ejercicios programación lineal
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PROGRAMACIÓN LINEAL
Resolver las siguientes Inecuaciones
2x+3y≥7
2x+3y=7
x y 0 2,3
3,5 0
2(0)+3(0)≥7
0≥7 FALSO
1.- 4x-8y<12
2.- 4x-8y=12
X
Y
3,5
2,3
x y0 -1,53 0
4(0)+8(0)<120<12 VERDADERO
3.-
2 x− y>0
2 x= y
X
Y
3-1,5
P(2,0)
2 (2 )−0>0
4>0 → Verdadero
x y0 01 2
4.-
{4 x2+4 y2≥36x+5 y<7 {4 x2+4 y2=36
x+ y=7
x2+ y2=9
P (0,0 )
4 (0)2+4 (0)2≥36
0≥36 → Falso
5.-
4 x2+3 y2 < 12
2 x+3> y
x+5 y=7
x Y
075
7 0P(0,0)
0<7
4 x2+3 y2 = 12
x2
3y2
4 = 1
X: √3 = 1,7
Y: √4 = 2
P(0,0)
4 (02 )+3(02) <12
0 < 12 Verdadero
2x-y=-3
x y0 3-1,5 0
P(0,0)
2 x− y> -32(0)-(0) >-3
0>--3 Verdadero
6. 3x2+y>6
2x2-y2<4
(1) (2)3x2+y=6
y=6-3x2
2x2-y2=4
x=±√ 4+ y2
2
COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0)(1) (2)
3(0)2+(0)>6 2(0)2-(0)2<40>6 0<4
FALSO VERDAD
GRÁFICO
x y x y
-3 -21 ±2.6 -3
-2 -6 ±2 -2-10123
363-6-21
±1.6±1.4±1.6
±2±2.6
-10123
1.- Una Compañía de Auditores se especialista en preparar liquidaciones y auditorías de
pequeñas empresas. Tiene interés en saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden
realizarse mensualmente para maximizar sus ingresos? Se dispone de 600 horas de
trabajo directo y 220 horas para revisión, además aporta un ingreso de $250, una
liquidación de impuestos requiere de 6 horas de trabajo directo y 4 de revisión producen
un ingreso de $90, una auditoría requiere de 30 horas de trabajo directo y 8 de revisión,
aporta con un ingreso de $250. El máximo de liquidaciones posibles es de 50.
TABLA DE DATOS
DESCRIPCIÓN TRABAJO DIRECTO
REVISIÓN INGRESOS MÁXIMO
LIQUIDACIONES 8 2 90 50
AUDITORÍAS 1 1 250 DISPONIBILIDAD 600 220
FUNCIÓN OBJETIVO.
Max. Z=90x+250y
RESTRICCIONES
(1) 6x+30y≤ 600
(2) 4x+8y≤ 200
(3) x≤50
RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD
(4) x,y0
SISTEMAS ECUACIONES
(1) (2) (3)6x+30y=600 4x+8y=200 x=50
x y x y
100 0 0 27,5
0 20 55 0
COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0) P(0,0)(1) (2) (3)
6(0)+30(0)≤600 4(0)+8(0)≤ 200 0≤500≤600 0≤ 200
VERDAD VERDAD VERDAD
GRÁFICO
Punto x y z
A 0 0 0
B 0 20 1050
C 25 15 6000
D 50 0 4500
ARCO CONVEXO
C.
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 1050
VALORES ÓPTIMOS
x= 3 y=2
RESTRICCIONES ACTIVAS: 2,3
RESTRICCIONES INACTIVAS: 1
(1) -24x-120y= -2400(2) 24x+48y= 1200
y=15 x=25
2.- Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzana. Dos mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades pero solo venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas.
El mayorista B envía en cada contenedor 2 cajas de naranja, 1 de plátano y 7 de manzanas si se sabe que el mayorista A se encuentra a 150 km de distancias y el mayorista B a 30 km. Determine cuantos contenedores habrá que comparar a cada mayorista con el objeto de ahorrar tiempo dinero y minimizar la distancia.
TABLA DE DATOS
DESCRIPCIÓN A B DISPONIBILIDAD
NARANJA 8 2 16PLÁTANOS 1 1 5MANZANAS 2 7 20DISTANCIA 150 30
FUNCIÓN OBJETIVO.
Min. Z=150x+30y
RESTRICCIONES
(1) 8x+2y16(2) x+y5(3) 2x+7y20
RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD
(4) x,y0
SISTEMAS ECUACIONES
(1) 8x+2y=16 (2) x+y=5 (3) 2x+7y=20
COMPROBACIÓN P(0,0) P(0,0) P(0,0)
(1) 8(0)+2(0)16 (2) 0+05 (3) 2(0)+7(0)20 016 05 020
FALSO FALSO FALSO
x y0 82 0
x y0 55 0
x y
02,9
10 0
GRÁFICO
ARCO CONVEXO
B. C.
(2) -2A-2B= -10(3) 2A+7B= 20
B=2 A=3
SOLUCIÓN ÓPTIMA Z= 1050VALORES ÓPTIMOSx= 3 y=2 RESTRICCIONES ACTIVAS: 2,3RESTRICCIONES INACTIVAS: 1
Punto x y z
A 10 0 1500
B 3 2 1050
C 1 4 1350
D 0 8 2400
(1) -8A-8B= -40(2) 8A+2B= 10
B=4 A=1
3.- MAXIMIZAR
FUNCIÓN OBJETIVO
Z=52x+ y
SUJETO A
(1) 3 x+5 y≤15(2) 5 x+2 y ≤10
CONDICIONES TÉCNICAS
x≥0 O j=1;2
(1) (2)3x+5y=15 5x+2y=10
GRÁFICO
x y 0 35 00≤15
x y0 52 0
0≤10
ARCO CONVEXO
C.
RESPUESTA
Este problema tiene múltiples soluciones.
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z1= 5 Z2=5
VALORES ÓPTIMOS
x1= 20/19 y1=45/19; x2=2 y2=0
RESTRICCIONES ACTIVAS: 1,2
NO HAY RESTRICCIONES INACTIVAS
−15 x−25 y=−7515 x+6 y=30
y= 4519
3 x+5( 4519 )=15
x=2019
Punto X Y ZA 0 0 0B 0 3 3
C2019
4519
5
D 2 0 5
4.- MAXIMIZAR
FUNCIÓN OBJETIVO
Z= 2x+3y
SUJETO A
(1) x≤2(2) y≥4(3) 2x+y≥5
CONDICIÓN TÉCNICA
(4) x,y 0
SISTEMA DE ECUACIONES
(1) (2) (3)x=2 y=4 2x+y=5
COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0) P(0,0)(1) (2) (3)
x≤2 y≥4 2x+y≥5
0≤2 04 05VERDAD FALSO FALSO
GRÁFICO
x y0 55/2 0
ARCO CONVEXO
PUNTOS x y z
A 2 4 16
B 1/2 4 13
C 0 5 15
B.
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 16
VALORES ÓPTIMOS
x= 2 y=4
RESTRICCIONES ACTIVAS: 1,2
RESTRICCIONES INACTIVAS: 3
(3) -2x-y= -5(2) y= 4
x=1/2 y=4
5.- MAXIMIZAR
FUNCIÓN OBJETIVO
Z= 2x+3y
RESTRICCIONES
(1) x≤2(2) y≤3(3) 2x+y≥18
RESTICCIONES DE NO NEGATIVIDAD
(4) x+y≥0
SISTEMAS DE ECUACIONES
COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0) P(0,0)(1) (2) (3)x≤2 y≤3 2x+y≥18
0≤2 0≤3 018VERDAD VERDAD FALSO
GRÁFICO
x y0 189 0
(1) (2) (3)
x=2 y=3 2x+y=18
RESPUESTA: El problema no tiene solución
6.- Una compañía produce automóviles y camiones, cada vehículo tiene que pasar por
un taller de pintura y un taller de montaje de carrocería si el taller de pintura pinta
solamente camiones, se podría pintar 40 camiones al día y si pinta solo automóviles se
podrían pintar 60 automóviles si el taller de carrocerías ensamblara solo camiones
podría ensamblar 50 camiones al día y si ensamblaría solo automóviles podrían
ensamblar 50 automóviles al día cada camión aporta $300 a la utilidad y cada
automóvil $200. Maximice la utilidad.
Pintura PENDIENTE
P1(0,40) m= y 2− y 1x 2−x1
P2(60,0) m=40−00−60
m=−23
Ensamblaje PENDIENTE ECUACIÓN DE LA RECTA
P(0,50) m= y 2− y 1x 2−x1
y-y1=m(x-x1)
P(50,0) m=50−00−50
y-50=-1 (x)
m=−1 x+y=50
FUNCIÓN OBEJTIVO
Z= 200x+ 300y
RESTRICCIONES
(1) 2x+3y ≤ 120(2) x+y ≤ 50
RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD
(3) x,y0
ECUACIÓN DE LA RECTA
y-y1=m(x-x1)
y-40=-2/3 (x)
3y-120=-2x
2x+3y=120
SISTEMAS DE ECUACIONES
COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0)(1) (2)
2(0)+3(0)≤120 (0)+(0)≤ 500≤120 0≤ 50
VERDAD VERDAD
GRÁFICO
ARCO CONVEXO
(1) (2)2x+3y=120 x+y=50
x y x y
60 0 0 50
0 40 50 0
Punto x y z
A 0 0 0
B 0 40 12000
C 30 20 12000
D 50 0 10000
C.
RESPUESTA
El problema tiene múltiples soluciones.
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z1= 12000 Z2=12000
VALORES ÓPTIMOS
x1= 0 y1=40; x2=30 y2=20
RESTRICCIONES ACTIVAS: 1,2
NO HAY RESTRICCIONES INACTIVAS
(1) -2x-3y= -120(2) 2x+2y= 100
y=20 x=30
7.- En una pastelería se hace 2 tipos de torta. Vienesa y Real. Cada torta Vienesa necesita ¼ de relleno por cada Kg de bizcocho y produce un beneficio de $250. Una torta Real necesita ½ kg de relleno por cada kg de Bizcocho y produce $400 de beneficio en la pastelería e pueden hacer diariamente hasta 150kg de bizcocho y 50kg de relleno. Por problemas de la maquina o se pueden hacer más de 125 tortas de cada tipo. Determine cuantas tortas de cada tipo deben venderse al día para maximizar el beneficio.
FUNCIÓN OBJETIVO
MAX. Z= 250x + 400y
RESTRICCIONES
(1) x +y ≤ 150(2) 0,250x + 0,500y ≤ 50 (3) X ≤ 125(4) y ≤ 125
RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD
(5) x, y ≥ 0
SISTEMAS ECUACIONES
(1) (2) (3) (4)x+y=150 0,250x+0,500y=50 x=125 y=125
X y x Y
150 0 0 100
0 150 200
0
COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0) P(0,0)(1) (2) (3)
(0)+(0)≤150 0,250(0)+0,500(0)≤ 50 0≤125 VERDAD 0≤150 0≤ 50 (4)
VERDAD VERDAD 0≤125 VERDAD
GRÁFICO
ARCO CONVEXO
C.
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 131200
VALORES ÓPTIMOS
x= 125 y=25
RESTRICCIONES ACTIVAS: 2,3 RESTRICCIONES INACTIVAS: 1
Punto x Y Z
A 0 0 0
B 0 100 40000
C 50 100 32500
D 125 25 131200
E 125 0 31250
(1) -0,250 x -0,250y ≤ -37,5(2) 0,250x + 0,500y ≤ 50
y=50 x=100
8.- Una joyería elaboro 2 modelos de joyas el primer modelo es 5, 5,20 y el segundo modelo es 5, 10,5, los números que se indican representan en porcentaje oro, plata, cobre la joyería dispone de 10kg de oro, 180 de plata y 200 kg de cobre por cada tipo de modelo 5, 5, 10 se obtiene una utilidad de $18,50 y por el otro modelo una utilidad de $20,00 maximice la utilidad establezca restricciones activas e inactivas y verifica si hay holgura o excedente.
FUNCIÓN OBJETIVO
Max Z= 8,50x + 20Y
SUJETO A
(1) 0,05X + 0,05y ≤ 110(2) 0,05x + 0,10y ≤ 180(3) 0,10x + 0,05y ≤ 200
RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD
(4) x, y ≥ 0
SISTEMAS DE ECUACIONES
(1) (2) (3)0,05X + 0,05y = 110 0,05x + 0,10y =180 0,10x + 0,05y = 200
x y x y x y
2200
0 0 1800
0 4000
0 2200 3600 0 2000 0
COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0) P(0,0)(1) (2) (3)
0,05(0)+0,05(0)≤110 0,05(0)+0,10(0)≤ 180 0,10(0)+0,05(0)≤2000≤110 0≤ 180 0≤200
VERDAD VERDAD VERDAD
GRÁFICO
C D (1) 0,05x + 0,05y = 110 (-1) (1) 0,05x + 0,05y = 110 (-1)
(2) 0,05x + 0,10y= 180 (2) 0,10x + 0,05y= 200
- 0,05x - 0,05y = -110 0,05x - 0,05y = -1100,05x+ 0,10y = 180 0,10x+ 0,05y = 200
0,05 y = 70 0,05 X = 90 Y= 1400 y= 1800
0,05x + 0,10 y = 180 0,10x + 0,05 y = 200 x
= 800 x= 400
Z= 18,50(800) + 20(1400) Z= 18,50(1800) + 20(400) Z= 42800 Z= 41300
Arco Convexo Solución Óptima X Y Z Z= 42800
C 800 1400 42800 Valores ÓptimosD 1800 400 41300 x= 800
Y= 1400
Cálculo de la Holgura para el oro 0,05x + 0,05y ≤ 110
0,05(800) + 0,05(1400) + h1 ≤ 110 h1 ≤ 0 Disponibilid. Ocupados Holgura
Oro 110 110 0Plata 180 180 0
Cálculo de la Holgura para la plata Cobre 200 50 50 0,05x + 0,10y ≤ 180
0,05(800) + 0,10(1400) + h2 ≤ 180 Solución Óptimah2 ≤ 0 Z= 42800
Valores Óptimosx= 800
Cálculo de la Holgura para el cobre Y= 1400 0,10x + 0,05y ≤ 200 h1= 0
0,10(800) + 0,05(1400) + h3 ≤ 200 h2= 0h3 ≤ 50 h3= 50
Restricción Activa= 1,2Restricción Inactiva= 3
9. .- Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzana. Dos mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades pero solo venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas.
El mayorista B envía en cada contenedor 2 cajas de naranja, 1 de plátano y 7 de manzanas si se sabe que el mayorista A se encuentra a 150 km de distancias y el mayorista B a 30 km. Determine cuantos contenedores habrá que comparar a cada mayorista con el objeto de ahorrar tiempo dinero y minimizar la distancia.
TABLA DE DATOS
DESCRIPCIÓN A B DISPONIBILIDAD
NARANJA 8 2 16PLÁTANOS 1 1 5MANZANAS 2 7 20DISTANCIA 150 30
FUNCIÓN OBJETIVO.
Min. Z=150x+30y
RESTRICCIONES
(1) 8x+2y16(2) x+y5(3) 2x+7y20
RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD
(4) x,y0
SISTEMAS ECUACIONES
(2) 8x+2y=16 (2) x+y=5 (3) 2x+7y=20
COMPROBACIÓN P(0,0) P(0,0) P(0,0)
(2) 8(0)+2(0)16 (2) 0+05 (3) 2(0)+7(0)20 016 05 020
FALSO FALSO FALSO
x y0 82 0
x y0 55 0
x y
02,9
10 0
GRÁFICO
ARCO CONVEXO
B. C.
(2) -2A-2B= -10(3) 2A+7B= 20
B=2 A=3
SOLUCIÓN ÓPTIMA Z= 1050VALORES ÓPTIMOSx= 3 y=2 RESTRICCIONES ACTIVAS: 2,3RESTRICCIONES INACTIVAS: 1
Cálculo de Excedente de Naranja
8x + 2y ≥ 16
8(5) + 2(2) - 16 ≥ E1
Punto x y z
A 10 0 1500
B 3 2 1050
C 1 4 1350
D 0 8 2400
(1) -8A-8B= -40(2) 8A+2B= 10
B=4 A=1
12 ≥ E1
Cálculo de Excedente de Plátano x + y ≥ 5
(5) + (2) ≥ 5 + E2
E2 ≤ 0
Cálculo de Excedente de Manzanas
2x + 7y ≥ 20
2(5) + 7(2) ≥ 20 + E3
E3 ≥ 0
PROBLEMA DUAL
P.PRIMAL
Max Z= 5X1 + 6X2
S.A.
(1) X1+9X2 ≤ 60(2) 2X1+3X2≤ 45(3) 5X1-2X2≤20(4) X2 ≤ 30
X1,X2 0
(1) (2) (3)X1+9X2=60 2X1+3X2=45 5X1- 2X2=20
X1 X2 X1 X2 A B
0 6,7 0 15 0 -10
60 0 22,5 0 4 0
VERDAD VERDAD VERDAD
GRÁFICO
Z = 67,56
6,36+9(5,96)+ h1 60 2 (6,36)+3(5,96)+ h2 45 5 (6,36)- 2(5,96)+ h3 20 h1 = 0 h2 = 14 h3 = 0
5,96+ h4 30 h4 ≤ 24
(1) 5X1 – 2X2 = 20 (2) -5X1- 45X2= -300
X2= 5,96 X1= 6,36
P.DUAL
MIN Z= 60Y1 + 45Y2 + 20Y3 + 30Y4
S.A.
(1) Y1+2Y2+5Y3 ≥ 5(2) 9Y1+3Y2-2Y3≥ 6(3) Y1,Y2,Y3,Y4 ≥0
Z = 60(4047
) + 20(3947
)
Z= 67,65
(1) -9Y1 - 45Y3 = -45 (2) 9Y1 - 2Y3 = 6
Y3 = 3947
Y1 = 4047