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Ejercicios Resueltos de Probabilidad Colegio La Presentación de Nuestra Señora Elías Robles Rodríguez En el siguiente documento se encuentra una posible clasificación personal de los ejercicios que nos podemos encontrar en la parte de Probabilidad en los exámenes de selectividad. Para cualquier otro profesor puede existir otra clasificación distinta e incluso no existir ninguna. TIPO 1: “APLICACIÓN DIRECTA DE FORMULITAS” Veamos la teoría necesaria para la resolución de cualquier tipo de problema, esto es, las formulitas que vamos a utilizar. Toda la teoría que vamos a desarrollar está hecha para un espacio muestral con sólo dos sucesos B A , . Para tres sucesos está desarrollado en los apuntes de teoría. B A P B A P B A P A P B A P B A P B A P B A P B A P B A P B A P B A P B A P B A B P A P B A P B y A B P B A P B A P B A P B y A B A P B P A P B A P A P A P C C C C C C C C C C dos" los de uno sólo " ocurra que de ad Probabilid A ocurra sólo que de ad Probabilid B no y A ocurra que de ad Probabilid B" y A " ocurra que de ad Probabilid B y A sucesos ambos" " o mente" simultánea " ocurra que de ad Probabilid B" ó A " ocurra que de ad Probabilid B y A dados dos de suceso un" menos al " ocurra que de ad Probabilid 1 1 Morgan de Ley es son. lo también arios comp lement los ntes independie son y Si si ntes independie son B" sucedido ha que sabiendo " A ocurra que de ad Probabilid ó B" ocurre si " A ocurra que de ad Probabilid / 0 si les incompatib son 1 1. Sean A y B dos sucesos tales que C C B B A P B P A P donde , 6 . 0 ) ( y 7 . 0 ) ( , 4 . 0 ) ( es el suceso contrario de B. a) ¿Son independientes A y B ? ¿y A C y B C ? Calculamos 3 . 0 ) ( B P 1 . 0 6 . 0 3 . 0 4 . 0 ) ( ) ( ) ( B A P B P A P B A P ,

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Ejercicios Resueltos de Probabilidad

Colegio La Presentación de Nuestra Señora

Elías Robles Rodríguez

En el siguiente documento se encuentra una posible clasificación personal de los

ejercicios que nos podemos encontrar en la parte de Probabilidad en los exámenes de

selectividad. Para cualquier otro profesor puede existir otra clasificación distinta e

incluso no existir ninguna.

TIPO 1: “APLICACIÓN DIRECTA DE FORMULITAS” Veamos la teoría necesaria para la resolución de cualquier tipo de problema, esto es, las

formulitas que vamos a utilizar. Toda la teoría que vamos a desarrollar está hecha para

un espacio muestral con sólo dos sucesos BA, . Para tres sucesos está

desarrollado en los apuntes de teoría.

BAPBAP

BAPAPBAP

BAP

BAP

BAPBAPBAP

BAPBAPBAP

BA

BPAPBAPByA

BP

BAPBAP

BAPByA

BAPBPAPBAP

APAP

CC

C

CCC

CCC

C

dos" los de uno sólo" ocurra que de adProbabilid

A ocurra sólo que de adProbabilid

B noy A ocurra que de adProbabilid

B"y A " ocurra que de adProbabilid

By A sucesos ambos"" o mente"simultánea" ocurra que de adProbabilid

B" óA " ocurra que de adProbabilid

By A dados dos de suceso un" menos al" ocurra que de adProbabilid

1

1Morgan de Leyes

son. lo también arioscomplement los ntesindependieson y Si

si ntesindependieson

B" sucedido ha que sabiendo"A ocurra que de adProbabilid

ó B" ocurre si"A ocurra que de adProbabilid/

0 si lesincompatibson

1

1. Sean A y B dos sucesos tales que CC

BBAPBPAP donde,6.0)(y7.0)(,4.0)( es el suceso contrario de B.

a) ¿Son independientes A y B ? ¿y AC y B

C ?

Calculamos

3.0)( BP

1.06.03.04.0)()()( BAPBPAPBAP ,

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Ejercicios Resueltos de Probabilidad

Colegio La Presentación de Nuestra Señora

Elías Robles Rodríguez

ahora podemos comprobar

12.01.0

?3.04.01.0¿

BPAPBAP

NO SON INDEPENDIENTES

Ahora bien, si A y B son independientes todos sus complementarios y combinaciones

entre ellos lo son.

b) Calcule )/( BAP

25.0

4.0

1.0

)()/(

BP

BAPBAP

c) Calcule )( cBAP

2.01.03.0 BAPAPBAP C

d) Calcule )( cc BAP

4.06.011)( BAPBAPBAPCcc

e) Calcule )( cc BAP

9.01.011)( BAPBAPBAPCcc

f) Calcule )/( cABP

5.0

4.0

1.03.0

)(1

)(

)()/(

AP

ABPBP

AP

ABPABP

C

Cc

Ejercicio que no tiene más complicación que aplicar las formulitas. No hay que decir

que si no sabemos las formulitas no sabremos hacer ningún ejercicio de estos.

2. De los 39 alumnos de una clase, 16 escogieron francés y 27 inglés. Nueve

alumnos eligieron ambos, y el resto no escogió ninguno de ellos. Si se elige al

azar un alumno de dicha clase, halla las siguientes probabilidades.

a) Escogió francés.

39

16)( FP

b) Escogió inglés.

39

27)( IP

c) Escogió ambos idiomas.

39

9)( IFP

d) Escogió francés o inglés.

39

35

39

9

39

27

39

16)()()()( IFPIPFPIFP

e) Escogió francés, pero no inglés.

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Ejercicios Resueltos de Probabilidad

Colegio La Presentación de Nuestra Señora

Elías Robles Rodríguez

39

7)()()( IFPFPIFP C

f) No escogió ni inglés ni francés.

39

4

39

351)(1)( IFPIFP CC

TIPO 2: “PROBABILIDAD TOTAL Y BAYES” Este tipo de ejercicio lo podemos identificar porque en las preguntas del problema

siempre se sigue el mismo esquema, la primera pregunta va encaminada a calcular la

probabilidad total de un suceso y la segunda pregunta es la aplicación del teorema de

Bayes (probabilidades a posteriori). La resolución de estos ejercicios se puede llevar a

cabo de dos maneras distintas:

a) Mediante un diagrama de árbol dependiendo del contexto, por ejemplo

Desarrollemos el primer diagrama. El primer esquema es el más común en

selectividad, siempre nos exponen un experimento aleatorio que da lugar a dos

casos (A1, A2), cada uno con su probabilidad, y después nos dicen que en cada

caso aparecen dos sucesos S y C (cuando son dos nada más, son

complementarios, eso facilita las cuentas) y estos, a su vez, tienen otras

probabilidades asociadas para cada caso. Trabajaremos después el primer

esquema mediante una tabla de contingencia.

Calculemos la probabilidad total de los sucesos S y C, que en este caso son

complementarios porque sólo hay dos en el segundo paso del diagrama, y una

vez calculado uno de los dos el otro puede calcularse usando la probabilidad

total o viendo que son complementarios.

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Ejercicios Resueltos de Probabilidad

Colegio La Presentación de Nuestra Señora

Elías Robles Rodríguez

)(1

6241)2/()2()1/()1()(

5231)2/()2()1/()1()(

SP

ppppACPAPACPAPCP

ppppASPAPASPAPSP

El siguiente apartado siempre es la probabilidad de Bayes, por ejemplo, calcular

sabiendo que ha ocurrido el suceso C (condición en la segunda parte del

diagrama), qué probabilidad hay de que provenga del caso A2. Pues nada más

que escribir la formulita (es una condicionada normal) y dejarse llevar

sustituyendo siempre de la siguiente manera o según nos convenga.

6241

62

)(

)2/()2(

)(

)2()/2(

pppp

pp

CP

ACPAP

CP

CAPCAP

b) Mediante una tabla de contingencia (desarrollada en la teoría mediante un

ejemplo)

S C

A1 SAP 1 p1 x p3 CAP 1 p1 x p4 P(A1) = p1

A2 CAP 2 p2 x p5 CAP 2 p2 x p6 P(A2) = p2

P(S) =

p1 x p3+ p2 x p5 =

1 - P(C)

P(C) =

p1 x p4+ p2 x p6 =

1 - P(S)

1

Aquí la probabilidad de Bayes se puede obtener de la misma forma que en el caso

anterior. Advierte que Bayes es una probabilidad condicionada y cuando tenemos la

tabla de contingencia, la probabilidad condicionada es un numerito entre otro, observa:

)(

)2/()2(

)(

)2()/2(

CP

ACPAP

CP

CAPCAP

Todos los ejercicios se pueden hacer mediante un diagrama en árbol, pero si se dominan

los dos procedimientos podremos afrontar todos los ejercicios de una manera

rapidísima. En estos apuntes, se realizarán todos los ejercicios del tipo 2 con el

diagrama en árbol, pero cuando convenga la tabla, también se utilizará para aprender

una forma alternativa.

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Ejercicios Resueltos de Probabilidad

Colegio La Presentación de Nuestra Señora

Elías Robles Rodríguez

1. Un médico ha observado que el 40% de sus pacientes fuma y de estos, el 75%

son hombres. Entre los que no fuman, el 60% son mujeres. Calcula la

probabilidad de:

a) Un paciente no fumador sea hombre.

Esto aunque no viene precedido “de sabiendo que” o va entre comas, se trata de

una condicionada. Es distinto “no fumador sea hombre” que por ejemplo “sea

hombre no fumador”. Esto es más bien una cuestión de Lengua Castellana.

Bueno resolvamos ya sin más dilaciones:

4.0)/( CFHP directamente en el árbol.

b) Un paciente sea hombre fumador.

Al igual que antes y por la distinción que hemos hecho en el razonamiento

anterior, ahora se trata de una intersección y no una condicionada.

3.075.04.0)/()()( FHPFPHFP

c) Un paciente sea mujer

Esto es claramente y mirando a nuestro árbol, probabilidad total.

46.0

6.06.025.04.0

)/()()/()()(

CC FHPFPFMPFPMP

d) Sabiendo que el paciente ha sido hombre, qué probabilidad hay de que sea

fumador.

Y ya para rizar el rizo y claramente condicionando al suceso posterior, tocamos

un poquito de teorema de Bayes.

Para empezar la 54.0)(1)( MPHP ya la tenemos calculada.

Ahora 5.054.0

3.0

)(

)/()(

)(

)()/(

HP

FHPFP

HP

HFPHFP

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Ejercicios Resueltos de Probabilidad

Colegio La Presentación de Nuestra Señora

Elías Robles Rodríguez

Si resolviéramos el ejercicio con tabla todo quedaría reflejado en ella.

Veámoslo:

H M

F 3.075.04.0 HFP 1.025.04.0 MFP 0.4

FC 45.075.06.0 HFP C 15.025.06.0 MFP C 0.6

75.045.03.0)( HP 25.015.01.0)( MP 1

Y ahora para calcular todas las probabilidades pedidas nada más que repetir los

cálculos.

2. Se realiza una encuesta sobre las preferencias de vivir en la ciudad o en

urbanizaciones cercanas. Del total de la población encuestada el 60% son

mujeres, de las cuales prefieren vivir en la ciudad un 73%. Se sabe que la

probabilidad de que una persona, sea hombre o mujer, desee vivir en la ciudad

es 0.62.

“la probabilidad de que una persona, sea hombre o mujer, desee vivir en la ciudad es

0.62” significa:

62.0)( CP pero si esto lo expresamos con su fórmula tenemos:

455.0

62.04.073.06.0

62.0)/()()/()(62.0)(

x

x

HCPHPMCPMPCP

Luego de esta forma hemos obtenido la probabilidad de preferir la ciudad dentro de

los hombres.

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Ejercicios Resueltos de Probabilidad

Colegio La Presentación de Nuestra Señora

Elías Robles Rodríguez

a) Calcule la probabilidad de que elegido un hombre al azar, prefiera vivir en

la ciudad.

Curiosamente la acabamos de calcular.

b) Supuesto que una persona, elegida al azar, desee vivir en la ciudad, calcule

la probabilidad de que sea mujer.

706.062.0

73.06.0

)(

)()/(

CP

CMPCMP

Si resolviéramos el ejercicio con tabla todo quedaría reflejado en ella.

Veámoslo:

C CC

M 438.073.06.0 CMP 162.0438.06.0 0.6

H 0.182 0.218 0.4

0.62 0.38 1

Y ahora para calcular todas las probabilidades pedidas nada más que repetir los

cálculos.

TIPO 3: “PROBABILIDAD COMPUESTA” La teoría es muy poca o casi nada. Lo único que hay que saber son dos formulitas:

NTESINDEPENDIE NO)21/3()1/2()1(

NTESINDEPENDIE)3()2()1(321

AAAPAAPAP

APAPAPAAAP

A continuación, con el primer ejemplo, veremos muchísimos de los casos que se nos

pueden presentar en los ejercicios de tipo 3. ¿Cómo los identifico? Muy fácil, no son ni

tipo 1 ni tipo 2. ¿Por qué? Porque no son mecánicos, en ellos, hemos de pensar un

poquito, hay que valorar todas las posibilidades, etc.

1. Se tiene una urna llena de bolas con la siguiente composición: 2 ROJAS, 3

VERDES, 5 AZULES. Se extraen sin reemplazamiento 3 bolas. Se piden las

siguientes probabilidades:

a) Describe el espacio muestral y asigna probabilidades a cada suceso

elemental.

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Ejercicios Resueltos de Probabilidad

Colegio La Presentación de Nuestra Señora

Elías Robles Rodríguez

Para no equivocarnos al describir el espacio muestral y puesto que se tienen 33 -

1 elementos (hay dos rojas = una posibilidad menos), o sea, 26, vamos a

AAAAAVAARAVAAVVAVRARAARVARR

VAAVAVVARVVAVVVVVRVRAVRVVRR

RAARAVRARRVARVVRVRRRARRV

,,,,,,,,

,,,,,,,,,

,,,,,,,,

Los sucesos no son equiprobables por tanto no podremos calcular probabilidades

aplicando la regla de Laplace. No os escribo las probabilidades porque es un

tanto engorroso, y además, con el desarrollo del ejercicio se van calculando

muchas de ellas.

b) Calcular la probabilidad de que la primera sea roja, la segunda verde y la

tercera azul.

8

5

9

3

10

2321 AVRP se trata de una posibilidad concreta, luego no

barajamos otras opciones

c) Calcula la probabilidad de que la segunda bola sea roja.

8

8

9

2

10

8

8

8

9

1

10

2

1/211/212

XRRRPXRRRPXRXP CC

X es cualquiera de las bolas.

d) Calcula la probabilidad de que sólo la tercera bola sea azul.

8

5

9

4

10

5

8

4

9

5

10

5

8

4

9

5

10

5

8

3

9

4

10

5

21/31/21

21/31/21

21/31/21

21/31/213

CCCCC

CCC

CC

AAAAAAP

AAAAAAP

AAAAAAP

AAAAAAPAXXP

El problema que se plantea aquí es el siguiente, como hay dependencia, y se

trata de la última bola, hemos de estudiar todos los casos que nos condicionan el

suceso en cuestión.

e) Calcula la probabilidad de que no salga ninguna bola verde

8

5

9

6

10

7321 CCC VVVP

f) Calcula la probabilidad de que salga al menos una bola verde.

La probabilidad de “al menos una bola verde” es lo mismo que “lo contrario de

ninguna bola verde” y esto se traduce en:

8

5

9

6

10

713211321 CCC VVVPVVVP

g) Calcula la probabilidad de que salga al menos una bola roja.

Igual que el apartado anterior

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Ejercicios Resueltos de Probabilidad

Colegio La Presentación de Nuestra Señora

Elías Robles Rodríguez

8

6

9

7

10

813211321 CCC RRRPRRRP

h) Calcula la probabilidad de que salgan al menos dos bolas rojas.

8

0

9

1

10

2

8

1

9

8

10

2

8

1

9

2

10

8

8

8

9

1

10

2321

321

321

321

RRRP

RRRP

RRRP

RRRP

C

C

C

i) Calcula la probabilidad de que salgan al menos dos bolas azules

8

3

9

4

10

5

8

4

9

5

10

5

8

4

9

5

10

5

8

5

9

4

10

5321

321

321

321

AAAP

AAAP

AAAP

AAAP

C

C

C

Vamos a repetir el ejercicio pero ahora con reemplazamiento, es un poquito más fácil.

2. Se tiene una urna llena de bolas con la siguiente composición: 2 ROJAS, 3

VERDES, 5 AZULES. Se extraen con reemplazamiento 3 bolas. Se piden las

siguientes probabilidades:

a) Describe el espacio muestral y asigna probabilidades a cada suceso

elemental.

Para no equivocarnos al describir el espacio muestral y puesto que se tienen 33 -

1 elementos (hay dos rojas = una posibilidad menos), o sea, 26, vamos a

AAAAAVAARAVAAVVAVRARAARVARR

VAAVAVVARVVAVVVVVRVRAVRVVRR

RAARAVRARRVARVVRVRRRARRV

,,,,,,,,

,,,,,,,,,

,,,,,,,,

Los sucesos no son equiprobables por tanto no podremos calcular probabilidades

aplicando la regla de Laplace. No os escribo las probabilidades porque es un

tanto engorroso, y además, con el desarrollo del ejercicio se van calculando

muchas de ellas.

b) Calcular la probabilidad de que la primera sea roja, la segunda verde y la

tercera azul.

10

5

10

3

10

2321 AVRP se trata de una posibilidad concreta, luego no

barajamos otras opciones

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Ejercicios Resueltos de Probabilidad

Colegio La Presentación de Nuestra Señora

Elías Robles Rodríguez

c) Calcula la probabilidad de que la segunda bola sea roja.

10

10

10

2

10

102 XRXP

X es cualquiera de las bolas.

d) Calcula la probabilidad de que sólo la tercera bola sea azul.

10

5

10

10

10

103 AXXP aquí no hay dependencia.

e) Calcula la probabilidad de que no salga ninguna bola verde

10

7

10

7

10

7321 CCC VVVP

f) Calcula la probabilidad de que salga al menos una bola verde.

La probabilidad de “al menos una bola verde” es lo mismo que “lo contrario de

ninguna bola verde” y esto se traduce en:

10

7

10

7

10

713211321 CCC VVVPVVVP

g) Calcula la probabilidad de que salga al menos una bola roja.

Igual que el apartado anterior

10

8

10

8

10

813211321 CCC RRRPRRRP

h) Calcula la probabilidad de que salgan al menos dos bolas rojas.

10

2

10

2

10

2

10

8

10

2

10

23321

321

321

321

RRRP

RRRP

RRRP

RRRP

C

C

C

i) Calcula la probabilidad de que salgan al menos dos bolas azules

10

5

10

5

10

5

10

5

10

5

10

53321

321

321

321

AAAP

AAAP

AAAP

AAAP

C

C

C

3. Un avión tiene cinco bombas. Se desea destruir un puente. La probabilidad de

destruirlo de un bombazo es 1/5. ¿Cuál es la probabilidad de que se destruya el

puente si se lanzan las cinco bombas?

Vamos a ver, “la probabilidad de que se destruya el puente si se lanzan las cinco

bombas” es lo mismo que decir “la probabilidad de que al menos una de las bombas

destruya el puente”, es decir,

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Ejercicios Resueltos de Probabilidad

Colegio La Presentación de Nuestra Señora

Elías Robles Rodríguez

5

4

5

4

5

4

5

4

5

41

54321154321

CCCCC DDDDDPDDDDDP

4. Se escuchan tres discos y se vuelven a guardar, al azar. ¿Cuál es la

probabilidad de que al menos uno de los discos haya sido guardado en el

envoltorio que le correspondía?

Si hay tres discos y tres envoltorios, la probabilidad de que uno de los discos elegido

al azar se meta en su envoltorio original es 1/3, este razonamiento todos lo podemos

hacer. Ahora bien aunque parezca un ejercicio para realizar con formulita igual que

el anterior porque con el “al menos uno de los discos” nos vamos directamente a la

unión y es realmente complicado. Así pues vemos con un razonamiento lógico cómo

obtener la probabilidad.

5. Se elige al azar un número entero entre 0 y 999. Halla la probabilidad de que el

número elegido:

a) No tenga ninguna cifra repetida.

A partir del 100 incluido hay 900 números aquí hay que calcular la probabilidad

de que salga un número (del 1 al 9) después otro diferente (al primero, pero del 0

al 9) y el tercero diferente de los otros dos anteriores (diferente al segundo y al

primero, y del 0 al 9) entonces sería 10

8

10

9

9

9 . O sea 648 de 900.

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Ejercicios Resueltos de Probabilidad

Colegio La Presentación de Nuestra Señora

Elías Robles Rodríguez

Del 10 al 99, hay 90 números y hay que quitar (11, 22, 33, …, 99) 9 números

que sale 81, o también, verlo como primera cifra del 1 al 9 y segunda cifra como

distinta a la primera pero del 0 al 9, es decir, 10

9

9

9 que son 81 de 90.

Del 0 al 9 van todos no se repite ninguno. Así pues, nos quedan 648 +81+9 de

1000 números, es decir, 738/1000.

b) Sea capicúa.

De nuevo hacemos la distinción pero ahora sólo hay posibilidad de capicúa a

partir de 100 y hasta 999. Podemos sacarlo a ojo o podemos usar razonamientos

de probabilidad compuesta como en el apartado anterior.

Buscamos el caso “xyx”, entonces el primero puede ser cualquiera y el segundo

también. 9

1

10

9

9

1 por los 9 casos que hay para la primera y la tercera cifra. De

esta forma nos queda 9/90 o lo que es lo mismo, para verlo a ojo, serían 90 de

900 (para el que no lo vea, que piense que son 10-1 casos de capicúa para cada

centena y hay 9 centenas)

(*) “xxx” no lo consideramos capicúa.

6. Se tienen cinco pares de guantes de distinto color. Entremezclamos bien los dos

guantes. Extraemos dos de ellos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos

formen pareja?

La probabilidad de que los dos extraídos formen pareja es que el segundo sea del

mismo color que el primero, y hay cinco colores, luego cinco posibilidades.

9

1

10

2)11()"Color Igual(" CCPP , esto por los 5 colores que hay nos da

9

1

9

1

10

25