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Universidad Nacional de San Cristobal de Huamanga
Facultad de Ingenierıa de Minas, Geologıa y Civil
Escuela de Formacion Profesional de Ingenierıa Civil
Ejercicios de Dinamica Trabajo 2
Asignatura
Dinamica
Docente
Ing. Cristian Castro Perez
Alumnos
Ataucusi Choquecahua, Klever
Bellido Arango, Miguel
De la Cruz Quispe, Giovanni
Marcelo Gamboa, Russel
Semestre Academico
2012 – II
Universidad Nacional deSan Cristobal de Huamanga
EFP. de Ingenierıa Civil
1.121 El colların A se mueve a lo largo de una guıa circular de radio e al girar el brazo OB
en torno a O. Deduzca las expresiones para las magnitudes de la velocidad y la aceleracion
del colların A en funcion de θ, θ, θ y e.
Solucion
cos θ = r2e
r = 2e · cosθ r = −2e · senθ · θr = −2e · cosθ · θ2
Las ecuaciones de velocidad y aceleracion en un movimiento polar:
a)−→v = (r)er + (rθ)eθ
−→v = (−2e · sin θ · θ)er + (2e · cosθ · θ)eθ
v =
√(−2e · sinθ · θ)2 + (2e · cos θ · θ)2 = 2eθ
b)
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−→a = (r− rθ2)er + (rθ + 2θr)eθ
−→a = (−2e · cos θ · θ2 − 2e · cos θ · θ2)er + (2e · cosθ · θ + 2θ · (−2e) · senθ · θ)eθ
a =
√(−4e · cos θ · θ2)2 + (2e · cos θ · θ + 2θ · (− 2e) · senθ · θ)2
a = 2e√
4 ∗ θ4 + θ2∗ cos θ2 − 2sen2θ∗θ2∗θ
1.126 El movimiento de una partıcula A a lo largo de una helice cilındrica se describe
por la ecuaciones z = ht/n y θ = 2Π ∗ t/n, en las cuales n es una constante. Deduzca las
expresiones para las magnitudes de la velocidad y la aceleracion.
Solucion
z =h · t
nz =
h
nz = 0 ; θ =
2∏·t
nθ =
2∏nθ = 0 ; r = R r = 0 r = 0
Las ecuaciones de velocidad y aceleracion en un movimiento polar
a)
−→v = (r)er + (rθ)eθ + zek
−→v = 2∏
·Rn eθ + h
nek
v =
√(2
∏R)2·h2n2
= (2∏
R)·hn
b)
−→a = (r− rθ2)er + (rθ + 2θr)eθ + zek
−→a = (0− R · (2∏n )2)er
a = 4∏2·Rn2
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1.139 Las motocicletas A y B se estan moviendo a lo largo de dos pistas circulares a
velocidades constantes de 30 y 50 mph, respectivamente, como se muestra. Determine la
velocidad y la aceleracion de la motocicleta B con relacion a la motocicleta A.
Datos
VA = 30mph R2 = 1mi
VB = 50mph R1 = 1,5mi
Incognitas
−−−→VB/A
=???
−−−→aB/A=???
Solucion
−→VA = (VACos30) i+(VASen30) j−→VA = (30Cos30) i+(30Sen30) j−→VA = (26 i+15 j)mph−→VB = (VBCos40) i+(VBSen40) j−→VB = (50Cos40) i+(50Sen40) j−→VB = (38,3 i+32,1 j)mph
Del movimiento relativo tenemos:
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−−−→rB/A= −→rB −−→rA
Derivando una vez con respecto al tiempo
−−−→VB/A
=−→VB −
−→VA
Donde:
−−−→VB/A
= −−−→rB/A−→VB = −→rB−→VA = −→rA
Entonces
−−−→VB/A
= (38,3 i+32,1 j)mph− (26 i+15 j)mph
−−−→VB/A
= (12,3 i+17,1 j)mph
Derivando nuevamente con respecto al tiempo
−−−→aB/A= −→aB −−→aA
−→aB = aBt t+aBn n
−→aA = aAt t+aAn n
Como las velocidades son constantes
aBt = 0
aAt = 0
aBn =V 2BR1
aBn = 502
1,5 = 1666,6mph2
aAn =V 2AR2
aAn = 302
1 = 900mph2
Y en coordenadas cartesianas tenemos
aAt n = (900Sen30) i+(900Cos30) j
aAt n = (450 + 779,4 j)mph2
aBt n = (1666,6Sen30) i+(1666,6Cos30) j
aBt n = (1071,3 i+1276,7 j)mph2
Ası tenemos la aceleracion en coordenas rectangulares
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−−−→aB/A= (1071,3 i+1276,7 j)mph2 − (450 i+779,4 j)mph2
−−−→aB/A= (621,3 i+497,3 j)mph2
1.148 El bloque A se esta moviendo hacia abajo con una velocidad de 7 m/s, la cual
esta aumentando a un regimen de 2m/s, mientras el bloque C se esta moviendo hacia arriba
con una velocidad de 9m/s, la cual esta decreciendo a un regimen de 3m/s2. Determine
la velocidad y aceleracion del bloque B en ese instante.
Solucion
Datos
VA = SA = −2 (m/s)haciaabajo(−)(↓)
aA = SA = −2(m/s2
)haciaabajo(−)(↓)
VC = SC = 9 (m/s)haciaarriba(+)(↑)
aC = SC = −2(m/s2
)haciaabajo(−)(↓)
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SA + SB − SD + π.R = L1
SA + SB − SD + π.R = L1 = C1
SD = SA + SB − C1 (1)
(SC − SD) + (SB − SD) + π.R = L2
SC + SB − 2SD = L2 −+π.R = C2
SC + SB − 2SD = C2 (2)
Reemplazando (1) en (2):
SC + SB − 2SA − 2SB − 2C1 = C2
SC − SB − 2SA = C2 + 2C1 (3)
Derivando (3) con respecto al tiempo para obtener las velocidades:
SC − SB − 2SA = 0
SC − SB − 2SA = 0 (4)
9− SB − 2(−2) = 0
SB = 13(m/s)(↑)B se mueve hacia arriba con 13(m/s) de velocidad.
Derivando (4) con respecto al tiempo obtenemos la aceleracion
SC − SB − 2SA = 0
−3− SB − 2(−2) = 0
SB = 1(m/s2
)(↑)
la velocidad B crece a un regimen de 1m/s2
1.78 Si se mueve la banda transportadora del problema 1.71 a una velocidad de 20pies/s,
determine el intervalo de altura h de la banda transportadora con la cual caen los bloques
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en la abertura.
Datos
Para la velocidad
V ox = 20pies/s V oy = 0
Para las posiciones
xo = o; yo = h
x = 9,5pies; y = 0
Solucion
savemosque : v = dydt
entonces :b∫ady =
t∫0vdt
y = y0 + voyt− 12gt
2 (1)
Reemplazando el tiempo en la ecuacion (1)
x−x0vox
= t
Entonces y = yo + voy
(x−xovox
)− 1
2(x−xo)2vox2 (2)
Reemplazando datos en la ecuacion 2
0 = h+ 0×(9,5−020
)− 1
2 ×(9,5−0)2
202
porlotanto : h = 3,633pies
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1.83 Determine la altitud h y la velocidad V0 de un avion que vuela hacia el este si
un proyectil dirigido que suelta desde el aire choca contra un barco que navega hacia el
norte a velocidad constante de 125Km/h, al llegar al punto B. Se muestra en la figura la
posicion del barco en el instante en que el avion suelta el proyectil.
Datos
Vb = 125Km/h
z = 1,5km
x = 2,5km
Solucion Como la velocidad del barco es constante el movimiento es uniforme entonces
Vb = z/t
Despejando el tiempo ”t”que demora en llegar al punto B
t = Vbz
t = 1,5125 = 0,012h
Ahora como el movimiento q hace el proyectil es un movimiento parabolico el cual la
velocidad en el eje es constante es decir
Vo = x/t
Vo = 2,50,012 = 208,3Km/h
Como el avion se dirige hacia el este la velocidad del avion es−→Vo = 208,3 iKm/h
Ya que el avion solo le proporciona velocidad horizontal mas no vertical la velocidad
inicial vertical del proyectil es igual a cero (Vyo = 0) y con esto hallamos la altura h
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h = Vyot+ 12gt
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Reemplazando datos tenemos
h = 0 · 0,012 + 12 · 9,81 · 0,0122 = 1,83Km
1.90 Un auto de carreras se esta moviendo a velocidad constante de 45 mph sobre una
pista en forma de S, formada por dos semicırculos de 800 pies y 600 pies de radio, como
se muestra. Determine la aceleracion del auto en las posiciones B, C y D.
Datos
V = 45mph = cte
R1 = 800pies;R2 = 600pies
Nos pide la aceleracion en los puntos B,C y D
aB =?; aC =?; aD =?
Empezamos del punto ”A”hasta el instante en que ingresa el vehıculo a la semi cir-
cunferencia. Sabemos que la velocidad es constante,entonces:
El espacio que va recorrer el movil es 400 pies d=400 pies (es la distancia recorrida)
Hallamos el tiempo
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d = vt
400 = 45 (1,467) t, 1mph = 1,467pies/s
t = 6,059s
Sabemos por MOVIMIENTO CURVILINEO,que las coordenas tangenciales y norma-
les es:
Y como nos pide la aceleracion,las formulas a usarse seran:
Aceleracion tangencial y normal
at = v; an = v2
ρ = s2
ρ
pero : s = v; v = 66,015piess (por dato del problema)
v = dsdt
vt∫todt =
s∫sods
v (t− t0) = s− s0; s0 = 0(desde que inicia la semi circunferencia)
Reemplazando el valor de ”t0”
v(t− 6,059) = s
s = 66,015t−−66,015× 6,059 (2)
de la ecuacion (2),derivamos respecto al tiempo.
s = 66,015 + 0 (3)
s = 0 (4)
Sabemos que la aceleracion tangencial es igual a:
at = v = s; comos = 0
at = 0
y la aceleracion normal es igual a:
an = v2
ρ = s2
ρ
an = 66,0152
800 = 5,447pies/s2
Por lo tanto la aceleracion en el punto ”B”sera:
aB =√a2n + a2t = 5,447pies/s2
De esto deducimos que si cumple con estas condiciones,de que:
R = cte. y la v = cte.
La aceleracion el cualquier punto sera:
~a = − s2
ρ × en + 0× et
Para la aceleracion en el punto ”C”
reemplazando en la ecuacion: ~a = − s2
ρ × en + 0× et−→ac = −66,0152
600 × en + 0× et(vectorial)
ac = 7,263pies/s2
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Para el punto ”D”
Sabemos que el radio de curvatura tiende al infinito,y que la velocidad es constante
entonces
La aceleracion en ese punto es igual a cero.
Demostracion
v = dsdt = cte
d2sdt2
= a = 0
por lo tanto la aceleracion en el punto ”D”es igual a cero.
6.25 El ciguenal AB gira en el sentido de las manecillas del reloj a una velocidad angular
constante de wAB = 25rad/s. para la posicion angular de θ = 30◦, determine: a) La
velocidad del piston C, y b) velocidad angular de la biela BC.
Solucion
a)
−→vb = −−→wABx−→rb−→vb = (−25k)× (5cos30i + 5sen30j)
−→vb = 62,5i− 108,25
b)
−→vc = −→vb +−−→wBCx−−→rC/B−→vc = 62,5i− 108,25 + (−wk) × (6.67i− 4.95j)
−vcj = 62,5i− 108,25− 6.67wj− 4.95wi
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Igualamos las coordenadas i y j
62.5− 4.95w = 0
W = 12.62
−vc = −0.67w − 0.67w
−vc = −108,25− 0.67 · (12.62)
vc = 116.7
6.28 El area sombreada se mueve en el plano XY en un instante dado, las velocidades e os
puntos A y B se dan como ~VA = 4i+3j(pies/s) y ~VB = −3i−4j(pies/s), respectivamnente.
Determine en el instante que se propone para consideracion, a) la velocidad angular de la
placa b) la velocidad del punto ”C”
Solucion
Datos
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~VA = 4i+ 3j(pies/s)
~VB = −3i− 4j(pies/s)
PARA C:
~ρC = xi+ yj
~rC = ~R+ ~ρC
~VC =+
~R ~ω × ~ρC + ~VOA
~VC = ~VO + ~ω × ~ρC + ~VrelC (1)
PARA B:
~ρB = yj
~rB = ~R+ ~ρB
~VB =+
~R ~ω × ~ρB + ~VOB
~VB = ~VO + ~ω × ~ρB + ~VrelB (2)
PARA A:
~ρA = xi
~rA = ~R+ ~ρA
~VA =+
~R ~ω × ~ρA + ~VOA
~VA = ~VO + ~ω × ~ρA + ~VrelA (3)
De las ecuaciones (2) y (3) restandolas tenemos
~VA − ~VB = ~ω × ~ρA − ~ω × ~ρC (4)
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Como el punto o′
solo se mueve con respecto origen entonces
~VrelA = ~VrelB = ~VrelC = 0(pies/s)
Resolviendo la ecuacion (4)
4i+ 3j − (−3i− 4j) = ~ω × (~ρA − ~ρC)
Sabemos que ~ω = Zk ya que esta solo en el eje z por ser velocidad angular de la placa
su direccion es perpendicular a la placa que esta en el plano xy
7i+ 7j =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k
0 0 ωz
x −y 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣7i+ 7j = y.ωzi+ x.ωzj
Del grafico tenemos que x = y = 10, reemplazando
ωz = 0,7
Por tanto la velocidad angular de la placa sera:
~ω = 0,7k rad/s
Para hallar c, de las ecuaciones (1) y (2) restandolas tenemos:
~VC − ~VB = ~ω × (~ρC − ~ρB)
~VC − ~VB =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k
0 0 ωz
x 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −xωzj
~VC = ~VB − 10 (0,7) j (5)
~VC = −3i− 4j − 10(0,7)j
~VC = −3i− 11j(pies/s)
~VC = −3i− 11j(pies/s)
6.35 Un cilindro hidraulico acciona el mecanismo de un camion de volteo. El mecanismo
le imparte una velocidad angular wAC al eslabon AC, como se indica. En la posicion dada,
determine la velocidad angular de la cama del camion si wAC = 0,02rad/s en el sentido
de las manecillas del reloj.
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Datos
ωAC = 0,02
ωDB =?
Donde
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~VB = ~VA + ~VBA (1)
~rA = ~rB + ~rBA
~rA = −0,5i+ 0,4j
~rB = −0,3i+ 0,55j
~rC = −0,15j
Donde
~rBA = ~rA − ~rB = 0,2i+ 0,15j
~VBA = (~ωBAk)× (~rBA)
~VBA = (~ωBAk)× (0,2i+ 0,15j)
~VBA =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k
0 0 ωBA
x 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −0,15ωBAi+ 0,2ωBAj
~VBA == −0,15ωBAi+ 0,2ωBAj (2)
Tambien
~rCA = ~rA − ~rC = −0,35i+ 0,4j
~VA = (~ωCAk)× (~rCA)
~VA = (~ωCAk)× (−0,35i+ 0,4j)
~VA =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k
0 0 0,02
−0,35 0,4 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −0,8i100 + 0,4j
100
~VA = −0,8i100 + 0,4j
100 (3)
Para la velocidad de B tenemos:
~rDB = ~rA − ~rC = −0,3i+ 0,55j
~VB = (~ωCAk)× (~rCA)
~VB = (~ωCAk)× (−0,3i+ 0,55j)
~VB =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k
0 0 ωDB
−0,3 0,55 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −0,55i− 0,3j
~VA = −0,55i− 0,3j (4)
Reemplazando (4),(3),(2) en (1):
~VB = ~VA + ~VBA
−0,55ωDBi− 0,3ωDBj = −0,8i100 + 0,4j
100 + (−0,15ωBAi+ 0,2ωBAj)
−0,55ωDBi− 0,3ωDBj = (−0,8−15ωBA)i100 + (−0,7+20ωBA)j
100
Igualando miembro a miembro:
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−0,55ωDB = (−0,8−15ωBA)100
15ωBA − 55ωDB = −0,8 . . . . . . (i)
−0,3ωDB = (−0,7+20ωBA)100
20ωBA − 0,3ωDB = −0,7 . . . . . . (ii)
Resolviendo las ecuaciones (i) y (ii) tenemos:
ωDB = 8,4615(10−3)rad/s
6.49 El brazo ACgira en el sentido de las manecillas del reloj a una velocidad de 200
rpm. Usando el metodo del centro instantaneo de velocidad cero, determine la velocidad
angular del brazo ranuradoBD para la posicion que se muestra.
Solucion
v = ωρ; ρ1 = 2pies
vAC = ωρ1; vAC = (200rpm)(2pies)
En el punto C
aNc = 0; aTc = αρ
Sabemos que: α = ω = θ
Del movimiento relativo
~aC = ~aA + ~aNA/C+ ~aTA/C
;~aA = ω2ρ
~aNA/C= ω2ρ1
para la seccion BC, por el sentido de las barras de direccion,la velocidad sera:
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~aBC = −−→αBCρ = ~aNA/C+ ~aA
~aBCρ1 = ω2ρ+ ω2ρ; ρ1 = 1pie
aBC = 2ω2ρρ1
= ω = dωdt
t∫t0ωdt =
ω∫ω0
dω; 2ω2ρρ1
t∫t0dt =
ω∫ω0
dω
Para un tiempo to = 0, ω0 = 0 por dato del problema sabemos que la = 200rpm, este
es en 1 minuto entoces nuestros limites seran ω =? ; t = 1min = 60s
2ω2ρρ1× t = ωBC
ωBC = 2×2002×21 × 1 = 16× 104rpm
6.63 En un instante dado, un colların C se desliza a lo largo de una barra horizontal que
esta girando en sentido contrario al de las manecillas del reloj a una velocidad angular w =
10rad/s y con una desaceleracion angular α = 20radd/s2, como se ilustra. A una distancia
de 5m del eje de rotacion, el colların tiene una velocidad de 10m/s y una desaceleracion de
4m/s2 con relacion a la barra. Determine la velocidad y la aceleracion lineales absolutas
del colların en el instante que se muestra.
Datos Movimiento del sistema de referencia
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Vo = 0
ao = 0
~w = (+10j) rad/s
~α = (−20j) rad/sMovimiento del colların C−→rc/o
= +5im
−−→Vc/o
= +10im/s
−−→ac/o= −4im/s
Incognitas:−→VC =???
−→aC =???
Solucion Hallamos la velocidad del colların C−→VC =
−→Vo + ~wx−−−→rC/O
+
(−−→VC/o
)rel
−→VC = 0 + (10j)x (5i) + 10j−→VC = 10i− 50k
Hallamos la aceleracion del colların C−→ac = −→ao +~wx−→rc/o
+ ~wx(~wx−→rc/o
)+ 2~wx−−→ac/o
+ (−−→ac/o)rel
−→ac = 0 + (−20j)x (5i) + 10jx (10jx5i) + 2 (10jx10i)− 4i
−→ac = 100k − 500i− 200k − 4i
−→ac = −504i− 100k
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