ejer cici o sinter 121

7/25/2019 Ejer Cici o Sinter 121

1/19

Universidad Politcnica Salesiana. Teora de Control II. Espacio de Estados. 1

ResumenEn el presente documento se presentala realizacin de un compendio de ejercicios sobreteora de control recopilados de los tres libros quese utilizan a lo largo de la asignatura. Se muestra elprocedimiento, clculos, anlisis, scripts yconclusiones sobre cada uno de los ejercicioselegidos por los autores del presente documento.

ndice de Trminosfuncin de transferencia, sistemasen lazo cerrado, control ptimo.

I. INTRODUCCIN

II. CONTROL PTIMO

III. ITEMS PROPUESTOS PARA LA ELECCIN Y

DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS

1. Resolver los siguientes ejercicios:

a. Ejercicios planteados de control ptimo:o B-10-17o B-10-18o B-10-19o B-10-21

b.

Ejercicios de refuerzoo

Ingeniera de control moderna.

Katsuhiko Ogata B7-1 a B7-1 b

o Sistemas de control moderno. Richard

C. Dorf y Robert H. Bishop P8.4 P8.8

o

Sistemas de control automtico.Benjamn C. Kuo

9.2 d 9.2 f 9.2 g 9.7 9.8

NOTAS:

El desarrollo de los ejercicios debencontener, procedimientos, clculos, anlisisde respuestas, scripts y conclusiones.

La tarea la pueden resolver en grupos dehasta 2 estudiantes.

El trabajo debe ser subido en formato paperen pdf y los modelos-scripts en MATLAB, ,hasta el 2 de junio, fecha en la cual serendir el examen correspondiente al primerinterciclo.

IV. DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS

B-10-17.Sea el sistema definido por:

Donde:

0 1 0

0 0 1

1 2

A

a

a=parmetro adjustable >0

CONTROL PTIMO

Carrin Vivar Gabriela Lissette,[email protected] Egues Mara Vernica, [email protected]

Universidad Politcnica Salesiana (Cuenca - Ecuador).


2/19


Determine el valor del parmetro a para minimizarel ndice de comportamiento siguiente:

0

TJ dt

x x

Suponga que el estado inicial 1(0) cx est dado

por1

(0) 0

0

c

x

DESARROLLO:

Considerando la ecuacin de Riccati, tenemos:* * -1A P+ PA PBR B P+Q = 0

Donde:11 12 13

12 22 23

13 23 33

P P P

P P P

P P P

P

De la funcin de costos, podemos definir Q:1 0 0

0 1 0

0 0 1

Q

Luego, reemplazando los valores en la ecuacin de

Riccati, tenemos:*A P+PA+Q = 0

11 12 13

12 22 23

13 23 33

11 12 13

12 22 23

13 23 33

0 0 1

1 0 2

0 1

0 1 0

0 0 1

1 2

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

P P P

P P P

a P P P

P P P

P P P

P P P a

Resolviendo el lado izquierdo de este sistema,tenemos:

13 11 13 23 12 13 33

11 13 23 12 23 13 22 23 33

12 13 33 13 22 23 33 23 33

1 2 2

2 2 4 1 2

2 2 2 1

P P P P P aP P

P P P P P P P aP P

P aP P P P aP P P aP

Luego, establecemos las ecuaciones para determinarlos valores de P:

13

12 23

23 33

11 13 23

12 13 33

13 22 23 33

1 2 0

2 4 1 0

2 2 1 0

2 0

0

02

P

P P

P aP

P P P

P aP P

P P aP P

De lo cual resolviendo P, se tiene que:

2 2

2 3 2 2

2

5 1 2 3 1

2(2 a 1) 2(2 a 1) 2

2 3 7 1

2(2 a 1) 2(2 a 1) 2(2 a 1)

1 1 3

2 2(2 a 1) 2(2 a 1)

a a a

a a a a a a

a a a

P

Luego, se puede obtener el valor ptimo para elparmetro a que minimice el valor de J con lacondicin inicial dada en x(0).

Para obtenerJ, sabemos:(0) (0)TJx Px

2 2

12 3 2 2

1

2

5 1 2 3 1

2(2a 1) 2(2a 1) 2

2 3 7 1

0 0 02(2a 1) 2(2a 1) 2(2a 1)0

1 1 3

2 2(2a 1) 2(2a 1)

a a a

ca a a a a a

J c

a a a

Luego,2

1

5 1

2(2a 1)

a aJ c


3/19


Para minimizar el valor de J se debe de determinarla derivada de J con respecto a a, con lo cualtenemos:

2

1

2

12

d 5 1d

d 2(2 a 1)d

2 2 302(2a 1)

a acJ

aa

a a c

Despejando a, se obtiene:

Debido a que el enunciado del problema nos exigeque el valor de a sea positivo, entonces tomamos el

valor , dado que este valor cumple lacondicin de que la segunda derivada de J conrespecto a a sea mayor que cero, este es su valorptimo.

CONCLUSIONES:Para este ejercicio nos damos cuenta que nopodemos utilizar directamente MATLAB debido aque la resolucin de la matriz P mediante Ricatti esliteral, por lo cual usamos una calculadora cientfica

para resolver la primera parte del mismo.Observamos que la matriz Q podemos obtenerladirectamente de la ecuacin general de la funcin decostos que nos da el problema, con esto la obtencinde los valores se nos simplifica de manerasignificativa.Teniendo la matriz A, nos damos cuentainmediatamente que el valor del parmetro adebe ser mayor a cero para lograr que el sistema seaestable.

B-10-18.Sea el sistema que se muestra en la Figura10-62. Determine el valor de la gananciaK de modoque la razn de amortiguamiento del sistema enlazo cerrado sea igual a 0.5. A continuacindetermine tambin la frecuencia natural noamortiguada del sistema en lazo cerrado.Suponiendo que y evale:

2

0( )e t dt

DESARROLLO:

Obtenemos la funcin de transferencia en lazocerrado del sistema de control dado:

2

( )

( ) ( )1 ( ) ( )

5

( 1)(2 1)( )

51 1( )

( 1)(2 1)

2.5( )

1.5 0.5 2.5( )

C s

R s G sG s H s

K

s sC s

KR s

s s

KC s

s s KR s

La funcin del sistema en lazo cerrado se definecomo:

2

2( )

2 2

n

n n

M ss

Tomando los valores de la ecuacin caracterstica,obtenemos:

2

2 1.5

0.5 2.5

1.5 0.5 2.5

n

n

n

K

K

Despejando:0.7K


4/19


Una vez obtenidos los valores de n y K,

reemplazamos en la funcin en lazo cerrado yobtenemos:

2

( ) 1.75

( ) 1.5 2.25

C s

R s s s

Analizando la seal de error, se tiene:

2

2

( ) ( ) C(s) 1.5 0.5

( ) (s) 1.5 2.25

E s R s s s

R s R s s

2 2( 1.5 2.25) ( ) ( 1.5 0.5) ( )s s E s s s R s

Aplicando la transformada inversa de Laplaceobtenemos esta ecuacin en funcin del tiempo:

1.5 2.25 1.5 0.5e e e r r r

Teniendo como dato 0r , e igualando en laexpresin anterior, se tiene:

1.5 2.25 0e e e

Definimos nuestras variables de estado como:

1

1 2

2

e e

e e

e e

y obtenemos nuestra matriz de estado e:

1 1

2 2

0 1

2.25 1.5

e e

e e

Determinando

2

0 0

( ) dt ( ) Q (t) dtTe t e t e

Donde1

2

( )(t)

( )

e te

e t

1 0

0 0Q

Con nuestro nuevo sistema en lazo cerrado,tenemos la matriz de estado A:

0 1

2.25 1.5

A

11 12

12 22

P P

P P

P

Aplicamos la ecuacin de Riccati, para definir losvalores de P:

0TA P PA Q

11 12 11 12

12 22 12 22

0 2.25 0 1

1 1.5 2.25 1.5

1 0 0 0

0 0 0 0

P P P P

P P P P

12 11 12 22

11 12 22 12 22

9 3 91

0 02 2 2

3 9 0 02 3

2 2

P P P P

P P P P P

Para determinar los valores de P, obtenemos lasecuaciones:

12

11 12 22

12 22

91 02

3 90

2 4

2 3 0

P

P P P

P P

De esto obtenemos:2 2

3 9

2 4

9 27

P

Finalmente, aplicando

2

0

( )J e t dt

Te (0)Pe(0)

Tenemos:


5/19


2 2

13 91 0

2 4 0

9 27

J

J

2

3

SCRIPT DE MATLAB

clear allclose allclc

syms p11p12p22;syms s;syms k;

%% EJERCICIO B10-18%% Matrices de estado

A=[0 1;-2.25 -1.5];B= [0;1];

%% Funcin de transferencia en lazo cerrado

Gs=2.5/(s^2+1.5*s+0.5)Ms=simplify(Gs*k/(1+Gs*k));

%% Matrices para Ricatti

P=[p11 p12;p12 p22];Q=[1 0;0 0];simplify(A'*P+P*A+Q);

eq1='1-(9*P12/2)=0';eq2='P11-(3/2)*P12-(9/4)*P22=0';eq3='2*P12-3*P22';[p11,p12, p22]=solve(eq1,eq2,eq3)P=[p11 p12;p12 p22]

%% Determinacin de funcin de costo% Matriz de estado 'e' cuando t=0;

e=[1;0];

% Funcin de costeJ=e'*P*e

CONCLUSIONES:

B-10-19. Determine la seal de control ptima upara el sistema definido por:

u x Ax B

Donde:0 1 0

0 1 1

A

tal que se minimice el ndice de comportamiento

siguiente:T 2

0( ) dtJ u

x x

DESARROLLO:Se define la matriz del sistema como:

( )

( )

x = Ax + B

u = -Kx

x = Ax+ B -Kx

x = A BK x

La ecuacin de Ricatti queda de la siguientemanera:

*

*

* -1 *

* *

A P+ PA PBR B P+ Q = 0

A P + PA PBB P + Q = 0

De la funcin de costo establecida, se definen losvalores para Q y R como:

11 0

0 1

Q R

Obtenemos P como sigue:2

12 11 12 12 22

2

11 12 12 22 12 22 22

0 01

0 02 1 2

p p p p p

p p p p p p p

Definimos las ecuaciones:2

12

11 12 12 22

2

12 22 22

1 0

0

2 1 2 0

p

p p p p

p p p

Establecemos P:2 1

1 1

P

Definimos K como:


6/19


2 1[0 1]

1 1

1 1

-1

*

*

K = R B P

K B P

K

K

Por ltimo, tenemos u:

1

2

1 2

1 1

u

xu

x

u x x

Kx

SCRIPT DE MATLAB

close allclear allclc

syms p11p12p22;syms k1k2;

%% EJERCICIO B 10-19

% Matrices de estado

A=[0 1;0 -1];B=[0;1];K=[k1 k2];

% Ley de control u=-Kx

Ahat=A-B*K;

% Matrices para Ricatti

P=[p11 p12; p12 p22];Q=eye(2);R=1;

simplify(A'*P+P*A-P*B*B'*P+Q)

eq1='1-P12^2=0';eq2='P11-p12-P12*P22=0';eq3='2*P12+1-P22^2-2*P22=0';

[P11,P12,P22]=solve(eq1,eq2,eq3)

p11=2;p12=1;p22=1;P=[p11 p12;p12 p22];

%% Clculo de KK=B'*P

CONCLUSIONES:

B-10-21. Sea el sistema del pndulo invertido quese muestra en la Figura 10-59. Se desea disear unsistema regulador que mantenga el pnduloinvertido en una posicin vertical ante la presenciade perturbaciones en trminos del ngulo y/ovelocidad angular . Se requiere que el sistemaregulador regrese el carro a su posicin dereferencia al final de cada proceso de control. (Nohay una entrada de referencia para el carro).

La ecuacin en el espacio de estados para elsistema est dada por:

Donde:0 1 0 0 0

20.601 0 0 0 10 0 0 1 0

0.4905 0 0 0 0.5

x

x

A x

Se utilizar el esquema de control de realimentacindel estado:

Usando MATLAB, determine la matriz de

ganancias de realimentacin del estadotal que el siguiente ndice decomportamientoJ se minimice:

*

0( ) dtJ u Ru

*x Qx

Donde:100 0 0 0

0 1 0 0, 1

0 0 1 0

0 0 0 1

R

Q

A continuacin obtenga la respuesta del sistema a lacondicin inicial siguiente:

1

2

3

4

(0) 0.1

(0) 0

(0) 0

(0) 0

x

x

x

x


7/19


Represente las curvas de respuesta respecto de ,respecto de , respecto de y respecto de .

DESARROLLO:

Utilizando MATLAB determinamos la matriz deganancia de realimentacin del estado K.

%Matriz de ganancia de realimentacin del

estado KA=[0 1 0 0;20.601 0 0 0; 0 0 0 1;-0.4905 0

0 0];B=[0;-1;0;0.5];Q=[100 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1];R=1;K=lqr(A,B,Q,R)

54.0554 11.8079 1 2.7965 K

A continuacin de esto debemos obtener larespuesta a las condiciones iniciales dadas.

(1)u x K

Para ello sustituimos la ecuacin (1) en la ecuacinoriginal en espacio de estados:

( )

x x u

x x x

x x

A B

A BK

A BK

El programa de MATLAB que se presenta acontinuacin da como resultado la respuesta a lascondiciones iniciales dadas:

AA=A-B*K;BB=[0.1;0;0;0];[x,z,t]=step(AA,BB,AA,BB);x1=[1 0 0 0]*x';x2=[0 1 0 0]*x';x3=[0 0 1 0]*x';x4=[0 0 0 1]*x';

Cdigo de MATLAB para las grficas derespuesta

%Respuesta a la condicin inicialAA=A-B*K;BB=[0.1;0;0;0];[x,z,t]=step(AA,BB,AA,BB);x1=[1 0 0 0]*x';x2=[0 1 0 0]*x';x3=[0 0 1 0]*x';x4=[0 0 0 1]*x';%Grficas de respuesta

subplot(2,2,1);plot(t,x1)title('Theta respecto a t')xlabel('t Seg')ylabel('x1=Theta')grid on

subplot(2,2,2);plot(t,x2)title('Theta punto respecto a t')xlabel('t Seg')ylabel('x2=Theta Punto')grid on

subplot(2,2,3);plot(t,x3);title('x respecto a t')xlabel('t Seg')ylabel('x3=x')grid on

subplot(2,2,4);plot(t,x4);title('x punto respecto de t')xlabel('t Seg')ylabel('x4=x punto')grid on

GRFICAS OBTENIDAS COMORESPUESTA DEL PNDULO INVERTIDO

0 2 4 6 8 10 12 14-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1Theta respecto a t

t Seg

x1=Theta

Theta respecto a t.


8/19


0 2 4 6 8 10 12 14-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05Theta punto respecto a t

t Seg

x

2=Theta

Punto

Theta punto respecto a t.

0 2 4 6 8 10 12 14-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35x respecto a t

t Seg

x3=x

x respecto a t.

0 2 4 6 8 10 12 14-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35x punto respecto de t

t Seg

x4=x

punto

x punto respecto a t.

CONCLUSIONES:

V.

TRABAJODEREFUERZO

INGENIERA DE CONTROL MODERNAKatsuhiko Ogata

B-7-1. Considere el sistema con realimentacin

unitaria cuya funcin de transferencia en lazoabierto es10

( )1

G ss

Obtenga la salida en estado estacionario del sistemacuando est sujeto a cada una de las entradassiguientes:

) ( ) sin( 30 )

) ( ) 2 cos(2 45 )

a r t t

b r t t

LITERAL ASe sustituye s por jw10

( )1

G jj

En lazo cerrado tenemos:10

1( )

101

1

10

( ) 11

jM j

j

M j j

Obtenemos el mdulo de la funcin como:

2 2

10( )

11

10( )

1 11

M jj

M j

El ngulo de fase

1

1

( )tan

tan 11

84.79

M j

La salida en estado estacionario es:


9/19


2 2

( ) ( ) ( ) ( )

10( ) ( 84.79 sin( 30 ))

1 11

( ) 0.9052sin( 54.79 )

ss

ss

ss

y t M j M j R j

y t t

y t t

LITERAL B

Se sustituye s por jw:

10( )

1G j

j

En lazo cerrado tenemos:10

1( ) 10

11

10( )

11

jM j

j

M jj

Obtenemos el mdulo de la funcin como:

2 2

10( )

11

10

( ) 1 11

M jj

M j

El ngulo de fase

1

1

( )

tan

tan 11

84.79

M j

La salida en estado estacionario es:

2 2

( ) ( ) ( ) ( )

10( ) ( 84.79 2 cos(2 45 ))

1 11

( ) 1.79cos(2 55.3 )

ss

ss

ss

y t M j M j R j

y t t

y t t

CONCLUSIONES:

SISTEMAS DE CONTROL MODERNORichard C. DorfRobert H. Bishop

P8-4.En la figura P8.4 se muestra un sistema paracontrolar la presin en una cmara cerrada. Lafuncin de transferencia para el elemento demedicin es

2

150( )

15 150H s

s s

Y la funcin de transferencia para la vlvula es

1

1( )

(0.1 1)( / 20 1)G s

s s

La funcin de transferencia del controlador es( ) 2 1cG s s

Obtener las caractersticas de la respuesta enfrecuencia para la funcin de transferencia del lazo

1( ) ( ) ( ) [1/ ]Gc s G s H s s

DESARROLLO:

Encontramos la funcin de transferencia en lazocerrado:

1( ) ( ) ( ) ( ) [1 / ]cM s G s G s H s s

2

5 4 3 2

1 150 1( ) 2 1

(0.1 1)( / 20 1) 15 150

3000(2 1)( )

45 800 7500 30000

M s ss s s s s

sM s

s s s s s


10/19


Para las caractersticas de las respuestas enfrecuencia, realizamos la grfica de Bode con locual obtenemos la magnitud y la fase en escalalogartmica.

Reemplazando s j , obtenemos:

5 4 3 2

5 4 3 2

3000(2( ) 1)( )

( ) 45( ) 800( ) 7500( ) 30000( )

3000(2 1)( )

45 800 7500 30000

jM j

j j j j j

jM j

j j j

Luego:

5 4 3 2

3000(2 1)( )

45 800 7500 30000

jM j

j j j

Si obtenemos la grfica del mdulo de funcin enlazo cerrado, obtenemos los valores de Mr y BW:

Entonces:

1.8

0

4.24

r

r

M

BW

CONCLUSIONES:

P8-8. En la figura P8.8 se muestra un sistema decontrol con realimentacin. Las especificacionespara el sistema de lazo cerrado requieren que elsobrepaso para una entrada de escaln sea mayorque el 10%.

a. Determinar la especificacincorrespondiente en el dominio de lafrecuencia

pM , para la funcin de

transferencia de lazo cerrado

( )

( )( )

Y j

T jR j

b. Determinar la frecuencia de resonancia, r

c.

Determinar el ancho de banda del sistema enlazo cerrado.

DESARROLLO:La funcin de transferencia en lazo cerrado ser:

( )( 5)

( 5)( )

1( 5)

( )2 5

KG s

s s

K

s sT s

K

s s

KT s

s s K


11/19


Luego, para determinar el valor del coeficiente deamortiguamiento relativo, tenemos:

2/ 1

max 100

pM e

Con un sobrepaso del 10% tenemos:

2/ 110 100

0.591

e

De la funcin en lazo cerrado tenemos:2 5

4.23

n

n

Adems, podemos determinar el valor deK:2

17.8845

nKK

Con esto, nuestra funcin en lazo cerrado ser:17.8845

( )2 5 17.8845

T ss s

Luego,pM se define como:

1

22 1

1.0487

p

p

M

M

La frecuencia de resonancia se establece:21 2

3.4109

r n

r

Finalmente, definimos BW como:1/2

2 4 2(1 2 ) 4 4 2

4.905

nBW

BW


syms Ks;syms z;%% EJERCICIO P8.8 BISHOP

%Funcin de transferenciaG=K/(s*(s+2));T=simplify(G/(1+G))

% Coeficiente de amortiguamiento

relativo zz=solve(10-100*exp(-pi*z/(sqrt(1-z^2))))

% Frecuencia naturalwn=5/(2*z)K=wn^2

% MpwMpw=(2*z*sqrt(1-z^2))^(-1)

% Frecuencia de resonanciawr=wn*sqrt(1-z^2)

% Ancho de bandaWB=wn*sqrt((1-2*z^2)+sqrt(4*z^4-

4*z^2+2))

CONCLUSIONES:

SISTEMAS DE CONTROL AUTOMTICOBenjamn C. Kuo

9.2 Las funciones de transferencia de la trayectoriadirecta de sistemas de control con realimentacinunitaria estn dados como sigue. Encuentre el picode resonancia rM , la frecuencia de resonancia r ,

y el ancho de banda BW de los sistemas en lazocerrado. (Recordatorio: Asegrese de que el sistemasea estable)

2

2

10( 1)(a) G( )

( 2)( 10)

100(b) G( )

( 10 50)

100(c) G( )

( 10 100)

s

s

ss

s s s

es

s s s

es

s s s

DESARROLLO:

La resolucin de estos ejercicios no se puederealizar en forma analtica, debido a la complejidady extensin de los mismos, por lo tanto, usaremosMatlab para determinar en forma grfica los valoresrequeridos.

10( 1)(a) G( )

( 2)( 10)

ss

s s s

Determinamos la funcin en lazo cerrado:


12/19


3 2

( )( )

1 ( )

10( 1)

(s 2)(s 10)( ) 10( 1)1

(s 2)(s 10)

10(s 1)( )

12 30 10

G sM s

G s

s

sM s s

s

M ss s s

Para realizar el anlisis en frecuencia de la funcin,reemplazamos s j en la funcin de lazocerrado.

3 2

3 2

10( 1)( )( ) 12( ) 30( ) 10

10( 1)( )

12 30 10

jM jj j j

jM j

j j

Finalmente, obtenemos el mdulo de la funcin detransferencia y graficamos con respecto a .

3 2

10( 1)

( ) 12 30 10

j

M j j j

El punto donde ( ) 0.707M j , determina el

ancho de banda de la funcin, y la coordenada delpico ms alto determina los valores para rM y r .

De este modo tenemos:

0.46

1

0

r

r

BW

M

SCRIPT DE MATLAB

clear allclose all

clc

syms sw;

% EJERCICIO 9.2 a

% Funcin en lazo abierto

Gs= tf([10 10],[1 12 20 0])

Gs1=10*(s+1)/(s*(s+2)*(s+10));

Ms=simplify(Gs1/(1+Gs1))

Mjw=10*(1+j*w)/((30*j*w)+10-(12*w^2)-

(j*w^3));

f=abs(Mjw);

ezplot(w,f)

axis([0 1 0.5 1.05 ]);

xlabel('w (rad/s)')

ylabel('|M(jw)|')

title('Anlisis en frecuencia')

grid on

hold on

plot(0.46,0.707,'X')

hold on

plot(0,1,'X')

hold on

Para los puntos (b) y (c) el procedimiento a seguires el mismo, de este modo tenemos:

2

100(b) G( )

( 10 50)

ses

s s s

Funcin de transferencia en lazo cerrado:

2

2

2

( )( )

1 ( )

100

( 10 50)( )100

1( 10 50)

100

( 10 50) 100

s

s

s

s

G sM s

G s

e

s s sM se

s s s

eM(s)

s s s e

Reemplazamos s j en la funcin de lazocerrado.


13/19


2

100

(( ) 10( ) 50) 100

j

j

eM(s)

j j j e

Se obtiene la grfica del mdulo:

Tenemos:2.44

Inestable

1.5

r

r

BW

M

close all

clear all

clc

syms sw;

% Ejercicio 9.2

Gs=100*exp(-s)/(s*(s^2+10*s+50));

Ms=simplify(Gs/(1+Gs))

Mjw=100/(10*(j*w)^2*exp(j*w) +

(j*w)^3*exp(j*w) + 50*j*w*exp(j*w) + 100)

f=abs(Mjw);

ezplot(w,f)

axis([0 4 0 3.5 ]);

grid onxlabel('w (rad/s)')

ylabel('|M(jw)|')


grid on

hold on

2

100(c) G( )

( 10 100)

ses

s s s

Funcin de transferencia en lazo cerrado:

2

2

2

( )( )

1 ( )

100

( 10 100)( ) 100

1( 10 100)

100

( 10 100) 100

s

s

s

s

G sM s

G s

e

s s sM s e

s s s

eM(s)

s s s e

Reemplazamos s j en la funcin de lazocerrado.

2

100

(( ) 10( ) 100) 100

j

j

eM(j )

j j j e

Se obtiene la grfica del mdulo:


syms sw;% Ejercicio 9.2 g

Gs=100*exp(-s)/(s*(s^2+10*s+100));Ms=simplify(Gs/(1+Gs))Mjw=100/(10*(j*w)^2*exp(j*w) +

(j*w)^3*exp(j*w) + 100*j*w*exp(j*w) + 100)f=abs(Mjw);

ezplot(w,f)axis([0 4 0 3.5 ]);grid on


14/19


xlabel('w (rad/s)')ylabel('|M(jw)|')title('Anlisis en frecuencia')grid onhold on

CONCLUSIONES:

9.7 La funcin de transferencia de la trayectoriadirecta de un sistema de control con realimentacinunitaria es:

2

1( )

2 ( 1)

TsG s

s s s

Encuentre los valores de BW y rM del sistema en

lazo cerrado para T=0.05, 1, 2, 3, 4, y 5.

Para cada valor de T tendremos una funcin G(s)diferente.Calculamos la funcin de transferencia en lazocerrado para la funcin G(s)

( )( )

1 ( )

G sM s

G s

2

2

2

3 2

0.5(1 )( )

( 1)

( )( )

1 ( )

0.5(1 )

( 1)( )

0.5(1 )1

( 1)

0.5(1 )( )

(1 0.5 ) 0.5)

TsG s

s s s

G sM s

G s

Ts

s s sM s

Ts

s s s

TsM s

s s T s

Reemplazando s j en la funcin se tiene:

3 2

3 2

0.5(1 ( ))( )

( ) ( ) (1 0.5 )( ) 0.5)

0.5(1 ( ))( )

(1 0.5 )( ) 0.5)

T jM j

j j T j

T jM j

j T j

Para cada valor de T se tiene:

T M(j)

0.05 3 20.5(1 0.05( ))

( )1.025( ) 0.5

jM j

j j

1 3 20.5(1 )

( )1.5( ) 0.5

jM j

j j

2 3 20.5(1 2 )

( )2 0.5

jM j

j j

3 3 20.5(1 3 )( )

2.5 0.5jM j

j j

4 3 20.5(1 4 )

( )3( ) 0.5

jM j

j j

5 3 20.5(1 5( ))

( )3.5( ) 0.5

jM j

j j

Obteniendo el mdulo de estos valores, tenemos lasgrficas para cada caso, de donde observamos losvalores requeridos:

T=0.05


15/19


T=1

T=2

T=3

T=4

T=5

SCRIPT DE MATLAB

clc;

clear all;

close all

clc;

%% EJERCICIO 9.7

syms swGsT;

Gs=((1/2)+((T/2)*s))/((s^3)+(s^2)+((s)*(1+

(T/2)))+(1/2))

figure(1)

T=0.05;

Mjw=((1/2)+((T/2)*j*w))/((-j*w^3)-

(w^2)+((j*w)*(1+(T/2)))+(1/2))

f=abs(Mjw)

ezplot(w,f)

grid on

axis ([0 3 0 1.6])

xlabel('w')

ylabel('|Mjw|')

title('Analisis en frecuencia')

hold on

figure(2)


16/19


T=1;

Mjw=((1/2)+((T/2)*j*w))/((-j*w^3)-

(w^2)+((j*w)*(1+(T/2)))+(1/2))

f=abs(Mjw)

ezplot(w,f)

grid on

axis ([0 2 0 1.2])

xlabel('w')

ylabel('|Mjw|')

title('Analisis en frecuencia')hold on

figure(3)

T=2;

Mjw=((1/2)+((T/2)*j*w))/((-j*w^3)-

(w^2)+((j*w)*(1+(T/2)))+(1/2))

f=abs(Mjw)

ezplot(w,f)

grid on

axis ([0 2 0 1.2])

xlabel('w')

ylabel('|Mjw|')


hold on

figure(4)

T=3;

Mjw=((1/2)+((T/2)*j*w))/((-j*w^3)-

(w^2)+((j*w)*(1+(T/2)))+(1/2))

f=abs(Mjw)

ezplot(w,f)

grid on

axis ([0 2 0 1.4])

xlabel('w')

ylabel('|Mjw|')


hold on

figure(5)

T=4;Mjw=((1/2)+((T/2)*j*w))/((-j*w^3)-

(w^2)+((j*w)*(1+(T/2)))+(1/2))

f=abs(Mjw)

ezplot(w,f)

grid on

axis ([0 3 0 1.6])

xlabel('w')

ylabel('|Mjw|')


hold on

figure(6)

T=5;

Mjw=((1/2)+((T/2)*j*w))/((-j*w^3)-

(w^2)+((j*w)*(1+(T/2)))+(1/2))f=abs(Mjw)

ezplot(w,f)

grid on

axis ([0 3 0 2])

xlabel('w')

ylabel('|Mjw|')


hold on

9.8 La funcin de transferencia de la trayectoriadirecta de un sistema de control con realimentacinunitaria es:

2

1( )

2 ( 1)(1 )G s

s s s Ts

Encuentre los valores de BW y rM del sistema enlazo cerrado para T=0.05, 1, 2, 3, 4, y 5.

DESARROLLO:De igual manera que el ejercicio anterior,procedemos a calcular la funcin de transferenciaen lazo cerrado:

2

2

2

4 3 2

0.5( )

( 1)(1 )

( )( )1 ( )

0.5

( 1)(1 )( )

0.51

( 1)(1 )

0.5( )

( 1) ( 1) 0.5

G ss s s Ts

G sM sG s

s s s TsM s

s s s Ts

M sTs T s T s s

Al sustituir s j en la funcin de lazo cerrado,tenemos:

4 3 2

0.5( )

( 1) ( 1) (j ) 0.5M j

T j T T

Para cada valor de T, tenemos una funcin M(j)diferente, como se indica en la tabla.

T M(j)

0.05 4 3 20.5

( )0.05 (1.05) (1.05) (j ) 0.5

M jj

1 4 3 20.5

( )2 2 (j ) 0.5

M jj

2 4 3 20.5

( )2 3 3 (j ) 0.5

M jj

3 4 3 20.5

( )3 4 4 (j ) 0.5

M jj


17/19


4 4 3 20.5

( )4 5 5 (j ) 0.5

M jj

5 4 3 20.5

( )5 6 6 (j ) 0.5

M jj

Obteniendo el mdulo de cada funcin, observamos

los valores de Mr y BW que nos pide encontrar elejercicio:

T=0.05

T=1

T=2

T=3


18/19


T=4

T=5

SCRIPT DE MATLAB

close all

clear all

clc

syms swT;

%% EJERCICIO KUO 9.8

Gs=1/(2*s*(s^2+s+1)*(1+T*s));

Ms=0.5/(T*s^4+(T+1)*s^3 +(T+1)*s^2+s+0.5);

T=0.05;

Mjw1=0.5/(T*w^4-((j*w^3)*(T+1))-((T+1)*(w^2))+j*w+0.5)

figure(1)

M1=abs(Mjw1);

ezplot(w,M1)

grid on

axis([0 3 0 2])

xlabel('w (rad/s)')

ylabel('|M(jw)|')


hold on

T=1;

Mjw2=0.5/(T*w^4-((j*w^3)*(T+1))-

((T+1)*(w^2))+j*w+0.5)

figure(2)M2=abs(Mjw2);

ezplot(w,M2)

grid on

axis([0 2 0 3])

xlabel('w (rad/s)')

ylabel('|M(jw)|')


hold on

T=2;

Mjw3=0.5/(T*w^4-((j*w^3)*(T+1))-

((T+1)*(w^2))+j*w+0.5)

figure(3)

M3=abs(Mjw3);

ezplot(w,M3)

grid on

axis([0 2 0 3])

xlabel('w (rad/s)')

ylabel('|M(jw)|')


hold on

T=3;

Mjw4=0.5/(T*w^4-((j*w^3)*(T+1))-

((T+1)*(w^2))+j*w+0.5)

figure(4)

M4=abs(Mjw4);

ezplot(w,M4)

grid on

axis([0 2 0 3.5])

xlabel('w (rad/s)')

ylabel('|M(jw)|')


hold on

T=4;

Mjw5=0.5/(T*w^4-((j*w^3)*(T+1))-((T+1)*(w^2))+j*w+0.5)

figure(5)

M5=abs(Mjw5);

ezplot(w,M5)

grid on

axis([0 2 0 3.5])

xlabel('w (rad/s)')

ylabel('|M(jw)|')


hold on

T=5;

Mjw6=0.5/(T*w^4-((j*w^3)*(T+1))-

((T+1)*(w^2))+j*w+0.5)

figure(6)M6=abs(Mjw6);

ezplot(w,M6)

grid on

axis([0 2.5 0 4])

xlabel('w (rad/s)')

ylabel('|M(jw)|')


hold on

CONCLUSIONES:.

REFERENCIAS

[1] Katsuhiko Ogata, Ingeniera de Control Moderna, 5 taed. vol. 1, Madrid, Ed. Pearson Education,S.A, 2010

[2] Benjamin J. Kuo, Sistemas de control automtico,. 7maed, Mexico, Ed. PRENTICE-HALLHISPANOAMERICA SA. 1996

[3] R. Dorf y R. Bishop, Sistemas de Control Moderno,10ma ed. , Madrid, Ed. Pearson Education,S.A, 2005


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ejer cici o sinter 121

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