1) Un director de Tesorería está pensando en invertir en el capital de una empresa de asistencia sanitaria. La valoración de rentabilidad del director se recoge en la Tabla siguiente. Sea A el suceso “la tasa de rentabilidad será mayor del +10%”. Sea B el suceso “la tasa de rentabilidad será negativa”. Sea C el suceso: “ la tasa de rentabilidad es mayor a – (menos) 10%”

Tasa de rentabilidad ProbabilidadMenos de -10% 0.03Entre -10% y menos de 0% 0.14Entre 0% y menos de 10% 0.28Entre 10% y menos de 20% 0.33Más del 20% 0.22

a) Dibuje un Histograma suponiendo que Probabilidad significa porcentaje de ocurrencias en el pasado.b) Calcular la Probabilidad del suceso A c) Calcular la probabilidad del complementario de Ad) Calcule la Probabilidad del espacio muestral Se) Calcular la Probabilidad de la unión de A y Bf) ¿Son A y B Mutuamente excluyentes?g) Calcule la Probabilidad de B intersección C.h) ¿Son A y C sucesos independientes?

2) En la tabla siguiente aparecen los años de servicio acumulados por 355 trabajadores de una gran empresa antes de su retiro voluntario.

a) Invente una variable cuantitativa que asocie a cada suceso un número que refleje la antigüedad promedio del intervalo.

b) Determinar la mediana de experiencia de la población.c) Determinar la media de experiencia de la poblaciónd) Determinar la varianza poblacionale) Suponga que se escogen 10 trabajadores al azar. Se define la variable aleatoria “promedio de experiencia

de una muestra de 10 trabajadores escogidos al azar”. Determine la esperanza y la varianza (muestrales) de esta variable aleatoria promedio.

f) ¿Cambiaría su resultado anterior si se hubiese escogido a 100 trabajadores al azar?.

Experiencia (años) Nº EmpleadosAl menos 0 Menos de 1 4Al menos 1 Menos de 2 41Al menos 2 Menos de 3 67Al menos 3 Menos de 4 82Al menos 4 Menos de 5 28Al menos 5 Menos de 6 43Al menos 6 Menos de 7 14Al menos 7 Menos de 8 17Al menos 8 Menos de 9 11Al menos 9 Menos de 10 7Al menos 10 Menos de 11 14Al menos 11 Menos de 12 6Al menos 12 Menos de 13 14Al menos 13 Menos de 14 5Al menos 14 Menos de 15 2

3) Suponga que los asistentes a un Congreso debían elegir en la mañana entre asistir a la Conferencia A o a la Conferencia B que eran en simultáneo. En la tarde podían asistir a la Conferencia C. Si las asistencias de la mañana y de la tarde eran estadísticamente independientes, ¿Cuál es la probabilidad que uno de los delegados elegidos al azar asistiese a la Conferencia A o a la Conferencia C.Datos de asistencia: A: 40%B: 55%C: 80%

4) Un torneo de baloncesto cuenta con la participación de tres equipos Se pide predecir quien será el campeón y quien será el subcampeón.

a) Determine los elementos que forman el espacio muestral.b) Determine el tamaño del espacio muestral (número de casos posibles). c) Jorge fue capaz de predecir correctamente al azar quien fue el campeón y quien fue el subcampeón,

sin ninguna información previa.¿ Cuál era la probabilidad de hacer la predicción correcta por simple casualidad?

d) Después se descubrió que Jorge tenía antecedentes que le permitían predecir que uno de los equipos no sería ni primero ni segundo por su bajo nivel de preparación. A este evento se le llamó I de “información privilegiada” ¿Cuál era la probabilidad de hacer la predicción correcta con esta información? Utilice la regla de P(A/I).

e) Suponga que se construye la variable aleatoria X = capacidad de acertar donde X = 3 Predecir quien será el campeón y el subcampeón; X = 2 Predecir quien será el campeón; X = 1 Predecir quien será el subcampeón; X = 0 ninguno de los anteriores. Los premios por predecir (en millones de $) son $5, $2, $2, $-10 respectivamente, donde si X =0 se debe pagar 10 millones. Calcule la esperanza de la variable X.

f) Calcule la esperanza de la variable Y= F (X) donde Y = premio a recibir o a pagarg) Calcule la esperanza y la varianza de la variable Y.h) Suponga que usted es neutral al riesgo. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por entrar a él?

5) Sea X una variable con distribución de probabilidades que tiene esperanza U y varianza S Demuestre que la variable Z = (X-U)/S sigue una normal estándar con media cero y varianza uno.

6) En promedio se sabe que la rentabilidad promedio de las empresas de un sector es 12% y que ésta variable sigue una curva normal con desviación estándar de 3% (raíz cuadrada de la varianza). a) Determine la probabilidad que la rentabilidad promedio del sector sea negativa. PD: Utilice las tablas

de la normal estándar después de estandarizar su variable.b) Suponga que este sector está conformado por diez empresas idénticas y cuya rentabilidad sigue la

misma distribución de probabilidades pero independiente entre sí. Determine la probabilidad de que tres empresas tengan simultáneamente rentabilidad negativa.

7) La rentabilidad R del Fondo de Pensiones Promedio sigue una distribución de Probabilidades tipo Normal con Esperanza 5% y Desviación Estándar Población de 2%. Se ha estimado que la Pensión (jubilación) P depende de esta rentabilidad de modo que:P = 100.000 + 400.000*REl Gobierno se comprometió a subsidiar a todos aquellos jubilados que reciban una Pensión P inferior a los $150.000. Estime el porcentaje de pensiones que el Gobierno tendrá que subsidiar.

8) Se tienen datos % sobre la lectura de una revista de negocios y la compra de títulos en bolsa.

Lectura Revista (%)Compra Títulos (%) Frecuente (F) Ocasional (O) Nunca (N)Si (S) 18 10 4No (N) 16 31 21

En función de ellos se desea saber:a) ¿Es la lectura frecuente de la revista un evento independiente de la compra de títulos en bolsa?b) ¿Cuánto es la probabilidad P (S/ (F U O))?

9) Una empresa ha recibido 120 solicitudes para un trabajo. Suponga que estas solicitudes pueden ser consideradas viniendo de una muestra aleatoria de todos los licenciados en administración de empresas del país. Se sabe que el 50% de ellos (as) son mujeres.a) Determine que distribución de probabilidades tiene la variable X= 0 (hombre) X =1 (mujer) si se saca

al azar una solicitud. Determine su esperanza y su varianza.b) Determine que distribución de probabilidades sigue la variable X = número total de mujeres

solicitando trabajo en la muestra. Determine su esperanza y su varianza.

10) Los siguientes datos establecen la relación posible que puede haber entre el gasto en publicidad (X) y las ventas de un sector económico (Y)

X Y

6 19

7 25

8 30

9 40

10 48

11 57

12 70

13 83

14 90

a) Determine el coeficiente de correlación entre ambas variables.b) Determine si se cumple que la varianza de la suma de estas variables es la suma de sus varianzas

y explique porque se cumple o no se cumple esa igualdad.

11) Sea una muestra de 3 observaciones independientes y repetidas de una variable X cuya esperanza se llama U y cuya varianza se llama V, ambas desconocidas. Se discute usar esta muestra para estimar U, y se coincide que hay que seleccionar aquel estimador que tenga la menor varianza entre los que tienen la esperanza U. El alumno A prefiere ocupar el promedio simple de estas observaciones como estimador de U. El alumno B prefiere usar la fórmula (X1 +2X2+X3) / 4. El alumno C sostiene que da lo mismo porque ambas estimaciones tienen la misma esperanza y la misma varianza, es decir son insesgadas y eficientes. Usted ¿está de acuerdo con quién? ¿Cómo lo demuestra matemáticamente?