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Ejercicios (fsica 1) Grupo 6, Saln 309
En los siguientes ejercicios, dibuje los vectores necesarios para la solucin del ejercicio.
1. Los desplazamientos son vectores En navegacin se especifican las direcciones dando el ngulo llamado RUMBO con
respecto a la lnea norte-sur. As, un desplazamiento de 70 millas con un rumbo de
N35 E denota un vector de magnitud 70 con direccin dada por el ngulo que apunta al
Norte y forma 35 al desplazarse al Este.
i) si un barco navega 70 millas en la direccin N35 N y despus 90 millas exactamente
al Este. Determine cul es su distancia y rumbo de desplazamiento con respecto a su
punto inicial.
ii) Si se caminan 10 millas con direccin N45 E y despus 10 millas exactamente hacia
el norte. Determine que tan lejos fue el desplazamiento del punto inicial y cul es el
rumbo o direccin de la posicin final con respecto al punto inicial.
iii) Un avin vuela 100 kilometros en la direccin S51 O y despus 145 kilometros en la
direccin S39 O. Determine la distancia y el rumbo del avin con respecto a su punto
de partida.
iv) Un barco navega 11.2 millas exactamente hacia el norte y despus 48.3 millas hacia
N13.2 O. Encuentre su distancia y rumbo con respecto al punto inicial.
2. Producto Punto y Algebra Vectorial
Escribir el vector U que va de P a Q y el vector V que va de P a R, en la forma
vectorial ai+bj y despus encuentre el producto punto entre U y V .
i) P(1,1), Q(6,3), R(5,-2)
ii) P(-1,2), Q(-3,6), R(0,-5)
iii) P(1,1), Q(-3,-4), R(-5,-6)
iv) P(-1,-1), Q(3,-5), R(2,4)
v) Si U es el vector de 10 unidades de largo apuntando en la direccin N30 O. Escriba
el vector en la forma a i + b j
vi) Si U es el vector de 9 unidades de largo apuntando en la direccin S21 O. Escriba el
vector en la forma a i + b j
vii) Determine x tal que xi+j sea perpendicular a 3 i 4 j
viii) Determine dos vectores perpendiculares a 2 i + 5 j, como sugerencia trate con los
vectores x i + j y x i - j
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ix) Encuentre un vector de longitud unitaria que tenga la misma direccin que el vector
U = 3 i 4 j, considere la definicin de vector unitario.
x) Encuentre dos vectores de longitud unitaria perpendiculares a 2 i + 3 j
xi) Encuentre un vector del doble de largo que U =2 i 5 j y con direccin opuesta.
3. Producto Punto y Algebra Vectorial
En los problemas siguientes, encuentre el vector 3U - V y calculeU V , cos para
los vectores dados U y V
i) U = 3 i - 4 j , V =5 i + 12 j
ii) U = i + 3 j , V =6 i 8 j
iii) U = 2 i j , V =3 i - 4 j
iv) U = i + j , V = i - j
v) Si U = 14.1 i + 32.7 j y V =19.2 i -13.3 j encontrar , el menor ngulo positivo entre
U y V .
vi) Determine la longitud de 2U - 3V donde U y V son los vectores del problema
anterior.
4. Proyeccin de un vector sobre otro
En los siguientes problemas sea U = 2 i + 9 j, V = 4 i + 3 j y W = - 5 i 12 j , dibuje el
vector apropiado y encuentre la cantidad indicada.
i) Proyeccin escalar de U en V
ii) Proyeccin vectorial de U en V
iii) Proyeccin vectorial de U en W
iv) Proyeccin escalar de V en W
v) Proyeccin escalar de W en V
vi) Proyeccin vectorial de V en W
5. Producto Cruz I) Represente los vectores en trminos de sus componentes unitarios i, j, k.
i) Sea U = (1,2,-2) y V = (3,0,1) calcule U xV
ii) Sea U = (2,-1,3) y V = (0,1,7), W = (1,4,5) calcule V xW , (U xV )x(V xW ),
U x(V xW ), U x(V - 2W ), (U xV )xW , (U xV ) -2 W
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iii) En cada caso halle el vector ortogonal tanto a U como aV
a) U = (-7,3,1) y V = (2,0,4)
b) U = (-1,-1,-1) y V = (2,0,2)
II) De la definicin de producto cruz
U x V =W
Y la magnitud del vector resultante es senVUW
De la siguiente figura senV es la altura del paralelogramo formado por U y V .
Por lo tanto, el area del paralelogramo esta dada por
Area = (base)(altura) = senVU
En otras palabras, la magnitud del vector resultante del producto cruz
U x V =W entre los vectores U y V , es igual al rea del paralelogramo que forman estos
vectores.
W = rea del paralelogramo formado por U y V
i) En los siguientes problemas, halle el rea del triangulo determinado por los puntos
P1,P2, P3 y dibuje la representacin vectorial que empleo en la solucin.
a) P1(2,2,0), P2(-1,0,2), P3(0,4,3)
b) P1(1,5,-2), P2(0,0,0), P3(3,5,1)
c) P1(2,0,-3), P2(1,4,5), P3(7,2,9)
ii) Calcule U (V x W ) para U = (-1, 4, 7) y V = (6,-7, 3), W = (4, 0, 1)