SOLVED EXERCISES

CLOSED METHODS

BISECTIONFALSE POCISION

Aproximar una raíz real positiva para la siguiente función con un ep< 0.01%

4016122)( 234 −+−−= xxxxxf

Bisection method

1. si es necesario, hacemos la grafica para encontrar el intervalo a trabajar

2. Calculamos Xm: Xm: (xa+xb)/2

3. Con estos datos completamos la tabla:

Iteración a b f(a) f(b) f(a)*f(xr) Xr f(Xr) ep

SOLUCION

1. observamos q la raiz se encuentra entre el

intervalo (n) 4-5 pues el signo cambia

2. Calculamos Xm:

Xm: (xa+xb)/2

Xm: (4.2 + 4.4)/2 = 4.3

n f(x)

0 -40

1 -37

2 -56

3 -73

4 -40

5 115

6 488

7 1199

3. Con estos datos completamos la tabla:

Iteración a b f(a) f(b) f(a)*f(xr) Xr f(Xr) ep

1,000000 4,200000 4,400000 -21,486400 2,521600 219,459941 4,300000 -10,213900

2,000000 4,300000 4,400000 -10,213900 2,521600 104,323753 4,350000 -4,034744 1,149425

3,000000 4,350000 4,400000 -4,034744 2,521600 16,279157 4,375000 -0,804443 0,571429

4,000000 4,375000 4,400000 -0,804443 2,521600 0,647129 4,387500 0,846520 0,284900

5,000000 4,375000 4,387500 -0,804443 0,846520 -0,680977 4,381250 0,018035 0,142653

6,000000 4,375000 4,381250 -0,804443 0,018035 -0,014508 4,378125 -0,393954 0,071378

7,000000 4,378125 4,381250 -0,393954 0,018035 0,155200 4,379688 -0,188147 0,035676

8,000000 4,379688 4,381250 -0,188147 0,018035 0,035399 4,380469 -0,085103 0,017835

9,000000 4,380469 4,381250 -0,085103 0,018035 0,007243 4,380859 -0,033546 0,008917

Encontramos que en la interacción 9 el ep es menor que el 1 % por consiguiente la raíz de este problema es 4.38049

4. la solución del problema es :

% ERROR 0,010000

a 4,200000

b 4,400000

raíz 4,380859

Aplicando el método de la regla falsa, determine la raíz real mayor del polinomio:

Realizar el proceso iterativo hasta obtener un ep<0.015%

False position

36.9963.212965.167038.3)( 23 +−+−= xxxxf

1. Graficamos la funcion para calcular el intervalos Xa - Xb

x f(x)-3 321,9201

-2,9 300,43824-2,8 279,92678-2,7 260,36348-2,6 241,72613-2,5 223,9925-2,4 207,14037-2,3 191,14752

-1 51,3233-0,9 45,026935-0,8 39,256506-0,7 33,989788-0,6 29,204561-0,5 24,8786-0,4 20,989683-0,3 17,515588-0,2 14,43409-0,1 11,722969

1,9 1,05630082 0,9896

2,1 0,80437322,2 0,47839762,3 -0,01054962,4 -0,68469122,5 -1,566252,6 -2,67744882,7 -4,04051042,8 -5,67765762,9 -7,6111132

3 -9,8631

Haciendo algunos cálculos encontramos que la raíz se encuentra en el intervalo 2,1 – 2,2

= 2,2357235

f(a)= -3.7038(2.1)^3 + 16.2965(2.1)^2- 21.963(2.1) + 9.36 = 0,8043732

f(b)= -3.7038(2.5)^3 + 16.2965(2.5)^2- 21.963(2.5) + 9.36 = -1,56625

Procedemos a calcular el valor de fa y fb

2. Calculamos Xm:

3. Completamos la tabla:

iteración a b f(a) f(b) Xm f(Xm) error

1 2,1 2,5 0,8043732 -1,56625 2,2357235 0,3235934

2 2,2357235 2,5 0,3235934 -1,56625 2,2809749 0,0960588 1,983864

3 2,2809749 2,5 0,0960588 -1,56625 2,2936316 0,025875 0,5518178

4 2,2936316 2,5 0,025875 -1,56625 2,2969855 0,0067855 0,1460116

5 2,2969855 2,5 0,0067855 -1,56625 2,2978612 0,0017669 0,0381107

6 2,2978612 2,5 0,0017669 -1,56625 2,298089 0,0004592 0,0099116

7 2,298089 2,5 0,0004592 -1,56625 2,2981482 0,0001193 0,0025753

8 2,2981482 2,5 0,0001193 -1,56625 2,2981635 3,099E-05 0,000669

9 2,2981635 2,5 3,099E-05 -1,56625 2,2981675 8,05E-06 0,0001738

% ERROR 0,0001738

a 2,2981635

b 2,5

raíz 2,2981675

4. la solución del problema es :

OPEN METHODS

SECANTPUNTO FIJONEWTON RAPHSON

Secant1.El problema nos debe proporcionar dos valores iniciales , (Xi, Xi-1), para calcular Xi+1

2. Calcular Xi+1

3. Completar la tabla

Aproxime una de las raíces reales de la siguiente ecuación por medio del método de la secante. Repita el proceso iterativo hasta obtener un ep<0.01%

Xi -0,800000

Xi-1 -1,800000

1. Calculamos f(xi-1) , teniendo en cuenta los valores suministrados, (Xi, Xi-1):

f(Xi-1)= e^(-1,8)*sen(-1,8)-1/2(-1,8) = 0,739024

f(Xi)= e^(-0,8)*sen(-0,8)-1/2(-0,8) = 0,077671

2. Calculamos la derivada de la función xi, f'(xi)

f'(xi) = f(xi) – f(xi-1) /( xi - xi-1) = -0,661353

3. Calculamos xi+1 =

xi+1 = xi – (f(xi)/ f'(xi) ) = -0,682557

4. Completamos la tabla:

iteración xi-1 xi f(xi-1) f(xi) f'(xi) xi+1 ep

1,000000 -1,800000 -0,800000 0,739024 0,077671 -0,661353 -0,682557

2,000000 -0,800000 -0,682557 0,077671 0,022531 -0,469505 -0,634568 7,562517

3,000000 -0,682557 -0,634568 0,022531 0,002987 -0,407267 -0,627234 1,169198

4,000000 -0,634568 -0,627234 0,002987 0,000169 -0,384196 -0,626794 0,070258

5,000000 -0,627234 -0,626794 0,000169 0,000001 -0,380848 -0,626790 0,000618

6,000000 -0,626794 -0,626790 0,000001 0,000000 -0,380656 -0,626790 0,000000

c

c 5. la solución del problema es :

% ERROR: 0,010000

Xi -0,800000

Xi-1 -1,800000

Raiz -0,626790

fixed point method

1.El problema nos debe proporcionar un valor inicial , (Xi), para calcular g(x)

2. Calcular g(x)

3. Completar la tabla

Obtener una raíz real de la siguiente función por el método de punto fijo Realizar el proceso iterativo hasta que se cumpla un ep<0.001%

23)( xexf x −=

1. Graficamos la función =

x f(x)-4 -47,9816844-3 -26,9502129-2 -11,8646647-1 -2,632120560 11 -0,281718172 -4,61094393 -6,914463084 6,598150035 73,4131591

2. Procedemos a despejar la ecuación =

g(x) = x luego 23)( xexf x −=

g(x1) = √ e^x /3 g(x2) = Ln(3x^2)o

3. Completamos la tabla =x g1(x) error

3 3,29583687 3,29583687 3,48393252 5,398946573,48393252 3,59493567 3,087764533,59493567 3,65766448 1,714996343,65766448 3,69226194 0,937026013,69226194 3,71109081 0,507367653,71109081 3,72126399 0,273379763,72126399 3,72673908 0,146913493,72673908 3,72967951 0,078838693,72967951 3,7312569 0,042275183,7312569 3,73210258 0,02265968

3,73210258 3,73255583 0,012143023,73255583 3,7327987 0,006506513,7327987 3,73292884 0,00348612

3,73292884 3,73299856 0,001867773,73299856 3,73303592 0,001000683,73303592 3,73305593 0,00053612

x g2(x) error-1 0,35018064

0,35018064 0,68782845 49,08895640,68782845 0,8143281 15,53423680,8143281 0,86749798 6,12910712

0,86749798 0,89086965 2,623467160,89086965 0,90134128 1,161782220,90134128 0,90607291 0,522212840,90607291 0,90821904 0,236301820,90821904 0,90919415 0,107249350,90919415 0,90963754 0,04874336

0,90963754 0,90983922 0,022166940,90983922 0,90993097 0,010083670,90993097 0,90997272 0,004587610,90997272 0,90999172 0,002087280,90999172 0,91000036 0,0009497

Observamos que tanto g1(x) como g2(x) convergen

Newton Raphson method

1. Este método nos proporciona un valor inicial para calcular xi+1

2. Calcular xi+1

3. Completar la tabla

Obtener la raíz real negativa de la ecuación

por el método de Newton Raphson.Aproxime hasta que ep< 0.02%

0 2

x-sen x ef(x) x ==

1. Graficamos la función =x f(x)

-2,000000 0,876940-1,900000 0,808463-1,800000 0,739024-1,700000 0,668839-1,600000 0,598190-1,500000 0,527429-1,400000 0,456991-1,300000 0,387400-1,200000 0,319275-1,100000 0,253343-1,000000 0,190440-0,900000 0,131523-0,800000 0,077671-0,700000 0,030091-0,600000 -0,009882-0,500000 -0,040786-0,400000 -0,061035-0,300000 -0,068927-0,200000 -0,062657-0,100000 -0,0403330,000000 0,0000000,100000 0,0603330,200000 0,1426550,300000 0,2489110,400000 0,3809440,500000 0,540439

2. Calculamos la función

f'(X)= e^x*cosx+senox-0,5

3. Calculamos la derivada de la función

f(X)= e^x*senox-0,5

4. Completamos la tabla

3. Calculamos xi+1

Xi+1 = xi- (f(xi) / f’(xi))

iteración xi f(xi) f´(xi) xi+1 error

1,000000 -0,800000 0,077671 -0,509278 -0,647488

2,000000 -0,647488 0,008062 -0,398250 -0,627245 3,227340

3,000000 -0,627245 0,000173 -0,381048 -0,626790 0,072475

4,000000 -0,626790 0,000000 -0,380655 -0,626790 0,000037

5,000000 -0,626790 0,000000 -0,380654 -0,626790 0,000000

Error 0,020000

Xi -1,000000

Raiz -0,626790

5. la solución del problema es :

Bibliography

Ejercicios resueltos, datos tabularios y gráficos Mancilla.Robin