EJERCICIOS RESUELTOS

1) Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:

a) Si 5 + 4 = 11, entonces 6 + 6 = 12

Solución

Es verdadera puesto que el antecedente es falso mientras que el consecuente es verdadero.

b) No es verdad que 3 + 3 = 7 si y solo si 5 + 5 = 12

Solución

Es falso puesto que se está negando una proposición verdadera.

c) Lima está en Chile o La Paz está en Ecuador.

Solución

Es falso puesto que ambas componentes son falsas.

d) No es verdad que 2 + 2 = 5 o que 3 + 1 = 4

Solución

Es falso puesto que se está negando una proposición verdadera.

2) Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:

a) 4 + 8 = 12 y 9 – 4 = 5

Solución

Es verdadera V, porque es una conjunción cuyas dos proposiciones son verdaderas.

b) 8 + 4 = 12 y 8 – 3 = 2

Solución

Es falso F, puesto que es una conjunción con una proposición falsa

c) 8 + 4 = 12 o 7 – 2 = 3

Es verdadera V, puesto que es una disyunción con una proposición simple verdadera

d) Sí 4 + 3 = 2, entonces 5 + 5 = 10

Solución

Es verdadera V, por ser una implicación en donde el antecedente es falso F, y el consecuente es verdadero V de dos proposiciones simples.

e) Si 4 + 5 = 9, entonces 3 + 1 = 2

Solución

Es falso F, puesto que de una proposición verdadera V no puede implicar una proposición falsa F.

f) Sí 7 + 3 = 4, entonces 11 – 7 = 9

Solución

Es verdadera V, puesto que las proposiciones que intervienen en la implicación son falsas.

3) Evaluar la tabla de verdad de la proposición compuesta

~ (p Λ q) ↔ (~p V ~q)

Solución

p q ~ (p ˄ q) ↔ (~p v ~q)VVFF

VFVF

FVVV

VFFF

VVVV

FVVV

4) Construir la tabla de verdad de la siguiente proposición:

~{ ~[ p v (~q→p) ] v ~[ (p ↔~q)→(q Λ ~p) ]}

Solución

Primero simplificaremos la proposición por la ley de Morgan:

~ ~{[ p v (~q → p) ] ˄ [ (p ↔~q) → (q ˄ ~p) ]} de donde se tiene

[p v (~q →p)] ˄ [(p ↔~q) → (q ˄ ~p)]

El valor de verdad

5) Determinar la proposición [((~p) v q) Λ ~ q] → ~ p es una tautología

Es una tautología

6) Verificar que las siguientes proposiciones son contradicciones:

a) ( p ˄ q ) ˄ ~ ( p v q ) b) ~[ p v ( ~ p v ~q )]

Solución

p q (p ˄ q) ˄ ~ (p v q) ~ [ p v ( ~ p v ~q)]VVFF

VFVF

VFFF

FFFF

FFFV

VVVF

FFFF

VVFF

VVVV

FVVV

Contradicción

p q [p v (~q →p)] ˄ [(p ↔~q) → (q ˄ ~p)]VVFF

VFVF

VVFF

VVVF

VVVF

VFVF

FVVF

VFVV

FFVF

p q [(~p v q) ˄ ~ q ] → ~ pVVFF

VFVF

VFVV

FFFV

FVFV

VVVV

FFVV

7) Demostrar que las proposiciones dadas es una tautología:

[(p v ~q) ˄ q] →p

Solución

p q [(p v ~q) ˄ q] → pVVFF

VFVF

VVFV

VFFF

VFVF

VVVV

VVFF

Es una tautología

8) Verificar que la proposición dada es una contingencia:

[~p ˄(q v r)] ↔ [(p v r) ˄ q]

Solución

p q r [~p ˄ (q v r)] ↔ [(p v r) ˄ q]VVVVFFFF

VVFFVVFF

VFVFVFVF

FFFFVVVV

FFFFVVVF

VVVFVVVF

FFVVVFFV

VVVVVFVF

VVFFVFFF

VVFFVVFF

Es una contingencia

9) Determinar si las proposiciones [p→(r v ~q)] y [(q→~p) v (~r→~p)] son equivalentes.

Solución

p q r [p → (r v ~q)] [(q→~p) v (~r→~p)]VVVVFFFF

VVFFVVFF

VFVFVFVF

VVVVFFFF

VFVVVVVV

VFVVVFVV

FFVVVVVV

VFVVVVVV

VFVFVVVV

Idénticas

Por lo tanto son equivalentes es decir: [p→(r v ~q)] ≡ [(q→~p) v (~r→~p)]

10) Determinar si las proposiciones [(~p v q) v (~r ˄ ~p)] y ~q→ ~p son equivalentes

Solución

p q r [(~p v q) v (~r ˄ ~p)] ~q→~pVVVVFFFF

VVFFVVFF

VFVFVFVF

VVFFVVVV

VVFFVVVV

FFFFFVFV

VVFFVVVV

Idénticas

Por lo tanto son equivalentes es decir: [(∼p v q) v(∼r Λ ∼p) ≡∼q → ∼p

11) Determinar los esquemas más simples de la proposición:

~ [~ (p Λ q) → ~q] v p

Solución

~ [~ (p Λ q) → ~q] v p

~ [~ (~ (p Λ q) v ~q)] v p por la condicional

~ [(p Λ q) v ~q] v p por la negación

~ [~q v (p Λ q)] v p por conmutativa en la conjunción

~ [~q v p] v p por absorción

(~p Λ q) v p por Morgan

p v q por absorción

∴ ~ [~ (p Λ q) → ~q] v p ≡p v q

12) De la falsedad de la proposición: (p → ~q) v (~r→s) determinar el valor de verdad de los esquemas moleculares.

a) (~p Λ~q) v ~q b) (~r v q) ↔ (~q v r) ^ s

c) (p → q) → (p v q) ^ ~q

Solución

Determinaremos el valor de verdad de p, q, r, y s.

(p → ~q) v (~r→s) F falso

por la disyunción

p → ~q F ~r→s F por implicación por implicación

p es V y ~q es F ~r es V y s es F por negación por negación

P es V y q es V r es F y s es F

Por lo tanto: p es V, q es V, r es F, s es F

a) (~p ^ ~q) v ~q b) (~r v q) ←→ ( ~q v r) ^ s

F F V V F F F F

F

el valor de verdad es F el valor de verdad es F

V

F

FF

F

c) (p → q) → (p v q) ^ ~q

V V V V V

V F

F el valor de verdad es F

13 El valor de verdad de:

~[(~p v q ) v (r → q)] ^ [(~ p v q) → (q ^ ~p)] es verdadera.

Hallar el valor de verdad de p, q, y r

Solución

Por conjunción

Por negación por implicación

Por disyunción por disyunción por conjunción

Por disyunción por implicación por negación

∼ [(∼ p v q ) v (r → q)] Λ [(∼ p v q ) →( q Λ ∼ p)]

[( ∼p v q ) v (r → q)] es V [(∼p v q ) →( q Λ ∼p)] es V

(∼p v q ) v (r → q) es F (∼p v q ) es F ( q Λ ∼p)]

P es V y q es F q es F y ∼p es (∼p v q ) es F (r → q) es F

∼p es F y q es F r es V y q es F

p es V y q es F

Q es F y p es V

F

p es V

Por lo tanto el valor de verdad de q es F

r es V

14) Se sabe que p Λ q y q → t son falsas, determinar el valor de verdad de los esquemas moleculares siguientes:

a) (~p v t) v ~ q b) ~ [p Λ (~q v ~p)]

c) [(p → q) Λ ~ (q Λ t)] ←→ [~p v (q Λ ~t)]

Solución

Determinaremos el valor de verdad de las proposiciones p, q, t

Por conjunción

Por conjunción por implicación

Por lo tanto p es F, q es V y t es F

a) ( ∼p v t ) v ∼ q b) ∼ [ p Λ (∼q v ∼p ) ]

V F F V

V F F V

V F

V

c) [(p → q)Λ∼(q Λ t)] ←→ [∼p v (qΛ∼t)]

V F V

V

V V

( p Λ q ) Λ ( q → t) es F

( p Λ q ) es F ( q → t) es F

p es F y q es V q es V y t es F

F V V F V V V

V

15) Si la proposición (∼p Λ q) → (∼s v r) es falsa. Determinar cuál de las proposiciones son verdaderas:

a) ∼ [ ( p → q) → r ] b) ∼ ( ~∼p Λ q) Λ [ (∼r v r ) Λ s ]

c) [(p v ∼q) Λ p] v ∼q

Solución

Por implicación

Por conjunción por disyunción

Por negación por negación

Por lo tanto p es F, q es V

S es V, r es F

a) ∼ [ ( p → q) → r ] b) ∼ (∼ p Λ q ) Λ [ (∼r v r ) Λ s ]

F V F V V V F V

V V V

F V

(∼pΛq ) → (∼s v r ) es F

(∼p Λ q ) es V (∼s v r ) es F

∼p es V y q es V ∼S es F y r es F

p es F y q es V q es V y t es F

V El valor de verdad es V El valor de verdad F

c) [ ( p v ∼q ) Λ p ] v ∼q

El valor de verdad es F

Por lo tanto únicamente es verdadera la a)

16) Determinar el esquema más simple de la proposición

[(p Λ q) v (p Λ ∼q)] v (∼p Λ ∼q)

Solución

[(p Λ q) v (p Λ ∼q)] v (∼p Λ ∼q)

[((p Λ q) vp) Λ ((pΛq) v ∼q)] v(∼pΛ∼q) Por distribución con respecto a Λ

[p v (p Λ q) Λ (∼q v (p Λ q)] v (∼p Λ ∼q) Conmutativa

[p Λ ((∼q v p) Λ (∼q v q))] v (∼p Λ ∼q) Por absorción y distributiva

[p Λ (∼q v p) Λ V] v (∼p Λ ∼q) Por identidad

[p Λ (∼q v p)] v (∼p Λ ∼q) Por identidad

[p Λ (p v ∼q)] v (∼p Λ ∼q) Por conmutativa en v

p v (∼p Λ ∼q) Por absorción

P v ∼q Por absorción

V V F

F F

F F

F F

F

Por lo tanto [(p Λ q) v (p Λ ∼q)] v (∼p Λ ∼q) Ξ p v ∼q

17) Hallar la proposición equivalente más simplificada del siguiente circuito

o q p o

Solución

La función booleana del circuito dado es: [pvq v (∼p Λ∼q)] Λ [(∼p v q) Λ p]

Simplificando la proposición obtenida se tiene:

[(p v q) v (∼p Λ ∼q)] Λ [(∼p v q) Λ p] distributiva con respecto Λ

[p v q v ∼p) Λ (p v q v ∼q)] Λ [(∼p v q) Λ p] distributiva respecto a v

(V Λ V) Λ [(p Λ ∼p) v (p Λ q)] por equivalencias

V Λ [F v (p Λ q)] = V v (p Λ q) = p Λ q

Por lo tanto la equivalencia es: [p v q v (∼p Λ ∼q)] v [(∼p v q) Λ p] Ξ p Λ q

Por lo tanto el circuito simplificado equivalente es:

o p q o

18) Determinar la menor expresión que representa el circuito dado:

q

p

∼p

∼p

∼q

p

o ∼p o

Solución

La función Booleana del circuito dado es: [p v (∼q Λ ∼p) v q] Λ ∼p

Ahora simplificamos la proposición obtenida

[p v (∼q Λ ∼p) v q] Λ ∼p Ξ [p v q v ∼p] Λ ∼p

Ξ [(p v ∼q) v q] Λ ∼p

Ξ ( Vv q) Λ ∼p Ξ q Λ ∼p

19) Determinar la menor expresión que representa al circuito dado:

o o

Solución

La función booleana del circuito dado es: [(∼pΛ ∼q) v (p Λ (∼p v q))]

Ahora simplificando la proposición obtenida

[(∼p Λ ∼q) v (p Λ (∼p v q))] Ξ [ (∼p Λ ∼q ) Λ ( p Λ q ) ] Ξ p ←→ q

20) Determinar la menor expresión que representa el circuito dado:

q

∼q

∼p

∼p

p

∼q

∼p

q

p

r

o r o

Solución

La función booleana del circuito dado es: (p v q) Λ [(∼q Λ (r v ∼q)) v (p Λ q)] Λ r

Simplificando la proposición obtenida

(p v q) Λ [ (∼q Λ( r v∼q) ) v ( p Λ q ) ] Λ r Ξ( p v q ) Λ [∼q v ( q Λ p ) ] Λ r

Ξ (p v q) Λ [∼q v p] Λ r

Ξ [p v (q Λ ∼q)] Λ r

Ξ (p v F) Λ r Ξ p Λ r

21) Determinar los circuitos lógicos que representan los siguientes esquemas moleculares.

a) ∼[ p → ∼ ( q v r ) ]SoluciónSimplificando se tiene:

∼[ p → ∼ ( q v r ) Ξ ∼ [∼p v ~∼ ( q v r) = p Λ (q v r)

b) (∼ p ) ←→ ( p → ∼q )

q

∼q

p q

Solución(∼p ) ←→ ( p → ∼q ) Ξ (∼p ) ←→ (∼p v ∼ q ) Ξ (∼p Λ (∼p v ∼q ) v ( p Λ ( p Λ q ) ) Ξ (∼p ) v ( p )

c) ( p v q ) → [ (∼p v q ) → ( p Λ q ) ]Solución

( p v q )→[ ( ~p v q ) → ( p Λ q ) Ξ ∼ (p v q ) v [∼ (∼p v q ) v ( p Λ q ) ]

Ξ ∼ ( p v q ) v[ ( p Λ ∼q ) v ( p Λ q ) ]

Ξ (∼p Λ ∼q) v p

Ξ (p v ∼q)