ejercicios examenes estructuras

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ETSAS ESTRUCTURAS 2 PRIMER PARCIAL 09/02/2008

PROBLEMA 1 3,33 puntos Tiempo: 45 minutos. Nota: se permite la consulta de las normativas, pero ningn otro tipo de texto o apuntes.

El prtico de la figura corresponde a una vivienda unifamiliar en Sevilla. El prtico est sometido a las cuatro acciones de la figura. No hay viento. La fuerza ssmica puede ir hacia la derecha (como en el dibujo) o hacia la izquierda. Para responder a las preguntas siguientes, se dan como datos auxiliares las leyes de momentos flectores de dos de las acciones.

a) Calcular cul es el flector mximo en valor absoluto en la base del pilar izquierdo, y a qu combinacin de hiptesis corresponde, segn el CTE.

b) Se quiere dimensionar la viga con un perfil de acero doble T. Calcular cul es el flector mximo en valor absoluto que se produce en la viga, en qu seccin, y a qu combinacin de hiptesis corresponde, segn el CTE.

c) Con carga permanente la viga tiene una flecha de 10 mm en la seccin central. Calcular cul es la flecha mxima que hay que considerar en esa seccin para realizar la comprobacin de la apariencia de la obra segn el CTE, e indicar si cumple dicha comprobacin.

Nota: cada apartado vale 1/3 de la puntuacin total.

SOLUCIN Paso previo 1: Hiptesis simples y leyes de flectores Hay 5 hiptesis simples. Las leyes de flectores que no estn en el enunciado, las obtenemos por proporcionalidad: HS1: G HS2: QU HS3: QN HS4: S1 HS5: S2

QU sobrecarga de uso QN sobrecarga de nieve S sismo

Momentos flectores (kNm) de G Momentos flectores (kNm) de S

G carga permanente

30 kN/m 15 kN/m 5 kN/m

20 kN

77,8

57,1

33,6

33,6 28,3 28,3

12,3 12,3

4 m

6 m

30 kN/m 15 kN/m 5 kN/m 20 kN 20 kN

77,8

57,1

33,6 16,8 5,6 28,3

28,6 9,5

38,9 38,9 77,8

16,8 5,6 28,3 28,3 28,3

13,0 13,0 12,3 12,3 12,3 12,3

77,8

33,6

FranSin aprobar

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Paso previo 2: Combinaciones de hiptesis para comprobaciones con momentos flectores Para comprobaciones con momentos flectores empleamos estados lmite ltimos (ELU), segn art. 4.2.2 de CTE-DB-SE. Tipo de combinacin de acciones correspondiente a una situacin persistente o transitoria: En este caso a partir de ese tipo de combinacin obtenemos estas combinaciones:

Combinacin 1: G G + QU QU + QN 0,QN QN = 1,35 G + 1,5 QU + 1,5 0,5 QN

Combinacin 2: G G + QN QN + QU 0,QU QU = 1,35 G + 1,5 QN + 1,5 0,7 QU

Los coeficientes de seguridad parciales para acciones, , y los coeficientes de simultaneidad, , los hemos obtenido en las tablas 4.1 y 4.2 respectivamente. Tipo de combinacin con accin ssmica: En este caso a partir de ese tipo de combinacin obtenemos estas combinaciones: Combinacin 3: G + S1 + 2,QU QU = G + S1 + 0,3 QU

Combinacin 4: G + S2 + 2,QU QU = G + S2 + 0,3 QU No hemos considerado la accin de la nieve en estas combinaciones porque 2 vale 0 para altitudes por debajo de 1000 m, como este caso. A) Momento flector mximo en base del pilar izquierdo, y combinacin que lo produce Viendo las combinaciones y los valores de los flectores, se deduce fcilmente que el flector mximo en valor absoluto lo produce la combinacin 1. Es flector positivo: Combinacin 1: M = 1,35 33,6 + 1,5 16,8 + 1,5 0,5 5,6 = 74,76 kN Si tenemos dudas, hacemos tambin las dems combinaciones. En el caso de las combinaciones de sismo, si las acciones variables son favorables, no las consideramos: Combinacin 2: M = 1,35 33,6 + 1,5 5,6 + 1,5 0,7 16,8 = 71,4 kN Combinacin 3: M = 33,6 - 28,3 + 0,3 16,8 = 10,34 kN Combinacin 4: M = 33,6 + 28,3 + 0,3 16,8 = 66,94 kN Efectivamente, la combinacin ms desfavorable es la 1. Respuesta: M = 74,76 kN para la combinacin 1 descrita en el apartado anterior. B) Momento flector mximo en la viga, y combinacin que lo produce Viendo las combinaciones y los valores de los flectores, se deduce fcilmente que el flector mximo en valor absoluto lo produce la combinacin 1, en los extremos de la viga. Es flector negativo: Combinacin 1: M = 1,35 (-77,8) + 1,5 (-38,9) + 1,5 0,5 (-13,0) = -173,13 kN

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Si tenemos dudas, hacemos tambin las dems combinaciones, igual que antes. Vamos a hacerlo para el extremo izquierdo. Combinacin 2: M = 1,35 (-77,8) + 1,5 (-13,0) + 1,5 0,7 (-38,9) = -165,38 kN Combinacin 3: M = -77,8 + 12,3 + 0,3 (-38,9) = -77,2 kN Combinacin 4: M = -77,8 - 12,3 + 0,3 (-38,9) = -101,86 kN En la combinacin 3 si comprobamos el extremo derecho se obtiene -101,86 kN Efectivamente, al igual que antes, la combinacin ms desfavorable es la 1. Respuesta: M = -173,13 kN para la combinacin 1 descrita en el anteriormente. C) Comprobacin de flecha en el centro de la viga para la apariencia de la obra Las comprobaciones de flechas son estados lmite de servicio (ELS). En el art. 4.3.3.1-3 se indica: Cuando se considere la apariencia de la obra, se admite que la estructura horizontal de un piso o cubierta es suficientemente rgida si, para cualquiera de sus piezas, ante cualquier combinacin de acciones casi permanente, la flecha relativa es menor que 1/300. Luego la flecha mxima permitida, o flecha lmite es:

frelativa = flmite/L = 1/300 flmite = L/300 = 6000 mm /300 = 20 mm Acabamos de ver que segn el CTE-DB-SE la apariencia de la obra se comprueba con combinaciones del tipo casi permanente, que se recogen en el art. 4.3.2-4: En este caso se obtiene una sola combinacin de hiptesis a partir de este tipo. El sismo no interviene. Combinacin 1: G + 2,QU QU + 2,QN QN = G + 0,3 QU La flecha de G es 10 mm, segn el enunciado. Por proporcionalidad, la flecha de QU es 5 mm. Combinacin 1: fmxima = 10 + 0,3 5 = 11,5 mm Se cumple que fmxima < flmite ya que 11,5 mm < 20 mm. Luego la comprobacin es vlida.

ETSAS ESTRUCTURAS 2 PRIMER PARCIAL 09/02/2008 PROBLEMA 2 3,33 puntos Tiempo: 45 minutos. Nota: se permite la consulta de las normativas, pero ningn otro tipo de texto o apuntes.

+ + + + PC3+ + + + PC2+ + + + PC1

5 m 5 m 5 m

4 m

4 m

4 m

3 m

3 m

3 m

3 mF5

+ + + + PC3+ + + + PC2+ + + + PC1

5 m 5 m 5 m

4 m

4 m

4 m

3 m

3 m

3 m

3 mF5El edificio de la figura est situado en Almera. La

estructura es de hormign armado con vigas de cuelgue y su ductilidad es alta. El forjado tiene un canto de 29 cm. La cimentacin es de pilotes sobre suelo granular denso. El amortiguamiento es del 4%. La cubierta es plana, invertida con acabado de grava. El peso de los pretiles, de los tabiques, de los cerramientos y la sobrecarga de nieve se pueden considerar despreciables a efectos del clculo ssmico. El uso de todas las plantas, inclusive la cubierta, es comercial.

a) Determinar, mediante el mtodo simplificado de la norma NCSE-02, el peso necesario para calcular la accin ssmica en la ltima planta.

b) Calcular la fuerza ssmica esttica equivalente F5 en la ltima planta.

c) Calcular la fuerza ssmica esttica equivalente a aplicar a cada prtico de carga en la ltima planta, sabiendo que el prtico de carga central (PC2) tiene el doble de rigidez que los extremos (PC1 y PC3).

Nota: cada apartado vale 1/3 de la puntuacin total. SOLUCIN A) Peso necesario para calcular la accin ssmica en la ltima planta Tabla C.5 de CTE-DB-SE-AE Forjado unidireccional, grueso total < 30 cm 4,0 kN/m2 Cubierta plana invertida con acabado de grava 2,5 kN/m2Tabla 3.1 de CTE-DB-SE-AE Uso comercial (categora D1) 5,0 kN/m2Nota: el uso comercial en una cubierta con acabado de grava no es frecuente, pero es posible (por ejemplo, una zona comercial con exposicin de productos de playa y montaa). Coeficiente de reduccin de la sobrecarga de uso comercial para clculo de la fuerza ssmica segn apartado 3.2 de NCSE: 0,6. Superficie en planta = 815 = 120 m2 Peso total en planta de cubierta: Forjado unidireccional, grueso total < 30 cm 4,0 kN/m2 120 m2 = 480 kN Cubierta plana invertida con acabado de grava 2,5 kN/m2 120 m2 = 300 kN Uso comercial (categora D1) 0,6 5,0 kN/m2 120 m2 = 360 kN Peso total 1.140 kN B) Fuerza ssmica esttica equivalente en la ltima planta 1. Aceleracin ssmica bsica y aceleracin ssmica de clculo En este edificio, situado en Almera, segn el anejo 1 de NCSE:

ab = 0,14g (aceleracin ssmica bsica) K = 1,0 (coeficiente de contribucin)

Aceleracin ssmica de clculo: ac = S ab (apartado 2.2 NCSE)

ab: Aceleracin ssmica bsica : Coeficiente adimensional de riesgo S: Coeficiente de amplificacin del terreno

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FranSin aprobar

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En este caso el coeficiente adimensional de riesgo es: = 1,0 segn apartado 2.2, para construcciones de importancia normal; el edificio es de importancia normal segn la clasificacin del art. 1.2.2. Entonces ab = 1,00,14g = 0,14g

Segn el apartado 2.2, para 0,1g < .ab < 0,4g, el coeficiente S toma el valor:

S = C / 1,25 + 3,33 ( ab / g 0,1) (1 C / 1,25)

Siendo C, el coeficiente del terreno, que viene detallado en el apartado 2.4.

Segn el apartado 2.4, para suelo granular denso el terreno es de tipo II, y en la tabla 2.1 se obtiene C = 1,6.

Sustituyendo en las expresiones anteriores obtenemos:

S = 1,3 / 1,25 + 3,33 (1,00,14g / g 0,1) (1 1,3 / 1,25) = 1,035 ac = S ab = 1,03 1,0 0,14g = 0,145g

2. Periodo fundamental y modos de vibracin a considerar Periodo fundamental, art. 3.7.2.2. Edificio de prticos de hormign armado sin pantallas rigidizadoras.

TF = 0,09 n siendo n el nmero de plantas TF = 0,095 = 0,457 s Segn art. 3.7.2.1 en el mtodo simplificado empleamos slo el primer modo si TF 0,75 s En este caso TF = 0,45 s < 0,75 s, luego slo consideramos el primer modo de vibracin. 3. Coeficiente ssmico adimensional Coeficiente ssmico adimensional correspondiente a la planta k en el modo i, de valor: sik = (ac/g) i ik Siendo: ac: Aceleracin ssmica de clculo determinada en el apartado 2.2. En este caso: ac = 0,145g g: Aceleracin de la gravedad, expresada igualmente en m/s2. : Coeficiente de respuesta, definido en el apartado 3.7.3.1. ik: Factor de distribucin correspondiente a la planta k, en el modo i, definido en el apartado 3.7.3.2. i: Coeficiente de valor (Figura 3.3): Para Ti TB B i = 2,5 Para Ti >TB B i = 2,5 (TBB/Ti) siendo: Ti: Periodo del modo considerado TB: Periodo caracterstico del espectro definido en 2.3. B En nuestro edificio podemos considerar un solo modo de vibracin, el fundamental. Segn el apartado 2.3:

TB= KC/2,5 = 1,01,3/2,5 = 0,52 s B Por tanto, aplicando el apartado 3.7.3:

T1 < TB (0,45 s < 0,52 s) y entonces: B 1 = 2,5 El valor de lo tomamos de la tabla 3.1. En este caso, el enunciado indica que la ductilidad es alta, = 3, y el amortiguamiento es del 4%. Obtenemos = 0,36.

Segn el art. 3.7.3.2 el valor del factor de distribucin ik, correspondiente a la planta k en el modo de vibracin i, tiene el valor: Para el primer modo de vibracin los valores de tambin se pueden obtener, de modo aproximado, a partir de la tabla C3.1. Segn esta tabla: Quinta planta 15 = 1,2 Sustituyendo tenemos los valores del coeficiente ssmico:

s15 = (ac/g) 1 15 = 0,145 2,5 0,36 1,2 = 0,157 4. Fuerza ssmica esttica equivalente Segn el art. 3.7.3: Fik = sik . PK En este caso: F15 = s15 . P5 = 0,1571140 kN = 178,98 kN C) Fuerza ssmica esttica equivalente en cada prtico de carga de la ltima planta 1. Coeficientes de reparto a cada prtico Segn el enunciado el prtico PC2 tiene el doble de rigidez que los prticos PC1 y PC3. R1 = R3 = 1 R2 = 2 Rigidez relativa de cada prtico o coeficiente de reparto:

ri = Ri / Rj r1 = r3 = 1 / 4 = 0,25 (25%) r2 = 2 / 4 = 0,50 (50%) 2. Reparto de fuerzas entre prticos de carga en ltima planta PC1 FPC1-5 = r1 F15 = 0,25 178,98 kN = 44,75 kN PC2 FPC2-5 = r2 F15 = 0,50 178,98 kN = 89,49 kN PC3 FPC3-5 = r3 F15 = 0,25 178,98 kN = 44,75 kN 3. Fuerzas considerando efectos de rotacin Segn el art. 3.7.5 de NCSE, la excentricidad adicional puede considerarse multiplicando cada fuerza por el factor:

a = 1 + 0,6 x / Le En PC1 y PC3: a1 = 1 + 0,6 4 / 8 = 1,3 En PC2: a2 = 1 + 0,6 0 / 8 = 1,0 Fuerzas ssmicas estticas equivalentes a considerar en cada prtico en ltima planta: PC1 FPC1-5-k = a1 FPC1-5 = 1,3 44,75 kN = 58,18 kN PC2 FPC2-5-k = a2 FPC2-5 = 1,0 89,49 kN = 89,49 kN PC3 FPC3-5-k = a3 FPC3-5 = 1,3 44,75 kN = 58,18 kN

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ETSAS ESTRUCTURAS 2 EXAMEN FINAL PRIMER PARCIAL 08/07/2008 PROBLEMA 1 3,33 puntos Tiempo: 45 minutos. Nota: solamente se permite la consulta de las normativas.

Dada la viga de la figura, se pide:

a) Mximo momento flector positivo en B: Valor y combinacin de acciones que lo produce.

b) Mnimo momento flector positivo en B: Valor y combinacin de acciones que lo produce.

c) Mxima flecha en B (hacia abajo): Combinacin de acciones que la produce (indicando coeficientes, pero no se pide el valor de la flecha), cuando se considere el confort de los usuarios.

Nota: seguir este criterio de signos: M+

36 kN/m - Carga permanente

6 m 2 m

A B C D

12 kN/m - Sobrecarga de uso

8 kN/m Viento (hacia arriba o hacia abajo)


6 m 2 m6 m 2 m

A B C D


8 kN/m Viento (hacia arriba o hacia abajo) SOLUCIN Paso previo 1: Momentos flectores en funcin de q Calculamos los flectores en funcin de una carga continua genrica q. Esto nos va a facilitar despus el clculo de los valores numricos para cada hiptesis simple. Carga en vano (AC)

A B C D

q (kN/m)

6 m 2 mA B C DA B C D

q (kN/m)

6 m 2 m

A B C D

q (kN/m)

6 m 2 m6 m 2 mA B C

DA B C DA B C D MB = qLB 2AC / 8 = q6 / 8 = 4,5q 2

A B C D

q (kN/m)


q (kN/m)


q (kN/m)

6 m 2 m6 m 2 mA B C

Carga en voladizo (CD)

DA B C DA B C D

MC = -qL2CD / 2 = -q22 / 2 = -2q

MB = MB C / 2 = -q Carga en toda la viga (AD)

6 m 2 m

A B C D

q (kN/m)

A B C D6 m 2 m

A B C D

q (kN/m)

6 m 2 m6 m 2 m

A B C D

q (kN/m)

A B C

DA B C DA B C D Es la superposicin de los dos casos anteriores. MC = -2q

MB = 4,5q q = 3,5q B

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Paso previo 2: Hiptesis simples, con valores de los momentos flectores Cmo vamos a considerar la alternancia de cargas?

Carga permanente: al ser permanente est siempre, por tanto no consideramos alternancia de cargas. Sobrecarga de uso: el art. 3.1.1-7 de CTE-DB-SE-AE dice: Los valores indicados ya incluyen el efecto de la alternancia de carga, salvo en el caso de elementos crticos, como vuelos, o en el de zonas de aglomeracin. Como en este caso tenemos una viga con voladizo, s consideramos alternancia de cargas.

Viento: cuando acta, presiona o succiona a toda la viga, no a parte de ella. No consideramos alternancia. De este modo consideramos 5 hiptesis simples. Obtenemos los flectores a partir de las expresiones anteriores; slo calculamos los flectores en B, que es lo que piden. Hiptesis simple 1: G (carga permanente)

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6 m 2 m

A B C D

36 kN/m

A B C D6 m 2 m

A B C D

36 kN/m

6 m 2 m

A B C D6 m 2 m6 m 2 m

A B C D

36 kN/m

A B C DA B C DA B C

MB = 3,5q = 3,536 = 126 kNm B Hiptesis simple 2: Qu1 (sobrecarga de uso en vano AC)

D

A B C D

12 kN/m

A B C DA B C D

12 kN/m

A B C DA B C D

12 kN/m

A B C DA B C D

MB = 4,5q = 4,512 = 54 kNm B Hiptesis simple 3: Qu2 (sobrecarga de uso en voladizo CD)

A B C D

12 kN/m

A B C DA B C D

12 kN/m

A B C DA B C D

12 kN/m

A B C DA B C D

MB = -q = -12 kNm B Hiptesis simple 4: Qv1 (viento de presin, hacia abajo)

A B C D

8 kN/m

A B C DA B C D

8 kN/m

A B C DA B C DA B C D

8 kN/m

A B C DA B C D

MB = 3,5q = 3,58 = 28 kNm B Hiptesis simple 5: Qv2 (viento de succin, hacia arriba)

A B C D

8 kN/m

A B C DA B C DA B C DA B C D

8 kN/m

A B C DA B C D

MB = -3,5q = -3,58 = -28 kNm B

a) Mximo momento flector positivo en B: Valor y combinacin de acciones que lo produce Los momentos flectores se emplean en Estados Lmite ltimos (En Estados Lmite de Servicio se emplean los corrimientos y deformaciones). El apartado 4.2.2 de CTE-DB-SE contiene los tipos de combinaciones que podemos considerar. En este caso no hay acciones accidentales ni sismo, luego empleamos la expresin 4.3, correspondiente a una situacin persistente o transitoria: Buscamos el mximo momento flector positivo en B. Las hiptesis simples que producen flector positivo son desfavorables, y las que producen flector negativo son favorables. Las hiptesis favorables, si son acciones variables, no las consideramos. Los coeficientes de seguridad parciales para acciones, , y los coeficientes de simultaneidad, , los hemos obtenido en las tablas 4.1 y 4.2 respectivamente. Combinacin ms desfavorable:

G G + QU Qu1 + QV 0,QV Qv1 = 1,35 G + 1,5 Qu1 + 1,5 0,6 Qv1

Valor de mximo momento flector positivo en B:

M+mx-B = 1,35 126 + 1,5 54 + 1,5 0,6 28 = 276,3 kNm

b) Mnimo momento flector positivo en B: Valor y combinacin de acciones que lo produce Estamos en el mismo tipo de combinacin de acciones que antes. Pero ahora buscamos el mnimo flector positivo en B. Las hiptesis simples que producen flector negativo son desfavorables, y las que producen flector positivo son favorables. Igual que antes, las hiptesis favorables, si son acciones variables, no las consideramos. Ahora la hiptesis simple de carga permanente es favorable, luego segn tabla 4.1 tomamos G = 0,8 en vez de 1,35. Combinacin ms desfavorable:

G G + QV Qv2 + QU 0,QU Qu2 = 0,8 G + 1,5 Qv2 + 1,5 0,7 Qu2

Valor de mnimo momento flector positivo en B:

M+mn-B = 0,8 126 + 1,5 (-28) + 1,5 0,6 (-12) = 46,2 kNm

c) Mxima flecha en B (hacia abajo): Combinacin de acciones que la produce (indicando coeficientes, pero no se pide el valor de la flecha), cuando se considere el confort de los usuarios

Se trata de un Estado Lmite de Servicio. Las combinaciones se recogen en el art. 4.3.2. Segn art. 4.3.3.1-2, para las limitaciones de flecha, cuando se considere el confort de los usuarios se toma una combinacin de acciones del tipo caracterstica. En el art. 4.3.2 el tipo de combinacin denominado caracterstica es el de la expresin 4.6: Combinacin ms desfavorable:

G + Qu1 + 0,QV Qv1 = G + Qu1 + 0,6 Qv1 El CTE en el art. 4.3.3.1-2 indica que se empleen solamente las acciones de corta duracin, pero esto se contradice con el texto del art. 4.3.2-2, en donde se consideran todas las acciones, que es lo ms lgico.

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ETSAS ESTRUCTURAS 2 EXAMEN FINAL PRIMER PARCIAL 08/07/2008

PROBLEMA 2 3,33 puntos Tiempo: 45 minutos. Nota: solamente se permite la consulta de las normativas.

El edificio con la estructura de la figura tiene las siguientes caractersticas:

Situacin: Algeciras (Cdiz), en zona urbana.

Uso: Viviendas.

Estructura: Prticos de hormign armado bien arriostrados entre s en todas las direcciones. Los prticos de carga extremos tienen doble rigidez que el central.

Cubierta: Plana, accesible slo para conservacin.

Se pide:

a) Calcular el valor caracterstico de las acciones variables verticales y horizontales, por plantas, que sean necesarias para el clculo del prtico de carga 1 (PC1), aplicando la normativa correspondiente.

b) Para el prtico de carga 1 indicar las hiptesis simples que son de aplicacin para las acciones variables de la cuestin a), dibujando las cargas correspondientes en el prtico, e indicando valores.

SOLUCIN

a) Calcular el valor caracterstico de las acciones variables verticales y horizontales, por plantas, que sean necesarias para el clculo del prtico de carga 1 (PC1), aplicando la normativa correspondiente

Segn el captulo 3 de CTE-DB-SE-AE hay cinco clases de acciones variables:

- Sobrecarga de uso - Acciones sobre barandillas y elementos divisorios - Viento - Acciones trmicas - Nieve

Segn el art. 3.2 las acciones sobre barandillas y elementos divisorios son fuerzas horizontales que deben resistir estos elementos. Estas fuerzas no se consideran en el clculo del prtico, que es lo que piden en el enunciado. Segn el art. 3.4.1-2 En edificios habituales con elementos estructurales de hormign o acero, pueden no considerarse las acciones trmicas cuando se dispongan juntas de dilatacin de forma que no existan elementos continuos de ms de 40 m de longitud. El prtico del ejercicio tiene 18 m de longitud, luego no consideramos acciones trmicas. Por tanto debemos calcular tres tipos de acciones variables, dos de ellas verticales (uso y nieve) y una horizontal (viento).

+ + + + PC3

+ + + + PC2

+ + + + PC1

6 m 6 m 6 m

5 m

5 m

4 m

3,5 m

+ + + + PC3

+ + + + PC2

+ + + + PC1

6 m 6 m 6 m

5 m

5 m

4 m

3,5 m

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Sobrecarga de uso Tabla 3.1 de CTE-DB-SE-AE

Planta primera. Uso residencial (categora A1) 2,0 kN/m2

Cubierta. Plana, accesible slo para conservacin (categora G1) 1,0 kN/m2

Nota 1: las cargas concentradas de la tabla 3.1 son para comprobaciones locales de capacidad portante (resistencia del forjado o losa que recibe la carga). No las consideramos en el clculo del prtico.

Sobrecarga de nieve Segn la Tabla 3.8 de CTE-DB-SE-AE, la sobrecarga de nieve es de 0,2 kN/m2 en todas las capitales de provincia costeras de Andaluca. Por similitud, para Algeciras tomamos el mismo valor.

Cubierta plana en Algeciras 0,2 kN/m2

Nota 2: Para localidades que no son capitales de provincia podemos emplear la tabla E.2, del Anejo E. Segn esta tabla, para altitud 0 m y zona climtica 6 (mapa de figura E.2) la sobrecarga de nieve es de 0,2 kN/m

2, el mismo valor que hemos tomado antes.

Nota 3: el art. 3.5.1-1 indica que En cubiertas planas de edificios de pisos situados en localidades de altura inferior a 1.000 m es suficiente considerar una carga de nieve de 1,0 kN/m

2. Por consiguiente podemos

considerar el valor de 1,0 kN/m2, que es una aplicacin directa de este artculo del CTE. Para ciudades de

poca altitud en Andaluca, es ms realista el valor de 0,2 kN/m2.

Accin del viento Segn art. 3.3.2-1 de CTE-DB-SE-AE, la presin esttica qe de la accin del viento: qe = qb ce cp Siendo:

qb la presin dinamica del viento. De forma simplificada puede adoptarse 0,5 kN/m2.

ce el coeficiente de exposicin. En edificios urbanos de hasta 8 plantas puede tomarse 2,0.

cp el coeficiente elico.

El coeficiente elico se obtiene en la tabla 3.5 a partir de la esbeltez del edificio en el plano paralelo al viento. Segn lo que nos piden en el enunciado, en este caso nos interesa nicamente la direccin de los prticos de carga.

esbeltez = altura / anchura = 7,5 m / 18 m = 0,42

Tabla 3.5: cp = 0,7 (presin)

cs = -0,4 (succin)

Por tanto:

Accin del viento de presin: qe = qb ce cp = 0,5 kN/m2 2,0 0,7 = 0,7 kN/m2

Accin del viento de succin: qe = qb ce cs = 0,5 kN/m2 2,0 0,4 = 0,4 kN/m2

Nota 4: Para la esbeltez hemos tomado las distancias entre ejes de barras que dan en el enunciado. No conocemos los valores reales de altura y anchura, pero los podemos estimar suponiendo valores razonables para los pilares y cerramientos de los extremos y para el canto del ltimo forjado y altura del pretil de azotea. En cualquier caso, esto apenas influye en los resultados. Nota 5: Podemos calcular los valores de qe con ms precisin si tomamos:

qb = 0,52 kN/m2, segn Anejo D

ce = 1,33 para altura de 4 m en zona urbana, segn tabla 3.4 (forjado de planta primera)

ce = 1,55 para altura de 7,5 m en zona urbana, segn tabla 3.4 (forjado de planta segunda)

3/4

+ + + + PC3

+ + + + PC2

+ + + + PC1

6 m 6 m 6 m

3 m

2 m

3 m

2 m

+ + + + PC3

+ + + + PC2

+ + + + PC1

6 m 6 m 6 m

3 m

2 m

3 m

2 m

b) Para el prtico de carga 1 indicar las hiptesis simples que son de aplicacin para las acciones variables de la cuestin a), dibujando las cargas correspondientes en el prtico, e indicando valores

Sobrecarga de uso

Vamos a calcular la carga que transmite el forjado a las vigas del prtico por el procedimiento simplificado de los anchos de influencia, que en estructuras regulares como sta, da buena aproximacin.

Tenemos dos opciones:

Opcin a). Suponemos que las viguetas del forjado son biapoyadas, no tienen continuidad. El reparto se hace al 50% en todos los vanos.

Opcin b). Suponemos que las viguetas del forjado s tienen continuidad. El reparto se hace al 50% en los vanos interiores y al 40/60 % en los vanos exteriores. En esta opcin b) a veces tambin se toma el reparto al 50% en los vanos exteriores, aunque es menos exacto.

Como no conocemos si hay continuidad, cualquiera de las dos opciones puede ser vlida para hacer el problema. Vamos a tomar la opcin del 40/60 %.

El ancho de influencia de 2 m para PC1 es a eje de pilares. A esta distancia le sumamos la distancia exterior de medio pilar ms emparchado del pilar, unos 0,2 a 0,3 m. Vamos a tomar en este caso 0,2 m, ya que slo hay dos plantas.

Planta primera (uso de categora A1) 2,0 kN/m2 2,2 m = 4,40 kN/m

Cubierta (uso de categora G1) 1,0 kN/m2 2,2 m = 2,20 kN/m Sobrecarga de nieve

Cubierta (nieve) 0,2 kN/m2 2,2 m = 0,44 kN/m Accin del viento

En la direccin de los prticos de carga tendremos dos fuerza horizontales de viento, a la altura de planta primera y de cubierta. Vamos a suponer un forjado de cubierta de 0,3 m, y un pretil de 0,3 m (la azotea slo es accesible para conservacin).

Superficie de fachada para planta primera: s = (0,2 + 5 + 5 + 0,2) (4 + 3,5)/2 = 39 m2

Superficie de fachada para planta de cubierta: s = (0,2 + 5 + 5 + 0,2) (3,5/2 + 0,3/2 + 0,3) = 22,88 m2 Nota 6: Si omitimos los espesores extremos el error que cometemos es pequeo.

Vamos a calcular una fuerza nica, de presin ms succin, que es lo habitual en edificios de plantas. La carga de viento total en cada planta, en direccin de los prticos de carga, es:

Planta primera F1 = qe s = (0,7+0,4) kN/m2 39,00 m2 = 42,9 kN

Planta de cubierta F2 = qe s = (0,7+0,4) kN/m2 22,88 m2 = 25,2 kN

Rigidez relativa del prtico PC1 o coeficiente de reparto: ri = Ri / Rj r1 = 2/(2+1+2)= 0,4 (40%) Carga de viento del prtico PC1 en cada planta:

Planta primera FPC1-1 = r1 F1 = 0,4 42,9 kN = 17,2 kN

Planta de cubierta FPC1-2 = r1 F2 = 0,4 25,2 kN = 10,1 kN

4/4

10,1 kN

17,2 kN

10,1 kN

17,2 kN

Hiptesis simples de acciones variables en el prtico de carga 1 El art. 3.1.1-8 indica: A los efectos de combinacin de acciones, las sobrecargas de cada tipo de uso tendrn la consideracin de acciones diferentes. Los items dentro de cada subcategora de la tabla 3.1 son tipos distintos. Hiptesis simple 1. QU1 Sobrecarga de uso de vivienda

Hiptesis simple 2. QU2 Sobrecarga de uso de cubierta

Hiptesis simple 3. QN Sobrecarga de nieve

Hiptesis simple 4. QV1 Viento hacia derecha

Hiptesis simple 5. QV2 Viento hacia izquierda

4,40 kN/m4,40 kN/m

2,20 kN/m2,20 kN/m

0,44 kN/m0,44 kN/m

1/3

ETSAS ESTRUCTURAS 2 EXAMEN DE SEPTIEMBRE PRIMER PARCIAL 10/09/2008

PROBLEMA 1 3,33 puntos Tiempo: 45 minutos.

Nota: solamente se permite la consulta de las normativas.


a) Calcular cul es el flector mximo en valor absoluto en la seccin superior del pilar izquierdo, y a qu combinacin de hiptesis corresponde, segn el CTE.


c) Con carga permanente la viga tiene una flecha de 15 mm en la seccin central. Calcular cul es la flecha mxima que hay que considerar en esa seccin para realizar la comprobacin cuando se considera el confort de los usuarios segn el CTE, e indicar si cumple dicha comprobacin.


SOLUCIN Paso previo 1: Hiptesis simples y leyes de flectores Hay 5 hiptesis simples. Las leyes de flectores que no estn en el enunciado, las obtenemos por proporcionalidad: HS1: G HS2: QU HS3: QN HS4: S1 HS5: S2

33,6

30 kN/m 20 kN/m 5 kN/m 20 kN 20 kN

77,8

57,1

33,6 22,4 5,6 28,3

38,1 9,5

51,9 51,9 77,8

22,4 5,6 28,3 28,3 28,3

13,0 13,0 12,3 12,3 12,3 12,3



G carga permanente


20 kN

77,8 77,8

57,1

33,6 33,6 28,3 28,3

12,3 12,3

4 m

6 m

2/3


Combinacin 1: G G + Q QU + Q 0,QN QN = 1,35 G + 1,5 QU + 1,5 0,5 QN

Combinacin 2: G G + Q QN + Q 0,QU QU = 1,35 G + 1,5 QN + 1,5 0,7 QU


Combinacin 4: G + S2 + 2,QU QU = G + S2 + 0,3 QU No hemos considerado la accin de la nieve en estas combinaciones porque 2 vale 0 para altitudes por debajo de 1000 m, como este caso. A) Momento flector mximo en seccin superior del pilar izquierdo, y combinacin que lo produce Viendo las combinaciones y los valores de los flectores, se deduce fcilmente que el flector mximo en valor absoluto lo produce la combinacin 1. Es flector negativo: Combinacin 1: M = 1,35 (-77,8) + 1,5 (-51,9) + 1,5 0,5 (-13,0) = -192,63 kNm Si tenemos dudas, hacemos tambin las dems combinaciones. En el caso de las combinaciones de sismo, si las acciones variables son favorables, no las consideramos: Combinacin 2: M = 1,35 (-77,8) + 1,5 (-13,0) + 1,5 0,7 (-51,9) = -179,03 kNm Combinacin 3: M = -77,8 + 12,3 + 0,3 (-51,9) = -81,07 kNm Combinacin 4: M = -77,8 - 12,3 + 0,3 (-51,9) = -105,67 kNm Efectivamente, la combinacin ms desfavorable es la 1. Respuesta: M = -192,63 kNm para la combinacin 1 descrita en el apartado anterior.

3/3

B) Momento flector mximo en la viga, y combinacin que lo produce En qu seccin se produce el mximo flector? Viendo las leyes de flectores de las hiptesis simples, los flectores en la viga son siempre mayores en los extremos que en el centro. Luego las secciones ms desfavorables son las de los extremos. Qu valor tiene el mximo flector y qu combinacin lo produce? Viendo las leyes de flectores de las hiptesis simples, observamos que el flector en cada extremo de la viga es igual al flector de la seccin superior de cada pilar (con el mismo signo para el pilar izquierdo, y con distinto signo para el derecho). Por tanto la respuesta de este apartado es la misma que la del apartado anterior. Respuesta: M = -192,63 kNm para la combinacin 1 descrita anteriormente. C) Comprobacin de flecha en el centro de la viga para el confort de los usuarios Las comprobaciones de flechas son estados lmite de servicio (ELS). En el art. 4.3.3.1-2 del CTE-DB-SE se indica: Cuando se considere el confort de los usuarios, se admite que la estructura horizontal de un piso o cubierta es suficientemente rgida si, para cualquiera de sus piezas, ante cualquier combinacin de acciones caracterstica, considerando solamente las acciones de corta duracin, la flecha relativa, es menor que 1/350.

Luego la flecha mxima permitida, o flecha lmite es:

frelativa = flmite/L = 1/350 flmite = L/350 = 6000 mm /350 = 17,1 mm Acabamos de ver que el confort de los usuarios obra se comprueba con combinaciones del tipo caractersticas, que se recogen en el art. 4.3.2-2: En este caso se obtienen dos combinaciones de hiptesis a partir de este tipo. El sismo no interviene. Combinacin 1: G + QU + 0,QN QN = G + QU + 0,5 QN Combinacin 2: G + QN + 0,QU QU = G + QN + 0,7 QU La flecha de G es 15 mm, segn el enunciado. Por proporcionalidad: QU = 10 mm QN = 2,5 mm Combinacin 1: f1 = 15 + 10 + 0,52,5 = 26,3 mm Combinacin 2: f2 = 15 + 2,5 + 0,710 = 24,5 mm

fmxima > flmite ya que fmxima = 26,3 mm > 17,1 mm.

Luego la comprobacin no es vlida.

1/4

ETSAS ESTRUCTURAS 2 EXAMEN DE SEPTIEMBRE PRIMER PARCIAL 10/09/2008


Nota: solamente se permite la consulta de las normativas.


Situacin: Conil de la Frontera (Cdiz), en zona urbana.

Uso: Viviendas.

Estructura: Prticos de hormign armado, con vigas planas, bien arriostrados entre s en todas las direcciones. Los prticos de carga extremos tienen la mitad de rigidez que el central.

Cubierta: Plana, con terraza accesible para las viviendas.

Suelo: Roca compacta.

Se pide:

a) Calcular el valor caracterstico de las acciones variables verticales y horizontales, por plantas, que sean necesarias para el clculo del prtico de carga 2 (PC2), aplicando la normativa correspondiente.

b) Para el prtico de carga 2 indicar las hiptesis simples que son de aplicacin para las acciones variables de la cuestin a), dibujando las cargas correspondientes en el prtico, e indicando valores.

SOLUCIN

a) Calcular el valor caracterstico de las acciones variables verticales y horizontales, por plantas, que sean necesarias para el clculo del prtico de carga 2 (PC2), aplicando la normativa correspondiente



Segn el art. 3.2 las acciones sobre barandillas y elementos divisorios son fuerzas horizontales que deben resistir estos elementos. Estas fuerzas no se consideran en el clculo del prtico, que es lo que piden en el enunciado. Segn el art. 3.4.1-2 En edificios habituales con elementos estructurales de hormign o acero, pueden no considerarse las acciones trmicas cuando se dispongan juntas de dilatacin de forma que no existan elementos continuos de ms de 40 m de longitud. El prtico del ejercicio tiene 18 m de longitud, luego no consideramos acciones trmicas. Por tanto debemos calcular tres tipos de acciones variables, dos de ellas verticales (uso y nieve) y una horizontal (viento).

+ + + + PC3

+ + + + PC2

+ + + + PC1

6 m 6 m 6 m

5 m

5 m

4 m

3,5 m

+ + + + PC3

+ + + + PC2

+ + + + PC1

6 m 6 m 6 m

5 m

5 m

4 m

3,5 m

2/4

Sobrecarga de uso


Cubierta. Plana, accesible para el uso residencial (categora A1) 2,0 kN/m2 La sobrecarga de uso de la cubierta es igual que en la planta primera, pues la cubierta es accesible para las viviendas (nota 2 de tabla 3.1). No es una cubierta accesible slo para conservacin.


Sobrecarga de nieve Segn la Tabla 3.8 de CTE-DB-SE-AE, la sobrecarga de nieve es de 0,2 kN/m2 en todas las capitales de provincia costeras de Andaluca. Por similitud, para Conil de la Frontera tomamos el mismo valor.

Cubierta plana en Conil de la Frontera 0,2 kN/m2

Nota 2: Para localidades que no son capitales de provincia podemos emplear la tabla E.2, del Anejo E. Segn esta tabla, para altitud 0 m y zona climtica 6 (mapa de figura E.2) la sobrecarga de nieve es de 0,2 kN/m




considerar el valor de 1,0 kN/m2, que es una aplicacin directa de este artculo del CTE. Para ciudades de

poca altitud en Andaluca, es ms realista el valor de 0,2 kN/m2.

Accin del viento Segn art. 3.3.2-1 de CTE-DB-SE-AE, la presin esttica qe de la accin del viento: qe = qb ce cp Siendo:




El coeficiente elico se obtiene en la tabla 3.5 a partir de la esbeltez del edificio en el plano paralelo al viento. Segn lo que nos piden en el enunciado, en este caso nos interesa nicamente la direccin de los prticos de carga.

esbeltez = altura / anchura = 7,5 m / 18 m = 0,42


cs = -0,4 (succin)

Por tanto:



Nota 4: Para la esbeltez hemos tomado las distancias entre ejes de barras que dan en el enunciado. No conocemos los valores reales de altura y anchura, pero los podemos estimar suponiendo valores razonables para los pilares y cerramientos de los extremos y para el canto del ltimo forjado y altura del pretil de azotea. En cualquier caso, esto apenas influye en los resultados. Nota 5: Podemos calcular los valores de qe con ms precisin si tomamos:


ce = 1,33 para altura de 4 m en zona urbana, segn tabla 3.4 (forjado de planta primera)

ce = 1,55 para altura de 7,5 m en zona urbana, segn tabla 3.4 (forjado de planta segunda)

3/4

+ + + + PC3

+ + + + PC2

+ + + + PC1

6 m 6 m 6 m

3 m

2 m

3 m

2 m

+ + + + PC3

+ + + + PC2

+ + + + PC1

6 m 6 m 6 m

3 m

2 m

3 m

2 m

b) Para el prtico de carga 2 indicar las hiptesis simples que son de aplicacin para las acciones variables de la cuestin a), dibujando las cargas correspondientes en el prtico, e indicando valores

Sobrecarga de uso

Vamos a calcular la carga que transmite el forjado a las vigas del prtico por el procedimiento simplificado de los anchos de influencia, que en estructuras regulares como sta, da buena aproximacin.

Tenemos dos opciones:

Opcin a). Suponemos que las viguetas del forjado son biapoyadas, no tienen continuidad. El reparto se hace al 50% en todos los vanos.

Opcin b). Suponemos que las viguetas del forjado s tienen continuidad. El reparto se hace al 50% en los vanos interiores y al 40/60 % en los vanos exteriores. En esta opcin b) a veces tambin se toma el reparto al 50% en los vanos exteriores, aunque es menos exacto.

Como no conocemos si hay continuidad, cualquiera de las dos opciones puede ser vlida para hacer el problema. Vamos a tomar la opcin del 40/60 %.

Por tanto el ancho de influencia es de 6 m para PC2.

Planta primera (uso de categora A1) 2,0 kN/m2 6,0 m = 12,0 kN/m

Cubierta (uso de categora A1) 2,0 kN/m2 6,0 m = 12,0 kN/m

Sobrecarga de nieve

Cubierta (nieve) 0,2 kN/m2 6,0 m = 1,2 kN/m Accin del viento

En la direccin de los prticos de carga tendremos dos fuerza horizontales de viento, a la altura de planta primera y de cubierta. Vamos a suponer un forjado de cubierta de 0,3 m, y un pretil de 1 m.

Superficie de fachada para planta primera: s = (0,2 + 5 + 5 + 0,2) (4 + 3,5)/2 = 39 m2

Superficie de fachada para planta de cubierta: s = (0,2 + 5 + 5 + 0,2) (3,5/2 + 0,3/2 + 1) = 30,16 m2 Nota 6: Si omitimos los espesores extremos, el error que cometemos es pequeo. Y si suponemos que hay barandilla, en vez de pretil, entonces no tomamos su altura, pues no se opone al paso del viento.

Vamos a calcular una fuerza nica, de presin ms succin, que es lo habitual en edificios de plantas. La carga de viento total en cada planta, en direccin de los prticos de carga, es:

Planta primera F1 = qe s = (0,7+0,4) kN/m2 39,00 m2 = 42,9 kN

Planta de cubierta F2 = qe s = (0,7+0,4) kN/m2 30,16 m2 = 33,2 kN

Rigidez relativa del prtico PC2 o coeficiente de reparto: ri = Ri / Rj r2 = 2/(1+2+1)= 0,5 (50%) Carga de viento del prtico PC2 en cada planta:

Planta primera FPC2-1 = r2 F1 = 0,5 42,9 kN = 21,5 kN

Planta de cubierta FPC2-2 = r2 F2 = 0,5 33,2 kN = 16,6 kN

4/4

12,0 kN/m

12,0 kN/m

1,2 kN/m

16,6 kN

21,5 kN

16,6 kN

21,5 kN

Hiptesis simples de acciones variables en el prtico de carga 2 Hiptesis simple 1. QU Sobrecarga de uso de vivienda

Hiptesis simple 2. QN Sobrecarga de nieve




3 m 2 m

A B C D



5 kN Carga permanente (pretil)

3 m

ETSAS ESTRUCTURAS 2 EXAMEN DE DICIEMBRE PRIMER PARCIAL 29/11/2008

PROBLEMA 1 3,33 puntos Tiempo: 45 minutos. Ambos problemas se entregarn por separado. Nota: solamente se permite la consulta de las normativas.

Dada la viga de la figura, se pide:



c) Mxima flecha en B (hacia abajo): Combinacin de acciones que la produce (indicando coeficientes, pero no se pide el valor de la flecha), cuando se considere el confort de los usuarios.

d)

e)


Nota: seguir este criterio de signos: M+

SOLUCIN Paso previo 1: Momentos flectores de la carga puntual Carga en vano (AC)

MB = 0,5MC = 0,5PLCD = 0,552 = 5 kNm

2/4

A B C D

q (kN/m)


q (kN/m)

6 m 2 m

A B C DA B C D

q (kN/m)

6 m 2 m6 m 2 mA B C DA B C DA B C D

6 m 2 m

A B C D

q (kN/m)

A B C D

6 m 2 m

A B C D

q (kN/m)

6 m 2 m6 m 2 m

A B C D

q (kN/m)


Paso previo 2: Momentos flectores de las cargas continuas, en funcin de q Calculamos los flectores en funcin de una carga continua genrica q. Esto nos va a facilitar despus el clculo de los valores numricos para cada hiptesis simple. Carga en vano (AC)

MB = qL

2AC / 8 = q6

2 / 8 = 4,5q Carga en voladizo (CD)

MC = -qL

2CD / 2 = -q2

2 / 2 = -2q

MB = MC / 2 = -q Carga en toda la viga (AD)

Es la superposicin de los dos casos anteriores. MC = -2q

MB = 4,5q q = 3,5q Paso previo 3: Hiptesis simples, con valores de los momentos flectores Cmo vamos a considerar la alternancia de cargas?

Carga permanente: al ser permanente est siempre, por tanto no consideramos alternancia de cargas. S consideramos si su efecto es favorable o desfavorable para la comprobacin que hacemos. En este caso la carga puntual y la carga continua pueden tener efectos distintos. Las vamos a considerar dos hiptesis simples diferentes.

Sobrecarga de uso: el art. 3.1.1-7 de CTE-DB-SE-AE dice: Los valores indicados ya incluyen el efecto de la alternancia de carga, salvo en el caso de elementos crticos, como vuelos, o en el de zonas de aglomeracin. Como en este caso tenemos una viga con voladizo, s consideramos alternancia de cargas. Por tanto tenemos dos hiptesis simples; carga en vano, y carga en voladizo.

Viento: cuando acta, presiona o succiona a toda la viga, no a parte de ella. No consideramos alternancia. Hay dos hiptesis simples: presin y succin. De este modo consideramos 6 hiptesis simples. Obtenemos los flectores a partir de las expresiones anteriores; slo calculamos los flectores en B, que es lo que piden.

A B C D

q (kN/m)

6 m 2 m

A B C DA B C D

q (kN/m)

6 m 2 m

A B C D

q (kN/m)

6 m 2 m6 m 2 m


3/4

6 m 2 m

A B C D

36 kN/m

A B C D

Hiptesis simple 1: G1 (carga permanente)

MB = 3,5q = 3,536 = 126 kNm Hiptesis simple 2: G2 (carga permanente: pretil)

MB = -5 kNm

Hiptesis simple 3: Qu1 (sobrecarga de uso en vano AC)

MB = 4,5q = 4,512 = 54 kNm

Hiptesis simple 4: Qu2 (sobrecarga de uso en voladizo CD)

MB = -q = -12 kNm

Hiptesis simple 5: Qv1 (viento de presin, hacia abajo)

MB = 3,5q = 3,58 = 28 kNm

Hiptesis simple 6: Qv2 (viento de succin, hacia arriba)

MB = -3,5q = -3,58 = -28 kNm

A B C D

12 kN/m

A B C DA B C D

12 kN/m

A B C DA B C D

12 kN/m

A B C DA B C D

A B C D

12 kN/m

A B C DA B C D

12 kN/m

A B C DA B C D

12 kN/m

A B C DA B C D

A B C D

8 kN/m

A B C DA B C D

8 kN/m


8 kN/m

A B C DA B C D

A B C D

8 kN/m

A B C DA B C DA B C DA B C D

8 kN/m

A B C DA B C D

4/4

a) Mximo momento flector positivo en B: Valor y combinacin de acciones que lo produce Los momentos flectores se emplean en Estados Lmite ltimos (En Estados Lmite de Servicio se emplean los corrimientos y deformaciones). El apartado 4.2.2 de CTE-DB-SE contiene los tipos de combinaciones que podemos considerar. En este caso no hay acciones accidentales ni sismo, luego empleamos la expresin 4.3, correspondiente a una situacin persistente o transitoria: Buscamos el mximo momento flector positivo en B. Las hiptesis simples que producen flector positivo son desfavorables, y las que producen flector negativo son favorables. Las hiptesis favorables, si son acciones variables, no las consideramos.

Los coeficientes de seguridad parciales para acciones, , y los coeficientes de simultaneidad, , los hemos obtenido en las tablas 4.1 y 4.2 respectivamente. Combinacin ms desfavorable:

G1 G1 + G2 G2 + QU Qu1 + QV 0,QV Qv1 = 1,35G1 + 0,8G2 + 1,5Qu1 + 1,50,6Qv1 Valor de mximo momento flector positivo en B:

M+mx-B = 1,35126 + 0,8(-5) + 1,554 + 1,50,628 = 272,3 kNm

b) Mnimo momento flector positivo en B: Valor y combinacin de acciones que lo produce Estamos en el mismo tipo de combinacin de acciones que antes. Pero ahora buscamos el mnimo flector positivo en B. Las hiptesis simples que producen flector negativo son desfavorables, y las que producen flector positivo son favorables. Igual que antes, las hiptesis favorables, si son acciones variables, no las consideramos. Ahora la hiptesis simple de carga permanente es favorable, luego segn tabla 4.1 tomamos

G = 0,8 en vez de 1,35. Combinacin ms desfavorable:

G1 G1 + G2 G2 + QV Qv2 + QU 0,QU Qu2 = 0,8G1 + 1,35G2 + 1,5Qv2 + 1,50,7Qu2 Valor de mnimo momento flector positivo en B:

M+mn-B = 0,8126 + 1,35(-5) + 1,5(-28) + 1,50,6(-12) = 41,25 kNm

c) Mxima flecha en B (hacia abajo): Combinacin de acciones que la produce (indicando coeficientes, pero no se pide el valor de la flecha), cuando se considere el confort de los usuarios

Se trata de un Estado Lmite de Servicio. Las combinaciones se recogen en el art. 4.3.2. Segn art. 4.3.3.1-2, para las limitaciones de flecha, cuando se considere el confort de los usuarios se toma una combinacin de acciones del tipo caracterstica. En el art. 4.3.2 el tipo de combinacin denominado caracterstica es el de la expresin 4.6: Combinacin ms desfavorable:

G1 + G2 + Qu1 + 0,QV Qv1 = G1 + G2 + Qu1 + 0,6Qv1 El CTE en el art. 4.3.3.1-2 indica que se empleen solamente las acciones de corta duracin, pero esto se contradice con el texto del art. 4.3.2-2, en donde se consideran todas las acciones, que es lo ms lgico.

1/4

ETSAS ESTRUCTURAS 2 EXAMEN DE DICIEMBRE PRIMER PARCIAL 29/11/2008

PROBLEMA 2 3,33 puntos Tiempo: 45 minutos. Nota: se permite la consulta de las normativas, pero ningn otro tipo de texto o apuntes.


El edificio de la figura est situado en Mlaga. La estructura es de hormign armado con vigas de cuelgue y su ductilidad es alta. El forjado tiene un canto de 29 cm. La cimentacin es de pilotes sobre suelo granular denso. El amortiguamiento es del 4%. La cubierta es plana, invertida con acabado de grava. El peso de los pretiles, de los tabiques, de los cerramientos y la sobrecarga de nieve se pueden considerar despreciables a efectos del clculo ssmico. El uso de todas las plantas, inclusive la cubierta, es comercial.



c) Calcular la fuerza ssmica esttica equivalente a aplicar a cada prtico de carga en la ltima planta, sabiendo que el prtico de carga central (PC2) tiene la mitad de rigidez que los extremos (PC1 y PC3).


SOLUCIN A) Peso necesario para calcular la accin ssmica en la ltima planta Tabla C.5 de CTE-DB-SE-AE Forjado unidireccional, grueso total < 30 cm 4,0 kN/m2 Cubierta plana invertida con acabado de grava 2,5 kN/m2 Tabla 3.1 de CTE-DB-SE-AE Uso comercial (categora D1) 5,0 kN/m2 Nota: el uso comercial en una cubierta con acabado de grava no es frecuente, pero es posible (por ejemplo, una zona comercial con exposicin de productos de playa y montaa). Coeficiente de reduccin de la sobrecarga de uso comercial para clculo de la fuerza ssmica segn apartado 3.2 de NCSE: 0,6. Superficie en planta = 815 = 120 m2 Peso total en planta de cubierta: Forjado unidireccional, grueso total < 30 cm 4,0 kN/m2 120 m2 = 480 kN Cubierta plana invertida con acabado de grava 2,5 kN/m2 120 m2 = 300 kN Uso comercial (categora D1) 0,6 5,0 kN/m2 120 m2 = 360 kN Peso total 1.140 kN

+ + + + PC3

+ + + + PC2

+ + + + PC1

5 m 5 m 5 m

4 m

4 m

4 m

3 m

3 m

3 m

3 m

F5

+ + + + PC3

+ + + + PC2

+ + + + PC1

5 m 5 m 5 m

4 m

4 m

4 m

3 m

3 m

3 m

3 m

F5

2/4

B) Fuerza ssmica esttica equivalente en la ltima planta 1. Aceleracin ssmica bsica y aceleracin ssmica de clculo En este edificio, situado en Mlaga, segn el anejo 1 de NCSE:




En este caso el coeficiente adimensional de riesgo es: = 1,0 segn apartado 2.2, para construcciones de importancia normal; el edificio es de importancia normal segn la clasificacin del art. 1.2.2.

Entonces ab = 1,00,11g = 0,11g


S = C / 1,25 + 3,33 ( ab / g 0,1) (1 C / 1,25)




S = 1,3 / 1,25 + 3,33 (1,00,11g / g 0,1) (1 1,3 / 1,25) = 1,039 ac = S ab = 1,039 1,0 0,11g = 0,114g


TF = 0,09 n siendo n el nmero de plantas TF = 0,095 = 0,457 s Segn art. 3.7.2.1 en el mtodo simplificado empleamos slo el primer modo si TF 0,75 s En este caso TF = 0,45 s < 0,75 s, luego slo consideramos el primer modo de vibracin. 3. Coeficiente ssmico adimensional Coeficiente ssmico adimensional correspondiente a la planta k en el modo i, de valor: sik = (ac/g) i ik Siendo: ac: Aceleracin ssmica de clculo determinada en el apartado 2.2. En este caso: ac = 0,114g g: Aceleracin de la gravedad, expresada igualmente en m/s2. : Coeficiente de respuesta, definido en el apartado 3.7.3.1. ik: Factor de distribucin correspondiente a la planta k, en el modo i, definido en el apartado 3.7.3.2. i: Coeficiente de valor (Figura 3.3):

3/4

Para Ti TB i = 2,5 Para Ti >TB i = 2,5 (TB/Ti) siendo: Ti: Periodo del modo considerado TB: Periodo caracterstico del espectro definido en 2.3. En nuestro edificio podemos considerar un solo modo de vibracin, el fundamental. Segn el apartado 2.3:

TB= KC/2,5 = 1,01,3/2,5 = 0,52 s Por tanto, aplicando el apartado 3.7.3:

T1 < TB (0,45 s < 0,52 s) y entonces: 1 = 2,5 El valor de lo tomamos de la tabla 3.1. En este caso, el enunciado indica que la ductilidad es alta, = 3, y el amortiguamiento es del 4%. Obtenemos = 0,36. Segn el art. 3.7.3.2 el valor del factor de distribucin ik, correspondiente a la planta k en el modo de vibracin i, tiene el valor: Para el primer modo de vibracin los valores de tambin se pueden obtener, de modo aproximado, a partir de la tabla C3.1. Segn esta tabla: Quinta planta 15 = 1,2 Sustituyendo tenemos los valores del coeficiente ssmico:

s15 = (ac/g) 1 15 = 0,114 2,5 0,36 1,2 = 0,123 4. Fuerza ssmica esttica equivalente Segn el art. 3.7.3: Fik = sik . PK En este caso: F15 = s15 . P5 = 0,1231140 kN = 140,67 kN C) Fuerza ssmica esttica equivalente en cada prtico de carga de la ltima planta 1. Coeficientes de reparto a cada prtico Segn el enunciado el prtico PC2 tiene la mitad de rigidez que los prticos PC1 y PC3. R1 = R3 = 2 R2 = 1 Rigidez relativa de cada prtico o coeficiente de reparto:

ri = Ri / Rj r1 = r3 = 2 / 5 = 0,4 (40%) r2 = 1 / 5 = 0,2 (20%) 2. Reparto de fuerzas entre prticos de carga en ltima planta PC1 FPC1-5 = r1 F15 = 0,40 140,67 kN = 56,27 kN PC2 FPC2-5 = r2 F15 = 0,20 140,67 kN = 28,13 kN PC3 FPC3-5 = r3 F15 = 0,40 140,67 kN = 56,27 kN

4/4

3. Fuerzas considerando efectos de rotacin Segn el art. 3.7.5 de NCSE, la excentricidad adicional puede considerarse multiplicando cada fuerza por el factor:

a = 1 + 0,6 x / Le

En PC1 y PC3: a1 = 1 + 0,6 4 / 8 = 1,3

En PC2: a2 = 1 + 0,6 0 / 8 = 1,0 Fuerzas ssmicas estticas equivalentes a considerar en cada prtico en ltima planta:

PC1 FPC1-5-k = a1 FPC1-5 = 1,3 56,27 kN = 73,15 kN

PC2 FPC2-5-k = a2 FPC2-5 = 1,0 28,13 kN = 28,13 kN

PC3 FPC3-5-k = a3 FPC3-5 = 1,3 56,27 kN = 73,15 kN


15 kN/m - Sobrecarga de uso comercial


A B

2,5 m

D EC

2,5 m 2,5 m 2,5 m

A B D EC

1 kN/m

2,5 m 2,5 m 2,5 m 2,5 m

A B D EC

1 kN/m

2,5 m 2,5 m 2,5 m 2,5 mA B D EC

A B D ECA B

2,5 m

D EC

2,5 m 2,5 m 2,5 m

1 kN/m

A B

2,5 m

D EC

2,5 m 2,5 m 2,5 m

A B D EC

1 kN/m

Es la superposicin de los dos casos anteriores. MB = 2,13 0,5 = 1,63


PROBLEMA 1 3,33 puntos Tiempo: 60 minutos. Nota: Solamente se permite la consulta de las normativas. Ambos problemas se entregarn por separado.

En la viga de la figura el uso es comercial y podran producirse aglomeraciones, por lo que se debe considerar la alternancia de cargas. Se pide:



c) Mxima flecha en B (hacia abajo): Valor y combinacin de acciones que la produce, cuando se considere la apariencia de la obra. Indquese si se cumplen las limitaciones establecidas en el CTE.


Nota: seguir este criterio de signos: M+ Datos auxiliares: RA = 2,1 kN fB = 0,3 mm RC = 3,1 kN fD = -0,1 mm RE = -0,2 kN

SOLUCIN Paso previo 1: Momentos flectores en B con carga q = 1 kN/m Calculamos los flectores en B en funcin de una carga continua q = 1. Esto nos va a facilitar despus el clculo de los valores numricos para cada hiptesis simple. Carga en vano AC

MB = RALAB - qL

2AB / 2 = 2,12,5 12,5

2/2 = 2,13 Carga en vano CE

MB = RALAB = -0,22,5 = -0,5

Carga en los dos vanos

A B

2,5 m

D EC

2,5 m 2,5 m 2,5 m

A B D EC

30 kN/m

A B D EC

15 kN/m

2,5 m 2,5 m 2,5 m 2,5 mA B D EC

A B D ECA B

2,5 m

D EC

2,5 m 2,5 m 2,5 m

15 kN/m

A B

2,5 m

D EC

2,5 m 2,5 m 2,5 m

A B D EC

10 kN/m

A B

2,5 m

D EC

2,5 m 2,5 m 2,5 m

10 kN/m

A B D EC

Paso previo 2: Hiptesis simples, con valores de los momentos flectores Cmo vamos a considerar la alternancia de cargas?

Carga permanente: al ser permanente est siempre, por tanto no consideramos alternancia de cargas.

Sobrecarga de uso: el art. 3.1.1-7 de CTE-DB-SE-AE dice: Los valores indicados ya incluyen el efecto de la alternancia de carga, salvo en el caso de elementos crticos, como vuelos, o en el de zonas de aglomeracin. En este caso en el enunciado se aclara que puede haber aglomeraciones, y que se debe considerar la alternancia de cargas.

Viento: cuando acta, presiona o succiona a los dos vanos, no a uno de ellos. No consideramos alternancia. De este modo consideramos 5 hiptesis simples. Obtenemos los flectores a partir de las expresiones anteriores; slo calculamos los flectores en B, que es lo que piden. Hiptesis simple 1: G (carga permanente) MB = 301,63 = 48,90 kNm

Hiptesis simple 2: Qu1 (sobrecarga de uso en vano AC)

MB = 152,13 = 31,95 kNm

Hiptesis simple 3: Qu2 (sobrecarga de uso en vano CE)

MB = 15(-0,5) = -7,50 kNm

Hiptesis simple 4: Qv1 (viento de presin, hacia abajo)

MB = 101,63 = 16,30 kNm

Hiptesis simple 5: Qv2 (viento de succin, hacia arriba)

MB = 10(-1,63) = -16,30 kNm

a) Mximo momento flector positivo en B: Valor y combinacin de acciones que lo produce Los momentos flectores se emplean en Estados Lmite ltimos (En Estados Lmite de Servicio se emplean los corrimientos y deformaciones). El apartado 4.2.2 de CTE-DB-SE contiene los tipos de combinaciones que podemos considerar. En este caso no hay acciones accidentales ni sismo, luego empleamos la expresin 4.3, correspondiente a una situacin persistente o transitoria: Buscamos el mximo momento flector positivo en B. Las hiptesis simples que producen flector positivo son desfavorables, y las que producen flector negativo son favorables. Las hiptesis favorables, si son acciones variables, no las consideramos.

Los coeficientes de seguridad parciales para acciones, , y los coeficientes de simultaneidad, , los hemos obtenido en las tablas 4.1 y 4.2 respectivamente. Combinacin ms desfavorable:

G G + QU Qu1 + QV 0,QV Qv1 = 1,35 G + 1,5 Qu1 + 1,5 0,6 Qv1 Valor de mximo momento flector positivo en B:

M+mx-B = 1,35 48,90 + 1,5 31,95 + 1,5 0,6 16,30 = 128,61 kNm

b) Mnimo momento flector positivo en B: Valor y combinacin de acciones que lo produce Estamos en el mismo tipo de combinacin de acciones que antes. Pero ahora buscamos el mnimo flector positivo en B. Las hiptesis simples que producen flector negativo son desfavorables, y las que producen flector positivo son favorables. Igual que antes, las hiptesis favorables, si son acciones variables, no las consideramos. Ahora la hiptesis simple de carga permanente es favorable, luego segn tabla 4.1

tomamos G = 0,8 en vez de 1,35. Combinacin ms desfavorable:

G G + QV Qv2 + QU 0,QU Qu2 = 0,8 G + 1,5 Qv2 + 1,5 0,7 Qu2 Valor de mnimo momento flector positivo en B:

M+mn-B = 0,8 48,90 + 1,5 (-16,30) + 1,5 0,7 (-7,50) = 6,80 kNm

c) Mxima flecha en B (hacia abajo): Valor y combinacin de acciones que la produce, cuando se considere la apariencia de la obra. Indquese si se cumplen las limitaciones establecidas en el CTE.

Se trata de un Estado Lmite de Servicio. Las combinaciones se recogen en el art. 4.3.2. Segn art. 4.3.3.1-2, Cuando se considere la apariencia de la obra, se admite que la estructura horizontal de un piso o cubierta es suficientemente rgida si, para cualquiera de sus piezas, ante cualquier combinacin de acciones casi permanente, la flecha relativa es menor que 1/300. En el art. 4.3.2 el tipo de combinacin denominado casi permanente es el de la expresin 4.8: Las hiptesis simples 1 (G), 2 (Qu1) y 4 (Qv1) son las que producen flecha hacia abajo. Combinacin ms desfavorable:

G + 0,QU Qu1 + 0,QV Qv1 = G + 0,6 Qu1 + 0 Qv1 = G + 0,6 Qu1

El valor de la flecha de cada hiptesis lo obtenemos por proporcionalidad y superposicin, aplicando los datos del enunciado, tal como hemos hecho anteriormente con los flectores: fmx-B = 30(0,3-0,1) + 0,6150,3 = 9,7 mm flm = L / 300 = 5000 / 300 = 16,7 mm Sucede que fmx-B < flm, luego la comprobacin de flecha es vlida.

+ + + + PC3

+ + + + PC2

+ + + + PC1

6 m 6 m 6 m

5 m

5 m

4 m

3 m

PA1 PA2 PA3 PA4




Situacin: Valencia, junto al mar.

Uso: Viviendas.

Estructura: Forjados unidireccionales de hormign, de 27 cm de canto. Prticos de hormign armado bien arriostrados entre s en todas las direcciones. En las dos direcciones los prticos extremos tienen doble rigidez que los centrales.

Cerramientos: Dos hojas de fbrica, espesor total 24 cm. Pretil de 1 m, de fbrica, con espesor 12 cm.

Pavimentos: De terrazo tomado con mortero de cemento, sobre cama de arena, grueso total 10 cm.

Cubierta: Plana, a la catalana, accesible slo para conservacin.

Suelo: granular denso.

Se pide:

a) Calcular el valor caracterstico de todas las acciones, por plantas, que sean necesarias para el clculo de los prticos, aplicando la normativa correspondiente.

b) Para el prtico de atado 1 indicar las hiptesis simples que son de aplicacin para las acciones obtenidas en la cuestin a), dibujando las cargas correspondientes en el prtico, e indicando valores.


SOLUCIN

a) Calcular el valor caracterstico de todas las acciones, por plantas, que sean necesarias para el clculo de los prticos, aplicando la normativa correspondiente.

Segn CTE-DB-SE y CTE-DB-SE-AE hay tres tipos de acciones: permanentes, variables y accidentales. Acciones permanentes

Segn art. 2.1-1 de CTE-DB-SE-AE para las acciones permanentes, vamos a considerar el peso propio del forjado, pavimentos, tabiquera y cerramientos (de fachada y pretiles de azotea).

Planta primera

Forjado unidireccional, luces de hasta 5 m; grueso total < 0,28 m (tabla C.5) 3,0 kN/m2

Pavimento de terrazo (placa de piedra, grueso total < 0,15 m) (tabla C.5) 1,5 kN/m2

Tabiquera (art. 2.1-3, uso viviendas) 1,0 kN/m2

Cerramiento de dos hojas, grueso total < 0,25 m, 3 m de altura (tabla C.5) 7 kN/m

Planta de cubierta

Forjado unidireccional, luces de hasta 5 m; grueso total < 0,28 m (tabla C.5) 3,0 kN/m2

Cubierta a la catalana (tabla C.5) 2,5 kN/m2

Pretil, grueso total < 0,14 m, 1 m de altura (tabla C.5) 7 kN/m x 1m/3m = 2,3 kN/m

Acciones variables



Segn el art. 3.2 las acciones sobre barandillas y elementos divisorios son fuerzas horizontales que deben resistir estos elementos. Estas fuerzas no se consideran en el clculo de prticos, que es lo que piden en el enunciado. Segn el art. 3.4.1-2 En edificios habituales con elementos estructurales de hormign o acero, pueden no considerarse las acciones trmicas cuando se dispongan juntas de dilatacin de forma que no existan elementos continuos de ms de 40 m de longitud. Los prticos del ejercicio tiene 18 m de longitud (prticos de carga) y 12 m (prticos de atado), luego no consideramos acciones trmicas. Por tanto debemos calcular tres tipos de acciones variables, dos de ellas verticales (uso y nieve) y una horizontal (viento). Sobrecarga de uso Tabla 3.1 de CTE-DB-SE-AE


Cubierta. Plana, accesible slo para conservacin (categora G1) 1,0 kN/m2


Sobrecarga de nieve

Segn la Tabla 3.8 de CTE-DB-SE-AE, la sobrecarga de nieve para Valencia es de 0,2 kN/m2.

Cubierta plana en Valencia 0,2 kN/m2

Nota 2: Tambin podemos utilizar la tabla E.2, del Anejo E. Segn esta tabla, para altitud 0 m y zona climtica 5 (mapa de figura E.2) la sobrecarga de nieve es de 0,2 kN/m




considerar el valor de 1,0 kN/m2, que es una aplicacin directa de este artculo del CTE. Para ciudades costeras

como Valencia, es ms realista el valor de 0,2 kN/m2.

Accin del viento

Segn art. 3.3.2-1 de CTE-DB-SE-AE, la presin esttica qe de la accin del viento: qe = qb ce cp Siendo:




El coeficiente elico se obtiene en la tabla 3.5 a partir de la esbeltez del edificio. Tenemos dos direcciones. Vamos a llamar x a la direccin de los prticos de carga.

Direccin x (paralela a los prticos de carga)

esbeltez = altura / anchura = 8 m / 18 m = 0,44


cs = -0,4 (succin)

Direccin y (paralela a los prticos de atado)

esbeltez = altura / anchura = 8 m / 10 m = 0,8


cs = -0,4 (succin)

Por tanto:

Direccin x



Direccin y



Nota 4: Para la esbeltez hemos tomado las distancias entre ejes de barras que dan en el enunciado, con la altura de pretil de 1 m. No conocemos los valores reales de altura y anchura, pero los podemos estimar suponiendo valores razonables para los pilares y cerramientos de los extremos y para el canto del ltimo forjado. En cualquier caso, esto apenas influye en los resultados. Nota 5: Podemos calcular los valores de qe con ms precisin si tomamos:


ce = 2,3 para altura de 4 m en borde de mar, segn tabla 3.4 (forjado de planta primera)

ce = 2,6 para altura de 7 m en borde de mar, segn tabla 3.4 (forjado de planta segunda)

Acciones accidentales

Segn el captulo 4 de CTE-DB-SE-AE, en este caso con uso de viviendas, slo aplicamos accin de sismo, si as lo prescribe la NCSE-02. Segn apartado 1.2.3 de NCSE-02, la aplicacin de esta norma es obligatoria en las construcciones recogidas en el apartado 1.2.1 (edificios de nueva construccin), excepto:

- En las construcciones de importancia moderada. - En las edificaciones de importancia normal o especial cuando la aceleracin ssmica bsica ab sea

inferior a 0,04g, siendo g la aceleracin de la gravedad. - En las construcciones de importancia normal con prticos bien arriostrados entre s en todas las

direcciones cuando ab sea inferior a 0,08g. No obstante, la norma ser de aplicacin en los edificios de ms de siete plantas si la aceleracin ssmica de clculo ac (Apartado 2.2) es igual o mayor de 0,08g.

Para determinar si la norma NCSE-02 es de aplicacin a este edificio, necesitamos conocer la aceleracin ssmica bsica y la importancia del edificio. Segn el Anejo 1 de NCSE-02 la aceleracin ssmica bsica de Valencia es de 0,06g. Segn el apartado 1.2.2 de NCSE-02 la clasificacin de este edificio, de viviendas, es de importancia normal.

En este caso el edificio es de importancia normal con prticos bien arriostrados entre s en todas las direcciones, con dos plantas de altura. La aceleracin ssmica bsica es 0,06g, menor que 0,08g, luego no es de aplicacin la norma NCSE-02.

2,3 kN/m

7,0 kN/m

17,8 kN

24,9 kN

17,8 kN

24,9 kN

b) Para el prtico de atado 1 indicar las hiptesis simples que son de aplicacin para las acciones obtenidas en la cuestin a), dibujando las cargas correspondientes en el prtico, e indicando valores.

Las acciones verticales sobre los forjados se transmiten a los prticos de carga. Al prtico de atado 1 slo le afecta directamente la carga permanente de cerramientos y pretiles que apoyan sobre sus vigas, y el viento. Accin del viento

En la direccin de los prticos de atado tendremos dos fuerza horizontales de viento, a la altura de planta primera y de cubierta.

Simplificadamente, vamos a omitir el espesor de forjados y pilares extremos. El error que cometemos es pequeo.

Superficie de fachada para planta primera: s = (3x6) (4 + 3)/2 = 63 m2

Superficie de fachada para planta de cubierta: s = (3x6) (3/2 + 1) = 45 m2

Vamos a calcular una fuerza nica por planta, de presin ms succin, que es lo habitual en edificios de plantas. La carga de viento total en cada planta, en direccin de los prticos de atado, direccin y, es:

Planta primera F1 = qe s = (0,8+0,4) kN/m2 63 m2 = 75,6 kN

Planta de cubierta F2 = qe s = (0,8+0,4) kN/m2 45 m2 = 54,0 kN

Rigidez relativa del prtico PA1 o coeficiente de reparto:

ri = Ri / Rj r1 = 2/(2+1+1+2)= 0,33 (33%)

Carga de viento del prtico PA1 en cada planta:

Planta primera FPA1-1 = r1 F1 = 0,33 75,6 kN = 24,9 kN

Planta de cubierta FPA1-2 = r1 F2 = 0,33 54,0 kN = 17,8 kN

Hiptesis simples en el prtico de atado 1 Hiptesis simple 1. G Carga permanente



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ETSAS ESTRUCTURAS 2 PRIMER PARCIAL 06/02/2010 Nota: solamente se permite la consulta de las normativas; ningn otro texto. Ambos problemas se entregarn por separado.



a) Calcular cul es el flector mximo en valor absoluto en la seccin superior del pilar izquierdo, y a qu combinacin de hiptesis corresponde, segn el CTE.


c) Con carga permanente la viga tiene una flecha de 15 mm en la seccin central. Calcular cul es la flecha mxima que hay que considerar en esa seccin para realizar la comprobacin cuando se considera el confort de los usuarios segn el CTE, e indicar si cumple dicha comprobacin.


SOLUCIN Paso previo 1: Hiptesis simples y leyes de flectores

Hay 5 hiptesis simples. Las leyes de flectores que no estn en el enunciado, las obtenemos por proporcionalidad: HS1: G HS2: QU HS3: QN HS4: S1 HS5: S2

33,6

30 kN/m 20 kN/m 5 kN/m 20 kN 20 kN

77,8

57,1

33,6 22,4 5,6 28,3

38,1 9,5

51,9 51,9 77,8

22,4 5,6 28,3 28,3 28,3

13,0 13,0 12,3 12,3 12,3 12,3



G carga permanente


20 kN

77,8 77,8

57,1

33,6 33,6 28,3 28,3

12,3 12,3

4 m

6 m

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Combinacin 1: G G + Q QU + Q 0,QN QN = 1,35 G + 1,5 QU + 1,5 0,5 QN

Combinacin 2: G G + Q QN + Q 0,QU QU = 1,35 G + 1,5 QN + 1,5 0,7 QU


Combinacin 4: G + S2 + 2,QU QU = G + S2 + 0,3 QU No hemos considerado la accin de la nieve en estas combinaciones porque 2 vale 0 para altitudes por debajo de 1000 m, como este caso. A) Momento flector mximo en seccin superior del pilar izquierdo, y combinacin que lo produce Viendo las combinaciones y los valores de los flectores, se deduce fcilmente que el flector mximo en valor absoluto lo produce la combinacin 1. Es flector negativo: Combinacin 1: M = 1,35 (-77,8) + 1,5 (-51,9) + 1,5 0,5 (-13,0) = -192,63 kNm Si tenemos dudas, hacemos tambin las dems combinaciones. En el caso de las combinaciones de sismo, si las acciones variables son favorables, no las consideramos: Combinacin 2: M = 1,35 (-77,8) + 1,5 (-13,0) + 1,5 0,7 (-51,9) = -179,03 kNm Combinacin 3: M = -77,8 + 12,3 + 0,3 (-51,9) = -81,07 kNm Combinacin 4: M = -77,8 - 12,3 + 0,3 (-51,9) = -105,67 kNm Efectivamente, la combinacin ms desfavorable es la 1. Respuesta: M = -192,63 kNm para la combinacin 1 descrita en el apartado anterior.

3/3

B) Momento flector mximo en la viga, y combinacin que lo produce

En qu seccin se produce el mximo flector? Viendo las leyes de flectores de las hiptesis simples, los flectores en la viga son siempre mayores en los extremos que en el centro. Luego las secciones ms desfavorables son las de los extremos. Qu valor tiene el mximo flector y qu combinacin lo produce? Viendo las leyes de flectores de las hiptesis simples, observamos que el flector en cada extremo de la viga es igual al flector de la seccin superior de cada pilar (con el mismo signo para el pilar izquierdo, y con distinto signo para el derecho). Por tanto la respuesta de este apartado es la misma que la del apartado anterior. Respuesta: M = -192,63 kNm para la combinacin 1 descrita anteriormente.

C) Comprobacin de flecha en el centro de la viga para el confort de los usuarios

Las comprobaciones de flechas son estados lmite de servicio (ELS). En el art. 4.3.3.1-2 del CTE-DB-SE se indica: Cuando se considere el confort de los usuarios, se admite que la estructura horizontal de un piso o cubierta es suficientemente rgida si, para cualquiera de sus piezas, ante cualquier combinacin de acciones caracterstica, considerando solamente las acciones de corta duracin, la flecha relativa, es menor que 1/350.

Luego la flecha mxima permitida, o flecha lmite es:

frelativa = flmite/L = 1/350 flmite = L/350 = 6000 mm /350 = 17,1 mm Acabamos de ver que el confort de los usuarios obra se comprueba con combinaciones del tipo caractersticas, que se recogen en el art. 4.3.2-2: En este caso se obtienen dos combinaciones de hiptesis a partir de este tipo. El sismo no interviene. Combinacin 1: G + QU + 0,QN QN = G + QU + 0,5 QN Combinacin 2: G + QN + 0,QU QU = G + QN + 0,7 QU La flecha de G es 15 mm, segn el enunciado. Por proporcionalidad: QU = 10 mm QN = 2,5 mm Combinacin 1: f1 = 15 + 10 + 0,52,5 = 26,3 mm Combinacin 2: f2 = 15 + 2,5 + 0,710 = 24,5 mm

fmxima > flmite ya que fmxima = 26,3 mm > 17,1 mm.

Luego la comprobacin no es vlida.

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ETSAS ESTRUCTURAS 2 PRIMER PARCIAL 06/02/2010 Nota: solamente se permite la consulta de las normativas; ningn otro texto. Ambos problemas se entregarn por separado.


El edificio de la figura est situado en Mlaga. La estructura es de hormign armado con vigas de cuelgue y su ductilidad es alta. El forjado tiene un canto de 29 cm. La cimentacin es de pilotes sobre suelo granular denso. El amortiguamiento es del 4%. La cubierta es plana, invertida con acabado de grava. El peso de los pretiles, de los tabiques, de los cerramientos y la sobrecarga de nieve se pueden considerar despreciables a efectos del clculo ssmico. El uso de todas las plantas, inclusive la cubierta, es comercial.



c) Calcular la fuerza ssmica esttica equivalente a aplicar a cada prtico de carga en la ltima planta, sabiendo que el prtico de carga central (PC2) tiene la mitad de rigidez que los extremos (PC1 y PC3).


SOLUCIN

A) Peso necesario para calcular la accin ssmica en la ltima planta

Tabla C.5 de CTE-DB-SE-AE Forjado unidireccional, grueso total < 30 cm 4,0 kN/m2 Cubierta plana invertida con acabado de grava 2,5 kN/m2 Tabla 3.1 de CTE-DB-SE-AE Uso comercial (categora D1) 5,0 kN/m2 Nota: el uso comercial en una cubierta con acabado de grava no es frecuente, pero es posible (por ejemplo, una zona comercial con exposicin de productos de playa y montaa). Coeficiente de reduccin de la sobrecarga de uso comercial para clculo de la fuerza ssmica segn apartado 3.2 de NCSE: 0,6. Superficie en planta = 815 = 120 m2 Peso total en planta de cubierta: Forjado unidireccional, grueso total < 30 cm 4,0 kN/m2 120 m2 = 480 kN Cubierta plana invertida con acabado de grava 2,5 kN/m2 120 m2 = 300 kN Uso comercial (categora D1) 0,6 5,0 kN/m2 120 m2 = 360 kN Peso total 1.140 kN

+ + + + PC3

+ + + + PC2

+ + + + PC1

5 m 5 m 5 m

4 m

4 m

4 m

3 m

3 m

3 m

3 m

F5

+ + + + PC3

+ + + + PC2

+ + + + PC1

5 m 5 m 5 m

4 m

4 m

4 m

3 m

3 m

3 m

3 m

F5

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B) Fuerza ssmica esttica equivalente en la ltima planta

1. Aceleracin ssmica bsica y aceleracin ssmica de clculo En este edificio, situado en Mlaga, segn el anejo 1 de NCSE:




En este caso el coeficiente adimensional de riesgo es: = 1,0 segn apartado 2.2, para construcciones de importancia normal; el edificio es de importancia normal segn la clasificacin del art. 1.2.2.

Entonces ab = 1,00,11g = 0,11g


S = C / 1,25 + 3,33 ( ab / g 0,1) (1 C / 1,25)




S = 1,3 / 1,25 + 3,33 (1,00,11g / g 0,1) (1 1,3 / 1,25) = 1,039 ac = S ab = 1,039 1,0 0,11g = 0,114g


TF = 0,09 n siendo n el nmero de plantas TF = 0,095 = 0,457 s Segn art. 3.7.2.1 en el mtodo simplificado empleamos slo el primer modo si TF 0,75 s En este caso TF = 0,45 s < 0,75 s, luego slo consideramos el primer modo de vibracin. 3. Coeficiente ssmico adimensional Coeficiente ssmico adimensional correspondiente a la planta k en el modo i, de valor:

sik = (ac/g) i ik Siendo: ac: Aceleracin ssmica de clculo determinada en el apartado 2.2. En este caso: ac = 0,114g g: Aceleracin de la gravedad, expresada igualmente en m/s2. : Coeficiente de respuesta, definido en el apartado 3.7.3.1. ik: Factor de distribucin correspondiente a la planta k, en el modo i, definido en el apartado 3.7.3.2. i: Coeficiente de valor (Figura 3.3):

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Para Ti TB i = 2,5 Para Ti >TB i = 2,5 (TB/Ti) siendo: Ti: Periodo del modo considerado TB: Periodo caracterstico del espectro definido en 2.3.

En nuestro edificio podemos considerar un solo modo de vibracin, el fundamental. Segn el apartado 2.3:

TB= KC/2,5 = 1,01,3/2,5 = 0,52 s Por tanto, aplicando el apartado 3.7.3:

T1 < TB (0,45 s < 0,52 s) y entonces: 1 = 2,5 El valor de lo tomamos de la tabla 3.1. En este caso, el enunciado indica que la ductilidad es alta, = 3, y el amortiguamiento es del 4%. Obtenemos = 0,36. Segn el art. 3.7.3.2 el valor del factor de distribucin ik, correspondiente a la planta k en el modo de vibracin i, tiene el valor: Para el primer modo de vibracin los valores de tambin se pueden obtener, de modo aproximado, a partir de la tabla C3.1. Segn esta tabla: Quinta planta 15 = 1,2 Sustituyendo tenemos los valores del coeficiente ssmico:

s15 = (ac/g) 1 15 = 0,114 2,5 0,36 1,2 = 0,123 4. Fuerza ssmica esttica equivalente Segn el art. 3.7.3: Fik = sik . PK En este caso: F15 = s15 . P5 = 0,1231140 kN = 140,67 kN

C) Fuerza ssmica esttica equivalente en cada prtico de carga de la ltima planta

1. Coeficientes de reparto a cada prtico Segn el enunciado el prtico PC2 tiene la mitad de rigidez que los prticos PC1 y PC3. R1 = R3 = 2 R2 = 1 Rigidez relativa de cada prtico o coeficiente de reparto:

ri = Ri / Rj r1 = r3 = 2 / 5 = 0,4 (40%) r2 = 1 / 5 = 0,2 (20%) 2. Reparto de fuerzas entre prticos de carga en ltima planta PC1 FPC1-5 = r1 F15 = 0,40 140,67 kN = 56,27 kN PC2 FPC2-5 = r2 F15 = 0,20 140,67 kN = 28,13 kN PC3 FPC3-5 = r3 F15 = 0,40 140,67 kN = 56,27 kN

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3. Fuerzas considerando efectos de rotacin Segn el art. 3.7.5 de NCSE, la excentricidad adicional puede considerarse multiplicando cada fuerza por el factor:

a = 1 + 0,6 x / Le

En PC1 y PC3: a1 = 1 + 0,6 4 / 8 = 1,3

En PC2: a2 = 1 + 0,6 0 / 8 = 1,0 Fuerzas ssmicas estticas equivalentes a considerar en cada prtico en ltima planta:

PC1 FPC1-5-k = a1 FPC1-5 = 1,3 56,27 kN = 73,15 kN

PC2 FPC2-5-k = a2 FPC2-5 = 1,0 28,13 kN = 28,13 kN

PC3 FPC3-5-k = a3 FPC3-5 = 1,3 56,27 kN = 73,15 kN

ETSAS ESTRUCTURAS 2 EXAMEN FINAL PRIMER PARCIAL 09/07/2010 Nota: solamente se permite la consulta de las normativas. LOS PROBLEMAS SE ENTREGAN POR SEPARADO. ESCRIBA SU NOMBRE EN TODAS LAS HOJAS. PROBLEMA 1 3,33 puntos Tiempo: 45 minutos. Se quiere dimensionar la viga de la figura con un perfil de acero doble T. La distancia entre apoyos es de 6 m, y la luz de los voladizos de 2 m. Los valores caractersticos de las acciones se indican en la figura. Se pide:

a) Mximo momento flector positivo: Valor, seccin en la que se da y combinacin de acciones que lo produce.

b) Mximo

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