbedingungen stellen.

Zur Gewohnung an den Umgang mit ~A betrachten wir den Fall eines raumlichhomogenen magnetischen Feldes

~B(~x) = (0, 0, Bz) (5.37)

mit Bz = B = const. Das Vektorpotential bestimmen wir aus

Bx = 0 = ∂Az∂y −

∂Ay∂z

By = 0 = ∂Bz∂z − ∂Az

∂x

Bz = B =∂Ay∂x − ∂Ax

∂y .

(5.38)

Mogliche Losungen sind u. a.

(0, xB, 0)

(−yB, 0, 0)(− 1

2 yB,12 xB, 0

).

Alle genannten Losungen sind auch quellenfrei. Andere lassen sich leicht finden.Die hier angegebenen haben die schone Eigenschaft, dass die Komponenten Ailineare Funktionen der Koordinaten xi sind.

Bestimmen wir nun das Vektorpotential aus einer vorgegebenen Stromver-teilung. Verwenden wir die Definition ~B = rot ~A und die Wirbel rot ~B = 1

ε0c2~j,

so haben wir

Page 107: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

5.6 Die Feldgleichungen 107

rot rot ~A =1

ε0c2~j . (5.40)

Die kompakte Schreibweise darf uns nicht daruber hinwegtauschen, dass (5.40)drei gekoppelte Differentialgleichungen fur die drei Komponenten von A dar-stellen. Eine erhebliche Vereinfachung dieser Gleichungen wird erreicht, wennwir die Eichbedingungen (5.34) und die Vektoridentitat

rot rot ~A = grad div ~A−∆ ~A (5.41)

verwenden. Aus (5.40) entstehen dann drei entkoppelte Gleichungen fur die

Komponenten von ~A

∆ ~A = − 1

ε0 c2~j . (5.42)

Jede der drei Gleichungen (5.42) hat die Form der Poissonschen Differenti-algleichung, deren Losung wir aus der Elektrostatik kennen. Eine Losung ist

~A(~x) =1

4πε0c2

∫d3x′

~j(~x ′)

|~x− ~x ′| . (5.43)

Sie gehorcht der Randbedingung

~A(~x→∞) = 0 . (5.44)

Wenn andere Randbedingungen zu befriedigen sind, mussen zu (5.43) noch ge-

eignete Losungen der homogenen Gleichung ∆ ~A = 0 addiert werden.Nachdem wir in (5.43) das Vektorpotential einer beliebigen Stromverteilung

bestimmt haben, konnen wir durch bloßes Differenzieren auch das zugehorigeMagnetfeld ~B ausrechnen,

~B = rot1

4πε0c2

∫d3x′

~j(~x ′)

|~x− ~x ′|

=1

4πε0c2

∫d3x′~j(~x ′) × grad~x

1

|~x− ~x ′| (5.45)

~B(~x) =1

4πε0c2

∫d3x′~j(~x ′) × ~x− ~x ′

|~x− ~x ′|3 . (5.46)

Dies ist das Biot-Savartsche-Gesetz, von dem wir den Spezialfall eines gera-den Leiters schon oben behandelt hatten. Von Interesse ist auch der Fall einesbeliebig gekrummten Drahtes mit sehr dunnem Querschnitt df , bei dem gilt

~j(~x ′)d3x′ = |~j(~x ′)| df ~dl = I ~dl . (5.47)

Dabei muss wegen div~j = 0 der Strom I langs des Drahtes uberall konstant seinund das Magnetfeld lautet

~B(~x) =1

4πε0c2

∮~dl × ~x− ~x ′

|~x− ~x ′|3 . (5.48)

Page 108: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

108 5 Statische Magnetfelder

wobei das Linienintegral langs des geschlossenen Stromkreises im Draht zu be-rechnen ist. Warum geschlossen? Wegen Ladungserhaltung und Stationaritatgilt div ~j = 0, also mussen die Stromlinien von ~j und somit der Draht in sichgeschlossen sein.

5.7 Das Fernfeld stationarer Strome

Das Fernfeld stationarer Strome erhalten wir aus dem Vektorpotential (5.43)mit Hilfe der Taylorentwicklung von |~x− ~x ′|−1 nach Potenzen von ~x ′/|~x|. DasVorgehen ist ganz analog zur Konstruktion der Multipolentwicklung des elek-trostatischen Potentials (vgl. Abbildung 5.7).

Abbildung 5.7

Wir erhalten, mit r = |~x|,

~A(~x) =1

4πε0c21

r

∫d3x′~j(~x ′)

[1 +

~x · ~x ′r2

+ 0

(a2

r2

)]. (5.49)

Der erste Term verschwindet wegen div ~j = 0 fur eine Stromverteilung end-licher Ausdehnung. Wir sehen das unter Verwendung der Identitat

i

∂xi(jixk) = jk + xk div ~j = jk . (5.50)

Integration uber den ganzen Raum gibt mit Hilfe des Gaußschen Satzes, wenn~j(~x)r3 → 0 fur |~x| = r →∞,

∫d3 x~j(~x) = 0 . (5.51)

Physikalisch hangt die Abwesenheit eines Gliedes 0-ter Ordnung in a/r in der

Multipolentwicklung fur ~A naturlich damit zusammen, dass die Grundgleichungdiv ~B = 0 die Existenz magnetischer Monopole verbietet. Erinnern wir uns, dass

Page 109: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

5.7 Das Fernfeld stationarer Strome 109

das Glied 0-ter Ordnung in (a/r) in der Multipolentwicklung des elektrostati-schen Potentials gerade der Coulombterm, d. h. das elektrische Monopolgliedwar.

Das erste nicht notwendig verschwindende Glied in der Multipolentwicklung(5.49) ist das Vektorpotential eines magnetischen Dipols,

~A (1)(~x) =1

4πε0c21

r3

∫d3x′~j(~x ′)(~x ′ · ~x) . (5.52)

Um es in etwas freundlicherer Form aufzuschreiben, definieren wir das magne-tische Dipolmoment der Stromverteilung als

~m =1

2

∫d3x′~x ′ ×~j(~x ′) . (5.53)

Mit Hilfe von ~m finden wir nach einfacher Umformung

~A (1)(~x) = − 1

4πε0c2~x

r3× ~m . (5.54)

Die zu (5.54) fuhrende Zwischenrechnung benutzt zunachst eine zu (5.50) ahnlicheIdentitat,

i

∂xi(jixkxi) = xkxi div ~j + jkxl + jlxk = jkxi + jlxk . (5.55)

Durch Integrieren uber den ganzen Raum erhalten wir, falls ~j(~x)r4 → 0 fur|~x| = r →∞, die Antisymmetrie der ersten Momente der Stromverteilung

∫d3xxl jk(~x) = −

∫d3xxk jl(~x) . (5.56)

Nach Ausmultiplizieren des Vektorprodukts in (5.54),

A(1)x (~x) = − 1

4πε0c21

r3(ymz − zmy)

= − 1

8πε0c21

r3

y

∫d3x′[x′jy(~x

′)− y′jx(~x ′)]

−z∫

d3x′[z′jx(~x′)− x′jz(~x ′)]

,

verwenden wir die Antisymmetrie (5.56) und erhalten

A(1)x (x) = − 1

4πε0c21

r3

(y

∫d3x′y′jx(~x

′) + z

∫d3x′z′jx(~x

′)

).

Dazu darf rechts, wieder wegen der Antisymmetrie (5.56) ungestraftx∫d3x′x′jx(~x

′) zugefugt werden, woraufhin (5.52) entsteht.Aus (5.54) folgt, dass die Feldlinien des Vektorpotentials, das von einem

magnetischen Dipol erzeugt wird, in Kreisen um die Dipolachse verlaufen (vgl.

Page 110: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

110 5 Statische Magnetfelder

Abbildung 5.8

Abbildung 5.8).

Das magnetische Feld erhalten wir aus ~B = rot ~A zu

~B = − 1

4πε0c2grad

(~m · ~xr3

). (5.57)

Die zu (5.57) fuhrende Rechnung ist leicht:

Bx =∂Az∂y−∂Ay∂z

=1

4πε0c2

[− ∂

∂y

( xr3

my −y

r3mx

)+

∂z

( zr3mx −

x

r3mz

)].

Hier verwenden wir ∂∂x = 1

r = − xr3 und schreiben

Bx =1

4πε0c2

[my

∂2

∂x ∂y

1

r+ mz

∂2

∂x ∂z

1

r− mx

(∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)1

r

].

Beachten wir noch ∆ 1r = 0 fur r 6= 0, so erhalten wir

Bx =1

4πε0c2∂

∂x

(mx

∂x+ my

∂y+ mz

∂z

)1

r= − 1

4πε0c2∂

∂x

(~m · ~xr3

),

und das ist (5.57).

Nun erinnern wir uns an das elektrische Feld eines elektrischen Dipols,

~E = − 1

4πε0grad

(~x · ~dr3

)(5.58)

und freuen uns daruber, dass die Felder des elektrischen und des magnetischenDipols dieselbe Struktur haben.

Page 111: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

5.8 Magnetisches Moment und Drehimpuls 111

5.8 Magnetisches Moment und Drehimpuls

Fur eine Stromdichte, die von einem Haufen geladener punktformiger Teilchengetragen wird, gilt

~j(~x) =∑

ν

qν ~vν δ(~x− ~xν) . (5.59)

Dabei nummeriert der Index ν die Teilchen. Das magnetische Moment derStromverteilung lautet

~m =1

2

∫d3x~x×~j(~x) =

ν

1

2qν~xν × ~vν . (5.60)

Tragen die Teilchen die Masse Mν , so hat das ν-te Teilchen den Drehimpuls

~Lν =Mν~xν × ~vν , (5.61)

so dass wir das magnetische Moment (5.60) auch durch die Drehimpulse derTeilchen ausdrucken konnen,

~m =∑

ν

qν2Mν

~Lν . (5.62)

Unsere besondere Aufmerksamkeit verdient der Spezialfall, in dem die Teil-chen alle identisch (qν = q,Mν = M) sind, denn dann ist das magnetischeMoment proportional zum Gesamtdrehimpuls

~L =∑

ν

~Lν , (5.63)

namlich

~m =q

2M~L . (5.64)

Dieses Resultat der klassischen Physik wird uns spater auch in der Quan-tenmechanik wieder begegnen, wobei ~L der so genannte Bahndrehimpuls ist.

Fur das den Elektronenspin begleitende magnetische Moment gilt, wie Ihnenschon aus der Elementarphysik bekannt ist, der Zusammenhang (5.64) nicht.

Vielmehr tritt rechts, wenn ~L als der Drehimpuls des Spins genommen wird,der Faktor

g = 2, 00232 (5.65)

hinzu. Wir kommen hierauf in 16. zuruck.

5.9 Kraft und Drehmoment eines Feldes ~B(~x)auf einen magnetischen Dipol

Die Kraft, die eine Stromverteilung ~j(~x) im eingepragten Feld ~B(~x) erfahrt,kennen wir schon als

~F =

∫d3x~j(~x) × ~B(~x) . (5.66)

Page 112: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

112 5 Statische Magnetfelder

Wenn das außere Feld ~B sich uber die Stromverteilung hinweg nur wenig andert,lasst sich die Kraft (5.66) durch das magnetische Moment der Verteilung aus-drucken als

~F = grad(~m · ~B) , (5.67)

wobei ~B am Ort des magnetischen Moments bzw. am Schwerpunkt der Strom-verteilung zu denken ist. Die Kraft ~F verschwindet nur dann nicht, wenn dasmagnetische Feld raumlich inhomogen ist und insbesondere am Ort des Mo-ments nichtverschwindende erste Ableitungen hat. Die Kraft wirkt in diejenigeRichtung, in der die Komponente von ~B parallel zu ~m am starksten wachst.

Die von allgemeinem Ausdruck (5.66) fur die Lorentzkraft zu (5.67) fuhrendeRechnung geht aus von der Taylorreihe fur die Komponenten Bi des Magnet-feldes um den Mittelpunkt der Stromverteilung, der auch als Ursprung des Ko-ordinatensystems gewahlt wird.

Bi(~x) = Bi(0) +∑

j

∂Bi(0)

∂xjxj + . . . . (5.68)

Das Glied 0-ter Ordnung in (5.68) gibt keinen Beitrag zur Kraft in (5.66), dadas Raumintegral uber ~j(~x) verschwindet, s. (5.51). Das Glied erster Ordnungliefert

Fx =

3∑

i=1

[∂Bz(0)

∂xi

∫d3xxijy(~x) −

∂By(0)

∂xi

∫d3xxijz(~x)

].

Unter Benutzung der Antisymmetrie (5.56) der ersten Momente der Strom-verteilung konnen wir dies umschreiben in die Form

Fx =∂Bz∂x

∫d3xxjy +

∂By∂x

∫d3xzjx −

(∂Bz∂z

+∂By∂y

)∫d3xyjz .

Die hier vorkommenden Momente der Stromverteilung sind gerade die Kompo-nenten des magnetischen Dipolmoments, z. B.

mx =1

2

∫d3x(yjz − zjy) =

∫d3x y jz .

Beachten wir schließlich die Quellenfreiheit des Magnetfeldes,∂Bx∂x = −

(∂By∂y + ∂Bz

∂z

), so entsteht genau das Resultat (5.67).

Ganz analog lasst sich zeigen, dass das außere Feld ~B auf den Dipol dasDrehmoment

~M = ~m× ~B (5.69)

ausubt. Dieses Moment verschwindet bei Parallelstellung des Moments zumaußeren Feld. Sie kennen die zu (5.69) aquivalente Aussage, dass die Parallel-stellung des Moments zum außeren Feld energetisch begunstigt ist gegenuberanderen Orientierungen (s. a. 4.107).

Page 113: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

Kapitel 6

Das elektromagnetischeFeld

6.1 Faradays Induktionsexperiment

Beim Spielen mit Stromkreisen und Magneten uberzeugt man sich leicht vonder Richtigkeit der folgenden von Faraday gewonnenen Feststellung. In einemStromkreis wird ein zeitlich vorubergehender Strom induziert, wenn

a) in einem benachbarten Stromkreis ein Strom ein- oder ausgeschaltet wird,

b) ein benachbarter Kreis, in dem ein konstanter Strom aufrechterhaltenwird, relativ zum ersten Kreis bewegt wird,

c) in der Nahe des Kreises ein Permanentmagnet bewegt wird.

Faraday interpretierte diese seine Beobachtung mit Hilfe der Flussregel, dieoft auch Faradays Induktionsgesetz genannt wird. Wenn sich der magnetischeFluss

∫F~df · ~B durch eine vom Stromkreis aufgespannte Flache F zeitlich andert,

so wird im Stromkreis ein elektrisches Feld ~E induziert. Die Flussregel verknupftden magnetischen Fluss durch F mit dem Linienintegral

∮~E · ~dl des induzierten

elektrischen Feldes langs des Stromkreises,

∮~dl · ~E = − ∂

∂t

∫~df · ~B . (6.1)

Wir nennen das Linienintegral∮~dl· ~E die Zirkulation von ~E langs des Strom-

kreises oder Ringspannung oder manchmal elektromotorische Kraft. LetztererName macht besonders sinnfallig, dass als Folge der Induktion im Stromkreisein Strom in Gang gesetzt wird.

Sie wissen sicher aus der Experimentalphysik, dass auf der Flussregel (6.1)die Wirkungsweise von Elektromotoren, Transformatoren, Generatoren, Ampere-meter etc. beruht. Nicht gegenwartig ist Ihnen vielleicht, dass die FaradayscheFlussregel eines der merkwurdigsten Gesetze der Physik uberhaupt ist. In ihrkommen namlich zwei unabhangige Sachverhalte zu gleich lautendem Ausdruck.Der Fluss des Magnetfeldes durch die vom Stromkreis aufgespannte Flache kannauf zwei vollig verschiedene Weisen zeitlich geandert werden:

113

Page 114: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

114 6 Das elektromagnetische Feld

1. Einmal, indem man im zeitunabhangigen Feld ~B den Ort oder die Gestaltdes Kreises variiert. In diesem Fall ist die Flussregel, wie gleich gezeigtwird, eine Folge der Lorentzkraft auf bewegte Ladungen.

2. Zum anderen, indem man bei raumlich fixiertem und starrem Kreis diemagnetische Feldstarke ~B zeitlich andert. In diesem Fall werden wir dieFlussregel erkennen als die Aussage, dass bei zeitlicher Anderung von ~BWirbel des elektrischen Feldes entstehen.

Zur Diskussion des Falles (1) betrachten wir einen ebenen Stromkreis, deraus einem starren U -formigen Leiterstuck und einem Querstuck besteht Abbil-dung (6.1). Letzteres liege senkrecht auf den Schenkeln des U und werde mitgleichformiger Geschwindigkeit v auf den Schenkeln des U bewegt. Senkrechtzur Ebene dieses Stromkreises liege ein homogenes Magnetfeld ~B. Der magneti-sche Fluss durch den Kreis ist BaL(t), seine zeitlich Anderungsrate Bav. Gemaß

der Flussregel wird also im Kreis die elektromotorische Kraft∮~E · ~dl = − vBa

induziert. Dieses Resultate erhalten wir, indem wir die Lorentzkraft auf dieLadungstrager im Kreis betrachten. Die Kraft auf die Einheitsladung ist ~v× ~B.Die Ladungen im U sind unbewegt, erfahren also keine Kraft. Die Ladungenim Querbalken bewegen sich mit diesem also mit der Geschwindigkeit v, underfahren daher pro Ladungseinheit die Kraft vB in Richtung des Querbalkens.Das Linienintegral dieser Kraft, die elektromotorische Kraft

∫~E · ~dl, hat den

Betrag vBa, was genau der von der Flussregel angegebene Wert ist. Das Vor-zeichen von

∫~E · ~dl ergibt sich auch richtig, wenn die Richtung aller beteiligten

Vektoren in Rechnung gestellt wird. Somit haben wir die Flussregel fur denFall (1) als Konsequenz der Lorentzkraft auf bewegte Ladungen im Magnetfeldverstanden.

Abbildung 6.1

Im Fall (2), bei starrem Leiter im zeitlich variablen Feld ~B, lautet die Fluss-regel

∮~E · ~dl = − ∂

∂t

F

~df × ~B = −∫

F

~df · ∂∂t

~B , (6.2)

denn bei starrem Kreis kann die Zeitableitung unter das Integral gezogen wer-den. Mit Hilfe des Stokesschen Satzes der Vektoranalysis konnen wir die Zir-

Page 115: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

6.2 Der Maxwellsche Verschiebungsstrom 115

kulation von ~E langs des Kreises als Fluss von rot ~E durch eine beliebige vomKreis berandete Flache schreiben. Dann lautet die Flussregel

F

~df · rot ~E = −∫

r

~df · ∂∂t

~B . (6.3)

Da die Flache F beliebig ist, muss auch gelten

rot ~E = − ∂

∂t~B . (6.4)

Diese lokale Formulierung der Flussregel, die von Maxwell stammt, nimmtkeinen Bezug mehr auf den Stromkreis. Sie besagt, dass die zeitliche Anderungsratedes magnetischen Feldes ~B lokale Wirbel des elektrischen Feldes ~E erzeugt.Bei statischen Verhaltnissen verschwindet naturlich ∂

∂t~B, und die Maxwell’sche

Gleichung (6.4) reduziert sich auf die Feststellung, dass das elektrostatische Feldwirbelfrei ist.

6.2 Der Maxwellsche Verschiebungsstrom

Einen wichtigen Beitrag Maxwells zur Theorie der elektromagnetischen Felder,die lokale Formulierung der Flussregel, haben wir eben kennengelernt. Hier wirdein zweiter Beitrag besprochen.

Maxwell betrachtete das Grundgesetz der Magnetostatik, welches die Zirku-lation von ~B langs einer Kurve K mit dem elektrischen Strom durch eine vonK berandete Flache F verknupft, schrieb es in lokaler Form auf,

rot ~B =1

ε0c2~j (6.5)

und wunderte sich. Aus (6.5) folgt doch zwingend, dass die elektrische Strom-

dichte quellenfrei ist, denn bei beliebigem ~B gilt identisch div rot ~B = 0. Dasaber heißt, dass aus dem durch eine beliebige Flache F umschlossenen Volumenkeine Ladung herausfließen kann, wegen

∫d3x div ~j =

∮~df · ~j. In der Tat,

stationare Verhaltnisse konnen nur herrschen, wenn durch F pro Zeiteinheitgenauso viel Ladung hinein- wie herausfließt.

In zeitabhangigen Situationen ist die Erfahrungstatsache der Ladungserhal-tung allgemeiner zu formulieren. Der Nettostrom durch eine beliebige geschlos-sene Flache F muss gleich der zeitlichen Anderungsrate der Ladung im von Fumschlossenen Volumen V sein

F

~df ·~j = − d

dt

V

d3xρ . (6.6)

Mit Hilfe des Gaußschen Satzes der Vektoranalysis kann der Ladungserhaltungs-satz (6.6) als

V

d3x

(div~j +

∂tρ

)= 0 (6.7)

geschrieben werden. Er muss dann auch lokal gelten, da das Volumen V beliebigist,

Page 116: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

116 6 Das elektromagnetische Feld

div~j +∂

∂tρ = 0 . (6.8)

Maxwell sah, dass das Gesetz rot ~B = 1ε0c2

~j verallgemeinerungsbedurftig ist,wenn zeitabhangige Ladungs- und Stromverteilungen zu beschreiben sind. Hierist die von Maxwell vorgeschlagene Verallgemeinerung, die sich aufs Schonstebewahrt hat,

rot ~B = − 1

ε0c2~j +

1

c2∂

∂t~E . (6.9)

Als Beitrag zur Wirbelstarke von ~B wird die zeitliche Anderungsrate des elek-trischen Feldes postuliert.

Wir sehen sofort, dass die Maxwellsche Gleichung (6.9) den bekannten stati-schen Grenzfall enthalt. Um zu sehen, dass auch der lokale Ladungserhaltungs-satz (6.8) befriedigt ist, nehmen wir die Quellstarke beider Seiten in (6.9),

div rot ~B = 0 =1

ε0c2div ~j +

1

c2∂

∂tdiv ~E . (6.10)

Dies ist genau dann der Erhaltungssatz (6.8), wenn wie schon in der Elektro-statik die elektrischen Ladungen als Quellen des elektrischen Feldes auftreten,

div ~E = ρ/ε0 . (6.11)

Den Maxwellschen Zusatzterm zum Strom in (6.9) bezeichnen wir als denMaxwellschen Verschiebungsstrom.

6.3 Die Maxwellschen Gleichungen

Die Maxwellschen Gleichungen fur beliebig orts- und zeitabhangige Situationenhaben wir inzwischen alle kennengelernt. Fassen wir sie noch einmal zusammen.

Die Quellen des elektrischen Feldes sind Ladungen,

div ~E = ρ/ε0 . (6.12)

Die Wirbel des elektrischen Feldes sind nach der Flussregel durch die zeitlicheAnderungsrate des Magnetfeldes gegeben,

rot ~E = − ∂

∂t~B . (6.13)

Das magnetische Feld hat keine Quellen,

div ~B = 0 . (6.14)

Die Summe aus elektrischem Strom und Verschiebungsstrom gibt die Wirbeldes magnetischen Feldes

rot ~B =1

ε0c2~j +

1

c2∂

∂t~E . (6.15)

Die Feldgleichungen (6.12 bis 6.15) implizieren die lokale Ladungserhaltung,

Page 117: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

6.4 Der Energieerhaltungssatz 117

div~j +∂

∂tρ = 0 . (6.16)

Sie implizieren nicht, sondern sind zu erganzen durch einen Ausdruck fur dieKraft, die eine Punktladung im Feld erfahrt, die Lorentzkraft

~F = q( ~E + ~v × ~B) . (6.17)

Die lokalen Maxwellschen Gleichungen (6.12 bis 6.15) verknupfen die ersten

Ableitungen der Felder ~E und ~B an einem Raum-Zeit-Punkt. Als zu ihnenaquivalent hatten wir integrale Aussagen uber das Verhalten des elektroma-gnetischen Feldes in endlichen Raumbereichen erkannt, die wir im Folgendenauch nochmals zusammenstellen. Die Ubersetzung zwischen den lokalen undden integralen Versionen der Maxwellschen Gleichungen erfolgt mit Hilfe desGaußschen und des Stokesschen Satzes der Vektoranalysis.

Der Fluss des elektrischen Feldes durch eine geschlossene Flache ist gleichdem 1

ε0-fachen der umschlossenen Ladung Q,

∮~df · ~E = Q/ε0 . (6.18)

Die Zirkulation des elektrischen Feldes langs einer geschlossenen Kurve K istgleich der negativen zeitlichen Anderungsrate des magnetischen Flusses durcheine beliebige von K berandete Flache F ,

K

~dl · ~E = − ∂

∂t

F

~df · ~B . (6.19)

Der Fluss des magnetischen Feldes durch jede geschlossene Flache verschwindet,

∮~df · ~B = 0 . (6.20)

Die Zirkulation des magnetischen Feldes langs des Randes einer Flache setztsich aus dem elektrischen Strom und dem Verschiebungsstrom (der zeitlichen

Anderungsrate des Flusses von ~E) durch die Flache zusammen als

∮~dl · ~B =

1

ε0c2

∫~df ·~j + 1

c2∂

∂t

∫~df · ~E . (6.21)

6.4 Der Energieerhaltungssatz

Die Erfahrungstatsache der Ladungserhaltung hatten wir lokal formuliert mitHilfe der Begriffe Ladungsdichte und (Ladungs-)Stromdichte,

∂tρ(~x, t) + div ~j(~x, t) = 0 . (6.22)

Auch fur die Energie gilt bekanntlich ein Erhaltungssatz. Bei naivem Vor-gehen konnte man die Erwartung hegen, dass sich fur das elektromagnetischeFeld (wie schon fur das elektrostatische Feld in (4.10) eine Energiedichte u(~x, t)

definieren lasst und zusatzlich eine Energiestromdichte ~S(~x, t), derart, dass einErhaltungssatz gleicher Form wie der obige fur die Ladung gilt. Wir uberzeugen

Page 118: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

118 6 Das elektromagnetische Feld

uns jedoch leicht davon, dass sich der Energieinhalt des elektromagnetischen Fel-des innerhalb eines kleinen Volumens d3x nicht nur dadurch andern kann, dassEnergie durch die Oberflache stromt; dass vielmehr das Feld die innerhalb desbetrachteten Volumens vorhandenen Ladungen beschleunigen und somit Energiean die Materie abgeben kann. Letztere Arbeitsleistung muss selbstverstandlichin die lokale Energiebilanz einbezogen werden.

Die im Volumenelement d3x pro Zeiteinheit an den Ladungen geleistete Ar-beit finden wir mit Hilfe der Lorentzkraft

~F = d3xρ( ~E + ~v × ~B) . (6.23)

Im Zeitintervall dt andern die Ladungen ihren Ort um das Wegstuck ~dt~v,wobei die Kraft (6.23) die Arbeit

dtd3xρ~v · ~E = dtd3x~j · ~E (6.24)

verrichtet. Um diesen Betrag wurde sich die Feldenergie ud3x vermindern,selbst wenn kein Abstromen durch die Oberflache des betrachteten Volumensum dtd3x div ~S stattfande. Vernunftigerweise konnen wir demnach als lokaleEnergiebilanz ein Gesetz der Form

∂tu + div ~S = − ~j · ~E (6.25)

erwarten.Tatsachlich beinhalten die Maxwellschen Gleichungen einen Energieerhal-

tungssatz der Form (6.25), wobei als Energiedichte

u(~x, t) =1

2(ε0 ~E

2 + ε0c2 ~B2) (6.26)

und als Energiestromdichte das Vektorfeld

~S(~x, t) = ε0c2 ~E × ~B (6.27)

fungieren. Die folgende kleine Rechnung dient dazu, die Aussagen (6.25, 6.26,6.27) zu gewinnen.

Multiplizieren wir beide Seiten der Maxwellschen Gleichung fur die Wirbeldes Magnetfeldes,

rot ~B =1

ε0c2~j +

1

c2∂

∂t~E , (6.28)

skalar mit dem elektrischen Feld ~E und beide Seiten der Flussregel

rot ~E = − ∂

∂t~B (6.29)

skalar mit ~B. Subtraktion der entstehenden beiden Skalare gibt

~E · rot ~B − ~B · rot ~E =1

ε0c2~j · ~E +

∂t

1

2(ε0 ~E

2 + ε0c2 ~B2) . (6.30)

Benutzen wir auf der linken Seite von Gleichung (6.30) die Identitat

Page 119: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

6.5 Die Wellengleichung fur die Potentiale 119

div( ~E × ~B) = − ~E · rot ~B + ~B · rot ~E , (6.31)

so entsteht aus (6.30) gerade der Energieerhaltungssatz (6.25) mit der Energie-dichte gemaß (6.26) und der Energiestromdichte gemaß (6.27).

Die Energiestromdichte ~S heißt auch Poynting-Vektor, denn J. H. Poyntinghat 1884 als erster den Energiesatz fur elektromagnetische Feldenergie in lokalerForm aufgeschrieben. Beachten Sie ubrigens, dass sich ~S ohne Schaden fur dieEnergiebilanz (6.25) um ein beliebiges Wirbelfeld rot~V abandern lasst, da die

Felder ~S = ε0c2 ~E × ~P und ~S ′ = ~S + rot~V dieselben Quellen haben.

6.5 Die Wellengleichung fur die Potentiale

Hinter der scheinbaren Kompliziertheit der Maxwellschen Gleichungen verbirgtsich eine verbluffende Einfachheit aller elektromagnetischen Phanomene. Umsie zu durchschauen, schlachten wir unsere Erfahrung mit den statischen Spezi-alfallen aus.

Die Nichtexistenz magnetischer Monopole, divB = 0, haben wir schon fruherals durch den Ansatz eines Vektorpotentials ~A(~x, t) gemaß

~B = rot ~A (6.32)

zu befriedigen gelernt. Die nachsteinfache unter den Maxwellschen Gleichungen,da ebenfalls weder Ladungs- noch Stromdichte enthaltend, ist Faradays Fluss-regel, rot ~E = − ∂

∂t~B. Sie lasst mit Hilfe des Ansatzes (6.32) fur ~B schreiben als

rot(~E + ∂

∂t~A)= 0. Wir wissen schon, dass sich ein wirbelfreies Vektorfeld als

Gradient eines skalaren Feldes darstellen lasst. Also konnen wir die Flussregelerfullen durch den Ansatz eines skalaren Potentials ϕ(~x, t) gemaß

~E = − ∂

∂t~A − grad ϕ . (6.33)

Mit den Ansatzen (6.32) und (6.33) gehen wir nun in die restlichen Max-wellschen Gleichungen ein. Aus dem Gesetz uber die Quellen des elektrischenFeldes, div ~E = ρ/ε0, wird mit Hilfe von (6.33)

−∆ϕ − ∂

∂tdiv ~A = ρ/ε0 (6.34)

und aus dem Ampereschen Gesetz uber die Wirbel des Magnetfeldes, rot ~B =1

ε0c2~j + 1

c2∂∂t

~E, wird

rot rot ~A =1

ε0c2~j − 1

c2∂2

∂t2~A − 1

c2∂

∂tgrad ϕ

bzw. mit der schon fruher bewiesenen Identitat rot rot = grad div−∆

∆ ~A − 1

c2∂2

∂t2~A = − 1

ε0c2~j + grad

(div ~A +

1

c2∂2

∂tϕ

). (6.35)

Die Bestimmungsgleichungen (6.34) und (6.35) fur die Potentiale ~A und ϕersetzen uns die Maxwellschen Gleichungen. Noch ist die angekundigte ver-bluffende Einfachheit der elektro-magnetischen Phanomene nicht sichtbar.

Page 120: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

120 6 Das elektromagnetische Feld

Erinnern wir uns daran, dass die Ansatze (6.32) und (6.33) die Potentiale~A und ϕ nicht eindeutig festlegen. In der Tat, wenn wir von ~A, ϕ zu neuenPotentialen ~A ′, ϕ ′ ubergehen mit Hilfe einer Transformation

~A ′ = ~A+ gradΛ

ϕ′ = ϕ− ∂

∂tΛ , (6.36)

wobei das skalare Feld Λ ganz beliebig sein darf, so andern sich die Felder~E und ~B gar nicht. Die Transformation (6.36) heißt Eichtransformation, die

Invarianz der Felder ~E und ~B unter Eichtransformationen heißt Eichinvarianz.Wir nutzen die somit klar gestellte Freiheit in der Wahl von ~A und ϕ, indemwir fordern

div ~A +1

c2∂

∂tϕ = 0 . (6.37)

In der Magnetostatik hatten wir die so genannte Coulombeichung div ~A = 0verwendet. Das konnten wir hier zwar auch tun, jedoch ist die so genannteLorentzeichung (6.37) bei zeitabhangigen Verhaltnissen wesentlich bequemer.Die Bequemlichkeit besteht darin, dass mit Hilfe von (6.37) aus den Bestim-mungsgleichungen (6.34) und (6.35) einfachere Gleichungen entstehen, namlich

∆ ~A − 1

c2∂2

∂t2~A = − 1

ε0c2~j

∆ϕ − 1

c2∂2

∂t2ϕ = − ρ/ε0 . (6.38)

Welche verbluffende Einfachheit der elektromagnetischen Phanomene wirdsichtbar? Bei vorgegebenen Ladungs- und Stromverteilungen gehorchen die vierPotentiale ~A und ϕ ungekoppelten inhomogenen Wellengleichungen. Beweg-te Ladungen erzeugen elektromagnetische Wellen. Elektromagnetische Wellenbreiten sich mit der Geschwindigkeit c aus, also mit Lichtgeschwindigkeit.

Die eben formulierten Erkenntnisse sind uns in den Schoß gefallen, nachdemdie Lorentzeichung (6.37) eingefuhrt war. Zur Absicherung sollte noch klargemacht werden, dass die Lorentzeichung ohne Beschrankung der Allgemeinheitimmer gewahlt werden kann. Dies Ihnen zur Ubung, wobei Ihnen unsere fruhereAusschlachtung der Eichinvarianz der Magnetostatik als Anleitung dienen kann.

6.6 Ebene elektromagnetische Wellen im freienRaum

Um zu lernen, wie der schon anschaulich geschilderte Inhalt der MaxwellschenGleichungen auch quantitativ erschlossen werden kann, betrachten wir zunachstRaumgebiete, die frei von Ladungen sind, so dass ρ = ji = 0. Dort gelten furdie Potentiale die homogenen Wellengleichungen

Page 121: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

6.6 Ebene elektromagnetische Wellen im freien Raum 121

(∆ − 1

c2∂2

∂t2

)~A = 0

(∆ − 1

c2∂2

∂t2

)ϕ = 0 . (6.39)

Durch bloßes Differenzieren finden wir, dass hier auch die Felder ~E und ~B selbstKomponente fur Komponente diesen Gleichungen gehorchen,

(∆ − 1

c2∂2

∂t2

)~E = 0

(∆ − 1

c2∂2

∂t2

)~B = 0 . (6.40)

Ganz offensichtlich konnen wir nach Losungen suchen, die nicht von allen dreiRaumkoordinaten x, y, und z, sondern nur von einer, etwa x, abhangen. SolcheFelder ~E(x, t) und ~B(x, t) beschreiben eine ebene elektromagnetische Welle. Fursie lautet der Prototyp der Wellengleichung

(∂2

∂x2− 1

c2∂2

∂t2

)f(x, t) = 0 . (6.41)

Um sie zu losen, schreiben wir sie in der Form

(∂

∂x− 1

c

∂t

)(∂

∂x+

1

c

∂t

)f(x, t) = 0 (6.42)

und fuhren statt x und t die neuen Veranderlichen

ξ = x − ct, η = x+ ct (6.43)

ein. Die Wellengleichung lautet dann

∂2f

∂ξ∂η= 0 . (6.44)

Jetzt drangt sich als allgemeine Losung auf

f(ξ, η) = f1(ξ) + f2(η) , (6.45)

wobei f1 und f2 ganz beliebige (differenzierbare) Funktionen sind. In den phy-sikalischen Koordinaten finden wir aus (6.45)

f(x, t) = f1(x− ct) + f2(x+ ct) . (6.46)

Wir sehen, dass f1 und f2 entlang der x-Achse nach rechts bzw. nach linkslaufende Wellen darstellen.

Die Potentiale fur eine beliebige in die positive x-Richtung laufende ebeneelektromagnetische Welle lauten

Page 122: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

122 6 Das elektromagnetische Feld

Ai(x, t) = Ai(x− ct) = Ai(ξ)

ϕ(x, t) = ϕ(x − ct) = ϕ(ξ) .

(6.47)

Die vier Funktionen Ai, ϕ werden durch die Lorentzkonvention dem Zusammen-hang

∂Ax∂x

+1

c2∂ϕ

∂t=

∂ξAx −

∂ξ

1

cϕ = 0 . (6.48)

unterworfen. Als ein Integral von (6.48) wahlen wir

Ax =1

cϕ . (6.49)

Nun finden wir die Felder ~E und ~B in der betrachteten Welle durch Diffe-renzieren

Ex(x− ct) = −∂Ax∂t −∂ϕ∂x = 0

Ey(x− ct) = −∂Ay∂t = cA′y

Ez(x− ct) = −∂Az∂t = cA′z ,

wobei Ableitungen nach ξ mit einem Strich bezeichnet sind. Auf ahnliche Weisegewinnen wir das Magnetfeld mit Hilfe von ~B = rot ~A. Insgesamt haben wir

~E = c(0, A′y, A′z) (6.50)

~B = (0,−A′z, A′y) .

Wir lesen ab, dass die Felder ~E und ~B der ebenen elektromagnetischen Welleuberall aufeinander orthogonal sind,

~E · ~B = 0 , (6.51)

und uberdies beide senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, hier der x-Richtungstehen. Daher heißen elektromagnetische Wellen im freien Raum auch transver-sale Wellen. Besonders einpragsam wird die Dreibeinigkeit von ~E, ~B und derAusbreitungsrichtung durch die Kompaktfassung von (6.50)

~B = + k × ~A ′

~E = − ck × ~B = − ck × (k × ~A′) , (6.52)

wobei k der Einheitsvektor in Ausbreitungsrichtung ist. Offenbar muss zurBestimmung der Felder ~E und ~B der ebenen Welle nur das Vektorpotentialbekannt sein. Schließlich ist aus (6.52) offensichtlich, dass ~E und ~B in derebenen Welle bis auf den Faktor c gleiche Betrage haben,

| ~E| = c| ~B| . (6.53)

Page 123: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

6.7 Die retardierten Potentiale 123

Fur die Energiedichte u und die Energiestromdichte ~S finden wir die nutzlichenRelationen

u =ε02

( ~E2 + c2 ~B2) = ε0E2 = ε0c

2B2 (6.54)

~S = ε0c2 ~E × ~B = ε0 cE

2 k = cuk . (6.55)

Hieraus ist ersichtlich, dass der Energiestrom mit Lichtgeschwindigkeit fließt.Ein wichtiger Spezialfall ebener Wellen ist gegeben, wenn die Felder zeitlich

periodisch und daruber hinaus monochromatisch sind. Solche monochromati-schen ebenen Wellen werden wir hier in der Form

~A = Re[ ~A0 e−iω(t−x/c)] (6.56)

darstellen. Die Große ω ist dabei die Kreisfrequenz der Welle. Die zugehorigeWellenlange ist

λ = 2πc/ω . (6.57)

Wir werden ebene monochromatische Lichtwellen oft durch ihren Wellenvektor

k =ω

ck (6.58)

charakterisieren; dieser zeigt in die Ausbreitungsrichtung der Welle und gibt mitseinem Betrag die Frequenz. Mit Hilfe des Wellenvektors konnen wir (6.56) ineiner vom Koordinatensystem unabhangigen Form schreiben

~A = Re [ ~A0 ei(~k~x−ωt)] . (6.59)

Fur den Fall der monochromatischen ebenen Wellen wird aus (6.52)

~B = Re (+i ~k × ~A)

~E =

(− c2

ω~k × ~B

). (6.60)

Die Energiedichte der betrachtetenWelle ist im Mittel uber eine zeitliche Perioderaumlich konstant. Zwar ist der Poynting-Vektor ~S 6= 0), jedoch transportiertdie monochromatische Welle keine Energie von Ort zu Ort. Dies nachzuweisen,bleibt Ihnen als kleiner Spaß.

6.7 Die retardierten Potentiale

Wir suchen nun das elektromagnetische Feld, das von vorgegebenen Ladungs-haufen ρ(~x, t) und Stromverteilungen ~j(~x, t) abgestrahlt wird. Dazu haben wir

die inhomogenen Wellengleichungen fur die Potentiale ~A und ϕ

(∆− 1

c2∂2

∂t2

)~A = − 1

ε0c2~j

(∆− 1

c2∂2

∂t2

)ϕ = − ρ/ε0 (6.61)

Page 124: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

124 6 Das elektromagnetische Feld

zu losen. Nach schon mehrfach bewahrtem Muster versuchen wir, ein speziellesIntegral der Gleichung fur das skalare Potential ϕ zu konstruieren, indem wirzunachst das ladungserfullte Volumen in kleine Stuckchen d3x einteilen, derenjedes die

”Punktladung“ ρ(~x, t)d3x enthalt; sodann suchen wir das von einer

Punktladung erzeugte Potential und setzen schließlich das Potential des gesam-ten Ladungshaufens aus den Beitragen der Stuckchen additiv zusammen.

Das Potential einer bei ~x = 0 sitzenden Punktladung finden wir aus

(∆− 1

c2∂2

∂t2

)ϕ(~x, t) = − 1

ε0ρ(~x, t) d3xδ(3)(~x) . (6.62)

Außerhalb des Ursprungs gilt uberall δ(3)(~x) = 0, so dass die Wellengleichung(6.62) homogen wird,

(∆− 1

c2∂2

∂t2

)ϕ = 0 . (6.63)

Das skalare Potential ϕ einer Punktladung sollte kugelsymmetrisch sein, alsonur von r = |~x| abhangen. Auf Funktionen ϕ(r) wirkt der Laplaceoperator wie

∆ϕ(r) = div~x

rϕ′(r) =

2ϕ′(r)

r+ ϕ′′(r) =

1

r

d2

dr2rϕ(r) ,

so dass sich die Wellengleichung (6.63) vereinfacht zu

(∂2

∂r2− 1

c2∂2

∂t2

)rϕ(r, t) = 0 . (6.64)

Aus dem letzten Paragrafen wissen wir schon, dass die Gleichung(∂2

∂r2 − 1c2

∂2

∂t2

)f(r, t) = 0 die allgemeine Losung f(r, t) = f1(r−ct)+f2(r+ct)

hat. Fur das skalare Potential gilt also

ϕ(r, t) =1

rf1(r − ct) +

1

rf2(r + ct) , (6.65)

wobei f1 und f2 wieder ganz beliebige Funktionen sind.Der erste Term in (6.65) stellt eine vom Ursprung, also von der Punktladung

nach außen laufende Kugelwelle dar, der zweite eine in den Ursprung einlaufendeKugelwelle. Die Abstrahlung von elektromagnetischen Wellen durch die Punkt-ladung sollte allein durch die auslaufende Losung beschreibbar sein. Daherversuchen wir, mit dem Ansatz f2 = 0 auszukommen. Um f1(r − ct) festzu-legen, schauen wir uns das Feld ϕ in unmittelbarer Umgebung des Ursprungsan.

Beachten wir, dass ϕ(r, t) = f1(r−ct)/r fur r → 0 wie 1/r uber alle Grenzenwachst, wenn f1(−ct) nur existiert. Es folgt, dass die Ortsableitungen von ϕbei Annaherung an den Ursprung schneller wachsen als die Zeitableitungen. Inder Tat, fur r → 0 gilt, mit f ′1 = ∂

∂r f1,

∂ϕ

∂r∼ f1(−ct)/r2,

∂ϕ

∂t∼ f ′1(ct)/r . (6.66)

Fur hinreichend kleine r konnen wir also in der Wellengleichung (6.62) die Zeit-ableitungen gegenuber den Ortsableitungen von ϕ vernachlassigen. Daraufhinwird die Wellengleichung zur Laplaceschen Differentialgleichung

Page 125: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

6.7 Die retardierten Potentiale 125

∆ϕ = − 1ε0ρ(0, t)d3xδ(3)(x). Daher muss die Losung ϕ(r, t) der Wellengleichung

fur r → 0 in das aus der Statik bekannte Coulombpotential ubergehen,

ϕ(r, t) =1

rf1(r − ct)→

1

rf1(−ct) =

1

4πε0

1

rρ(0, t)d3x . (6.67)

Damit aber ist die bisher unbekannte Funktion f1(r − ct) festgelegt und wirhaben als Potential der Punktladung

ϕ(~x, t) =1

4πε0

1

rρ(0, t− r/c)d3x . (6.68)

Sitzt die Punktladung nicht am Ursprung des Koordinatensystems sondernam Ort ~x′, so lautet das Potential

ϕ(x, t) =1

4πε0

1

|~x− ~x ′| ρ(~x′, t− |~x− ~x ′|/c)d3x′ (6.69)

Durch Superposition erhalten wir das gesuchte Potential des Ladungshaufenszu

ϕ(~x, t) =1

4πε0

∫d3x′

ρ(~x ′, t− |~x− ~x ′|/c)|~x− ~x ′| . (6.70)

Dies ist eine Partikularlosung der Wellengleichung fur ϕ. Sie erfullt dieRandbedingung

ϕ(~x, t)→ 0 fur |~x| → ∞ . (6.71)

Wenn andere Randbedingungen erfullt werden sollten, so ist zur Partikularlosungeine entsprechende Losung der homogenen Wellengleichung hinzuzufugen. Wirwerden uns mit derartigen Problemen hier nicht beschaftigen.

Da die Wellengleichungen fur die Komponenten Ai(~x, t) des Vektorpotentialsdie gleiche Form haben wie die eben geloste Wellengleichung fur das skalarePotential, finden wir ohne weitere Rechnung

~A(~x, t) =1

4πε0c2

∫d3x′

~j(~x ′, t− |~x− ~x ′|/c)|~x− ~x ′| . (6.72)

Die Losungen (6.70) und (6.72) heißen retardierte Potentiale. Retardiert,weil sich am Beobachtungsort ~x zur Zeit t die an anderen Orten ~x ′ befindlichenLadungen nicht instantan bemerkbar machen. Vielmehr fungieren als

”Ursa-

chen“ fur”Wirkungen“ am Ort ~x zur Zeit t die Ladungen bzw. Strome am Ort

~x zur fruheren Zeit t′ = t − |~x − ~x ′|/c. Beachten wir, dass die Zeitspanne|~x − ~x ′|/c gerade die Laufzeit eines mit Lichtgeschwindigkeit von ~x ′ nach ~xlaufenden Signals ist. Wir sehen nochmals deutlich, dass elektromagnetischeWellen sich mit Lichtgeschwindigkeit fortpflanzen.

Wurdigen Sie das mit (6.70) und (6.72) Erreichte und die verbluffende Ein-fachheit der elektromagnetischen Phanomene! Fur statische Ladungshaufenbzw. stationare Stromverteilung reduzieren sich die retardierten Potentiale aufdie aus der Elektro- bzw. Magnetostatik bekannten Losungen. Das retardierteskalare Potential ϕ(~x, t) lasst sich charakterisieren als das mit Laufzeiteffektendekorierte Coulombpotential.

Page 126: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

126 6 Das elektromagnetische Feld

6.8 Elektrische Dipolstrahlung

Betrachten wir einen Ladungs- und Stromhaufen und berechnen das von ihmerzeugte elektromagnetische Feld in großen Entfernungen, r = |~x| À a (Abbil-dung 6.2)

Abbildung 6.2

Innerhalb eines kleinen Raumbereichs um einen weit vom Haufen entferntenBeobachtungspunkt herum wird das Feld die Form einer ebenen Welle anneh-men. Daher muss sich, wie wir oben gesehen hatten, das elektromagnetischeFeld dort allein aus dem Vektorpotential gewinnen lassen mit

~B(~x, t) = − 1

ck × ∂

∂t~A(~x, t)

~E(~x, t) = − ck × ~B(~x, t) , (6.73)

wobei ~k = ~x/r der Einheitsvektor in Ausbreitungsrichtung ist.Wir mussen also zur Bestimmung des Feldes nur das Integral

~A(~x, t) =1

4πε0c2

∫d3x′

~j(~x ′, t− |~x− ~x ′|/c)|~x− ~x ′|

≈ 1

4πε0c21

r

∫d3x′ ~j(~x ′, t− |~x− ~x ′|/c) (6.74)

auswerten. Hier ist schon unter dem Integral 1/|~x−~x ′| durch 1/r approximiert,es sind also Korrekturen der relativen Ordnung a/r vernachlassigt. Es liegtnahe, das Zeitargument des Stromes ebenfalls so zu vereinfachen, d. h.

t− |~x− ~x ′|/c ≈ t− r/c (6.75)

zu schreiben. Diese Naherung ist jedoch nicht mir a ¿ r zu rechtfertigen. DieZeitabhangigkeit des Stroms muss durchaus nicht so langsam sein, dass ~j sichin der Zeitspanne

Page 127: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

6.8 Elektrische Dipolstrahlung 127

|~x− ~x ′|/c− r/c (6.76)

nicht merklich andert. Vielmehr muss, wenn ω eine fur die zeitliche Anderungdes Stromes typische Frequenz ist, der Maximalwert der Zeitspanne (6.76), a/c,vernachlassigbar klein sein gegenuber der typischen Periode, 1/ω. Aquivalentdazu ist die Bedingung

a¿ λ , (6.77)

die verlangt, dass die Lineardimensionen des Senders klein sein mussen im Ver-gleich zur typischen Wellenlange der Strahlung.

Die beschriebene Naherung heißt”elektrische Dipolnaherung“ und gibt fur

das Vektorpotential den sehr einfachen Ausdruck

~A(~x, t) =1

4πε0c21

r

∫d3x′ ~j(~x ′, t− r/c) . (6.78)

Wir konnen das verbleibende Integral durch das elektrische Dipolmoment desLadungshaufens ausdrucken. Zu diesem Zweck wiederholen wir unter leichterVerallgemeinerung eine schon in der Magnetostatik gemachte Nebenrechnung(s. 5.7)

∫d3x

∑i

∂xi(jixl) = 0

=

∫d3x(xl div ~j + jl) =

∫d3x(jl − xl ρ)

und sehen, dass das Volumenintegral der Stromdichte uber den Ladungshau-fen gleich der zeitlichen Anderungsrate des elektrischen Dipolmoments ~d(t) ist.Somit wird aus dem Vektorpotential

~A(~x, t) =1

4πε0c21

r

∂t~d(t− r/c) . (6.79)

Die Felder ~E und ~B ergeben sich hieraus durch Differenzieren,

~B(~x, t) = − 1

4πε0c21

crk × ~d(t− r/c)

~E(~x, t) =1

4πε0c21

rk × [k × ~d(t− r/c)] , (6.80)

wobei die Zeitableitung mit einem Punkt bezeichnet ist.Beachtenswert an diesen Feldern ist, dass sie mit r → ∞ wie 1/r abfallen,

langsamer also, als die statischen Felder. Der 1/r-Abfall garantiert, dass durchjede Kugel um den Dipol ein Energiefluss lauft, der unabhangig ist vom Radiusr. Um das einzusehen, bedenken wir nur, dass die Kugeloberflache wie r2 wachstund die Energiestromdichte ~S = ε0c

2 ~E × ~B wie 1/r2 abfallt.Schauen wir uns die Energiestromdichte genauer an. Da in der ebenen Welle

| ~E| = | ~B| gilt, haben wir

Page 128: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

128 6 Das elektromagnetische Feld

~S = k1

(4π)2ε0c31

r2[ ~d(t− r/c)]2 sin2Θ , (6.81)

wobei Θ der Winkel zwischen der Beobachtungsrichtung k und dem Dipolmo-ment ist (s. Abbildung 6.3). Beachten Sie, dass die Abstrahlung von Energierotationssymmetrisch um die Achse des Dipols erfolgt; ferner, dass in Richtungdes Dipols gar nicht und quer zum Dipol maximal gestrahlt wird.

Abbildung 6.3

Die gesamte pro Sekunde abgestrahlte Energie erhalten wir als Fluss von ~Sdurch eine Kugel um den Dipol als Mittelpunkt. Da das Oberflachenelement~df = kr2 sinΘdΘdϕ uberall parallel zur Ausbreitungsrichtung k ist, erhaltenwir sofort

I(t) =1

4πε0

2

3c3[ ~d(t− r/c)]2 . (6.82)

Nicht alle Ladungshaufen konnen Dipolstrahlung aussenden. Wenn z. B.der Ladungshaufen aus Teilchen aufgebaut ist, die alle das gleiche Verhaltnisvon Ladung und Masse haben, so ist das Dipolmoment proportional zum Orts-vektor des Schwerpunktes ~d =

∑ν

eν ~xν = em

∑ν mν~xν . Wenn nun auf den

Ladungshaufen keine außeren Krafte wirken, so bewegt sich der Schwerpunktmit konstanter Geschwindigkeit. Seine Beschleunigung und somit auch die zwei-te Zeitableitung des elektrischen Dipolmoments verschwinden dann. DerartigeSysteme konnen zwar auch Energie abstrahlen, jedoch mussen wir, um ihr Strah-lungsverhalten zu beschreiben, die Entwicklung von t−|~x−~x ′|/c| nach Potenzenvon a/c uber die nullte Ordnung hinaustreiben. Es ergeben sich dann magneti-sche Dipolstrahlung, Quadrupolstrahlung etc.

Page 129: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

Kapitel 7

Elektromagnetische Felderin Materie

7.1 Polarisation und Magnetisierung

Beim Eindringen in gasformige, flussige oder feste Materie tritt ein elektro-magnetisches Feld mit allen das Medium aufbauenden geladenen Teilchen inWechselwirkung. Falls im Spektrum des Feldes Wellenlangen bis hinab zu etwa1 A (entsprechend Rontgenstrahlung) vorhanden sind, mussen alle Atomkerneund Elektronen (d. h. sowohl die in Atomen und Molekulen gebundenen wiedie ungebundenen) in der Ladungsdichte ρ(~x, t) und in der Stromdichte ~j(~x, tberucksichtigt werden.

Wenn jedoch die kurzesten Wellenlangen etwa 1000 A nicht unterschreiten,konnen die elektromagnetischen Wellen die atomare Struktur des Mediums nichtauflosen. In diesem fur Experimente mit ultraviolettem, sichtbarem und infraro-tem Licht wichtigen Fall erlauben die mikroskopischen Ausdrucke fur Ladungs-und Stromdichte

ρ(~x, t) =∑

ν

qνδ(3)(~x− ~xν(t)) (7.1)

~j(~x, t) =∑

ν

qν ~xν(t)δ(3)(~x− ~xν(t)) (7.2)

eine außerst bequeme Vereinfachung, die ich nun beschreiben will.Trennen wir zunachst in (7.1) die Beitrage ungebundener Punktladungen,

ρfrei(~x, t) =

frei∑

ν

qνδ(3)(~x− ~xν(t)) , (7.3)

von den Beitragen von Komplexen (Atome, Molekule oder Elementarzellen inKristallen), in denen jeweils mehrere Punktladungen gebunden sind. Bezeich-nen wir den Ortsvektor des Schwerpunkts des µ-ten derartigen Komplexes mit~xµ(t) und die diesbezugliche Auslenkung der i-ten Punktladung qνi innerhalb

des µ-ten Komplexes mit ~ξµi(t), so lautet die von den Komplexen dargestellteLadungsdichte

129

Page 130: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

130 7 Elektromagnetische Felder in Materie

ρgeb(~x, t) =

Komplexe∑

µ

i

qµiδ(3)(~x− ~xµ(t)− ~ξµi(t)) . (7.4)

Um den Einfluss der Anteile (7.3) und (7.4) der mikroskopischen Ladungsdichteauf eine elektromagnetische Welle der Wellenlange λ zu untersuchen, mussenwir gemaß (6.34) die raumlichen Fourierkomponenten

ρ(~k, t) =

∫d3xe−i

~k·~xρ(~x, t) (7.5)

mit Wellenzahlen

|~k| = 2π/λ (7.6)

betrachten, also im Einzelnen

ρfrei(~k, t) =

frei∑

ν

qνe−i~k·~xν(t) (7.7)

und

ρgeb(~k, t) =

Komplexe∑

µ

i

qµi e−i~k·(~xµ(t)+~ξµi(t) . (7.8)

Die angekundigte Vereinfachung beruht darauf, dass die Lineardimensionenvon Atomen, Molekulen und Elementarzellen in Kristallen die Großenordnung1 A haben, d. h. viel kleiner sind als die angenommene Großenordnung derWellenlange λ. In (7.8) durfen wir daher nach Potenzen von ~k · ~ξµi entwickeln,

ρgeb(~k, t) =

Komplexe∑

µ

e−i~k·~xµ(t)

(∑

i

qµi − i~k ·∑

i

qµi ξµi(t) + . . .

). (7.9)

Die beiden ersten Glieder dieser Entwicklung sind durch die Ladung qµ und das

elektrische Dipolmoment ~dµ der Komplexe festgelegt. Unter Vernachlassigungder nachfolgenden Glieder, die offenbar die hoheren Multipolmomente der Kom-plexe enthalten, gewinnen wir fur die gesamte Ladungsdichte

ρ(~k, t) = ρfrei(~k, t) +

Komplexe∑

µ

qµe−i~k·~xµ(t) − i~k ·

Komplexe∑

µ

~dµ(t) e−i~k·~xµ(t) . (7.10)

Hier erscheint ρ(~k, t) als zusammengesetzt aus den Fourierkomponenten einervergroberten Ladungsdichte,

ρmakr(~k, t) = ρfrei(~k, t) +

Komplexe∑

µ

qµe−i~k·~xµ(t) , (7.11)

und des Vektorfeldes der Polarisationsdichte,

Page 131: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

7.1 Polarisation und Magnetisierung 131

~P (~k, t) =

Komplexe∑

µ

~dµ(t)ei~k·~xµ(t) , (7.12)

gemaß

ρ(~k, t) = ρmakr(~k, t) − i~k · P(~k, t) . (7.13)

Die gegenuber dem exakten Ausdruck (7.8) erreichte Vereinfachung besteht dar-in, dass (i) in ρmakr jeder Komplex aneinander gebundener Ladungen selbst alseine strukturlose Punktladung erscheint und (ii) die innere Struktur eines Kom-

plexes nur uber das Dipolmoment ~dµ(t) in die Polarisationsdichte eingeht. Zubetonen ist, dass die Naherung (7.13) sinnlos wird fur Wellenlangen, die nichtsehr groß sind im Vergleich zur Lineardimension der Komplexe.

Eine vollig entsprechende Vereinfachung erhalten wir fur die Stromdichte(7.2). Die ~k-te Fourierkomponente des Anteils der in Komplexen gebundenenLadungen lautet exakt

~jgeb(~k, t) =

Komplexe∑

µ

i

qµi

(~xµ(t) + ~ξµi(t)

)e−i

~k·(~xµ(t)+~ξµi(t)) (7.14)

und nach Vernachlassigung von Gliedern zweiter und hoherer Ordnung in (~k·~ξµi)

~jgeb(~k, t) =

Komplexe∑

µ

qµ~xµ(t) e−i~k·~xµ(t) +

Komplexe∑

µ

~dµ(t)e−i~k·~xµ(t)

− i

Komplexe∑

µ

i

qµi

(~xµ(t) + ~ξµi(t)

)(~k · ~ξµi(t)

)e−i

~k·~xµ(t) . (7.15)

Den ersten hier auftretenden Term vereinigen wir mit der durch freie Punktla-dungen getragenen Stromdichte zu einer vergroberten Stromdichte

~jmakr(~k, t) = ~jfrei(~k, t) +

Komplexe∑

µ

qµ~xµ(t)e−i~k·~xµ(t) , (7.16)

in der jeder Komplex als zu einer Punktladung geschrumpft erscheint. Denzweiten Term in (7.15) eliminieren wir zugunsten der Zeitableitung der Polari-sationsdichte

~P (~k, t) =

Komplexe∑

µ

[~dµ(t)− i~dµ(t)

(~k · ~xµ(t)

)]e−i

~k·~xµ(t) (7.17)

und erhalten fur gesamte Stromdichte

~j(~k, t) = ~jmakr(~k, t) + ~P (~k, t)

+ iKomplexe∑

µ

[~dµ(t)

(~k · ~xµ(t)

)− ~xµ(t)

(~k · ~dµ(t)

)]e−i

~k·~xµ(t)

− iKomplexe∑

µ

∑i

qµi ~ξµi(t)(~k · ~ξµi(t)

)e−i

~k·~xµ(t) .

(7.18)

Page 132: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

132 7 Elektromagnetische Felder in Materie

Wir durfen das in der Geschwindigkeit ~xµ und im Dipolmoment ~dµ antisym-metrische Glied vernachlassigen, da es unter praktisch allen Umstanden winzig

ist im Vergleich zu ~P (~k, t). Um uns davon zu uberzeugen, bedenken wir, dass

die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen des Wellenvektors ~k durch die Fre-quenz

ω(~k) = c|~k| (7.19)

charakterisiert ist. Die in Materie vorliegende Lichtgeschwindigkeit c kannubrigens verschieden sein von der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum; c kann so-gar vom Wellenvektor ~k abhangen, siehe (7.2 und 7.3). Unter dem Einfluss deselektromagnetischen Feldes wird das Dipolmoment eine erzwungene Bewegunggleicher Frequenz ausfuhren. Die Zeitableitung des Dipolmoments wird dem-nach die Großenordnung c|~k||~dµ| haben, d. h. etwa um den Faktor c/|~xµ| vondem erwahnten in ~dµ und ~xµ antisymmetrischen Glied verschieden sein. Letzte-

res ist also gegen ~P vernachlassigbar, wenn die Geschwindigkeiten |~xµ(t)| kleinsind gegenuber der Lichtgeschwindigkeit ~c.

Um schließlich das letzte Glied in (7.18) zu untersuchen, vereinfachen wirvorubergehend die Schreibweise, indem wir die die Ladungen nummerierendenIndices weglassen und hochgestellte Indices zur Bezeichnung der Vektorkompo-nenten einfuhren. Die i-te Vektorkomponente ji(~k, t) erhalt im letzten Gliedvon (7.18) von einem Komplex einen Beitrag proportional zu

Ladungen

j

qξi(t)kjξj(t) =∑

j

kj

Ladungen

q

2

[ξi(t)ξj(t)− ξj(t)ξi(t)

]

+∑

Ladungen

q

2

[ξi(t)ξj(t) + ξj(t)ξi(t)

]

= −(~k × ~m)i +∑

j

kjd

dt

Ladungen

q

2ξi(t)ξj(t) .

(7.20)

Hierin tritt das magnetische Moment ~mµ des Komplexes auf sowie die Zeitablei-tung eines in ξ quadratischen Moments der Ladungsverteilung. Da wir Gliederdes letzteren Typs in der obigen Entwicklung (7.10) der Ladungsverteilung ver-nachlassigt hatten, mussen wir sie konsistenterweise auch hier außer Acht lassen.Die zu guter Letzt entstehende Naherung fur die gesamte Stromdichte lautet

~j(~k, t) = ~jmakr(~k, t) + ~P (~k, t) + i~k × ~M(~k, t), (7.21)

wobei die ~k-te Fourierkomponente der Magnetisierungsdichte als

~M(~k, t) =

Komplexe∑

µ

~mµ(t)e−i~k·~xµ(t) (7.22)

Page 133: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

7.1 Polarisation und Magnetisierung 133

eingefuhrt wurde.

Die Naherungen (7.13) und (7.21) fur die Ladungs- bzw. Stromdichte be-stehen ubrigens eine wichtige Konsistenzprufung, indem sie den Ladungser-haltungssatz befriedigen. In der Tat gilt fur die ~k-te Fourierkomponente vonρ(~x, t) + div ~j(~x, t)

ρ(~k, t) + i~k ·~j(~k, t) = ρmakr(~k, t) + i~k ·~jmakr(~k, t) . (7.23)

Das Verschwinden der rechten Seite in (7.23) folgt unmittelbar, wenn die Defi-nition (7.10) nach der Zeit differenziert wird.

Wir konnen nun die Maxwellschen Gleichungen fur langwellige (λÀ Durch-messer aller Komplexe Felder in Materie aufschreiben. Beachten Sie dabei nur,dass die Wirbelstarke und die Quellstarke eines Vektorfeldes ~X(~x) die Fourier-komponenten

i~k × ~X(~k) =

∫d3xe−i

~k·~xrot ~X(~x) (7.24)

bzw.

i~k × ~X(~k) =

∫d3xe−i

~k·~xdiv ~X(~x) (7.25)

haben. (Letztere Relation war ubrigens schon in (7.23) benutzt worden.) Damitergeben sich die Feldgleichungen aus (6.12 bis 6.15) zu

i~k ·(ε0 ~E(~k, t) + ~P (~k, t)

)= ρmakr(~k, t) (7.26)

i~k × ~E(~k, t) = ~B(~k, t) (7.27)

i~k · ~B(~k, t) = 0 (7.28)

i~k ×(ε0c

2 ~B(~k, t)− ~M(~k, t))

= ~jmakr(~k, t) +∂

∂t

(ε0 ~E(~k, t) + ~P (~k, t)

).

(7.29)

Fur Felder ~E(~k, t) und ~B(~k, t), die ausschließlich langwellige (im o. g. Sinn)

Fourierkomponenten ~E(~k, t) bzw. ~B(~k, t) enthalten, durfen wir in allen vier Glei-chungen (7.26 - 7.29) gemaß

~E(~x, t) =

∫d3k

(2π)3e−i

~k·~x ~E(~k, t) etc. (7.30)

die inverse Fouriertransformation ausfuhren, woraufhin wir die Ortsraumdar-stellung der Maxwellschen Gleichungen gewinnen,

Page 134: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

134 7 Elektromagnetische Felder in Materie

div(ε0 ~E(~x, t) + ~P (~x, t)

)= ρmakr(~x, t) (7.31)

rot ~E(~x, t) = − ~B(~x, t) (7.32)

div ~B(~x, t) = 0 (7.33)

rot(ε0c

2 ~B(~x, t)− ~M(~x, t))

= ~jmakr(~x, t) +∂

∂t

(ε0 ~E(~x, t) + ~P (~x, t)

).

(7.34)

Letztere Darstellung macht besonders sinnfallig, dass (bei langwelligen Fel-dern!) die vergroberte Ladungsdichte ρmakr als Quelle fur das so genannteelektrische Verschiebungsfeld

~D = ε ~E + ~P (7.35)

fungiert, wahrend die vergroberte Stromdichte ~jmakr zusammen mit dem aus ~D

gebildeten Verschiebungsstrom ~D die Wirbel der so genannten Magnetfeldstarke

~H = ε0c2 ~B − ~M (7.36)

angibt.Fur eine explizite Beschreibung der elektromagnetischen Phanomene in Ma-

terie mussen zunachst die Ladungen ρmakr spezifiziert werden. Die einfachstmogliche Situation liegt vor, wenn keine ungebundenen Ladungen auftretenund die Komplexe gebundener Ladungen (Molekule, Elementarzellen in Kris-tallen ...) elektrisch neutral sind; in diesem Fall verschwinden ρmakr und ~jmakr.Zusatzliche Kenntnis ist erforderlich uber die elektrischen und magnetischen Di-polmomente der Komplexe gebundener Ladungen, d. h. die Polarisationsdichte~P und die Magnetisierungsdichte ~M .

7.2 Materialgesetze fur Polarisation undMagne-tisierung

Solange kein elektromagnetisches Feld eingepragt wird, zeigen die meisten Mate-rialien keine langwellige (λ > 1000 A) Polarisation und Magnetisierung. Selbstwenn die Atome, Molekule und/oder gegebenenfalls Elementarzellen in Pro-bekorpern elektrische und/oder magnetische Dipole tragen, so sind diese Dipo-le bezuglich ihrer Richtungen i. A. unkorreliert und summieren sich daher inRaumbereichen der Lineardimensionen (λ > 1000 A) zu Null. Ausnahmen, diehier nicht weiter diskutiert werden konnen, sind Ferroelektrika und Ferroma-gnetika bei hinreichend tiefen Temperaturen.

Beim Eindringen eines langwelligen elektromagnetischen Feldes in Probekor-pern konnen jedoch endliche Werte der Polarisation und der Magnetisierungentstehen. Zum einen sind namlich etwaige permanente molekulare Dipole be-strebt, sich langs des eingepragten Feldes zu orientieren. Andererseits tendiertein eingepragtes elektrisches Feld dazu, in Komplexen aneinander gebunde-ner Ladungen Dipolmomente zu erzeugen, da es auf Ladungen verschiedenen

Page 135: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

7.2 Materialgesetze fur Polarisation und Magnetisierung 135

Vorzeichens Krafte entgegengesetzter Richtung ausubt. Schließlich kann einzeitabhangiges Magnetfeld Ringspannungen und somit Ringstrome erzeugen,die ein magnetisches Moment tragen.

Viele so genannte Dielektrika reagieren auf die Anwesenheit eines elektro-magnetischen Feldes zwar nicht mit merklicher Magnetisierung, wohl aber miteiner durch das elektrische Feld eindeutig festgelegten Polarisation. Da diedurch außeren Eingriff in dielektrischen Probekorpern erzeugbaren elektrischenFelder i. A. viel schwacher sind als typische innermolekulare Coulombfelder(≈ 108V/cm), also nur kleine Anderungen der mikroskopischen Ladungskonfigu-

rationen erzeugen konnen, lasst sich die Polarisation ~P als Potenzreihe im elek-trischen Feld ~E darstellen. Meist ist sogar nur die lineare Antwort, | ~P | ∼ | ~E|,beobachtbar. Da diese Antwort sowohl vom Wellenvektor wie von der Frequenzdes eingepragten Feldes abhangen kann, ist es zweckmaßig, das entsprechendeMaterialgesetz fur die raum-zeitlichen Fouriertransformierten,

~P (~k, ω) =

∫d3x

∫dt e−i(

~k·~x+ωt) ~P (~x, t) (7.37)

etc., aufzuschreiben.Das allgemeinste derartige lineare Gesetz lautet

~Pi(~k, ω) = ε0∑

j

χij(~k, ω) ~Ej(~k, ω) . (7.38)

Die Matrix des Koeffizienten χij wird als der Tensor der linearen elektrischenSuszeptibilitat bezeichnet. Nur in isotropen Medien ist dieser Tensor diagonal,χij ∼ δij , sind die Vektoren ~P und ~E also parallel.

Die Suszeptibilitat vieler Materialien ist in gewissen Spektralbereichen einevon Frequenz und Wellenvektor unabhangige Konstante. Insbesondere entfalltjede Abhangigkeit von ~k fur Substanzen, die raumlich homogen sind auf Langen-skalen, bezuglich derer die Polarisation und die Magnetisierung definiert sind(λÀ Komplexdurchmesser). Fur Felder, deren Fourierkomponenten ausschließ-lich in solchen Spektralbereichen liegen, darf das lineare Gesetz auch in derraum-zeitlichen lokalen Form

~Pi(~x, t) = ε0∑

j

χijEj(~x, t) (7.39)

geschrieben werden.Mit Lasern erzeugte Lichtfelder konnen so intensiv sein, dass die elektrische

Feldstarke nicht mehr winzig ist im Vergleich zu typischen innermolekularenCoulombfeldern. Auf solche Felder reagieren viele Materialien merklich nichtli-near, z. B. wie

Page 136: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

136 7 Elektromagnetische Felder in Materie

Pi( ~k, ω) = ε0∑

j

χij(~k, ω)Ej(~l, ω)

+ ε0∑

j,l

∫d3k′

∫dω′χijl(~k

′, ω′,~k − ~k′, ω − ω′)

Ej(~k′, ω′)El(~k − ~k′, ω − ω′) . (7.40)

Der vom Tensor χijl vermittelten Nichtlinearitat entspricht eine Fulle inter-essanter Phanomene (Frequenzmischung, Frequenzverdopplung etc.), deren Un-tersuchung Gegenstand der nichtlinearen Optik ist.

In magnetisierbaren Materialien sind Zusammenhange zwischen der Magne-tisierung ~M und dem Induktionsfeld ~B beobachtbar, die den elektrischen Ma-terialgesetzen (7.38) und (7.40) ganz analog sind.

7.3 Wellen in linearen Dielektrika

Fur den einfachen Fall eines linearen, raumlich homogenen und isotropen Di-elektrikums mit verschwindender magnetischer Suszeptibilitat,

~P (~k, ω) = ε0χ(ω) ~E(~k, ω), ~M(~x, t) = 0 , (7.41)

will ich nun darlegen, wie sich die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen mo-difiziert gegenuber dem Fall der Ausbreitung im Vakuum.

Wenn keine freien Ladungen ins Dielektrikum gebracht und alle Komplexegebundener Ladungen neutral sind, so lauten die Maxwell’schen Gleichungen(7.24 bis 7.27) (nach Fouriertransformation bezuglich der Zeit wie in (7.37))

~k · ~E(~k, ω) = 0 , ~k × ~E(~k, ω) = −ω ~B(~k, ω) ,

~k · ~B(~k, ω) = 0 , ~k × ~B(~k, ω) = ε(ω)c2 ω ~E (~k, ω) ,

(7.42)

wobei ε(ω) die Dielektrizitatskonstante

ε(ω) ≡ 1 + χ(ω) (7.43)

bezeichnet. Durch Elimination von ~B(~k, ω) aus (7.42) erhalten wir

−~k ×(~k × ~E(~k, ω)

)= k2 ~E(~k, ω)

ε(ω)ω2

c2~E(~k, ω) . (7.44)

Ebene monochromatische Wellen im betrachteten Dielektrikum haben also dieDispersionsrelation

ck = ω√ε(ω) . (7.45)

Der fruher besprochene Fall des Vakuums ist hierin als ε = 1 enthalten. DerFaktor

n(ω) ≡√ε(ω) (7.46)

Page 137: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

7.4 Modell eines Dielektrikums 137

wird auch Brechungsindex des Dielektrikums genannt.Wie Sie im nachsten Paragrafen sehen werden, konnen die Suszeptibilitat χ

und somit die Dielektrizitatskonstante wie der Brechungsindex komplexe Werteannehmen. Um die physikalische Bedeutung von Realteil n′ und Imaginarteiln′′ eines komplexen Brechungsindex

n = n′ + in′′ (7.47)

zu erkennen, betrachten wir eine in die positive x-Richtung laufende ebene mo-nochromatische Welle

ei(ωt−kx) = eiω(t−xn′/c)e+xn

′′ω/c . (7.48)

Da sich die Flachen konstanter Phase des in (7.48) auftretenden periodischenFaktors mit der Geschwindigkeit x/t = c/n′ bewegen, heißt

c(ω) = c/n′(ω) (7.49)

die Phasengeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen im Dielektrikum. Offen-bar ist c allein durch den Realteil des Brechungsindex festgelegt und hangt uberdiesen i. A. von der Frequenz der Welle ab.

Der nichtperiodische Faktor in (7.48) beschreibt je nach Vorzeichen von n′′

eine exponentielle Dampfung (n′′ < 0) oder Verstarkung (n′′ > 0) der Wellebeim Eindringen ins Dielektrikum. Beide Falle lassen sich experimentell reali-sieren. Im Fall der Dampfung hat die Große

l ≡ c/ω|n′′(ω)| (7.50)

offenbar die Bedeutung einer Eindringtiefe.

7.4 Modell eines Dielektrikums

Denken wir uns jeden Komplex aneinander gebundener Ladungen reprasentiertdurch einen harmonischen Oszillator der Eigenfrequenz ω0. Bei Auslenkung ausder Ruhelage um ~ξ trete das Dipolmoment

~d = q~ξ (7.51)

auf.Unter dem Einfluss eines monochromatischen elektrischen Feldes fuhrt der

Oszillator eine erzwungene Schwingung gemaß der Bewegungsgleichung

~ξ − 2γ~ξ + ω20~ξ =

q

m~E0 e−iωt (7.52)

aus. Hierin istm die effektive Masse des Oszillators und γ eine Dampfungskonstante,die den dissipativen Effekt anderer Freiheitsgrade des Systems auf den Oszil-lator beschreibt. Im stationaren Regime schwingt das Dipolmoment ~d mit derFrequenz ω und der Amplitude

~d =q2/m

ω20 − ω2 + i2γω~E0 . (7.53)

Page 138: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

138 7 Elektromagnetische Felder in Materie

Wenn die Volumeneinheit im Dielektrikum mit N derartigen Oszillatorengleichformig∗) ausgefullt ist, so gilt fur die ~k-ten Fourierkomponenten der Pola-risationsdichte und des elektrischen Feldes

~P (~k, t) =Nq2/m

ω20 − ω2 + i2γω~E(~k, t) , (7.54)

solange die Wellenlange λ = 2π/|~k| groß gegenuber dem mittleren Teilchenab-stand (≈ N−1/3) ist. Fur die Dielektrizitatskonstante folgt aus (7.54)

ε(ω) = n(ω)2 = 1 +Nq2/mε0

ω20 − ω2 + i2γω. (7.55)

Aus (7.55) entnehmen wir zunachst, dass der Imaginarteil n′′(ω) des Bre-chungsindex stets negativ ist. Eine in das Medium aus harmonischen Oszilla-toren eindringende Welle wird also gedampft. Unser Modell ist nicht geeignet,verstarkende Medien zu beschreiben. Die Dampfung einfallender Wellen ist of-fenbar am starksten fur Frequenzen ω nahe der Eigenfrequenz ω0, d. h. beiResonanz.

Fur ω ≈ ω0 zeigt auch der Realteil des Brechungsindex eine fur Reso-nanzphanomene typische starke Frequenzabhangigkeit. Beachten Sie ubrigens,dass fur ω > ω0 der Realteil n′ kleiner als eins, die Phasengeschwindigkeit alsogroßer als die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist.

7.5 Ohmsches Gesetz

Anders als in Dielektrika treten in elektrischen Leitern stets Ladungen auf, dienicht an Ruheladungen gebunden, sondern uber das ganze Volumen des jewei-ligen Korpers beweglich sind. Zum Beispiel besteht ein Metall aus beweglichenLeitungselektronen und positiv geladenen Ionen, die elastisch an Gleichgewichts-lagen gebunden sind.

Ein auf einen Leiter eingepragtes elektrisches Feld beschleunigt jedes beweg-liche geladene Teilchen und bewirkt somit einen elektrischen Strom. Insbesonde-re erzeugt ein nicht aus starkes statisches homogenes Feld ~E in einem raumlichhomogenen und isotropen Leiter eine Stromdichte, die durch das Ohmsche Ge-setz

~j = σ ~E (7.56)

beschrieben wird. Die Materialkonstante σ heißt die elektrische Leitfahigkeit.

Eine elementare gaskinetische Modellvorstellung fur die beweglichen Ladun-gen in einem Leiter besagt, dass sich jede dieser Ladungen bei Abwesenheiteines eingepragten Feldes frei bewegt bis auf gelegentlich Stoße in mittleremzeitlichen Abstand τ . Bei Stoß andert sich im Mittel zwar nicht der Betrag derGeschwindigkeit, wohl aber ihre Richtung, u. z. in jeweils beliebiger Weise ohneBevorzugung irgendeiner Orientierung. Da die mittlere Geschwindigkeit eines

∗)Gleichformig heißt, dass bei immer feinerer Unterteilung des Gesamtvolumens gleich großeTeilvolumina ∆V bis auf vernachlassigbare Schwankungen gleich viele Teilchen enthalten,solange N∆V À 1.

Page 139: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

7.6 Wellen in Leitern 139

Haufens solchermaßen bewegter Teilchen gleich Null ist (s. Abbildung 7.1), ver-schwinden alle hinreichend langwelligen Fourierkomponenten der Stromdichteund insbesondere die

Abbildung 7.1

~k = 0-Komponente, die einem raumlich homogenen Strom entspricht. Bei Anle-gen eines elektrischen Feldes andert sich die geschilderte Situation nur insofern,als sich die Geschwindigkeit eines beweglichen Teilchens der Masse m und derLadung q zwischen zwei Stoßen um

~u = q ~Eτ/m (7.57)

erhoht. Im Mittel werden alle beweglichen Ladungen mit der Geschwindig-keit ~u langs des Feldes ~E driften, so dass N die Volumeneinheit gleichformigausfullende gleiche Ladungen die Stromdichte

~j = Nq~u = (Nq2τ/m) ~E (7.58)

tragen. Aus (7.58) lesen Sie fur die Leitfahigkeit des Modells ab

σ = Nq2τ/m . (7.59)

7.6 Wellen in Leitern

Der statische Fall (7.56) des Ohmschen Gesetzes verallgemeinert sich fur Wellender Frequenz ω in homogenen und isotropen Leitern zu

~j(~k, ω) = σ(ω) ~E(~k, ω) . (7.60)

Der Beschreibung der entsprechenden Wellen lege ich die Maxwellschen Glei-chungen in der Form

~k · ~E(~k, ω) = 0 , ~k × ~E(~k, ω) = − ω ~B(~k, ω)

~k · ~B(~k, ω) = 0 , i~k × ~B(~k, ω) = 1ε0c2

~j(~k, ω) + i ωc2~E(~k, ω)

(7.61)

Page 140: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

140 7 Elektromagnetische Felder in Materie

zugrunde. Dabei sind die Polarisierbarkeit und Magnetisierbarkeit aller Komple-xe aneinander gebundener Ladungen vernachlassigt sowie elektrische Neutralitatdes Leiters bezuglich der Langenskala λ = 2π/|~k| angenommen.

Nach Eintragen des Ohmschen Gesetzes (7.60) in die Maxwellschen Glei-

chungen (7.61) und nach Elimination des Induktionsfeldes ~B ergibt sich ahnlichwie in 7.3

− i1

ω~k × (~k × ~E) = i

1

ωk2 ~E =

1

c2(σ(ω)/ε0 + iω) ~E . (7.62)

Als Dispersionsrelation elektromagnetischer Wellen in Leitern entnehmen wirhieraus

c2k2 = ω2(1 +

σ(ω)

iωε0

). (7.63)

Wie im Dielektrikum lasst sich die Abweichung der Dispersionsrelation von derdes Vakuums wieder durch einen frequenzabhangigen Brechungsindex

n(ω) =

(1 +

σ(ω)

iωε0

)1/2

(7.64)

beschreiben. Daher gilt das in 7.3 uber Phasengeschwindigkeit und Eindringtiefeder Welle Dargelegte ohne Anderung auch fur Wellen in Leitern.

Das in 7.4 beschriebene Modell eines Dielektrikums lasst sich ubrigens auchauf Leiter ubertragen, indem in (7.52) die Ruckstellkraft mω2

0ξ, d. h. die Ei-genfrequenz ω0 Null gesetzt und die Dampfungskonstante γ mit der mittlerenStoßzeit mittels 2γ = 1/τ verknupft wird. Durch Vergleich von (7.55) und (7.64)erhalten wir dann die frequenzabhangige Leitfahigkeit des Modells zu

σ(ω) =Nq2τ/m

1 + iωτ=

σ

1 + iωτ. (7.65)

Im Grenzfall ωτ → 0 reduziert sich dieses Resultat auf die in (7.59) gegebenestatische Leitfahigkeit σ(0) ≡ σ.

Page 141: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

Kapitel 8

Symmetrien

8.1 Der Raum ist homogen

Eine in Essen arbeitende Maschine funktioniert gleichermaßen auf dem KahlenAsten, vorausgesetzt, alle den Lauf der Maschine beeinflussenden Umweltbedin-gungen (je nach Gerat verschieden, z. B. Temperatur, Luftdruck, Luftfeuchtig-keit, Luftzusammensetzung, elektrische und magnetische Felder) werden gleichgestellt. Mit gewissem Aufwand an Technik und Geld lassen sich manche Ma-schinen auch auf dem Mond betreiben. Einschrankend muss notiert werden,dass Großvaters Pendeluhr, auf den Mond gebracht, langsamer als zu Hause ti-cken wurde; die Synchronisierung der Ticks der hauslichen Pendeluhr mit denendes auf dem Mond tickenden Duplikats durch Vergroßerung des Gravitationsfel-des des Mondes um einen Faktor 6 (entsprechend den Radien und Massen vonMond und Erde) ist uns nicht moglich.

Kein Punkt im Raum ist vor irgendeinem anderen Punkt ausgezeichnet. Dasheißt, was an einem Punkt physikalisch bewirkt werden kann, ist auch anderswozu bewerkstelligen. Der beschriebene Sachverhalt, eine Erfahrungstatsache, istzwar umgangssprachlich nur mangelhaft prazisierbar, hat aber in allen Grund-gesetzen der Physik einen wichtigen Niederschlag: keines dieser Grundgesetzezeichnet irgendeinen Punkt im Universum aus.

Es folgt, dass alle Grundgesetze der Physik, wenn als Gleichungen fur orts-abhangige Großen geschrieben, ihre Form nicht andern, wenn der Koordina-tenursprung verschoben wird. Alle Grundgesetze bleiben formgleich bei derKoordinatentransformation

~x′= ~x+ ~dt′ = t ,

(8.1)

die einer zeitunabhangigen Verschiebung des Ursprungs um ~d entspricht.

Prufen wir diese Invarianz am Beispiel des Newtonschen Grundgesetzes ~F =m~a, welches die Beschleunigung ~a eines Teilchens der Masse m mit der aufdas Teilchen wirkenden Kraft ~F verknupft. Die Masse m des Teilchens ist inbeiden Koordinatensystemen die gleiche. Da beide Koordinatensysteme paral-lele Achsen haben, sind die Komponenten des am Ort des Teilchens wirkendenKraftvektors bezuglich der einander entsprechenden Achsen gleich. Die in den

141

Page 142: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

142 8 Symmetrien

Abbildung 8.1

beiden Systemen messbaren Beschleunigungen sind ebenfalls gleich, da wegender Zeitunabhangigkeit von ~d gilt

d2~x′

dt′2=

d2~x′

dt2=

d2(~x+ ~d)

dt2=

d2~x

dt2.

Wenn also im Koordinatensystem S das Newtonsche Gesetz ~F = m~a gilt, sogilt es auch mit ungeanderter Form im Koordinatensystem ~S′. Wie in Essen,so auf dem Kahlen Asten.

Drucken wir’s vornehmer aus! Die Homogenitat des Raumes ist gleichbe-deutend mit der Invarianz der Grundgesetze unter Translationen des Koordina-tensystems. Dies ist keine nur esoterische Weisheit sondern eine pragnante Zu-sammenfassung vieler praktischer Erfahrungen. Insbesondere ist die Erfahrungbeinhaltet, dass der Gesamtimpuls eines abgeschlossenen Systems (abgeschlos-sen = keine außeren Einwirkungen) zeitlich konstant bleibt. Zeigen wir das amBeispiel eines mechanischen Systems, das wir uns als einen Haufen wechselwir-kender Teilchen vorstellen konnen.

Die Wechselwirkung der Teilchen im Haufen werden beschrieben mit Hilfeder potenziellen Energie U(~x1, ~x2, . . .), die von den Ortsvektoren ~x, aller Teil-chen abhangt. Wegen der Homogenitat des Raumes andert sich die potenzielleEnergie nicht, wenn zu allen Ortsvektoren ~x, derselbe zeitunabhangige Vektor~d addiert wird,

U( ~x1, ~x2, . . .) = U(~x1 + ~d, ~x2 + ~d, . . .) .

Differenzieren wir diese Gleichung nach der i-ten Komponente des Vektors ~d, soerhalten wir unter Benutzung der Kettenregel

Page 143: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

8.2 Der Raum ist isotrop 143

0 =∂

∂diU(~x1 + ~d, ~x2 + ~d, . . .) =

ν

∂xνiU(~x1 + ~d, ~x2 + ~d, . . .)

=∑

ν

∂xνiU(~x1, ~x2, . . .).

Nun ist −∂U/∂xνi, gerade die i-te Komponente der auf das ν-te Teilchen wir-kenden Kraft und wir erkennen, dass die Summe der Krafte auf alle Teilchen fureinen abgeschlossenen Haufen verschwindet. Wenn das abgeschlossene Systeminsbesondere nur aus zwei Teilchen besteht, so ergibt sich Newtons beruhmtesGesetz actio = reactio. Um auch den Impulserhaltungssatz zu erschließen,schauen wir die Bewegungsgleichung des ν-ten Teilchens an,

mνd2~xνdt2

= −∇νU = −(

∂xν1U,

∂xν2U,

∂xν3U

),

und summieren uber alle Teilchen. Da die Summe der Krafte verschwindet,finden wir

−∑

ν

∇νU = 0 =∑

ν

mνd2~xνdt2

=d

dt

ν

mνdxνdt

.

Also bleibt die Große

~P =∑

ν

mνd~xνdt

,

die wir Gesamtimpuls des Haufens nennen, zeitlich konstant,

d

dt~P = 0 .

Nicht nur die Grundgesetze der Mechanik, sondern alle Grundgesetze derPhysik sind invariant unter Translationen des Koordinatensystems. Dement-sprechend gilt der Impulserhaltungssatz auch allgemeiner als nur fur rein me-chanische abgeschlossene Systeme (die es streng genommen gar nicht gibt). Be-trachten wir etwa einen Haufen geladener Teilchen, die uber das von ihnen er-zeugte elektromagnetische Feld wechselwirken, ohne dass außere Einflusse wirk-sam waren. Da alle zur Beschreibung dieses Systems einschlagigen Grundgesetzetranslations-invariant sind, bleibt der Gesamtimpuls des Systems zeitlich kon-stant. Allerdings tragen nicht nur die Teilchen, sondern auch das von ihnenerzeugte elektromagnetische Feld zum Gesamtimpuls bei. Erinnern Sie sich anden Comptoneffekt!

8.2 Der Raum ist isotrop

Die Naturgesetze zeichnen nicht nur keinen Punkt des Universums aus, sondernauch keine Richtung im Raum. Zwar gibt es in vielen physikalischen Systemeneine oder gar mehrere ausgezeichnete Richtungen, aber solche Anisotropien sindstets erzeugt durch Materiekonfigurationen; werden letztere gedreht, so drehen

Page 144: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

144 8 Symmetrien

sich die ausgezeichneten Richtungen mit, ohne dass sich irgendeine andere Ei-genschaft andert.

Denken wir an die Schwerkraft an der Erdoberflache, die im Labor die von

”unten nach oben“ weisende Richtung auszeichnet. Die Schwerkraft wird vonder Erde erzeugt. Dreht man die Erde, so dreht sich die ausgezeichnete Rich-tung. Die Isotropie des Raumes zeigt sich bei diesem Beispiel darin, dass vieleLaborexperimente um 12 Uhr mittags die gleichen Resultate geben wie abendsum 6 Uhr. Viele, nicht alle: messen Sie den Wasserpegel an der Atlantikkusteund bemerken die durch Sonne und Mond bewirkten zusatzlichen Anisotropiendes Gravitationsfeldes an der Erdoberflache. Also verfeinern wir die Aussage:schwerkraftempfindliche Laborexperimente verlaufen gleich, wenn gleiche Kon-stellation von Labor, Erdmittelpunkt, Mond und Sonne vorliegt.

Die allgemeine und prazise Fassung der geschilderten Erfahrung von derprinzipiellen Gleichberechtigung aller Richtungen besagt, dass alle Grundgesetzeinvariant sind unter Rotationen des Koordinatensystems. Um diese Aussage furkonkrete Gesetze nachprufen zu konnen, mussen wir uns uberlegen, wie sich dieKoordinaten eines Punktes bei Drehung der Koordinatenachsen andern.

Betrachten wir der Einfachheit halber eine reine Rotation (keine Nullpunkt-verschiebung) um den Winkel ϕ bezuglich der z-Achse. Sie sehen leicht anhandvon Abbildung 8.2, dass

Abbildung 8.2

x′ = x cosϕ+ y sinϕ x = x′ cosϕ− y′ sinϕy′ = −x sinϕ+ y cosϕ bzw. y = x′ sinϕ+ y′ cosϕ

z′ = z

t′ = t ,

wobei letztere Gleichung ausdruckt, dass zwar nicht eine Pendeluhr, wohl abereine sorgfaltig konstruierte Armbanduhr unverandert geht, wenn sie auf denKopf gestellt wird.

Prufen wir die Rotationsvarianz der Newtonschen Bewegungsgleichheit furein Teilchen,

~F = md2~x

dt2. (8.3)

Drucken wir die Beschleunigung durch die Koordinaten im gedrehten Systemaus, so ergibt sich

Page 145: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

8.2 Der Raum ist isotrop 145

d2x

dt2=

d2x′

dt′2cosϕ− d2y′

dt′2sinϕ

d2y

dt2=

d2x′

dt′2sinϕ+

d2y′

dt′2cosϕ . (8.4)

Die Komponenten der auf das Teilchen wirkenden Kraft ~F erhalten wir durchProjektion des Kraftvektors auf die gedrehten Koordinatenachsen, genau wiesich die Transformationsformel fur die Koordinaten durch Projektion des Orts-vektors ~x gewinnen lassen,

Fx = Fx′ cosϕ− Fy ′ sinϕ

Fy = Fx′ sinϕ+ Fy ′ cosϕ . (8.5)

Da die Masse des Teilchens naturlich unabhangig von der Orientierung der Ko-ordinatenachsen ist (ob Sie sich auf eine Waage stellen oder legen, ist fur IhrGewicht unerheblich), mussen wir nicht zwischen m und m′ unterscheiden. Tra-gen wir nun die Transformationen (8.4) und (8.5) in die Bewegungsgleichungen(8.3) ein, so finden wir

Fx′ cosϕ− Fy ′ sinϕ = md2x′

dt′2cosϕ−m d2y′

dt′2sinϕ

Fx′ sinϕ− Fy ′ cosϕ = md2x′

dt′2sinϕ+m

d2y′

dt′2cosϕ . (8.6)

Da diese Gleichungen fur beliebige Drehwinkel ϕ gelten, also z. B. fur ϕ = π2 und

ϕ = 0, ergibt sich als Satz von Bewegungsgleichungen im Koordinatensystem S ′

~F ′ = md2~x′

dt′2, (8.7)

der formgleich ist mit dem Satz (8.3) im System S. Wenn also (8.3) in S gilt,so gilt auch (8.7) in S′.

Wir konnen auch so argumentieren: Die Koordinaten x, y, z, die Kom-ponenten Fx, Fy, Fz wie die Komponenten der Beschleunigung bilden jeweilseinen Vektor; alle diese Vektoren transformieren sich gleichartig bei Drehung desKoordinatenkreuzes, wie aus (8.2), (8.4), (8.5) ersichtlich. Wenn daher die bei-

den Vektoren ~F und md2~x/dt2 in einem Koordinatensystem ubereinstimmen,so auch in einem beliebig zu diesem verdrehten.

Haben Sie bisher einen Vektor als eine Große angesehen, die durch Betragund Richtung charakterisiert ist und auch durch ihre Komponenten bezuglicheines Achsenkreuzes spezifiziert werden kann? Dann prazisieren wir diese Auf-fassung jetzt. Ein Zahlentripel, das sich bei Drehung des Koordinatensystemsebenso transformiert wie die Koordinaten x, y, z, ist ein Vektor. Die Bedeutungdieser Begriffsbildung liegt darin, dass die Rotationsinvarianz von Naturgesetzender Form

~U = ~V , z. B. ~F = m~a (8.8)

Page 146: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

146 8 Symmetrien

evident wird. Wenn ~U und ~V Vektoren sind, die in irgendeinem Koordinaten-system ubereinstimmen, so gilt die Gleichheit auch in allen verdrehten Koordi-natensystemen.

Ein verwandter, Ihnen ebenfalls bekannter Begriff ist der Skalar. EineGroße ϕ heißt skalar, wenn sie sich bei Drehung des Koordinatensystems garnicht andert. Beispiele sind Masse, Ladung, Volumeninhalt, Ladungsdichteetc. Selbstverstandlich sind Naturgesetze, die sich als Gleichheit zweier Ska-lare schreiben lassen, invariant unter Rotationen. So zum Beispiel gilt, dassLadungen die Quellen des elektrischen Feldes sind, in allen zueinander verdreh-ten Koordinatensystemen in der Form div ~E = ρ/ε0.

Wir hatten oben eine spezielle Rotation (Drehung um z-Achse um Winkelϕ) betrachtet. Bei allgemeinen Drehungen mischen sich alle drei raumlichenKoordinaten linear, wahrend gleiche Uhren in zueinander gedrehten Systemenimmer mit gleicher Frequenz ticken,

x′ = R11x+R12y +R13z (8.9)

y′ = R21x+R22y +R23z

z′ = R31x+R32y +R33z

t′ = t .

Die neun Koeffizienten Rij der Linearkombination lassen sich, wie Sie gelernthaben oder nachlesen konnen, stets durch drei Parameter (z. B. Eulersche Win-kel) festlegen. Uberzeugen wir uns davon, indem wir ausnutzen, dass sich das

Langenquadrat eines beliebigen Vektors ~V ,

~V 2 = V 2x + V 2

y + V 2z , (8.10)

bei beliebiger Drehung des Koordinatensystems nicht andern kann, also einSkalar ist.

Um die Betrachtung bequem aufschreiben zu konnen, vereinbaren wir eineNeubenennung der Vektorkomponenten gemaß

Vx = V1, Vy = V2, Vz = V3 . (8.11)

Dann schreibt sich die Transformation (8.9) als

xi =

3∑

j=1

Rijxj (8.12)

und als Langenquadrat ~V 2 als

~V 2 =

3∑

i=1

V 2i . (8.13)

Da ~V 2 offenbar ein Skalar ist, gilt

i

V′2i =

i

V 2i =

ijk

RijRik VjVk , (8.14)

Page 147: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

8.2 Der Raum ist isotrop 147

oder

jk

(δjk −

i

RijRik

)VjVk = 0 . (8.15)

Da der Vektor ~V beliebig ist, folgt

3∑

i=1

RijRik = δjk . (8.16)

(Vollziehen Sie den Schluss selbst im Detail nach, indem Sie nacheinander ge-

eignete Wahlen fur ~V treffen; beachten Sie die Symmetrie von∑i

RijRik unter

Vertauschung der Indices j und k.)Wir haben in (8.16) sechs unabhangige Gleichungen fur die neun Matrixele-

mente Rij . Es folgt, dass die Drehmatrix R drei freie Parameter enthalt.Wenn wir beachten, dass Rij das ji-Element der zu R transponierten Matrix

R ist, so konnen wir (8.16) als die Matrixgleichung

RR = 1 (8.17)

schreiben und folgern, dass die zu R inverse gleich der transponierten Matrixist,

R = R−1 . (8.18)

Dieser Zusammenhang liefert uns die Umkehrung der Transformation (8.12)

xi =∑

j

Rjix′j . (8.19)

Ebenso wie die Translationsvarianz der Grundgesetze hat auch die Rota-tionsinvarianz viele hochst wichtige und praktische Konsequenzen. Eine da-von ist, dass der Gesamtdrehimpuls eines abgeschlossenen Systems eine zeitlichkonstante Große ist. Es lohnt sich, diesen wichtigen Erhaltungssatz fur einenabgeschlossenen Haufen wechselwirkender Teilchen zu verifizieren.

Wir nutzen aus, dass die potenzielle Energie U(~x1, ~x2, . . .) des Haufens einSkalar sein muss. Fur eine beliebige Rotation muss also gelten

U(~x1, ~x2, . . .) = U(~x′1, ~x′2, . . .), (8.20)

wobei ~x′ν = (x′ν1, x′ν2, x

′ν3) = (x′ν , y

′ν , z′ν) das Koordinatentripel des ν-ten Teil-

chens im gedrehten System bezeichnet. Insbesondere muss die Gleichung (8.20)gelten fur eine so genannte differenzielle Rotation, d. h. eine Drehung um einensehr kleinen Winkel δϕ bezuglich einer beliebigen Achse. Solche differenziel-len Rotationen konnen durch einen Vektor δ~ϕ charakterisiert werden, dessenRichtung die Drehachse und dessen Betrag den Drehwinkel δϕ = |δ~ϕ| angeben(wobei, so die ubliche Konvention, im Sinne einer Rechtsschraube gedreht wird).

Offenbar andern sich bei einer differenziellen Rotation die Komponenteneines vorgegebenen Vektors ~V nur wenig. Wir konnen schreiben

~V ′ = ~V + δ~V (8.21)

Page 148: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

148 8 Symmetrien

und finden die kleine Anderung δ~V durch folgende einfache Uberlegung. Dervorgegebene Vektor selbst andert sich bei der Drehung des Koordinatensystemsum δ~ϕ naturlich nicht (nur seine Koordinaten andern sich; ~V ′ in (8.21) meintdas Koordinatentripel des Vektors im gedrehten System). Denken wir uns aberein Duplikat dieses Vektors, welches vor Ausfuhrung der Drehung des Koordi-natendreibeins mit dem vorgegebenen Vektor ubereinstimmt, bei der Drehungdes Dreibeins zum System S ′ jedoch starr mitgefuhrt wird. Das Duplikat ist einvom vorgegebenen Vektor verschiedener Vektor; die Komponenten des Dupli-kats bezuglich des Systems S′ sind jedoch numerisch gleich den Komponentendes vorgegebenen Vektors bezuglich des ursprunglichen Koordinatensystems S,da das Duplikat im System S ′ genauso orientiert ist wie der vorgegebene Vektorim System S. Die in S′ ausgedruckte Differenz zwischen dem mitgefuhrten Du-plikat und dem stehengebliebenen Original ist genau die Anderung δ~V in (8.21).Wir erhalten sie als die Anderung, die das Duplikat erleiden wurde, wenn es, los-gelost vom Dreibein S′, um −δ~ϕ gedreht, also ins Original zuruckrotiert wurde.Ein Blick auf die Abbildung 8.3 enthullt |δ~V | = |~V | sinΘδψ und ferner, dass δ~Vsenkrecht auf der

Abbildung 8.3

von ~V und δ ~ψ aufgespannten Ebene steht, so dass δ~V = δ ~ψ × ~V bei Drehungum δ ~ψ. Wir haben die Drehung des Vektors ~V um δ ~ψ = −δ~ϕ in Rechnung zustellen und finden als explizite Form der Transformation (8.21)

~V ′ = ~V + ~V × δ~ϕ . (8.22)

Ihnen bleibt zur Ubung uberlassen, diese infinitesimale Rotation des Koordi-natensystems in die Form (8.12) zu bringen und die zugehorige Drehmatrixaufzuschreiben.

Jetzt konnen wir uns vollends schnell klarmachen, dass, wie behauptet,der Gesamtdrehimpuls eines abgeschlossenen Teilchenhaufens zeitlich konstantbleibt. Benutzen wir (8.20) fur die infinitesimale Rotation (8.22),

U(~xν + ~xν × δ~ϕ)− U(~xν) = 0 . (8.23)

Entwickeln wir links nach Potenzen von δ~ϕ bis zum Glied erster Ordnung, soerhalten wir

Page 149: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

8.2 Der Raum ist isotrop 149

v,i

∂U(~xν)∂xνi

(~xν × δ~ϕ)i = 0 . (8.24)

Erinnern wir uns, dass −∇νU gerade die auf das ν-te Teilchen wirkende Kraft~Fν ist und beachten die zyklische Invarianz des Spatprodukts gemaß

−∑

ν

~Fν · (~xν × δ~ϕ) = +δ~ϕ ·∑

ν

(~xν × ~Fν) = 0 . (8.25)

Es erscheint das Skalarprodukt des Drehvektors δ~ϕ mit der Summe der Dreh-momente ~xν × F~ν der Krafte F~ν. Da der Drehwinkel ganz beliebig orientiertsein darf, schließen wir, dass die Summe der Drehmomente der Krafte auf alleTeilchen des abgeschlossenen Haufens verschwindet.

Das zeitliche Verhalten des Gesamtdrehimpulses finden wir, indem wir dieBewegungsgleichung des ν-ten Teilchens vektoriell mit dem Ortsvektor ~xν mul-tiplizieren,

~xν ×mνd2~xνdt2

= ~xν × ~Fν (8.26)

und nun diese Gleichungen fur alle Teilchen additiv zusammenfassen,

ν

~xν ×mνd

dt

d~xνdt

=∑

ν

~xν × ~Fν = 0 . (8.27)

Wegen ~xν × ~xν = 0 konnen wir die linke Seite als eine totale Zeitableitungschreiben und finden den Erhaltungssatz

d

dt

ν

~xν ×mνd~xνdt

=d~L

dt= 0 . (8.28)

Die erhaltene Große ist der Vektor des Gesamtdrehimpulses der Teilchen

~L =∑

ν

~xν ×mνd~xνdt

. (8.29)

Die somit vollzogene Herleitung des rein mechanischen Drehimpulserhal-tungssatzes beginnt mit der Annahme, dass die Wechselwirkung der Teilchendurch eine potenzielle Energie U(~xν) beschreibbar sei und ist somit kritik-bedurftig. Anstatt eine allgemeine und abstrakte Kritik zu geben, verweise ichwieder auf das Beispiel eines abgeschlossenen Haufens geladener Teilchen. DieWechselwirkung solcher Teilchen uber das von ihnen selbst erzeugte elektroma-gnetische Feld kann nicht durch eine potenzielle Energie U(~xν) beschriebenwerden. Denken wir nur daran, dass das elektromagnetische Feld eines Teilchenssich mit der Lichtgeschwindigkeit ausbreitet. Befindet sich also ein Teilchen zurZeit t am Ort ~xν , so kann sich dieser Sachverhalt andernorts auf andere Teil-chen erst zu spateren Zeitpunkten auswirken. Eine derart retardierte Wechsel-wirkung zwischen Teilchen kann offenbar nicht durch eine potenzielle EnergieU(~x1(t), ~x2(t), . . .), in die alle Teilchenkoordinaten zu einer Zeit eingehen, be-schrieben werden.

Die Ausschlachtung der Rotationsinvarianz der Maxwellschen Gleichungenund der Teilchenbewegungsgleichungen zugleich, die hier nicht vorgenommen

Page 150: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

150 8 Symmetrien

werden kann, ergibt, dass sowohl die Teilchen wie das von ihnen erzeugte elek-tromagnetische Feld einen Drehimpuls haben. Erst die Summe beider Beitrageliefert den zeitlich erhaltenen Gesamtdrehimpuls fur das abgeschlossene Systemgeladener Teilchen.

8.3 Die Zeit ist homogen

Als Leonardo da Vinci (1452 - 1519) Maschinen baute, machte er sich Grundge-setze zunutze (wenn diese auch noch nicht alle formuliert gewesen sein mogen),die heute noch unverandert gelten. Wir haben auch keinen Grund zu der An-nahme, dass fur kunftige Ingenieurgenerationen die Maxwellschen Gleichungenaußer Kraft geraten konnten. Mit anderen Worten, in den Grundgesetzen istkein Zeitpunkt ausgezeichnet, die Grundgesetze sind alle invariant unter Ver-schiebungen des Zeitnullpunktes

t′ = t+ τ

x′ = x, y′ = y, z′ = z . (8.30)

Auch diese Symmetrie der Natur bzw. Invarianz der Grundgesetze implizierteinen Erhaltungssatz fur abgeschlossene Systeme, den der Energie.

Bei einem abgeschlossenen rein mechanischen Teilchenhaufen, bei dem dieWechselwirkungen durch eine potenzielle Energie U(~xν) beschreibbar sind,bedeutet die Gleichberechtigung aller Zeitpunkte, dass U nicht explizit von derZeit abhangt. Allein aus dieser Annahme aber hatten wir in 2.9 gefolgert, dassdie mechanische Gesamtenergie

E =∑

ν

1

2mν ~x

2ν + U(~xν) (8.31)

zeitlich erhalten bleibt.Fur ein abgeschlossenes System, das aus geladenen Teilchen und ihrem elek-

tromagnetischen Feld besteht, hatten wir in 6.4 den Energieerhaltungssatz her-geleitet. Die fur das abgeschlossene System erhaltene Gesamtenergie hat einenrein mechanischen, einen rein elektromagnetischen Anteil sowie einen Wechsel-wirkungsanteil. Der Nachweis der Konstanz der Gesamtenergie macht wesent-lichen Gebrauch von der Tatsache, dass weder die Bewegungsgleichungen derTeilchen noch die Maxwellschen Gleichungen irgendeinen Zeitpunkt auszeich-nen.

8.4 Galileiinvarianz

Denken wir uns zwei identische Labors, die sich relativ zueinander gleichformigbewegen. In beiden werde das gleiche Experiment durchgefuhrt. Nach allerErfahrung ergeben sich gleiche Messresultate. Ohne Beobachtung der Außen-welt kann in keinem Labor festgestellt werden, ob das Labor ruht oder sich ingleichformiger Bewegung befindet.

Dieser Erfahrungstatsache entspricht eine Invarianz aller Grundgesetze: alleNaturgesetze haben in allen gleichformig zueinander bewegten Koordinatensys-temen die gleiche Form. Das ist das so genannte Relativitatsprinzip.

Page 151: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

8.4 Galileiinvarianz 151

Um die erwahnte Invarianz konkreter formulieren zu konnen, mussen wir unsklarmachen, wie sich die Koordinaten eines Raum-Zeitpunktes in gleichformiggegeneinander bewegten Koordinatensystemen ineinander umrechnen lassen.Wenn sich das System S vom System S ′ aus gesehen mit der Geschwindigkeit~u bewegt, so gilt gemaß der Galileitransformation

~x′ = ~x+ ~ut

t′ = t , (8.32)

falls entsprechende Achsen von S und S ′ zueinander parallel sind und die Ur-sprunge zur Zeit t = t′ = 0 zusammenfallen. Naturgesetze, die bei der Gali-leitransformation (8.32) ihre Form behalten, heißen galileiinvariant.

Bekanntlich entspricht die Galileiinvarianz nur einer naherungsweise gultigenSymmetrie der Natur. Die Galileitransformation (8.32) ist zwar vom Alltaggelaufig und daher anschaulich, ist jedoch, wie spater auszufuhren sein wird,vollig unbrauchbar, wenn die Relativgeschwindigkeit ~u betragsmaßig nicht ver-nachlassigbar ist gegenuber der Lichtgeschwindigkeit.

Die Newtonsche Mechanik fur Teilchenhaufen, die uber ihre Gravitationsan-ziehung wechselwirken, ist eine galileiinvariante Theorie. Fur das ν-te Teilchenin einem solchen Haufen gilt die Bewegungsgleichung

mνd2~xνdt2

= G∑

µ(6=ν)

mνmµ(~xµ − ~xν)|~xµ − ~xν |3

. (8.33)

Da die Teilchenmassen in allen galileischen Koordinatensystemen (d. h. Koor-dinatensystemen, die durch Galileitransformationen verknupft sind) gleich sindund da gemaß (8.32)

d2~xνdt2

=d2~x′νdt′2

, ~xµ − ~xν = ~x′µ − ~x′ν , (8.34)

folgt aus der Gultigkeit der Bewegungsgleichung

mνd2~x′νdt2

= G∑

µ(6=ν)

mνmµ(~xµ − ~xν)|~xµ − ~xν |3

. (8.35)

Wie behauptet, andert die Bewegungsgleichung ihre Form nicht unter Gali-leitransformationen.

Die Newtonsche Mechanik ist, ebenso wie die Galileitransformation, nurnaherungsweise richtig. Wir wissen heute, dass sie nur gilt, solange die Ge-schwindigkeit aller Teilchen vernachlassigbar klein ist im Vergleich zur Lichtge-schwindigkeit.

Bevor wir zur Besprechung der auch fur große Relativgeschwindigkeitengultigen Koordinatentransformation ubergehen, sollen zwei Eigenschaften derGalileitransformation (8.32) besonders hervorgehoben werden. Beachten Sie,was im Alltag selbstverstandlich erscheint, dass die Zeitkoordinate in allen Ko-ordinatensystemen die gleiche ist und dass in t′ = t die raumlichen Koordinatennicht eingehen. Gemaß der Galileitransformation sollte eine gleichformig be-wegte Uhr gleich schnell gehen wie eine ruhende.

Page 152: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

152 8 Symmetrien

Betrachten wir auch, dass die Galileitransformation das uns gelaufige Additi-onsgesetz fur Geschwindigkeiten beinhaltet. Lesen wir (8.32) als Zusammenhangzwischen den Koordinaten ~x(t) und ~x′(t) eines gleichformig bewegten Teilchensund differenzieren nach der Zeit. Mit ~v = d~x/dt und ~v′ = d~x/dt entsteht dasGesetz

Abbildung 8.4

welches durch Abbildung 8.4 veranschaulicht ist. Geschwindigkeiten addierensich wie Vektoren.

8.5 Lorentzinvarianz

Wahrend eine bewegte Uhr 10 mal tickt, tickt eine gleich gebaute ruhende Uhrauch 10 mal? Experimente mit Armbanduhren und Schnellzugen legen einebejahende Antwort nahe. Experimente mit hinreichend schnellen Teilchen er-zwingen das Nein: die bewegte Uhr geht langsamer als die ruhende Kopie.

Ein lustiges Beispiel geben µ Mesonen, die im außeren Teil der irdischenAtmosphare (einige 10 km uber der Erdoberflache) durch dort einfallende kos-mische Strahlen erzeugt und dabei mit außerordentlich hohen Geschwindig-keiten ausgestattet werden. Nun sind Muonen instabile Teilchen. RuhendeMuonen zerfallen durchschnittlich nach 2 · 10−6s. Die Alltagserfahrungen mitD-Zugen und Rennwagen lassen uns erwarten, dass Muonen, welche fast mitLichtgeschwindigkeit in Richtung Erdoberflache rasen, im Durchschnitt etwa3 · 105(km/sec) · 2 · 10−6s ≈ 600m weit fliegen, bevor sie zerfallen; demnachsollten durch kosmische Strahlung erzeugte Muonen allenfalls in hoch fliegendenLuftballons, nicht aber an der Erdoberflache nachweisbar sein. Tatsachlich fallenviele im Bodenlabor ein. Der unten noch ausfuhrlicher zu diskutierende Grunddafur ist dieser: wahrend fur die Muonen 2 · 10−6s vergehen, verstreicht im Bo-denlabor, relativ zu dem sich die Muonen schnell bewegen, eine viel langere Zeit(die wir unten berechnen). Die Zeiteinheit

”mittlere Lebensdauer eines Muons“

betragt ∼ 2 · 10−6 sec fur eine mitbewegte Uhr, relativ zu der das Muon ruht,jedoch mehr fur die Uhr im Labor. Die fur die Beschreibung schnell bewegterMuonen einschlagigen Grundgesetze sind nicht galileiinvariant.

Auch die Alltagserfahrung, dass Geschwindigkeiten sich wie Vektoren addie-ren, wird hinfallig bei Experimenten mit schnellen Teilchen. Ein einleuchtendesund historisch bedeutsames Beispiel gibt das Michelson-Morley Experiment, daswir kurz besprechen wollen.

Bezuglich eines mit der Sonne starr verbundenen Koordinatensystems Ssbewegt sich die Erde mit einer Geschwindigkeit von |~u| ≈ 30 km/sec. Durchden Raum reisende Lichtsignale sollten, wenn das Vektoradditionsgesetz furGeschwindigkeiten gilt, im System Ss eine andere Geschwindigkeit haben, als

Page 153: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

8.5 Lorentzinvarianz 153

im mit der Erde fest verbundenen System SE . Gilt denn

~cS?= ~cE + ~u ? (8.36)

Es musste dann, falls in Ss die Lichtgeschwindigkeit richtungsunabhangig ist,auf der Erde eine Anisotropie der Lichtausbreitung feststellbar sein, d. h. ei-ne Abhangigkeit der Lichtgeschwindigkeit |~cE | = ~cs − ~u vom Winkel zwischen~u und ~cs. Das Michelson-Morley Experiment war darauf angelegt, eine der-artige Anisotropie nachzuweisen. Das Resultat war negativ (ubrigens zu allenJahreszeiten).

Ein positives Resultat des Michelson-Morley Experiments, d. h. eine Rich-tungsabhangigkeit des Beitrages der Lichtgeschwindigkeit (oder eine jahreszeit-liche Schwankung solcher Anisotropie) fur irdische Beobachter hatte das Relati-vitatsprinzip in Schwierigkeiten gebracht. Warum sollte die Lichtausbreitung imheliozentrischen (oder in irgendeinem galaktischen) Koordinatensystem isotropsein, nicht aber im geozentrischen Koordinatensystem? Die experimentell gefun-dene Isotropie der Lichtausbreitung ist im Einklang mit dem Relativitatsprinzipund zeigt, dass das vektorielle Additionsgesetz (1) fur Geschwindigkeiten zumin-dest fur Lichtausbreitung nicht richtig sein kann.

Erinnern wir uns an den Aufbau des Michelson-Morley Experiments. Aufeinem starren Rahmen montiert sind eine Lampe, ein halbdurchlassiger SpiegelH, zwei Spiegel S1 und S2 sowie ein Schirm (Abbildung 8.5). Auf dem Schirmentsteht durch Uberlagerung der von S1 und S2 reflektierten Teilstrahlen einInterferenzmuster. Zunachst ist die Anordnung so orientiert, dass HS2 parallelzur Bahngeschwindigkeit der Erde verlauft. Anschließend wird die Anordnungum 90 gedreht, so das HS1 entlang der Erdbahn weist. Eine Anisotropie derLichtausbreitung auf Grund der Bewegung der Erde im heliozentrischen Be-zugssystem musste sich in einer Verschiebung des Interferenzmusters auf demSchirm zeigen. (Zur Ubung machen Sie sich selbst wieder klar, welche Lauf-zeitunterschiede fur die Phasen der Lichtwelle auftreten mussten, wenn (8.36)galte.) Tatsachlich ist keine Verschiebung beobachtbar.

Zu folgern ist, dass die Lichtgeschwindigkeit in allen gleichformig zueinan-der bewegten Bezugssystemen gleich ist. Ebenfalls, dass die Naturgesetze, diedie Lichtausbreitung beschreiben, nicht galileiinvariant sein konnen, denn wirhatten gesehen, dass die Galileitransformation die vektorielle Geschwindigkeits-addition beinhaltet.

Wir werden sehen, dass die Koordinatentransformation zwischen gleichformigzueinander bewegten Koordinatensystemen eindeutig festgelegt ist durch dieForderungen der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit und der Isotropie und Ho-mogenitat des Raumes sowie der Homogenitat der Zeit in allen diesen Koordi-natensystemen. Die resultierende Koordinatentransformation ist die Lorentz-transformation.

Wir werden uns auch klarmachen, dass die Maxwellsche Elektrodynamik,d. h. die fur Lichtausbreitung zustandige Theorie, lorentzinvariant ist; ferner,wie die galileiinvariante Newtonsche Mechanik zu einer lorentzinvarianten Theo-rie verallgemeinert werden kann.

Halten wir fest: in allen”Labors“, die gegeneinander verschoben, gekippt

oder gleichformig bewegt aber ansonsten identisch sind, bringen gleiche Expe-rimente gleiche Messergebnisse. Insbesondere die Lichtgeschwindigkeit hat in

Page 154: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

154 8 Symmetrien

Abbildung 8.5

allen solchen Labors denselben Wert. Folglich mussen alle Grundgesetze inva-riant sein unter den Koordinatentransformationen Translation, Rotation undLorentztransformation entsprechend konstanter Relativgeschwindigkeit.

Page 155: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

Kapitel 9

Spezielle Relativitatstheorie

9.1 Die Lorentztransformation der Koordinaten

Von einem Punkt ~x1 werde zur Zeit t1 (bezuglich irgendeines Koordinatensys-tems S) ein Lichtsignal ausgesandt und gelange zur Zeit t2 am Punkt ~x2 an.Da Licht sich mit der endlichen Geschwindigkeit c ausbreitet, gilt zwischen denKoordinaten ~x1, t1 und ~x2, t2 der Zusammenhang

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 − c2(t2 − t1)2 = 0 . (9.1)

In einem zu S mit konstanter Geschwindigkeit ~u bewegten System S ′ habenAussendung und Ankunft des Lichtsignals andere Koordinaten, die wir ~x′1, t

′1

bzw. ~x′2, t′2 nennen konnen. Dabei mussen wir insbesondere auch die Moglichkeit

zulassen, dass t1 6= t′1 ist, d. h. dass die Zeit ihre in der Galileitransformaitonausgezeichnete Rolle verliert. Da die Lichtgeschwindigkeit bezuglich S′ dengleichen Wert wie bezuglich S hat, gilt in S′ auch

(x′2 − x′1)2 + (y′2 − y′1)2 + (z′2 − z′1)2 − c2(t′2 − t′1)2 = 0 . (9.2)

Um den folgenden Uberlegungen eine anschauliche geometrische Interpreta-tion geben zu konnen, denken wir uns ein vierdimensionales Koordinatensystemmit drei raumlichen Achsen x, y, z und einer zusatzlichen Achse, auf der wir dieZeit auftragen. Einen Punkt im Raum-Zeit-Kontinuum nennen wir ein Ereig-nis und definieren den Minkowskiabstand τ12 zweier Ereignisse ~x1, t1 und ~x2, t2durch

−τ212 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 − c2(t2 − t1)2 . (9.3)

Gemaß dieser Definition haben zwei durch Lichtsignale verbundene Ereignis-se den Abstand Null. Aus der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit folgt, dass einin irgendeinem System S verschwindender Abstand auch in allen anderen dazugleichformig bewegten Systemen S ′ verschwindet. Dies ist eine starke Forderungan die Koordinatentransformation von S und S ′.

Daruber hinaus muss die gesuchte Lorentztransformation auch nicht ver-schwindende Abstande invariant lassen, wenn nicht die in S etwa konstatierteHomogenitat und Isotropie des Raumes und die Homogenitat der Zeit in S′

verloren sein soll. Um diese weitere Forderung zu begrunden, betrachten wir

155

Page 156: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

156 9 Spezielle Relativitatstheorie

insbesondere zwei infinitesimal benachbarte Ereignisse, deren Koordinaten inS ~x, t und ~x + d~x, t + dt bzw. in S ′ ~x′, t′ und ~x′ + d~x′, t′ + dt′ lauten. Die ent-sprechenden Abstande dτ und dτ ′ mussen, da im gleichen Sinn klein, einanderproportional sein

dτ ′ = adτ , (9.4)

wobei der Proportionalitatsfaktor a wegen der Homogenitat von Raum und Zeitnicht von ~x und t nicht von ~x und t abhangen darf. Bleibt zu diskutieren, oba von der Relativgeschwindigkeit ~u der beiden Systeme S und S ′ abhangenkann. Aus der Isotropie des Raumes konnen wir sofort folgern, dass jedenfallsdie Richtung von ~u nicht in a eingehen darf, so dass allenfalls eine Abhangigkeitvom Betrag |~u| in Frage kommt.

Um letztere Moglichkeit zu prufen, betrachten wir drei Systeme S, S ′ undS′′. Es mogen sich von S aus gesehen, S ′ mit ~v1 und S′′ mit ~v2 bewegen. DieRelativgeschwindigkeit zwischen S ′′ und S′ heiße ~v12. Fur die Abstande derbeiden differenziell benachbarten Ereignisse haben wir die Relationen

dτ ′ = a(|~v1|)dτdτ ′′ = a(|~v2|)dτ (9.5)

dτ ′ = a(|~v12|)dτ ′′ ,

die nur dann miteinander vertraglich sind, wenn gilt

a(|~v12|) =a(|~v1|)a(|~v2|)

. (9.6)

Die linke Seite dieser Gleichung hangt vom Winkel zwischen den Vektoren ~v1und ~v2 ab, die rechte aber nicht, so dass jede Abhangigkeit des Proportiona-litatsfaktors a von irgendeiner Geschwindigkeit auszuschließen ist. Es folgt a = 1und somit

dτ = dτ ′ , (9.7)

also die Invarianz differenzieller Abstande unter der gesuchten Lorentztransfor-mation. Da endliche Abstande sich als Summen differenzieller Abstande darstel-len lassen, muss die gesuchte Lorentztransformation sogar beliebige Abstandeim Raum-Zeit-Kontinuum erhalten.

Erinnern wir uns an Altbekanntes aus dem gewohnlichen (euklidischen)dreidimensionalen Raum. Die einzigen Koordinatentransformationen die dengewohnlichen (euklidischen) Abstand

d12 =((x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2

)1/2(9.8)

invariant lassen, sind Translationen und Drehungen. Zwar ist das vierdimensio-nale Raum-Zeit-Kontinuum kein euklidischer Raum mit vier vollig gleichberech-tigten Achsen (wegen des einen Minuszeichens vor dem Zeitquadrat in (9.3)),jedoch legt die Ahnlichkeit des Abstandes (9.3) mit dem gewohnlichen Abstand(9.8) die Vermutung nahe, dass die den Abstand (9.3) erhaltenden Koordina-tentransformationen gerade Translationen und

”Drehungen“ sind.

Page 157: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

9.1 Die Lorentztransformation der Koordinaten 157

Translationen sind Transformationen der Form

~x′ = ~x+ ~d, t′ = t+ t0 (9.9)

und erhalten offenbar den Abstand (9.3). Das ist gut so, sonst ware der Ho-mogenitat von Zeit und Raum verletzt.

”Drehungen“ im vierdimensionalen

Raum-Zeit-Kontinuum sind insbesondere auch rein raumliche Drehungen

x′i =

3∑

j=1

Rijxj , t′ = t, RR = 1 , (9.10)

denn diese lassen, wie wir im letzten Kapitel gelernt haben, den gewohnlichenraumlichen Abstand d12 (9.8) und somit auch den Minkowskischen Abstand τ12invariant. Diese rein raumlichen Rotationen haben naturlich nichts mit einerrelativen Bewegung von S und S ′ zu tun.

Unter den”Drehungen“ ohne Analogon im gewohnlichen Raum muss es sol-

che geben, die sich ganz in der x− t-Ebene vollziehen, so dass die Koordinateny und z sich gar nicht andern und die Koordinaten x′, t′ in S′ mit den entspre-chenden in S, also x und t, linear zusammenhangen. Physikalisch mussen solche

”Drehungen“ einer Relativgeschwindigkeit ~u zwischen S und S ′ entsprechen, dieparallel zur x- und x′-Achse verlauft. Setzen wir an

ct′ = Ax+Bct

x′ = Cx+Dct

y′ = y

z′ = z . (9.11)

Zur Bestimmung der vier Parameter A, B C, D haben wir zunachst die Forde-rung, dass der Minkowskiabstand des Ereignisses ~x, t vom Ursprung invariantbleiben muss, d. h.

c2t2 − x2 = c2t′2 − x′2 . (9.12)

Da x′ und t′ beliebig sind, ergeben sich nach Eintragen von (9.11) drei un-abhangige Gleichungen, so dass in der Transformation (9.11) ein freier Parame-ter bleibt. Wir finden leicht AB−CD = 0, A2−C2 = −1 B2−D2 = 1, wahlenden freien Parameter gemaß A = D = sinhψ,B = C = coshψ und erhalten die

”Drehung“

ct′ = ct coshψ + x sinhψ

x′ = ct sinhψ + x coshψ . (9.13)

Der”Drehwinkel“ ψ muss sich durch die Geschwindigkeit u ausdrucken lassen,

mit der sich S relativ zu S′ bewegt. Um diesen Zusammenhang zu finden,betrachten wir insbesondere den raumlichen Ursprung von S, der zu allen Zeitent die Koordinate x = 0 hat. Im System S ′ hat er die Koordinaten

ct′ = ct coshψ, x′ = ct sinhψ ,

Page 158: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

158 9 Spezielle Relativitatstheorie

woraus folgt

x′

ct′= tanhψ =

u

c. (9.14)

Damit ist die Lorentztransformation voll spezifiziert und lautet fur den Fall, dassS sich von S′ aus gesehen mit der Geschwindigkeit u in x′-Richtung bewegt,

ct′ =ct+ u

c x√1− u2/c2

x′ =ut+ x√1− u2/c2

y′ = y

z′ = z . (9.15)

Beachten wir, dass die Lorentztransformation (9.15) im Grenzfall kleinerRelativgeschwindigkeiten, d. h. in nullter Ordnung in u/c in die aus dem Alltagbekannte Galileitransformation ubergeht. Da fur Waldlaufer, Schnellzuge undsogar fur unerlaubt schnelle Autos das Verhaltnis u/c stets klein ist, gilt imErfahrungsbereich des Alltags die Galileitransformation mit guter Genauigkeit.

Fur u = c und u > c verliert die Lorentztransformation (9.15) ihren Sinn, dadie Nenner verschwinden bzw. imaginar werden. Dem entspricht die Erfahrung,dass die Bewegung von massiven Teilchen mit Licht- und Uberlichtgeschwindig-keit nicht moglich ist.

9.2 Relativitat der Gleichzeitigkeit

In der Galileitransformation war die Zeitkoordinate ausgezeichnet. Wegen t = t′

ist es beim Umgang mit langsamen Teilchen wie Radfahrern etc. erlaubt und be-liebt, von einer absoluten Zeit zu reden. Nicht mehr beim Umgang mit schnellenTeilchen. Es ist eine der erstaunlichsten Konsequenzen der Lorentztransforma-tion, dass zwei Ereignisse, die fur einen Beobachter gleichzeitig erscheinen, fureinen anderen, relativ zum ersten bewegten Beobachter zu verschiedenen Zeit-punkten stattfinden.

Der Beobachter B benutze das System S und registriere zwei gleichzeitigeEreignisse an benachbarten Orten auf der x-Achse, d. h. ∆t = 0 und ∆x 6=0. Der Beobachter B′ sehe S mit u in x′-Richtung fahren und registriert furdieselben Ergebnisse

∆t′ =1√

1− u2/c2(∆t+

u

c2∆x)=

u/c√1− u2/c2

· ∆xc6= 0 . (9.16)

Wegen des Faktors u/c sind wir durch Alltagserfahrung nicht an diese Relativitatdes Begriffs der Gleichzeitigkeit gewohnt.

9.3 Zeitdilatation

Als empirisches Resultat bei schnellen Teilchen hatte ich Ihnen schon vorgestellt,dass schnell bewegte Uhren deutlich langsamer gehen als ruhende. Jetzt konnenwir’s nachrechnen.

Page 159: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

9.3 Zeitdilatation 159

Der Beobachter B schaue auf seine ruhende Uhr. Zwei aufeinander folgendeTicks sind Ereignisse mit den Koordinatendifferenzen ∆~x = 0 und ∆t, wobei∆t die vom Fabrikanten garantierte, der Uhr eigene Zeiteinheit ist. Der Min-kowskiabstand dieser Ticks ist

∆τ =√c2(∆t)2 − (∆~x)2 = c∆t . (9.17)

Wir werden kunftig die mit der Einheit ∆t = ∆τ/c multiplizierte laufende Zahlder Ticks der Uhr die Eigenzeit der Uhr nennen.

Der Beobachter B′ sehe die Uhr mit Geschwindigkeit u in die x′-Richtungfliegen. Er registriert mit Hilfe von Uhren, die langs der x′-Achse ruhend aufge-stellt sind, fur das Zeitintervall zwischen zwei Ticks der bewegten Uhr den Wert∆t′; uberdies sieht er die Ticks an verschiedenen Orten stattfinden, die um dieraumliche Distanz ∆x′ = u∆t′ auseinander liegen. Er gibt den Minkowskiab-stand der beiden Ticks an als

∆τ ′ =√c2(∆t′)2 − u2(∆t′)2 = c∆t′

√1− u2/c2 . (9.18)

Der Minkowskiabstand zweier Ereignisse ist aber in allen gleichformig zueinan-der bewegten Systemen gleich, so dass wir folgern

∆t′ =∆t√

1− u2/c2. (9.19)

Die bewegte Uhr scheint langsamer zu ticken als ihr ruhendes Duplikat.Eine drastische Illustration der Zeitdilatation erfahrt ein fiktiver Reisender

am Rand einer schnell rotierenden Kreisscheibe (Abbildung 9.1). Vom ruhendenLaborsystem aus gesehen dauert eine Rundreise Tlab, entsprechend der Kreis-frequenz ω = 2π/Tlab. Der Reisende liest auf seiner mitgefuhrten Uhr als Zeiteiner Umdrehung Trot ab. Die nachfolgende Rechnung zeigt Trot < Tlab (Reisenerhalt jung).

Abbildung 9.1

Bei der Berechnung der Zeit Trot stoßen wir zunachst auf die Schwierig-keit, dass die Bewegung des Reisenden nicht mit konstanter Geschwindigkeiterfolgt, also nicht gleichformig ist, so dass die Lorentztransformation gar nichtanwendbar scheint. Wir konnen aber die Kreisbewegung des Reisenden durcheine stuckweise gleichformige Bewegung langs eines Polygonzuges approximie-ren (Abbildung 9.2). Bezuglich jedes Geradenstucks geben wir mit Hilfe der

Page 160: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

160 9 Spezielle Relativitatstheorie

Abbildung 9.2

Lorentztransformation den Zusammenhang zwischen der Reisedauer ∆tlab inLaborzeit und der Reisedauer ∆trot der Bordzeit an,

∆tlab =∆trot√1− u2/c2

≈ ∆trot√1− ω2R2/c2

(9.20)

wobei die Reisegeschwindigkeit als u = ωR approximiert wurde. In den Eckendes Polygons verbringt der Reisende keine Zeit. Also finden wir die Reisezeitfur einen Umlauf durch Summieren der Zeiten, die auf den Geradenstuckenverbracht werden. Wir denken uns die Polygoneinteilung beliebig verfeinertund erhalten

Tlab = Trot/√

1− ω2R2/c2 > Trot . (9.21)

Das gewonnene Resultat verdient eine weitere Bemerkung. Wenn wir unterBerufung auf die Lorentztransformation feststellen, dass eine gleichformig be-wegte Uhr langsamer geht als eine ruhende, so tut sich eine Schwierigkeit auf.Welche der beiden Uhren bewegt sich und geht daher langsamer? Der Beob-achter B konnte dem Reisenden B′ zurufen:

”Ich ruhe, Du fliegst, ich altere

leider schneller“. Mit nicht minderem Recht konnte B′ sich selbst fur ruhendhalten und B um die hohere Lebenserwartung beneiden. Ein Paradox? Nein,denn die beiden gegeneinander gleichformig bewegten Beobachter begegnen sicheinmal und nie wieder, haben also keine Moglichkeit eines spateren Uhrenver-gleichs. Anders die beiden Menschen, deren einer auf der rotierenden Scheibereist, wahrend der andere im Labor sitzt und mit dem Reisenden nach jedemUmlauf die Uhren vergleichen kann. Kein Zweifel nun, wer hier reist und werruht. Der Mitrotierende fuhlt Beschleunigungskrafte, der Ruhende nicht. KeinZweifel, der Ruhende altert schneller.

Bei Rundflugen schneller Flugzeuge ist inzwischen auch experimentell veri-fiziert, dass die auf Borduhren ermittelte Reisedauer kleiner ist als die auf imAusgangspunkt ruhenden Uhren abgelesene.

Fur Astronomen wichtig ist das folgende Exempel der Zeitdilatation furbewegte Uhren. Denken wir uns als

”Uhr“ eine monochromatische Strahlungs-

quelle auf einem entfernten Stern. Die”Ticks“ dieser Uhr erfolgen, wenn die

Quelle als ruhend beobachtet wird, im Zeitabstand ∆t = 1/ν. Wenn sich dieQuelle jedoch relativ zum Beobachter mit der Geschwindigkeit ~u bewegt, so istdas Zeitintervall ∆t′ zwischen der Emission aufeinander folgender Wellenmaxi-ma durch (9.19) gegeben. Dies ist jedoch nicht die Zeitspanne ∆tobs zwischenden Ankunften aufeinander folgender Wellenmaxima beim Beobachter, denn im

Page 161: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

9.4 Langenkontraktion 161

Intervall ∆t′ bewegt sich die Quelle und verandert die Distanz zum Beobachterum ~ur∆t

′, entsprechend der Komponente ~ur der Geschwindigkeit ~u langs derVerbindungslinie von Beobachter zur Quelle (Abbildung 9.3).

Abbildung 9.3

Demnach hat jedes Wellenmaximum einen Weg zum Beobachter zuruckzule-gen, der um ~ur∆t

′ gegenuber dem Weg des vorangehenden Maximums geandertist. Die Wellenmaxima sind bei der Ankunft beim Beobachter zeitlich um

∆tobs = ∆t′ +urc∆t′ =

1 + ur/c√1− u2/c2

∆t (9.22)

getrennt. Die vom Beobachter registrierte Frequenz νobs = 1/∆tobs des Lichtsist also verschieden von der Frequenz ν = 1/∆t, die er fande, wenn die Quelleruhte, und es gilt

νobs =

√1− u2/c21 + ur/c

ν . (9.23)

Sie prufen leicht nach, dass diese so genannte Dopplerverschiebung eine Rotver-schiebung (νobs < ν) darstellt, wenn sich die Quelle vom Beobachter entfernt,wahrend das Licht einer sich nahernden Quelle blauverschoben ist (νobs > ν).

Ich hatte auf die astronomische Bedeutung dieser Dopplerverschiebung hin-gewiesen. Im Licht vieler Sterne findet man eine Vielfalt von Spektrallinien, ausdenen sich oft Spektren bestimmter Atome oder Ionen aussondern lassen. Insolchen Fallen besteht die Moglichkeit, einzelne Spektrallinien zu identifizierenund deren Frequenzen νobs zu vergleichen mit den Frequenzen ν der entspre-chenden im irdischen Labor erzeugten Linien. Aus dem Verhaltnis ν/νobs kanndann die Relativgeschwindigkeit zwischen dem entsprechenden Stern und derErde bestimmt werden.

9.4 Langenkontraktion

Es ist eine weitere unerwartete Konsequenz der Lorentztransformation - undsomit eine Eigenschaft der Natur -, dass an ein- und demselben Korper verschie-dene Lineardimensionen vermessen werden, je nachdem, ob er in Ruhe oder inBewegung ist.

Page 162: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

162 9 Spezielle Relativitatstheorie

Im System S ruhe ein Maßstab der Lange l parallel zur x-Achse. Im ach-senparallelen System S′ bewege sich der Stab mit seinem Ruhesystem mit derGeschwindigkeit u in x′-Richtung. Im System S′ sollen zu einem Zeitpunkt t′ dieEndpunkte x′links und x

′rechts gemessen werden. Mit den Endpunkten xlinks und

xrechts im Ruhesystem bestehen die durch die Lorentztransformation gegebenenZusammenhange

xlinks =1√

1− u2/c2(−ut′ + x′links)

xrechts =1√

1− u2/c2(−ut′ + x′rechts) . (9.24)

Die Lange l = xrechts−xlinks im Ruhesystem des Stabes und die Lange bezuglichdes Systems S′, l′ = x′rechts − x′links, sind also verknupft durch

l′ = l√

1− u2/c2 ≤ l . (9.25)

Die großtmogliche Lange hat der Stab in seinem Ruhesystem.Quer zur Bewegungsrichtung (hier der x′-Richtung) erleidet der Stab kei-

ne Kontraktion, da die Lorentztransformation die entsprechenden Koordinatenunverandert lasst.

9.5 Addition von Geschwindigkeiten

Wie schon mehrfach angedeutet, addieren sich große (”relativistische“, d. h.

|~v| 6¿ c) Geschwindigkeiten nicht wie Vektoren.Betrachten wir die gleichformige Bewegung eines Teilchens von zwei achsen-

parallelen Systemen S und S ′ aus, wobei S sich bezuglich S′ in x′-Richtungmit der Geschwindigkeit u bewegen soll. Bezuglich S (S′) bewegt sich das Teil-chen im Zeitintervall ∆t(∆t′) um d~x(d~x′). Die Lorentztransformation gibt dieZusammenhange

dt′ = (dt+ u dx/c2)/√

1− u2/c2

dx′ = (u dt+ dx)/√

1− u2/c2

dy′ = dy

dz′ = dz . (9.26)

Hier finden wir sofort die Relation der Geschwindigkeiten ~v = d~x/dt und ~v′ =d~x′/dt′ zu

v′x =u+ vx

1 + uvx/c2, v′y = vy

√1− u2/c2

1 + uvx/c2,

v′z = vz

√1− u2/c2

1 + uvx/c2. (9.27)

Dieses Transformationsgesetz reduziert sich fur hinreichend kleine Geschwin-digkeiten auf das Additionsgesetz fur gewohnliche Vektoren, liefert jedoch dras-tisch andere Resultate als letzteres, wenn die beteiligten Geschwindigkeiten groß

Page 163: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

9.6 Lorentzinvarianz der Maxwellschen Gleichungen 163

werden. Insbesondere lesen wir aus (9.27) wieder ab, dass die Lichtgeschwin-digkeit eine nicht uberschreitbare Grenzgeschwindigkeit ist. Fur ~v = (c, 0, 0) istauch ~v′ = (c, 0, 0).

9.6 Lorentzinvarianz der Maxwellschen Gleichun-gen

Wir hatten in 6.5 die Maxwellschen Gleichungen als Wellengleichungen fur dasVektorpotential ~A und das skalare Potential ϕ geschrieben. Diese Form derMaxwell-Gleichung erlaubt einen leichten Nachweis der Lorentzinvarianz derMaxwellschen Elektrodynamik, den ich jetzt fuhren will.

Im Koordinatensystem S lauten die Wellengleichungen der Potentiale

(∆2 − 1

c2∂2

∂t2

)~A = −~j/ε0c2 (9.28)

(∆2 − 1

c2∂2

∂t2

)ϕ = −ρ/ε0 ,

wobei ~j die elektrische Stromdichte und ρ die Ladungsdichte sind und die Po-tentiale der Lorentzkonvention

div ~A+1

c2∂

∂tϕ = 0 (9.29)

unterworfen sind. Um zu zeigen, dass im zu S achsenparallelen System S ′,bezuglich dessen S sich mit der Geschwindigkeit u in x′-Richtung bewegt, dieGleichungen (9.28) und (9.29) ihre Form behalten, mussen wir die Lorentztrans-formation der Koordinaten (ct, ~x) eintragen und das Transformationsverhalten

der Potentiale ϕ und ~A sowie der Quellen ρ und ~j finden.Aus der Lorentztransformation

ct′ = γ (ct+ βx), x′ = γ (βct+ x), y′ = y, z′ = z

mit

β = u/c, γ = 1/√

1− u2/c2 , (9.30)

erhalten wir zunachst mit Hilfe der Kettenregel

(∂

∂t=∂t′

∂t

∂t′+∂x′

∂t

∂x′

)

1

c

∂t= γ

(β∂

∂x′+

1

c

∂t′

)

∂x= γ

(∂

∂x′+ β

1

c

∂t′

)(9.31)

∂y=

∂y′

∂z=

∂z′.

Page 164: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

164 9 Spezielle Relativitatstheorie

Wir konnen sofort die Lorentzinvarianz der Lorentzkonvention prufen, indemwir (9.31) in (9.29) verwenden,

0 =∂

∂zAz +

∂yAy +

∂xAx +

1

c2∂

∂tϕ

=∂

∂z′Az +

∂y′Ay + γ

(∂

∂x′+ β

1

c

∂t′

)Ax + γ

(β∂

∂x′+

1

c

∂t′

)1

=∂

∂z′Az +

∂y′Ay +

∂x′γ

(Ax +

1

cβϕ

)+

1

c

∂t′γ

(βAx +

1

).

Wenn wir die transformierten Potentiale wahlen gemaß

ϕ′/c = γ(βAx + ϕ/c)

A′x = γ(Ax + βϕ/c) (9.32)

A′y = Ay

A′z = Az ,

so lautet die Lorentzkonvention in S ′ genauso wie in S, namlich

0 =∂

∂z′A′z +

∂y′A′y +

∂x′A′x +

1

c2∂

∂t′ϕ′ = ∇′ · ~A′ + 1

c2∂

∂t′ϕ′ . (9.33)

Im Vergleich von (9.32) und (9.30) zeigt sich, dass sich das Quadrupel (ϕ/c, ~A)genauso transformiert wie das Quadrupel der Koordinaten (ct, ~x). Wir werden

(ϕ/c, ~A) kunftig das Viererpotential des elektromagnetischen Feldes nennen.

Wenden wir uns jetzt den Wellengleichungen (9.28) zu. Den links stehendenDifferentialoperator rechnen wir mit der Transformation (9.32) auf die Koordi-naten (ct′, ~x′) um,

∂2

∂z2+

∂2

∂y2+

∂2

∂x2− 1

c2∂

∂t2=

∂2

∂z′2+

∂2

∂y′2+ γ2

(∂

∂x′+ β

1

c

∂t′

)2

− γ2(β∂

∂x′+

1

c

∂t′

)2

=∂2

∂z′2+

∂2

∂y′2+

(∂2

∂x′2− 1

c2∂2

∂t′2

)γ2(1− β2)

=∂2

∂z′2+

∂2

∂y′2+

∂2

∂x′2− 1

c2∂

∂t′2, (9.34)

und sehen, dass er beim Ubergang von S zu S′ seine Form beibehalt. Um dieWellengleichungen fur die Potentiale (ϕ′/c, ~A′) im System S′ zu erhalten, bil-den wir Linearkombinationen der Gleichungen (9.28) gemaß der Transformation

Page 165: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

9.7 Feld einer gleichformig bewegten Punktladung 165

(9.32) der Potentiale,

(∇′2 − 1

c2∂2

∂t′2

)A′z(~x

′, t′) = −jz(~x, t)/ε0c2

(∇′2 − 1

c2∂2

∂t′2

)A′y(~x

′, t′) = −jy(~x, t)/ε0c2 (9.35)

(∇′2 − 1

c2∂2

∂t′2

)A′x(~x

′, t′) = −γ (jx(~x, t) + βcρ(~x, t)) /ε0c2

(∇′2 − 1

c2∂2

∂t′2

)ϕ′(~x′, t′) = −γ

(β1

cjx(~x, t) + ρ(~x, t)

)/ε0 .

Offensichtlich reproduziert sich die Form der Wellengleichungen (9.28) genau,wenn wir als Transformationsverhalten der Quellen (cρ,~j) fordern

cρ′(~x′, t′) = γ (βjx(~x, t) + cρ(~x, t))

j′x(~x′, t′) = γ (jx(~x, t) + βcρ(~x, t)) (9.36)

j′y(~x′, t′) = jy(~x, t)

j′z(~x′, t′) = jz(~x, t) .

Hiernach transformieren sich die Quellen (cρ,~j) ebenso wie das Viererpotential

(ϕ/c, ~A) und die Koordinaten (ct, ~x).

Wir haben soeben nachgerechnet, dass die Wellengleichungen (9.28) und dieLorentzkonvention (9.29) in allen gleichformig zueinander bewegten Bezugssys-temen gelten., wenn sie nur in einem System S richtig sind. Damit ist dieLorentzinvarianz der Elektrodynamik erwiesen.

Als lehrreiche Ubung bleibt Ihnen, das Transformationsverhalten der Felder

~E = − ∂

∂t~A− grad ϕ

~B = rot ~A

aufzustellen.

9.7 Feld einer gleichformig bewegten Punktla-dung

Die Lorentzinvarianz der Elektrodynamik gestattet haufig, umstandliche Rech-nungen abzukurzen. Das Feld einer mit konstanter Geschwindigkeit ~u = (u, 0, 0)bewegten Ladung e, z. B. , lasst sich hochst einfach durch Lorentztransforma-tion aus dem bekannten Feld im Ruhesystem S der Ladung gewinnen. In Sgilt

ϕ =1

4πε0

e

r, ~A = 0 (9.37)

Page 166: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

166 9 Spezielle Relativitatstheorie

mit r = |~x|. Im Laborsystem S ′, in welchem sich die Ladung mit u in x′-Richtung bewege, haben wir aus (9.32)

ϕ′(~x′, t′) = γ1

4πε0

e

r, A′x(~x

′, t′) =1

cγβ

1

4πε0

e

r

A′y = A′z = 0 (9.38)

Um hieraus ϕ′, und Ax′ als Funktionen der Laborkoordinaten ~x′, t′ zu erhalten,mussen wir nur rechts die Große r = (x2+y2+z2)1/2 durch ~x′ und t′ ausdrucken.Mit Hilfe der Lorentztransformation (9.30) bzw. deren Umkehrung (die sichdurch u→ −u ergibt) erhalten wir

ϕ′ =1

4πε0

γe√γ2(x′ − βct′)2 + y′2 + z′2

=1

4πε0

e√(x′ − ut′)2 + (1− u2/c2)(y′2 + z′2)

A′x = β1

cϕ′ (9.39)

Sie sehen, dass die Aquipotentialflachen von ϕ′ durch (x′ − ut′)2 + (1 −u2/c2)(y′

2+ z′

2) = const > 0 gegeben sind, also die Form von Rotationsel-

lipsoiden haben. Die Symmetrieachse dieser Flachen verlauft naturlich in derBewegungsrichtung der Ladung. Beachten Sie auch, dass die Ellipsoide in Be-wegungsrichtung abgeplattet sind, u. z. um so starker, je schneller die Ladungfliegt. Im Grenzfall u → 0 gehen die Aquipotentialflachen wieder uber in diefur die ruhende Ladung charakteristischen Kugeln.

Es ist bemerkenswert, wie leicht das Resultat (9.39) hier mit Hilfe der Lo-rentztransformation erhaltlich ist. Sie durfen, um ein Gefuhl fur die Ersparnisan Rechenaufwand zu kriegen, fur sich einen anderen Weg ausprobieren, etwadie Integration der Wellengleichungen fur die Potentiale mit den Quellen

ρ = eδ(x− ut)δ(y)δ(z), jx = uρ, jy = jz = 0 . (9.40)

9.8 Lorentzskalare und Lorentzvektoren

Spielen wir wieder mit der geometrischen Analogie zwischen gewohnlichen Dre-hungen im dreidimensionalen euklidischen Raum und Lorentztransformationenim vierdimensionalen Raum-Zeit-Kontinuum. Drehungen lassen den euklidi-schen Abstand zweier Raumpunkte

d12 =[(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2

]1/2(9.41)

invariant, wahrend Lorentztransformationen den Minkowskiabstand zweier Raum-Zeit-Punkte

τ12 =[c2(t2 − t1)2 − d212

]1/2(9.42)

unverandert lassen. Wir hatten d12 wie jede unter Drehungen invariante Großeeinen Skalar genannt und entsprechend bezeichnen wir den Minkowskiabstand

Page 167: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

9.8 Lorentzskalare und Lorentzvektoren 167

τ12 und jede andere unter Lorentztransformationen invariante Große als einenLorentzskalar. Als weitere Lorentzskalare hatten wir schon die Großen div ~A+1c2

∂∂tϕ und den Wellenoperator ∇2 − 1

c2∂2

∂t2 identifiziert.Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Raum kennen Sie als durch Be-

trag und Richtung festgelegte Großen. Wahrend Betrag und Richtung einesVektors bei Drehungen des Koordinatensystems unverandert bleiben, andertsich doch das Tripel seiner Koordinaten. Wir hatten nachgerade einen Vektor~V als ein Zahlentripel (Vx, Vy, Vz) definiert, das sich bei Drehungen des Koordi-natensystems genauso transformiert wie die Koordinaten x, y, z eines Punktes,namlich

V ′i =

3∑

j=1

RijVj mit RR = 1 . (9.43)

Die Frage liegt nahe, ob es im vierdimensionalen Raum-Zeit-Kontinuumnicht außer dem Koordinatenquadrupel (ct, x, y, z) eines Ereignisses weitereQuadrupel (V 0, Vx, Vy, Vz) gibt, die sich unter Lorentztransformationen ebensoverhalten wie das Koordinatenquadrupel, namlich

V ′0= γ(βVx + V 0)

V ′x = γ(Vx + βV 0) (9.44)

V ′x = Vy

V ′z = Vz

wobei wieder β = u/c, γ = (1 − β2)−1/2. Tatsachlich gibt es solche Qua-drupel, die wir im Sinne der hier verfolgten Analogie Lorentzvektoren nennen.Zwei wichtige Lorentzvektoren hatten wir im obigen Streifzug durch die Elek-trodynamik ausfindig gemacht, das Quadrupel der Potentiale (ϕ/c, ~A) und dasStromdichte-Ladungsdichtequadrupel (cρ,~j). Weitere Lorentzvektoren werdenfolgen.

Die Wichtigkeit des Begriffs des Lorentzvektors ist ganz analog der Wich-tigkeit des Begriffs des Vektors. Sie erinnern sich: stimmen zwei Vektoren ineinem Koordinatensystem S uberein, so auch in allen anderen zu S verdreh-ten. Wenn ein Naturgesetz als die Gleichheit zweier Vektoren formuliert werdenkann, so gilt dieses Gesetz gleichermaßen in allen zueinander verdrehten Koor-dinatensystemen; die Isotropie des Raumes ist dann manifest. Genauso ist dasRelativitatsprinzip, d. h. die Gleichberechtigung aller gleichformig zueinanderbewegten Koordinatensysteme, manifest, wenn ein Naturgesetz als die Gleich-heit zweier Lorentzvektoren geschrieben werden kann; der Grund dafur ist, dasszwei Lorentzvektoren in allen solchen Koordinatensystemen ubereinstimmen,wenn sie in irgendeinem gleich sind.

Letztere Aussage wirft ein nutzliches Verfahren ab zum Prufen der Lo-rentzinvarianz von Gleichungsquadrupeln. Die Invarianz ist gesichert, wenn dievier fraglichen Gleichungen als Gleichheit zweier Lorentzvektoren geschriebenwerden konnen. Wir hatten diese Methode beim Nachweis der Lorentzinvari-anz der Elektrodynamik bereits angewendet: nachdem sich der Wellenopera-

tor ∇2 − 1c2

∂2

∂t2 als Lorentzskalar erwiesen hatte, ergaben sich die vier Wellen-

gleichungen als Gleichung zwischen den Lorentzvektoren(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)(ϕ/c, ~A)

Page 168: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

168 9 Spezielle Relativitatstheorie

und (cρ,~j).

9.9 Relativistischer Impuls und Viererimpuls ei-nes Teilchens

In der Newtonschen Mechanik hatten wir den Vektor m~v den Impuls einesTeilchens genannt. Der wichtigste Grund fur die Beliebtheit dieses Begriffsbeim Umgang mit langsamen Teilchen ist, dass der Newtonsche Gesamtimpuls∑νmν~vν eines abgeschlossenen Teilchenhaufens zeitlich konstant bleibt. Leider

entfallt dieser Grund, wie wir sehen werden, bei schnellen Teilchen.Eine weitere Peinlichkeit ware in Kauf zu nehmen, wenn wir den Newton-

schen Impuls∑ν mν~vν auch zur Formulierung der Kinematik und Dynamik

schneller Teilchen verwendeten. Wahrend diese Große sich unter Galileitrans-formation einfach verhalt

(∑ν mν~v

′ν = ~u

∑ν mν +

∑ν mν~vν

), gibt die Lorentz-

transformation ein abstoßend hassliches, namlich nichtlineares Transformations-gesetz, das Sie aus dem Transformationsgesetz fur die Geschwindigkeit (s. 9.5)entnehmen konnen.

Die obigen Betrachtungen legen die Suche nach einer Verallgemeinerungdes Newtonschen Impulses nahe. Diese Verallgemeinerung sollte sich (i) fur|~v|/c¿ 1 auf den Newtonschen Impuls reduzieren, und (ii) unter Lorentztrans-formationen einfach benehmen. Es gibt einen solchen relativistischen Impuls,und wir konnen ihn leicht finden durch Prazisierung der obigen Kritik am New-tonschen Begriff.

Die Forderungen (i) und (ii) sind sicher erfullt, wenn der relativistische Im-puls ~p die drei Raumkomponenten eines Lorentzvektors gibt. Nun stellt das

Tripel(mdx

dt ,mdydt ,m

dzdt

)im Gegensatz zum Tripel (mdx,mdy,mdz) genau

deshalb keinen Teil eines Lorentzvektors dar, weil das im Labor gemessene Zei-tinkrement dt kein Lorentzskalar ist. Es gibt aber einen Lorentzskalar, der sichfur ein langsames Teilchen auf dt reduziert, u. z. die Eigenzeit des bewegtenTeilchens, d. h. die Zeit, die auf einer vom Teilchen mitgefuhrten Uhr abgelesenwerden konnte.

In jedem Augenblick lasst sich ein zum Labor gleichformig bewegtes Ko-ordinatensystem so finden, in dem das Teilchen ruht. In diesem momentanenRuhesystem gilt fur die am Teilchen fixiert gedachte Uhr d~x0 = 0, so dass dasauf ihr abgelesene Eigenzeitinkrement dt0 bis auf den Faktor 1

c mit dem Inkre-ment dτ des Minkowskiabstands ubereinstimmt. Da dτ ein Lorentzskalar ist,konnen wir ihn auch leicht durch die Koordinateninkremente des Teilchens imLaborsystem ausdrucken,

dτ =√c2 dt2 − d~x2 = cdt

√1− v2/c2 . (9.45)

Wenn wir uns die Bahnkurve des Teilchens mit τ anstatt mit der Laborzeitparametrisiert denken, so gilt fur die Anderungsrate der Teilchenkoordinatenmit τ

d~x

dτ=

dt

d~x

dt=

1√1− v2/c2

~v

c. (9.46)

Bis auf den Faktor 1c stimmt also d~x/dτ fur kleine Geschwindigkeit ~v mit ~v

uberein. Genau wie das Tripel d~x gibt nun das Tripel mcd~x/dτ die ersten drei

Page 169: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

9.9 Relativistischer Impuls und Viererimpuls eines Teilchens 169

Komponenten eines Lorentzvektors, da mc wie dτ Lorentzskalare sind. Ansatz-weise nehmen wir daher als relativistischen Impuls

~p = mcd~x

dτ=

m~v√1− v2/c2

. (9.47)

Der zugehorige Lorentzvektor wird auch Viererimpuls genannt und lautet of-fenbar

(mc

cdt

dτ,mc

d~x

)=

(mc√

1− v2/c2,

m~v√1− v2/c2

)≡ (E/c, ~p) . (9.48)

Die zeitartige Komponente

E/c =mc√

1− v2/c2(9.49)

hat auch die Dimension eines Impulses, so dass E die Dimension einer Energiehat. Tatsachlich wird E als die relativistische Energie des Teilchens bezeichnet.

Die Namensgebung relativistischer Impuls bzw. relativistische Energie fur diein (9.47) bzw. (9.49) definierten Großen ~p bzw. E ist zumindest insofern sinnvoll,als sich diese Großen im Newtonschen Grenzfall kleiner Geschwindigkeit auf dieentsprechenden Newtonschen Großen reduzieren gemaß

~p→ m~v (9.50)

E → mc2 +m

2v2 + · · ·

Beachten Sie dabei, dass die Energie eines Teilchens in der Newtonschen Me-chanik nur bis auf eine additive Konstante definiert ist. In der relativistischenMechanik jedoch, und somit in Stoßexperimenten mit schnellen Teilchen, ist dieadditive Konstante mc2 von großer Bedeutung. Ein ruhendes Teilchen hat nach(9.50) die Ruheenergie

E0 = mc2 . (9.51)

Sie haben fruher schon gelernt, die Relation (9.51) als die von Einstein ge-fundene Aquivalenz von Masse und Energie zu lesen. Die folgenden Hinweisesollen Sie an einige fur die Hochenergiephysik und auch fur die Energiepolitikwichtige Anwendungen erinnern.

Die Masse eines α-Teilchens ist kleiner als die Summe der Massen seinerBausteine, d. h. je zweier Protonen und Neutronen. Wir hoffen, uns den sogenannten Massendefekt bald in Fusionsreaktoren zunutze machen zu konnen.

Ein Elektron und ein Positron, die mit entgegengesetzt gleichen Geschwin-digkeiten aufeinander stoßen, konnen sich gegenseitig vernichten und als Re-aktionsprodukt zwei γ-Quanten hinterlassen. Letztere sind nichts anderes alseine elektromagnetische Welle, die keine Masse, wohl aber Energie (und Impuls)hat. Jedes der beiden γ-Quanten tragt die Energie mc2/

√1− v2/c2 wobei v

die Geschwindigkeit jedes Stoßpartners (lange) vor dem Stoß war. Masse wirdalso bei dieser Paarvernichtung in Energie verwandelt.

Alle bisherige experimentelle Erfahrung zeigt, dass bei Stoßen schneller Teil-chen die Summe aller relativistischen Impulse (9.47) und auch die Summe aller

Page 170: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

170 9 Spezielle Relativitatstheorie

relativistischen Energien erhalten bleiben, wobei allerdings der Beitrag von ander Wechselwirkung beteiligten Feldern zu Energie und Impuls mit berucksich-tigt werden muss. Im soeben besprochenen Beispiel der Paarvernichtung tragtdas elektromagnetische Feld sogar den ganzen Impuls und die ganze Energie desSystems nach der Reaktion. Mit mehr formalem Aufwand, als wir hier treibenkonnen, lasst sich zeigen, dass der gesamte Viererimpuls wechselwirkender Teil-chen und Felder, die ein abgeschlossenes System bilden, zeitlich erhalten bleibenmuss, wenn Raum und Zeit homogen sind. Ich erinnere nochmals daran, dasswir immerhin die Aquivalenz der Homogenitat von Raum und Zeit mit der Er-haltung von Impuls und Energie fur abgeschlossene rein mechanische Systemeim Newtonschen Grenzfall vorrechnen konnten.

Aus den Ausdrucken (9.47) und (9.49) fur ~p und E konnen wir die Geschwin-digkeit ~v eliminieren und so einen Zusammenhang zwischen Energie und Impulsdes Teilchens herstellen,

E2/c2 − ~p2 = m2c2 . (9.52)

Dieser Zusammenhang gilt unabhangig vom Koordinatensystem, d. h. beideSeiten der Gleichung sind Lorentzskalare. Man kann sich davon uberzeugen,indem man die Lorentztransformation

E′/c = γ(E/c+ βpx), p′x = γ(βE/c+ px), p′y = py, p′z = pz (9.53)

auf der linken Seite von (9.52) eintragt. Die Rechnung erubrigt sich aber, dadie linke Seite von (9.52) sich aus den Komponenten des Viererimpulses (E/c, ~p)genauso aufbaut wie das Quadrat des Minkowskiabstands aus den Koordinaten(ct, ~x). Sie erinnern sich, dass die Lorentztransformation gerade durch die For-derung der Invarianz des Minkowskiabstands festgelegt war.

Unter Verwendung der Lorentztransformation konnen Sie selber leicht eineVerallgemeinerung der eben getroffenen Aussagen beweisen. Wenn (A0, ~A) und

(B0, ~B) zwei beliebige Lorentzvektoren sind – die sich also beide wie (E/c, ~p) in(9.53) transformieren –, so ist die Verknupfung

A0B0 − ~A · ~B (9.54)

ein Lorentzskalar.

9.10 Bewegungsgleichung eines geladenen Teil-chens im elektromagnetischen Feld

Um die Bewegung von Elektronen, Positronen und anderen geladenen Teilchenin Beschleunigungsanlagen beschreiben zu konnen, mussen wir die NewtonscheBewegungsgleichung ersetzen durch eine relativistische Verallgemeinerung. Alsempirisches Resultat kennen Sie

d

dt~p = e

(~E + ~v × ~B

)(9.55)

mit p = m~v(1 − v2/c2)−1/2, wobei e und m die Ladung bzw. Masse des Teil-

chens bezeichnen und ~E und ~B das elektrische bzw. magnetische Feld. Die

Page 171: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

9.10 Bewegungsgleichung eines geladenen Teilchens im elektromagnetischenFeld 171

Anderung gegenuber der Newtonschen Bewegungsgleichung besteht in der Er-setzung des Newtonschen durch den relativistischen Impuls. Wahrend dieseAnderung fur langsame Teilchen unerheblich ist, bringt sie die Vergroßerungder Tragheit eines Teilchens mit wachsender Geschwindigkeit zum Ausdruck.Als Maß fur die Tragheit kann offenbar die Große m/

√1− v2/c2 angesehen

werden; da diese Große mit v → c uber alle Grenzen wachst, kann das Teilchennie Lichtgeschwindigkeit erreichen.

Trotz der angedeuteten vernunftigen Eigenschaften in den Grenzfallen v ¿ cund v / c ist keineswegs offensichtlich, dass die Gleichung (9.55) die richti-ge Bewegungsgleichung darstellt. Um uns dessen zu vergewissern, mussen wirnachweisen, dass (9.55) in allen gleichformig zueinander bewegten Koordinaten-systemen gilt. Zu diesem Zweck zeigen wir nun, dass (9.55) zu einer Gleichungzwischen zwei Lorentzvektoren aquivalent ist.

Die linke Seite von (9.55) stellt nicht den raumlichen Teil eines Lorentzvek-tors dar, u. z. deshalb nicht, weil die Anderung d~p des relativistischen Impulses~p auf das Laborzeitinkrement dt statt auf einen Lorentzskalar bezogen ist. Er-setzen wir also, wie schon bei den Betrachtungen des letzten Paragrafen, dasLaborzeitinkrement dt durch die Lorentz-invariante Anderung dτ/c der Eigen-zeit des Teilchens gemaß

dτ = cdt√

1− v2/c2 (9.56)

und schreiben (9.55) als

d~p

dτ=

e

c√

1− v2/c2(~E + ~v × ~B

). (9.57)

Jetzt steht links, wie wir im letzten Paragrafen gezeigt haben, der raumlicheTeil eines Lorentzvektors. Die zugehorige zeitartige Komponente dieses Lor-entzvektors ist d(E/c)/dτ , also gegeben durch die Anderungsrate der EnergieE des Teilchens mit der Eigenzeit desselben. Da die Energie eines Teilchensdurch seinen Impuls und seine Masse schon festgelegt ist als

E/c =√m2c2 + ~p2 , (9.58)

konnen wir mit Hilfe von (9.59) die Anderungsrate d(E/c)/dτ ausrechnen zu

dE/c

dτ=

c

E~p · d~p

dτ=

e

c2√

1− v2/c2~v · ~E . (9.59)

Bei der zum letzten Glied in (9.59) fuhrenden Zwischenrechnung ist beach-

tenswert, dass wegen ~p · (~v × ~B) = 0 das magnetische Feld die Energie desTeilchens nicht andert. Ein Magnetfeld bewirkt eine Anderung der Richtung,nicht jedoch des Betrags des Impulses eines Teilchens.

Was ist gewonnen, nachdem wir (9.55) zu (9.57) umformuliert und zusatzlich(9.59) aus (9.55) gefolgert haben? Zunachst nur, dass die linken Seiten von(9.56) und (9.59), also das Quadrupel ( d

dτE/c,ddτ ~p), einen Lorentzvektor dar-

stellen. Zu zeigen bleibt, dass das Quadrupel der rechten Seiten und somit auchdie Viererkraft

f0 =e

c2√

1− v2/c2~v · ~E , (9.60)

~f =e√

1− v2/c2(~E + ~v × ~B

)

Page 172: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

172 9 Spezielle Relativitatstheorie

sich unter Lorentztransformationen wie ein Lorentzvektor verhalt. Dazu ist esbequem, in den Komponenten des Quadrupels (f 0, ~f) die Felder ~E und ~B durch

die Komponenten des Lorentzvektors (ϕ, ~A) der Potentiale auszudrucken,

~E = − ∂

∂t~A−∇ϕ, ~B = rot ~A . (9.61)

Ferner nutzen wir aus, dass die Geschwindigkeit ~v des Teilchens in (9.60) nuruber die Komponenten des Lorentzvektors

(u0, ~u) =

(c√

1− v2/c2,

~v√1− v2/c2

)= Vierergeschwindigkeit (9.62)

eingehen. Letzteres Quadrupel ist zweifellos ein Vierervektor, da es nur umeinen Faktor m vom Viererimpuls des Teilchens abweicht. Mit Hilfe von (9.61)

und (9.62) schreiben wir nun das Quadrupel (f 0, ~f) in der Form

~f = −ecu0(∇ϕ+

∂t~A

)+ e~u× rot ~A

f0 = −ec~u ·(∇ϕ+

∂t~A

)(9.63)

bzw.

fx = −ecu0(∂ϕ

∂x+∂Ax∂t

)+ e

[uy

(∂Ay∂x− ∂Ax

∂y

)− uz

(∂Ax∂z− ∂Az

∂x

)]

usf.Nun ist es leicht, das Verhalten der Viererkraft (f 0, ~f) unter Lorentztrans-

formationen zu studieren. Gehen wir wieder uber zu einem System S′, bezuglichdessen sich das bisher verwendete S mit Geschwindigkeit u in x′-Richtung be-wegt und dessen Achsen zu denen von S parallel verlaufen. Die Lorentzvektoren(u0, ~u) und (ϕ/c, ~A) transformieren sich dabei wie ublich,

u0 = γ(u0′ − βux′), ux = γ(ux′ − βu0′), uy = uy′ , uz = uz′

mit

β = u/c, γ = (1− β2)−1/2 (9.64)

wahrend wir fur das Quadrupel der Ableitungen nach den Koordinaten schonin 9.6 gefunden hatten

∂ct= γ

(β∂

∂ct′+ β

∂x′

),

∂x= γ

(∂

∂x′+ β

∂ct′

),

∂y=

∂y′,

∂z=

∂z′. (9.65)

Durch bloßes Eintragen von (9.64) und (9.65) in (9.63) finden wir

f0 = γ(f0′ − βfx′

), fx = γ

(fx′ − βf0′

), fy = fy′ , fz = fz′ . (9.66)

Page 173: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

9.11 Bewegung im konstanten elektrischen Feld 173

Das aber ist, genau wie (9.64), das Transformationsverhalten eines Lorentzvek-tors.

Also gilt in allen gleichformig zueinander bewegten Koordinatensystemen:Die Anderungsrate des Viererimpulses mit der Eigenzeit eines Teilchens istgleich der auf das Teilchen wirkenden Viererkraft. Mit dieser Formulierungist, Sie horen’s heraus, Newton Ehre erwiesen, wiewohl wir mehr im Sinn habenals die nur fur langsame Teilchen gultige Urform des Gesetzes.

Schreiben wir die manifest lorentzinvariante Form der Bewegungsgleichungdes Teilchens nochmals auf,

d

dτ(E/c, ~p) = cm

d2

dτ2(ct, ~x) =

1

c(f0, ~f). (9.67)

Das sind, bei gegebener Viererkraft(f0(~x, t), ~f(~x, t)

), d. h. bei gegebenen Fel-

dern ~E(~x, t) und ~B(~x, t), vier Differentialgleichungen zweiter Ordnung fur dievier Funktionen x(τ), y(τ), z(τ) und t(τ). Hat man diese gelost und elimi-niert den Parameter τ , so erhalt man die Bahnkurve des Teilchens in Form deszeitabhangigen Ortsvektors ~x(t). In der Praxis ist es meist bequemer, mit derzu (9.67) aquivalenten Form (9.55) der Bewegungsgleichung zu rechnen, ohneerst den invarianten Parameter τ und die Viererkraft einzufuhren.

9.11 Bewegung im konstanten elektrischen Feld

Als Beispiel untersuchen wir die Bewegung eines geladenen Teilchens in einemhomogenen zeitabhangigen elektrischen Feld ~E, das wir uns in x-Richtung den-ken konnen. Anfanglich ruhe das Teilchen. Dann wird die Bahnkurve offenbareine in x-Richtung laufende Gerade sein, die wir als x-Achse wahlen konnen.Als einzige Bewegungsgleichung haben wir

dpxdt

=d

dt

mv√1− v2/c2

= eEx. (9.68)

Der Impuls des Teilchens wachst demnach im Laufe der Zeit linear mit t,

px =mv√

1− v2/c2= eExt. (9.69)

Mit ihm wachst die kinetische Energie

E = c√m2c2 + ~p2 =

√m2c4 + (ceExt)2. (9.70)

Im Gegensatz zu Impuls und Energie bleibt die Geschwindigkeit, wie es seinmuss, beschrankt. Losen wir namlich (9.69) nach der Geschwindigkeit v auf, soergibt sich

v =ceExt√

m2c2 + (eExt)2< c . (9.71)

So lang ein Linearbeschleuniger auch ausgelegt wird, die Teilchengeschwindig-keit bleibt immer unter der Lichtgeschwindigkeit. Schließlich erhalten wir wegenv = dx/dt durch Integration von (9.71) die Bahnkurve

x(t) =c

eEx

√m2c2 + (eExt)2 . (9.72)

Page 174: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

174 9 Spezielle Relativitatstheorie

Ihnen bleibt als lustige Ubung das Studium der Teilchenbahn im homogenenMagnetfeld (s. a. 15.3).

9.12 Eine bequeme Schreibweise

Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Raum bezeichnen wir mit ~V oder(Vx, Vy, Vz) oder (V1, V2, V3) oder Vi. Vierervektoren im Raum-Zeit-Kontinuum

haben wir bisher in der Form (V 0, ~V ) = (V 0, Vx, Vy, Vz) aufgeschrieben. DieFortfuhrung der relativistischen Betrachtungen erfordert nun, statt dieser um-standlichen eine einfachere Schreibweise einzufuhren. Wir nummerieren dieKomponenten mit einem hochgestellten griechischen Index, schreiben den Vie-rervektor als V µ und meinen

V 0 = zeitartige Komponente

V 1 = V1 = Vx

V 2 = V2 = Vy (9.73)

V 3 = V3 = Vz

Das Quadrupel der Koordinaten (ct, x, y, z), zum Beispiel, werden wir demnachkunftig als den Viererortsvektor xµ bezeichnen und schreiben

x0 = ct, x1 = x1 = x, x2 = x2 = y, x3 = x3 = z . (9.74)

Die raumartigen Indizes durfen dabei nach Belieben oben oder unten stehen,nicht aber der zeitartige.

Es lohnt sich, die Begriffsbildung des Vierervektors zu verfeinern und zu je-dem Vierervektor eine kontravariante Version V µ sowie eine kovariante VersionVµ zu zulassen, wobei

V 0 = −V0, V i = Vi fur 1 = 1, 2, 3 (9.75)

gelten soll. Der Sinn dieser Unterscheidung ist, dass sie den aus V µ gewinnbarenLorentzskalar schoner zu schreiben erlaubt,

−(V 0)2 + (V 1)2 + (V 2)2 + (V 3)2 = V 0V0 + V 1V1 + V 2V2 + V 3V3

=3∑

µ=0

V µVµ . (9.76)

Noch mehr Bequemlichkeit wird erreicht, wenn wir vereinbaren, rechts das Sum-menzeichen wegzulassen. Diese Summenkonvention impliziert auch

AµBµ = A0B0 +A1B1 +A2B2 +A3B3

= −A0B0 +A1B1 +A2B2 +A3B3 (9.77)

= −A0B0 +A1B1 +A2B2 +A3B3

= −A0 ·B0 + ~A · ~B .

Page 175: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

9.12 Eine bequeme Schreibweise 175

Auch AµBµ ist, wie oben besprochen, ein Lorentzskalar. Im Folgenden sollalso jeder griechische Index, der in einem Produkt zweimal vorkommt, einmalhochgestellt (als kontravarianter Index) und einmal tiefgestellt (als kovarianterIndex), uber die vier Werte 0, 1, 2, 3 summiert werden.

Die neue Schreibweise ermoglicht eine einfache Formulierung der Lorentz-transformation

x′α= Λαβx

β = Λα0x0 + Λα1x

1 + Λα2x2 + Λα3x

3

= Λα0ct+ Λα1x+ Λα2y + Λα3z . (9.78)

Die Matrix Λαβ lautet fur unser stets verwendetes Beispiel, bei dem das zu S ′

achsenparallele System S sich mit Geschwindigkeit u in x′-Richtung bewegt,

Λµν =

γ γβ 0 0

γβ γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

, β =

u

c, γ = (1− β2)−1/2 . (9.79)

Dabei zahlt der erste Index, hier µ, wie ublich die Zeilen in der Reihenfolge 0,1, 2, 3 und der zweite, hier ν, die Spalten.

Den Lorentzskalar AµBµ schreibt man auch gern unter Benutzung einerMatrix ηαβ (des so genannten Minkowskitensors) als

AµBµ = ηµνAµBν , (9.80)

wobei

ηαβ =

1 fur α = β = 1, 2, 3

−1 fur α = β = 0

0 fur α 6= β .

(9.81)

Der Minkowskitensor erlaubt, die Lorentzinvarianz des Minkowskiabstands oderanderer Großen wie AµBµ, als eine Forderung an die Matrix Λαβ der Lorentz-transformation zu schreiben. Aus

A′αB′β = ηαβA

′αB′β= ηαβΛ

αµΛ

βνA

µBν = ηµνAµBν (9.82)

folgt, da Aµ und Bµ beliebige Lorentzvektoren sind,

ηαβΛαµΛ

βν = ηµν . (9.83)

Sehen Sie, dass dies gerade die Verallgemeinerung der aus dem euklidischenRaum bekannten Eigenschaft RR = 1 der Drehmatrizen auf die

”Drehmatrizen“

Λαβ darstellt?Der Minkowskitensor gestattet offenbar auch, aus einem kontravarianten

Vektor Aµ den zugehorigen kovarianten Vektor Aµ zu gewinnen,

Aµ = ηµνAν . (9.84)

Page 176: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

176 9 Spezielle Relativitatstheorie

Die Umkehrung dieser Beziehung wird vermittelt durch die zu ηµν inverse Ma-trix. Wir nennen dieselbe ηµν und haben

ηανηνβ =

+1 fur α = β

0 fur α 6= β .(9.85)

Offenbar ist ηµν Element fur Element mit der inversen Matrix ηµν gleich. Aus(9.84) und (9.85) ergibt sich nun der kontravariante Vektor Aµ als Linearkom-bination der Komponenten des zugehorigen kovarianten Vektors Aµ

Aµ = ηµνAν . (9.86)

Wir haben bisher das Verhalten von kontravarianten Vektoren Aµ unter Lor-entztransformationen studiert. Kovariante Vektoren transformieren sich anders.Aus (9.78), (9.84) und (9.86) folgt

B′α = ηαβB′β = ηαβΛ

βµB

µ = ηαβΛβµη

µνBν , also

B′α = Λ βα Bβ (9.87)

mit

Λ βα = ηανΛ

νµη

µβ . (9.88)

Wir sehen leicht, dass die Matrix Λ βα invers zur Matrix Λβα ist,

Λ γα Λαβ = ηανΛ

νµη

µγΛαβ = ηµγηανΛνµΛ

αβ = ηµγηµβ = δγβ . (9.89)

Ohne Rechnung konnen wir die Matrix Λ βα aus Λβα durch Vorzeichenwechsel der

Geschwindigkeit β = u/c gewinnen, also (unterscheiden Sie die Geschwindigkeitβ = u/c vom gleichbezeichneten Index!)

Λ βα =

γ −γβ 0 0

−γβ γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

. (9.90)

Die Ableitungen ∂/∂xµ nach den kontravarianten Koordinaten xµ bildenoffenbar einen kovarianten Lorentzvektor, denn wir hatten fruher schon gezeigt,dass der Wellenoperator

∇2 − 1

c2∂2

∂t2=

∂xµ∂

∂xµ= ηµν

∂2

∂xµ∂xν(9.91)

ein Lorentzskalar ist. Andererseits hatten wir auch schon das Transformations-

Page 177: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

9.12 Eine bequeme Schreibweise 177

verhalten von ∂/∂xµ ausgerechnet und gefunden

∂x′0= γ

(∂

∂x0− β ∂

∂x1

)

∂x′1= γ

(−β ∂

∂x0+

∂x1

)(9.92)

∂x′2=

∂x2

∂x′3=

∂x3

und das ist gerade das Gesetz (9.87) mit der Matrix (9.90).Neben Lorentzskalaren und -vektoren hatten wir auch, ohne ausdrucklich

davon zu reden, Lorentztensoren zweiter Stufe betrachtet, das sind 16-Tupel T µν

wie z. B. das direkte Produkt AµBν zweier Lorentzvektoren. Die definierendeEigenschaft des Lorentztensors ist, dass er sich unter Lorentztransformationenverhalt wie das Produkt AµBν , namlich

T ′µν

= ΛµαΛνβT

αβ . (9.93)

Sie sollen Indexgymnastik treiben und zeigen, dass T µνAν ein Lorentzvektorund Tµµ = Tµνηνµ ein Lorentzskalar ist.

Die eben eingefuhrte Schreibweise gibt vielen in diesem Kapitel besprochenenGesetzen eine schon einfache Form. So sind die elektromagnetischen PotentialeAµ = (ϕ/c, ~A) und die Strome jµ = (cρ,~j) durch die Wellengleichung (s. (9.28))

∂2

∂xα∂xαAµ = −jµ/ε0c2 (9.94)

verknupft, vorausgesetzt, die Potentiale sind der Lorentzkonvention (9.29)

∂xµAµ = 0 (9.95)

unterworfen. Und die Bewegungsgleichung eines geladenen Teilchens im elek-tromagnetischen Feld lautet (s. (9.67))

cmd2xµ

dτ2=

dpµ

dτ=

1

cfµ . (9.96)

Die Viererkraft fµ lasst sich durch die Vierergeschwindigkeit

uµ = cdxµ

dτ(9.97)

und durch die Ableitungen der Potentiale Aµ wie folgt ausdrucken

fµ = e

(∂

∂xµAν − ∂

∂xνAµ)uν . (9.98)

Der antisymmetrische Tensor

Fµν =∂

∂xµAν − ∂

∂xνAµ

Page 178: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

178 9 Spezielle Relativitatstheorie

heißt auch der Feldstarkentensor des elektromagnetischen Feldes. Offenbar gilt

Fµν =

0 Ex/c Ey/c Ez/c

−Ex/c 0 Bz −By−Ey/c −Bz 0 Bx

−Ez/c By −Bx 0

(9.99)

und auf einmal wird klar, dass sich die Feldstarken ~E und ~B wie die Kompo-nenten eines Lorentztensors transformieren.

Haben Sie ubrigens fur die in 9.6 gestellte Ubungsaufgabe zum Transforma-tionsverhalten der Felder ~E und ~B als Losung erhalten, was Sie nun aus (9.99)und (9.77) einfach abschreiben,

E′x = Ex, E′y = γ(Ey + βcBz), E′z = γ(Ez − βcBy) (9.100)

B′x = Bx, B′y = γ(By − βEz/c), B′z = γ(Bz + βEy/c) ?

Jedenfalls sollten Sie sich jetzt klarmachen, dass ein in einem rein elektrosta-tischen Feld ( ~B = 0) bewegtes Teilchen auch ein magnetisches Induktionsfeld~B′ 6= 0 spurt.

Page 179: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

Kapitel 10

Die Bewegung schnellerTeilchen imGravitationsfeld (EinsteinsAquivalenzprinzip)

10.1 Ruckblick auf die Newtonsche Theorie

Die Bewegung eines langsamen (v ¿ c) Teilchens in einem schwachen (die Be-dingung fur Schwache wird spater gegeben) Gravitationsfeld wird beschriebendurch das Newtonsche Gesetz

md2~x

dt2= ~F (~x) , (10.1)

wobei m die trage Masse des Teilchens und ~F (~x) die auf das Teilchen am Ort~x wirkende Gravitationskraft sind. Ruhrt die Gravitationskraft von einem an-deren Teilchen der schweren Masse M her, welches am Ursprung des Koordina-tensystems sitzt, so gilt

~F (~x) = −GmM|~x|2~x

|~x| . (10.2)

Die Eigenschaft des Teilchens, die die Große der auf es wirkenden Gravitations-kraft bestimmt, seine schwere Masse, stimmt erfahrungsgemaß mit seiner tragenMasse uberein. Daher geht in (10.1) und (10.2) dieselbe Masse m ein.

Sie wissen, dass obiges ~F (~x sich als Gradient des so genannten Gravitations-potentials ϕ(~x) darstellen lasst gemaß

~F (~x) = −m∇ϕ(~x)

ϕ(~x) = −GM|~x| . (10.3)

Da sich schwache Gravitationsfelder linear superponieren, haben wir fur dasGravitationspotential vieler massiver Teilchen mit Massenmν , die an den Orten

179

Page 180: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

180 10 Bewegung schneller Teilchen im Gravitationsfeld

~xν sitzen,

ϕ(~x) = −∑

ν

Gmν

|~x− ~xν |. (10.4)

Als Bewegungsgleichung fur einen Planeten im Sonnensystem gilt nach Newton

mνd2~xν(t)

dt2= −∇ν

µ(6=ν)

Gmµmν

|~xν(t)− ~xµ(t)|, (10.5)

wobei die rechts stehende Gravitationskraft sich aus den Beitragen aller ande-ren Planeten und der Sonne (und gegebenenfalls anderer nahe gelegener Him-melskorper) zusammensetzt.

Einstein war mit der in (10.5) zusammengefassten Theorie nicht einverstan-den, u. z. aus drei Grunden: (i) Wegen der nicht gegebenen Lorentzinvarianzkann die Theorie nicht fur schnelle Teilchen richtig sein; (ii) ein herausgegrif-fenes Teilchen erfahrt die Gravitationswirkung der anderen instantan, da dieTeilchenorte ~xν(t) zu einer Zeit t die Beschleunigungen ~xµ(t) zur gleichenZeit festlegen; gemaß dem Einsteinschen Relativitatsprinzip sollten sich Gravita-tionswechselwirkungen aber hochstens mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten; (iii)die genaue Analyse der schon von Newton verwendeten Gleichheit von schwererund trager Masse fuhrt, wie wir sehen werden, zu Widerspruchen zu (10.5).

10.2 Einsteins Aquivalenzprinzip

Der Angelpunkt der allgemeinen Relativitatstheorie ist die Gleichheit von schwe-rer und trager Masse fur alle Korper. Genauer, das Verhaltnis von schwerer zutrager Masse hat fur alle Korper den gleichen Wert. Fur Probekorper aus Alu-minium und Gold, z. B., fand R. H. Dicke Ubereinstimmung dieses Verhaltnissesmit einer relativen Genauigkeit von 10−11. Die Gleichheit von trager und schwe-rer Masse kann dann durch Wahl der Einheit eingerichtet werden.

Wir folgern, mit Einstein, dass im Innern eines frei fallenden Fahrstuhls keinaußeres statisches homogenes Gravitationsfeld festgestellt werden kann, dennFahrstuhl, Beobachter wie experimentelle Aufbauten im Fahrstuhl reagierenalle gleich auf ein solches Feld.

Zur Veranschaulichung betrachten wir N langsame Teilchen, die untereinan-der paarweise wechselwirken gemaß einer abstandsabhangigen Kraft ~F (~xν−~xµ)und alle einem außeren konstanten Gravitationsfeld ~g = −∇ϕ =

−−−→const ausge-

setzt sind. Die Bewegungsgleichungen lauten in irgendeinem Laborsystem S

mνd2~xνdt2

= mν~g +∑

µ(6=ν)

~F (~xν − ~xµ) . (10.6)

Ein frei im Gravitationsfeld fallender Beobachter benutzt sein Ruhesystem S ′.Solange der Beobachter langsam ist, gilt als Koordinatentransformation

~x′ = ~x− 1

2~gt2, t′ = t . (10.7)

Page 181: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

10.3 Die Viererkraft im Gravitationsfeld 181

Der frei fallende Beobachter gibt auf Grund seiner Messungen als Bewegungs-gleichungen fur den Teilchenhaufen an

mνd2~x′νdt′2

= mν(~g − ~g) +∑

µ(6=ν)

~F (~x′ν − ~x′µ) . (10.8)

Sie lesen ab, dass die Tragheitskraft die Gravitationskraft gerade weghebt unddass der Beobachter im Fahrstuhl keine Gravitationskraft feststellen kann. Siesehen auch, dass in S und S ′ die gleichen Newtonschen Gesetze gelten. Dereinzige Unterschied zwischen beiden Bezugssystemen ist, dass in S ein Gravita-tionsfeld auftritt, nicht aber in S ′.

Einstein verallgemeinerte diese Folgerung ausmschwer = mtrage, die zunachstnur fur die Grundgesetze der Newtonschen Mechanik gezogen ist, und erhob zumPrinzip (d. h. zu einer immer wieder in geeigneten neuen Experimenten nach-zuprufenden Hypothese): ein zeitlich und raumlich konstantes Gravitationsfeldist durch kein Experiment zu unterscheiden von einer zeitlich konstanten Be-schleunigung des Bezugssystems.

Das Einsteinsche Prinzip von der Aquivalenz von Schwere und Tragheit mussnoch praziser formuliert werden. Ein zeitlich nicht konstantes und raumlichnicht homogenes Gravitationsfeld kann nicht uberall und immer durch eine Ko-ordinatentransformation exakt eliminiert werden. Immerhin, die Aufhebungeines Gravitationsfeldes wird mit guter Naherung moglich sein fur jeden Raum-Zeit-Bereich, der so klein gewahlt ist, dass innerhalb seiner das Gravitationsfeldals raumlich und zeitlich konstant angesehen werden kann. Also: In jedemRaum-Zeitpunkt lasst sich ein lokales frei fallendes Koordinatensystem angeben,so dass in einem hinreichend kleinen Raum-Zeit-Bereich um den betrachtetenPunkt die Naturgesetze die Form annehmen, die sie in nicht beschleunigten Be-zugssystemen bei Abwesenheit von Gravitation haben. Es gibt ein solches freifallendes Koordinatensystem, aber nicht nur eins, sondern beliebig viele, die sichrelativ zueinander gleichformig bewegen. Da beliebige Relativgeschwindigkeiten|~u| < c zwischen diesen gleichberechtigten Koordinatensystemen moglich sind,muss der Ubergang von einem zum anderen durch die Lorentztransformationbewerkstelligt werden. Es mussen also in den lokalen frei fallenden Koordina-tensystemen die Naturgesetze eine Lorentzinvariante Form besitzen.

Die Koordinatentransformationen, die wie 2.2 dafur sorgen, dass ein Gra-vitationsfeld lokal eliminiert wird, sind notwendig nichtlinear. Daher ist dieKunst, mit Gravitationsfeldern umzugehen, die gleiche wie die, nichtlineare Ko-ordinatentransformationen zu hantieren.

10.3 Die Viererkraft im Gravitationsfeld

Betrachten wir ein Teilchen an einem Raum-Zeit-Punkt xα unter dem Einflusseines Gravitationsfeldes. Die Bewegungsgleichung muss Lorentzinvariant sein,d. h. die Form

mtraged2xα

dτ2=

1

c2mschwerg

α bzw.d2xα

dτ2=

1

c2gα (10.9)

haben, wobei dτ ein Lorentzskalar ist und gα ein Lorentzvektor. Den Lorentz-vektor werden wir die Gravitationsfeldstarke nennen.

Page 182: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

182 10 Bewegung schneller Teilchen im Gravitationsfeld

Eine, die wichtigste, Eigenschaft von gα kennen wir schon: es gibt an jedemRaum-Zeit-Punkt xα ein frei fallendes Koordinatensystem mit Koordinaten ξα,bezuglich dessen das Teilchen momentan und lokal (d. h. solange es sich vomherausgegriffenen Raum-Zeit-Punkt nicht zu weit entfernt hat) keine Gravitati-onskraft erfahrt und sich daher (ein kleines Wegstuck weit) auf einer Geradenbewegt. In diesem frei fallenden Koordinatensystem lautet die Bewegungsglei-chung des Teilchens

d2ξα

dτ2= 0 , (10.10)

wobei dτ − c das Inkrement der Eigenzeit des Teilchens ist,

dτ2 = −ηαβdξαdξβ =(dξ0)2 −

(d~ξ)2

=(dξ0)2 −

(dξ1)2 −

(dξ2)2 −

(dξ3)2

.

(10.11)

Der Ubergang von den Laborkoordinaten xα zu den Koordinaten ξα imfrei fallenden System geschieht durch eine nichtlineare Koordinatentransforma-tion, d. h. die ξα sind nichtlineare Funktionen der xα. Wir schreiben meistensξα = ξα(x), zuweilen zur Vermeidung von Missverstandnissen auch ξα = ξαX(x),wobei der Index X den Raum-Zeit-Punkt angibt, bezuglich dessen das frei fal-lende Koordinatensystem errichtet ist. Wohlgemerkt, nur raumlich und zeitlichkonstante Gravitationsfelder konnen durch eine einzige Koordinatentransforma-tion eliminiert werden. Wir lassen aber jetzt beliebig variable Gravitationsfelderzu.

Hatten wir die Koordinatentransformation ξα(x), die das Gravitationsfeldgα lokal eliminiert, explizit vorliegen, so konnen wir gα leicht rekonstruieren.Tragen wir ξα(x) in die Bewegungsgleichung (10.10) ein,

0 =d

(∂ξα

∂xµdxµ

)=∂ξα

∂xµd2xµ

dτ2+

∂2ξα

∂xµ∂xνdxµ

dxν

dτ, (10.12)

multiplizieren mit ∂xλ/∂ξα und benutzen die Kettenregel in der Form

∂xλ

∂ξα∂ξα

∂xµ= δλµ , (10.13)

so entsteht

d2xλ

dτ2+ Γλµν

dxµ

dxν

dτ= 0 (10.14)

mit

Γλµν =∂xλ

∂ξα∂2ξα

∂xµ∂xν. (10.15)

Somit ist das Gravitationsfeld gα durch die Koordinatentransformation ξ(x)ausgedruckt, die das Feld lokal eliminiert,

1

c2gα = −Γαµν

dxµ

dxν

dτ(10.16)

Page 183: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

10.3 Die Viererkraft im Gravitationsfeld 183

Das Feld gα ist also durch das so genannte Christoffelsymbol Γαµν und die Vie-rergeschwindigkeit dxµ/dτ gegeben.

Mit (10.14) haben wir die allgemeine Form der Bewegungsgleichung einesTeilchens im Gravitationsfeld gewonnen. Zur Behandlung konkreter Probleme,wie etwa der Bewegung eines Planeten um die Sonne, mussen wir naturlichdie Gravitationsfeldstarke gα, d. h. das Christoffelsymbol Γαµν fur das Feld der

Sonne als Funktion der Koordinaten xα kennen. Bei gegebenem Γλµν(x) konnenwir im Prinzip die vier Gleichungen (10.14) losen. Aus den gewonnen Losungenxα = xα(τ) lasst sich, falls gewunscht, der Parameter τ eliminieren, so dass nachBeachtung von x0 = ct die Bahnkurve in der ublichen Form ~x = ~x(t) entsteht.Wir werden darauf zuruckkommen.

Mit Hilfe der Transformation ξα = ξα(x) konnen wir auch das Eigenzeitin-krement des Teilchens durch die Laborkoordinateninkremente dxµ ausdrucken,

dτ2 = −ηαβdξαdξβ = −ηαβ∂ξα

∂xµ∂ξβ

∂xνdxµdxν ≡ −gµνdxµdxν . (10.17)

Die zur Abkurzung eingefuhrte Große

gµν = ηαβ∂ξα

∂xµ∂ξβ

∂xν(10.18)

heißt metrischer Tensor. Dieser spielt im Weiteren eine wichtige Rolle. Klar ist,dass gµν bei Vorliegen eines Gravitationsfeldes (und somit einer nichtlinearenTransformation ξα = ξα(x)) weder konstant noch im allgemeinen diagonal seinwird. Gemaß seiner Definition ist gµν jedoch immer symmetrisch.

Wir haben soeben das Christoffelsystem Γαµν(x) und den metrischen Ten-sor gµν eingefuhrt mit Hilfe der Koordinatentransformation ξα = ξα(x) vonden Laborkoordinaten xα zu den Koordinaten ξα des frei fallenden Systems,bezuglich dessen das beobachtete Teilchen momentan gleichformig bewegt ist.Das umgekehrte Vorgehen ist auch moglich und lehrreich. Uberzeugen wir unsdavon, dass wir bei gegebenem Gravitationsfeld, bzw. bei gegebenen Γαµν undgµν immer die Koordinaten ξα(x) konstruieren konnen. Dazu multiplizieren wirdie Definition (10.15) mit ∂ξβ/∂xλ und erhalten

∂ξβ

∂xλΓλµν(x) =

∂ξβ

∂xλ∂xλ

∂ξα∂2ξα

∂xµ∂xν=

∂2ξβ

∂xµ∂xν. (10.19)

Diese Gleichungen konnen wir, bei gegebenem Γλµν(x), als Differentialgleichun-

gen fur die vier Funktionen ξβ(x) lesen. Wir suchen eine Losung fur eine Nach-barschaft von X durch Ansatz einer Potenzreihe in x−X,

ξα(x) =ξα(X) +

(∂ξα

∂xµ

)

x=X

(xµ −Xµ)

+1

2

(∂2ξα

∂xµ∂xν

)

x=X

(xµ −Xµ)(xν −Xν) + · · · . (10.20)

Nach Eintragen des Ansatzes (10.20) in (10.19) finden wir die zweiten Ableitun-gen als durch Γλµν(x) bestimmt,

(∂2ξα

∂xµ∂xν

)

x=X

=

(∂ξα

∂xλ

)

x=X

· Γλµν(x) , (10.21)

Page 184: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

184 10 Bewegung schneller Teilchen im Gravitationsfeld

wahrend ξα(X) und (∂ξα/∂xµ)x=X als Integrationskonstanten offen bleiben.Die Beliebigkeit der Matrix (∂ξα/∂xλ)x=X ist naturlich durch den metrischenTensor

gµν(X) = ηαβ(∂ξα/∂xµ)x=X(∂ξβ/∂xν)x=X

eingeschrankt. Es bleiben, da gµν = gνµ , sechs freie Parameter in der Ma-trix (∂ξα/∂xλ)x=X . Das ist gut so, denn das frei fallende Koordinatensystemdarf nicht eindeutig festliegen. Hat man eines, so ist jedes dazu verdrehte undgleichformig bewegte gleichberechtigt.

10.4 Lichtstrahlen im Gravitationsfeld

Keine andere wissenschaftliche Entdeckung dieses Jahrhunderts wurde so alsSensation gefeiert wie Einsteins Vorhersage, dass Lichtstrahlen durch starkeGravitationsfelder abgelenkt werden, nach ihrer Bestatigung anlasslich einerSonnenfinsternis im Jahr 1919 (vgl. Abbildung 10.1. Um den Effekt verste-hen und nachrechnen zu lernen, wenden wir wieder das Aquivalenzprinzip an.Letzteres beansprucht Gultigkeit nicht nur fur die Bewegung massiver Teilchenim Gravitationsfeld, sondern fur den Einfluss der Gravitation auf alle physika-lischen Phanomene, insbesondere auch auf Lichtausbreitung.

Abbildung 10.1

Bei Abwesenheit von Gravitation sollte ein Lichtstrahl gerade laufen, ent-sprechend einer ebenen Welle mit dem Phasenfaktor exp i(~k · ~ξ − ωξ0/c). Der

Wellenvektor ~k und die Frequenz ω haben dabei den Zusammenhang k2 = ω2/c2.Dieser Zusammenhang, auch Dispersionsrelation fur Licht im Vakuum genannt,garantiert, dass ~k · ~ξ − ωξ0/c ein Lorentzskalar ist. Wir konnen den Vierer-

vektor kµ = (k0 = ω/c,~k) einfuhren und den Phasenfaktor der Lichtwelle alsexp(ikµξ

µ) schreiben. Die Geradlinigkeit des Lichtstrahls lasst sich auch zum

Ausdruck bringen, indem wir einen Punkt ~ξ auf einer Wellenfront ins feste Au-genmerk nehmen und als dessen

”Bewegungsgleichung“ notieren

d2~ξ

(dξ0)2= 0 . (10.22)

Statt der Zeitkoordinate ξ0 konnen wir auch einen anderen mit ihr linear ver-knupften Parameter σ zur Beschreibung der Bahn des betrachteten Punktes

Page 185: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

10.4 Lichtstrahlen im Gravitationsfeld 185

verwenden, woraufhin die Bewegungsgleichung die etwas symmetrischere Form

d2ξµ

dσ2= 0 (10.23)

annimmt.Im Gravitationsfeld verlauft, wie die erwahnten Beobachtungen bei Sonnen-

finsternissen sinnfallig machen, der Lichtstrahl nicht mehr geradlinig. Jedochgibt es in jedem Punkt in Sonnennahe ein frei fallendes Koordinatensystem,in dem die Gravitation lokal vollstandig eliminiert ist, so dass die Bewegungs-gleichung (10.23) gilt. Sobald wir fur jeden Punkt X im Gravitationsfeld dieKoordinatentransformation ξX(x) kennen, die die Laborkoordinaten x mit denfrei fallenden Koordinaten verknupft, konnen wir aus (10.23) die Bewegungs-gleichung des betrachteten Punktes auf einer Wellenfront gewinnen. Die weitereUberlegung und Rechnung ist identisch mit der fur massive Teilchen und gibt

d2xλ

dσ2+ Γλµν

dxµ

dxν

dσ= 0 . (10.24)

Diese die Lichtausbreitung im Gravitationsfeld beschreibende Gleichung hatdas gleiche Aussehen wie die Bewegungsgleichung eines massiven Teilchens.Naturlich konnen wir hier den Bahnparameter σ nicht mit der Eigenzeit desbetrachteten Punktes auf der Wellenfront identifizieren, denn dieser Punkt be-wegt sich mit Lichtgeschwindigkeit und hat somit keine Eigenzeit. Fur Licht-ausbreitung gilt dτ = 0, sowohl im frei fallenden System wie im Labor. DieUmrechnung lauft wie im letzten Paragrafen und fuhrt zu

0 = −ηαβdξα

dξβ

dσ= −gµν

dxµ

dxν

dσ. (10.25)

Statt von einem fiktiven Punkt auf einer Wellenfront werden wir kunftig von ei-nem masselosen Teilchen reden, das sich im gravitationsfreien Raum (und somitauch in einem frei fallenden Bezugssystem) geradlinig mit Lichtgeschwindigkeitbewegt. Diese Redeweise macht deutlich, dass der Einfluss des Gravitations-feldes auf massive und masselose Teilchen der gleiche ist. Sie wissen anderer-seits, aus quantenmechanischer Vorbildung, dass das in Rede stehende masseloseTeilchen, das Photon, keine bloße Fiktion ist, dass vielmehr elektromagnetischeWellen auch in anderer Hinsicht Teilchencharakter zeigen.

Die Lichtartigkeitsbedingung (10.25) fur eine Photonenbahn xλ ermoglichtdie Berechnung der Zeit dt = dx0/c, die ein Photon benotigt, um den Weg d~xzu durchlaufen. Aus (10.25) folgt∗) unter Beachtung der Symmetrie von gµν

g00c2 dt2 + 2gi0 dxicdt+ gij dxi dxj = 0 (10.26)

und hieraus die Laufzeit

dt =1

cg00

[−gi0 dxi −

√(gi0gj0 − gijg00) dxi dxj

](10.27)

In diesem Ausdruck erscheint das Minuszeichen vor der Wurzel. Das umge-kehrte Vorzeichen kommt nicht in Frage, wie wir uns klarmachen am Bei-spiel einer linearen Koordinatentransformation, fur die gilt gµν = ηµν d. h.

∗)Beachte, dass der lateinische Index i die drei Raumkoordinaten zahlt, also i = 1, 2, 3.

Page 186: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

186 10 Bewegung schneller Teilchen im Gravitationsfeld

cdt = −[−√d~x2]. Eine wichtige Konsequenz aus (10.25) springt sofort ins

Auge. Da im Gravitationsfeld der metrische Tensor gµν koordinatenabhangigund jedenfalls ungleich dem Minkowskitensor ist, gilt nicht mehr cdt = |d~x|,d. h. im Gravitationsfeld weicht die Lichtgeschwindigkeit von c ab.

Letzterer Effekt ist uns, ebenso wie die Lichtablenkung durch schwere Mas-sen, aus der Alltagserfahrung nicht gelaufig. Der Grund dafur ist die Schwach-heit des Gravitationsfeldes der Erde. Selbst das viel starkere Feld der Sonnebewirkt eine Lichtablenkung um bloße 1, 75 Bogensekunden fur Lichtstrahlen,die in unmittelbarer Nahe der Sonnenoberflache an der Sonne vorbeilaufen (s.10.12).

10.5 Der metrische Tensor ist das Gravitations-feld

Sie haben eben gelernt, dass das Christoffelsymbol Γλµν die Gravitationskraftund der metrische Tensor gµν das Eigenzeitinkrement von Teilchen festlegen.Jetzt will ich zeigen, dass sich das Christoffelsymbol durch den metrischen Ten-sor gµν und seine ersten Ableitungen darstellen lasst als

Γλµν =1

2gλσ

∂gµσ∂xν

+∂gνσ∂xµ

− ∂gµν∂xσ

, (10.28)

wobei gµν der zu gµν inverse Tensor ist,

gµσgσν = δµν . (10.29)

Der metrische Tensor spielt also die Rolle eines Potentials fur die durch Γλµν(x)bestimmte Gravitationskraft. Jedenfalls genugt die Kenntnis des metrischenTensors gµν(x), um die Bewegung von Teilchen im Gravitationsfeld vollstandigbeschreiben zu konnen.

Der obige Zusammenhang zwischen dem Christoffelsymbol Γλµν und dem

metrischen Tensor gµν folgt aus dem Aquivalenzprinzip, welches wir zunachstetwas verfeinert formulieren mussen. Am Punkt xα = Xα (in Laborkoordina-ten) seien ξαX die Koordinaten des dortigen frei fallenden Systems. Mit Hilfeder Transformation ξαX = ξαX(x) definiert sich der metrische Tensor als

gµν(X) =

(∂ξαX(x)

∂xµ∂ξβX(x)

∂xνηαβ

)

x=X

. (10.30)

An einem benachbarten Raum-Zeit-Punkt xα = X ′αhat man, wenn das Gravi-

tationsfeld nicht konstant ist, ein anderes frei fallendes Bezugssystem mit Koor-dinaten ξαX′ . Fur einen mit den ξαX fallenden Beobachter erscheint das Systemder ξαX′ , beschleunigt, er konstatiert also ein bei ξαX(x = X ′) herrschendes Gra-vitationsfeld gemaß dem metrischen Tensor

gXµν (ξX(X ′)) =

(∂ξαX′

∂ξµX

∂ξβX′

∂ξνXηαβ

)

ξX=ξX(X′)

. (10.31)

Page 187: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

10.5 Der metrische Tensor ist das Gravitationsfeld 187

Dem in Rede stehenden Beobachter wird nahe liegen, diesen metrischen Tensorals Funktion seiner Koordinaten ξαX zu schreiben; wir konnten auch Laborkoor-dinaten verwenden.

Offenbar ist gXµν(ξX(X)) = ηµν . Wenn wir zur Vereinfachung der Symbolikden Ursprung des bei X frei fallenden Systems so wahlen, dass ξX(x = X) = 0,so lautet die fur kleine ξαX gultige Taylorreihe fur gXµν(ξX)

gXµν(ξX) = ηµν +

(∂gXµν∂ξαX

)

ξX=0

ξαX +1

2

(∂2gXµν

∂ξαX∂ξβX

)

ξX=0

ξαXξαX + · · · . (10.32)

In dieser Reihe kommt klar zum Ausdruck, dass die ξαX zwar am Ort x =X, nicht aber in endlichem Abstand davon ein frei fallendes System bilden.In hinreichender Entfernung vom Ursprung ξX = 0 bemerkt der mit den ξαXfallende Beobachter sehr wohl ein Gravitationsfeld.

Wir hatten das Aquivalenzprinzip bisher formuliert als die Forderung, dasssich durch ein geeignetes frei fallendes System ξαX das Gravitationsfeld in einemhinreichend kleinen Raum-Zeit-Bereich um x = X herum eliminieren lassenmuss. Wir prazisieren nun das

”hinreichend“ dahingehend, dass sich die Koor-

dinaten ξαX so einrichten lassen mussen, dass die ersten Ableitungen (∂gXµν/∂ξαX)

bei ξX = 0 verschwinden. Die Abweichung des metrischen Tensors gXµν(ξX) vomMinkowskitensor ist dann, wie (10.32) zeigt, mindestens quadratisch in ξαX . Erstin zweiter Ordnung in ξαX wird fur den mit dem System der ξαX fallenden Be-obachter ein Gravitationsfeld bemerkbar. Wir werden gleich sehen, dass erstdie hier gegebene Prazisierung des Aquivalenzprinzips sicherstellt, dass ein beix = X befindliches Teilchen bezuglich des Systems ξαX tatsachlich keine Be-schleunigung erfahrt.

Nach dieser Vorbemerkung finden wir aus einer leichten Rechnung, bei derwir ubrigens gXµν als Funktion der Laborkoordinaten nehmen, den oben vorge-stellten Zusammenhang zwischen dem Christoffelsymbol und seinem

”Potenti-

al“, dem metrischen Tensor. Unter bloßer Beachtung der Kettenregel konnenwir umformen wie

gµν(X′) =

(∂ξαX′

∂xµ∂ξβX′

∂xνηαβ

)

x=X′

=

(∂ξαX′

∂ξγX

∂ξβX′

∂ξδXηαβ

)

x=X′

(∂ξγX∂xµ

∂ξδX∂xν

)

x=X′,

also

gµν(X′) = gXγδ(X

′)

(∂ξγX∂xµ

∂ξδX∂xν

)

x=X′. (10.33)

Dies differenzieren wir nach X ′λund setzen X = X ′. Da(

∂gXγδ(X′)/∂X ′

λ)X′=X

=(∂gXγδ/∂ξ

αX

)ξ=0·(∂ξαX/∂X

λ)X′=X

= 0 ,

gibt der erste Faktor auf der rechten Seite von (10.33) keinen Beitrag zur ge-suchten Ableitung und wir erhalten wegen gXγδ(X) = ηγδ

∂gµν∂Xλ

= ηγδ

(∂2ξγX(x)

∂xλ∂xµ∂ξδX(x)

∂xν+∂ξγX(x)

∂xµ∂2ξδX(x)

∂xν∂xλ

)

x=X

. (10.34)

Page 188: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

188 10 Bewegung schneller Teilchen im Gravitationsfeld

Die rechte Seite dieser Gleichung lasst sich durch das Christoffelsymbol aus-drucken

∂gµν∂Xλ

= ηγδ

(Γσλµ

∂ξγX∂xσ

∂ξδX∂xν

+ Γσλν∂ξδX∂xσ

∂ξγX∂xµ

)

x=X

= Γσλµ(X)gσν(X) + Γσλν(X)gσµ(X) . (10.35)

Um nach dem Christoffelsymbol auflosen zu konnen, addieren wir zu dieserGleichung die namliche mit µ und λ vertauscht und subtrahieren dieselbe noch-mals mit ν und λ vertauscht. Es entsteht, wenn wir die aus den Definitionenfolgenden Symmetrien gµν = gνµ und Γλµν = Γλνµ benutzen,

∂gµν∂xλ

+∂gλν∂xµ

− ∂gµλ∂xν

= 2Γσλµgσν . (10.36)

Nach Multiplikation mit dem zu gµν inversen Tensor gµν entsteht schließlich dieeingangs vorgestellte Relation.

Ihnen bleibt als kleine Ubung, zu zeigen, dass sich der Tensor gµν durchdie Transformation ξ = ξ(x) zum frei fallenden Koordinatensystem ausdruckenlasst,

gµν = gνµ =∂xν

∂ξγ∂xµ

∂ξδηγδ . (10.37)

10.6 Der Newtonsche Grenzfall

Fur langsame Teilchen in schwachen Gravitationsfeldern muss die EinsteinscheBewegungsgleichung

d2xλ

dτ2= −Γλµν

dxµ

dxν

dτ(10.38)

in die Newtonsche ubergehen. Uberzeugen wir uns davon und lernen dabei, wieder metrische Tensor (das Einsteinsche

”Gravitationspotential“) im Grenzfall

des schwachen statischen Feldes aussieht.Bei |~v| ¿ c konnen wir zunachst die raumlichen Komponenten d~x/dτ ≈ ~v/c

gegen dx0/dτ = cdt/dτ ≈ 1 vernachlassigen und erhalten

d2xλ

dτ2= −Γλ00

(dct

)2

. (10.39)

Da das Gravitationsfeld als statisch angenommen wurde, verschwinden die Zeit-ableitungen des metrischen Tensors,

Γλ00 =1

2gλσ

(2∂g0σ∂ct

− ∂g00∂xσ

)= −1

2gλi

∂g00∂xi

. (10.40)

Bei Abwesenheit des Gravitationsfeldes ware gµν = ηµν . Im schwachen Feldwird der metrische Tensor nur wenig vom Minkowskitensor abweichen, so dasswir ansetzen konnen

gµν = ηµν + hµν (10.41)

Page 189: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

10.6 Der Newtonsche Grenzfall 189

mit |hµν | ¿ |ηµν |. In erster Ordnung in der Storung hµν entsteht aus (10.40)

Γλ00 = −1

2ηλi

∂h00∂xi

, also Γ000 = 0 und Γi00 = −1

2

∂h00∂xi

(10.42)

Tragen wir dies in die Bewegungsgleichung (10-39) ein, so entsteht

d2xi

dτ2=

1

2

∂h00∂xi

(dct

)2

undd2ct

dτ2= 0 . (10.43)

Letztere Gleichung besagt, dass Laborzeit und Eigenzeit linear verknupft sind,(dct/dτ) = const. Damit kann aus der ersten Gleichung in (10.43) der Para-

meter τ leicht eliminiert werden, denn d2xi

dτ2 = (const)2d2xi/d(ct)2. Daraufhinerhalten wir

d2xi

dt2=c2

2

∂h00∂xi

(10.44)

oder

d2~x

dt2=c2

2∇h00 . (10.45)

In der Newtonschen Mechanik gilt

d2~x

dt2= −∇ϕ , (10.46)

wobei ϕ das Newtonsche Gravitationspotential ist. Die Einsteinsche Bewegungs-gleichung reduziert sich also auf die Newtonsche, wenn wir die Korrektur h00zur 0−0-Komponente des Minkowskitensors identifizieren als

h00(~x) = −2

c2ϕ(~x) + const . (10.47)

In beliebig großer Entfernung von allen felderzeugenden Massen muss das Gra-vitationsfeld beliebig klein werden, d. h. h00(~x → ∞) → 0. Das NewtonschePotential hatten wir ebenfalls so definiert, dass es im Unendlichen verschwin-det, so dass die Konstante in (10.47) verschwindet. Somit gilt im NewtonschenGrenzfall

g00 = −(1 + 2ϕ/c2) . (10.48)

Um ein Gefuhl fur die Große der Korrektur 2ϕ/c2 in (10.48) zu erhalten, er-innern wir uns an das Newtonsche Potential eines Teilchens mit Masse m,ϕ~x = Gm/|~x|. Sie rechnen leicht aus, nach Aufsuchen der entsprechendenMassen und Radien,∣∣∣∣

c2

∣∣∣∣ ≈ 10−39 an der Oberflache eines Protons

≈ 10−9 auf der Erdoberflache

≈ 10−6 auf der Sonnenoberflache

≈ 10−4 auf der Oberflache eines weißen Zwerges.

Offenbar machen wir an der Erdoberflache keinen großen Fehler, wenn wir dasEigenzeitinkrement eines Teilchens mit dem Minkowskitensor statt mit demmetrischen Tensor ausrechnen.

Page 190: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

190 10 Bewegung schneller Teilchen im Gravitationsfeld

10.7 Frequenzverschiebung fallender Photonen

Eine der schonsten experimentellen Bestatigungen des Aquivalenzprinzips wur-de im Jahr 1960 von Pound und Rebka gegeben. Das Messergebnis besteht imNachweis einer Frequenzvergroßerung (

”Blauverschiebung“) von Gammastrah-

len, die im Schwerefeld der Erde um etwa 20m gefallen sind. Hier will ich Ihnendie theoretische Grundlage zur Diskussion dieses Experiments und verwandterPhanomene geben.

Betrachten wir eine Uhr, die sich mit beliebiger Geschwindigkeit in einembeliebigen Gravitationsfeld bewegt. Zwischen zwei aufeinander folgenden Ticksvergeht die Eigenzeit ∆t. Das Eigenzeitintervall ∆t ist nicht gleich dem Zu-wachs dx0/c = dt der Laborzeit t = x0/c, den wir im Labor als Zeitabstand derbeiden in Rede stehenden Ticks messen, denn zur Messung der Laborzeit t bzw.x0 verwenden wir i. A. im Labor ruhende Instrumente (

”x0-Anzeiger“). Selbst

wenn wir die Laborzeit x0/c ablesen auf einer Uhr, die konstruktionsgleich istmit der zum Zeitpunkt x0 am Ort ~x beobachteten, so wird das Laborzeitin-krement dx0/c zwischen den beiden Ticks des Beobachtungsobjekts mit demEigenzeitinkrement ∆t nur dann ubereinstimmen, wenn sich der x0-Anzeigerzum Beobachtungszeitpunkt ebenfalls am Ort ~x befindet und dort relativ zurbeobachteten Uhr ruht.

Vereinbaren wir jedoch, dass der x0-Anzeiger bei ~x = 0 ruht. Das Laborzei-tintervall dt = dx0/c zwischen zwei aufeinander folgenden Ticks der Uhr bei ~xdenken wir uns so gemessen, dass dieselbe anlasslich jedes Ticks einen Lichtblitzzum x0-Anzeiger schickt; auf letzterem wird dt abgelesen als Zeitabstand derAnkunft zweier aufeinander folgender Lichtblitze.

Um den Zusammenhang zwischen ∆t und dt auszurechnen, erinnere ich andie anfangliche Bemerkung, dass ∆t die Zeit ist, die zwischen den Ticks ver-streicht bzgl. eines frei fallenden Systems, in dem die Uhr ruht. In einemanderen lokal frei fallenden System, in dem die Uhr sich gleichformig bewegt,verstreicht dξ0 und es gilt

∆t =1

c

√−ηαβ dξα dξβ , (10.49)

wahrend sich das im Laborsystem ablaufende Zeitintervall berechnet aus

∆t =1

c

√−ηαβ

∂ξα

∂xµ∂ξβ

∂xνdxµ dxν =

1

c

√−gµν dxµ dxν . (10.50)

Dabei sind wir jetzt weniger an der schon bei Abwesenheit von Gravitation auf-tretenden Verschiedenheit von ∆t und dt interessiert, die mit einer Relativbewe-gung von Beobachtungsobjekt und Labor verbunden ist; viel mehr interessiertuns der Einfluss des Gravitationsfeldes auf das Verhaltnis ∆t/dt; daher nehmenwir an, dass die beobachtete Uhr relativ zum Labor ruht, so dass d~x = 0. Dannfolgt

∆t =√−g00(x) dt . (10.51)

Man kann den”Dilatationsfaktor“

√−g00(x) nicht durch Messungen an ei-

nem Raum-Zeit-Punkt x allein festlegen. Denn wenn der x0-Anzeiger zur Zeitx0 nach ~x gebracht wird, wo sich auch das Beobachtungsobjekt befindet, so

Page 191: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

10.7 Frequenzverschiebung fallender Photonen 191

wird er dann und dort vom Gravitationsfeld genauso beeinflusst wie das letzte-re. Somit kann zwischen beiden Uhren kein Gangunterschied auftreten. Um denEinfluss des Gravitationsfeldes auf den Gang von Uhren nachzuweisen, mussenUhren an verschiedenen Raum-Zeit-Punkten verglichen werden.

Betrachten wir der Einfachheit halber zwei Raumpunkte in einem zeitun-abhangigen Gravitationsfeld gµν(~x). Am Ort ~xQ ruhe als

”Uhr“ eine Lichtquelle,

die Licht einer Spektrallinie aussendet. Am Ort ~xB wird dieses Licht empfangenund hinsichtlich seiner Frequenz verglichen mit Licht derselben Spektrallinie, dasam Ort ~xB selbst erzeugt wird.

Der Zeitabstand zwischen der Aussendung aufeinander folgender Wellenma-xima (das seien die

”Ticks“ der

”Uhr“) sei dtQ = dx0Q/c; er hangt mit dem

entsprechenden Zeitabstand ∆t bei Abwesenheit des Gravitationsfeldes zusam-men gemaß

dtQ = ∆t/√−g00(~xQ) . (10.52)

Die Reisedauer der Wellenfronten von der Quelle zum Beobachter bei ~xB wirdfur alle Wellenmaxima gleich groß sein, da sich das Gravitationsfeld zeitlich nichtandert. Die Zeitspanne zwischen den Ankunften aufeinander folgender Wellen-maxima wird also auch stets gleich bleiben und den durch (10.52) gegebenenWert haben. Der entsprechende Zeitabstand zwischen den Wellenmaxima einerin ~xB ruhenden Quelle betragt jedoch

dtB = ∆t/√−g00(~xB) . (10.53)

Demnach erscheint einunddieselbe Spektrallinie unter verschiedenen Frequen-zen, deren Verhaltnis durch

νBνQ

=dtQdtB

=

√g00(~xB)

g00(~xQ)(10.54)

gegeben ist.Im schwachen Feld, wo g00(~x) ≈ −1− 2ϕ(~x)/c2 mit |ϕ|/c2 ¿ 1 gilt, druckt

sich die Linienverschiebung durch die Newtonschen Potentiale an den beteiligtenOrten aus,

νBνQ≈√

1 + 2ϕ(~xB)/c2

1 + 2ϕ(~xQ)/c2≈ 1 + [ϕ(~xB)− ϕ(~xQ)]

1

c2. (10.55)

Als relative Frequenzverschiebung ∆ν/νB = (νQ − νB)/νB erhalten wir somit

∆ν

νB= (ϕ(~xQ)− ϕ(~xB))

1

c2. (10.56)

Das ist eine Rotverschiebung, wenn das Feld am Ort der Quelle starker ist alsbeim Beobachter, wahrend ein im Gravitationsfeld fallendes Photon offenbareine Vergroßerung seiner Frequenz, d. h. eine Blauverschiebung erleidet.

Das Resultat (10.56) legt wieder die schon benutzte Redeweise vom Photonals einem (masselosen) Teilchen nahe. Wenn ein massives Teilchen im Gravi-tationsfeld zu tieferem Potential fallt, so vergroßert sich dabei seine kinetische

Page 192: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

192 10 Bewegung schneller Teilchen im Gravitationsfeld

Energie. Ganz ahnlich ergeht es dem Photon. Der einzige Unterschied zum mas-siven Teilchen ist, dass das schon mit c fliegende Photon Energie nicht durchVergroßerung seiner Geschwindigkeit aufnimmt sondern durch Vergroßerung sei-ner Frequenz.

Im Pound-Rebka Experiment entsprach der Potentialunterschied zwischenQuelle und Empfanger einem Hohenunterschied von 22, 6m, betrug also ∆ϕ/c2

= 9, 81m s−2 · 22, 6m/9 · 1016m2s−2 ≈ 2, 5 · 10−15. Wie eine derart winzi-ge Frequenzverschiebung nachgewiesen wurde, ist eine Geschichte fur sich, dieSie anderswo ausfuhrlich nachlesen mussen. Jedenfalls ist die Vorhersage desAquivalenzprinzips durch Experimente dieses Typs inzwischen bis auf ∼ 1%bestatigt.

Eine an der Sonnenoberflache erzeugte Spektrallinie muss dem terrestri-schen Beobachter rotverschoben erscheinen, denn das Gravitationspotential amEntstehungsort ist, wie ich schon oben notiert hatte, betragsmaßig wesentlichstarker als das Gravitationspotential an der Erdoberflache. Die vom Aquivalenz-prinzip vorhergesagte relative Linienverschiebung von etwa 2 · 10−6 ist wegenexperimenteller Schwierigkeiten bisher nur bis auf eine Genauigkeit von etwa5% gesichert.

10.8 Nochmal auf die rotierende Scheibe!

Schon mit Hilfsmitteln der speziellen Relativitatstheorie hatten wir uns davonuberzeugt, dass eine am Rand einer gleichformig rotierenden Scheibe festge-machte Uhr langsamer geht als ihr im Labor ruhendes Duplikat. Als Umlauf-dauer wird auf der mitrotierenden Uhr Trot und auf der Laboruhr Tlab abgelesenund es gilt, wenn ω die Kreisfrequenz der Scheibe ist und R den Abstand derrotierenden Uhr von der Drehachse bezeichnet,

Trot = Tlab√

1− ω2R2/c2 . (10.57)

Um Sie an den Umgang mit dem Aquivalenzprinzip zu gewohnen, will ich diesesResultat nun nochmals herleiten.

Ein auf der rotierenden Scheibe ruhender Reisender mag sich einbilden, dieScheibe sei in Ruhe und die fur ihn uberall auf der Scheibe feststellbaren Krafteauf Probeteilchen ruhrten von einem Gravitationsfeld her. Er wird dieses Felddurch den metrischen Tensor gµν beschreiben und seine Muhe damit haben,gµν(x) durch Messungen festzulegen. Wir haben keinerlei Muhe, den metrischenTensor auszurechnen mit Hilfe der Koordinatentransformation vom Scheiben-system xα zum System der ξα, bezuglich dessen wir die Scheibe rotieren sehen.

Der Beobachter auf der Scheibe moge sich dazu entschließen, als seinen x0-Anzeiger unseren ξ0-Anzeiger zu verwenden. Das wird ihm Unbequemlichkeitenbringen, denn er sieht diese Uhr kreisen (der Bundespostminister durfte sichsicher nicht erlauben, den Taktgeber des hiesigen Telefonsystems auf dem Mondzu installieren), jedoch kommt uns bei der weiteren Uberlegung die Verrucktheitdes Scheibenmannchens sehr zupass. Im Ubrigen verwende das Scheibenmann-chen Zylinderkoordinaten x1 = r, x2 = ϕ, x3 = z, wobei die z-Achse dieSymmetrieachse des Systems sei. Wenn wir im Labor kartesische Koordinatenξi wahlen, so haben wir die Transformation

Page 193: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

10.8 Nochmal auf die rotierende Scheibe! 193

ξ0 = x0

ξx = r cos(ϕ+ ωx0/c) (10.58)

ξy = r sin(ϕ+ ωx0/c)

ξz = z

Abbildung 10.2

und konnen den metrischen Tensor gµν(x) mit Hilfe seiner Definition

gµν(x) =∂ξα

∂xµ∂ξβ

∂xνηαβ (10.59)

= − ∂ξ0

∂xµ∂ξ0

∂xν+∂ξx

∂xµ∂ξx

∂xν+∂ξy

∂xµ∂ξy

∂xν+∂ξz

∂xµ∂ξz

∂xν

ausrechnen. Das fur uns wichtige Element ist g00. Es lautet

g00(r, ϕ, z, x0) = −1 + r2ω2

c2sin2(ϕ+ ωx0/c) +

r2ω2

c2cos2(ϕ+ ωx0/c)

= −1 + r2ω2/c2 .

Obwohl wir die anderen hier nicht benotigen, sollten Sie sie zur Gewohnung an’sDifferenzieren und Summieren ausrechnen.

Da die am Scheibenrand bei r = R, ϕ = 0, z = 0 festgemachte Uhr furdas Scheibenmannchen ruht, druckt er ihr Eigenzeitinkrement ∆t aus als (s.(10.51))

∆t =√−g00(R, 0, 0)dx0/c =

√1− ω2R2/c2 dx0/c . (10.60)

Die Summe aller dieser Inkremente fur einen Umlauf lesen wir mit∑

∆t = Trotund

∑dx0 = Tlab als das oben schon vorgestellte Resultat (s. (10.51)).

Im letzten Kapitel hatte ich das Resultat (10.57) salopp als”Reisen erhalt

jung“ formuliert. Jetzt liegt die Interpretation starker Gravitationsfelder alsJungbrunnen nahe.

Page 194: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

194 10 Bewegung schneller Teilchen im Gravitationsfeld

10.9 Das statische isotrope Gravitationsfeld

Obwohl die Sonne leicht abgeplattet ist und um ihre Symmetrieachse rotiert, ob-wohl also die Massenverteilung der Sonne weder kugelsymmetrisch noch statischist, werden wir ihr Gravitationsfeld als statisch und isotrop idealisieren. Derhierdurch entstehende Fehler bei der Berechnung der Licht- und Teilchenbah-nen ist bei weitem zu klein, um experimentell nachgewiesen werden zu konnen.

Zur Bestimmung des Gravitationsfeldes einer vorgegebenen Massenvertei-lung hat man die hier nicht diskutierten Einsteinschen Feldgleichungen zu losen,ahnlich wie man das Coulombfeld durch Losung der Maxwellschen Gleichungenfindet. Tatsachlich konnen wir uns auch ohne Benutzung der Feldgleichun-gen durch elementare Uberlegungen hinreichenden Aufschluss uber das gesuchteFeld verschaffen.

Wir benutzen am besten raumliche Kugelkoordinaten xµ = (ct, r, θ, ϕ), wo-bei r = 0 das Zentrum der Massenverteilung bedeutet. Den metrischen Tensorgµν konnen wir dann ablesen aus der allgemeinst moglichen Form des Eigenzei-tintervalls dτ2 = −gµνdxµdxν . Fur letztere durfen wir, wie leicht einzusehenist, ansetzen

dτ2 = −g00(r)c2 dt2 − grr(r2) dr2 − r2(dθ2 + sin2 θdϕ2) . (10.61)

Wegen der Isotropie und Zeitunabhangigkeit des Feldes hangen namlich die Ko-effizienten g00 und grr nur von r ab. Die Nichtdiagonalelemente g0r, g0θ, g0ϕ,grθ, grϕ, gθϕ mussen alle verschwinden; ein Beitrag zu dτ 2 der Form grϕ dr dϕ,z. B., wurde vom Vorzeichen von dϕ abhangen und somit die Richtung θ = 0auszeichnen, wahrend die Mischglieder g0i dctdx

i eine Zeitrichtung auszeichnenwurden. Dass das dritte Glied in (10.61) nicht eine weitere freie Funktion vonr enthalt, sondern gθθ = r2 erscheint, lasst sich immer durch Festlegung derLangeneinheit einrichten; wenn etwa gθθ = C(r) 6= r2 gegeben ist, so fuhrt dieKoordinatentransformation r =

√C(r) zu gθθ = r2, ohne dass sich die Struk-

tur von (10.61) ansonsten andert. Es ist jedoch nicht moglich, durch weitereKoordinatentransformationen die Zahl der freien Funktionen in dτ 2 unter zweizu drucken.

Von den beiden Koeffizienten g00(r) und grr(r) wissen wir zunachst nur, dasssie im feldfreien Raum, d. h. insbesondere fur r → ∞ die Werte −1 bzw. +1haben mussen, denn dort ist die Metrik Minkowskisch. Außerdem hatten wiruns davon uberzeugt, dass im Newtonschen Grenzfall, d. h. fur ein schwachesFeld gilt

g00(r) ≈ −1− 2ϕ/c2 = −1 + 2MG

c2r, (10.62)

wobei M die felderzeugende Masse ist. Der hier auftretende Parameter MG/c2

hat die Dimension einer Lange und heißt Schwarzschildradius der Massenver-teilung. Sein Zahlenwert fur die Sonne ist

MSG/c2 = 1.48 km , (10.63)

also sehr klein gegenuber dem Sonnenradius

RS = 6.96× 105 km (10.64)

Page 195: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

10.9 Das statische isotrope Gravitationsfeld 195

und erst recht klein gegenuber dem kleinsten Abstand eines Planeten vom Son-nenzentrum. Zum Beispiel betragt der Aphelabstand des Merkur

rM ≈ 4.59× 107 km ≈ 65RS . (10.65)

Die Kleinheit des Schwarzschildradius der Sonne gegen RS ist der Grund derSchwache des Gravitationsfeldes uberall im Sonnensystem.

Wenn die relativistische Gravitationstheorie außer der Gravitationskonstan-ten G keine weiteren Kopplungskonstanten in Rechnung stellen muss – es gibtin der Tat keine empirischen Hinweise auf das Auftreten solcher Kopplungskon-stanten –, so ist der Schwarzschildradius der einzige Parameter der Dimensioneiner Lange, den die Gravitationstheorie fur das Feld eines statischen isotropenSterns der MasseM zur Verfugung stellt. Da die Koeffizienten g00(r) und grr(r)dimensionslos sind, mussen sie dann vom dimensionslosen Argument MG/c2rabhangen, d. h. die Form

grr = A

(MG

c2r

), g00 = −B

(MG

c2r

)(10.66)

haben. Uberall im Sonnensystem und sogar an der Sonnenoberflache ist dasArgument der Funktionen A und B sehr klein gegen eins, so dass wir A und Bsicher durch die Taylorreihen

A = 1 + 2γMG

c2r+ · · ·

B = 1− 2MG

c2r+ 2(β − γ)

(MG

c2r

)2

+ · · · (10.67)

approximieren konnen. Die Parametrisierung der Entwicklungskoeffizienten durchdie noch zu bestimmenden Großen β und γ ist Konventionssache.

Aus dem Eigenzeitinkrement (10.61) lesen wir den metrischen Tensor gµνab. Seine nicht verschwindenden Elemente lauten

g00 = −B, grr = A, gθθ = r2, gϕϕ = r2 sin2 θ . (10.68)

Der inverse metrische Tensor ist ebenfalls diagonal und kann ohne Rechnungaus (10.68) entnommen werden

g00 = −1/B, grr = 1/A, gθθ = r−2, gϕϕ = 1/r2 sin2 θ . (10.69)

Zum Aufstellen der Bewegungsgleichung eines Teilchens benotigen wir noch dasChristoffelsymbol

Γλµν =1

2gλσ

(∂gσµxν

+∂gσνxµ− ∂gµν

). (10.70)

Page 196: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

196 10 Bewegung schneller Teilchen im Gravitationsfeld

Aus (10.68) und (10.69) finden wir die nichtverschwindenden Elemente zu

Γrrr =1

2A

dA

dr, Γrθθ = −

r

A, Γrϕϕ = −r sin

2 θ

A, Γr00 =

1

2A

dB

dr

Γθrθ = Γθθr =1

r, Γθϕϕ = − sin θ cos θ,

Γϕrϕ = Γϕϕr =1

r, Γϕθϕ = Γϕϕθ = cot θ, (10.71)

Γ0r0 = Γ0

0r =1

2B

dB

dr.

Wir wenden uns nun der Bewegungsgleichung eines Teilchens zu, wobei wirfur die Funktionen A und B die Entwicklungen (10.67) nehmen. Nebenbei seibemerkt, dass die Einsteinschen Feldgleichungen das exakte Resultat

B = A−1 = 1− 2MG

c2r, (10.72)

also

β = γ = 1 (10.73)

zulassen.

10.10 Bewegungsgleichungen im statischen iso-tropen Feld

Wenn wir den Ort eines Teilchens zur Zeit t = x0/c durch Kugelkoordinatenx1 = r, x2 = θ, x3 = ϕ festlegen, so nehmen die allgemeinen Bewegungsglei-chungen

d2xλ

dτ2+ Γλµν

dxµ

dxν

dτ= 0 (10.74)

im eben gewonnenen statischen isotropen Feld die folgenden Formen an

d2t

dσ2+B′(r)

B(r)

dt

dr

dσ= 0 (10.75)

d2r

dσ2+A′

2A

(dr

)2

− r

A

(dθ

)2

− r sin2 θ

A

(dϕ

)2

+B′

2A

(dct

)2

= 0 (10.76)

d2θ

dσ2+

2

r

dr

dσ− sin θ cos θ

(dϕ

)2

= 0 (10.77)

d2ϕ

dσ2+

2

r

dr

dσ+ 2 cot θ

dσ= 0 . (10.78)

Dabei bedeutet A′ = dA/dr, B′ = dB/dr. Die Bahnkurve xµ(σ) ist mit einerGroße σ parametrisiert, die ganz beliebig gewahlt werden kann. Fur ein massivesTeilchen ist dessen Eigenzeit eine nahe liegende und manchmal bequeme Wahl.

Page 197: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

10.10 Bewegungsgleichungen im statischen isotropen Feld 197

Trotz der ungewohnten Form sind die Bewegungsgleichungen (10.75-10.78)nicht schwerer zu losen als ihre in 3 behandelten nichtrelativistischen Vereinfa-chungen. Letztere, die Newtonschen Gleichungen fur das Keplerproblem, sindhier als Grenzfall c → ∞ enthalten, wie Sie nach Eintragen von A und B aus10.9 sofort sehen. Die folgenden Betrachtungen Schritt fur Schritt mit den ent-sprechenden der Newtonschen Theorie zu vergleichen, sollte fur Sie lehrreichund erfreulich sein.

Die nichtrelativistischen Bahnkurven im isotropen Feld verlaufen in Ebenen.Ebenso die relativistischen Bahnen, denn die Gleichungen (10.75-10.78) erlaubendie Losungen ϕ = const oder θ = π

2 . Wir wahlen die Bezugsrichtungen derWinkel so, dass die Bahn in der Ebene

θ =π

2(10.79)

liegt. Es bleibt die Aufgabe, die Bahnkurve in den Polarkoordinaten r = r(t)und ϕ = ϕ(t) zu finden. Beim nichtrelativistischen Keplerproblem hatten wiruns dabei der Erhaltungssatze fur Drehimpuls und Energie bedient. Auch hiergehen wir so vor.

Die Gleichungen (10.75) und (10.78) besagen, dass langs der Bahn die GroßenB(dt/dσ) bzw. r2 dϕ/dσ konstant bleiben. Ohne Verlust an Allgemeinheit set-zen wir

dσ = B dt , (10.80)

denn die auftretende Integrationskonstante lasst sich im Parameter σ absorbie-ren. Die Konstanz von r2dϕ/dσ lasst sich dann ausdrucken als

r2

B

dt= l = const . (10.81)

Die nichtrelativistische Version (c = ∞ bzw. B = 1) dieses Erhaltungssatzesfur ein Teilchen der Masse m hatten wir als Drehimpulserhaltungssatz kennen-gelernt mit

L = lm (10.82)

als Betrag des Bahndrehimpulses. In der Form (10.81) gilt der Drehimpulssatznun sowohl fur massive wie fur masselose Teilchen, d. h. Lichtbahnen. Auchhier bleibt der Drehimpuls ubrigens nach Betrag und Richtung erhalten. DieDrehimpulsrichtung ist durch (10.79) als parallel zur Geraden θ = 0 bestimmt.

Um schließlich die relativistische Verallgemeinerung des Newtonschen Ener-gieerhaltungssatzes aufzustellen, verwenden wir die Konstanz des Drehimpulsesgemaß (10.79) und (10.81) sowie die Beziehung (10.80) in (10.76) und erhalten

d2r

dτ2+A′

2A

(dr

)2

− l2

r3A+

c2B′

2AB2= 0 . (10.83)

Nach Multiplikation mit 2A(dr/dσ) entsteht hieraus der gesuchte Erhaltungs-satz

d

(A

(dr

)2

+l2

r2− c2

B

)= 0 . (10.84)

Page 198: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

198 10 Bewegung schneller Teilchen im Gravitationsfeld

Die gegenuber dem nichtrelativistischen Grenzfall erreichte Verallgemeinerungwird besonders sinnfallig, wenn wir den Parameter σ mit Hilfe von (10.80) zu-gunsten der Zeit t eliminieren,

A

B2

(dr

dt

)2

+l2

r2− c2

B= const ≡ 2e− c2 (10.85)

oder

A

2B2

(dr

dt

)2

+l2

2r2+c2

2

(1− 1

B

)= e . (10.86)

Die Integrationskonstante ist hier so benannt, dass im Grenzfall c → ∞ aus(10.85) gerade der Newtonsche Energiesatz entsteht mit

e = E/m (10.87)

als der nichtrelativistischen Energie pro Masseneinheit des bewegten Teilchens.Beachten Sie, dass der Ansatz der Integrationskonstanten in (10.85) gerade dieRuheenergie eines massiven Teilchens als additiven Beitrag zur Energiebilanzlangs der Bahn in Rechnung stellt.

Schließlich will ich, nachdem der Zusammenhang von (10.86) mit dem New-tonschen Energiesatz fur ein massives Teilchen im Keplerpotential hergestelltist, betonen, dass der relativistische Erhaltungssatz (10.86) auch fur masseloseTeilchen, insbesondere also Lichtbahnen gilt; dabei wird nur die Interpretationder Integrationskonstanten e gemaß (10.87) hinfallig. Um die Integrationskon-stante e fur Lichtbahnen zu bestimmen, berucksichtigen wir, dass langs einerLichtbahn der Minkowskiabstand beliebiger Raum-Zeit-Punkte verschwindet.Aus

dτ2 = +Bc2 dt2 −Adr2 − r2(dθ2 + sin2 θ dϕ2) = 0 (10.88)

folgt mit dθ und dϕ aus (10.79) bzw. (10.81)

Bc2 −A(dr

dt

)2

− B2l2

r2= 0 (10.89)

und dies ist gerade der Energiesatz (10.85) mit

e = c2/2 . (10.90)

Die beiden Differentialgleichungen (10.81) und (10.86) legen die zeitlichenAblaufe der moglichen Teilchenbahnen im statistischen isotropen Gravitations-feld, d. h. die Funktionen r(t) und ϕ(t) fest. Falls nur die rein raumliche Gestaltder Bahnkurven, d. h. die Funktion r(ϕ) von Interesse ist, kann mit Hilfe von(10.81) die Zeit aus (10.86) eliminiert werden, woraufhin wir erhalten

Al2

2r4

(dr

)2

+l2

2r2+c2

2

(1− 1

B

)= e . (10.91)

Diese Differentialgleichung fur die Bahnkurve r = r(ϕ) werden wir nun fur zweiwichtige Spezialfalle losen.

Page 199: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

10.11 Periheldrehung der Planeten 199

10.11 Periheldrehung der Planeten

Die Keplerellipsen sind keine strengen Losungen der Einsteinschen Bewegungs-gleichung eines Planeten im statischen isotropen Feld. Vielmehr gleichen dierelativistischen Losungen r = r(ϕ) Rosetten, die wir uns aus den Keplerellipsendadurch entstanden denken konnen, dass die große Ellipsenachse sich bei jedemUmlauf um einen kleinen Winkel δϕ verdreht. Die Abbildung 10.3 ubertreibtδϕ.

Abbildung 10.3

Wir wollen nun δϕ in niedrigster Ordnung in 1/c2 ausrechnen und tragendazu die Entwicklungen (10.67)

1/B = 1 + 2MG

c2r+ 2(2− β − γ)M

2G2

c4r2+ · · ·

1/A = 1− 2γMG

c2r+ · · · (10.92)

in den”Energiesatz“ (10.91) ein. Es ergibt sich, mit r′ = dr/dϕ,

r′2

r4+

1

r2

(1− 2γ

MG

c2r

)− c2

l2

[MG

c2r+ 2(2− β − γ)M

2G2

c4r2

]

=2e

l2

(1− 2γ

MG

c2r

). (10.93)

Sie sehen hier ubrigens, warum die obige Entwicklung fur 1/B eine Ordnungweiter getrieben werden muss als die fur 1/A. Der Grund besteht im Auftretendes Faktors c2 vor dem Glied [1−1/B]. Die Gleichung (10.93) verschonert sich,wenn wir

u(ϕ) = 1/r(ϕ) (10.94)

Page 200: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

200 10 Bewegung schneller Teilchen im Gravitationsfeld

als abhangige Variable einfuhren, zu

u′2+ u2

(1− 2γ

MG

c2u

)− c2

l2

[2MG

c2u+ 2(2− β − γ)M

2G2

c4u2]

=2e

l2

(1− 2γ

MG

c2

)u . (10.95)

Da wir nur an Korrekturen der Ordnung 1/c2 zum Newtonschen Resultat inter-essiert sind, verzichten wir auf die exakte Losung von (10.95). Die angemesseneNaherungslosung finden wir am schnellsten, indem wir durch Differenzieren nachϕ eine Differentialgleichung zweiter Ordnung herstellen,

u′′ +

[1− 2(2− β − γ)M

2G2

c2l2

]u− MG

l2

(1− γ 2e

c2

)= 3γ

MG

c2u2 . (10.96)

In nullter Ordnung in 1/c2 ist dies eine Schwingungsgleichung mit der Losung

uK(ϕ) =MG

l2[1 + ε cos(ϕ− ϕ0)] = 1/rK(ϕ) , (10.97)

wobei ϕ0 und ε als Integrationskonstanten auftreten. Fur ε < 1 sind die Lo-sungen (10.97) gerade die Keplerellipsen. Die Bezugsrichtung fur den Winkel ϕkann immer so gewahlt werden, dass ϕ0 = 0 ist.

Bis auf das (kleine!) nichtlineare Glied auf der rechten Seite ist (10.96)ebenfalls die Differentialgleichung einer linearen Schwingung, deren Losungenoffenbar lauten

u0(ϕ) =MG

l2

(1− γ 2e

c2

)1

ω2(1 + ε cosωϕ)

mit

ω2 = 1− 2(2− β − γ)M2G2

c2l2. (10.98)

Suchen wir nun die Losung von (10.96) durch den Ansatz

u(ϕ) = u0(ϕ) + u1(ϕ) , (10.99)

so erhalten wir u1 bis auf Korrekturen der Ordnung 1/c4 aus der Differential-gleichung

u′′1 + ω2u1 = 3γM3G3

l4c2(1 + ε cosωϕ)2 . (10.100)

Die Korrektur u1(ϕ) kann demnach als eine erzwungene Schwingung aufgefasstwerden und ist leicht zu finden,

u1(ϕ) = 3γM3G3

l2c2ω2

[(1 + ε2/2) + εωϕ sinϕω − ω2ε2/2

4− ω2 cos 2ωϕ

]. (10.101)

Nur der in ϕ lineare Summand ist von Belang, denn er allein wachst mit jederUmrundung der Sonne, um schließlich, nach hinreichend vielen Umlaufen, dieSchwelle der Beobachtbarkeit zu erreichen. Wir vernachlassigen die anderen

Page 201: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

10.11 Periheldrehung der Planeten 201

Glieder in (10.101). Insgesamt finden wir, unter Inkaufnahme weiterer Fehlerder Ordnung 1/c4

u(ϕ) ≈ MG

l2

(1− γ 2e

c2

)1

ω2(1 + ε cosωϕ)

+ 3γM3G3

l4c2εϕ

ωsinωϕ

≈ MG

l2

(1− γ 2e

c2

)1

ω2

[1 + ε cosωϕ+ ε3γ

M2G2

c2l2ϕ sinωϕ

]. (10.102)

Die beiden ϕ-abhangigen Glieder lassen sich wegen cos(ϕ3γM 2G2/l2c2) ≈ 1 mitHilfe eines trigonometrischen Additionstheorems zusammenfassen, woraufhinwir erhalten

u(ϕ) ∼ 1 + ε cosΩϕ ∼ 1/r(ϕ)

Ω = 1− M2G2

c2l2(2− β + 2γ) . (10.103)

Wir schließen, dass zwei aufeinander folgende großte Annaherungen (Perihelia)des Planeten an die Sonne durch das Winkelinkrement 2π/Ω 6= 2π getrenntsind. Die Abweichung 2π/Ω− 2π ist die gesuchte Periheldrehung pro Umlauf,

δϕ = 2π(−1 + 1/Ω) = 2πM2G2

c2l2(2− β + 2γ) +O(1/c4) . (10.104)

Da in den astronomischen Tafeln meist nicht der auf die Planetenmasse bezo-gene Drehimpuls gegeben wird, ist es zweckmaßig, l2 durch die große Halbachsea und die Exzentrizitat ε der Keplerellipse auszudrucken. Aus (10.97) findenSie leicht l2 = a(1− ε2)MG und somit

δϕ = 6πMG

c2a(1− ε2)2− β + 2γ

3. (10.105)

Unter den Planeten der Sonne hat der erst im Jahr 1949 entdeckte Ikarusdie großte Periheldrehung pro Umlauf. Die bis heute akkumulierten astronomi-schen Daten erlauben die Bestimmung der Periheldrehung aber erst mit einerGenauigkeit von etwa 10%. Viel genauer ist die Periheldrehung des Merkur,

δϕM = 43.11′′ ± 0.45′′ pro Erdjahrhundert , (10.106)

bekannt. Tragen wir die Daten MS , aM und εM sowie die Periheldrehung(10.106) in (10.105) ein, so erhalten wir

2− β + 2γ

3= 1.00± 0.01 . (10.107)

Dieses Resultat ist in schonstem Einklang mit den aus den EinsteinschenFeldgleichungen folgenden Werten β = γ = 1. Zur experimentellen Bestim-mung von β und γ brauchen wir allerdings neben (10.106) einen weiteren un-abhangigen Zusammenhang zwischen diesen Parametern.

Page 202: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

202 10 Bewegung schneller Teilchen im Gravitationsfeld

10.12 Lichtablenkung durch die Sonne

Zur Berechnung der Bahn eines Lichtstrahls, der, von einem Stern kommend,an der Oberflache der Sonne vorbei zur Erde lauft, konnen wir den

”Energie-

satz“ (10.91) oder, besser, die aus ihm gewonnene Differentialgleichung (10.96)verwenden. Dabei mussen wir, wie in 10.10 besprochen, als

”kinetische Energie

pro Masse“ des Photons

e = c2/2 (10.108)

ansetzen. Ferner ist wichtig, den”Drehimpuls pro Masse“ l des Photons als

proportional zur Lichtgeschwindigkeit c zu erkennen. Dazu mussen wir uns nurklarmachen, dass der Teil des Lichtstrahls, der so weit vor der Sonne verlauft,dass das Feld der Sonne noch vernachlassigbar klein ist, durch die Gerade

b

r= sinϕ (10.109)

beschrieben wird (Abbildung 10.4). Dabei ist b, der so genannte Stoßparameter,

Abbildung 10.4

die kurzeste Entfernung der Geraden von der Sonne. In diesem Raumbereichwandert eine Wellenfront mit der Geschwindigkeit

c = − d

dt(r cosϕ) = −r cosϕ+ ϕr sinϕ . (10.110)

Aus letzterer Gleichung und der aus (10.109) durch Differenzieren gewonnenenIdentitat

0 = r sinϕ+ ϕr cosϕ (10.111)

finden wir rϕ = c sinϕ = bc/r, also den”Drehimpuls pro Masse“

r2ϕ = l = bc . (10.112)

Dieser Ausdruck war zu erwarten fur ein mit Lichtgeschwindigkeit bewegtes

”Teilchen“.

Nach Eintragen der Integrationskonstanten e und l in (10.95) finden wir alsDifferentialgleichung fur die Lichtbahn u(ϕ) = 1/r(ϕ)

u′′ +

[1− 2(2− β − γ)M

2G2

b2c4

]u− (1− γ)MG

b2c2= 3γ

MG

c2u2 . (10.113)

Page 203: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

10.12 Lichtablenkung durch die Sonne 203

Da wir nur an der Korrektur niedrigster Ordnung in 1/c2 zur Geraden (10.109)interessiert sind, lassen wir das zu 1/c4 proportionale Glied auf der linken Seitefallen und untersuchen die Gleichung

u′′ + u = (1− γ)MG

b2c2+ 3γ

MG

c2u2 . (10.114)

Wegen der Kleinheit der rechts stehenden relativistischen Korrekturglieder (derSchwarzschildradius MSG/c

2 der Sonne ist viel kleiner als der kleinstmoglicheWert fur den Stoßparameter b, d. h. als der Sonnenradius), verzichten wir wiederauf eine exakte Losung. Wir begnugen uns mit der Naherung

u(ϕ) =1

bsin(ϕ− ϕ0) + u1(ϕ) , (10.115)

wobei u1(ϕ) die Korrektur der Ordnung 1/c2 zur Losung nullter Ordnung ist.Letztere statten wir bequemlichkeitshalber mit einer (in (10.109) Null gesetzten)Integrationskonstanten ϕ0 aus und berechnen die Storung aus

u′′(ϕ) + u(ϕ) = (1− γ)MG

b2c2+ 3γ

MG

b2c2sin2(ϕ− ϕ0) +O(1/c4) . (10.116)

Die Losung dieser Differentialgleichung einer erzwungenen Schwingung findenSie leicht selbst. Insgesamt ergibt sich

u(ϕ) =1

bsin(ϕ− ϕ0) + (1− γ)MG

b2c2+ γ

MG

b2c2[1 + cos(ϕ− ϕ0)]2

+O(1/c4) (10.117)

Hieraus berechnen wir schnell den gesuchten Ablenkungswinkel δϕ. Legen wirzunachst die Integrationskonstante ϕ0 so fest, dass der Lichtstrahl mit demWinkel ϕ = π einlauft, wie das in der Skizze und in (10.109) angenommen ist.Wegen der Kleinheit der relativistischen Effekte wird |ϕ0| ¿ 1 sein und wirerhalten aus u(π) = 1/r(π) = 0

0 =1

bϕ0 + (1− γ)MG

b2c2+O(ϕ40) . (10.118)

Der Strahl lauft aus fur ϕ→ ϕ∞ und es gilt ebenfalls |ϕ∞| ¿ 1. Wir findenϕ∞ aus u(ϕ∞) = 1/r(ϕ∞) = 0, also

ϕ∞ − ϕ0 + (1− γ)MG

bc2+ γ

MG

bc2[4 +O

((ϕ∞ − ϕ0)

)]= 0 . (10.119)

Zusammen mit der Bestimmung (10.118) fur ϕ0 ergibt sich der Ablenkungswin-kel

δϕ = |ϕ∞| = 2(1 + γ)MG

bc2. (10.120)

Setzen wir hier den Schwarzschildradius der Sonne, MSG/c2 ≈ 1, 48 km,

und fur b den Sonnenradius, RS ≈ 6, 95 × 105 km, ein. Dann ergibt sich derAblenkwinkel fur einen Lichtstrahl, der auf dem Weg zur Erde unmittelbar ander Sonnenoberflache vorbeistreicht,

δϕmax = 1, 75′′ × 1 + γ

2. (10.121)

Page 204: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

204 10 Bewegung schneller Teilchen im Gravitationsfeld

Die heute verfugbaren Daten (im optischen Spektralbereich und fur Radiowel-len) sind vertraglich mit der Einsteinschen Vorhersage γ = 1, legen aber denParameter γ, erst mit etwa 10-prozentiger Genauigkeit fest. Von genauerenMessungen werden Sie mit Sicherheit in naher Zukunft horen und lesen.

Insgesamt geben die hier besprochenen experimentellen Befunde (zur Fre-quenzverschiebung fallender Photonen, zur Periheldrehung und zur Lichtablen-kung im Gravitationsfeld) eine schone Bestatigung des Einsteinschen Aquiva-lenzprinzips und der weitergehenden Aussagen der Einsteinschen Gravitations-theorie.

Page 205: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

Kapitel 11

Quanten

11.1 Teilchen sind Wellen

Teilchen sind Wellen, und Wellen sind Teilchen. Um den Sinn solchen Verwirr-spiels mit Worten klarzulegen, rufen wir uns einige prototypische experimentelleErfahrungen in Erinnerung.

Davisson und Germer ließen, wie in Abbildung 11.1 schematisch dargestellt,einen gut kollimierten Strahl monoenergetischer Elektronen auf eine ebene Ober-flache eines Kristalls einfallen und maßen, bei konstantem einfallenden Elektro-

Abbildung 11.1

nenstrom und konstantem Einfallswinkel ϕ, den Strom der reflektierten Elek-tronen als Funktion des Impulses der einfallenden Elektronen. Es ergeben sichbesonders starke reflektierte Strome fur solche Impulse p, die die Beziehung

2a sinϕ = nh

p, mit n = 1, 2, 3, . . . (11.1)

erfullen, wobei

h = 6, 61× 10−27erg s = 6.61× 10−34J s (11.2)

die Plancksche Konstante ist. Die Elektronen verhalten sich dabei wie Wellender Wellenlange (de Broglie-Wellenlange)

λ = h/p, (11.3)

205

Page 206: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

206 11 Quanten

denn fur derartigen Wellen garantiert die Beziehung (11.1) gerade konstruktiveInterferenz der an aufeinander folgenden Netzebenen reflektierten Wellenampli-tuden. Entsprechende Experimente mit Rontgenstrahlen, also elektromagne-tischen Wellen, waren vorher schon von von Laue durchgefuhrt worden. Diebevorzugten Reflexionen sind dabei ebenfalls durch (die aus der Optik bekannteBraggsche Relation)

2a sinϕ = nλ (11.4)

ausgezeichnet.Dass umgekehrt auch elektromagnetische Wellen Teilchencharakter zeigen

konnen, wissen Sie z. B. vom Comptoneffekt. Lauft ein Elektron gegen einenγ-Strahl mit Wellenlange λ, Frequenz ν = c/λ und Wellenvektor ~k, so kanndas Elektron einen Stoß erleiden, bei dem sich die Energie und der Impuls desElektrons andern. Unverandert bleiben jedoch Gesamtenergie und Gesamtim-puls von Elektron und elektromagnetischer Welle, wenn dem Stoßpartner desElektrons, dem Photon, der Impuls

|~p| = h/λ und ~p =h

2π~k (11.5)

und die Energie

E = hν = hc/λ (11.6)

zugeordnet werden.Bevor wir uns in die Konsequenzen derartiger Experimente vertiefen, durfen

wir uns klarmachen, dass wenigstens im Erfahrungsbereich des Alltags, demjedes Kind seine Anschauung der Welt abgewinnt, ein Teilchen ein Teilchenbleibt und keine Welle Teilchencharakter vorgaukelt. Um etwa den Wellen-charakter einer Kegelkugel nachzuweisen, musste auf einem Langenmaßstabλ = h/p experimentiert werden. Nun ist der Impuls einer Kegelkugel von derGroßenordnung p ≈ 1 kg m/s, und dieser Wert entspricht einer de Broglie Wel-lenlange λ ≈ 6, 6 × 10−32 cm. Solch aberwitzig kleine Wellenlangen entziehensich ubrigens nicht nur alltaglichen Beobachtungsmethoden. Sie durfen nun sel-ber uberlegen, ob der Wellencharakter der Erde bei der alljahrlichen Umrundungder Sonne nachweisbar ist.

Ebenso aufschlussreich ist die Berechnung der typischen Elektronengeschwin-digkeit im Davisson Germer Experiment, v ≈ h/ma. Sie betragt einige tausendStundenkilometer, wenn als Gitterkonstante a ≈ 10−8 cm angesetzt wird. We-gen der Kleinheit der Elektronenmasse konnen solche fur den Alltag exotischgroßen Geschwindigkeiten bequem erreicht werden, indem Elektronen einemelektrischen Feld der Großenordnung 100V ausgesetzt werden. Im Ubrigen be-tragt hier die typische Elektronengeschwindigkeit wenige Prozent der Lichtge-schwindigkeit, so dass eine nichtrelativistische Behandlung des Effektes geradenoch gerechtfertigt ist.

Uberzeugen wir uns davon, dass auch die Elektronenbewegung in der Atom-hulle nichtrelativistischen Wellencharakter zeigen muss. Die typische Bindungs-energie eines Elektrons betragt einige zehn Elektronenvolt, was wieder einerGeschwindigkeit von wenigen tausend Sekundenkilometern und einer de BroglieWellenlange λ ≈ h/mv der Großenordnung 10−8 cm entspricht. Diese Wel-lenlange stimmt aber gerade mit der Großenordnung des Atomdurchmessersuberein.

Page 207: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

11.1 Teilchen sind Wellen 207

Die klassischen Begriffe”Teilchen“ und

”Welle“ sind beide zu eng, als dass ei-

ner allein ausreichen wurde zur Beschreibung des Verhaltens”mikroskopischer

Gebilde“, die wir kunftig Quanten nennen werden. Das Quant Elektron be-nimmt sich bei manchen Experimenten, als sei es ein klassisches Teilchen, zeigtaber Welleneigenschaften, wenn es auf Langenskalen beobachtete wird, die mitder de Broglie Wellenlange vergleichbar sind. Das Quant Photon benimmt sichwie eine Welle bei den klassischen Interferenzexperimenten, jedoch wie ein Teil-chen, wenn eine elektromagnetische Welle mit der Frequenz ν auf Energieskalender Ordnung hν beobachtet wird.

Zur Charakterisierung des unterschiedlichen Verhaltens von klassischen Teil-chen, klassischen Wellen und Quanten sind die folgenden Karikaturen beliebtund nutzlich (Abbildung 11.2).

Denken wir uns Wasserwellen einer Wellenlange λ durch zwei Spalte einesebenen Schirms geschickt und hinter diesem in einer zu ihm parallelen Ebeneregistriert.

Abbildung 11.2

In der Beobachtungsebene stellen wir ein kontinuierliches Anstromen vonEnergie fest und schließen aus genauen Messungen, dass die Intensitat I qua-dratisch in der kontinuierlich variablen Wellenamplitude h ist. Messen wir dieIntensitat als Funktion der Koordinate x quer zur Richtung der Spalte, so findenwir

I = I1 = |h1|2, falls der untere Spalt verdeckt ist,

I = I2 = |h2|2, falls der obere Spalt verdeckt ist,

I = I12 = |h1 + h2|2, falls beide Spalte geoffnet sind.

Im letzteren Fall werden, da sich die Wellenamplituden additiv verhalten, diefur klassische Wellen typischen Interferenzen sichtbar.

Denken wir uns nun einen stationaren Strom klassischer Teilchen, etwaSchrotkorner, von einem Quellpunkt aus auf eine Blende geschleudert, so re-

Page 208: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

208 11 Quanten

gistrieren wir auf dem Schirm die Ankunft diskreter Teilchen. Die Zahl der proZeiteinheit in einem Zahler bei x anlangenden Teilchen sei I1(x) und I2(x), wennder untere bzw. der obere Spalt verdeckt sind. Dann ergibt sich, wenn beideSpalte geoffnet sind, die Verteilung I12(x) = I1(x) + I2(x), da jedes registrierteTeilchen entweder durch den oberen oder durch den unteren Spalt gelaufen ist.Es addieren sich also hier die Intensitaten und nicht etwa die Wellenamplituden.Bei dieser Karikatur ist naturlich angenommen, dass die Spaltdurchmesser, derSpaltabstand und das raumliche Auflosungsvermogen des in der Schirmebenebenutzten Teilchenzahlers groß sind gegenuber der de Broglie Wellenlange derSchrotkorner.

Schließlich unterwerfen wir Quanten, etwa Elektronen, entsprechendem Vor-gehen. In den Zahler gelangen die Elektronen einzeln, wobei sich ihr Teilchen-charakter manifestiert. Jedoch zeigt die Stromverteilung auf der Blende einInterferenzmuster ahnlich dem der Wasserwellen, wenn beide Spalte geoffnetsind. Offenbar ist die Bewegung der Elektronen hier durch eine Wellenampli-tude ψ charakterisiert, die sich additiv aus den Beitragen von beiden Spaltenzusammensetzt.

ψ = ψ1 + ψ2

I12 = |ψ1 + ψ2|2 = I1 + I2 + ψ1ψ∗2 + ψ∗1ψ2 . (11.7)

Zu schließen ist, dass von einem im Detektor anlangenden Quant nicht gesagtwerden kann, durch welchen der beiden Spalte es gekommen ist; zeigt doch das inder Beobachtungsebene nachgewiesene Interferenzmuster, dass eine Welle durchbeide Spalte gelaufen ist.

Um die merkwurdige Dualitat der Quanten weiter zu beleuchten, wieder-holen wir das letztere Gedankenexperiment mit Elektronen, stellen aber, umuns des Weges eines Elektrons zu vergewissern, hinter den Spalten eine Lampeauf, die den Durchgang eines Elektrons durch einen Spalt durch einen Lichtblitzanzeigt (ein Photon wird am Elektron gestreut)(Abbildung 11.3). Von jedem

Abbildung 11.3

auf dem Schirm auftreffenden Elektron ist nun bekannt, durch welchen Spalt es

Page 209: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

11.1 Teilchen sind Wellen 209

gelaufen ist. Die Gesamtheit der Elektronen, die so als durch den oberen (unte-ren) Spalt laufend erkannt sind, fuhrt auf dem Schirm zu einer Verteilung I1(x)(bzw. I2(x)), die vorher bei verdecktem unterem (bzw. oberen) Spalt gefundenwurde. Als Verteilung aller Elektronen, deren Weg identifiziert wurde als obereroder unterer Weg, ergibt sich I12 = I1+ I2. Die Interferenzerscheinungen gehenalso verloren, wenn wir uns durch Beobachtung vergewissern, ob das Elektronden oberen oder den unteren Spalt passiert.

Schließen Sie nicht etwa, das Elektron richte sein Verhalten danach, ob einneben der Apparatur stehender Mensch Augen und Ohren geoffnet oder ver-schlossen halt, ob also eine sinnlich Wahrnehmung des Lichtblitzes am Spalt unddes Tickens des Zahlers am Schirm erfolgt. Gegenuber mancherorts geaußertenFeststellungen einer besonderen Rolle des beobachtendem Subjekts in der Quan-tenmechanik ist außerste Vorsicht und Zuruckhaltung geboten. Samtliche hierskizzierten Gedankenexperimente konnen im Labor automatisiert durchgefuhrtwerden. Die Rolle des Beobachters bleibt darauf beschrankt, dass er die vomZeichengerat ausgeworfenen Intensitatsverteilungen zur Hand nimmt und ubersie nachdenkt.

Fur die oben angesprochene Lokalisierung eines Elektrons an einem Spaltund den damit verbundenen Verlust der Interferenz ist keineswegs konstitutivein subjektiver Wahrnehmungsakt, sondern ausschließlich die Beeinflussung desElektrons durch das zur Lokalisierung verwendete Licht. Damit namlich einLichtfleck am unteren Spalt raumlich getrennt erscheint von einem Lichtfleckam oberen Spalt, muss, wie Sie aus der Einfuhrung in die Optik wissen, Lichtverwendet werden, dessen Wellenlange λph kleiner ist als der Spaltabstand ∆x.Nun gilt beim Elektron-Photon-Stoß der Impulserhaltungssatz, so dass sich derImpuls des Elektrons beim Stoß um einen Betrag der Großenordnung

|∆p| ≈ h/λph & h/∆x (11.8)

andert. Folglich andert sich auch die de Broglie Wellenlange λel des Elektrons,u. z. gilt wegen λel ≈ h/p

|∆λel| ≈h

p2|∆p| ≈ λ2el

λph&λ2el∆x

. (11.9)

Da das Experiment mit ∆x ≈ λel durchgefuhrt werden muss, damit der Quan-tencharakter des Elektrons im Interferenzmuster auf dem Schirm sichtbar wer-den kann, ist klar, dass beim zur Lokalisierung des Elektrons notwendigen Stoßeine relative Anderung ∆λel/λel der de Broglie Wellenlange der Großenordnung 1auftritt. Die Monochromasie der Elektronenwelle (d. h. die durch Auswahl derQuelle vor dem Stoß gegebene Konstanz von Impuls und Energie von Elektronzu Elektron) geht also bei der Wechselwirkung mit der zur Lokalisierung geeig-neten Lichtwelle (d. h. beim Elektron-Proton-Stoß) vollig verloren. Somit istdas Verschwinden des Interferenzmusters fur die lokalisierten Elektronen physi-kalisch geklart.

Zur weiteren Bestatigung der durchgefuhrten Uberlegung dient eine letzteVariante des obigen Gedankenexperiments. Beleuchten wir ein Elektron linksvon der Blende mit Licht, dessen Wellenlange großer ist als der Spaltabstand.Der jetzt bei der Wechselwirkung des Lichts und einem Elektron entstandeneLichtfleck hat eine raumliche Ausdehnung, die großer ist als der Spaltabstand,erlaubt also nicht mehr die Zuordnung des Elektronenweges zu einem der Spalte.

Page 210: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

210 11 Quanten

Auf dem Schirm sind nun auch fur die durch Lichtflecke aufgefallenen ElektronenInterferenzmuster nachweisbar. Das zur Lokalisierung des Elektrons zu langwel-lige Licht stort die Monochromasie des Elektrons nur so wenig, dass letztere zukonstruktiver Interferenz fahig bleibt.

11.2 Heisenbergs Unscharferelation

Das eben Erschlossene erlaubt die bundige Zusammenfassung, dass die Interfe-renzfahigkeit der Elektronen rechts von den Spalten notwendigerweise zerstortwird durch die Lokalisierung der Elektronen beim einen oder anderen Spalt.Aquivalent ist die folgende, oben auch schon getroffene Feststellung: Bei der Lo-kalisierung eines Quants mit einer raumlichen Unscharfe ∆x ist unvermeidbar,dass dem Quant die Unscharfe ∆p seines Impulses erteilt wird, die mindestensh/∆x betragt.

∆p∆x > h (11.10)

Diese Ungleichung, die Heisenbergsche Unscharferelation, ist die pragnantestealler Formulierungen des Quantencharakters von Teilchen und Wellen. Sie wirduns im Folgenden haufig zur Illustration des Unterschiedes zwischen klassischerPhysik und Quantenphysik dienen.

Ich stelle gleich eine typische Anwendung vor. Betrachten wir ein Teilchenin einem harmonischen Potential V = m

2 ω2x2. Nehmen wir an, vorbehaltlich

spaterer Rechtfertigung, dass die Energie sich wie gewohnt aus einem kinetischenund einem potenziellen Beitrag zusammensetzt gemaß

E =1

2mp2 +

1

2mω2x2 ≥ 0 . (11.11)

Nach klassischer Anschauung hat das Teilchen die kleinstmogliche Energie,namlich E = 0, wenn es am Grund der Potentialmulde, also bei x = 0 ruht.Heisenbergs Ungleichung setzt der raumlichen Lokalisierung ∆x bei x = 0 und

Abbildung 11.4

der Scharfe des Ruhens jedoch Grenzen. Bei gegebenem ∆x kann der Impuls

Page 211: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

11.3 Die Grundprinzipien der Quantenmechanik 211

namlich nicht mit Sicherheit kleiner sein als h/∆x, die Energie also nicht mitSicherheit kleiner als der kleinstmogliche Wert von

E =1

2m

(h

∆x

)2

+1

2mω2(∆x)2 . (11.12)

Wenn wir diese Große als Funktion von ∆xminimalisieren, also ∆x aus dE/d(∆x)= 0 festlegen, so finden wir als minimale Unscharfen ∆x und ∆p

∆xmin ≈√h/mω, ∆pmin ≈

√mhω (11.13)

und somit als Schranke fur die Energie

Emin ≈ hω . (11.14)

Wir werden diese Abschatzung der Grundzustandsenergie des harmonischen Os-zillators bald verfeinern.

Halten wir zunachst nochmals fest, dass der Grundzustand des quanten-mechanischen Oszillators nicht den Zustand der Ruhe im Potentialminimumsein kann. Fur makroskopische Oszillatoren sind die

”Nullpunktschwingungen“

gemaß den Unscharfen (11.13) meist unmessbar klein. Fur die Schwingungeines H2-Molekuls hingegen ist, wie Sie durch Einsetzen der entsprechendenMasse und Frequenz leicht finden, die minimale Ortsunscharfe ∆xmin von glei-cher Großenordnung die der Molekuldurchmesser und somit so berechenbar wieletzterer.

11.3 Die Grundprinzipien der Quantenmecha-nik

Aus der Erfahrung, dass Elektronen Interferenzerscheinungen zeigen konnen,hatten wir bereits geschlossen, dass die Bewegung von Quanten durch eineWellenamplitude charakterisierbar sein muss. Die folgenden Prazisierung desSchlussel dient uns als Schlussel zur Entwicklung der Quantenmechanik.

DieWahrscheinlichkeit P eines Ereignisses (z. B. Registrieren eines Teilchensim Zahler am Ort ~x zur Zeit t) ist gegeben durch das Absolutquadrat einerkomplexen Zahl ψ, die wir Wellenamplitude oder Wahrscheinlichkeitsamplitudeoder auch Wellenfunktion nennen werden

P = |ψ|2 . (11.15)

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist experimentell zu bestimmen als seinerelative Haufigkeit im Vergleich zu anderen moglichen Ereignissen (z. B. Ankunft

des Teilchens im Zahler am anderen Ort ~x′) bei haufiger Wiederholung desExperiments unter identischen Bedingungen.

Wenn ein Ereignis auf verschiedene Weisen stattfinden kann (z. B. Ankunftdes Teilchens im Zahler nach Durchlaufen eines Doppelspalts), so ist ψ dieSumme der Wahrscheinlichkeitsamplituden fur die einzelnen Weisen, also etwa

ψ =ψ1 + ψ2

P =|ψ1 + ψ2|2 = |ψ1|2 + |ψ2|2 + ψ∗1ψ2 + ψ1ψ∗2 . (11.16)

Page 212: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

212 11 Quanten

Die Superponierbarkeit der Wellenfunktion entspricht der Beobachtbarkeit vonInterferenzen.

Wenn allerdings durch zusatzliche Eingriffe in den Ablauf des Experimentsbei jedem Ereignis festgestellt wird, auf welche der mogliche Weisen es eintritt,so sind in der Wahrscheinlichkeitsverteilung P uber die moglichen Ereignissekeine Interferenzen der den verschiedenen Weisen entsprechenden Partialwellenmehr feststellbar. Vielmehr addieren sich dann die Wahrscheinlichkeiten fur dieeinzelnen Weisen also etwa

P = P1 + P2 . (11.17)

Das Registrieren eines Teilchens zur Zeit t im Zahler am Ort ~x ist ein aberkeineswegs der einzige Typ von Ereignis. Ein anderer Typ ist die Messung desImpulses ~p zur Zeit t, wieder ein anderer die Messung der z-Komponente desDrehimpulses Lz eines Teilchens; die entsprechenden Wellenamplituden sinddann Funktionen von ~p und t bzw. Lz und t. Wir werden Situationen kennenlernen, in denen die Mannigfaltigkeit moglicher Ereignisse (d. h. Messwerte)diskret ist. In anderen Fallen (wie etwa bei der Feststellung des Ortes einesTeilchens) sind die moglichen Messwerte kontinuierlich. Die Wellenfunktion ψwird dann zweckmaßigerweise als Funktion der entsprechenden kontinuierlichenVariablen (also etwa des Ortsvektors ~x) angesetzt und ihr Absolutquadrat (alsoz. B. |ψ(~x, t)|2) als (raumliche) Wahrscheinlichkeitsdichte definiert. Bei einerortsabhangigen Wahrscheinlichkeitsamplitude ψ(~x, t) bedeutet dann

P (~x, t) d3x = |ψ(~x, t)|2 d3x (11.18)

die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit t im Volumenbereich d3x am Ort ~xzu finden.

11.4 Die Schrodingergleichung

Wir haben bereits genug Kenntnisse zusammengetragen, um mit der Berech-nung der orts- und zeitabhangigen Wellenfunktion ψ(~x, t) eines Teilchens begin-nen zu konnen.

Erinnern wir uns des experimentellen Befundes, dass ein Teilchen des Im-pulses ~p auch Eigenschaften einer Welle mit dem Wellenvektor

~k = ~p2π

h= ~p/~ (11.19)

zeigt. Da die Plancksche Konstante h im Folgenden haufig in Verbindung mitdem Faktor 1/2π auftaucht, ist es zweckmaßig, die Große

~ = h/2π (11.20)

einzufuhren. Ferner wissen wir, dass die Energie E eines Teilchens mit derKreisfrequenz ω der entsprechenden Welle gemaß

E = ~ω (11.21)

zusammenhangt. Ebenfalls experimentell gesichert ist, dass ein Teilchen derMasse m mit dem Impuls ~p stets die Energie E = ~p2/2m hat,

E = ~p2/2m = ~ω =(~~k)2

2m. (11.22)

Page 213: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

11.4 Die Schrodingergleichung 213

Durch Energie und Impuls des Teilchens sind also Kreisfrequenz und Wellen-vektor der zugehorigen Welle eindeutig festgelegt. Die Wahrscheinlichkeitsam-plitude hat dann notwendigerweise die Form einer ebenen monochromatischenWelle,

ψ(~x, t) ∼ ei(~k·~x−ωt) . (11.23)

Es folgt, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte |ψ(~x, t)|2 dafur, das Teilchen zurZeit t am Ort ~x zu finden, orts- und zeitunabhangig ist. Das ist nicht verwunder-lich, denn wenn, wie angenommen, der Impuls ~p des Teilchens ohne die geringsteUnsicherheit |∆~p| fest liegt, so ist nach der Heisenbergschen Unscharferelationder Ort des Teilchens vollig ungewiss,

|∆~xmin| ≈ ~/|∆~p| → ∞ fur ∆~p→ 0 . (11.24)

Also mussen die Wahrscheinlichkeitsdichte dafur, das Teilchen am Ort ~x bzw.am Ort ~x 6= ~x′ zu finden, ubereinstimmen.

Es ist auch anschaulich klar, dass eine streng monochromatische ebene Wellekeinen Anfang und kein Ende haben kann (Abbildung 11.5).

Abbildung 11.5

Andererseits kann eine raumlich lokalisierte Welle (Abbildung 11.6) nicht

Abbildung 11.6

streng monochromatisch sein. Ein Wellenpaket mit raumlicher Ausdehnung∆x mag noch eine ungefahre Wellenlange λ der Tragerwelle aufweisen, wennλ¿ ∆x, aber der Wert von λ ist mit einer Unsicherheit

∆λmin ≈∣∣∣∣∆(h

p

)∣∣∣∣ ≈h

p2∆p ≈ λ2/∆x (11.25)

behaftet, wie aus p = h/λ und der Heisenbergschen Unscharferelation (∆p)min ≈h/∆x folgt. Wird der Zustand eines Teilchens durch ein derartiges Wellenpaketbeschrieben, so ist das Teilchen mit einer Genauigkeit ∆x raumlich lokalisiert,denn |ψ(~x)|2 ist nur innerhalb eines Raumbereiches der Lineardimension ∆x

Page 214: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

214 11 Quanten

merklich von Null verschieden. Das Wellenpaket muss sich dann als Superposi-tion ebener monochromatischer Wellen

ψ(~x, t) ∼∫

d3k ϕ(~k)ei(~k·~x−ωt) (11.26)

darstellen lassen. dabei kann die wellenvektorabhangige Wahrscheinlichkeitsam-plitude ϕ(~k) merklich von Null verschiedene Werte annehmen nur fur Wellen-vektoren, die vom mittleren Wellenvektor des Pakets nicht mehr als ∆k ≈ 1/∆xabweichen. Wir werden derartige Wellenpakete noch genauer anschauen.

Als Wellengleichung fur freie Quanten der Masse m bietet sich nun die sogenannte Schrodingergleichung

i~∂

∂tψ = − ~2

2m∇2ψ (11.27)

an. Diese Differentialgleichung hat namlich gerade die ebenen monochromati-schen Wellen (11.23) mit der Energie E = p2/2m gemaß (11.22) als Losungen.Sie wird, da linear in der Wellenfunktion ψ, auch durch raumlich lokalisierteWellenpakete der Form (11.26) befriedigt. Die Linearitat in ψ ist im Einklangmit der bereits als experimenteller Befund vorgestellten linearen Superponier-barkeit der Wellenamplitude.

Sie durfen nicht glauben, dass (11.27) die einzig mogliche Wellengleichung

ist, die mit der de Broglie-Relation ~p = ~~k und E = p2/2m vertraglich ist.Andere, kompliziertere, lassen sich zum Beispiel durch Differenzieren nach toder den Komponenten des Ortsvektors auf beiden Seiten von (11.27) erzeugen.Jedoch ist (11.27) die einfachste und daher naheliegendste Wellengleichung. Siehat sich fur (langsame, nichtrelativistische!) Teilchen bestens bewahrt.

Die Schrodingergleichung liest sich besonders plausibel, wenn wir die fol-gende Korrespondenz zwischen den in ihr auftretenden Differentialoperatoreni~∂/∂t und −i~∇ und der Energie E bzw. dem Impuls ~p des Teilchens einfuhren

i~∂

∂t≡ E ↔ Energie E

~i∇ ≡ ~p ↔ Impuls ~p . (11.28)

Mit Hilfe dieser Korrespondenz erkennen wir dir Schrodingergleichung Eψ =(1/2m)(~p)2 als Verallgemeinerung der Teilcheneigenschaft E = p2/2m auf eineEigenschaft der Wellenfunktion ψ(~x, t).

Wenn das betrachtete Teilchen nicht frei ist, sondern eine ortsabhangigepotenzielle Energie V (~x) hat, so liegt nahe, die klassische Teilcheneigenschaft~p2/2m + V (~x) = E = const zu verallgemeinern auf die Eigenschaft Eψ =(~p2/2m+ V (~x)

)ψ der Wellenfunktion ψ(~x, t). Tatsachlich ist

i~∂

∂tψ(~x, t) =

− ~2

2m∇2 + V (~x)

ψ(~x, t) (11.29)

die Schrodingersche Wellengleichung, die sich zur quantenmechanischen Be-schreibung nichtrelativistischer Teilchen der Massem mit der potenziellen Ener-gie V (~x) als richtig erwiesen hat.

Page 215: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

11.5 Normierung der Wellenfunktion 215

11.5 Normierung der Wellenfunktion

Ein Teilchen befinde sich irgendwo im Inneren eines (der Einfachheit halberzunachst endlichen) Raumbereichs V . Die Interpretation seiner Wellenfunktionψ(~x, t) als einer Wahrscheinlichkeitsamplitude verlangt, dass die Gesamtwahr-scheinlichkeit, das Teilchen in V zu finden, gleich Eins ist,

V

d3x |ψ(~x, t)|2 = 1 . (11.30)

Die Normierung muss zeitlich erhalten bleiben, solange das Teilchen in V ein-gesperrt bleibt.

Die folgende kleine Rechnung zeigt, dass die Schrodingergleichung mit derzeitlichen Erhaltung der Norm (11.30) vertraglich ist. Schreiben wir die Zeitab-leitung der Norm mit Hilfe der Schrodingergleichung

∂t

V

d3x |ψ(~x, t)|2 =

V

d3xψψ∗ + ψψ∗

=1

i~

V

d3x

ψ∗[− h2

2m∇2 + V

− ψ[− ~2

2m∇2 + V

]ψ∗

=i~2m

V

d3xψ∗∇2ψ − ψ∇2ψ∗

=i~2m

V

d3x ∇ · ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗

und benutzen den Gaußschen Satz, um das erhaltene Volumenintegral in einFlachenintegral uber die Oberflache F von V zu verwandeln, so erhalten wirden Erhaltungssatz

∂t

V

d3x |ψ(~x, t)|2 = −∮

F

d~f ·~j(~x, t) (11.31)

mit der Wahrscheinlichkeitsstromdichte

~j(~x, t) ≡ 1

2m

~iψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗ . (11.32)

Damit die Norm (11.30) zeitlich erhalten bleibt, mussen wir nun fordern, alsRandbedingung fur die Wellenfunktion ψ(~x, t) auf F , dass der Wahrscheinlich-

keitsstrom∮F

d~f · ~j(~x, t) durch F verschwindet. Durch diese Forderung stellen

wir sicher, dass das Teilchen in V eingesperrt bleibt.

Page 216: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

216 11 Quanten

11.6 Mittelwerte

Fur ein Teilchen mit der Wahrscheinlichkeitsdichte |ψ(~x, t)|2 am Ort ~x berechnensich die Mittelwerte 〈~x〉 seiner Ortskoordinaten offenbar als die Integrale

〈~x〉 =∫

d3x~x|ψ(~x, t)|2 , (11.33)

die uber das ganze (u. U. unendliche) dem Teilchen zugangliche Volumen zuerstrecken sind. Entsprechend gilt fur den Mittelwert einer Funktion des Orts-vektors wie z. B. der potenziellen Energie U(~x)

〈U〉 =∫

d3xU(~x)|ψ(~x, t)|2 . (11.34)

Behalten Sie in Erinnerung, dass derartige Mittelwerte experimentell dadurchzu bestimmen sind, dass der Ort ~x bzw. die potenzielle Energie des Teilchens anvielen identisch praparierten Systemen gemessen und die Resultate anschließendgemittelt werden.

Der Mittelwert des Impulses ~p eines Teilchens, welches sich im unendlichenVolumen −∞ < x, y, z < +∞ befindet, kann in entsprechender Weise gewonnenwerden, wenn die Wahrscheinlichkeitsamplitude ϕ(~k, t) dafur bekannt ist, dass

der Wellenvektor ~k = ~p/h zur Zeit t seinen Wert im Intervall (2π)−3 d3k bei ~k

hat. Dabei ist |ϕ(~k, t)|2d3k/(2π)3 die Wahrscheinlichkeit, den Wellenvektor indiesem Intervall zu finden, und es gilt

〈~p〉 = ~∫

d3k

(2π)3~k|ψ(~k, t)|2 = ~〈~k〉 , (11.35)

wobei wir bezuglich aller drei Komponenten von ~k von −∞ bis +∞ zu integrie-ren haben.

Nun legt ϕ(~x, t) als Amplitude dafur, dass das Teilchen sich als die ebene

Welle ei~k·~x erweise, auch die Amplitude ψ(~x, t) fur den Aufenthalt des Teilchens

am Ort ~x fest gemaß

ψ(~x, t) =

∫d3k

(2π)3ϕ(~k, t) ei

~k·~x . (11.36)

Diese Darstellung der ortsabhangigen Wellenfunktion als Superposition ebenerWellen verallgemeinert die Wellenpakete fur ein freies Teilchen, die wir in 11.4kennengelernt hatten. Die Theorie der Fouriertransformationen spezifiziert dieBedingungen fur die Darstellbarkeit einer Funktion ψ(~x) durch ein Fourierin-tegral der Form (11.36). Wir nehmen hier alle solchen Bedingungen als erfulltan und setzen auch stillschweigend stets voraus, dass die uns begegnenden Wel-lenfunktionen ψ(~x) eindeutig ihre Fouriertransformierten ϕ(~k) festlegen. Bei so

durch Annahme gesicherter Eindeutigkeit von ϕ(~k) konnen wir leicht verifizie-ren, dass

ϕ(~k, t) =

∫d3x ψ(~x, t)e−i

~k·~x (11.37)

Page 217: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

11.6 Mittelwerte 217

gerade die Umkehrung der Darstellung (11.36) gibt. Setzen wir namlich (11.37)in (11.36) ein, so erhalten wir die Identitat

ψ(~x, t) =

∫d3x′

∫d3k

(2π)3ei~k·(~x−~x′)ψ(~x′, t)

=

∫d3x′ δ(3)(~x− ~x′)ei

~k·(~x−~x′)ψ(~x′, t)

= ψ(~x, t) ,

wobei wir die uns von fruher bekannte Fourierintegral-Darstellung der Delta-funktion

δ(3)(~x) =

∫d3k

(2π)3ei~k·~x . (11.38)

benutzt haben.Drucken wir nun in (11.35) die Amplitude ϕ(~k, t) fur das Auftreten des

Wellenvektors ~k gemaß (11.37) durch die ortsabhangige Wellenfunktion ψ(~x, t)aus, so erhalten wir die Moglichkeit, den Mittelwert des Impulses mit Hilfe derletzteren auszurechnen, namlich

〈p〉 =∫

d3k

(2π)3~~k∫

d3x ψ(~x, t)

∫d3x′ ψ∗(~x′, t)e−i

~k·(~x−~x′)

=

∫d3x ψ(~x, t)

∫d3x′ ψ∗(~x′, t)i~∇

∫d3k

(2π)3e−i

~k·(~x−~x′) .

Dabei wirkt der Gradient∇ auf die ungestrichenen Koordinaten. Nach partiellerIntegration (die Randterme verschwinden, sonst konnte ψ(~x, t) nicht normierbarsein) und Beachtung der Darstellung (11.38) der Deltafunktion ergibt sich dergesuchte Mittelwert des Impulses zu

〈~p〉 =∫

d3x ψ∗(~x, t)~i∇ψ(~x, t) . (11.39)

Wir stoßen hier wieder auf die Korrespondenz des Impulses eines Teilchensmit dem Differentialoperator ~

i∇. Die Ubiquitat dieser Korrespondenz in derQuantenmechanik macht es zweckmaßig, den Operator

~pop =~i∇ =

~i

(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)(11.40)

als Impulsoperator in der Ortsdarstellung oder, kurzer, als Impulsoperator zubezeichnen. Ahnlich bequem ist es, den in der Schrodingergleichung auftreten-den Differentialoperator

Hop = ~p2op/2m+ V (~x) = − ~2

2m∇2 + V (~x) (11.41)

kurz der Hamiltonoperator des Teilchens zu nennen, der die Energie des Teil-chens reprasentiert. Die mittlere Energie des Teilchens lasst sich offenbar durchdas Integral

〈H〉 =∫

d3x ψ∗(~x, t)Hopψ(~x, t) (11.42)

berechnen.

Page 218: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

218 11 Quanten

11.7 Freie Pakete zerfließen

Ein freies Wellenpaket vergroßert im Lauf der Zeit seine raumliche Ausdehnung.Diese bei klassischen Teilchen unbekannte Eigenschaft von Quanten will ich hierder Einfachheit der Rechnung halber in einer Raumdimension illustrieren.

Die anfangliche Wellenfunktion habe die Gaußsche Form

ψ(x, 0) = (πσ)−1/4e−x2/2σ . (11.43)

Die Wahrscheinlichkeitsdichte

|ψ(x, 0)|2 = (πσ)−1/2e−x2/σ (11.44)

ist dann auf Eins normiert,

+∞∫

−∞

dx |ψ(x, 0)|2 = 1 . (11.45)

Um die Wellenfunktion ψ(x, t) zu spateren Zeiten zu finden, mussen wir dieSchrodingergleichung i~ψ = (p2/2m)ψ mit der Anfangsbedingung (11.43) losen.Dazu ist es zweckmaßig, das Paket (11.43) als Superposition ebener Wellendarzustellen,

ψ(x, 0) = (4πσ)1/4+∞∫

−∞

dk

2πeikx−

σ2k2

. (11.46)

Sie prufen oder schlagen leicht nach, dass das Fourierintegral (11.46) gerade dieGaußfunktion (11.43) ergibt (sogar bei komplexem σ, jedoch muss Reσ > 0sein). Die zugehorige zeitabhangige Losung der Schrodingergleichung muss nunlauten

ψ(x, t) = (4πσ)1/4+∞∫

−∞

dk

2πeikx−

σ2k2−ihk

2

2mt , (11.47)

denn zur ebenen Welle eikx gehort die Frequenz ω = ~k2/2m. Das Wellenzahlin-tegral (11.47) ist leicht ausgefuhrt, denn es unterscheidet sich vom anfanglichen,d. h. von (11.46) nur durch σ → σ + i ~t

m im Exponenten. Statt (11.43) ergibtsich also

ψ(x, t) = (πσ)1/4√

σ

σ + i~tm

exp

− x2

2(σ + i~t/m)

. (11.48)

Uns interessiert besonders der Fall eines reellen σ, denn dann ist√σ ein Maß

fur die anfangliche Ausdehnung des Pakets. Um die Ausdehnung des Pakets zuspateren Zeiten zu studieren, betrachten wir das Absolutquadrat

|ψ(x, t)|2 = (πσ(t))−1/2

e−x2/σ(t)

mit

σ(t) = σ +1

σ

(~tm

)2

. (11.49)

Page 219: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

11.7 Freie Pakete zerfließen 219

Dies ist wie (11.43) ein Gaußsches Paket, jedoch mit der raumlichen Ausdehnung

√σ(t) =

σ +

1

σ

(~tm

)21/2

, (11.50)

die im Laufe der Zeit monoton wachst. Nun ist nachgerechnet, dass freie Paketezerfließen.

Niemand hat je einen Fußball zerfließen gesehen, ohne sofort den Fernseherals defekt zu erklaren. Der Grund ist aus dem Resultat (11.50) leicht abzule-sen. Bis zur Verdoppelung einer anfanglichen Langendimension ∆x des Paketsvergeht die Zeit T , die aus (11.50) mit

√σ(T ) = 2

√σ zu

T =(∆x)2m

√3

~(11.51)

folgt. Als normalsichtiger Zuschauer konnen Sie zwei irgendwo auf dem Felsunmittelbar nebeneinander liegende Balle als getrennt auflosen, also einen Ballmit der Genauigkeit der Großenordnung ∆x ≈ 10 cm lokalisieren. Mit diesem∆x und der typischen Masse eines Fußballs finden Sie die Zeit T als bei weitemgroßer als das Alter des Universums (das wir auf etwa 1010 Jahre schatzen). Wirhaben also keinerlei Veranlassung, die Schrodingergleichung zu losen, wenn esdie Bahnen makroskopischer Teilchen zu berechnen gilt. Mikroskopische Wel-lenpakete zerfließen recht schnell. Fur ein auf ∆x ≈ 1 A = 10−8 cm lokalisier-tes Elektron verdoppelt sich die Ausdehnung des Wellenpakets innerhalb von10−15 Sekunden (s. Abbildung 11.7).

Abbildung 11.7

Page 220: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

220 11 Quanten

11.8 Das Ehrenfestsche Theorem

Untersuchen wir die Bewegung von Quanten in außeren Potentialen U(~x). Einewichtige Eigenschaft dieser Bewegung kann fur beliebiges Potential U(~x) ohneexplizite Losung der Schrodingergleichung gefunden werden. Sie betrifft daszeitliche Verhalten des Mittelwerts 〈~x〉, also des Schwerpunkts des Wellenpakets.Wir werden gleich sehen, dass sich der Schwerpunkt 〈~x〉 wie ein klassischesTeilchen bewegt, auf das der Mittelwert der Kraft, also −〈∇U(~x)〉, wirkt.

Um dieses von Ehrenfest erkannte Theorem zu beweisen, differenzieren wirden Mittelwert 〈~x〉 nach der Zeit und benutzen fur die Zeitableitung der Wel-lenfunktion ψ(~x, t) die Schrodingergleichung.

d

dt〈~x〉 =

∫d3x

ψ∗~xψ + ψ∗~xψ

=1

i~

∫d3x

−~xψ

[− ~2

2m∇2 + U

]ψ∗

+ ~xψ∗[− ~2

2m∇2 + U

=~

2mi

∫d3x

−~xψ∗∇2ψ + ~xψ∇2ψ∗

.

Im zweiten Summanden der letzten Zeile integrieren wir nacheinander zweimalpartiell. Die dabei auftretenden Randterme mussen verschwinden, da die Nor-mierbarkeit der Wellenfunktion hinreichend schnellen Abfall von ψ fur |~x| → ∞sicherstellt. Es ergibt sich

d

dt〈~x〉 = ~

2mi

∫d3xψ∗

∇2~x− ~x∇2

ψ . (11.52)

Den in der geschweiften Klammer stehenden Differentialoperator vereinfachenwir schnell gemaß (Summenkonvention!)

∂2

∂x2jxi =

∂xj

(δij + xi

∂xj

)= 2

∂xj+ xi

∂2

∂x2j, (11.53)

und erhalten

d

dt〈~x〉 = 1

m

∫d3x ψ∗

~i∇ψ =

1

m〈~p〉 . (11.54)

Dies ist der klassische nichtrelativistische Zusammenhang zwischen der Ge-schwindigkeit d

dt 〈~x〉 und dem Impuls 〈~p〉. Nochmaliges Differenzieren nach derZeit liefert

d2

dt2〈~x〉 = 1

m

d

dt〈~p〉 = 1

m

~i

∫d3x

ψ∗∇ψ + ψ∗∇ψ

=1

m

∫d3x

[∇ψ]

[− ~2

2m∇2 + U

]ψ∗

− ψ∗∇[− ~2

2m∇2 + U

.

Page 221: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

11.8 Das Ehrenfestsche Theorem 221

Hier heben sich die beiden von der kinetischen Energie ruhrenden Summandengegenseitig weg, wie wir nach zweimaliger partieller Integration eines derselbensehen, und es bleibt

md2

dt2〈~x〉 =

∫d3x ψ∗ U∇−∇Uψ . (11.55)

Ahnlich, wie wir in (11.52) die Differenz der”Operatorprodukte“ ∇2~x und ~x∇2

ausrechnen, haben wir hier die”Vertauschungsrelation“ der Operatoren U(~x)

und ∇ zu bestimmen. Beachten Sie, dass im zweiten Summanden in (11.55) derDifferentialoperator ∇ auf die Funktion U(~x)ψ(~x, t) wirkt. Nach der Produkt-regel der Differenziation gilt

∇Uψ = ψ(∇U) + U∇ψ , (11.56)

so dass wir fur die Beschleunigung des Schwerpunktes des Wellenpaketes erhal-ten

md2

dt2〈~x〉 =

∫d3x |ψ(~x, t)|2∇U(~x) . (11.57)

Dies ist gerade die Newtonsche Bewegungsgleichung eines Teilchens der Massem, welches am Ort 〈~x〉 der Kraft −〈∇U(~x)〉 ausgesetzt ist,

md2

dt2〈~x〉 = −〈∇U(~x)〉 . (11.58)

Das Ehrenfestsche Theorem gibt naturlich keine Auskunft uber die zeitlicheAnderung der Form der Wellenfunktion ψ(~x, t) eines Teilchens, insbesondere al-so nicht daruber, ob und wie schnell ein vorgegebenes Paket ψ(~x, 0) zerfließt.Die Uberlegungen des vorigen Paragrafen besagen aber, dass das Zerfließen vonWellenpakete fur makroskopische Teilchen selbst uber extrem lange Zeitspan-nen hinweg vollig vernachlassigbar ist. Dieses Resultat und das EhrenfestscheTheorem zusammen begrunden die Moglichkeit, die Bewegung langsamer ma-kroskopischer Teilchen nach Newtons Mechanik zu behandeln.

Page 222: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

222 11 Quanten

Page 223: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

Kapitel 12

Quanten in Kasten

12.1 Eindimensionale Potentialstufe

Ein einfaches Beispiel eines nicht uberall kraftefreien Teilchens wird gegebendurch das Potential

V (x) =

0 fur x < 0

V0 > 0 fur x > 0(12.1)

Wir lassen der Einfachheit halber auch in der Wellenfunktion ψ(x, t) nur eineRaumkoordinate zu.

Abbildung 12.1

Bei klassischer Betrachtungsweise konstatieren wir Kraftefreiheit uberall au-ßer an der Sprungstelle des Potentials bei x = 0. Ein klassisches Teilchen derEnergie E bewegt sich im linken Halbraum mit konstantem Impuls ±pL =√2mE; im rechten Halbraum kann es sich nur aufhalten, wenn seine Gesamt-

energie E = p2/2m + V (x) großer ist als die Potentialstufe V0, welchenfalls esdort mit konstantem Impuls ±pR =

√2m(E − V0) lauft; beim Durchdringen

der Grenze x = 0 nach rechts erfahrt das Teilchen die Kraft −V ′(x) = −V0δ(x),die den Impuls pL auf pR herabsetzt.

Die Wellenfunktion eines Quants finden wir durch Losung der Schrodinger-

223

Page 224: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

224 12 Quanten in Kasten

gleichung

i~ ψ(x, t) =[− ~2

2m

d2

dx2+ V (x)

]ψ(x, t) . (12.2)

Offenbar lasst sich diese Differentialgleichung durch den Ansatz einer monochro-matischen Welle

ψ(x, t) = e−iEt/~ u(x) (12.3)

losen. Die Kreisfrequenz dieser Welle ist ω = E/~, also hat die Konstante E dieBedeutung der Energie des Teilchens. Fur den zeitunabhangigen Anteil u(x)ergibt sich die Differentialgleichung

(− ~2

2m

d2

dx2+ V (x)

)u(x) = Eu(x) , (12.4)

die die eben erschlossene Interpretation von E als Energie nochmals stutzt.Von besonderem Interesse ist der Fall einer Teilchenernergie unterhalb der

Stufe, d. h. 0 < E < V0. In beiden Halbraume lasst sich u(x) aus (12.4) durcheinen Exponentialansatz finden. Die allgemeinen Losungen lauten

u(x) =

A eikx +B e−ikx mit ~k =√2mE fur x < 0

a e−βx + b e+βx mit ~β =√

2m(V0 − E) fur x > 0 .

(12.5)

Uns bleibt die Aufgabe, die vier Integrationskonstanten A,B, a, b festzulegen.Ganz sicher mussen wir

b = 0

verlangen, da sonst die Wellenfunktion fur x→ +∞ uber alle Grenzen wachsenwurde und somit nicht mehr als Wahrscheinlichkeitsamplitude eines Teilchensinterpretierbar ware.

Weiteren Aufschluss uber die verbleibenden Integrationskonstanten erhaltenwir, wenn wir (12.4) in unmittelbarer Umgebung der Potentialstufe, d. h. imIntervall −ε ≤ x ≤ +ε betrachten. Da |u(x)|2 als normierbare Wahrscheinlich-keitsdichte hier beschrankt bleiben muss, folgt aus der Schrodingergleichung (12.4),dass die zweite Ableitung, u′′(x), an der Stelle x = 0 einen endlichen Sprungmacht,

u′′(ε)− u′′(−ε) = 2m

~2(V (ε)− E

)u(ε)− 2m

~2(V (−ε)− E

)u(−ε) .

Die erste Ableitung, u′(x), lauft also mit einem Knick stetig durch x = 0, so dassu(x) selbst dort ebenfalls stetig ist. Die Argumentation macht ubrigens nichtvon der stuckweisen Konstanz von V (x), sondern nur von der Endlichkeit desPotentialsprunges Gebrauch. Also gilt allgemein: Die Wellenfunktion und ihreerste Ortsableitung verlaufen stetig, wenn das außere Potential einen endlichenSprung macht.

Die Stetigkeit von u(x) und u′(x) bei x = 0 verlangt in unserem Beispiel

A+B = a

Page 225: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

12.1 Eindimensionale Potentialstufe 225

bzw.

ik(A−B) = −βa . (12.6)

Diese Bedingungen legen zwei der drei Integrationskonstanten fest, und wirerhalten die Wellenfunktion

ψ(x, t) = ae−iEt/~

1

2

(1 + i

β

k

)eikx +

1

2

(1− i

β

k

)e−ikx fur x < 0

e−βx fur x > 0 .

(12.7)

Die verbleibende Konstante a kann schließlich durch eine Normierungsforderungfestgelegt werden.

Sehen sie, dass ein Quant der Energie E im linken Halbraum den gleichenImpuls hat wie das klassische Teilchen gleicher Energie, ±pL = ±~k =

√2mE?

Dass ψ eine nach rechts einlaufende und eine nach rechts reflektierte Welleenthalt? Bemerkenswert ist, dass das Quant im Gegensatz zum klassischenTeilchen in den rechten Halbraum eindringen kann; die Eindringtiefe 1/β derWelle ist umso kleiner, je tiefer die Energie E unter der Kante V0 liegt.

Ihnen empfehle ich zur Ubung den Nachweis, dass das Quant wie das klas-sische Teilchen keine negative Energie haben kann; zeigen Sie ebenfalls, dassdas Quant der Energie E > V0 im linken und rechten Halbraum die jeweiligenklassischen Werte des Impulses annimmt.

Betrachten wir abschließend eine unendlich hohe Potentialstufe, gemaß V0 →∞ in (12.1). Die Eindringtiefe 1/β der Welle ist dann Null. Die unendlichhohe Potentialbarriere ist fur das Quant ebenso undurchdringlich wie fur dasklassische Teilchen. Aus (12.6) folgern wir, dass a = A + B = 0, so dass dieWellenfunktion zur Wand hin stetig nach Null abfallt (Abbildung 12.2). DieAbleitung u′(x) hingegen bleibt an der Wand unbestimmt.

Abbildung 12.2

Page 226: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

226 12 Quanten in Kasten

12.2 Eindimensionaler Kasten mit starrem Rand

Wenn Wellen in Kasten endlicher Ausdehnung eingesperrt und somit Randbe-dingungen unterworfen werden, so sind freie Schwingungen nur bei bestimmtenEigenfrequenzen moglich. Denken Sie an Saiten, Pauken und Floten, insbeson-dere auch an 2.13. Quanten in endlichen Kasten sollten also nicht mit beliebigenEnergien, sondern nur mit diskreten Eigenenergien auftreten konnen.

Zur Bestatigung dieser Erwartung betrachten wir ein Potential

V (X) =

0 fur − a < x < +a

∞ fur |x| > a .

Die unendlich hohe Potentialbarriere am Kastenrand bei x = ±a ist undurch-

Abbildung 12.3

dringlich und erzwingt die Randbedingung

ψ(±a, t) = 0 . (12.8)

Ein Quant der Masse m bewegt sich im Innern des Kastens kraftefrei. DieSchrodingergleichung ist dort die des freien Teilchens und hat als Losungenebene monochromatische Wellen

ψ(x, t) = e−iEt/~(A cos kx+B sin kx) = e−iEt/~ u(x) (12.9)

mit dem Impuls

~k =√2mE. (12.10)

Die Randbedingung (12.8) lasst sich fur E ≤ 0 nur durch die triviale LosungA = B = 0, also ψ(x, t) = 0 erfullen. Also kann im Kasten kein Teilchen mitverschwindender oder negativer Energie existieren. Fur E > 0 finden wir jedochsofort nichttriviale Losungen. Aus

0 = A cos ka+B sin ka

0 = A cos ka−B sin ka (12.11)

Page 227: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

12.2 Eindimensionaler Kasten mit starrem Rand 227

folgt

A cos ka = 0 und B sin ka = 0 , (12.12)

also entweder

A = 0 und sin ka = 0 (12.13)

oder

B = 0 und cos ka = 0 . (12.14)

Im ersten Fall (A = 0) haben wir als Eigenschwingungen die in x ungeradenFunktionen

un(x) = B sin knx, kna =π

2n, n = 2, 4, 6, . . . (12.15)

und im zweiten Fall (B = 0) die geraden Funktionen

un(x) = A cos knx, kna =π

2n, n = 1, 3, 5, . . . (12.16)

Die zugehorigen Eigenwerte der Energie sind in beiden Fallen durch (12.10) als

En =~2k2n2m

=~2π2

8ma2n2, n = 1, 2, 3, . . . (12.17)

festgelegt.Die ersten vier En aus der unendlichen Folge von Energieniveaus sind in die

Abbildung 12.4 eingetragen. Schematisch aufgesetzt sind dabei die zugehorigenEigenfunktionen. Beachten und bewahren Sie folgende Eigenarten unseres Er-gebnisses:

(i) Die Grundzustandsenergie ist (nicht E = 0 sondern!) E1 = ~2π2/8ma2;ein auf ∆x ≈ a lokalisiertes Teilchen hat eine Impulsunscharfe von min-destens ∆p ≈ ~/a, also eine kinetische Energie der Ordnung ~2/ma2.

(ii) Der Grundzustand u1(x) hat im Innern des Kastens keine Nullstelle; derZustand un(x) hat im Innern des Kastens n− 1 Nullstellen.

(iii) Alle Eigenfunktionen sind gerade oder ungerade; Energieniveaus zu gera-den und ungeraden Zustanden wechseln in der Folge En einander ab.

(iv) Die Eigenfunktionen liegen nur bis auf einen Normierungsfaktor fest. Die-ser kann so gewahlt werden, dass

+a∫

−a

dxun(x)2 = 1

gilt.

Page 228: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

228 12 Quanten in Kasten

Abbildung 12.4

Es ist kein Zufall, dass alle Eigenschwingungen un(x) entweder ungerade(s. 12.15) oder gerade Funktionen sind. Dass keine Eigenfunktion auftritt, dieweder gerade noch ungerade ist, legt vielmehr daran, dass das Potential V (x)selbst gerade ist,

V (x) = −V (x) , (12.18)

wie Sie aus der folgenden Uberlegung entnehmen.Bei beliebigem geraden Potential V (x) bleibt die Schrodingergleichung

− ~2

2mu′′(x) + V (x)u(x) = Eu(x) (12.19)

unverandert bei der Transformation x → −x. Wenn also u(x) eine Losungzum Eigenwert E ist, so auch u(−x). Wenn es zum Eigenwert E nur eineEigenfunktion gibt (bis auf Normierungsfaktor), so ist u(−x) nicht von u(x)linear unabhangig, sondern muss zu u(x) proportional sein,

u(x) = εu(−x) = ε2u(x) . (12.20)

Die zweite Gleichung in (12.20) entsteht bei nochmaliger Transformation x →−x. Wir folgern ε = ±1, also dass u(x) entweder gerade oder ungerade seinmuss. Die Einschrankung, dass zu einem Eigenwert E nur eine Eigenfunktion

Page 229: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

12.3 Potentialtopf endlicher Tiefe 229

u(x) auftreten solle, konnen wir ubrigens allen lassen; eventuell auftretende line-ar unabhangige u(x) zu einer Energie konnen immer zu geraden und ungeradenFunktionen linear kombiniert werden.

12.3 Potentialtopf endlicher Tiefe

Beim oben diskutierten Potentialtopf unendlicher Tiefe gibt es Eigenschwin-gungen des Quants nur mit diskreten Eigenfrequenzen bzw. Energien. DiesesVerhalten ist typisch (was ich hier nicht zeige) fur Potentiale, die fur x→ ±∞(bzw. |~x| → ∞ in zwei oder drei Dimensionen) unbeschrankt wachsen. Eineandere Situation liegt bei einem Potentialtopf endlicher Tiefe vor. Hier lautedie potenzielle Energie des Quants

V (x) =

V0 fur |x| > a

0 fur |x| < a .(12.21)

Abbildung 12.5

Ein diesem Potential unterworfenes klassisches Teilchen ist, falls seine Ener-gie E kleiner ist als die Topftiefe V0, gebunden im Kasten −a < x < +a undhat dort den Impuls ±

√2mE. Falls jedoch E > V0, so kann sich das klassi-

sche Teilchen uberall in −∞ < x <∞ aufhalten; sein Impuls betragt ±√2mE,

so lange es in −a < x < a bleibt, und ±√

2m(E − V0), sobald es sich in denBereichen |x| > a befindet.

Die im Potential (12.21) moglichen Eigenschwingungen des Quants

ψ(x, t) = e−iEt/~u(x) (12.22)

finden wir wie in den vorigen Paragrafen durch Zusammenstuckeln der freienWellen aus den Bereichen konstanten Potentials. Durch die beiden Sprungstellenx = ±a mussen u(x) und u′(x) stetig verlaufen. Zum Aufbau der Losungerinnern wir uns zunachst daran, dass der Wellenvektor des Quants der EnergieE die Werte

±k =√

2mE/~ (12.23)

Page 230: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

230 12 Quanten in Kasten

und

±iβ =√

2m(E − V0)/~ (12.24)

annimmt bezuglich der Wellen im Bereich |x| < a bzw. |x| > a (letztererWellenvektor ist naturlich als inverse Eindringtiefe zu interpretieren, wenn E <V0). Ferner beachten wir, dass das Potential gerade in x ist, und folgern, dasswir alle Eigenfunktionen u(x) finden konnen durch den Ansatz gerader undungerader Linearkombination der genannten ebenen Wellen.

Als Kandidaten gerader Eigenfunktionen mit 0 < E < V0 bieten sich an

u(x) = B ·

cos kx fur |x| < a

cos kae−β(x−a) fur x > a

cos kae+β(x+a) fur x < −a(12.25)

Hier habe ich die fur x → ±∞ unbegrenzt wachsenden Losungen der Schro-dingergleichung unter Berufung auf die Wahrscheinlichkeitsinterpretation derWellenfunktion unterdruckt. Außerdem ist die Stetigkeit von u(x) bei x = ±abereits berucksichtigt. Da der Wellenvektor k und die Eindringtiefe 1/β gemaß(12.23) und (12.24) durch die Energie E festgelegt sind, treten in (12.25) nochdie Energie E und die Normierungskonstante B als freie Parameter auf. EineEinschrankung fur diese beiden Parameter erhalten wir aus der Forderung derStetigkeit von u′(x) bei x = ±a,

−Bk sin ka = −Bβ cos ka . (12.26)

Die Befriedigung dieser Randbedingung durch die Wahl B = 0 ist uninter-essant, da dann u(x) trivial wird. Nichttriviale Eigenschwingungen des Quantsmit 0 < E < V0 sind nur moglich fur Energien, die die Gleichungen (12.23),(12.24) und (12.26) bei B 6= 0 befriedigen, also

(ak) tan ak = aβ (12.27)

(ak)2 + (aβ)2 = 2mV0 a2/~2 ≡ ρ2 (12.28)

E =~2k2

2m. (12.29)

Die beiden ersten dieser Gleichungen mussen wir daraufhin untersuchen, ob sie(positive!) Losungen fur ak und aβ zulassen. Abbildung 12.6 zeigt Graphen derFunktion ak tan ak = aβ und des Kreises (ak)2 + (aβ)2 = ρ2. Sie sehen, dassgenau ein Schnittpunkt, d. h. eine Eigenenergie E0

0 < E0 <(π2

)2 ~2

2ma2(12.30)

auftritt, wenn ρ =√

2mV0a2/~ < π. Wenn die Tiefe des Potentialtopfs zu-nimmt, so entstehen weitere Schnittpunkte, d. h. Eigenenergien.

Ihnen bleibt als eine schone Ubung, die Zahl der auftretenden Eigenwertein Abhangigkeit von der Topftiefe V0 zu untersuchen und dabei auch ungeradeLosungen u(x) zu berucksichtigen. Mir kam es bei der dargelegten Rechnung

Page 231: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

12.3 Potentialtopf endlicher Tiefe 231

Abbildung 12.6

darauf an, Ihnen klarzumachen, dass im Topf gebundene Eigenschwingungenzu Eigenenergien 0 < E < V0 nur fur diskrete Werte der Energie auftretenkonnen. Von im Topf gebundenen Eigenschwingungen zu sprechen, ist hierangebracht, da die Losungen (12.23) fur |x| > a, also außerhalb des Kastens,exponentiell abfallen. Folglich sind die gebundenen Zustande auch normierbar

durch+∞∫−∞

|u(x)|2 = 1.

Ganz anders benehmen sich die Eigenschwingungen mit E > V0! Da furdiese β nach (12.24) imaginar wird, will ich statt β lieber den Wellenvektor

K =√

2m(E − V0)/~ (12.31)

benutzen und gerade Eigenschwingungen mit dem Ansatz

u(x) = B ·

cos kx fur |x| < a

cos ka [cosK(x− a) +D sinK(x− a)] fur x > a

cos ka [cosK(x+ a)−D sinK(x+ a)] fur x < −a(12.32)

suchen. Beachten Sie, dass jetzt fur |x| > a sowohl exp(+iKx) als auch exp(−iKx)zuzulassen sind, da beide Wellen beschrankt bleiben. Es tritt also gegenuber(12.25) eine freie Konstante mehr auf; insgesamt sind B, D und die Energie Ezunachst offen. Die Stetigkeit von u′(x) bei x = ±a gibt die zu (12.26) analogeForderung −kB sin ka = KBD cos ka oder, da nur B 6= 0 von Interesse,

−ka tan ka = DKa , (12.33)

Aus (12.23) und (12.31) folgt, dass die Losungen ka und Ka auch auf derHyperbel

(ka)2 − (Ka)2 = 2mV0a2/~2 = ρ2 (12.34)

Page 232: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

232 12 Quanten in Kasten

liegen mussen. Abbildung 12.7 zeigt, dass fur jeden Wert von D unendlichviele Schnittpunkte der durch (12.33) und (12.34) definierten Kurven im erstenQuadranden auftreten. Da der Parameter D keiner weiteren Einschrankung

Abbildung 12.7

unterworfen ist, kann die Energie

E =~2

2mk2 > V0 (12.35)

kontinuierliche Werte annehmen. Ein solches kontinuierliches Spektrum vonEnergieeigenwerten haben wir schon beim freien Quant kennengelernt.

Die zum kontinuierlichen Spektrum gehorigen Eigenzustande (12.32) (sowiedie entsprechenden ungeraden Losungen) fallen fur x → ±∞ nicht ab. Sieahneln insofern den ebenen Wellen e±ikx des uberall freien Teilchens. Keine derLosungen mit E > V0 ist fur sich allein im ganzen Raum normierbar im Sinnevon

+∞∫

−∞

dx |ψ(x, t)|2 = 1 . (12.36)

Wohl aber lassen sich aus den Losungen u(x) Wellenpakete

ψ(x, t) =

+∞∫

V0

dE ϕ(E) e−iEt/~u(x) (12.37)

aufbauen, die zu allen Zeiten die Normierung (12.36) behalten.Halten wir fest: Quanten mit Energien unterhalb des Topfrandes, d. h. mit

E < V0, sind (ahnlich wie klassische Teilchen) im Kasten −a < x < a gebunden;sie sind zu Eigenschwingungen nur mit diskreten Energien fahig. Hingegenkonnen sich Quanten mit Energien oberhalb des Topfrandes, d. h. mit E >V0, ahnlich wie klassische Teilchen beliebig weit vom Kasten entfernen undEigenschwingungen mit kontinuierlichem Energiespektrum ausfuhren.

12.4 Quanten durchdringen Wande

Unseren Variationen zum Thema stuckweise konstante Potentiale ist eine letztehochst lehrreiche hinzuzufugen. Sie soll den so genannten Tunneleffekt illustrie-

Page 233: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

12.4 Quanten durchdringen Wande 233

ren.Zwei Raumbereiche mit verschwindendem Potential seien durch eine Poten-

tialbarriere getrennt gemaß

V (x) =

V0 fur |x| < 0

0 fur |x| > d .(12.38)

Ein von links ankommendes klassisches Teilchen der Energie E < V0 stoßt beix = 0 auf eine undurchdringbare Wand und wird reflektiert. Ein Quant hingegenkann die endliche Potentialbarriere

”durchtunneln“.

Abbildung 12.8

Die Losung der Schrodingergleichung mit der Energie E < V0 suchen wirmit dem Ansatz

u(x) = B ·

eikx + ρ e−ikx fur x < 0 ,

C eβx +D e−βx fur 0 < x < d ,

τ eik(x−d) fur x > d ,

(12.39)

wobei der Wellenvektor k und die Eindringtiefe 1/β wieder gegeben sind durch

~k =√2mE, ~β =

√2m(V0 − E) . (12.40)

Der Ansatz berucksichtigt im Bereich x < 0 eine von links einlaufende und einenach links reflektierte Welle, sowie fur x > d eine von der Barriere durchge-lassene nach rechts weiterlaufende Welle. Innerhalb der Wand kann keine derPartikularlosungen e±βx außer Acht gelassen werden, da beide in 0 < x < dbeschrankt bleiben.

Die vier Integrationskonstanten ρ, C, D und τ lassen sich festlegen durch dieForderung der Stetigkeit von u(x) und u′(x) an den Sprungstellen des Potentials.Von besonderem Interesse ist die Amplitude τ der durch die Wand gedrungenenWelle, die sich nach leichter aber langlicher Rechnung als

τ = 2βk[2βk coshβd− i(k2 − β2) sinhβd

]−1(12.41)

ergibt. Ihr Absolutquadrat, die Wahrscheinlichkeit, dass ein von links einfallen-des Teilchen die Wand durchdringt, heißt die Durchlassigkeit T (E) der Wand

Page 234: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

234 12 Quanten in Kasten

und betragt

T (E) = |τ |2 =

[1 +

V 20

4E(V0 − E)sinh2

√2m(V0 − E)d2/~2

]−1(12.42)

Die Durchlassigkeit nimmt monoton zu, wenn E bis V0 wachst. Andererseitsfallt T (E) exponentiell auf Null, wenn die Hohe V0 oder die Breite d der Barriereuber alle Grenzen steigt,

T (E)→ 16E(V0 − E)

V 20

e−2√

2m(V0−E)d2/~2

. (12.43)

Ihnen bleibt als Ubung, die so genannte Reflektivitat R = |ρ|2 der Wand zusuchen und das Resultat, R = 1− T , zu interpretieren.

Page 235: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

Kapitel 13

Harmonisch gebundeneQuanten

13.1 Eindimensionaler harmonischer Oszillator

Wir greifen hier einen in Kapitel 2. klassisch behandelten Problemkreis auf undbetrachten ein durch eine lineare Ruckstellkraft an eine Ruhelage gebundenesTeilchen der Masse m. Der Auslenkung x entspricht die potenzielle Energie

V (x) =1

2mω2x2 , (13.1)

wobei ω sich bei der klassischen Behandlung als die Frequenz erwies, mit derdas Teilchen um seine Ruhelage schwingt.

Zur quantenmechanischen Behandlung haben wir die Schrodingergleichung

i~ψ(x, t) = Hψ(x, t) =

(− ~2

2m

d2

dx2+

1

2mω2x2

)ψ(x, t) (13.2)

zu losen. Wir suchen zunachst die Eigenzustande

ψ(x, t) = eiEt/~ u(x) (13.3)

und Eigenwerte der Energie E aus

Hu(x) = Eu(x) . (13.4)

Da die potenzielle Energie V (x) des Quants bei Entfernung vom Kraftzentrumunbeschrankt wachst, erwarten wir ein diskretes Spektrum von Eigenenergienmit gebundenen, normierbaren Zustanden gemaß

+∞∫

−∞

dx |u(x)|2 = 1 . (13.5)

Um die normierbaren Losungen u(x) der Differentialgleichung (13.4) unddie zugehorigen Energien E zu finden, bedienen wir uns eines algebraischen

235

Page 236: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

236 13 Harmonisch gebundene Quanten

Verfahrens, welches die uns schon mehrfach begegnete Produktregel der Diffe-rentialrechnung in der Form

d

dxx− x d

dx= 1 (13.6)

ausschlachtet. Diese wohlbekannte Identitat gibt, nach Multiplikation beiderSeiten mit (~/i), eine Aussage uber den Impulsoperator p = ~

iddx und die Koor-

dinate x (den”Ortsoperator“),

px− xp ≡ [p, x] =~i. (13.7)

In Produkten von x und p darf die Reihenfolge der Faktoren also nicht beliebigvertauscht werden. Wir sprechen, eingeburgerten Brauch folgend, von (13.7) alsder kanonischen Vertauschungsrelation fur Koordinate und Impuls.

Fur unser Vorhaben ist es zweckmaßig, den Hamiltonoperator

H = p2/2m+1

2mω2x2 (13.8)

statt durch x und p durch die Linearkombinationen

a =1√2

(√mω

~x+

i√mω~

p

)=

1√2

(√mω

~+

√~mω

d

dx

),

a† =1√2

(√mω

~x− i√

mω~p

)=

1√2

(√mω

~x−

√~mω

d

dx

)(13.9)

auszudrucken. Fur die Operatoren a und a† finden wir aus (13.7) die Vertau-schungsrelation

[a, a†] = aa† − a†a =i

~[p, x] = 1 (13.10)

sowie das Produkt

a†a =1

2

(mω

~x2 +

1

m~ωp2 − i

~[p, x]

)

=1

(1

2mp2 +

1

2mω2x2

)− 1

2. (13.11)

Der Hamiltonoperator (13.8) lasst sich somit in der Form (13.11)

H = ~ω(a†a+

1

2

)(13.12)

aufschreiben. Seine Eigenfunktionen u(x) und Eigenwerte E sind bekannt, wenndie des Operators a†a gefunden sind. Versuchen wir also, die Eigenwertgleichung

a†auλ(x) = λuλ(x) (13.13)

zu losen.

Page 237: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

13.1 Eindimensionaler harmonischer Oszillator 237

Von den Eigenwerten λ ist schnell zu sehen, dass sie alle nichtnegativ sind.Wenn wir namlich (13.13) mit u∗λ(x) multiplizieren und integrieren,

+∞∫

−∞

dxu∗λ(x)a†auλ(x) = λ

+∞∫

−∞

dx|uλ(x)|2 , (13.14)

so entsteht rechts ein Integral uber das Absolutquadrat der Funktion uλ(x), dasnicht negativ sein kann. Auch das links auftretende Integral hat diese Eigen-schaft, denn in

+∞∫

−∞

dxu∗λ(x)1√2

(√mω

~x−

√~mω

d

dx

)auλ(x)

konnen wir durch einmalige partielle Integration die Ableitung d/dx auf u∗(x)abwalzen, woraufhin wir erhalten

+∞∫

−∞

dx u∗λ(x)a†auλ(x) =

+∞∫

−∞

dx

[1√2

(√mω

~x+

√~mω

d

dx

)u∗λ(x)

]auλ(x)

=

+∞∫

−∞

dx (auλ(x))∗auλ(x) =

+∞∫

−∞

dx |auλ(x)|2 ≥ 0 .

(13.15)

Es folgt die behauptete Eigenschaft der Eigenwerte,

λ ≥ 0 . (13.16)

Hatten wir eine Losung uλ(x) der Eigenwertgleichung (13.13) mit Eigenwertλ gefunden, so ergabe sich mit a†uλ(x) gleich noch eine, u. z. zum Eigenwertλ + 1. Um das zu zeigen, mussen wir nur die Vertauschungsrelation (13.10)bemuhen, denn

a†a(a†uλ) = a†(1 + a†a)uλ = a†uλ + a†λuλ = (λ+ 1)a†uλ . (13.17)

Das gleiche Argument erweist (a†)2uλ als eine Eigenfunktion von a†a zum Ei-genwert λ+2 und, fur beliebige naturliche Zahlen µ, (a†)µuλ als Eigenfunktionzum Eigenwert (λ+ µ).

Eine ahnliche Folge von Eigenfunktionen lasst sich aus uλ(x) durch wieder-holte Multiplikation mit dem Operator a erzeugen. Mit Hilfe der Vertauschungs-relation (13.10) finden wir namlich

a†a(auλ) = (aa† − 1)auλ = aλuλ − auλ = (λ− 1)auλ . (13.18)

Also ist auλ Eigenfunktion von a†a zum Eigenwert λ−1 und entsprechend a2uλEigenfunktion zum Eigenwert λ− 2 usf.

Die Folge auλ, a2uλ, a

3uλ, . . . muss abbrechen, d. h. es muss sich beim wie-derholten Anwenden des Operators a eine Funktion u0(x) ergeben mit der Ei-genschaft

au0(x) = 0 . (13.19)

Page 238: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

238 13 Harmonisch gebundene Quanten

Ansonsten wurden entgegen der obigen Erkenntnis (13.16) in der Folge von Ei-genwerten λ, λ−1, λ−2, . . . negative Eigenwerte auftreten. Durch Multiplikationvon (13.19) mit dem Operator a† finden wir

a†au0(x) = 0 (13.20)

und schließen, dass der kleinste Eigenwert von a†a gleich Null ist.Damit ist klar, dass der Operator a†a alle nichtnegativen ganzen Zahlen als

Eigenwerte hat,

a†aun(x) = nun(x), n = 0, 1, 2, . . . . (13.21)

Sobald die”nullte“ Eigenfunktion u0(x) bekannt ist, erhalten wir die n-te als

un(x) = αn(a†)nu0(x) , (13.22)

wobei die Zahl αn als Normierungsfaktor zuzulassen und noch zu bestimmenist, wenn wir fur alle un(x) die Normierung (13.5) fordern. Diese Forderunglautet jetzt

1 =

+∞∫

−∞

dx |αn|2[(a†)nu0(x)

] ((a†)nu0(x)

)∗

= |αn|2+∞∫

−∞

dx[(a†)nu0(x)

] 1√2

(√mω

~x−

√~mω

d

dx

)[(a†)n−1u0(x)

]∗.

Durch eine partielle Integration walzen wir den Differentialoperator d/dx aufden linken Faktor im Integranden und erhalten

1 = |αn|2+∞∫

−∞

dx

[1√2

(√mω

~x+

√~mω

d

dx

)(a†)nu0(x)

] [(a†)n−1u0(x)

]∗

= |αn|2+∞∫

−∞

dx[aa†(a†)n−1u0(x)

] [(a†)n−1u0(x)

]∗.

Wir benutzen nochmals die Vertauschungsrelation aa† = 1+ a†a und beachten,dass (a†)n−1 u0(x) Eigenfunktion von a†a mit Eigenwert n − 1 ist. Aus derNormierungsbedingung ergibt sich dann eine Rekursionsformel fur |an|2,

1 = |αn|2n+∞∫

−∞

dx |(a†)n−1u0(x)|2 = |αn|2n1

|αn−1|2

+∞∫

−∞

dx |un−1(x)|2

︸ ︷︷ ︸=1

,

also

|αn|2 =1

n|αn−1|2 . (13.23)

Page 239: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

13.1 Eindimensionaler harmonischer Oszillator 239

Die Losung dieser Rekursionsformel bestatigen Sie leicht als |αn|2 = |α0|2/n!.Da u0(x) genau wie alle un(x) gemaß (13.5) normiert sein soll, muss |α0|2 gelten.Nicht durch die Normierung festgelegt sind die Phasen der Normierungsfaktorenαn. Da nur das Absolutquadrat der Wellenfunktion eine direkte physikalischeBedeutung hat, durfen wir vereinbaren, dass alle αn reell sein sollen. Demnachlauten die richtig normierten Eigenfunktionen von a†a endlich

un(x) =1√n!(a†)nu0(x) . (13.24)

Noch ungeklart ist allerdings, ob u0(x) als Eigenfunktion von a†a zum Ei-genwert Null existiert und normierbar ist. Wir beantworten die Frage, indemwir u0(x) konstruieren. Die Differentialgleichung (13.19) lasst sich schreiben als

1√2

(√mω

~x−

√~mω

d

dx

)u0(x) = 0 (13.25)

odermω

~xdx+ du0/u0 = 0. Hieraus lesen wir als Losung ab

u0(x) = N exp(−mω

2~x2)

.

Das Normierungsintegral existiert fur diese Gaußfunktion (s. 11.7. Die Normie-rungskonstante N hat den Betrag |N | = (mω/π~)1/4 und lasst sich als positivwahlen. Es ergibt sich die nullte Eigenfunktion zu

u0(x) =(mωπ~

)1/4exp

[−mω

2~x2]. (13.26)

Ihnen bleibt als Ubung zu zeigen, dass die nun explizit konstruierten Eigenfunk-tionen un(x) fur n = 0, 1, 2, . . . abwechselnd gerade und ungerade sind; ferner,dass un(x)/u0(x) ein Polynom n-ter Ordnung in x ist.

Wie schon oben bemerkt, sind die Funktionen un(x) wegen des Zusammen-hangs (13.12) zwischen dem Operator a†a und dem Hamiltonoperator H auchEigenfunktionen zu letzterem. Die zugehorigen Eigenwerte von H sind

En = ~ω(n+

1

2

)(13.27)

Offenbar liegen diese Eigenwerte aquidistant (vgl. Abbildung 13.1). DemOszillator lasst sich Energie entlocken und zufuhren nur in Einheiten ~ω. Dassdie Grundzustandsenergie E0 = 1

2~ω von Null verschieden ist, hatten wir unsschon fruher klar gemacht.

Nachdem alle Eigenfunktionen und Eigenwerte von H bekannt sind, konnenwir die allgemeine zeitabhangige Losung der Schrodingergleichung angeben,

ψ(x, t) =∑

n

cne−iEnt/~un(x) .

Der Koeffizient cn, ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafur, den Oszillator imn-ten Energieniveau anzutreffen. Die cn sind durch eine Anfangsbedingung furψ(x, 0) festzulegen. Wie die cn bei vorgegebener anfanglicher Wellenfunktionψ(x, 0) ausgerechnet werden konnen, konnen Sie im folgenden Paragrafen lernen.

Page 240: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

240 13 Harmonisch gebundene Quanten

Abbildung 13.1

13.2 Die Orthogonalitat normierbarer Eigenfunk-tionen hermitescher Operatoren

Fur zwei normierbare, d. h. fur x→ ±∞ hinreichend schnell abfallende Wellen-funktionen ϕ(x) und ψ(x) gilt die Integrationsregel

+∞∫

−∞

dx ψ∗(x)d

dxϕ(x) = −

+∞∫

−∞

dx

[d

dxψ(x)

]∗ϕ(x) . (13.28)

Sie impliziert eine wichtige Identitat fur den Impulsoperator p = ~i

ddx

+∞∫

−∞

dx ψ∗(x)pϕ(x) = +

+∞∫

−∞

dx [pψ(x)]∗ϕ(x) . (13.29)

Ohne Anderung des Integrals kann der Impulsoperator von einer der beidenFunktionen ϕ(x) und ψ(x) auf die andere abgewalzt werden. Diese Eigenschaftdes Operators p bezuglich des in ϕ und ψ bilinearen Integrals (13.29) heißtHermitezitat.

Der Umgang mit Integralen des obigen Typs gestaltet sich bequemer, wennwir als Skalarprodukt zweier Funktionen ϕ(x) und ψ(x) im Intervall a < x < b

Page 241: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

13.2 Die Orthogonalitat normierbarer Eigenfunktionen hermitescherOperatoren 241

einfuhren

〈ψ |ϕ〉 =b∫

a

dx ψ∗(x)ϕ(x) . (13.30)

Dabei darf sich das Intervall auch uber die ganze reelle Achse erstrecken; in zweioder drei Dimensionen ist das Skalarprodukt bezuglich eines Bereichs entspre-chender Dimension zu definieren. Die Regel (13.28) verknupft also die Skalar-produkte 〈ψ | d

dxϕ〉 und 〈 ddxψ | ϕ〉, und die Hermitezitat des Impulsoperators plasst sich in der Form

〈ψ | pϕ〉 = 〈pψ |ϕ〉 (13.31)

aufschreiben. Jeder Operator A mit der Eigenschaft

〈ψ |Aϕ〉 = 〈Aψ |ϕ〉

heißt hermitesch. Beispiele sind der”Ortsoperator“ x, reelle Zahlen, p2, der

Hamiltonoperator H = p2/2m + V (x) usf. Nicht hermitesch ist nach (13.28)der Differentialoperator d/dx, desgleichen nichtreelle Zahlen.

Die im letzten Paragrafen eingefuhrten Operatoren a und a† hatten wir durchpartielles Integrieren als nicht hermitesch erwiesen (ohne das so auszudrucken),

〈ψ | aϕ〉 = 〈a†ψ |ϕ〉 (13.32)

〈ψ | a†ϕ〉 = 〈aψ |ϕ〉 .

Wegen der Eigenschaft (13.32) nennen wir a† den zu a adjungierten Operatorund umgekehrt. Selbstadjungiert (= hermitesch) ist jedoch der Operator a†a,denn aus (13.32) folgt

〈ψ | a†aϕ〉 = 〈aψ | aϕ〉 = 〈a†aψ |ϕ〉 . (13.33)

Die Hermitezitat eines Operators A hat zwei schone und wichtige Konse-quenzen fur seine Eigenfunktionen ψn. Die fraglichen Eigenschaften werden unserlauben, das am Ende des letzten Paragrafen gestellte Anfangswertproblem zulosen. Die erste lautet: Die Eigenwerte eines hermiteschen Operators sind reell.

Zum Beweis dieser Aussage multiplizieren wir die Eigenwertgleichung

Aψn(x) = λnψn(x) (13.34)

mit ψ∗n(x) und integrieren,

〈ψn |Aψn〉 = λn〈ψn |ψn〉 . (13.35)

Von letzter Gleichung subtrahieren wir ihre konjugiert komplexe und erhalten

(λn − λ∗n) 〈ψn |ψn〉 = 〈ψn |Aψn〉 − 〈Aψn |ψn〉 . (13.36)

Wegen der Hermitezitat von A verschwindet die rechte Seite in (13.36). Da〈ψn |ψn〉 als Integral uber die nichtnegative Funktion |ψn(x)|2 nicht verschwin-den kann, folgt die Behauptung

λn = λ∗n . (13.37)

Page 242: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

242 13 Harmonisch gebundene Quanten

Der Hamiltonoperator eines Teilchens mit einer (reellen) potenziellen Ener-gie V (x) ist, wie wir gesehen hatten, hermitesch. Daher sind die Energieeigen-werte stets reell. An diese Eigenschaft der Energieeigenwerte sind wir von denbisher behandelten Beispielen her schon gewohnt.

Die zweite angekundigte Eigenschaft hermitescher Operatoren betrifft ihreEigenfunktionen: Zu verschiedenen Eigenwerten gehorige normierbare Eigen-funktionen eines hermiteschen Operators sind aufeinander orthogonal. Damitist gemeint, dass das Skalarprodukt

〈ψn |ψm〉 =∫

dxψn(x)ψm(x) . (13.38)

verschwindet, wenn

Aψn = λnψn (13.39)

Aψm = λmψm (13.40)

und

λn 6= λm . (13.41)

Zum Nachweis dieser Eigenschaft multiplizieren wir beide Seiten von (13.39)mit ψ∗m und beide Seiten der zu (13.40) konjugiert komplexen Gleichung mit ϕnund integrieren,

〈ψm |Aψn〉 = λn〈ψm |ψn〉 (13.42)

〈Aψm |ψn〉 = λm〈ψm |ψn〉 . (13.43)

Wegen der angenommenen Hermitezitat des Operators A sind die linken Seitenvon (13.42) und (13.43) einander gleich, woraus folgt

(λn − λm) 〈ψm |ψn〉 = 0 . (13.44)

Aus der Verschiedenheit der Eigenwerte λn und λm folgt nun die Orthogo-nalitat der Eigenfunktionen,

〈ψm |ψn〉 = 0 fur λn 6= λm . (13.45)

Falls zu einem Eigenwert λn mehrere linear unabhangige Eigenfunktionenauftreten, so sind diese zwar nicht notwendig untereinander orthogonal, konnenaber (Ubung!) durch Bildung geeigneter Linearkombinationen durch einen Satzwechselseitig orthogonaler Funktionen ersetzt werden.

Da der Hamiltonoperator H = ~ω(a†a+ 1/2) des harmonischen Oszillators(ebenso wie der Operator a†a) hermitesch ist, sind seine im letzten Paragra-fen gefundenen Eigenfunktionen untereinander orthogonal. Aus dem gleichenGrund sind untereinander orthogonal die in 11.2 konstruierten Energieeigen-funktionen eines Teilchens im Kasten.

Wir konnen nun das am Ende des letzten Paragrafen gestellte Anfangs-wertproblem losen, u. z. nicht nur fur den eindimensionalen harmonischen Os-zillator, sondern fur alle Potentiale V (~x), fur die die Gesamtheit der Eigen-funktionen des Hamiltonoperators H = ~p2/2m+ V (~x) eine unendliche diskrete

Page 243: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

13.3 Die erzwungene Schwingung des harmonischen Oszillators 243

Folge ψn(~x) mit n = 0, 1, 2, . . . bildet (die Verallgemeinerung auf kontinuierli-che Spektren soll hier nicht besprochen werden). Die allgemeinste Losung derSchrodingergleichung i~ψ = Hψ lautet dann nach dem Superpositionsprinzip

ψ(~x, t) =∑

n

cn e−iEnt/~ψn(~x) . (13.46)

Wenn die anfangliche Wellenfunktion ψn(~x, 0) gegeben ist, so lassen sich dieKoeffizienten cn bestimmen, indem die Gleichung

ψ(~x, 0) =∑

n

cnψn(~x) (13.47)

mit ψ∗n(x) multipliziert und integriert wird. Es ergibt sich wegen der Orthogo-nalitat der Energieeigenfunktionen

cn =⟨ψn |ψ(t = 0)

⟩/〈ψn |ψn〉 . (13.48)

Dieses Resultat verschonert sich naturlich, wenn die Eigenfunktionen ψn aufEins normiert sind.

Die Darstellung der Funktion ψn(x, 0) durch eine unendliche Reihe gemaß(13.47) und (13.48) wirft Konvergenzprobleme auf, auf deren Diskussion ichhier verzichten muss. Ich will nur anmerken, dass die Darstellung (13.47, 13.48)sowie die ihr anhaftende Konvergenzproblematik der Fourierreihenentwicklungsehr ahnlich sind. Im Fall des Teilchens im Kasten mit starren Wanden (s. 12.2)lauft die Darstellung sogar genau auf eine Fourierreihe hinaus.

13.3 Die erzwungene Schwingung des harmoni-schen Oszillators

Denken wir uns einen harmonischen Oszillator einer außeren Kraft F (t) unter-worfen, die zeitabhangig sein, aber nicht von der Auslenkung x des Oszillatorsabhangen soll. Zur potenziellen Energie tritt dann das Zusatzglied −xF (t), sodass der Hamiltonoperator lautet

H(t) =1

2mp2 +

1

2mω2x2 − xF (t) . (13.49)

Im Gegensatz zu allen bisher betrachteten Fallen weist der Hamiltonope-rator (13.49) eine explizite Zeitabhangigkeit auf. Aus diesem Grund kann dieSchrodingergleichung

i~ψ(x, t) =[− ~2

2m

∂2

∂x2+

1

2mω2x2 − xF (t)

]ψ(x, t) (13.50)

nicht mehr durch einen Separationsansatz der Form f(t)u(x) gelost werden.Zur Zeit t = 0 befinde sich der Oszillator im ungestorten Grundzustand, so

dass die anfangliche Wellenfunktion die Gaußsche Form (13.26)

ψ(x, 0) =(mωπ~

)1/4exp

−mω

2~x2

(13.51)

Page 244: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

244 13 Harmonisch gebundene Quanten

hat. Da der Hamiltonoperator (13.49) ebenso wie der des freien Oszillators in derAuslenkung x quadratisch ist, liegt die Vermutung nahe, dass die Losung ψ(x, t)der Schrodingergleichung (13.50) ebenso wie die Anfangsamplitude (13.51) Gaußschbleibt. Prufen wir also den Ansatz

ψ(x, t) =(mωπ~

)1/4exp

−mω

2~[x− x(t)]2 − i

~p(t)x− iϕ(t)

(13.52)

mit zunachst unbekannten Funktionen x(t), p(t), ϕ(t). Bevor Sie nachrechnen,dass dieser Ansatz bei geeigneter Wahl von x(t), p(t) und ϕ(t) die Schrodinger-gleichung befriedigt, sollten Sie ihn durch die folgenden Uberlegungen wurdigenlernen.

Die rechte Seite in (13.52) stellt nicht die allgemeinste Gaußfunktion dar,da der Normierungsfaktor (mω/π~)1/4 und der Koeffizient (mω/2~) des qua-dratischen Gliedes im Exponenten gegenuber der Anfangsamplitude (13.51) un-verandert sind. Diese Einschrankungen garantieren jedoch, falls die Funktionenx(t), p(t) und ϕ(t) reell sind, die zeitliche Konstanz des Normierungsintegrals

+∞∫

−∞

dx|ψ(x, t)|2 =(mωπ~

)1/2 +∞∫

−∞

dx exp

−mω

~2[x− x(t)]2

= 1 . (13.53)

Auch besteht zur Anderung des Koeffizienten des quadratischen Gliedes im Ex-ponenten kein Anlass, da dieser Koeffizient beim freien Oszillator durch dieFederkonstante mω2 in der harmonischen Ruckstellkraft bestimmt ist und dadie Federkonstante durch das Anschalten der außeren Kraft F (t) nicht verandertwird.

Ubrigens durfen die Funktionen x(t), p(t) ohne Beschrankung der Allgemein-heit als reell angenommen werden, da das in x lineare Glied im Exponenten in(13.52) insgesamt den jedenfalls komplexen Koeffizienten

(ip(t) − mωx(t)

)/~

hat. Die Phase ϕ(t) muss dann auch reell sein, damit die Normierung (13.51)gilt.

Der Spezialfall der freien Oszillation ist in (13.52) als x = p = 0, ϕ(t) =E0t/~ = ωt/2 enthalten. Nach Anschalten der außeren Kraft beginnt die Ener-gie des Oszillators von der Grundzustandsenergie E0 = ~ω/2 abzuweichen, wes-halb die Phase ϕ(t) nicht mehr linear mit der Zeit wachsen kann.

Um die Bedeutung der Funktion x(t) zu klaren, betrachten wir die Wahr-scheinlichkeitsdichte

|ψ(x, t)|2 =(mωπ~

)1/2exp

−mω

~[x− x(t)]2

. (13.54)

Wie zur Zeit t = 0 handelt es sich hierbei um eine Gaußsche Verteilung, dieallerdings ihr Maximum zur Stelle x = x(t) verschoben hat. Offensichtlich giltauch

〈x〉 =+∞∫

−∞

dx x|ψ(x, t)|2 = x(t) , (13.55)

so dass x(t) mit der mittleren Auslenkung des Oszillators zu identifizieren ist.

Page 245: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

13.4 Die Umgebung belasst nur den Grundzustand stabil 245

Der Phasenfaktor exp [ip(t)x/~] in (13.52) bringt zum Ausdruck, dass derOszillator nach erzwungener Auslenkung in Bewegung bleibt und einen vonNull verschiedenen mittleren Impuls aufweist. In der Tat gilt

〈p〉 =+∞∫

−∞

dx ψ∗~i

∂xψ =

+∞∫

−∞

dx |ψ|2p(t) + imω [x− x(t)]

= p(t) , (13.56)

woraus wir die noch unbekannte Funktion p(t) als den mittleren Impuls desOszillators erkennen.

Jetzt durfen Sie durch Eintragen des Ansatzes (13.52) in die Schrodinger-gleichung (13.50) verifizieren, dass in (13.52) die richtige Losung vorliegt, vor-ausgesetzt, die Mittelwerte x(t) und p(t) und die Phase ϕ(t) werden bestimmtaus

mx(t) = p(t)

˙p(t) = −mω2x(t) + F (t) (13.57)

~ϕ(t) =1

2~ω +

1

2mp(t)2 − 1

2mω2x(t)2 .

Die ersten beiden Gleichungen in (13.57) sind, wie nach dem EhrenfestschenTheorem zu erwarten, formgleich mit der Newtonschen Bewegungsgleichung furdie erzwungene Schwingung eines klassischen harmonischen Oszillators. Ihreallgemeine Losung ist uns aus 2.6 bekannt (die dort auftretende Dampfungs-konstante ist hier gleich Null zu setzen). Da im anfanglich vorliegenden Grund-zustand die Mittelwerte von Auslenkung und Impuls verschwinden

〈x〉t=0 = 〈p〉t=0 = 0 , (13.58)

lautet die mittlere Amplitude

x =

t∫

0

dt′ F (t′)1

mωsinω(t− t′) . (13.59)

Die Phase ϕ(t) ergibt sich schließlich aus dem Zeitintegral der rechten Seite derletzten der Gleichungen (13.57).

13.4 Die Umgebung belasst nur denGrundzustand stabil (Spontane Emission)

Makroskopische Oszillatoren (Pendel, elektrische Schwingkreise etc.) trifft manstets im Ruhezustand bei verschwindender Auslenkung an, es sei denn, sie un-terlagen zusatzlichen außeren makroskopischen Kraften. Der Grund dafur ist,dass eine etwa anfanglich vorhandene Anregungsenergie des Oszillators im Laufder Zeit durch Dampfung dissipiert, d. h. an die Freiheitsgrade der Umgebungabgegeben wird. Wir hatten diesen Effekt durch eine klassische Modellrechnungin 2.13 illustriert.

Ahnlich benehmen sich Quantensysteme wie einzelne Oszillatoren oder Ato-me. Von den mehreren oder vielen Energieniveaus, die man durch Losung

Page 246: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

246 13 Harmonisch gebundene Quanten

der Schrodingergleichung fur das einzelne System findet, bleibt i. A. nur derGrundzustand streng stabil, wenn eine Wechselwirkung mit der

”Umgebung“ in

Rechnung gestellt wird. Praktisch heißt das z. B. , dass ein anfanglich schwin-gendes Molekul im Lauf der Zeit seine Anregungsenergie abstrahlt und in denGrundzustand ubergeht (s. Abbildung 13.2). Als Umgebung fungiert dabei daselektromagnetische Feld.

Abbildung 13.2

Zur Illustration dieses Phanomens dient uns eine Modellrechnung, die derin 2.13 vorgestellten eng verwandt ist. Als dissipierende Umgebung verwen-den wir wieder einen Haufen harmonischer Oszillatoren, deren Frequenzen ωi(i = 1, 2, . . . , N) den Bereich 0 ≤ ωi < ∞ so dicht belegen, dass man einespektrale Dichte ρ(ω) einfuhren kann; ρ(ω)∆ω ist die Zahl dieser Oszillatoren,mit Frequenzen im kleinen Intervall ∆ω bei ω. Das zu dampfende Objekt seiebenfalls ein Oszillator, und dessen Frequenz heiße ω0. Die Kopplung zwischendem zu dampfenden Objekt und der Umgebung nehmen wir der Einfachheithalber wieder als bilinear in den Koordinaten und Impulsen x0 und p0 bzw. xiund pi an.

Bequemlichkeitshalber drucken wir den Hamiltonoperator des Systems gleichdurch die

”Erzeugungs-“ und

”Vernichtungsoperatoren“ a+ν (ν = 0, 1, 2, . . . , N)

bzw. aν aus, die beim ν-ten Oszillator die Anregungsenergie um den Betrag ~ωνerhohen (daher Erzeugungsoperator) bzw. erniedrigen (daher Vernichtungsope-rator). Die Vertauschungsrelationen sind bezuglich jedes Oszillators die in 13.1gefundenen (keine Summenkonvention!)

[aν , a+ν ] = 1, [aν , aν ] = [a+ν , a

+ν ] = 0 . (13.60)

Wegen ddxν

xµ = xµd

dxνbei µ 6= ν ist die Reihenfolge von zu zwei verschiedenen

Oszillatoren gehorigen Operatoren vertauschbar,

[aν , a+µ ] = [aν , aµ] = [a+ν , aµ] = 0 fur ν 6= µ . (13.61)

Im Hamiltonoperator tritt jedenfalls die wohl bekannte ungestorte Energie ~ων(a+ν aν +

12

)fur jeden der N + 1 Oszillatoren auf. Hinzutreten muss ein Kopp-

lungsglied, das die Wechselwirkung des zentralen Oszillators mit seiner Umge-bung beschreibt (s. Abbildung 13.3). Eine einfache und anschauliche, der har-monischen Feder entsprechende Wahl fur das Kopplungsglied ware

∑i

x0xi ∼

Page 247: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

13.4 Die Umgebung belasst nur den Grundzustand stabil 247

∑i

(a0+a+0 )(ai+a

+i ). Der nachfolgenden Rechnung lege ich jedoch bequemlich-

keitshalber die ebenfalls anschauliche Modifikation∑i

(a0a+i +a+0 ai) zu Grunde.

Beachten Sie, dass das Glied a0a+i die Vernichtung eines Quants im zentralen

und die Erzeugung eines anderen im i-ten Oszillator beschreibt; das hermiteschkonjugierte Glied a+0 ai tragt dem umgekehrten Prozess Rechnung, der Verla-gerung eines Quants aus der Umgebung in den zentralen Oszillator. Insgesamtlautet damit der Hamiltonoperator

Abbildung 13.3

H = ~ω0(a+0 a0 +

1

2

)+

N∑

i=1

~ωi(a+i ai +

1

2

)+

N∑

i=1

~g(a0a+i + a+0 ai) . (13.62)

Die im Kopplungsglied auftretende Kopplungskonstante g hat die Dimensioneiner Frequenz. In einem noch zu spezifizierenden Sinn sei g klein, die Kopplungalso schwach, damit die zu erwartenden Dissipationseffekte klein bleiben.

Der Anfangszustand des Systems sei der ungestorte Grundzustand u0(xi) furalleN Oszillatoren der

”Umgebung“ und der erste ungestorte Anregungszustand

u1(x0) des zentralen Oszillators. Die entsprechende Wellenfunktion lautet also

Φ(t = 0) = u1(x0)

N∏

i=1

u0(xi) . (13.63)

Im Fall verschwindender Kopplung, g = 0, ware (13.63) ein Eigenzustand desHamiltonoperators (13.62). Der entsprechende Eigenwert der Energie lage umdas

”Energiequant“ ~ω0 uber der Grundzustandsenergie

E0 =1

2

N∑

ν=0

~ων . (13.64)

Bei nichtverschwindender Kopplung ist der Anfangszustand kein Eigenzustanddes Hamiltonoperators (13.62) mehr. Wegen

aνu0(xν) = 0, a+ν u0(xν) = u1(xν) und aνu1(xν) = u0(xν) . (13.65)

Page 248: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

248 13 Harmonisch gebundene Quanten

gilt vielmehr

HΦ(t = 0) = (E0 + ~ω0)Φ(t = 0) + ~gN∑

j=1

u1(xj)

u0(xj)

N∏

ν=0

u0(xν) . (13.66)

Unter der Wirkung von H entsteht also aus Φ(t = 0) eine Linearkombinationvon Wellenfunktionen, deren jede genau einen Oszillator als im ungestortenersten angeregten Zustand und alle anderen Oszillatoren als im ungestortenGrundzustand befindlich beschreibt. Keine einzige dieser Wellenfunktionen istfur sich Eigenfunktion zu H, da

H

(u1(xj)

u0(xj)

ν

u0(xν)

)= (E0 + ~ωj)

(u1(xj)

u0(xj)

ν

u0(xν)

)+ ~gΦ(t = 0) .

(13.67)

Aus den beiden Beziehungen (13.66) und (13.67) folgt, dass sich die Schro-dingergleichung des Gesamtsystems

i~Φ(t) = HΦ(t) (13.68)

mit der Anfangsbedingung (13.64) losen lasst durch den einfachen Ansatz

Φ(t) =

N∑

ν=0

cν(t)u1(xj)

u0(xj)

N∏

µ=0

u0(xµ) . (13.69)

Hierin ist cν(t) die zu bestimmende Wahrscheinlichkeitsamplitude dafur, dassder ν-te Oszillator zur Zeit t ein Energiequant ~ων enthalt und alle anderen Os-zillatoren im Grundzustand sitzen. Fur die N +1 Unbekannten cν(t) finden wiraus der Schrodingergleichung (13.68) mit Hilfe von (13.66) und (13.67) folgendeBewegungsgleichungen

c0(t) = −i(ω0 + E0/~)c0(t)− ig

N∑

i=1

ci(t) (13.70)

ci(t) = −igc0(t)− i(ωi + E0/~)ci(t) . (13.71)

Diese haben wir mit der Anfangsbedingung

c0(0) = 1, ci(0) = 0 (13.72)

zu losen.Die weitere Rechnung verlauft ganz ahnlich wie die in 2.13. Genießen Sie

den Vergleich! Da das Schicksal des zentralen Oszillators (die zu erwartendeDampfung, c0(t → ∞) → 0) von besonderem Interesse ist, eliminieren wirzunachst die ci(t), indem wir (13.71) formal integrieren,

ci(t) = ci(0)︸︷︷︸=0

e−i(ωi+E0/~)t − ig

t∫

0

dt′ e−i(ωi+E0/~)t′c0(t− t′) , (13.73)

Page 249: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

13.4 Die Umgebung belasst nur den Grundzustand stabil 249

und dieses Integral in (13.70) eintragen. Dabei entsteht fur c0(t) die Integrodif-ferentialgleichung

c0(t) = −i(ω0 + E0/~)c0(t)− g2t∫

0

dt′∑

i

e−i(ωi+E0/~)t′c0(t− t′) . (13.74)

Um die Abweichung des Verhaltens von c0(t) von der freien Schwingung (g = 0)besonders sinnfallig zu machen, benutzen wir die Darstellung

ci(t) = e−i(ωi+E0/~)tc0(t) (13.75)

und erhalten fur die Amplitude c0(t)

˙c0(t) = −g2t∫

0

dt′∑

i

ei(ω0−ωi)t′

c0(t− t′) . (13.76)

Offenbar bleibt c0(t) bei verschwindender Kopplung zeitlich konstant. Versu-chen wir, die bei schwacher Kopplung zu erwartende schwache Zeitabhangigkeitdurch den Exponentialansatz

c0(t) = e−Γt−iδt (13.77)

zu erfassen. Die reellen Parameter Γ und δ haben, falls der Ansatz die Be-wegungsgleichung (13.76) befriedigt, die physikalische Bedeutung einer Damp-fungskonstanten bzw. einer Frequenzverschiebung. Tragen wir den Ansatz(13.77) in (13.76) ein, so erhalten wir die Kompatibilitatsbedingungen zur Be-stimmung von Γ und δ

Γ + iδ = g2∑

i

eΓ+i(ω0+δ−ωi)t − 1

Γ + i(ω0 + δ − ωi). (13.78)

In niedrigster Ordnung in g (auf die wir uns im Grenzfall schwacher Kopp-lung beschranken durfen) konnen wir auf der rechten Seite Γ und δ vernachlassi-gen. Ferner erlaubt uns die Annahme eines dichten Spektrums von Frequenzenωi die Ersetzung der Summe uber die Umgebungsoszillatoren durch ein Fre-quenzintegral. Daraufhin verandert sich (13.78) zu

Γ + iδ = g2∞∫

0

dω ρ(ω)ei(ω0−ω)t − 1

i(ω0 − ω)

oder, nach Real- und Imaginarteil getrennt,

Γ = g2∞∫

0

dω ρ(ω)sin(ω0 − ω)tω0 − ω

(13.79)

δ = g2∞∫

0

dω ρ(ω)1− cos(ω0 − ω)t

ω0 − ω. (13.80)

Page 250: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

250 13 Harmonisch gebundene Quanten

Die gewonnenen Ausdrucke fur Γ und δ (und damit der Ansatz (13.77) sindnur sinnvoll, wenn die rechts stehenden Integrale zeitunabhangig sind. Diesist fur große Zeiten, t À ω−10 , tatsachlich der Fall, wie wir uns schon in 2.13uberlegt hatten. Insbesondere gilt

limt→∞

sin(ω0 − ω)t(ω0 − ω)

= πδ(ω − ω0) (13.81)

und somit

Γ = πg2ρ(ω0) . (13.82)

Es nimmt also die Wahrscheinlichkeit dafur, den zentralen Oszillator imersten angeregten Zustand zu finden, zeitlich exponentiell ab,

|c0(t)|2 = |e−i(ω0+E0/~)te−Γt−iδτ |2 = e−2Γt . (13.83)

Also kann 1/2Γ als Lebensdauer des Anfangszustandes interpretiert werden.Nach Ablauf einiger dieser Zeiteinheiten 1/2Γ hat der zentrale Oszillator seineanfangliche Anregungsenergie ~ω0 in die Umgebung emittiert.

Damit die Amplitude

c0(t) = e−i(ω0+δ+E0/~)t−Γt (13.84)

auf Grund der Wechselwirkung mit der Umgebung nur schwach vom ungestortenVerhalten abweicht, mussen (beachten Sie, dass die Phase E0/~ keine physika-lische Bedeutung hat, da sie in allen cν(t) auftritt; sie kann durch Wahl desEnergienullpunktes zum Verschwinden gebracht werden) sowohl die Dampfungs-konstante Γ wie die Frequenzverschiebung δ klein gegenuber der ungestortenEigenfrequenz ω0 sein,

Γ, δ0 ¿ ω0 . (13.85)

Dies ist die eingangs angekundigte Bedingung fur die Schwache der Kopplung.Die soeben durchgefuhrte quantenmechanische Betrachtung der Dampfung

ist von recht weitreichender Bedeutung. Eine unmittelbare Anwendung findetsie auf die spontane Emission von infrarotem Licht durch anfanglich angeregtschwingende Molekule. Die Anwendbarkeit begrundet sich darin, dass das elek-tromagnetische Strahlungsfeld als ein Haufen von Oszillatoren angesehen werdenkann. Von spontaner Emission spricht man dabei deshalb, weil das elektroma-gnetische Feld (die Umgebung) als anfanglich im Grundzustand befindlich ange-nommen ist und somit zunachst keine elektromagnetische Welle vorhanden ist,die einen Ubergang eines angeregt schwingenden Molekuls in den Grundzustandinduzieren konnte. Der durch kein außeres Signal oder anfangliches elektroma-gnetisches Feld erzwungene, vielmehr spontane Ubergang des Molekuls in denGrundzustand der Schwingung manifestiert eine intrinsische Instabilitat des an-geregten Zustands auf Grund der Ankopplung der Freiheitsgrade des elektro-magnetischen Feldes.

Mit nur geringen Modifikationen entsteht aus der dargelegten Rechnung dieberuhmte Wigner-Weißkopf Theorie der spontanen Emission von Licht durchangeregte Atome. In diesem Fall entspricht dem zentralen Oszillator das von

Page 251: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

13.4 Die Umgebung belasst nur den Grundzustand stabil 251

einem angeregten Zustand in den Grundzustand springende und dabei strah-lende Atom, wahrend die Umgebungsoszillatoren durch die Gesamtheit dermonochromatischen Wellen des elektromagnetischen Feldes dargestellt werden.Die Dampfungskonstante (13.82) gibt dann die Linienbreite der zum atomarenUbergang gehorenden Spektrallinie.

Page 252: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

252 13 Harmonisch gebundene Quanten

Page 253: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

Kapitel 14

Das Wasserstoffatom

14.1 Relativ- und Schwerpunktsbewegung

Im Wasserstoffatom bewegt sich ein Elektron der Ladung −e um ein Protonder Ladung +e (e > 0). Wir haben es also mit einem Zweikorperproblem zutun, dessen Wellenfunktion von den sechs Ortskoordinaten ~xel = (xel, yel, zel)und ~xp = (xp, yp, zp) abhangt. Da die Wechselwirkung der beiden TeilchenCoulombsch ist,

U = U(~xel − ~xp) = −1

4πε0

e2

|~xel − ~xp|, (14.1)

lautet die zu losende Schrodingergleichung

i~Φ = HΦ =

(1

2mel~p2el +

1

2mp~p2p −

1

4πε0

e2

|~xel − ~xp|

)Φ , (14.2)

wobei

~pel =~i∇el =

~i(∂/∂xel, ∂/∂yel, ∂/∂zel)

und

~pp =~i∇p =

~i(∂/∂xp, ∂/∂yp, ∂/∂zp) (14.3)

die Impulsoperatoren fur das Elektron bzw. das Proton sind; mel und mp sinddie entsprechenden Massen.

Ganz ahnlich wie wir in Kapitel 3.4 das klassische Keplerproblem auf einEinkorperproblem zuruckgefuhrt haben, konnen wir bei der vorstehenden quan-tenmechanischen Aufgabe vorgehen. Fuhren wir Relativ - und Schwerpunktsko-ordinaten ein, gemaß

~x = ~xel − ~xp

~X =1

mel +mp(mel~xel +mp~xp) . (14.4)

253

Page 254: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

254 14 Das Wasserstoffatom

In diesen Koordinaten schreibt sich die Schrodingergleichung

i~Φ = HΦ =

[− ~2

2m

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)

− ~2

2M

(∂2

∂X2+

∂2

∂Y 2+

∂2

∂Z2

)− 1

4πε0

e2

|~x|

]Φ (14.5)

mit

m =melmp

mel +mp

M = mel +mp (14.6)

als reduzierter Masse und Gesamtmasse des Systems.Da die Wechselwirkungsenergie nur von den Relativkoordinaten abhangt,

und da in der kinetischen Energie keine Produkte von Ableitungen nach Relativ-und Schwerpunktskoordinaten auftreten, lasst sich die Schrodingergleichung(14.5) losen durch den Ansatz,

Φ(~x, ~X, t) = ψ(~x, t)Ψ( ~X, t) . (14.7)

Fur die Teilwellenfunktionen ψ(~x, t) und Ψ( ~X, t) ergeben sich aus (14.5) diebeiden voneinander vollig entkoppelten Schrodingergleichungen

i~ψ(~x, t) =[− ~2

2m∇2 − 1

4πε0

e2

|~x|

]ψ(~x, t) mit ∇2 = ∂2/∂x2 + · · · (14.8)

und

i~Ψ( ~X, t) = − ~2

2M∇2Ψ( ~X, t) mit ∇2 = ∂2/∂X2 + · · · (14.9)

Letztere Gleichung ist uns wohlbekannt als die Schrodingergleichung einesfreien Teilchens der Masse M , wahrend erstere die Bewegung eines Quants derMasse m in einem Coulombfeld mit Zentrum bei ~x = 0 beschreibt. Die Un-abhangigkeit der freien Schwerpunktsbewegung von der Relativbewegung istoffenbar Ausdruck der Homogenitat des Raumes, in welchem sich das Gesamt-system befindet: die ursprungliche Schrodingergleichung (14.2) zeichnet keinenPunkt des Raumes aus; sie bleibt unverandert gegenuber der galileischen Koor-dinatentransformation ~x′ = ~x+ ~d+ ~vt.

14.2 Bewegung im Coulombfeld

Wegen der Isotropie des Coulombfeldes bezuglich des Zentrums ~x = 0 ist eszweckmaßig, die Schrodingergleichung der Relativbewegung im Wasserstoffa-tom in Kugelkoordinaten zu behandeln. Die Transformation von diesen zu denkartesischen Koordinaten lautet:

x = r cosϕ sin θ, y = r sinϕ sin θ, z = r cos θ (14.10)

Page 255: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

14.2 Bewegung im Coulombfeld 255

bzw. umgekehrt

r =√x2 + y2 + z2, tanϕ = y/x, tan θ =

√x2 + y2/z . (14.11)

Die Ableitungen nach Kugel- und kartesischen Koordinaten sind verknupft durchdie Kettenregel, also z. B. ∂/∂x = (∂r/∂x)∂/∂r+(∂ϕ/∂x)∂/∂ϕ+(∂θ/∂x)∂/∂θ.Insgesamt gilt

∂x= sin θ cosϕ

∂r+

1

rcos θ cosϕ

∂θ− 1

r

sinϕ

sin θ

∂ϕ

∂y= sin θ sinϕ

∂r+

1

rcos θ sinϕ

∂θ+

1

r

cosϕ

sin θ

∂ϕ

∂z= cos θ

∂r− 1

rsin θ

∂θ

sowie fur den Laplaceoperator

∇2 =1

r2∂

∂rr2∂

∂r+

1

r2 sin θ

∂θsin θ

∂θ+

1

r2 sin2 θ

∂2

∂ϕ2. (14.12)

Somit schreibt sich die zu untersuchende Schrodingergleichung als

i~ψ(r, ϕ, θ, t) = Hψ(r, ϕ, θ, t) (14.13)

=

(− ~2

2mr2∂

∂rr2∂

∂r+

1

2mr2~L2 − 1

4πε0

e2

r

)ψ(r, ϕ, θ, t)

mit der Abkurzung

~L2 = −~2(

1

sin θ

∂θsin θ

∂θ+

1

sin2 θ

∂2

∂ϕ2

). (14.14)

Der enorme gegenuber der Formulierung in kartesischen Koordinaten erreich-te Vorteil ist nun offenbar. Da der Differentialoperator ~L2 die Radialvariable rnicht enthalt, muss die Losung der Schrodingergleichung (14.13) mit Hilfe desProduktansatzes

ψ = e−iEt/~R(r)Y (θ, ϕ) (14.15)

gelingen. Die winkelabhangige Amplitude Y (θ, ϕ) ist dabei als Eigenfunktion

des Operators ~L2 zu wahlen gemaß

~L2Y (θ, ϕ) = ~2l(l + 1)Y (θ, ϕ) ; (14.16)

die hier vorgenommene Benennung der noch zu suchenden Eigenwerte von ~L2

ist Konventionssache. Fur den Radialteil R(r) der Eigenfunktion (14.15) desHamiltonoperators ergibt sich schließlich die gewohnliche Differentialgleichung

ER =

(− ~2

2mr2d

drr2

d

dr+

~2l(l + 1)

2mr2~L2 − 1

4πε0

e2

r

)R , (14.17)

Page 256: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

256 14 Das Wasserstoffatom

aus der auch die moglichen Energieeigenwerte E festzulegen sind.Unsere in Kapitel 3 gewonnene Erfahrung mit dem klassischen Keplerpro-

blem lasst uns erwarten, dass fur negative Energien gebundene Zustande vor-liegen, deren Normierungsintegral endlich ist

∞∫

0

dr r2π∫

0

dθ sin θ

2π∫

0

dϕ |R(r)Y (θ, ϕ)|2 = 〈ψ |ψ〉 <∞ . (14.18)

Andererseits sollten Eigenfunktionen mit E ≥ 0 ungebundenen Streuzustandenentsprechen, da auch klassische Teilchen mit E ≥ 0 durch die potenzielle EnergieU ∼ 1/r nicht an der Flucht in beliebige Entfernung vom Zentrum gehindertwerden.

Letztere Erwartung erfullen wir uns sofort, indem wir die Eigenwertgleichung(14.8) fur große Abstande vom Zentrum betrachten. Nach Weglassen aller mitr →∞ abfallenden Glieder vereinfacht sich diese Gleichung zu

~2

2m

d2R

dr2+ER = 0 (14.19)

und hat die Partikularlosungen

R = e±ir√

2mE/~2

. (14.20)

Wie erwartet, verhalten sich die Losungen mit positiven Energien oszillatorisch,fallen also nicht ab mit r →∞; beliebig große Abstande r behalten eine endlicheWahrscheinlichkeitsamplitude. Wie es fur derartige Streuzustande typisch ist,existiert das uber den ganzen Raum erstreckte Normierungsintegral nicht.

Bei negativer Energie verhalt sich eine der beiden asymptotischen Losungenexponentiell abfallend, entspricht also einem normierbaren gebundenen Zustand,wahrend die andere mit r → ∞ exponentiell wachst. Letztere wurde keine In-terpretation als Wahrscheinlichkeitsamplitude zulassen und darf nicht auftreten.Das Verbot exponentiellen Anwachsens fur r → ∞ ist eine Randbedingung furdie Eigenlosungen von (14.17), die sich, wie wir sehen werden, nur fur diskreteWerte der Energie im Intervall −∞ < E < 0 befriedigen lasst. Wie bei denfruher behandelten Quantensystemen sind also auch hier die diskreten Energie-niveaus zu den gebundenen Zustanden durch Randbedingungen festgelegt.

14.3 Der Bahndrehimpuls∗)

Die oben konstatierte Separierbarkeit der Schrodingergleichung (14.13) in Ku-gelkoordinaten, d. h. die Losbarkeit durch den Produktansatz (14.15), ist kei-neswegs zufallig, sondern eine Konsequenz der Winkelunabhangigkeit des Cou-lombpotentials. Beim klassischen Keplerproblem hatte die Isotropie bezuglichdes Zentrums, Sie erinnern sich, die zeitliche Erhaltung des Drehimpulses

~L = ~x× ~p (14.21)

∗)Der nicht an der Konstruktion der Drehimpulseigenwerte und -eigenfunktionen interes-sierte Leser moge direkt zum Ergebnis springen, das ab (14.71) dargestellt wird.

Page 257: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

14.4 Kommutierende Operatoren haben gemeinsame Eigenfunktionen 257

zur Folge. Ich will hier begrunden, dass der gleiche Erhaltungssatz in der Quan-tenmechanik gilt und sich in der genannten Separierbarkeit der Schrodingerglei-chung manifestiert.

Klassisch wie quantenmechanisch ist der Vektor ~L = (Lx, Ly, Lz) durch

(14.21) definiert. Auf ortsabhangige Wellenfunktionen wirkt ~L wegen ~p = ~i∇

als Differentialoperator. Seine Komponenten lauten

Lx = ypz − zpy =~i

(y∂

∂z− z ∂

∂y

)= i~

(sinϕ

∂θ+ cot θ cosϕ

∂ϕ

)

Ly = zpx − xpz =~i

(z∂

∂x− x ∂

∂z

)= i~

(− cosϕ

∂θ+ cot θ sinϕ

∂ϕ

)

Lz = xpy − ypx =~i

(x∂

∂y− y ∂

∂z

)=

~i

∂ϕ. (14.22)

Das Quadrat des Vektors ~L finden wir aus (14.22) zu

~L = L2x + L2

y + L2z = −~2

(1

sin θ

∂θsin θ

∂θ+

1

sin2∂2

∂ϕ2

)(14.23)

und erkennen hierin die im letzten Paragrafen verwendete Abkurzung fur denwinkelabhangigen Anteil des Hamiltonoperators

H = − ~2

2m

1

r2∂

∂rr2∂

∂r− 1

4πε0

e2

r+

1

2mr2~L2 . (14.24)

Da der Operator ~L2 die Radialkoordinate nicht enthalt, vertauscht er mitdem Hamiltonoperator,

[H, ~L2] = 0 . (14.25)

Diese Vertauschbarkeit bliebe sogar erhalten, wenn das Coulombfeld e2/r in(14.24) durch ein beliebiges Zentralfeld U(r) ersetzt wurde, hangt also nur ander Isotropie bezuglich des Zentrums. Uberzeugen wir uns nun davon, dassdas Verschwinden des Kommutators (14.25) einen Erhaltungssatz fur das Qua-drat des Drehimpulses darstellt. Dabei hilft der folgende kleine mathematischeExkurs.

14.4 Kommutierende Operatoren haben gemein-same Eigenfunktionen

Seien A und B zwei Operatoren. Damit ϕ eine gemeinsame Eigenfunktion ist,muss gelten

Aϕ = aϕ, Bϕ = bϕ , (14.26)

wobei a und b die respektiven Eigenwerte sind. Multiplizieren wir die erstedieser Gleichungen mit B und die zweite mit A, so erhalten wir als Differenz

(AB −BA)ϕ = (ab− ba)ϕ = 0 . (14.27)

Page 258: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

258 14 Das Wasserstoffatom

Hieraus darf noch nicht geschlossen werden, dass A und B kommutieren. Wennjedoch alle Eigenfunktionen von A und B gemeinsame Eigenfunktionen sind,also die Eigenschaft (14.27) haben, so folgt

[A,B] = 0 . (14.28)

Die Argumentation kann auch umgekehrt gefuhrt werden, d. h. das Verschwin-den des Kommutators impliziert, dass A und B alle Eigenfunktionen gemeinsamhaben.

In etwas anschaulicherer Formulierung lautet die eben gewonnene Erkennt-nis: Kommutierende Observable sind zugleich scharf messbar. Scharf ist einephysikalische Große (das ist eine

”Observable“) A bezuglich ihrer Eigenzustande.

Liegen namlich Systeme im Zustand ϕ vor, der Eigenzustand von A mit Eigen-wert a ist, so hat die Observable in diesen Systemen genau den Wert a; beiMessung an im Zustand ϕ praparierten Systemen ergibt sich fur die fraglicheObservable immer nur der Wert a. Wenn ϕ sogar Eigenzustand von zwei Ob-servablen A und B ist, so ergeben Messungen an in ϕ praparierten Systemeneben immer nur die respektiven Eigenwerte als Messwerte dieser Observablen.Unscharf ist dagegen eine Observable A bezuglich jedes Zustandes, der nichteiner ihrer Eigenzustande ist. Schauen wir etwa eine Linearkombination zweiernormierter Eigenzustande ϕ und ϕ′ von A mit Eigenwerten a und a′ an,

ψ = cϕ+ c′ϕ′ mit |c|2 + |c′|2 = 1 . (14.29)

Dann sind |c|2 und |c′|2 die Wahrscheinlichkeiten dafur, dass wir bei Messungvon A an Systemen mit der Wellenfunktion ψ den Wert a bzw. a′ finden.Offenbar ist die Unscharfe von A bei Zustanden der Form (14.29) am großtenfur |c|2 = |c′|2 = 1/2.

Ein beliebtes, Ihnen aus der Experimentalphysik bekanntes Maß fur dieScharfe einer Observablen bezuglich einer Wellenfunktion ψ ist die so genannteStreuung

Str(A) =(〈ψ |A2ψ〉 − 〈ψ |Aψ〉2

)1/2. (14.30)

Fur hermitesche Operatoren ist die Streuung reell und nicht negativ, denn esgilt mit A = A+ und 〈A〉 = 〈ψ |Aψ〉 = 〈A〉∗

Str(A)2 =⟨ψ | (A− 〈A〉)2 ψ

⟩=⟨(A− 〈A〉)ψ | (A− 〈A〉)ψ

⟩≥ 0 . (14.31)

Den kleinstmoglichen Wert Null kann die Streuung gemaß (14.31) ubrigens nurannehmen, wenn der nichtnegative Integrand im Integral 〈(A− 〈A〉)ψ | (A− 〈A〉)ψ〉verschwindet, d. h. wenn

Aψ = 〈A〉ψ (14.32)

gilt, also ψ eine Eigenfunktion von A ist.Als Ubung bleibt Ihnen, die Streuung von A bezuglich des Zustands (14.29)

auszurechnen. Sie finden leicht

Str(A)2 = |c|2(1− |c|2)(a− a′)2 (14.33)

und bestatigen hieraus, dass die Streuung fur |c|2 = 1/2 maximal ist, wahrendsie fur |c|2 = 0 und fur |c|2 = 1 verschwindet.

Page 259: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

14.5 Die Eigenwerte des Bahndrehimpulses 259

Jetzt konnen Sie verstehen, dass die Vertauschbarkeit eines Operators A (wie

des Bahndrehimpulsquadrats ~L2) mit dem Hamiltonoperator, [H,A] = 0, derzeitlichen Erhaltung von A entspricht. Der zeitabhangige Zustand ψ(t) des frag-lichen Systems lasst sich namlich als Uberlagerung von Energieeigenzustandenψn darstellen.

ψ(t) =∑

n

cn e−iEnt/~ψn . (14.34)

Der entsprechende Erwartungswert von A ergibt sich dann, da die ψn wegen[H,A] = 0 auch Eigenzustande von A sind, zu

〈A〉(t) =∑

n,m

cnc∗m e−i(En−Em)t/~an〈ψm |ψn〉

=∑

n

|cn|2an〈ψn |ψn〉 , (14.35)

d. h. als zeitunabhangig. Ebenso zeitunabhangig bleiben die Streuung von Aund die Erwartungswerte beliebiger Potenzen Aν .

Gleichermaßen einsehbar wird der Zusammenhang zwischen der Separierbar-keit der Schrodingergleichung (14.13) und der Erhaltung des Bahndrehimpuls-quadrats fur die Bewegung im Coulombfeld. Die Separierbarkeit von (14.13)

durch den Ansatz (14.15) bedeutet, dass H und ~L2 gemeinsame Eigenfunktio-

nen haben. Dies und die zeitliche Erhaltung von ~L2 ist im Verschwinden desKommutators [H, ~L2] begrundet. Vergessen Sie nicht den physikalischen Grund

fur [H, ~L2] = 0, die Isotropie des Coulombpotentials.

14.5 Die Eigenwerte des Bahndrehimpulses

Anders als die Komponenten des Impulses ~p = ~i∇ kommutieren die Kompo-

nenten des Bahndrehimpulses ~L = ~x × ~p nicht untereinander. Vielmehr folgtaus [pi, xj ] =

~i δij

[Lx, Ly] = [ypz − zpy, zpx − xpz] = [ypz, zpx] + [zpy, xpz]

= ypx[pz, z] + xpy[z, pz] =~i(ypx − xpy)

= i~Lz . (14.36)

Ganz ahnlich finden Sie die anderen Kommutatoren. Insgesamt gilt

[Lx, Ly] = i~Lz; [Ly, Lz] = i~Lx; [Lz, Lx] = i~Ly (14.37)

Beachtenswert ist, dass sich alle diese Relationen aus einer derselben ergebendurch zyklische Permutation der Vektorindizes. Diese Verwandtschaft bestehtnicht zufallig; sie entspricht der Gleichberechtigung der Benennungen der 1-, 2-und 3-Achsen eines rechtssinnigen rechtwinkligen Dreibeins mit Koordinaten inder Reihenfolge xyz, yzx und zxy.

Wir schließen aus den Vertauschungsregeln (14.37), dass verschiedene Kom-ponenten des Drehimpulses nicht zugleich scharf sein konnen. Wohl aber kann

Page 260: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

260 14 Das Wasserstoffatom

jede Komponente von ~L mit dem Quadrat des Drehimpulses zugleich scharfsein, denn es gilt

[Lx, ~L2] = [Lx, L

2y] + [Lx, L

2z] = i~(LyLz + LzLy)− i~(LzLy + LyLz) = 0

und insgesamt

[Lx, ~L2] = [Ly, ~L

2] = [Lz, ~L2] = 0 . (14.38)

Suchen wir also die gemeinsamen Eigenfunktionen von ~L2 und, sagen wir,der z-Komponente Lz. Zweckmaßigerweise benutzen wir dabei Kugelkoordina-ten, denn bezuglich dieser hatten wir in 14.3 die Operatoren ~L allein durch dieWinkel θ und ϕ ausdrucken konnen. Demnach hangen auch die gesuchten Ei-genfunktionen Y (θ, ϕ) nur von diesen Winkeln ab und nicht von der Radialkoor-dinate r. Allgemeinem Brauch entsprechend benennen wir die Eigenfunktionenund Eigenwerte wie folgt

~L2Ylm(θ, ϕ) = ~2l(l + 1)Ylm(θ, ϕ)

LzYlm(θ, ϕ) = ~mYlm(θ, ϕ) . (14.39)

Die Eigenwerte ~2l(l+1) und ~m sind reell, denn alle Komponenten Li undsomit auch das Quadrat des Drehimpulses sind hermitesche Operatoren. Ameinfachsten sehen wir das am Ausdruck (14.22) fur die z-Komponente

Lz =~i

∂ϕ. (14.40)

Im Skalarprodukt zweier Wellenfunktionen Φ(r, θ, ϕ) und Ψ(r, θ, ϕ) wirkt Lz wie

〈Φ |LzΨ〉 =∞∫

0

dr r2π∫

0

dθ sin θ

2π∫

0

dϕ Φ∗(r, θ, ϕ)~i

∂ϕΨ(r, θ, ϕ)

=

∞∫

0

dr r2π∫

0

dθ sin θ

2π∫

0

(~i

∂ϕΦ(r, θ, ϕ)

)∗Ψ(r, θ, ϕ)

+

∞∫

0

dr r2π∫

0

dθ sin θ~i

(Φ∗(r, θ, 2π)Ψ(r, θ, 2π)

− Φ∗(r, θ, 0)Ψ(r, θ, 0)

). (14.41)

Da als Wellenfunktionen nur solche Funktionen Φ und Ψ zugelassen sind, dieeinem Raumpunkt ~x genau eine Wahrscheinlichkeitsdichte |Φ(~x)|2 bzw. |Ψ(~x)|2zuweisen, haben in Kugelkoordinaten die erlaubten Wellenfunktionen entwederalle die Periodizitat

Φ(r, θ, ϕ) = Φ(r, θ, ϕ+ 2π) (14.42)

Page 261: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

14.5 Die Eigenwerte des Bahndrehimpulses 261

oder alle die Eigenschaft†) Φ(r, θ, ϕ+2π) = −Φ(r, θ, ϕ). Jedenfalls verschwindendie beiden Randterme in (14.41), und es folgt die Hermitezitat von Lz,

〈Φ |LzΨ〉 = 〈LzΦ |Ψ〉 . (14.43)

Da im vorliegenden Problem die z-Richtung nur durch ihren Namen vor der x-und der y-Richtung ausgezeichnet ist, mussen auch Lx und Ly hermitesch sein.

Ohne Rechnung ergibt sich dann auch die Hermitezitat von ~L2.Die Eigenwerte von ~L2 und Lz, ~2l(l+1) bzw. ~m, sind nun als reell erkannt.

Vom Eigenwert ~2l(l + 1) sehen wir uberdies schnell, dass er nicht negativ seinkann. Mit einer beliebigen Wellenfunktion Φ(~x) gilt namlich wegen Li = L+

i

〈Φ | ~L2Φ〉 = 〈Φ |L2xΦ〉+ 〈Φ |L2

yΦ〉+ 〈Φ |L2zΦ〉 = 〈LxΦ |LxΦ〉+ · · · . (14.44)

Als Summe von Integralen uber nichtnegative Integranden kann 〈Φ | ~L2Φ〉 furkeine Wahl von Φ negativ sein. Insbesondere auch nicht fur Wellenfunktionen,deren Winkelanteil eine Eigenfunktion Ylm(θ, ϕ) ist. Ohne Beschrankung derAllgemeinheit kann also l als positiv angesehen werden.

Zur weiteren Festlegung der Eigenwerte l und m sowie der EigenfunktionenYlm bedienen wir uns der Vertauschungsrelationen (14.37) und (14.38). IhrVerstandnis der folgenden Argumentation wird sicher befordert, wenn Sie dieAnalogie zu unserer Konstruktion der Energieeigenfunktionen des harmonischenOszillators in 12.1 betrachten.

Bequemlichkeitshalber fuhren wir zunachst die zueinander adjungierten Ope-ratoren

L± = Lx ± iLy = ~ e±iϕ± ∂

∂θ+ i cot θ

∂ϕ

(14.45)

ein, die sich als den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren a+ bzw. a beimOszillator analog erweisen werden. Aus (14.37) und (14.38) ergeben sich fur L±die Vertauschungsrelationen

[Lz, L±] = ±~L±, [L+, L−] = 2~Lz

und

[~L2, L±] = 0 . (14.46)

Ferner folgen aus (14.37) die Identitaten

L−L+ = ~L2 − Lz(Lz + ~)

L+L− = ~L2 − Lz(Lz − ~), (14.47)

die wir sofort ausschlachten. Offenbar kommutiert L−L+ ebenso wie L+L− mit~L2 und Lz. Also haben beide Operatoren die Funktionen Ylm als Eigenfunktio-nen, u. z. gilt

L−L+Ylm = ~2[l(l + 1)−m(m+ 1)

]Ylm = ~2(l −m)(l +m+ 1)Ylm (14.48)

†)Wir werden im nachsten Paragrafen letzteren Fall als unphysikalisch ausschließen konnen.

Page 262: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

262 14 Das Wasserstoffatom

und

L+L−Ylm = ~2[l(l + 1)−m(m− 1)

]Ylm = ~2(l +m)(l −m+ 1)Ylm . (14.49)

Die hier auftretenden Eigenwerte konnen nicht negativ sein, denn da L+ undL− zueinander adjungiert sind, haben wir fur eine beliebige WellenfunktionΦ(r, θ,m) die Ungleichungen 〈Φ |L−L+Φ〉 = 〈L+Φ |L+Φ〉 ≥ 0 und 〈Φ |L+L−Φ〉= 〈L−Φ |L−Φ〉 ≥ 0. Durch die Eigenschaften

(l −m)(l +m+ 1) ≥ 0 und (l +m)(l −m+ 1) ≥ 0 (14.50)

sind die moglichen Werte von m bei festem l eingeschrankt auf den Bereich

−l ≤ m ≤ +l . (14.51)

(Erinnern Sie sich an den harmonischen Oszillator? Wir hatten in 13.1 argu-mentiert, dass a+a nichtnegative Eigenwerte hat, weil a und a+ zueinanderadjungiert sind.)

Nun uberzeugen wir uns davon, dass mit Ylm auch L±Ylm Eigenfunktionen

von ~L2 und Lz sind und zwar zu den respektiven Eigenwerten ~2l(l + 1) und~(m± 1). Dazu mussen wir nur die Kommutatoren (14.46) bemuhen:

~L2L±Ylm = L±~L2Ylm = ~2l(l + 1)L±Ylm

LzL±Ylm = ±~L±Ylm + L±LzYlm = ~(m± 1)L±Ylm . (14.52)

Durch mehrfache Multiplikation mit L+ und L− entstehen weitere Eigenfunk-tionen,

Lz(L±)pYlm = ~(m± p)(L±)pYlm mit p = 1, 2, 3, . . . (14.53)

Beide so konstruierten Folgen mussen nach endlich vielen Gliedern abbre-chen, damit der Eigenwert von Lz nicht das Intervall (14.51) verlasst. Beimwiederholten Anwenden von L+ bzw. L− mussen schließlich Funktionen Yl,max

bzw. Yl,min entstehen mit den Eigenschaften

L+Yl,max = 0 (14.54)

und

L−Yl,min = 0 . (14.55)

Wenn wir (14.54) mit L− multiplizieren und (14.55) mit L+, so sehen wir nachVergleich mit (14.48) bzw. (14.49), dass der großte Eigenwert von Lz durch

max = +l (14.56)

und der kleinste durch

min = −l (14.57)

gegeben ist.

Page 263: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

14.6 Die Eigenfunktionen des Bahndrehimpulses 263

Uber die moglichen Werte von l erhalten wir auch Aufschluss. Ausgehendvon Yl,−l muss namlich in einer ganzen Zahl p von Schritten mit (L+)

pYl,−l eineEigenfunktion von Lz mit dem großtmoglichen Eigenwert erreicht werden. Esgilt offenbar −l+ p = l oder p = 2l mit p = 1, 2, 3, . . .. Zunachst scheinen dabeisowohl ganzzahlige wie halbzahlige Werte fur l (und somit auch fur m) erlaubt.Der Fall halbzahliger Werte fur l und m wird sich jedoch gleich als unphysi-kalisch erweisen. (Zwar existieren in der Natur auch halbzahlige Drehimpulse,jedoch handelt es dabei nicht um Bahndrehimpulse, sondern um den noch zudiskutierenden Spin von Fermiteilchen wie Elektron, Proton etc.)

14.6 Die Eigenfunktionen des Bahndrehimpul-ses

Die im letzten Paragrafen gewonnenen Eigenschaften der Eigenwerte l und msowie der Eigenfunktionen Ylm beruhen ganz auf den Vertauschungsrelationen(14.37) und (14.38). Noch haben wir keinen Gebrauch davon gemacht, dass die

Li und ~L2 Differentialoperatoren bezuglich der Winkel θ und ϕ sind. LetztereTatsache machen wir uns jetzt zunutze, wenn wir die gesuchten Drehimpuls-eigenfunktionen Ylm(θ, ϕ) explizit konstruieren. Die ϕ-Abhangigkeit gewinnenwir aus (14.39) und (14.40), d. h. aus

~i

∂ϕYlm(θ, ϕ) = ~mYlm(θ, ϕ) , (14.58)

sofort als

Ylm(θ, ϕ) ∼ eimϕ . (14.59)

Die θ-Abhangigkeit besorgen wir uns zunachst fur den Fall m = −l, d. h. furdie bei festem ~L2 = ~2l(l + 1) kleinstmogliche z-Komponente, Lz = −~l. DieFunktion Yl,−l = e−ilϕfl(θ) gehorcht der Bedingung (14.55), also

(− ∂

∂θ+ i cot θ

∂ϕ

)e−ilϕfl(θ) = e−ilϕ

(− ∂

∂θ+ l cot θ

)fl(θ) = 0 . (14.60)

Als Losung verifizieren Sie sofort fl(θ) = sinl θ. Insgesamt erhalten wir somit

Yl,−l(θ, ϕ) = cle−ilϕ sinl θ , (14.61)

wobei cl eine durch Normierung festzulegende Integrationskonstante ist. DerBetrag von cl ergibt sich aus

|cl|22π∫

0

π∫

0

dθ sin θ sin2l θ = |cl|24πl!2l/(2l + 1)! = 1 .

Fur die beliebige Phase von cl hat sich die Konvention cl/|cl| = (−1)l ein-geburgert. Damit ist

cl = (−1)l√

(2l + 1)!√4π2ll!

(14.62)

Page 264: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

264 14 Das Wasserstoffatom

bestimmt.Schließlich finden wir gemaß (14.53) die Eigenfunktion Ylm(θ, ϕ) durch (l +

m)-malige Multiplikation von Yl,−l mit dem Operator L+,

Ylm(θ, ϕ) ∼ cl[eiϕ(∂

∂θ+ i cot

∂ϕ

)]l+me−ilϕ sinl θ . (14.63)

Jetzt endlich konnen wir halbzahlige Werte fur l und m ausschließen, indemwir nachrechnen, dass die explizit vorliegenden Eigenfunktionen fur halbzahligesl gar nicht die aus (14.54) folgende Bedingung

(L+)2l+1Yl,−l ∼ L+Yl,l = 0 (14.64)

erfullen. Die Rechnung verlauft am einfachsten im Fall l = 1/2:

(L+)2e−iϕ/2 sin1/2 θ = L+~eiϕ

(∂

∂θ+ i cot

∂ϕ

)e−iϕ/2 sin1/2 θ

= L+~eiϕ/2(∂

∂θ+

1

2cot θ

)sin1/2 θ

= L+~eiϕ/2 cos θ sin−1/2 θ

= ~2eiϕ(∂

∂θ+ i cot θ

∂ϕ

)eiϕ/2 cos θ sin−1/2 θ

= ~2ei3ϕ/2(∂

∂θ− 1

2cot θ

)cos θ sin−1/2 θ

= −~2ei3ϕ/2 sin−3/2 θ 6= 0 .

Fur großere halbzahlige Werte von l fuhrt die entsprechende Rechnung auchzum Widerspruch zu (14.64); sie vorzufuhren, ware ein unfreundlicher Akt, dasie langlich ist. Zu mehr Freude werden wir gleich Anlass haben, wenn wirdie aus (14.63) bei halbzahligem l und m entstehenden Funktionen als nichtnormierbar erkennen.

Alle zulassigen Drehimpulseigenfunktionen Ylm(θ, ϕ) mussen normierbar seindurch die Forderung

〈Ylm |Ylm〉 =π∫

0

dθ sin θ

2π∫

0

dϕ |Ylm(θ, ϕ)|2 = 1 , (14.65)

damit |Ylm|2 sin θ dθ dϕ als Wahrscheinlichkeitsverteilung fur die Winkel θ undϕ interpretierbar ist. Fur die halbzahligen Werte l = 3/2, 5/2, . . . fuhrt (14.63)jedoch zu divergierenden Normierungsintegralen. Am einfachsten sehen wir das,wenn wir fur derartige l die Yll(θ, ϕ) in der Nahe von θ = 0 betrachten, wosinl θ ≈ θl und cot θ ≈ 1/θ gilt; es folgt fur L+Yl,−l

L+Yl,−l ∼ eiϕ(∂

∂θ+

i

θ

∂ϕ

)e−i/ϕθl ∼ 2le−i(l−1)ϕθl−1 (14.66)

und entsprechend

(L+)2Yl,−l ∼ 22l(l − 1)e−i(l−2)ϕθl−2 (14.67)

Page 265: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

14.6 Die Eigenfunktionen des Bahndrehimpulses 265

und so weiter. Bei halbzahligem l entsteht schließlich in Yll, als fuhrender Term

Yll ∼ (L+)2Yl,−l ∼ l(l − 1) . . . (−l + 1)(−l)eilϕθ−l . (14.68)

Im Skalarprodukt (14.65) verhalt sich der Integrand in der Nahe von θ = 0 dannwie θ−2l+1, so dass das Integral fur l = 3/2, 5/2 etc. jedenfalls divergiert. Beiganzzahligen Werten von l (und somit m) kann das eben beschriebene Unglucknicht passieren. Beachten Sie, dass die rechte Seite in (14.68) fur jedes ganze lverschwindet.

Die in (14.63) angegebenen Ylm sind außer fur m = −l noch nicht auf Einsnormiert. Um diese Normierung fur alle m = −l,−l + 1, . . . ,+l zu erreichen,benutzen wir ein einfaches Rekursionsargument. Stellen wir uns vor, Ylm seischon so normiert und setzen an

Yl,m+1 = cmL+Ylm . (14.69)

Die Konstante cm wahlen wir so, dass auch Yl,m+1 gemaß (14.65) normiert ist.Fur den Betrag von cm entsteht sofort die Forderung

1 = |cm|2〈L+Ylm |L+Ylm〉

= |cm|2〈Ylm |L−L+Ylm〉

= |cm|2~2(l −m)(l +m+ 1)〈Ylm |Ylm〉

= |cm|2~2(l −m)(l +m+ 1) ,

wobei ich (14.48) benutzt habe. Die Phase von cm bleibt dabei offen; es istublich, sie so festzusetzen, dass alle cm reell und positiv sind. Dann gilt

L+Ylm = ~√

(l −m)(l +m+ 1)Yl,m+1 (14.70)

und (14.63) kann prazisiert werden zu

Ylm = (−1)l√

(2l + 1)!√4π2ll!

√(l −m)!

(l +m)!(2l)!

·[eiϕ(∂

∂θ+ i cot θ

∂ϕ

)]l+me−ilϕ sinl θ . (14.71)

Die so bestimmten Ylm sind unter der Bezeichnung Kugelflachenfunktionen be-kannt.

Geschafft! Die Argumentation war argerlich langwierig, das Resultat istaber einfach: Die Eigenwerte ~2l(l + 1) des Drehimpulsquadrats sind durch dienaturlichen Zahlen

l = 0, 1, 2, . . . (14.72)

festgelegt. Bei festem l, d. h. festem Drehimpulsquadrat, kann die z-KomponenteLz die (2l + 1) verschiedenen Eigenwerte ~m mit

m = 0,±1,±2, . . . ,±l (14.73)

Page 266: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

266 14 Das Wasserstoffatom

annehmen.Die ersten paar Kugelflachenfunktionen Ylm lauten

Y00 =1√4π

(14.74)

Y10 =

√3

4πcos θ , Y1,±1 = ±

√3

8πe±iϕ sin θ ,

Y2,0 =

√5

16π(3 cos2 θ − 1) , Y2,±1 = ±

√15

8πsin θ cos θ e±iϕ ,

Y2,±2 =

√15

32πsin2 θ e±2iϕ .

Eine anschauliche graphische Darstellung ihrer θ-Abhangigkeit ergibt sich, wennwir auf einen Radialstrahl in Richtung θ bezuglich der z-Achse |Ylm|2 auftragen(Abbildung 14.1):

Abbildung 14.1

14.7 Das Radialproblem beim Coulombfeld

Wir hatten uns klar gemacht, dass wir die Eigenfunktionen und Eigenwerte desHamiltonoperators

H = − ~2

2m

1

r2∂

∂rr2∂

∂r+

1

2mr2~L2 − 1

4πε0

e2

r(14.75)

Page 267: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

14.7 Das Radialproblem beim Coulombfeld 267

durch den Produktansatz

Φ(r, θ, ϕ) = R(r)Ylm(θ, ϕ) (14.76)

erhalten. Zu bestimmen bleibt der Radialteil R(r) der Wellenfunktion aus

(d2

dr2+

2

r

d

dr− l(l + 1)

r2+

1

4πε0

2me2

~2r

)R(r) = −2mE

~2R(r) . (14.77)

Wir hatten ebenfalls gesehen, dass gebundene Zustande nur fur negative Ener-gien auftreten und fur große r exponentiell abfallen

R(r) ∼ exp(−r√−2mE/~2

)fur r →∞ . (14.78)

Die Differentialgleichung (14.77) verschonert sich, wenn wir statt r die di-mensionslose Variable

ρ = 2r√−2mE/~2 (14.79)

verwenden, zu

[d2

dρ2+

2

ρ

d

dρ+

ρ− l(l + 1)

ρ2− 1

4

)]R = 0 , (14.80)

worin der zu bestimmende Energieeigenwert sich in dem dimensionslosen Para-meter

λ =1

4πε0

e2

~√−m/2E (14.81)

versteckt hat. Da nun das asymptotische Verhalten fur ρ → ∞ durch R →exp(−ρ/2) charakterisiert ist, liegt es nahe, die Amplitude R durch den Ansatz

R = f(ρ) e−ρ/2 (14.82)

zu suchen. Fur f(ρ) entsteht aus (14.80) die Differentialgleichung

f ′′(ρ) +

(2

ρ− 1

)f ′(ρ) +

[λ− 1

ρ− l(l + 1)

ρ2

]f(ρ) = 0 . (14.83)

Wenn wir versuchen, diese Gleichung durch eine Potenzreihe zu befriedigen,

f(ρ) =∑

ν

Cνρν , (14.84)

so finden wir die Koeffizienten Cν durch (14.83) der folgenden Rekursionsformelunterworfen

Cν =ν − λ

ν(ν + 1)− l(l + 1)Cν−1 . (14.85)

Eine Losung, die zu einer normierbaren Amplitude R fuhrt, ergibt sich durchfolgende Uberlegung.

Ein Verschwinden des Nenners auf der rechten Seite ist ausgeschlossen furReihen (14.84), die nur Glieder mit ν > l enthalten, also mit dem Glied xl

Page 268: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

268 14 Das Wasserstoffatom

beginnen. Im ubrigen kann die Rekursionsformel (14.85) insofern Schreckeneinfloßen, als sie sich fur ν → ∞ vereinfacht zu Cν ≈ Cν−1/ν; sie lasst alsoeine Losung zu, die sich fur große ν wie Cν → 1/ν! verhalt. Da die Gliederhoher Ordnung in ν das Verhalten der Reihe (14.84) fur große ρ dominieren,verhalt sich die entsprechende Reihe asymptotisch wie f(ρ) → ∑

νρν/ν! = e+ρ;

ein solches f(ρ) fuhrt nach (14.82) zu einer nicht normierbaren Amplitude Rund ist daher zu verwerfen.

Nichts Besseres durfen wir erwarten! Nur fur spezielle Werte der Energie E,d. h. auch des Parameters λ konnen mit der Randbedingung der Normierbarkeitvertragliche Losungen R entstehen. In der Tat, genau wenn λ ganzzahlig istgemaß

λ = n = l + 1, l + 2, l + 3, . . . (14.86)

erlaubt (14.85) die endliche Folge endlicher Koeffizienten

Cl, Cl+1, . . . , Cn−1 , (14.87)

wahrend Cn und somit auch alle Cν mit ν > n verschwinden. Die zugehorigeRadialamplitude

Rnl = e−ρ/2n−1∑

ν=l

cνρν (14.88)

ist offensichtlich normierbar.Das diskrete Spektrum der Energieeigenwerte ist durch (14.86) und (14.81)

gegeben als

Enl = −(

1

4πε0

)2me4

2~21

n2(14.89)

mit n = l + 1, l + 2, . . . und l = 0, 1, 2, . . ..Diese Energieniveaus sind in Abbildung 14.2 eingetragen. Die Darstellung

macht sinnfallig, dass zur festen Drehimpulsquantenzahl l die Folge Enl mitden Hauptquantenzahlen n = l + 1, l + 2, . . . gehort, wahrend bei festem n dieDrehimpulsquantenzahlen l = 0, 1, . . . , n−1 moglich sind. Das Bild erinnert Sieauch an die aus der Spektroskopie stammende Bezeichnung der l = 0, 1, 2, 3, . . .-Zustande durch die Symbole s, p, d, f , . . ..

Die niedrigste Energie, die Grundzustandsenergie, ist

E10 = −(

1

4πε0

)2me4

2~2≈ −13, 6 eV . (14.90)

Um ein H-Atom aus dem Grundzustand heraus zu ionisieren, muss also mindes-tens eine Energie von 13, 6 eV aufgebracht werden. Beachten (und begrunden)Sie den hier zu Tage tretenden Unterschied zur klassischen Bewegung im Cou-lombfeld; dort ergibt sich die niedrigste Energie E = −∞, wenn das Teilchenim Kraftzentrum ruht.

Alle Energieniveaus des H-Atoms außer dem Grundzustandsniveau sind ent-artet. Bei fester Hauptquantenzahl n hangt Enl namlich gar nicht mehr von

Page 269: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

14.7 Das Radialproblem beim Coulombfeld 269

Abbildung 14.2

der Drehimpulsquantenzahl l ab. Zudem kann bei festem n und l die”Orien-

tierungsquantenzahl“ m noch die 2l+1 verschiedenen Werte m = 0,±1, . . . ,±lannehmen. Die Tatsache, dass die Energieniveaus Enl von m unabhangig sind,dass also alle Werte der z-Komponente des Drehimpulses energetisch gleichbe-rechtigt sind, ist naturlich Ausdruck der Isotropie des Coulombpotentials.

Die Zahl der unabhangigen Energieeigenfunktionen, die zum selben Eigen-wert der Energie gehoren, heißt Entartungsgrad des entsprechenden Niveaus.Da die Energiewerte zu den Wasserstoffeigenfunktionen

Rnl(r)Ylm(θ, ϕ) (14.91)

nur von der Hauptquantenzahl n abhangen, hat jedes dieser Niveaus den Ent-artungsgrad

n−1∑

l=0

(2l + 1) = n2 . (14.92)

Unsere Resultate fur die Energieeigenfunktionen des H-Atoms erlauben uns,nach der Große des Wasserstoffatoms zu fragen. Nach (14.79), (14.92) und(14.89) fallt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit |Rnl|2 als Funktion von der Ra-dialkoordinate exponentiell ab auf dem Langenmaßstab

anl =√

~2/2m(−Enl) =4πε0~2

me2n . (14.93)

Diese Abklinglangen sind ganze Vielfache des so genannten Bohrschen Radius

a = 4πε0~2/me2 ≈ 0, 5× 10−10m = 0, 5 A . (14.94)

Der”Durchmesser“ eines H-Atoms im Grundzustand hat also die Großenord-

nung eines Angstroms.

Page 270: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

270 14 Das Wasserstoffatom

Die ersten paar Radialamplituden des H-Atoms lauten, nach Normierunggemaß

∞∫

0

dr r2|Rnl|2 = 1 , (14.95)

R10 = 2a−3/2e−r/a

R20 = (2a)−3/2(2− r

a

)e−r/2a

R21 = 3−1/2(2a)−3/2r

ae−r/2a

R30 = 3−4 · 3−l/2a−5/2(54− 36

r

a+ 4

r2

a2

)e−r/3a (14.96)

R31 = 3−4 · 6−1/2a−5/24 ra

(6− r

a

)e−r/3a

R32 = 3−4 · 30−1/2a−5/24 r2

a2e−r/3a .

Die zu verschwindendem Bahndrehimpuls l = 0 gehorigen unter ihnen sind inAbbildung 14.3 aufgezeichnet.

Abbildung 14.3

14.8 Auswahlregeln

Sie erinnern sich: Stabil, d. h. beliebig langlebig kann nur der Grundzustandeines Systems sein. Das Wasserstoffatom macht keine Ausnahme. Selbst wennkeine anderen Atome bei Stoßen und auch kein von außen eingestrahltes elektro-magnetisches Feld einem anfanglich angeregten H-Atom die Anregungsenergieabnehmen, wird der angeregte Zustand i. A. nicht beliebig lange erhalten blei-ben; vielmehr wird das Atom i. A. unter Aussendung eines Lichtquants spontanin den Grundzustand zuruckkehren.

Die anfangliche atomare Anregungsenergie ∆E wird nach der Emission als

Page 271: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

14.8 Die Auswahlregeln 271

Energie des Photons auftreten. Entsprechend

∆E = ~ω (14.97)

gehort zu jeder Energiedifferenz ∆E zweier Niveaus eine charakteristische Fre-quenz ω. Sie wissen, dass diese Erklarung der Spektrallinien des H-Atoms einerder ersten großen Triumphe der Quantentheorie war.

Nicht zu allen Paaren von Energieniveaus Enl, En′l′ des Wasserstoffatomswerden Spektrallinien beobachtet.

”Erlaubt“, d. h. unter Laborbedingungen

im infraroten bis ultravioletten Spektralbereich leicht beobachtbar sind nurUbergange zwischen Zustanden RnlYlm und Rn′l′Yl′m′ , bei denen sich die Bahn-drehimpulsquantenzahl l und die Orientierungsquantenzahl m andern gemaßden Auswahlregeln

∆l = ±1 und ∆m = 0 oder ± 1 . (14.98)

Ich kann die Auswahlregeln hier nicht durch eine Rechnung begrunden undauch nicht klarmachen, dass die entsprechenden Ubergange zu elektrischer Di-polstrahlung fuhren. Wohl aber will ich bemerken, dass in den Auswahlregeln(14.98) u. a. die Tatsache zum Ausdruck kommt, dass das abgestrahlte Photon

einen Eigendrehimpuls, Spin genannt, der Große ~J2 = ~2j(j + 1) mit j = 1hat. Wie jeder quantenmechanische Drehimpuls kann die z-Komponente Jz desPhotonenspins nur die Werte (in Einheiten ~) −j, . . . ,+j, d. h. −1, 0,+1 anneh-men‡). Der Gesamtdrehimpuls von Atom und elektromagnetischem Feld bleibtstets erhalten. Es muss sich bei der Emission eines Photons der Drehimpuls desAtoms genau um den Betrag andern, den das abgestrahlte Photon forttragt.

Neben der gerade besprochenen Isotropie des Raums kommt in den Aus-wahlregeln noch eine weitere Symmetrie der Wechselwirkung zwischen gelade-nen Teilchen und dem elektromagnetischen Feld zum Ausdruck. Es handeltsich um die so genannte Paritatsinvarianz, die Sie sich wohl besser unter derBezeichnung Spiegelsymmetrie merken. Sie besagt, dass zu jedem in der Na-tur vorkommenden elektromagnetischen Strahlungsprozess auch der raumlichgespiegelte Prozess auftritt.

Diese Spiegelsymmetrie gilt ubrigens auch fur die Gravitation. UberzeugenSie sich davon, dass z. B. die Newtonschen Bewegungsgleichungen (10.5) fureinen Haufen gravitierender Teilchen invariant sind unter der Ersetzung jedesOrtsvektors ~xν durch −~xν . Verfallen Sie aber nicht dem Irrglauben, die beiGravitation und Elektromagnetismus gegebene Spiegelsymmetrie sei eine selbst-verstandliche Eigenschaft der Natur. Beim β-Zerfall, also bei der schwachenWechselwirkung, gilt die Spiegelsymmetrie nicht.

Da ich nicht vorrechne, dass die Auswahlregeln (14.98) aus der Erfahrungs-tatsache folgen, dass die elektromagnetischen Wechselwirkung weder eine Raum-richtung auszeichnet, noch die Welt von ihrem Spiegelbild zu unterscheiden ge-stattet, kann ich ebenfalls nur berichten die Prazisierung, dass die Auswahlre-geln (14.98) nur fur die elektrische Dipolstrahlung gelten. In Spektralbereichen,in denen die Wellenlange nicht sehr groß ist gegen den Atomdurchmesser, wirdelektrische und magnetische Multipolstrahlung wichtig, fur die andere Auswahl-regeln gelten. Die Verletzung der Auswahlregeln (14.98) in solchen Prozessen

‡)Mit Hilfe der Eichinvarianz der Elektrodynamik lasst sich zeigen, dass dem Photon derEigenwert Jz = 0 verboten ist.

Page 272: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

272 14 Das Wasserstoffatom

bedeutet ubrigens nicht eine Verletzung der Isotropie und der Paritatsinvarianzder elektromagnetischen Wechselwirkung. Vielmehr macht sich bemerkbar, dassdas abgestrahlte Photon dem Atom Drehimpuls entziehen kann sowohl vermogeseines Spins als auch in Form von Bahndrehimpuls.

14.9 Verwandte Zweikorpersysteme

Ohne neue Rechnung konnen wir die fur das H-Atom gewonnenen Resultate aufmehrere andere Systeme ubertragen.

Deuterium und Tritium unterscheiden sich vom Wasserstoff dadurch, dassdie Atomkerne außer einem Proton zusatzlich ein bzw. zwei Neutronen enthal-ten. Die respektiven Kernmassen mD und mT sind etwa doppelt bzw. dreimalso groß wie die des H-Atoms. Die Kernmassen gehen in die Energieniveaus Enlnur uber die reduzierte Masse der Relativbewegung ein. Wegen der Linearitatder Energieniveaus (14.89) in m betragt die relative Isotopenverschiebung derEnergieniveaus

∣∣∣∣δEnlEnl

∣∣∣∣ =δm

m, (14.99)

wobei δm die Anderung der reduzierten Masse von einem Isotop des Wasserstoffszum anderen darstellt. Die Verschiebung (14.99) ist zwar klein (. 10−3), aberdurchaus nachweisbar.

Beim einfach ionisierten Helium oder doppelt ionisierten Lithium liegt auchdie Isotopenverschiebung (14.99) vor. Eine gewichtigere Anderung des Energie-niveauschemas ruhrt jedoch von der Erhohung der Kernladung um den FaktorZ = 2 bzw. Z = 3 her. Die Energieniveaus (14.89) sinken dementsprechendtiefer, u. z. gemaß e2 → Ze2 auf

Enl = −1

4πε0

Z2me4

2~21

n2. (14.100)

Offenbar ist das Elektron umso starker gebunden, je großer die KernladungszahlZ ist.

Die Spektren der neutralen Alkaliatome Li, Na, K, Rb, Cs, Fr weisen ei-ne gewisse Ahnlichkeit zum Wasserstoffspektrum auf. Der Grund dafur ist,dass in diesen Atomen ein Elektron, das so genannte Leuchtelektron, sehr vielschwacher gebunden ist als alle anderen; dem Leuchtelektron erscheint der Restdes Atoms dann als eine (fast) starre, kugelsymmetrische und einfach positivgeladene Einheit.

Gewisse Anregungszustande in Halbleitern, die so genannten Exzitonen, zei-gen Energieniveaus mit wasserstoffahnlicher Anordnung. Eine einfache Modell-vorstellung fur das Exziton besagt, dass ein aus seinem Normalzustand gehobe-nes Elektron an seinem ursprunglichen Ort ein effektiv positiv geladenes

”Loch“

hinterlasst. Sowohl das Loch wie das Elektron sind im Halbleiter beweglich. Bei-den kann eine effektive Masse zugeschrieben werden, die allerdings von einemHalbleiter zum anderen verschieden ist und oft stark von der Masse des freienElektrons abweicht. Wasserstoffahnliche Bindungszustande der beiden

”Teil-

chen“ entstehen, wenn ihre Wechselwirkung von der Coulombschen Anziehungdominiert wird. Das Exziton ist ubrigens nicht stabil. Nach einer mittleren Le-bensdauer, die von Halbleiter zu Halbleiter verschieden ist, kehrt das Elektron

Page 273: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

14.9 Verwandte Zweikorpersysteme 273

in seinen Normalzustand zuruck. Dabei fullt es das von ihm selbst gerisseneLoch, woraufhin das Exziton vernichtet ist. Die Anregungsenergie geht dabeii. A. in Licht oder/und Schall uber.

Fur die Elementarteilchenphysik von hervorragendem Interesse ist das Po-sitronium, in dem ein Elektron und ein Positron aneinander gebunden sind.Das Positron ist bis auf das Vorzeichen seiner elektrischen Ladung mit demElektron identisch und wird daher auch als das Antiteilchen des Elektrons be-zeichnet. Das Positronium kann daher als eine leichtere Version des H-Atomsangesehen werden. Verschieden ist allerdings die reduzierte Masse der beidenZweikorpersysteme. Beim Positronium betragt sie

m =mel ·mel

mel +mel=

1

2mel , (14.101)

ist also nur etwa halb so groß wie beim Wasserstoff. Gemaß (14.94) hat dasPositronium eine gegenuber dem H-Atom verdoppelte Ausdehnung, wahrenddie Energieniveaus ihre Betrage um den Faktor 1/2 verkleinern.

Um zu prufen, ob eine nichtrelativistische Behandlung des Positroniumsmoglich ist, schatzen wir die Geschwindigkeit der Relativbewegung mit derUnscharferelation ab. Die raumliche Lokalisierung auf apos = 2aH bedingt eineImpulsunscharfe ∆p ≈ ~/2aH; nach Division durch die reduzierte Masse mpos ≈12mH ergibt sich die Geschwindigkeitsunscharfe ∆v ≈ ~/mposapos ≈ ~/mHaH.Genau wie beim H-Atom betragt die typische Geschwindigkeit also einige tau-send km/s, so dass die nichtrelativistische Behandlung im einen wie im anderenFall gerade noch angemessen erscheint.

Tatsachlich sind sowohl beim H-Atom wie beim Positronium relativistischeEffekte trotz ihrer Kleinheit durchaus messbar. Einige dieser Effekte hangen da-mit zusammen, dass das Elektron, das Proton und das Positron außer den dreiklassischen Freiheitsgraden, die den Ort eines Teilchens festlegen, noch einenzusatzlichen inneren Freiheitsgrad, den Spin, haben. Uber diesen Spin wirdspater noch zu reden sein. Hier will ich eine andere und drastischere relativis-tische Eigenschaft des Positroniums erwahnen, seine Instabilitat. Einige 10−6 snach der Erzeugung ist kaum ein Positronium mehr intakt. Die Bestandteile,das Elektron und das Positron, vernichten sich gegenseitig und hinterlassen alsSpur z. B. elektromagnetische Wellen. Da die Ruheenergie melc

2 des Elektronsund des Positrons je etwa 0, 5MeV betragt, tragen die beim Zerstrahlen desPositroniums in elektromagnetische Wellen entstehenden Photonen zusammeneine Energie von mindestens 1MeV. Derart energiereiche Photonen sind Siegewohnt, γ-Quanten zu nennen.

Die derzeit meistdiskutierten wasserstoffahnlichen Zweikorpersysteme sindzwei kurzlich entdeckte Mesonen, das Charmonium (auch ψ-Meson oder J ge-nannt, 1974 entdeckt) und das Bottomium (auch Y-Meson genannt, 1977 ent-deckt). Viele Eigenschaften dieser Mesonen konnen erklart werden durch dieAnnahme, dass beide aus je zwei Teilchen, so genannten Quarks, zusammenge-setzt sind.

Insbesondere stellt man sich unter dem Charmonium einen Bindungszustanddes so genannten charmanten Quarks c und seines Antiteilchens c vor. BeideTeilchen sind elektrisch geladen, u. z. betragen die Ladungen in Einheiten derElektronenladung

ec = −2/3 und ec = +2/3 . (14.102)

Page 274: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

274 14 Das Wasserstoffatom

Die respektiven Massen sind nicht genau bekannt; indirekte Schlusse legen je-doch nahe, dass das charmante Quark mehr als doppelt so schwer ist wie einProton

mcc2 = mcc

2 ≈ 2GeV (14.103)

(wobei c2 = Quadrat der Lichtgeschwindigkeit). Sehr genau bekannt ist dieMasse des Charmoniums,

m2ψ = 3, 097GeV . (14.104)

Beachten Sie, dass das Charmonium deutlich leichter ist als zwei charmanteQuarks. Der Massendefekt mψ − 2mc gibt bis auf den Faktor c2 die Bindungs-energie des ψ-Mesons. (Derartige Massendefekte sind ihnen aus der Kernphysikbekannt; die Masse des α-Teilchens ist kleiner als die Gesamtmasse je zweierfreien Protonen und Neutronen; Sie erinnern sich, dass sich im Massendefektdie Einsteinsche Aquivalenz von Masse und Energie zeigt?)

Die Verwandtschaft des ψ-Mesons mit dem Wasserstoffatom (fur das Y-Meson gilt Ahnliches) besteht darin, dass die Bindung des charmanten Quarksc an sein Antiteilchen c nichtrelativistisch, also durch Losung einer Schrodin-gergleichung behandelt werden kann. Die in Rechnung zu stellende Wechselwir-kungsenergie V (~xc, ~xc) ist zwar nicht genau bekannt, jedoch stellt sich heraus,dass

V (~xc, ~xc) = V (r) = −αr+ βr, r = |~xc − ~xc| (14.105)

die beobachteten Anregungsenergien des Charmoniums fur geeignete Wahlender positiven Parameter α und β vernunftig wiedergibt. Der erste Term in V ,−α/r, enthalt zwar die elektrostatische Anziehung der beiden Quarks; jedochstellt diese nur eine vollig unerhebliche Korrektur an der starken Wechselwirkungdar, die den uberwaltigenden Beitrag zum Parameter α macht. Der zweiteTerm in V , βr, bringt den experimentellen Befund zum Ausdruck, dass Quarksbisher trotz angestrengter Suche nie als freie Teilchen beobachtet worden sind.Moglicherweise konnen Quarks gar nicht isoliert existieren. Jedenfalls verbietetder mit dem Abstand r unbegrenzt wachsende Anteil des Potentials (14.105),dass das fragliche Zweikorpersystem sich in seine beiden Bestandteile auflost.

Dass das ψ-Meson tatsachlich ein nichtrelativistischer Bindungszustand seinsollte, konnen wir uns durch die folgende Großenordnungsabschatzung fur dieGeschwindigkeit der Relativbewegung der beiden Quarks klarmachen. Die Li-neardimension des Charmoniums sollte wie die aller stark wechselwirkendenbeobachtbaren Teilchen (Proton, Neutron, andere Mesonen . . . ) die Großenord-nung aψ ≈ 10−13 cm haben. Die Unscharferelation gibt dann als einen typischenImpuls pψ ≈ ~/aψ. Mit der Masse mψ aus (14.104) erhalten wir als typischeGeschwindigkeit

vψ/c ≈~c

amψc2. 0, 1 , (14.106)

also einen Wert, der die nichtrelativistische Behandlung der Relativbewegungder beiden Quarks gerade noch als nicht unsinnig erscheinen lasst.

Page 275: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

Kapitel 15

Der Einflusselektromagnetischer Felderauf die Quantenmechanikgeladener Teilchen

15.1 Die Schrodingergleichung

Fur den Moment ohne Begrundung, jedoch mit dem Versprechen, diese baldnachzuholen, stelle ich Ihnen hier die Schrodingergleichung eines Teilchens mitder Masse m und der Ladung q bei Anwesenheit eines beliebigen elektromagne-tischen Feldes vor,

i~ψ(~x, t) = Hψ(~x, t) (15.1)

H =1

2m

(~p− q ~A(~x, t)

)2+ qϕ(~x, t) . (15.2)

Dabei sind ~A und ϕ das Vektorpotential bzw. das skalare Potential, die daselektrische Feld ~E und das Magnetfeld ~B festlegen gemaß

~E = − ∂

∂t~A− gradϕ

~B = rot ~A . (15.3)

Der Teilchenimpuls ~p ist wie bisher mit dem Differentialoperator ~p = (~/i)∇ zuidentifizieren.

Einen wichtigen Spezialfall haben wir im letzten Kapitel besprochen. Daselektrostatische Feld eines Atomkerns der Ladung e kann beschrieben werdendurch

~A = 0, ϕ =1

4πε0

e

r. (15.4)

Fur q = −e mit e = Elementarladung entsteht dann aus (15.3) der Hamilton-operator fur die Bewegung des Elektrons im Wasserstoffatom.

275

Page 276: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

276 15 Der Einfluss elektromagnetischer Felder auf die Quantenmechanikgeladener Teilchen

Im Folgenden werden wir uns mit dem Einfluss eines raumlich und zeitlichkonstanten Magnetfeldes ~B auf die Teilchenbewegung beschaftigen. Ein solchesFeld kann durch das Vektorpotential

~A =1

2~B × ~x (15.5)

festgelegt werden, wie Sie mit Hilfe von (15.3) leicht nachrechnen. Fur diesenFall lasst sich der Hamiltonoperator (15.2) in einer physikalisch durchsichtigerenForm aufschreiben. Beachten wir zu diesem Zweck, dass fur das Vektorpotential(15.5) gilt

∂Ax∂x

=1

2

∂(Byz −Bzy)∂x

= 0,∂Ay∂y

=∂Az∂z

= 0 . (15.6)

Es folgt, dass beim Ausmultiplizieren des Quadrats in (15.2) die Operatorpro-

dukte ~A · ~p und ~p · ~A gleichgesetzt werden konnen,

~p · ~A =~i

(∂

∂xAx +

∂yAy +

∂zAz

)=

~i

(∂Ax∂x

+ · · ·)

+~i

(Ax

∂x+ · · ·

)= ~A · ~p . (15.7)

Somit entsteht

H =~p2

2m+ qϕ− q

m~A · ~p+ q2

2m~A2 . (15.8)

Mit Hilfe der zyklischen Invarianz des Spatprodukts, (B × ~x)~p = (~x × ~p) · ~B,erhalten wir schließlich

H =~p2

2m+ qϕ− q

2m~L · ~B +

q2

8m

(~B × ~x

)2. (15.9)

Der den Bahndrehimpuls ~L enthaltende Term in (15.9) erlaubt eine anschau-liche Deutung. Aus der klassischen Elektrodynamik (siehe 5. (5.64)) ist uns der

Zusammenhang zwischen dem Drehimpuls ~L und dem magnetischen Moment~m eines Ladungshaufens mit Masse m und Ladung q bekannt,

~m =q

2m~L . (15.10)

Ferner wissen wir, dass −~m · ~B klassisch die Einstellenergie eines magnetischenMoments ~m im konstanten Magnetfeld ~B angibt. Im quantenmechanischenKontext werden zwar~L und somit ~m wie −~m · ~B Operatoren, jedoch bleibt derfruhere Zusammenhang (15.10) erhalten, und der Anteil −~m · ~B des Hamil-tonoperators bringt nach wie vor zum Ausdruck, dass die Parallelstellung desmagnetischen Moments zum konstanten Magnetfeld energetisch bevorzugt istgegenuber allen anderen Orientierungen von ~m zu ~B.

Ubrigens sind in vielen Experimenten mit Atomen in Magnetfeldern die Ma-gnetfelder so klein, dass in ~B quadratische Effekte nicht beobachtet werdenkonnen. In solchen Fallen kann der letzte Term im Hamiltonoperator (15.9)

Page 277: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

15.2 Die klassische Hamiltonfunktion 277

vernachlassigt werden. Machen Sie sich den Spaß, die Großenordnung des Ma-gnetfeldes auszurechnen, fur welche der letzte Term in (15.9) vergleichbar wird

mit der Einstellenergie (q/2mc)~L · ~BVor der Diskussion von Anwendungen will ich nun, wie versprochen, be-

grunden, dass die Wechselwirkung von Ladungen mit elektromagnetischen Fel-dern durch den Hamiltonoperator (15.2) richtig beschrieben wird. Ein Exkursin die klassische Physik wird dabei helfen.

15.2 Die klassische Hamiltonfunktion

Ein klassisches Teilchen, das sich in einer Raumdimension bewegt und am Ortx die potenzielle Energie U(x) hat, gehorcht der Newtonschen Bewegungsglei-chung

mx = −dU(x)

dx. (15.11)

Diese Differentialgleichung zweiter Ordnung in der Zeit lasst sich ersetzen durchzwei Differentialgleichungen erster Ordnung fur die Ortskoordinate x und denImpuls p, namlich

x =1

mp, p = −dU

dx. (15.12)

Wir verschonern nun das Aussehen der letzteren Gleichungen, wenn wir in derEnergie E = m

2 x2+U(x) = E(x, x) des Teilchens die Geschwindigkeit zu Guns-

ten des Impulses eliminieren,

E(x, x)→ H(p, x) =1

2mp2 + U(x) . (15.13)

Die so gewonnene Hamiltonfunktion H(p, x) hat offenbar die partiellen Ablei-tungen ∂H/∂x = dU/dx und ∂H/∂p = p/m und erlaubt daher, die Bewegungs-gleichungen (15.12) in der Form

x =∂H

∂p, p = −∂H

∂x(15.14)

zu schreiben. Dies sind die so genannten Hamiltonschen Gleichungen.Fur ein Teilchen, das sich in drei Raumdimensionen bewegen kann und die

potenzielle Energie U(~x) hat, lautet die Hamiltonfunktion offensichtlich

H =1

2m~p2 + U(~x) , (15.15)

wahrend die Hamiltonschen Gleichungen (15.14) sich verallgemeinern zu

xi =∂H

∂pi, pi = −

∂H

∂xi. (15.16)

Beachten Sie, dass der Ubergang zur Quantenmechanik nun formal dadurch voll-zogen werden kann, dass der klassische Impuls ~p in der Hamiltonfunktion durchden Differentialoperator (~/i)∇ ersetzt wird; die Hamiltonfunktion verwandeltsich dabei in den uns langst bekannten Hamiltonoperator.

Page 278: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

278 15 Der Einfluss elektromagnetischer Felder auf die Quantenmechanikgeladener Teilchen

Wenden wir uns nun einem klassischen geladenen Teilchen im elektromagne-tischen Feld zu. Es erfahrt dort die Lorentzkraft

~F = q(~E + ~v × ~B

). (15.17)

Zur Vorbereitung des Ubergangs zur Quantenmechanik suchen wir zunachst eineHamiltonfunktion H(~p, ~x, t), die die Newtonsche Bewegungsgleichung

m~x = q(~E + ~v × ~B

)(15.18)

als Hamiltonsche Gleichungen der Form (15.16) zu schreiben erlaubt. Da dieLorentzkraft (15.17) sich i. A. nicht als Gradient eines skalaren Feldes schreibenlasst (das geht nur im rein elektrostatischen Feld), kann die gesuchte Hamilton-funktion nicht die Form (15.15) haben. Wir konnen jedoch leicht verifizieren,dass

H =1

2m(~p− q ~A)2 + qϕ (15.19)

die gestellte Aufgabe lost, wenn das elektrische und das magnetische Feld wieublich durch die Potentiale ~A und ϕ festgelegt werden als

~E = −∇ϕ− ∂

∂t~A (15.20)

~B = rot ~A . (15.21)

Die zu (15.19) gehorigen Hamiltonschen Gleichungen lauten

xi =∂H

∂pi=

1

m(pi − qAi) (15.22)

pi = −∂H

∂xi= +

q

m(pj − qAj)

∂Aj∂xi− q ∂ϕ

∂xi(15.23)

= qxj∂Aj∂xi− q ∂ϕ

∂xi.

Beachten Sie, dass ich Ihnen in (15.23) durch Verwendung von (15.22) sowie derSummenkonvention Bequemlichkeit verschafft habe. Bevor ich den Nachweis derAquivalenz dieser Hamiltonschen Gleichungen zu der Newtonschen Gleichung(15.18) fuhre, ist eine Erlauterung am Platze.

Sie durfen den in der Hamiltonfunktion (15.19) und den Hamiltonschen Glei-chungen (15.22) und (15.23) auftretenden Vektor ~p als ein Tripel von Hilfsgroßenansehen, das zu nichts anderem nutzt, als zur Uberfuhrung der NewtonschenBewegungsgleichung (15.18) in ein System von Differentialgleichungen ersterOrdnung in der Zeit. Ich will Ihnen diese Ansicht sogar nahe legen. Als Na-me fur das fragliche Tripel ~p hat sich kanonischer Impuls eingeburgert. WennSie diese Bezeichnung ubernehmen und sich sogar der ublichen Schlampereianschließen, das Epitheton kanonisch zu unterdrucken, so durfen Sie doch nievergessen, dass der kanonische Impuls eines geladenen Teilchens im elektroma-gnetischen Feld nicht gleich dem Produkt aus Masse und Geschwindigkeit desTeilchens ist. Vielmehr ist der Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und

Page 279: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

15.2 Die klassische Hamiltonfunktion 279

kanonischem Impuls durch (15.22) gegeben; nur im Spezialfall verschwindendenVektorpotentials reduziert derselbe sich auf ~p = m~v.

Die vorstehende Erlauterung erschließt eine schone Einsicht. Der erste Sum-mand in der Hamiltonfunktion (15.19) stellt offenbar gerade die kinetische Ener-gie 1

2m~v2 des Teilchens dar. In (15.19) kommt also insbesondere die altbekannte

Tatsache zum Ausdruck, dass im rein magnetostatischen Feld, das durch ϕ = 0beschrieben werden kann, die Energie eines geladenen Teilchens konstant bleibt.Da namlich der magnetische Anteil der Lorentzkraft senkrecht auf der Teilchen-geschwindigkeit steht, kann das Magnetfeld nur die Richtung von ~v andern, nichtaber den Betrag der Geschwindigkeit und ebenso wenig die Energie E = 1

2m~v2.

Zum Nachweis der Aquivalenz der Hamiltonschen Gleichungen (15.22, 15.23)mit der Newtonschen Gleichung (15.18) differenzieren wir (15.22) nach der Zeitund eliminieren die rechts entstehende Zeitableitung des kanonischen Impulsesmit Hilfe von (15.23). Wir finden dann

mxi = qxj∂Aj∂xi− q ∂ϕ

∂xi− q d

dtAi . (15.24)

Beim Ausfuhren der Zeitableitung ddtAi =

ddtAi(~x(t), t) mussen wir beachten,

dass sich das Vektorpotential i. A. an einem festen Ort ~x zeitlich andert; am Ort~x(t) des Teilchens ist Ai(~x(t), t) zusatzlich zeitabhangig, wenn sich das Teilchenbewegt, wenn also ~x(t) sich zeitlich andert. Schreiben wir

d

dtAi(~x(t), t) =

∂tAi(~x, t)

∣∣∣∣~x=~x(t)

+ xj∂Ai(~x, t)

∂xj

∣∣∣∣~x=~x(t)

(15.25)

schlampig aber schon ddtAi =

∂∂tAi + xj

∂Ai∂xj

, so ergibt sich aus (15.24)

mxi = −q(∂ϕ

∂xi− ∂

∂tAi

)− qxj

(∂Ai∂xj− ∂Aj∂xi

). (15.26)

Dies aber ist genau die Newtonsche Gleichung; der erste der beiden Summandenauf der rechten Seite ist nach (15.20) der elektrische Teil der Lorentzkraft; denzweiten Summanden erkennen wir als den magnetischen Anteil der Lorentzkraft,wenn wir bedenken

(~v × ~B)x = (~v × rot ~A)x = vy

(∂Ay∂x− ∂Ax

∂y

)− vz

(∂Ax∂z− ∂Az

∂x

)

= vx

(∂Ax∂x− ∂Ax

∂x

)+ vy

(∂Ay∂x− ∂Ax

∂y

)+ vz

(∂Az∂x− ∂Ax

∂z

)

= vj

(∂Aj∂x− ∂Ax∂xj

). (15.27)

Nachdem wir nun die klassische Hamiltonfunktion H(~p, ~x, t) eines gelade-nen Teilchens im elektromagnetischen Feld gefunden haben, gewinnen wir denquantenmechanischen Hamiltonoperator, indem wir den kanonischen Impuls ~pdurch den Differentialoperator (~/i)∇ ersetzen. Damit ist das Versprechen derBegrundung des Hamiltonoperators (15.2) eingelost.

Page 280: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

280 15 Der Einfluss elektromagnetischer Felder auf die Quantenmechanikgeladener Teilchen

15.3 Klassische (nichtrelativistische) Bewegungim konstanten Magnetfeld

Bevor wir das eben Gelernte auf die Quantenmechanik eines geladenen Teilchensim konstanten Magnetfeld anwenden, will ich Sie, zur Vorbereitung, an Altbe-kanntes erinnern: Ein klassisches geladenes Teilchen bewegt sich auf einer Spi-ralbahn langs des Magnetfeldes; die Geschwindigkeitskomponente (~v · ~B)/| ~B|2langs des Feldes ~B bleibt konstant. In einem Koordinatensystem, bezuglichdessen ~v · ~B = 0, vollfuhrt das Teilchen eine gleichformige Kreisbewegung in ei-ner zu ~B senkrechten Ebene. Der Radius und die Mittelpunktskoordinaten derKreisbahn hangen davon ab, wo und wie schnell das Teilchen in das Magnetfeldeingeschossen wird. Die Umlauffrequenz, die so genannte Zyklotronfrequenz,

ω =q | ~B|m

(15.28)

ist jedoch von den Anfangsbedingungen unabhangig, jedenfalls fur nichtrelati-vistische Teilchen.

Die eben getroffenen Aussagen uber die Teilchenbahn im konstanten Ma-gnetfeld sind ohne Rechnung aus der Bewegungsgleichung

m~x = q~x× ~B (15.29)

zu gewinnen. Da die Lorentzkraft senkrecht zum Feld ~B wirkt, bleibt das Teil-chen langs ~B unbeschleunigt; da die Lorentzkraft auch senkrecht zur Teilchen-geschwindigkeit ist, kann sie den Betrag von ~x nicht andern; folglich muss dieTeilchenbahn, wenn sie in einer Ebene liegt, ein Kreis sein; dieser Kreis mussgleichformig umlaufen werden, da der Betrag der Beschleunigung

|~x| = |q| · |~B|

m|~x| = ω|~x| (15.30)

ebenfalls zeitlich konstant bleibt (vgl. Abbildung 15.1).

Abbildung 15.1

Sie werden die spatere quantenmechanische Behandlung des Problems mehrgenießen, wenn wir das soeben ohne Rechnung Erkannte auch durch Losung der

Page 281: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

15.3 Klassische (nichtrelativistische) Bewegung im konstanten Magnetfeld281

Hamiltonschen Gleichungen

xi =∂H

∂pi, pi = −

∂H

∂xi, H =

1

2m(~p− q ~A)2 + qϕ (15.31)

erarbeiten. Dabei will ich die Richtung des Magnetfeldes als z-Richtung wahlen,

~B = (0, 0, B) (15.32)

und die Potentiale durch

Ax = −By, Ay = Az = ϕ = 0 (15.33)

festlegen. Letztere Wahl weicht zwar von der in 15.1 benutzten (s. (15.1)) ab,ist aber so gut wie diese, da sie das Magnetfeld (15.32) auch eindeutig festlegt.Sie wissen doch noch, dass die klassische Elektrodynamik eichinvariant ist, d. h.dass zu einem festen Paar von Feldern ~E(~x, t) und ~B(~x, t) eine ganze Klasse

gleichberechtigter Potentiale ~A und ϕ gehort (s.(6.36)).An der speziellen Eichung (15.33) haben wir insofern gleich Freude, als die

entstehende Hamiltonfunktion

H =1

2m(px + qBy)2 +

1

2m(p2y + p2z) (15.34)

von den Koordinaten x und z unabhangig ist. Nach den Hamiltonschen Glei-chungen bleiben somit die entsprechenden Komponenten des kanonischen Im-pulses zeitlich konstant

px = −∂H∂x

= 0 =⇒ px(t) = px(0) , (15.35)

pz = −∂H

∂z= 0 =⇒ pz(t) = pz(0) . (15.36)

Die restlichen vier Hamiltonschen Gleichungen lauten

pz = −∂H

∂y= −ωpx −mω2y (15.37)

x =∂H

∂px=

1

mpx + ωy (15.38)

y =∂H

∂py=

1

mpy (15.39)

z =∂H

∂pz=

1

mpz . (15.40)

Mit der zeitlichen Erhaltung von pz folgt aus (15.40) sofort, dass die Teil-chenbewegung in z-Richtung gleichformig verlauft

z(t) = z(0) + z(0)t . (15.41)

Beachten Sie, dass die Bewegung in x-Richtung trotz der Erhaltung von pxgemaß (15.38) komplizierter ist. In (15.38) kommt zum Ausdruck, dass der

Page 282: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

282 15 Der Einfluss elektromagnetischer Felder auf die Quantenmechanikgeladener Teilchen

kanonische Impuls i. A. nicht mit dem Produkt aus Masse und Geschwindigkeitubereinstimmt.

Zur Diskussion der Bewegung in y-Richtung differenzieren wir (15.39) nachder Zeit und eliminieren mit (15.37) den kanonischen Impuls py, woraufhin wirdie Bewegungsgleichung

y + ω2y = − ωmpx(0) (15.42)

erhalten. Diese beschreibt eine harmonische Schwingung mit der Frequenz ωum die Ruhelage

y0 = −px(0)/mω . (15.43)

Wenn wir die in der Losung auftretenden Integrationskonstanten durch die An-fangslage y(0) und die Anfangsgeschwindigkeit y(0) festlegen, beschreibt sichdie Schwingung durch

y(t)− y0 = (y(0)− y0) cosωt+y(0)

ωsinωt (15.44)

Schließlich erhalten wir die Zeitabhangigkeit von x, indem wir in die Hamilton-schen Gleichung (15.38) die Losung (15.44) eintragen und uber die Zeit inte-grieren. Es ergibt sich die harmonische Schwingung

x(t)− x0 = (y(0)− y0) sinωt−y(0)

ωcosωt (15.45)

um den Mittelpunkt

x0 = x(0) +y(0)

ω. (15.46)

Offenbar liegen x(t) und y(t) auf einem Kreis in der x− y-Ebene. Sie sehennun, wie der Radius

[(y(0)− y0)2 + y(0)2/ω2

]1/2(15.47)

und die Mittelpunktskoordinaten x0 und y0 von den Anfangsdaten abhangen.

15.4 Geladenes Quant im konstanten Magnet-feld

Wir losen nun die quantenmechanische Version des gerade besprochenen Pro-blems. Der Hamiltonoperator

H =1

2m(px + qBy)2 +

1

2m(p2y + p2z) (15.48)

=1

2m(p2x + p2y + p2z) + ωypx +

1

2mω2y2

unterscheidet sich in der Form nicht von der klassischen Hamiltonfunktion (15.34),jedoch hat er in der Schrodingergleichung

i~ψ = Hψ (15.49)

Page 283: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

15.4 Geladenes Quant im konstanten Magnetfeld 283

wegen ~p = (~/i)∇ die Bedeutung eines Differentialoperators.Da die Koordinaten x und z in H nicht vorkommen, kommutieren die Kom-

ponenten px = (~/i) ∂∂x und pz = (~/i) ∂∂z des Impulsoperators mit H,

[px, H] = [pz, H] = 0 . (15.50)

Die im letzten Paragrafen gefundenen Erhaltungssatze (15.35) und (15.36) gel-ten also auch fur die Quantenmechanik. Die Losungen der Schrodingergleichung(15.49) konnen wir daher aus gemeinsamen Eigenfunktionen der Operatoren px,pz und H aufbauen. Da die Eigenfunktionen der Impulsoperatoren bekanntlichebene Wellen sind, konnen wir fur die Eigenlosungen von (15.49) das Produkt

ψ(x, y, z, t) = eiEt/~ eikxx eikzzψ(y) (15.51)

ansetzen. Dabei sind ~kx, ~kx und E die respektiven Eigenwerte von px, pz undH. Fur die Amplitude ψ(y) liefert (15.49) die gewohnliche Differentialgleichung[

~2

2m(k2x + k2z)−

~2

2m

d2

dy2+

~ω~ωkxy

kxy +1

2mω2y2

]ψ(y) = Eψ(y) . (15.52)

Die Bewegung des Quants in y-Richtung hat wie die des entsprechenden klas-sischen Teilchens den Charakter einer harmonischen Schwingung der Frequenzω um die Ruhelage

y0 = −~kx/mω , (15.53)

denn die Nullpunktverschiebung

y′ = y − y0 (15.54)

lasst aus (15.52) die wohlbekannte Schrodingergleichung des harmonischen Os-zillators entstehen

[− ~2

2m

d2

dy′2+

1

2mω2y′

2]ψ(y′) =

(E − ~2k2z

2m

)ψ(y′) . (15.55)

Diese Differentialgleichung hat, wie wir wissen, normierbare Losungen ψ(y′) nurfur diskrete Werte des Parameters E − ~2k2z/2m, u. z. gilt

E − ~2k2z/2m = ~ω(n+

1

2

)mit n = 0, 1, 2, . . . . (15.56)

Die Energie des Quants im konstanten Magnetfeld

En(k2z) = ~2k2z/2m+ ~ω

(n+

1

2

), (15.57)

hat also neben dem kontinuierlichen Anteil ~2k2z/2m einen diskreten Teil. Erste-rer entspricht der freien Bewegung des Quants langs des Magnetfeldes, zweitererder gebundenen harmonischen Bewegung quer zu ~B.

Der Eigenwert ~kx des Impulses px bestimmt wie (bei der klassischen Be-wegung) die Gleichgewichtskoordinate y0, geht jedoch nicht in die Energie ein.Folglich ist jeder Energieeigenwert En(k

2z) unendlichfach entartet.

Die Uberlegungen dieses Paragrafen finden wichtige Anwendungen in derFestkorper- und insbesondere der Metallphysik. Der diskrete Anteil der Energie(15.57) ist dort unter der Bezeichnung Landauniveaus bekannt; er ist fur vielemagnetische Eigenschaften von Metallen bei tiefen Temperaturen verantwort-lich. Schmokern Sie mal in den Festkorperbuchern.

Page 284: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

284 15 Der Einfluss elektromagnetischer Felder auf die Quantenmechanikgeladener Teilchen

15.5 Eichinvarianz

Das Auftreten der elektromagnetischen Potentiale ~A und ϕ im Hamiltonoperatoreines geladenen Teilchen muss uns zu ernster Beunruhigung Anlass geben, da diePotentiale selbst gar nicht messbar sind. Sie konnen sogar in gewissem Umfangbeliebig verandert werden, ohne dass sich die messbaren Felder

~E = − ~A−∇ϕ~B = rot ~A (15.58)

andern. Offenbar bleiben E und ~B invariant unter der Eichtransformation derPotentiale

~A→ ~A′ = ~A+∇χϕ→ ϕ′ = ϕ− χ , (15.59)

wobei χ(~x, t) ein beliebiges reelles skalares Feld sein darf. Von solchen Eichtrans-formationen unberuhrt bleibt ubrigens auch die klassische Bewegungsgleichungeines geladenen Teilchens,

m~x = q(~E + ~v × ~B

), (15.60)

da die Lorentzkraft sich durch die Felder ~E und ~B eindeutig festlegt. Die klassi-sche Theorie der elektromagnetischen Wechselwirkung zwischen Ladungen undFeldern ist also, Sie wussten’s schon langst, eichinvariant.

Ist aber auch die in 15.1 und 15.3 gegebene Quantentheorie fur ein geladenesTeilchen im klassischen elektromagnetischen Feld eichinvariant? Anders gefragt,sind die in (15.4) berechneten Energiewerte En(kz) objektive Eigenschaften des

Magnetfeldes ~B und des geladenen Teilchens oder vielmehr nur Ausfluss unsererWillkur bei der Wahl der Potentiale ~A und ϕ? Letzterer Verdacht ist nicht leichtvon der Hand zu weisen, denn wenn die Potentiale ~A und ϕ nach (15.59) um-geeicht werden, andert sich das Aussehen des Hamiltonoperators. UberzeugenSie sich davon, indem Sie einmal die Eichung ~A = 1

2~B × ~x, ϕ = 0 und dann

die Eichung ~A = (−By, 0, 0), ϕ = 0 verwenden, um ein konstantes Magnetfeld~B = (0, 0, B) zu reprasentieren.

Um die Abhangigkeit beobachtbarer Großen von der Eichung der Potentia-le zu verhuten, mussen wir fordern, dass sich die Wellenfunktion ψ(~x, t) desTeilchens bei einer Eichtransformation (15.59) so andert, dass die umgeeichteSchrodingergleichung

i~∂

∂tψ′(~x, t) =

[1

2m

(~i∇− q ~A′

)2

+ qϕ′

]ψ′(~x, t) = H ′ψ′(~x, t) (15.61)

aquivalent ist zu der ursprunglichen,

i~∂

∂tψ(~x, t) =

[1

2m

(~i∇− q ~A

)2

+ qϕ

]ψ(~x, t) = Hψ(~x, t) . (15.62)

Page 285: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

15.5 Eichinvarianz 285

Diese Forderung ist leicht erfullt! Mit Hilfe der Produktregel der Differenziationbestatigen Sie leicht die Identitaten

[~i∇− q ~A− q(∇χ)

]eiqχ/~ = eiqχ/~

(~i∇− q ~A

)(15.63)

i~∂

∂teiqχ/~ = eiqχ/~

(i~∂

∂t− qχ

)(15.64)

und lesen ab, dass

ψ′(~x, t) = eiqχ/~ ψ(~x, t) (15.65)

die Gleichung (15.61) befriedigt, wenn ψ(~x, t) eine Losung von (15.62) ist.Nun beachten Sie, dass die Eichtransformation (15.65) mit reellem χ sich

in der Multiplikation der Wellenfunktion ψ mit einem Phasenfaktor erschopft.Eichinvariant ist also jedenfalls die Wahrscheinlichkeitsdichte fur den Aufenthaltdes Teilchens am Ort ~x zur Zeit t,

|ψ′|2 = |ψ|2 . (15.66)

Eichinvariant sind wegen (15.63) auch die Erwartungswerte von Funktionen des

Geschwindigkeitsoperators, (~p−q ~A)/m, insbesondere also der kinetischen Ener-gie, denn fur eine beliebige Wellenfunktion ψ(~x, t) gilt

∫d3x ψ′

∗(~p− q ~A′)nψ′ =

∫d3x e−iqχ/~ψ∗e+iqχ/~(~p− q ~A)nψ

=

∫d3x ψ∗(~p− q ~A)nψ mit n = 1, 2, 3, . . . .

(15.67)

Auch die Eigenwerte des Hamiltonoperators sind, falls es uberhaupt solchegibt, eichinvariant. Bedenken Sie nur, dass zeitunabhangige Eigenfunktionenund Eigenwerte gemaß

HψE = EψE (15.68)

nur existieren konnen, wenn H selbst zeitunabhangig ist, insbesondere mussenauch die inH eingehenden Potentiale ~A und ϕ zeitunabhangig sein. Wird nun ei-ne beliebige Eichtransformation mit einer auch zeitabhangigen Funktion χ(~x, t)

durchgefuhrt, so werden die Potentiale ~A′ und ϕ′ sowie die Wellenfunktion

ψ′E(~x, t) = eiEt/~ eiqχ(~x,t)/~ ψE(~x) (15.69)

zeitabhangig. Dementsprechend ist ψ′E Eigenfunktion von H ′ nicht im Sinn derGleichung (15.68), sondern im Sinn der Schrodingergleichung (15.61). Es giltnamlich wegen (15.63) und (15.64)

H ′ψ′ = (E − χ)ψ′E

i~∂

∂tψ′E = (E − χ)ψ′E . (15.70)

Unabhangig von der Eichung bleiben offensichtlich die moglichen Werte desParameters E, d. h. die Energieeigenwerte.

Die Beunruhigung, die ich Ihnen eingangs nahe gelegt habe, ist nun aus-geraumt. Alle physikalischen Aussagen der Quantentheorie fur geladene Teil-chen sind von der Eichung der elektromagnetischen Potentiale unabhangig.

Page 286: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

286 15 Der Einfluss elektromagnetischer Felder auf die Quantenmechanikgeladener Teilchen

15.6 Zeemaneffekt beim Wasserstoffatom (ohneSpin)

Bei Anwesenheit eines konstanten Magnetfeldes

~B = (0, 0, B) (15.71)

und eines elektrischen Coulombfeldes konnen wir die elektromagnetischen Po-tentiale als

~A = −1

2~B × ~x, ϕ =

1

4πε0

e

r(15.72)

wahlen. Den Hamiltonoperator fur die Relativbewegung im Wasserstoffatom,

H =1

2m(~p+ e ~A)2 − 1

4πε0

e2

r, (15.73)

hatten wir schon in15.1 fur die Potentiale (15.72) schon zu

H =1

2m~p2 − 1

4πε0

e2

r+

e

2m~L · ~B (15.74)

vereinfacht, wobei der in ~B quadratische Teil vernachlassigt wurde. Druckenwir hier die Einstellenergie des magnetischen Dipolmoments im Magnetfeld ~Bdurch das Bohrsche Magneton

µB =~e2m

(15.75)

aus und bezeichnen den Hamiltonoperator des Wasserstoffatoms im magnetfeld-freien Raum, ~p2/2m − e2/r4πε0, mit H0, so lautet der hier zu untersuchendeOperator

H = H0 + µBB1

~Lz . (15.76)

Die Eigenfunktionen und Eigenwerte des Hamiltonoperators (15.74) erhaltenwir ohne Muhe aus denen des ungestorten Operators H0. Da namlich, wie wirschon aus 14.5 wissen, die z-Komponente Lz des Bahndrehimpulses mit H0

vertauscht, sind die Eigenfunktionen zu H0,

H0ψnlm = Enlψnlm , (15.77)

auch Eigenfunktionen zu H,

Hψnlm = (Enl + µBBm)ψnlm, m = 0,±1,±2, . . . ,±l . (15.78)

Es haben also die (2l+1) zu festem n und l gehorigen Eigenfunktionen ψnlmnicht mehr die gleichen Energien. Das Magnetfeld ~B zerstort die Isotropie desRaumes und hebt die energetische Gleichberechtigung aller Einstellungen des

Page 287: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

15.6 Zeemaneffekt beim Wasserstoffatom (ohne Spin) 287

Bahndrehimpulses auf. Die Aufhebung der Orientierungsentartung und die zu~B proportionale Aufspaltung

Enl → Enlm = Enl + µBBm (15.79)

heißt normaler Zeemaneffekt.Fur die niedrigsten Niveaus des H-Atoms mit den Drehimpulsquantenzahlen

l = 0 und l = 1 lasst das Resultat (15.79) die in Abbildung 15.2 gezeigtenAufspaltungen erwarten:

Abbildung 15.2

Insbesondere sollte das Grundzustandsniveau, da nach unserer bisherigen Er-kenntnis nicht entartet, vom Magnetfeld unbeeinflusst bleiben und nicht auf-spalten.

Tatsachlich wird beim Wasserstoffatom ein komplizierteres Verhalten derEnergieniveaus beobachtet (anomaler Zeemaneffekt). Schon das Grundzustands-niveau spaltet imMagnetfeld zwei Niveaus auf. Die Erklarung dieses Phanomensbesprechen wir im folgenden Kapitel.

Page 288: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

288 15 Der Einfluss elektromagnetischer Felder auf die Quantenmechanikgeladener Teilchen

Page 289: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

Kapitel 16

Spin

16.1 Der Spin des Elektrons

Gelegentlich habe ich schon angedeutet, dass der Zustand eines Elektrons nichtvollstandig charakterisiert ist durch Angabe der Wahrscheinlichkeitsamplitudefur den Aufenthalt beim Ort ~x. Wie viele andere Teilchen (Proton, Neutron,Muon, die Neutrinos etc.) hat das Elektron einen zusatzlichen Freiheitsgrad,den so genannten Spin. In diesem Freiheitsgrad offenbart sich ein wichtiger Un-terschied des Quants Elektron von der klassischen Fiktion eines punktformigenTeilchens. Die Bezeichnung Spin bringt zum Ausdruck, dass der fragliche Frei-heitsgrad Drehimpulseigenschaften hat (denken Sie ans Spinnrad oder an tospin, was so viel heißt wie sich drehen).

Der Drehimpulscharakter des Elektronenspins zeigt sich besonders sinnfalligbeim anomalen Zeemaneffekt. Ein Magnetfeld sollte die (2j + 1)-fache Ent-artung eines Energieniveaus mit Drehimpulsquantenzahl j aufheben. Fur dasGrundzustandsniveau des Wasserstoffs ergibt sich eine zweifache Aufspaltung.Identifizieren wir

2 = 2j + 1 , (16.1)

so folgt, dass die Drehimpulsquantenzahl j = 1/2 vorliegt. Jedoch kann derfragliche Drehimpuls nichts mit der Bahnbewegung des Elektrons zu tun ha-ben, denn die Bahndrehimpulsquantenzahl l kann bekanntlich nur ganzzahligeWerte annehmen und außerdem ist die Grundzustandswellenfunktion ψ100(r)zweifelsohne kugelsymmetrisch, d. h. hat die Bahndrehimpulsquantenzahl l = 0.

Ein zweites beruhmtes Experiment, in dem sich das Elektron als mit einemSpin ausgestattet erweist, ist der Stern-Gerlach-Versuch. Entsprechend demskizzierten Schema wird in derartigen Versuchen ein Strahl von Atomen durchein quer zum Strahl laufendes raumlich inhomogenes Magnetfeld geschickt undanschließend auf einem Schirm registriert (Abbildung 16.1). Fur Atome mitder Drehimpulsquantenzahl j erwarten wir dabei folgendes Verhalten. Relativzum Magnetfeld ~B(~x) hat der Drehimpuls (2j+1) energetisch verschiedene Ein-stellmoglichkeiten; diese sollten, wenn viele Atome im Strahl laufen, alle gleichhaufig vorkommen, sofern nur die Quelle des Strahls keine Orientierung bevor-zugt. Das mit dem Drehimpuls verbundene magnetische Moment ~m hat dannebenfalls (2j + 1) verschiedene Komponenten in Feldrichtung. Nach 5.9 erfah-

289

Page 290: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

290 16 Spin

Abbildung 16.1

ren Atome mit verschiedenen Werten von ~m · ~B(~x) im inhomogenen Magnetfeldverschiedene Krafte,

~F = grad(~m · ~B(~x)

). (16.2)

Es sollte also der Atomstrahl in (2j + 1) verschiedene untereinander gleich in-tensive Teilstrahlen aufspalten. Fur wasserstoffahnliche Atome, bei denen einLeuchtelektron eine raumliche kugelsymmetrische Wellenfunktion ohne Bahn-drehimpuls besitzt (z. B. Li), wird eine Aufspaltung in zwei Teilstrahlen beob-achtet. Wieder wird mit 2j + 1 = 2 auf die Drehimpulsquantenzahl j = 1/2geschlossen.

Um den Zustand eines Elektrons vollstandig zu spezifizieren, mussen wirdie beiden Einstellmoglichkeiten des Spins bezuglich einer beliebig wahlbarenRichtung (etwa der z-Richtung) berucksichtigen und zwei Wahrscheinlichkeit-samplituden ψ±(~x, t) angeben. Die Funktionen ψ+(~x, t) und ψ−(~x, t) sind dieAmplituden dafur, das Elektron zur Zeit t beim Ort ~x mit der Spinkomponente+~/2 bzw. −~/2 langs der Bezugsrichtung zu finden.

Es ist zweckmaßig, den Zustand des Elektrons durch den zweikomponentigenZustandsvektor

ψ(~x, t) =

(ψ+(~x, t)

ψ−(~x, t)

)= ψ+(~x, t)

(1

0

)+ ψ−(~x, t)

(0

1

)(16.3)

zu beschreiben. Die beiden hier auftretenden zweikomponentigen Einheitsvek-toren und

χ+ =

(1

0

)und χ− =

(0

1

)(16.4)

geben, fur sich allein, keine Auskunft uber den Ort des Elektrons, wohl abererschopfende Auskunft uber die Spinkomponente langs der Bezugsrichtung: siebetragt +~/2 fur χ+ und −~/2 fur χ−.

Wie jedem Drehimpuls ist dem Spin ein Operatortripel zugeordnet, das wirmit

~S = (Sx, Sy, Sz) (16.5)

Page 291: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

16.1 Der Spin des Elektrons 291

bezeichnen. Die Komponenten Si mussen die Drehimpulsvertauschungsrelatio-nen

[Sx, Sy] = i~Sz, [Sy, Sz] = i~Sx, [Sz, Sx] = i~Sy (16.6)

und

[~S2, Si] = 0 (16.7)

befriedigen. Der Eigenwert des Spinquadrats ~S2 liegt beim Elektron fest als~2j(j+1) = 3~2/4. Es mussen also die Vektoren (16.4) beide Eigenvektoren zu~S2 sein,

~S2χ± =3

4~2χ± . (16.8)

Wenn wir ohne Verlust an Allgemeinheit die Bezugsrichtung, langs derer dieVektoren (16.4) die Spinkomponente festlegen, als die z-Richtung wahlen, somussen diese Vektoren die 2j + 1 = 2 Eigenvektoren von Sz sein,

Sz

(1

0

)= +

~2

(1

0

)und Sz

(0

1

)= −~

2

(0

1

). (16.9)

Sie erinnern sich doch, dass Operatoren ~S2 und Sz, die den Vertauschungs-relationen (16.6) und (16.7) genugen, Eigenwerte ~2j(j + 1) bzw. ~m mitm = −j,−j + 1, . . . haben, wobei j ganz- oder halbzahlig sein darf. Wir hat-ten in 14.6 aus der Zusatzforderung, dass die Bahndrehimpulseigenfunktionendie Winkelabhangigkeit der raumlichen Wellenfunktion geben muss, geschlos-sen, dass beim Bahndrehimpuls nur ganzzahlige Werte der Quantenzahlen jund m moglich sind. Im Spin des Elektrons haben wir nun einen Drehimpulskennengelernt, dessen Eigenwerte durch j = 1

2 und m = ± 12 festgelegt sind.

Wir konnen aus 14.5 alle Uberlegungen ubernehmen, die auf den Drehim-pulsvertauschungsrelationen aufbauen. Insbesondere wissen wir schon, dass wirdie beiden Operatoren

S± = Sx ± iSy (16.10)

benutzen konnen, um aus einem Eigenvektor von Sz alle anderen, d. h. hier denzweiten zu konstruieren. Wegen

[Sz, S±] = ±~S± (16.11)

muss z. B. S+χ− ein Eigenvektor von Sz mit Eigenwert (− 12 + 1)~ = + 1

2~ sein(vgl. (14.52)), der dann bis auf einen Normierungsfaktor mit χ+ ubereinstimmenmuss,

S+

(1

0

)= const

(1

0

). (16.12)

Den Normierungsfaktor hatten wir in (14.70) fur beliebige Werte von j und mschon festgelegt. Mit j = 1/2, m = −1/2 ergibt sich const = ~, also

S+

(1

0

)= ~

(1

0

). (16.13)

Page 292: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

292 16 Spin

Ebenso ist schon erwiesen, dass der Operator S− den Eigenvektor von Sz zumEigenwert +~/2 uberfuhrt in einen Eigenvektor von Sz zum Eigenwert −~/2.Die fruhere Normierungsbedingung und Phasenkonvention legen fest

S−

(0

1

)= ~

(0

1

)(16.14)

Insofern die Spinoperatoren auf zweikomponentige Vektoren wirken, mussensie sich durch 2× 2-Matrizen darstellen lassen. Tatsachlich folgt aus (16.9)

Sz =~2

(1 0

0 −1

), (16.15)

aus (16.13)

S+ = ~

(0 1

0 0

)(16.16)

und aus (16.14)

S− = ~

(0 0

1 0

). (16.17)

Fur Sx und Sy erhalten wir schließlich aus (16.10) die Matrizen

Sx =~2

(0 1

1 0

)und Sy =

~2

(0 −ii 0

). (16.18)

Dass alles schon zusammenpasst, sehen wir, wenn wir aus (16.15) und (16.18)

die Matrix fur ~S2 = S2x + S2

y + S2z erstellen;

~S2 =1

4~2(

1 0

0 1

)+

(1 0

0 1

)+

(1 0

0 1

)=

3

4~2(1 0

0 1

). (16.19)

Wie es sein muss, wirkt ~S2 auf die Spinvektoren (16.4) wie das (3~2/4)-facheder Einheitsmatrix.

16.2 Das magnetische Moment von Teilchen mitSpin

Wir hatten uns klar gemacht, dass Teilchen mit der Ladung q, der Masse m unddem Bahndrehimpuls ~L ein magnetisches Moment

~mBahn =q

2m~L (16.20)

tragen. Den Betrachtungen des letzten Paragrafen lag andererseits die Auffas-sung zugrunde, dass der Spin ahnlich wie der Bahndrehimpuls zum magneti-schen Moment beitragen muss. Tatsachlich besteht der experimentelle Befund

Page 293: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

16.3 Der anomale Zeemaneffekt beim H-Atom 293

fur alle bekannten geladenen Teilchen mit Spin 12 (also Elektron, Muon, Proton,

. . .)

~mSpin = gq

2m~S , (16.21)

wobei der numerische Faktor g von Teilchen zu Teilchen verschieden ist. Furdas Elektron hat g einen nahe bei 2 liegenden Wert, der in der Quantenelek-trodynamik berechnet werden kann als Potenzreihe in der SommerfeldschenFeinstrukturkonstanten

α =1

4πε0

e2

~c≈ 1

137. (16.22)

Die Berechnung des Gliedes erster Ordnung in

gel = 2 +1

2α+O(α2) = 2, 00232 (16.23)

durch J. Schwinger (1949) war einer der ersten Triumphe der modernen Quan-tenelektrodynamik.

Beim Proton gilt empirisch gproton ≈ 5, 59. Beachten Sie, dass das magne-tische Moment des Protons sehr viel kleiner ist als das des Elektrons, da dieProtonenmasse die Elektronenmasse um einen Faktor der Großenordnung 2000uberwiegt. Demgemaß kann sich im Stern-Gerlach-Versuch mit Wasserstoffato-men der Protonenspin gegenuber dem Elektronenspin kaum bemerkbar machen.

Im Auftreten des Faktors g im Spinbeitrag zum magnetischen Moment zeigtsich, wie oben schon in der Halbzahligkeit der Spinquantenzahlen des Elektrons,die nichtklassische Natur des Spins. Eine wichtige Konsequenz ist, dass derGesamtdrehimpuls

~J = ~L+ ~S (16.24)

nicht notwendig parallel zum gesamten magnetischen Moment

~m =q

2m(~L+ g~S) (16.25)

des Teilchens ist.

16.3 Der anomale Zeemaneffekt beim H-Atom

Diskutieren wir nun das Verhalten des H-Atoms im konstanten Magnetfeld unterBerucksichtigung des Elektronenspins. Der in Rechnung zu stellende Hamilton-operator (e = Elementarladung)

H =1

2m(~p+ e ~A)2 − 1

4πε0

e2

r+

ge

2m~B · ~S (16.26)

unterscheidet sich nur um die Einstellenergie des magnetischen Moments desElektronenspins im Feld ~B,

~mspin · ~B =ge

2m~B · ~S = gµB

1

~~B · ~S (16.27)

Page 294: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

294 16 Spin

von dem in 15.6 behandelten∗). Wahlen wir wieder

~B = (0, 0, B) ~A =1

2~B × ~x , (16.28)

und vernachlassigen den in ~B quadratischen Teil des Hamiltonoperators

H =1

2m~p2 − 1

4πε0

e2

r+ µBB

1

~(Lz + gSz) . (16.29)

Das Aufsuchen der Eigenfunktionen und Eigenwerte dieses Hamiltonopera-tors bereitet keinerlei Schwierigkeit, wenn wir nur beachten, dass die Spinope-ratoren Si, da auf einen inneren Freiheitsgrad des Elektrons wirkend, mit allenauf die Ortskoordinaten wirkenden Operatoren wie pi, Li und xi kommutieren.Insbesondere gilt

[Sz, Lz] = [Sz, ~L2] = [Sz, H] = 0 , (16.30)

so dass die Operatoren Sz, Lz, ~L2 und H gemeinsame Eigenfunktionen haben.

Nun sind uns sowohl die Eigenfunktionen zu Lz, ~L2 und zum spinunabhangigen

Teil von H bekannt als

Rnl(r)Ylm(θ, ϕ) , (16.31)

wie auch die Eigenvektoren von Sz,

χ+ =

(1

0

)und χ− =

(0

1

), (16.32)

so dass wir die Eigenlosungen Ψ von

HΨ = EΨ (16.33)

durch bloßes Zusammensetzen finden,

Ψnlm,± = Rnl(r)Ylm(θ, ϕ)χ± . (16.34)

Die zugehorigen Eigenwerte der Energie lauten

Enlm,± = Enl + µBB(m± g

2

), (16.35)

wobei wie ublich n = 1, 2, 3, . . ., l = 0, 1, . . . , n− 1 und m = 0,±1, . . . ,±l .Abbildung 16.2 zeigt die entsprechende Niveauaufspaltung fur die niedrigs-

ten Niveaus des H-Atoms:Sie lesen ab, dass nun die Aufspaltung der Grundzustandsenergie in zwei Ni-veaus richtig wiedergegeben ist. Die p-Niveaus spalten streng genommen in6 Unterniveaus auf, jedoch bleibt wegen g ≈ 2 ein Niveau praktisch doppeltentartet.

∗)Nachdem die reduzierte Masse m nun im Bohrschen Magneton absorbiert ist, kann imFolgenden der Buchstabe m wieder zur Bezeichnung der Orientierungsquantenzahl des Bahn-drehimpulses verwendet werden.

Page 295: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

16.3 Der anomale Zeemaneffekt beim H-Atom 295

Abbildung 16.2

Page 296: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

296 16 Spin

Page 297: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

Kapitel 17

Grundbegriffe der Statistik

17.1 Wahrscheinlichkeit von Ereignissen

Die statistische Behandlung eines Systems (Wurfel, Lotto, mit Gas gefullterBehalter, . . .) erfordert zur mathematischen Grundlegung wie zur experimen-tellen Verifizierung eine vielfache Reproduktion des Systems bei gleichbleiben-der Praparationsvorschrift. Statistische Aussagen besagen i. A. nichts uber dasVerhalten eines einzelnen Systems, sondern beziehen sich auf Gesamtheiten (En-sembles) vieler gleichartig praparierter Systeme.

In einer Gesamtheit vonN Systemen hat ein Ereignis i die relative HaufigkeitNi/N , wenn es bei genau Ni der N Systeme auftritt. Im Grenzfall einer großenGesamtheit nennen wir diese relative Haufigkeit auch die Wahrscheinlichkeit wides Ereignisses i,

wi = limN→∞

NiN

. (17.1)

Sie verdeutlichen sich die Natur von Wahrscheinlichkeitsaussagen leicht amBeispiel eines ungezinkten Wurfels. Der Ausgang eines einzelnen Wurfes lasstsich nicht vorhersagen. Unter einer großen Anzahl von Wurfen erwarten Siejedoch die Funf auf der oberen Flache mit der relativen Haufigkeit 1/6. Siefinden diese Erwartung im Spiel mit um so großerer Genauigkeit erfullt, je ofterSie insgesamt wurfeln.

Seien i und j zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse, die im Ensemblemit den Wahrscheinlichkeiten wi bzw. wj auftreten. Dann hat die Wahrschein-lichkeit, an einem System entweder das Ereignis i oder das Ereignis j zu finden,den Wert

wi∪j = wi + wj . (entweder-oder-Regel) (17.2)

Zum Beispiel finden Sie beim Wurfeln entweder die Eins oder die Funf mit derWahrscheinlichkeit w = 1/6 + 1/6 = 1/3.

Wenn i und j zwei verschiedene Eigenschaften eines Systems sind, die un-abhangig voneinander auftreten konnen und einzeln mit den Wahrscheinlichkei-ten wi bzw. wj realisiert sind, so stellen sie sich zusammen mit der Wahrschein-lichkeit

wi∩j = wi · wj (sowohl-als-auch-Regel) (17.3)

297

Page 298: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

298 17 Grundbegriffe der Statistik

ein. Wurfeln Sie etwa mit einem roten und einem blauen Wurfel zugleich, soergibt sich fur das Ereignispaar rote Funf und blaue Drei die Wahrscheinlichkeitw = 1/36 und fur das Ereignispaar funf und drei w = 1/18.

17.2 Diskrete eindimensionale Zufallsbewegung

Auf einem linearen Gitter aquidistanter Punkte hupfe ein Teilchen mit denWahrscheinlichkeiten p und (1−p) zum rechten bzw. zum linken Nachbarplatz.Aufeinander folgende Sprunge seien voneinander unabhangig. Berechnen wir dieWahrscheinlichkeit dafur, dass das Teilchen von insgesamt N Sprungen genau nnach rechts, also N − n nach links macht. Mit der gleichen Wahrscheinlichkeitfinden Sie (i) beim N -maligen Wurf einer Munze n mal Wappen, (ii) unter NSpin- 12 Systemen n Spins in die positive z-Richtung (

”nach oben“) und N − n

in die entgegengesetzte Richtung (”nach unten“) orientiert, (iii) n von N freien

Atomen in der linken Halfte des ihnen zuganglichen Gesamtvolumens, etc.Schauen wir auf das Beispiel der Spins. Nach der sowohl-als-auch Regel

(17.3) zeigen n ganz bestimmte Spins nach oben und alle anderen nach untenmit der Wahrscheinlichkeit pn(1 − p)N−n. Irgendeiner (statt ein bestimmter)der insgesamt moglichen N !/n!(N − n)! Satze von n aus N Spins ist gemaß(17.2) nach oben orientiert mit der Wahrscheinlichkeit (entweder-oder)

WN (n) = pn(1− p)N−n N !

n!(N − n)! = pn(1− p)N−n(N

n

). (17.4)

Diese so genannte Binomialverteilung ist in Abbildung 17.1 fur den Fall p = 1/2,N = 20 aufgemalt.

100 20

0.1

Abbildung 17.1

Der binomische Lehrsatz,

N∑

n=0

pnqN−n(N

n

)= (p+ q)N , (17.5)

lasst Sie sofort erkennen, dass die Verteilung (17.4) richtig normiert ist,

N∑

n=0

WN (n) = 1 . (17.6)

Page 299: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

17.3 Die Binomialverteilung fur große N 299

Er hilft auch bei der Berechnung der so genannten Momente, d. h. der Mittel-werte von ganzzahligen Potenzen der Zufallsvariablen n,

〈nν〉 =[∑

n

nνpnqN−n(N

n

)]

q=1−p

=

[∑

n

(p∂

∂p

)νpnqN−n

(N

n

)]

q=1−p

=

[(p∂

∂p

)ν(p+ q)N

]

q=1−p

. (17.7)

Wir folgern fur die ersten beiden Momente

〈n〉 = Np, 〈n2〉 = N2p2 +Np(1− p) (17.8)

und somit fur die mittlere quadratische Schwankung

〈(∆n)2〉 ≡ 〈n2〉 − 〈n〉2 = Np(1− p) . (17.9)

Bemerkenswerterweise wachst 〈(∆n)2〉 nur linear mit N , wahrend sowohl〈n2〉 wie 〈n〉2 in N quadratisch sind. Die relative Streuung von n,

1

〈n〉Str(n) ≡1

〈n〉√〈(∆n)2〉 =

√1− pNp

, (17.10)

geht daher fur N → ∞ nach Null wie 1/√N . Offenbar konzentriert sich die

Binomialverteilung WN (n) umso scharfer um den Mittelwert 〈n〉 , je großer Nist. Fur’s Munzenwerfen ziehen Sie die Folgerung, dass (i) Zahl und Wappen imMittel uber viele Serien von je N Wurfen gleich oft erscheinen und (ii) relativgroße Differenzen der Zahlen der beiden Ereignisse umso seltener auftreten, jegroßer N ist.

Zuruck zum hupfenden Teilchen! Nach N Schritten der Schrittlange (Gitter-konstante) a hat es sich zum Ausgangspunkt um die Strecke x = na− (N −n)aentfernt, im Mittel uber viele Beobachtungen also um

〈x〉 = (2〈n〉 −N)a = Na(2p− 1) . (17.11)

Bei gleicher Wahrscheinlichkeit fur beide Hupfrichtungen, also fur p = 12 ,

kommt das Teilchen im Mittel nicht vom Fleck. Seine Lokalisierbarkeit nimmtmit wachsendem N jedoch ab, da die Streuung seiner Entfernung vom Aus-gangspunkt,

Str(x) =[⟨(x− 〈x〉)2

⟩]1/2= a√N (17.12)

mit N anwachst.

17.3 Die Binomialverteilung fur große N

Wir hatten schon gesehen, dass die Binomialverteilung (17.4) bei großen Wertenvon N nur fur solche Werte der Zufallsvariablen n deutlich von Null verschiedensein kann, die relativ nahe beim Mittelwert 〈n〉 = Np liegen. Es lohnt sich, dieseErkenntnis zu vertiefen und den Verlauf von WN (n) fur n nahe beim Maximumim Grenzfall N →∞ genauer zu studieren.

Page 300: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

300 17 Grundbegriffe der Statistik

Fur die zur Debatte stehenden Werte von n und N konnen alle in (17.4)auftretenden Fakultaten mit der Stirlingschen Formel

ν! ≈√2πνννe−ν (17.13)

approximiert werden. Daraufhin nimmt die Binomialverteilung die Form

WN (n) =

[N

2πn(N − n)

]1/2NN

( pn

)n( 1− pN − n

)N−n(17.14)

an. Zur weiteren Vereinfachung fur n ≈ 〈n〉 = Np beachten wir, dass die rechteSeite von (17.14) auch fur nichtganzzahlige Werte von n definiert ist. Sie hat,als Funktion der reellen Variablen n, ein Maximum an der Stelle

n = pN = 〈n〉 . (17.15)

Der Wert des Maximums lasst sich durch die in (17.9) gegebene mittlere qua-dratische Schwankung von n ausdrucken,

W = [2πp(1− p)N ]−1/2

=[2π〈(∆n)2〉

]−1/2. (17.16)

Wir wissen bereits, dass das Maximum der Verteilung von n scharf ausge-pragt ist, d. h. dass WN (n) schon bei relativ kleiner Entfernung der Variablenn von n stark abgefallen ist. Daher konnen wir eine sinnvolle Vereinfachungvon (17.14) nicht etwa durch eine nach wenigen Gliedern abgebrochene Taylor-reihe der rechten Seite um die Stelle n = n erhalten. Beachten wir aber, dasslnWN (n) sehr viel weniger empfindlich von n abhangt als WN (n) selbst. DieTaylorreihe

lnWN = ln W +1

2

[d2 lnWN (n)

dn2

]

n=n

(n− n)2 + · · ·

= ln W − 1

2〈(∆n)2〉 (n− 〈n〉)2 + · · · (17.17)

gibt also eine nicht offensichtlich unsinnige Naherung ab. Tatsachlich lasst sichleicht zeigen, dass der Abbruch der Reihe nach dem Glied zweiter Ordnung imBereich [Np(1−p)]1/2 ¿ n−〈n〉 ¿ Np(1−p), also jedenfalls nahe bei n = 〈n〉,eine sehr gute Approximation liefert, wenn Np(1 − p) À 1. Die entsprechendeWahrscheinlichkeitsverteilung,

WN (n) =[2π〈(∆n)2〉

]−1/2exp

[−(n− 〈n〉)2/2〈(∆n)2〉

], (17.18)

eine Gaußfunktion der Zufallsvariablen n, ist in Abbildung 17.2 fur kontinu-ierlich variables n zusammen mit der Binomialverteilung (17.4) fur den FallN = 50, p = 1/2 aufgemalt.

17.4 Eindimensionale Diffusion

Wenn eine Zufallsvariable x ein Kontinuum von Werten annehmen kann, etwa−∞ < x < +∞, so ist es nicht mehr sinnvoll, nach der Wahrscheinlichkeitdafur zu fragen, dass x genau einen bestimmten Wert annimmt. Sie wissen von

Page 301: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

17.4 Eindimensionale Diffusion 301

0.1

0 25 50

Abbildung 17.2

unserer Behandlung der Quantentheorie (s. 11.3), dass bei kontinuierlichen Zu-fallsprozessen die Wahrscheinlichkeit W (x)∆x fur das Auffinden der Variablenim Intervall ∆x beim Wert x benutzt werden muss. Die Funktion W (x) heißtWahrscheinlichkeitsdichte. Die Normierung

+∞∫

−∞

dxW (x) = 1 (17.19)

bedeutet dann, dass die Variable mit Sicherheit irgendeinen Wert im Intervall−∞ < x < +∞ annimmt. Mittelwerte berechnen sich nach der Vorschrift

〈xν〉 =+∞∫

−∞

dxxνW (x) . (17.20)

Kontinuierliche Zufallsvariable treten oft auf als Idealisierung diskreter Va-riabler. Wenn wir zum Beispiel das hupfende Teilchen aus 17.2 und 17.3 aufeinem Langenmaßstab betrachten, der sehr viel großer ist als die Gitterkonstantea, so lasst sich die Teilchenkoordinate

x = na− (N − n)a (17.21)

als kontinuierlich ansehen. Wenn wir daruber hinaus annehmen, dass die Sprun-ge des Teilchens im zeitlichen Abstand τ erfolgen und der Zeitmaßstab derBeobachtung sehr viel großer als τ ist, so konnen wir auch die Zeit

t = Nτ (17.22)

als kontinuierlich betrachten. Aus der diskreten Gaußverteilung (17.18) erhaltenwir eine Wahrscheinlichkeitsdichte fur die kontinuierliche Variable x, indem wirdas Inkrement ∆n = 1 mit Hilfe von (17.21) in ein Inkrement ∆x uberfuhrenund im Ubrigen die diskreten Großen n und N durch x und t ersetzen,

WN (n) =WN (n)∆n =WN

(x

2a+

t

)∆x

2a≡W (x, t)∆x . (17.23)

Page 302: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

302 17 Grundbegriffe der Statistik

Die gesuchte Wahrscheinlichkeitsdichte ist wie ihr diskretes Analogon eine Gauß-funktion. Sie lautet im Fall p = 1/2

W (x, t) =1√2πDt

exp

(− x2

2Dt

), (17.24)

wobei die so genannte Diffusionskonstante

D = a2/τ (17.25)

eingefuhrt wurde.Die Gaußverteilung (17.24) ist fur alle Zeiten t > 0 auf Eins normiert,

+∞∫

−∞

dx1√2πDt

exp

(− x2

2Dt

)= 1 . (17.26)

Da diese Normierung auch fur t→ 0 erhalten bleibt, wahrend

W (x, t) −−−→t→0

0 fur x 6= 0 ,

∞ fur x = 0(17.27)

schließen wir, dass (17.24) anfanglich eine Deltafunktion darstellt,

W (x, 0) = δ(x) . (17.28)

Diese Anfangsverteilung impliziert die Kontinuumsversion der Anfangsbedin-gung, dass das Teilchen zur Zeit t = 0 bei x = 0 scharf lokalisiert ist. Zuspateren Zeiten wird die Lokalisierung immer diffuser, da die Breite der Vertei-lung (17.24) mit t wachst,

〈(∆x)2〉 = Dt . (17.29)

Fur t→∞ schließlich strebt W (x, t) uberall nach Null. Dabei bleibt allerdingsgemaß (17.26) die Normierung gewahrt, denn das Teilchen kann sich zwar be-liebig weit vom Ausgangspunkt entfernen, nicht aber zur Ganze verloren gehen.

Durch Differenzieren uberzeugen Sie sich leicht davon, dass die Verteilung(17.24) eine Losung der Diffusionsgleichung

∂tW (x, t) =

1

2D∂2

∂x2W (x, t) (17.30)

darstellt. Beachten Sie auch, dass diese Diffusionsgleichung der Schrodingerglei-chung eines freien Teilchens in einer Raumdimension sehr ahnlich sieht. Formalkann (17.30) in die Schrodingergleichung uberfuhrt werden durch die Transfor-mation t→ it/~, D → ~2/m.

Die Differentialgleichung (17.30) tritt in vielen verschiedenen Zusammenhan-gen auf. In der Theorie der Warmeleitung wird sie benutzt zur Beschreibungder Orts- und Zeitabhangigkeit der Temperatur beim Warmetransport. EineLosung der Form (17.24) beschreibt das allmahliche Zerfließen einer anfanglichenlokalen Erhitzung in einem warmeleitenden Korper. Der Konzentrationsaus-gleich in einem anfanglich inhomogenen Gemisch ineinander losbarer Flussigkeitenfolgt, wenn keine Stromungen auftreten, der drei-dimensionalen Verallgemeine-rung (∂2/∂x2 →∇2) von (17.30). Die Brownsche Bewegung und die Wanderungvon Fremdatomen Fehlstellen in Kristallen sind andere Anwendungsbeispiele.

Page 303: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

17.5 Der Zentrale Grenzwertsatz 303

17.5 Der Zentrale Grenzwertsatz

Eine Zufallsgroße x, die sich additiv aus N unabhangigen, gleichartigen Zufalls-großen zusammensetzt, ist im Grenzfall N →∞ Gaußsch verteilt. Die relativeStreuung von x ist von der Ordnung 1/

√N .

Der soeben formulierte zentrale Grenzwertsatz ist fur das Verstandnis vonVielteilchensystemen von außerordentlicher Bedeutung.

”Makroskopische“ Ge-

genstande aus dem Alltagsbereich enthalten etwa 1023 (ein Liter Gas) bis 1026

(1 kg feste Materie) Molekule. Derartige Korper konnen wir uns in viele (sa-gen wir 1014) winzige Stucke zerteilt denken, deren jedes immer noch vie-le (im gewahlten Beispiel 109 bis 1012) Teilchen enthalt. Wenn im betrach-teten Korper bezuglich makroskopischer Messungen raumliche und zeitlicheHomogenitat herrscht, sind die Stucke normalerweise in guter Naherung un-abhangig voneinander. Die Unabhangigkeit ruhrt daher, dass die Wechselwir-kung von Molekulen (die typische Reichweite betragt einige A) aus benachbartenStucken nur in engster Nachbarschaft der gemeinsamen Oberflache stattfindet,wahrend die typische Lineardimension der Stucke im gewahlten Beispiel 104 Abetragt. Viele physikalische Großen (wie die Gesamtenergie die Magnetisierung,die elektrische Polarisation) konnen dann aufgefasst werden als Summen derunabhangigen Beitrage der Teilstucke des betrachteten Korpers. Der zentraleGrenzwertsatz besagt, dass die relativen statistischen Schwankungen derartigeradditiver Variabler winzig (im gewahlten Beispiel Str(x)/

√〈x2〉 ≈ 10−7) und

Gaußsch verteilt sind. Dabei wird keine Annahme gemacht uber die statistischenEigenschaften des Beitrags eines der Teilstucke des Korpers zu x; insbesonderekonnen diese Beitrage relativ große Schwankungen aufweisen. Selbst wenn dieEnergie eines Teilstucks nur mit großer relativer Unscharfe bekannt ist, hat dieGesamtenergie des Korpers nur eine winzige Unscharfe. Der zentrale Grenzwert-satz lasst uns also verstehen, warum jeder additiven physikalischen Große fureinen makroskopischen Korper (z. B. Nahrwert eines Pakets Haferflocken) nor-malerweise ein Zahlenwert statt einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zugeordnetwerden kann.

Die wesentliche Voraussetzung fur die Anwendbarkeit des zentralen Grenz-wertsatzes ist die Unabhangigkeit der N Einzelbeitrage zu x. Sie ist bei zeitlichstationaren und raumlich homogenen makroskopischen Systemen zwar nicht im-mer, aber normalerweise erfullt. Eine wichtige Ausnahme betrifft Korper in sogenannten kritischen Zustanden bei Phasenubergangen wie dem Ubergang vomflussigen zum gasformigen Zustand. Fur einen derartigen Korper konnen addi-tive Observable riesige Fluktuationen zeigen, d. h. mit ihren Mittelwerten ver-gleichbare Streuungen haben. Solche kritischen Fluktuationen sind auch nichtdurch Gaußsche Wahrscheinlichkeitsverteilungen charakterisierbar. Sie gehenHand in Hand damit, dass fiktive Teilstucke uber die ganze Lineardimensiondes Systems hinweg korreliert, d. h. nicht unabhangig voneinander sind.

Die folgende, lehrreiche Rechnung beweist den zentralen Grenzwertsatz. Be-zeichnen wir die Einzelbeitrage zu x mit xi und betrachten der Einfachheithalber die xi als kontinuierliche Variable im Intervall −∞ < xi < +∞. We-gen der angenommenen Gleichartigkeit haben alle xi fur sich allein die gleicheWahrscheinlichkeitsdichte w(xi). Die Wahrscheinlichkeitsdichte fur das Auffin-den des ersten Beitrags bei xi, des zweiten bei x2, etc. ist nach der sowohl-als-auch-Regel (17.3) durch das Produkt w(x1)w(x2) · · ·w(xN ) gegeben. Dieentweder-oder-Regel (17.2) gibt dann die Wahrscheinlichkeit fur das Auffinden

Page 304: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

304 17 Grundbegriffe der Statistik

der Summe aller N Beitrage zwischen x und x+∆x als das Integral∫

dx1

∫dx2 · · ·

∫dxN

︸ ︷︷ ︸x≤

∑i

xi≤x+∆x

w(x1)w(x2) · · ·w(xN ) . (17.31)

Nach Wechsel der Integrationsvariablen ξ1 = x1+x2+· · ·+xN , ξ2 = x2, ξ3 = x3etc. schreiben wir dieses Integral in der Form

x+∆x∫

x

dξ1

+∞∫

−∞

dξ2 · · ·+∞∫

−∞

dξN w(ξ1 − ξ2 · · · − ξN )w(ξ2) · · ·w(ξN ) . (17.32)

Fur hinreichend kleines ∆x ist die in Rede stehende Wahrscheinlichkeit propor-tional zu ∆x und definiert durch

∆x

+∞∫

−∞

dξ2 · · ·+∞∫

−∞

dξN w(x− ξ2 · · · − ξN )w(ξ2) . . . w(ξN ) ≡W (x)∆x (17.33)

die Wahrscheinlichkeitsdichte W (x) fur die additive Zufallsvariable x.Um zu zeigen, dass W (x) fur N → ∞ in eine Gaußverteilung ubergeht,

schreiben wir die Definition (17.33) in der symmetrischeren und leichter aus-schlachtbaren Form

W (x) =

+∞∫

−∞

dξ1

+∞∫

−∞

dξ2 · · ·+∞∫

−∞

dξN δ(x− ξ1 − ξ2 · · · − ξN )w(ξ1)w(ξ2) · · ·w(ξN )

(17.34)

und verwenden hierin die Fourierdarstellung (2.111) der Deltafunktion,

δ(x−∑

i

ξi) =

+∞∫

−∞

dk

2πeik(x−

∑i

ξi). (17.35)

Damit erhalten wir

W (x) =

+∞∫

−∞

dk

2πeikxQ(k)N . (17.36)

wobei Q(k) die Fouriertransformierte der Einzelwahrscheinlichkeit w(ξ) ist

Q(k) =

+∞∫

−∞

dξ e−ikξw(ξ). (17.37)

Offenbar hat die Funktion Q(k) die Momente der Verteilung w(ξ) als ihreAbleitungen bei k = 0,

iν[dνQ(k)

dkν

]

k=0

=

+∞∫

−∞

dξ ξνw(ξ) = 〈ξν〉 . (17.38)

Page 305: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

17.5 Der Zentrale Grenzwertsatz 305

Insbesondere gibt das nullte Moment das Normierungsintegral,

Q(0) =

+∞∫

−∞

dξ w(ξ) = 1 . (17.39)

Wir konnen uns leicht davon uberzeugen, dass |Q(k)| den Wert Q(0) = 1 furkein k uberschreiten kann. Da der Betrag einer Summe nie großer ist als dieSumme der Betrage der Summanden, gilt

|Q(k)| ≤∫

dx |e−ikxw(x)| =∫

dxw(x) = Q(0) = 1 . (17.40)

Tatsachlich wird |Q(k)| fur wachsendes |k| umso schneller abfallen, je lang-samer w(ξ) mit wachsendem |ξ| abfallt (blattern Sie zuruck zu 11.7, um einBeispiel zu haben). Zur anschaulichen Begrundung der getroffenen Aussagevergegenwartigen wir uns, dass die Exponentialfunktion exp(−ikx) in (17.37)als Funktion von x umso schneller oszilliert, je großer |k| ist; fur hinreichendgroßes |k| wird w(x) auf dem Langenmaßstab 1/|k| kaum noch variieren, dasIntegral (17.37) also nur noch wenig von Null abweichen kann.

Wegen (17.40) und daQ(k) fur wachsendes |k| abfallt, wird die PotenzQ(k)N

bei großem N extrem schnell abfallen. Zur naherungsweisen Berechnung desIntegrals (17.36) suchen wir nun eine Approximation fur Q(k)N , die diesemextrem schnellen Abfall vom Maximalwert Eins auf Null Rechnung tragt. Wiebei einer ahnlichen Fragestellung in 17.3 verwenden wir die Taylorreihe vonlnQ(k)N um die Stelle k = 0,

lnQ(k)N = N lnQ(k) = N ln

(1− i〈ξ〉k − 1

2〈ξ2〉k2 · · ·

). (17.41)

Mit Hilfe der Entwicklung ln(1 + x) = x− x2/2 + . . . erhalten wir aus (5.11)

lnQ(k)N =

(−i〈ξ〉k − 1

2〈(∆ξ)2〉k2 + · · ·

),

also

Q(k)N ≈ exp

(−iN〈ξ〉k − 1

2N〈(∆ξ)2〉k2

). (17.42)

In dieser fur große N vernunftigen Approximation wird Q(k)N nur durch dieersten beiden Momente der Einzelwahrscheinlichkeit w(ξ) festgelegt.

Nach Eintragen der Naherung (17.42) in das Integral (17.36) ergibt sich furdie gesuchte Wahrscheinlichkeitsdichte der additiven Variablen x die Gaußfunk-tion (s. 11.7 fur das Integral)

W (x) =1√

2π〈(∆x)2〉exp

[−(x− 〈x〉)2/2〈(∆x)2〉

](17.43)

mit dem ersten Moment

〈x〉 = N〈ξ〉 (17.44)

Page 306: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

306 17 Grundbegriffe der Statistik

und der mittleren quadratischen Schwankung

〈(∆x)2〉 = N〈(∆ξ)2〉 . (17.45)

Wie eingangs angekundigt, verschwindet die relative Streuung fur N →∞ wie

Str(x)/〈x〉 =[N〈(∆ξ)2〉

]1/2/N〈ξ〉 ∼ 1√

N. (17.46)

Page 307: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

Kapitel 18

Statistische Behandlungvon Vielteilchensystemen

18.1 Ensembles

Die Wellenfunktion ψ(~x1, ~x2, . . . , ~xN , t) eines Haufens von N gleichen Teilchenhat wie die Wellenfunktion eines einzelnen Teilchens die Bedeutung einer Wahr-scheinlichkeitsamplitude. Ihr Absolutquadrat gibt die Wahrscheinlichkeitsdichtedafur an, ein Teilchen in einem Volumenelement d3x1 beim Ort ~x1 zu finden,ein zweites in einem Volumenelement d3x2 bei ~x2 etc. Die Wahrscheinlichkeits-interpretation ist allerdings wie im Fall eines einzelnen Teilchens nur moglich,wenn ψ normiert ist gemaß

〈ψ |ψ〉 ≡∫

d3x1

∫d3x2 · · ·

∫d3xN |ψ(~x1, ~x2, . . . , ~xN , t)|2 = 1 . (18.1)

Entsprechend der Bedeutung von ψ berechnet sich der Erwartungswert einerObservablen ~A(~x1, . . . , ~xN , ~p1, . . . , ~pN ) als das Integral (s. 11.6)

〈A〉 ≡ 〈ψ |Aψ〉 =∫

d3x1 · · ·∫

d3xN ψ∗Aψ . (18.2)

Falls die Wellenfunktion ψ nicht Eigenfunktion des Operators A ist, so wer-den sich bei Messung der Observablen A an einem Ensemble von durch ψ re-prasentierten Systemen verschiedene Messwerte ergeben. Das Mittel der Mess-ergebnisse hat den Wert (18.2). Als ein Maß fur die typische Schwankung derMesswerte um den Mittelwert konnen wir die Streuung

Str(A) =(〈A2〉 − 〈A〉2

)1/2=(〈ψ |A2ψ〉 − 〈ψ |Aψ〉2

)1/2(18.3)

benutzen.Ein Ensemble von Systemen, die alle in ein und demselben Zustand prapa-

riert wurden, ist nicht die allgemeinst mogliche Gesamtheit. Wir werden kunftigstets zulassen, dass zu einem Ensemble Systeme in verschiedenen Zustanden ψν ,ν = 1, 2, . . ., gehoren, wobei ein beliebig aus dem Ensemble herausgegriffenesSystem mit Wahrscheinlichkeit wν im Zustand ψν sitzt. Der Erwartungswert

307

Page 308: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

308 18 Statistische Behandlung von Vielteilchensystemen

der Observablen A (die keine explizite Zeitabhangigkeit haben soll),

〈A〉 =∑

ν

wν〈ψν |Aψν〉 , (18.4)

entsteht dann als statistisches Mittel der quantenmechanischen Erwartungswer-te bezuglich der Zustande ψν . Derart zusammengesetzte Ensembles werdenauch Zustandsgemische genannt. Bei dem einfachen Ensemble, das einer ein-zigen Wellenfunktion entspricht, sprechen wir auch von einem reinen Zustand.

18.2 Stationare Ensembles

Im Allgemeinen sind Erwartungswerte wie (18.4) zeitabhangig, da die Wellen-funktionen ψν sich entsprechend der Schrodingergleichung

i~∂

∂tψν = Hψν (18.5)

zeitlich entwickeln. Der Hamiltonoperator H = T + V fur N Teilchen enthaltdie kinetische Energie T

T =

N∑

i=1

1

2mi~p 2 = −

N∑

i=1

~2∇2i

2mi, (18.6)

wobei ∇i = (∂/∂xi, ∂/∂yi, ∂/∂zi) der Nablaoperator bezuglich der Koordinatendes iten Teilchens ist. Hinzu kommt im Allgemeinen eine potenzielle EnergieV (~x1, ~x2, . . . , ~xN ). Wenn die letztere Wechselwirkungen zwischen den Teilchenbeschreibt, so ist sie im Gegensatz zu T nicht additiv bezuglich der Beitrage dereinzelnen Teilchen.

Die Schrodingergleichung (18.5) erlaubt, die zeitliche Anderungsrate des Er-wartungswerts (18.4) zu berechnen

d

dt〈A〉 =

ν

∫d3x1 · · ·

∫d3xN

[ψ∗νAψν + ψ∗νAψν

]

=∑

ν

∫d3x1 · · ·

∫d3xN

i

~[(Hψ∗ν)Aψν − ψ∗νAHψν

]. (18.7)

Wenn V impulsunabhangig, d. h. kein Differentialoperator und daruber hinausreell ist, konnen wir schreiben

d

dt〈A〉 =

ν

∫d3x1 . . .

∫d3xN

(i

~

)

·[(Tψ∗ν)Aψν − ψ∗νATψν + ψ∗ν(V A−AV )ψν

].

Im ersten Term der eckigen Klammer konnen wir die Differentialoperatorenin (∇2

iψ∗ν)Aψν durch zweimalige partielle Integration

”nach rechts abwalzen“;

da hierbei fur normierbare Wellenfunktionen ψν keine Randterme entstehen,

Page 309: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

18.2 Stationare Ensembles 309

erhalten wir schließlich

d

dt〈A〉 =

ν

∫d3x1 . . .

∫d3xN

(i

~

)(HA−AH)ψν

=∑

ν

∫d3x1 . . .

∫d3xNψ

∗ν

(i

~

)[H,A]ψν . (18.8)

Die Anderungsrate des Erwartungswerts 〈A〉 verschwindet offensichtlich, falls[H,A] = 0, d. h. falls die Observable A eine Erhaltungsgroße ist (s. 14.4). Aberauch im Fall [H,A] 6= 0 kann der Erwartungswert 〈A〉 zeitlich konstant bleiben.Ist namlich das betrachtete Ensemble ein Gemisch von Energieeigenzustanden,

Hψν = Eνψν , (18.9)

so ersehen Sie schon aus (18.7) das Verschwinden der Anderungsrate d〈A〉/dt.Da fur Gemische von Energieeigenzustanden die Erwartungswerte beliebiger Ob-servabler zeitlich konstant bleiben, werden diese Gemische fuglich als stationarbezeichnet. Der folgenden Behandlung von Vielteilchensystemen im thermi-schen Gleichgewicht werden stets stationare Gemische zugrunde gelegt.

Von besonderem Interesse fur die Beschreibung von Vielteilchensystemensind Erwartungswert und Streuung der Energie. Bei stationaren Ensembles gilt

〈H〉 =∑

ν

wν〈ψν |Hψν〉 =∑

ν

wνEν . (18.10)

Sie konnen im nachsten Paragrafen lernen, dass die Energieniveaus in Vielteil-chensystemen außerordentlich dicht aufeinander folgen. Summen uber Energie-zustande wie in (18.10) konnen daher durch Integrale genahert werden. Dazumuss die Zahl Ω(E)∆E der Zustande ψν bekannt sein, deren Energieniveausim Intervall zwischen E und E +∆E liegen, und ferner muss wν durch w(Eν)ersetzt werden. Der Erwartungswert (18.10) der Energie nimmt dann die Form

〈H〉 =∞∫

E0

dE Ω(E)w(E)E (18.11)

an, wobei E0 die Grundzustandsenergie des Systems bezeichnet. Im vorste-henden Ausdruck fur die mittlere Energie erkennen Sie ubrigens das ProduktΩ(E)∆E als Wahrscheinlichkeitsdichte der Energie. Die Streuung der Energieerhalten wir durch eine entsprechende Uberlegung als

Str(H) =

∞∫

E0

dE Ω(E)w(E) (E2 − 〈H〉2)

1/2

. (18.12)

Die Energie eines makroskopischen Systems ist im Sinne der Betrachtungenvon 17.5 eine additive Große. Nach dem zentralen Grenzwertsatz mussen wiralso erwarten, dass die Streuung (18.12) i. A. sehr klein ist gegenuber dem Mit-telwert (18.11). Um diese Erwartung durch Berechnen der Integrale in (18.11,18.12) uberprufen zu konnen, mussen wir uns die Zustandsdichte Ω(E) sowiedie Wahrscheinlichkeit w(E) fur stationare Vielteilchensysteme zur Verfugungstellen.

Page 310: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

310 18 Statistische Behandlung von Vielteilchensystemen

18.3 Die Energieabhangigkeit der Zustandsdich-te

Die Abzahlung der Energiezustande ψν mit Energien Eν innerhalb eines Inter-valls zwischen E und E+∆E erfordert im Prinzip die Kenntnis aller Eigenwertedes Hamiltonoperators (und ihren Entartungsgrad). Diese Kenntnis ist fur Viel-teilchensysteme nicht leicht zu erlangen. Ohne große Muhe machen wir uns aberklar, dass die Zustandsdichte eines Systems vieler Teilchen extrem stark von derEnergie abhangt.

Denken wir uns ein System von N Teilchen durch einen glatten Schnitt hal-biert. Bei Teilchenzahlen der Großenordnung 1023 stellt die Wechselwirkung derHalften einen vernachlassigbaren Teil der Gesamtenergie dar. Zudem konnenwir die Halften als statistisch unabhangig ansehen. Da sich jede der Halftenvom Gesamtsystem nur durch Volumen, Teilchenzahl und Energie unterscheidet,wird die Zustandsdichte fur alle drei Systeme dieselbe Funktion der respektivenEnergien, Teilchenzahlen und Volumina sein∗) Wegen der Unabhangigkeit derUntersysteme gilt fur die Zahl Ω(E,N, V )∆E der Zustande des Gesamtsystemsmit Energien im Intervall ∆E bei E

Ω(E,N, V )∆E =∑

e,n

Ω

(E

2− e, N

2− n, V

2

)∆E

· Ω(E

2+ e,

N

2+ n,

V

2

)∆E (18.13)

≈[Ω

(E

2,N

2,V

2

)∆E

]2.

Die Summe im zweiten Glied der Gleichungskette erstreckt sich uber alle mogli-chen Verteilungen der Gesamtenergie E und der Gesamtteilchenzahl N auf diebeiden Untersysteme. Wir durfen diese Summe durch den Summanden entspre-chend halbierter Energie und halbierter Teilchenzahl approximieren, denn wennΩ(E,N, V ) schon bei kleinem Zuwachs von E extrem stark wachst, was wirgleich zeigen werden, so hat das Produkt Ω(E/2 − e,N/2 − n, V/2) · Ω(E/2 +e,N/2 + n, V/2) ein extrem scharf ausgepragtes Maximum bei e = n = 0.

Anstatt das ursprungliche System zu halbieren, konnen wir es auch in nmakroskopisch gleiche Teile zerlegen. Dann gilt statt (18.13) mit gleicher Be-grundung

Ω(E,N, V )∆E ≈[Ω

(E

n,N

n,V

n

)∆E

]n. (18.14)

Die Naherung (18.14) bleibt bei wachsendem n gut, solange jedes Untersystemnoch viele Teilchen enthalt und die Gesamtenergie additiv in den Beitragender Untersysteme bleibt; bei N = 1023 ist das normalerweise bei mindestensn ≈ 1014 der Fall. Wenn der mittlere Teilchenabstand wie bei verdunntenGasen großer ist als die Reichweite der Wechselwirkungskrafte zwischen denTeilchen, gilt (18.14) sogar bis zu Werten von n in der Großenordnung derGesamtteilchenzahl N .

∗)Es lasst sich zeigen, dass Ω von der Form der Berandung des Systems nicht abhangt.

Page 311: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

18.4 Das mikrokanonische Ensemble 311

Aus (18.14) gewinnen wir durch Differenzieren die relative Anderung derZustandsdichte bei kleiner relativer Anderung der Energie,

δΩ(E,N, V )

Ω(E,N, V )= n

δΩ(E/n,N/n, V/n)

Ω(E/n,N/n, V/n), (18.15)

als das n-fache der entsprechenden relativen Anderung bei einem von n Unter-systemen. Mag die relative Anderung von Ω(E/n,N/n, V/n) fur das kleinst-mogliche Untersystem auch winzig sein, sagen wir 10−6, so wird Ω(E,N, V )doch um den riesigen Faktor n · 10−6 wachsen.

Bei vielen Systemen wird das schnelle Anwachsen der Zustandsdichte Ω mitder Energie außer in Nachbarschaft der Grundzustandsenergie durch ein Po-tenzgesetz mindestens qualitativ richtig beschrieben,

Ω(E,N, V ) = EaNA(N,V ) , (18.16)

wobei der Exponent aN eine sehr große Zahl ist, deren Großenordnung sogarder der Teilchenzahl N nahe kommen kann. Fur hinreichend verdunnte Gase,bei denen (18.14) und (18.15) bis n ≈ N gelten, ist a von der GroßenordnungEins.

Prufen Sie Ihr Verstandnis der vorstehenden Diskussion, indem Sie sich da-von uberzeugen, dass Ω(E,N, V ) auch empfindlich vom Volumen V abhangt,u. z. stark wachst bei Volumenvergroßerung.

Wenn wir wie hier und in der Folge die Niveaudichte Ω(E,N, V ) als Funk-tion der Energie E, desr Teilchenzahl N und des Volumens V ansehen†) , dannist stillschweigend angenommen, dass nur eine Teilchensorte (z.B. Wassermo-lekule) und nur eine Phase (gasformig, flussig oder fest) vorliegen. Von diesendrei Variablen muss die Niveaudichte sicher abhangen: vom Volumen V , weilam Rand des Systemvolumens Randbedingungen fur die Wellenfunktion erfulltsein mussen, so dass auch die Energieniveaus En(V ) vom Volumen abhangen;von der Teilchenzahl N , weil jedes Teilchen zur Gesamtenergie (also zu jedemEnergieniveau des Gesamtsystems) beitragt und schließlich wie oben beschrie-ben auch von der Energie E.

18.4 Das mikrokanonische Ensemble

Ich erinnere nochmals an eine in 17.5 gegebene Erlauterung des zentralen Grenz-wertsatzes. Ein raumlich homogenes und zeitlich stationares System vieler, etwaN = 1023, Teilchen konnen wir uns in viele, z. B. n = 1014 Stucke zerlegt den-ken, die mit glatten Oberflachen aneinander grenzen und deren jedes immernoch viele, im Beispiel 109, Teilchen enthalt. Normalerweise (immer, außer inkritischen Systemen) sind solche Teilstucke in guter Naherung unabhangig von-einander. Die Energie des Systems ist additiv in den Beitragen seiner Teilstucke,〈H〉 ∼ n, und die relative Streuung der Energie, Str(H)/〈H〉 ∼ n−1/2, ist winzig,zumeist sogar erheblich kleiner als die relative Unsicherheit der experimentellenBestimmung der Gesamtenergie.

Derart kleine Streuungen verdienen durchaus, vernachlassigt zu werden. Dieentsprechende Naherung fur die in (18.11) auftretende Wahrscheinlichkeit Ω(E)

†)Der Kurze halber wird die Niveaudichte im Folgenden zuweilen als Ω(E) notiert, womitdie Abhangigkeit von V und N keineswegs negiert ist

Page 312: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

312 18 Statistische Behandlung von Vielteilchensystemen

w(E) dE dafur, die Energie des Systems im infinitesimalen Intervall zwischenE und E + dE zu finden, lautet

Ω(E)w(E) dE = δ(E − E)dE . (18.17)

Die Deltafunktion verbietet gerade das Auftreten von Energien außerhalb einesinfinitesimalen Intervalls um den Mittelwert

〈H〉 =∞∫

E0

dE δ(E − E)E = E . (18.18)

Alle hoheren Momente ergeben sich als Potenzen des Mittelwerts,

〈Hν〉 =∞∫

E0

dE δ(E − E)Eν = Eν . (18.19)

und insbesondere verschwindet die Streuung der Energie. Das so definierte sta-tionare Ensemble von Systemen heißt aus historischen Grunden mikrokanonisch.

Neben der absoluten Scharfe der Energie hat das mikrokanonische Ensembleeine weitere bemerkenswerte Eigenschaft. Um dieselbe klarzulegen, fassen wirvorubergehend wieder die Diskretheit der Energieniveaus ins Auge und fragennach der Wahrscheinlichkeit, im Ensemble irgendeinen der insgesamt Ω(E)∆EEnergieeigenzustande ψn mit einem Energieeigenwert En im kleinen aber end-lichen Intervall ∆E bei E anzutreffen. Die gefragte Wahrscheinlichkeit betragtfur das mikrokanonische Ensemble

w(En) =

1

Ω(E)∆Efur E ≤ En ≤ E +∆E

0 sonst.

(18.20)

Im Grenzfall infinitesimaler Dicke ∆E der”Energieschale“ stimmt (18.20) mit

(18.17) uberein. Sie rechnen leicht nach, dass die Relationen (18.19) bis auf Kor-rekturen der Ordnung ∆E/E auch fur die diskrete Version (18.20) von (18.17)richtig bleiben. Ganz ohne Rechnung lesen Sie aus (18.20) ab, dass das mikro-kanonische Ensemble jedem der Ω(E)∆E Zustande mit Energie innerhalb dererlaubten Energieschale die gleiche Wahrscheinlichkeit zuweist.

Per Konstruktion ist gesichert, dass das mikrokanonische Ensemble das sta-tistische Verhalten der Energie eines Vielteilchensystems (namlich die Kleinheitihrer Schwankungen) angemessen beschreibt. Ganz unklar ist jedoch zunachst,ob auch die statistischen Eigenschaften anderer makroskopischer Observabler(Gesamtimpuls, Gesamtdrehimpuls, ggf. Magnetisierung, elektrische Polarisa-tion etc.) richtig wiedergegeben werden.

Fur alle Variablen, die im gleichen Sinn wie die Energie additiv sind (odersogar additiv in den Betragen der einzelnen Teilchen), sichert der zentrale Grenz-wertsatz Streuungen, die zur Wurzel aus der Teilchenzahl N proportional sind,Streuungen also, die auf zu N proportionalen Maßstaben als winzig erscheinen.Diese Eigenschaft jedes Vielteilchensystems kann im mikrokanonischen Ensem-ble nicht verfalscht sein, da die Scharfen der Energie und anderer additiverObservablen nicht im Widerspruch zueinander stehen.

Page 313: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

18.5 Das kanonische Ensemble 313

Keineswegs ist durch den Grenzwertsatz jedoch garantiert, dass das mikro-kanonische Ensemble auch die richtigen Mittelwerte der genannten Variablenliefert. Der Mittelwert des Gesamtimpulses von N Teilchen etwa verschwindetim mikrokanonischen Ensemble, denn nach dem Ehrenfestschen Theorem 11.8gilt

N∑

i=1

〈~pi〉 =∑

i

mid

dt〈~xi〉 , (18.21)

und nach den Uberlegungen von 18.2 ist der Erwartungswert von 〈~xi〉 in jedemstationaren Ensemble zeitunabhangig. Also eignet sich das Ensemble (18.17)nur zur Beschreibung von Systemen mit verschwindendem Gesamtimpuls, nichtaber, zum Beispiel, zur Behandlung von stationaren Stromungen durch Roh-re. Wenn der Mittelwert einer additiven Observablen eines Vielteilchensystemsim Ensemble (18.17) verschwindet, in einer zu beschreibenden Realisierung desSystems aber nicht, so enthalt (18.17) zu viele Zustande. Zum Beispiel lasst(18.17) zu jedem Wert des Gesamtimpulses mit gleicher Haufigkeit den ent-gegengesetzt gleichen zu, wahrend in einem insgesamt translatorisch bewegtenoder stromenden System Impulse einer bestimmten Richtung bevorzugt sind.Um in derartigen Fallen die Zahl der Zustande angemessen zu reduzieren, kannstatt (18.17) ein verallgemeinertes mikrokanonisches Ensemble benutzt werdenmit der Wahrscheinlichkeitsdichte

w(E, ξ)Ω(E, ξ) = δ(E − E) δ(ξ − ξ) (18.22)

dafur, dass die Energie und die weitere(n) unabhangig vorgebbare(n) additi-ve(n) Variable(n) Werte bei E bzw. ξ annehmen. Ferromagnete, Supraleiterund suprafluides Helium sind weitere Beispiele von Systemen, bei denen dieVerallgemeinerung (18.22) angebracht ist.

Offensichtlich ist die Beschreibung eines Vielteilchensystems durch das mi-krokanonische Ensemble von mikroskopischem Standpunkt aus extrem unvoll-standig, da nur die Energie oder neben ihr nur wenige weitere Observable spezi-fiziert werden. Hinsichtlich makroskopischer Observabler von Systemen im ther-mischen Gleichgewicht ist diese Beschreibung jedoch, wie Sie am Beispiel deridealen Gase in 20. sehen werden, erschopfend. Im Ubrigen ist Ihnen aus der ele-mentaren phanomenologischen Thermodynamik schon bekannt, dass das ther-mische Gleichgewicht eines Gases von N Teilchen hinsichtlich makroskopischerBeobachtungen (von Druck, Temperatur, Energie etc.) eindeutig festgelegt istnach Vorgabe zweier Großen wie etwa des Volumens V und der GesamtenergieE. Die letzteren beiden Großen bestimmen aber gerade die Niveaudichte undsomit das mikrokanonische Ensemble.

18.5 Das kanonische Ensemble

Die mikrokanonische Besetzungswahrscheinlichkeit (18.20) fur ein EnergieniveauEν ist nicht die einzig mogliche Wahl fur w(Eν), die die Kleinheit der Energie-schwankungen in einer Gesamtheit von Vielteilchensystemen richtig wiedergibt.Ich will Ihnen hier eine andere Wahl vorstellen, die sich fur viele Rechnungensogar als bequemer handhabbar erweist.

Page 314: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

314 18 Statistische Behandlung von Vielteilchensystemen

Betrachten wir ein stationares Vielteilchensystem und denken es uns durcheinen glatten Schnitt in zwei Stucke zerlegt, deren jedes immer noch viele Teil-chen enthalten soll. Die Wechselwirkung der beiden Stucke macht normalerweiseeinen vernachlassigbaren Beitrag zur Gesamtenergie E, so dass letztere durchdie Summe der Energien der beiden Teile approximiert werden kann,

E = E1 + E2 . (18.23)

Zugleich werden die beiden Teile in guter Naherung statistisch unabhangig sein.Die Wahrscheinlichkeit, die Gesamtenergie beim Wert E zu finden, wird nachder sowohl-als-auch-Regel (17.3) durch das Produkt der Wahrscheinlichkeiten,die Energien der Teile bei E1 bzw. E2 zu finden, gegeben sein,

w(E) = w(E1) · w(E2) . (18.24)

Da die beiden Teilsysteme von gleicher Natur sind wie ihre Vereinigung, tritt in(18.24) einunddieselbe Funktion w(x) mit drei verschiedenen Argumenten auf.

Die beiden Relationen (18.23, 18.24) legen die Funktion w(E) fest als dieExponentialfunktion

w(E) =1

Ze−βE . (18.25)

Dabei sind Z und β zwei offene Parameter, deren Bedeutung spater klarzustellensein wird. Durch Einsetzen prufen Sie leicht nach, dass (18.25) eine Losung derGleichungen (18.23, 18.24) darstellt. Die Eindeutigkeit der Losung (18.25) istauch schnell erwiesen. Differenzieren wir namlich beide Seiten von (18.24) nachE1, so erhalten wir w′(E1 + E2) = w′(E1)w(E2). Fur E1 = 0 entsteht dieDifferentialgleichung w′(E2) = w′(0)w(E2), deren Losung bekanntlich die Form(18.25) hat.

Sie erkennen auf der rechten Seite von (18.25) den Boltzmannfaktor und er-innern sich an die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung, die barometrischeHohenformel und andere Beispiele exponentieller Energieverteilungen. Ebenfallsbekannt ist Ihnen, dass der Parameter 1/β zur absoluten Temperatur proportio-nal ist. Die folgenden Uberlegungen machen jedoch von derlei Vorkenntnissenkeinen Gebrauch.

Damit (18.25) tatsachlich eine Wahrscheinlichkeit w(En) definiert, muss dieSumme uber alle Energieeigenzustande den Wert Eins haben

n

w(En) = Z−1∑

n

e−βEn = 1 . (18.26)

Diese Forderung definiert den Normierungsfaktor Z, die so genannte Zustands-summe,

Z =∑

n

e−βEn ≈∞∫

E0

dE Ω(E,N, V )e−βE = Z(β,N, V ) . (18.27)

Fur die hier betrachteten Systeme ist, wie vorstehend symbolisch angedeutet,die kanonische Zustanssumme eine Funktion der Variablen β,N, V . Sobald Z

Page 315: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

18.5 Das kanonische Ensemble 315

bekannt ist, sind alle Momente der Energieverteilung durch Differenziation nachdem Parameter β zuganglich,

〈Hν〉 = Z−1(−1)ν ∂νZ

∂βν= Z−1

n

Eνn e−βEn ≈ Z−1

∞∫

E0

dE Eν Ω(E) e−βE .

(18.28)

Die Differentiation nach β ist eine partielle; die beiden anderen Variablen Volu-men und Teilchenzahl sind als konstant anzusehen.

Die offenbare Verschiedenheit der kanonischen Verteilung (18.25) und dermikrokanonischen Verteilung

w(E) =1

Ω(E)δ(E − E) (18.29)

muss Sie beunruhigen! Beide sollen die makroskopischen Eigenschaften von Viel-teilchensystemen im thermischen Gleichgewicht beschreiben, beide sind konstru-iert unter Berufung auf die Additivitat der Energie bezuglich der Beitrage hin-reichend großer Teilsysteme, aber irgendeine Ahnlichkeit zwischen der mikroka-nonischen Deltafunktion und der kanonischen Exponentialfunktion ist zunachstnicht zu erkennen.

Trotz des drastisch verschiedenen Aussehens sind die Verteilungen (18.17)und (18.25) aquivalent. Die Aquivalenz ist ohne Rechnung unschwer dem zentra-len Grenzwertsatz zu entnehmen. Die Additivitat der Energie bezuglich vielerhinreichend großer Untersysteme und die statistische Unabhangigkeit derartigerUntersysteme fuhren einerseits zwingend zur kanonischen Verteilung (18.25) undbedingen andererseits nach dem Grenzwertsatz eine winzige relative Streuungder Gesamtenergie. Die Scharfe der Energie ist aber gerade eines der beiden we-sentlichen Charakteristika des mikrokanonischen Ensembles. Das andere Cha-rakteristikum, die Gleichheit der Besetzungswahrscheinlichkeiten aller Zustandeeiner Energie bzw. mit Energien innerhalb einer

”dunnen Energieschale“, ist

dem kanonischen Ensemble ebenfalls eigen, denn die Verteilung (18.25) hangtwie (18.17) neben der Energie von keinen anderen Quantenzahlen ab.

Wir konnen die Kleinheit der Energieschwankungen im kanonischen Ensem-ble auch durch Berechnung der Erwartungswerte 〈Hν〉 gemaß (18.28) illustrie-ren. Dazu verwenden wir die Zustandsdichte (18.16), die das fur makroskopischeSysteme typische starke Anwachsen von Ω(E) mit der Energie qualitativ richtigbeschreibt,

Ω(E,N, V ) = A(N,V )EaN . (18.30)

Der Einfachheit halber denken wir uns fur den Exponenten aN zunachst nurganzzahlige Werte zugelassen. Damit wird die Integration in (18.28) zu einerelementaren Aufgabe mit der Losung (der Einfachheit halber wird der Energie-nullpunkt so gewahlt, dass E0 = 0)

〈Hν〉 = Z−1Aβ−(aN+ν+1)(aN + ν)! . (18.31)

Insbesondere erhalten wir fur ν = 0 die Zustandssumme

Z = Aβ−(aN+1)(aN)! (18.32)

Page 316: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

316 18 Statistische Behandlung von Vielteilchensystemen

und schließlich, nach Elimination von Z aus (18.31),

〈Hν〉 = β−ν(aN + ν)(aN + ν − 1) · · · (aN + 1) . (18.33)

Dieses Resultat lasst sich auch fur nicht ganzzahlige Werte von aN gewinnen.Von (18.33) gelangen wir sofort zum angestrebten Ziel, der relativen Streuungder Energie,

Str(H)/〈H〉 = (aN + 1)−1/2 ∼ 1/√N , (18.34)

deren Winzigkeit nun auch nachgerechnet ist.Um etwaige Beunruhigung uber die Verschiedenheit der Besetzungswahr-

scheinlichkeit w(Eν) im kanonischen und mikrokanonischen Ensemble vollendsauszuraumen, sollten Sie noch einen Blick auf das letzte Glied in (18.28) werfen.Sie erkennen, dass das Produkt aus Zustandsdichte und Boltzmannfaktor undnicht letzterer allein die Wahrscheinlichkeitsdichte fur das Auffinden der Energiebeim Wert E angibt. Da Ω(E) stark mit E wachst, hat das Produkt Ω(E)e−βE

ein scharf ausgepragtes Maximum nahe beim Mittelwert 〈H〉 (s. Abbildung18.1).

Abbildung 18.1

Ich hatte schon in 18.4 darauf hingewiesen, dass bei manchen Vielteilchen-systemen neben der Energie eine oder mehrere weitere Variable spezifiziert wer-den mussen. Die entsprechende Verallgemeinerung der kanonischen Verteilung(18.25) lautet, falls die unabhangig vorgebbare(n) Variable(n) ξ ebenso wie dieEnergie additiv sind,

w(E, ξ) = Z−1e−β(E−ϕξ) , (18.35)

wobei als zusatzlicher Parameter die Große ϕ auftritt. Die Begrundung von(18.35) lauft vollig parallel der Begrundung von (18.25) und ist Ihnen zur Ubunganempfohlen.

Das kanonische Ensemble wird oft auch fur kleine Systeme mit wenigen Frei-heitsgraden verwendet. Die (zuweilen unausgesprochene) Rechtfertigung dafurbesteht stets darin, dass das betreffende kleine System als in schwacher Wech-selwirkung mit einer großen Umgebung befindlich angesehen werden kann.

Als Beispiel eines kleinen Systems betrachten wir einen harmonischen Oszil-lator im Gleichgewicht mit einer Umgebung, die so schwach ankoppelt, dass ihrEinfluss auf die Energieniveaus vernachlassigbar ist. Die Energieeigenwerte

Page 317: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

18.6 Das großkanonische Ensemble 317

En = ~ω(n+

1

2

), n = 0, 1, 2, . . . (18.36)

sind Ihnen aus 13.1 bekannt. Die Zustandssumme (18.27) wird hier zu einergeometrischen Reihe,

Z =

∞∑

n=0

e−β~ω(n+ 12 ) =

e−β~ω/2

1− e−β~ω =1

2 sinh(β~ω/2). (18.37)

Durch Differenzieren gemaß (18.28) erhalten wir hieraus die mittlere Energie

〈H〉 = ~ω2

cothβ~ω2

(18.38)

und die Streuung

Str(H) =~ω2/ sinh

β~ω2

. (18.39)

Sie sollten diese Resultate in den Grenzfallen β → 0 (große Temperaturen) undβ → ∞ (kleine Temperaturen) untersuchen. Uberzeugen Sie sich auch davon,daß sich die mittlere Energie gemaß (18.38) schreiben lasst als

〈H〉 = ~ω(nth +

1

2

), nth =

1

eβ~ω − 1,

wobei nth die thermisch gemittelte Zahl der Anregungsquanten ist; die letz-tere Form der mittleren Energie und die Interpretation von nth werden durchVergleich mit (18.36) nahegelegt.

Nach diesem kleinen Exkurs zu einem “kleinen” System kehren wir zumHauptthema der Vielteichensysteme zuruck mit der Bemerkung, dass bei Benut-zung des kanonischen Ensembles naheliegt, die mittlere Energie 〈H〉 = E(β,N, V )als Funktion der Teichenzahl N , des Volumens sowie des Parameters β (der sichwie bereits erwahnt als ein Maß fur die Temperatur herausstellen wird) anzuse-hen.

18.6 Das großkanonische Ensemble

Im mikrokanonischen wie im kanonischen Ensemble sind nur Systeme mit ein-undderselben Zahl von Teilchen zugelassen. Dies ist eine manchmal lastige Be-schrankung. Insbesondere ist es experimentell unmoglich, ein makroskopischesSystem vielfach zu reproduzieren unter genauer Beibehaltung der TeilchenzahlN . Jedenfalls ist die Beschrankung auf fixes N bei N À 1 vollig unnotig. Danamlich die Teilchenzahl wie die Energie additiv ist bezuglich der Beitrage vonTeilsystemen, sichert der zentrale Grenzwertsatz die Vernachlassigbarkeit derStreuung von N . Wir konnen also ohne weiteres statt der bisher besprochenenEnsembles das so genannte großkanonische Ensemble benutzen, bei dem dieTeilchenzahl genau wie die Energie zwar nicht absolut scharf fixiert ist, jedoch

Page 318: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

318 18 Statistische Behandlung von Vielteilchensystemen

nur vernachlassigbare Schwankungen aufweist. In diesem großkanonischen En-semble haben Systeme mit Energieeigenwert Eν und Teilchenzahl N die relativeHaufigkeit

w(Eν , N) = Z−1G e−β(Eν−µN) . (18.40)

Dabei hangen die Energieeigenwerte Eν = Eν(N,V ) uber Randbedingungen amRand des Systems vom Volumen V sowie auch von der Teilchenzahl N ab. Diegroßkanonische Zustandssumme ZG ist durch die Wahrscheinlichkeitsinterpre-tation fur w(Eν , N) festgelegt,

ZG =

∞∑

N=0

ν

e−β(Eν−µN) = ZG(β, V, µ) . (18.41)

Das so genannte chemische Potential µ und der Parameter β konnen nach Vor-gabe der mittleren Energie und der mittleren Teilchenzahl 〈N〉 fixiert werden.Offenbar gilt

−〈H〉+ µ〈N〉 =(∂ lnZG∂β

)

µ,V

(18.42)

β〈N〉 =(∂ lnZG∂µ

)

β,V

, (18.43)

wobei die Differenziation in (18.42) bei konstantem chemischen Potential µ unddie in (18.43) bei konstantem β auszufuhren ist; das Volumen V ist beidemalals konstant anzusehen.

Wir hatten am Ende des letzten Paragraphen erkannt, daß bei Benutzungdes kanonischen Ensembles naheliegt, die mittlere Energie 〈H〉 = E(β,N, V )als Funktion der Variablen β,N, V anzusehen. Ebenso naturlich ist es, beiBenutzung des großkanonischen Ensembles die Variablen β, µ, V zu benutzenund 〈H〉 = E(β, µ, V ) zu schreiben. Der mittleren Energie ist es gleichgultig,als Funktion welcher drei Variabler sie angesehen wird, und der Ubergang voneinem Satz wie β,N, V zu einem anderen wie β, µ, V ist nichts als eine Va-riablentransformation. Mit derartigen Variablentransformationen muss man inder Thermodynamik oft spielen. Ein derartiges Spiel liefert uns ubrigens diemittlere Energie als

〈H〉 = −(∂ lnZG∂β

)

z,V

, (18.44)

also etwas direkter als uber 18.42 und 18.43.

Page 319: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

Kapitel 19

ThermodynamischeVariable

19.1 Entropie

Der hier vorzustellende Begriff der Entropie ist in der phanomenologischen Ther-modynamik seit seiner Einfuhrung durch Rudolf Clausius (1865) von zentralerBedeutung und hat auch bei der Grundlegung des statistischen Verstandnissesder Thermodynamik durch Ludwig Boltzmann eine Schlusselrolle gespielt. Wirdefinieren die Entropie eines Vielteilchensystems im thermischen Gleichgewichtals

S = −kB∑

ν

w(Eν) lnw(Eν) . (19.1)

Die hier per Konvention auftretende Boltzmannkonstante,

kB = 1, 38062× 10−23 J = 1, 38062× 10−16 erg , (19.2)

weist der Entropie die Dimension einer Energie zu. Da die Besetzungswahr-scheinlichkeiten w(Eν) alle zwischen Null und Eins liegen, gilt sicher

S ≥ 0 . (19.3)

Die so definierte Entropie konnte keine brauchbare thermodynamische Va-riable sein, wenn sie in den verschiedenen Gleichgewichtsensembles verschiedeneWerte annahme. Nun hat die Summe in (19.1) fur das mikrokanonische Ensem-ble (18.20) den Wert

S = kB ln[Ω(E,N, V )∆E

]= Smikro(E, V,N) (19.4)

wahrend Sie fur das kanonische Ensemble (18.25) leicht

S = kBβE + kB lnZ = Skan(β, V,N), E = 〈H〉 (19.5)

finden. Wir mussen uns eilends von der Gleichheit der rechten Seiten in (19.4)und (19.5) uberzeugen. Die Gleichheit muß ubrigens bestehen ungeachtet der

319

Page 320: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

320 19 Thermodynamische Variable

schon mehrfach angesprochenen Tatsache, daß beim mikrokanonischen Vorgehendie Variablen E,N, V als die naturlichen erscheinen, wahrend im kanonischenFall die mittlere Energie E durch β ersetzt ist. Ubrigens spricht man von Eund β oft als von einem konjugierten Paar. Nun zum Bewies der GleichheitSmikro = Skan.

Dazu betrachten wir die kanonische Zustandssumme

Z =∑

n

e−βEn ≈∞∫

E0

dE Ω(E)e−βE (19.6)

und erinnern uns der in 18.5 gewonnenen Erkenntnis, dass das Produkt derZustandsdichte Ω(E) mit dem Boltzmannfaktor ein extrem scharfes Maximumbei E = E aufweist. Da die Breite der Funktion Ω(E) exp(−βE) unterhalb desMaximums in etwa der Streuung der Energie gleich ist, kann die Zustandssummedurch die Naherung

Z ≈ Ω(E) e−βE Str(H) (19.7)

nicht um Großenordnungen verfalscht werden. Tragen wir die entsprechendeNaherung fur in Z in (19.5) ein, so erhalten wir

S ≈ kB ln[Ω(E) Str(H)

]. (19.8)

Der Unterschied dieses Resultats zu (19.4) ist sicher vernachlassigbar: da lnΩ(E)∝ N , wahrend ln Str(H) ∝ lnN und die Dicke ∆E der Energieschale allerhoch-stens ∝ N sind, ist der relative Unterschied der in (19.4) und (19.8) gegebenenGroßen von der Ordnung (lnN)/N . Werten wir schließlich die Definition (19.1)der Entropie im großkanonischen Ensemble (18., (18.40)) aus, so ergibt sich

S = kB lnZG + kBβE − kBβµN = Sgroß(β, µ, V ). (19.9)

Die Ubereinstimmung der so berechneten Entropie mit der aus den beidenanderen Ensembles gewonnenen fur Vielteilchensysteme liegt daran, dass dieTeilchenzahl ebenso wie die Energie im großkanonischen Ensemble nur winzi-ge Schwankungen aufweist. Der Nachweis der Ubereinstimmung verlauft ganzahnlich wie der oben dargestellte Nachweis der Aquivalenz von (19.4) und (19.5)und bleibt Ihnen zur Ubung uberlassen. Wurdigen Sie im Ubrigen die Tatsache,dass die großkanonisch berechntete Entropie als Funktion der Variablen β, µ, Verscheint; gegenuber dem kanonischen Fall ist die Teilchenzahl durch das zu ihrkonjugierte chemische Potential ersetzt.

Aus der Definition (19.1) folgt unmittelbar, dass die Entropie additiv ist inden Beitragen unabhangiger Untersysteme. Benennen wir namlich die Ener-gieniveaus zweier unabhangiger Untersysteme mit E1

ν und E2µ, die entsprechen-

den Besetzungswahrscheinlichkeiten mit w1(E1ν) und w2(E

2µ), so haben wir als

sowohl-als-auch-Wahrscheinlichkeit das Produkt

w(E1ν , E

2µ) = w1(E

1ν)w2(E

2µ) (19.10)

und somit fur die Gesamtentropie die Summe

S = −kB[∑

ν

w1(E1ν) lnw1(E

1ν) +

µ

w2(E2µ) lnw2(E

2µ)

]= S1 + S2 . (19.11)

Page 321: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

19.1 Entropie 321

Ludwigs Boltzmann’s Pioniertat bestand unter anderem darin, die vorher imphanomenologischen Kontext gebrauchliche Entropie eines thermischen Gleich-gewichtszustands mit der Wahrscheinlichkeit dafur zu verknupfen, in einem En-semble makroskopisch identischer Systeme irgendeine der vielen Orts- und Im-pulskonfigurationen zu finden, die mit den makroskopisch feststellbaren Eigen-schaften des Systems vertraglich sind. Boltzmann’s Uberlegungen bleiben weit-gehend unberuhrt davon, dass wir heute die mikroskopische Dynamik quanten-mechanisch statt klassisch beschreiben und von Energieniveaus statt von Orts-und Impulskonfigurationen sprechen. Der Zusammenhang zwischen Entropieund Wahrscheinlichkeit ist am unmittelbarsten aus der mikrokanonischen Form(19.4) ersichtlich, da 1/Ω(E)∆E gerade die Wahrscheinlichkeit darstellt, einesder Ω(E)∆E Energieniveaus innerhalb der Schale ∆E bei E besetzt anzutreffen.

Die Bedeutung der Entropie fur die phanomenologische Thermodynamikfußt auf einer Extremaleigenschaft. Die Definition (19.1) verlangt, dass die Be-setzungswahrscheinlichkeiten einem Gleichgewichtsensemble entsprechen. For-mal konnen wir auch eine Nichtgleichgewichtsentropie S ′ definieren, indem wir(19.1) fur Nichtgleichgewichtsbesetzungen wν verwenden,

S′ = −kB∑

ν

wν lnwν . (19.12)

Diese Nichtgleichgewichtsentropie S ′ kann nie großer sein als die Gleichgewicht-sentropie desselben Systems,

S′ ≤ S . (19.13)

Wir beweisen die außerordentlich wichtige Ungleichung (19.13), indem wirzunachst die Besetzungswahrscheinlichkeit wν als variable Parameter ansehenund S′ bezuglich derselben extremalisieren. Bei jeder Variation der wν mussnaturlich die Normierung

ν

wν = 1 (19.14)

gewahrt bleiben; unverandert bleiben soll auch die Gesamtenergie des Systems.Die Extremalisierung von S′ unter den beiden Nebenbedingungen konstanter

Normierung und Energie kann dadurch erfolgen, dass wir zwei Lagrangemulti-plikatoren kBβ und kB(lnZ − 1) einfuhren∗), die Funktion

S′ − kBβ∑

ν

wνEν − kB(lnZ − 1)∑

ν

wν (19.15)

ohne Nebenbedingungen extremalisieren und die beiden Parameter Z und βzuletzt durch die Forderungen (19.14) und

E =∑

ν

wνEν (19.16)

festlegen. Bei infinitesimaler Anderung der wν darf sich die in (19.15) gegebeneFunktion nicht andern, da sie einen Extremalwert annehmen soll,

−kB∑

ν

δwν(lnwν + βEν + lnZ) = 0 . (19.17)

∗)Die Benennung dieser Lagrangemultiplikatoren mag unnotig kompliziert aussehen, wirdsich aber im Ergebnis (19.18) als zweckmaßig herausstellen

Page 322: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

322 19 Thermodynamische Variable

Wegen der Unabhangigkeit der δwν muss die Klammer fur jedes ν verschwinden,und es folgt

wν = Z−1e−βEν . (19.18)

Wir schließen, dass bei Vorgabe der mittleren Energie durch (19.16) die GroßeS′ genau dann den Extremalwert S annimmt, wenn die Besetzungsverteilungder Energieniveaus die des kanonischen Gleichgewichtsensembles ist. Der Para-meter β erscheint hier in der Rolle eines Lagrangemultiplikators, der die mittlereEnergie festlegt.

Anstatt mit Hilfe eines Lagrangemultiplikators konnen wir die Gesamtener-gie auch dadurch vorgeben, dass wir nur solche wν als von Null verschiedenzulassen, die zu Energieniveaus Eν innerhalb einer Schale der Dicke ∆E bei Egehoren. Die Extremalisierung von S ′ mit der Nebenbedingung (19.14) fuhrtdann zu der Forderung

−kBSchale∑

ν

δwν(lnwν + lnZ) = 0 , (19.19)

also genau zur mikrokanonischen Verteilung wν = 1/Z = const. Die mikroka-nonische

”Zustandssumme“ ist naturlich gleich der Zahl Ω(E)∆E der Energie-

eigenzustande mit Energien innerhalb der Schale.Nachdem wir uns davon uberzeugt haben, dass der im thermischen Gleichge-

wicht vorliegende Extremalwert der Große S′ gleich der Entropie S ist, mussenwir zur Vervollstandigung des Beweises der Ungleichung (19.13) noch zeigen,dass das Extremum von S′ ein Maximum ist. Das aber ist einfach, denn zwei-maliges Differenzieren nach einem wµ in (19.12) gibt

∂2S′

∂w2µ

= −kB/wµ < 0 . (19.20)

19.2 Temperatur

In einer ersten Nutzung der soeben erklarten Extremaleigenschaft der Entro-pie denken wir uns zwei zunachst getrennte abgeschlossene Vielteilchensysteme;beide seien fur sich im Gleichgewicht. Die respektiven Energien und Entropienseien e1 und e2 bzw. S1(e1) und S2(e2). Sodann denken wir uns die zwei Syste-me in Kontakt gebracht derart, dass die Gesamtenergie und die außeren Para-meter (insbesondere die beiden Volumina und Teichenzahlen) konstant bleiben,Energieaustausch zwischen den beiden Systemen jedoch moglich wird.

Ein Kontakt der geschilderten Art heißt thermischer Kontakt und die gege-benenfalls ausgetauschte Energie heißt Warme. Zwar i. A. nicht zu Beginn desKontakts, aber erfahrungsgemaß doch nach hinreichend langer Zeit wird dasvereinigte System im thermischen Gleichgewicht sein. Die vorher getrenntenTeile werden die Energie E1, E2 mit der Summe

E = E1 + E2 = e1 + e2 (19.21)

und die Entropien S1(E1), S2(E2) haben. Die Gesamtentropie des vereinigtenSystems zu Beginn des Kontakts,

S′ = S1(e1) + S2(E − e1) , (19.22)

Page 323: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

19.2 Temperatur 323

und die schließlich erreichte Gleichgewichtsentropie

S′ = S1(E1) + S2(E − E1) (19.23)

erfullen die Ungleichung

S′ ≤ S . (19.24)

Daruber hinaus erreicht S′ als Funktion von e1 im Gleichgewicht, also fur e1 =E1, ihren Maximalwert S, und es gilt die Gleichgewichtsbedingung

δS′(E1) =

[∂S1(E1)

∂E1− ∂S2(E2)

∂E2

]δe1 = 0 , (19.25)

also

∂S1(E1)

∂E1=∂S2(E2)

∂E2. (19.26)

Das Inverse der hier auftretenden Große

∂S

∂E≡ 1

T(19.27)

nennen wir die absolute Temperatur. Zwei Systeme in thermischem Kontaktkonnen nach (19.26) nur bei Gleichheit ihrer Temperaturen im Gleichgewichtsein.

Stimmen die Temperaturen T1 und T2 zweier Systeme bei Herstellung ther-mischen Kontakts nicht uberein, so fließt Warme vom warmeren System (demmit der hoheren Temperatur) zum kalteren, bis die Temperaturen angeglichensind. Die Richtigkeit dieser Ihnen auch aus dem Alltag gelaufigen Aussage folgtaus der Ungleichung (19.13). Bilden wir namlich die Differenz S−S′ aus (19.22)und (19.23), der Einfachheit halber fur den Fall infinitesimaler Abweichung vomGleichgewicht, so entsteht die Ungleichung

∂S′1(e1)

∂e1(E1 − e1) +

∂S′2(e2)

∂e2(E2 − e2) > 0 . (19.28)

Da anfanglich jedes Teilsystem fur sich im Gleichgewicht sein soll, bedeutet(19.28)

(1

T1− 1

T2

)(E1 − e1) > 0 . (19.29)

Sie lesen ab, dass das erste Teilsystem Warme aufnimmt, E1 − e1 > 0, falls esanfanglich kalter ist als das zweite, T1 < T2.

Sie konnen nun den schon erwahnten Zusammenhang des Parameters β,der im kanonischen Ensemble die mittlere Energie fixiert, mit der absolutenTemperatur T erkennen. Differenzieren wir den kanonischen Ausdruck (19.5),also S(β,N, V ) = kBβE+ kB lnZ, fur die Entropie nach der mittleren Energie,so ergibt sich

1

T=∂S

∂E= kBβ ,

Page 324: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

324 19 Thermodynamische Variable

also

β = 1/kBT . (19.30)

Doch halt! Die vorstehende partielle Ableitung bedarf eines Kommentars!Die kanonische Form der Entropie erscheint als Funktion von β,N, V . Beimpartiellen Differenzieren nach der Energie E sind Teilchenzahl N und VolumenV konstant zu halten; die Variable β ist dann als Funktion der Energie E an-zusehen, so dass gilt

1

T=∂S

∂E(19.31)

= kBβ + kBE∂β

∂E+ kB

∂ lnZ

∂E. (19.32)

Jedoch heben sich die beiden letzten Terme in vorstehender Gleichung auf, we-gen ∂ lnZ/∂E = (∂ lnZ/∂β)(∂β/∂E) = −E(∂β/∂E), so dass die kavaliersartigschnelle Rechnung im vorstehenden Absatz doch nicht falsch war!

Fur den Grenzfall beliebig großer Temperatur entnehmen wir (19.30) undder kanonischen Besetzungsverteilung

w(Eν) = Z−1e−βEν , (19.33)

dass die Besetzungswahrscheinlichkeiten fur alle Energieniveaus gleich werden.Hingegen ist fur den Grenzfall T → 0 ersichtlich, dass nur das niedrigste Ener-gieniveau besetzt ist; thermisches Gleichgewicht am absoluten Nullpunkt derTemperatur bedeutet fur jedes System sicheren Aufenthalt im Grundzustand.Es folgt, sofern der Grundzustand nicht entartet ist, dass die Entropie am ab-soluten Nullpunkt verschwindet,

S → 0 fur T → 0 . (19.34)

Dieses Resultat ist als dritter Hauptsatz der Thermodynamik bekannt.Einen ebenfalls aufschlussreichen Zusammenhang zwischen der absoluten

Temperatur, der mittleren Energie E und der Niveaudichte Ω(Eν) erhalten wir,wenn wir in (19.27) den mikrokanonischen Ausdruck (19.4) fur die Entropiebenutzen,

1

T= kB

∂ lnΩ(E)∆E

∂E. (19.35)

Da fur Vielteilchensysteme ein starkes Anwachsen der Niveaudichte bei zuneh-mender Energie typisch ist, konnen wir folgern, dass solche Systeme keine ne-gativen Temperaturen annehmen konnen,

T ≥ 0 . (19.36)

Insofern das Anwachsen der Niveaudichte mit der Energie qualitativ durch

Ω(E) = A EaN (19.37)

beschrieben werden kann (wobei a fur hinreichend verdunnte Gase von derGroßenordnung Eins ist), durfen wir aus (19.35) schließen, dass die absoluteTemperatur uber die Relation

E = aN kBT (19.38)

Page 325: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

19.3 Druck 325

die Großenordnung der mittleren Energie pro Freiheitsgrad eines Vielteilchen-systems misst.

Eine weitere, historische Bemerkung ist am Platze. Wir haben durch Ein-fuhrung der Boltzmannkonstanten in (19.1) der Entropie die Dimension einerEnergie zugewiesen. Als Konsequenz dieser Konvention wird die Temperaturzu einer dimensionslosen Variablen. Der Zahlenwert der Boltzmannkonstantengeht ubrigens zuruck auf eine (inzwischen uberholte) Definition der Tempera-turskala, bei der dem Schmelz- und dem Siedepunkt von H2O unter gewissen

”Normalbedingungen“ die Temperatur 0 Celsius bzw. 100 Celsius zugeschrie-ben werden. Diese Celsius’sche Temperatur T (c) ist mit der in Grad Kelvin an-gegebenen absoluten Temperatur verknupft durch die Ubereinkunft, dass Tem-peraturdifferenzen in beiden Skalen numerisch gleich sind und dass 0 Celsiusder absoluten Temperatur 273, 15 Kelvin entspricht,

T = T (c) + 273, 15 . (19.39)

Mit den beschriebenen Konventionen fur Dimensionen und Einheiten ware volliggleichwertig eine Ubereinkunft, die Temperatur mit der Dimension einer Energieauszustatten und somit die Entropie als dimensionslose Variable zu definieren.Wegen des innigen Zusammenhangs von Entropie und Wahrscheinlichkeit undweil die Temperatur gemaß (19.38) ein grobes Maß fur die mittlere Energiedarstellt, ware eine derartige Konvention sogar recht naheliegend. Aber einerkleinen Zweckmaßigkeit wegen verwerfen wir nicht schnode eine liebe Tradition.

19.3 Druck

In Gefaßen eingesperrte Systeme uben i. A. Krafte auf die Gefaßwande aus. DieKraft pro Flacheneinheit der Gefaßwand wird als Druck bezeichnet. Sie kennendie elementare gaskinetische Vorstellung, die den Druck eines Gases erklart alsden Impulsubertrag auf das Gefaß bei der unaufhorlichen Folge von Stoßen derTeilchen im Gas gegen die Wand. Hier will ich Ihnen die allgemeine quanten-statistische Methode zur Berechnung des Drucks eines Systems im thermischenGleichgewicht erklaren.

Liegt das fragliche System in einem Energieeigenzustand ψν mit der EnergieEν vor, so bezeichnen wir als seinen Druck die Große

pν = −∂Eν∂V

. (19.40)

Dieser Druck konnte im Prinzip gemessen werden uber die infinitesimale Ander-ung der Energie Eν(V ) bei sehr langsamer Anderung des Volumens um dV ; dieVolumenanderung hatte so langsam zu erfolgen, dass das System den Energie-eigenzustand zur

”laufenden“ Energie Eν(V ) nicht verlasst. Die experimentelle

Vorgabe der Energie eines Vielteilchensystems bedeutet allerdings i. A. nicht diePraparation genau eines Energieeigenzustandes, vielmehr die Herstellung einesGemisches, in dem der Zustand ψν mit der relativen Haufigkeit w(Eν) auftritt.Der Druck ist dann als statistisches Mittel uber die pν zu berechnen,

p = −∑

ν

w(Eν)∂Eν∂V

. (19.41)

Page 326: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

326 19 Thermodynamische Variable

Die Auswertung der Summe (19.41) gestaltet sich besonders einfach, wenndie kanonische Zustandssumme

Z(T, V ) =∑

ν

e−βEν ≈∞∫

E0

dE Ω(E, V ) e−βE (19.42)

als Funktion der Temperatur und des Volumens schon bekannt ist, denn fur daskanonische Ensemble gilt

p = −Z−1∑

ν

e−βEν∂Eν∂V

= β−1Z−1(∂Z

∂V

)

T

, (19.43)

also

βp =

(∂ lnZ

∂V

)

T

. (19.44)

Hier soll der Index T an der rechten Seite andeuten, dass die Differenziation nachdem Volumen bei konstanter Temperatur erfolgen muss. Die Relation (19.44)gibt den Druck als Funktion von Temperatur und Volumen (sowie ggf. weitereraußerer Parameter, die jedoch bei den von uns zu behandelnden Systemen nichtauftreten). Sie wird die Zustandsgleichung des Systems genannt.

Statt der kanonischen Zustandssumme Z konnen wir in (19.44) mit Hilfevon (19.5) die Entropie S und die mittlere Energie E einfuhren,

p = T

[(∂S

∂V

)

T

− 1

T

(∂E

∂V

)

T

]. (19.45)

Beachten Sie, dass die Entropie in (19.45) als Funktion des Volumens und derbeim Differenzieren nach V konstant zu haltenden Temperatur anzusehen ist.Tatsachlich ist es ublich, S als Funktion von V und der mittleren Energie Eanzugeben. Die Identitat(∂S(E, V )

∂V

)

T

=

(∂S

∂V

)

E

+

(∂S

∂E

)

V

(∂E

∂V

)

T

=

(∂S

∂V

)

E

+1

T

(∂E

∂V

)

T

(19.46)

erlaubt, diesem Brauch zu folgen und die Zustandsgleichung (19.45) zu

p = T

(∂S

∂V

)

E

(19.47)

zu vereinfachen.Verwenden wir in (19.47) den mikrokanonischen Ausdruck (19.4) fur die

Entropie, so erscheint der Druck als durch die Niveaudichte Ω(E, V ) gegeben,

p = kBT∂ lnΩ(E, V )

∂V. (19.48)

Schließlich konnen wir den Druck auch mit Hilfe des großkanonischen Ensemblesberechnen, d. h. durch die großkanonische Zustandssumme

ZG(T, V, µ) =∑

N

ν

e−β(Eν−µN) (19.49)

Page 327: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

19.4 Chemisches Potential 327

ausdrucken. Eine Nebenrechnung, die zu der in (19.43) ausgefuhrten volligparallel lauft,

p = −Z−1G∑

N,ν

e−β(Eν−µN) ∂Eν∂V

= β−1Z−1G

(∂ZG∂V

)

T,µ

, (19.50)

gibt statt (19.44)

βp =

(∂ lnZG∂V

)

T,µ

. (19.51)

Hieraus ergibt sich p als Funktion von V , T und des chemischen Potentials µ.Die letztere Große kann gemaß

N = kBT

(∂ lnZG∂µ

)

T,V

(19.52)

zugunsten der mittleren Teilchenzahl aus der Zustandsgleichung eliminiert wer-den.

Ihnen sollte hinlanglich klar sein, dass die drei Formen (19.44, kanonisch),((19.48), mikrokanonisch) und ((19.51), großkanonisch) der Zustandsgleichungfur Vielteilchensysteme miteinander aquivalent sind. Die Freiheit, beim Auf-stellen der Zustandsgleichung von Vielteilchen systemen irgendeines der dreiEnsembles benutzen zu durfen, wird uns im folgenden viel unerfreuliche Re-chenarbeit zu sparen erlauben.

19.4 Chemisches Potential

Das chemische Potential µ war uns in 18.6 bei der Einfuhrung des großkano-nischen Ensembles als ein Parameter begegnet, mit dessen Hilfe die mittlereTeilchenzahl im Ensemble festgelegt wird. In genau diesen Hilfsdienst werdenwir µ im nachsten Kapitel stellen. Hier will ich Ihnen erlautern, dass das che-mische Potential auch eine eigene physikalische Bedeutung hat.

Wenn bei festem Volumen (und sonstigen außeren Parametern) sowie kon-stanter Entropie die Teilchenzahl geandert wird, so andert sich die Energiegemaß

(∂E

∂N

)

S,V

= µ . (19.53)

Zum Beweis dieser Eigenschaft des chemischen Potentials greifen wir auf dengroßkanonischen Ausdruck fur die Entropie (19.9) zuruck und schreiben densel-ben in differenzieller Form,

dS = kB d(lnZG) +1

T 2(−E + µN) dT +

1

TdE − 1

T(N dµ+ µdN) . (19.54)

Nun ist die großkanonische Zustandssumme definiert als eine Funktion der Va-riablen T , V (uber die Energiewerte) und µ. Ihr allgemeines Differential lautetalso

d lnZG =

(∂ lnZG∂T

)

V,µ

dT +

(∂ lnZG∂V

)

T,µ

dV +

(∂ lnZG∂µ

)

T,V

dµ . (19.55)

Page 328: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

328 19 Thermodynamische Variable

Die hier auftretenden Koeffizienten von dV und dµ hatten wir in (19.51) bzw.(19.52) bereits als βp bzw. βN identifiziert, wahrend sich der Koeffizient vondT aus (18.42) als (E − µN)/kBT

2 ergibt. Damit erhalten wir fur das Entro-piedifferential (19.54) den Ausdruck

TdS = dE + pdV − µdN , (19.56)

aus dem Sie die Relation (19.53) sowie die analoge Eigenschaft des Drucks

p = −(∂E

∂V

)

S,N

(19.57)

entnehmen.Zwischen dem chemischen Potential und dem Druck besteht insofern eine

Analogie, als beide Großen die isentropische (dS = 0) Antwort der mittle-ren Energie auf die differenzielle Anderung eines außeren Parameters, namlichTeilchenzahl bzw. Volumen, angeben. (Man spricht auch von generalisiertenKraften; die außeren Parameter waren dann als generalisierte Koordinaten zubezeichnen.) Dementsprechend gilt fur das chemische Potential auch eine zuunserer Definition des Druckes (19.41) analoge Relation,

µ =∑

ν,N

w(EνN )∂EνN∂N

. (19.58)

Zum Beweis von (19.58) verwenden wir das großkanonische Ensemble. Dierechte Seite erlaubt dann folgende Umformung

1

ZG

ν,N

e−β(EνN−µN) ∂EνN∂N

= −(

1

βZG

) ∞∑

N=0

eβµN∂

∂N

ν

e−βEνN .

Hierin ist∑νexp(−βEνN ) ≡ Z(N) die kanonische Zustandssumme bei fixer

Teilchenzahl N . Die Ableitung dieser Große nach N konnen wir approximierenals

∂NZ(N) ≈ 1

δN

[Z(N)− Z(N − δN)

], (19.59)

wobei δN irgendeine im Vergleich zur mittleren Teilchenzahl N winzige Zahlsein darf. Die rechte Seite von (19.58) nimmt dann folgende Form an

−(

1

βZG

)1

δN

∞∑

N=0

e−βµN[Z(N)− Z(N − δN)

]

= −(

1

βZG

)1

δN

[ZG −

N

eβµNZ(N − δN)

]

≈ − 1

β

1

δN(1− eβµδN ) . (19.60)

Das letzte Glied in der Gleichungskette (19.60) entsteht nach Einfuhrung derneuen Summationsvariablen N ′ = (N − δN) in exzellenter Naherung, da die

Page 329: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

19.4 Chemisches Potential 329

Teilchenzahlsumme im vorletzten Glied erhebliche Beitrage nur fur Werte vonN in Nahe der mittleren Teilchenzahl N erhalt. Im Grenzubergang δN → 0ergibt sich schließlich in (19.60) das chemische Potential µ.

Nachdem nun die enge Verwandtschaft von Druck und chemischem Potenti-al ausfuhrlich gewurdigt worden ist, verdient auch ein kleiner Unterschied Auf-merksamkeit, das negative Vorzeichen in der Definition des Drucks. Es sorgtdafur, dass Systeme im Gleichgewicht einen positiven Druck haben. Warumware im Umgang mit großen Systemen mit negativem Druck außerste Vorsichtgeboten?

Page 330: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

330 19 Thermodynamische Variable

Page 331: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

Kapitel 20

Ideale Gase

20.1 Ununterscheidbarkeit identischer Teilchen

Beim Beobachten der Bewegung mehrerer identischer klassischer Teilchen (z. B.Billardkugeln) kann man immer, jedenfalls im Prinzip, die einzelnen Teilchenunterscheiden: jedes der im ubrigen gleichen Teilchen durchlauft seine eigeneBahnkurve und kann an derselben jederzeit identifiziert werden. Bei Quantenhingegen ist diese Unterscheidungsmoglichkeit nicht gegeben, da wegen des Wel-lencharakters der Bewegung von einer Bahnkurve gar nicht gesprochen werdenkann. Tatsachlich sind identische Quanten (wie die 47 Elektronen in der Hulleeines Silberatoms, die Natriumatome in einem Salzkorn, die beiden Wasserstof-fatome in einem Wasserstoffmolekul . . .) auf keine Weise voneinander unter-scheidbar. Ich will Ihnen hier einige der drastischen Konsequenzen der Unun-terscheidbarkeit identischer Quanten vorstellen.

Betrachten wir zunachst zwei identische Teilchen, die durch die Wellenfunk-tion Φ(~x1, ~x2) beschrieben werden. Das Absolutquadrat |Φ(~x1, ~x2)|2 gibt dieWahrscheinlichkeitsdichte dafur, eines der Teilchen bei ~x1 und das andere bei~x2 zu finden. Die Ununterscheidbarkeit der beiden Teilchen macht die Fra-ge, welches von ihnen bei ~x1 angefunden wird, unbeantwortbar. Dementspre-chend muss die Wahrscheinlichkeitsdichte |Φ(~x1, ~x2)|2 symmetrisch unter Ver-tauschung der Koordinatentripel ~x1 und ~x2 sein,

|Φ(~x1, ~x2)|2 = |Φ(~x2, ~x1)|2 . (20.1)

Ein etwaiger Unterschied |Φ(~x1, ~x2)|2 von |Φ(~x2, ~x1)|2 wurde namlich bedeuten,dass zwei verschiedene und verschieden wahrscheinliche Ereignisse des Typs

”ein

Teilchen wird bei ~x1, das andere bei ~x2 registriert“ moglich sind und somit eineUnterscheidbarkeit der beiden Teilchen begrunden.

Die Symmetrie der Wahrscheinlichkeitsdichte erzwingt, dass die Wellenfunk-tion Φ(~x1, ~x2) entweder symmetrisch oder antisymmetrisch ist,

Φ(~x1, ~x2) = ±Φ(~x2, ~x1) . (20.2)

Beide Moglichkeiten kommen in der Natur vor. Die Erfahrung lehrt, dassdie Wellenfunktionen identischer Fermiteilchen (d. h. Teilchen mit halbzahligemSpin wie Elektronen, Protonen, Neutronen etc.) ausnahmslos antisymmetrisch

331

Page 332: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

332 20 Ideale Gase

sind, wahrend die Koordinaten identischer Boseteilchen (Teilchen mit ganzzah-ligem Spin wie α-Teilchen, π-Mesonen etc.) stets symmetrisch in der Wellen-funktion auftreten. Diese Eigenart von Bosonen und Fermionen ist nicht nurbei Zweiteilchensystemen gegeben. Liegen N identische Teilchen vor, so gilt

Φ(~x1 . . . ~xi . . . ~xj . . . ~xN ) =

+Φ(~x1 . . . ~xj . . . ~xi . . . ~xN ) fur Bosonen

−Φ(~x1 . . . ~xj . . . ~xi . . . ~xN ) fur Fermionen(20.3)

bezuglich aller N(N − 1)/2 Paare von Koordinatentripeln.

Zur weiteren Erlauterung des Prinzips der Ununterscheidbarkeit betrachtenwir zwei freie und nicht wechselwirkende identische Teilchen. Der Hamiltonope-rator ist rein kinetischer Natur,

H =1

2m(~p21 + ~p22) . (20.4)

Die Schrodingergleichung

i~Φ(~x1, ~x2, t) = HΦ(~x1, ~x2, t) (20.5)

kann durch den Separationsansatz ψ(~x1, t)ϕ(~x2, t) gelost werden, wobei sich die

Einteilchenwellenfunktionen ψ(~x, t) und ϕ(~x, t) als ebene Wellen exp(i~k · ~x −iE~kt/~) und E~k = ~2k2/2m (oder Linearkombinationen solcher ebener Wellen)erweisen. Allerdings kommen in der Natur keine Zustande vor, die das Produktψ(~x1)ϕ(~x2) als Wellenfunktion hatten. Wohl aber entspricht das symmetrisierteProdukt

ΦS(~x1, ~x2, t) = N[ψ(~x1, t)ϕ(~x2, t) + ψ(~x2, t)ϕ(~x1, t)

](20.6)

einem moglichen Zustand zweier identischer Bosonen und das antisymmetrisier-te Produkt

ΦA(~x1, ~x2, t) = N[ψ(~x1, t)ϕ(~x2, t)− ψ(~x2, t)ϕ(~x1, t)

](20.7)

einem moglichen Zustand zweier identischer Fermionen. Der in (20.6) und (20.7)auftretende Normierungsfaktor N garantiert, dass die Zweiteilchenwellenfunk-tionen auf Eins normiert sind, wenn die Einteilchenwellenfunktionen diese Ei-genschaft haben,

∫d3x1

∫d3x2 |ΦA,S(~x1, ~x2, t)|2 =

∫d3x1 |ψ(~x1, t)|2 =

∫d3x2 |ϕ(~x1, t)|2 = 1 .

(20.8)

Insbesondere hat der Normierungsfaktor den Wert N = 1/√2, falls die beiden

Einteilchenwellenfunktionen orthogonal sind.

Aus (20.7) erkennen Sie, dass zwei identische Fermionen nicht in einunddem-selben Einteilchenzustand sitzen konnen: fur ψ = ϕ verschwindet das antisym-metrisierte Produkt ΦA Diese Konsequenz der Ununterscheidbarkeit identischerQuanten ist als das Pauliprinzip bekannt. Fur Bosonen besteht hingegen keinVerbot der Mehrfachbesetzung eines Einteilchenzustandes.

Page 333: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

20.1 Ununterscheidbarkeit identischer Teilchen 333

Sie sollten sich uberlegen, dass aus drei normierten Einteilchenwellenfunk-tionen ϕ(~x), ψ(~x) und χ(~x) nur die folgenden (normierten) Dreiteilchenwellen-funktionen

ΦSA(~x1, ~x2, ~x3) =1√6

[ϕ(~x1)ψ(~x2)χ(~x3)± ϕ(~x1)ψ(~x3)χ(~x2)

± ϕ(~x2)ψ(~x1)χ(~x3) + ϕ(~x2)ψ(~x3)χ(~x1)

±ϕ(~x3)ψ(~x2)χ(~x1) + ϕ(~x3)ψ(~x1)χ(~x2)]

(20.9)

gebildet werden konnen. Lesen sie wieder ab, dass ΦA verschwindet, wennzwei oder gar alle drei Einteilchenwellenfunktionen ubereinstimmen, wahrendin ΦS Doppel- oder gar Dreifachbesetzung eines Einteilchenzustandes durchauserlaubt ist. (Der Normierungsfaktor 1/

√6 ist allerdings nur fur normierte und

wechselseitig orthogonale ϕ,ψ, χ richtig; suchen Sie den Normierungsfaktor furdie bei Bosonen moglichen Mehrfachbesetzungen ϕ = ψ ⊥ χ und ϕ = ψ = χ.)Sie werden im Folgenden lernen, dass die verschiedene Besetzbarkeit von Ein-teilchenzustanden durch identische Fermionen (hochstens einfach) und Bosonen(keine Beschrankung) sich makroskopisch manifestiert in verschiedenem Tief-temperaturverhalten von Gasen aus identischen Fermi- und Boseteilchen.

Denken wir uns nochmals zwei Identische Quanten ohne Wechselwirkung.Sie seien an um den Vektor ~X verschiedenen Orten lokalisiert, bezuglich dieserOrte jedoch jedes fur sich durch dieselbe Einteilchenwellenfunktion ψ beschrie-ben. Als gemeinsame Zweiteilchenwellenfunktion kommt nun nicht das Produktψ(~x1)ψ(~x2− ~X) in Frage, sondern fur Bosonen das symmetrisierte und fur Fer-mionen das antisymmetrisierte Produkt

ΦSA(~x1, ~x2) =1√2

[ψ(~x1)ψ(~x2 − ~X)± ψ(~x1 − ~X)ψ(~x2)

]. (20.10)

Die entsprechende Wahrscheinlichkeitsdichte dafur, beide Teilchen am gleichenOrt ~x zu finden, |Φ(~x, ~x)|2, verschwindet offenbar fur Fermionen (Pauliprinzip!)wahrend sie fur Bosonen das Doppelte des Wertes betragt, den sie fur unter-scheidbare Teilchen, d. h. Φ = ψ(~x1)ψ(~x2 − ~X), hatte.

Noch eine andere Erkenntnis ziehen wir aus (20.10). Sie mussen nicht ein aufIhrer Nasenspitze sitzendes Proton und ein anderes im Barte Ihres Großvatersdurch eine Wellenfunktion beschreiben, die antisymmetrisch unter Vertauschungder respektiven Koordinatentripel ist. Ist namlich die Wellenfunktion ψ(~x) in(20.10) auf Eins normiert, so muss sie fur hinreichend großes |~x| nach Null gehen.Sei etwa |ψ(~x)|2 fur |~x| > R auf vernachlassigbar kleine Werte abgefallen. Falls

in der Zweiteilchenwellenfunktion (20.10) der Abstand | ~X| den”Radius“ R des

Wellenpakets ψ uberschreitet,

| ~X| À R , (20.11)

so konnen nie beide Summanden in (20.10) zugleich merklich von Null ver-schieden sein. Statt durch (20.10) konnen die beiden Teilchen dann durch dasProdukt

Φ(~x1, ~x2) = ψ(~x1)ψ(~x2 − ~X) (20.12)

beschrieben werden, u. z. unabhangig davon, ob es sich um Bosonen oder Fer-mionen handelt.

Page 334: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

334 20 Ideale Gase

Die soeben vorgestellte Uberlegung erlaubt uns eine Abschatzung der Tem-peratur, unterhalb derer in einem idealen Gas identischer Teilchen die quan-tenmechanische Ununterscheidbarkeit derselben merklich wird, oberhalb derersich demnach auch Bose- und Fermigase gleich verhalten. Sie wissen bereits (s.19.2), dass die Großenordnung der mittleren Energie pro Teilchen eines Gasesdurch die Temperatur T festgelegt ist uber E ≈ kBT . Diese Energie ist beimidealen Gas rein kinetisch, so dass der Betrag des mittleren Impulses eines Teil-chens von der Ordnung p ≈

√mkBT ist. Die zugehorige Wellenlange ~/p, die

thermische de Broglie Wellenlange

λth =√

2π~2/mkBT , (20.13)

gibt die Großenordnung der prinzipiellen Grenze fur die Lineardimension, mitder wir uns die Teilchen des Gases raumlich lokalisiert denken durfen. Wennder mittlere Teilchenabstand l ≈ (V/N)1/3 viel großer ist als die typische Orts-unscharfe (20.13) eines Teilchens,

lÀ λth , (20.14)

so konnen Quanteneffekte wie die Ununterscheidbarkeit identischer Teilchenvernachlassigt werden. Dieser klassische Grenzfall wird fur hinreichende Ver-dunnung und/oder genugend hohe Temperaturen erreicht. Aus der Gleichungl = λth erhalten Sie die Temperatur, unterhalb welcher sich Quanteneffekte, al-so auch der Unterschied zwischen Bosonen und Fermionen deutlich bemerkbarmachen.

20.2 Thermische Photonen(Plancksches Strahlungsgesetz)

Wir betrachten das elektromagnetische Feld im Innern eines Hohlraumes. DieAtome in den Wanden, die den Hohlraum umschließen, emittieren und absor-bieren fortwahrend elektromagnetische Strahlung und wechselwirken auch un-tereinander. Die Wande und das elektromagnetische Feld seien miteinander imthermischen Gleichgewicht.

Das elektrische Feld ~E(~x, t) im Hohlraum lasst sich als Superposition vonebenen monochromatischen transversalen Wellen

~E(~x, t) = e ei(~k·~x−ω~kt) (20.15)

darstellen, wobei die Frequenz ω~k und der Wellenvektor ~k durch die Dispersi-onsrelation

ω~k = c|~k| (20.16)

verknupft sind (s. 6.6). Der Einheitsvektor e in (20.15) gibt die Polarisations-richtung der Schwingung. Wegen der Transversalitat der elektromagnetischenWelle steht e senkrecht zur Ausbreitungsrichtung

e · ~k = 0 . (20.17)

Page 335: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

20.2 Thermische Photonen 335

Zu jedem Wellenvektor ~k gibt es demnach zwei unabhangige Wahlen fur dieOrientierung des Einheitsvektors e.

Die klassische Elektrodynamik erlaubt fur jede der unabhangigen Wahlen(20.15) eine beliebige komplexe Amplitude. Zur Behandlung der thermischenEigenschaften des Strahlungsfeldes mussen wir jedoch den Quantencharakter desFeldes berucksichtigen und dazu jede der unabhangigen Schwingungen exp(−iω~kt)als einen harmonischen Oszillator ansehen, der Energie nur in der diskretenEinheit ~ω~k abgeben und aufnehmen kann. Die Energieeigenwerte eines solchenOszillators kennen Sie aus 13.1 als

ε~k,e = ~ω~k

(n~k,e +

1

2

), (20.18)

wobei die Zahl der Quanten (hier Photonen) im Oszillator mit demWellenvektor~k und der Polarisationsrichtung e alle ganzzahligen Werte annehmen kann,

n~ke = 0, 1, 2, . . . . (20.19)

Die Gesamtenergie des Strahlungsfeldes erhalten wir durch Summation der Bei-trage aller unabhangigen Wellen als

E(n~k,e) =∑

~k,e

n~k,e~ω~k + E0 . (20.20)

Die Grundzustandsenergie

E0 =∑

~k,e

~ω~k/2 . (20.21)

will ich im Folgenden durch Neuwahl des Energienullpunktes zum Verschwindengebracht denken.

Die Form (20.20) der Gesamtenergie legt nahe, Photonen als Teilchen an-zusehen. Indem Sie sich dieser Vorstellung hingeben, durfen Sie jedoch nichtaußer Acht lassen, dass die Gesamtzahl der Photonen

N =∑

~k,e

n~k,e (20.22)

nicht fixiert ist, da die Beitrage n~k,e der einzelnen Oszillatoren ganz unabhangig

voneinander sind. Im Ubrigen ist diesen Teilchen Bosonencharakter zuzuweisen,da gemaß (20.19) beliebig viele (anstatt hochstens eines) Teilchen der Sorte ~k, evorkommen durfen.

Um uns die thermischen Eigenschaften des Photonengases zu erschließen,verwenden wir das kanonische Ensemble und berechnen zunachst die Zustands-summe

Z =∑

n~k,e=0,1,2,...

e−βE(n~k,e) . (20.23)

Hierin ist fur jeden der durch ~k und e nummerierten Oszillatoren uber allemoglichen Besetzungszahlen zu summieren. Nach Eintragen von (20.20) und

Page 336: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

336 20 Ideale Gase

(20.16) konnen wir Z als das Produkt

Z =∏

~k,e

Z~k,e (20.24)

Z~k,e =

∞∑

n~k,e=0

e−β~ω~kn~k,e =(1− e−β~c|~k|

)−1

schreiben. Da der Faktor Z~k,e die Zustandssumme fur den Oszillator mit Wel-

lenvektor ~k und Polarisationsrichtung e, fur die beiden bei festem ~k moglichenunabhangigen Richtungen e den gleichen Wert hat, ergibt sich fur die Zustands-summe

Z =∏

~k

(1− e−β~c|~k|)−2 , (20.25)

oder

lnZ =− 2∑

~k

ln(1− e−β~c|~k|) . (20.26)

Das Produkt in (20.25) und die Summe in (20.26) laufen nur noch uber alleerlaubten Werte des Wellenvektors.

Welche Werte der Wellenvektor ~k annehmen darf, hangt (wie immer bei inKasten eingesperrten Wellen) von den Randbedingungen an der inneren Ober-flache des Hohlraumes und auch von der Form des Hohlraums ab. Universelle,d. h. von der Form des Hohlraums unabhangige Aussagen konnen wir nur ge-winnen fur den Spektralbereich, in dem alle Wellenlangen λ = 2π/|~k| kleinsind gegenuber allen Lineardimensionen des Hohlraums. Fur diesen Spektral-bereich ist plausibel (und lasst sich zeigen), dass die erlaubten Wellenvektorenbei Anderung der Randbedingungen unverandert bleiben. Wir nutzen die ent-sprechende Freiheit, denken uns den Hohlraum als von der Form eines Wurfelsmit der Kantenlange L und unterwerfen die ebenen Wellen (20.15) periodischenRandbedingungen

~E(x+ L, y, z) = ~E(x, y + L, z) = ~E(x, y, z + L) = ~E(x, y, z) . (20.27)

Fur die erlaubten Wellenvektoren erhalten wir somit die Bedingungen

eikxL = eikyL = eikzL = 1 .

Die drei Komponenten von ~k haben also alle ganzzahligen Vielfachen von (2π/L)als erlaubte Werte,

kx =2π

Lnx, nx = 0, 1, 2, . . . . (20.28)

Die Gultigkeit dieses Resultats ist allerdings beschrankt auf den Spektralbereichλ = 2π/|~k| ¿ L, d. h.

|~k| = 2π

L

(n2x + n2y + n2z

) 12 À 2π

L. (20.29)

Page 337: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

20.2 Thermische Photonen 337

Die Differenz zweier benachbarter Werte einer Wellenvektorkomponente be-tragt nach (20.28)

∆k =2π

L. (20.30)

Nach (20.29) ist diese Differenz sehr klein gegenuber allen durch (20.28) richtig

angegebenen erlaubten Wellenzahlen |~k|. Bei derart dicht liegenden Wellenvek-toren konnen Wellenvektorsummen wie die in (20.26) durch Integrale ersetztwerden. Unter Beachtung von (20.30) gewinnen wir die Ersetzungsvorschrift

kx,ky,kz

−→(L

)3 ∑

kx,ky,kz

∆kx∆ky∆kz −→V

(2π)3

∫d3k . (20.31)

Fur den Logarithmus der Zustandssumme erhalten wir nun das Integral

lnZ = −2 V

(2π)3

∫d3k ln

(1− e−β~c|~k|

), (20.32)

das wir wegen der Isotropie des Integranden am bequemsten in Kugelkoordina-ten ausfuhren. Dabei gibt die Winkelintegration den Faktor

π∫

0

dθ sin θ

π∫

0

dϕ = 4π . (20.33)

Die Integration uber den Betrag des Wellenvektors ist von einer unteren Grenzekmin À 1

L entsprechend dem Gultigkeitsbereich (20.29) unserer Wellenvektor-bestimmung bis ins Unendliche zu erstrecken,

lnZ = − 1

π2V

∞∫

kmin

dk k2 ln(1− e−β~ck) . (20.34)

Wir werden weiter unten sehen, dass die untere Integrationsgrenze kmin furhinreichend hohe Temperaturen,

kBT À ~ c V −1/3 , (20.35)

ohne merklichen Fehler fur das Integral nach Null verschoben werden darf,

lnZ = − 1

π2V

∞∫

0

dk k2 ln(1− e−β~ck) . (20.36)

Nach Ubergang zu der dimensionslosen Integrationsvariablen x = β~ck erhaltenwir

lnZ = − V

(β~c)31

π2

∞∫

0

dx x2 ln(1− e−x

)

und schließlich, mit Hilfe einer Integraltafel,

lnZ =π2

45

V

(β~c)3. (20.37)

Page 338: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

338 20 Ideale Gase

Jetzt sind uns alle thermischen Eigenschaften des Photonengases unmittel-bar zuganglich. Nach (18.28) gilt fur die mittlere Energie

E = −(∂ lnZ

∂β

)

V

=π2

15

V

(~c)3(kBT )

4 . (20.38)

Dieses Resultat konnen Sie lesen als das Produkt der mittleren thermischenEnergie pro Freiheitsgrad (Großenordnung kBT ) und der Zahl der im VolumenV verfugbaren Freiheitsgrade des Feldes, deren Großenordnung mit Hilfe derthermischen Wellenlange λmax = 2πc/ωmax (siehe weiter unten fur die Frequenzmaximaler Strahlungsintensitat ωmax) als V/λ

3max ∝ V (kBT/~c)3 geschatzt wer-

den kann.Fur den Druck, den Sie sich ubrigens durch Stoße der Photonen gegen die

Kastenwand anschaulich machen konnen, erhalten wir gemaß (19.44)

p = kBT

(∂ lnZ

∂V

)

T

=π2

45

1

(~c)3(kBT )

4 =1

3

E

V. (20.39)

Bemerkenswerterweise andert sich der Photonendruck bei isothermer (T = const)Kompression nicht, da p bei T = const nicht vom Volumen V abhangt. VonInteresse ist auch die durch

CV =

(∂E

∂T

)

V

(20.40)

definierte Warmekapazitat bei konstantem Volumen, die wir aus (20.38) zu

CV =4π2

15

V

(~c)3k4BT

3 (20.41)

erhalten.Um schließlich die Verteilung der Gesamtenergie uber die Strahlungsfrequen-

zen zu studieren, gehen wir zuruck zum Integral (20.36) und ersetzen dort dieWellenzahl k durch die Frequenz ω = ck als Integrationsvariable. Durch Diffe-renzieren nach β gemaß (18.28) gewinnen wir die mittlere Energie in der Form

E =V ~c3

1

π2

∞∫

0

dω ω3(eβ~ω − 1)−1 ≡ V∞∫

0

dω u(ω)

und lesen fur die so genannte spektrale Energiedichte u(ω) das von Max Planckim Jahr 1900 gefundene Plancksche Strahlungsgesetz ab

u(ω) =1

π2~ω3/c3

eβ~ω − 1. (20.42)

Die in Abbildung 20.1 gezeigte spektrale Energiedichte fallt exponentiell nachNull fur ω →∞, verschwindet wie ω2 fur ω → 0 und hat ein Maximum bei derFrequenz

ωmax = 2, 82kBT/~ . (20.43)

Dieser lineare Zusammenhang zwischen der Frequenz maximaler Strahlungsin-tensitat und der Temperatur ist als das Wiensche Verschiebungsgesetz bekannt.

Page 339: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

20.2 Thermische Photonen 339

Abbildung 20.1

Sie konnen jetzt die Bedingung (20.35) fur die Ersetzbarkeit der unterenIntegrationsgrenze kmin in (20.34) durch Null verstehen. Genau dann, wenn diezu ωmax gehorige Wellenzahl kmax = ωmax/c groß ist gegenuber der inversenLineardimension V −1/3 des Hohlraums, so dass gilt

V −1/3 ¿ kmin ¿ kmax = 2, 82kBT/~c , (20.44)

erhalt das Integral (20.36) einen vernachlassigbaren Beitrag aus dem Integrati-onsintervall 0 ≤ k ≤ kmin, ist also mit (20.34) praktisch gleich.

Das Plancksche Strahlungsgesetz kann experimentell verifiziert werden. Wenndurch die Wand eines Hohlraums ein kleines Loch gebohrt und die sekundlichpro Flacheneinheit des Lochs ins Frequenzintervall ∆ω bei der Frequenz ω nachaußen gestrahlte Energie cu(ω)∆w gemessen wird.

Alle hier fur das Photonengas gewonnenen Resultate sind von wesentlichquantenmechanischer Natur. Wenn Sie versuchen, durch den formalen Grenz-ubergang ~ → 0 Quanteneffekte zu eliminieren, so erhalten Sie weder fur dieEnergie, noch fur den Druck und die Warmekapazitat wohldefinierte klassischeGrenzwerte sondern jeweils unsinnige Divergenzen. Lediglich der langwellige(β~ω ¿ 1) Teil der spektralen Strahlungsdichte (20.42) hat einen sinnvollenklassischen Grenzwert,

u(ω) =1

π2kBTω

2/c3 , (20.45)

der als das Rayleigh-Jeanssche Gesetz schon vor 1900 bekannt war, sowohl em-pirisch wie auf Grund klassischer statistischer Uberlegungen. Die dem Rayleigh-Jeansschen Gesetz fur ω →∞ eigene Ultraviolettkatastrophe u(ω)→∞ wird imPlanckschen Gesetz durch den fur große Frequenzen auftretenden exponentiellenAbschneidefaktor e−β~ω verhindert.

Max Planck benutzte bei der Konstruktion seiner Strahlungsformel (20.42)die von ihm selbst zunachst ungeliebte ad hoc Annahme, dass das Strahlungs-feld bei der Frequenz ω Energie nur in diskreten Portionen ~ω abgeben undaufnehmen konne. Die Annahme und ihre erste Konsequenz (20.42) markierenden Beginn der Quantenphysik.

Page 340: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

340 20 Ideale Gase

20.3 Thermische Phononen in Festkorpern

Wenn N Atome einen festen Korper bilden, so ist i. A. jedes einzelne an eineGleichgewichtslage gebunden, um die herum es Schwingungen ausfuhren kann.Bei hinreichend kleinen Schwingungsamplituden sind die einzelnen Ruckstell-krafte in guter Naherung linear in den Auslenkungen, so dass die Bewegung derN Atome durch das Modell von 3N harmonischen Oszillatoren reprasentiertwerden kann. Zur gesamten Schwingungsenergie tragt der i-te Oszillator inquantenmechanischer Behandlung einen der Werte

εi = ~ωi(ni + 1/2), ni = 0, 1, 2, . . . (20.46)

bei. Die moglichen Werte der Gesamtenergie lauten also

E(ni) =∑

i

~ωi(ni + 1/2) . (20.47)

Das Energiequantum ~ωi, das so genannte Phonon, kann wie das Photon alsTeilchen aufgefasst werden. Allerdings mussen wir wieder berucksichtigen, dassdie Gesamtzahl dieser Teilchen,

N =∑

i

ni , (20.48)

nicht festliegt, da die ni ganz unabhangig voneinander sind. Wie Photonenhaben auch Phononen Bosecharakter, da die ni beliebige ganzzahlige Werteannehmen durfen.

Um uns die thermischen Eigenschaften des Phononengases zu erschließen,berechnen wir die kanonische Zustandssumme. Wie beim Photonengas ergibtsie sich aus

lnZ = −∑

i

ln(1− e−β~ωi) , (20.49)

wobei die Grundzustandsenergie∑i

~ωi/2 wieder unterdruckt ist. Die in (20.49)

auftretende Summe lasst sich durch ein Frequenzintegral approximieren, da diePhononenfrequenzen bei makroskopischen Festkorpern sehr dicht liegen. Fuhrenwir eine spektrale Dichte ρ(ω) so ein, dass die Zahl der zwischen ω und ω + dωliegenden Eigenfrequenzen 3Nρ(ω) dω betragt. Damit ρ(ω) die Gesamtzahl 3Ndie Schwingungen richtig wiedergibt, muss gelten

∞∫

0

dω ρ(ω) = 1 . (20.50)

Fur die Zustandssumme erhalten wir nun die Kontinuumsnaherung

lnZ = −3N∞∫

0

dω ρ(ω) ln(1− e−β~ω) . (20.51)

Die weitere Auswertung von Z gestaltet sich besonders einfach fur tiefe Tem-peraturen, bei denen entsprechend ~ωi . kBT nur niederfrequente Schwingun-gen angeregt sind. Solche Schwingungen sind Ihnen als Schallwellen bekannt,

Page 341: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

20.3 Thermische Phononen in Festkorpern 341

deren Wellenlangen λi = 2πc/ωi den mittleren Atomabstand im Festkorper(≈ 1 A = 10−10m) um mindestens einige Großenordnungen uberschreiten. Be-zuglich derart langwelliger Schwingungen bleibt die atomistische Struktur un-erheblich und der Festkorper verhalt sich wie ein elastisches Kontinuum.

Die Abzahlung der elastischen Schwingungen mit Frequenzen zwischen ωund ω + dω erfolgt ganz ahnlich wie die Abzahlung der elektromagnetischenSchwingungen, die wir im letzten Paragrafen vorgenommen haben. Als we-sentlicher Unterschied ist nur zu beachten, dass das elastische Kontinuum auchraumlich und zeitlich periodische Dichteschwankungen (Kompressionswellen)durchfuhren kann. Kompressionswellen werden auch als longitudinale Wellenbezeichnet, weil bei ebenen monochromatischen Kompressionswellen die Aus-lenkung eines Massenelements aus der Gleichgewichtslage stets parallel zumWellenvektor verlauft. Langwellige Kompressionswellen in elastischen Kontinuasind erfahrungsgemaß durch die Dispersionsrelation

ω(~k) = cl|~k| (20.52)

gekennzeichnet, wobei cl die so genannte longitudinale Schallgeschwindigkeitist. Wie im elektromagnetischen Feld treten auch im elastischen Kontinuumfur jeden Wellenvektor ~k zwei unabhangige transversale Wellen (hier Scher-wellen genannt) auf, bei denen die Auslenkung eines Massenelements aus der

Gleichgewichtslage senkrecht zu ~k steht. Niederfrequente Scherwellen haben dieDispersionsrelation

ω(~k) = ct|~k| . (20.53)

Die hier auftretende Schallgeschwindigkeit ct ist i. A. von cl verschieden. Sowohl(20.52) wie (20.53) sind formgleich mit der Dispersionsrelation elektromagneti-scher Wellen.

Wir nehmen nun wie in 20.2 an, dass die raumliche Ausdehnung des Systemsso groß ist, dass die genaue Art der Randbedingungen an der Oberflache fur dieAbzahlung der Eigenfrequenzen im interessanten Teil des Spektrums unerheb-lich bleibt. Aus (20.34) konnen wir dann die Zahl der Wellen im Frequenzin-tervall dω bei ω als V ω2 dω/π2c3 ablesen fur den Fall, dass zu einem Wellen-vektor zwei unabhangige Wellen gehoren. Im Fall von Schallwellen mussen wirfur jeden Wellenvektor eine longitudinale und zwei transversale Schwingungenberucksichtigen und als spektrale Dichte

3Nρ(ω) =V

2π2

(2

c3t+

1

c3l

)ω2 (20.54)

in Rechnung stellen.Das Phononenspektrum kann durch (20.54) nur fur solche Wellenlangen gut

wiedergegeben werden, die groß gegenuber dem mittleren Atomabstand a sind,also fur

ω ¿ c/a , (20.55)

wobei c fur ct oder cl steht. Bei der Verwendung der spektralen Dichte (20.54)zur Berechnung der Zustandssumme gemaß (20.51),

lnZ = − V

2π2

(2

c3t+

1

c3l

) ∞∫

0

dω ω2 ln(1− e−β~ω) , (20.56)

Page 342: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

342 20 Ideale Gase

wird, da die Frequenzintegration bis zu unendlich großen Frequenzen lauft, derGultigkeitsbereich (20.55) von (20.54) verlassen. Fur hinreichend tiefe Tempe-raturen,

kBT ¿ ~c/a , (20.57)

entsteht dadurch jedoch kein merklicher Fehler, da der Integrand in (20.56)fur ~ω > kBT mit wachsendem ω exponentiell abfallt, das Integral also seinedominierenden Beitrage aus dem Intervall 0 ≤ ~ω . kBT bezieht.

Wie im 20.2 aus (20.36) erhalten wir nun aus (20.56) die Energie, die War-mekapazitat und den Druck des Phononengases zu

E = −(∂ lnZ

∂β

)

V

=π2

30

V

~3

(2

c3t+

1

c3l

)(kBT )

4 , (20.58)

CV =

(∂E

∂T

)

V

=2π2

15

V

~3

(2

c3t+

1

c3l

)k4BT

3 (20.59)

bzw.

p = kBT

(∂ lnZ

∂V

)

T

=π2

90

1

~3

(2

c3t+

1

c3l

)(kBT )

4 =E

3V. (20.60)

Die Proportionalitat der Warmekapazitat zur dritten Potenz der Temperaturist fur elektrisch nicht leitende Festkorper im Grenzfall (20.57) empirisch gutbestatigt. Wir schließen aus diesem Befund, dass das thermische Tieftempera-turverhalten solcher Substanzen durch Phononen dominiert ist.

Fur kristalline Festkorper, bei denen Atome nur einer Sorte auf Gitterplatzenangeordnet sind (

”einatomige“ Kristalle), erlauben die Uberlegungen dieses Pa-

ragrafen auch qualitative Aussagen uber das Hochtemperaturverhalten der Pho-nonen. Das Phononenspektrum entnehmen wir dem so genannten Debyemodell,in welchem das Phononenspektrum (20.54) als fur alle Frequenzen gultig an-gesehen wird bis hinaus zu einer Grenzfrequenz, der Debyefrequenz ωD. FurFrequenzen ω > ωD wird ρ(ω) Null gesetzt. Dementsprechend wird die Debye-frequenz aus der Normierungsforderung

3N

ωD∫

0

dω ρ(ω) = 3N (20.61)

zu

ωD =

V

18π2N

(2

c3t+

1

c3l

)−1/3(20.62)

bestimmt. Die zugehorigen Debye-Wellenlangen sind also von der Großenordnungdes mittleren Teilchenabstands. Der Erwartungswert der Gesamtenergie derPhononen ergibt sich dann als

E = −(∂ lnZ

∂β

)

V

= 3N3~ω3D

ωD∫

0

dωω3

eβ~ω − 1. (20.63)

Page 343: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

20.4 Das ideale Bosegas 343

Nach Ubergang zur dimensionslosen Integrationsvariablen y = β~ω konnen wirdie Energie E durch die Debyefunktion

D(x) =3

x3

x∫

0

dy y3/(ey − 1) (20.64)

ausdrucken,

E = 3NkBTD

(~ωDkBT

). (20.65)

Dieses Resultat reduziert sich fur tiefe Temperaturen wegen D(x)→ π4/5x3

fur x → ∞ auf das sehr viel universellere (alle festen Substanzen!) Ergeb-nis (20.58). Im Grenzfall hoher Temperaturen vereinfacht sich (20.65) wegenD(x)→ 1 fur x→ 0 (vgl. Abbildung 20.2) zu

E → 3NkBT fur kBT À ~ωD . (20.66)

Den Grenzfall (20.66) durfen wir auch als klassischen Grenzfall bezeichnen,

Abbildung 20.2

da der Hochtemperaturwert der Energie aus (20.65) auch durch den forma-len Ubergang ~ → 0 gewonnen werden kann. Fur den Phononenbeitrag zurWarmekapazitat des

”einatomigen“ Kristalls erhalten wir aus (20.66) das em-

pirisch gut gesicherte Dulong-Petit-Gesetz

CV =

(∂E

∂T

)

V

→ 3NkB fur kBT À ~ωD . (20.67)

Auf”mehratomige“ Kristalle sind (20.66) und (20.67) nicht anwendbar, da

in diesen Systemen neben den hier in Rechnung gestellten Schwingungen (denakustischen Phononen) weitere Schwingungen (so genannte optische Phononen)auftreten. Die Frequenzen optischer Phononen liegen meist samtlich oberhalbωD. Daher beeinflussen optische Phononen zwar nicht das thermische Tieftem-peraturverhalten (kBT < ~ωD), wohl aber die thermischen Eigenschaften furhohe Temperaturen (kBT > ~ωD).

20.4 Das ideale Bosegas

Denken wir uns N identische wechselwirkungsfreie Boseteilchen (der Einfach-heit halber mit Spin Null) in einem wurfelformigen Kasten der Kantenlange

Page 344: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

344 20 Ideale Gase

L = V 1/3 eingesperrt und nehmen periodische Randbedingungen fur die N -Teilchenwellenfunktion ψ(~x1, ~x2, . . . , ~xN ) an. Die Schrodingergleichung kanndurch einen Separationsansatz gelost werden, der fur jedes Teilchen eine ebeneWelle exp(i~k · ~x) in Rechnung stellt. Die moglichen Impulse ~~k eines Teilchenssind dann durch die Randbedingung

eikxL = eikyL = eikzL = 1 (20.68)

auf Tripel (~kx, ~ky, ~kz) ganzzahliger Vielfacher von ~2π/L festgelegt,

kxL/2π = 0,±1,±2, . . . ,y . (20.69)

Die entsprechenden Einteilchenenergien lauten

ε~k =~2~k2

2m. (20.70)

Die moglichen Gesamtenergien sowie die Gesamtteilchenzahl lassen sich durch

E(n~k) =∑

~k

n~kε~k (20.71)

bzw.

N =∑

~k

n~k (20.72)

ausdrucken, wobei der Zahl n~k der Teilchen mit Impuls ~k alle nichtnegativenganzzahligen Werte offenstehen.

Die Erschließung der thermischen Eigenschaften des idealen Bosegases uberdie kanonische Zustandssumme

Z(N,V, T ) =

Nebenbedingung∑

n~k=0,1,2,...

e−β

∑~k

n~kε~k(20.73)

ist hier viel schwieriger als beim Photonen- und beim Phononengas, da dieBesetzungszahlen n~k nicht unabhangig voneinander sind, sondern der Nebenbe-dingung (20.72) scharfer Gesamtzahl der Teilchen genugen. Wesentlich leichterzu berechnen ist die großkanonische Zustandssumme (s. 18.6)

ZG(µ, V, T ) =

∞∑

N=0

eβµNZ(N,V, T )

=

∞∑

N=0

Nebenbedingung∑

n~k

exp

−β

~k

n~k(ε~k − µ)

. (20.74)

Die hier auftretende Kombination der Summen uber die durch (20.72) einge-schrankten Besetzungszahlen n~k mit der Summe uber alle moglichen Gesamtteil-chenzahlen N ist aquivalent mit uneingeschrankten Summationen uber alle n~k;

Page 345: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

20.4 Das ideale Bosegas 345

die wir wie beim Photonengas auf geometrische Reihen zuruckfuhren konnen,

ZG(µ, V, T ) =∑

n~k

exp

−β

~k

n~k(ε~k − µ)

=

~k

∞∑

n~k=0

exp(−βn~k(ε~k − µ)

)

=∏

~k

[1− exp

(−β(ε~k − µ)

)]−1

. (20.75)

Zu beachten ist, dass die geometrischen Reihen in (20.75) nur dann konvergieren,wenn gilt

exp[−β(ε~k − µ)

]< 1

und insbesondere, fur ~k = 0,

z ≡ eβµ < 1 ⇐⇒ µ < 0 . (20.76)

Wir folgern, dass das chemische Potential µ beim idealen Bosegas keine positivenWerte annehmen kann.

Gemaß 19.3 erhalten wir den Druck und die mittlere Teilchenzahl aus dergroßkanonischen Zustandssumme zu

βp =(∂ lnZG

∂V

)T,µ

= − ∂

∂V

~k

ln(1− ze−βε~k) (20.77)

bzw.

N =

(∂ lnZG∂βµ

)

T,V

=∑

~k

z e−βε~k

1− z e−βε~k . (20.78)

Die mittlere Gesamtzahl der Teilchen N stellt sich dabei dar als Summe derMittelwerte n~k der Besetzungszahlen n~k fur die Einteilchenenergieniveaus ε~kmit

n~k =z e−βε~k

1− z e−βε~k =1

eβ(ε~k−µ) − 1. (20.79)

Die Zustandsgleichung des idealen Bosegases erhalten wir schließlich durch Eli-mination des chemischen Potentials µ bzw. des Parameters z aus (20.77) und(20.78).

Zur weiteren Auswertung von (20.77) und (20.78) idealisieren wir das be-trachtete Vielteilchensystem, indem wir die mittlere Gesamtzahl der Teilchenund das Volumen uber alle Grenzen wachsen lassen, die Anzahldichte der Teil-chen aber konstant halten. In diesem so genannten thermodynamischen Limes,

N →∞, V →∞, N/V = ρ = const , (20.80)

bilden gemaß (20.69) die moglichen Impulse ~~k und somit die Energieeigenwer-te ε~k Kontinua, so dass wir die Impulssummen in (20.77) und (20.78) gemaß

Page 346: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

346 20 Ideale Gase

(20.31) durch Integrale ersetzen konnen. Andererseits werden wir gleich se-hen, dass in diesem Grenzfall ein Uberschreiten des Verbots (20.76) moglichwird. Ich verschiebe die Diskussion der dann auftretenden Singularitat auf dennachsten Paragrafen und beschranke die hiesigen Rechnungen ausdrucklich aufden Bereich µ < 0.

Wenn die erwahnten Wellenvektorintegrale in Kugelkoordinatendarstellungfur ~k durchgefuhrt werden und statt |~k| die dimensionslose Integrationsvariablex = βε~k eingefuhrt wird, so entsteht aus (20.77) und (20.78)

βp =1

λ3g(z) (20.81)

N

V=

1

λ3zg′(z) , (20.82)

wobei zur Vereinfachung der Schreibweise die thermische de Broglie Wellenlange

λ =√

2π~2/mkBT (20.83)

und die Funktion

g(z) = − 2√π

∞∫

0

dx√x ln(1− ze−x) (20.84)

benutzt sind.Fur die nachfolgende Uberlegung sind die im Bereich 0 ≤ z ≤ 1 gultigen

Taylorreihen

g(z) =

∞∑

l=1

zl/l5/2

zg′(z) =

∞∑

l=1

zl/l3/2 (20.85)

und die Zahlenwerte

g′(1) = 2, 612 . . . , g(1) = 1, 342 . . . (20.86)

von Bedeutung. Abbildung 20.3 zeigt den Verlauf der Funktion zg′(z). BeachtenSie den vertikalen Anstieg fur z → 1.

Sie entnehmen dem skizzierten Verlauf von zg′(z) und der Gleichung (20.82),dass die Bedingung (20.76) erfullt bleibt fur

ρλ3 < g′(1) = 2, 612 . . . , (20.87)

d. h. wenn das Gas so verdunnt oder die Temperatur so hoch ist, dass der mittle-re Atomabstand ρ−1/3 großer ist als die mit g′(1)−1/3 = 0, 726 . . . multipliziertethermische de Broglie Wellenlange. In diesem Bereich, in dem allein die hiergegebene Betrachtung richtig ist, heißt das Bosegas nicht entartet. Die Gewin-nung der Zustandsgleichung durch Elimination von z aus (20.81) und (20.82)ist nun auf numerischem Wege vorzunehmen.

Eine einfache geschlossene Form der Zustandsgleichung ergibt sich allerdingsim klassischen Grenzfall λ→ 0, den Sie sich formal als ~→ 0 oder physikalisch

Page 347: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

20.4 Das ideale Bosegas 347

Abbildung 20.3

als Grenzfall hoher Temperaturen vorstellen konnen. Da fur λ→ 0 die rechtenSeiten in (20.81) und (20.82) zweifellos endlich bleiben mussen, sind die Funk-tionen g(z) und zg′(z) zum Verschwinden gezwungen. Den Taylorreihen (20.85)entnehmen Sie aber, dass dann auch z nach Null gehen muss. Wegen

g(z) = z + · · · , zg′(z) = z + · · · (20.88)

werden die rechten Seiten in (20.81) und (20.82) dann einander gleich. DieElimination von z wird trivial und ergibt die Ihnen wohlbekannte Zustandsglei-chung des klassischen idealen Gases

pV = NkBT . (20.89)

Abweichungen vom klassischen Verhalten werden wichtig, wenn der mittlereTeilchenabstand nicht mehr um Großenordnungen großer ist als die thermischede Broglie Wellenlange. Solche Abweichungen sind samtlich Quanteneffekte,die von der in 20.1 besprochenen Nichtunterscheidbarkeit identischer Teilchenherruhren.

Von Interesse ist auch die kalorische Zustandsgleichung des nicht entartetenBosegases. Wir erhalten sie aus der großkanonischen Zustandssumme durchBerechnung der mittleren Energie

E = −(∂ lnZG∂β

)

V,z

=3

2

kBTV

λ3g(z) . (20.90)

Unter Verwendung von (20.81) entsteht hieraus

E

V=

3

2p . (20.91)

Im klassischen Grenzfall ρ−1/3 À λ durfen wir die Zustandsgleichung (20.89)benutzen und finden die Energie pro Teilchen als

E/N =3

2kBT . (20.92)

Wegen der angenommenen Abwesenheit jeder Wechselwirkung zwischen denTeilchen und der Vernachlassigung von Quanteneffekten hangt die Energie E/Nhier nicht vom mittleren Teilchenabstand ρ−1/3 ab.

Page 348: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

348 20 Ideale Gase

20.5 Bose-Einstein-Kondensation

Im letzten Paragrafen musste der Fall hoher Dichte und/oder niedriger Tempe-ratur entsprechend

n

Vλ3 ≥ g′(1) = 2, 612 . . . (20.93)

ausdrucklich ausgeschlossen werden, u. z. nicht etwa weil er physikalisch unsin-nig ware, sondern weil die dort gegebene Rechnung versagt. Den Grund desVersagens erkennen Sie durch nochmaliges Ansehen von (20.82) und des Gra-phen der Funktion zg′(z). Fur ρλ3 → g′(1) gehen z nach 1 und das chemischePotential µ nach Null. Im Logarithmus der Zustandssumme gemaß (20.75)

lnZG = −∑

~k

ln(1− ze−βε~k) , (20.94)

wachst daher der Summand zu verschwindendem Wellenvektor wie − ln(1− z)uber alle Grenzen. Andererseits wird dieser Summand beim Ubergang zumIntegral gemaß

~k

→ V

(2π)3

∫d3k =

V

(2π)34π

∞∫

0

dk k2 (20.95)

durch den im Integrationselement d3k auftretenden Faktor k2 komplett unter-druckt.

Um den Grenzfall z → 1 mit behandeln zu konnen, mussen wir vor demUbergang (20.95) zum Integral den Summanden mit ~k = 0 in (20.94) isolieren,denn fur Werte von z hinreichend nahe bei 1 wird dieser Summand großer alsder Rest der Summe, der wie in 20.4 durch ein Integral ersetzt werden kann,

lnZG = − ln(1− z) + V

λ3g(z) (20.96)

Fur den Druck ergibt sich hieraus unverandert (20.81), da beim Differenzie-ren nach dem Volumen Temperatur und chemisches Potential, also auch derParameter z = eβµ konstant zu halten sind,

βp =1

λ3g(z) , (20.97)

wahrend die mittlere Teilchendichte sich gegenuber (20.82) genau entsprechendder mittleren Besetzungsdichte des Einteilchengrundzustands,

N0

V≡ ρ0 =

1

V

z

1− z . (20.98)

erhoht auf

N

V= ρ = ρ0 +

1

λ3zg′(z) . (20.99)

Page 349: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

20.5 Bose-Einstein-Kondensation 349

Im thermodynamischen Limes ist die Raumdichte der Teilchen mit ver-schwindendem Impuls nur dann von Null verschieden, wenn der Parameter zgleich Eins ist. Sie sehen das nach Auflosen von (20.98) nach z,

z =ρ0V

ρ0V + 1→ 1 fur ρ0 6= 0 . (20.100)

Solange also im thermodynamischen Limes z < 1 bleibt, gelten unverandert alleResultate von Kapitel 20.4. Insbesondere ist dann die Dichte ρ gemaß (20.87)beschrankt. Uberschreitet dagegen die Dichte ρ den Wert g′(1)/λ3 um

ρ0 = ρ− 1

λ3g′(1) , (20.101)

so hat der Parameter z fur alle Temperaturen und Dichten im Bereich (20.93)den konstanten Wert 1. Wir sprechen dann vom entarteten Bosegas.

Der Ubergang von verschwindendem zu endlichem ρ0 heißt Bose-EinsteinKondensation. Er erfolgt, wie Sie aus (20.101) ersehen, bei beliebig vorgegebenerTemperatur fur die

”kritische“ Dichte

ρBEK(T ) = g′(1)/λ3 = g′(1)

(mkB2π~2

)3/2

T 3/2 (20.102)

und bei beliebig vorgegebener Dichte an der”kritischen“ Temperatur

TBEK(ρ) = g′(1)−2/3(2π~2

mkB

)ρ2/3 . (20.103)

Fur den Bruchteil der in den Einteilchenzustand niedrigster Energie”kon-

densierten“ Atome folgt aus (20.101, 20.102, 20.103)

ρ0/ρ = 1− ρBEKρ

= 1−(

T

TBEK

)3/2

. (20.104)

Insbesondere sind am absoluten Nullpunkt der Temperatur alle Teilchen”kon-

densiert“. Dieser Sachverhalt ist auch unmittelbar einsichtig, denn der Grund-zustand eines Systems aus N wechselwirkungsfreien identischen Bosonen istoffenbar der Zustand, fur den jedes Teilchen im Einteilchenzustand niedrigsterEnergie sitzt (Abbildung 20.4).

Weitere Einsicht in die Kondensation gewinnen wir durch Diskussion desZusammenhangs zwischen Druck und Dichte bei konstanter Temperatur, der sogenannten Isothermen. Aus (20.97) und (20.100) folgern wir, dass der Drucklangs der Isothermen fur ρ ≥ ρBEK von der Dichte unabhangig ist (s. Abbildung20.5). Fur ρ < ρBEK nimmt der Druck monoton mit fallender Dichte ab, dagemaß (20.85) sowohl g(z) wie zg′(z) monoton abfallen, wahrend z von 1 nach 0geht. Insbesondere geht p→ 0 fur ρ→ 0 (s. a. obige Diskussion des klassischenGrenzfalls). Bei ρ = ρBEK verlauft die Isotherme stetig. Unter Benutzungvon (20.81) und (20.82) uberzeugen Sie sich auch leicht von der Stetigkeit derAbleitung (∂p/∂ρ)T bei ρ = ρBEK Fur ρ < ρBEK gilt namlich

(∂p

∂ρ

)

T

=kBT

λ3g′(z)

(∂z

∂ρ

)

T

= kBTg′(z)/

d

dz(zg′(z)) , (20.105)

Page 350: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

350 20 Ideale Gase

Abbildung 20.4

Abbildung 20.5

und aus

d

dz(zg′(z)) =

∞∑

l=1

zl

l1/2→∞ fur z → 1 (20.106)

folgt

(∂p

∂ρ

)

T

→ 0 fur z → 1, d. h. fur ρ→ ρBEK . (20.107)

Wenn Sie aus der nebenstehenden Skizze die Druckabhangigkeit des Volumens1/ρ pro Teilchen ablesen, so konstatieren Sie, dass das System p > kBTg(1)/λ

3

ein verschwindendes Volumen einnimmt. Dieses unphysikalische Verhalten liegtdaran, dass die Teilchen durch keinerlei Krafte an beliebiger Annaherung zu-einander gehindert werden und somit auch als punktformig vorgestellt werdenkonnen. Bei Verkleinerung des Druckes springt die Dichte bei p = kBTg(1)/λ

3

unstetig auf den Wert g′(1)/λ3. Derartige unstetige Dichteanderungen auf Iso-thermen sind Ihnen aus anderem Zusammenhang bekannt, u. z. etwa vom Uber-gang einer Substanz aus der flussigen in die gasformige Phase. Sie konnen die

Page 351: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

20.5 Bose-Einstein-Kondensation 351

Bose-Einstein Kondensation auch als einen Phasenubergang auffassen, bei demdas nichtentartete Bosegas in ein ausdehnungsloses Kondensat ubergeht.

Eine andere interessante Singularitat tritt bei der Bose-Einstein Kondensa-tion in der Warmekapazitat CV = (∂E/∂T )V auf. Wir erhalten sie aus dermittleren Energie

E/V = − 1

V

(∂ lnZG∂β

)

V,z

=

3

2

kBT

λ3g(z) fur T > TBEK

3

2

kBT

λ3g(1) fur T < TBEK

(20.108)

zu

CV /V =

15

4kBλ

−3g(z)− 9

4kBρg

′(z)/d

dz(zg′(z)) fur T > TBEK

15

4kBλ

−3g(1) fur T < TBEK .

(20.109)

Wegen der schon in (20.106) erwahnten Eigenschaft ddz (zg

′(z))→∞ fur z lauftdie Warmekapazitat stetig durch T = TBEK. Ihre Ableitung (∂CV /∂T )V machtjedoch einen endlichen Sprung an der Kondensationstemperatur, so dass CVselbst dort eine Spitze aufweist (Abbildung 20.6).

Beachten Sie auch, dass die Warmekapazitat fur T < TBEK wie T 3/2 mitT → 0 verschwindet, also langsamer als die Warmekapazitat des Photonen unddes Phononengases.

Abbildung 20.6

Kein reales System verhalt sich strikt wie ein ideales Bosegas. Zwar ist dieWechselwirkung der Teilchen in realen Bosegasen bei hinreichend hohen Tem-peraturen und/oder geringen Dichten vernachlassigbar, jedoch sind in diesemGrenzfall Quanteneffekte meist vollig unwichtig. Jedoch stellt z. B. der Pha-senubergang vom flussigen zum suprafluiden Zustand in 4He bei der TemperaturTλ = 2, 17 K einen der Bose-Einstein Kondensation des idealen Bosegases ver-wandten Quanteneffekt dar. Der Quantencharakter des Ubergangs ist aus der

Page 352: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

352 20 Ideale Gase

Tatsache ersichtlich, dass die thermische de Broglie Wellenlange fur Heliumato-me bei T = Tλ etwa 6 A betragt und somit großer ist als der mittlere Atomab-stand. Andererseits ist der mittlere Abstand der He Atome vergleichbar mitder Reichweite der interatomaren Wechselwirkung, so dass letztere keinesfallsvernachlassigbar ist.

In gasformigem atomaren Wasserstoff, bei dem die Elektronenspins der ein-zelnen Atome durch ein starkes Magnetfeld alle parallel orientiert sind (spinpola-risierter atomarer Wasserstoff ), wird ein Ubergang zu einer suprafluiden Phaseerwartet und derzeit experimentell gesucht. Bei einer Anzahldichte entspre-chend einem mittleren Atomabstand von etwa 20 A sollte die Ubergangstemperaturbei etwa 70 mK liegen. Da die Wechselwirkung von H-Atomen mit paralle-len Elektronenspins schwach ist und eine Reichweite von wenig mehr als 1 Ahat, sollte die interatomare Wechselwirkung auf den erwarteten Ubergang nurmaßigen Einfluss haben, der Ubergang selbst also eng verwandt sein mit derBose-Einstein Kondensation des idealen Bosegases.

20.6 Das ideale Fermigas

Wegen des Pauliprinzips unterscheidet sich das Tieftemperaturverhalten desidealen Fermigases radikal von dem des idealen Bosegases. Schon im bei T = 0vorliegenden Grundzustand zeigt sich eine drastische Verschiedenheit. WahrendN identische Bosonen als Grundzustand denN -fach besetzten Einteilchengrund-zustand haben, durfen keine zwei Fermionen in ein und demselben Einteilchen-zustand sitzen. Zu bedenken ist allerdings, dass alle Fermionen einen (halb-

zahligen) Spin tragen. Bei festem Impuls ~~k kann ein Fermion mit Spin s in(2s+1) verschiedenen Spinzustanden vorliegen, die sich durch die Orientierungdes Spins relativ zu einer beliebigen Richtung unterscheiden. Ein Einteilchen-zustand mit Impuls ~~k und Energie εk = ~2~k2/2m kann also durch identischeFermionen bis zu (2s+ 1)-fach besetzt sein.

Der Grundzustand von N identischen freien Fermionen entsteht gemaß demPauliprinzip durch sukzessive Auffullung der niedrigsten Einteilchenniveaus.Das hochste so besetzte Einteilchenniveau, die so genannte Fermienergie

εF ≡~2k2F2m

, (20.110)

ergibt sich aus

N = (2s+ 1)∑

~k

θ(εF − ~2~k2/2m) , (20.111)

wobei θ(x) die Sprungfunktion

θ(x) =

1 fur x > 0

0 fur x < 0

bezeichnet. Die Wellenvektorsumme in (20.111) kann durch ein Integral appro-ximiert werden,

N = (2s+ 1)V

(2π)34π

kF∫

0

dk k2 ,

Page 353: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

20.6 Das ideale Fermigas 353

wonach sich die Wellenzahl kF als Funktion der Teilchendichte aus

N

V= ρ =

(2s+ 1)

6π2k3F =

(2s+ 1)

6π2(2mεF/~2)3/2 (20.112)

ergibt.Die Grundzustandsenergie des N -Teilchensystems berechnet sich als Summe

der N niedrigsten Einteilchenenergien,

E0 = (2s+ 1)∑

~k

ε~kθ(εF − ε~k) = (2s+ 1)V

(2π)34π

kF∫

0

dk k2ε~k . (20.113)

Mit Hilfe von (20.111) und (20.112) erhalten wir das einfache Resultat

E0 =3

5εFN (20.114)

und hieraus fur den Druck

p0 = −(∂E0

∂V

)

N

=2

5εFN

V=

2

3

E0

V. (20.115)

Im Gegensatz zum idealen Bosegas zeigt das Fermigas beim absoluten Null-punkt einen endlichen Druck, muss also durch ein Gefaß an der Verfluchtigunggehindert werden. Der physikalische Grund hierfur ist im Pauliprinzip zu se-hen: das Verbot beliebiger Annaherung identischer Fermionen manifestiert sichin einer Zunahme der Energie des Gases bei Verkleinerung des Volumens.

Der soeben charkterisierte Grundzustand des idealen Fermigases wird oftals Fermisee bezeichnet. Er ist charakterisiert durch voll besetzte Einteilchen-niveaus bis hinauf zur Fermienergie und leere Niveaus daruber. Der scharfeUbergang von besetzt zu unbesetzt druckt sich in den Ausdrucken (20.111)fur die Teilchenzahl N und (20.113) fur die Grundzustandsenergie E0 in derSprungfunktion θ(εF − ε~k) aus. Bei endlichen Temperaturen, denen wir uns

jetzt zuwenden, wird dieser scharfe Ubergang auf der thermischen EnergieskalakBT ausgeschmiert.

Zur Behandlung des idealen Fermigases bei endlichen Temperaturen berech-nen wir wie im Bosefall die großkanonische Zustandssumme

ZG(µ, V, T ) =∑

n~k,m

exp

−β

~km

n~k,m(ε~k − µ)

(20.116)

=∏

~k

+s∏

m=−s

1∑

n~k,m=0

e−β(ε~k−µ)

=∏

~k

1∑

n~k,m=0

e−β(ε~k−µ)

2s+1

.

Vorstehend wurden die Besetzungszahlen n~km eingefuhrt fur Einteilchenzustande

zu festem Wellenvektor ~k und fester Spinorientierungsquantenzahl m. Letztere

Page 354: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

354 20 Ideale Gase

hat fur Spin-s Teilchen die 2s+ 1 moglichen Werte m = −s,−s+ 1, . . . , s. Beifestem ~k und m darf die Besetzungszahl n~km nur die Werte

n~km = 0 oder 1 (20.117)

annehmen. Die Summationsvorschriften fur die Besetzungszahlen n~km unddie Spinorientierungsquantenzahl m sind in den letzten beiden Gliedern von(20.116) schon berucksichtigt. Die Zustandssumme (20.116) kann somit gemaß

lnZG = (2s+ 1)∑

~k

ln(1 + exp

(−β(ε~k − µ)

))(20.118)

vereinfacht werden. Dabei ist wichtig, daß die Einteilchenenergien ε~k = ~2~k2/2mnicht von der Spinorientierung abhangen (Wir setzen Abwesenheit eines Magnet-feldes voraus!).

Durch Differenziation nach dem chemischen Potential erhalten wir die mitt-lere Teilchenzahl als Summe der mittleren Zahl von Teilchen mit Impuls ~~k undSpinorientierung m,

N =∑

~km

n~km = (2s+ 1)∑

~k

n~km , (20.119)

n~km =1

exp[β(ε~k − µ)

]+ 1

. (20.120)

Ab hier beschranken wir uns einfachheitshalber auf Spin- 12 Teilchen, setzen also2s+ 1 = 2; bitte prufen Sie Ihr Verstandnis der nachfolgenden Argumentation,indem Sie den Faktor 2s+ 1 im Rest des Paragraphen restaurieren.

Den Druck als Funktion der Temperatur und des chemischen Potentials be-rechnen wir wie ublich durch Differenziation von lnZG nach dem Volumen

βp =

(∂ lnZG∂V

)

β,µ

= 2∂

∂V

~k

ln(1 + exp

(−β(ε~k − µ)

)). (20.121)

Die Wellenvektorsummen in (20.119) und (20.121) konnen im thermody-namischen Limes ebenso wie die entsprechenden Summen im Bosefall durchIntegrale ersetzt werden. Dabei entstehen die zu (20.81),(20.82) und (20.84)analogen Resultate

lnZG = 2V

λ3f(z) , (20.122)

βp =2

λ3f(z) , (20.123)

N

V= ρ =

2

λ3zf ′(z) , (20.124)

in denen wieder die thermische de Broglie Wellenlange (20.83) und der Parame-ter

z = eβµ (20.125)

Page 355: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

20.6 Das ideale Fermigas 355

verwendet sind und die gegenuber (20.84) modifizierte Funktion

f(z) =2√π

∞∫

0

dx√x ln(1 + z e−x) =

∞∑

l=1

(−1)l+1

l5/2zl (20.126)

eingefuhrt wurde.Notieren wir auch gleich die mittlere Energie, die wir am einfachsten aus

der großkanonischen Zustandssumme mit der Identitat (18.44), also E = 〈H〉 =−(∂ lnZG/∂β)z,V , erhalten. Mit Hilfe von (20.122) und ∂λ−3/∂β = − 3

2β−1λ−3

erhalten wir

E = 3V

λ3f(z)kBT =

3

2pV . (20.127)

Zur Zustandsgleichung, die den Druck als Funktion der Temperatur und desVolumens bei fester Teilchenzahl N angibt, gelangen wir, in dem wir aus (20.123)und (20.124) den Parameter z eliminieren. Wie beim Bosegas fuhrt diese Eli-mination nur in den Grenzfallen T → 0 und T → ∞ zu einer durch einfacheanalytische Ausdrucke darstellbaren Zustandsgleichung. Fur hohe Temperatu-ren entsteht wieder der klassische Grenzfall

λ→ 0 (20.128)

mit der Konsequenz f(z)→ zf ′(z)→ z. Da dann die rechten Seiten in (20.123)und (20.124) ubereinstimmen, ergibt sich wieder die wohlbekannte Zustands-gleichung des klassischen idealen Gases

pV = NkBT . (20.129)

Um den Fall tiefer Temperaturen zu untersuchen, richten wir unser Augen-merk zunachst auf die in (20.124) auftretende Funktion

zf ′(z) =2√π

∞∫

0

dx

√x

1

zex + 1

, (20.130)

die sich nach partieller Integration und mit (20.125) auch in der Form

zf ′(z) =4

3√π

∞∫

0

dxx3/2ex−βµ

(ex−βµ + 1)2=

1

3√π

∞∫

0

dxx3/2

(cosh

x− βµ2

)2

(20.131)

schreiben lasst. Unter der sogleich zu rechtfertigenden Annahme, dass das che-mische Potential des idealen Fermigases (im Gegensatz zu dem des idealen Bo-segases!) im Grenzfall T → 0 positiv ist und dass gilt

βµÀ 1 , (20.132)

lasst sich das Integral (20.131) leicht approximieren. Der Faktor [cosh(x− βµ)/2]−2im Integranden hat ein Maximum bei x = βµ und fallt links und rechts davon

Page 356: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

356 20 Ideale Gase

auf dem Maßstab 1¿ βµ exponentiell ab. In einem Intervall der Lange ∆x & 1,innerhalb dessen dieser Faktor merklich von Null verschieden ist, betragt die re-lative Anderung des anderen Faktors, x3/2, im Integranden von (20.131)

∆(x3/2)/x3/2 =3

2

∆x

x= O

(1

βµ

)¿ 1 . (20.133)

Es muss sich demnach eine brauchbare Approximation des Integrals (20.131)ergeben, wenn wir x3/2 durch die Taylorreihe

x3/2 = (βµ)3/2 +3

2(βµ)1/2(x− βµ) + 3

8(βµ)−1/2(x− βµ)2 + · · · (20.134)

ersetzen. In einem weiteren Approximationsschritt verschieben wir die untereIntegrationsgrenze in (20.131) nach −∞. Wegen des exponentiellen Abfalls desIntegranden und wegen (20.132) ist der dabei entstehende Fehler mit der relati-ven Großenordnung exp(−βµ) vollig unerheblich. Wir erhalten nach Ausfuhrender verbleibenden elementaren Glied-fur-Glied Integration

zf ′(z) =4

3√π

[(βµ)3/2 +

π2

8(βµ)−1/2 + · · ·

]. (20.135)

Nach Eintragen dieser Tieftemperaturentwicklung in (20.124) ergibt sich

ρλ3 =8

3√π(βµ)3/2

[1 +

π2

8

(kBT

µ

)2

+ · · ·]

(20.136)

und hieraus insbesondere das chemische Potential bei T = 0 als der FermienergieεF gleich,

µ|T=0 =~2

2m(3π2ρ)3/2 = εF . (20.137)

Damit ist die Ausnahme (20.132) gerechtfertigt, solange die thermische Energieklein ist gegenuber der Fermienergie, kBT ¿ εF.

Durch Umkehrung der Reihe (20.136) gewinnen wir das chemische Potentialµ als Funktion von Temperatur und Dichte,

µ = εF

[1− π2

12

(kBT

εF

)2

+ · · ·]

. (20.138)

Die mittlere Gesamtenergie und die Warmekapazitat bei tiefen Tempera-turen (kBT ¿ εF) folgen aus einer ganz analogen Rechnung, die hier nichtvorgefuhrt wird, zu

E =3

5εFN

[1 +

5π2

12

(kBT

εF

)2

+ · · ·]

(20.139)

und somit

CV =

(∂E

∂T

)

V

=π2

2NkB

(kBT

εF+ · · ·

). (20.140)

Page 357: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

20.6 Das ideale Fermigas 357

Beachten Sie, dass die Warmekapazitat hier als Funktion der Temperatur mitT → 0 viel langsamer abfallt als beim idealen Bosegas. Aus diesem Grundverlauft die Warmekapazitat von Metallen, deren Leitungselektronen in guterNaherung ein ideales Fermigas darstellen, linear mit T , wenn die Temperatursoweit abgesenkt wird, dass der Leitungselektronenbeitrag den Phononenbeitragdominiert.

Die Resultate (20.139) und (20.140) erlauben eine einfache qualitative Er-lauterung. Bei niedrigen Temperaturen unterscheidet sich die mittlere Beset-zungszahl (20.120) von der bei T = 0 vorliegenden Stufenfunktion

n~km|T=0 = θ(µ− ε~k) = θ(εF − ε~k) (20.141)

dadurch, dass einige Teilchen von Niveaus εk < εF zu Niveaus oberhalb derFermienergie angeregt sind. Die Besetzungsverschiebungen sind beschrankt aufeinen Energiebereich der ungefahren Große kBT um εF herum, so dass dieZahl der gegenuber dem ungestorten

”Fermisee“ verschobenen Teilchen die

Großenordnung N(kBT/εF) hat. Die Energieanderung relativ zum Grundzu-stand muss also die Großenordnung kBTN(kBT/εF) haben, d. h. quadratischin T sein. Dementsprechend muss die Warmekapazitat proportional zur Tem-peratur verlaufen.

Zu guter Letzt notieren wir die Zustandsgleichung. Verwenden wir das furalle Temperaturen gultige Resultat E = 3

2pV aus (20.127) sowie die Tieftempe-raturentwicklung (20.139) der Energie, so ergibt sich

p =2

5

N

VεF

[1 +

5π2

12

(kBT

εF

)2

+ · · ·]

. (20.142)

Der Zuwachs des Druckes gegenuber seinemWert am absoluten Nullpunkt (siehe(20.115)) ist auf die Vergroßerung der mittleren Energie der gegen die Wandestoßenden Teilchen zuruckzufuhren.

Page 358: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

358 20 Ideale Gase

Page 359: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

Kapitel 21

Begrundung derThermodynamikmakroskopischer Systeme

21.1 Arbeit und Warme bei Zustandsanderun-gen

Ein von seiner Umgebung vollig isoliertes System hat erfahrungsgemaß einezeitlich konstante Energie. Lassen wir jedoch ein System Arbeit verrichten (z. B.das Benzin-Luft-Gemisch in der Brennkammer eines Motors im Takt nach derZundung) oder bringen es in thermischen Kontakt mit einem anderen System(z. B. die Warmflasche im Bett), so andert sich im Laufe der Zeit sein Zustand,und auch seine Energie ist zeitlicher Anderung unterworfen.

Zeitliche Zustandsanderungen, fortan Prozesse genannt, konnen i. A. nichtmit den hier zur Verfugung gestellten Hilfsmitteln beschrieben werden, da wah-rend des zeitlichen Ablaufs i. A. kein Gleichgewicht herrscht. Eine wichtigeAusnahme stellen quasistatische Prozesse dar, deren Dauer lang ist im Ver-gleich zu allen das betreffende System charakterisierenden Relaxationszeiten.Bei solchen Prozessen liegt zu jedem Zeitpunkt thermisches Gleichgewicht vor,u. z. entsprechend den momentanen Werten der Energie und der außeren Para-meter. Im Folgenden wird uberwiegend von quasistatischen Prozessen die Redesein.

Betrachten wir einen Prozess, der ein System von einem anfanglichen Zu-stand der Energie Ei zu einem Endzustand der Energie Ef fuhrt. Wenn wir dieam System geleistete Arbeit mit A (A < 0, falls das System Arbeit abgibt) unddie zugefuhrte Warme mit Q bezeichnen, so lautet die Energiebilanz

∆E = Ef − Ei = A+Q . (21.1)

Unter der am System geleisteten Arbeit verstehen wir die Energiezufuhr beiAnderung makroskopisch kontrollierbarer außerer Parameter gegen die entspre-chenden generalisierten Krafte (z. B. Volumenverkleinerung gegen den Druck;Teilchenzahlvergroßerung

”gegen“ das chemische Potential; Ihnen anderweitig

bekannt sind magnetische und elektrische Arbeitsleistungen). Hingegen nennen

359

Page 360: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

360 21 Begrundung der Thermodynamik makroskopischer Systeme

wir Warmezufuhr eine Energiezunahme bei konstanten außeren Parametern; dieEnergieeinspeisung erfolgt dann direkt in die mikroskopischen Freiheitsgrade desSystems.

Die zu Anfang und am Ende des Prozesses vorliegenden Energien Ei bzw. Efsind durch die respektiven Zustande eindeutig festgelegt. Nicht so die im Verlaufdes Prozesses als Arbeit A und Warme Q zugefuhrten Energieposten fur sich!Zwischen zwei Zustanden mit Energien Ei, und Ef sind viele Prozesse, auchquasistatische, denkbar und realisierbar, die sich bei fester Summe A+Q unteranderem durch die Werte der Großen A und Q unterscheiden. Im Gegensatzzur Energie sind A und Q einzeln keine eindeutigen Funktionen des Zustandes.Vielmehr charakterisieren diese Großen Prozesse.

Bei differenziellen Zustandsanderungen schreiben wir die Energiebilanz (21.1)

dE =6dA+ 6dQ , (21.2)

wobei die Querstriche an den infinitesimalen Inkrementen von A undQ sinnfalligmachen sollen, dass weder 6dA noch 6dQ fur sich allein Differentiale eindeutigerZustandsfunktionen sind. Beispiele differenzieller Arbeitsleistungen sind diffe-renzielle Volumenanderungen und Anderungen der Teilchenzahl,

6dA = −pdV + µdN . (21.3)

21.2 Erster Hauptsatz

Der im letzten Paragrafen diskutierte Energieerhaltungssatz (21.1) heißt aucherster Hauptsatz der Thermodynamik. Wegen seiner uberragenden Bedeutungwill ich ihn hier in drei offensichtlich aquivalenten Formulierungen nochmalsvorstellen.

(i) Ein Energiezuwachs eines Systems muss von der Umgebung aufgebrachtwerden, sei es durch Arbeitsleistung gegen generalisierte Krafte bei Ande-rung makroskopisch kontrollierbarer außerer Parameter, sei es ohne An-derung letzterer bei thermischem Kontakt, d. h. durch Einspeisung vonEnergie an mikroskopische Freiheitsgrade.

(ii) In abgeschlossenen Systemen, d. h. bei thermischer Isolation (6 dQ = 0)und konstanten außeren Parametern (6 dA = 0), konnen nur Vorgangeablaufen, die die Energie konstant lassen.

(iii) Es gibt kein perpetuum mobile erster Art, d. h. keine Maschine kann imDauerbetrieb Arbeit leisten, ohne dass ihr von außen Energie zugefuhrtwird.

21.3 Entropieanderungen bei Zustandsanderun-gen

Betrachten wir einen quasistatischen Prozess, der durch eine stetige Folge vonGleichgewichtszustanden fuhrt. In einem differenziellen Teilprozess andern sichdie Energie und außere Parameter wie das Volumen und die Teilchenzahl gemaß

E, V, N → E + dE, V + dV, N + dN . (21.4)

Page 361: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

21.4 Zweiter Hauptsatz 361

Die zugehorige Entropieanderung ist, da bei der betrachteten quasistatischenFolge von Zustanden die Entropie jederzeit eine eindeutige Funktion des Zu-stands ist, gerade das in (19.56) gefundene Entropiedifferential

dS =1

T(dE + pdV − µdN) . (21.5)

Losen wir diese Identitat nach dem Energiedifferential auf, so finden wir wiederden ersten Hauptsatz,

dE = T dS − pdV + µdN . (21.6)

mit dem Arbeitsanteil 6 dA = −pdV + µdN und, als neuem Resultat, denAusdruck

6dQ = T dS (21.7)

fur die differenzielle Warmezufuhr.Sie erkennen aus (21.7), dass quasistatische Prozesse in thermisch isolierten

Systemen (6dQ = 0) isentropisch, d. h. mit dS = 0, verlaufen. Weiterhin be-merkenswert ist, dass (21.7) eine Verknupfung eines totalen Differentials (derEntropie) mit einer differenziellen Große (6dQ) gibt, die kein totales Differentialist. In dS =6dQ/T spielt 1/T die Rolle eines

”integrierenden Faktors“ ∗)

Anders als bei quasistatischen Prozessen muss die Entropie bei der Relaxa-tion von Nichtgleichgewichtszustanden ins Gleichgewicht zunehmen, denn dieEntropie nimmt bekanntlich 19.1 im Gleichgewicht ihren Maximalwert an. Esfolgt, dass die Entropie eines abgeschlossenen Systems niemals abnehmen kann.

Sie sollten die gerade getroffenen Aussagen durchdenken im Hinblick aufu. a. folgende Beispiele: (i) Ein schwingendes Pendel kommt auf Grund von Luft-und Lagerreibung allmahlich zur Ruhe; (ii) ein Gas verteilt sich nach plotzlicherGefaßvergroßerung nach einiger Zeit gleichformig uber das vergroßerte Volumen;(iii) zwei sich beruhrende, verschieden warme Korper gleichen ihre Temperatu-ren an.

21.4 Zweiter Hauptsatz

Die Ausfuhrungen des letzten Paragrafen beinhalten den zweiten Hauptsatz.derThermodynamik. Die folgenden drei Formulierungen dieses Gesetzes verdienen,obschon aquivalent miteinander, jeweils gesonderte Wurdigung.

(i) In einem abgeschlossenen System konnen nur Prozesse mit dS ≥ 0 ab-laufen. Diese oben durch die bekannte Extremaleigenschaft der Entropiebegrundete Aussage bringt u. a. die Erfahrungstatsache zum Ausdruck,dass alle in der Natur spontan ablaufenden Relaxationsprozesse irreversi-bel sind. Wir werden hierauf in 21.8 zuruckkommen.

∗)Im Fall zweier unabhangiger Variablen x und y ist die Große

6dG = A(x, y) dx+B(x, y) dy

genau dann ein totales Differential einer Funktion G(x, y), wenn die Integralitatsbedingungen∂A/∂y = ∂B/∂x erfullt ist. Andernfalls ist es zuweilen moglich, einen integrierenden Fak-tor f(x, y) zu finden, sodass dF = f(x, y)6dG ein totales Differential ist, d. h. so dass∂(fA)/∂y = ∂(fB)/∂x gilt. Die Funktion F (x, y) lasst sich aus ihrem Differential durchein wegunabhangiges Wegintegral in der x− y-Ebene gewinnen. S.a. 2.10.

Page 362: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

362 21 Begrundung der Thermodynamik makroskopischer Systeme

(ii) Es gibt keine Maschine, die nichts anderes bewirkt, als im periodischenBetrieb Arbeit zu leisten und den entsprechenden Energiebedarf aus einemWarmebad zu decken (perpetuum mobile zweiter Art). Wir werden diesevon Lord Kelvin stammende Formulierung im nachsten Paragrafen auf (i)zuruckfuhren. Die Vorstellung, ein Dampfer konne uber’s Meer fahrenund die dazu erforderliche Energie nur dem Warmevorrat des Meeres ab-zapfen, wird offenbar durch den zweiten Hauptsatz ins Reich der Traumeverwiesen.

(iii) Es gibt keinen”perfekten“ Kuhlapparat, der, periodisch arbeitend, nichts

anderes bewirkt, als einem System Warme zu entziehen und sie einemanderen System bei hoherer Temperatur zuzufuhren. Dem Beweis dieserClausiusschen Formulierung ist 21.6 gewidmet.

21.5 Unmoglichkeit des perpetuummobile zwei-ter Art

Abbildung 21.1 zeigt ein fiktives perpetuum mobile zweiter Art. Wahrend einerArbeitsperiode wird dem Warmebad die Warme Q entzogen und der Maschinezugefuhrt, wahrend die Maschine die Arbeit A abgibt. Die Arbeit konnte aneinem Freiheitsgrad eines externen Objekts verrichtet werden (z. B. Heben einesGewichts), ohne dass andere Freiheitsgrade und insbesondere die Entropie desObjekts beeinflusst wurden.

Abbildung 21.1

Der beschriebene fiktive Vorgang ware mit dem ersten Hauptsatz, d. h. derEnergiebilanz der Maschine pro Periode

∆E = 0 = Q+ (−A) (21.8)

vertraglich. Ziehen wir aber die Entropiebilanz fur das aus Bad, Maschineund Objekt gebildete abgeschlossene Gesamtsystem. Weder das Objekt (perobiger Vereinbarung) noch die Maschine (wegen der Periodizitat) andern in ei-ner Periode ihre Entropie, so dass die gesamte Entropieanderung allein vomWarmebad gestellt wird. Sie betragt, da das Warmebad wahrend der endlichenWarmeaufnahme −Q < 0 seine Temperatur nie andert, ∆S = −Q/T < 0. Die

Page 363: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

21.5 Unmoglichkeit des perpetuum mobile zweiter Art 363

Verletzung des zweiten Hauptsatzes, nach dem die Entropie eines abgeschlosse-nen Systems nicht abnehmen kann, ist offenbar.

Das perpetuum mobile zweiter Art hatte, da die in einem Zyklus aufgenom-mene Warme restlos in Arbeit umsetzend, den Wirkungsgrad

η =A

Q= 1 . (21.9)

Realisierbare Warmekraftmaschinen haben nach dem zweiten Hauptsatz stets

Abbildung 21.2

einen kleineren Wirkungsgrad η < 1. Abbildung 21.2 zeigt das Wirkungsschemasolcher mit den Hauptsatzen vertraglichen Maschinen. Wahrend einer Periodeentnimmt die Maschine einem Warmebad der Temperatur T1 die Warme Q1

und leistet am Objekt die Arbeit A. Das Verdikt des zweiten Hauptsatzes wirdvermieden, indem die Maschine an ein zweites, kalteres Warmebad koppelt, andas sie pro Zyklus die Warme Q2 abfuhrt. Die Energiebilanz der Maschine unddie Entropiebilanz des Gesamtsystems lauten

Q1 = A+Q2 (21.10)

bzw.

∆S = −Q1

T1+Q2

T2, (21.11)

und die Forderung ∆S > 0 ist jetzt befriedigt, wenn die Warmeaufnahme deskalteren Bades nur hinreichend groß ist.

Page 364: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

364 21 Begrundung der Thermodynamik makroskopischer Systeme

Der Wirkungsgrad der gerade beschriebenen Maschine betragt

η =A

Q1= 1− Q2

Q1. (21.12)

Aus (21.11) und dem zweiten Hauptsatz, ∆S ≥ 0, folgern wir Q2/Q1 > T2/T1und erhalten fur den Wirkungsgrad die Ungleichung

η ≤ 1− T2/T1 < 1 . (21.13)

Der maximale mit dem zweiten Hauptsatz vertragliche Wirkungsgrad,

ηmax = 1− T2/T1 , (21.14)

entspricht einer quasistatisch arbeitenden Maschine, bei der die Entropiebilanzdes Gesamtsystems pro Periode ∆S = 0 lautet (s. 21.7).

21.6 Unmoglichkeit des perfekten Kuhlapparats

Reale Kuhlapparate entziehen nach dem in Abbildung 21.3 gezeigten Schemapro Zyklus unter Aufwand der Arbeit A einem System (hier zum Warmebadidealisiert) mit Temperatur T2 die WarmeQ2 und geben an ein warmeres System(hier zum Warmebad mit T1 > T2 idealisiert) die Warme Q1 ab. Die beidenHauptsatze verlangen

Q1 = Q2 +A (21.15)

und

∆S =Q1

T1− Q2

T2≥ 0 , (21.16)

wobei das Gleichheitszeichen im zweiten Glied der Kette (21.16) nur fur quasi-statische Arbeitsweise gelten kann.

Ohne Aufwand an Arbeit kann kein solcher Apparat funktionieren, denn mitA = 0, d. h. Q1 = Q2, entsteht aus (21.16) die Forderung Q1(1/T1− 1/T2) ≥ 0,die bei T1 > T2 nicht erfullbar ist. Damit ist auch die Clausiussche Version deszweiten Hauptsatzes bewiesen.

21.7 Die Carnotmaschine

Das einfachste Modell einer Warmekraftmaschine ist die so genannte Carnotma-schine. Als Arbeitssubstanz fungiert ein klassisches ideales Gas. Eine Periode,die quasistatisch durchlaufen wird, ist in der p − V -Ebene und in der S − T -Ebene in den Abbildungen 21.4 und 21.5 dargestellt. Wie aus den Diagrammenersichtlich besteht eine Periode aus den vier folgendenSchritten. Von a nach b erfolgt eine isotherme Kompression, wahrend dererdie Maschine an ein Warmebad der Temperatur T2 Warme abgibt. Die an-schließende Kompression von b nach c geschieht unter thermischer Isolation,also isentropisch. Hierbei nimmt die Maschine Energie in Form von Arbeit auf

Page 365: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

21.7 Die Carnotmaschine 365

Abbildung 21.3

und die Temperatur erhoht sich zum Wert T1. Wahrend der letzten beidenSchritte leistet die Maschine Arbeit, zunachst von c nach d bei isothermer Ex-pansion und gleichzeitiger Warmeaufnahme aus einem Bad der Temperatur T1und schließlich, von d nach a, bei isentropischer Expansion und Abkuhlung zurAusgangstemperatur T2.

Bezeichnen wir die im Schritt c d von der Maschine aufgenommene Warmemit Q1, die im Schritt a b an das kaltere Bad abgefuhrte Warme mit Q2, sowiedie wahrend der Periode insgesamt abgegebene Arbeit mit A, so lautet dieEnergiebilanz pro Periode

A = Q1 −Q2 . (21.17)

Wenn der Prozess, wie angenommen, quasistatisch gefuhrt wird, so andert sichdie Gesamtentropie der beiden Bader und der Maschine nicht.

∆S = 0 = −Q1

T1+Q2

T2. (21.18)

Der Wirkungsgrad der Carnotmaschine folgt aus (21.17) und (21.18) zu

η = 1− T2T1

, (21.19)

hat also den maximalen mit den Hauptsatzen vertraglichen Wert.Zur Berechnung der pro Periode geleisteten Arbeit mussen wir die vier Kur-

venstucke in der p − V -Ebene durch Gleichungen charakterisieren. Fur dieIsothermen a b und c d liefert die Zustandsgleichung des idealen Gases direktpV = NkBT2 bzw. pV = NkBT1.

Page 366: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

366 21 Begrundung der Thermodynamik makroskopischer Systeme

Abbildung 21.4

Abbildung 21.5

Um die Gleichung der Isentropen (auch Adiabaten genannt) zu gewinnen, be-nutzen wir das Entropiedifferential (19.56), das langs der Isentropen verschwin-den muss,

T dS = 0 = dE + pdV . (21.20)

Die mittlere Energie des klassischen idealen Gases lautet

E =3

2NkBT =

3

2pV , (21.21)

ihr Differential also

dE =3

2(pdV + V dp) . (21.22)

Aus (21.20) und (21.22) folgt als Differentialgleichung der Isentropen

5

3

dV

V+

dp

p= 0 . (21.23)

Die gesuchte Isentropengleichung ist also

pV 5/3 = const (21.24)

Page 367: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

21.8 Relaxation ins Gleichgewicht 367

oder, in der V − T -Darstellung,

TV 2/3 = const. (21.25)

Wir berechnen nun die pro Periode von der Maschine abgegebene Arbeit alsdas Wegintegral in der p− V -Ebene

A =

Vb∫

Va

(T=T2)

pdV +

Vc∫

Vb

(S=S2)

pdV +

Vd∫

Vc

(T=T1)

pdV +

Va∫

Vd

(S=S1)

pdV . (21.26)

Offenbar kann A auch geometrisch als die von der Kurve a b c d in der p − V -Ebene umschlossene Flache gedeutet werden. Die Beitrage der beiden Isentro-pen heben sich gegenseitig auf, denn der Betrag des Stucks b c

Vc∫

Vb

(S=S2)

pdV = pbV5/3b

Vc∫

Vb

V −5/3 dV =3

2pbV

5/3b (V

−2/3b − V −2/3c )

=3

2NkBT2

[1− (Vb/Vc)

2/3]

=3

2NkBT2(1− T1/T2) =

3

2NkB(T2 − T1)

ist allein durch die Temperaturdifferenz der beiden Bader bestimmt und somitentgegengesetzt gleich dem Betrag des Stucks d a. Die Anteile der Isothermenergeben schließlich

A = NkBT2

Vb∫

Va

dV

V+NkBT1

Vd∫

Vc

dV

V

= NkBT2 lnVbVa

+NkBT1 lnVdVc

.

Aus der Isentropengleichung (21.25) folgt aber Vb/Vc = (T1/T2)−3/2 = Va/Vd,

so dass wir die abgegebene Arbeit als

A = NkB(T1 − T2) ln(Vd/Vc) (21.27)

erhalten.Ihnen bleibt zur Ubung, die im Schritt c d aufgenommene Warme Q1 und

die Abwarme Q2 auszurechnen.

21.8 Relaxation ins Gleichgewicht

Der zweite Hauptsatz zeichnet hinsichtlich der Bewegung makroskopischer Sys-teme eine Zeitrichtung aus, indem er die zeitliche Abnahme der Entropie eines

Page 368: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

368 21 Begrundung der Thermodynamik makroskopischer Systeme

abgeschlossenen Systems verbietet. Im Ubrigen lehrt schon die Alltagserfah-rung, dass die Relaxation eines makroskopischen Systems ins Gleichgewicht einirreversibler Vorgang ist, dessen zeitliche Umkehrung niemals spontan auftritt.

Vom mikroskopischen Standpunkt aus kann und muss uns der zweite Haupt-satz ebenso wie die Irreversibilitat von Relaxationsprozessen anstoßig erschei-nen. Die fur die mikroskopische Dynamik eines N -Teilchensystems zustandigeSchrodingergleichung besitzt namlich (ebenso wie die bei klassischen Behand-lung zustandigen Newtonschen Gleichungen) eine Symmetrie, die Zeitumkehrin-varianz, derzufolge zu jeder beliebigen Losung eine andere Losung angegebenwerden kann, die den gleichen physikalischen Vorgang in zeitlich umgekehrtemAblauf beschreibt.

Um uns der Zeitumkehrinvarianz der Schrodingergleichung

i~ψ (~x, t) = Hψ (~x, t) (21.28)

zu vergewissern, betrachten wir Teilchen, die uber Zweikorperkrafte (z. B. Cou-lombsch) wechselwirken entsprechend dem Hamiltonoperator

H =N∑

ν=0

~p2ν2mν

+1

2

ν 6=µ

V (~xν − ~xµ) . (21.29)

Offensichtlich bleibt die Schrodingergleichung unverandert unter der Transfor-mation

t→ −t, ~xν → ~xν , ~pν → −~pν , ψ → ψ∗ , (21.30)

wenn die potenzielle Energie V (~xν − ~xµ) reell ist. Mit ψ(~x, t) ist also auchψ∗(~x, t) Losung von (21.28). Die respektiven Wahrscheinlichkeitsdichten|ψ(~x, t)|2 und |ψ∗(~x,−t)|2 = |ψ(~x,−t)|2 beschreiben Vorgange, die beiZeitumkehr ineinander ubergehen.

Auf die Zeitumkehrinvarianz der Schrodingergleichung grundet sich der sogenannte Umkehreinwand gegen den zweiten Hauptsatz: zugleich mit der Re-laxation ins Gleichgewicht muss auch der umgekehrte Prozess eine Losung dermikroskopischen Bewegungsgleichung sein. Dieser Einwand ist zweifellos imPrinzip berechtigt. Allerdings suggeriert er unangebrachterweise eine Unver-traglichkeit der Bewegungsgleichung mit der Erfahrungstatsache der Irreversi-bilitat. Mit dem Nachweis der Existenz einer Losung der Schrodingergleichungist namlich keine Auskunft uber die praktische Realisierbarkeit der Losung ge-wonnen. Um eine Losung der Schrodingergleichung eines Vielteilchensystems zurealisieren, die wie die Umkehrung einer Relaxation ins Gleichgewicht aussieht,mussen durch experimentelle Praparation ganz bestimmte Anfangsbedingungengewahrleistet werden. Nun konnen im Labor nur einige wenige Parameter ei-nes Vielteilchensystems mit gewunschten Anfangsbedingungen versehen werden.Dass dabei alle anderen (womoglich 1023) Koordinaten genau so beeinflusst wer-den, dass sich eine

”Antirelaxation“ anschließt, ist, wie ich gleich zeigen werde,

grenzenlos unwahrscheinlich.Erfahrungsgemaß fuhrt eine makroskopische Observable A(t) nach ihrer Re-

laxation zum Gleichgewichtswert A nur winzige Fluktuationen aus (auf dieAusnahme kritischer Systeme war schon des ofteren hingewiesen worden). Al-lerdings lasst sich unter sehr allgemeinen Annahmen an die Wechselwirkung

Page 369: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

21.8 Relaxation ins Gleichgewicht 369

V (~xν −~xµ) zeigen, dass A(t) jedem Anfangswert A(0) irgendwann wieder belie-big nahe kommen muss. Hierauf grundet sich der so genannte Wiederkehrein-wand gegen die Vertraglichkeit makroskopischer Irreversibilitat mit den zeitum-kehrinvarianten mikroskopischen Bewegungsgleichungen. Auch dieser Wieder-kehreinwand ist zwar im Prinzip berechtigt, jedoch praktisch irrelevant. Wirwerden uns namlich gleich davon uberzeugen, dass die mittlere Wiederkehrzeitgroßer Auslenkungen makroskopischer Observabler aus ihren Gleichgewichts-werten unbeobachtbar groß ist.

Betrachten wir in Anlehnung an die verwandten Diskussionen in 2.14 und13.4 die folgende Summe periodischer Funktionen

S(t) =

N∑

ν=1

eiωνt , (21.31)

die zur Zeit t = 0 den Wert S(0) = N hat. Wir konnen uns S(t) als Losung einesreversiblen Problems (z. B. gekoppelte Schwingungen) vorstellen. Nun seien dieZahl N der eingehenden Schwingungen so groß und die Frequenzen ων so dichtbenachbart, dass in jedem experimentell auflosbaren Frequenzintervall ∆ω vieleων liegen, etwa gemaß der spektralen Dichte (Lorentzverteilung der Breite γ)

ρ(ω) =Nγ/π

ω2 + γ2. (21.32)

Dann kann die Summe (21.31) durch ein Integral approximiert werden, und wirerhalten fur t > 0

S(t) ≈∞∫

−∞

dω ρ(ω) eiωt = N e−γt . (21.33)

Der resultierende irreversible Abfall von S(t) auf Null ist dem Wiederkehrein-wand wie dem Umkehreinwand ausgesetzt.

Uberzeugen wir uns davon, dass der Wiederkehreinwand gegenstandslos ist,indem wir die mittlere Wiederkehrzeit T einer großen Fluktuation |S(t)| = O(N)abschatzen. Eine derartige Fluktuation stellt sich ein, wenn die N Phasen ωνtalle zugleich in einem kleinen Intervall ∆ϕ ¿ 2π liegen. Da die Phasen alleunabhangig voneinander sind, gilt fur die Wahrscheinlichkeit einer Phasenkoin-zidenz wahrend einer mittleren Koinzidenzzeit τ

τ

T=

(∆ϕ

)N. (21.34)

Zur Berechnung der mittleren Koinzidenzzeit betrachten wir zunachst zwei Glie-der aus der Summe (21.31), etwa eiω1t und eiω2t. Die erste Phase liege in ∆ϕim Zeitintervall 0 ≤ t ≤ t1 = ∆ϕ/ω1. Koinzidenz beider Phasen in A tritt nurein, wenn die zweite Phase ihren Durchlauf durch ∆ϕ beendet zu einer Zeit t′,die kleiner ist als t1 + t2, wobei t2 = ∆ϕ/ω2. Nehmen wir an, t2 sei kleiner als

Page 370: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

370 21 Begrundung der Thermodynamik makroskopischer Systeme

t1. Die Koinzidenz beider Phasen in ∆ϕ besteht dann fur die Zeit

τ(t′) =

t2 + t1 − t′ fur t1 ≤ t′ ≤ t1 + t2

t2 fur t2 ≤ t′ ≤ t1t′ fur 0 ≤ t′ ≤ t20 sonst.

(21.35)

Da alle Endpunkte t′ gleichberechtigt sind, erhalten wir die mittlere Koinzidenz-zeit zu

τ12 =

t1+t2∫

0

dt′τ(t′)

t1 + t2=

t1 t2t1 + t2

,

1/τ12 = 1/t1 + 1/t2 = (ω1 + ω2)/∆ϕ . (21.36)

Ohne weitere Rechnung erhalten wir als ein Maß fur die Koinzidenz dreierPhasen in ∆ϕ die mittlere Uberlappzeit von τ12 und τ13 = ∆ϕ/ω3, d. h.1/τ123 = l/τ12 + 1/t3 = (ω1 + ω2 + ω3)/∆ϕ. Fur die mittlere Koinzidenzzeitaller N Phasen erhalten wir so eine Abschatzung durch die mittlere Frequenz ω

1/τ =1

∆ϕ

N∑

ν=1

ων =N

∆ϕω . (21.37)

Damit ergibt sich die gesuchte mittlere Wiederkehrzeit,

T =∆ϕ

(2π

∆ϕ

)N. (21.38)

Selbst fur so große mittlere Frequenzen, wie sie fur sichtbares Licht typischsind, ω ≈ 1015 s−1, und die bescheidenen Forderungen ∆ϕ/2π = 1/10, N = 100ergibt sich aus (21.38) eine Wiederkehrzeit (T ≈ 1086 s), die bedeutend großer istals das Alter des Universums (≈ 1010 Jahre). Damit ist der Wiederkehreinwandals fur makroskopische Systeme irrelevant erwiesen.

Der Umkehreinwand erledigt sich auch sofort. Damit die Summe S(t) zurZeit t einen Betrag der Ordnung N hat, nachdem zur fruheren Zeit t′ ein sehrviel kleinerer Wert vorlag, muss zur Zeit t′ die Phase ωνt

′ in einem kleinen In-tervall ∆ϕ um den Wert ων(t

′−t) liegen. Die entsprechend gezielte Praparationaller Phasen durch makroskopischen Eingriff ist i. Allg. unmoglich (es gibt dieAusnahmen des Spin- und Photonenechos). Die Wahrscheinlichkeit, bei unge-zieltem Eingriff die Phasen alle richtig festzulegen, hat den fur große N volligvernachlassigbaren Wert (∆ϕ/2π)N .

Der zweite Hauptsatz stellt, wie die vorangegangene Diskussion und auchschon seine Begrundung in 21.4 zeigen, eine statistische Aussage uber das Ver-halten von Ensembles makroskopisch gleich praparierter Systeme dar. Ausnah-men im Einzelfall sind denkbar, allerdings grenzenlos unwahrscheinlich. DieRelaxation makroskopischer Systeme ins Gleichgewicht ist eine Illusion, der wiruns ungestraft hingeben durfen.

Page 371: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

Abbildungsverzeichnis

1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

371

Page 372: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

372 ABBILDUNGSVERZEICHNIS

5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1448.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1528.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

9.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1599.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1609.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

10.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18410.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19310.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19910.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

11.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20511.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20711.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20811.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21011.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21311.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21311.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

12.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22312.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22512.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22612.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22812.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22912.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23112.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23212.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

13.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24013.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24613.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

Page 373: EINF¨UHRUNG IN DIE THEORETISCHE PHYSIK

ABBILDUNGSVERZEICHNIS 373

14.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26614.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26914.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

15.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28015.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

16.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29016.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

17.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29817.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

18.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

20.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33920.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34320.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34720.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35020.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35020.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

21.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36221.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36321.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36521.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36621.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366