1

EJERCICIOS RESUELTOS FORMULACION DE MODELOS DE MARKOV DE TIEMPO DISCRETO

Pregunta Nº 1. Se quiere construir un modelo markoviano para estimar la dinámica de vida de un cultivo de ovas de salmón en la etapa de Maduración de la ova. En un estanque con agua dulce, se ponen N ovas fecundadas. Después de 8 días, las ovas que han sobrevivido se convierten en pequeños salmones, los cuales se traspasan a otros estanques para seguir su evolución. En este proceso de Maduración, algunas ovas se mueren. Se sabe que la distribución de

probabilidades de una ova en esta etapa de desarrollo, es exponencial con media . Sea nX

el número de ovas vivas al inicio del día n. Se pide: a) Diga cual es el rango de la variable (2 puntos) b) Obtenga la regla de transición (2 puntos) c) Obtenga la matriz P (2 puntos) Desarrollo

Sea nX : número de ovas vivas al inicio del día n. Parten N ovas vivas, pero van muriendo día a

día.

a) NX n ,...,2,1,0

b) Sea p: probabilidad de que una ova que está viva al inicio del día n lo esté al inicio de día n+1. Sea Ti : duración o vida de la ova i-ésima.

eTP

nTnT

Pp ii

i 111

luego si hay j ovas vivas al día siguiente

pueden haber j o menos.

Luego pXBinomialX nn ,1

c) Matriz P:

0 1 2 . N-1 N

0 1

1 p1 p 0 0 0 0

2 21

0

2p

11

1

2pp

2p 0 0 0

.

N-1 11

1

1

Np

N

N 2

12

1

Npp

N

N 32 1

3

1

Npp

N

N

. 1Np 0

N Np1 1

11

Npp

N

N

22 12

Npp

N

N

p1

p

2

Pregunta Nº 2. Juan y Pedro tienen 2 monedas cada uno. Se disponen a enfrentar un juego en que, en cada oportunidad, cada jugador lanza una moneda de sus monedas. Si ambas coinciden, gana Juan y se queda con la moneda de Pedro. En caso contrario, gana Pedro. El juego termina cuando uno de los jugadores gana las 4 monedas.

a) Obtenga la distribución de probabilidades del número de jugadas necesarias hasta que Juan logre tener 3 monedas por primera vez.

b) Explique como obtendría la distribución de probabilidades del número de jugadas hasta que el juego termina.

Desarrollo:

1.- Sea nX : nº de monedas de Juan.

a.- Se debe encontrar 3,2kF que corresponde a la probabilidad de que se vaya por primera

vez del estado 2 a estado 3 en un número k de etapas. Por lo tanto :

??3,2 kF

Para obtener esta probabilidad se debe construir el modelo detalladamente, es decir encontrar

el rango de nX , la matriz P y opcionalmente el gráfico de red.

Rango de la variable de estado nX : 4,3,2,1,0nX ,

Matriz P

P=

10000

210

2100

02

102

10

002

102

1

00001

Gráfico de red de la matriz P

Entonces volvamos de nuevo con 3,2kF

2

13,21 F ; 03,22 F ;

8

1

2

1

2

1

2

13,2 2312213 pppF ; 03,24 F

0 1 4 2 3 0,5

0,5 0,5 0,5 1 1

0,5 0,5

3

2

1

2

1

2

1)(3,2

2

232

12215

pppF

Término general:

),...(6,4,2;)(3,2 2

1

1221parkppF

k

k

----------------------------------------------------------- b.- El juego termina cuando se llega a que Juan tiene 0 ó 4 monedas. Lo que se pregunta entonces, es la probabilidad de que ocurra alguno de estos dos eventos, que son excluyentes. Además Juan tiene al inicio del juego 2 monedas. Luego lo que se pregunta es:

4,20,22

kkk

FF

Del estado 2 al estado 0 y al estado 4 se puede llegar en etapas múltiplos de 2 solamente. Luego :

,...6,4,2;4

1

2

1

2

10,2

kF

kk

k

,...6,4,2;4

1

2

1

2

14,2

kF

kk

k

j

jj

jj

jj

j

kk

park

FF

2

11

2

11

2

2 16

1

16

1

4

1

4

14,20,2

15

2

15

1

15

1

115

161

15

161

16

11

11

16

11

1

4

1

16

1

16

1

16

10

00

0

j

jj

j

Pregunta Nº 3. Considere un cultivo que contiene inicialmente un solo glóbulo rojo. Después de una cantidad de tiempo el glóbulo rojo muere y es reemplazado por dos nuevos glóbulos rojos o

bien por dos glóbulos blancos. Las probabilidades de estos eventos son 4

1 y 4

3

respectivamente. Subsecuentemente, cada glóbulo rojo se reproduce de la misma forma. Por otra parte, cada glóbulo blanco muere después de una unidad de tiempo sin reproducirse. Se desea calcular la probabilidad de que el cultivo se extinga en algún momento.

4

Formule para tal efecto un modelo detallado e indique con precisión como lo utilizaría para obtener la probabilidad pedida. Desarrollo

Sea nX : numero de glóbulos rojos presentes en la etapa n.

2log

log;

4

11

4

11 j

kk

i

iXjX

P

kik

n

n

Esta Cadena de Markov es tal que existen dos clases:

01 C y ,...4,3,22 C la clase 2C es infinita.

La clase recurrente 1C es recurrente y la clase 2C es transiente. La clase 1C está compuesta

por un estado aperiodico. Por lo tanto, por la Proposición 2 vista en clases, se puede asegurar que existe distribución estacionaria. Además por la misma proposición se puede asegurar que

,...2,10 jj es decir 20 Cjj y 10 Cjj . Como la clase 1C tiene

un solo elemento 10 .

Entonces la probabilidad de que el cultivo se extinga alguna vez es uno. Modelación de problemas en Cadenas de Markov de tiempo discreto

1 2

0

4

8

6

5

Pregunta Nº 4. En la ciudad de Santiago diariamente se liberan contaminantes a la atmósfera,

provenientes principalmente del uso de vehículos y de plantas industriales. La autoridad

correspondiente monitorea diariamente la calidad del aire en la ciudad y según la concentración

de contaminantes distingue 3 estados de alerta ambiental: Normal (N), Preemergencia (P), y

Emergencia (E). Se ha podido determinar que la evolución del estado de alerta obedece a una

cadena de markov.

Por simplicidad asumiremos que las probabilidades de transición dependen sólo del

número de vehículos que circulan por las calles de Stgo. cada día (las plantas industriales

pueden ser modeladas como un conjunto de vehículos).

Si en un día Normal circulan por Santiago y vehículos, entonces la probabilidad de que

el día siguiente sea también Normal vale )(1 yF , y la probabilidad de que el día siguiente sea

de Preemergencia es )(yF . Si en un día de Preemergencia circulan y vehículos, entonces el

día siguiente será Normal con probabilidad )(1 yF o Emergencia con probabilidad )(yF . Si

en un día de Emergencia circulan y vehículos entonces el día siguiente puede repetirse el estado

de Emergencia, lo que ocurre con probabilidad )(yF , o bien pasar al estado de Preemergencia

con probabilidad )(1 yF . La función F es continua, estrictamente creciente,

.1)(,0)0( FF

La autoridad ha tomado las siguientes medidas para combatir la contaminación: En los

días de Preemergencia se prohíbe circular a una fracción 1- de los vehículos de Santiago. En

los días de Emergencia la medida se hace más drástica, prohibiéndose la circulación de una

fracción 1- de los vehículos de la ciudad ( < ).

En lo que sigue asuma que en Santiago hay un parque automotriz de X vehículos, y

que cada día salen a circular aquellos que la autoridad no se los prohíbe.

Resolver:

a) Modele el sistema como una cadena de markov, indicando clases, espacio de estados,

gráfico nodal y matriz P.

b) Suponga que Ud. Posee un automóvil. ¿En promedio, qué fracción de los días del año

puede usar su automóvil para desplazarse por Santiago?. Asuma que cuando la

autoridad prohíbe el uso de una parte de los vehículos, lo hace de manera que todos los

vehículos tienen la misma probabilidad de ser afectados por la medida.

c) Suponga que por cada automóvil que deja de circular, el ingreso percápita para los

habitantes de Santiago se reduce en A($) (asociado a una caída en la producción y

también a mayores incomodidades y costos de transporte por menor disponibilidad de

vehículos tanto para transporte público como privado). Además, por cada día que respira

el aire de Santiago en estado de Preemergencia o Emergencia una persona percibe un

empeoramiento de su salud que se puede cuantificar en B($) y C($) respectivamente.

Formule el problema que debe resolver el gobierno para escoger y .

6

Solución

a)

0° Variable de estado: Estado de la calidad del aire en Santiago en un día cualquiera ( NX )

1° Espacio de estados: {Normal(N), Preemergencia(P), Emergencia(E)}

2° Modelamiento

)(1}/{ 01 yFNXNXPPNN

)(/ 01 yFNXPXPPNP

)(1/ 01 yFPXNXPPPN

)(/ 01 yFPXEXPPPE

)(/ 01 yFEXEXPPEE

)(1/ 01 yFEXPXPPEP

Medida de preemergencia : Se prohibe circular % 1- de vehículos

Medida de emergencia : Se prohíbe circular % 1- ( < )

Número total de vehículos : X

3° Matriz P

P =

)()(10

)(0)(1

0)()(1

xFxF

xFxF

xFxF

4° Gráfico nodal

N P E

N P

E

Del gráfico podemos

concluir que existe una

única clase Recurrente

Positiva Aperiódica

7

b) Fracción de días del año de uso de automóvil = EPN

c) Costo percápita por cada vehículos que deja de circular = A($)

Costo percápita por empeoramiento de la salud (en preemergencia) = B($)

Costo percápita por empeoramiento de la salud ( en emergencia) = C($)

¿Cómo escoger y , de tal manera de minimizar el costo total?

Si nC Costo total día n

AxBp 1

Min Costo esperado = ))1(())1(( AxCAxB EP

0, si X n = N (con p = N )

, si PX n (con Pp )

)))1(( AxCE , si EX n (con )Ep

8

Pregunta Nº 5. Mediante un estudio realizado a la población de un país X durante los últimos 36 meses, se obtuvieron los siguientes resultados concernientes al consumo promedio mensual por grupo familiar, distribuido por grupo económico:

Grupo A

MES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

CONSUMO(M$) 2,5 2,8 3,0 2,7 2,4 3,1 3,3 3,8 3,9 4,2 3,6 4,0 4,1 4,4 3,8 4,4 4,6 3,8 3,6 2,6

MES 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

CONSUMO(M$) 3,0 3,5 2,4 3,1 3,2 2,9 3,5 4,3 5,0 4,9 4,6 4,1 4,8 3,9 5,0 4,0

Grupo B

MES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

CONSUMO(M$) 0,83 0,92 0,85 0,8 1,2 1,5 1,7 2,0 1,3 0,86 0,8 0,95 1,15 1,55 1,8 2,0 1,1

MES 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

CONSUMO(M$) 0,9 1,0 0,8 0,95 1,25 1,35 1,05 1,3 1,45 1,5 1,2 1,0 1,4 1,1 1,0 0,8 1,3 1,5 1,5

Grupo C

MES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

CONSUMO(M$) 0,3 0,45 0,25 0,18 0,16 0,19 0,35 0,47 0,52 0,61 0,48 0,55 0,45 0,38 0,4 0,51

MES 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

CONSUMO(M$) 0,56 0,7 0,62 0,67 0,74 0,78 0,59 0,71 0,73 0,76 0,68 0,62 0,61 0,68 0,52 0,45

MES 33 34 35 36

CONSUMO(M$) 0,5 0,61 0,68 0,63

Asumiendo los siguientes rangos de datos:

Para la clase A: 5,22 0,35,2 5,30,3 0.45.3 5.40.4 0,55,4

Para la clase B: 1,18,0 4,11,1 7,14,1 0,27,1

Para la clase C: 2,00 4,02,0 6,04,0 8,06,0

Determine:

a) El consumo percápita esperado para el siguiente periódo en cada grupo económico de

interés estudiado, si el número de hijos distribuye uniformemente, U 4,0 , para la clase

9

A y, para las clases B y C sigue la siguiente distribución: 0 hijos (p=0.2), 1 hijo (p=0.3), 2 hijos (p=0.5). Además se conoce el vector inicial de probabilidades para cada caso: Clase A: Cada estado tiene la misma probabilidad de ocurrencia. Clase B: La probabilidad de encontrarme en un estado cualquiera es el doble de la de pertenecer a un nivel inmediatamente inferior. Clase C: El sistema se encuentra en el estado 4 con absoluta certeza.

Solución

Clase A

Sea nX : Consumo promedio familiar de consumidores clase A en el mes n

nXE = {1,2,3,4,5,6}

2

55.46

2

5.445

2

45.34

2

5.333

2

35.22

2

5.221

11

11111

XPXP

XPXPXPXPXE

6

2

1

1

1

1

)1(

XP

XP

XP

f

=

6/1

6/1

6/1

)0(

6

)0(

2

)0(

1

)1(

f

f

f

PT

1° Cálculo de P: Agrupando la información según los rangos definidos se tiene lo siguiente:

Estados 1 2 3 4 5 6 Total

Estados Rangos 5,22

0,35,2

5,30,3 0.45.3 5.40.4 0,55,4

1 5,22 0 1 2 0 0 0 3

2 0,35,2 1 3 2 0 0 0 6

3 5,30,3 1 1 2 1 1 0 6

4 0.45.3 0 1 0 3 3 1 8

5 5.40.4 0 0 0 2 1 3 6

6 0,55,4 0 0 0 3 1 2 6

Por lo tanto para la clase A se tiene que la matriz P es:

10

3/16/12/1000

2/16/13/1000

8/18/38/308/10

06/16/13/16/16/1

0003/12/16/1

0003/23/10

P

18

1

6

1

6

1

6

1

6

1

161

)0(

651

)0(

541

)0(

431

)0(

321

)0(

211

)0(

11

6

1

)0(

1

PfPfPfPfPfPfPfXPi

ii

6

1

2

)0(

1144

272

i

iPfiXP

6

1

3

)0(

19

23

i

iPfiXP

6

1

4)0(

1144

334

i

iPfiXP

6

1

5)0(

148

75

i

iPfiXP

6

1

6

)0(

1144

236

i

iPfiXP

75.4144

2325.4

48

775.3

144

3325.3

9

275.2

144

2725.2

18

1_Pr_ FamiliaromedioConsumoE

= 3,6 (m$)

hijoshogarxhijosNE _2245

13

5

12

5

11

5

10

5

1__

9,0

22

6,3___

miliadehijosxfaNE

familiarpromedioConsumoEpercápitaConsumoE (m$)

Clase B

Sea nX : Consumo promedio familiar de consumidores clase B en el mes n

11

nXE = {1,2,3,4}

2

0.27.14

2

7.14.13

2

4.11.12

2

1.18.01 11111 XPXPXPXPXE

4

2

1

1

1

1

)1(

XP

XP

XP

f

=

15/8

15/2

15/1

)0(

4

)0(

2

)0(

1

)1(

f

f

f

PT

p

p

p

p

f

8

4

2)0(

3

0

12i

i p

1° Cálculo de P: Agrupando la información según los rangos definidos se tiene lo siguiente:

Estados 1 2 3 4 Total

Estados Rangos 1,18,0 4,11,1 7,14,1 0,27,1

1 1,18,0 11 6 0 0 17

2 4,11,1 4 1 4 0 9

3 7,14,1 0 1 3 2 6

4 0,27,1 1 1 0 1 3

Por lo tanto para la clase B se tiene que la matriz P es:

3/103/13/1

3/12/16/10

09/49/19/4

007/67/11

P

34,01 41)0(

431)0(

321)0(

211)0(

11

4

1

)0(1

PfPfPfPfPfXP i

i

i

4

1

2)0(

1 29,02

i

iPfiXP

4

1

3)0(

1 19,03

i

iPfiXP

4

1

5

)0(

1 27,04i

iPfiXP

5/1p

12

85,127,055,119,025,129,095,034,0_Pr_ FamiliaromedioConsumoE

= 1,47 (m$)

hijohogarxhijosNE _125,013,0__

49,0

21

47,1___

miliadehijosxfaNE

familiarpromedioConsumoEpercápitaConsumoE (m$)

Clase C

Sea nX : Consumo promedio familiar de consumidores clase C en el mes n

nXE = {1,2,3,4}

2

8,06,04

2

6,04,03

2

4,02,02

2

2,001 11111 XPXPXPXPXE

4

2

1

1

1

1

)1(

XP

XP

XP

f

=

1

0

0

)0(

4

)0(

2

)0(

1

)1(

f

f

f

PT

1° Cálculo de P: Agrupando la información según los rangos definidos se tiene lo siguiente:

Estados 1 2 3 4 Total

Estados Rangos 2,00

4,02,0 6,04,0 8,06,0

1 2,00 2 1 0 0 3

2 4,02,0 1 1 3 0 5

3 6,04,0 0 2 6 4 12

4 8,06,0 0 0 3 12 15

Por lo tanto para la clase C se tiene que la matriz P es:

5/45/100

3/12/16/10

05/35/15/1

003/13/2

P

13

01 41

)0(

441

)0(

431

)0(

321

)0(

211

)0(

11

4

1

)0(

1

PfPfPfPfPfPfXP i

i

i

4

1

422

)0(

1 02i

i PPfiXP

4

1

433

)0(

1 5/13i

i PPfiXP

4

1

5

)0(

1 4i

iPfiXP 5/444 P

)5/4(7,0)5/1(5,0_Pr_ FamiliaromedioConsumoE

= 0,66 (m$)

hijohogarxhijosNE _125,013,0__

$)_(22,0

21

66,0___ m

miliadehijosxfaNE

familiarpromedioConsumoEpercápitaConsumoE

14

Pregunta Nº 6. Ud. Ha sido contratado por una importante empresa del sector minero como consultor, para realizar una evaluación de la rentabilidad y viabilidad para los siguientes dos periódos de operación. Para ésto, el Gerente de Finanzas, Sr. Pedro Ramírez, le ha entregado una extracto de los balances de los últimos 3 años, en el cual figura la siguiente información:

MES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

INGRESO(MU$) 2,6 2,8 3,5 3,9 4,2 2,9 4,1 5,0 4,3 4,6 3,5 3,1 3,6 2,8 4,1 4,3 4,5 3,6 2,6 3,0

MES 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

INGRESO(MU$) 3,1 4,2 4,4 3,2 3,4 3,6 3,8 3,1 2,7 3,5 3,8 4,0 4,1 4,6 4,9 4,9

MES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

COSTO(MU$) 2,5 2,5 2,8 3,3 4,3 3,1 3,6 4,5 4,5 4,8 3,6 3,0 3,2 3,0 3,8 4,3 4,2 3,5 2,7 2,9

MES 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

COSTO(MU$) 2,9 4,1 4,3 3,5 3,6 3,0 4,0 3,0 2,6 3,0 3,3 3,8 4,2 4,5 4,7 4,7

a) Determine el ingreso esperado para los siguientes 2 periódos, si actualmente la empresa recibe un ingreso de 3,6 (MU$)

b) Determine el costo esperado para los siguientes 2 periódos, si actualmente la empresa desembolsa 3,2 (MU$) en costos de operación.

c) Determine si es rentable para el inversionista continuar en este negocio en los siguientes 2 periódos.

Nota : Asuma los siguientes intervalos en ambos casos 0,35,2 5,30,3 0.45.3

5.40.4 0,55,4

Solución a)

Definiremos la variable nI : Ingreso percibido por la empresa en el periódo n.

Agrupando la información según los rangos definidos tenemos lo siguiente:

Estados 1 2 3 4 5 Total

Estados Rangos 0,35,2 5,30,3 0.45.3 5.40.4 0,55,4

1 0,35,2 2 3 0 2 0 7

2 5,30,3 1 2 4 1 0 8

3 0.45.3 2 1 2 2 0 7

4 5.40.4 1 1 1 3 3 9

15

5 0,55,4 0 0 1 1 2 4

Por lo tanto para el ingreso se tiene la siguiente matriz P y P )2( :

2/14/14/100

3/13/19/19/19/1

07/27/27/17/2

08/12/14/18/1

07/207/37/2

IP

33.028.022.006.0099.0

28.027.021.013.011.0

095.028.018.023.021.0

042.025.028.020.022.0

095.023.025.026.017.0

)2(P

0

01

75.47/2

01

25.47/2

01

75.3

7/1

01

25.37/2

01

75.2

0

3/52

0.55.43/4

2

5.40.43/3

2

0.45.3

3/22

5.30.33/1

2

0.35.23/1__

XXPXXPXXP

XXPXXPXPeriódoIngresoE

$)_(54,3 MU

$)_(64,3)095.0(75.4)28.0(25.4)18.0(75.3)23.0(25.3)21.0(75.2

75.425.475.325.375.23/2__)2(

35)2(

34)2(

33)2(

32)2(

310

MU

PPPPPXperiódoIngresoE

b)

Definiremos la variable nC : Costo incurrido en gastos de operación durante el

periódo n. Agrupando la información según los rangos definidos se tiene lo siguiente:

Estados 1 2 3 4 5 Total

Estados Rangos 0,35,2 5,30,3 0.45.3 5.40.4 0,55,4

1 0,35,2 6 3 2 1 0 12

2 5,30,3 2 0 3 1 0 6

3 0.45.3 3 0 0 3 0 6

4 5.40.4 0 3 0 4 2 9

5 0,55,4 0 0 1 0 1 2

16

Por lo tanto para el costo se tiene la siguiente matriz P y P )2( :

2/102/100

9/29/403/10

02/1002/1

06/12/103/1

012/16/14/12/1

IP

25.025.025.0025.0

21.025.028.015.011.0

11.026.0083.029.025.0

037.035.0056.014.042.0

019.020.021.015.042.0

)2(P

0

01

75.46/1

01

25.42/1

01

75.3

0

01

25.33/1

01

75.2

0

2/52

0.55.42/4

2

5.40.42/3

2

0.45.3

2/22

5.30.32/1

2

0.35.22/1__

XXPXXPXXP

XXPXXPXPeriódoCostoE

$)_(5,3 MU

$)_(48,3)037.0(75.4)35.0(25.4)056.0(75.3)14.0(25.3)42.0(75.2

75.425.475.325.375.22/2__)2(

25)2(

24)2(

23)2(

22)2(

210

MU

PPPPPXperiódoIngresoE

c) Como 11 CI y 22 CI , el negocio es rentable para el inversionista por lo menos durante

los siguientes 2 periódos de ejercicio.

17

Pregunta Nº 6 Una tienda vende un único producto, del cual mantiene inventarios en una bodega, I. Al comenzar cada semana, el gerente observa el inventario disponible en bodega. Si I s, entonces, el gerente pide T-I unidades al proveedor (0<s<I), de manera de quedar con T unidades en bodega. El pedido es recibido de inmediato. Si I > s, el gerente no hace el pedido esa semana. Las demandas en cada semana son v.a.i.i.d. En una semana cualquiera, la demanda es de k unidades con

probabilidad k (k0). La demanda insatisfecha se pierde.

a.1) Muestre que el nivel de inventario al comienzo de cada semana (antes de hacer el pedido) se puede modelar como una cadena de markov. Indique claramente cuáles son los estados que ha definido y calcule las probabilidades de transición. (Todo lo anterior para el caso s=2, T=4). a.2 Obtenga una relación de recurrencia entre el inventario al comienzo del día n, y el inventario al inicio del día n+1.

En lo siguiente considere 0<s<T arbitrarios.

b) Suponga que la llegada de clientes a la tienda queda bien descrita por un

proceso de Poisson de tasa (clientes/semana) y que cada cliente compra 1

unidad. Indique cuánto valen los valores 0, kk para este caso, y defina la

matriz P. c) Suponga ahora que la demanda es determinística e igual a 1 en cada semana.

(Note que la bodega puede comenzar con menos de s unidades. Modele esta situación.

Solución

a.1 )(nX : Inventario disponible al comienzo de la semana n, antes de hacer el

pedido. a: antes de pedir d: después que ha llegado el pedido

)(anX nQ )(dnX Demanda )(1 anX

0 4-0=0 4 0 1 2 3

4

4 3 2 1 0

1 4-1=3 4 0 1 2 3

4

4 3 2 1 0

2 4-2 4 0 1 2 3

4

4 3 2 1 0

18

3 0 3 0 1 2 3

3 2 1 0

4 0 4 0 1 2 3

4

4 3 2 1 0

4,3,2,1,0n

XE

0123

2

0

012

2

0

0123

3

0

0123

3

0

0123

3

0

1

01

1

1

1

01234

00123

01234

01234

01234

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

nnnnn

nnnn

nnnnn

nnnnn

nnnnn

DPDPDPDPDP

DPDPDPDP

DPDPDPDPDP

DPDPDPDPDP

DPDPDPDPDP

P

a.2) 1nX

b) Sea nX : cantidad de inventario disponible al comienzo de la semana n,

antes de hacer el pedido.

)(anX nQ )(dnX Demanda )(1 anX

0 T-0=0 T 0 1 2

T-1 T

4 3 2 1 1 0

1 T-1=3 T 0 1 2

T-1 T

T T-1 T-2

1 0

Máximo ( 0,4 nD ) , Si 2nX

Máximo ( )0,nn DX , Si 2nX

19

s-1 T-s+1 T 0

1 2

T-1 T

T T-1 T-2

1 0

s T-s T 0 1 2

T-1

T

T T-1 T-2

1 0

s+1 0 s+1 0 1 2

s s+1

s+1 s

s-1

1 0

T-1 0 T-1 0

1

1T

T-1 T-2

0

T 0 T 0 1

T

T T-1

0

0 1

S-1 S S+1 T-1 T

20

01

1

0

012

2

0

012

0

01111

1

0

01111

1

0

1

01

001

1

1

T

T

i

i

sTsTT

T

i

i

s

s

i

i

sTsTsTT

T

i

i

sTsTsTT

T

i

i

iiiiiiiii

iiiiiiiiidem

De acuerdo a Poisson: j

tejtNP

jt )()(

0 1 s - 1 s s + 1 ....... T - 1 T

!0

)(

)!1(

)(

!

)(1

0!0

)(

)!1(

)(

)!(

)(

)!2(

)(

!

)(1

00!0

)(

!1

)(

!2

)(

!

)(

!

)(1

!0

)(

!1

)(

)!1(

)(

)!(

)(

)!1(

)(

)!1(

)(

!

)(1

!0

)(

!1

)(

)!1(

)(

)!(

)(

)!1(

)(

)!1(

)(

!

)(1

1

1

1

1

0

011

0

0122

0

02

0

011111

0

011111

0

e

T

e

i

e

e

sT

e

sT

e

T

e

i

e

eee

s

e

i

e

iiiiiiiii

iiiiiiiii

iiiiiiiii

ee

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sT

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T

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i

e

ee

sT

e

sT

e

sT

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T

e

i

e

T

T

s

s

s

P

TT

i

i

sTsTTT

i

i

ss

i

i

sTsTsTTT

i

i

sTsTsTTT

i

i

c) 1nD (con prob=1)

nX : Número de unidades de producto disponibles al comienzo de la semana n.

)(anX nQ )(dnX nD )(1 anX

0 T T 1 T-1

1 T-1 T 1 T-1

0

1

S+1

S

T-1

T

P =

21

2 T-2 T 1 T-1

s-1 T-s+1 T 1 T-1

s T-s T 1 T-1

s+1 0 s+1 1 s

T-1 0 T-1 1 T-2

T 0 T 1 T-1

01000000000

00100000000

00001000000

00000100000

01000000000

01000000000

01000000000

01000000000

01000000000

1

1

1

2

1

0

T

T

s

s

s

P

0 1 2

s - 1 s s + 1 T - 1 T

22

Pregynta Nº7 : Considerar la siguiente política (k,Q) de gestión de inventarios. Sean

,........,21, DD las demandas en los periódos 1, 2,......, respectivamente. Si la demanda

durante un periódo excede el número de ítemes disponibles, la venta del producto se realiza como si existiera stock suficiente, pero se despacha solo el disponible. El resto es anotado como pendiente, de manera que se satisface cuando llega el siguiente

pedido de reposición del inventario. Denotemos por nZ (n=0,1,2,...) la cantidad de

inventario disponible menos el n° de unidades pendientes antes de efectuar un pedido

de reposición de inventario al final del periódo n. El sistema parte vacío )0( 0 Z . Si

nZ es cero o positivo, no se dejan pedidos pendientes. Si nZ es negativo, entonces -

nZ representa el número de unidades de demanda retrasada y no queda inventario

disponible.

El pedido de reposición en general es Q. Pero, si al principio del periódo n, nZ < 1, se

efectúa un pedido de reposición de 2m, donde m es el menor entero tal que

12 mZn .

a) Obtenga P. b) Suponga que el costo de efectuar un pedido de reposición es (3+3m). El

costo de mantenimiento del stock es nC si nZ 0 , cero en caso contrario.

El costo de ruptura del stock es -nC , si nZ <0. Encontrar el costo medio

esperado por unidad de tiempo.

Solución:

nperiódodelotéraldisponibleInventarioZn ___min___

nZ m 2m nZ + 2m 1nD 1nZ

0 1 2 0+2=2 0 1 2 3 4

2 1 0 -1 -2

1 0 0 1 0 1 2 3 4

1 0 -1 -2 -3

2 0 0 2 0 1 2 3 4

2 1 0 -1 -2

-1 1 2 -1+2=1 0 1 2 3 4

1 0 -1 -2 -3

-3 -2 -1 0 1 2

23

012340

001234

012340

001234

012340

001234

2

1

0

1

2

3

DPDPDPDPDP

DPDPDPDPDP

DPDPDPDPDP

DPDPDPDPDP

DPDPDPDPDP

DPDPDPDPDP

P

05/15/15/15/10

05/15/15/15/15/1

5/15/15/15/15/10

05/15/15/15/15/1

5/15/15/15/15/10

05/15/15/15/15/1

P

c) Costo medio esperado =

1

3

2211

0

3

)4()()33()(

i

ii

i

i zzzm

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- El Departamento de Marketing Cuantitativo de un prestigioso banco nacional está desarrollando un modelo basado en Cadenas de Markov discretas, para estimar el número de clientes en el estrato ABC1. El planteamiento es el siguiente:

Sea nX el número de clientes pertenecientes al segmento ABC1 el primer día hábil del mes n.

En el banco existen solamente dos segmentos para clasificar a los clientes ABC1 y C2. En total hay N clientes en el banco y que la probabilidad de que un cliente pase de ABC1 a C2

es 1p y de C2 a ABC1 es 2p . Suponga que los clientes no se retiran del banco, ni tampoco

ingresan nuevos clientes. Si se sabe que el primer día hábil de un mes hay 1n personas en el

segmento ABC1 :

¿ Cuál es la probabilidad de que en el primer día hábil del mes siguiente hayan 2n clientes en el

mismo segmento ? 12 nnN (2 puntos)

2.- Sea nX el número de personas hospedadas en un cierto hotel al inicio del día n. Se sabe

que pueden llegar 0,1,2 ó 3 clientes en un día, con igual probabilidad. Además se sabe que el tiempo de permanencia de un cliente en el hotel es exponencial con media . El hotel tiene

capacidad solo para 4 personas y las que llegan cuando el hotel está lleno se van sin dejar reserva. Obtenga la matriz P. (2 puntos)

Indicación: Puede usar la siguiente aproximación de d 1

24

3.- El ascensor de un edificio con tres pisos realiza viajes entre los pisos regularmente. Sea nX

el piso en que para el ascensor en la etapa n. Se sabe que la mitad de los viajes que parten del piso 1 se dirigen a uno de los otros pisos con igual probabilidad. Si el ascensor parte en el piso 2 el 25% de las veces termina en el piso 2. Por ultimo si su trayecto empieza en el tercer piso siempre termina en el primer piso.

a) Obtenga la matriz P y el rango de la variable.

b) Obtenga

2

3;1;2

1

024

XXXX

P

c) Diga si existe distribución límite y si es así, calcúlela. d) Diga si existe distribución estacionaria y si es así calcúlela.

4.- Un agente comercial realiza su trabajo en tres ciudades A,B,C. Para evitar gastos trabaja durante un día en cada ciudad y alli se queda en la noche. Después de estar trabajando en la ciudad C la probabilidad de tener que seguir trabajando en ella al día siguiente es 0,4; la probabilidad de viajar a B es 0,4. Si el viajante duerme una noche en B con probabilidad 0,2 deberá seguir trabajando en la misma ciudad al día siguiente y en el 60% de los casos viajará a C. Por último, si el agente trabaja en A un día permanecerá en esa ciudad con probabilidad 0,1 o irá a la ciudad B con probabilidad 0,3.

a) Si hoy el viajante está en la ciudad C ¿Cual es la probabilidad de que tenga que estar en la misma ciudad en 4 días más?

b) ¿Cuáles son los porcentajes de días que el viajante se encuentra en cada ciudad? c) ¿Cuál es la probabilidad de que un viajante vuelva a la ciudad A?

5.- Los consumidores de café en la VIII Región usan tres marcas A, B, C. En Marzo de 2008 se hizo una encuesta en lo que entrevistó a las 8450 personas que compran café y los resultados fueron: Compra actual Marca A Marca B Marca C Total Marca A = 1690 507 845 338 1690 Marca B = 3380 676 2028 676 3380 Marca C = 3380 845 845 1690 3380 TOTALES 2028 3718 2704 8450 a) Si las compras se hacen mensualmente, ¿cuál será la distribución del mercado de café en la VIII Región en el mes de junio? b) A la larga, ¿cómo se distribuirán los clientes de café? c) En junio, cual es la proporción de clientes leales a sus marcas de café? 6.- Una agencia de arriendo de vehículos ha definido la variable aleatoria Xt como el número de automóviles disponibles en la agencia al empezar la semana t+1. Sea Dt una variable aleatoria que representa la demanda por automóviles la semana t. La agencia utiliza una política de reorden (s,S) con s=1 y S=3. No se acepta demanda pendiente. Sea Xo = 3 y suponga que la variable aleatoria Dt tiene distribución de Poisson con a) Obtenga los valores de la variable Xt b) Exprese a través de una fórmula de recurrencia la relación entre xt y Xt+1

25

c) Encuentre la matriz P (valores númericos) d) Suponga ahora que el costo incurrido es un valor fijo de $ 110.000 por orden más un valor

variable de $ 25.000 por automóvil. Encuentre el costo esperado de inventario.

7.- Una empresa de transportes debe contratar un seguro para su flota de vehículos. Existen 4 posibles seguros con valores P1, P2, P3, y P4. De modo que : P1 > P2 > P3 > P4.

El valor del seguro se paga al principio del año y depende del tipo de seguro contratado el año anterior y de los accidentes cobrados a la compañía de seguros durante el año. Si durante el año, el seguro contratado costó Pi y no se cobraron seguros, el seguro del año siguiente costará Pi + 1; en caso contrario (esto es si se cobraron seguros) el seguro costará P1. Si el año anterior el seguro costo P4 y no hubo daños cobrados, el seguro costará este año también P4. La empresa de transportes debe decidir, al final del año, si cobrará o no los daños acumulados por sus vehículos durante el año. Si la empresa decide cobrar los daños, la compañía de seguros se hace cargo de éstos, con excepción de un deducible, que vale Ri para el seguro i. El daño total de la flota durante un año cualquiera es una variable aleatoria con función de distribución F y función de densidad f. Defina Xn como el tipo de seguro contratado en el año n. a) Obtenga la matriz de P de este proceso.

b) Obtenga una expresión explícita para el vector distribución estacionaria de este proceso. c) Obtenga una expresión para el costo esperado anual de usar esta política en el largo plazo.

¿Cómo podría encontrar la política óptima para este caso? 8.- En la etapa inicial un jugador tiene MM$ 2. En las etapas 1,2..... participa en un juego en el que apuesta MM$ 1. Gana el juego con probabilidad p, y lo pierde con probabilidad (1-p). Su meta es aumentar su capital a MM$ 4 y tan pronto como lo logre se retira. El juego también se suspende si el capital del jugador se reduce a $0 . a) Formule la matriz de probabilidades de transición en una etapa. Si p=0.4 b) Calcule la probabilidad de que el jugador obtenga su objetivo de juntar MM$ 4 de capital.