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Ejercicios, aplicaciones de Investigacion Operativa basados en la Ingenieria Industrial

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Ejercicio 1 Una compaa fabrica y venden dos modelos de lmpara L1 y L2. Para su fabricacin se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de mquina para L1 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la mquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la produccin para obtener el mximo beneficio.

1 Eleccin de las incgnitas.x = n de lmparas L1y = n de lmparas L2 2 Funcin objetivof(x, y) = 15x + 10y 3 RestriccionesPasamos los tiempos a horas20 min = 1/3 h30 min = 1/2 h10 min = 1/6 hPara escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:L1 L2 TiempoManual 1/3 1/2 100Mquina 1/3 1/6 801/3x + 1/2y 1001/3x + 1/6y 80Como el nmero de lmparas son nmeros naturales, tendremos dos restricciones ms:x 0y 0

4 Hallar el conjunto de soluciones factiblesTenemos que representar grficamente las restricciones.Al ser x 0 e y 0, trabajaremos en el primer cuadrante.Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.Resolvemos grficamente la inecuacin: 1/3 x + 1/2 y 100; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).1/30 + 1/20 1001/30 + 1/60 80La zona de interseccin de las soluciones de las inecuaciones sera la solucin al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

5 Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de las soluciones factibles.La solucin ptima si es nica se encuentra en un vrtice del recinto. estos son las soluciones a los sistemas:

1/3x + 1/2y = 100; x = 0 (0, 200)1/3x + 1/6y = 80; y = 0(240, 0) 1/3x + 1/2y = 100; 1/3x + 1/6y = 80(210, 60)

6 Calcular el valor de la funcin objetivo

En la funcin objetivo sustituimos cada uno de los vrtices.f(x, y) = 15x + 10yf(0, 200) = 150 + 10200 = 2 000 f(240, 0 ) = 15240 + 100 = 3 600 f(210, 60) = 15210 + 1060 = 3 750 Mximo

La solucin ptima es fabricar 210 del modelo L1 y 60 del modelo L1 para obtener un beneficio de 3 750 .

Ejercicio 2 resueltoCon el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolgrafos para la oferta, empaquetndolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondr 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolgrafos; en el segundo, pondrn 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolgrafo. Los precios de cada paquete sern 6.5 y 7 , respectivamente. Cuntos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el mximo beneficio?1 Eleccin de las incgnitas.x = P1y = P22 Funcin objetivof(x, y) = 6.5x + 7y3 RestriccionesP1P2Disponibles

Cuadernos23600

Carpetas11500

Bolgrafos21400

2x + 3y 600 x + y 5002x + y 400x 0y 0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

5 Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de las soluciones factibles.

6 Calcular el valor de la funcin objetivof(x,y) = 6.5 200 + 7 0 = 1300 f(x,y)= 6.5 0 + 7 200 = 1 400 f(x,y)= 6.5 150 + 7 100 = 1 675 MximoLa solucin ptima son 150 P1 y 100 P2 con la que se obtienen 1 675

Ejercicio 3 En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composicin mnima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado slo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composicin de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composicin de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 . Qu cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mnimo?1 Eleccin de las incgnitas.x = Xy = Y2 Funcin objetivof(x,y) = 10x + 30y3 RestriccionesXYMnimo

A1515

B5115

x + 5y 15 5x + y 15x 0y 04 Hallar el conjunto de soluciones factibles

5 Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de las soluciones factibles.

6 Calcular el valor de la funcin objetivof(0, 15) = 10 0 + 30 15 = 450f(15, 0) = 10 15 + 30 0 = 150f(5/2, 5/2) = 10 5/2 + 30 5/2 = 100 MnimoEl coste mnimo son 100 para X = 5/2 e Y = 5/2. Ejercicio 4 Se dispone de 600 g de un determinado frmaco para elaborar pastillas grandes y pequeas. Las grandes pesan 40 g y las pequeas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 y la pequea de 1 . Cuntas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea mximo? 1 Eleccin de las incgnitas.x = Pastillas grandesy = Pastillas pequeas2 Funcin objetivof(x, y) = 2x + y3 Restricciones40x + 30y 600x 3y 2xx 0y 04 Hallar el conjunto de soluciones factibles

5 Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de las soluciones factibles.

6 Calcular el valor de la funcin objetivof(x, y) = 2 3 + 16 = 22 f(x, y) = 2 3 + 6 = 12 f(x, y) = 2 6 + 12 = 24 MximoEl mximo beneficio es de 24 , y se obtiene fabricando 6 pastillas grandes y 12 pequeas.Ejercicio 5 Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantaln, que se venden a 30 ; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantaln, que se vende a 50 . No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. Cuntos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia? 1 Eleccin de las incgnitas.x = n de lotes de Ay = n de lotes de B2 Funcin objetivof(x, y) = 30x + 50y3 RestriccionesABMnimo

Camisas13200

Pantalones11100

x + 3y 200x + y 100x 20y 104 Hallar el conjunto de soluciones factibles

5 Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de las soluciones factibles.

6 Calcular el valor de la funcin objetivof(x, y) = 30 20 + 50 10 = 1100 f(x, y) = 30 90 + 50 10 = 3200 f(x, y) = 30 20 + 50 60 = 3600 f(x, y) = 30 50 + 50 50 = 4000 MximoCon 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia mxima de 4000 .Ejercicio 6 Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un mximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mnimo 60.000 en las del tipo B. Adems queremos que la inversin en las del tipo A sea menor que el doble de la inversin en B. Cul tiene que ser la distribucin de la inversin para obtener el mximo inters anual?Solucin Es un problema de programacin lineal.Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo ALlamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo Binversinrendimiento

Tipo A x0,1x

Tipo By0,08y

210000 0,1x+0,08yCondiciones que deben cumplirse (restricciones): R1 R2 R3 R4 Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la regin factible (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones) r1 r2 (paralela a OY) r3(paralela a OX) r4xyxyxyxy

0210000130000006000000

210000013000065000

La regin factible es la pintada de amarillo, de vrtices A, B, C, D y E

A(0, 60000), B(120000, 60000), C(130000, 65000), D(130000, 80000) y E(0, 210000)La funcin objetivo es;F(x, y)= 0,1x+0,08ySi dibujamos la curva F(x, y) =0 (en rojo) y la desplazamos se puede comprobar grficamente que el vrtice mas alejado es el D, y por tanto es la solucin ptima.Comprobarlo analticamente (es decir comprobar que el valor mximo de la funcin objetivo, F, se alcanza en el vrtice D)Ejercicio 7 En una pastelera se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelera se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. Cuntas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al da para que sea mximo el beneficio?Solucin En primer lugar hacemos una tabla para organizar los datos:TipoNBizcochoRellenoBeneficio

T. Vienesax1.x0,250x250x

T. Realy1.y0,500y400y

15050

Funcin objetivo (hay que obtener su mximo): f(x, y)=250x+ 400y Sujeta a las siguientes condiciones (restricciones del problema):

Consideramos las rectas auxiliares a las restricciones y dibujamos la regin factible: Para 0.25x+0.50y=50, x + 2y=200xY

0100

2000

Para x + y =150xY

0150

1500

La otras dos son paralelas a los ejes Al eje OY x=125Al eje Ox y =125Y las otras restricciones (x e y mayor o igual a cero) nos indican que las soluciones deben estar en el primer cuadrante La regin factible la hemos coloreado de amarillo:

Encontremos los vrtices: El O(0,0), el A(125, 0) y el D(0, 100) se encuentran directamente (son las intersecciones con los ejes coordenados)Se observa que la restriccin yes redundante (es decir sobra)Resolviendo el sistema: , por reduccin obtenemos y=50, x=100Otro vrtice es el punto C(100, 50)Y el ltimo vrtice que nos falta se obtiene resolviendo el sistema:X+y=150X=125Cuya solucin es: X=125, Y=25 B(125, 25)Los vrtices de la regin son O(0,0), A(125,0), B(125,25) y C(100,50) y D(0,100),Si dibujamos el vector de direccin de la funcin objetivo f(x, y)=250x+ 400y Haciendo 250x+ 400y =0, y=-(250/400)x=-125x/200xY

00

200-125

Se ve grficamente que la solucin es el punto (100, 50), ya que es el vrtice mas alejado (el ltimo que nos encontramos al desplazar la rectas 250x+400y=0 )Lo comprobamos con el mtodo analtico, es decir usando el teorema que dice que si existe solucin nica debe hallarse en uno de los vrticesLa uncin objetivo era: f(x, y)=250x+400y, sustituyendo en lo