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Ley de Coulomb Ejercicios Resueltos

La siguiente figura muestra tres partículas cargadas:

¿Qué fuerza electrostática, debida a las otras dos cargas, actúa sobre q1?

Considere que:

q1= -1.2 μC

q2= 3.7 μC

q3= -2.7 μC

r12= 15 cm

r13= 10 cm

θ= 32°

Recordemos que μ (micro) significa 10 elevado a la menos 6

o sea que -1.2 μC es igual a -1.2x10^-6 C

Por la Ley de Coulomb sabemos que la fuerza que va a ejercer la carga q2 sobre q1 es igual

a:

F12= K (q1q2)/(r12)²

donde la constante k= 9x10⁹ Nm²/C²

F12= 1.776 N

Ahora calculamos la fuerza que ejerce la carga q3 sobre la carga q1:

F13= K(q1q3)/r13

F13= 2.484 N

Nota: Al realizar los cálculos de la fuerza, no tomamos en cuenta el signo de las cargas, ya

que por ahora sólo nos interesa la magnitud de dicha fuerza.

Ahora vamos a descomponer los vectores obtenidos (F12 y F13) en sus correspondientes

componentes rectangulares:

La componente en x de F12 es igual a la magnitud de la fuerza que obtuvimos anteriormente,

es decir Fx12= 1.77 N

Y la componente F13x= F13 sen 32°

Fx= Fx12 + Fx13= 3.09 N

Ahora obtenemos las componentes en Y:

Fy= F12y + F 13y

La componente en y de F12= 0

Fy= 0 + (-F13 cos 32°)

Fy= -2.10 N

la fuerza resulta negativa porque la carga q1 y q3 tienen el mismo signo

por lo tanto se repelen.

La fuerza total ejercida por las cargas q2 y q3 sobre q1 se obtiene:

F= √(3.09²)+(- 2.10²)

F= 3.74 N

Anillo

Un anillo de radio R tiene su masa M uniformemente distribuida. Determine la fuerza gravitacional que ejerce el anillo sobre una masa punto m, situada en el eje del anillo y a una distancia h del centro (la

densidad lineal del anillo es ,

donde .)

Figura 1Solución

El diferencial de masa dM produce una fuerza sobre la masa m, cuya magnitud es

(1),

Y se dirige hacia dM como se indica en la figuras 2a y 2b.

Figura 2a

Otro diferencial de masa en el lado opuesto del anillo produce una fuerza similar dF, de tal manera que solo permanece la componente Y, es decir,

Fx = 0,

y,

dFy = .

Sustituyendo dF e integrando se tiene que

(2)

Figura 2b

Como,

dM= ,

(como se puede observar en la figura 3), es una constante, y cada elemento dM se ejecuta a la misma distancia r, la fuerza sobre la masa m será

Como la masa del anillo es M=2

r= ,

Figura 3

La fuerza sobre la masa m en P también se puede escribir como

,(3)

Observe (figura 4), que para h>0, la fuerza se dirige hacia el anillo con

sentido - y que para h<0, la fuerza también se dirige hacia el anillo con

sentido + .

Por otra parte, la ecuación (3) de la fuerza resultante pudo obtenerse directamente de la ecuación (2), pues y r son en este caso constantes, y por lo tanto

,(3)

Figura 4

Observe tambi´n de la ecuación (3) que cuando h=0, la masa m se encuentra en el centro del anillo y la fuerza gravitacional es cero, como se indica en la figura 5.

Figura 5

Ejercicio Barra

Hallar la atracción gravitacional entre una masa puntual m y una barra de longitud L, con una densidad lineal de masa . la masa puntual se encuentra a una disntacia h del extremo de la barra.

Solución

La fuerza sobre la masa m debido al elemento dM, de acuerdo con lo anterior, esta dado por:

Consideremos la barra como un cuerpo longitudinal, y en este caso la ecuación anterior se convierte en,

con , en vez de , y x en vez de r.

La magnitud de la fuerza se tiene de la integral

Como la masa M de la barra es , tenemos finalmente,

Ejercicios Varilla de longitud 2L

Hallar la fuerza de atraccción entre una masa puntual m y una barra de longitud 2L. La masa se encuentra colocada a una distancia h del punto medio de la barra como en la figura.

Solución.

Figura 1

La fuerza de atracción entre un elemento de masa dM y la masa m, está dada por

y en función de sus componentes fig(2),

Con,

Figura 2(a) Figura 2(b)

Evaluemos cada una de estas fuerzas:

:

y cambiando variables:

, , ;

Resulta,

Recuerde que,

y como la masa de la varilla es , se puede escribir como

Evaluemos ahora,

:

al realizar el cambio de variables,

resulta que

En muchos problemas, y este es un caso, la simetría de la figura evita realizar algunas integrales. En las figuras 2(a) y 2(b) nos podemos dar

cuenta como la componente de la fuerza debido a un elemento de masa situado al lado derecho, la cancela la componente de un elemento igual, situado al lado izquierdo.

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Problema resuelto 2

Dos masas iguales M están separadas una distancia 2a como en la figura. Una tercera masa m se suelta desde un punto P sobre el bisector perpendicular de las masas. Halle la fuerza y la aceleración de la tercera masa en P y en Q.

SoluciónEn la figura inferior se muestran las fuerzas que ejercen las masas M sobre la tercera. Se puede notar que,

,

que las componentes x se cancelan, y que las componentes en y se refuerzan, donde:

Entonces,

en P = y

en Q = 0

Veremos que el concepto de campo gravitatorio g en un punto del espacio es lo mismo que el de aceleración debido a la gravedad en dicho punto, y puede visualizarse como la fuerza por unidad de masa, es decir,

Observe que las aceleraciones entonces están dadas por :

en P = ,y

en Q = = 0

Si consideramos ya no dos masa sino 4 o 6, etc., podemos observar

que de nuevo la componente desaparece por simetría. El ejercicio se puede generalizar ya no a un número par de masas sino a un anillo, es decir, a una distribución continua de masa. De nuevo podemos tomar elementos simétricos, y una vez más se

encuentra que sera cero. En este caso ya no se toman masas puntuales sino elementos de masa dM,que producen, una fuerza gravitacional dF cuya magnitud es

,

Con componentes:

,

y

Problema Resuelto 1

Cuatro masas iguales son colocadas en la esquinas de un cuadrado de longitud l. Encuentre la fuerza gravitacional en la masa del orígen debida a las restantes masas.

Solución En la figura se ilustran las fuerzas ejercidas por las masas m1, m2 y m3 sobre la masa m0, donde:

m0= m1 = m2 = m3 = m

La fuerza gravitacional F tiene componentes en los ejes X y Y, cuya sumatorias nos dan:

,

,

,

,

La fuerza gravitacional sobre la masa del origen será:

,

dirigida 45º con el eje + x