ejercicios trigonometria 2
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P
(1,0)
X
P
(1,0)
x
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Consideremos la ecuación a2 + b2 =1(circulo de radio 1) a tal circulo lollamaremos circulo trigonométrico, a y b son ariables! Con ayuda de estec"rculo se de#nen las $unciones circulares cuyo dominio se encuentra en los
n%meros reales!&ea x un n%mero real arbitrario y c el circulo unitario con ecuación a2 + b2 =1a) &i X'0 comience en (1,0) y rocédase en el sentido contrario a las
manecillas del relo* alrededor de la circun$erencia C asta ue se ayacubierto una longitud de arco de x unidades! &ea P = (a,b) el unto #nal delarco!
b) &i = 0- P = (a,b) = (1,0)
c) &i X. 0- comience en (1,0) y rocédase en el sentido al moimiento de lasmanecillas del relo* alrededor de la circun$erencia C, asta ue se aya
cubierto una longitud del arco de x unidades
/n todos los casos se de#ne las $unciones circulares sen x = b- cosx = a- tanx= ba!
cscx = 1b- secx =1a- ctgx ab
ote ue au" estas $unciones no incluyen ning%n ngulo, contienen lascoordenadas de un unto terminal de arco de longitud x sobre un c"rculotrigonométrico! 3ora mostremos como se ueden relacionar estas $unciones
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(1,0)4
con las $uncionestrigonométricas (cuyo dominio usa ngulos)! 5bsere lamedida en radian de un ngulo 4 subtendido or un arco de x unidades sobreun cirluco trigonométrico
4 = x
r radianes
Como r = 1 4 = x
1 = x radianes!
/l ngulo subtendido or un arco de x
unidades, tiene una medida de x radianes
6esumiendo3 las orciones de lano cartesianode#nidas or los semie*es se lesdenomina cuadrantes
3s"
F (Ɵ) &en 4 =
y
Cos 4 =
x
7an4 =
y
x
Ctg4 =
x
y
&ec 4 =
1
x
Csc 4 =
1
y
I + + + + + +II + 8 8 8 8 +III 8 8 + + 8 8IV 8 + 8 8 + 8
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1.1. Ángulo en radianes: Consideremos una circun$erencia de radio 1! 9eaue la longitud del arco 3: es roorcional al ngulo central 4 (en grados)!Por lo tanto, en e; de medir un ngulo en grados, se uede emlear lalongitud del arco (medida en unidades) corresondiente al ngulo dado!
/sta medida de un ngulo se llama medida en radianes!Como la longitud total dela circun$erencia de radio 1 es 2< corresonde al
ngulo de >0?, entonces tenemos ue a x radianes corresonde ( x
π )!
1@0 grados!
3s"
Angulo en grados 0? 0? B? >0? D0? 120? 1? 10? 1@0?
Angulo en radianes 0
π
6
π
4
π
3
π
2
2 π
3
3 π
4
5 π
3 <
&e acostumbra omitir la alabra radianes as", 0? =π
6 - >0? = 2< - etc!
1.2. Funiones !rigono"#!rias de n$"eros reales es%eiales: son
considerados n%meros reales eseciales 4 = 0 ,π
2 , < ,3 π
2 ,π
6 ,
π
3 ,
π
4 !
Considerndoles en cualuier cuadrante!
&eg%n el gra#co a las comonentes en x las llamaremos cos4, y a lascomonentes en y las llamaremos sen4!
6esumiendo
4
cos
4
sen
40?
1 0
0 1
<81
0
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081
Teore"a: /n los tringulos rectngulos
cuyos ngulos agudos midenπ
6 yπ
3
las iotenusas el doble de lo ue mide elcateto menor!
5: =√ (OA)2−( AB)2
= √ 1−(1 /2)2
= √ 1−1/4 = √ 3/4 =
√ 3
2
3: = √ (OA)2−(OB)2
= √ 1−(1 /2)2 =√ 3
2
3s"
&i 4 =π
6 senπ
6 =1
2
Cosπ
6 =√ 3
2
&i 4 =π
3 senπ
3 =√ 3
2
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Cosπ
3 =1
2
3ora Para 4 =π
4 Consideremos el tringulo rectngulo 35:!
Como cuando 4 =π
4 tenemos ue x = y, y
como se debe satis$acer ue x2 + y2 = 1! /ntonces
2x2 = 1 x2 =1
2
X =1
√ 2 =1√ 2
√ 2√ 2 =√ 2
2 = y
3s"
&i 4 =π
4 senπ
4 =√ 2
2
cosπ
4 =√ 2
2
1.&. Redui'n de (ngulos al %ri"er uadran!e: teniendo en cuenta uelas l"neas trigonométricas nos ermiten allar el signo de una $uncióntrigonométrica ridamente, ueremos acer notar ue es su#cienteconocer las $unciones trigonométricas de los ngulos comrendidos entre 0
yπ
4 , ara determinar las de todos los dems ngulos, es decir, dado un
ngulo 4 se uede siemre encontrar otro ngulo E, 0 F E Fπ
4 tal ue
sen4, cos4, y tan4 se ueden exresar en $unción de senE, cosE, y tanE-se llama ngulo re$erencial de 4!
9amos a traba*ar ara cada cuadrante y con los ngulos eseciales
/n el GG cuadrante0?GG = D0? + >0? = 10?B?GG = D0? + B? = 1?>0?GG = D0? + 0? = 120?
5bsere ue au" en el GG cuadrante en sen4 es ositio y el coseno esnegatio!
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3s" sen10? = sen0? =1
2
Cos10? = 8cos0? =√ 3
2
COM)*ETE *A TA+*A:
&en1?
Cos1?
&en120?
Cos120?
/n el GGG cuadrante0?GGG = 1@0? + 0? = 210?B?GGG = 1@0? + B? = 22?>0?GGG = 1@0? + >0? = 2B0?
3u" en el GG cuadrante en sen4 es negatio yel coseno es negatio!
3s" sen2B0? = 8sen>0? = 8√ 3
2
Cos2B0? = 8cos>0? = 81
2
COM)*ETE *A TA+*A:
&en210?
Cos210?
&en22?
Cos22?
/n el G9 cuadrante
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0?G9 = 2H0? + 0? = 0? = 80?B?G9 = 2H0? + B? = 1? = 8B?>0?G9 = 2H0? + >0? = 00? = 8>0
3u" en el GG cuadrante en sen4 es negatio y elcoseno es ositio!
3s" sen0? = 8sen0? = 81
2
Cos0? = cos0? =√ 3
2
COM)*ETE *A TA+*A:
&en1?
Cos1?
&en00?
Cos00?
E,EM)*O: Iallar en $unción del ngulo re$erencial, las $uncionestrigonométricas de 20?
/l lado #nal del ngulo de 20? $orma conel semie*e negatio de y un ngulo de 20?ue colocado en osición desde el semie*eositio de las x, ser el ngulo re$erencial!
&en20? = 853J = 853 = 8cos20?
Cos 20? = 8PJ3J = 8 3P = 8sen20? 7an20? =
sen250°
cos250 ° =
−cos 20°
−sen20° = ctg20?
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Ctg20? =cos250 °
sen250° =
−sen20°
−cos 20° = tan20?
&ec20? =1
cos250° =
1
−sen20° = 8csc20?
Csc20? =1
sen250 ° =
1
−cos20° = 8sec20?
1.-. )ro%iedades %eri'dias %ara las uniones !rigono"#!rias:
Kebido a ue un circulo de radio 1 tiene una circun$erencia de longitud 2<,ara un alor de x dado, obsere ue se regresar al unto terminal de x sise suma a x un m%ltilo entero de 2<! Por lo tanto, ara cualuier n%meroreal x y ara cualuier L entero se tiene
sen (x + 2L<) = senx - L M N!cos (x + 2L<) = cosx - L M N!tan (x + 2L<) = tanx - L M N!
las $unciones con este tio de comortamiento reetitio, se denominan$unciones eriódicas!
1./. Gra0as de las uniones !rigono"#!rias:1) y = senx -x M 6!
2) y=
cosx- x M 6!
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) y = tanx- x M6!
=senx
cosx cosx O0 - x O π
2
B) y = ctgx- x M 6!
=cosx
senx senx O0 - x O
<-0
) y = secx- x M6! 8 {± π
2 }
=1
cosx
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>) y = cscx- x M6! 8
{±0; π }
=1
senx
E,EM)*OS:
1. Para un alor de 4, en el unto P (4) se encuentra en el segmento ueune los untos (0,0) y (8,B)! Keterm"nese las $unciones trigonométricasde 4
d ((0,0), (8,B)) = √ (0+3)2+(0−4)2 =
senQ =4
5 cosQ =−3
5
tanQ =4
3 ctgQ =−3
4
secQ =5
−3 csc =5
4
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2. KeterminecosQ y tanQ si senQ =−5
13 y tanQ'0 como tanQ =senx
cosx y
como senQ es negatio, cosQ tiene ue ser también negatio, ara uetanQ'0! 7ambién tiene ue satis$acer ue sen2Q + cos2Q 0 1
/ntonces (−5
13 )2 + cos2Q = 1- 18 (25
169 ) = cos2Q
169−25
169 =144
169 cosQ = √ 144
169 =
12
13
3u" cosQ = −12
13 y tanQ =
−15
13
−12
13
=5
12
&. RCules son las seis $unciones de5 π
2 S
Como5 π
2 =(5)(180)
2 = B0? = >0? +D0? = 2< +π
2
sen
5 π
2 = sen
π
2 = 1
cos 5 π
2 = cos π
2 = 0
tan 5π
2=
1
0 /s in#nita (as"ntota ertical)
ctg 5 π
2=
0
1=0
sec
5π
2 =
1
0 /s in#nita (as"ntota ertical)
csc 5 π
2=
0
1=0
-. Cules son las seis $unciones de 10?SComo 10? = >0? + 10? entonces
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&en10?= sen0? =1
2
Cos 10? = 8cos0? = 8√ 3
2
7an10? =
1
2
−√ 3
2
=1
−√ 3 = 8√ 3
3
Ctg10? =
−√ 3
2
1
2
= 8 √ 3
&ec10? =
1
−√ 3
2
= 82
√ 3 = 8 2√ 33
Csc10? =
1
1
2 = 2
1.. *ongi!ud deuna uerda : C39amos a obtener en $unción de Q, una exresión ara la longitud de unacuerda (dela circun$erencia unitaria) cuyo arco tenga una longitud TQT
d(P3) = C= √ (cosθ−1)2+(senθ−0)2
= √ cos2θ−2cosθ+1+sen2θ
= √ 1+ (sen2θ+cos
2θ )−2cosθ
=√ 1+1−2cosθ
= √ 2−2cosθ
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3s" or e*emlo la longitud de la cuerda de una circun$erencia unitaria donde la
longitud del arco corresondiente esπ
2 es
√2−2cos ( π
2) = √ 2−2(0) = √ 2
Para π corresonde la cuerda al dimetro o sea 1 + 1= 2 = √ 2−2cos (π )
= √ 2−2(−1) = √ 2+2 = √ 4
3ora anali;aremos la longitud de una cuerda de la circun$erencia unitaria ero
tomando dos untos cualuiera de la circun$erencia o sea ue nonecesariamente amos a artir del unto (1,0)
&ea P(E)=(cosE, senE) U P(V) = (cosV, senV)
C=d (P(E), P(V))
C= √ (cos∝−cosβ)2(sen∝−senβ)2
C= √ cos2∝−2cos∝cosβ+cos2 β+sen
2∝−2sen∝ senβ+sen
2 β
C= √ (cos2∝+sen2∝ )+(cos2 β+sen
2 β )−2(cos∝cosβ+sen∝ senβ)
C=
cosα cosβ+senα senβ
1+1−2¿√ ¿
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C= √ 2−2cos (α − β)
(3u" 4 = α − β )! Como esta corresonde a la longitud de una cuerda donde
la longitud del arco corresondiente esα − β
, tenemos!
cos α ! Cos β + sen α senβ=cos (α − β ) , teniendo en cuenta la de#nición
1.
1.4. I5ENTI5A5ES TRIGONOMETRICAS.
6ecuerde ue dos $unciones $ y g son iguales, si ara todo x, $(x) = g(x)!
Cuando dos $unciones trigonométricas son iguales, seg%n la de#nición anterior,
es costumbre llamar la igualdad una identidad trigonométrica!
Ke la identidad $undamental sen2 α + cos2 α =1 y de la longitud de una
cuerda donde la longitud del arco corresondiente es α − β cos (α − β ) =
cosα cosβ+sen α . senβ ! salen o se deducen el resto de identidades ue ay en
trigonometr"a
3dems tenga en cuenta ue la $unción seno es imar (sen (8x)=8senx) y uela $unción coseno es ar (cos(8x) = cos (x))
3l deducir las identidades ablaremossolamente de seno, coseno y tangente, yaue las otras tres corresonden a susinersas!
Iablaremos ara!1! 6esta de ngulos2! &uma de ngulos
! Angulos doblesB! Angulos medios
! Como exresar sumas y restas en$unción de roductos
1! sen2α +cos2α =1
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2! cos (α − β )=cosα. cosβ+senα.senβ
! Kiidimos 1!) or sen2α :1+cot
2α =csc
2α
B! Kiidimos 1!) or cos2α : tan
2α +1=sec
2α
! 6eemlace β or (− β) en 2!)
cos ( α −(− β ) )=cosα .cos (− β )+senα. sen(− β)
cos (α + β )=cosα . cosβ−senα.senβ
>! Iacemos α =π
2 en (2
cos( π
2− β )=cos
π
2cosβ+sen
π
2.senβ
cos( π 2− β )=senβ
H! &i acemos β=π
2 – β en >!)
cos( π
2−( π
2− β ))=sen ( π
2− β )
cosβ=sen
(π
2− β
)Con las identidades >!) y H!) os damos cuenta ue las $unciones seno ycoseno son comlementarias!
@! Iacemos
7.
6.
¿ ¿¿ ¿
cosβ
senβ=
cos (π
2− β )
sen(π
2− β )
→ctgβ=tan ( π
2− β)
D! Iacemos
6.
7.
¿ ¿¿ ¿ :
senβ
cosβ=
cos ( π 2− β )
sen(π
2− β )
→tanβ=ctg(π
2− β)
10!/n > acemos β=α + β :
cos −senβ
0 1
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sen (α + β )=cos ( π
2−(α + β ))=cos (( π
2−α )− β)
sen (α + β )=cos( π
2−α ) .cosβ+sen( π
2−α ).senβ
sen (α + β )=senα.cosβ+cosα . senβ
11!/n 10!) acemos β=− β
sen ( α +(− β ) )=senα.cos (− β )+cosα.sen (− β)
sen (α − β )=senα . cosβ−cosα . senβ
12! tan (α + β )= sen (α + β )cos (α + β )
= senα .cosβ+cosα . senβ
cosα .cosβ−senα. senβ
Wultilicando y diidiendo la %ltima exresión or c osα. cosβ
tan (α + β )= tanα +tanβ
1−tanα .tanβ
1!Ke manera similar a 12!), obtenemos
tan (α − β )= tanα −tanβ
1+tanα .tanβ
1B!Para ngulos dobles
−senβcos
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sen (2α ) ycos (2α ) sen (2α ) Positio
Positios
cos (2α ) egatio
sen (2α ) y cos (2α ) sen (2α ) Positio
egatios cos (2α ) egatio
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Como e*ercicio usted uede anali;ar lo ue ocurre en el GGG y en el G9 cuadrante! 7enga en cuenta ue se anali;a en cada cuadrante antes y desués de B?!
as $unciones trigonométricas seno y coseno de ngulos dobles, admiten
ambos signos as"
1! sen (2α )=sen (α +α )=senα .cosα +cosα . senα
sen (2α )=2 senα . cosα
1>! cos (2α )=cos (α +α )=cosα .cosα −senα . senα
cos (2α )=cos2
α −sen2
α
a) /n 1!) reemlace sen2α or 1−cos
2α
cos (2α )=cos2 α −(1−cos2 α )=2cos2α −1
b) /n 1!) reemlace cos2α or 1−sen
2α
cos (2α )=(1−sen2α )−sen
2α =1−2sen
2α
1H! tan (2α )=tan (α +α )= tanα +tanα
1−tanα.tanα =
2 tanα
1−tan2α
3ora ara ngulos medios note ue no interesa en ue cuadrante se traba*e,
la $unción sen(α 2 ) admite %nicamente el signo
ositio, mientras ue la $unción cos( α
2 )admite ambos signos
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1@!/n (1Y) si acemos 2α =θ o α =θ/2 tenemos
cosθ=2cos2 (θ/2 )−1 , dese*amos
2
θ /¿cos ¿
2
θ/¿¿2
θ/¿=±√ cosθ+12
cos2¿
1D!/n (1b) si acemos 2α =θ o α =θ/2 tenemos
cosθ=1−2 sen2 (θ /2 ) , dese*amos
2
θ/¿sen ¿
2
θ/¿¿2
θ/¿=+√1−cosθ
2
sen2¿
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20!
2
2
θ /¿¿2
θ /¿
¿¿cos ¿sen¿
θ/¿=¿¿
tan ¿
, multilicando y diidiendo or
2
θ/¿2sen¿
tenemos
2
2
2
θ /¿¿¿¿2
2
θ /¿¿¿¿2
θ /¿¿2
θ/¿ .cos (θ/2)¿¿
2 sen¿θ /¿.2 sen¿θ /¿.2 sen¿
sen¿θ /¿=¿
¿tan¿
2
θ/¿=1−cosθ
senθtan ¿
, or (1b) or (1B)
1Da!) /n (1D) multilico y diido or el con*ugado del numerador
1+cosθ -
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2
θ/¿=1−cosθ
senθ¿
tan ¿
θ
(¿¿ 2)= 1−cos
2
senθ (1+cosθ)=
sen2θ
senθ (1+cosθ)=
senθ
1+cosθ
tan¿
(21), (22), (2), (2B) resultan de sumar y restar las siguientes identidadessen (α + β )=senα .cosβ+cosα . senβ
sen (α − β )=senα .cosβ−cosα . senβ
&umando sen (α + β )+sen (α − β )=2 senα.cosβ
1
2 [sen (α + β )+sen (α − β ) ]=senα. cosβ . (20)
6estando sen (α + β )−sen (α − β )=2cosα . senβ
1
2 [sen (α + β )−sen (α − β ) ]=cosα .senβ. (21)
cos (α − β )=cosα.cosβ+senα.senβ
cos (α + β )=cosα . cosβ−senα . senβ
&umando cos (α − β )+cos (α + β )=2cosα.cosβ (22)
1
2 [cos (α − β )+cos (α + β ) ]=cosα.cosβ
6estando cos (α − β )−cos (α + β )=2 senα.senβ (2)
1
2 [cos (α − β )−cos ( α + β ) ]=senα.senβ
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/stas ultimas cuatro identidades consisten en exresar las $unciones seno ycoseno de ngulos sencillos en $unción de la tangente del ngulo medio! /stassalen de (1D) y (1Da)!
2!) &i
2
θ/¿=1−cosθse nθ
tan ¿ y
2
θ/¿¿tan ¿
senθ=tan (θ/2 ) .(1+cosθ) , reemle;ando tenemos
2
2
θ /¿ .(1+cosθ)¿
tan ¿
θ/¿=1−cosθ
¿tan ¿
y
2
θ /¿
[ tan (¿ ] ]2
. (1+cosθ )=1−cosθ
2
θ/¿¿
tan2¿
2
θ /¿¿2
θ/¿ .cosθ
tan2¿
2
2
θ/¿−1−tan
2¿θ/¿−1=cosθ ¿
tan2
¿
, multilicar or 81
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2
θ /¿¿2
θ /¿1+ tan
2¿1−tan
2¿
2
θ /¿¿2
θ /¿¿
1+ tan2¿
1−tan2¿
¿
2>!)
2
2
2
θ /¿¿2
θ /¿¿
1−tan2¿
1+¿θ /¿ .¿
θ/¿ . (1+cosθ )=tan ¿senθ=tan ¿
2
2
2
θ /¿¿¿¿θ
¿2
¿¿θ/¿+1−tan
2¿1+ tan
2¿¿
θ/¿ .¿senθ=tan ¿
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2
θ /¿¿2
θ /¿¿
1+tan2
¿2tan ¿senθ=¿
/*emlos
1! 7rans$ormar en sumas cos30°× cos60 °
Comocos30 °×cos60°=
1
2
[cos (30 °+60 ° )+cos (30°−60° )]
cos30°× cos60°=1
2[cos 90°+cos (−30°) ]
√ 3
2× 1
2=
1
2[0+cos30 ° ]=1
2 [0+ √ 3
2 ]=√ 3
4
2! 6edu;ca senθ a una exresión ue contenga solo $unciones de Q
eleadas a la rimera otencia!
sen4θ=(sen
2θ)2=[ 1−cos (2θ)
2 ]2
=1−2cos (2θ )+cos2(2θ)
4
Pero cos2 (2θ )=
cos (4 θ )+12 or identidades (1a)
3s" sen4θ=
1−2cos (2θ )+ cos ( 4θ )+1
2
4
sen4θ=
2−4cos (2θ )+cos (4θ )+18
sen4θ=
3−4 cos (2θ )+cos (4θ )8
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! Calcular las $unciones trigonométricas ara 4 π /3 !
3
2π /¿4 π /3=2¿
, a
artir de las identidades del alor doble ara
2π /
3
=2
(180
° ) /3
=120
°=60
°
3
2
2
−1 /¿¿
√ 3/¿¿4 π /¿=sen (2.60° )=2sen60°.cos60°=2¿
sen¿
34 π /¿=cos (2.60 ° )=cos
2 (60° )−sen2(60°)
cos ¿
3
2
−1/¿¿√ 3¿2
¿¿
¿¿¿
4 π /¿=¿cos ¿
3
3
4 π /¿¿3
4 π /¿¿
¿=−√ 3/2−1/2
cos ¿sen¿
4 π /¿=¿tan ¿
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3
¿4 π /¿¿¿
cot ¿
3
¿4 π /¿¿¿
sec ¿
3
¿4 π /¿¿¿
csc ¿
B! Calcule las $unciones trigonométricas ara π /12 - note ue
6
π /¿π /12=1/2¿
!
! /xrese 5senα +12cos∞ en la $orma ksen (∞+θ) donde Q esta entre
−π /2 y π /2 !
5 sen∞+12cos∞=ksen (∞+0 )
sen ∞
¿k ¿ !!cos0+cr!sen0)
k =√ 52+(12)2=√ 25+144=√ 169=13
mult!lcamos y "#"mos !or 13 y o$tenemos :
∞
5
13.sen∞+
12
13.cos¿=13 sen (∞+0)
13¿
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"on"ecos0=15
13
y sen 0=12
13
>) Kemuestre ue tg(0−tg (0−3π
4 )=0
0+π 4¿−tg ¿
(e*ercicio)Ztilice identidades (12) y (1)!
H) Kemuestre uesen (∞+B )cos∞.cosB
=tg ∞+tgB ( %&ercco)
Ztilice identidad (10)!
@) Kemuestre ue
tg( '
2)+(tg (
'
2)
tg( x2 )−ctg( '
2)
=−sec ( x ) .( %&ercco)
ote tg(x2)=
sen( '
2)
cos( '
2 ) y ctg( x2 )=
cos ( '
2)
sen( '
2)
U utilice identidadn (1) y (1)!
D) /*ercicio resuela √ 3cos∞−1. sen∞=0
1.6. Euaiones !rigono"e!rias:
Zna ecuacion trigonometrica rd una roosicion condicional en X, en la cual#guran $unciones trigonometricas de la ariable X!
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/*ercicio1 sen−1
' =1
2. ' ∈ [0 ;2π ]
x=sen
(
1
2
)=
π
6
; 5 π
6
Zna solucion general, teniendo en cuenta la eriodicidad de la $unciontendremos
x=π
6+2 )π ; ) ϵ*
/*emlo 2! Cos81x= 0
x= cos(0) = π +2π
en general coo coseno tiene tambien eriodo 2π tenemos x=2 )π ; ) ϵ*
e*emlo ! sen(75°− x
2 )=1
como sen (−∝ )=−sen∝ entonces
−sen( x2−75°)=1 ó sen( x2−75°)=1
x
2−75°=sen 81(1) +>0? L - L M N
x
2−75°=90°+360° )
x
2=75°+90°+360° ) ; ) ,*
x
2=165°+360° ) ; ) ,*
2=2 (165 °+ ) .360 ° )=330 °+ ) .720° ; ) , *
6esuela
/*emlo B! 7an ( π
4+ x)=2+√ 3
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Ztilice identidad (12)
6ecuerde tan ( π
4 )=sen( π
4 )cos( π
4 )=√ 22
√
2
2
=1
6ecuerde ue la eriodicidad de la $uncion tan es < ara dar solucionesgenerales (as" como en seno y coseno suma 2L <- L M N en tangente suma L<- L M N)
/*ercicio ! 6esuela senBx [ cosBx = \
6ecuerde senBx = (sen2x)2 y cosBx= (cos2x)2
/*ercicio >! 6esuela tanx + tan(2x)=0
6ecuerde tan(2x) =2 tanx
1−tan2 x y llega a resoler una ecuiacion cuadratica
/*ercicio H! 6esoler
tanQ! &ec2Q + sec2Q [ BtanQ [ B = 0
/*ercicio@! 6esoler de dos maneras di$erentes el e*ercicio BsenQ +cosQ = 2
i. /scribiendo BsenQ +cosQ en cualui]era de las $ormas L sen(∝+θ¿ ; L cos ( ∝+θ¿
L sen( ∝−θ ¿ ; L
cos ( ∝−θ¿
ii. 7raba*ando con las identidades (2B) y (2)
/*ercicio D! &olucionar la ecuacion sen(x)! cos (x) 8 sen(@x)! cos (>x) = 0Ztili;ando las identidades 20, 21, 22y 2!
1.7. Soluion de !riangulosa trigonometria es de gran alicación en la ractica, debido a ue resueletriangulos $acilmente, es decir, dados ciertos elementos de un triangulo nos$acilita la busueda de lso restantes elementos!1!D!1! 3rea de un triangulo!
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sea 3:C un triangulo cualuiera, entonces el
area de ese triangulo es igual al1
2( AB ) .((-)
1.18. GRAFICAS 5E y= Asen (B' +( ) 9 y= Acos(B' +( )
y=senx=sen ( x+2π ) +2π eriodo ara y=senx y ara y=sen ( x+2π )
ote ue y= A senx se obtiene de multilicar cada alor de la ordenada de
esta or 3! la gra#ca de y=senx cru;ara el e*e en el mismo unto donde lo
ace y=senx , debido a ue 3 aeces es cero, ero la desiacion maxima
dela gra#ca de y=senx , del e*e x cambiara debido a ue senx tiene eriodo
2<, A senx ( x+2π )= Asenx or lo tanto, 3senx tambien tiene eriodo 2<!
a constante T3T, es la maxima desiacion de la gra#ca A senx del e*e x, se
denomina 3WPG7ZK de y= A senx ! Por lo tanto , y=1
2senx tiene amlitud
de T12T =12 y y=−2senx tiene una amlitud de T82T =2 analogamente
y=senx tiene una amlitud de 1
5bsere el gra#co y comare
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/l signo negatio de y= 82 senx gira la gra#ca de y= 2 senx alrededor del e*e x,es decir , la gra#ca de de y= 82 senx es la misma gra#ca de de y= 2 senxre^e*ada or el e*e x!
aga el e;eriio &3.
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3ora amos a nali;ar el gra#co de y= A senBx ! Primero eamos el e$ecto de
:al comarar y=senx y y=senBx ! :'0!
3mbas $unciones tienen la misma amlitud 1, ero resecto a su eriodo
1! y=senx tiene eriodo 2π
2! y=senBx se anali;a as" ara allar su eriodo!
&i ( x )= y=senBx , se busca el menor enterio ositio tal ue ( x+t )= ( x ) !
Para este #n, se e ueBx= ( x)
( x+t )=se$ B ( x+t )=sen ( Bx+Bt )=sen ¿ !
&i :t = 2< o 8 / =2 π
B or lo 7anto el eriodo de y=senBx es2 π
B
3s" or e*emlo el eriodo de y=sen2 x es 7=2 π
2=π (la mitad del
ériodo de y=senx )- or lo tanto, el e$ecto de : es comrimir o alargar la
cura basica del seno, es decir : cambia el eriodo de y = senx
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E,ERCICIOS 5E TRIGONOMETRIA.
1! Calcule las $unciones triginometricas ara
a)7 π
2 b)4 π
3 5737 π
2=
π
4+
π
3; 4 π
3=2 .
2
π 3 <
2! Para XM [0 ;2π ] - resuela
a) &en81x = \
b) &en81x = 8 √ 3 2
c) cos81x = 0
d) cos81x = 8\e) sen(H?8x2) = 1$) senBx 8 cosBx = \
g)! _ra#ue y = 3cosx
a) y = cosxb) y = cosx
c) y = \ cosxd) y = 2cosx
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e) ote ue y = 3cosx tiene tambien un eriodo 2< y una amlitudde T3T$)
B! tenga en cuenta este resumen y gra#ue lo ue se le ide!g) Para y = 3sen:x ó y = 3cos:x- : ' 0
) 3mlitud = T3T eriodo = 7 = 2<: si 0. : . 1, la cura de y =senx o de y = cosx se alarga!i) &i :'1 la cura de y = senx o de y = cosx se comrime
*)`) _ra$iue a! y = Bcos(2x)- 0F x F 2<l) b! y = 8cos(x2)
! _ra#ue
a! y = 2sen( x + π /4¿ 82< F x F 2<
b! y = sen (<x [ <), note ue au" 3 =1- : = <- c = <- 7 =2 π
π =2
cambio de $ase( B =π
π =1 (una unindad acia la dereca)
m)n)
o) ya estamos en osibilidad de considerar las gra#cas de las
ecuaciones de la $orma) y = 3sen(:x + C) y y = 3cos(:x + C)) ue son simlemente las gra#cas de las ecuaciones y = 3sen:x y
y=3cos:x transladadas acia la i;uierda o acia la dereca, ya uer) y = 3 sen(:x + C) = 3sen : (x + C:) ys) y = 3 cos(:x + C) = 3 cos: (x + C:)(G)
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t) las gra#cas de estas ecuaciones son las mismas ue las gra#cascorresondientes a las ecuaciones (G) transladadas acia la i;uierdaen C: unidades, si C es ositio, o transladadas acia la dereca en TC:T unidades si C: es negatio!
u)
) E;e"%lo: gra#car y comarar]) y = senx - y = sen(x + <2) - y = sen( x 8 <2)x)y);)
aa)ab) 6esumiendoac)ad) Para y = 3sen (:x + C) o U = 3cos (:x + C) con : ' 0- amlitud
=T3T eriodo = 2<: cambio de $ase TC:T unidades acia dereca siC:. 0 - y C: unidades acia la i;uierda si C:'0
ae)a$) /*emlo estable;ca la amlitud, eriodo y cambio de $ase ara y=
Bcos(2x [ <), gra$iue sobre el interalo 8< F x F <!
ag) K y= Bcos (2x [ <) = B cos (x 8π
2 )
a) : C 3
ai) 3 = B
a*) / =2 π
$ =
2π
2=π Cambio de $ase C: =
π
2 unidades!
1) _ra$iue y = Bcos(2x), 0FxF<2) 7raslade la gr$ica <2 unidades acia la dereca y comlete el interalo
edido
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a`)
al) E;eriios.
>! &i cosQ =−5
2 - y cotQ.0- alle el alor de las otras cinco $unciones
trigonométricas! 3nalice el mismo roblema si cotQ'0 gra$iue Qam)
H! Considere el trianguloan) Ialle en $unción de x cscx, tanx, cosx!
ao)a)a)ar)as)at)au)
@! Para un alor de Q el unto P(0) se
encuentra en el segmento ue une los untos (0,0) y (8 √ 3 , )!
Ketermine las seis $unciones de QD! 6esuela el e*ercicio con el enunciado anterior (@) ero con los untos
(0,0) (,8,)
10!/xrese sen ∝ + √ 3 cos ∝ en la $orma Lsen( ∝ +0) y resuela
sen ∝ + √ 3 cos ∝ = 0
11!Ketermine cosQ t tanQ si sen Q = 8 1 y tanQ'