ejercicios resueltos

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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA. MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA. UNIVERSIDAD YACAMBÚ. Bastidas Laura. ACP-133-00562 Teixeira Nelson. ACP-133-00729

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Límites trigonométricos, continuidad y asíntotas verticales y horizontales.

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Page 1: Ejercicios resueltos

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA.MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA.

UNIVERSIDAD YACAMBÚ.

Bastidas Laura. ACP-133-00562

Teixeira Nelson. ACP-133-00729

Page 2: Ejercicios resueltos

Se pueden resolver aplicando un límite notable o una identidad

trigonométrica y en algunos casos se debe aplicar ambas operaciones.

Sin embargo a veces es necesario realizar algunas operaciones

algebraicas como multiplicar y dividir por un número, factorizar, multiplicar

por la conjugada o aplicar las propiedades de los límites.

RECORDEMOS

𝜋 rad= 180°

TEOREMA

1) lim𝑥→0

sen 𝑥

𝑥= 1

2) lim𝑥→0

1−cos 𝑥

𝑥= 0

Page 3: Ejercicios resueltos

1) E f(a) Que el punto x = a tenga imagen.

2) E lim𝑥→𝑎

f(x) Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3) f(x)= lim𝑥→𝑎

f(x) Que la imagen del punto coincida con el límite

de la función en el punto.

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

Si al menos una de las condiciones se deja de cumplir, entonces la función no es continua.

Page 4: Ejercicios resueltos

Una asíntota, es una recta que se encuentra asociada a la gráfica de algunascurvas y que se comporta como un límite hacia el cual la gráfica se aproximaindefinidamente, pero nunca lo toca y mucho menos lo salta.

En general, la recta puede tener cualquier orientación, sin embargo, practicaremos las siguientes. Son rectas verticales asociadas a

la función, se encuentran presentesúnicamente en funciones racionales

de la forma 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)

ℎ(𝑥)(al igual

que las horizontales), y su resultado

siempre debe ser +∞ ó -∞.

Asíntotas Verticales

Asíntotas Horizontales

Se determinan haciendo que lavariable independiente “x” tienda alinfinito, lo que trae comoconsecuencia, que la función tienda aun valor determinado fijo, al quenunca va a llegar y mucho menossobrepasar.

Page 5: Ejercicios resueltos

1) Si 𝑓(𝑥)=

−4 𝑠𝑖 𝑥 − 2𝑥3

2𝑠𝑖 − 2 ≤ 𝑥 < 2

𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2

Hallar:

𝑎) lim𝑥→−2

f(x) 𝑏) lim𝑥→2

f(x)

Resolvemos.

𝑎) lim𝑥→−2

f(x)

lim𝑥→−2

+𝑥3

2= (−2)3

2= −8

2= -4

lim𝑥→−2

− -4 = -4

Entonces, como

lim𝑥→−2

+ f(x) = lim𝑥→−2

− f(x)

⟹ lim𝑥→−2

f(x) = -4

𝑏) lim𝑥→2

f(x)

lim𝑥→2

+ x-1 = 2-1 = 1

lim𝑥→2

−𝑥3

2= 23

2= 8

2= 4

Como lim𝑥→2

+ f(x) ≠ lim𝑥→2

− f(x)

entonces 𝑙𝑖𝑚𝑥→2

f(x) no existe.

Page 6: Ejercicios resueltos

2) Hallar

Resolvemos.

Sea 𝑦 = 𝑥 −𝜋

6⇒ 𝑥 = 𝑦 +

𝜋

6

Sea 𝑥 →𝜋

6⇒ 𝑦 → 0

lim𝑦→0

𝑆𝑒𝑛𝑦

𝐶𝑜𝑠𝑦.𝑐𝑜𝑠𝜋

6−𝑠𝑒𝑛𝑦.𝑠𝑒𝑛

𝜋

6−

3

2

lim𝑦→0

𝑆𝑒𝑛𝑦

𝐶𝑜𝑠𝑦.3

2−𝑠𝑒𝑛𝑦.

1

2−

3

2

lim𝑦→0

𝑆𝑒𝑛𝑦

3

2𝐶𝑜𝑠𝑦−

3

2−1

2.𝑠𝑒𝑛𝑦

lim𝑥→

𝜋6

𝑆𝑒𝑛 𝑥 −𝜋6

𝐶𝑜𝑠𝑥 −32

lim𝑦→0

𝑆𝑒𝑛𝑦

𝐶𝑜𝑠 𝑦.𝑐𝑜𝑠𝜋

6−

3

2

lim𝑦→0

𝑆𝑒𝑛𝑦

32 𝐶𝑜𝑠𝑦 − 1 −

12 𝑠𝑒𝑛𝑦

lim𝑦→0

𝑆𝑒𝑛𝑦𝑦

32 𝐶𝑜𝑠𝑦 − 1 −

12 𝑠𝑒𝑛𝑦

𝑦

lim𝑦→0

𝑆𝑒𝑛𝑦𝑦

32 𝐶𝑜𝑠𝑦 − 1

𝑦 −

12 𝑠𝑒𝑛𝑦

𝑦

lim𝑦→0

𝑠𝑒𝑛𝑦𝑦

32 lim

𝑦→0

𝐶𝑜𝑠𝑦 − 1𝑦 −

12 lim

𝑦→0

𝑠𝑒𝑛𝑦𝑦

1

32. 0 −

12. 1

= 1

0−1

2

=1

−1

2

= -2

Page 7: Ejercicios resueltos

3) Hallar lim𝑥→0

1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥

4𝑥2

𝑆𝑒𝑎 𝜃 = 2𝑥𝑆𝑖 𝑥 → 0 ⇒ 𝜃 → 0

Resolvemos.

lim𝑥→0

1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥

(2𝑥)2

lim𝑥→𝜃

1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝜃2

lim𝑥→𝜃

1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝜃2(1+𝑐𝑜𝑠𝜃)

lim𝑥→𝜃

1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃

𝜃2(1+𝑐𝑜𝑠𝜃)

lim𝑥→𝜃

𝑠𝑒𝑛2𝜃

𝜃2(1+𝑐𝑜𝑠𝜃)

lim𝑥→𝜃

𝑠𝑒𝑛𝜃

𝜃. lim𝑥→𝜃

𝑠𝑒𝑛𝜃

𝜃. lim𝑥→𝜃

1

1 + cos𝜃

1.1. 1

1+cos(0)

1

1+1=1

2

Page 8: Ejercicios resueltos

4) Hallar a y b sabiendo que la siguiente función es continua en -2

𝑓 𝑥=

𝑥3, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −2

𝑘𝑥2 − 2𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 > −2

Como la función es continua en -2, entonces es continua por la derecha y por la izquierda de -2

f es continua por la derecha de -2, entonces:

𝑓 −2 = lim𝑥→−2

+ 𝑓(x)

lim𝑥→−2

+ 𝑘𝑥2 − 2𝑥(−2)3=

−8 = 𝑘 −2 2 − 2 −2

−8 = 4𝑘 + 4

4𝑘 = −8 − 4

4𝑘 = −12

𝑘 =−12

4

Resolvemos.

𝑘 = −3

Page 9: Ejercicios resueltos

5) Hallar las asíntotas verticales y horizontales de la gráfica de la ecuación

𝑥𝑦2-𝑦2-4x-8= 0

Resolvemos.

“Despejamos y”

𝑥𝑦2-𝑦2-4x-8=0

⟹𝑥𝑦2-𝑦2 = 4𝑥 + 8

⟹𝑦2(𝑥 − 1) = 4𝑥 + 8

𝑦2 =4𝑥 + 8

𝑥 − 1

𝑦 = ±4𝑥+8

𝑥−1

La gráfica de la función es la unión de las funciones:

𝑓(𝑥)=4𝑥+8

𝑥−1y 𝑔(𝑥)= −

4𝑥+8

𝑥−1

𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑥 y 𝐷𝑜𝑚𝑔 𝑥 son iguales:

4𝑥+8

𝑥−1≥ 0 ⟹

4(𝑥+2)

𝑥−1≥ 0

⟹𝑥+2

𝑥−1≥ 0

Raíces del numerador: x+2= 0 ⟹ 𝑥 = −2Raíces del denominador: x-1= 0 ⟹ 𝑥 = 1

+ + + - - - + + +−∞ +∞−𝟐 𝟏

X= -3 ⟹−3+2

−3−1=−1

−4= +

X= 0 ⟹0+2

0−1=

2

−1= -

X= 2 ⟹2+2

2−1= 4

1= +

Page 10: Ejercicios resueltos

𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑥 = 𝐷𝑜𝑚𝑔 𝑥 = (−∞, -2] U (1, +∞)

Asíntotas verticales (A.V)

El posible punto que origina A.V es x= 1

Como la función no esta definida en los puntos próximos y a la derecha de 1, entonces sólo calculamos los límites a la derecha de ambas funciones.

lim𝑥→1

+ 4𝑥 + 8 = 4.1 + 8 = 12 > 0 y lim

lim𝑥→1

+ 𝑥 − 1 = 1 − 1

lim𝑥→1

+f(x) = lim𝑥→1

+

4𝑥 + 8

𝑥 − 1

Por otro lado lim𝑥→1

+ g(x)= lim𝑥→1

+− f(x) = −∞

Entonces x= 1 es una Asíntota vertical.

= 0 positivamente, entonces:= lim

𝑥→1+

4𝑥+8

𝑥−1=

2

0= +∞

Asíntotas horizontales (A.H)

lim𝑋→±∞

f x = lim𝑋→±∞

4𝑥+8

𝑥−1= lim𝑋→±∞

4𝑥+8

𝑥𝑥−1

𝑥

Page 11: Ejercicios resueltos

= lim𝑋→±∞

4𝑥

𝑥+8

𝑥𝑥

𝑥−1

𝑥

= lim𝑋→±∞

4+8

𝑥

1−1

𝑥

= lim𝑋→±∞

lim𝑋→±∞

4+8

𝑥

lim𝑋→±∞

1−1

𝑥

= lim𝑋→±∞

lim𝑋→±∞

4 + lim𝑋→±∞

8

𝑥

lim𝑋→±∞

1 − lim𝑋→±∞

1

𝑥

=4

1= 2

lim𝑋→±∞

g(x)= lim𝑋→±∞

-f(x)= - lim𝑋→±∞

f(x)= -2

Entonces Y=-2 y Y=2 son A.H

Page 12: Ejercicios resueltos

Y

X

A.H

A.H

A.V

-2

-2

-2

2

1-1.

Page 13: Ejercicios resueltos

6) Sea g(x)= 2𝑥2 + 𝑥 Calcular: 𝑔′ 𝑥 por definición

Resolvemos.

𝑔′ 𝑥 = limℎ→0

𝑔 𝑥 + ℎ − 𝑔(𝑥)

𝑔′ 𝑥 = limℎ→0

2(𝑥 + ℎ)2+ 𝑥 + ℎ − (2𝑥2 + 𝑥)

𝑔′ 𝑥 = limℎ→0

2 𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 + 𝑥 + ℎ − 2𝑥2 − 𝑥

𝑔′ 𝑥 = limℎ→0

2𝑥2 + 4𝑥ℎ + 2ℎ2 + 𝑥 + ℎ − 2𝑥2 − 𝑥

𝑔′ 𝑥 = limℎ→0

4𝑥ℎ + 2ℎ2 + ℎ

𝑔′ 𝑥 = limℎ→0

ℎ(4𝑥 + 2ℎ + 1)

𝑔′ 𝑥 = limℎ→0

4𝑥 + 2ℎ + 1 = 4𝑥 + 2 0 + 1 = 4𝑥 + 1

Page 14: Ejercicios resueltos

7) Hallar a y b para que la función dada sea continua en su dominio

𝑓 𝑥 = −2, 𝑠𝑖 𝑥 < −1

𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 < 32, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3

Resolvemos.

Como la función es continua en su dominio, tenemos:

𝑎) lim𝑥→−1

𝑓 𝑥 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 ⇔ lim𝑥→−1

+ 𝑓 𝑥 lim𝑥→−1

− f(x)

lim𝑥→−1

+ (ax+b)= lim𝑥→−1

− (-2)

𝑎 −1 + 𝑏 = −2

−𝑎 + 𝑏 = −2

𝑏) lim𝑥→3

𝑓 𝑥 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 ⇔ lim𝑥→3

+ f(x)= lim𝑥→3

− f(x)

lim𝑥→3

+ 2= lim𝑥→3

− (ax+b)

2= a(3+b)

1

3a+b=2 2

Formamos un sistema de ecuaciones con 1 y 2

3

1 −𝑎 + 𝑏 = −23𝑎 + 𝑏 = 2

⇒ −3𝑎 + 3𝑏 = −63𝑎 + 𝑏 = 2

4b= -4

b= −4

4⇒ 𝑏 = −1

Page 15: Ejercicios resueltos

Sustituyendo b=1 en ecuación 2

3a+b= 2

3a+(-1)=2

3a-1=2

3a=2+1

3a=3

3a=3

3

a=1

Los valores son; a=1 y b=-1

Page 16: Ejercicios resueltos

No permitas que nadie diga que eres incapaz de hacer algo. Si tienes un sueño, debes conservarlo. Si quieres algo, sal a buscarlo, y punto. ¿Sabes?, las personas

que no logran conseguir sus sueños suelen decirle a los demás que tampoco podrán

cumplir los suyos. Con dedicación, todo se puede.

Esperamos habernos dado a entender, y servirles de ayuda, gracias.