PROBLEMARIO DE LINEA DE TRANSMISON Y ANTENASAlumno: Christian Armando Rodríguez Lome.

Fecha: 28-febrero-2003

1==== 2.18.1.- Una linea telefonica de uso interior, para efectuar la conexión de la caja del telefono a la red exterior, consiste de 2 conductores paralelos de cobre con diámetro de 0.60mm, la separacion entre los centros de los conductores es de 2.5mm y el material aislante entre ambos es polietileno. Calcule los parámetros L, C, R y G por unidad de longitud a una frecuencia de 3Khz.

Cobre σc = 5.80 x107

Polietileno εr = 2.26 tan δ = 0.20 x 10-3

Solución:

“Bajas Frecuencias”

D = 0.0006 m = 6 E-4 = a = r = D/2 = 3 E-4d = 0.0025 m = 2.5 E-3

σd = 2π (3Khz)(8.8542E-12)(2.26)(0.20E-3)σd = 7.543 E-11 S/m

l = δ = √(2/ωµσc) = √(2/(2π*3Khz*4πE-7*5.80E7)) = 1.2065 E-3 m

R = 2 / σcπa2 = 2 / (5.80 E7*π*¨(3E-4)2) = 122 mΩ/m

G = πσd / cosh-1(d/2a) = π(7.543E-11) / (cosh-1 (2.5E-3/2(3E-4)) = 122 pmho/m

C = πε / cosh-1(d/2a) = π(8.854E-12)(2.26) / cosh-1(4.16) = 29.99 pF

L = µo/π [1/4 + cosh-1(d/2a)] = 4πE-7 / π [ ¼ + cosh-1 (4.16)] = 942 nH/m

2===== 2.18.2.- Un cable coaxial utilizado en sistemas de VHF, UHF y microondas tiene conductores de cobre aislados entre si con polietileno. El radio del conductor interno es de 1.5 mm y el del externo es 4.8mm. Obtenga los parámetros L, C, G, R a 100Mhz y 1Ghz.

Polietileno εr = 2.26 tan δ = 0.20 E-3

a = 0.0015m = 1.5 E-3b = 0.0048m = 4.8 E-3

Cobre

σc = 5.80 x 107

ε = εoεr = (8.85 E-12)(2.26) = 20.001 E-12

µ = µoµr = 4π E-7*1 = 4π E-7

Solución:

Para 100Mhz:

σd = 2π*f*ε*tan δ = 2π*100 E6*20.001 E-12*0.20 E-3 = 2.5134 µS/m

C = (2πε) / ln(b/a) = (2π*20.001 E-12) / ln (4.8 / 1.5) = 108.43 pF/m

G = 2πσd / ln(b/a) = (2π*2.5134 E-6) / ln (4.8 / 1.5) = 13.57 µmho/m

L = µ / 2π ln(b/a) = 4π E-7 / 2π ln(3.2) = 232.63 nH/m

R = (1 / (2πδσc)) [1/a + 1/b] =

Antes calculamos δ

δ = l = √(2 / 2π*f*µo*σc)) = (1 /√f ) [ √(2 / (2π*4π E-7*5.80 E-7)) ]

δ = (1 / √(100 E6)) [66.08 E-3] = 6.60 E-6 m

R = (1 / (2πδσc)) [1/a + 1/b] = (1 / (2π*6.60 E-6*5.80 E7)) [1 /1.5 E-3 + 1/4.8E-3]

R = 363.795 mΩ/m

Para 1 Ghz:

σd = 2π*f*ε*tan δ = 2π*1 E9*20.001 E-12*0.20 E-3 = 25.134 µS/m

C = (2πε) / ln(b/a) = (2π*20.001 E-12) / ln (4.8 / 1.5) = 108.43 pF/m

G = 2πσd / ln(b/a) = (2π*2.5134 E-6) / ln (4.8 / 1.5) = 135.749 µmho/m

L = µ / 2π ln(b/a) = 4π E-7 / 2π ln(3.2) = 232.63 nH/m

R = (1 / (2πδσc)) [1/a + 1/b] =

Antes calculamos δ

δ = l = √(2 / 2π*f*µo*σc)) = (1 /√f ) [ √(2 / (2π*4π E-7*5.80 E-7)) ]

δ = (1 / √(1 E9)) [66.08 E-3] = 2.08963 µm

R = (1 / (2πδσc)) [1/a + 1/b] = (1 / (2π*2.08 E-6*5.80 E7)) [1 /1.5 E-3 + 1/4.8E-3]

R = 1.149 Ω/m

3===== 2.18.4.- Una linea de transmisión formada por dos placas paralelas de niquel tiene las dimensiones a= 0.25mm, b = 6mm. El grosor de las placas es de 50µm. Determine los parámetros L, C, R, G por unidad de longitud a 10Ghz, suponiendo que el dielectrico entre las placas es de cuarzo.

“ALTAS FRECUENCIAS”

a = 0.00025 = 250 E-6 b = 0.006 = 6 E-3 d = 50 E-6

Cuarzo εr = 3.8 tan δ = 0.75 E-3

Niquel σc = 1.45 E7

σd = 2π*f*ε*tan δ = 2π*10 E9*3.8*8.85 E-12*0.75 E-3 = 1.5855 mS/m

δ = l = √(2 / 2π*f*µo*σc)) = (1 /√(10 E9) ) [ √(2 / (2π*4π E-7*1.45 E7)) ]

δ = 1.3217 E-6 m

C = εb / d = (8.85 E-12*3.8*6 E-3) / (250 E-6) = 807.05 pF/m

G = σdb / a = (1.5855 E-3*6E-3) / (250 E-6) ) = 38.05 milimho/m

L = µd / b = ( (4π E-7*250 E-6) / 6 E-3) = 52.35 nH/m

R = 2 / bδσc = 2 / (6 E-3*1.3217 E-6*1.45 E7) ) = 17.393 Ω/m

4===== 2.18.5.- Las constantes primarias de una linea telefonica bifilar abierta son R = 6 E-3 Ω/m, L = 2 E-6 H/m, C = 5 E-12 F/m y G = 0.3 E-9 mho/m. Calcule la impedancia caracteristica de la linea y la constante de propagacion a una f = 10 Khz.

Solución:

ω = 2πf = 2π(10 Khz) = 62.83 E3

Z0 = √(R+jωL / G+jωC)

Por pasos:

R + jωL = 6E-3 + j (62.83 E3) (2 E-6) = 6 E-3 + j 0.12566

G + jωC = 0.3 E-9 + j (62.83 E3) (5 E-12) = 0.3 E-9 + j 3.141 E-7

Zo = √(6 E-3 + j 0.12566 / 0.3 E-9 + j 3.141 E-7) = 632.69 - j 14.794

Constante de propagacion:

y = √(6 E-3 + j 0.12566 * 0.3 E-9 + j 3.141 E-7) = 4.83659 E-6 + j198.72 E-6

5===== 2.18.9.- Un cable coaxial con impedancia caracteristica de 75Ω termina en una carga resistiva de 100Ω, a una frecuencia de 600 Mhz. Diga cuanto vale la impedancia vista en los puntos siguientes:

a).- En la carga.b).- a 10 cm antes de la carga.c).- a λ/4 antes de la carga.d).- a λ/2 antes de la carga.e).- a 3λ/2 antes de la carga.

Solución:

a).- Zo = 75Ω f = 600 Mhz ZL = 100Ω

Alta Frecuencia α = 0 y ال = jß

ρ = ZL - Zo / ZL + Zo = 100 – 75 / 100 + 75 = 0.1428

v = c /√εr = ω/ß entonces εr = 1 ß = ω/c = 2πf/c = 2π*600E6 / 3E8 = 12.566

Z(0) = Zo [(1 + ρ) / (1 – ρ)] = 75 [(1 + 0.1428) / (1 – 0.1428)] = 100 Ω

b).- 2ß = 2*12.566 = 25.132 por que ال = jß ent. = 25.1j

Zi = Zo [(1 + ρe^2 ال l)/ (1 - ρe^2 ال l)] =

Z(z – 0.1m) = 75 [(1 + 0.1428e^(25.1j*-0.1)/ (1 – 0.1428e^25.1j*-0.1)]

= 58.74 – 10.12 j Ω (nota: en radianes)

c).- λ / λo / √(εr) = λ = λo = c / f por que εr = 1

Entonces: 3E8 / 600E6 = 0.5 λ = 0.5 por lo cual λ/4 = 0.5/4 = 0.125m

Z (z = -0.125m) = 75 [(1 + 0.1428e^(25.1j*-0.125)/ (1 – 0.1428e^25.1j*-0.125)]

= 56.25 Ω

d).- λ/2 = 0.5 / 2 = .25

Z ( z = 0.25) = [(1 + 0.1428e^(25.1j*-0.25)/ (1 – 0.1428e^25.1j*-0.25)]

= 100 Ω

e).- 3λ/2 = 3*0.5 / 2 = .75

Z ( z = 0.25) = [(1 + 0.1428e^(25.1j*-0.75)/ (1 – 0.1428e^25.1j*-0.75)] = 100 Ω

6===== 2.18.10.- Considere una linea sin perdidas con 2m de longitud, que acierta frecuencia de medicion es menor λ/4. Las mediciones al terminar la linea en cortocircuito y en circuito abierto dieron impedancias de entrada de j110Ω y -j52Ω, respectivamente. Evalue la constante de fase y la impedancia caracteristica de la linea.

α = 0 R = G= 0

ℓ = 2m < λ/4 a cierta frecuencia

Zi, c.c. = j 110Ω

Zi, c.a. = -j 52 Ω ß = ?

SOLUCION:

e^(-2الℓ) = 1 – √(Zi,c.c./Zi,c.a.) 1 + √(Zi,c.c./Zi,c.a.)

Zi,c.c./ Zi.c.a = 110j / - 52j = -2.1154 = 2.1154 j2

√(Zi,c.c./ Zi.c.a) = √(2.1154j2) = 1.45 j

Entonces:

e^(-2الℓ) = 1 – 1.45j = e^(-110.81j) = e^(249.2j) 1 + 1.45j

Ahora:

-2ßℓ = θ

-2ßℓ = 249.2 = 4.35 rad = θ

Ocupando la formula:

ß = - [1 / 2ℓ] [θ ± 2πn) Mejor formula: ß = [1 / 2ℓ] [ 2πn – θ] Antes:

ℓ = 2m < λ/4 para cierta frecuencia, por lo cual n = 1

entonces:

ß = [1 / 2*2] [ 2π*1 – 4.35] = 0.485 rad/m

La impedancia caracteristica solo se presenta en circuitos cerrados:

Zo = Xi / tanßℓ por que Zi = j Xi entonces j110 = j Xi por lo cual Xi = 110

Sustituyendo

Zo = 110 / tan (0.485*2) = 75.38 Ω

7===== 2.18.13 Una linea de transmision sin perdidas tiene una impedancia caracteristica de 100Ω y esta terminada con una carga compleja de 120 + j80. se desea acoplar esta linea con un tramo de λ/4 en serie. Encuentre:a).- La distancia necesaria entre el acoplador y la cargab).- La impedancia caracteristica del acoplador.

a).-

b).- Za = √(ZoZL) = √(100 (120 + j80)) = 114.94 + 34.80j Ω

8=====2.18.15 Una linea sin perdidas con impedancia caracteristica de 75 Ω termina en una carga con ZL = 15 + j75 Ω. Se desea usar un equilibrador reactivo con el fin de acoplar la linea. Encuentre la posicion y la susceptancia capacitiva normalizada que debe tener el stub en el punto de conexion con la linea principal.

9===== 2.18.18.- Se tiene un cable con una impedancia caracteristica de 50 Ω. En el extremo final del cable hay una carga con impedancia desconocida, pero se sabe que la relacion de onda estacionaria es igual a 2. tambien se sabe que la distancia entre puntos adyacentes de voltaje minimo es igual a 30 cm. Ademas, se sabe que si se retira la craga desconocida y se le sustituye por un corto circuito, entonces los puntos de voltaje minimo se mueven 7.5 cm hacia el generador. ¿ Cual es el valor de la carga desconocida, en ohms?