ejercicios 2 calculo vectorial
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Ejercicios: GRUPO 4
1. Una recta de pendiente 2/5 pasa por el punto P (3, -4) y por A(x, -2) y B (-7, y). Hallar la abscisa de A y la ordenada de B.
Solución
X
Y
P (3,-4)
B(-7,y )
C(x,-2)
mAP= −4+23−X → −2
3−X=25
2(3-x)= -10 6-2x = -10 -2x = -16 X= 8 mPB=
y+4−7−3→
y+4−10=
25
y+4= 25 (-10)
y+4 = -4
y = -8
∎ A (8,-2)
∎ B (-7,-8)
2. Una recta de pendiente -3/2 pasa por el punto P (6, -2) y por los puntos A(x, x + 2) y B(x + 6, y). Hallar la distancia entre A y B.
Solución
X
Y
P (6,-2)
A (x,x+2)
B (x+6,y)
mAP= −2−(X+2)6−X
→ −4−X6−X =−32
2(-4-x)= -3(6-x)
-8-2x = -18+3x
-8+18 = 3x+2x
10=5x
x = 2
mPB= y+2
(x+6)6−X→ y+2x =−3
2
2(y+2) = -3x
2y+4 =-3(2)
2y = -10
y = -5
A (2,4); B (8,-5); P (6,-2)
Hallamos la distancia AB
d (AB) = √¿¿ = √36+81 = √117 = 3√13
3. Un punto P(x, y) equidista de los puntos A (-3, 2) y B (5, -2) y la pendiente de la recta que une dicho punto a C (-1, -2) es -1/2. Halle sus coordenadas.
Solución
X
Y
A (-3,2)
B (5,-2)C (-1,-2)
P (x,y)
mCP= y+2
(x+1)
−12 =
y+2x+1
2(y+2) = -1(x+1)2y+4 = -x-1
2y= -5-x
d (AP) = √¿¿ d (AP)2= x2+6 x+9+ y2−4 y+4d (AP)2= x2+ y2+6x−4 y+13-----------------------(I)
d (BP) = √¿¿ d (AP)2= x2−10 x+25+ y2+4 y+4d (AP)2= x2+ y2−10 x+4 y+29-----------------------(II)
Igualamos (I) y (II)
x2+ y2+6x−4 y+13 = x2+ y2−10 x+4 y+29 16x -8y = 16 4x – 2y =4 4x – 5-x=4
3x=9 x = 3
4. En los ejercicios siguientes determinar los valores de k para los cuales los puntos dados son colineales.
a) A (k, 3), B (-4, -5 - k), C (2k + 1, 8)
Solución
A (K,3) B (-4,-5-K) C (2K+1,8)
Los puntos A, B y C son colineales si M AB = M BC =M AC
Verificamos: M AB=−5−K−3−4−K =
−8−K−4−K =
8+K4+K
MBC= 8−(−5−K )2K+1−(−4) =
8+5+K2K+1+4 =
13+45+2K
M AC= 8−3
2K+1−K = 5K+1
Luego:
Como: M AB = M AC
8+K4+K =
5K+1
(k+8 ) (k+1 )= 5 (k+4)
k 2+9k+8 = 5k+20
k 2+4k-12 = 0
K 6
K -2
(k+6) (K-2) = 0
K= -6 k = 2
b) A (-1, k - 6) , B (2k - 1, 3 ) , C (-9, 4 - k).
Solución
A (-1,K-6) B (2K-1,3) C (-9, 4-K)
Los puntos A, B y C son colineales si M AB = M BC =M AC
Verificamos: M AB=3−(K−6)2K−1+1
= 3−K+62K =
9−K2K
MBC= 4−K−3
−9−(2K−1) =
1−K−9−2K+1 =
1−K−8−2K =
1−K8+2K
M AC= 4−K−(K−6)
−9+1 = 4−K−K+6
−8 = 10−2K
−8
Luego:
Como: M AB = M AC
9−K2K =
10−2K−8
−8 (9−K )= 2K (10-2K)
-72+8K = 20k-4K2
4 k2+12k-72 = 0
2K 12
2K -6
(2k+12) (2K-6) = 0
K= 6 k = -3
5. Demostrar, por medio de pendientes, que los puntos dados son los vértices de un
paralelogramo.
a) A(9 ,2 ) , B(11 , 6) , C(3 , 5) , D(1 , 1)
Solución
X
Y
A (9,2)
B (11,6)C (3,5)
D (1,1)
mBC= 5−6
(3−11)=18
mAD= 1−2
(1−9)=18
BC// AD
mAB= 6−211−9=2
mDC= 5−13−1=2
AB//DC
• Por lo tanto el cuadrilatero ABCD, es un paralelogramo
b) A(4 , 0) , B(7 , 5) , C(-2 , 3) , D(-5 , -2)
X
Y
A (4,0)
B (7,5)
D (-5,-3)
c (-2,3)
mAD= −2−0
(−5−4 )=29
mBC= −2−0
(−5−4 )=29
AD// BC
mAB= 5−07−4=
53
mDC= 3+2
−2+5=53
AB// DC
c) A(-1 , -5) , B(2 , 1) , C(1 ,5 ) , D(-2.-1)
X
Y
A (-1,-5)
B (2,1)
D (-2,-1)
C (1,5)
mAB= 1+52+1=2
mDC= 5+11+2=2
AB// DC
mAD= −1+5−2+1=4
mBC= 5−11−2=4
AD// BC
6. Hallar los valores de k de modo que los puntos dados sean vértices de un triángulo rectángulo, recto en B.
a) A (-1, k - 4), B (2k, -1), C (-2, 2k + 3)
Solución
X
Y
A (-1,k-4)
B (2k,-1)
C (-2,2k+3)
Como BA// BC→ mAD . mBC = -1
( K−4+1−1−2K ) .(2K+3+1
−2−2K ) = -1
( K−32K+1 ).( 2K+4
2K+2 ) = -1
( K−32K+1 ).( K+2
K+1 ) = -1
(k-3)(k+2) = - (2k+1)(k-1)
k 2-k-6 = -(2k2+2k+k+1)
k 2-k-6 = -2k2-2k-1
3k2+2k-5 = 0
3k 5
K -1
(3k+5)(k-1) = 0
3k+5= 0 ṿ k-1=0
K= −53 ṿ k = 1
7. Por medio de pendientes, demostrar que el cuadrilátero de vértices A(1 , -4), B(8 , -2), C(-4 , 16) y D(-3 , 2) es un trapecio.
Solución
X
Y
A (1,-4)
B (8,-2)
C (-4,16)
D (-3,2)
mAD = mBC
2+4
−3−1= 16+2−4−8
6
−4= 18
−12
6
−4= 6
−4
Diagonales
mBD ≠ mAC
2+2
−3−8≠ 16+4−4−1
411≠
20−5
8. Los puntos dados son los vértices de un cuadrilátero ABCD, usando pendientes mostrar si es o no un rectángulo.
a) A (-2, -1), B (5, -4), C (-1,-18) y D (-8,-15)
Solución
X
Y
A (-2,-1)
B (5,-4)
C (-1,-18)
D (-8,-15)
mAD = mBC
−15+1−8+2 =
−18+4−1−5
−14−6 =
−14−6
73=
73
mAC.mBD≠ -1
mAC= −18+1−1+2 =
−171
−171 .1113 ≠ -1 → los vértices ABCD forman un rectangulo
mBD= −15+4−8−5 =
1113
b) A (-1, 3) , B (5, 7) , C (9, 1) y D (3, -3)
Solución
X
Y
A (-1,3)
B (5,7)
C (9,1)
D (3,-3)
mAD = mBC
−3+13+2 =
1−79−5
−25 ≠
−64
mAC.mDB ≠ -1
1+19+2=
7+315−3
211.
102 ≠ -1
→ Los vértices del cuadrilátero ABCD no forman un rectángulo.
9. XXXXXXX10. XXXXXXX11. XXXXXXX
12. Un punto M (x, y) dista del punto C (2, 5), √10 unidades. la pendiente del segmento que une a M con A (7, 5) es 1/2; hallar las coordenadas de M.
Solución
A (7, 5)
C (2, 5)
M (X, Y)
mMA = 5− y7−x =
y−5x−7 →
12 =
y−5x−7
= 12(x−7) = y−5----------------------(1)
Además
d (MC) = √¿¿ = √10
¿ = 10---------------------(2)
(1) En (2)
¿ + [ 12 (x−7 )]2
= 10
¿ +12
( x−7 )2 = 10
4¿¿-4x+4) + (x2-14x + 49) = 40
4x2 – 16x + 16 – x2 -14x + 49 = 40
5x2-30x + 25 = 0
x2- 6x + 5 = 0x -5 x -1
(x-5)(x-1) = 0
X= 5 ṿ x= 1
Luego:
Si: x =1 x =5 ♦ M(1, 2) ♦ M(5, 4)
y =2 y =4 13. La pendiente de una recta que pasa por el punto A(3 , 2) es igual a 3/4. Situar dos
puntos P y Q sobre la recta que distan 5 unidades de A
Solución
X
Y
A (3,2)
P (7,5)
Q (-1,-1)
Sea P(x,y) uno de los puntos buscados
mAP= 34→ y−2x−3=34 → y- 2 =34 (x-3)------------------------(I)
d (AP) =5 → √¿¿ = 5 → elevamos al cuadrado
¿ + 916
¿ = 25
¿= 16
¿= 4
¿= 4 ó ¿= -4
x = 7 ó x = -1
Sustituyendo en (I)
y- 2 =34 (x-3)
y- 2 =34 (7-3) ó y- 2 =
34 (-1-3)
y-2 =3 y- 2 = -3
y = 2 y = -1
Entonces: P(7,5) y Q(-1,-1)
14. Sean P(x, y) un punto equidista de los puntos A (-3,2) y B (3,2). Si la pendiente de la recta que pasa por P y el origen es 3/5, halle las coordenadas de P.
Solución
X
Y
B (3,2)
A (-3,4)
P (x,y)
Y = 3K
X = 5K
Además:
d (A,P) = d (B,P)
√¿¿ = √¿¿
x2 + 6x + 9 +y2 -8y + 16 =x2- 6x + 9 +y2- 4y+4
12x – 4y + 12 =0
3x – y +3 = 0
3(5k) -3k +3 = 0
15k -.3k= -3
12k = -3
K = −14
Luego:
Y= -3/4
X= -5/4
» P(x,y) = P (-5/4, -3/4)
15. Sean A (3,1) y B (-2 ,-6) los vértices de un triángulo , sabiendo que las alturas se cortan en el punto P (4,-4) ,hallar las coordenadas del tercer vértice.
Solución
X
Y
A (3,1)
P (4,-4)
B (-2,-6)
C (x,y)
Si: BP AC M BP . MBC = -1
(−4+64+2 ).( Y−1X−3 )=-1 ¿
26 (Y−1X−3 )=-1
Y−1X−Y =-3
Y-1=-3(X-3)
Y-1=-3X+9
3X+Y=10 …………….(1)
Además:
Si AP ¿ BC M AP . MBC=-1
(−4−14−3 )(Y−6X+2 )=-1 -5( Y+6
X−3 )=-1
5 (Y +6 )=X+2
5Y+30=X+2
X-5Y=28………..(2)
Luego ∑ m.a.m (1 ) (2 )
15x+5y=50
x-5y=28
16x = 50 +28
8x = 25 +14
16. Los puntos A, B y C dados, son tres vértices de un paralelogramo. Hallar todas las posibles coordenadas del cuarto vértice.
a) A (0, 0), B (1 ,4), C (5, 1)
Solución
D= (x1 , y1)D´= (x2 , y2)D´ ´= (x3 , y3)
x1+ x2= 2(0) = 0----------(I) y1+ y2= 2(0) = 0----------(I)x2+ x3= 2(1) = 2-----------(II) y2+ y3= 2(4) = 8----------(II)x1+ x3= 2(5) = 10----------(III) y1+ y3= 2(1) = 2----------(III)
2(x1+ x2+x3) = 12 2(y1+ y2+ y3) = 10
x1+ x2+x3 = 6 ----------(IV) y1+ y2+ y3 = 5 ----------(IV)
Igualamos (IV) y (I) Igualamos (IV) y (I)
x1+ x2+x3-6 = x1+ x2−0 y1+ y2+ y3-5 = y1+ y2−0
x3= 6 y3= -5
Igualamos (IV) y (II) Igualamos (IV) y (II)
x1+ x2+x3-6 = x2+ x3−2 y1+ y2+ y3-6 = y2+ y3−8
x1= 4 y1= -3
Igualamos (IV) y (III) Igualamos (IV) y (III)
x1+ x2+x3-6 = x1+ x3−2 y1+ y2+ y3-6 = y1+ y3−8
x2= -4 y2= 3
Entonces: D(6,5); D´ (4,3);D´ ´(-4,3)
b) A (3, 12), B (8, 1), C (-2, -5)
Solución
D= (x1 , y1)D´= (x2 , y2)D´ ´= (x3 , y3)
x1+ x2= 2(3) = 6----------(I) y1+ y2= 2(12) = 24----------(I)x2+ x3= 2(8) = 16-----------(II) y2+ y3= 2(1) = 2----------(II)x1+ x3= 2(-2) = -4----------(III) y1+ y3= 2(-5) = -10----------(III)
2(x1+ x2+x3) = 18 2(y1+ y2+ y3) = 16
x1+ x2+x3 = 9 ----------(IV) y1+ y2+ y3 = 8 ----------(IV)
Igualamos (IV) y (I) Igualamos (IV) y (I)
x1+ x2+x3-9 = x1+ x2−6 y1+ y2+ y3-8 = y1+ y2−24
x3= 3 y3= -16
Igualamos (IV) y (II) Igualamos (IV) y (II)
x1+ x2+x3-9 = x2+ x3−16 y1+ y2+ y3-8 = y2+ y3−2
x1= -7 y1= 6
Igualamos (IV) y (III) Igualamos (IV) y (III)
x1+ x2+x3-9 = x1+ x3+4 y1+ y2+ y3-8 = y1+ y3+10
x2= 13 y2= 18
Entonces: D(-7,6); D´ (13,18);D´ ´(3,-16)
17.Sean A (5 , 3), B(-1 ,2) y C(1 , -1) tres vértices de un paralelogramo ABCD, hallar la distancia del cuarto vértice D al punto P(-2 , 6).
Solución
D= (x1 , y1)D´= (x2 , y2)D´ ´= (x3 , y3)
x1+ x2= 2(5) = 10----------(I) y1+ y2= 2(3) = 6----------(I)x2+ x3= 2(-1) = -2-----------(II) y2+ y3= 2(2) = 4----------(II)x1+ x3= 2(1) = 2----------(III) y1+ y3= 2(-1) = -2----------(III)
2(x1+ x2+x3) = 10 2(y1+ y2+ y3) = 8
x1+ x2+x3 = 5 ----------(IV) y1+ y2+ y3 = 4 ----------(IV)
Igualamos (IV) y (I) Igualamos (IV) y (I)
x1+ x2+x3-5 = x1+ x2−10 y1+ y2+ y3-4= y1+ y2−6
x3= -5 y3= -2
Igualamos (IV) y (II) Igualamos (IV) y (II)
x1+ x2+x3-5 = x2+ x3+2 y1+ y2+ y3-4 = y2+ y3−4
x1= 7 y1= 0
Igualamos (IV) y (III) Igualamos (IV) y (III)
x1+ x2+x3-5 = x1+ x3−2 y1+ y2+ y3-4 = y1+ y3+2
x2= 3 y2= 6
Entonces: D(7,0); D´ (3,6);D´ ´(-5,-2)
Encontramos la distancia DP
d (DP) = √¿¿ = √81+36 = 3√13 d (D´P) = √¿¿ = √25+0 = 5 d (D´´P) = √¿¿ = √9+64 = √73
18. Se tiene un triángulo de vértices A (-4,-3), B (1,4) y C (7,10). Por el punto E cuya ordenada es 8 y está sobre BC, se traza se traza una paralela al lado AB. Hallar las coordenadas del punto en que dicha paralela corta AC.
Solución
X
Y
A (-4,-3)
B (1,4)
C (7,10)
D (3,-3)
E (X,8)
P (X,Y)
mAB = mPE
4+31+4 = 8− y5−X
75 =
8− y5−X
37 – 7x = 40 – 5y 5y – 7x – 5 = 0
y = 7 x+55
y = 103
(7)+5
5
y = 173
19. Dados el triángulo de vértices A(1,2), B(5,3), C(4,4); calcular la coordenadas del pie de la perpendicular trazada desde el vértice B a la mediana trazada desde el punto C.
Solución
X
Y
A (1,2)B (5,3)
C (4,4)P (x,y)
MMP = MNC Bp nc
y−12
x−2 =
4−0.54−2 MMC = -
1M BP
2 y−12(x−2) =
74
4−12
4−2 = -
Y−3X−5
8y – 4 = 14x – 28 74 =
(Y−3 )X−5
8y-14x = -24 7x -35 = -4y + 12
4x – 7x= -12 ……….(1) 7x +4y = 47…………..(2)
(1) y (2) en (1)
8y = 35 4( 358 )- 7x = - 12
y = 358
352 – 12 = 7x
112 = 7x
X = 1114
20. Los puntos A (-2,5), B (1,-1), C (7,1) y D son vértices de un paralelogramo ABCD,
siendo B y D vértices opuestos, sean M€ AB tal que AM = 13AB y N punto medio
de BC. Hallar la intersección de los segmentos MC y DN .
Solución
X
Y
A (-2,5)
C (7,1)
A (1,-1)N (3,0)
P (x,y)M (-1,2)
M = Y 1−YX1−X
M = (−2−13 , 1+52 ) N = ( 7−12 , 1+1
2 ) M = (-1 +2) N = (3,1)
d AB = d AC d AD= d BC
MMC= MPC MDN = M PD