ejercicios algebra-lineal
TRANSCRIPT
ALGEBRA LINEAL TAREA 1 HECTOR PALOMARES
1.- encuentre las condiciones para a y b de forma que el sistema tenga una única solución
1 2
1 2
ax bx c
ax bx c
1 2
1 2
1
1
si solo si
ax bx c
ax bx c
ax c
cx a o
a
2.- encuentre las condiciones para a, b y c de forma que el sistema tenga un número de infinitas soluciones
1 2
1 2
ax bx c
bx ax c
1 2
1 2
ax bx c b
bx ax c a
2
1 2
2
1 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2 2
si solo si 0
abx b x c
abx a x c
b x a x c
b a x c
cx b a
b a
3.- encuentre las condiciones para a, b y c de forma que el sistema tenga un número de infinitas soluciones
1 2
1 2
ax bx c
bx ax c
1 2
1 2
ax bx c b
bx ax d a
2
1 2
2
1 2
2 2
2 2
abx b x bc
abx a x ad
a x b x ad bc
2 2
2
2 2 2
2 2
si solo si 0
x a b ad bc
ad bcx
a b
a b
ALGEBRA LINEAL TAREA 1 HECTOR PALOMARES
4.- un zoológico tiene aves (bípedos) y bestias (cuadrúpedos). Si el zoológico tiene 60 cabezas y 200 patas. ¿Cuántas
aves y cuantas bestias viven allí?
2 4 200
60
2 4 200
60( 2)
x y
x y
x y
x y
2 4 200
2 2 120
2 80
40
x y
x y
y
y bestias
2 4 200
2 4(40) 200
2 200 160
2 40
20
sustituir
x y
x
x
x
x aves
5.- una heladería vende solo helado con soda y leches malteadas. En el primero se usa una onza de jarabe y cuatro
onzas de helado. En la segunda, se utiliza una onza de jarabe y 3 onzas de helado. Si el expendio usa 4 galones de
helado y 5/4 de jarabe en un día. ¿Cuántos helados con soda y malteadas vende diariamente?
Equivalencias: 1 cuarto = 32 onzas; 1 galón = 128 onzas
3 4 512
160
x jarabe
y helado
y y
x x
3 4 512
160 3
x y
x y
3 4 512
3 3 480
y 32
x y
x y
3 3 512
3 3(32) 512
3 96 512
sustituir
x y
x
x
3 512 96
3 416
416138
3
x
x
x
32 helados y 138 leches malteadas
6.- en un laboratorio se cuenta con 10ml una solución con una concentración de ácido al 30% ¿Cuántos mililitros de
ácido puro deben ser adicionados para incrementar la concentración al 50%
8 sea
1
3
2
a
,
2
4
1
b
y
0
1
4
c
encuentre un vector v tal que 2 3 4a b v c
En los problemas 9 – 12 efectué las operaciones indicadas con
1 1 2
3 4 5
0 1 1
A
0 2 1
3 0 5
7 6 0
B
Y
0 0 2
3 1 0
0 2 4
C
9.- 2A B 10.- A B C 11.- C A B
1 1 2 0 2 1 1 5 0
2 3 4 5 2 3 0 5 3 4 5
0 1 1 7 6 0 14 13 1
A B
ALGEBRA LINEAL TAREA 1 HECTOR PALOMARES
1 1 2 0 2 1 0 0 2 1 1 5
3 4 5 3 0 5 3 1 0 9 5 10
0 1 1 7 6 0 0 2 4 7 7 3
A B C
0 0 2 1 1 2 0 2 1 1 1 1
3 1 0 3 4 5 3 0 5 3 3 10
0 2 4 0 1 1 7 6 0 7 3 5
C A B
12.- Halle una matriz D de manera que A B C D sea la matriz cero de 3 3
1 1 2 0 2 1 0 0 2 1 1 5
3 4 5 3 0 5 3 1 0 9 5 10
0 1 1 7 6 0 0 2 4 7 7 3
A B C
1 1 5
9 5 10
7 7 3
1 1 2 0 2 1 0 0 2 1 1 5 0 0 0
3 4 5 3 0 5 3 1 0 9 5 10 0 0 0
0 1 1 7 6 0 0 2 4 7 7 3 0 0 0
D
A B C D
En los ejercicios del 13 – 23 efectúe las operaciones indicadas
13.- 2 3 4 1 8 20
1 2 0 6 4 11
14.-
3 2 5 6 17 12
1 4 1 3 1 18
15.- 1 1 1 0 3 3
1 1 2 3 1 3
16.-
3 1 14 5 1 13 35 18
5 6 40 4 2 20 4 2
0 1 2
17.-
1 67 1 4 1 58
0 42 3 5 8 15
2 3
18.-
19 17 341 67 1 4
8 12 200 42 3 5
8 11 72 3
19.-
2 3 5 1 4 6 13 1 17
1 0 6 2 3 5 7 4 30
2 3 1 1 0 4 3 17 31
20.-
1 4 6 2 3 5 18 12 35
2 3 5 1 0 6 9 21 13
1 0 4 2 3 1 10 9 9
ALGEBRA LINEAL TAREA 1 HECTOR PALOMARES
21.-
1 4 6 1 0 0 1 4 6
2 3 5 0 1 0 2 3 5
1 0 4 0 0 1 1 0 4
22.-
1 0 0 2 3 5 2 3 5
0 1 0 1 0 6 1 0 6
0 0 1 2 3 1 2 3 1
23.-
3 6
2 41 4 0 2 7 16
1 0
2 3
Sea A una matriz cuadrada entonces 2A se define como AA
24.- Calcule 2A para A =
1 4 6
2 3 5
1 0 4
1 4 6 1 4 6 1 16 50
2 3 5 2 3 5 3 1 23
1 0 4 1 0 4 5 4 22
A A
25.- Determine 3A para 1 2
3 4A
2
1 2 1 2 7 6
3 4 3 4 9 22
7 6
9 22
A A
A
2
3
7 6 1 2 11 3
9 22 3 4 57 106
11 3
57 106
A A
A
26.- Evalué 2 3 4 5, ,A A A A en donde
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
A
ALGEBRA LINEAL TAREA 1 HECTOR PALOMARES
2
2
0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
A
A
3
3
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
A
A
4
4
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
A
A
5
5
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
A
A
ALGEBRA LINEAL TAREA 2 HECTOR PALOMARES
1.- El precio de admisión a un partido de baloncesto fue de 300 pesos para estudiantes y 450 pesos para el público en general. Si se vendieron 450 boletos para un total de 155; 550 pesos, ¿cuántos de cada tipo se vendieron?
300 450 155,550
450
(2)
450
x y
x y
Ec
x y
sustitur en ec(1)
300 450 450 155,550
135,000 300 450 155,550
150 20550
20550
150
137 boletos "publico en general
y y
y y
y
y
y
sustituir en ec(2)
450
137 450
450 137
313 boletos
"estudiantes"
x y
x
x
x
2. Cunado una pelota rueda hacia abajo por un plano inclinado, su velocidad
( )v t (en cm seg ) en el tiempo t (en segundos) está dada por, 0 ( )v t v at
Para una velocidad inicial 0v y aceleración a (en 2cm seg ). Si 2 16v y
5 25v , encuentre 0v y a .
0 0
0 0
(2)
(5)
2 16
5 25
v v at v a
v v at v a
0
(2)
25 5
sustituimos en (1)
25 5 2 16
3 9
3
ec
v a
ec
a a
a
a
0
0
0
sustituimos en (2)
5(3) 25
25 15
10
ec
v
v
v
En los ejercicios 3 - 12, calcule el DETERMINANTE y encuentre todas las Soluciones de cada sistema de ecuaciones.
3.-
311
2
72
xy
yx
determinan
4
e
3
t
xyxy
(2)
72
(1)
3 72
112
ec
yx
ec
y
y
42 311
4
42 3 411
4
44 42
2
yy
y y
y
y
(2)
27
2
6
ec
x
x
2
6
soluciones
y
x
ALGEBRA LINEAL TAREA 2 HECTOR PALOMARES
4.- 5.-
1 2
1 2
1 22
2 3
3 4 12
x x
x x
1 2 1 2
determinante
2 2x x x x
315
4
159
2
yx
xy
determinant
4
e
5
8
xyxy
21
2 2
2 2
(2)
12 4
3
(1)
12 4 22
6 3
36 12 122
18
2 2
ec
xx
ec
x x
x x
Tiene una única solución
(2)
315 15
49
2
45225
4 93
900 45 129
12
900 45 12 108
33 792
24
ec
y
y
y
y
y y
y y
y
y
(1)
3 2415
4
7215
4
15 18
3
24
3
ec
x
x
x
x
soluciones
y
x
6.- 7.-
1 2
1 2
3 21
2 3
9 4 6
x x
x x
1 2 1 2
determinante
6 6x x x x
3 12
5 4
52 0
2
x y
x y
determinante
3 1
2 2xy xy
21
22
22
2 2
(2)
6 4
9
(1)
6 43 21
2 9 3
18 12 21
18 3
18 12 121
18
1 1
ec
xx
ec
xx
xx
x x
(2)
5
4
(1)
3 5 12
5 4 4
15 52
20
10 40
4
ec
x y
ec
y y
y y
y
y
5
2 4
4
2
0
5
0
2
4
5
soluciones
y
x
x
x
x
ALGEBRA LINEAL TAREA 2 HECTOR PALOMARES
8.-
1 2 1
1
1
2
2
2
4 3
5 2
3 5 7
determina
3
nt
4
x x
x x
e
x x x x
9.-
12
11
1 1
1
2
2
2
(2)
7 3
5
(1)
7 34 3
5 5 2
154 7 3
2
1
2
(2)
35 7
2
35 7
2
11
5
ec
xx
ec
xx
x x
x
ec
x
x
x
3 40
3 4
4 23
2 5
determ
2 3 6 4 4
inante
(1)
3 4
3 4
3 123
4
16
15
3 12 12
4
3
4
8
xy x y xy x y
x y
x y
ec
x y
yx
yx
yx
(2)
34
24 32 5
3 16 23
8 5
15 80 8 163
40
23 184
8
ec
yy
y y
y y
y
y
c
(1)
3 (8) 40
3 4
31
3
3 3
0
ec
x
x
x
x
10.- 11.-
1 2
1 2
4 3
5 2
8 10 15
x x
x x
1 2 1 2
determinante
8 8x x x x
6 12
23
3
x y x y
xy
06 12
23 0
3
x y x y
xy
ALGEBRA LINEAL TAREA 2 HECTOR PALOMARES
12
1 1
1 1
(2)
15 8
10
(1)
4 15 8 3
5 10 2
8 15 8 15
15 15
ec
xx
ec
x x
x x
tiene una única solución
2 2
determinante
(2)
3 9
2
(1)
3 9 3 9
2 2 06
3 3 2 2
6
2
36
1
ec
yx
ec
y yy y
y xy x y x xy
Continúa el ejercicio 11.-
3 9 2 3 9 20
6 12
6 18 4 3 9 20
12
6 18 4 3 9 2 0
9 9
1
y y y y
y y y y
y y y y
y
y
(2)
21 3
3
3
1
3
ec
x
x
soluciones
y
x
1 2
2
1
22
2 3
3 4 11
x x
x x
1 2 1 2
determinante
2 2x x x x
21
(2)
11 4
3
ec
xx
2 2
2 2
(1)
11 4 22
6 3
11 4 4 12
11 12
ec
x x
x x
no existe ninguna solución
En los ejercicios 13 - 21, determine si la matriz dada esta en forma escalonada (pero no en forma escalonada
reducida), en forma escalonada reducida o en ninguna de las dos.
ALGEBRA LINEAL TAREA 2 HECTOR PALOMARES
En los ejercicios 22 - 33 lleve el sistema a la forma Ax = b, luego use la eliminación Gaussiana o la eliminación de
Gauss-Jordan para encontrar todas las soluciones, si existen, de los sistemas dados.
22
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 11
4 4
2 3 10
x x x
x x x
x x x
1 2 3 11
4 1 1 4
2 1 3 10
3 12
1 2 3 11
4 1 1 4
0 3 3 12
R R
2 1 24
1 2 3 11
0 9 13 40
0 3 3 12
R R R
3 2 33
1 2 3 11
0 9 13 40
0 0 4 4
R R R
3
1 3 1
/ 4
3
1 2 0 8
0 9 13 40
0 0 1 1
R
R R R
2 3 213
1 2 0 8
0 9 0 27
0 0 1 1
R R R
1 2 19 2
9 0 0 72
0 9 0 27
0 0 1 1
R R R
1
2
3
/ 9 1 0 0 8
/ 9 0 1 0 3
( 1) 0 0 1 1
R
R
R
1 2 38, 3, 1
solucion
x x x
23
1 2 3
1 3
1 2 3
2 6 18
5 8 16
3 2 10 3
x x x
x x
x x x
2 1 6 18
5 0 8 16
3 2 10 3
3 1 32 3
2 1 6 18
5 0 8 16
0 7 2 48
R R R
2 1 22 5
2 1 6 18
0 5 46 58
0 7 2 48
R R R
3 2 35 7
2 1 6 18
0 5 46 58
0 0 322 166
R R R
1 3 13
6 3 0 53
0 5 46 58
0 0 2 1
R R R
2 3 223
6 3 0 53
0 5 0 35
0 0 2 1
R R R
1 2 15 3
30 0 0 60
0 5 0 35
0 0 2 1
R R R
1 1
2 2
3
/ 30 1 0 0 2
/ 5 0 1 0 7
/ 2 0 0 1 1/ 2
R R
R R
R
1
2
3
2
7
1
2
solucion
x
x
x
ALGEBRA LINEAL TAREA 2 HECTOR PALOMARES
24
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 6 6 9
2 5 4 6
16 14 3
x x x
x x x
x x x
3 6 6 9
2 5 4 6
1 16 14 3
3 1 33
3 6 6 9
2 5 4 6
0 54 48 0
R R R
2 1 23 2
3 6 6 9
0 27 24 0
0 54 48 0
R R R
3
2
3 2 3
/ 6
/ 3
3 6 6 9
0 9 8 0
0 0 1 0
R
R
R R R
1 3 16
18 36 0 54
0 9 8 0
0 0 1 0
R R R
2 3 28
18 36 0 54
0 9 0 0
0 0 1 0
R R R
1
1 2 1
/ 6
9 6
27 0 0 81
0 9 0 0
0 0 1 0
R
R R R
25
1 2 3
1 2 3
1 2 3
7
4 5 4
2 2 3 0
x x x
x x x
x x x
1 1 1 7
4 1 5 4
2 2 3 0
3 1 32
1 1 1 7
4 1 5 4
0 0 1 14
R R R
2 1 24
1 1 1 7
0 5 9 24
0 0 1 14
R R R
1 3 19
9 9 0 77
0 5 9 24
0 0 1 14
R R R
2 3 29
9 9 0 77
0 5 0 150
0 0 1 14
R R R
1 2 15 9
45 0 0 259
0 5 0 150
0 0 1 14
R R R
1 1
2 2
3
/ 45
/ 5( 1)
( 1)
259
1 0 0 45
0 1 0 30
0 0 1 14
R R
R R
R
1 2 3
259,30 ,14
45
solucion
x x x
26.-
1 2 3
1 2 3
1 2 3
7
4 5 4
6 3 20
x x x
x x x
x x x
1 1 1 7
4 1 5 4
6 1 3 20
3 1 36
1 1 1 7
4 1 5 4
0 5 9 22
R R R
2 1 24
1 1 1 7
0 5 9 24
0 5 9 22
R R R
ALGEBRA LINEAL TAREA 2 HECTOR PALOMARES
3 2 3
1 1 1 7
0 5 9 24
0 0 0 2
R R R
1 2 19
1 1 0 39
0 5 9 24
0 0 0 2
R R R
No tiene soluciones
27.-
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0
4 5 0
6 3 0
x x x
x x x
x x x
1 1 1 0
4 1 5 0
6 1 3 0
3 1 36
1 1 1 0
4 1 5 0
0 5 9 0
R R R
2 1 24
1 1 1 0
0 5 9 0
0 5 9 0
R R R
3 2 3
1 1 1 0
0 5 9 0
0 0 0 0
R R R
2 21/ 5
1 1 10
90 1 0
50
0 0 0
R R
1 2 1
141 0
5 09
0 1 05
00 0 0
R R R
1 3 2 3 3
14 9, ,
5 5
solucion
x x x x x
tiene un número infinito de soluciones
28.- 1 2 3
1 2 3
2 4
3 4 2 7
x x x
x x x
1 2 1 4
3 4 2 7
2 1 23
1 2 1 4
0 10 5 19
R R R
2 1 12
41 0 0
1910 1
102
R R R
1 2 3 3
19 14 , ,
10 2
Solucion
x x x x
29.- 1 2 3
1 2 3
2 4 4
2 4 8 9
x x x
x x x
1 2 4 4
2 4 8 9
1 2 22
1 2 4 4
0 0 0 1
R R R
NO tiene soluciones
32.-
1 2
1 2
1 2
4
2 3 7
3 2 8
x x
x x
x x
1 1 4
2 3 7
3 2 8
3 1 33
1 1 4
2 3 7
0 119
R R R
2 1 22
1 1 4
0 5 1
0 1 19
R R R
2 2
1 3 1
1
5
41 0
10 1
50 1
19
R R
R R R
1 24 ,1/ 5
Solucion
x x
1 2
1 2
1 2
4
2 3 7
3 2 11
x x
x x
x x
1 1 4
2 3 7
3 2 11
2 2/ 3
1 41
2 7 1
3 32
3 11
R R
1 2 1
1/ 3 0 5 / 3
2 / 3 1 7 / 3
3 2 11
R R R
2 1 / 1/ 2
1/ 3 0 5 / 3
0 1 17 / 3
3 2 11
R R
ALGEBRA LINEAL TAREA 2 HECTOR PALOMARES
1 / 1/ 3
1 0 5
0 1 17 / 3
3 2 11
R
3 1 33
1 0 5
0 1 17 / 3
0 2 4
R R R
1 2, 3
175 , 2
3
solucion
x x x
31
1 2 3 4
1 3 4
2 3 4
1 3 4
2 2
3 2 2 8
4 1
5 3
x x x x
x x x
x x x
x x x
1 2 1 1 2
3 0 2 2 8
0 4 1 1 1
1 0 3 1 3
4 1 4
1 2 1 1 2
3 0 2 2 8
0 4 1 1 1
0 2 2 2 5
R R R
2 1 23
1 2 1 1 2
0 6 1 5 14
0 4 1 1 1
0 2 2 2 5
R R R
4 2 43
1 2 1 1 2
0 6 1 5 14
0 4 1 1 1
0 0 7 1 1
R R R
3 2 36 4
1 2 1 1 2
0 6 1 5 14
0 0 2 14 62
0 0 7 1 1
R R R
1 4 148
48 96 48 0 122
0 6 1 5 14
0 0 1 7 31
0 0 0 48 218
R R R
2 4 124 5
1 2 1 0 48
0 6 1 0 118
0 0 1 7 31
0 0 0 24 109
R R R
3 4 324 7
1 2 1 0 48
0 6 1 0 118
0 0 1 0 1507
0 0 0 24 109
R R R
1 3 1
1 2 0 0 48
0 6 1 0 118
0 0 1 0 1507
0 0 0 24 109
R R R
2 3 2
1 2 0 0 48
0 6 0 0 118
0 0 1 0 1507
0 0 0 24 109
R R R
3 3
4 3 4
/ 2
7
1 2 1 1 2
0 6 1 5 14
0 0 1 7 31
0 0 0 48 218
R R
R R R
ALGEBRA LINEAL TAREA 2 HECTOR PALOMARES
1 2 13
3 0 0 0 26
0 6 0 0 118
0 0 1 0 1507
0 0 0 24 109
R R R
1 1
2 2 2
4
/ 3
/ 6, / 2
/ 24
1 0 0 0 26 / 3
0 1 0 0 59 / 3
0 0 1 0 1507
0 0 0 1 109 / 24
R R
R R R
R
1 2 3 4
26 59 109, ,1507 ,
3 3 24x x x x
32.- Determine el polinomio de grado dos 2
0 1 2( )p x a a x a x cuya grafica pasa por los puntos
(1,4),(2,0) (3,12)y
0 1 2
0 1 2
0 1 2
(1) 4
(2) 2 4 0
(3) 3 9 12
p a a a
p a a a
p a a a
2 1 2 1 2 1
3 1 3 3 2 3
0
1 3 1
3 1
2 3 2
2
1 1 1 4 1 1 1 4 1 0 2 8
1 2 4 0 0 1 3 4 0 1 3 42
1 3 9 12 0 2 8 8 0 0 2 16
1 0 2 8 1 0 0 24 2421
0 1 3 4 0 1 0 28 28 32
0 0 1 8 0 0 1 8 8
R R R R R R
R R R R R R
aR R R
R aR R R
a
2
( ) 8 28 24p x x x
33.- Encuentre (de ser posible)
condiciones sobre a; b y c de modo que el sistema de ecuaciones lineales (a) no tenga solución (b) tenga exactamente
una solución y (c) tenga infinidad de soluciones.
2
2
3
x y z a
x y z b
y z c
1 2 1 2 1 2
2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 11 2
1 1 2 1 1 2 0 3 3 2 0 1 13 3
0 3 3 0 3 3 0 3 3 0 3 3
a ba a b a b
b ab R R R b R R b a R
c c cc
1 2 1 3 2
3 31 0 3 1 0 32 2
2 0 1 1 3 0 1 13 3
0 3 3 0 0 02
a b a b
b a b aR R R R R
c c b a
ALGEBRA LINEAL TAREA 3 HECTOR PALOMARES
En los problemas 1 – 8 encuentre todas las soluciones a los sistemas homogéneos
1.- 1 2
1 2
2 0
3 4 0
x x
x x
2 1 0
3 4 0
1
1 1/ 2 01/ 2
3 4 0R
2 1 2
1 1/ 2 03
0 5 / 2 0R R R
2
1 1/ 2 02 / 5
0 1 0R
1 2 1
1 0 01/ 2
0 1 0R R R
1 20 ,0
Solucion
x x
2.- 1 2
1 2
5 0
5 0
x x
x x
2 1 2
2 2
1 5 0 1 5 0
1 5 0 0 0 0
5 , ,
R R R
Solucion
x x x R
3.-
1 2 3
1 2 3
1 2 2
0
2 4 3 0
3 7 0
x x x
x x x
x x x
3 1 3
2
2 1 2
1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 03 1
2 4 3 0 0 6 5 0 0 1 5 / 6 02 6
3 7 1 0 0 4 2 0 0 4 2 0
R R RR
R R R
1 2 1 1 3 1
3
3 1 3 2 3 2
1 0 1/ 6 0 1 0 1/ 6 0 1 0 1/ 6 01/ 61
0 1 5 / 6 0 0 1 5 / 6 0 0 1 5 / 6 04 5 / 66
0 0 6 0 0 0 1 0 0 0 1 0
R R R R R RR
R R R R R R
4.-
1 2 3
1 2 3
1 2 2
0
2 4 3 0
5 13 10 0
x x x
x x x
x x x
3 1 3
2
2 1 2
1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 05 1
2 4 3 0 0 6 5 0 0 1 5 / 6 02 6
5 13 10 0 0 18 15 0 0 18 15 0
R R RR
R R R
1 2 1 1 3 1
3
3 1 3 2 3 2
1 2 3
1 0 1/ 6 0 1 0 1/ 6 0 1 0 1/ 6 01/ 61
0 1 5 / 6 0 0 1 5 / 6 0 0 1 5 / 6 018 5 / 612
0 0 12 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 ,0 ,0 ,
R R R R R RR
R R R R R R
Solucion
x x x x R
5.-
1 2 3
1 2 3
2 3 0
6 5 7 0
x x x
x x x
1 2 1 2 1 2
2 3 1 2 0 1 2 0 1 5R +3R R 2R 6
6 5 7 6 5 7 0 10 8R R
1
2 1 1
2
/ 22 0 0 1 0 08
/ 100 10 8 0 1 8 /10
RR R R
R
1 3 3, 8 /10 ,
Solucion
x x x
ALGEBRA LINEAL TAREA 3 HECTOR PALOMARES
6.-
1 2
1 2
1 2
4 0
7 3 0
8 6 0
x x
x x
x x
2 1 2
1 2
3 1 3
4 1 0 1 1/ 4 0 1 1/ 4 0 1 1/ 4 07
7 3 0 1/ 4 7 3 0 0 19 / 4 0 4 /19 0 1 08
8 6 0 8 6 0 0 4 0 0 4 0
R R RR R
R R R
1 2 1
3 2 3
1 3
1 0 01/ 4
0 1 04
0 0 0
0 ,0
R R R
R R R
Solucion
x x
7.-
1 2 3 4
1 2 3 4
2 7 0
2 3 8 0
x x x x
x x x x
2 1 2 2
1 2 7 11 2 7 1 1 2 7 1 1
2 22 32 3 8 1 0 7 22 3 7 0 1
7 7
R R R R
1 2 1
1 0 5 / 7 1/ 72
0 1 22 / 7 3 / 7R R R
1 3 4
2 3 4
5 1
7 7
223
7
x x x
x x x
3 4 3 4
5 1 22, 3
7 7 7x x x x
8.-
1 2
1 2
1 2
1 2
2 0
3 5 0
7 3 0
2 3 0
x x
x x
x x
x x
2 1 2
1 4 1 4
3 1 3
2 1 0 1 1/ 2 0 1 1/ 2 0 1 1/ 2 0
33 5 0 3 5 0 0 13 / 2 0 0 13 / 2 01 2
77 3 0 7 3 0 0 1/ 2 0 0 1/ 2 02
2 3 0 2 3 0 2 3 0 0 2 0
R R RR R R R
R R R
4 2 4
2 1 2 1
3 2 3
1 1/ 2 0 1 1/ 2 0 1 1/ 2 0 1 0 0
20 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 02 1
1/ 20 1/ 2 0 0 1/ 2 0 0 0 0 0 0 013 2
0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0
R R RR R R R
R R R
1
2
0
0
Solucion
x
x
9.- Explique porque las formulas 2 2B A BA B A y 2 22A B A B A AB B no son válidas para
matrices
si tenemos:
una matriz
B una matriz
A mxn
mxn
mxn
mxn
entonce
A B
A B
s
A B A B mx xnn m
No tiene las mismas dimensiones y por lo tanto las formulas no son válidas para matrices.
ALGEBRA LINEAL TAREA 3 HECTOR PALOMARES
10.- Considere el sistema
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 5 0
7 0
4 11 0
x x x
x x x
x x kx
¿Para qué valores de k tiene solución única?
2 1 2 21 2 1
3 1 3
2 3 5 0 1 4 4 0 1 4 4 0 1 4 4 0
1 7 1 0 1 7 1 0 0 11 3 0 0 1 3 /11 04 11
4 11 0 4 11 0 0 27 16 0 0 27 16 0
R R R RR R R
R R Rk k k k
1 2 1
3 2 3
1 0 32 /11 04
0 1 3 /11 027
0 0 95 /11 0
R R R
R R Rk
Para que tenga una única solución la matriz el renglón 3 columna 3 debe ser diferente de “cero”
Entonces tenemos
950
11
95
11
k
k
K debe ser diferente de 95/11. Si no tendrá infinitas soluciones el sistema
En los problemas 11 – 22 determine si la matriz dada es invertible, si lo es calcule su inversa
11.- 2 1
3 2
2 1 2 1 2 1 1
2 1 1 0 2 1 1 0 2 0 4 2 1 0 2 112 3
3 2 0 1 0 1 3 2 0 1 3 2 0 1 3 22R R R R R R R
12.- 1 6
2 12
2 1 2
1 6 1 0 1 6 1 02
2 12 0 1 0 0 2 1R R R
NO tiene inversa
13.- 0 1
1 0A
1
2 1
0 1 1 0 1 0 0 1 0 1
1 0 0 1 0 1 1 0 1 0R R A
14.- 1 1
3 3
2 1 2
1 1 1 0 1 1 1 03
3 3 0 1 0 0 3 1R R R
NO tiene inversa
15.- a a
b b
1
2 1 2
2
1/1 0 1 1 1 0 1 1 1 0
1/0 1 1 1 0 1 0 0 1 1
aRa aR R R
bRb b
No tiene inversa
ALGEBRA LINEAL TAREA 3 HECTOR PALOMARES
16.-
1 1 1
0 2 3
5 5 1
B
3 1 3 1 2 1
1 3 1
3
2 3 2
1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 2 1 0
0 2 3 0 1 0 5 0 2 3 0 1 0 2 0 2 3 0 1 0
5 5 1 0 0 1 0 0 4 5 0 1 0 0 4 5 0 1
1 0 1 2 1 0 1 0 0 3 / 4 1 1/ 41
0 2 3 0 1 0 0 2 0 15 / 4 1 3 / 434
0 0 1 5 / 4 0 1/ 4 0 0 1 5 / 4 0 1/ 4
R R R R R R
R R RR
R R R
2
1
1 0 0 3 / 4 1 1/ 41
0 1 0 2 /15 1/ 2 2 / 32
0 0 1 5 / 4 0 1/ 4
3 / 4 1 1/ 4
2 /15 1/ 2 2 / 3
5 / 4 0 1/ 4
R
B
17.-
3 2 1
0 2 2
0 0 1
C
11 3 1
1 2 1
2 3 22
1
13 2 1 1 0 0 3 2 0 1 0 1 3 0 0 1 1 1 1 0 0 1/ 3 1/ 3 1/ 33
0 2 2 0 1 0 0 2 0 0 1 2 0 2 0 0 1 2 0 1 0 0 1/ 2 12 1
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 12
1/ 3 1/ 3 1/ 3
0 1/ 2 1
0 0 1
RR R R
R R RR R R
R
C
18.-
1 1 1
0 1 1
0 0 1
D
1 2 1 2 3 2
1
1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0
0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
1 1 0
0 1 1
0 0 1
R R R R R R
D
ALGEBRA LINEAL TAREA 3 HECTOR PALOMARES
19.-
1 6 2
2 3 5
7 12 4
E
2 1 2
2
3 1 3
1 6 2 1 0 0 1 6 2 1 0 0 1 6 2 1 0 02 1
2 3 5 0 1 0 0 15 9 2 1 0 0 1 3 / 5 2 /15 1/15 07 5
7 12 4 0 0 1 0 30 10 7 0 1 0 30 10 7 0 1
R R RR
R R R
1 2 1 1 2 1
3
3 2 3 2 3 2
1 0 8 / 5 1/ 5 2 / 5 0 1 0 8 / 5 1/ 5 2 / 5 06 8 / 51
0 1 3 / 5 2 /15 1/15 0 0 1 3 / 5 2 /15 1/15 030 3 / 58
0 0 8 3 5 1 0 0 1 3 / 8 5 / 8 1/ 8
R R R R R RR
R R R R R R
1
1 0 0 2 / 5 7 / 5 1/ 5 2 / 5 7 / 5 1/ 5
0 1 0 43 /120 53 /120 3 / 40 43 /120 53 /120 3 / 40
0 0 1 3 / 8 5 / 8 1/ 8 3 / 8 5 / 8 1/ 8
E
2 1 2
1 2 3 2
3 1 3
1
2
1 1/ 3 0 1 0 0 1 1/ 3 0 1/ 3 0 0 1 1/ 3 0 1/ 3 0 01
1 1 2 0 1 0 0 4 / 3 2 1/ 3 1 0 2 0 8 / 3 0 1/ 3 1 23
1 1 1 0 0 1 0 2 / 3 1 1/ 3 0 1 0 2 / 3 1 1/ 3 0 1
1 1/ 3 0 1/ 3 0 03
0 1 0 3 / 24 3 / 8 3 / 48
0 2 / 3 1 1/ 3 0 1
R R RR R R R
R R R
RR
2 1
3 2 3
1
1 0 0 3 / 8 1/ 8 1/ 41/ 3
0 1 0 3 / 24 3 / 8 3 / 42 / 3
0 0 1 35 / 3 1/ 4 1/ 2
3 / 8 1/ 8 1/ 4
3 / 24 3 / 8 3 / 4
35 / 3 1/ 4 1/ 2
R R
R R R
F
21.-
2 1 4
1 0 5
19 7 3
G
2 3 3 2 1 2
1 2 1 1
3 2 3 2
2 1 4 1 0 0 2 1 4 1 0 0 2 1 4 1 0 0
1 0 5 0 1 0 19 1 0 5 0 1 0 2 0 1 14 1 2 0
19 7 3 0 0 1 0 7 98 0 19 1 0 7 98 0 19 1
2 0 10 0 2 0 1 0 5 0 1 01/ 2
0 1 14 1 2 0 0 1 14 1 2 07
0 0 0 7 5 1 0 0 0 7
R R R R R R
R R R R
R R R R
1
5
No tiene inversa
3 1 0
1 1 2
1 1 1
F
ALGEBRA LINEAL TAREA 3 HECTOR PALOMARES
-
1 2 3
22. 1 1 2
0 1 2
H
1 2 1
2 1 2
3 2 3
1 3 1
2
2 3 2
1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 1 0 1 1 2 02
1 1 2 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0
0 1 2 0 0 1 0 1 2 0 0 1 0 0 1 1 1 1
1 0 1 1 2 0 1 0 0 0 1 1
0 1 1 1 1 0 0 1 0 2 2 1
0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
R R RR R R
R R R
R R RR
R R R
1
0 1 1
2 2 1
1 1 1
H
Demuestre que la Matriz 3 4
2 3
Es igual a su propia inversa
1 2 2 1 2 1 1 2
3 4 3 4 1 0 1 4 / 3 1/ 3 0 1 0 3 4 1 0 3 41 42 3
2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 33 3R R R R R R R R
24.- Sea 11 12
21 22
a aA
a a
Tal que 0A Demuestre que
11 22 12 21
12
12
11 1111 12
11 111 21 1 2 2
21 22 11 22 12 21 2111
21 22
11 11
12 21 11 22 12 2122
11 11
12
1111112
2111 22 12 21
11 01
1 01 0 1
0 10 10 1
10
1
0 1
a a a a
aa
a aa aa aR a R R R
a a a a a a aaa a
a a
a a a a a aa
a a
aaa
aRa aa a a a
11 11
12 21 11 22 11 22 12 21
11121 2 1
21 12 1111
12 21 11 22 11 22 12 21
21 12 12 21 11 22 11 21 12
11 12 21 11 22 11 12 21 11 22
10
1 0
0 1
1
a
a a a a a a a a
aaR R R
a a aa
a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a
22 121
21 11
1 a aA
a aA
ALGEBRA LINEAL TAREA 4 HECTOR PALOMARES
1.- Encuentre números y tales que
2 3
5 6 2
2 4
sea simétrica
Es simétrica si la matriz es igual a la transpuesta
2 5
6 2
3 2 4
5
3
2.- Se dice que una matriz cuadrada es anti simétrica si At = A, ¿Cuáles de las siguientes matrices son simétricas y
cuales son anti simétricas?
1 2 3 2 2 2 0 1 11 0 0 1
2 4 5 2 2 2 1 0 20 1 1 0
3 5 7 2 2 2 1 2 0
Simétrica antisimetrica simétrica antisimetrica
En los problemas 3 – 12 calcule el determinante.
2 2
3.
coscos
cos
4.
1 0 3
0 1 4
2 1 0
1 0 4 0(0 8) 3(0 2)
4 6
10
5.
1 1 0
2 1 4
1 5 6
1(6 20) 1 12 4 0(10 1)
14 8
6
1sen
sensen
6.
3 1 4
6 3 5
2 1 6
3(18 5) 1(36 10 4( 6 6)
69 26 48 47
7.
1 0 6
0 2 4
1 2 3
1( 6 8) 0 6(0 2) 14 12 2
8.
2 4 1
4 6 5
0 2 1
2(6 10) 4(4 0) 1(8 0)
8 16 8 0
ALGEBRA LINEAL TAREA 4 HECTOR PALOMARES
9.
0 0 00 0
0 0 0 0 0 ( 0 0) 0 0 0 0 0
0 0 00 0
0 0 0
aa
bb c b a d c
cd
d
10.
2 0 3 11 4 2
0 1 4 2 2 0 1 5 2 1(0 15) 2(20 2) 2( 15 36) 42
0 0 1 52 3 0
1 2 3 0
0 3 1
1 1 4 2 1 15 1 14
0 1 5
42 14
28
11.
3 0 0 03 0 0
4 7 0 0 6 4 7 0 6 3( 7) 126
5 8 1 05 8 1
2 3 0 6
12.-
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 (
0
( ) ( )
a b
c d
a b
c d
d
a a b a d ad bc b c ad cb
c d
a ad bcd b cad c b
a d abcd abcd c b
A a d c b
ALGEBRA LINEAL TAREA 4 HECTOR PALOMARES
Demuestre que si A y B son matrices diagonales n n entonces AB A B
1
2
3
0 0
0 0
0 0
a
A a
a
1
2
3
0 0
0 0
0 0
b
B b
b
1 2 3A a a a 1 2 3B b b b
Y si tenemos:
1 1
2 2
2 3
1 1 2 2 3 3
0 0
0 0
0 0
a b
AB a b
a b
AB a b a b a b
AB A B
En los ejercicios del 15 al 17 calcule el determinante suponiendo que
11 12 13
21 22 23
31 32 33
8
a a a
a a a
a a a
15-.
31 32 33
21 22 23
11 12 13
8
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
2 2 2 16
a a a
a a a
a a a
17.-
11 13 12
21 23 22
31 33 32
2
2 16
2
a a a
a a a
a a a
ALGEBRA LINEAL TAREA 5 HECTOR PALOMARES
1.- Dados 1 3 2z i ,
2 4 6z i calcular:
1 2( )
3 2 5 3 2 5
a z z
i i i
2 3( )
5 3 4 6 9 9
b z z
i i i
1 2 3( )
3 2 5 3 4 6
15 9 10 6 4 6
60 36 40 24 90 54 60 36
90 122
c z z z
i i i
i i i
i i i i
i
1
2
)
3 2 5 3
5 3 5 3
15 9 10 6
25 9
21
34 34
zd
z
i i
i i
i i
i
2
3
( )
5 3 4 6
4 6 4 6
20 30 12 18
16 36
2 42
52 52
ze
z
i i
i i
i i
1 3
2
( )
3 2 4 6 12 18 8 12 24 10 5 3
5 3 5 3 5 3 5 3
220 72 50 30 250 22
25 9 34 34
z ze
z
i i i i i i
i i i i
i ii
2.- En los ejercicios 2 - 7, reducir a la forma a + bi.
2.
2 1 2 2 1 1 3i i i i i
3.
1
1 ( 1)1
1
i
i
i i ii
i i
4.
2 1 1 3 1
1 1 1
2 3 31
2 2
i i i i
i i i
ii
5.
4 3 1 2 4 8 3 6
7 7
10 5 7 70 35 5
7 7 50
14 7
5 5
i i i i
i i
i i i
i i
i
3 2 3
6.
1 1 3 3
1 1
2 2 1
1 1
2 2 2 22 0
2
i i i i
i i
i i
i i
i ii
3 3
22
7.
1 3 1 3
2 2 2 2
1 1 3 1 3 33 3
8 2 2 2 2 4
1 3 3 9 3
8 8 8 4
1 9 3 3 3
8 8 4 8
7 3 3
4 8
i i
i i
i
i
i
ALGEBRA LINEAL TAREA 5 HECTOR PALOMARES
8.- Hallar las raíces reales de la ecuación
3 21 1 2 1 1 2 0i x i x i x i
3 2
2 2
2
1 1 2 1 0
1 1 1 2 1 0
1 1 2 1 0
1 1 2 1 1 0
i x x i x
x x i i x
x i i x
x i i x x
1 1 0
1, 1
1 1 2 0
1 2
1
x x
x x
x i i
ix
i
1 2 1
1 1
1 2 2
2
3
2
i ix
i i
i ix
ix
9.- En los ejercicios 9 - 11, hallar los módulos de los números
22
9.
1 3 1 31
2 2 2 2i
2 2
10.
1 1 1 1
2 2 2 2 2
1 1 1 2
4 4 2 2
i i
11.
4 3 1 4 4 3 3
7 7
1 7 7 7 49 7
7 7 50
50
50
1 1
i i i i
i i
i i i i
i i
ii
i
Demostrar que 1 2,z z C sugerencia 1 2 1 2z z z z
1 2 1 2
2 1 2 2
2 1 1 2
)a
z z z z
z z z z
z z z z
b)
1 2 1 2
2 1 2 2
2 2 1 2
1 2 1 2
z z z z
z z z z
z z z z
z z z z
Expresar en forma polar los siguientes números complejos:
22
1
1 3
2 2
1 3
2 2
1
tan 3
60
i
r
r
2 2
1
4 3
4 3
5
3tan
4
143 13
i
z
z
2 2
1
3
3 1
2
1tan
3
30
i
r
r
22
1
1 3
2 2
1 3
2 2
1
tan 3
120
r
r
2 2
1
2
2 1
5
tan 3
153 43́
i
r
r
19.- Demostrar que para cuales quiera complejos 1z y 2z se cumple que
ALGEBRA LINEAL TAREA 5 HECTOR PALOMARES
En los problemas 20 – 27, expresar en forma polar las raíces de las ecuaciones.
4
4 490
16
16
90
16 16
x i
z
i
90 360 12
4
2 cos 67.5 67.5
0.7635,1.8477
isen
90 360 22
4
2 cos157.5 157.5
1.84,0.7653
isen
90 360 32
4
2 cos 247.5 247.5
0.7653, 1.8477
isen
4
4
1
1
2
45
x i
x i
z
4
4
45 360 12
4
2 cos101.25 101.25
0.23,1.16
isen
i
4
4
45 360 22
4
2 cos191.25 191.25
1.16, 0.23
isen
i
4
4
45 360 32
4
2 cos 258.75 258.75
0.23, 1.16
isen
i
3 2
2
45
x i
z
3
3 315
45 360 02
3
2 2 cos15 15
1.21,0.32
isen
3
3 3135
45 360 12
3
2 2 cos135 135
0.89,0.89
isen
i
3
3 3225
45 360 22
3
2 2 cos 255 255
0.32, 1.21
isen
i
3 1
2
45
x i
z
3
3 315
45 360 02
3
2 2 cos15 15
1.21,0.32
isen
3
3 3135
45 360 12
3
2 2 cos135 135
0.89,0.89
isen
i
3
3 3225
45 360 22
3
2 2 cos 255 255
0.32, 1.21
isen
i
ALGEBRA LINEAL TAREA 5 HECTOR PALOMARES
4 1 3
2 2
1
120
x i
z
120 360 0
4
cos30 30
3 1,
2 2
isen
i
120 360 1
4
cos120 120
1 3,
2 2
isen
i
120 360 2
4
cos 210 210
3 1,
2 2
isen
120 360 3
4
cos300 300
1 3
2 2
isen
i
3 1 3
2 2
1
120
x i
z
120 360 0
3
cos 40 40
0.76,0.64
isen
i
120 360 1
3
cos160 160
0.94,0.34
isen
i
120 360 2
3
cos 280 280
0.17,0.98
isen
6 4
4
180
x
z
180 360(0)4
6
4 cos30, 30
4 3, 2
2
isen
i
180 360(1)4
6
4 cos90, 90
2 2, 2 2
isen
i
180 360(2)4
6
4 cos150, 150
4 3,2
2
isen
180 360(3)4
6
4 cos 210, 210
4 3, 2
2
isen
180 360(4)4
6
4 cos 270, 270
0 4
isen
180 360(5)4
6
4 cos330, 330
4 3, 2
2
isen
6
2 26
6
1 3 1 3
1 3 1 3
1 2 3 3 1 2 3 3
8
15
x
x
x
x
15 360(0)8
6
8 cos30, 30
7.99, 0.4361
isen
15 360(1)8
6
8 cos9.58, 9.58
7.88, 1.33
isen
i
15 360(2)8
6
8 cos117.5, 117.5
3.69, 0.096
isen
15 360(3)8
6
8 cos 27.8, 27.8
7.12, 3.7310
isen
15 360(4)8
6
8 cos39.6, 39.6
6.16,5.09
isen
15 360(5)8
6
8 cos 49.58, 49.58
5.18,6.09
isen
i
ALGEBRA LINEAL TAREA 5 HECTOR PALOMARES
28.- Demostrar que (a) 1ie y (b) ie
1,
i i
i
i
e e
si ee
2 2
1 cos
cos os
cos
cos
isen
isen c isen
sen
isen
cos sen
29.- Usar la formula DEMoivre para deducir las siguientes identidades trigonométricas
3 2
3
2
2 2
3 2 2 2 2 3
) cos3 cos 3cos
cos cos3 3
cos cos cos3 3
os 2 cos cos cos3 3
cos 2 cos cos cos 2 cos
a sen
isen isen
isen isen isen
c i sen sen isen isen
isen sen isen sen isen
3 2 2 2
3 2
3
cos 3 cos 3 3 cos
cos 3cos cos3
isen
isen sen isen sen
sen
2 3
3
2 2
3 2 2 2 2
2 3
2 3
) 3 3cos
cos cos3 3
cos 2 cos cos cos3 3
cos 3 cos cos 2cos cos3 3
3 cos 3
3cos
b sen sen sen
sen isen
i sen sen isen isen
i sen sen sen isen isen
i sen isen isen
sen sen i
2 3
2 3
3
cos 3
3 3cos
sen
sen sen sen
sen sen sen
31.- Hallar las raíces de la ecuación 2 2 1 0x x i
2
2
1,2
1,2
2 1 0
2 2 4 1
2
2 4 4 4
2
x x i
ix
ix
1,2
1
2
2 4
2
2 2
2
2 2
2
ix
ix
ix
2 2
1
cos
cos
1
1
ie
isen
sen
ALGEBRA LINEAL TAREA 5 HECTOR PALOMARES
En los ejercicios 33 – 40 descomponer en factores lineales los siguientes polinomios
33.- 3 21 1 1x x x x 34.- 4 21 1 1 1x x x x 35.-
6 21 1 1 1x x x x x
36.- 4 21 1 1 1x x x x 37.-
3 2 2
2 1
x i x i x i i
x i x i
38.-
1/3 1/3 2/3
3 21 1 1 1
2 2 2 2
i i i ix x x x
39.- 4 2 2 21 1 1x x x x x x
40.-
4 2
2 22
2
2
1
1 0
( 1) ( 1) 4(1)(1)
2(1)
1 3
2
1 3
2
x x
x x
x
x
ix
2 22 2
2 22
2 22
1 3 1 3
2 2
1 3 1 3
2 2
1 3 1 3
2 2
i ix x
i ix x
i ix x
ALGEBRA LINEAL TAREA 6 HECTOR PALOMARES
1.- Hallar los vectores u y v cuyos puntos iniciales y finales se dan. Mostrar que v y u son equivalentes
A. : 3,2 , 5,6 : 1,4 , 1,8u v B. : 0,3 , 6, 2 : 3,10 , 9,5u v
5,6 3,2 2,4
1,8 1,4 2,4
u
v
v u
6, 2 0,3 6, 5
9,5 3,10 6, 5
u
v
u v
En los ejercicios del 2 – 5 se dan los puntos inicial y final de un vector v Dibujar el segmento de la recta dirigido dado,
expresar el vector mediante sus componentes y dibujar al vector con su punto inicial en el origen
2.- 3.- 4.- 5.-
1, 2 , 5,5
5,5 1, 2
4,3
v
v
v
2, 6 , 3,6
3,6 2, 6
1,12
v
v
v
10, 2 , 6, 1
6, 1 10, 2
4, 3
v
v
v
0, 4 , 5, 1
5, 1 0, 4
5,3
v
v
v
Hallar el vector v donde 2, 1u y 1,2w Ilustrar geométricamente las operaciones vectoriales
a.- b.- c.- d.-
3
2
32, 1
2
33,
2
v u
v
v
2, 1 1,2
3,1
v u w
v
v
2
2, 1 2 1,2
2, 1 2,4
4,3
v u w
v
v
v
5 3
5 2, 1 3 1, 2
10, 5 3,6
7, 11
v u w
v
v
v
ALGEBRA LINEAL TAREA 6 HECTOR PALOMARES
7.- Encontrar la magnitud de v
a) b) c)
2 2
12, 5
12 5
169
13
v
v
v
v
2 2
10 3
10 9
109
v i j
v
v
2
4
4
4
v j
v
v
10.- Hallar la distancia entre los puntos
a) 2,2,3 , 4, 5,6 b) 1 5 5 3
, ,7 , ,6,2 9 2 4
2 2 2
4 2 5 2 6 3
4 49 9
62
22 25 1 5 3
6 72 2 9 4
3481 9614
81 16
107.0378086
11.- Hallar las longitudes de los lados del triángulo con los vértices que se dan, y determinar si el triángulo es rectángulo,
isósceles o escaleno
a) 5,3,4 , 7,1,3 , 3,5,3
2 2 2
7,1,3 5,3,4
2, 2, 1
2 2 1
3
v
v
v
2 2
7,1,3 3,5,3
4, 4,0
4 4
32
u
u
u
u
2 2 2
5,3,4 3,5,3
2, 2,1
2 2 1
3
z
z
z
el triángulo es isósceles ya que tiene
dos lados iguales v y z
ALGEBRA LINEAL TAREA 6 HECTOR PALOMARES
b) 5,0,0 , 0,2,0 , 0,0, 3
2 2
5,0,0 0,2,0
5, 2,0
5 2
29
A
A
A
2 2
5,0,0 0,0, 3
5,0,3
5 3
34
B
B
B
2 2
0,2,0 0,0, 3
0,2,3
2 3
13
B
B
B
El triangulo es escaleno
ya que sus lados son
desiguales
A B
A C
B C
12.- Hallar la ecuación ordinaria de la esfera con centro 3,2,4 tangente al plano yz
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
3 2 4
3 2 4
3 2 4
3 2 4
3 0 2 2 4 4 4 2
la ecuacion de la esfera es:
3 2 4
3 2 4 4
x y z r
x y z r
x y z r
x y z r
x y z r
x y z
13.- Completar el cuadrado para dar la ecuación de la esfera en forma ordinaria. Hallar el centro y el radio
a.) b)
2 2 2
2 2 2
22 2
22 2
9 2 10 19 0
9 2 10 19
9 811 5 19 1 25
2 4
9 1011 5
2 4
x y z x y z
x x y y z z
x y z
x y z
2 2 2
2 2 2
2 2 2
22 2
22 2
4 4 4 4 32 8 33 0
4 4 4 32 4 8 33
4 4 8 4 2 33
1 14 4 4 4 1 33 16 1
2 4
1 1914 4 4 4 1
2 4
x y z x y z
x x y y z z
x x y y z z
x y z
x y z
ALGEBRA LINEAL TAREA 6 HECTOR PALOMARES
14.- Dado el vector v y su punto inicial, hallar su punto final
2 1
2
2
3, 5,5 , punto inicial 0,6,2
0,6,2 2, 5,5
2 6 5 2 5
1 7
por lo tanto:
2,1,7
v
p p v
p
x y z
y z
p
2 1
2
2
3 1 51, , , punto inicial 0, 2,
2 2 2
5 3 1 0, 2, 1, ,
2 2 2
3 5 11 2
2 2 2
1 3
2
por lo tanto:
11, ,3
2
v
p p v
p
x y z
y z
p
15.- Encontrar el vector z dado que 1,2,3 , 2,2, 1u v y 4,0, 4w
a) b)
2
1, 2,3 2, 2, 1 2 4,0, 4
1, 2,3 2, 2, 1 8,0, 8
7,0, 4
z u v w
z
z
z
15 3
2
15 1,2,3 3 2,2, 1 4,0, 4
2
5,10,15 6,6, 3 2,0, 2
3,4,20
z u v w
z
z
z
c)
2 3
3 2
2
3 3 3
2,2, 1 4,0, 4 2 1,2,3
3 3 3
u v w z
z u v w
v w uz
z
2,2, 1 4,0, 4 2,4,6
3 3 3
4 2 11, ,
3 3 3
z
z
16.- Si 2 3u i j k determinar los valores de c que satisfacen la ecuación 3cu
2 2 2
2
1,2,3 3
,1,2 ,3 3
4 9 3
14 3
3
14
c
c c c
c c c
c
c
2 2 23 3 3
4 9 314 14 14
9 36 813
14 14 14
1263
14
9 3
ALGEBRA LINEAL TAREA 6 HECTOR PALOMARES
17.- Encontrar el Angulo entre dos vectores
a) 3 2 2 3u i j k v i j b) 2 3 2u i j k v i j k
2 2 2
3,2,1 1, 3,0 3 6 3
3 2 1
14
u v
u
u
2 2
1
1 3
10
3cos
14 10
104 68́
v
v
2 2 2
2, 3,1 1, 2,1 2 6 1 9
2 3 1
14
u v
u
u
2 2 2
1
1 2 1
6
9cos
14 6
10 89
v
v
18.- Determinar si los vectores son ortogonales, paralelos o ninguna de las dos cosas
2 3 2u i j k v i j k
2 2 2
2,3, 1 2,1, 1 4 3 1 0
2 3 1
14
u v
u
u
2 2 2
1
2 1 1
6
0cos
14 6
90
v
v
los vectores son ortogonales
22 2
cos , , 1 , cos ,0
cos , , 1 , cos ,0
cos cos 0
cos 1
2
u sen v sen
u v
sen sen
sen sen
u sen
u
2 2
1
cos 1
2
0cos
2 2
90
v sen
v
Los vectores son ortogonales
19.- Se dan los vértices de un triángulo. Determinar si el triángulo es agudo, obtuso o rectángulo
a)
2 2
2 2
2 2
1,2,0 , 0,0,0 , 2,1,0
1,2,0 0,0,0 1,2,0 1 2 5
2,1,0 0,0,0 2,1,0 2 1 5
1,2,0 2,1,0 3,1,0 3 1 10
1,2,0 2,1,0 2 2 0 0 son perpediculares
1,2,0 3,1,0 3 2 0 5
2,1,0 3,1,0 6
A
B
C
A B
A C
B C
1 0 5
1
cos
0cos
5 5
90
el triángulo que forma
angul
n
los vectores es rectang
B
lo
o
u
A
ALGEBRA LINEAL TAREA 6 HECTOR PALOMARES
b)
2 2 2
2 2 2
2 2
2, 3,4 , 0,1,2 , 1,2,0
2, 3,4 0,1,2 2, 4,2 2 4 2 24
2, 3,4 1,2,0 3, 5,4 3 5 4 50
1,2,0 0,1,2 1,1, 2 1 1 2 6
2, 4,2 3, 5,4 6 20 8 34
2, 4,2 1,1, 2 2 4 4 10
3, 5,4 1
A
B
C
A B
A C
B C
,1, 2 3 5 8 16
1
1
34cos
24 50
11
10cos
24 6
146
el triangulo es obtuso
ya que un angulo es mayor
de 90°
20.- Encontrar los senos directores del vector u y demostrar que la suma de sus cuadrados de los cosenos directores es 1
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
) 5 3
5cos
5 3 1
3cos
5 3 1
1cos
5 3 1
:
cos cos cos 1
5 3 1 25 9 1 351
35 3535 35 35
a u i j k
demostracion
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
) 0,6, 4
0cos
0 6 4
6cos
0 6 4
4cos
0 6 4
:
cos cos cos 1
0 6 4 0 36 16 521
52 5252 52 52
b u
demostracion
21.- Encontrar los ángulos de dirección del vector
1
2 2 2
1
2 2 2
1
2 2 2
) 3 2 2
3cos 43 31́
3 2 2
2cos 60 98́
3 2 2
2cos 119
3 2 2
a u i j k
1
2 2 2
1
2 2 2
1
2 2 2
) 1,5,2
1cos 100 51́
1 5 2
5cos 24 09́
1 5 2
2cos 68 52
1 5 2
b u
ALGEBRA LINEAL TAREA 7 HECTOR PALOMARES
Calcular u v y probar que es ortogonal tanto a u como a v
A)
1
1
3 5 , 2 3 2
3 0 5 15,16,9
2 3 2
15,16,9 3,0,5 45 45 0
cos (0)
90 son ortogonales
15,16,9 2,3, 2 30 48 18 0
cos (0)
90 son ortogonales
u i k v i i k
i j k
u v
u v u
u v v
1
1
3, 2, 2 , 1,5,1
3 2 2 8, 5,17
1 5 1
8, 5,17 3, 2, 2 24 10 34 0
cos (0)
90 son ortogonales
8, 5,17 1,5,1 8 25 17 0
cos (0)
90 son ortogonales
u v
i j k
u v
u v u
u v v
1
1
1,1,2 , 0,1,0
1 1 2 2,0, 1
0 1 0
2,0, 1 1,1,2 2 2 0
cos (0)
90 son ortogonales
2,0, 1 0,1,0 0
cos (0)
90 son ortogonales
u v
i j k
u v
u v u
u v v
1
1
10,0,6 , 7,0,0
10 0 6 0,42,0
7 0 0
0,42,0 10,0,6 0
cos (0)
90 son ortogonales
0,42,0 7,0,0 0
cos (0)
90 son ortogonales
u v
i j k
u v
u v u
u v v
2.- Calcular el área del paralelogramo que tiene los vectores dados, como lados adyacentes.
2 2 2 2
)
,
0 1 0 1,0,0
0 1 1
1 0 0 1
a
u j v j k
i j k
u v
u v u
2 2 2
)
3,2, 1 , 1,2,3
3 2 1 8, 10,4
1 2 3
8 10 4 6 5
b
u v
i j k
u v
u v u area
ALGEBRA LINEAL TAREA 7 HECTOR PALOMARES
3.- Verificar que los puntos dados son los vértices de un paralelogramo y calcular su área
1,1,1 , 2,3,4 , 6,5,2 , 7,7,5
(1,2,3)
1,2,3
5,4,1
5,4,1
a b c d
A b a
B d c
C d b
D c a
2 2
1 2 3 10,14, 6
5 4 1
10 14 6 2 83
i j k
A C
A C area
2, 3,1 , 6,5, 1 , 3, 6,4 , 7,2,2
4,8, 2
4,8, 2
1, 3,3
1, 3,3
a b c d
A b a
B d c
C d b
D c a
2 2 2
4 8 2 18, 14, 20
1 3 3
18 14 20 2 230
i j k
A C
A C area
4.- Calcular el área del triángulo con los vértices dado. Sugerencia 1
2u v es el ara del triángulo que tiene a u y v como
lados adyacentes
)
0,0,0 , 1, 2,3 , 3,0,0
1, 2,3
3,0,0
a
a b c
A b a
B c a
1 2 3 0,9,6
3 0 0
si y son los lados adyacentes
1tenemos:
2
i j k
A B
A B
A B
2 219 6
2
13 13
2
313 area del triangulo
2
)
2, 7,3 , 1,5,8 , 4,6, 1
3,12,5
2,13, 4
b
a b c
A b a
B c a
3 12 5 133,2 57
2 13 4
si y son los lados adyacentes
1tenemos:
2
i j k
A B
A B
A B
2 2 21
113 2 572
116022 area del triangulo
2
5.- calcular u v w
)
ˆ, ,
1 0 0
0 1 0 1
0 0 1
a
u i v j w k
u v w
)
2,0,1 , 0,3,0 , 0,0,1
2 0 1
0 3 0 6
0 0 1
b
u v w
u v w
ALGEBRA LINEAL TAREA 7 HECTOR PALOMARES
6.- Usar el triple producto escalar para encontrar el volumen del paralelepípedo que tiene como aristas adyacentes
, y u v w
)
, ,
1 1 0
0 1 1 1, 1 0 0
1 0 1
0
a
u i j v j k w i k
u v w
u v w
3
)
1,3,1 0,6,6 , 4,0, 4
1 3 1
0 6 6 24 72 24 72
4 0 4
72
b
u v w
u v w
u v w u
En los ejercicios del 8 – 13 hallar las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta indicada
8.- Que contenga a los puntos 2,1,3 1,2, 1y
1 2 3 1 2 3
1, 2, 1 2,1,3
1,1, 4
( , ) ( , , ) ( )
( , ) 2,1,3 1,1, 4
( , ) 2 ,1 ,3 4 )
v
v
x y p p p t v v v
x y t
x y t t t parametrica
2
3 4
simetrica
x t
y t
z t
3
24
zx y
9.- Que contenga los puntos 4,1,3 4,0,1y
1 2 3 1 2 3
0, 1, 2
( , ) ( , , ) ( )
( , ) 4,1,3 0, 1, 2
( , ) 0,1 ,3 2
v
x y p p p t v v v
x y t
x y t t parametrica
si algunas de las componentes es 0 no se puede expresar la ecuación en forma
simétrica
10.- Que contenga los puntos 1,2,3 3,2,1y
1 2 3 1 2 3
2,0, 2
( , ) ( , , ) ( )
( , ) 1, 2,3 2,0, 2
( , ) 1 2 ,0,3 2
v
x y p p p t v v v
x y t
x y t t parametrica
si algunas de las componentes es 0 no se puede expresar la ecuación en forma
simétrica
11.- Que contenga al punto 2, 2,1 y sea paralela a 2i j k
( , ) 2,2,1 2, 1, 1
( , ) 2 2 ,2 ,1
x y t
x y t t t parametrica
2 22
2 2 12
1
x tx
y t y z simetrica
z t
ALGEBRA LINEAL TAREA 7 HECTOR PALOMARES
12.- Que contenga al punto 1, 2,5 y sea paralela a 3 7j k
( , ) 1, 2,5 0, 3,7
( , ) 1, 2 3 ,5 7
x y t
x y t t parametrica
13.- Que contenga al punto 0,0,0 y sea paralela a 5
2, ,12
5( , ) 0,0,0 2, ,1
2
5( , ) 0,0,0 2 , ,
2
5( , ) 2 , ,
2
x y t
x y t t t
x y t t t parametrica
2
5 2
2 2 5
x t
xy t y z simetrica
z t
En los ejercicios 14 – 20, hallar la ecuación del plano indicado
14.- Que contenga al punto 0,0,0 y con vector normal n̂ j
0, 0, 0 0,1,0
0
el plano es el x
x y z y
y
z
15.- Que contenga al punto 1, 2,3 y con vector normal n̂ i j
1, 2, 3 1,1,0 0
1 2 0
3 0
el plano es el 3 0
x y z
x y
x y
x y
16.- Que contenga al punto 1, 2,3 y con vector normal n̂ j k
1, 2, 3 0,1,1 0
2 3 0
5 0
el plano es el 5 0
x y z
y z
y z
y z
17.- Que contenga al punto 4, 7,5 y con vector normal ˆ 3 4n i j k
4, 7, 5 3, 4,1 0
3 12 4 28 5 0
3 4 45 0
el plano es: 3 4 45 0
x y z
x y z
x y z
x y z
ALGEBRA LINEAL TAREA 7 HECTOR PALOMARES
18.- Que contenga al punto 3, 2,5 y con vector normal ˆ 2 7 8n i j k
3, 2, 5 2, 7, 8 0
2 6 7 14 8 40 0
2 7 8 26 0
el plano es: 2 7 8 26 0
x y z
x y z
x y z
x y z
19.- Que contenga a los puntos 7,1,0 , 2, 1,3 , 4, 1,3
7,1,0
2, 1,3
4, 1,3
a
b
c
2, 1,3 7,1,0
9, 2,3
4, 1,3 7,1,0
11, 2,3
u b a
u b a
v c a
v c a
9 2 3
11 2 3
0 6 4
i j k
u v
u v i j k
z20.- Que contenga a los puntos 2,3, 2 , 4, 1, 1 , 3,1,2
2,3, 2
4, 1, 1
3,1, 2
a
b
c
4, 1, 1 2,3, 2
2, 4,1
3,1,2 2,3, 2
1, 2,4
u b a
u b a
v c a
v c a
2 4 1
1 2 4
14 7
i j k
u v
u v i j
21.- Demostrar los teoremas referentes a las propiedades algebraicas y geométricas del producto cruz
1 2 3 1 2 3
1 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2
1 2 3
1 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2
1 2 3
1)
: , , y , ,
:
u v v u
sea u u u u v v v v
i j k
u v u u u u v v u i u v v u j u v v u k
v v v
i j k
v u v v v v u u v i v u u v j v u u v k
u u u
obtenemos
u v v u
ALGEBRA LINEAL TAREA 7 HECTOR PALOMARES
1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 2 3
1 1 2 2 3 3
2 3 3 2 2 3 1 3 3 1 1 3 1 2 2 1 1 2
2)
, , , ,
, ,
por otr
u v w u v u w
u v w u v v v w w w
u v w u v w v w v w
i j k
u v w u u u
v w v w v w
u v w v w v i u v w v w u j u v w v w u k
1 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2
1 2 3
1 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2
1 2 3
2 3 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3
1 2 1 2 1 2 1 2
o lado se tiene
i j k
u v u u u u v v u i u v v u j u v v u k
v v v
i j k
u w u u u u w w u i u w w u j u w w u k
w w w
u v u w u v u w v u w u i u v u w v u w u j
u v u w v u w u
2 3 3 3 2 2 1 3 3 3 1 1
1 2 2 2 1 1
:
k
u v w u v w i u v w u v w j
u v w u v w k
concluimos
u v w u v u w
1 2 3
1 2 3
3) 0 0 0
: , ,
0 0 0 0 0
0 0 0
u u
sea u u u u
i j k
u u u u i j k
1 2 3
1 2 2
: , ,
0 0 0 0 0 0 0 0
sea u u u u
i j k
u i j k
u u u
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1
4) 0
: , ,
0
0
u u
sea u u u u
i j k
u u u u u
u u u
u u u u u u i u u u u j u u u u
u u
ALGEBRA LINEAL TAREA 7 HECTOR PALOMARES
1 2 3 1 2 3
2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2
2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2
1 2 3
1
5
: : , , y , ,
por definicion:
, entonces , ,
c u v cu v u cv
sean sea u u u u v v v v
c u v c u v v u i u v v u j u v v u k
cu v cv u i cu v cv u j cu v cv u k
si cu v cu cu cu cu
i j k
cu v cu c
2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2
1 2 3
1 2 3
1 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2
1 2 3
podemos decir que:
: entonces , ,
que se cumpl
u cu cu v v cu i cu v v cu j cu v v cu k
v v v
c u v cu v
tenemos u cv cv cv cv cv
i j k
cu v u u u u cv cv u i u cv cv u j u cv cv u k
cv cv cv
concluimos
e la igualdad
c u v cu v u cv
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2
1 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2
1 2 3 2 3 2 1 3 1 3 3 1 2 1
6)
: , , , , , ,
sabemos que:
, ,
v v w u v w
sean u u u u v v v v w w w w
v w v w w v i v w w v j v w w v k
v v w u u u v w w v v w w v v w w v
u v w w v u v w w v u v w w
2
2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2
2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 3
1 2 3 2 3 2 1 3 1 3 3 1 2 1 2
1 2 3 1 2 3 2 1 3 2 1 3 3 1 2 3 1 2
sabemos que:
, ,
v
u v u v v u i u v v u j u v v u k
u v w u v v u u v v u u v v u w w w
w u v v u w u v v u w u v v u
w u v w v u w u v w v u w u v w v u
ALGEBRA LINEAL TAREA 8 HECTOR PALOMARES
En los ejercicios 1 – 6, determinar si los planos son paralelos, ortogonales, o ninguna de las dos cosas, si no son ortogonales
ni paralelos, hallar el ángulo entre ellos
1.- 2.-
1 2
1 2
5 3 4, 4 7 1
ˆ ˆ5, 3,1 1, 4,7
ˆ ˆ 5, 3,1 1,4,7 5 12 7 0
los planos son ortogonales
x y z x y z
n n
n n
1 2
1 2
1
3 4 3, 9 3 12 4
ˆ ˆ3,1, 4 9, 3,12
ˆ ˆ 3,1, 4 9, 3,12 27 3 48 70
70cos 170
28 234
x y z x y z
n n
n n
3.- 4.-
1 2
1 2
1
3 6 4, 5x+ 4
ˆ ˆ1, 3,6 5,1, 1
ˆ ˆ 1, 3,6 5,1, 1 4
4cos 96 31́
27 46
x y z y z
n n
n n
1 2
1 2
1 2
1
3 2 7, 4 2 0
ˆ ˆ3,2, 1 1, 4, 2
ˆ ˆ=14 21
ˆ ˆ 3,2, 1 1, 4,2 7
7cos 114 09́
14 21
x y z x y z
n n
n n
n n
5 6.-
1 2
1 2
1 2
1
5 1, 5 25 5 3
ˆ ˆ1,5, 1 5, 25, 5
ˆ ˆ= 27 675
ˆ ˆ 1,5, 1 5, 25, 5 5 125 5
125cos 157 8́
27 675
x y z x y z
n n
n n
n n
1 2
1 2
1 2
1
2 1, 4 8 10
ˆ ˆ2,0, 1 4,1,8
ˆ ˆ= 5 81
ˆ ˆ 2,0, 1 4,1,8 8 8 0
0cos 0
5 81
los planos son ortogonales
x z x y z
n n
n n
n n
En los ejercicios 7 – 10, hallar la distancia del punto al plano
7.- 8.- 9.-
2 2 2
0,0,0 ,2 3 0
ˆ 2,3,1 6,0,0
0,0,0
0,0,0 6,0,0 6,0,0
ˆ 6,0,0 2,3,1 12
ˆ 2 3 1 14
12
14
x y z
n h
p
ph
ph n
n
D
22 2
0,0,0 ,8 4 8
ˆ 8, 4,1 1,0,0
0,0,0
0,0,0 1,0,0 1,0,0
ˆ 1,0,0 8, 4,1 8
ˆ 8 4 1 9
8
9
x y z
n h
p
ph
ph n
n
D
2 2 2
2,8,4 ,2 5
ˆ 2,1,1 0,0,5
2,8,4
2,8,4 0,0,5 2,8, 1
ˆ 2,8, 1 2,1,1 4 8 1 11
ˆ 2 1 1 6
11
6
x y z
n h
p
ph
ph n
n
D
ALGEBRA LINEAL TAREA 8 HECTOR PALOMARES
10.-
3,2,1 , 2 4
ˆ 1, 1,2 0,0,2 3,2,1
3,2,1 0,0,2 3,2, 1
x y z
n h p
ph
22 2
ˆ 3,2, 1 1, 1,2 3 2 2 1
ˆ 1 1 2 6
ph n
n
1
6D
En los ejercicios 11 – 14, verificar que los dos planos son paralelos y hallar la distancia entre ellos.
11.- 12.-
1 2
1 2
2 2 2
3 4 10, 3 4 6
ˆ ˆ1, 3,4 1,3,4
ˆ ˆ||
10,0,0 0, 2,0
10, 2,0 1, 3,4| | 26
943 6 7
x y z x y z
n n
n n
a b
ab uD
u
1 2 1 2
2 2 2
4 4 9 7, 4 4 9 18
4, 4, 9 4, 4, 9
ˆ ˆ ˆ ˆ||
7,0,0 b 0,2,0
4
7,0,0 4, 4,9
4| | 7
134 4 9
x y z x y z
u v
n n n n
a
ab vD
v
13.- 14.-
1 2
1 2 1 2
2 2 2
3 6 7 1, 6 12 14 25
ˆ ˆ3,6,7 6, 12, 14
ˆ ˆ ˆ ˆ2 ||
1 25,0,0 b 0,0,
3 14
1 25,0, 3,6,7
3 14| | 27
2 943 6 7
x y z x y z
n n
n n n n
a
ab uD
u
1 2 1 2
2 2
2 4 4, 2 4 10
2, 4 2, 4
ˆ ˆ ˆ ˆ||
2,0 b 5,0
3,0 2, 4| | 6
202 20
x z x z
u v
n n n n
a
ab uD
u
14.-
1 2
1 2
2 2
2 4 4, 2 4 10
ˆ ˆ2,0, 4 2,0, 4
ˆ ˆ||
0,0,1 5,0,0
5,0,1 2,0, 4 6
202 4
x z x z
n n
n n
a b
ab uD
u
ALGEBRA LINEAL TAREA 8 HECTOR PALOMARES
En los ejercicios 15 – 18 hallar la distancia del punto a la recta dad por medio del conjunto de ecuaciones paramétricas.
15.- 16.-
1
2
2 1
1
1 2 1
1
4 2
1,5, 2 3
1
2
1 3 2,3,0
0
6
2 3 6,3, 1
1
6,3, 1 2,3,0 4,0, 1
2,3,0 1,5, 2 1, 2, 2
1 2 2 2, 7,8
4 0 1
x t
Q y
z t
x
p t y
z
x
p t y
z
p p
PQ
i j k
PQ p p
PQ
2 1 3 13p p
1
2
2 1
1
1 2 1
1
2
1, 2, 4 3
2 2
2
1 2 2, 2, 4
4
4
2 1 4, 1,6
6
4, 1,6 2, 2, 4 2,1, 2
2, 2, 4 1, 2, 4 1,0,0
1 0 0 0, 2,1
2 1 2
x t
Q y t
z t
x
p t y
z
x
p t y
z
p p
PQ
i j k
PQ p p
PQ
2 1 5p p
17.-
1
2
1
2,1,3 2
2
0
1 3 0,3, 2
2
1
2 4 1, 4, 4
4
x t
Q y t
z t
x
p t y
z
x
p t y
z
2 1
1
1 2 1
1 2 1
1,4, 4 0,3, 2 1,1, 2
0,3, 2 2,1,3 2,2, 5
2 2 5 1,9,4
1 1 2
97
p p
PQ
i j k
PQ p p
PQ p p
ALGEBRA LINEAL TAREA 8 HECTOR PALOMARES
1
2
18.
3
4, 1,5 1 3
1
3
1 4 3, 4, 2
2
3
2 7 3,7,3
3
x
Q y t
z t
x
p t y
z
x
p t y
z
2 1
1
1 2 1
1 2 1
3,7,3 3,4,2 0,3,1
3,4,2 4, 1,5 1,5, 3
0 3 1 14, 1,3
1 5 3
206
p p
PQ
i j k
PQ p p
PQ p p
TAREA 9 – ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL
1.- El conjunto de matrices diagonales de tamaño n n , con la suma común de matrices y la multiplicación escalar
común.
11 11 11 11
22 22 22 22
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 sea:a y b una matriz de n
0 0 0 0 0 0nn nn nn nn
a b a b
na b a b
a b V
a b a b
11 11
22 22
0 0 0 0
0 00 0 por el axioma , ,
0 0 0 0nn nn
a a
a a x V K x V
a a
11 11 11 11
22 22 22 22
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 00 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
por el axioma , , 0
nn nn nn nn
a a a a
a a a a
a a a a
x V x V x x
2.- 2, 0x y R y con operaciones usuales de suma y multiplicación escalar de vectores
1 2 1 2
1 1
2 2
2 2
, 0
0
0
: 0
0
, , 0 se cumple
asi que no es un espacio vectorial
x x y y
x y
x y
si y
x y
x V x V x x no
11
22
por el axioma 0 , 0 ,
0 0 0 0 0
0 0 00 0
0 0 0 0 0
la matriz 0 es un espacio vectorial
nn
V x x x V
a
a
a
pero V no
TAREA 9 – ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL
4.- Un conjunto de vectores en R3 de la forma , ,x x x
, , , , 2 2 2
se cumple ,
, , 0,0,0 , ,
se cumple x V, 0 V, 0
, , , , 0,0,0
se cumple x V, V, 0
, , , ,
se cumple , ,
, , , , , ,
x x x x x x x x x
x xV x x V
x x x x x x
x V
x x x x x x
x x x
x x x x x x
x V K x V
x x x x x x x x
, , , ,
se cumple , ,
, , , ,
se cumple , , ,
1 , , , ,
cumple , 1 ,1
x x x x x x x
x V V x x x
x x x x x x
x V V x x
x x x x x x
se x V K x x
Por lo tanto es un espacio vectorial
5.- El conjunto de matrices simétricas de 3 3 con la suma en común y la multiplicación escalar
a b c a b c a a b b c c
b e d b e d b b e e d d la matriz V
c d f c d f c c d d f f
1
se cumple , 1 ,1
a b c a b c
b e d b e d
c d f c d f
x V V x x
a b c a b c
b e d b e d la matriz V
c d f c d f
TAREA 9 – ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL
, , la matriz V
a b c a b c a b c a b c a b c
b e d b e d b e d b e d b e d
c d f c d f c d f c d f c d f
x V V x x x
0 0 0
0 0 0
0 0 0
se cumple , 0 , 0
a b c a b c
b e d b e d
c d f c d f
x V V x x
0 0 0
0 0 0
0 0 0
se cumple , , 0 la matriz V
a b c a b c
b e d b e d
c d f c d f
x V x V x x
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 23 33 31 32 33
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 2
31 23 33
a b c a b c a a b b c c
b e d b e d b b e e d d
c d f c d f c c d d f f
a b c a b c a a b b c c
b e d b e d b b e e d d
c d f c d f
3
31 32 33
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
:
por el axioma ,
c c d d f f
dado
a a b b c c a a b b c c
b b e e d d b b e e d d la matriz V
c c d d f f c c d d f f
xy V x y y x
6.- El conjunto de matrices de la forma 0
0
a
b
con ,a b R con la suma común y la multiplicación escalar
0 0 0 la matriz
0 0 0
a a a aV
b b b b
0 0 la matriz
0 0
a aV
b b
7.- El conjunto de matrices de la forma 1
1
a
b
con ,a b R con la suma común y la multiplicación escalar
1 1 2 2 la matriz
1 1 2 2
a a aV
b b b
8.- El conjunto de polinomios de grado n, con termino constante igual a cero
TAREA 9 – ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL
2
0
2
2
0
2
0
2
0
0
0 (0) (0) (0) 0
0 0
0 y dado un
(0) (0) (0) (0)
n
n
n
n
n
a at at at
a
t t t
a at at at
a
a at at at
t t t
2
0
2
0
2
0 y entonses
0 0 0 0
0
0 V
n
n
n
p a at at at
a
p a at at at
t t t
9.- El conjunto de polinomios de grado n, con termino constante positivo 0a
2
0
2
0
0
0
: 0
(0) (0) (0) 0
0
: 0
entonces: no es un espacio vectorial
n
n
a at at at
si t
a a a a
a
pero a
10.- El conjunto de funciones continuas en 0,1 con 0 0f y 1 1f con operaciones definidas de manera usual
0 0 0
1 1
0
f g
f g
V
11.- el conjunto de números reales de la forma 2a b donde ,a b Q con la suma usual de números reales y con la
multiplicación escalar definida solamente para escalares racionales
2 2 2
2
a b c d a c b d
a c b d V
2 2
2
a b a b
a b V
12.- Demuestre que en un espacio vectorial el neutro aditivo es único
1 2 1 2
1 2 1 2 1 1 2 2
: , pero
, ,
, , , 0,0,0 0
se c
, , 0
n n
n n n n
sea x y V y x
x x x y y y
x x x x x x x x x x x x
umple
x V x V x x
TAREA 9 – ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL
13.- Demuestre que en un espacio vectorial cada vector tiene un inverso aditivo
1 2 1 2 1 2
: 0
, 0,0 0 0, 0 0 ,
se c
, 0 , 0
n n n
sea x V V
x x x x x x x x x
umple
x V V x x
14. Demuestre que el conjunto de los números reales positivos forman un espacio vectorial con las operaciones
x y xy y aax x
En los ejercicios 15 – 24 determine si el subconjunto dado H del espacio vectorial V es un subespacio vectorial de V.
JUSTIFIQUE SU RESPUESTA.
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
1 2 1 2
; ,
, , ,
:
, ,
:
V H x y x y
si x y y x y V
Entonces
x y x y x x y y
dado x y x x y y V
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
, , ,
:
, ,
, ,
,
0,0
: 0 0
: , , 0
si x y V x y V
tenemos
x y x y
x y x y
x x y y
y si x y V
dado x V x V x x
1 1
1 1 1 1
, , y
:
,
:
, ,
si x y V V
Entonces
x y x y V
dado a
x V K x V
16.- 2 2 2 2; , 1V H x y x y
, , y
, ,
si x y
x y x y H
17.- 3 3; , 0V H x y z H
TAREA 9 – ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL
, , , y 0
, , , ,
, , (0)
,
si x y z z
x y z x y z
x y
x y
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
, , , , , , y 0
, , , ,
, ,
, ,0 0
,
si x y z x y z z
x y z x y z
x x y y z z
x x y y
x x y y
18. ; t
n n n nV M H D M D D
11 12 1 11 21 1
21 22 2 12 22 2
1 2 1 2
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22
1 2
entonces
sea D y un
n m
n mT
m m mn n n nm
n n
n n
n
m m mn
d d d d d d
d d d d d dD D
d d d d d d
d d d d d d
d d d d d
d d d
2
1 2
11 21 1
12 22 2
1 2
:
n
m m mn
T
m
m T
n n nm
d
d d d
entonces D
d d d
d d dD V
d d d
11 12 1 11 12 1 11 11 12 12 1 1
21 22 2 21 22 2 21 21 22 22 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
n n n n
n n n n
m m mn m m mn m m m m mn mn
d d d D D D d D d D d D
d d d D D D d D d D d D
d d d D D D d D d D d D
19. ; es triangular superiorn n n nV M H T M T
Sea a y b matrices de n n
TAREA 9 – ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL
11 12 1 11 12 1 11 11 12 12 1 1
22 2 22 2 22 22 2 20 0 0
0 0 0 0 0 0
cumple : , ,
n n n n
n n n n
nn nn nn nn
a a a b b b a b a b a b
a a b b a b a b
a b a b
se x y H x y H
11 12 1 11 12 1
22 2 22 20 0
0 0 0 0
cumple: , ,
n n
n n
nn nn
b b b b b b
b b b b
b b
se x H K x H
la matriz triangular superior H
20. 4 4; (0) 0V P H p P p el polinomio es un subespacio vectorial
4
2 3 4
2 3 4
2 3 4
:
(0) 0 (0) 0
: , ,
a
a
a
a
sea p y p polinomios p
p p
p c cx cx cx cx
p d dx dx dx dx
p p c d c d x c d x c d x c d x
cumple x y V x y V
4
2 3 4
2 3 4
: y una
: , ,
sea p p
p c cx cx cx cx
p c cx cx cx cx
cumple x H K x H
21. ; (0) 1n nV P H p P p
0
0
0
: polinomios de grado n
p(0)=1 p (0) 1
1 1 2
osea p y p
p p
p p H
TAREA 10 –ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL
En los ejercicios 1 - 10 determine si el conjunto de vectores dado es linealmente Independiente o dependiente
1.-
1 1
2 3
son linealmente independiente porque no se pueden escribir como combinación lineal
2.-
2 4
1 2
4 7
2 4 0 22 4
2 0 21 2
4 7 0 4 74 7
a
son linealmente independientes
3.-
3 1 4
2 10 5
son linealmente dependientes
1 1 2 1 2
2 2 1 1
3 1 4 3 4 0
2 10 5 2 10 5 0
3 1 4 1 1/ 3 4 / 3 1 1/ 3 4 / 31/ 3 2
2 10 5 2 10 5 0 32 / 3 7 / 3
1 1/ 3 4 / 3 1 0 45 / 323 / 32 1/ 3
0 1 7 / 32 0 1 7 / 32
450
32
a b ca b c
a b c
R R R R R
R R R R
a c
45
32
7 70
32 32
a c
b c b c
4.-
3 7 1
4 1 1
2 3 8
son linealmente independientes
2 3 2 1
3 1 3
3 7 1 3 7 0 3 7 1 3 7 1 1 7 / 3 1/ 3
4 1 1 4 0 4 1 1 2 0 7 15 1/ 3 0 7 15
2 3 8 2 3 8 0 2 3 8 2 3 8 2 3 8
1 7 / 3 1/ 3
2 0 7 15
0 23 / 3 26 / 3
a b c
a b c a b c R R R R
a b c
R R R
2 2 1 1
3 2 2
3 2 3
3 1 14321483
1 7 / 3 1/ 3 1 0 16 / 3
1/ 7 0 1 15 / 7 7 / 3 0 1 15 / 7
0 23 / 3 26 / 3 0 23 / 3 26 / 3
1 0 16 / 3 1 0 16 / 3 1 0 07 /15483
23 / 3 0 1 15 / 7 0 1 15 / 7 0 1 016 / 34321
0 0 0 0 1 0 0 1
R R R R
R R RR R R
R R R
TAREA 10 –ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL
5.-
1 3 0 5
2 0 4 0
1 2 1 3
1 2 1 1
Son linealmente dependientes
1 2 2
1 3 3
1 3 0 5 3 5 0 1 3 0 5
2 0 4 0 2 4 0 2 0 4 0
1 2 1 3 2 3 0 1 2 1 3
1 2 1 1 2 0 1 2 1 1
1 3 0 5
2 0 6 4 10
0 1 1 2
1 2 1 1
a b d
a ca b c d
a b c d
a b c d
R R R
R R R
2 1 11 4 4
2 3 32
2 4 4 3
1 3 0 5 1 0 2 0
30 1 4 / 6 5 / 3 0 1 4 / 6 5 / 3
1/ 6 0 1 1 2 0 0 2 / 6 1/ 3
0 5 1 6 0 5 1 6
1 0 2 0 1 0 2 0
0 1 4 / 6 5 / 3 0 1 4 / 6 5 / 35 3
0 0 2 / 6 1/ 3 0 0 1 1
0 0 7 / 3 7 / 3 0 0 7 / 3 7 /
R R RR R R
R R RR
R R R R
3 4 4
1 0 2 0
0 1 4 / 6 5 / 37 / 3
0 0 1 1
3 0 0 0 0
R R R
6. En 2 :1 ,p x x
1 2
1 2 1
1
2 1
2 1
: 1 0
0
0
0
0
sea c x c x
c c c x
c
c c
c c
linealmente independientes
7. 2
2 :1 ,1 ,p x x x
2
1| 2 3
2
1 2 2 1 3
22 1 2 1 2
1 1 0
0
1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0
1 1 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 02
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
c x c x c x
c c c c x c x
RR R R R R
son linealmente dependientes
TAREA 10 –ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL
8.- 3 3 3
3 2 , 3, 1 4 , 18 9p x x x x x x
3 3 3
1 2 3 4
2 3 4
2 2 11 3 4
1 3 1
2 3 4
2 1 2
: 2 3 1 4 18 9 0
3 9 0 0 3 1 9 0 0 11 6 0 0 1 6 /11/ 2
2 18 0 2 0 1 18 1 0 1/ 2 9 1 0 1/ 2 93 11
4 0 0 1 4 1 0 1 4 1 0 1 4 1
1/ 2
sea c x c x c x x c x x
c c cR R R
c c cR R R
c c c
R R R
R
3 1 3
0 0 1 6 /11
1 0 0 96 /11 linealmente dependientes4
0 1 0 35 /11R R
9.- En una matriz de 2 X 2: 2 1 0 3 4 1
4 0 1 5 7 5
2 1 0 3 4 1 0 0
4 0 1 5 7 5 0 0
2 4 0
3 0
4 7 0
5 5 0 :son Li
10.- En una matriz de 2 X 2: 1 1 1 0 1 1 0 1
0 6 3 1 1 2 1 0
1 2 1
4 2 4
2 3 2 3
2 1 2
4 2 4
3
1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1
61 0 1 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 13
0 3 1 1 0 3 1 1 0 3 1 1 0 0 5 47
6 1 2 0 0 7 4 0 0 7 4 0 0 0 10 7
1 0 1 1
0 1 2 1
0 0 1 4 / 55
0 0 10
R R RR R R
R R R RR R R
R R R
R
1 3 1
2 3 2
4 3 4
1 0 0 1/ 5 1 0 0 0
0 1 0 3 / 5 0 1 0 02
0 0 1 4 / 5 0 0 1 010
7 0 0 0 1 0 0 0 1
R R R
R R R
R R R
TAREA 10 –ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL
11.- Formule una condición para que los números a, b, c, y d tal que los vectores a c
yb d
sean
(a) linealmente dependientes
(b) linealmente independientes
0
a cad bc
b d
ad bc
12.- Para que valores reales de son linealmente dependientes los vectores
1 2 3
2 1
3 4 4
2 1 2
3 2
3 1 3
1 2 3 1 2 3 1 2 32
2 1 0 5 6 5 2 0 5 63
3 4 4 0 2 5 0 0 2 13
R R RR R
R R R
2 13 0
13
2
13.- ¿para qué valores reales c los vectores 1 ,1 1 ,1c c y c c son linealmente independientes?
2 2 2 2
1 11 1 1 2 1 2 4 para valores de: 0
1 1
c cc c c c c c c c
c c
14.- Demuestre que los vectores 2 2 21, , , 1, , , 1, ,a a b b c c son linealmente independientes si: , ,a b a c b c
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 11 1
0
0
0, , ,
b a c aa b c b a c a b a c a
b b a c c a b ca b c b ab c ca
b a c a c b
si a b a c b c
En los ejercicios 15 – 22 determinar si el conjunto de vectores dado genera al espacio vectorial que se da.
15 – En 2R 1 3
2 4
si genera al espacio vectorial
Dado que
1 2 1 2
1 2
1 3, tal que:
2 4
1 3 1 3,
2 4 0 2 2
x xa a a a
y y
x xa a existen
y x y
TAREA 10 –ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL
16.- En 2R 1 2
1 2
17.- En 3R
1 0 0
1 1 0
1 1 1
si genera en 3R
1 0 0 1 0 0
1 1 0 0 1 0
1 1 1 0 0 1
x x
y y x
z z x y
18.- En R3
2 3 1 7
0 1 1 3
1 2 1 5
si genera en el espacio vectorial
7
3
5
es combinación lineal de
2 3 1
0 1 1
1 2 1
1
1 2 2 2
3
2 3 1 1
0 1 1 1
1 2 1 2
c
c c c c
c
19.- En el polinomio 2
2 :1 ,3P x x
2
2
2
1 3
3 0
0
0
0
a x b x
a b
ax bx
ax bx
x a bx
20.- en el polinomio 2
2 :1 ,3 ,p x x x
2 2
1 3 2 3
1 2 1
3 1 3
3 2 3
1 ,3 , es de la forma
0 1 0 1 3 0 1 3 0
1 0 1 1 0 1 0 1 0
1 3 0 0 1 0 1 0 1
1 3 0 1 0 0 33
0 1 0 0 1 03
0 3 1 0 0 1 3
x x x ax bx c
a c c
b R R b R R a
c a b
c a cR R R
R R R a aR R R
b c a b c
2
2si genera 1 ,3 , en Px x x
TAREA 10 –ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL
21.- En la matriz 2 x 2: 2 1 0 0 3 1 0 0
0 0 2 1 0 0 3 1
1 2 3 4
2 1 0 0 3 1 0 0
0 0 2 1 0 0 3 1
a ba a a a
c d
Generan en las matrices de 2x2
22.- En la matriz 2 x 2: 1 0 1 2 4 1 2 5
1 0 0 0 3 0 6 0
0 0 1 0 1 2 4 1 2 5, , ,
0 1 1 0 0 0 3 0 6 0
las ecuaciones
1 2 3 4
1 0 1 2 4 1 2 5
1 0 0 0 3 0 6 0
a ba a a a
c d
no siempre generan
23.- Halle un conjunto de tres vectores linealmente independientes en 3R Tal que tenga a los vectores
2 1
1 3
2 4
2 1
1 3
2 4
a
b
c
para cualquier a, b, c se determina que no todos los ceros
TAREA 11 DE ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL
En los ejercicios 1 – 10 determine si el conjunto de vectores dad es una base del espacio vectorial correspondiente.
1.- En el polinomio 2
2 :1 ,p x x son linealmente independientes y no generan en el espacio, no es una base
2
1 2
1
2
1 0
0
0
c x c x
c
c
2 2
1 2 0 1 2
1 0
2 1
3 2
1c x c x a a x a x
c a
c a
c a
2.- En el polinomio 2 2
2 : 3 ,1 , 5P x x x
0 1 5
3 0 0 3 1 5 18
0 1 1
el determinante es distinto de cero, por lo tanto si forma el espacio vectorial
3.- En el polinomio 2 2 2
2 : 1, 2, 3p x x x son linealmente dependientes por lo tanto no forman una base
2 2 2
1 2 3
2
1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 2 2 1
1 2 3 0
0
0
0
1 1 1 1 1 1 0 2 3
1 2 3 0 1 2 0 1 2
2 34 4 0
1 2
c x c x c x
c c c c c c x
c c c
c c c
R R R R R
4.- En el polinomio 2 3
3 :1,1 ,1 1P x x x
1 1 1 1
0 1 0 01
0 0 1 0
0 0 0 1
el determinante es distinto de cero, por lo tanto son linealmente independientes y
forma una base en el espacio
5.- En el polinomio 3 2
3 :3, 4 6,p x x x no se pueden expresarse como combinación lineal. No genera una base
TAREA 11 DE ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL
6.- En la matriz 2 x 2 3 1 3 2 5 1 0 1
0 0 0 0 0 6 0 7
1 2 1
1 2 1 4
3 4 4 3
3 3 5 0
2 0
66 7 0
7
c c c
c c c c
c c c c
2 1 2 2 1 1
1093 3 5 3 3 5 3 0
7313 74
741 2 0 30 37 7
7
R R R R R R
1 3
2 3
1093 0
7
743 0
7
c c
c c
1 3
2 3
21 109 0
21 74 0
c c
c c
son linealmente dependientes, no generan base
7.- en una matriz de 2 x 2 0 0 0 0 0 0 0 0
00 0 0 0 0 0 0 0
a babcd
c d
1 2 3 4
1 1
2 2
3 3
4 4
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
a bc c c c
c d
ac c
bc c
cc c
dc c
9.- 2, 0 ; 1, 1H x y R x y
: , entonces , , 1, 1dado x y H x y x x x si forma una base
10.- 2, 0 ; 1, 1 , 3,3H x y R x y
Son dependientes 3,3 3 1, 3 por lo tanto, no forma una base
11.- Halle una base en 3R para el conjunto de vectores en el plano 2 0x y z
1 0 1 0
0 1 la base es 0 1
2 2 1 2 1
x x
y y x y
z x y
12.- Halle una base en 3R para el conjunto de vectores en el plano 3 2 6 0x y z
TAREA 11 DE ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL
(2 / 3) 2 2 / 3 2 2 / 3 2
1 0 la base es 1 0
0 1 0 1
x y z
y y y z
z z
13.- Halle una base en 3R para el conjunto de vectores en la recta 2 3 4
x y z
1 2
(3 / 2) 3 / 2 la base es 3
2 2 4
x x
y x x
z x
14.- Halle una base en 3R para el conjunto de vectores en la recta 3 , 2 , x t y t z t
3 3 3
2 2 la base es 2
1 1
x t
y t t
z t
15.- Determine una base para 3,D el espacio de las matrices diagonales de 3 3 ¿cuál es 3dim D ? Y ¿Cuál es dim nD ?
3
1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 , 0 1 0 , 0 0 0 ;dim 3
0 0 0 0 0 0 0 0 1
D
16.- Para que valores del número real forman una base de 3R los vectores ,1,0 1,0, y 1 ,1,
1 1 1
1 0 1 1 0 1 0
0 0 0
a a a a
a a a
a a a
los vectores nunca forman una base ya que todos los valores de a
son dependientes
TAREA 12 ALGEBRA LINEAL PLALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL
En los ejercicios 1 – 14 determine si la transformación dada de V en W es lineal
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 21 2
1 2
1)
: ;0
0 0
y 0 0
si es lineal
x xT R R T
y
x x x x x xT T
y y y y
x xx xT T
y
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
2)
1: ;
1 1 1
No es lineal
1 1 1 1
xT R R T
y y
x x x xT T
y y y y
Ty y y y
T Ty y y y y
3 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 3 3 3
1 2 1 2
1 2 1 2
3)
: ;
Si es lineal
xx
T R R T yy
z
x x x x
T y y T y y
z z x x
x x x xT
y y y y
3 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 3 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 3
4)
0: ;
0 0 0
Si es lineal
x
T R R T yy
z
x x x x
T y y T y y
z z z z
y y y y
x x
aT y y
z z
3 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
5)
1: ;
+
1No es lineal
x
T R R T yz
z
x x x x
T y y T y y
z z z z
z z
2
2 2
2
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2 21 2 1 1 1 1
2 2 2 2
2 2 2 21 2
2 2 21 1 1 1 1 1 1
22 222 2 2 2
6)
: ;
2
2
2 2
2
x xT R R T
y y
x x x xT T
y y y y
x x a x x y yT
a x x y yy y
x x y y ax x y
axx x y y
2
2
2
2 2 22
No es lineal
x
x y y
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
7)
: ;x y
T R R Ty x
x x x xT T
y y y y
y y y yT
x x x x
x xT T
y y
TAREA 12 ALGEBRA LINEAL PLALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL
2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
2
1 1 1 2 2 1 2 2
1 1 1 2 2 1
8)
: ;
No es lineal
xT R R T xy
y
x x x xT T
y y y y
x x y y
x y x y x y x y
a x y x y x y
2
1 2 1 21 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
1 1 2 2 11 2 1 2
9)
: ;x x y
T R R Ty x y
x x y yx x x xT T
y y y y y y y y
x x y y x y x y x xT T
x y x y y yy y y y
2
4 2
1 2 1 2
1 2 1 21 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
10)
: ;
x
y x zT R R T
w y w
z
x x x x
x x z zy y y yT T
w w w w y y w w
z z z z
x x z z
y y w w
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
x z x z
y w y w
x z x zT T
y w y w
2 3
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
11)
: ;
yx
T R R T xy
x y
y yx x x x
T T x xy y y y
x x y y
y y
x x
x y x y
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1 2 2
y yx x
x xy y
x y x y
TAREA 12 ALGEBRA LINEAL PLALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL
2 3
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 1 1 2
1 21 2
12)
: ; 2
1
2 2 2
1 11
x
T R R T x x
x
y x x x
T x x T x x x x x x T x T x
x xx x
1
2
1 2
1 11 1 11 1 11
2 22 2 22 2 22
1 11 2 22
13)
: ;n
n
n
n nn
n nn n nn n nn
x
xT R R T x x x
x
x x x x x x
x x x x x xT T x x x x x x T T
x x x x x x
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
14)
: ; n
n nn n nn
x x x xx
x x x xxT R R T x T x x T x x T x T x
x x x x x
4 2
1 2 1 2
21 2 1 21 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2
21 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
15) : ;
w
x xzT R R T
y yw
z
w w w w
x x z zx x x x x z x z x z x zT T
y y y y y y w w y
z z z z
1 1 1 2 2 1 2 2
1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2
1 1 1 2 2 1 2 21 1 1 2 2 1 2 2
No es lineal
w y w y w y w
x z x z x z x z x z x z x z x z
y w y w y w y wy w y w y w y w
TAREA 12 ALGEBRA LINEAL PLALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL
25.- Sea T una transformación lineal de 2 3R R tal que
11
20
3
T
y
40 2 3
0 encuentre ( ) y (b) 1 4 7
5
T a T T
)
2, 4 2 1,0 ,4 0,1
2 1,0 ,4 0,1
2,4 2 1,2,3 4 4,0,5
2, 4,6 16,0,20
14,4,26
a
T T
T
)
3,7 3 1,0 7 0,1
3 1,0 7 0,1
2,4 3 1,2,3 7 4,0,5
3, 6, 9 28,0,35
31, 6,26
a
T T
T
TAREA 13 – ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL
En los ejercicios 1-6, encuentre la representación matricial AT de la transformación lineal T. En las matrices de los ejercicios 1; 4 y 6 encuentre los valores y vectores propios.
2
2
1
1
2 21)
5 1
2 2 0
5 1 0
2 21 2 10
5 1
2 2 10
12 0
4 3 0
4
3
2 2 4 0 0
5 1 0 4 0
2 2
5
TA
A I
A I
xA I
y
A I
2 1 2
2
2
2 1 2
0
5 0
2 2 2 22 5
5 5 0 0
2 2 0
1
1
2 2 3 0 0
5 1 0 3 0
5 2 0
5 2 0
5 2 5
5 2
x
y
R R R
x y
vector propio
xA I
y
xA I
y
R R R
2
0 0
5 2 0
2
5
x y
vector propio
v
2 2
2
2
1
4)
2: R ,T
5 2
2 1
5 2
2 1 0
5 2 0
2 12 2 5
5 2
4 2 2 5
1
2 1 0
5 2 0
T
x x yT R
y x y
A
A I
A I
i i
iA I
i
1
1 2 2
1
1
0
0
2 1 0
5 2 0
2 1 2 12
5 2 0 0
2 0
1
2
2 1 0 0
5 2 0 0
2
x
y
i xA I
i y
i ii R R R
i
i x y
vector propioi
i xA I
i y
A I
1 2 2
1 0
5 2 0
2 1 2 12
5 2 0 0
5 2 0
1
2
i x
i y
i ii R R R
i
x y
vector propioi
TAREA 13 – ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL
2 2
2 2
2)
: , :
2 3
1 1
1 1
2 3
3)
: , :
2 2 2
1 1 1
2 2 2
T
T
x yx
T R R T x yy
x y
A
xx y z
T R R T yx y z
z
A
3 3
5)
2
: , : 3 4
5 8
1 1 2
3 1 4
5 1 8
T
x x y z
T R R T y x y z
z x y z
A
3 3
6)
: , : 2
2 2 3
1 0 1
1 2 1
2 2 3
1 0 1 0 0 0
1 2 1 0 0 0
2 2 3 0 0 0
1 0 1
1 2 1 1 2 3 2
2 2 3
T
T
T
x x z
T R R T y x y z
z x y z
A
x
A I y
z
A I
2
2 3 2
3 2
2
2 4 2
1 6 2 3 2 2 2
5 4 5 4 2 2
6 11 6
1 5 6
1 3 2
1, 3, 2
TAREA 13 – ALGEBRA LINEAL PALOMARES MALDONADO HECTOR MIGUEL
2 3
1 0 1 1 0 0 0
1 2 1 0 1 0 0
2 2 3 0 0 1 0
0 0 1 0
1 1 1 0
2 2 2 0
0 0 1 0 0 1
1 1 1 2 1 1 1
2 2 2 0 0 0
0
0
0
T
T
x
A I y
z
x
A I y
z
R R
z
x y z
x y
x
propio
1
1
0
y
vector
v
3 1 3 2
1 0 1 3 0 0 0
1 2 1 0 3 0 0
2 2 3 0 0 3 0
2 0 1 0
1 1 1 0
2 2 0 0
2 0 1 0 2 1
1 1 1 1 1 1 2
2 2 0 2 2 0
T
T
x
A I y
z
x
A I y
z
R R R R
1 2
0 2 1
0 4 2
2 2 0
0 2 1
2 0 0 0
2 2 0
2 0 2
2 2 0
2
1
1
1
1
2
R R
y z y z
x y
z
y
x
v