ejerciciosa de geo

UNIVERSIDAD GABRIEL RENE MORENO UNIVERSIDAD GABRIEL RENE MORENO _ _

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y TECNOLOGIA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y TECNOLOGIA

E J E R C I C O SE J E R C I C O S

D ED E

G E O M E T R I AG E O M E T R I A

D E S C R I P T I V AD E S C R I P T I V A

HUGO DURAN CANELAS BANEGASHUGO DURAN CANELAS BANEGAS



PRESENTACION:PRESENTACION:

Complementando el trabajoComplementando el trabajo

Iniciado en publicaciones Iniciado en publicaciones

anteriores, quiero ahoraanteriores, quiero ahora

completar aquéllas, con una completar aquéllas, con una

serie de de ejercicios resueltosserie de de ejercicios resueltos

sobre los diferentes temas quesobre los diferentes temas que

abarca el programa deabarca el programa de

Geometría Descriptiva enGeometría Descriptiva en

nuestros planes de estudio, con nuestros planes de estudio, con

la finalidad de que el estudiantela finalidad de que el estudiante

que se aboque a la resoluciónque se aboque a la resolución

de éstos, llegue a lade éstos, llegue a la

compresnción más cabal de lacompresnción más cabal de la

materia, y llevar a disciplinasmateria, y llevar a disciplinas

posteriores una gimnasiaposteriores una gimnasia

mental que le ayude a ver otromental que le ayude a ver otro

tipo de problemas y podertipo de problemas y poder

encararlos como lo hizo conencararlos como lo hizo con

aquéllos.aquéllos.

El AutorEl Autor

22



A mis hijos: LizienA mis hijos: Lizien

Jimena y Jimena y

Hugo Miguel Hugo Miguel

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LA RECTA LA RECTA

Y EL Y EL

PLANO PLANO

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1.- Determinar en una recta todos los elementos que la componen, como ser,1.- Determinar en una recta todos los elementos que la componen, como ser, trazas, cuadrantes que cruza, partes visibles y ocultas, intersecciones (trazas, cuadrantes que cruza, partes visibles y ocultas, intersecciones ( trazas ) con los bisectores: figura 1trazas ) con los bisectores: figura 1

--Sea la recta R, con sus proyecciones r’ - r , que va del primero alSea la recta R, con sus proyecciones r’ - r , que va del primero al tercer cuadrante, pasando por el segundo.tercer cuadrante, pasando por el segundo.

- Como se sabe, sólo lo que está en el primer cuadrante es visible, y- Como se sabe, sólo lo que está en el primer cuadrante es visible, y éste es el que muestra las proyecciones verticales por encima de laéste es el que muestra las proyecciones verticales por encima de la línea de tierra, y las horizontales por debajo de ella.línea de tierra, y las horizontales por debajo de ella.

- La parte en que ambas proyecciones están sobre la línea de tierra,- La parte en que ambas proyecciones están sobre la línea de tierra, muestra lo que la recta está ocupando el segundo cuadrante, y aquéllamuestra lo que la recta está ocupando el segundo cuadrante, y aquélla que tenga las proyecciones horizontales por encima de la línea de tierra yque tenga las proyecciones horizontales por encima de la línea de tierra y las horiozntales por debajo de ella, será la parte que se encuentra en ellas horiozntales por debajo de ella, será la parte que se encuentra en el tercer cuadrante.tercer cuadrante.

- Donde ambas proyecciones se cortan, está representada la traza de la- Donde ambas proyecciones se cortan, está representada la traza de la recta con el segundo bisector ( b´2 - b2 ).recta con el segundo bisector ( b´2 - b2 ).

- Para encontrar la traza con el primer bisector, ubicaremos el punto que- Para encontrar la traza con el primer bisector, ubicaremos el punto que sea equidistante de línea de tierra. Para ello buscamos el punto simétricosea equidistante de línea de tierra. Para ello buscamos el punto simétrico a cualquier punto, en este caso a la traza horizontal, es el hs ( puédesea cualquier punto, en este caso a la traza horizontal, es el hs ( puédese usar cualquier otro punto ). Este lo unimos, con v, hasta encontrar lausar cualquier otro punto ). Este lo unimos, con v, hasta encontrar la proyección vertical r’, que sereá el buscado b’1, que por perpendicularidadproyección vertical r’, que sereá el buscado b’1, que por perpendicularidad encontramos en r, su simétrico b1.encontramos en r, su simétrico b1.

2.-2.- Idem al anterior, una recta que desde el primer cuadrante, se pierde en elIdem al anterior, una recta que desde el primer cuadrante, se pierde en el segundo indefinidamente.segundo indefinidamente.

- Solución:- Solución: Al perderse indefinidamente en el segundo cuadrante, Al perderse indefinidamente en el segundo cuadrante, viniendo del primero, quiere decir que es paralela al horizontal ( rectaviniendo del primero, quiere decir que es paralela al horizontal ( recta horizontal ). Sólo tendría traza vertical, y las respectivas con loshorizontal ). Sólo tendría traza vertical, y las respectivas con los bisectores. bisectores.

-- Determinar sus proyecciones visibles e invisibles, señalando lo queDeterminar sus proyecciones visibles e invisibles, señalando lo que pertenezca al primero y segundo cuadrante. ( fig. 2 )pertenezca al primero y segundo cuadrante. ( fig. 2 )

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JOSE CLYDEE COSSIO MONTAÑO, 03/01/-1,



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- Por tratarse de una recta horizontal, tendrá su proyección vertical s’,- Por tratarse de una recta horizontal, tendrá su proyección vertical s’, paralela a la línea de tierra, teniendo su proyección horizontal s, cualquierparalela a la línea de tierra, teniendo su proyección horizontal s, cualquier dirección.dirección.

- La intersección de su proyección horizontal con la línea de tierra, nos- La intersección de su proyección horizontal con la línea de tierra, nos muestra su traza vertical v’ - v . Esto nos permitirá ver lo que está en elmuestra su traza vertical v’ - v . Esto nos permitirá ver lo que está en el primer cuadrante, y a su vez lo visible de la recta.primer cuadrante, y a su vez lo visible de la recta.

- La parte que muestra la proyección vetical sobre la línea de tierra, y- La parte que muestra la proyección vetical sobre la línea de tierra, y horizontal bajo de ella, está en el primer cuadrante, y por tanto visible ( enhorizontal bajo de ella, está en el primer cuadrante, y por tanto visible ( en el dibujo, de v’ - v hacia la derecha ).el dibujo, de v’ - v hacia la derecha ).

- Donde ambas proyecciones se cortan, estará la traza con el segundo- Donde ambas proyecciones se cortan, estará la traza con el segundo bisector, b’2 - b2 .bisector, b’2 - b2 .

- Mediante el simétrico a la traza vertical v’, ( el v’s ) , encontraremos la- Mediante el simétrico a la traza vertical v’, ( el v’s ) , encontraremos la traza con el primer bisector, auxiliándonos de una paralela a la línea detraza con el primer bisector, auxiliándonos de una paralela a la línea de tierra por v’s , hasta cortar a s ( b’1 - b1 ) .tierra por v’s , hasta cortar a s ( b’1 - b1 ) .

3.- Recta como la anterior, pero pasando del cuarto cuadrante, al3.- Recta como la anterior, pero pasando del cuarto cuadrante, al tercero, ( fig. 3 ) .tercero, ( fig. 3 ) .

- Como es un ejercicio como el anterior ( recta horizontal ) , los pasos son- Como es un ejercicio como el anterior ( recta horizontal ) , los pasos son similares, cambiando de nombre cuando corresponda.similares, cambiando de nombre cuando corresponda.

- Al ser una recta horizontal que va del del tercer al cuarto cuadrante, es- Al ser una recta horizontal que va del del tercer al cuarto cuadrante, es toda ella invisible, por lo que se dibuja íntegramente segmentada.toda ella invisible, por lo que se dibuja íntegramente segmentada.

4.- Idem al anterior, pero pasando del segundo cuadrante al tercero ( recta4.- Idem al anterior, pero pasando del segundo cuadrante al tercero ( recta frontal ). ( fig. 4 )frontal ). ( fig. 4 )

- Se trata de la recta r’ - r , que por tratarse de una frontal, tendrá su- Se trata de la recta r’ - r , que por tratarse de una frontal, tendrá su proyección horizontal paralela a la línea de tierra, en tanto que la verticalproyección horizontal paralela a la línea de tierra, en tanto que la vertical tendrá cualquier dirección.tendrá cualquier dirección.

- Como ambos cuadrantes son invisibles, la recta en cuestión será- Como ambos cuadrantes son invisibles, la recta en cuestión será totalmente invisible. totalmente invisible.

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- La forma de encontrar sus diferentes trazas, tanto con los planos de- La forma de encontrar sus diferentes trazas, tanto con los planos de proyección, como con los bisectores, es similar a la seguida en losproyección, como con los bisectores, es similar a la seguida en los ejercicios anteriores, por lo que de aquí en más, estos procedimientos, seejercicios anteriores, por lo que de aquí en más, estos procedimientos, se dan ya por conocidos, y por tanto innecesaria su repetición.dan ya por conocidos, y por tanto innecesaria su repetición.

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5.-Idem al 4, del primero al cuarto ( recta frontal ) , fig. 5.5.-Idem al 4, del primero al cuarto ( recta frontal ) , fig. 5.

- Es idéntico al anterior, sólo que en este caso tenemos una recta que- Es idéntico al anterior, sólo que en este caso tenemos una recta que será visible lo correspondiente al primer cuadrante.será visible lo correspondiente al primer cuadrante.

6.- Determinar todos los elementos señalados en los anteriores ejercicios,6.- Determinar todos los elementos señalados en los anteriores ejercicios, en una recta que tenga traza vertical, en el vertical superior, y horizontal, enen una recta que tenga traza vertical, en el vertical superior, y horizontal, en el horizontal anterior. ( fig. 6 )el horizontal anterior. ( fig. 6 )

- La traza vertical, en el vertical superior, es visible, como asimismo la- La traza vertical, en el vertical superior, es visible, como asimismo la horizontal, en el horizontal anterior.horizontal, en el horizontal anterior.

- Al unir las proyecciones homónimas de las trazas de la recta en- Al unir las proyecciones homónimas de las trazas de la recta en cuestión, ( la t’ - t ) , vemos que se trata de una que atraviesa el diedro,cuestión, ( la t’ - t ) , vemos que se trata de una que atraviesa el diedro, yendo del segundo cuadrante, al cuarto, pasando por el primero, queyendo del segundo cuadrante, al cuarto, pasando por el primero, que como ya sabemos , ´éste será visible.como ya sabemos , ´éste será visible.

- Todos los demás elementos indicados en el enunciado, se encuentran- Todos los demás elementos indicados en el enunciado, se encuentran de la forma determinada en los ejercicios previos.de la forma determinada en los ejercicios previos.

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7.- Idem al 6, cuyas trazas horizontal y vertical, estén en el horizontal7.- Idem al 6, cuyas trazas horizontal y vertical, estén en el horizontal posterior y vertical inferior respectivamente. ( fig. 7 )posterior y vertical inferior respectivamente. ( fig. 7 )

1010



- Proceder para el presente ejercicio, como en el precedente.- Proceder para el presente ejercicio, como en el precedente.

-- Al unir las proyecciones homónimas de las trazas observamos que laAl unir las proyecciones homónimas de las trazas observamos que la recta tiene un recorrido del segundo al cuarto cuadrante, pasando porrecta tiene un recorrido del segundo al cuarto cuadrante, pasando por el tercero, por lo que íntegramente será invisible .el tercero, por lo que íntegramente será invisible .

8.- Idem al anterior, sólo que presenta otra forma de solución. ( fig. 8 )8.- Idem al anterior, sólo que presenta otra forma de solución. ( fig. 8 )

9.- Representar la recta que tenga traza horizontal y vertical, en el horizontal9.- Representar la recta que tenga traza horizontal y vertical, en el horizontal anterior y vertical superior respectivamente. ( fig. 9 )anterior y vertical superior respectivamente. ( fig. 9 )

- Representamos la recta t’ - t , con las características señaladas, y- Representamos la recta t’ - t , con las características señaladas, y vemos que se trata de una recta que va del cuarto cuadrante, al segundo,vemos que se trata de una recta que va del cuarto cuadrante, al segundo, pasando por el primero. pasando por el primero.

-Todos los otros elementos característicos de toda recta, se deberán-Todos los otros elementos característicos de toda recta, se deberán encontrar tal como se ha hecho hasta ahora.encontrar tal como se ha hecho hasta ahora.

1111



10.- Determinar la recta contenida en el primer bisector a la que es paralela10.- Determinar la recta contenida en el primer bisector a la que es paralela la recta del ejercicio 1 ( fig. 10 )la recta del ejercicio 1 ( fig. 10 )

- Como primer paso, repetimos la representación de la recta r’ - r, del- Como primer paso, repetimos la representación de la recta r’ - r, del ejercicio 1.ejercicio 1.

- Toda recta que está ubicada en el primer bisector, tiene sus- Toda recta que está ubicada en el primer bisector, tiene sus proyecciones simétricas respecto de la línea de tierra.proyecciones simétricas respecto de la línea de tierra.

-- Como la recta mencionada en el ejercicio 1, no las tiene, no puedeComo la recta mencionada en el ejercicio 1, no las tiene, no puede haber en el primer bisector una recta que le sea paralela.haber en el primer bisector una recta que le sea paralela.

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11.- Determinar la recta paralela al segundo bise34ctor, que vaya del11.- Determinar la recta paralela al segundo bise34ctor, que vaya del cuarto cuadrante, al segundo (fig. 11)cuarto cuadrante, al segundo (fig. 11)

- - Toda recta paralela al segundo bisector, tiene como característica, elToda recta paralela al segundo bisector, tiene como característica, el que sus proyecciones son paralelas entre sí.que sus proyecciones son paralelas entre sí.

-- Es lo que pasa con la presente figura, en que Es lo que pasa con la presente figura, en que s’ – ss’ – s (proyecciones (proyecciones de S) son paralelas entre sí.de S) son paralelas entre sí.

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12.- Trazar la recta determinada por dos puntos, uno en el vertical inferior, y12.- Trazar la recta determinada por dos puntos, uno en el vertical inferior, y otro en el tercer cuadrante. Señalar trazas, cuadrantes, partes visibles yotro en el tercer cuadrante. Señalar trazas, cuadrantes, partes visibles y ocultas, e intersección con los bisectores. ( fig. 12 )ocultas, e intersección con los bisectores. ( fig. 12 )

- El punto en el vertical inferior será la traza vertical de la recta ( v’ - v ), y el- El punto en el vertical inferior será la traza vertical de la recta ( v’ - v ), y el que se encuentre en el tercer cuadrante, el a’ - a .que se encuentre en el tercer cuadrante, el a’ - a .

- Uniendo las proyecciones homónimas de estos dos puntos, tendremos las- Uniendo las proyecciones homónimas de estos dos puntos, tendremos las proyecciones de la recta T ( t’ - t )proyecciones de la recta T ( t’ - t )

- Por los procedimientos vistos hasta ahora, encontraremos lo solicitado en- Por los procedimientos vistos hasta ahora, encontraremos lo solicitado en el enunciado del el presente ejercicio.el enunciado del el presente ejercicio.

13.- Similar al anterior, hallar todos los elementos requeridos, en la recta13.- Similar al anterior, hallar todos los elementos requeridos, en la recta que tenga un punto en el primer cuadrante, y otro en el tercero. ( fig.que tenga un punto en el primer cuadrante, y otro en el tercero. ( fig. 13 )13 )

- El punto ubicado en el primer cuadrante, será el C ( c’ - c ), y el que esté- El punto ubicado en el primer cuadrante, será el C ( c’ - c ), y el que esté en el tercero, el D ( d’ - d ), con las proyecciones invertidas respecto del C.en el tercero, el D ( d’ - d ), con las proyecciones invertidas respecto del C.

- Uniendo homónimamente las proyecciones de C y D, encontraremos la- Uniendo homónimamente las proyecciones de C y D, encontraremos la recta R ( r’ - r ), que resultará yendo del primero al tercer cuadrante, por elrecta R ( r’ - r ), que resultará yendo del primero al tercer cuadrante, por el cuarto.cuarto.

- Lo demás se encontrará por los procedimientos ya sabidos.- Lo demás se encontrará por los procedimientos ya sabidos.

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14.- Determinado un punto en el segundo bisector, trazar una recta que lo14.- Determinado un punto en el segundo bisector, trazar una recta que lo contenga, señalando todos sus elementos. ( fig. 14 )contenga, señalando todos sus elementos. ( fig. 14 )

- El punto que estará en el segundo bisector, es el señalado con las- El punto que estará en el segundo bisector, es el señalado con las rectas b’rectas b’22 - b - b2 .2 .

- Pasando un par de rectas por el punto señalado en el segundo- Pasando un par de rectas por el punto señalado en el segundo bisector, tendremos las proyecciones de cualquier recta que pase porbisector, tendremos las proyecciones de cualquier recta que pase por él, ( la r’ - r ).él, ( la r’ - r ).

- Seguidamente nos pondremos a señalar todos los elementos- Seguidamente nos pondremos a señalar todos los elementos constitutivos de la recta, como ser trazas, cuadrantes, etc., de laconstitutivos de la recta, como ser trazas, cuadrantes, etc., de la manera como lo venimos haciendo hasta ahora.manera como lo venimos haciendo hasta ahora.

15.- Teniendo una recta determinada por un punto en el horizontal15.- Teniendo una recta determinada por un punto en el horizontal anterior y otro en el vertical superior, ubicar un tercer punto que seanterior y otro en el vertical superior, ubicar un tercer punto que se encuentre en la recta en el primer cuadrante.encuentre en la recta en el primer cuadrante.

- Los puntos indicados, no son otra cosa que las trazas de la recta, por- Los puntos indicados, no son otra cosa que las trazas de la recta, por lo que uniéndolos de forma homónima, tendremos sus proyecciones.lo que uniéndolos de forma homónima, tendremos sus proyecciones.

- Sobre estas proyecciones ubicamos un punto que tenga la proyección- Sobre estas proyecciones ubicamos un punto que tenga la proyección vertical arriba de la línea de tierra, y la horizontal por debajo de ella ( es elvertical arriba de la línea de tierra, y la horizontal por debajo de ella ( es el a’ - a ).a’ - a ).

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16.- Trazar una recta vertical, con traza horizontal en el horizontal16.- Trazar una recta vertical, con traza horizontal en el horizontal posterior ( fig. 16 ).posterior ( fig. 16 ).

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- Por ser esta recta, perpendicular al plano horizontal, tendrá su |- Por ser esta recta, perpendicular al plano horizontal, tendrá su |proyección vertical perpendicular a la línea de tierra, siendo laproyección vertical perpendicular a la línea de tierra, siendo la horizontal, un punto confundido con su traza horizontal.horizontal, un punto confundido con su traza horizontal.

- Como la traza horizontal en el enunciado la mencionan ubicada en el- Como la traza horizontal en el enunciado la mencionan ubicada en el plano horizontal posterior, la recta será invisible, por lo que en el dibujoplano horizontal posterior, la recta será invisible, por lo que en el dibujo señalado, aparece totalmente invisible, es decir segmentada.señalado, aparece totalmente invisible, es decir segmentada.

17.- Dibujar espacialmente, y en el depurado, una recta paralela a la línea17.- Dibujar espacialmente, y en el depurado, una recta paralela a la línea de tierra, cuya proyección horizontal esté más cerca a ella, que lode tierra, cuya proyección horizontal esté más cerca a ella, que lo que esté la proyección vertical a la misma. ( fig. 17 )que esté la proyección vertical a la misma. ( fig. 17 )

- Por las características del enunciado, se trata de una recta que tiene- Por las características del enunciado, se trata de una recta que tiene mayor cota que alejamiento, es decir que está más alejada delmayor cota que alejamiento, es decir que está más alejada del horizontal que del verticalhorizontal que del vertical..

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18.- Representar una recta de perfil contenida en el primer bisector,18.- Representar una recta de perfil contenida en el primer bisector, señalando su punto de intersección con la línea de tierra.señalando su punto de intersección con la línea de tierra.

- Por ser una recta de perfil, ambas proyecciones ( r’ - r ),- Por ser una recta de perfil, ambas proyecciones ( r’ - r ), estarán confundidas en una perpendicular a la línea de tierra.estarán confundidas en una perpendicular a la línea de tierra.

- Por estar la recta en el primer bisector, todos sus puntos deberán ser- Por estar la recta en el primer bisector, todos sus puntos deberán ser simétricos respecto de la línea de tierra, tal como el a’ - a.simétricos respecto de la línea de tierra, tal como el a’ - a.

- Su punto de intersección con la línea de tierra, será aquel en que las- Su punto de intersección con la línea de tierra, será aquel en que las proyecciones de la recta la atraviesen ( c’ - c )proyecciones de la recta la atraviesen ( c’ - c )

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19.- Representar una recta de punta, señalando su traza con el primer19.- Representar una recta de punta, señalando su traza con el primer bisector ( fig. 19 ).bisector ( fig. 19 ).

- Se trata de la recta s’ - s, que por ser de punta, es perpendicular al- Se trata de la recta s’ - s, que por ser de punta, es perpendicular al plano vertical, por lo que su proyección horizontal es una perpendicularplano vertical, por lo que su proyección horizontal es una perpendicular a la línea de tierra, y la vertical es un punto confundido con su trazaa la línea de tierra, y la vertical es un punto confundido con su traza vertical v’.vertical v’.

- Como la traza con el primer bisector es un punto equidistante de- Como la traza con el primer bisector es un punto equidistante de ambos planos de proyección, y por tanto de la línea de tierra, suambos planos de proyección, y por tanto de la línea de tierra, su proyección vertical también está confundida con la traza vertical de laproyección vertical también está confundida con la traza vertical de la recta, y la proyección horizontal de la traza con el primer bisector serárecta, y la proyección horizontal de la traza con el primer bisector será un punto equidistante de las proyecciones verticales confundidas en unun punto equidistante de las proyecciones verticales confundidas en un punto.punto.

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20.-20.- Dibujar una recta horizontal de cota 0 ( fig. 20 ).Dibujar una recta horizontal de cota 0 ( fig. 20 ).

- La recta horizontal es una paralela al plano horizontal.- La recta horizontal es una paralela al plano horizontal.

- Como la recta que se menciona tiene cota 0, es decir nula, ésta está- Como la recta que se menciona tiene cota 0, es decir nula, ésta está confundida con el plano horizontal, por lo que su proyección verticalconfundida con el plano horizontal, por lo que su proyección vertical estará confundida con la línea de tierra, tomando la proyección horizontalestará confundida con la línea de tierra, tomando la proyección horizontal cualquier dirección.cualquier dirección.

21.- En una recta que tenga su traza vertical, en el vertical superior, y la21.- En una recta que tenga su traza vertical, en el vertical superior, y la horizontal, en el horizontal anterior, señalar su punto que esté en elhorizontal, en el horizontal anterior, señalar su punto que esté en el segundo cuadrante y segundo bisector.segundo cuadrante y segundo bisector.

- El trazado de las proyecciones de la recta solicitada, por todo los visto- El trazado de las proyecciones de la recta solicitada, por todo los visto hasta ahora, no debe presentar ninguna dificultad.hasta ahora, no debe presentar ninguna dificultad.

- La traza de la recta con el segundo bisector, estará donde ambas- La traza de la recta con el segundo bisector, estará donde ambas proyecciones se corten, que como se ve en el dibujo está ubicado en elproyecciones se corten, que como se ve en el dibujo está ubicado en el segundo cuadrante.segundo cuadrante.

2020



2121



22)22) Dada una recta AB, de perfil, hallar sus trazas, su verdadera magnitudDada una recta AB, de perfil, hallar sus trazas, su verdadera magnitud y los cuadrantes que cruza. ( fig. 22 )y los cuadrantes que cruza. ( fig. 22 )

- Como la recta de perfil tiene ambas proyecciones confundidas en una- Como la recta de perfil tiene ambas proyecciones confundidas en una perpendicular a la línea de tierra, para definir a ésta, señalamos en ellaperpendicular a la línea de tierra, para definir a ésta, señalamos en ella los puntos A y B, con proyecciones a’ - a y b’ - b.los puntos A y B, con proyecciones a’ - a y b’ - b.

- Con centro en la intersección de la recta con la línea de tierra, trazamos- Con centro en la intersección de la recta con la línea de tierra, trazamos arcos en sentido antihorario, desde las proyecciones horizontales a y b dearcos en sentido antihorario, desde las proyecciones horizontales a y b de los puntos, hasta tocar a ésta, desde se trazan perpendiculares hastalos puntos, hasta tocar a ésta, desde se trazan perpendiculares hasta encontrar las paralelas a la línea de tierra trazadas desde a’ y b’. Enencontrar las paralelas a la línea de tierra trazadas desde a’ y b’. En ambas intersecciones tendremos los puntos A y B en verdedera magnitudambas intersecciones tendremos los puntos A y B en verdedera magnitud y ubicación en el primer ( B ) y cuarto cuadrante ( A ) .y ubicación en el primer ( B ) y cuarto cuadrante ( A ) .

- La unión de A y B, nos da la trayectoria de la recta, la misma que nos- La unión de A y B, nos da la trayectoria de la recta, la misma que nos muestra las trazas V y H de la recta con los planos de proyección.muestra las trazas V y H de la recta con los planos de proyección.

- V, estará confundida con v’, y H, con h- V, estará confundida con v’, y H, con h11, desde donde hacemos un, desde donde hacemos un nuevo giro y con el mismo centro, pero esta vez en sentido horario, hastanuevo giro y con el mismo centro, pero esta vez en sentido horario, hasta encontrar a la recta, en donde aparecerá la traza horizontal h de la rectaencontrar a la recta, en donde aparecerá la traza horizontal h de la recta de perfil.de perfil.

23)23) Lo mismo que en el ejercicio de la figura 22, con la figura 23.Lo mismo que en el ejercicio de la figura 22, con la figura 23.

- En este caso la ubicación de los puntos es distinta a las del ejercicio- En este caso la ubicación de los puntos es distinta a las del ejercicio anterior, pero los procedimientos para su realización, son los mismos, poranterior, pero los procedimientos para su realización, son los mismos, por lo que sería una reiteración inútil repetir lo dicho anteriormente.lo que sería una reiteración inútil repetir lo dicho anteriormente.

2222



2323



24)24) Dibujar una recta de perfil que tenga el punto A, en el segundo Dibujar una recta de perfil que tenga el punto A, en el segundo bisector, segundo cuadrante, y el B, en el vertical inferior. ( fig. bisector, segundo cuadrante, y el B, en el vertical inferior. ( fig. 24 )24 )

-- Procediéndose como en los dos casos anteriores, la recta seProcediéndose como en los dos casos anteriores, la recta se encuentra con los mismos pasos, pero como podrá notarse, ambosencuentra con los mismos pasos, pero como podrá notarse, ambos puntos señalados, son justamente las trazas de la recta con lospuntos señalados, son justamente las trazas de la recta con los planos de proyección.planos de proyección.

25)25) Trazar una recta de perfil AB, que corte a la recta CD, ( fig. 25 )Trazar una recta de perfil AB, que corte a la recta CD, ( fig. 25 )

- Como dos rectas se cortan donde ambas proyecciones lo hagan- Como dos rectas se cortan donde ambas proyecciones lo hagan sobre la misma perpendicular a la línea de tierra, éste será el e’ - e,sobre la misma perpendicular a la línea de tierra, éste será el e’ - e, señalado en la figura indicada.señalado en la figura indicada.

- Encontrando por la forma ya conocida la ubicación espacial de la- Encontrando por la forma ya conocida la ubicación espacial de la recta de perfil AB, llevamos a ésta las proyecciones del punto E,recta de perfil AB, llevamos a ésta las proyecciones del punto E, que es como dijimos antes el de intersección entre ambas rectas.que es como dijimos antes el de intersección entre ambas rectas.

2424



26.- Determinar las proyecciones de un triángulo formado por los puntos:26.- Determinar las proyecciones de un triángulo formado por los puntos:

A: Segundo cuadrante y segundo bisectorA: Segundo cuadrante y segundo bisector

B: Primer cuadranteB: Primer cuadrante

C: cuarto cuadranteC: cuarto cuadrante

- La unión de A con B, se muestra visible desde la traza vertical v’- La unión de A con B, se muestra visible desde la traza vertical v’ - v, hasta b’ - b.- v, hasta b’ - b.

- La unión de A con C, es totalmente invisible.- La unión de A con C, es totalmente invisible.

- La unión de B con C, se muestra visible desde B, hasta la traza - La unión de B con C, se muestra visible desde B, hasta la traza horizontal h’1 - h1.horizontal h’1 - h1.

2525



- El segmento del triángulo v’ - v, b’ - b, h’1 - h1, - El segmento del triángulo v’ - v, b’ - b, h’1 - h1, por tener sus proyecciones verticales arriba de la por tener sus proyecciones verticales arriba de la línea de tierra y las horizontales por debajo de la misma, es línea de tierra y las horizontales por debajo de la misma, es visible, por cumplir las características del primer visible, por cumplir las características del primer cuadrante. ( fig. 26 )cuadrante. ( fig. 26 )

27.- Determinar las proyecciones del triángulo formado por los puntos:27.- Determinar las proyecciones del triángulo formado por los puntos:

A: en línea de tierraA: en línea de tierra

B: Segundo cuadrante y segundo bisectorB: Segundo cuadrante y segundo bisector

C: Tercer cuadranteC: Tercer cuadrante

- La unión de A con B, es toda ella invisible.- La unión de A con B, es toda ella invisible.

- La unión de A con C, es también totalmente invisible.- La unión de A con C, es también totalmente invisible.

- La unión de B con C, es asimismo invisible.- La unión de B con C, es asimismo invisible.

2626



- Las tres rectas son invisibles, pues en ningún momento se - Las tres rectas son invisibles, pues en ningún momento se muestran en el primer cuadrante, ( proyecciones verticalesmuestran en el primer cuadrante, ( proyecciones verticales encima de la línea de tierra, y horizontales por debajo de ella ).encima de la línea de tierra, y horizontales por debajo de ella ).

28.- Determinar las proyecciones del triángulo formado por los puntos:28.- Determinar las proyecciones del triángulo formado por los puntos:

A: tercer cuadranteA: tercer cuadrante

B: Primer cuadranteB: Primer cuadrante

C: Segundo cuadrante ( fig. 28 )C: Segundo cuadrante ( fig. 28 )

- La unión de A con B, se muestra visible desde su traza - La unión de A con B, se muestra visible desde su traza

horizontal h’ - h, hasta b - b’.horizontal h’ - h, hasta b - b’.

- La unión de B con C, se muestra visible desde b’ - b, hasta su traza - La unión de B con C, se muestra visible desde b’ - b, hasta su traza

vertical v’1 - v1.vertical v’1 - v1.

- La unión de A con C, es completamente visible.- La unión de A con C, es completamente visible.

2727



- La razón de visibilidad, se debe a lo antes mencionado en los- La razón de visibilidad, se debe a lo antes mencionado en los

ejercicios previos al presente, es decir, tener sus proyecciones ejercicios previos al presente, es decir, tener sus proyecciones

verticales encima de la línea de tierra, y las horizontales por verticales encima de la línea de tierra, y las horizontales por

debajo, ( características del primer cuadrante). debajo, ( características del primer cuadrante).

29.- Mostrar las partes visibles y ocultas de un triángulo con sus puntos 29.- Mostrar las partes visibles y ocultas de un triángulo con sus puntos

en:en:

2828



A: Vertical superiorA: Vertical superior

B: Horizontal anteriorB: Horizontal anterior

C: Horizontal posteriorC: Horizontal posterior

- La recta AB es toda visible, pues une puntos que son visibles.- La recta AB es toda visible, pues une puntos que son visibles.

- La recta AC es totalmente invisible, por representar - La recta AC es totalmente invisible, por representar

una recta en el segundo cuadrante ( ambas una recta en el segundo cuadrante ( ambas

proyecciones sobre la línea de tierra ).proyecciones sobre la línea de tierra ).

- La recta BC, estando sobre el plano horizontal, será - La recta BC, estando sobre el plano horizontal, será

visible al atravesar el plano vertical, es decir en su visible al atravesar el plano vertical, es decir en su

traza vertical v’ - v. ( fig. 29 )traza vertical v’ - v. ( fig. 29 )

30.- Representar una recta que tenga un punto en el primer cuadrante, y 30.- Representar una recta que tenga un punto en el primer cuadrante, y otro en el tercero. ( fig. 30 )otro en el tercero. ( fig. 30 )

- Para que A esté en el primer cuadrante, dibujamos su proyección - Para que A esté en el primer cuadrante, dibujamos su proyección vertical sobre la línea de tierra, y por debajo la horizontal.vertical sobre la línea de tierra, y por debajo la horizontal.

- El B, que debe estar en el tercer cuadrante, tendrá sus proyecciones a la- El B, que debe estar en el tercer cuadrante, tendrá sus proyecciones a lainversa del anterior.inversa del anterior.

2929



- Uniendo las proyecciones homónimas de estos dos puntos, se tendrá la - Uniendo las proyecciones homónimas de estos dos puntos, se tendrá la recta requerida.recta requerida.

-- Por los procedimientos conocidos, se busca las dos trazas de la Por los procedimientos conocidos, se busca las dos trazas de la recta, v’ - v, y h’ - h.recta, v’ - v, y h’ - h.

31.- Representar una recta que tenga un punto en el segundo cuadrante, 31.- Representar una recta que tenga un punto en el segundo cuadrante, y otro en el cuarto. ( fig. 31 )y otro en el cuarto. ( fig. 31 )

Para que A esté en el segundo cuadrante, deberá tener Para que A esté en el segundo cuadrante, deberá tener ambas proyecciones sobre la línea de tierra, en tanto que el B, por tener ambas proyecciones sobre la línea de tierra, en tanto que el B, por tener que estar en el cuarto, las tendrá por debajo de ella.que estar en el cuarto, las tendrá por debajo de ella.

- Nuevamente uniendo proyecciones homónimas de los puntos, se - Nuevamente uniendo proyecciones homónimas de los puntos, se tendrá dibujada la recta solicitada.tendrá dibujada la recta solicitada.

- Por los procedimientos ya conocidos, se busca las dos trazas de la - Por los procedimientos ya conocidos, se busca las dos trazas de la recta, v’ - v y h’ - h.recta, v’ - v y h’ - h.

3030



32.- Representar una recta que tenga un punto en el primer 32.- Representar una recta que tenga un punto en el primer cuadrante, primer bisector, y otro en el cuarto cuadrante y cuadrante, primer bisector, y otro en el cuarto cuadrante y segundo bisector. ( fig. 32 )segundo bisector. ( fig. 32 )

- Para que un punto se encuentre en el primer bisector y primer- Para que un punto se encuentre en el primer bisector y primer cuadrante, deberá tener sus proyecciones simétricas respecto de lacuadrante, deberá tener sus proyecciones simétricas respecto de la línea de tierra, además de tener la vertical sobre la línea de tierra, y línea de tierra, además de tener la vertical sobre la línea de tierra, y la horizontal por debajo de ella, tal como se ve en el punto C.la horizontal por debajo de ella, tal como se ve en el punto C.

- El punto D, que debe estar en el segundo cuadrante y segundo - El punto D, que debe estar en el segundo cuadrante y segundo bisector, deberá tener ambas proyecciones por debajo de la línea de bisector, deberá tener ambas proyecciones por debajo de la línea de tierra, y confundidas en un solo punto.tierra, y confundidas en un solo punto.

- Para completar el ejercicio, encontramos la traza horizontal h - h’, no- Para completar el ejercicio, encontramos la traza horizontal h - h’, no así la vertical, puesto por la forma que tomaron las proyecciones, éstaasí la vertical, puesto por la forma que tomaron las proyecciones, ésta estará fuera del depuradoestará fuera del depurado..

3131



33.- Representar la recta que tenga un punto O en la línea de tierra, 33.- Representar la recta que tenga un punto O en la línea de tierra, y y

otro P, en el primer bisector y tercer cuadrante (fig. 33)otro P, en el primer bisector y tercer cuadrante (fig. 33)

- Las proyecciones de O, por estar éste en la línea de tierra,- Las proyecciones de O, por estar éste en la línea de tierra, estarán confundidas en ella.estarán confundidas en ella.

- Las de P, estarán una a cada lado de la línea de tierra, horizontal- Las de P, estarán una a cada lado de la línea de tierra, horizontal arriba, y vertical debajo de ella, por estar en el tercerarriba, y vertical debajo de ella, por estar en el tercer cuadrante, y además equidistantes respecto a la misma, por estarcuadrante, y además equidistantes respecto a la misma, por estar en el primer bisector.en el primer bisector.

- Por ser una recta que pasa por la línea de tierra, e ir del - Por ser una recta que pasa por la línea de tierra, e ir del primero al tercer cuadrante, tendrá visibles las primero al tercer cuadrante, tendrá visibles las proyecciones de acuerdo a las consideraciones de los proyecciones de acuerdo a las consideraciones de los ejercicios anteriores.ejercicios anteriores.

3232



34.- Dibujar la recta S, determinada por los puntos A en el 34.- Dibujar la recta S, determinada por los puntos A en el vertical inferior, y B en el horizontal anterior. ( fig. 34 )vertical inferior, y B en el horizontal anterior. ( fig. 34 )

- El punto A viene a estar confundido con la traza vertical de S, y- El punto A viene a estar confundido con la traza vertical de S, y el B, con su traza horizontal.el B, con su traza horizontal.

- La parte visible de la recta será la que está en el primer- La parte visible de la recta será la que está en el primer cuadrante, a partir de su traza horizontal.cuadrante, a partir de su traza horizontal.

3333



35.- Encontrar la intersección de dos rectas, una horizontal, y otra 35.- Encontrar la intersección de dos rectas, una horizontal, y otra de punta, ambas en el primer cuadrante. ( fig. 35 )de punta, ambas en el primer cuadrante. ( fig. 35 )

- R, por ser horizontal, tendrá r’, paralela a la línea de tierra,- R, por ser horizontal, tendrá r’, paralela a la línea de tierra, teniendo r, cualquier dirección.teniendo r, cualquier dirección.

- En S, por ser de punta, su proyección vertical s’ es un punto- En S, por ser de punta, su proyección vertical s’ es un punto confundido con su traza vertical, estando la horizontal s,confundido con su traza vertical, estando la horizontal s, perpendicular a la línea de tierra.perpendicular a la línea de tierra.

- Como deben cortarse, deben tener un punto común O. Este- Como deben cortarse, deben tener un punto común O. Este tendrá su proyección horizontal donde r y s se corten, y o’, sutendrá su proyección horizontal donde r y s se corten, y o’, su proyección vertical, donde lo hagan r’ y s’, que estará confundido con proyección vertical, donde lo hagan r’ y s’, que estará confundido con s’ y su traza vertical v’1.s’ y su traza vertical v’1.

3434



36.- Hallar la intersección de una recta horizontal R y una paralela 36.- Hallar la intersección de una recta horizontal R y una paralela a la línea de tierra. ( fig. 36 )a la línea de tierra. ( fig. 36 )

- Se traza primero una recta horizontal R con traza vertical v’ - v.- Se traza primero una recta horizontal R con traza vertical v’ - v.

- En la recta R, ubicar un punto O ( o`- o ).- En la recta R, ubicar un punto O ( o`- o ).

- Tanto por o’, como por o, se hacen pasar las proyecciones - Tanto por o’, como por o, se hacen pasar las proyecciones de S ( s’ - s ).de S ( s’ - s ).

- s’, coincidirá con r’, por ser también aquélla, paralela a la línea de - s’, coincidirá con r’, por ser también aquélla, paralela a la línea de tierra, y por o, la s.tierra, y por o, la s.

3535



37.- Indicar el punto de intersección entre la recta frontal S y 37.- Indicar el punto de intersección entre la recta frontal S y la vertical T.la vertical T.

3636



- Se dibuja primero la recta frontal S. ( fig. 37 )- Se dibuja primero la recta frontal S. ( fig. 37 )

- En ella se ubica un punto cualquiera O, por donde se cortarán - En ella se ubica un punto cualquiera O, por donde se cortarán lasa dos rectas.lasa dos rectas.

- Por o’, pasará t’, paralela a la línea de tierra, y por o, t, que- Por o’, pasará t’, paralela a la línea de tierra, y por o, t, que coincidirá con s.coincidirá con s.

38.- Encontrar la intersección de la horizontal R, y la vertical T. ( fig. 38.- Encontrar la intersección de la horizontal R, y la vertical T. ( fig. 38 )38 )

- Al dibujar la horizontal R, se señala en ella un punto O ( o’ - o ), que - Al dibujar la horizontal R, se señala en ella un punto O ( o’ - o ), que será común a ambas rectas.será común a ambas rectas.

-- Por o’, pasará t’ perpendicular a LT, y por o, t, que coincidirá Por o’, pasará t’ perpendicular a LT, y por o, t, que coincidirá con r.con r.

39.- Ubicar el punto de intersección entre la frontal S, y la T, paralela a 39.- Ubicar el punto de intersección entre la frontal S, y la T, paralela a la línea de tierra. ( fig. 39 )la línea de tierra. ( fig. 39 )

3737



- Dibujar primero la frontal S, indicando el punto O ( o’ - o ), que- Dibujar primero la frontal S, indicando el punto O ( o’ - o ), que será el común entre ambas rectas.será el común entre ambas rectas.

- Por las proyecciones de O ( o’ - o ), pasará T, t’ por o’, y t por - Por las proyecciones de O ( o’ - o ), pasará T, t’ por o’, y t por o, que por ser paralela a la línea de tierra, coincidirá con s.o, que por ser paralela a la línea de tierra, coincidirá con s.

40.- Hallar la intersección de la recta oblicua S, y la horizontal T. ( fig. 40.- Hallar la intersección de la recta oblicua S, y la horizontal T. ( fig. 40 )40 )

- Dibujar la oblicua S ( s’ - s ), con trazas v’ y h.- Dibujar la oblicua S ( s’ - s ), con trazas v’ y h.

- Por un punto O ( o’ - o ), que será común entre ambas rectas,- Por un punto O ( o’ - o ), que será común entre ambas rectas, pasar t’ por o’, paralela a la línea de tierra, por tratarse de unapasar t’ por o’, paralela a la línea de tierra, por tratarse de una recta horizontal, y t, por o, arrancando desde v1 en la línea derecta horizontal, y t, por o, arrancando desde v1 en la línea de tierra.tierra.

3838



41.- Encontrar la intersección entre T, paralela a la línea de tierra, y 41.- Encontrar la intersección entre T, paralela a la línea de tierra, y la oblicua R.la oblicua R.

Trazar la recta oblícua R ( r’ - r ), con trazas v’ y h.Trazar la recta oblícua R ( r’ - r ), con trazas v’ y h.

Por un punto O ( o’ - o ), común a ambas, trazar las proyecciones dePor un punto O ( o’ - o ), común a ambas, trazar las proyecciones de T, las mismas que serán paralelas a la línea de tierra, t’, por o’,T, las mismas que serán paralelas a la línea de tierra, t’, por o’, y t, por o. ( fig. 41 )y t, por o. ( fig. 41 )

42.- Indicar la intersección de la recta frontal T, y la oblicua R.42.- Indicar la intersección de la recta frontal T, y la oblicua R.

- Primeramente dibujamos la oblicua R, de trazas v’ y h,- Primeramente dibujamos la oblicua R, de trazas v’ y h,

- Señalando en ella las proyecciones del punto o’ - o, por ellas - Señalando en ella las proyecciones del punto o’ - o, por ellas hacemos pasar las proyecciones de la frontal F, f, por o, paralela a la hacemos pasar las proyecciones de la frontal F, f, por o, paralela a la línea de tierra, y por o’, f , a partir de h’1 en la línea de tierra. línea de tierra, y por o’, f , a partir de h’1 en la línea de tierra. ( fig. 42 )( fig. 42 )

3939



43.- Encontrar las trazas de la recta de perfil AB.43.- Encontrar las trazas de la recta de perfil AB.

-- Haciendo centro en v - h’, mediante arcos llevamos a LT losHaciendo centro en v - h’, mediante arcos llevamos a LT los puntos a y b, y por a’ - b’ , paralelas a LT, hasta encontrarsepuntos a y b, y por a’ - b’ , paralelas a LT, hasta encontrarse con aquéllos, ubicando los puntos A y B, que unidos entre sí , dancon aquéllos, ubicando los puntos A y B, que unidos entre sí , dan la recta AB.la recta AB.

4040



- Donde AB corte a la perpendicular - Donde AB corte a la perpendicular r’ r’ a la línea de tierra, a la línea de tierra, estará la traza vertical v’ de la recta.estará la traza vertical v’ de la recta.

- Asimismo donde AB corte a LT, estará H, que mediante un - Asimismo donde AB corte a LT, estará H, que mediante un arco, con el mismo centro anterior, se lo gira hasta ubicarlo enarco, con el mismo centro anterior, se lo gira hasta ubicarlo en h, que será la traza horizontal.h, que será la traza horizontal.

44.- Determinar un punto que se encuentre en una recta de perfil. ( fig. 44.- Determinar un punto que se encuentre en una recta de perfil. ( fig. 44 )44 )

- Tenemos una recta de perfil dada por sus proyecciones entre- Tenemos una recta de perfil dada por sus proyecciones entre las que estarán las del punto las que estarán las del punto CC, el mismo que después de, el mismo que después de realizar los correspondientes abatimientos, vemos que no pertenece realizar los correspondientes abatimientos, vemos que no pertenece a la recta.a la recta.

- A la inversa, conociendo las proyecciones de una - A la inversa, conociendo las proyecciones de una recta, y la proyección de uno de sus puntos, se puede recta, y la proyección de uno de sus puntos, se puede obtener la otra proyección. ( fig. 44 )obtener la otra proyección. ( fig. 44 )

4141



- Se procede como se sabe de acuerdo a los ejemplos anteriores: se- Se procede como se sabe de acuerdo a los ejemplos anteriores: se abate de forma antihoraria los puntos abate de forma antihoraria los puntos a a y y bb, obteniendo por, obteniendo por paralelismo, en proyección vertical, paralelismo, en proyección vertical, AA y y B B , los que unidos, los que unidos nos dan la recta. Se lleva a ella nos dan la recta. Se lleva a ella c’c’, obteniendo , obteniendo CC, y por el , y por el desabatimiento se halla la proyección horizontal desabatimiento se halla la proyección horizontal cc. .

45.- Hallar la intersección entre una recta S, paralela al primer bisector, y45.- Hallar la intersección entre una recta S, paralela al primer bisector, y la R, paralela a la línea de tierra. ( fig. 45 )la R, paralela a la línea de tierra. ( fig. 45 )

- La recta paralela al primer bisector tiene sus proyecciones- La recta paralela al primer bisector tiene sus proyecciones simétricas a LT, pero con sus trazas desfasadas, pues no pasa simétricas a LT, pero con sus trazas desfasadas, pues no pasa por ella, como la que está en el primer bisector.por ella, como la que está en el primer bisector.

- Ubicar un punto O, en dicha recta.- Ubicar un punto O, en dicha recta.

- Por las proyecciones o - o’, de la recta S, se pasará las proyecciones - Por las proyecciones o - o’, de la recta S, se pasará las proyecciones de R.de R.

4242



46.- Encontrar la intersección de una recta paralela al 46.- Encontrar la intersección de una recta paralela al segundo bisector, con otra paralela a la línea de tierra. ( fig. 46 )segundo bisector, con otra paralela a la línea de tierra. ( fig. 46 )

- La recta paralela al segundo bisector, tiene sus proyecciones - La recta paralela al segundo bisector, tiene sus proyecciones paralelas entre sí.paralelas entre sí.

- Sobre esta recta, ubicar un punto O.- Sobre esta recta, ubicar un punto O.

4343



- Por las proyecciones o - o’, pasar las proyecciones de S, - Por las proyecciones o - o’, pasar las proyecciones de S, que por ser paralela a la línea de tierra, serán paralelas a ésta.que por ser paralela a la línea de tierra, serán paralelas a ésta.

47.- Ubicar el punto de intersección de dos rectas que se cortan, 47.- Ubicar el punto de intersección de dos rectas que se cortan, una paralela al segundo bisector, y otra oblícua. ( fig. 47 )una paralela al segundo bisector, y otra oblícua. ( fig. 47 )

- Ubicar un punto O en la oblicua O.- Ubicar un punto O en la oblicua O.

- Por las proyecciones o - o’, pasaremos las homónimas de S,- Por las proyecciones o - o’, pasaremos las homónimas de S, paralelas entre sí, pues así son las proyecciones de toda rectaparalelas entre sí, pues así son las proyecciones de toda recta paralela al segundo bisector.paralela al segundo bisector.

4444



48.- Determinar las trazas de una recta de punta. ( fig. 48 )48.- Determinar las trazas de una recta de punta. ( fig. 48 )

- La recta de punta, por ser perpendicular al plano vertical,- La recta de punta, por ser perpendicular al plano vertical, tiene confundidas en un punto, todas sus proyeccionestiene confundidas en un punto, todas sus proyecciones verticales, como así también sus trazas, con los planos deverticales, como así también sus trazas, con los planos de proyección y con los bisectores.proyección y con los bisectores.

- La proyección horizontal, es una perpendicular a la línea de- La proyección horizontal, es una perpendicular a la línea de tierra en donde aparecerá la simétrica b1, de su traza con el primertierra en donde aparecerá la simétrica b1, de su traza con el primer bisector.bisector.

49.- ¿Cómo son las proyecciones de la recta vertical?. ( fig. 49 )49.- ¿Cómo son las proyecciones de la recta vertical?. ( fig. 49 )

- Esta recta es perpendicular al plano horizontal, por tanto es en este- Esta recta es perpendicular al plano horizontal, por tanto es en este plano en donde aparecerán las proyecciones de todas susplano en donde aparecerán las proyecciones de todas sus trazas, y de las proyecciones horizontales de los puntos quetrazas, y de las proyecciones horizontales de los puntos que contenga.contenga.

- La proyección vertical es una perpendicular a la línea de tierra, en- La proyección vertical es una perpendicular a la línea de tierra, en donde aparecerá la simétrica de la proyección de la traza con eldonde aparecerá la simétrica de la proyección de la traza con el primer bisector.primer bisector.

4545



50.- En una recta con traza vertical, en el vertical superior, y50.- En una recta con traza vertical, en el vertical superior, y horizontal, en el horizontal anterior, señalar un punto en elhorizontal, en el horizontal anterior, señalar un punto en el segundo cuadrante , y otro en el cuarto. ( fig. 50 )segundo cuadrante , y otro en el cuarto. ( fig. 50 )

- Como las trazas mencionadas, son puntos que están- Como las trazas mencionadas, son puntos que están sobre los mencionados planos, dibujamos la traza vertical v’- v,sobre los mencionados planos, dibujamos la traza vertical v’- v, con v’ sobre la línea de tierra, y v, en dicha línea, y la horizontal h’con v’ sobre la línea de tierra, y v, en dicha línea, y la horizontal h’ h, con h por debajo de la línea de tierra, y h’, en LT.h, con h por debajo de la línea de tierra, y h’, en LT.

- La unión de las proyecciones homónimas de las trazas mencionadas,- La unión de las proyecciones homónimas de las trazas mencionadas, nos dará las proyecciones tanto vertical, como horizontal de lanos dará las proyecciones tanto vertical, como horizontal de la recta T pedida.recta T pedida.

- Las proyecciones del punto A ( a’ - a ), estarán sobre la línea de- Las proyecciones del punto A ( a’ - a ), estarán sobre la línea de tierra ( condiciones de ubicación en el segundo cuadrante ) y las de B (tierra ( condiciones de ubicación en el segundo cuadrante ) y las de B ( b’ - b ), en el cuarto ( ambas proyecciones por debajo de la misma ).b’ - b ), en el cuarto ( ambas proyecciones por debajo de la misma ).

4646



51.- En una recta con traza vertical, en el vertical superior, y51.- En una recta con traza vertical, en el vertical superior, y horizontal, en el horizontal anterior, señalar el punto que sehorizontal, en el horizontal anterior, señalar el punto que se encuentre en el segundo bisector y segundo cuadrante. ( fig. 51 )encuentre en el segundo bisector y segundo cuadrante. ( fig. 51 )

- Como en el ejercicio anterior, ubicamos las trazas correspondientes,- Como en el ejercicio anterior, ubicamos las trazas correspondientes, que nos determinarán las proyecciones de la recta R.que nos determinarán las proyecciones de la recta R.

4747



- En las prolongaciones de ambas proyecciones, veremos- En las prolongaciones de ambas proyecciones, veremos el punto solicitado, donde las mismas se corten ( el b2 -el punto solicitado, donde las mismas se corten ( el b2 - b’2 ).b’2 ).

52.- En una recta con traza vertical, en el vertical inferior, y52.- En una recta con traza vertical, en el vertical inferior, y horizontal, en el horizontal posterior, señalar un punto en el tercerhorizontal, en el horizontal posterior, señalar un punto en el tercer cuadrante ycuadrante y primer bisector.primer bisector.

- Esta recta tiene ambas trazas invisibles, por ello, la vertical v’- Esta recta tiene ambas trazas invisibles, por ello, la vertical v’ - v, se ubica como punto con v’, por debajo de línea de tierra,- v, se ubica como punto con v’, por debajo de línea de tierra, y v, en ella, en tanto que la horizontal, tendrá la h’ en línea dey v, en ella, en tanto que la horizontal, tendrá la h’ en línea de tierra, y h, por encima de ella.tierra, y h, por encima de ella.

4848



- Como un punto que tenga ubicación en el primer bisector tiene- Como un punto que tenga ubicación en el primer bisector tiene sus proyecciones simétricas respecto de la línea de tierra, a partirsus proyecciones simétricas respecto de la línea de tierra, a partir de una de sus trazas, ( en este caso la horizontal h ), ubicamosde una de sus trazas, ( en este caso la horizontal h ), ubicamos su simétrica hsu simétrica hss, que unido con v, de la línea de tierra, cortará a la, que unido con v, de la línea de tierra, cortará a la proyección vertical r’ de la recta el punto x’, que llevado porproyección vertical r’ de la recta el punto x’, que llevado por perpendicularidad a la otra proyección, en x, dará la ubicación delperpendicularidad a la otra proyección, en x, dará la ubicación del punto pedido. ( fig. 52 )punto pedido. ( fig. 52 )

53.- En una recta horizontal, encontrar su traza con el segundo bisector.53.- En una recta horizontal, encontrar su traza con el segundo bisector. ( fig. 53 )( fig. 53 )

- Primeramente dibujamos las proyecciones de la horizontal T,- Primeramente dibujamos las proyecciones de la horizontal T, trazando la proyección vertical t’, paralela a la línea de tierra, entrazando la proyección vertical t’, paralela a la línea de tierra, en cambio que a la horizontal t, le daremos dirección arbitraria.cambio que a la horizontal t, le daremos dirección arbitraria.

- Por los métodos sabidos, se ubica la traza vertical de esta recta.- Por los métodos sabidos, se ubica la traza vertical de esta recta.

4949



- Como un punto que esté en el segundo bisector tiene sus- Como un punto que esté en el segundo bisector tiene sus proyecciones confundidas, en el presente caso, el mismo estaráproyecciones confundidas, en el presente caso, el mismo estará donde las proyecciones t y t’ se corten ( b2 - b’2 ), sobre la líneadonde las proyecciones t y t’ se corten ( b2 - b’2 ), sobre la línea de tierra, que es la ubicación del segundo cuadrante.de tierra, que es la ubicación del segundo cuadrante.

54.- Indicar las rectas que pueden estar contenidas en un plano54.- Indicar las rectas que pueden estar contenidas en un plano horizontal. ( fig. 54 )horizontal. ( fig. 54 )

- Son sólo tres:- Son sólo tres: la horizontal r - r’la horizontal r - r’

la paralela a la línea de tierra, s - s’ la paralela a la línea de tierra, s - s’

la recta de punta t - t’. la recta de punta t - t’.

- Todas ellas tienen sus proyecciones verticales y trazas del mismo- Todas ellas tienen sus proyecciones verticales y trazas del mismo

nombre sobre la traza H’ del plano horizontal.nombre sobre la traza H’ del plano horizontal.

55.- Señalar las rectas que pueden estar contenidas en un plano frontal.55.- Señalar las rectas que pueden estar contenidas en un plano frontal. ( fig. 55)( fig. 55)

5050



- Son sólo tres:- Son sólo tres: la frontal r’ - rla frontal r’ - r

la paralela a la línea de tierra, s - s’la paralela a la línea de tierra, s - s’

la recta vertical t’ - t. la recta vertical t’ - t.

- Todas ellas tienen sus proyecciones horizontales y trazas del- Todas ellas tienen sus proyecciones horizontales y trazas del mismo nombre sobre la traza F del plano frontal.mismo nombre sobre la traza F del plano frontal.

56.- Dibujar la recta S que tenga un punto F en el primer cuadrante y otro56.- Dibujar la recta S que tenga un punto F en el primer cuadrante y otro

E, en el segundo cuadrante y segundo bisector. ( fig. 56 )E, en el segundo cuadrante y segundo bisector. ( fig. 56 )

- Representar las proyecciones tanto del punto F como del E, de- Representar las proyecciones tanto del punto F como del E, de acuerdo a lo solicitado.acuerdo a lo solicitado.

- Uniendo las proyecciones semejantes, se tendrán las de la- Uniendo las proyecciones semejantes, se tendrán las de la recta, mostrándose que ambas se cortan justamente en el puntorecta, mostrándose que ambas se cortan justamente en el punto E que será su traza con el segundo bisector y estará en el segundoE que será su traza con el segundo bisector y estará en el segundo cuadrante.cuadrante.

5151



57.- Determinar un plano por una recta horizontal y otra frontal. ( fig. 57 )57.- Determinar un plano por una recta horizontal y otra frontal. ( fig. 57 )

- Tanto la recta horizontal como la frontal, al pertenecer al plano,- Tanto la recta horizontal como la frontal, al pertenecer al plano, tendrán sus trazas sobre las respectivas del plano.tendrán sus trazas sobre las respectivas del plano.

- La traza horizontal del plano tendrá a la proyección horizontal- La traza horizontal del plano tendrá a la proyección horizontal de R ( la r ), paralela a ella.de R ( la r ), paralela a ella.

- Lo mismo sucederá con la traza vertical del plano, con la- Lo mismo sucederá con la traza vertical del plano, con la proyección vertical de F, ( la f’ ).proyección vertical de F, ( la f’ ).

5252



58.- Encontrar las trazasa de un plano, determinado por tres puntos no58.- Encontrar las trazasa de un plano, determinado por tres puntos no colineadoscolineados..

- De acuerdo a lo mostrado en la figura 58, tenemos el caso de tres puntos: - De acuerdo a lo mostrado en la figura 58, tenemos el caso de tres puntos: AA,, en en el primer cuadrante, el primer cuadrante, B,B, en el segundo, y en el segundo, y CC, en el tercero., en el tercero.

- Para determinar el plano - Para determinar el plano que forman estos tres puntos, primero que forman estos tres puntos, primero unimos dos de ellos, ( unimos dos de ellos, ( A A yy B B ), determinando las trazas de la recta), determinando las trazas de la recta formada, en formada, en h - h’ h - h’ y y v - v’ v - v’. Seguidamente hacemos lo mismo con. Seguidamente hacemos lo mismo con A A yy C, C, determinando otra recta, cuyas trazas serán determinando otra recta, cuyas trazas serán h1-h’1 h1-h’1 y y v1-v’1v1-v’1.. La unión de las trazas homónimas, de las rectas, La unión de las trazas homónimas, de las rectas, h y h1 h y h1 por un por un lado ( lado ( ) y ) y v’ - v’1 v’ - v’1 ( ( ‘‘ ) por otro, con lo que queda ) por otro, con lo que queda determinado el plano buscado.determinado el plano buscado.

5353



59.- Determinar las trazas de un plano por una recta, y un punto exterior59.- Determinar las trazas de un plano por una recta, y un punto exterior a ella (fig. 59 )a ella (fig. 59 )

- El presente caso lo encontramos desarrollado en el ejercicio de la- El presente caso lo encontramos desarrollado en el ejercicio de la figura 59, en donde tenemos la recta figura 59, en donde tenemos la recta RR, ( , ( r - r’ r - r’ ) cuyas) cuyas trazas son justamente trazas son justamente v - v’ v - v’ y y h - h’h - h’. .

- Desde un punto exterior a ella, el - Desde un punto exterior a ella, el b - b’b - b’, unimos con otro de la, unimos con otro de la recta recta RR, ( el a’ - a ) determinando otra cuyas trazas son , ( el a’ - a ) determinando otra cuyas trazas son v v11 - v’ - v’11 yy hh11 - h’ - h’11; la unión de las trazas homónimas de las rectas, nos dará la; la unión de las trazas homónimas de las rectas, nos dará la determinación de las trazas del plano determinación de las trazas del plano ..

5454



60.- Determinar las trazas de un plano por dos rectas paralelas ( fig. 60 )60.- Determinar las trazas de un plano por dos rectas paralelas ( fig. 60 )

- En la figura 60, tenemos el caso de dos rectas paralelas entre sí, la- En la figura 60, tenemos el caso de dos rectas paralelas entre sí, la R R y la y la SS, cuyas proyecciones homónimas también lo serán, esto, cuyas proyecciones homónimas también lo serán, esto es la es la r r con la con la r’ r’ y la y la s s con la con la ss’. ’.

- Las trazas de la recta - Las trazas de la recta RR son son v’ v’ y y h h, y las de la , y las de la SS, las , las v’1v’1 y y h1h1. .

- Como en los casos anteriores, las trazas del plano resultante, se- Como en los casos anteriores, las trazas del plano resultante, se obtienen con la unión de las trazas homónimas de las rectas; es decir,obtienen con la unión de las trazas homónimas de las rectas; es decir, v’ v’ yy v’1 v’1 determinan determinan ’’, y , y h h y y h1 h1, , ..

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61.- Determinar las trazas de un plano por dos rectas que se cortan ( fig.61.- Determinar las trazas de un plano por dos rectas que se cortan ( fig. 61 )61 )

- Es el caso presentado en la figura 61, en donde tenemos dos rectas,- Es el caso presentado en la figura 61, en donde tenemos dos rectas, R R y y S S, ( , ( r - r’ r - r’ y y s - s’ s - s’ ), las mismas que se cortan en el punto), las mismas que se cortan en el punto AA, ( , ( a - a’ a - a’ ) .) .

- Como en los tres casos anteriores, el problema se reduce a encontrar- Como en los tres casos anteriores, el problema se reduce a encontrar las respectivas trazas de de las rectas: las respectivas trazas de de las rectas: v v yy h h, de , de RR, y , y v’1 v’1 yy h1h1, de , de SS, y en la posterior unión de sus trazas homónimas. , y en la posterior unión de sus trazas homónimas. ’’ será la unión de será la unión de v’ v’ yy v’1 v’1, y , y , de , de h h y y h1 h1..

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62.- Dada una recta horizontal, determinar el plano que la contenga.62.- Dada una recta horizontal, determinar el plano que la contenga.

( fig. 62 )( fig. 62 )

- Trazar en primer lugar la horizontal S, con su traza vertical v’- Trazar en primer lugar la horizontal S, con su traza vertical v’

- Como las rectas horizontales del plano tienen sus proyecciones- Como las rectas horizontales del plano tienen sus proyecciones horizontales paralelas a la traza horizontal del plano, nos damos unahorizontales paralelas a la traza horizontal del plano, nos damos una traza horizontal traza horizontal , paralela a la proyección horizontal s de la recta., paralela a la proyección horizontal s de la recta.

- En la intersección de la traza horizontal del plano con la línea de- En la intersección de la traza horizontal del plano con la línea de tierra, dirigimos el trazado de tierra, dirigimos el trazado de ´ ´ hacia v’, traza vertical de la rectahacia v’, traza vertical de la recta horizontal.horizontal.

5757



63.- Dada una recta frontal, determinar el plano que la contenga. ( fig. 63 )63.- Dada una recta frontal, determinar el plano que la contenga. ( fig. 63 )

- Es un caso similar al anterior, con la diferencia que se tomará como- Es un caso similar al anterior, con la diferencia que se tomará como vertical, lo que en aquélla se nombra como horizontal, y viceversa.vertical, lo que en aquélla se nombra como horizontal, y viceversa.

64.- Representar una recta de punta contenida en un plano cualquiera.64.- Representar una recta de punta contenida en un plano cualquiera. (fig. 64 )(fig. 64 )

- Nos trazamos primeramente un plano - Nos trazamos primeramente un plano ’ - ’ - . .

- Como la recta de punta debe pertenecer al plano, por un lado, y tener- Como la recta de punta debe pertenecer al plano, por un lado, y tener por lo tanto su traza vertical en la misma del plano, y su proyecciónpor lo tanto su traza vertical en la misma del plano, y su proyección horizontal, perpendicular a la línea de tierra, en cualquier punto de lahorizontal, perpendicular a la línea de tierra, en cualquier punto de la traza vertical del plano, señalamos un punto que será la trazatraza vertical del plano, señalamos un punto que será la traza vertical de la recta de punta, y por otro, desde él, referimos a lavertical de la recta de punta, y por otro, desde él, referimos a la línea de tierra, desde donde trazaremos una perpendicular a ella,línea de tierra, desde donde trazaremos una perpendicular a ella, que será la proyección horizontal de la recta pedida.que será la proyección horizontal de la recta pedida.

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65.- Representar una recta vertical contenida en un plano cualquiera.65.- Representar una recta vertical contenida en un plano cualquiera. ( fig. 65 )( fig. 65 )

- Como la recta vertical debe pertenecer al plano, por un lado, y- Como la recta vertical debe pertenecer al plano, por un lado, y tener por lo tanto su traza horizontal en la misma, y sutener por lo tanto su traza horizontal en la misma, y su proyección vertical perpendicular a la línea de tierra, en cualquierproyección vertical perpendicular a la línea de tierra, en cualquier punto de la traza horizontal del plano, señalamos un punto que serápunto de la traza horizontal del plano, señalamos un punto que será la traza horizontal de la recta vertical, y por otro, desde él,la traza horizontal de la recta vertical, y por otro, desde él, referimos a la línea de tierra, desde donde trazaremos unareferimos a la línea de tierra, desde donde trazaremos una perpendicular a ella, que será la proyección vertical de la recta pedida.perpendicular a ella, que será la proyección vertical de la recta pedida.

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66.- Representar una recta de punta, contenida en un plano horizontal. 66.- Representar una recta de punta, contenida en un plano horizontal. ( fig. 66 )( fig. 66 )

- Representamos en primer lugar un plano horizontal, el H’.- Representamos en primer lugar un plano horizontal, el H’.

- Para que la recta de punta pertenezca al plano antes mencionado,- Para que la recta de punta pertenezca al plano antes mencionado, debe tener su traza vertical, sobre la traza vertical del mismodebe tener su traza vertical, sobre la traza vertical del mismo ( H’ ), la misma que se muestra en v’, y v en la línea de tierra.( H’ ), la misma que se muestra en v’, y v en la línea de tierra.

- Como la recta debe ser de punta, desde la proyección horizontal- Como la recta debe ser de punta, desde la proyección horizontal v de la traza vertical de la recta, trazaremos una perpendicular a lav de la traza vertical de la recta, trazaremos una perpendicular a la línea de tierra, que será la proyección horizontal de la recta pedida.línea de tierra, que será la proyección horizontal de la recta pedida.

67.- Representar una recta vertical, contenida en un plano frontal.67.- Representar una recta vertical, contenida en un plano frontal. ( fig. 67 )( fig. 67 )

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- Se traza primeramente el plano frontal F.- Se traza primeramente el plano frontal F.

- Para que la recta vertical pertenezca al plano antes mencionado,- Para que la recta vertical pertenezca al plano antes mencionado, debe tener su traza horizontal, sobre la traza horizontal deldebe tener su traza horizontal, sobre la traza horizontal del mismo ( F ), la misma que se muestra en h, y h’ en la línea demismo ( F ), la misma que se muestra en h, y h’ en la línea de tierra.tierra.

- Como la recta debe ser vertical, desde la proyección vertical h’- Como la recta debe ser vertical, desde la proyección vertical h’ de la traza horizontal de la recta, trazaremos una perpendicularde la traza horizontal de la recta, trazaremos una perpendicular a la línea de tierra, que será la proyección vertical de la recta pedida.a la línea de tierra, que será la proyección vertical de la recta pedida.

68.- Intersección de una recta oblicua, con un plano paralelo a la línea68.- Intersección de una recta oblicua, con un plano paralelo a la línea de tierra. ( fig. 68 )de tierra. ( fig. 68 )

- Nos trazamos primeramente el plano - Nos trazamos primeramente el plano - - ’’, y la recta oblicua, y la recta oblicua S, con trazas v - v’, y h - h’.S, con trazas v - v’, y h - h’.

- Todo trabajo de intersección de recta y plano debe resolverse- Todo trabajo de intersección de recta y plano debe resolverse con la utilización de un plano proyectante que pase por la recta,con la utilización de un plano proyectante que pase por la recta, que en el presente caso se trata de uno vertical.que en el presente caso se trata de uno vertical.

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- Se hace coincidir la traza - Se hace coincidir la traza ’ ’ del plano, con la proyección vertical s’del plano, con la proyección vertical s’ de la recta, y de la recta, y , traza horizontal del plano proyectante,, traza horizontal del plano proyectante, perpendicular a la línea de tierra, desde donde perpendicular a la línea de tierra, desde donde ’’, la corte., la corte.

- Se encuentra la intersección de ambos planos, la misma que se- Se encuentra la intersección de ambos planos, la misma que se ve en la recta I, ( i - i’ ).ve en la recta I, ( i - i’ ).

- Como el plano proyectante es uno vertical, la determinación- Como el plano proyectante es uno vertical, la determinación de la solución será vista en la proyección horizontal ( donde y cortede la solución será vista en la proyección horizontal ( donde y corte a s ), en el punto O ( o - o’ ).a s ), en el punto O ( o - o’ ).

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69.- Encontrar la intersección de una recta con un plano dado por dos69.- Encontrar la intersección de una recta con un plano dado por dos rectas que se cortan. ( fig. 69 )rectas que se cortan. ( fig. 69 )

- Sea la recta T, que debe cortarse con el plano dado por las recta- Sea la recta T, que debe cortarse con el plano dado por las recta R y S que se cortan en el punto O ( o’ - o ).R y S que se cortan en el punto O ( o’ - o ).

- Nos trazamos un plano proyectante horizontal - Nos trazamos un plano proyectante horizontal - - ’.’.

- La traza horizontal del plano proyectante, corta a la recta R, en el- La traza horizontal del plano proyectante, corta a la recta R, en el punto Y ( y - y’ ), en tanto que a la S lo hace en el O ( o’ - o ).punto Y ( y - y’ ), en tanto que a la S lo hace en el O ( o’ - o ).

- La unión de Y con O, corta en proyección horizontal a la recta- La unión de Y con O, corta en proyección horizontal a la recta T en el punto Z ( z’—z ), que es el punto buscado.T en el punto Z ( z’—z ), que es el punto buscado.

- Primero se determinará la proyección horizontal del- Primero se determinará la proyección horizontal del punto Z, en z, sobre t, y luego porpunto Z, en z, sobre t, y luego por perpendicularidad, se hallará sobre t’ la proyección verticalperpendicularidad, se hallará sobre t’ la proyección vertical z’.z’.

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70.- Representar una recta paralela a un plano proyectante vertical.70.- Representar una recta paralela a un plano proyectante vertical. (fig. 70 )(fig. 70 )

- Se traza un plano proyectante vertical cualquiera, el - Se traza un plano proyectante vertical cualquiera, el ,, con traza con traza ’’ - - ..

- Como no hay relación directa de paralelismo entre recta y plano,- Como no hay relación directa de paralelismo entre recta y plano, sino a través de una recta del plano, nos trazamos en éste, la rectasino a través de una recta del plano, nos trazamos en éste, la recta R ( r’ - r ).R ( r’ - r ).

- Por un punto cualquiera O ( o’ - o), del espacio, nos trazamos la- Por un punto cualquiera O ( o’ - o), del espacio, nos trazamos la recta T ( t’ - t ), paralela a la R del plano, haciendo que t’, sea paralelarecta T ( t’ - t ), paralela a la R del plano, haciendo que t’, sea paralela a r’, y t, a r, obteniendo de esta forma la recta pedida.a r’, y t, a r, obteniendo de esta forma la recta pedida.

71.- Representar una recta paralela a un plano proyectante horizontal.71.- Representar una recta paralela a un plano proyectante horizontal. ( fig. 71 )( fig. 71 )

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- Se traza un plano proyectante horizontal cualquiera, el - Se traza un plano proyectante horizontal cualquiera, el , , concon trazas trazas ´ - ´ - ..

- Como no hay relación directa de paralelismo entre recta y plano,- Como no hay relación directa de paralelismo entre recta y plano, sino a través de una recta del plano, nos trazamos en éste la recta Ssino a través de una recta del plano, nos trazamos en éste la recta S ( s - s’ ).( s - s’ ).

- Por un punto cualquiera B ( b - b’ ), del espacio, nos trazamos la- Por un punto cualquiera B ( b - b’ ), del espacio, nos trazamos la recta R ( r - r’ ), paralela a la S del plano, haciendo que r’, sea paralelarecta R ( r - r’ ), paralela a la S del plano, haciendo que r’, sea paralela a s’, y r , a s, obteniendo de esta forma la recta pedida.a s’, y r , a s, obteniendo de esta forma la recta pedida.

72.- Representar una recta perpendicular a otra cualquiera. ( fig. 72 )72.- Representar una recta perpendicular a otra cualquiera. ( fig. 72 )

- Como la relación de perpendicularidad entre plano y recta, es- Como la relación de perpendicularidad entre plano y recta, es directa, a una recta S ( s - s’ ), le trazamos un plano perpendicular,directa, a una recta S ( s - s’ ), le trazamos un plano perpendicular,

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haciendo que la traza vertical del plano ( haciendo que la traza vertical del plano ( ’ ), sea perpendicular a s’,’ ), sea perpendicular a s’, y la horizontal ( y la horizontal ( ), a s. ), a s.

- Cualquier recta del plano, como la v - h, v’ - h’, será- Cualquier recta del plano, como la v - h, v’ - h’, será perpendicular a la S.perpendicular a la S.

73.- Abatir una recta frontal del plano. (fig. 73 )73.- Abatir una recta frontal del plano. (fig. 73 )

- Al darnos las trazas - Al darnos las trazas - - ’’ de un plano, representamos una recta de un plano, representamos una recta frontal f - f’ del mismo.frontal f - f’ del mismo.

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- En primer lugar, abatimos al plano, utilizando la traza horizontal- En primer lugar, abatimos al plano, utilizando la traza horizontal como charnela, sirviéndonos de una traza vertical v’1 - v1como charnela, sirviéndonos de una traza vertical v’1 - v1 de una recta cualquiera del plano. Esta operación se lade una recta cualquiera del plano. Esta operación se la hace, trazando una perpendicular a la charnela, a partir de lahace, trazando una perpendicular a la charnela, a partir de la proyección horizontal v1 de la traza vertical de la recta, desdeproyección horizontal v1 de la traza vertical de la recta, desde donde se traza una perpendicular a la charnela. Haciendo undonde se traza una perpendicular a la charnela. Haciendo un arco con centro en la intersección en línea de tierra de las dosarco con centro en la intersección en línea de tierra de las dos trazas del plano, y cortando a la perpendicular antestrazas del plano, y cortando a la perpendicular antes mencionada, ubicaremos el punto V1, que es por donde pasarámencionada, ubicaremos el punto V1, que es por donde pasará la traza vertical abatida del plano.la traza vertical abatida del plano.

- Así como la proyección vertical de la recta frontal es paralela- Así como la proyección vertical de la recta frontal es paralela a la traza vertical del plano al que pertenece, esta misma rectaa la traza vertical del plano al que pertenece, esta misma recta una vez abatida con su plano, tomará la dirección deuna vez abatida con su plano, tomará la dirección de paralelismo respecto de la traza vertical abatida, a partir de laparalelismo respecto de la traza vertical abatida, a partir de la traza horizontal h, de la recta.traza horizontal h, de la recta.

74.- Abatir una recta horizontal del plano. (fig. 74 )74.- Abatir una recta horizontal del plano. (fig. 74 )

- Al representar un plano, el - Al representar un plano, el - - ’ ’ , nos damos una recta, nos damos una recta horizontal t’ - t, con traza vertical v - v’.horizontal t’ - t, con traza vertical v - v’.

- Para abatir el plano, nos damos una perpendicular a la charnela - Para abatir el plano, nos damos una perpendicular a la charnela ,, desde v, proyección horizontal de la traza vertical de la rectadesde v, proyección horizontal de la traza vertical de la recta horizontal.horizontal.

- Con centro en la intersección de las trazas del plano sobre la- Con centro en la intersección de las trazas del plano sobre la línea de tierra, se hace un giro con radio de extremo v’,línea de tierra, se hace un giro con radio de extremo v’, hasta cortar a la perpendicular antes mencionada, obteniendo elhasta cortar a la perpendicular antes mencionada, obteniendo el punto V, que es por donde pasará la traza abatida del plano punto V, que es por donde pasará la traza abatida del plano ..

-- Como se trata de una recta horizontal, que nunca podrá cortarComo se trata de una recta horizontal, que nunca podrá cortar al plano horizontal, la recta abatida tampoco cortará a la charnela,al plano horizontal, la recta abatida tampoco cortará a la charnela, por lo que desde la traza vertical abatida de la recta, se trazarápor lo que desde la traza vertical abatida de la recta, se trazará una paralela a la charnela que será en definitiva la recta horizontaluna paralela a la charnela que será en definitiva la recta horizontal abatida.abatida.

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75.- Trazar un plano perpendicular a otro. ( fig. 75 )75.- Trazar un plano perpendicular a otro. ( fig. 75 )

- Se trata de construír un plano - Se trata de construír un plano - - ’’, perpendicular a uno dado, , perpendicular a uno dado, - - ’.’.

- La relación de perpendicularidad entre planos se da a través de una- La relación de perpendicularidad entre planos se da a través de una recta de uno de ellos. Por esa razón, nos damos una recta en elrecta de uno de ellos. Por esa razón, nos damos una recta en el plano plano - - ’’, la v’ - h., la v’ - h.

- Se dibuja ahora trazas homónimas a las proyecciones de la- Se dibuja ahora trazas homónimas a las proyecciones de la recta, tratándose de las de recta, tratándose de las de - - ’.’.

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76.- Por cambio de plano, convertir una recta horizontal, en de punta.76.- Por cambio de plano, convertir una recta horizontal, en de punta. ( fig. 76 )( fig. 76 )

- Se trata de la recta horizontal t - t’, que debe convertirse en de punta.- Se trata de la recta horizontal t - t’, que debe convertirse en de punta.

- La recta de punta tiene su proyección horizontal perpendicular a la- La recta de punta tiene su proyección horizontal perpendicular a la línea de tierra, y la vertical confundida en un punto con todos laslínea de tierra, y la vertical confundida en un punto con todos las proyecciones verticales de los elementos de esta recta, por lo queproyecciones verticales de los elementos de esta recta, por lo que mediante un cambio de plano vertical, colocamos la nuevamediante un cambio de plano vertical, colocamos la nueva línea de tierra L’línea de tierra L’11 - T’ - T’11, perpendicular a la proyección, perpendicular a la proyección horizontal t, que en el nuevo sistema se llamará t1, de la mismahorizontal t, que en el nuevo sistema se llamará t1, de la misma forma que la proyección horizontal a del punto A, tomará asimismo suforma que la proyección horizontal a del punto A, tomará asimismo su nueva nomenclatura anueva nomenclatura a11..

- Como la primitiva proyección vertical de A, la a, como también la v’- Como la primitiva proyección vertical de A, la a, como también la v’ de la traza vertical de V ( traza vertical de la recta ), tienen lade la traza vertical de V ( traza vertical de la recta ), tienen la misma cota, llevamos ésta al nuevo sistema, y sobre sumisma cota, llevamos ésta al nuevo sistema, y sobre su nueva línea de tierra ( la L’nueva línea de tierra ( la L’11 - T’ - T’11 ), por estar ambos sobre la ), por estar ambos sobre la suya inicialmente ( L - T ).suya inicialmente ( L - T ).

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77.- Por cambio de plano, convertir una recta frontal, en vertical. ( fig. 77 )77.- Por cambio de plano, convertir una recta frontal, en vertical. ( fig. 77 )

- Estamos hablando de la frontal f - f’.- Estamos hablando de la frontal f - f’.

- La recta vertical tiene su proyección vertical, perpendicular a la línea- La recta vertical tiene su proyección vertical, perpendicular a la línea de tierra, teniendo su traza horizontal confundida en un puntode tierra, teniendo su traza horizontal confundida en un punto con las proyecciones horizontales de todos los elementos de estacon las proyecciones horizontales de todos los elementos de esta recta, por lo que mediante un cambio de plano horizontal,recta, por lo que mediante un cambio de plano horizontal, perpendicular a la proyección vertical f’ de la recta, trazamos laperpendicular a la proyección vertical f’ de la recta, trazamos la nueva línea de tierra ( la L1 - T1 ); f’ será ahora f’1.nueva línea de tierra ( la L1 - T1 ); f’ será ahora f’1.

-- Todos los elementos en proyección horizontal de laTodos los elementos en proyección horizontal de la recta frontal, están confundidos en un punto con la trazarecta frontal, están confundidos en un punto con la traza horizontal de esta recta, por lo que se lleva al nuevohorizontal de esta recta, por lo que se lleva al nuevo sistema y en la misma relación respecto de la primitivasistema y en la misma relación respecto de la primitiva línea de tierra, la nueva traza horizontal h1, a más de a1 ylínea de tierra, la nueva traza horizontal h1, a más de a1 y f1.f1.

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78.- Por giro, convertir una recta horizontal, en de punta. ( fig. 78 )78.- Por giro, convertir una recta horizontal, en de punta. ( fig. 78 )

- Tenemos una recta horizontal r - r’, con traza vertical v’ -v.- Tenemos una recta horizontal r - r’, con traza vertical v’ -v.

- Nos elegimos un eje vertical, el e - e’.- Nos elegimos un eje vertical, el e - e’.

- Desde el centro del eje, e, se traza una perpendicular a la- Desde el centro del eje, e, se traza una perpendicular a la proyección r horizontal de la recta, encontrando el punto a, eproyección r horizontal de la recta, encontrando el punto a, e ll

que será girado hasta colocar a la proyección horizontal de la recta enque será girado hasta colocar a la proyección horizontal de la recta en posición de perpendicular respecto de la línea de tierra.posición de perpendicular respecto de la línea de tierra.

- Siendo las proyecciones horizontales de la recta las que se muevan- Siendo las proyecciones horizontales de la recta las que se muevan según la dirección de la circunferencia, las verticales lo haránsegún la dirección de la circunferencia, las verticales lo harán paralelamente a la línea de tierra, por lo que todas las proyeccionesparalelamente a la línea de tierra, por lo que todas las proyecciones verticales se concentrarán en la prolongación de laverticales se concentrarán en la prolongación de la perpendicular rperpendicular r11 a la línea de tierra, conjuncionándose a la línea de tierra, conjuncionándose todas las proyecciones verticales sobre un punto atodas las proyecciones verticales sobre un punto a continuación de ésta.continuación de ésta.

79.- Por giro, convertir una recta frontal, en vertical. ( fig. 79 )79.- Por giro, convertir una recta frontal, en vertical. ( fig. 79 )

- Tenemos una recta frontal f - f’, con traza horizontal h - h’.- Tenemos una recta frontal f - f’, con traza horizontal h - h’.

- Nos damos un eje de punta e’ - e, con traza vertical v’- Nos damos un eje de punta e’ - e, con traza vertical v’ ( confundida con e’ ) - v.( confundida con e’ ) - v.

- Desde e’, se trazará una perpendicular a f’, hasta cortarla en b’, que- Desde e’, se trazará una perpendicular a f’, hasta cortarla en b’, que será el punto auxiliar, por el que giraremos la proyección vertical f’será el punto auxiliar, por el que giraremos la proyección vertical f’ de la recta frontal, hasta convertirla en posición de perpendicularidadde la recta frontal, hasta convertirla en posición de perpendicularidad respecto de la línea de tierra, que es una de las condiciones querespecto de la línea de tierra, que es una de las condiciones que debe cumplir toda recta vertical; esta quedará convertida en f’debe cumplir toda recta vertical; esta quedará convertida en f’11,, estando su respectiva proyección horizontal en festando su respectiva proyección horizontal en f11, que quedará, que quedará confundida con la nueva traza horizontal de la recta vertical, en hconfundida con la nueva traza horizontal de la recta vertical, en h22..

- Como recta vertical, tendrá todos sus elementos en- Como recta vertical, tendrá todos sus elementos en proyección horizontal, confundidos con su traza horizontal hproyección horizontal, confundidos con su traza horizontal h22; por; por tanto en esta nueva traza, estarán las proyecciones horizontalestanto en esta nueva traza, estarán las proyecciones horizontales de f ( f de f ( f 11 ), y b ( b ), y b ( b11 ). ).

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80.- Convertir por giro, una recta horizontal, en de punta. ( fig. 80 )80.- Convertir por giro, una recta horizontal, en de punta. ( fig. 80 )

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- Esta vez se procederá a utilizar el procedimiento de hacer cortar- Esta vez se procederá a utilizar el procedimiento de hacer cortar el eje con la recta.el eje con la recta.

- Se establece para este efecto, un eje vertical e’ - e, que se- Se establece para este efecto, un eje vertical e’ - e, que se intersecta con la recta horizontal en el punto O ( o’ - o )intersecta con la recta horizontal en el punto O ( o’ - o )

- Haciendo centro en la traza horizontal h- Haciendo centro en la traza horizontal h11, del eje, y utilizando un, del eje, y utilizando un punto auxiliar A ( a’ - a ), de la recta horizontal, giramos éstapunto auxiliar A ( a’ - a ), de la recta horizontal, giramos ésta hasta colocarla perpendicular a la línea de tierra.hasta colocarla perpendicular a la línea de tierra.

- Al girar las proyecciones horizontales de la recta en- Al girar las proyecciones horizontales de la recta en cuestión, todos los elementos en proyección vertical, secuestión, todos los elementos en proyección vertical, se moverán según una recta paralela a la línea de tierra,moverán según una recta paralela a la línea de tierra, coincidiendo en un solo punto, la traza vertical v’coincidiendo en un solo punto, la traza vertical v’11, a’, a’11,, r’1, etc.r’1, etc.

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81.- Convertir una recta frontal, por giro, en vertical. ( fig. 81 )81.- Convertir una recta frontal, por giro, en vertical. ( fig. 81 )

- Esta vez se utilizará el procedimiento de intersección del eje con la- Esta vez se utilizará el procedimiento de intersección del eje con la recta por trabajar.recta por trabajar.

- Se utilizará un punto de intersección O ( o’ - o ), con la recta frontal,- Se utilizará un punto de intersección O ( o’ - o ), con la recta frontal, ( o, en f, y o’ en f´ ), con la recta eje e’ - e.( o, en f, y o’ en f´ ), con la recta eje e’ - e.

- Utilizando como centro la traza vertical v’1, de la recta eje, y- Utilizando como centro la traza vertical v’1, de la recta eje, y otro punto auxiliar A ( a’ - a ), giramos la proyección vertical a’ deotro punto auxiliar A ( a’ - a ), giramos la proyección vertical a’ de éste, hasta colocar la proyección vertical f’ de la recta frontal,éste, hasta colocar la proyección vertical f’ de la recta frontal, en posición de perpendicular respecto de la línea de tierra,en posición de perpendicular respecto de la línea de tierra, moviéndose todos los elementos en proyección horizontal demoviéndose todos los elementos en proyección horizontal de la frontal f, hasta hacerlos confundir con la traza horizontal dela frontal f, hasta hacerlos confundir con la traza horizontal de ésta.ésta.

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82.- Encontrar la intersección de una recta oblicua, con un plano82.- Encontrar la intersección de una recta oblicua, con un plano horizontal. ( fig. 82 )horizontal. ( fig. 82 )

- Nos damos la recta oblicua R ( r - r’ ), determinando para- Nos damos la recta oblicua R ( r - r’ ), determinando para ello sus trazas vertical v’ y horizontal h.ello sus trazas vertical v’ y horizontal h.

- Para trazar el plano horizontal, basta determinarlo por- Para trazar el plano horizontal, basta determinarlo por una paralela a la línea e tierra, al que le ponemos el nombre de H’.una paralela a la línea e tierra, al que le ponemos el nombre de H’.

- La intersección entre recta y plano, se encuentra a través de un- La intersección entre recta y plano, se encuentra a través de un plano auxiliar, que en este caso es más útil que sea unplano auxiliar, que en este caso es más útil que sea un proyectante, esta vez horizontal.proyectante, esta vez horizontal.

- La intersección de dos planos se halla determinando el- La intersección de dos planos se halla determinando el punto de corte entre trazas homónimas; vale decir, trazas verticalespunto de corte entre trazas homónimas; vale decir, trazas verticales entre sí, darán la traza vertical de la recta de intersección, queentre sí, darán la traza vertical de la recta de intersección, que acá se trata de v1 - v’1, no habiendo en este caso trazaacá se trata de v1 - v’1, no habiendo en este caso traza horizontal, puesto que la recta solución será una rectahorizontal, puesto que la recta solución será una recta horizontal, que como se sabe no tiene traza horizontal.horizontal, que como se sabe no tiene traza horizontal.

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- La proyección vertical de la recta solución I ( i - i ),- La proyección vertical de la recta solución I ( i - i ), tendrá su proyección vertical ( i’ ) confundida con la trazatendrá su proyección vertical ( i’ ) confundida con la traza H’ del plano, mientras la proyección horizontal ( i ) loH’ del plano, mientras la proyección horizontal ( i ) lo estará con la horizontal del proyectante.estará con la horizontal del proyectante.

- Como referencia final, ambas rectas se cortarán en el- Como referencia final, ambas rectas se cortarán en el punto O ( o’ - o ).punto O ( o’ - o ).

83.- Encontrar la intersección de una recta oblicua con un plano frontal.83.- Encontrar la intersección de una recta oblicua con un plano frontal. (fig. 83 )(fig. 83 )

- Determinamos primeramente la recta oblicua T ( t’ - t ), con- Determinamos primeramente la recta oblicua T ( t’ - t ), con traza vertical v’, y horizontal h.traza vertical v’, y horizontal h.

- El plano frontal se lo dibuja como una paralela a la línea de tierra- El plano frontal se lo dibuja como una paralela a la línea de tierra ( en este caso por debajo ), con la nominación F.( en este caso por debajo ), con la nominación F.

-- Para encontrar la intersección pedida, nos auxiliaremos de unPara encontrar la intersección pedida, nos auxiliaremos de un plano proyectante, en este caso vertical.plano proyectante, en este caso vertical.

--

- Como el plano frontal sólo tiene traza horizontal, en este caso- Como el plano frontal sólo tiene traza horizontal, en este caso habrá solamente intersección entre la traza horizontalhabrá solamente intersección entre la traza horizontal del plano proyectante horizontal, y la misma del frontal,del plano proyectante horizontal, y la misma del frontal, determinando la traza horizontal de la recta solución I ( i’ - i ).determinando la traza horizontal de la recta solución I ( i’ - i ).

- La proyección horizontal i’, de la recta solución, se confundirá con- La proyección horizontal i’, de la recta solución, se confundirá con la vertical t’, y la i, con la traza frontal del plano F.la vertical t’, y la i, con la traza frontal del plano F.

- La intersección entre la recta T y el plano frontal F, se- La intersección entre la recta T y el plano frontal F, se determina en la intersección de las proyecciones homónimas dedetermina en la intersección de las proyecciones homónimas de las rectas I con T, vale decir, t’ con y’, da o’, y t con y, o.las rectas I con T, vale decir, t’ con y’, da o’, y t con y, o.

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84.- Intersección de recta oblicua, con plano paralelo a la línea de tierra.84.- Intersección de recta oblicua, con plano paralelo a la línea de tierra. ( fig. 84 )( fig. 84 )

- Se trata de la recta S ( s’ - s ), que debe cortarse con el plano- Se trata de la recta S ( s’ - s ), que debe cortarse con el plano ’ - ’ - ,, este último con sus trazas paralelas a la línea de tierra, por este último con sus trazas paralelas a la línea de tierra, por tener que ser él paralelo a ella.tener que ser él paralelo a ella.

- El procedimiento es el mismo que el utilizado en los casos anteriores,- El procedimiento es el mismo que el utilizado en los casos anteriores, por lo que nos auxiliamos de un plano proyectante vertical, que sepor lo que nos auxiliamos de un plano proyectante vertical, que se corta con corta con ’ - ’ - ..

- Ambos se cortan según la recta I ( i’ - i ), cuya proyección- Ambos se cortan según la recta I ( i’ - i ), cuya proyección horizontal se corta con la proyección horizontal de S, en el puntohorizontal se corta con la proyección horizontal de S, en el punto O ( o’ - o ), que es el pedido.O ( o’ - o ), que es el pedido.

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85.- Encontrar la intersección de una recta oblicua con un plano de perfil.85.- Encontrar la intersección de una recta oblicua con un plano de perfil. (fig. 85 )(fig. 85 )

- Observando paralelamente los dos gráficos de la figura 85 y- Observando paralelamente los dos gráficos de la figura 85 y 85a, se puede comprender claramente la situación del presente85a, se puede comprender claramente la situación del presente caso, en que, por ser el plano de perfil doblemente proyectante,caso, en que, por ser el plano de perfil doblemente proyectante, todas las proyecciones de éste, estarán confundidas con sus trazas.todas las proyecciones de éste, estarán confundidas con sus trazas.

- Con este criterio, como se ve, el punto de intersección de- Con este criterio, como se ve, el punto de intersección de estos dos elementos se encontrará donde las proyecciones de laestos dos elementos se encontrará donde las proyecciones de la recta R ( r’ - r ) se corten con las trazas del plano recta R ( r’ - r ) se corten con las trazas del plano ’ - ’ - , , esto es enesto es en el punto O ( o’ - o ).el punto O ( o’ - o ).

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86.- Intersección de recta oblicua, con plano proyectante86.- Intersección de recta oblicua, con plano proyectante vertical. ( fig. 86 )vertical. ( fig. 86 )

- Se trata de la recta oblicua S, con trazas v’ y h, y el plano- Se trata de la recta oblicua S, con trazas v’ y h, y el plano proyectante vertical proyectante vertical - - ’.’.

- El punto pedido se podría determinar directamente donde la- El punto pedido se podría determinar directamente donde la traza vertical del proyectante, traza vertical del proyectante, ´ , sea cortada por la proyección´ , sea cortada por la proyección vertical s’ de la recta. Sin embargo a objeto de confirmar lavertical s’ de la recta. Sin embargo a objeto de confirmar la exactitud del procedimiento, nos auxiliamos como de costumbreexactitud del procedimiento, nos auxiliamos como de costumbre por un plano proyectante que pase por la recta, que serápor un plano proyectante que pase por la recta, que será uno horizontal, uno horizontal, ’’11 - - 11, , que se corta con el primerque se corta con el primer proyectante, según la recta I ( i’ - i ), la misma que determinaproyectante, según la recta I ( i’ - i ), la misma que determina con S ( s’ - s ),el punto O buscado, ( o’ - o ).con S ( s’ - s ),el punto O buscado, ( o’ - o ).

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87.- Intersección de recta oblicua con plano proyectante horizontal.87.- Intersección de recta oblicua con plano proyectante horizontal. ( fig. 87 )( fig. 87 )

- Exactamente con los criterios y procedimientos del anterior- Exactamente con los criterios y procedimientos del anterior ejercicio, vemos que el punto solicitado es el de la intersección deejercicio, vemos que el punto solicitado es el de la intersección de las rectas I, y T, en el punto O ( o - o’ ).las rectas I, y T, en el punto O ( o - o’ ).

88.- Intersección de un plano horizontal, con otro frontal. ( fig. 88 )88.- Intersección de un plano horizontal, con otro frontal. ( fig. 88 )

- Al ser ambos proyectantes, todos sus elementos estarán- Al ser ambos proyectantes, todos sus elementos estarán confundidos con sus respectivas trazas, por lo que ambasconfundidos con sus respectivas trazas, por lo que ambas proyecciones de la recta solución I ( i’- i ) , estarán sobreproyecciones de la recta solución I ( i’- i ) , estarán sobre H’ ( i’ ) y F ( i ). (recta paralela a la línea de tierra)H’ ( i’ ) y F ( i ). (recta paralela a la línea de tierra)

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89.- Intersección de plano horizontal con plano de perfil. ( fig. 99 )89.- Intersección de plano horizontal con plano de perfil. ( fig. 99 )

- La solución es una recta de punta, determinada por la- La solución es una recta de punta, determinada por la intersección de H’, con intersección de H’, con ´́, que determinará la traza vertical ( v’ )de, que determinará la traza vertical ( v’ )de la recta solución.la recta solución.

90.- Intersección de plano frontal con plano de perfil. ( fig. 90 )90.- Intersección de plano frontal con plano de perfil. ( fig. 90 )

- Es un caso similar al anterior, en que la recta solución es una- Es un caso similar al anterior, en que la recta solución es una vertical, donde las trazas horizontales de ambos planos severtical, donde las trazas horizontales de ambos planos se cortan en h, traza vertical de la misma.cortan en h, traza vertical de la misma.

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91.- Intersección de un plano horizontal, con otro proyectante vertical.91.- Intersección de un plano horizontal, con otro proyectante vertical. ( fig. 91 )( fig. 91 )

- Donde la traza vertical - Donde la traza vertical ´, se corte con la vertical H’,´, se corte con la vertical H’, determinaremos la traza vertical de la recta solución, que será unadeterminaremos la traza vertical de la recta solución, que será una de punta, por tener que ser su proyección horizontal i, paralela a lade punta, por tener que ser su proyección horizontal i, paralela a la traza horizontal traza horizontal , del proyectante vertical esto es, perpendicular a la, del proyectante vertical esto es, perpendicular a la línea de tierra.línea de tierra.

92.- Intersección de plano horizontal con plano proyectante92.- Intersección de plano horizontal con plano proyectante horizontal. ( fig. 92 )horizontal. ( fig. 92 )

- Se trata de los planos horizontal H’ y el proyectante horizontal - Se trata de los planos horizontal H’ y el proyectante horizontal ..

- La recta de intersección debe ser común a ambos planos.- La recta de intersección debe ser común a ambos planos.

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- Como en este caso los dos son proyectantes, todos los- Como en este caso los dos son proyectantes, todos los elementos que a ellos pertenezcan, estarán confundidos con suselementos que a ellos pertenezcan, estarán confundidos con sus respectivas trazas.respectivas trazas.

- Por ese motivo las dos proyecciones de la recta solución I- Por ese motivo las dos proyecciones de la recta solución I estarán confundidas con las trazas de los planos que las contiene.estarán confundidas con las trazas de los planos que las contiene.

- La proyección vertical de la recta solución i’, estará en H’, en tanto- La proyección vertical de la recta solución i’, estará en H’, en tanto que la horizontal de I ( la y ), estará en que la horizontal de I ( la y ), estará en . .

93.- Encontrar la intersección de un plano frontal con otro93.- Encontrar la intersección de un plano frontal con otro proyectante vertical. ( fig. 93 )proyectante vertical. ( fig. 93 )

- Se trata de los planos frontal F, y del proyectante vertical - Se trata de los planos frontal F, y del proyectante vertical ..

- Como es un caso similar al anterior, deberá seguirse las- Como es un caso similar al anterior, deberá seguirse las mismas consideraciones, cambiando los nombres de acuerdo amismas consideraciones, cambiando los nombres de acuerdo a los planos de referencia.los planos de referencia.

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94.- Intersección de plano frontal, con proyectante horizontal. ( fig. 94 )94.- Intersección de plano frontal, con proyectante horizontal. ( fig. 94 )

- Las trazas horizontales de ambos planos, se cortarán en el punto h- Las trazas horizontales de ambos planos, se cortarán en el punto h - h’, traza horizontal de la recta de intersección.- h’, traza horizontal de la recta de intersección.

- Al tener el plano proyectante vertical, su traza vertical perpendicular a- Al tener el plano proyectante vertical, su traza vertical perpendicular a la línea de tierra, la proyección vertical de la solución, recta I, esla línea de tierra, la proyección vertical de la solución, recta I, es decir la proyección vertical i’, será paralela a aquélla, viendo pordecir la proyección vertical i’, será paralela a aquélla, viendo por lo tanto que la solución del presente caso, es una recta vertical.lo tanto que la solución del presente caso, es una recta vertical.

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95.- Intersección de dos planos paralelos a la línea de tierra:95.- Intersección de dos planos paralelos a la línea de tierra: uno del segundo al cuarto cuadrante, por el tercero, y el otrouno del segundo al cuarto cuadrante, por el tercero, y el otro del segundo al cuarto por el primero. ( fig. 95 ) del segundo al cuarto por el primero. ( fig. 95 )

- En el primer caso tenemos al plano - En el primer caso tenemos al plano - - ’, y en el segundo del’, y en el segundo del - - ’ ’ ..

- Al ser ambos paralelos a la línea de tierra, sus respectivas trazas- Al ser ambos paralelos a la línea de tierra, sus respectivas trazas homónimas no se cortarán aparentemente, aunque sí lo hacen en elhomónimas no se cortarán aparentemente, aunque sí lo hacen en el espacio. espacio.

- Ante esta indeterminación debemos acudir al uso de un plano- Ante esta indeterminación debemos acudir al uso de un plano proyectante, que en este caso se trata de uno horizontal proyectante, que en este caso se trata de uno horizontal - - ’ .’ .

- El proyectante se corta con el horizontal - El proyectante se corta con el horizontal , según la recta R, en, según la recta R, en tanto que con el tanto que con el , , lo hará según la S.lo hará según la S.

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- Al ser el proyectante, uno horizontal, la determinación de la solución- Al ser el proyectante, uno horizontal, la determinación de la solución aparecerá en el plano vertical; es por eso, que por donde seaparecerá en el plano vertical; es por eso, que por donde se corten las proyecciones de estas rectas, tendremos el punto decorten las proyecciones de estas rectas, tendremos el punto de intersección A ( a’ - a ), que es por donde pasarán las proyeccionesintersección A ( a’ - a ), que es por donde pasarán las proyecciones de la recta solución Ide la recta solución I22..

96.- Determinar las trazas de un plano del cual se conocen una recta96.- Determinar las trazas de un plano del cual se conocen una recta paralela a la línea de tierra, y el punto C ( fig. 96 )paralela a la línea de tierra, y el punto C ( fig. 96 )

Solución: Solución:

Nos damos un punto Nos damos un punto DD, en la recta , en la recta ABAB, el que unido a , el que unido a CC,, determina la recta determina la recta CDCD, con lo que al cortarse en , con lo que al cortarse en DD, con la recta , con la recta ABAB, nos, nos determinará el plano buscado. De ahí, por las trazas de determinará el plano buscado. De ahí, por las trazas de CDCD, pasaremos , pasaremos ' - ' - ,, ambas paralelas a la línea de tierra, pues alambas paralelas a la línea de tierra, pues al ser ser ABAB, paralela a ella, forzozamente, paralela a ella, forzozamente el plano que la contenga, debe serle paralelo.el plano que la contenga, debe serle paralelo.

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97.- Encontrar la distancia de un punto A, a una recta R. (fig. 97)97.- Encontrar la distancia de un punto A, a una recta R. (fig. 97)

-- Los datos del presente ejercicio, serán e, punto A (a’ – a) ubicado en elLos datos del presente ejercicio, serán e, punto A (a’ – a) ubicado en el primer cuadrante, y la recta R (r’ – r) con trazas v’ y h.primer cuadrante, y la recta R (r’ – r) con trazas v’ y h.

- Para poder resolver este ejercicio, lo que hay que hacer es pasar por- Para poder resolver este ejercicio, lo que hay que hacer es pasar por A, una recta perpendicular a R, la misma que dará la distancia entre elA, una recta perpendicular a R, la misma que dará la distancia entre el punto y la recta.punto y la recta.

- Como no existe relación directa de perpendicularidad entre rectas,- Como no existe relación directa de perpendicularidad entre rectas,

debemos acudir al uso de una recta notable, horizontal o frontal quedebemos acudir al uso de una recta notable, horizontal o frontal que pase por el punto A y que sea perpendicular a R. Dichapase por el punto A y que sea perpendicular a R. Dicha perpendicularidad se dará en las proyecciones de dicha recta noperpendicularidad se dará en las proyecciones de dicha recta no paralelas a la línea de tierra. En este caso usaremos una frontal, para loparalelas a la línea de tierra. En este caso usaremos una frontal, para lo que por a (proyección horizontal de A) una paralela a la línea de tierra, yque por a (proyección horizontal de A) una paralela a la línea de tierra, y una oblícua por a’ (proyección vertical de A y que a la vez seauna oblícua por a’ (proyección vertical de A y que a la vez sea perpendicular a r, proyección vertical de la recta R.perpendicular a r, proyección vertical de la recta R.

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- Ahora sí podremos pasar el plano perpendicular a la recta R, y- Ahora sí podremos pasar el plano perpendicular a la recta R, y que pase por el punto A, que es desde donde se podrá trazarque pase por el punto A, que es desde donde se podrá trazar la perpendicular o distancia pedida en el presente ejercicio;la perpendicular o distancia pedida en el presente ejercicio; este plano es el este plano es el ’ - ’ - , cuya traza vertical pasará por v’, cuya traza vertical pasará por v’11, traza, traza vertical de la recta auxiliar que pasa por el punto A,vertical de la recta auxiliar que pasa por el punto A, perpendicular a r’, desde cuya intersección con la línea deperpendicular a r’, desde cuya intersección con la línea de tierra, se pasará la traza horizontal, perpendicular a latierra, se pasará la traza horizontal, perpendicular a la proyección horizontal r de la recta.proyección horizontal r de la recta.

- Seguidamente débese encontrar la intersección de la recta- Seguidamente débese encontrar la intersección de la recta R con el plano, para lo que nos auxiliamos de un planoR con el plano, para lo que nos auxiliamos de un plano

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proyectante vertical que pase por la recta, procedimiento esteproyectante vertical que pase por la recta, procedimiento este que nos permite encontrar el punto B, donde la recta corta alque nos permite encontrar el punto B, donde la recta corta al plano.plano.

- La unión de los puntos A y B, nos dará la distancia pedida.- La unión de los puntos A y B, nos dará la distancia pedida.

- Para encontrar la verdadera magnitud de esta distancia, se- Para encontrar la verdadera magnitud de esta distancia, se procede por los métodos aplicables al efecto, esto esprocede por los métodos aplicables al efecto, esto es mediante la triangulación rectangular, para lo que escogemosmediante la triangulación rectangular, para lo que escogemos la proyección vertical del segmento ( d’ ), trazando un ángulo rectola proyección vertical del segmento ( d’ ), trazando un ángulo recto sobre el vértice b’.sobre el vértice b’.

- Sobre este segundo cateto, llevamos la diferencia de- Sobre este segundo cateto, llevamos la diferencia de alejamientos entre los puntos a y b ( segmento pq ), cuyo extremo,alejamientos entre los puntos a y b ( segmento pq ), cuyo extremo, al unirse con a’ nos dará la distancia pedida.al unirse con a’ nos dará la distancia pedida.

98.- Determinar las trazas de un punto definido por una recta AB.98.- Determinar las trazas de un punto definido por una recta AB. Que es de máxima pendiente del plano, siendo el punto BQue es de máxima pendiente del plano, siendo el punto B perteneciente al primer bisector. ( fig. 98 )perteneciente al primer bisector. ( fig. 98 )

- Tal como lo dice el enunciado trazamos la recta AB, en el que el punto- Tal como lo dice el enunciado trazamos la recta AB, en el que el punto B, ( b’- b ) esté en el primer bisector.B, ( b’- b ) esté en el primer bisector.

- Como esta recta debe ser de máxima pendiente del plano, una vez- Como esta recta debe ser de máxima pendiente del plano, una vez ubicadas las trazas del plano, por el punto h, traza horizontal de la recta,ubicadas las trazas del plano, por el punto h, traza horizontal de la recta, trazamos la traza horizontal trazamos la traza horizontal , perpendicular a la proyección horizontal, perpendicular a la proyección horizontal ab de la recta, y donde dicha traza del plano corte a la línea de tierra,ab de la recta, y donde dicha traza del plano corte a la línea de tierra, unimos con v’, traza vertical de la recta, determinando de esta maneraunimos con v’, traza vertical de la recta, determinando de esta manera la traza vertical la traza vertical ’ del plano.’ del plano.

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99.- Ubicar un plano determinado por las rectas AB y la BC que es de perfil,99.- Ubicar un plano determinado por las rectas AB y la BC que es de perfil, sin necesidad de usar el procedimiento del abatimiento. ( fig. 99 )sin necesidad de usar el procedimiento del abatimiento. ( fig. 99 )

- Están determinadas las trazas de - Están determinadas las trazas de AB AB en en vv' - hh' vv' - hh'. Necesitamos. Necesitamos encontrar las trazas de la recta de perfil encontrar las trazas de la recta de perfil BCBC, las mismas que sólo se, las mismas que sólo se pueden hallar previo abatimiento, procedimiento que el enunciado delpueden hallar previo abatimiento, procedimiento que el enunciado del problema nos veda. problema nos veda.

- Vemos que ambas rectas se cortan en el punto B. Para hallar la- Vemos que ambas rectas se cortan en el punto B. Para hallar la solución, hacemos que el punto de intersección de ambas rectas estésolución, hacemos que el punto de intersección de ambas rectas esté en en CC. Las trazas de . Las trazas de ACAC son son v'v'11 y y h h11( coincidente( coincidente concon hh, traza, traza horizontal de la recta horizontal de la recta AB AB ). ).

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- La unión de - La unión de v' v' y y v'1 v'1 nos da nos da ''; donde ésta corte a la línea de; donde ésta corte a la línea de tierra, unimos con tierra, unimos con hh, que coincide con , que coincide con h1h1, hallando la traza , hallando la traza que que nos falta para determinar el plano.nos falta para determinar el plano.

100.- Determinar las trazas de un plano por la recta AB que pasa por la línea100.- Determinar las trazas de un plano por la recta AB que pasa por la línea de tierra, y otra similar cuyas proyecciones sean inversas a la anteriorde tierra, y otra similar cuyas proyecciones sean inversas a la anterior ( las horizontales de AB, son las verticales de CD, y( las horizontales de AB, son las verticales de CD, y viceversa ). ( fig. 100 )viceversa ). ( fig. 100 )

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- Como ambas rectas pasan por la línea de tierra, también el plano será uno que- Como ambas rectas pasan por la línea de tierra, también el plano será uno que pase por ella. Por tanto, para determinarlo, nos damos un punto auxiliar pase por ella. Por tanto, para determinarlo, nos damos un punto auxiliar EE, que, que unido, por ejemplounido, por ejemplo con con BB, ( recta , ( recta BE BE ), nos determinará, por sus trazas, y las), nos determinará, por sus trazas, y las de la otra, el plano buscado. ( fig. 100 )de la otra, el plano buscado. ( fig. 100 )

101.- Trazar una recta de máxima pendiente del plano determinado por101.- Trazar una recta de máxima pendiente del plano determinado por las rectas AB y BC, sin necesidad de hallar las trazas del mismolas rectas AB y BC, sin necesidad de hallar las trazas del mismo ( fig. 101 )( fig. 101 )

- - Por Por CC, o , o AA, nos damos una recta horizontal auxiliar, que puede ser por, nos damos una recta horizontal auxiliar, que puede ser por ejemplo la ejemplo la CDCD. Como la recta de máxima pendiente de un plano tiene. Como la recta de máxima pendiente de un plano tiene su proyección horizontal perpendicular a la traza horizontal del mismo,su proyección horizontal perpendicular a la traza horizontal del mismo, será también perpendicular a todas las proyecciones horizontales, deserá también perpendicular a todas las proyecciones horizontales, de las rectas horizontales del plano; por tanto, desde las rectas horizontales del plano; por tanto, desde b b ( proyección ( proyección horizontal de horizontal de B B ), trazamos una perpendicular a ), trazamos una perpendicular a cdcd, hallando, hallando e - e'e - e', que con , que con b - b'b - b', nos da la recta pedida. , nos da la recta pedida.

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102.- Señalar una recta de perfil que pertenezca a un plano como el102.- Señalar una recta de perfil que pertenezca a un plano como el señalado en la figura 102. señalado en la figura 102.

- Trazar dos rectas horizontales, - Trazar dos rectas horizontales, R R y y S S, del plano. Sobre una misma, del plano. Sobre una misma perpendicular a la línea de tierra, se marcan los puntos perpendicular a la línea de tierra, se marcan los puntos A A yy B B,, que serán los de su intersección con que serán los de su intersección con R R yy S S, y a su vez una recta, y a su vez una recta

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de perfil del plano. Para verificar esta aseveración, por medio delde perfil del plano. Para verificar esta aseveración, por medio del abatimiento conocido, ubicamos los puntos abatimiento conocido, ubicamos los puntos a'1 a'1 yy b'1 b'1, que unidos, que unidos entre sí nos permitirán verificar que sus trazas están sobre entre sí nos permitirán verificar que sus trazas están sobre ' ' y y respectivamente.respectivamente.

103.- Por un punto A, trazar un plano paralelo a la recta de perfil103.- Por un punto A, trazar un plano paralelo a la recta de perfil BC. ( fig. 103 )BC. ( fig. 103 )

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- Rebatiendo las proyecciones horizontales - Rebatiendo las proyecciones horizontales b b yy c c, ubicamos la, ubicamos la verdadera posición de la recta de perfil verdadera posición de la recta de perfil BCBC; de la misma manera; de la misma manera ubicamos la situación del punto ubicamos la situación del punto aa, en A. Por , en A. Por AA, trazamos una, trazamos una paralela a paralela a BCBC, que también será de perfil, la misma que al ser, que también será de perfil, la misma que al ser encontradas sus trazas, permite ver, que cualquier plano que pase porencontradas sus trazas, permite ver, que cualquier plano que pase por ellas, cumple con lo requerido.ellas, cumple con lo requerido. ( fig. 103 )( fig. 103 )

104.- Determinar las trazas del plano que conforman la recta AB que le es104.- Determinar las trazas del plano que conforman la recta AB que le es de máxima inclinación, y otra recta MN del mismo. ( fig. 104 )de máxima inclinación, y otra recta MN del mismo. ( fig. 104 )

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- Como - Como MNMN es del plano, es del plano, NN el punto en que están sus trazas, por el punto en que están sus trazas, por ser una recta que pasa por la línea de tierra, y ser una recta que pasa por la línea de tierra, y ABAB, es de, es de máxima inclinación del plano, trácese directamente unamáxima inclinación del plano, trácese directamente una perpendicular a perpendicular a a' b'a' b', por , por v'v' traza vertical de traza vertical de ABAB; esta traza; esta traza pasará necesariamente por pasará necesariamente por n'n', y de allí unimos con , y de allí unimos con hh, traza, traza horizontal de horizontal de ABAB, pues ésta se corta con , pues ésta se corta con MNMN en en o - o'o - o',, determinando por tanto el plano buscado.determinando por tanto el plano buscado.

105.-Intersección de un plano cualquiera con uno paralelo a los de105.-Intersección de un plano cualquiera con uno paralelo a los de proyección:proyección:

100100



- Se trata de hallar la intersección del plano horizontal - Se trata de hallar la intersección del plano horizontal H'H' con otro con otro cualquiera cualquiera ' - ' - . ( fig. 105 ). ( fig. 105 )

- La intersección de un plano horizontal con otro cualquiera da una recta- La intersección de un plano horizontal con otro cualquiera da una recta horizontal de ese plano. Para hallarla, se determina el punto de corte ohorizontal de ese plano. Para hallarla, se determina el punto de corte o intersección de las trazas verticales intersección de las trazas verticales v - v'v - v', y enseguida la horizontal, y enseguida la horizontal r - r'r - r'. La proyección . La proyección rr será paralela a será paralela a y la vertical y la vertical r'r', será, será coincidente con coincidente con H'H'. ( fig. 105 ). ( fig. 105 )

- La intersección - La intersección f - f' f - f' del plano frontal del plano frontal F F con el con el ' - ' - , es una, es una frontal de dicho plano, determinada por su traza horizontal frontal de dicho plano, determinada por su traza horizontal h - h'h - h' que es el punto de intersección entre que es el punto de intersección entre F F yy , , estando estando ff confundida confundida con con FF, y siendo , y siendo f' f' paralela a la traza paralela a la traza ' ' del plano.del plano.

- Ambas rectas además deben cortarse en un punto - Ambas rectas además deben cortarse en un punto a - a' a - a' por estar por estar situadas en el plano.situadas en el plano.

101101



- Si dos planos tienen dos trazas paralelas, se determina la traza- Si dos planos tienen dos trazas paralelas, se determina la traza corrrespondiente a las trazas que se cortan, y la proyeccióncorrrespondiente a las trazas que se cortan, y la proyección correspondiente a las trazas paralelas,será paralela a ellas, siendo lacorrespondiente a las trazas paralelas,será paralela a ellas, siendo la otra, paralela a la línea de tierra. ( fig. 105 a )otra, paralela a la línea de tierra. ( fig. 105 a )

fig. 100 afig. 100 a

106.-Intersección de dos planos cuyas trazas se cortan fuera de los106.-Intersección de dos planos cuyas trazas se cortan fuera de los límites del dibujo ( fig. 106 ) límites del dibujo ( fig. 106 )

- - Se trata de los planosSe trata de los planos y y . Como sus trazas no se cortan dentro de los. Como sus trazas no se cortan dentro de los límites del dibujo, nos auxiliaremos de dos planos, primero un horizontallímites del dibujo, nos auxiliaremos de dos planos, primero un horizontal H' H',, que se corta con los dados, según las rectas que se corta con los dados, según las rectas m - m' m - m' y y n - n' n - n', que a su vez, que a su vez lo hacen en el punto lo hacen en el punto a - a'a - a'. Como segundo plano auxiliar, se toma el frontal. Como segundo plano auxiliar, se toma el frontal FF, que se corta con los planos dato, según las rectas , que se corta con los planos dato, según las rectas c - c' c - c' y y d - d' d - d', que se, que se intersectan en el punto intersectan en el punto b - b'b - b'..

- La intersección de estos planos cuyas trazas se cortan fuera de los límites del- La intersección de estos planos cuyas trazas se cortan fuera de los límites del dibujo, es la recta idibujo, es la recta i - i' - i', que es la unión de los puntos , que es la unión de los puntos A A y y B B..

102102



Si dos de las trazas de los planos se cortasen en el dibujo y las otras fuera de él,Si dos de las trazas de los planos se cortasen en el dibujo y las otras fuera de él, basta por regla general hallar el punto de intersección de las trazas que se cortan y utilizarbasta por regla general hallar el punto de intersección de las trazas que se cortan y utilizar un plano auxiliar paralelo a estas últimas. ( fig. 106 )un plano auxiliar paralelo a estas últimas. ( fig. 106 )

fig. 106fig. 106107.-Plano proyectante con otro dado por dos rectas que se cortan 107.-Plano proyectante con otro dado por dos rectas que se cortan ( fig. 107 ) ( fig. 107 )

103103



- Por ser proyectante vertical, todas las proyecciones verticales de los elementos del plano- Por ser proyectante vertical, todas las proyecciones verticales de los elementos del plano se confundirán con la traza se confundirán con la traza ''. .

- Las rectas - Las rectas r - r' y s - s'r - r' y s - s', se cortan en el punto , se cortan en el punto a - a'a - a' ( condición para que ( condición para que determinen el plano ). Aunque no se puede hallar directamente la intersección de recta ydeterminen el plano ). Aunque no se puede hallar directamente la intersección de recta y plano, en este caso es viable hallarla por tratarse de un plano proyectante. Los pasos aplano, en este caso es viable hallarla por tratarse de un plano proyectante. Los pasos a seguir son:seguir son:

Recta Recta RR con con , da , da c - c'c - c'Recta Recta SS con con , da , da b - b'b - b'La solución es la unión de La solución es la unión de B B yy C C..

fig. 107fig. 107

108.-Planos paralelos a la línea de tierra:108.-Planos paralelos a la línea de tierra: ( fig. 108 ) ( fig. 108 )

104104



- Si dos planos pasan por dos rectas paralelas, su intersección es también- Si dos planos pasan por dos rectas paralelas, su intersección es también paralela a ellas, o dicho de otra forma: si dos planos son paralelos a unaparalela a ellas, o dicho de otra forma: si dos planos son paralelos a una recta, su intersección es también paralela a ella.recta, su intersección es también paralela a ella.

fig. 108fig. 108

- Se usa un plano auxiliar que en este caso es un proyectante horizontal que- Se usa un plano auxiliar que en este caso es un proyectante horizontal que determinará dos rectas de intersección con los planos paralelos. La interseccióndeterminará dos rectas de intersección con los planos paralelos. La intersección de estas dos rectas nos da un punto por donde ha de pasar la recta solución quede estas dos rectas nos da un punto por donde ha de pasar la recta solución que también por lo expuesto anteriormente será paralela a la línea de tierra. Lostambién por lo expuesto anteriormente será paralela a la línea de tierra. Los pasos a seguir son:pasos a seguir son:

a) a) Plano Plano con con da la recta da la recta RR.. b) b) Plano Plano con con da la recta da la recta SS.. c) c) R R y y S S se cortan en el punto se cortan en el punto a - a' a - a' que es por que es por donde pasará la donde pasará la recta solución.recta solución.

105105



109.-Encontrar la intersección de un plano perpendicular al segundo bisector con109.-Encontrar la intersección de un plano perpendicular al segundo bisector con otro cualquiera:otro cualquiera: ( fig. 109 ) ( fig. 109 )

- En el caso de que ambos planos fueran concurrentes en la línea de tierra se- En el caso de que ambos planos fueran concurrentes en la línea de tierra se procedería a buscar la solución, de la siguiente manera: ( fig. 109 )procedería a buscar la solución, de la siguiente manera: ( fig. 109 )

- Los planos se cortan en la línea de tierra en el punto- Los planos se cortan en la línea de tierra en el punto a - a' a - a'. Nos auxiliamos. Nos auxiliamos de un plano horizontal que se cortará con los dos planos, según dos rectasde un plano horizontal que se cortará con los dos planos, según dos rectas horizontales:horizontales:

con con H' H' da da R R con con H' H' da da SS

- La intersección de las proyecciones de las rectas - La intersección de las proyecciones de las rectas R R yy S S da el punto da el punto b -b - b'b', que unido con el punto , que unido con el punto a - a'a - a', da la recta solución , da la recta solución II..

110.- Intersección de un plano cualquiera con los bisectores: 110.- Intersección de un plano cualquiera con los bisectores: ( fig. 110 )( fig. 110 )

- Es un caso similar al anterior; los planos son concurrentes en la lÍnea de tierra,- Es un caso similar al anterior; los planos son concurrentes en la lÍnea de tierra, en el punto en el punto a - a'a - a'. Nos auxiliamos de un plano horizontal . Nos auxiliamos de un plano horizontal H'H'::

a) Con a) Con da la recta da la recta RR..

b) Con el primer bisector da la recta b) Con el primer bisector da la recta SS, que además de ser, que además de ser horizontal, tiene sus proyecciones equidistantes de la línea de tierra.horizontal, tiene sus proyecciones equidistantes de la línea de tierra.

c) La intersección de c) La intersección de R R yy S S nos da el punto nos da el punto i - i' i - i', que unido con, que unido con a - a' a - a' da la solución.da la solución.

106106



fig. 110fig. 110

fig. 111fig. 111

d) El razonamiento anteriormente explicado tiene aplicación en el casod) El razonamiento anteriormente explicado tiene aplicación en el caso de que el plano en cuestión sea el primer bisector. de que el plano en cuestión sea el primer bisector.

- Con el segundo bisector se procederá así: ( fig. 111 )- Con el segundo bisector se procederá así: ( fig. 111 )

a) Nos determinamos una horizontal cualquiera de a) Nos determinamos una horizontal cualquiera de , y en la, y en la prolongación de la proyección horizontal de dicha recta, el punto prolongación de la proyección horizontal de dicha recta, el punto b2 -b2 -

107107



b'2 b'2 que falta para determinar la recta de interssección, puesto que el que falta para determinar la recta de interssección, puesto que el otro punto es otro punto es a - a' a - a' en la línea de tierra. ( fig. 111 ) en la línea de tierra. ( fig. 111 )

fig. 111fig. 111

112.- Encontrar la intersección de una recta con un plano ( fig. 112 )112.- Encontrar la intersección de una recta con un plano ( fig. 112 )

- La recta dato es la - La recta dato es la r - r' r - r' y el plano dado es el y el plano dado es el . Por la recta . Por la recta r - r'r - r' hacemos pasar un plano cualquiera, que para facilitar la operación se tratará dehacemos pasar un plano cualquiera, que para facilitar la operación se tratará de un plano proyectante, que es en el presente caso uno horizontal, que corta alun plano proyectante, que es en el presente caso uno horizontal, que corta al plano plano según la recta según la recta s - s's - s'. .

- Las rectas - Las rectas r - r' r - r' yy s - s' s - s', se cortan en el punto , se cortan en el punto i - i’ i - i’ que es la que es la intersección entre la recta intersección entre la recta RR y el plano. y el plano.

108108



fig. 112fig. 112

113.- Intersección de una recta con un plano dado por dos rectas que se113.- Intersección de una recta con un plano dado por dos rectas que se cortan: cortan: ( fig. 113 ) ( fig. 113 )

Sea la recta Sea la recta r - r'.r - r'.

Las rectas Las rectas s - s' s - s' y y t - t' t - t' se cortan en el punto se cortan en el punto c - c'.c - c'.

Usar un plano proyectante vertical porUsar un plano proyectante vertical por r - r' r - r'; dicho plano corta a la recta ; dicho plano corta a la recta s - s's - s' en en el punto el punto b - b'b - b', y a la recta, y a la recta t - t' t - t' en el punto en el punto a - a'a - a'..

La intersección de La intersección de ab - a'b' ab - a'b' con con r - r' r - r' es el punto es el punto i - i i - i buscado. buscado.

109109



fig. 113fig. 113

114.- Encontrar una recta que corta a otras tres: ( fig. 114 )114.- Encontrar una recta que corta a otras tres: ( fig. 114 )

- Datos:- Datos: Recta Recta RR: ( : ( v - h, v' - h' v - h, v' - h' ))Recta Recta SS: ( : ( v1 - h1, v'1 - h'1 v1 - h1, v'1 - h'1 ))Recta Recta TT: ( : ( v3 - h3, v'3 - h'3 v3 - h3, v'3 - h'3 ))

- Nos damos un punto cualquiera en la recta - Nos damos un punto cualquiera en la recta RR ( ( a - a' a - a' ))

- Otro punto cualquiera, esta vez en la recta - Otro punto cualquiera, esta vez en la recta SS ( o - o' ( o - o' ))

- Las rectas - Las rectas A - OA - O ( ( v2 - h2, v'2 - h'2 v2 - h2, v'2 - h'2 ), y ), y SS, nos determinan el plano , nos determinan el plano ..

- Ubicamos un punto, ahora en la recta - Ubicamos un punto, ahora en la recta TT, ( , ( n - n' n - n' ))

- Las rectas - Las rectas A - N A - N ( ( v4 - h4, v'4 - h'4 v4 - h4, v'4 - h'4 ), y ), y TT, determinan el plano , determinan el plano . .

- Encontramos la intersección de los planos - Encontramos la intersección de los planos y y , en la recta , en la recta II ( ( h5 - v5, h'5 - v'5 h5 - v5, h'5 - v'5 ))

110110



fig. 114fig. 114

- La recta - La recta I I es la solución, la misma que corta a las tres rectas que son dato es la solución, la misma que corta a las tres rectas que son dato del problema, de ladel problema, de la siguiente manera: siguiente manera:

a) a la recta a) a la recta R R la corta en el punto la corta en el punto AA, que es el de partida., que es el de partida.b) a la recta b) a la recta SS la corta en el punto la corta en el punto BB..c) a la recta c) a la recta T T la corta en el punto la corta en el punto CC..

111111



115.- Encontrar la recta que corta a otras dos rectas y es paralela a un plano:115.- Encontrar la recta que corta a otras dos rectas y es paralela a un plano: ( fig. 115 )( fig. 115 )

- Se traza un plano- Se traza un plano paralelo al paralelo al . .

- Se halla la intersección - Se halla la intersección a - a' a - a' y y b - b' b - b' de las rectas dadas conde las rectas dadas con ..

- El punto - El punto a - a' a - a' se determina por el plano auxiliar se determina por el plano auxiliar que corta a que corta a según la recta según la recta m - m' m - m', la que a su vez lo hace a , la que a su vez lo hace a t - t't - t', en , en a - a'a - a'..

- Para determinar - Para determinar b - b'b - b' se utiliza el plano se utiliza el plano cuya intersección cuya intersección n - n' n - n' con con corta a corta a s - s' s - s' en en b - b'b - b'..

- La recta pedida es la - La recta pedida es la ab - a'b'ab - a'b'..

112112



fig. 115fig. 115

116.- Trazar una recta que corta a otras dos y es paralela a una tercera recta:116.- Trazar una recta que corta a otras dos y es paralela a una tercera recta: ( fig. 116 )( fig. 116 )

- Puede ocurrir que las rectas se crucen o no. Si se cruzan, y - Puede ocurrir que las rectas se crucen o no. Si se cruzan, y TT es la recta es la recta a la que ha de ser paralela la recta pedida.a la que ha de ser paralela la recta pedida.

- Por un punto de - Por un punto de A A de una de ellas, por ejemplo la de una de ellas, por ejemplo la RR, se traza , se traza T'T' paralela a paralela a TT, que con , que con R R determinan el plano determinan el plano , paralelo a , paralelo a TT..

- Se halla - Se halla BB, intersección de , intersección de SS con el plano con el plano . .

- Por - Por BB, se traza una paralela a , se traza una paralela a TT ( ( BC BC ) contenida en el plano ) contenida en el plano ,, que corta a que corta a RR en en CC. . BCBC es la recta pedida. es la recta pedida.

- Si las rectas se cortan ( - Si las rectas se cortan ( R R yy S S ), forman al plano ), forman al plano . Si T es paralela a . Si T es paralela a ,, cualquier recta paralela a cualquier recta paralela a T T que esté situada en el plano, como la que esté situada en el plano, como la YY,, resuelve el problema ( fig. 116 a ). Si resuelve el problema ( fig. 116 a ). Si TT no fuera paralela, el problema no no fuera paralela, el problema no tendría solución, puesto que cualquier recta como la tendría solución, puesto que cualquier recta como la II, que corta a, que corta a R R yy S S,, estaría contenida en el plano estaría contenida en el plano y por lo tanto no podría ser nunca paralela a y por lo tanto no podría ser nunca paralela a la la T T por no ser esta última paralela a por no ser esta última paralela a . .

113113



fig. 116fig. 116 fig. 116 afig. 116 a

117.-117.- Dadas dos rectas S y R, que se cruzan, trazar una tercera recta queDadas dos rectas S y R, que se cruzan, trazar una tercera recta que corte a corte a ambas y sea paralela a LT. ( fig. 117 )ambas y sea paralela a LT. ( fig. 117 )

- Se traza el plano - Se traza el plano paralelo a LT y que pase por la recta paralelo a LT y que pase por la recta RR, para lo, para lo cual ambas trazas pasarán por las trazas de la recta.cual ambas trazas pasarán por las trazas de la recta.

- Se pasa por - Se pasa por SS un proyectante y se halla la intersección un proyectante y se halla la intersección b - b' b - b' con la con la recta recta SS..

- La recta buscada es - La recta buscada es bc - b'c'bc - b'c', paralela a LT trazada por , paralela a LT trazada por b - b'b - b' y que y que corte a corte a R R en en c - c' .c - c' .

114114



fig. 117fig. 117

118.- Determinar la intersección de un plano horizontal, con otro paralelo a la línea de118.- Determinar la intersección de un plano horizontal, con otro paralelo a la línea de tierra. ( fig. 118 )tierra. ( fig. 118 )

- Por ser la recta la intersección, perteneciente a ambos, será a su vez horizontal,- Por ser la recta la intersección, perteneciente a ambos, será a su vez horizontal, y paralela a la línea de tierra.y paralela a la línea de tierra.

- Para su solución nos auxiliamos de un plano cualquiera, como el que se - Para su solución nos auxiliamos de un plano cualquiera, como el que se observa en la figura 118. El plano observa en la figura 118. El plano determina dos rectas de intersección con determina dos rectas de intersección con los planos dato, las mismas que se cortarán en un punto común los planos dato, las mismas que se cortarán en un punto común o' - oo' - o. Por éste. Por éste trazamos una recta paralela a la línea de tierra, que es la solución. trazamos una recta paralela a la línea de tierra, que es la solución.

115115



fig. 118fig. 118

119.- Encontrar la intersección de dos planos que tienen común su punto de intersección119.- Encontrar la intersección de dos planos que tienen común su punto de intersección de trazas con la línea de tierra ( de trazas con la línea de tierra ( t' - t t' - t ) y cuyas trazas de nombre contrario, coinciden.) y cuyas trazas de nombre contrario, coinciden.

- - Para solucionar este problema, nos damos un plano auxiliar horizontal Para solucionar este problema, nos damos un plano auxiliar horizontal H'H',, que se va a cortar con ambos, según dos rectas horizontales, la que se va a cortar con ambos, según dos rectas horizontales, la r'- rr'- r, y la , y la s'-s'- ss. Como bien se sabe, las proyecciones verticales de estas rectas, coinciden con. Como bien se sabe, las proyecciones verticales de estas rectas, coinciden con

la traza horizontal la traza horizontal H'H', pero, pero sus proyecciones horizontales se van a cortar ensus proyecciones horizontales se van a cortar en unun punto común punto común o'- oo'- o, que unido con el , que unido con el t'- tt'- t (que ya es un punto de la (que ya es un punto de la intersección ), nos determinan la recta solución.intersección ), nos determinan la recta solución.

fig. 119fig. 119

116116



120.- Determinar la intersección de un plano, por otro dado por su recta de máxima120.- Determinar la intersección de un plano, por otro dado por su recta de máxima pendiente, sin que tenga que usarse las trazas de éste. ( fig. 120 )pendiente, sin que tenga que usarse las trazas de éste. ( fig. 120 )

- Téngase presente, por definición, que las proyecciones horizontales de las- Téngase presente, por definición, que las proyecciones horizontales de las rectas de un plano, de las que éstas son de su máxima pendiente, sonrectas de un plano, de las que éstas son de su máxima pendiente, son perpendiculares a la respectiva traza horizontal del plano.perpendiculares a la respectiva traza horizontal del plano.

117117



fig. 120fig. 120

- Para no perder el hilo en este proceso, obsérvense los siguientes pasos:- Para no perder el hilo en este proceso, obsérvense los siguientes pasos:

1) Trazar un plano horizontal 1) Trazar un plano horizontal H'H', que pase por , que pase por a'a'. Este se corta. Este se corta con con según la recta según la recta r'- rr'- r, por , por v'- v v'- v. ( . ( rr, paralela a , paralela a ) )

2) Otro por 2) Otro por b' b' que se corte con que se corte con según según s'- s s'- s ( s, paralela a( s, paralela a ) )

3) Por 3) Por aa, pasamos una perpendicular a , pasamos una perpendicular a tt que se corta con que se corta con rr, en, en i'- ii'- i..

4) Por 4) Por bb, otra perpendicular a la misma recta, obteniendo el punto , otra perpendicular a la misma recta, obteniendo el punto o'o' - o- o..

5) La solución será la unión de los puntos 5) La solución será la unión de los puntos i - oi - o. ( fig. 120). ( fig. 120)

121.- Determinar la intersección de los planos definidos, uno por su recta 121.- Determinar la intersección de los planos definidos, uno por su recta AB AB de de máxima pendiente, y el otro, por el de su máxima inclinación máxima pendiente, y el otro, por el de su máxima inclinación CDCD, sin usar las, sin usar las respectivas trazas. ( fig. 121)respectivas trazas. ( fig. 121)

118118



fig. 121fig. 121- Nos damos un plano auxiliar - Nos damos un plano auxiliar H'H', cuya intersección con el plano definido por, cuya intersección con el plano definido por ABAB, es la horizontal , es la horizontal EFEF, cuyas proyecciones son , cuyas proyecciones son e' f' e' f' yy e f e f,, (perpendicular a (perpendicular a abab, por ser ésta de máxima pendiente del plano)., por ser ésta de máxima pendiente del plano).

- Seguidamente, trazamos un segundo plano auxiliar, el frontal - Seguidamente, trazamos un segundo plano auxiliar, el frontal FF, cuya, cuya intersección con el plano definido por intersección con el plano definido por CDCD, es la frontal , es la frontal IGIG, cuyas, cuyas proyecciones son proyecciones son i'g' i'g' ee ig ig ( ( i'g'i'g', es perpendicular a , es perpendicular a c'd'c'd', por ser ésta de, por ser ésta de máxima inclinación del plano ).máxima inclinación del plano ).

- Nos encontramos ahora en presencia de dos planos definidos por las rectas- Nos encontramos ahora en presencia de dos planos definidos por las rectas concurrentes concurrentes BE, EF BE, EF e e IG, GD.IG, GD.

- El plano - El plano H' H' corta al primero en el punto corta al primero en el punto EE, de concurrencia, y al segundo,, de concurrencia, y al segundo, según la horizontal según la horizontal SDSD; donde ésta encuentre a ; donde ésta encuentre a efef, tenemos , tenemos m' - mm' - m, uno, uno de los puntos de la intersección.de los puntos de la intersección.

- El plano - El plano FF corta al segundo, en el punto corta al segundo, en el punto GG de concurrencia, y al primero de concurrencia, y al primero según la frontal según la frontal UTUT, cuya proyección vertical , cuya proyección vertical u' t'u' t', encuentra a , encuentra a y' g'y' g', en, en n'n' ( ( n' n n' n ), que es el otro punto de la intersección.), que es el otro punto de la intersección.

- La unión de - La unión de MM con con NN, es la solución., es la solución.

122.-Hallar la intersección de la recta 122.-Hallar la intersección de la recta ABAB, con el plano formado por , con el plano formado por CD CD yy DE DE, que, que se cortan. ( fig. 122 )se cortan. ( fig. 122 )

- Se traza por - Se traza por ABAB, un proyectante vertical , un proyectante vertical que corta a que corta a DEDE, en , en GG,, y a y a CDCD, en , en FF. Uniendo . Uniendo FF y y GG, obtenemos , obtenemos YY, intersección buscada., intersección buscada.

119119



123.- Encontrar el punto donde la recta de perfil 123.- Encontrar el punto donde la recta de perfil ABAB, atraviesa al plano , atraviesa al plano , y que es, y que es perpendicular al primer bisector. ( fig.123 )perpendicular al primer bisector. ( fig.123 )

- Por ser el plano perpendicular al primer bisector, sus trazas son simétricas- Por ser el plano perpendicular al primer bisector, sus trazas son simétricas respecto de la línea de tierra. Rebatiendo el plano de perfil que contiene a larespecto de la línea de tierra. Rebatiendo el plano de perfil que contiene a la recta recta ABAB, encontramos el punto , encontramos el punto II, donde ésta corta al plano., donde ésta corta al plano.

fig.122fig.122

120120



fig. 123fig. 123

PERPENDICULARIDADPERPENDICULARIDAD

YY

DISTANCIASDISTANCIAS

121121



124.- Si se quiere trazar una recta 124.- Si se quiere trazar una recta r - r' r - r' perpendicular al plano perpendicular al plano , basta dibujar sus, basta dibujar sus proyecciones perpendiculares a las trazas del plano. ( fig. 124 )proyecciones perpendiculares a las trazas del plano. ( fig. 124 )

fig. 124fig. 124

- Nótese que por ser - Nótese que por ser r r perpendicular a perpendicular a , lo será a todas las proyecciones, lo será a todas las proyecciones horizontales horizontales ss de las horizontales del plano; asimismo de las horizontales del plano; asimismo r' r' será perpendicular a será perpendicular a las proyecciones verticales las proyecciones verticales f'f' de las frontales del plano. de las frontales del plano.

122122



- Si por un punto - Si por un punto b - b' b - b' ha de trazarse una perpendicular al plano ha de trazarse una perpendicular al plano , basta, basta trazar por sus proyecciones, perpendiculares a las trazas del plano.trazar por sus proyecciones, perpendiculares a las trazas del plano.

125.- Trazar por un punto un plano perpendicular a una recta:125.- Trazar por un punto un plano perpendicular a una recta: ( fig.125 ) ( fig.125 )

- a - a'- a - a' es el punto; es el punto; r - r' r - r' es la recta. es la recta.

- Por - Por a - a' a - a' trazar una horizontal del plano, trazar una horizontal del plano, s - s's - s', cuya proyección, cuya proyección horizontal horizontal s s será perpendicular a será perpendicular a rr; hallar la traza vertical ; hallar la traza vertical v - v' v - v' de la de la recta. recta.

- Por - Por v' v' una perpendicular a una perpendicular a r' r' que será la traza vertical del plano, que será la traza vertical del plano, determinándose la traza horizontal determinándose la traza horizontal , paralela a , paralela a ss..

123123



fig. 125fig. 125

125.- Trazar un plano perpendicular a otro. ( fig. 125 )125.- Trazar un plano perpendicular a otro. ( fig. 125 )

- Para que los planos - Para que los planos y y sean perpendiculares, es preciso que uno sean perpendiculares, es preciso que uno de ellos, por ejemplo el de ellos, por ejemplo el , contenga una recta R perpendicular al plano, contenga una recta R perpendicular al plano ..

- Por esta recta, pueden pasar infinitos planos; por tanto las soluciones serán- Por esta recta, pueden pasar infinitos planos; por tanto las soluciones serán infinitas. ( fig. 125 )infinitas. ( fig. 125 )

124124



fig. 125fig. 125

- Tazar - Tazar r - r' r - r' perpendicular al plano. perpendicular al plano.

- Por las trazas de la recta, pasar un plano cualquiera, el- Por las trazas de la recta, pasar un plano cualquiera, el ..

- Encontrar la recta de intersección entre ambos planos, que es la - Encontrar la recta de intersección entre ambos planos, que es la i - i'i - i'..

- A- A, es la intersección entre , es la intersección entre R R e e Y Y, coincidente con su traza horizontal., coincidente con su traza horizontal. ( fig. 125 )( fig. 125 )

126.- Plano que pasa por un punto o una recta y es perpendicular a otro126.- Plano que pasa por un punto o una recta y es perpendicular a otro plano: plano: ( fig. 126 )( fig. 126 )

- Por - Por a - a' a - a' trazar una perpendicular al plano trazar una perpendicular al plano , la , la r - r'r - r'..

- Cualquier plano que pase por - Cualquier plano que pase por r - r' r - r' será perpendicular al plano será perpendicular al plano . .

- Uno de los muchos planos podría ser el proyectante - Uno de los muchos planos podría ser el proyectante . Si el plano . Si el plano además de ser perpendicular a además de ser perpendicular a , debiera pasar por una recta , debiera pasar por una recta S, S, ( fig. 126 ) ( fig. 126 ) desde el punto desde el punto AA pasar una perpendicular a pasar una perpendicular a ; ; R R y y S S determinan el determinan el plano plano , perpendicular a , perpendicular a . .

- Para ello, por - Para ello, por a - a'a - a', trazar perpendiculares a , trazar perpendiculares a ' - ' - , , hallando sushallando sus trazas. Encontrar las trazas de trazas. Encontrar las trazas de s - s's - s'; por las trazas de ; por las trazas de S S yy R R, se, se determina el plano determina el plano , que será , que será perpendicular a perpendicular a . .

127.- 127.- Recta perpendicular a otra ( fig. 127 ).Recta perpendicular a otra ( fig. 127 ).

- Si se traza un plano cualquiera - Si se traza un plano cualquiera ' - ' - perpendicular a la recta perpendicular a la recta RR, cualquier, cualquier recta del plano le es perpendicular.recta del plano le es perpendicular.

- En el depurado: - En el depurado: ' - ' - es perpendicular a es perpendicular a r - r'r - r'..

- La recta - La recta s - s' s - s' del plano del plano ' - ' - , es perpendicular a , es perpendicular a RR. . ( fig. 127 )( fig. 127 )

125125



fig. 125fig. 125

fig. 125 afig. 125 a fig. 126fig. 126128.-Primer procedimiento para encontrar la perpenedicular común entre dos128.-Primer procedimiento para encontrar la perpenedicular común entre dos rectas que se cruzan ( fig. 128 )rectas que se cruzan ( fig. 128 )

126126



- Sean - Sean R R y y S S las rectas que se curzan ( fig. 128 ) las rectas que se curzan ( fig. 128 )

- Trazar el plano - Trazar el plano perpendicular a perpendicular a RR, y , y perpendicular a perpendicular a SS;; hallar luego la recta hallar luego la recta II, intersección de , intersección de yy ..

- Trazar el plano - Trazar el plano por una de ellas, en este caso la por una de ellas, en este caso la RR, y que es paralelo a, y que es paralelo a II, encontrando la intersección , encontrando la intersección A A de de S S con con ..

- Por - Por AA, la paralela a I, la paralela a I que da que da B B enen R R, siendo , siendo ABAB la perpendicular la perpendicular común que se busca.común que se busca.

- Datos en el depurado: - Datos en el depurado: r - r' r - r' y y s - s' ( fig. 128 a )s - s' ( fig. 128 a )

- Por - Por r - rr - r', un plano perpendicular ', un plano perpendicular , y por , y por s - s', s - s', el plano el plano ..

- La intersección de - La intersección de y y da la recta da la recta i - i'.i - i'.

fig. 128fig. 128

127127



fig. 128 afig. 128 a- Por - Por A A de de RR, una paralela a , una paralela a YY, que con , que con RR, nos determina el plano , nos determina el plano . .

- Por la recta - Por la recta SS, pasar un proyectante , pasar un proyectante , que al cortarse con , que al cortarse con , nos , nos permite encontrar el punto permite encontrar el punto A1A1..

128128



- Por - Por a'1 - a1a'1 - a1, pasar una paralela a , pasar una paralela a II, que corta a , que corta a r - r'r - r' en en b - b'b - b'. La. La unión de unión de a1 - a'1 a1 - a'1 y y b - b'b - b', es la solución., es la solución.

129.- Segundo procedimiento para encontrar la perpendicular común entre dos129.- Segundo procedimiento para encontrar la perpendicular común entre dos rectas que se cruzanrectas que se cruzan (fig. 129) (fig. 129)

- Trazar el plano - Trazar el plano perpendicular a una de ellas, por ejemplo la perpendicular a una de ellas, por ejemplo la RR,, que corta al plano en que corta al plano en CC..

- Encontrar la proyección de - Encontrar la proyección de SS sobre sobre en T. en T.

- Desde - Desde CC, una perpendicular a , una perpendicular a T T en en DD..

fig. 129fig. 129- Por - Por DD trazar una paralela a trazar una paralela a RR, que corta a , que corta a SS en en AA..

- Por - Por AA una paralela a una paralela a CDCD hasta que corte a hasta que corte a R R en en EE..

- D- Datos en el depurado: Trazar atos en el depurado: Trazar perpendicular a perpendicular a RR. ( fig. 129 a ). ( fig. 129 a )

129129



- Mediante un proyectante - Mediante un proyectante por por RR, determinar la intersección de ésta, determinar la intersección de ésta con con en en CC..

- Por un punto - Por un punto A A de de SS, perpendicular a , perpendicular a ( h2 - v2 ), que con la ( h2 - v2 ), que con la SS ( h( h11 - v - v11 ) determinan el plano ) determinan el plano . .

- La intersección de - La intersección de y y da la recta da la recta T, T, proyección de proyección de S S sobre sobre ..

- Desde - Desde C C perpendicular a perpendicular a , hasta cortar , hasta cortar TT en el punto en el punto DD..

- Por - Por DD paralela a paralela a RR, hasta encontrar , hasta encontrar SS, determinando , determinando el puntoel punto A A..

- Desde - Desde AA, paralela a , paralela a CDCD, hasta encontrar , hasta encontrar RR, determinand. La recta , determinand. La recta ABAB es la solución.es la solución.

fig. 130fig. 130

130130



fig. 129 afig. 129 a130.- Tercer procedimiento para encontrar la perpendicular común entre dos rectas que se130.- Tercer procedimiento para encontrar la perpendicular común entre dos rectas que se cruzan. ( fig. 130 )cruzan. ( fig. 130 )

- Por un punto cualquiera A de S, trazar una paralela R- Por un punto cualquiera A de S, trazar una paralela R11, a R, y hallar el plano , a R, y hallar el plano formado por S y Rformado por S y R11, que será paralelo a R., que será paralelo a R.

- Proyectar ortogonalmente R sobre - Proyectar ortogonalmente R sobre . Para ello, por un punto B de R, trazar . Para ello, por un punto B de R, trazar una perpendicular BC a una perpendicular BC a que lo corta en C. La paralela R que lo corta en C. La paralela R22 a R por C, es la a R por C, es la proyección buscada.proyección buscada.

131131



- Determinar el punto de intersección M de S con la proyección R- Determinar el punto de intersección M de S con la proyección R2 2 de R y trazarde R y trazar por él la perpendicular al plano ( paralela a BC ) que cortará a R en N. MN es lapor él la perpendicular al plano ( paralela a BC ) que cortará a R en N. MN es la perpendicular común.perpendicular común.

- En el depurado, ( fig. 130 a ) , por a’ - a de S, trazar una paralela a R y da r- En el depurado, ( fig. 130 a ) , por a’ - a de S, trazar una paralela a R y da r11

- r’- r’11, determinando el plano , determinando el plano por las trazas de r por las trazas de r11 - r’ - r’11 y s - s’. y s - s’.

- Determinar un punto b - b’ en r - r’; por b pasar un plano proyectante - Determinar un punto b - b’ en r - r’; por b pasar un plano proyectante que que se corta con se corta con según la recta o - o’. Por b’, una perpendicular a según la recta o - o’. Por b’, una perpendicular a , obteniendo, obteniendo el punto c - c’.el punto c - c’.

- Por c - c’, una paralela a r - r’. que corta a s - s’ en m - m’. Por este último,- Por c - c’, una paralela a r - r’. que corta a s - s’ en m - m’. Por este último, una paralela bc - b’c’, y hallamos en r - r’ el punto n - n’. Uniendo m - m’ conuna paralela bc - b’c’, y hallamos en r - r’ el punto n - n’. Uniendo m - m’ con n - n’ , tenemos la respuesta.n - n’ , tenemos la respuesta.

131.- Determinar la perpendiculara común entre dos rectas, siendo una de ellas de punta.131.- Determinar la perpendiculara común entre dos rectas, siendo una de ellas de punta. ( fig. 131. )( fig. 131. )

- Trazamos la perpendicular - Trazamos la perpendicular c' d' - cdc' d' - cd, a , a t - t' t - t' y por el punto dey por el punto de intersección de ambas, intersección de ambas, d - d' d - d', la paralela , la paralela da - d'a' da - d'a' a a r - r' r - r' que será otra que será otra recta de punta que cortará a recta de punta que cortará a s - s' s - s' en en a - a'a - a'..

- Trazando finalmente por - Trazando finalmente por a - a' a - a' la paralela la paralela ab - a'b' ab - a'b' a a cd - c'd'cd - c'd', cortará, cortará en en b - b'b - b' a a r - r'r - r', siendo esta última recta , siendo esta última recta ab - a'b' ab - a'b' la perpendicular común la perpendicular común buscada.buscada.

132132



fig. 130 afig. 130 a

133133



fig. 131fig. 131

132.- Distancia de un punto que se encuentre en el primer cuadrante, a una recta. 132.- Distancia de un punto que se encuentre en el primer cuadrante, a una recta. ( fig. 132 )( fig. 132 )

- Sea la recta R ( r’ - r ), con trazas v’ y h.- Sea la recta R ( r’ - r ), con trazas v’ y h.

- Se trata de encontrar la distancia que hay entre el punto A ( a’ - a ) - Se trata de encontrar la distancia que hay entre el punto A ( a’ - a ) y dicha recta.y dicha recta.

- La distancia que hay entre dos elementos cualesquiera, es la - La distancia que hay entre dos elementos cualesquiera, es la perpendicular que separa a ambos. Es decir que se trata de encontrar la perpendicular que separa a ambos. Es decir que se trata de encontrar la recta que desde el punto A, sea perpendicular a R.recta que desde el punto A, sea perpendicular a R.

- Como entre rectas no hay relación directa de perpendicularidad, (en el - Como entre rectas no hay relación directa de perpendicularidad, (en el depurado), hay que acudir a una de las rectas auxiliares, en este caso depurado), hay que acudir a una de las rectas auxiliares, en este caso una horizontal, cuya proyección no paralela a la línea de tierra, sea una horizontal, cuya proyección no paralela a la línea de tierra, sea perpendicular desde a, a r, pasando por a’ la proyección vertical r’. La perpendicular desde a, a r, pasando por a’ la proyección vertical r’. La traza vertical de esta recta es la v’1.traza vertical de esta recta es la v’1.

134134



fig. 132fig. 132- Ahora sí podremos pasar el plano perpendicular a la recta R, y que pase - Ahora sí podremos pasar el plano perpendicular a la recta R, y que pase por el punto A, que es desde donde se podrá trazar la perpendicular opor el punto A, que es desde donde se podrá trazar la perpendicular o distancia pedida en el presente ejercicio; este plano es el distancia pedida en el presente ejercicio; este plano es el ’ - ’ - , , cuya traza vertical pasará por v’cuya traza vertical pasará por v’11, traza vertical de la recta auxiliar , traza vertical de la recta auxiliar que pasa por el punto A, perpendicular a r’, desde cuya intersección que pasa por el punto A, perpendicular a r’, desde cuya intersección con la línea decon la línea de tierra,tierra, se pasará lase pasará la traza horizontal, perpendicular a la traza horizontal, perpendicular a la proyección horizontal r de la recta.proyección horizontal r de la recta.

- Seguidamente débese encontrar la intersección de la recta R con el - Seguidamente débese encontrar la intersección de la recta R con el plano, para lo que nos auxiliamos de un plano proyectante vertical que plano, para lo que nos auxiliamos de un plano proyectante vertical que pase por la recta, procedimiento este que nos permite encontrar el pase por la recta, procedimiento este que nos permite encontrar el punto B, donde la recta corta al plano.punto B, donde la recta corta al plano.

- La unión de los puntos A y B, nos dará la distancia pedida.- La unión de los puntos A y B, nos dará la distancia pedida.

135135



- Para encontrar la verdadera magnitud de esta distancia, se procede por los- Para encontrar la verdadera magnitud de esta distancia, se procede por los métodos aplicables al efecto, esto es mediante la triangulación métodos aplicables al efecto, esto es mediante la triangulación rectangular, para lo que escogemos la proyección vertical del segmento rectangular, para lo que escogemos la proyección vertical del segmento ( d’ ), trazando un ángulo recto sobre el vértice b’.( d’ ), trazando un ángulo recto sobre el vértice b’.

- Sobre este segundo cateto, llevamos la diferencia de alejamientos entre - Sobre este segundo cateto, llevamos la diferencia de alejamientos entre los puntos a y b ( segmento pq ), cuyo extremo, al unirse con a’ nos dará los puntos a y b ( segmento pq ), cuyo extremo, al unirse con a’ nos dará la distancia pedida, que en el presente caso es de 41 mm.la distancia pedida, que en el presente caso es de 41 mm.

133.- Encontrar la distancia que hay desde un punto que se encuentre en el segundo 133.- Encontrar la distancia que hay desde un punto que se encuentre en el segundo cuadrante, a una recta dada. ( fig. 133 )cuadrante, a una recta dada. ( fig. 133 )

- Los procedimientos a seguir son los mismos que en el ejercicio anterior, - Los procedimientos a seguir son los mismos que en el ejercicio anterior, con la salvedad de que para encontrar el punto B ( b - b’ ), al no cortarse con la salvedad de que para encontrar el punto B ( b - b’ ), al no cortarse las trazas horizontales las trazas horizontales y y , , debemos acudir al auxilio de un plano debemos acudir al auxilio de un plano frontal que al hacerlo según las rectas Ifrontal que al hacerlo según las rectas I11 e I e I22, determinan el punto O (, determinan el punto O ( o’ - o ), el que unido a la traza vertical de la recta R ( v’ ), permite obtener o’ - o ), el que unido a la traza vertical de la recta R ( v’ ), permite obtener precisamente la proyección vertical b’, y posteriormente la horizontal b.precisamente la proyección vertical b’, y posteriormente la horizontal b.

- Lo demás, es decir la verdadera magnitud de la distancia, se obtiene - Lo demás, es decir la verdadera magnitud de la distancia, se obtiene siguiendo los pasos del anterior ejercicio.siguiendo los pasos del anterior ejercicio.

136136



fig. 133fig. 133

134.- Encontrar la distancia de un punto que se encuentre en el tercer cuadrante, a 134.- Encontrar la distancia de un punto que se encuentre en el tercer cuadrante, a una recta oblicua. ( fig.134 )una recta oblicua. ( fig.134 )

- Se trata del punto A, que por estar en el tercer cuadrante, tiene su - Se trata del punto A, que por estar en el tercer cuadrante, tiene su proyección horizontal proyección horizontal aa, sobre la línea de tierra, y la vertical , sobre la línea de tierra, y la vertical a’,a’, debajo debajo de ella, que se encuentra a una distancia a encontrar , de la recta T con de ella, que se encuentra a una distancia a encontrar , de la recta T con trazas v’ y h.trazas v’ y h.

- Debemos pasar una recta auxiliar por el punto A, que será una frontal u - Debemos pasar una recta auxiliar por el punto A, que será una frontal u horizontal, cuyas proyecciones no paralelas a la línea de tierra se ven en horizontal, cuyas proyecciones no paralelas a la línea de tierra se ven en verdadera magnitud; en el presente caso se trata de una frontal cuya verdadera magnitud; en el presente caso se trata de una frontal cuya proyección vertical por a’, será perpendicular a la proyección vertical t’ de T.proyección vertical por a’, será perpendicular a la proyección vertical t’ de T. ( Esto por cuanto no existe perpendiculararidad directa entre rectas ).( Esto por cuanto no existe perpendiculararidad directa entre rectas ).

- Seguidamente trazaremos un plano perpendicular a la recta T, para lo - Seguidamente trazaremos un plano perpendicular a la recta T, para lo cual, por la traza horizontal h1 de la frontal auxiliar, pasará la traza cual, por la traza horizontal h1 de la frontal auxiliar, pasará la traza horizontal horizontal del plano, perpendicular a la proyección horizontal de la del plano, perpendicular a la proyección horizontal de la

137137



frontal, para desde su intersección con la línea de tierra, tomar la traza frontal, para desde su intersección con la línea de tierra, tomar la traza ‘ ‘ del plano, paralela, a la proyección vertical de la frontal.del plano, paralela, a la proyección vertical de la frontal.

- Se encuentra ahora la intersección entre la recta T y el plano - Se encuentra ahora la intersección entre la recta T y el plano ; para lo ; para lo que como se sabe debe utilizarse un plano proyectante por T; en este caso que como se sabe debe utilizarse un plano proyectante por T; en este caso se trata de uno horizontal, que por la recta I, intersección entre ambos se trata de uno horizontal, que por la recta I, intersección entre ambos planos, determina el punto buscado B ( b - b’ ).planos, determina el punto buscado B ( b - b’ ).

- La unión de A con B, nos dará la distancia buscada, que al aplicársele el - La unión de A con B, nos dará la distancia buscada, que al aplicársele el método de la triangulación ya conocida, determina su verdadera magnitud método de la triangulación ya conocida, determina su verdadera magnitud ( 66 mm. ).( 66 mm. ).

135.- Hallar la distancia entre un punto que se encuentra en el cuarto135.- Hallar la distancia entre un punto que se encuentra en el cuarto cuadrante y una recta R ( r’ - r ) con trazas v’ y h ( va del primero al tercer cuadrante y una recta R ( r’ - r ) con trazas v’ y h ( va del primero al tercer cuadrante, pasando pos el segundo ). Fig. 135cuadrante, pasando pos el segundo ). Fig. 135

- El punto que se encuentra en el cuarto cuadrante, es el A ( a’ - a ), y la - El punto que se encuentra en el cuarto cuadrante, es el A ( a’ - a ), y la recta, es la determinada en el enunciado.recta, es la determinada en el enunciado.

138138



fig. 134fig. 134

139139



fig. 99fig. 99

- Por los procedimientos enunciados en el ejercicio anterior, (utilizando la - Por los procedimientos enunciados en el ejercicio anterior, (utilizando la recta auxiliar horizontal, f’ - f , encontramos que la distancia es el recta auxiliar horizontal, f’ - f , encontramos que la distancia es el segmento determinado por los puntos O y A, que en verdadera magnitud segmento determinado por los puntos O y A, que en verdadera magnitud nos da 58 mm.nos da 58 mm.

136.- Encontrar la distancia de un punto en el cuarto cuadrante, a una recta con 136.- Encontrar la distancia de un punto en el cuarto cuadrante, a una recta con trazas v’ - h, y que va del primer cuadrante al tercero, pasando por el segundo. trazas v’ - h, y que va del primer cuadrante al tercero, pasando por el segundo. ( fig. 136 )( fig. 136 )

- Por ser un ejercicio similar al anterior, pero con distintos datos, los - Por ser un ejercicio similar al anterior, pero con distintos datos, los procedimientos para su solución, son los mismos, por lo tanto basta seguir losprocedimientos para su solución, son los mismos, por lo tanto basta seguir los mismos pasos que se utilizaron en aquél.mismos pasos que se utilizaron en aquél.

140140



137.- Trazar una recta paralela a un plano. ( fig. 137 )137.- Trazar una recta paralela a un plano. ( fig. 137 )

- No existe en el sistema Monge la relación directa de paralelismo entre - No existe en el sistema Monge la relación directa de paralelismo entre rectas y planos, por lo que debe acudirse al auxilio de un plano querectas y planos, por lo que debe acudirse al auxilio de un plano que contenga otra recta que sea paralela a aquélla, puesto que entre ambas sí contenga otra recta que sea paralela a aquélla, puesto que entre ambas sí existe dicha relación de directo paralelismo. existe dicha relación de directo paralelismo.

- En el caso que nos toca, se trata de dibujar una recta que sea paralela al - En el caso que nos toca, se trata de dibujar una recta que sea paralela al plano plano - - ’. ’.

- Por las razones expuestas inicialmente, debemos trazarnos una recta - Por las razones expuestas inicialmente, debemos trazarnos una recta cualquiera del plano, en este caso la R ( r’ - r ).cualquiera del plano, en este caso la R ( r’ - r ).

- Seguidamente, por cualquier punto del espacio, nos trazamos una recta - Seguidamente, por cualquier punto del espacio, nos trazamos una recta cualquiera S ( s’ - s ), cuyas proyecciones sean paralelas a las homónimas cualquiera S ( s’ - s ), cuyas proyecciones sean paralelas a las homónimas de la R.de la R.

141141



fig. 136fig. 136

142142



fig. 137fig. 137

138.- Trazar una recta perpendicular a otra. ( Fig. 138 )138.- Trazar una recta perpendicular a otra. ( Fig. 138 )

- De la misma manera que entre rectas y planos no existe relación directa de- De la misma manera que entre rectas y planos no existe relación directa de paralelismo, no hay perpendicularidad directa entre rectas y planos, o paralelismo, no hay perpendicularidad directa entre rectas y planos, o elementos del mismo orden, como en el caso que nos ocupa; por lo queelementos del mismo orden, como en el caso que nos ocupa; por lo que también como en el caso anterior debemos acudir a un plano auxiliar que también como en el caso anterior debemos acudir a un plano auxiliar que sea perpendicular a la recta dada, pues entre recta y plano sí existe la sea perpendicular a la recta dada, pues entre recta y plano sí existe la mencionada relación directa de perpendicularidad.mencionada relación directa de perpendicularidad.

- Se trata de construir una recta que sea perpendicular a la S - Se trata de construir una recta que sea perpendicular a la S ( s’ - s ).( s’ - s ).

- Por las razones expuestas, nos trazamos un plano cualquiera - Por las razones expuestas, nos trazamos un plano cualquiera - - ’, ’, de tal manera que las trazas del plano, sean perpendiculares a las de tal manera que las trazas del plano, sean perpendiculares a las proyecciones homónimas de la recta.proyecciones homónimas de la recta.

- Al estar ya el plano, perpendicular a la recta, cualquier recta de éste, - Al estar ya el plano, perpendicular a la recta, cualquier recta de éste, como la T ( t’ - t ), cumple con las condiciones de ser perpendicular a la como la T ( t’ - t ), cumple con las condiciones de ser perpendicular a la recta dada.recta dada.

143143



fig. 138fig. 138

139.- Encontrar la mínima distancia que hay entre dos rectas que se cortan. (139.- Encontrar la mínima distancia que hay entre dos rectas que se cortan. ( fig. 139 )fig. 139 )

- Se trata de las rectas R ( r’ - r ), y S ( s’ - s ), que se cortan en el punto O (- Se trata de las rectas R ( r’ - r ), y S ( s’ - s ), que se cortan en el punto O ( o’ - o ).o’ - o ).

- Al cortarse las rectas, no existe separación entre las mismas, por lo que - Al cortarse las rectas, no existe separación entre las mismas, por lo que no podemos hablar de distancia entre ellas, por lo que no podemos hablar de distancia entre ellas, por lo que no existe no existe distancia entre las mismas.distancia entre las mismas.

144144



Fig. 139Fig. 139

140.- Encontrar la mínima distancia que hay entre las rectas R y S que se cruzan. 140.- Encontrar la mínima distancia que hay entre las rectas R y S que se cruzan. ( fig. 140 )( fig. 140 )

- Como siempre, para una mejor comprensión, tal como se realiza en las - Como siempre, para una mejor comprensión, tal como se realiza en las clases teóricas, obsérvese la solución espacial del ejercicio, que va adjunta a clases teóricas, obsérvese la solución espacial del ejercicio, que va adjunta a la solución en el depurado.la solución en el depurado.

- Desde un punto O de la recta R, se pasa una paralela S- Desde un punto O de la recta R, se pasa una paralela S11, a la recta S, que , a la recta S, que al cortarse con la R, determinará las trazas del plano al cortarse con la R, determinará las trazas del plano - - ’’, para , para lo que previamente se encuentran las trazas tanto de la recta R ( v’ - h ), lo que previamente se encuentran las trazas tanto de la recta R ( v’ - h ), como de la Scomo de la S1 1 ( v’ ( v’11 - h - h1 1 ), que unidas entre sí homónimamente, nos las ), que unidas entre sí homónimamente, nos las darán.darán.

- Desde un punto D ( d’ - d ), nos trazamos una perpendicular al plano, la - Desde un punto D ( d’ - d ), nos trazamos una perpendicular al plano, la misma que costa a éste en el punto C ( c’ - c ), usando previamente como misma que costa a éste en el punto C ( c’ - c ), usando previamente como auxiliar un plano proyectante auxiliar un plano proyectante . .

- El segmento BC ( b’c’ - bc ), es la solución.- El segmento BC ( b’c’ - bc ), es la solución.

145145



VERDADERASVERDADERAS

MAGNITUDESMAGNITUDES

146146



141.- Abatir sobre el plano vertical una recta frontal ( fig. 141 )141.- Abatir sobre el plano vertical una recta frontal ( fig. 141 )

- Ya se sabe que en realidad lo que se abate, es un plano, que en este caso - Ya se sabe que en realidad lo que se abate, es un plano, que en este caso será el que contenga a la recta de referencia.será el que contenga a la recta de referencia.

- Sea el plano - Sea el plano - - ’’, en el que tenemos la recta frontal R ( r’ - r )., en el que tenemos la recta frontal R ( r’ - r ).

- Como debemos abatir sobre el plano vertical, desde la proyección vertical h’- Como debemos abatir sobre el plano vertical, desde la proyección vertical h’ de la recta frontal, trazamos una perpendicular a la charnela (que en este de la recta frontal, trazamos una perpendicular a la charnela (que en este caso será la traza vertical caso será la traza vertical ’’ del plano ), haciendo centro en la del plano ), haciendo centro en la intersección de ambas trazas del plano en la línea de tierra, y radio el intersección de ambas trazas del plano en la línea de tierra, y radio el segmento o - h, trazamos un arco hasta cortar la perpendicular segmento o - h, trazamos un arco hasta cortar la perpendicular mencionada, que es por donde pasará la traza horizontal mencionada, que es por donde pasará la traza horizontal del plano del plano abatida sobre abatida sobre ’’..

- Como la proyección vertical de la recta frontal es paralela a la traza - Como la proyección vertical de la recta frontal es paralela a la traza vertical del plano que la contenga, ésta una vez abatida tomará la dirección devertical del plano que la contenga, ésta una vez abatida tomará la dirección de paralelismo respecto de la charnela, por ello, desde la traza horizontal de laparalelismo respecto de la charnela, por ello, desde la traza horizontal de la recta abatida, H recta abatida, H ’, se tomará una paralela a la charnela ’, se tomará una paralela a la charnela ’’..

142.- Abatir sobre el plano vertical una recta horizontal. ( fig. 142 )142.- Abatir sobre el plano vertical una recta horizontal. ( fig. 142 )

- La recta horizontal es paralela al plano horizontal; ésta una vez abatida - La recta horizontal es paralela al plano horizontal; ésta una vez abatida tomará la dirección de paralelismo respecto de la traza horizontal abatida.tomará la dirección de paralelismo respecto de la traza horizontal abatida.

- Desde cualquier punto de la traza horizontal - Desde cualquier punto de la traza horizontal , h, h11 - h’ - h’11, realizamos el , realizamos el abatimiento del plano sobre el vertical, para lo que, desde h’abatimiento del plano sobre el vertical, para lo que, desde h’11, trazamos , trazamos una perpendicular a la charnela una perpendicular a la charnela ’’ , para luego con centro en la , para luego con centro en la

147147



intersección de ambas trazas del plano en la línea de tierra, girar el punto intersección de ambas trazas del plano en la línea de tierra, girar el punto hh11, hasta cortar la perpendicular mencionada, que es por donde pasará la , hasta cortar la perpendicular mencionada, que es por donde pasará la nueva dirección de la traza horizontal abatida del plano, nueva dirección de la traza horizontal abatida del plano, ´.´.

- La nueva dirección de la recta abatida será, como se mencionó antes, la - La nueva dirección de la recta abatida será, como se mencionó antes, la de paralelismo respecto de la traza horizontal abatida; por ello, desde la de paralelismo respecto de la traza horizontal abatida; por ello, desde la traza vertical de la recta horizontal, esto es, v’, se trazará una paralela a traza vertical de la recta horizontal, esto es, v’, se trazará una paralela a ’,’, que en definitiva será lo que se está buscando. que en definitiva será lo que se está buscando.

148148



fig. 141fig. 141

149149



fig. 142fig. 142

143.- Representar un cuadrilátero contenido en un plano paralelo a la línea de 143.- Representar un cuadrilátero contenido en un plano paralelo a la línea de tierra. ( fig. 143 )tierra. ( fig. 143 )

- El plano paralelo a la línea de tierra es aquél que tiene ambas trazas - El plano paralelo a la línea de tierra es aquél que tiene ambas trazas paralelas a la línea de tierra, tal como ocurre con el paralelas a la línea de tierra, tal como ocurre con el ’ - ’ - ..

- En este plano nos damos dos rectas, la S con trazas v’ - h, y la R con las - En este plano nos damos dos rectas, la S con trazas v’ - h, y la R con las v’1 - h1.v’1 - h1.

- En la recta S nos damos dos puntos, el A ( a’ - a ) y el B ( b’ - b ), en tanto - En la recta S nos damos dos puntos, el A ( a’ - a ) y el B ( b’ - b ), en tanto que en la R, estarán los puntos C ( c’ - c ) y D ( d’ - d ).que en la R, estarán los puntos C ( c’ - c ) y D ( d’ - d ).

- Uniendo los puntos en el orden ADBC, obtendremos el cuadrilátero - Uniendo los puntos en el orden ADBC, obtendremos el cuadrilátero pedido, el mismo que como se observará tendrá una parte invisible, la pedido, el mismo que como se observará tendrá una parte invisible, la correspondiente al vértice A, el mismo que al encontrarse en el segundo correspondiente al vértice A, el mismo que al encontrarse en el segundo cuadrante no es visible, por lo que se dibuja con línea segmentada.cuadrante no es visible, por lo que se dibuja con línea segmentada.

150150



fig. 143fig. 143

144.- Representar un cuadrilátero contenido en un plano perpendicular al primer 144.- Representar un cuadrilátero contenido en un plano perpendicular al primer bisector. ( fig. 144 )bisector. ( fig. 144 )

- El plano perpendicular al primer bisector se caracteriza por tener sus - El plano perpendicular al primer bisector se caracteriza por tener sus trazas simétricas respecto de la línea de tierra, tal como ocurre con el trazas simétricas respecto de la línea de tierra, tal como ocurre con el - - ’’..

- Sobre este plano nos damos las rectas S ( s’ - s ), con trazas v’ - h, y la T (- Sobre este plano nos damos las rectas S ( s’ - s ), con trazas v’ - h, y la T ( t’ - t ), con trazas v’1 y h1.t’ - t ), con trazas v’1 y h1.

- Sobre la recta S, determinamos los puntos A y C, en cambio que en la - Sobre la recta S, determinamos los puntos A y C, en cambio que en la T, los vértices B y D.T, los vértices B y D.

- El cuadrilátero pedido es el ABCD, que tendrá los vértices B - El cuadrilátero pedido es el ABCD, que tendrá los vértices B ( segundo cuadrante ), C ( tercer cuadrante ), y D ( cuarto cuadrante ), ( segundo cuadrante ), C ( tercer cuadrante ), y D ( cuarto cuadrante ), invisibles, siendo visible sólo el A.invisibles, siendo visible sólo el A.

145.- Representar un cuadrilátero contenido en un plano perpendicular al segundo 145.- Representar un cuadrilátero contenido en un plano perpendicular al segundo bisector. ( fig. 145 )bisector. ( fig. 145 )

- El plano perpendicular al segundo bisector, tiene sus trazas confundidas e - El plano perpendicular al segundo bisector, tiene sus trazas confundidas e invisibles, tal como se muestra en la gráfica con el invisibles, tal como se muestra en la gráfica con el - - ’’ . .

- En este plano nos damos las rectas R ( r’ - r ), con trazas v’ - h, y la - En este plano nos damos las rectas R ( r’ - r ), con trazas v’ - h, y la S ( s’ - s ), con trazas v’1 y h1.S ( s’ - s ), con trazas v’1 y h1.

151151



- Sobre la recta R, determinamos los vértices B ( primer cuadrante ), y - Sobre la recta R, determinamos los vértices B ( primer cuadrante ), y C ( cuarto cuadrante, en tanto que en la S, los vértices A ( segundoC ( cuarto cuadrante, en tanto que en la S, los vértices A ( segundo cuadrante ) y D ( tercer cuadrante ); con tal motivo, solamente el vértice B cuadrante ) y D ( tercer cuadrante ); con tal motivo, solamente el vértice B será visible, en invisibles los demás.será visible, en invisibles los demás.

152152



Fig. 144Fig. 144

153153



fig. 145fig. 145

146.- Encontrar la verdadera magnitud de un triángulo contenido en un plano 146.- Encontrar la verdadera magnitud de un triángulo contenido en un plano paralelo a la línea de tierra. ( fig. 146 )paralelo a la línea de tierra. ( fig. 146 )

- El plano paralelo a la línea de tierra es el - El plano paralelo a la línea de tierra es el - - ’’ , sobre el que hacemos , sobre el que hacemos contener las rectas R ( r’ - r ), con trazas v’ - h, y T ( t’ - t ), con trazas contener las rectas R ( r’ - r ), con trazas v’ - h, y T ( t’ - t ), con trazas v’v’1 1 - h- h11..

- Sobre la recta R, tenemos los vértices B y C, en tanto que en la T, estará - Sobre la recta R, tenemos los vértices B y C, en tanto que en la T, estará el A.el A.

- Como este plano tiene ambas trazas paralelas a la línea de tierra, sobre - Como este plano tiene ambas trazas paralelas a la línea de tierra, sobre cualquiera de las trazas que se use como charnela, la otra, quedará, al cualquiera de las trazas que se use como charnela, la otra, quedará, al abatirse el plano, paralela a la línea de tierra; esto es lo que ocurre al abatirse el plano, paralela a la línea de tierra; esto es lo que ocurre al abatir abatir ´, al utilizar ´, al utilizar , como charnela; el centro de giro estará en la , como charnela; el centro de giro estará en la intersección de la traza horizontal del plano, intersección de la traza horizontal del plano, , con la prolongación de la , con la prolongación de la unión de v - v’ ( traza vertical de la recta R ). Esta operación nos permite unión de v - v’ ( traza vertical de la recta R ). Esta operación nos permite obtener abatida, la traza vertical de dicha recta. La unión de esta traza obtener abatida, la traza vertical de dicha recta. La unión de esta traza abatida, con la traza horizontal h ( Habatida, con la traza horizontal h ( H ), permite obtener la recta R ), permite obtener la recta R abatida. Desde los puntos B y C ( desde sus proyecciones horizontales b y abatida. Desde los puntos B y C ( desde sus proyecciones horizontales b y c ), trazamos perpendiculares a la charnela hasta su intersección con la c ), trazamos perpendiculares a la charnela hasta su intersección con la recta abatida, que es en donde estarán los vértices abatidos Brecta abatida, que es en donde estarán los vértices abatidos B y C y C..

- Para obtener la dirección de la recta T, se traza una perpendicular desde v- Para obtener la dirección de la recta T, se traza una perpendicular desde v11,, hasta cortar a la trazahasta cortar a la traza ´́, la misma que se une con su respectiva traza , la misma que se une con su respectiva traza horizontal hhorizontal h11, que al estar en la charnela, no se mueve; una vez lograda la , que al estar en la charnela, no se mueve; una vez lograda la dirección Tdirección T, desde la proyección horizontal de A ( a ), se traza una , desde la proyección horizontal de A ( a ), se traza una

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perpendicular a la charnela hasta encontrar Aperpendicular a la charnela hasta encontrar A, que es el tercer punto del , que es el tercer punto del triángulo.triángulo.

- La unión de los tres puntos obtenidos después del abatimiento del - La unión de los tres puntos obtenidos después del abatimiento del plano, nos permite ver la verdadera magnitud del triángulo contenido en el plano, nos permite ver la verdadera magnitud del triángulo contenido en el plano paralelo a la línea de tierra.plano paralelo a la línea de tierra.

155155



fig. 146fig. 146

147.- El triángulo contenido en un plano paralelo a la línea de tierra, similar al 147.- El triángulo contenido en un plano paralelo a la línea de tierra, similar al ejercicio anterior, debe ser visto en verdadera magnitud, ejercicio anterior, debe ser visto en verdadera magnitud, utilizando el utilizando el procedimiento de cambio de planos. ( fig. 147 )procedimiento de cambio de planos. ( fig. 147 )

- Las proyecciones del triángulo son determinadas en las rectas del plano - Las proyecciones del triángulo son determinadas en las rectas del plano mencionado, de la misma manera que se obtuvieron en el ejercicio mencionado, de la misma manera que se obtuvieron en el ejercicio precedente.precedente.

- Mediante un primer cambio de plano, que será vertical, nos damos la - Mediante un primer cambio de plano, que será vertical, nos damos la nueva línea de tierra, perpendicular a la traza horizontal nueva línea de tierra, perpendicular a la traza horizontal del plano. del plano.

- Como se sabe, al tratarse de un cambio de plano vertical, todas las - Como se sabe, al tratarse de un cambio de plano vertical, todas las proyecciones horizontales del plano, quedarán inamovibles, entre ellas la proyecciones horizontales del plano, quedarán inamovibles, entre ellas la traza horizontal que manteniendo su posición pasará a llamarse traza horizontal que manteniendo su posición pasará a llamarse 11, al , al igual que las proyecciones de los tres puntos del triángulo que se llamarán enigual que las proyecciones de los tres puntos del triángulo que se llamarán en adelante a1, b1, c1.adelante a1, b1, c1.

- En el punto en que se cortan ambas líneas de tierra, tendremos el - En el punto en que se cortan ambas líneas de tierra, tendremos el elemento que nos permita ver la nueva dirección que tomará la nueva traza elemento que nos permita ver la nueva dirección que tomará la nueva traza vertical del plano vertical del plano ´1, para lo que determinamos el mismo en o’ - o; desde ´1, para lo que determinamos el mismo en o’ - o; desde oo11, que es coincidente cono, trazamos una perpendicular a la nueva , que es coincidente cono, trazamos una perpendicular a la nueva línea de tierra, y sobre ella llevamos la cota de o’, punto por donde pasará línea de tierra, y sobre ella llevamos la cota de o’, punto por donde pasará la nueva traza vertical del plano, la misma que arrancará donde la nueva traza vertical del plano, la misma que arrancará donde 1, corta a 1, corta a L’L’11 - T’ - T’11..

- Haciendo un segundo cambio de planos, esta vez horizontal, convertimos - Haciendo un segundo cambio de planos, esta vez horizontal, convertimos al plano en horizontal, para lo que la tercera línea de tierra que se llamará Lal plano en horizontal, para lo que la tercera línea de tierra que se llamará L 22

- T- T22 , se colocará paralela a la traza vertical , se colocará paralela a la traza vertical 1; las proyecciones a’1; las proyecciones a’11, b’, b’11,, c’c’11, esta vez no cambiarán de posición, pero les cambiamos de nombre a: a’, esta vez no cambiarán de posición, pero les cambiamos de nombre a: a’22,,

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b’b’22, c’, c’22, desde las cuales llevamos perpendiculares a la última línea de , desde las cuales llevamos perpendiculares a la última línea de tierra Ltierra L22 - T - T22, colocándoles la misma cota en signo y distancia que , colocándoles la misma cota en signo y distancia que tenían respecto de la L’1 - T’1, obteniendo de esta manera los puntos que tenían respecto de la L’1 - T’1, obteniendo de esta manera los puntos que en definitiva nos darán la verdadera magnitud del triángulo, es decir en definitiva nos darán la verdadera magnitud del triángulo, es decir A, B, C. ( aA, B, C. ( a22, b, b22, c, c2 2 ))

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fig. 147fig. 147

148.- Encontrar, esta vez por giro, la verdadera magnitud de un triángulo que se148.- Encontrar, esta vez por giro, la verdadera magnitud de un triángulo que se encuentre contenido en un plano paralelo a la línea de tierra. ( fig. 148 )encuentre contenido en un plano paralelo a la línea de tierra. ( fig. 148 )

- La ubicación de los puntos del triángulo, es determinada de manera - La ubicación de los puntos del triángulo, es determinada de manera similar a lo indicado en los dos ejercicios anteriores.similar a lo indicado en los dos ejercicios anteriores.

- Al igual que en el procedimiento de cambio de planos, lo primero que - Al igual que en el procedimiento de cambio de planos, lo primero que debe hacerse, es convertir al plano en proyectante, no importa cuál sea, si debe hacerse, es convertir al plano en proyectante, no importa cuál sea, si vertical, u horizontal.vertical, u horizontal.

- Lo vamos a convertir en proyectante horizontal, para lo que, mediante el - Lo vamos a convertir en proyectante horizontal, para lo que, mediante el auxilio de una recta de punta e’ - e, ubicada en al plano horizontal, giramos laauxilio de una recta de punta e’ - e, ubicada en al plano horizontal, giramos la traza vertical traza vertical 11, hasta colocarla perpendicular a la línea de tierra; , hasta colocarla perpendicular a la línea de tierra; donde dicha traza corte a la línea de tierra, partirá la nueva traza donde dicha traza corte a la línea de tierra, partirá la nueva traza horizontal del plano, horizontal del plano, , que pasará por el punto de intersección o, de la , que pasará por el punto de intersección o, de la proyección horizontal de la recta de punta, con la primitiva traza proyección horizontal de la recta de punta, con la primitiva traza horizontal del plano.horizontal del plano.

- Al ser convertido el plano en proyectante horizontal, todos los elementos - Al ser convertido el plano en proyectante horizontal, todos los elementos del plano en proyección horizontal coincidirán con la traza del plano en proyección horizontal coincidirán con la traza 11, para lo , para lo cual, desde las proyecciones horizontales a, b, c, de los tres vértices, cual, desde las proyecciones horizontales a, b, c, de los tres vértices, trazamos paralelas a la línea de tierra hasta cortar la mencionada traza trazamos paralelas a la línea de tierra hasta cortar la mencionada traza horizontal, obteniendo las nuevas proyecciones horizontales ahorizontal, obteniendo las nuevas proyecciones horizontales a11, b, b11, c, c11..

- Todos los elementos del plano, girarán lo que lo hizo su traza vertical, por - Todos los elementos del plano, girarán lo que lo hizo su traza vertical, por esa razón, utilizando el mismo centro e’, giramos en sentido antihorario esa razón, utilizando el mismo centro e’, giramos en sentido antihorario los tres vértices del triángulo en proyección vertical, hasta cortar las los tres vértices del triángulo en proyección vertical, hasta cortar las perpendiculares bajadas o subidas desde las proyecciones horizontales perpendiculares bajadas o subidas desde las proyecciones horizontales recién obtenidas en el paso anterior, en donde estarán las nuevas recién obtenidas en el paso anterior, en donde estarán las nuevas proyecciones verticales a’proyecciones verticales a’11, b’, b’11, c’, c’11..

158158



- Mediante un segundo giro, utilizando el eje de giro - Mediante un segundo giro, utilizando el eje de giro e’1 - e1e’1 - e1, que se corte , que se corte con la traza horizontal con la traza horizontal 11, se coloca a esta última, paralela a la línea de , se coloca a esta última, paralela a la línea de tierra, convirtiéndolo en plano frontal tierra, convirtiéndolo en plano frontal 22, cuyas nuevas proyecciones , cuyas nuevas proyecciones verticales podrán por tanto verse en verdadera magnitud. Para ello, verticales podrán por tanto verse en verdadera magnitud. Para ello, haciendo centro en haciendo centro en e1e1, giramos las proyecciones del triángulo que estaban , giramos las proyecciones del triángulo que estaban en el proyectante en el proyectante 11, hasta llevarlas a la nueva traza horizontal , hasta llevarlas a la nueva traza horizontal 22, , obteniendo así las nuevas proyecciones horizontales obteniendo así las nuevas proyecciones horizontales aa22, b, b22, c, c2.2.

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fig. 148fig. 148

- Ahora desde las proyecciones verticales - Ahora desde las proyecciones verticales a’a’11, b’, b’11, c’, c’11, , trazamostrazamos paralelas a la línea de tierra, hasta cortar las perpendiculares a la línea paralelas a la línea de tierra, hasta cortar las perpendiculares a la línea de tierra levantadas o bajadas desde las proyecciones horizontales con de tierra levantadas o bajadas desde las proyecciones horizontales con subíndice 2, que es en donde estarán las proyecciones finales subíndice 2, que es en donde estarán las proyecciones finales a’a’22, , b’b’22, c’, c’22, , que estarán coincidentes con que estarán coincidentes con A, B, C, A, B, C, triángulo ya visto en triángulo ya visto en verdadera magnitud.verdadera magnitud.

149.- Encontrar la verdadera magnitud de un triángulo contenido en un149.- Encontrar la verdadera magnitud de un triángulo contenido en un plano perpendicular al primer bisector. ( fig. 149 )plano perpendicular al primer bisector. ( fig. 149 )

- Todo plano que sea perpendicular al primer bisector tiene como - Todo plano que sea perpendicular al primer bisector tiene como característica de tener sus trazas simétricas respecto de la línea de tierra; característica de tener sus trazas simétricas respecto de la línea de tierra; eso es lo que ocurre en el presente caso con el plano eso es lo que ocurre en el presente caso con el plano ’ - ’ - . .

- En este plano nos damos dos rectas, la S ( s’ - s ), que contiene los vértices - En este plano nos damos dos rectas, la S ( s’ - s ), que contiene los vértices A ( a’ - a ) y B ( b’ - b ) y la R ( r’ - r ), que contiene el punto C ( c’ - c ). A ( a’ - a ) y B ( b’ - b ) y la R ( r’ - r ), que contiene el punto C ( c’ - c ). ( El punto B es intersección de ambas rectas ).( El punto B es intersección de ambas rectas ).

- Para conseguir la verdadera magnitud del presente triángulo, - Para conseguir la verdadera magnitud del presente triángulo, utilizaremos el procedimiento de abatimiento del plano, utilizando como utilizaremos el procedimiento de abatimiento del plano, utilizando como charnela la traza charnela la traza ..

- Con tal motivo, desde v- Con tal motivo, desde v11, proyección horizontal de la traza vertical de , proyección horizontal de la traza vertical de la recta S, trazamos una perpendicular a la charnela, hacia donde llevamos ella recta S, trazamos una perpendicular a la charnela, hacia donde llevamos el arco trazado como se sabe con centro en la intersección sobre línea de arco trazado como se sabe con centro en la intersección sobre línea de tierra de ambas trazas, y extremo el segmento de este punto hasta v’tierra de ambas trazas, y extremo el segmento de este punto hasta v’11, que es, que es por donde pasará la traza vertical por donde pasará la traza vertical ’ después de abatido el plano. (’ después de abatido el plano. (’’ ) )

- La traza horizontal de esta recta, por estar en la charnela, no se mueve, - La traza horizontal de esta recta, por estar en la charnela, no se mueve, por lo que solamente le cambiamos de nombre, ( Hpor lo que solamente le cambiamos de nombre, ( H11 ) la misma que unida a ) la misma que unida a VV11, determinará la dirección de la recta S después del abatimiento; , determinará la dirección de la recta S después del abatimiento; desde los vértices ubicados en esta recta en proyección horizontal, a y b, desde los vértices ubicados en esta recta en proyección horizontal, a y b,

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trazamos perpendiculares a la charnela hasta encontrar la recta abatida, trazamos perpendiculares a la charnela hasta encontrar la recta abatida, obteniendo de esta manera dichos puntos abatidos, que al verse ya en obteniendo de esta manera dichos puntos abatidos, que al verse ya en verdadera magnitud, se les denominará con sus respectivas letras verdadera magnitud, se les denominará con sus respectivas letras mayúsculas mayúsculas A y B.A y B.

fig. 149fig. 149161161



- Similar procedimiento se seguirá con la recta R, a partir de la cual se - Similar procedimiento se seguirá con la recta R, a partir de la cual se obtendrá el tercer vértice obtendrá el tercer vértice CC, completando de esta manera la verdadera , completando de esta manera la verdadera magnitud del triángulo en el pedido del enunciado.magnitud del triángulo en el pedido del enunciado.

150.- Con datos similares al ejemplo anterior, obtener la verdadera 150.- Con datos similares al ejemplo anterior, obtener la verdadera magnitud, utilizando el procedimiento de cambio de planos. ( fig. 150 )magnitud, utilizando el procedimiento de cambio de planos. ( fig. 150 )

- Utilizamos dos rectas del plano, la R ( r’ - r ), que contiene el vértice C, y - Utilizamos dos rectas del plano, la R ( r’ - r ), que contiene el vértice C, y la T ( t’ - t ), con los vértices A y B.la T ( t’ - t ), con los vértices A y B.

- Como primera medida, convertimos al plano, en proyectante vertical, - Como primera medida, convertimos al plano, en proyectante vertical, utilizando un primer cambio de plano vertical, para lo que desde el punto deutilizando un primer cambio de plano vertical, para lo que desde el punto de intersección O ( o’ - o ) de las dos líneas de tierra, L - T, y Lintersección O ( o’ - o ) de las dos líneas de tierra, L - T, y L11 - T - T11, se , se trazan dos perpendiculares, una a la primitiva línea de tierra, y otra a la trazan dos perpendiculares, una a la primitiva línea de tierra, y otra a la nueva, llevando a ésta, la cota de nueva, llevando a ésta, la cota de o’ ( en sentido y dimensión ), obteniendo o’ ( en sentido y dimensión ), obteniendo o’o’11; este punto, unido al de intersección de la nueva traza horizontal ; este punto, unido al de intersección de la nueva traza horizontal 11 ( ( que es la misma de que es la misma de , cambiada de nombre, pues al ser el cambio de , cambiada de nombre, pues al ser el cambio de plano vertical, no se mueve ), nos determinará la nueva dirección de la plano vertical, no se mueve ), nos determinará la nueva dirección de la traza vertical traza vertical ’’11..

- Por la razón antes mencionada, las proyecciones horizontales a, b y c, - Por la razón antes mencionada, las proyecciones horizontales a, b y c, no se mueven, pero cambian de nombre a ano se mueven, pero cambian de nombre a a11, b, b11, c, c11, desde las cuales nos , desde las cuales nos dirigimos perpendicularmente a la nueva línea de tierra L’dirigimos perpendicularmente a la nueva línea de tierra L’11 - T’ - T’11, en donde , en donde aparecerán ( en su intersección con ella ), las nuevas proyecciones aparecerán ( en su intersección con ella ), las nuevas proyecciones verticales de los puntos, a’verticales de los puntos, a’11, b’, b’11, y c’, y c’11..

- Mediante un segundo cambio de plano, esta vez horizontal, y paralelo a la - Mediante un segundo cambio de plano, esta vez horizontal, y paralelo a la traza vertical traza vertical ’’11, determinamos la tercer línea de tierra, la L, determinamos la tercer línea de tierra, la L2 2 - T - T22, , convirtiendo al plano en paralelo al horizontal, que es en donde en convirtiendo al plano en paralelo al horizontal, que es en donde en definitiva se verán los vértices del triángulo, en verdadera magnitud.definitiva se verán los vértices del triángulo, en verdadera magnitud.

- Los vértices a’- Los vértices a’11, b’, b’11, y c’, y c’11, en proyección vertical, tomarán sus nuevos , en proyección vertical, tomarán sus nuevos nombres a’nombres a’22, b’, b’11, c’, c’22, sin que se muevan de lugar, por las razones ya , sin que se muevan de lugar, por las razones ya expuestas.expuestas.

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fig. 150fig. 150

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- Desde estas últimas proyecciones, llevamos perpendiculares a la última - Desde estas últimas proyecciones, llevamos perpendiculares a la última línea de tierra, ubicando respecto de ella el mismo alejamiento en sentido y línea de tierra, ubicando respecto de ella el mismo alejamiento en sentido y dirección que tenían adirección que tenían a11, b, b11, y c, y c11, respecto de su línea de tierra L’, respecto de su línea de tierra L’11 - T’ - T’11, , obteniendo así las ubicaciones finales que tendrán los tres vértices obteniendo así las ubicaciones finales que tendrán los tres vértices vistos en verdadera magnitud, vistos en verdadera magnitud, A, B yA, B y CC..

151.- Realizar ahora en ejercicio similar a los dos anteriores, pero realizando 151.- Realizar ahora en ejercicio similar a los dos anteriores, pero realizando el procedimiento de giro del plano. ( fig. 151 )el procedimiento de giro del plano. ( fig. 151 )

- Cronológicamente, los pasos a seguir en el presente trabajo, son los - Cronológicamente, los pasos a seguir en el presente trabajo, son los mismos que los utilizados en el cambio de planos, es decir, partiendo de mismos que los utilizados en el cambio de planos, es decir, partiendo de convertir antes que nada al plano, en proyectante.convertir antes que nada al plano, en proyectante.

- Otra vez, se trata de un triángulo contenido en un plano - Otra vez, se trata de un triángulo contenido en un plano ( ( ’ - ’ - ) perpendicular al segundo bisector, contenido en él mediante la ) perpendicular al segundo bisector, contenido en él mediante la utilización de dos rectas, la R ( r’ - r ), con los vértices A y C, y la Tutilización de dos rectas, la R ( r’ - r ), con los vértices A y C, y la T ( t’ - t ), con el vértice B.( t’ - t ), con el vértice B.

- Como ya se mencionó antes, procederemos primeramente a convertir al - Como ya se mencionó antes, procederemos primeramente a convertir al plano en proyectante, esta vez horizontal, para lo que utilizaremos como plano en proyectante, esta vez horizontal, para lo que utilizaremos como primer eje de giro, el E ( e’ - e ), que se corte con la frontal F ( f’ - f ) delprimer eje de giro, el E ( e’ - e ), que se corte con la frontal F ( f’ - f ) del plano; desde el centro de giro ( traza vertical e’, coincidente con el punto o’, plano; desde el centro de giro ( traza vertical e’, coincidente con el punto o’, del eje ), se traza una perpendicular a la traza vertical del eje ), se traza una perpendicular a la traza vertical ’’, y mediante un , y mediante un giro horario, se coloca a ésta en posición giro horario, se coloca a ésta en posición ’’11, perpendicular a la línea de , perpendicular a la línea de tierra; la traza horizontal de la recta frontal ( que está en tierra; la traza horizontal de la recta frontal ( que está en ), se moverá ), se moverá paralelamente a la línea de tierra, hasta colocarse en la recta de punta e’ - e, paralelamente a la línea de tierra, hasta colocarse en la recta de punta e’ - e, recta eje del giro, ( hrecta eje del giro, ( h33 ), que es por donde pasará la nueva traza horizontal ), que es por donde pasará la nueva traza horizontal 11 del plano que contiene al triángulo. del plano que contiene al triángulo.

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Fig. 151Fig. 151

- Al convertirse el plano en proyectante horizontal, las proyecciones - Al convertirse el plano en proyectante horizontal, las proyecciones horizontales del triángulo, deberán estar contenidas en la traza horizontal horizontales del triángulo, deberán estar contenidas en la traza horizontal 11, , para lo que desde a, b, y c, se llevan paralelas a la línea de tierra hasta para lo que desde a, b, y c, se llevan paralelas a la línea de tierra hasta confundirse con dicha traza, donde tomarán el nombre de aconfundirse con dicha traza, donde tomarán el nombre de a11, b, b11, c, c11. Al ser la. Al ser la traza vertical del plano la que giró, de la misma manera todos los traza vertical del plano la que giró, de la misma manera todos los elementos del plano en proyección vertical realizarán el mismo giro, para loelementos del plano en proyección vertical realizarán el mismo giro, para lo que otra vez con centro en e’, giramos las tres proyecciones verticales del que otra vez con centro en e’, giramos las tres proyecciones verticales del

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triángulo, a’, b’, c’, en sentido horario, el mismo ángulo que realizó la traza triángulo, a’, b’, c’, en sentido horario, el mismo ángulo que realizó la traza vertical del plano, hasta encontrar las perpendiculares a la línea de tierra, vertical del plano, hasta encontrar las perpendiculares a la línea de tierra, bajadas o subidas desde los puntos ubicados en bajadas o subidas desde los puntos ubicados en 11, obteniendo así las , obteniendo así las nuevas proyecciones verticales a’nuevas proyecciones verticales a’11, b’, b’11, c’, c’11..

- Mediante un segundo giro, utilizando un nuevo eje de giro, el E- Mediante un segundo giro, utilizando un nuevo eje de giro, el E 11, , ubicando e1, como centro, y punto auxiliar, la intersección de ubicando e1, como centro, y punto auxiliar, la intersección de 1 1 con con la línea de tierra, colocamos a la mencionada traza ( giro otra vez en la línea de tierra, colocamos a la mencionada traza ( giro otra vez en sentido horario ), paralela a la línea de tierra, permitiendo de esta manera sentido horario ), paralela a la línea de tierra, permitiendo de esta manera que el plano esté ahora convertido en frontal, lo que hará que sus que el plano esté ahora convertido en frontal, lo que hará que sus elementos se proyecten en verdadera magnitud sobre el plano vertical.elementos se proyecten en verdadera magnitud sobre el plano vertical.

- Los puntos ubicados sobre la traza horizontal girada en la última operación,- Los puntos ubicados sobre la traza horizontal girada en la última operación, estarán sobre la traza del plano convertida en frontal; desde las proyeccionesestarán sobre la traza del plano convertida en frontal; desde las proyecciones a’1, b’1, y c’1, se trazan paralelas a la línea de tierra, hasta encontrar lasa’1, b’1, y c’1, se trazan paralelas a la línea de tierra, hasta encontrar las perpendiculares a la línea de tierra levantadas desde las proyecciones a1, b1,perpendiculares a la línea de tierra levantadas desde las proyecciones a1, b1, c1, consiguiendo de esta manera las posiciones definitivas de los vérticesc1, consiguiendo de esta manera las posiciones definitivas de los vértices del triángulo del triángulo A, B, C, A, B, C, visto en verdadera magnitud.visto en verdadera magnitud.

152.- Encontrar la verdadera magnitud de un triángulo contenido en un152.- Encontrar la verdadera magnitud de un triángulo contenido en un plano perpendicular al segundo bisector. ( fig. 152 )plano perpendicular al segundo bisector. ( fig. 152 )

- El plano perpendicular al segundo bisector, es el que tiene sus proyecciones- El plano perpendicular al segundo bisector, es el que tiene sus proyecciones confundidas, tal como el mostrado en el gráfico con el nombre de confundidas, tal como el mostrado en el gráfico con el nombre de ’ - ’ - ..

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fig. 152fig. 152

- Mediante dos rectas, la R ( r’ - r ), y la S ( s’ - s ), hacemos contener un- Mediante dos rectas, la R ( r’ - r ), y la S ( s’ - s ), hacemos contener un triángulo en el plano mencionado; En la recta R, están los vértices A ytriángulo en el plano mencionado; En la recta R, están los vértices A y B, y en la S, el C, unidos los cuales se determina el referidoB, y en la S, el C, unidos los cuales se determina el referido triángulo, objeto del presente ejercicio.triángulo, objeto del presente ejercicio.

- Para poder ver el triángulo en verdadera magnitud, acudimos al- Para poder ver el triángulo en verdadera magnitud, acudimos al procedimiento de abatimiento del plano, esta vez sobre el plano vertical,procedimiento de abatimiento del plano, esta vez sobre el plano vertical, para lo que utilizamos la recta R como auxiliar ( su traza vertical ).para lo que utilizamos la recta R como auxiliar ( su traza vertical ).

- Desde la proyección horizontal v de la traza vertical de la recta elegida,- Desde la proyección horizontal v de la traza vertical de la recta elegida, se traza una perpendicular a la charnela, que es la traza se traza una perpendicular a la charnela, que es la traza , y por los, y por los procedimientos ya conocidos obtenemos la nueva traza vertical abatida,procedimientos ya conocidos obtenemos la nueva traza vertical abatida, la la ’’, y con ella, la dirección de la recta R abatida ( R, y con ella, la dirección de la recta R abatida ( R ), hacia la que ), hacia la que se dirigen perpendiculares a la charnela desde las proyeccionesse dirigen perpendiculares a la charnela desde las proyecciones horizontales de los puntos A y B ( a y b ), obteniendo de esta manerahorizontales de los puntos A y B ( a y b ), obteniendo de esta manera dichos vértices en verdadera magnitud.dichos vértices en verdadera magnitud.

- Para encontrar la dirección de la recta S abatida, llevamos mediante un- Para encontrar la dirección de la recta S abatida, llevamos mediante un arco, la proyección de su traza vertical, v’1, de la manera ya conocidaarco, la proyección de su traza vertical, v’1, de la manera ya conocida ( v1( v1 ), la que unida a la proyección horizontal de su traza horizontal h1, ), la que unida a la proyección horizontal de su traza horizontal h1, permite definir esta dirección buscada; finalmente, desde el punto C, enpermite definir esta dirección buscada; finalmente, desde el punto C, en proyección horizontal ( c ), se trazará una perpendicular a la charnelaproyección horizontal ( c ), se trazará una perpendicular a la charnela

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hasta encontrar la recta S abatida, que es donde se encontrará el punto Chasta encontrar la recta S abatida, que es donde se encontrará el punto C visto en verdadera magnitud.visto en verdadera magnitud.

- La unión de los puntos encontrados después de estos abatimientos,- La unión de los puntos encontrados después de estos abatimientos, determinará la verdadera magnitud del triángulo determinará la verdadera magnitud del triángulo A B CA B C..

153.- Con las características del ejercicio anterior, utilizar cambio de planos. 153.- Con las características del ejercicio anterior, utilizar cambio de planos. ( fig. 153 )( fig. 153 )

- El plano perpendicular al segundo bisector es el que en la parte gráfica,- El plano perpendicular al segundo bisector es el que en la parte gráfica, aparece como aparece como ’ - ’ - . .

- La recta R ( r’ - r ), con trazas v’ y h, contiene a los puntos A ( a’ - a ) y B- La recta R ( r’ - r ), con trazas v’ y h, contiene a los puntos A ( a’ - a ) y B ( b’ - b ).( b’ - b ).

- La recta T ( t’ - t ), con trazas v’- La recta T ( t’ - t ), con trazas v’ 11 - h - h11, contiene al tercer vértice, contiene al tercer vértice C ( c’ - c ).C ( c’ - c ).

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fig. 153fig. 153

- Mediante un primer cambio de plano, vertical ( L’- Mediante un primer cambio de plano, vertical ( L’ 11 - T’ - T’11 ), se pone a la ), se pone a la nueva línea de tierra, perpendicular a la traza horizontal nueva línea de tierra, perpendicular a la traza horizontal , que no se, que no se moverá, pero tomará su nuevo nombre moverá, pero tomará su nuevo nombre 1. De la misma manera que la traza1. De la misma manera que la traza horizontal del plano cambió de nombre, pero no de ubicación, de lahorizontal del plano cambió de nombre, pero no de ubicación, de la misma manera, la proyecciones horizontales de los vértices, a, b, y c,misma manera, la proyecciones horizontales de los vértices, a, b, y c, tampoco se moverán, pero cambiarán de nombre a atampoco se moverán, pero cambiarán de nombre a a11, b, b11, y c, y c11..

- Para determinar la nueva posición de la traza vertical, - Para determinar la nueva posición de la traza vertical, ’’11, , se levantan dosse levantan dos perpendiculares desde el punto de intersección de las dos líneas de tierra, laperpendiculares desde el punto de intersección de las dos líneas de tierra, la LT y la LLT y la L11TT11 ( o’ - o ) ( o’ ( o’ - o ) ( o’11 - o - o11 ), y desde el punto de intersección de ), y desde el punto de intersección de 1 con1 con la nueva, se une con o1, que será su dirección buscada. la nueva, se une con o1, que será su dirección buscada.

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- Desde las nuevas proyecciones horizontales, ( las con subíndice 1 ), se- Desde las nuevas proyecciones horizontales, ( las con subíndice 1 ), se levantan perpendiculares a la nueva línea de tierra, hasta cortar a la nuevalevantan perpendiculares a la nueva línea de tierra, hasta cortar a la nueva traza vertical traza vertical ’’11, , determinando las nuevas proyecciones verticales a’determinando las nuevas proyecciones verticales a’11, b’, b’11,, c’c’11..

- Mediante un segundo cambio de plano, esta vez horizontal, ubicamos su- Mediante un segundo cambio de plano, esta vez horizontal, ubicamos su correspondiente línea de tierra, la Lcorrespondiente línea de tierra, la L2 2 - T- T22, paralela a la traza vertical , paralela a la traza vertical ’1’1,, convirtiendo de esta manera al plano en horizontal, permitiendo que lasconvirtiendo de esta manera al plano en horizontal, permitiendo que las nuevas proyecciones horizontales emergentes de este cambio, se puedan vernuevas proyecciones horizontales emergentes de este cambio, se puedan ver en verdadera magnitud.en verdadera magnitud.

- Desde las proyecciones verticales con subíndice 1, se trazan perpendiculares- Desde las proyecciones verticales con subíndice 1, se trazan perpendiculares a la última línea de tierra, colocándoles el mismo alejamiento del segundoa la última línea de tierra, colocándoles el mismo alejamiento del segundo estado en dimensión y sentido que tenían respecto de la Lestado en dimensión y sentido que tenían respecto de la L11 - T - T11, obteniendo, obteniendo las proyecciones definitivas en verdadera magnitud del triángulolas proyecciones definitivas en verdadera magnitud del triángulo perteneciente al plano inicial perpendicular al segundo bisector.perteneciente al plano inicial perpendicular al segundo bisector.

- La unión de estas últimas proyecciones obtenidas después del segundo- La unión de estas últimas proyecciones obtenidas después del segundo cambio de plano, nos dará el triángulo cambio de plano, nos dará el triángulo ABCABC, visto en verdadera magnitud., visto en verdadera magnitud.

154.- Por giro encontrar la verdadera magnitud del triángulo contenido en el plano154.- Por giro encontrar la verdadera magnitud del triángulo contenido en el plano perpendicular al segundo bisector visto en los dos ejercicios vistos en los dosperpendicular al segundo bisector visto en los dos ejercicios vistos en los dos últimos ejercicios. ( fig. 154 )últimos ejercicios. ( fig. 154 )

- El plano en cuestión tiene sus trazas confundidas por ser perpendicular al- El plano en cuestión tiene sus trazas confundidas por ser perpendicular al segundo bisector: se trata del segundo bisector: se trata del ’ - ’ - ..

- Mediante dos rectas, la S y la T ( s’ - s ) ( t’ - t ), hacemos contener al- Mediante dos rectas, la S y la T ( s’ - s ) ( t’ - t ), hacemos contener al triángulo en el plano mencionado, colocando los vértices A ( a’ - a , ytriángulo en el plano mencionado, colocando los vértices A ( a’ - a , y b’ - b ) en la S, y el C ( c’ - c ), en la T.b’ - b ) en la S, y el C ( c’ - c ), en la T.

- Utilizando un eje de punta, el e’ - e, que se corta con una frontal F (- Utilizando un eje de punta, el e’ - e, que se corta con una frontal F ( f’ - f ) del plano, giramos la traza vertical f’ - f ) del plano, giramos la traza vertical ’’ , hasta colocarla perpendicular a , hasta colocarla perpendicular a la línea de tierra, una de las características que tiene un plano proyectante,la línea de tierra, una de las características que tiene un plano proyectante, camino que se debe seguir en este tipo de ejercicios como se ha visto ya encamino que se debe seguir en este tipo de ejercicios como se ha visto ya en otros similares al presente; es la traza otros similares al presente; es la traza ’’11..

- La traza horizontal h- La traza horizontal h22, de la frontal auxiliar, se moverá paralelamente a la, de la frontal auxiliar, se moverá paralelamente a la línea de tierra, hasta confundirse con el eje, quedando de esta manera lalínea de tierra, hasta confundirse con el eje, quedando de esta manera la

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frontal convertida en recta vertical ( f’frontal convertida en recta vertical ( f’11, paralela a , paralela a ’’11 , como lo era f’ a , como lo era f’ a ’’ ); la nueva traza horizontal del plano ); la nueva traza horizontal del plano 11, partirá de la intersección de la, partirá de la intersección de la nueva traza vertical del plano con la línea de tierra, hasta unirse con la trazanueva traza vertical del plano con la línea de tierra, hasta unirse con la traza horizontal de la frontal girada ( hhorizontal de la frontal girada ( h33 ). Las proyecciones verticales del ). Las proyecciones verticales del triángulo, a’, b’, c’, girarán lo mismo que hizo la traza vertical del plano,triángulo, a’, b’, c’, girarán lo mismo que hizo la traza vertical del plano, simultáneamente a lo cual, las proyecciones horizontales a, b, c, se moveránsimultáneamente a lo cual, las proyecciones horizontales a, b, c, se moverán paralelamente a la línea de tierra hasta colocarse en paralelamente a la línea de tierra hasta colocarse en 11, , tomando los tomando los nombres de anombres de a11, b, b11 y c y c11; estas últimas estarán bajo la misma perpendicular a la; estas últimas estarán bajo la misma perpendicular a la línea de tierra que sus respectivas verticales a’línea de tierra que sus respectivas verticales a’11, b’, b’11, c’, c’11..

- Utilizando un eje de punta, e’- Utilizando un eje de punta, e’11 - e - e11, giramos la traza horizontal , giramos la traza horizontal 11, hasta, hasta colocarla paralela a la línea de tierra, en coincidencia con la proyeccióncolocarla paralela a la línea de tierra, en coincidencia con la proyección horizontal a1 ( del punto A ), que no se moverá en el giro, por estarhorizontal a1 ( del punto A ), que no se moverá en el giro, por estar coincidente con el eje de giro; las otras dos, bcoincidente con el eje de giro; las otras dos, b11 y c y c11, girarán también hasta, girarán también hasta colocarse con la traza colocarse con la traza 22, paralela a la línea de tierra; las proyecciones, paralela a la línea de tierra; las proyecciones verticales con el subíndice 1, se moverán paralelamente a la línea de tierra,verticales con el subíndice 1, se moverán paralelamente a la línea de tierra, hasta cortar las perpendiculares bajadas desde b’hasta cortar las perpendiculares bajadas desde b’22 y c’ y c’22. Estas últimas serán. Estas últimas serán las proyecciones definitivas de los vértices del triángulo girado y visto enlas proyecciones definitivas de los vértices del triángulo girado y visto en verdadera magnitud; éste será por tanto el verdadera magnitud; éste será por tanto el ABC.ABC.

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fig. 183fig. 183

155.- ¿Sobre qué plano se apoyaría un prisma para que su base se vea en verdadera155.- ¿Sobre qué plano se apoyaría un prisma para que su base se vea en verdadera magnitud?magnitud?

- - Debe apoyarse ya sea sobre el vertical, o sobre el horizontal, planos queDebe apoyarse ya sea sobre el vertical, o sobre el horizontal, planos que siempre tendrán los elementos que contengan, en verdadera magnitud.siempre tendrán los elementos que contengan, en verdadera magnitud.

156.- ¿Sobre qué plano apoyaría una pirámide para que su base se vea en verdadera156.- ¿Sobre qué plano apoyaría una pirámide para que su base se vea en verdadera magnitud?magnitud?

- Al igual que en el ejercicio anterior, debe ser sobre cualquiera de los planos- Al igual que en el ejercicio anterior, debe ser sobre cualquiera de los planos de proyección.de proyección.

157.- ¿Qué figura se ve en el plano horizontal, si sobre él se apoya un157.- ¿Qué figura se ve en el plano horizontal, si sobre él se apoya un octaedro?.octaedro?.

- Como el octaedro está formado por triángulos equiláteros, sea que esté- Como el octaedro está formado por triángulos equiláteros, sea que esté apoyado sobre el vertical, como sobre el horizontal, lo que se vea sobre ellos,apoyado sobre el vertical, como sobre el horizontal, lo que se vea sobre ellos, será pues la figura mencionada.será pues la figura mencionada.

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158.- ¿Qué figura se ve en el plano vertical, si sobre él se apoya un158.- ¿Qué figura se ve en el plano vertical, si sobre él se apoya un octaedro?octaedro?

- Es la misma respuesta que se dio en el ejercicio anterior.- Es la misma respuesta que se dio en el ejercicio anterior.

159.- Encontrar la verdadera magnitud de la sección de un prisma, cortado por un159.- Encontrar la verdadera magnitud de la sección de un prisma, cortado por un plano oblicuo. ( fig. 159 )plano oblicuo. ( fig. 159 )

- Se trata de un prisma hexagonal cuya base está apoyada en el plano- Se trata de un prisma hexagonal cuya base está apoyada en el plano horizontal, cortado por el plano horizontal, cortado por el plano ’ - ’ - ..

Como primera medida, tenemos que encontrar la sección producida en elComo primera medida, tenemos que encontrar la sección producida en el prisma por el plano secante, para lo que, empleando el procedimiento deprisma por el plano secante, para lo que, empleando el procedimiento de la ley de afinidad, ubicaremos el primer punto de la sección mediante ella ley de afinidad, ubicaremos el primer punto de la sección mediante el uso de un plano proyectante uso de un plano proyectante ’ - ’ - ,, que pase por la arista d’ - d; ambos que pase por la arista d’ - d; ambos planos al cortarse, nos dan una recta de intersección v - h, que determinaplanos al cortarse, nos dan una recta de intersección v - h, que determina el punto 1 en la intersección de ésta con la arista d.el punto 1 en la intersección de ésta con la arista d.

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fig. 159fig. 159

- A partir del punto 1 obtenido en el paso anterior, se procede a buscar el- A partir del punto 1 obtenido en el paso anterior, se procede a buscar el segundo ó 2, para lo que prolongamos la arista d - e hasta la traza horizontalsegundo ó 2, para lo que prolongamos la arista d - e hasta la traza horizontal , , en donde marcamos el punto R ( traza horizontal de dicha recta ), el mismoen donde marcamos el punto R ( traza horizontal de dicha recta ), el mismo que unido al punto 1 de la arista d, nos permite encontrar el 2 en la arista e.que unido al punto 1 de la arista d, nos permite encontrar el 2 en la arista e.

- Similar procedimiento hacemos con la arista de la base e - f, que corta a - Similar procedimiento hacemos con la arista de la base e - f, que corta a en P, que unido con el punto 2, permite encontrar el 3 en la arista f.en P, que unido con el punto 2, permite encontrar el 3 en la arista f.

- Alargando la arista a - f de la base, encontramos a la traza horizontal - Alargando la arista a - f de la base, encontramos a la traza horizontal ,, del plano, ubicamos en ella el punto S, que unido a 3, permite encontrar eldel plano, ubicamos en ella el punto S, que unido a 3, permite encontrar el punto 4 en la arista a. punto 4 en la arista a.

- Para hallar el punto 5, prolongamos la arista a - b de la base, ubicando el- Para hallar el punto 5, prolongamos la arista a - b de la base, ubicando el punto T en punto T en , que unido con 4 y siguiendo su dirección hasta la arista b,, que unido con 4 y siguiendo su dirección hasta la arista b, permite ubicarlo en ella.permite ubicarlo en ella.

- Para ubicar finalmente el punto 6, se prolonga b - c, hasta encontrar U, que- Para ubicar finalmente el punto 6, se prolonga b - c, hasta encontrar U, que unido con 5, permite encontrarlo en la arista b.unido con 5, permite encontrarlo en la arista b.

- El procedimiento que sigue, consiste en unir los seis puntos de la- El procedimiento que sigue, consiste en unir los seis puntos de la intersección, dándonos la figura hexagonal de la sección, la misma que aintersección, dándonos la figura hexagonal de la sección, la misma que a continuación deberá verse en verdadera magnitud, para lo que en estecontinuación deberá verse en verdadera magnitud, para lo que en este ejercicio utilizaremos el método de abatimientos.ejercicio utilizaremos el método de abatimientos.

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- Se procederá a abatir el plano sobre su traza horizontal como- Se procederá a abatir el plano sobre su traza horizontal como charnela, para lo que a partir de cualquier proyección horizontal de lascharnela, para lo que a partir de cualquier proyección horizontal de las distintas trazas verticales de las rectas que forman la base del prismadistintas trazas verticales de las rectas que forman la base del prisma apoyada sobre el plano horizontal, se traza una perpendicular a la charnela, yapoyada sobre el plano horizontal, se traza una perpendicular a la charnela, y desde su correspondiente proyección vertical de su traza vertical, sedesde su correspondiente proyección vertical de su traza vertical, se construye un arco con centro en la intersección de las trazas del planoconstruye un arco con centro en la intersección de las trazas del plano con la línea de tierra, hasta cortar la perpendicular mencionada, que escon la línea de tierra, hasta cortar la perpendicular mencionada, que es por donde tomará la dirección la traza vertical abatida del plano desde lapor donde tomará la dirección la traza vertical abatida del plano desde la intersección antes mencionada.intersección antes mencionada.

- Como las trazas horizontales de las rectas que determinaron la figura- Como las trazas horizontales de las rectas que determinaron la figura sección, ya se han encontrado ( R, P, S, T, U, ) , basta unir éstas con sussección, ya se han encontrado ( R, P, S, T, U, ) , basta unir éstas con sus respectivas trazas verticales abatidas sobre la traza abatida del plano (respectivas trazas verticales abatidas sobre la traza abatida del plano ( ’’ ): R con V1 ): R con V1, S con V4, S con V4, T con V5, T con V5, U con V6, U con V6. Todas estas rectas se. Todas estas rectas se están viendo en verdadera magnitud.están viendo en verdadera magnitud.

- Seguidamente, desde cada uno de los vértices de la sección obtenida ( 1, 2,- Seguidamente, desde cada uno de los vértices de la sección obtenida ( 1, 2, 3, 4, 5, 6 ), se trazará perpendiculares a la charnela, hasta encontrar las3, 4, 5, 6 ), se trazará perpendiculares a la charnela, hasta encontrar las mencionadas rectas abatidas en el párrafo anterior, encontrando de estamencionadas rectas abatidas en el párrafo anterior, encontrando de esta manera la ubicación definitiva de los puntos de la sección vistos en verdaderamanera la ubicación definitiva de los puntos de la sección vistos en verdadera magnitud: es lo que resulta al ver la sección con línea más gruesa que el restomagnitud: es lo que resulta al ver la sección con línea más gruesa que el resto del dibujo.del dibujo.

160.- Exactamente a los datos del ejercicio anterior, aplicar para encontrar la sección160.- Exactamente a los datos del ejercicio anterior, aplicar para encontrar la sección en verdadera magnitud, el procedimiento de cambio de planos. ( fig.en verdadera magnitud, el procedimiento de cambio de planos. ( fig. 160 )160 )

- Como primera medida, debido a que el prisma es de las mismas- Como primera medida, debido a que el prisma es de las mismas características que las del ejercicio anterior, aplicando la ley de afinidad, secaracterísticas que las del ejercicio anterior, aplicando la ley de afinidad, se encontrará la sección determinada por el plano secante encontrará la sección determinada por el plano secante ’ - ’ - , la misma , la misma que está determinada por los puntos : 1’ - 1, 2’ - 2, 3’ - 3, 4’ - 4, 5’ - 5, 6’que está determinada por los puntos : 1’ - 1, 2’ - 2, 3’ - 3, 4’ - 4, 5’ - 5, 6’ - 6.- 6.

- El trabajo a seguir es, mediante el procedimiento de cambio de planos,- El trabajo a seguir es, mediante el procedimiento de cambio de planos, encontrar la verdadera magnitud de la sección; para ello, como primer paso,encontrar la verdadera magnitud de la sección; para ello, como primer paso, vamos a convertir al plano, en proyectante vertical, utilizando un cambiovamos a convertir al plano, en proyectante vertical, utilizando un cambio de plano horizontal, colocando la Lde plano horizontal, colocando la L 11 - T - T11, perpendicular a la traza, perpendicular a la traza vertical vertical ’ del plano, la misma que pasa a llamarse ’ del plano, la misma que pasa a llamarse ’’11..

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- Para encontrar la nueva traza horizontal, realizamos la operación tratada en- Para encontrar la nueva traza horizontal, realizamos la operación tratada en otros ejercicios, a través del punto de intersección de las dos líneas de tierra:otros ejercicios, a través del punto de intersección de las dos líneas de tierra: la Lla L11 - T - T11, y la L - T. Por lo tanto desde la intersección de L, y la L - T. Por lo tanto desde la intersección de L11 - T - T11, con , con ’’11,, unimos con o1 debajo de su respectiva línea de tierra (o, se encontraba debajounimos con o1 debajo de su respectiva línea de tierra (o, se encontraba debajo de la suya).de la suya).

- Al ser el cambio de plano, horizontal, son las proyecciones verticales las- Al ser el cambio de plano, horizontal, son las proyecciones verticales las que no cambian de nombre (sólo de subíndice), por lo que desde ellas seque no cambian de nombre (sólo de subíndice), por lo que desde ellas se trazan perpendiculares a la nueva línea de tierra, hasta cortar a la nueva trazatrazan perpendiculares a la nueva línea de tierra, hasta cortar a la nueva traza horizontal horizontal 11, en donde se encontrarán las nuevas proyecciones verticales de, en donde se encontrarán las nuevas proyecciones verticales de la sección resultante en el corte del prisma por el plano oblicuo. la sección resultante en el corte del prisma por el plano oblicuo.

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fig. 160fig. 160

- Mediante un segundo cambio de plano ( vertical: L’- Mediante un segundo cambio de plano ( vertical: L’ 22 - T’ - T’22 ), paralelo a la ), paralelo a la traza horizontal traza horizontal 11, obtendremos las proyecciones finales de la sección,, obtendremos las proyecciones finales de la sección, llevando a esta última línea de tierra las cotas de las proyecciones verticalesllevando a esta última línea de tierra las cotas de las proyecciones verticales con subíndice 1 en el primer cambio de planos.con subíndice 1 en el primer cambio de planos.

161.- El mismo tipo de objetivo buscado en los dos ejercicios anteriores, tratar de161.- El mismo tipo de objetivo buscado en los dos ejercicios anteriores, tratar de conseguirlo por el procedimiento : “verdadera magnitud por giros”. ( fig. 161 )conseguirlo por el procedimiento : “verdadera magnitud por giros”. ( fig. 161 )

- Como en los dos ejercicios anteriores, primero conseguiremos la sección- Como en los dos ejercicios anteriores, primero conseguiremos la sección determinada en el prisma por el plano secante determinada en el prisma por el plano secante ’ - ’ - , la misma que está, la misma que está determinada por los vértices encontrados y denominados por los números 1’ -determinada por los vértices encontrados y denominados por los números 1’ - 1, 2’ - 2, 3’ - 3, 4’ - 4, 5’ - 5 y 6’ - 6.1, 2’ - 2, 3’ - 3, 4’ - 4, 5’ - 5 y 6’ - 6.

- Mediante un primer giro, convertimos al plano en proyectante vertical, para- Mediante un primer giro, convertimos al plano en proyectante vertical, para lo que utilizaremos un eje vertical e’lo que utilizaremos un eje vertical e’22 - e - e22, que se cortará para el efecto con, que se cortará para el efecto con la recta horizontal del plano, la r’ - r; desde la traza horizontal ela recta horizontal del plano, la r’ - r; desde la traza horizontal e 22 de la recta de la recta vertical, se traza una perpendicular a la traza horizontal vertical, se traza una perpendicular a la traza horizontal del plano, y con del plano, y con centro en ecentro en e22, y radio, la intersección de la perpendicular mencionada con la, y radio, la intersección de la perpendicular mencionada con la traza traza , giramos ésta hasta colocarla perpendicular a la línea de tierra; para, giramos ésta hasta colocarla perpendicular a la línea de tierra; para encontrar la dirección que tomará la traza vertical del plano, después de esteencontrar la dirección que tomará la traza vertical del plano, después de este primer giro, la traza vertical v’1 de la horizontal auxiliar, se moveráprimer giro, la traza vertical v’1 de la horizontal auxiliar, se moverá paralelamente a la línea de tierra, hasta encontrarse con la prolongación de rparalelamente a la línea de tierra, hasta encontrarse con la prolongación de r 11,, ( que se puso perpendicular a la línea de tierra, pues debe seguir siendo( que se puso perpendicular a la línea de tierra, pues debe seguir siendo paralela a la nueva traza horizontal paralela a la nueva traza horizontal 11 ), en donde estará la nueva proyección ), en donde estará la nueva proyección de su traza vertical, v’de su traza vertical, v’22, que es en definitiva por donde pasará la nueva traza, que es en definitiva por donde pasará la nueva traza vertical vertical ’’22 del plano. del plano.

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- Las nuevas proyecciones verticales de la sección ( las que tendrán subíndice- Las nuevas proyecciones verticales de la sección ( las que tendrán subíndice 1 ), deben estar coincidentes con 1 ), deben estar coincidentes con ’1’1, para lo que desde sus primitivas, para lo que desde sus primitivas proyecciones verticales, se las llevará a aquélla mediante paralelas a la líneaproyecciones verticales, se las llevará a aquélla mediante paralelas a la línea de tierra, hasta encontrarla.de tierra, hasta encontrarla.

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fig. 161fig. 161

- Las proyecciones horizontales estarán afectadas por el mismo giro que- Las proyecciones horizontales estarán afectadas por el mismo giro que realizó la traza horizontal realizó la traza horizontal del plano, por lo que haciendo centro en e2, del plano, por lo que haciendo centro en e2, giramos éstas hasta cortar las perpendiculares bajadas desde las proyeccionesgiramos éstas hasta cortar las perpendiculares bajadas desde las proyecciones verticales afectadas por el subíndice 1.verticales afectadas por el subíndice 1.

- Mediante un segundo giro, esta vez alrededor de la recta de punta e’- Mediante un segundo giro, esta vez alrededor de la recta de punta e’ 33 - e - e33,, colocamos al plano en posición de horizontal, ( colocamos al plano en posición de horizontal, ( ’’22, paralelo al plano, paralelo al plano horizontal de proyección ) lo que nos permitirá ver la figura obtenida, enhorizontal de proyección ) lo que nos permitirá ver la figura obtenida, en verdadera magnitud; las proyecciones verticales que se encontraban sobreverdadera magnitud; las proyecciones verticales que se encontraban sobre ’’11, estarán por lógica sobre , estarán por lógica sobre ’’22, así que bajando perpendiculares desde, así que bajando perpendiculares desde éstas, a la línea de tierra, hasta encontrarse con las paralelas a la línea deéstas, a la línea de tierra, hasta encontrarse con las paralelas a la línea de tierra, desde las proyecciones horizontales encontradas en el anterior giro, setierra, desde las proyecciones horizontales encontradas en el anterior giro, se obtendrá las posiciones finales de la sección, vistas en verdadera magnitud.obtendrá las posiciones finales de la sección, vistas en verdadera magnitud.

- La sección buscada, es la representada en el gráfico adjunto con línea más- La sección buscada, es la representada en el gráfico adjunto con línea más gruesa que el resto: gruesa que el resto: 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6.1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6.

162.- Encontrar la verdadera magnitud de la sección producida en una pirámide162.- Encontrar la verdadera magnitud de la sección producida en una pirámide por un plano oblicuo, teniendo en cuenta que aquélla se encuentra apoyada en elpor un plano oblicuo, teniendo en cuenta que aquélla se encuentra apoyada en el plano horizontal de proyección. ( fig. 162 )plano horizontal de proyección. ( fig. 162 )

- Se trata de la pirámide de base pentagonal a - b - c - d - e, cuyas- Se trata de la pirámide de base pentagonal a - b - c - d - e, cuyas proyecciones verticales a’ - b’ - c’ - d’ - e’, se encontrarán en la línea deproyecciones verticales a’ - b’ - c’ - d’ - e’, se encontrarán en la línea de tierra.tierra.

- El plano secante es el - El plano secante es el ’ - ’ - , el que va a producir en la pirámide, la, el que va a producir en la pirámide, la sección 1 - 2 - 3 - 4 - 5, encontrada mediante el procedimiento de la ley desección 1 - 2 - 3 - 4 - 5, encontrada mediante el procedimiento de la ley de afinidad, partiendo de la intersección del plano proyectante vertical auxiliarafinidad, partiendo de la intersección del plano proyectante vertical auxiliar ’ - ’ - , con la arista lateral c’ - c, que precisamente determinará el primer, con la arista lateral c’ - c, que precisamente determinará el primer punto ( el 1 ), de la intersección.punto ( el 1 ), de la intersección.

- La prolongación de la arista c - d, de la base, corta a la traza horizontal - La prolongación de la arista c - d, de la base, corta a la traza horizontal ,, del plano, en el punto O, que unido con el punto 1 de la arista levantada por c,del plano, en el punto O, que unido con el punto 1 de la arista levantada por c, determinará el segundo punto, el 2.determinará el segundo punto, el 2.

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fig. 162fig. 162

- Prolongando la arista d - e hasta la traza horizontal del plano, encontramos- Prolongando la arista d - e hasta la traza horizontal del plano, encontramos P, que unido con 2, determinará el tercer punto de la sección, el 3.P, que unido con 2, determinará el tercer punto de la sección, el 3.

- La prolongación de la arista a - e de la base, encuentra a la traza horizontal- La prolongación de la arista a - e de la base, encuentra a la traza horizontal del plano, en el punto R, desde donde unimos con el 3, prolongando hasta ladel plano, en el punto R, desde donde unimos con el 3, prolongando hasta la arista que pasa por a, hallando así el cuarto punto , el 4.arista que pasa por a, hallando así el cuarto punto , el 4.

- El quinto punto de la intersección se encuentra a partir de la prolongación- El quinto punto de la intersección se encuentra a partir de la prolongación de la arista a - b, hasta la traza horizontal en el punto S, desde donde uniendode la arista a - b, hasta la traza horizontal en el punto S, desde donde uniendo con el punto 4, de la misma forma que en los anteriores, encontramos el puntocon el punto 4, de la misma forma que en los anteriores, encontramos el punto 5 en la arista que pasa por a. 5 en la arista que pasa por a.

- Una vez determinadas las dos proyecciones de la sección ( las verticales se- Una vez determinadas las dos proyecciones de la sección ( las verticales se encuentran por simple levantamiento de las proyecciones horizontales de laencuentran por simple levantamiento de las proyecciones horizontales de la sección, hasta sus correspondientes proyecciones de las aristas en proyecciónsección, hasta sus correspondientes proyecciones de las aristas en proyección vertical ), lo que resta es encontrar su verdadera magnitud, que en estevertical ), lo que resta es encontrar su verdadera magnitud, que en este ejercicio se encontrará por abatimiento.ejercicio se encontrará por abatimiento.

- Para abatir el plano, utilizamos la traza vertical de la recta V - H, de la- Para abatir el plano, utilizamos la traza vertical de la recta V - H, de la manera ya vista en ejercicios anteriores; por Vmanera ya vista en ejercicios anteriores; por V, pasará la traza vertical, pasará la traza vertical abatida del plano, es decir abatida del plano, es decir ’’. Seguidamente se verá recta por recta,. Seguidamente se verá recta por recta, abatidas, los puntos de la sección que se verá en verdadera magnitud.abatidas, los puntos de la sección que se verá en verdadera magnitud.

- El punto 1 de la sección está en la recta V - H; por lo tanto desde la- El punto 1 de la sección está en la recta V - H; por lo tanto desde la proyección horizontal de 1, se traza perpendicular a la charnela hastaproyección horizontal de 1, se traza perpendicular a la charnela hasta encontrar dicha recta abatida, obteniendo la verdadera magnitud de este puntoencontrar dicha recta abatida, obteniendo la verdadera magnitud de este punto en ( 1 )en ( 1 )

- El punto 2 está en la recta O - 1, por eso como O es traza horizontal de- El punto 2 está en la recta O - 1, por eso como O es traza horizontal de dicha recta, desde 2, trazamos la perpendicular hasta cortar la recta O -dicha recta, desde 2, trazamos la perpendicular hasta cortar la recta O - ( 1 ), en cuya intersección estará el punto ( 2 ).( 1 ), en cuya intersección estará el punto ( 2 ).

- Para encontrar el punto 3, como éste está sobre la recta R - 4, unimos su- Para encontrar el punto 3, como éste está sobre la recta R - 4, unimos su traza horizontal R, con su traza vertical abatida V3traza horizontal R, con su traza vertical abatida V3, y desde 3 trazamos la, y desde 3 trazamos la perpendicular a la charnela hasta encontrar en ella el punto ( 3 ), visto enperpendicular a la charnela hasta encontrar en ella el punto ( 3 ), visto en verdadera magnitud. Sobre esta misma recta está el punto 4, por lo que desdeverdadera magnitud. Sobre esta misma recta está el punto 4, por lo que desde él trazamos perpendicular a la charnela hasta encontrar la recta abatida vistaél trazamos perpendicular a la charnela hasta encontrar la recta abatida vista en este acápite, permitiendo así encontrar el punto ( 4 ).en este acápite, permitiendo así encontrar el punto ( 4 ).

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- Para encontrar el punto ( 5 ), nos aprovechamos del ( 1 ), que ya ha sido- Para encontrar el punto ( 5 ), nos aprovechamos del ( 1 ), que ya ha sido hallado, puesto que ambos están en una misma recta; como la traza horizontalhallado, puesto que ambos están en una misma recta; como la traza horizontal de esta recta es T o h4, desde 5, trazamos la perpendicular a la rectade esta recta es T o h4, desde 5, trazamos la perpendicular a la recta mencionada, hasta encontrarla, determinando de esta forma a ( 5 ).mencionada, hasta encontrarla, determinando de esta forma a ( 5 ).

163.- Encontrar la verdadera magnitud de la sección de una pirámide cortada163.- Encontrar la verdadera magnitud de la sección de una pirámide cortada por un plano oblicuo, estando aquélla apoyada en el plano horizontal. ( fig. 163 )por un plano oblicuo, estando aquélla apoyada en el plano horizontal. ( fig. 163 )

- En este ejercicio utilizaremos el método de cambio de planos para el- En este ejercicio utilizaremos el método de cambio de planos para el encuentro de la verdadera magnitud de la sección solicitada en el enunciado.encuentro de la verdadera magnitud de la sección solicitada en el enunciado.

- Mediante el uso de un plano proyectante - Mediante el uso de un plano proyectante ’ - ’ - , iniciamos el encuentro de la, iniciamos el encuentro de la sección, comenzando por el punto 1, que se encuentra en la arista a’ - a; porsección, comenzando por el punto 1, que se encuentra en la arista a’ - a; por el procedimiento de la ley de afinidad, encontramos los demás puntos,el procedimiento de la ley de afinidad, encontramos los demás puntos, utilizando la traza utilizando la traza , en donde usamos como auxiliares los puntos O, P, R y, en donde usamos como auxiliares los puntos O, P, R y S; estos pasos previos nos permite hallar la sección 1, 2, 3, 4, 5.S; estos pasos previos nos permite hallar la sección 1, 2, 3, 4, 5.

- Una vez hallada la sección, procederemos a encontrar su verdadera- Una vez hallada la sección, procederemos a encontrar su verdadera magnitud, utilizando el procedimiento de cambio de planos; para ello,magnitud, utilizando el procedimiento de cambio de planos; para ello, mediante un primer cambio de plano vertical, convertimos al plano mediante un primer cambio de plano vertical, convertimos al plano en en proyectante vertical proyectante vertical ’’1 1 - - 11, usando para ello como auxiliar el punto o’ - o, usando para ello como auxiliar el punto o’ - o de intersección entre las líneas de tierra L - T y Lde intersección entre las líneas de tierra L - T y L11 - T - T11..

- Mediante un segundo cambio de plano, esta vez horizontal, colocamos la- Mediante un segundo cambio de plano, esta vez horizontal, colocamos la nueva línea de tierra Lnueva línea de tierra L22 - T - T22, paralela a la traza vertical , paralela a la traza vertical ’’11; ; trazandotrazando perpendiculares desde los puntos alineados sobre esta traza vertical, yperpendiculares desde los puntos alineados sobre esta traza vertical, y llevando a ellas el alejamiento del segundo estado, encontraremos sobre Lllevando a ellas el alejamiento del segundo estado, encontraremos sobre L 2 2 -- TT22, la verdadera magnitud de la sección , la verdadera magnitud de la sección 1, 2, 3, 4, 5.1, 2, 3, 4, 5.

182182



fig. 163fig. 163

164.- Encontrar la verdadera magnitud de la sección de una pirámide164.- Encontrar la verdadera magnitud de la sección de una pirámide hexagonal, apoyada sobre el plano horizontal, cortada por un plano oblicuo,hexagonal, apoyada sobre el plano horizontal, cortada por un plano oblicuo, utilizando el procedimiento de giros. ( fig. 164 )utilizando el procedimiento de giros. ( fig. 164 )

- Primero que nada, al igual que en los ejercicios precedentes, tendremos que- Primero que nada, al igual que en los ejercicios precedentes, tendremos que encontrar la sección producida en la pirámide por el plano oblicuo encontrar la sección producida en la pirámide por el plano oblicuo ’ - ’ - ,, utilizando para ello la ley de afinidad, con los puntos O, P, R, S, T, sobre lautilizando para ello la ley de afinidad, con los puntos O, P, R, S, T, sobre la traza horizontal del plano.traza horizontal del plano.

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- El primer giro nos permitirá convertir al plano en proyectante vertical; para- El primer giro nos permitirá convertir al plano en proyectante vertical; para ello usamos el eje vertical j’ - j, que se cortará con la horizontal r’ - r en elello usamos el eje vertical j’ - j, que se cortará con la horizontal r’ - r en el punto x’ - x; con la perpendicular de x a punto x’ - x; con la perpendicular de x a , giramos en sentido horario la, giramos en sentido horario la traza horizontal del plano, hasta convertirla en perpendicular a la línea detraza horizontal del plano, hasta convertirla en perpendicular a la línea de tierra, una de las condiciones que debe cumplir un plano para ser proyectantetierra, una de las condiciones que debe cumplir un plano para ser proyectante vertical.vertical.

- La traza vertical v’1 de la recta horizontal R, va a ir a confundirse con x’,- La traza vertical v’1 de la recta horizontal R, va a ir a confundirse con x’, que es por donde pasará la nueva traza vertical del plano, que es por donde pasará la nueva traza vertical del plano, ’1.’1.

- Todas las proyecciones verticales de la sección, van a ir a colocarse- Todas las proyecciones verticales de la sección, van a ir a colocarse confundidas con la nueva traza vertical del plano, mediante paralelas desdeconfundidas con la nueva traza vertical del plano, mediante paralelas desde ellas a la línea de tierra, mientras que las proyecciones horizontales girarán enellas a la línea de tierra, mientras que las proyecciones horizontales girarán en sentido horario, lo que giró su traza horizontal.sentido horario, lo que giró su traza horizontal.

- Con centro en la intersección de la línea de tierra con la traza - Con centro en la intersección de la línea de tierra con la traza ’1’1, giramos, giramos ésta sobre el plano horizontal hasta confundirla con la línea de tierra,ésta sobre el plano horizontal hasta confundirla con la línea de tierra, arrastrando con ella a las proyecciones verticales de la segunda situación.arrastrando con ella a las proyecciones verticales de la segunda situación.

- Desde estas últimas, bajamos perpendiculares a la línea de tierra, hasta- Desde estas últimas, bajamos perpendiculares a la línea de tierra, hasta encontrar las paralelas a la línea de tierra trazadas desde las proyeccionesencontrar las paralelas a la línea de tierra trazadas desde las proyecciones horizontales giradas en el paso anterior.horizontales giradas en el paso anterior.

- En estas intersecciones estarán las posiciones de la sección de la pirámide- En estas intersecciones estarán las posiciones de la sección de la pirámide vista en verdadera magnitud, vista en verdadera magnitud, 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6.1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6.

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fig. 164fig. 164

165.- Representar una recta que en verdadera magnitud tenga 40 mm. ( fig. 165 )165.- Representar una recta que en verdadera magnitud tenga 40 mm. ( fig. 165 )

- Para obtener la solución de este problema sencillo, puédese utilizar- Para obtener la solución de este problema sencillo, puédese utilizar cualquier procedimiento de los conocidos, abatimiento, cambio de plano ocualquier procedimiento de los conocidos, abatimiento, cambio de plano o giros, e incluso aplicar los principios del método de obtención degiros, e incluso aplicar los principios del método de obtención de distancias entre dos puntos.distancias entre dos puntos.

- Aplicando el más comúnmente usado, abatimientos, nos damos una recta- Aplicando el más comúnmente usado, abatimientos, nos damos una recta cualquiera, R, del plano; previamente para abatir el plano, nos servimoscualquiera, R, del plano; previamente para abatir el plano, nos servimos

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de un punto cualquiera sobre la traza vertical del plano de un punto cualquiera sobre la traza vertical del plano - - , el cual, el cual se abate por los procedimientos de sobra ya sabidos, obteniendo Vse abate por los procedimientos de sobra ya sabidos, obteniendo V, que, que es por donde pasará la nueva posición de la traza vertical es por donde pasará la nueva posición de la traza vertical ’’..

- Para abatir la recta R, mediante un arco, llevamos su traza vertical v’- Para abatir la recta R, mediante un arco, llevamos su traza vertical v’11, a, a la recién obtenida traza vertical abatida del plano, en donde obtenemos Vla recién obtenida traza vertical abatida del plano, en donde obtenemos V 11;; como se sabe, la traza horizontal de la recta no se mueve por estar en lacomo se sabe, la traza horizontal de la recta no se mueve por estar en la charnela, por lo que al unir ésta con Vcharnela, por lo que al unir ésta con V 11, tendremos la recta R abatida,, tendremos la recta R abatida, que es en donde podemos determinar los 40 mm. que nos pide el enunciado.que es en donde podemos determinar los 40 mm. que nos pide el enunciado.

100.- Obtener la verdadera magnitud de un segmento de recta, sin tener que100.- Obtener la verdadera magnitud de un segmento de recta, sin tener que proceder al uso de los métodos antes mencionados. ( fig. 100 )proceder al uso de los métodos antes mencionados. ( fig. 100 )

- No olvidar que la recta horizontal muestra su proyección no- No olvidar que la recta horizontal muestra su proyección no paralela a la línea de tierra, en verdadera magnitud. Por lo tanto bastaparalela a la línea de tierra, en verdadera magnitud. Por lo tanto basta dibujar una recta horizontal, y sobre su proyección horizontal trazar eldibujar una recta horizontal, y sobre su proyección horizontal trazar el segmento que se desee.segmento que se desee.

101.- Idem al anterior ejercicio, mediante otro procedimiento. ( fig. 101 )101.- Idem al anterior ejercicio, mediante otro procedimiento. ( fig. 101 )

- También la recta frontal muestra su proyección vertical en verdadera- También la recta frontal muestra su proyección vertical en verdadera magnitud, así que con las mismas consideraciones vistas en el ejerciciomagnitud, así que con las mismas consideraciones vistas en el ejercicio anterior, puédese proceder en el presente.anterior, puédese proceder en el presente.

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fig. 165fig. 165

fig. 166fig. 166

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fig. 167fig. 167

168.- Obtener las proyecciones de un pentágono que perteneciendo a un 168.- Obtener las proyecciones de un pentágono que perteneciendo a un plano, plano, es visto en verdadera magnitud. ( fig. 168 )es visto en verdadera magnitud. ( fig. 168 )

- Antes que nada, determinamos que el plano que contiene a la figura- Antes que nada, determinamos que el plano que contiene a la figura mencionada en el enunciado es el que se manifiesta con sus trazas mencionada en el enunciado es el que se manifiesta con sus trazas ’ - ’ - ..

Una vez determinado el plano, abatimos éste por losUna vez determinado el plano, abatimos éste por los procedimientos ya vistos anteriormente ( usamos como auxiliar para esteprocedimientos ya vistos anteriormente ( usamos como auxiliar para este paso, la recta v’ - h ), obteniendo Vpaso, la recta v’ - h ), obteniendo V, que es por donde pasará la traza, que es por donde pasará la traza vertical abatida, vertical abatida, ’’..

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- Abatido el plano dibujamos un pentágono, usando para ello la recta abatida- Abatido el plano dibujamos un pentágono, usando para ello la recta abatida en el paso anterior. En ésta ubicamos el punto O, que será el centroen el paso anterior. En ésta ubicamos el punto O, que será el centro de la circunferencia que va a circunscribir al pentágono.de la circunferencia que va a circunscribir al pentágono.

- La intersección de la circunferencia mencionada con la recta en- La intersección de la circunferencia mencionada con la recta en cuestión, nos dará uno de los puntos del pentágono, el B. A partir de él,cuestión, nos dará uno de los puntos del pentágono, el B. A partir de él, mediante un transportador, midiendo 72 grados de punto a punto,mediante un transportador, midiendo 72 grados de punto a punto, obtendremos el pentágono A - B - C - D - E.obtendremos el pentágono A - B - C - D - E.

- Prolongando el lado DC del pentágono, encontramos sobre la traza abatida- Prolongando el lado DC del pentágono, encontramos sobre la traza abatida del plano, la traza V1del plano, la traza V1, y sobre la charnela, su traza horizontal h, y sobre la charnela, su traza horizontal h11;; levantando la traza vertical de esta recta, obtenemos sobre levantando la traza vertical de esta recta, obtenemos sobre ’ la traza’ la traza vertical v’vertical v’11; desde los puntos D y C del pentágono, levantamos; desde los puntos D y C del pentágono, levantamos perpendiculares a la charnela, hasta encontrar la proyección horizontalperpendiculares a la charnela, hasta encontrar la proyección horizontal de la recta h’de la recta h’11 - v - v11, obteniendo así las proyecciones horizontales de, obteniendo así las proyecciones horizontales de dichos puntos, para luego levantar desde ellas perpendiculares a ladichos puntos, para luego levantar desde ellas perpendiculares a la charnela, hasta encontrar la proyección vertical de esta recta; de estacharnela, hasta encontrar la proyección vertical de esta recta; de esta manera tendremos las proyecciones d’ - d, y c’ - c, de dichos puntos.manera tendremos las proyecciones d’ - d, y c’ - c, de dichos puntos.

- El mismo procedimiento utilizamos para encontrar las proyecciones del- El mismo procedimiento utilizamos para encontrar las proyecciones del punto B, cuya recta tiene ya conocidas sus proyecciones.punto B, cuya recta tiene ya conocidas sus proyecciones.

- Las proyecciones de los dos puntos restantes se encuentran en la recta- Las proyecciones de los dos puntos restantes se encuentran en la recta h’3 - v’3, h3 - v3, que resultan de la prolongación de la recta E - A. De lah’3 - v’3, h3 - v3, que resultan de la prolongación de la recta E - A. De la misma manera que se encontraron los tres vértices misma manera que se encontraron los tres vértices anteriores, se anteriores, se procederá con E y A, obteniendo así las proyecciones solicitadas.procederá con E y A, obteniendo así las proyecciones solicitadas.

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Fig. 168Fig. 168

Fig. 169.- Encontrar la verdadera magnitud de una figura plana ( fig. 169 )Fig. 169.- Encontrar la verdadera magnitud de una figura plana ( fig. 169 )

- Lo más simple será abatir punto por punto, pero tantas rectas obstaculizarían el- Lo más simple será abatir punto por punto, pero tantas rectas obstaculizarían el procedimiento. En general se usa una traza abatida del plano y acudir a frontalesprocedimiento. En general se usa una traza abatida del plano y acudir a frontales y horizontales u otros métodos que la práctica aconseje.y horizontales u otros métodos que la práctica aconseje.

- Suponemos que - Suponemos que ab - a'b' ab - a'b' es una horizontal del plano por lo que es una horizontal del plano por lo que abatimos la abatimos la r - r'r - r' por su traza por su traza v - v' v - v' que es un punto de la charnela: que es un punto de la charnela: '' es es la traza abatida.la traza abatida.

190190



- De - De VVa paralela a a paralela a aa. De . De aa y y bb, perpendiculares a la charnela, perpendiculares a la charnela hasta encontrar la recta abatida hasta encontrar la recta abatida RR; ; ABAB está ya abatida. Si está ya abatida. Si a'a' b' b' no fuera horizontal, acudiríamos a la frontal no fuera horizontal, acudiríamos a la frontal f - f'f - f', para abatir, para abatir b - b'b - b'. Desde . Desde h - h'h - h', paralela a , paralela a '' hasta encontrar hasta encontrar BB. .

- Para abatir - Para abatir cd - c'd'cd - c'd', abatir la traza , abatir la traza m - m'm - m'. Desde . Desde oo, un arco , un arco om'om' hasta encontrar hasta encontrar MM sobre la perpendicular a sobre la perpendicular a desde desde mm. Como . Como n’-Nn’-N es es un punto de la charnela, es fijo y se une un punto de la charnela, es fijo y se une MM con con NN. Desde . Desde cc y y dd, perpendiculares a la charnela hasta encontrar dicha recta., perpendiculares a la charnela hasta encontrar dicha recta.

170.-Obtención de las proyecciones de una figura abatida dada: 170.-Obtención de las proyecciones de una figura abatida dada: ( fig.170 ):( fig.170 ):

Se trata de un cuadrilátero situado en el plano Se trata de un cuadrilátero situado en el plano de modo que su lado sea igual a de modo que su lado sea igual a ll, y, y una diagonal, perpendicular a una diagonal, perpendicular a del plano, y su centro del plano, y su centro OO diste longitudes diste longitudes dd y y d' d' de de y y '' , trazas del plano y esté en el primer cuadrante. , trazas del plano y esté en el primer cuadrante.

191191



fig. 169fig. 169

192192



fig. 170fig. 170

- Abatir la traza - Abatir la traza en en '' usando el punto usando el punto m - m' m - m' y trazar dos y trazar dos paralelas a paralelas a y y '' con distancias con distancias d d y y d'd'. La intersección de las. La intersección de las mismas nos da mismas nos da OO. De . De O O perpendicular a perpendicular a , y por Pitágoras, y por Pitágoras encontramos el cuadrado de lado encontramos el cuadrado de lado ll, , ABCDABCD..

- Referimos - Referimos VV en en vv y luego y luego v'v'. Por . Por vv, paralela a , paralela a y por y por v'v',, paralela a LT, y en ellas referimos paralela a LT, y en ellas referimos d - d'd - d', , o - o' o - o' y y b - b'b - b'..

- Uniendo - Uniendo BCBC, y prolongando, da , y prolongando, da s s en la charnela, que unido a en la charnela, que unido a bb, da, da cc, en el corte con la perpendicular; , en el corte con la perpendicular; cc lo referimos en lo referimos en c'c'..

- Tomando - Tomando oa = ocoa = oc, determinamos , determinamos a - a'a - a'..

171.- Encontrar la verdadera magnitud del á171.- Encontrar la verdadera magnitud del ángulo de una recta con un plano: ( fig.ngulo de una recta con un plano: ( fig. 171 )171 )

- Por lo complejo del ejercicio, se procede con una explicación paso a paso - Por lo complejo del ejercicio, se procede con una explicación paso a paso hasta su solución. ( fig. 171 )hasta su solución. ( fig. 171 )

193193



- Se trata de encontrar el ángulo formado por la recta R y el plano - Se trata de encontrar el ángulo formado por la recta R y el plano , el mismo, el mismo como se ve en la gráfica corrrespondiente es el signado con la letra como se ve en la gráfica corrrespondiente es el signado con la letra ..

- Encontramos la intersección de la recta R con el plano dado en el punto A, que- Encontramos la intersección de la recta R con el plano dado en el punto A, que es donde justamente se presenta el ángulo buscado, para lo que nos auxiliamoses donde justamente se presenta el ángulo buscado, para lo que nos auxiliamos de un plano proyectante de un plano proyectante , que se intersecta con el plano en la recta T, que da el, que se intersecta con el plano en la recta T, que da el punto A en su intersección con R.punto A en su intersección con R.

- Desde un punto arbitrario B, de R, bajamos la perpendicular S al plano, la- Desde un punto arbitrario B, de R, bajamos la perpendicular S al plano, la misma que nos proporciona el punto C, utilizando para ello el plano auxiliarmisma que nos proporciona el punto C, utilizando para ello el plano auxiliar proyectante proyectante 1.1.

- Se ha formado de esta manera el triángulo rectángulo ABC que determina el- Se ha formado de esta manera el triángulo rectángulo ABC que determina el plano plano , uniendo las trazas de las rectas R ( h, uniendo las trazas de las rectas R ( h44 - v’ - v’44 ), con las de T ( h ), con las de T ( h33 - v’ - v’33 ). ).

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fig. 171fig. 171

- Utilizando como charnela la traza horizontal - Utilizando como charnela la traza horizontal , abatimos el triángulo, abatimos el triángulo mencionado,mediante el cual es posible encontrar el ángulo mencionado,mediante el cual es posible encontrar el ángulo buscado formado buscado formado entre las rectas R y T, intersección entre entre las rectas R y T, intersección entre y y . Obsérvese que en el vértice C se. Obsérvese que en el vértice C se nota la presencia del ángulo recto que se muestra en la gráfica adjunta en lanota la presencia del ángulo recto que se muestra en la gráfica adjunta en la figura 171.figura 171.

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172.- Encontrar la verdadera magnitud por cambio de planos de figuras planas situadas en172.- Encontrar la verdadera magnitud por cambio de planos de figuras planas situadas en un plano cualquiera. ( fig. 172 )un plano cualquiera. ( fig. 172 )

- Ver en la parte gráfica la figura 172, la misma que contiene resumidamente los- Ver en la parte gráfica la figura 172, la misma que contiene resumidamente los pasos a seguir para dicho fin.pasos a seguir para dicho fin.

- En el plano - En el plano las rectas las rectas HV HV y y H H11 - V - V11 contienen al triángulo contienen al triángulo ABCABC.. En un primer cambio de plano vertical, se convierte a En un primer cambio de plano vertical, se convierte a en proyectante en proyectante vertical; las proyecciones horizontales no varían, y las verticales coincidenvertical; las proyecciones horizontales no varían, y las verticales coinciden con con a'a'11. Mediante un segundo cambio, esta vez horizontal paralelo a . Mediante un segundo cambio, esta vez horizontal paralelo a '1'1,, el plano queda convertido en paralelo a el plano queda convertido en paralelo a LL22 - T - T22. Esta vez las proyecciones. Esta vez las proyecciones verticales quedan fijas, y hallando las respectivas nuevas proyeccionesverticales quedan fijas, y hallando las respectivas nuevas proyecciones horizontales, nos determinan horizontales, nos determinan ABCABC, verdadera magnitud del triángulo, verdadera magnitud del triángulo buscado.buscado.

173.- Encontrar la verdadera magnitud de una figura plana por giro.173.- Encontrar la verdadera magnitud de una figura plana por giro. ( fig. 173 ) ( fig. 173 )

196196



- El procedimiento para encontrar la verdadera magnitud de la figura citada,- El procedimiento para encontrar la verdadera magnitud de la figura citada, obedece a los siguientes pasos:obedece a los siguientes pasos:

- Por un eje vertical - Por un eje vertical e - e'e - e', mediante la recta horizontal , mediante la recta horizontal r - r'r - r', que se, que se corta con el eje, se convierte al plano corta con el eje, se convierte al plano en proyectante vertical. Las en proyectante vertical. Las proyecciones horizontales giran lo que hizo proyecciones horizontales giran lo que hizo , y las verticales pasan a , y las verticales pasan a confundirse con confundirse con '1 '1 del proyectante vertical. del proyectante vertical.

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fig. 172fig. 172

198198



fig. 173fig. 173

2º Por un segundo giro alrededor de un eje de punta 2º Por un segundo giro alrededor de un eje de punta E1E1, se convierte al, se convierte al plano, en plano, en horizontal, pasando horizontal, pasando '1 '1 a tomar la posición a tomar la posición '2 '2 paralela aparalela a LTLT. Esta vez las . Esta vez las verticales girarán lo que giró verticales girarán lo que giró '2'2, y las horizontales,, y las horizontales, mediante movimientos paralelos mediante movimientos paralelos a a LTLT, pasarán a la posición final , pasarán a la posición final ABC.ABC.

174.- Encontrar la verdadera magnitud de una figura irregular contenida en un plano, con174.- Encontrar la verdadera magnitud de una figura irregular contenida en un plano, con vértices sobre cuatro de sus rectas ( fig. 174 )vértices sobre cuatro de sus rectas ( fig. 174 )

- Sobre el plano - Sobre el plano ubicamos cuatro rectas: ubicamos cuatro rectas:

a) Ra) R, oblícua que contiene los puntos , oblícua que contiene los puntos AA y y BB..

b) Sb) S, oblícua que contiene tiene los puntos , oblícua que contiene tiene los puntos CC

c) Tc) T, horizontal que contiene los puntos , horizontal que contiene los puntos E E y y FF..

d) Ud) U, frontal que contiene los puntos , frontal que contiene los puntos G G e e II..

- La figura a trabajar está formada por la unión de los vértices - La figura a trabajar está formada por la unión de los vértices AEGCBDFIAAEGCBDFIA..

199199



- Abatiendo cada una de las rectas sobre la charnela - Abatiendo cada una de las rectas sobre la charnela , y los puntos en ellas, y los puntos en ellas contenidos, tendremos la verdadera magnitud de la figura en cuestión.contenidos, tendremos la verdadera magnitud de la figura en cuestión.

- Para abatir - Para abatir '', utilizamos la traza vertical de la recta , utilizamos la traza vertical de la recta RR. . ( ( v' - v v' - v )) ( fig. 174 ).( fig. 174 ).

200200



fig. 174fig. 174175.- Encontrar las proyecciones de una figura estrellada, contenida en un plano 175.- Encontrar las proyecciones de una figura estrellada, contenida en un plano ,, partiendo de su verdadera magnitud. ( fig. 175 )partiendo de su verdadera magnitud. ( fig. 175 )

- Abatir la traza vertical - Abatir la traza vertical ' ' sobre la charnela sobre la charnela ,, utilizando la traza utilizando la traza vertical vertical v' - vv' - v, de cualquier posible recta ( , de cualquier posible recta ( '' ). ).

- Dibujar una figura estrellada simétrica de ejes mayores - Dibujar una figura estrellada simétrica de ejes mayores AC AC y y BD BD, ejes, ejes menores menores EG EG yy FI FI, y centro , y centro PP..

- Como el centro - Como el centro PP es básico para el desarrollo de la figura, levantamos la es básico para el desarrollo de la figura, levantamos la recta que lo contenga, y con ella los puntos recta que lo contenga, y con ella los puntos F F e e Y Y que están también que están también contenidos en ella.contenidos en ella.

- Levantamos la recta que contiene los puntos - Levantamos la recta que contiene los puntos A A y y C C, que por pasar por, que por pasar por PP, basta con levantar su traza vertical , basta con levantar su traza vertical V'V', y unir con , y unir con PP, que ya está, que ya está levantado en el paso anterior, y de esa forma obtenemos las proyecciones levantado en el paso anterior, y de esa forma obtenemos las proyecciones a' - aa' - a y y c' - cc' - c..

- Realizamos la misma operación con la otra recta que contiene los otros- Realizamos la misma operación con la otra recta que contiene los otros vértices de la complementaria diagonal mayor de la estrella, esto es lavértices de la complementaria diagonal mayor de la estrella, esto es la recta recta DBDB, que también pasa por el centro , que también pasa por el centro PP. Todo ello a partir de su traza. Todo ello a partir de su traza horizontal horizontal h3h3..

La última recta ( La última recta ( EG EG ), se levanta a partir de su traza horizontal ), se levanta a partir de su traza horizontal h4h4..

201201



- Las proyecciones de la figura se obtienen uniendo las obtenidas en los- Las proyecciones de la figura se obtienen uniendo las obtenidas en los pasos anteriores.pasos anteriores.

202202



fig. 175fig. 175176.- Encontrar por cambio de plano, la verdadera magnitud de la poligonal irregular176.- Encontrar por cambio de plano, la verdadera magnitud de la poligonal irregular mostrada en la figura 176.mostrada en la figura 176.

- Sea la figura - Sea la figura AECFBDAAECFBDA, contenida en las siguientes rectas del plano , contenida en las siguientes rectas del plano : :

a) recta a) recta RR: ( puntos : ( puntos A A yy B B ))

b) recta b) recta SS: ( puntos : ( puntos C C yy D D ))

c)recta c)recta TT: ( puntos : ( puntos E E yy F F ))

- Mediante un primer cambio de plano, vertical, convertimos al plano - Mediante un primer cambio de plano, vertical, convertimos al plano en proyectante vertical, ubicando por los métodos conocidos, las nuevasen proyectante vertical, ubicando por los métodos conocidos, las nuevas proyecciones verticales, sabiendo que las horizontales no variarán. ( Seproyecciones verticales, sabiendo que las horizontales no variarán. ( Se utiliza la recta utiliza la recta S S como auxiliar para encontrar la nueva traza como auxiliar para encontrar la nueva traza vertical vertical ''11 ). Téngase en cuenta que el punto ). Téngase en cuenta que el punto v'v'11, deja de ser traza, deja de ser traza vertical, y el vertical, y el vv22, viene a ser una simple referencia para tomar su cota y, viene a ser una simple referencia para tomar su cota y determinar así la dirección a tomar por determinar así la dirección a tomar por ''11..

- Por perpendiculares a - Por perpendiculares a L'L'11 - T' - T'11, desde las nuevas proyecciones, desde las nuevas proyecciones horizontales ( que son las mismas que las originales, pero con cambiohorizontales ( que son las mismas que las originales, pero con cambio de nombre: de nombre: aa, es , es aa11, etc. ), ubicamos las nuevas proyecciones, etc. ), ubicamos las nuevas proyecciones verticales, que van a estar coincidentes con verticales, que van a estar coincidentes con ''11, por tratarse de un, por tratarse de un plano proyectante vertical. Eso se verifica al ver que las cotas iniciales,plano proyectante vertical. Eso se verifica al ver que las cotas iniciales, coinciden con las segundas.coinciden con las segundas.

- Mediante un segundo cambio de plano, esta vez horizontal, colocando - Mediante un segundo cambio de plano, esta vez horizontal, colocando LL22 - - TT22, paralela a , paralela a ''11, ubicamos las proyeccionas , ubicamos las proyeccionas aa22, b, b22, c, c22, etc., que, etc., que

203203



serán las proyecciones finales de la poligonal, unidas las cuales, nosserán las proyecciones finales de la poligonal, unidas las cuales, nos determinarán la verdadera magnitud de la figura motivo del presente ejercicio.determinarán la verdadera magnitud de la figura motivo del presente ejercicio.

204204



fig. 176fig. 176

177.- Hallar la verdera magnitud de la poligonal 177.- Hallar la verdera magnitud de la poligonal AFCGBDAAFCGBDA, mediante el, mediante el procedimiento de giro del plano procedimiento de giro del plano , que la contiene ( fig. 177 ) , que la contiene ( fig. 177 )

- La figura está compuesta por los siguients puntos contenidos en las rectas: - La figura está compuesta por los siguients puntos contenidos en las rectas:

a) Ra) R ( ( A - B A - B ))

b) S ( C - D )b) S ( C - D )

c) Tc) T ( ( F - G F - G ))

- Utilizando el eje vertical - Utilizando el eje vertical e' - ee' - e, convertimos primeramente al plano , convertimos primeramente al plano ,, en proyectante vertical. Para ello utilizamos la recta horizontal en proyectante vertical. Para ello utilizamos la recta horizontal SS, que se corta, que se corta con el eje en el punto con el eje en el punto OO. En todo, se procede de acuerdo a los. En todo, se procede de acuerdo a los procedimientos ya conocidos.procedimientos ya conocidos.

- Con un nuevo giro, esta vez alrededor de un eje de punta, - Con un nuevo giro, esta vez alrededor de un eje de punta, e' e'11 - e - e11, pasamos, pasamos el plano a la posición de horizontal, para lo cual, con centro en el plano a la posición de horizontal, para lo cual, con centro en e'e'11,, giramos en sentido horario, hasta colocar la traza giramos en sentido horario, hasta colocar la traza ''22, paralela a la, paralela a la línea de tierra, permitiendo de esta manera, ver la figura en verdaderalínea de tierra, permitiendo de esta manera, ver la figura en verdadera magnitud sobre el plano horizontal de proyección.magnitud sobre el plano horizontal de proyección.

- La unión de esta últimas proyecciones, nos dará la verdadera magnitud- La unión de esta últimas proyecciones, nos dará la verdadera magnitud de la figura solicitada.de la figura solicitada.

205205



fig. 177fig. 177178.- A objeto de realizar iguales ejercicios por los tres métodos conocidos para obtener178.- A objeto de realizar iguales ejercicios por los tres métodos conocidos para obtener verdaderas magnitudes de figuras planas, procederemos a la realización de la siguienteverdaderas magnitudes de figuras planas, procederemos a la realización de la siguiente

206206



serie de problemas idénticos, que al resolverse por los métodos mencionadosserie de problemas idénticos, que al resolverse por los métodos mencionados (abatimientos, cambio de planos, giros), deben dar por supuesto la misma figura,(abatimientos, cambio de planos, giros), deben dar por supuesto la misma figura, idénticas en forma y medidas. ( fig. 178, 179 y 180 )idénticas en forma y medidas. ( fig. 178, 179 y 180 )

- En primer lugar, obtendremos las proyecciones de la cruz estilizada del presente- En primer lugar, obtendremos las proyecciones de la cruz estilizada del presente ejercicio ( fig. 178 ) a fin de que luego, en los subsiguientes ( figs. 179 y 180 ), aejercicio ( fig. 178 ) a fin de que luego, en los subsiguientes ( figs. 179 y 180 ), a partir de las proyecciones obtenidas en éste, obtengamos la misma figura enpartir de las proyecciones obtenidas en éste, obtengamos la misma figura en verdadera magnitud de este ejercicio.verdadera magnitud de este ejercicio.

- Por los procedimientos ya vistos ( fig. 175 ), procédase a obtener- Por los procedimientos ya vistos ( fig. 175 ), procédase a obtener las proyecciones de la figura del presente ejercicio.las proyecciones de la figura del presente ejercicio.

- La recta - La recta RR, contiene los puntos , contiene los puntos A, P y BA, P y B ( horizontal con traza ( horizontal con traza v'v v'v ).).

- La recta de traza horizontal - La recta de traza horizontal hh22, contiene , contiene C, P y D.C, P y D.

- Estas dos primeras rectas consideradas, se cortan en el punto - Estas dos primeras rectas consideradas, se cortan en el punto PP..

- La recta - La recta SS, contiene al punto , contiene al punto DD ( horizontal con traza ( horizontal con traza v'v'11, que, que ayuda a determinar la recta ayuda a determinar la recta CD CD ).).

- La recta - La recta TT, contiene los puntos , contiene los puntos M M yy N. N.

- Obtenidos los puntos - Obtenidos los puntos A, C, B, M y N, A, C, B, M y N, obtendremos por obtendremos por uniónunión entre ellos los puntos que faltan:entre ellos los puntos que faltan:

a) a) E E y y F F, están en , están en ACACb) b) G G e e Y Y, están en , están en CBCBa) a) XX, está en , está en ANANa) a) LL, está en , está en MBMB..La unión de las sucesivas proyecciones así obtenidas,nos da lasLa unión de las sucesivas proyecciones así obtenidas,nos da las proyecciones de la figura.proyecciones de la figura.

207207



fig. 178fig. 178

208208



fig. 179fig. 179

209209



fig. 180fig. 180181.-En un solo ejercicio conseguir la verdadera magnitud por los tres procedimientos de181.-En un solo ejercicio conseguir la verdadera magnitud por los tres procedimientos de la forma expuesta en la figura 181.la forma expuesta en la figura 181.

a) a) POR ABATIMIENTOPOR ABATIMIENTO

- Plano - Plano ’ - ’ - . .

- Por v, perpendicular a la charnela - Por v, perpendicular a la charnela , y con radio x’v’, trazar el arco hasta, y con radio x’v’, trazar el arco hasta cortar a dicha perpendicular Vcortar a dicha perpendicular V,, que es por donde pasará la traza que es por donde pasará la traza ’’ abatida. abatida.

210210



- Unir V- Unir V con H con H, que es la traza horizontal de la recta r’ - r, a la que, que es la traza horizontal de la recta r’ - r, a la que pertenecen ambas trazas.pertenecen ambas trazas.

- Por un punto O de R abatida, trazar una perpendicular S- Por un punto O de R abatida, trazar una perpendicular S, que tendrá como, que tendrá como horizontal Hhorizontal H11..

- Sobre estas dos rectas, trazar la fichra ABCDE.- Sobre estas dos rectas, trazar la fichra ABCDE.

- Levantando la recta R, se obtienen las proyecciones a, o, c, en r, y por- Levantando la recta R, se obtienen las proyecciones a, o, c, en r, y por perpendicularidad, a’, o’ y c’ en r’.perpendicularidad, a’, o’ y c’ en r’.

- De la misma forma se obtienen d, o, e, b, en s - s’.- De la misma forma se obtienen d, o, e, b, en s - s’.

- Las proyecciones a, b, c, d, e, y a’, b’, c’, d’, e’, serán las que servirá,- Las proyecciones a, b, c, d, e, y a’, b’, c’, d’, e’, serán las que servirá, de partida para obtener la verdadera magnitud de la figura por cambio de plano yde partida para obtener la verdadera magnitud de la figura por cambio de plano y giro.giro.

b) CAMBIO DE PLANOb) CAMBIO DE PLANO

- Se hace un primer cambio de plano vertical, colocando L’- Se hace un primer cambio de plano vertical, colocando L’11 - T’ - T’11,, perpendicular a perpendicular a , que coincidirá con , que coincidirá con 11. Este paso se lo hace utilizando como. Este paso se lo hace utilizando como auxiliar la recta horizontal auxiliar t’ - t.auxiliar la recta horizontal auxiliar t’ - t.

- Por v’- Por v’1,1, pasaará la nueva traza vertical pasaará la nueva traza vertical ’’11 . .

- Desde cada una de las proyecciones horizontales a, b, c, d, e, que serán- Desde cada una de las proyecciones horizontales a, b, c, d, e, que serán coincidentes con a1, bcoincidentes con a1, b11, c, c11, d, d11, e, e11, se trazan perpendiculares a , se trazan perpendiculares a L’1L’1 - T’ - T’11,, hasta alcanzar hasta alcanzar ’’11, encontrando en ella a’, encontrando en ella a’11, b’, b’11, c’, c’11, d’, d’11, e’, e’11..

211211



- Se hace un segundo cambio de plano, esta vez horizontal, paralelo a - Se hace un segundo cambio de plano, esta vez horizontal, paralelo a ’’11, la, la LL22 - T - T22..

- El plano se convirtió en horizontal, paralelo a - El plano se convirtió en horizontal, paralelo a ’’22. Coincidente con . Coincidente con ’’11..

- Desde las proyecciones a’- Desde las proyecciones a’11, b’, b’11, c’, c’11, d’, d’11, e’, e’11, se trazan perpendiculares a la, se trazan perpendiculares a la nueva línea de tierra Lnueva línea de tierra L22 - T - T22, llevando a éstas los alejamientos que tenían a, llevando a éstas los alejamientos que tenían a11,, bb11, c, c11, d, d11, e1, respecto de su línea de tierra L, e1, respecto de su línea de tierra L11 - T - T11..

- Estos puntos así obtenidos, serán los puntos A- Estos puntos así obtenidos, serán los puntos A22, B, B22, C, C22, D, D22, E, E22, vértices de, vértices de la figura que se verán en verdadera magnitud, la misma que como se puedela figura que se verán en verdadera magnitud, la misma que como se puede verificar, es idéntica a la ABCDE inicial.verificar, es idéntica a la ABCDE inicial.

c) POR GIROc) POR GIRO

- Utilizando el eje e’- Utilizando el eje e’3a3a, convertir el plano en proyectante vertical, girando , convertir el plano en proyectante vertical, girando con con centro en ecentro en e3a3a, hasta convertirlo en , hasta convertirlo en 33, perpendicular a LT ( se utiliza la recta, perpendicular a LT ( se utiliza la recta horizontal t’ - t.horizontal t’ - t.

- La traza vertical v’, se moverá paralelamente a L - T, hasta v’- La traza vertical v’, se moverá paralelamente a L - T, hasta v’33 que es por que es por donde pasará donde pasará ’’33..

- Desde las proyecciones a’ b’ c’ d’ e’, trazar paralelas a L - T, hasta- Desde las proyecciones a’ b’ c’ d’ e’, trazar paralelas a L - T, hasta encontrar en encontrar en ’’3 3 las proyecciones a’ las proyecciones a’33, b’, b’33, c’, c’33, d’, d’33, e’, e’33..

- Mediante arcos trazados con centro en e- Mediante arcos trazados con centro en e33, desde a, b, c, d, e, encontrar, desde a, b, c, d, e, encontrar aa33, b, b33, c, c33, d, d33, e, e33, en las perpendiculares a L - T, bajadas desde a’, en las perpendiculares a L - T, bajadas desde a’ 33, b’, b’33,, c’c’33, d’, d’33, e’, e’33..

212212



- Por un segundo giro, utilizando el eje e’- Por un segundo giro, utilizando el eje e’3b3b, se girará , se girará 3 3 hasta obtener hasta obtener ’’44,, paralelo a L - T, quedando el plano convertido en horizontal.paralelo a L - T, quedando el plano convertido en horizontal.

- Con centro en e’- Con centro en e’3b3b, girar a’, girar a’33, b’, b’33, c’, c’33, d’, d’33, e’, e’33, hasta colocarlos en , hasta colocarlos en ’’44, en, en los puntos a’los puntos a’44, b’, b’44, c’, c’44, d’, d’44, e’, e’44..

-Desde las proyecciones a-Desde las proyecciones a33, b, b33, c, c33, d, d33, e, e33, trazar paralelas a L - T, hasta, trazar paralelas a L - T, hasta encontrar las perpendiculares bajadas desde a’encontrar las perpendiculares bajadas desde a’44, b’, b’44, c’, c’44, d’, d’44, e’, e’44,, determinando los puntos Adeterminando los puntos A44, B, B44, C, C44, D, D44, E, E44..

fig. 181fig. 181

213213



fig. 181fig. 181

214214



SUPERFICIESSUPERFICIES

182.-Construír un prisma recto conociendo su altura, la proyección horizontal de su182.-Construír un prisma recto conociendo su altura, la proyección horizontal de su base y las trazas del plano que la contiene ( fig. 182 )base y las trazas del plano que la contiene ( fig. 182 )

- Los pasos a seguir en el desarrollo del presente ejercicio son:- Los pasos a seguir en el desarrollo del presente ejercicio son: ( fig. 182 )( fig. 182 )

215215



fig. 182fig. 182

- Sea - Sea abcdefabcdef, la proyección horizontal del prisma; , la proyección horizontal del prisma; el plano que loel plano que lo contiene y contiene y HH la altura del prisma. la altura del prisma.

- Para hallar las proyecciones del prisma, trazamos horizontales del plano que- Para hallar las proyecciones del prisma, trazamos horizontales del plano que pasen por los vértices pasen por los vértices a - a'a - a', , b - b'b - b', etc., etc.

- Trazamos luego una arista lateral cualquiera del prisma que por ser- Trazamos luego una arista lateral cualquiera del prisma que por ser recto, será perpendicular a recto, será perpendicular a que lo contiene; se trata de que lo contiene; se trata de d - kd - k..

- Girar luego - Girar luego d - kd - k alrededor de un eje vertical que pasa por alrededor de un eje vertical que pasa por d - d'd - d', hasta, hasta convertirla en frontal y sobre ella se toma convertirla en frontal y sobre ella se toma d' - m'1 = Hd' - m'1 = H . Deshaciendo. Deshaciendo el giro obtenemos el giro obtenemos m - m'm - m'..

- Trazar las aristas laterales paralelas entre sí. Asimismo, las bases paralelas.- Trazar las aristas laterales paralelas entre sí. Asimismo, las bases paralelas.

216216



183.- Sección producida en un prisma por un plano que lo corte ( fig. 183 )183.- Sección producida en un prisma por un plano que lo corte ( fig. 183 )

- Para hallar la intersección de un plano con un prisma, basta hallar la- Para hallar la intersección de un plano con un prisma, basta hallar la intersección con sus aristas. intersección con sus aristas.

- En la figura de referencia, un plano corta al prisma según la línea - En la figura de referencia, un plano corta al prisma según la línea ABAB.. Las aristas Las aristas 1, 2, 3, 4, 5, 61, 2, 3, 4, 5, 6 , son los vértices del polígono sección con el plano, son los vértices del polígono sección con el plano secante, secante, a b c d e fa b c d e f..

- En la misma se ve que las rectas de intersección del plano - En la misma se ve que las rectas de intersección del plano de la base de la base del prisma y del plano secante, concurren en el mismo punto de la traza del prisma y del plano secante, concurren en el mismo punto de la traza ABAB

de ambos planos: por ejemplo, los lados de ambos planos: por ejemplo, los lados 3 -3 - 4 4 yy c d c d concurren en concurren en r r y las y las diagonales diagonales 2 - 4 2 - 4 y y b d b d lo hacen en lo hacen en kk..

217217



fig. 183fig. 183

Representación en el sistema diédrico: Representación en el sistema diédrico: ( depurado )( depurado )

Prisma apoyado sobre el plano horizontal; pasos a seguir: ( fig. 183a )Prisma apoyado sobre el plano horizontal; pasos a seguir: ( fig. 183a )

- Por - Por 1 - 1'1 - 1', mediante un proyectante, ubicamos el punto , mediante un proyectante, ubicamos el punto a - a'a - a'..

- Por la arista - Por la arista 1 - 21 - 2, prolongando hasta la traza , prolongando hasta la traza , se ubica , se ubica mm, que, que unido con unido con a - a'a - a', nos da , nos da b - b'b - b'..- Prolongando - Prolongando 2 - 32 - 3, ubicamos el punto , ubicamos el punto r r y con él, y con él, c - c'c - c'..

- Prolongando - Prolongando 4 - 34 - 3, ubicamos , ubicamos nn, y con él, , y con él, d - d'd - d'..

218218



fig. 183afig. 183a

184.-Sección producida en un prisma oblícuo por un plano de canto ( fig. 184 )184.-Sección producida en un prisma oblícuo por un plano de canto ( fig. 184 )

- Como el caso es el de un proyectante vertical, sus intersecciones con la traza vertical- Como el caso es el de un proyectante vertical, sus intersecciones con la traza vertical son las cotas con cada arista, que luego se refieren al plano horizontal. ( fig. 184 )son las cotas con cada arista, que luego se refieren al plano horizontal. ( fig. 184 )

219219



fig. 184fig. 184

185.- Sección producida en un prisma recto por un plano de canto:185.- Sección producida en un prisma recto por un plano de canto: ( fig. 185 ) ( fig. 185 )

- La proyección de la sección se confunde con la base por ser el prisma recto, y- La proyección de la sección se confunde con la base por ser el prisma recto, y estar apoyado en el horizontal. Las proyecciones verticales se determinan comoestar apoyado en el horizontal. Las proyecciones verticales se determinan como en el caso anterior.en el caso anterior.

220220



fig. 185fig. 185

186.- Intersección de recta y prisma: 186.- Intersección de recta y prisma: ( fig.186 ) ( fig.186 )

El prisma se lo considera apoyado en el plano El prisma se lo considera apoyado en el plano que por tanto contiene a laque por tanto contiene a la base de aquél. Para determinar la intersección buscada, se hace pasar un plano por labase de aquél. Para determinar la intersección buscada, se hace pasar un plano por la recta, plano que se lo elige paralelo a las caras laterales del prisma. A este plano lorecta, plano que se lo elige paralelo a las caras laterales del prisma. A este plano lo llamamos llamamos que se corta con que se corta con según según HabHab, que corta a los lados de la base en, que corta a los lados de la base en a a y y b b. De los puntos . De los puntos a a y y b b, se levantan paralelas a las aristas laterales, hasta, se levantan paralelas a las aristas laterales, hasta encontrar a la recta encontrar a la recta RR, que es cortada en los puntos , que es cortada en los puntos A A y y B B que son los que que son los que determinan la entrada y salida de la recta en el prisma objeto del presente ejercicio.determinan la entrada y salida de la recta en el prisma objeto del presente ejercicio.- Si - Si R' R' fuera traza vertical del plano fuera traza vertical del plano , las paralelas levantadas desde , las paralelas levantadas desde tt, , a a yy b b,, se referirían en se referirían en R'R', en los puntos, en los puntos m' m', , A' A' y y B' B'..

221221



fig. 186fig. 186

Aplicación del presente caso en el sistema diédrico: Aplicación del presente caso en el sistema diédrico: ( fig. 186a ) ( fig. 186a )

- Se trata de un prisma oblícuo cortado por la recta - Se trata de un prisma oblícuo cortado por la recta r - r'r - r'; hay que determinar; hay que determinar su intersección:su intersección:

- Por un punto - Por un punto g - g' g - g' de de r - r'r - r' pasamos una recta pasamos una recta s - s's - s', cuyas proyecciones, cuyas proyecciones son paralelas a las caras del prisma.son paralelas a las caras del prisma.- Entre las rectas - Entre las rectas R R yy S S, se determina el plano secante, del que nos basta, se determina el plano secante, del que nos basta determinar la traza horizontal, la que corta a la base del prisma en los puntosdeterminar la traza horizontal, la que corta a la base del prisma en los puntos n - n' n - n' y y q - q' q - q'..

- Trazando por estos últimos puntos, paralelas a las aristas del prisma, se- Trazando por estos últimos puntos, paralelas a las aristas del prisma, se encuentra a la recta encuentra a la recta r - r' r - r' en en m - m' m - m' y y x - x' x - x'..

222222



fig. 186afig. 186a187.- Representar una pirámide apoyada en un plano cualquiera ( fig. 187 )187.- Representar una pirámide apoyada en un plano cualquiera ( fig. 187 )

- En el plano - En el plano , mediante rectas horizontales hacemos contener la base, mediante rectas horizontales hacemos contener la base de una pirámide de una pirámide a b c d - a' b' c' d'a b c d - a' b' c' d' , y luego ubicando arbitrariamente el, y luego ubicando arbitrariamente el vértice vértice v - v'v - v', unido con los puntos de la base, obtenemos la representación de, unido con los puntos de la base, obtenemos la representación de la pirámide, en este caso de base rectangular.la pirámide, en este caso de base rectangular.

223223



Fig. 187Fig. 187

188.- Representación de un tetraedro conociendo su arista l y el plano sobre el que188.- Representación de un tetraedro conociendo su arista l y el plano sobre el que está apoyada la base ( fig. 188 )está apoyada la base ( fig. 188 )

- Los pasos a seguir en el presente ejercicio son: ( fig. 188 )- Los pasos a seguir en el presente ejercicio son: ( fig. 188 )

- Determinar - Determinar b - b' b - b', punto cualquiera dado como vértice, abatiendo el plano y, punto cualquiera dado como vértice, abatiendo el plano y con él el punto.con él el punto.

- Construír un triángulo equilátero arbitrario de lado - Construír un triángulo equilátero arbitrario de lado ll, como el , como el BCDBCD,, que será la cara que se encuentra en el plano. que será la cara que se encuentra en el plano.

- Prolongando - Prolongando BCBC, ubicamos , ubicamos f - f' f - f' que unido con que unido con b - b'b - b' nos da la nos da la recta recta bd - b'f' bd - b'f' sobre la que se ubica el punto sobre la que se ubica el punto c - c'c - c'..

- Desde - Desde DD bajar la perpendicular bajar la perpendicular DNDN y por ella la altura que se y por ella la altura que se levantará desde levantará desde n - n'n - n', sobre la que se ubica el punto , sobre la que se ubica el punto o - o'o - o'; prolongando; prolongando hasta hasta que nos da que nos da kk..

224224



- Para ubicar el cuarto vértice, levantamos la altura desde - Para ubicar el cuarto vértice, levantamos la altura desde o - o'o - o',, trazando perpendiculares a las trazas; ubicamos un punto trazando perpendiculares a las trazas; ubicamos un punto i - y' i - y' sobresobre la perpendicular. Desde la perpendicular. Desde OO, paralela a , paralela a DNDN, ubicando , ubicando DM = CDDM = CD; ; OMOM es la altura. Para conseguir la altura en representación, giramos sobre es la altura. Para conseguir la altura en representación, giramos sobre oo - o' - o' la recta la recta o - io - i, hasta convertirla en frontal según , hasta convertirla en frontal según o y 1 - o' y' 1o y 1 - o' y' 1;; sobre sobre o' y' 1 o' y' 1 tomamos la longitud tomamos la longitud OMOM que será que será o'a'1o'a'1, la misma, la misma que rebatida sobre que rebatida sobre o' - y'o' - y', da el cuarto vértice , da el cuarto vértice a - a' a - a'..

225225



fig. 188fig. 188189.-189.- Construcción de un octaedro, cuya base cuadrada está contenidaConstrucción de un octaedro, cuya base cuadrada está contenida en el en el plano plano . . ( fig. 189 )( fig. 189 )

- Podemos considerar este volumen, como compuesto por dos pirámides- Podemos considerar este volumen, como compuesto por dos pirámides regulares de base cuadrada, unidas entre sí por justamente ésta.regulares de base cuadrada, unidas entre sí por justamente ésta.

- Por similitud con el anterior ejercicio, aplicamos acá los mismos principios- Por similitud con el anterior ejercicio, aplicamos acá los mismos principios aplicados en aquél.aplicados en aquél.

- A través de los procedimientos aplicados en rebatimientos, primero- A través de los procedimientos aplicados en rebatimientos, primero determinamos la base cuadrada del octaedro, apoyada en el planodeterminamos la base cuadrada del octaedro, apoyada en el plano horizontal, haciendo que el lado de dicha base tenga horizontal, haciendo que el lado de dicha base tenga 4,5 4,5 cms. cms.

- Una vez abatido el plano, determinamos el centro - Una vez abatido el plano, determinamos el centro OO del cuadrado, en del cuadrado, en la diagonal sobre la rela diagonal sobre la reccta ta R, R, y luego la construcción de dicho cuadrado y luego la construcción de dicho cuadrado por la aplicación de la fórmula de Pitágoras. ( por la aplicación de la fórmula de Pitágoras. ( dd = 2 l2 ) = 2 l2 )

- El cuadrado de la base es - El cuadrado de la base es ABCD.ABCD.

- Las proyecciones de este cuadrado las conseguimos levantando las rectas - Las proyecciones de este cuadrado las conseguimos levantando las rectas RR y y ABAB. Ellas son las . Ellas son las a' b' c' d' - a b c d. a' b' c' d' - a b c d. El vértice El vértice d d lo lo conseguimos por simetría de la diagonal conseguimos por simetría de la diagonal bdbd, respecto del centro , respecto del centro o.o.

- Para encontrar la altura del octaedro, desde - Para encontrar la altura del octaedro, desde o' - o, o' - o, centro de la base,centro de la base, trazamos la perpendicular al plano trazamos la perpendicular al plano que la contiene. La altura del que la contiene. La altura del octaedro estará sobre esta perpendicular. Para ello nos damos unoctaedro estará sobre esta perpendicular. Para ello nos damos un punto auxiliar punto auxiliar x'- xx'- x sobre esta recta, la misma que sobre un ejesobre esta recta, la misma que sobre un eje imaginario vertical, desde imaginario vertical, desde o' - o,o' - o, la giramos hasta convertirla en frontal, la giramos hasta convertirla en frontal, estando en estando en OXOX la altura en verdadera magnitud. la altura en verdadera magnitud.

- La altura en verdadera magnitud del octaedro, se ve sobre la- La altura en verdadera magnitud del octaedro, se ve sobre la proyección horizontal proyección horizontal ( OC )( OC ). Para ello, la mitad de este. Para ello, la mitad de este

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segmento segmento ( h )( h ), la llevamos a, la llevamos a OX OX, determinmando , determinmando oo11 = o = o22, , loslos mismos que por giro inverso, llevamos a las proyecciones de lamismos que por giro inverso, llevamos a las proyecciones de la recta recta OXOX, encontrando , encontrando oo11 y o y o22, proyecciones de las cúspides, proyecciones de las cúspides opuestas, las mismas que permitirán ver la proyección de la figuraopuestas, las mismas que permitirán ver la proyección de la figura tratada en este ejercicio.tratada en este ejercicio.

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fig. 189fig. 189190.- Sección plana de la pirámide:190.- Sección plana de la pirámide: ( fig. 242 ) Como en el caso del prisma, por una ( fig. 242 ) Como en el caso del prisma, por una arista ubicamos un punto de la sección mediante un plano proyectante. Luego por elarista ubicamos un punto de la sección mediante un plano proyectante. Luego por el método de las caras ubicaremos los demás puntos de la sección.método de las caras ubicaremos los demás puntos de la sección.

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fig. 190fig. 190

191.- Secciones de una pirámide regular, por planos perpendiculares a los de191.- Secciones de una pirámide regular, por planos perpendiculares a los de proyección ( fig. 191 )proyección ( fig. 191 )

Cuando el plano es perpendicular a los de proyección, se facilita mucho el problema,Cuando el plano es perpendicular a los de proyección, se facilita mucho el problema, puesto que puede hallarse directamente la proyección de la intersección del plano conpuesto que puede hallarse directamente la proyección de la intersección del plano con cada una de las aristas laterales de la pirámide ( fig. 191 ). Se hallan lascada una de las aristas laterales de la pirámide ( fig. 191 ). Se hallan las intersecciones con las proyecciones verticales y se refiere al horizontal ( caso usar unintersecciones con las proyecciones verticales y se refiere al horizontal ( caso usar un proyectante vertical ).proyectante vertical ).

Fig. 191Fig. 191

- Cuando el plano es perpendicular al horizontal ( o proyectante horizontal ) y- Cuando el plano es perpendicular al horizontal ( o proyectante horizontal ) y además la pirámide está apoyada en el plano horizontal, ( fig. 191 ) losademás la pirámide está apoyada en el plano horizontal, ( fig. 191 ) los

229229



puntos extremos del corte están enpuntos extremos del corte están en o o y y t, t, y sus proyecciones verticales, en y sus proyecciones verticales, en o' o' y y t' t' sobre la línea de tierra. sobre la línea de tierra.

192.- Intersección de recta con pirámide ( fig. 192 )192.- Intersección de recta con pirámide ( fig. 192 )

- - Como plano auxiliar se usa el determinado por la recta Como plano auxiliar se usa el determinado por la recta R R y el vértice de y el vértice de la pirámide ( fig. 192 ) que cortará a ésta según las rectas la pirámide ( fig. 192 ) que cortará a ésta según las rectas VaVa y y Vb, Vb, cuyascuyas intersecciones con intersecciones con R,R, nos dan los puntos nos dan los puntos A A yy B B buscados. buscados.

230230



fig. 192fig. 192193.- 193.- Representación del conoRepresentación del cono: ( fig. 193 ): ( fig. 193 )

- Es muy importante la determinación del contorno aparente. Para determinar- Es muy importante la determinación del contorno aparente. Para determinar una generatriz basta unir un punto arbitrario una generatriz basta unir un punto arbitrario m - m' m - m' con el vértice con el vértice v - v'v - v',, siendo la recta siendo la recta v m - v' m', v m - v' m', la proyección de dicha generatriz. La la proyección de dicha generatriz. La vn - v'vn - v' n'n', confunde su proyección vertical con , confunde su proyección vertical con vm - v' m'vm - v' m'. Del mismo modo ocurre. Del mismo modo ocurre con la que se confunde con lacon la que se confunde con la v m. v m.

- Por tanto existen siempre dos generatrices que responden a esta condición,- Por tanto existen siempre dos generatrices que responden a esta condición, exceptuando las exceptuando las va - v'a' va - v'a' y y vb - v'b' vb - v'b' que son tangentes al círculo de la base. que son tangentes al círculo de la base. Estas son precisamente las que determinan el contorno aparente del cono.Estas son precisamente las que determinan el contorno aparente del cono. Lo mismo ocurre con las verticales excepto en las Lo mismo ocurre con las verticales excepto en las vc - v' c'vc - v' c' y la y la vd -vd - v' d'v' d', que determinan el contorno vertical., que determinan el contorno vertical.

- En la fig. 194 se ve la representaación de un cono oblícuo cuyo vértice se- En la fig. 194 se ve la representaación de un cono oblícuo cuyo vértice se encuentra en su proyección horizontal dentro de la proyección horizontal delencuentra en su proyección horizontal dentro de la proyección horizontal del círculo de la base del cono.círculo de la base del cono.

fig. 193fig. 193

231231



194.- Proyección de un punto del cono ( fig. 194 )194.- Proyección de un punto del cono ( fig. 194 )

- Para determinar las proyecciones de un punto situado sobre la superficie- Para determinar las proyecciones de un punto situado sobre la superficie cónica, basta determinar una generatriz cualquiera, cónica, basta determinar una generatriz cualquiera, v n - v' n'v n - v' n', fig. 194, y, fig. 194, y sobre ella determinar un punto sobre ella determinar un punto t - t', t - t', en el caso de la fig. 194. Si se nos da la en el caso de la fig. 194. Si se nos da la proyección horizontal del punto ( proyección horizontal del punto ( m m ), fig. 194, para hallar la proyección), fig. 194, para hallar la proyección vertical, basta referir el punto a la generatriz que pasa por vertical, basta referir el punto a la generatriz que pasa por n,n, determinando así determinando así m'.m'.

fig. 194fig. 194

195.- Determinar el plano tangente del cono. ( fig. 194 )195.- Determinar el plano tangente del cono. ( fig. 194 )

- Se presentan dos casos:- Se presentan dos casos: a) a) Por un punto de la superficie del cono;Por un punto de la superficie del cono;

b) b) por un punto exterior al cono.por un punto exterior al cono.A) A) Por un punto de la circunferencia del cono:Por un punto de la circunferencia del cono: ( fig. 194 ) ( fig. 194 )

232232



- Sea - Sea a - a' a - a' el punto dado del cono: trazamos la generatriz el punto dado del cono: trazamos la generatriz v b - v' b'v b - v' b' ,, que pasa por él, y por el punto que pasa por él, y por el punto b - b'b - b', pasa la tangente , pasa la tangente t - t' t - t' a la base del a la base del cono.cono.

- El plano tangente es el determinado por la generatriz - El plano tangente es el determinado por la generatriz v b - v' b'v b - v' b',, que es al mismo tiempo la traza horizontal.que es al mismo tiempo la traza horizontal.

- Para hallar la traza vertical - Para hallar la traza vertical ' ' trazamos por el vértice trazamos por el vértice v - v'v - v', la, la horizontal horizontal r - r'r - r' paralela a paralela a t - t', t - t', cuya traza cuya traza c - c' c - c' nos determina la trazanos determina la traza '' del plano. del plano.

B)B) Por un punto exterior a la superficie del cono: Por un punto exterior a la superficie del cono: ( fig. 195 ) ( fig. 195 )

- a - a' - a - a' es el punto exterior al cono.es el punto exterior al cono.

- Se traza la recta - Se traza la recta av - a'v'av - a'v', cuya traza horizontal es , cuya traza horizontal es h - h'h - h'..

- Desde - Desde h - h', h - h', tangente a la base del cono, cuyo punto de tangencia nos tangente a la base del cono, cuyo punto de tangencia nos determina la generatriz de contacto determina la generatriz de contacto v b - v' b'.v b - v' b'.

- El plano tangente está determinado por la tangente - El plano tangente está determinado por la tangente h b - h' b',h b - h' b', confundida con la traza horizontal confundida con la traza horizontal y la recta y la recta h v - h' v'.h v - h' v'.

- Para hallar la traza vertical - Para hallar la traza vertical '', por , por v - v',v - v', trazar una horizontal del plano trazar una horizontal del plano y por su traza y por su traza c - c', c - c', se hará pasar la traza vertical se hará pasar la traza vertical ''..

233233



fig. 195fig. 195

196.- Encontrar la sección producida por un plano de canto:196.- Encontrar la sección producida por un plano de canto: ( fig. 196 ) ( fig. 196 )

- Para determinar la sección, basta trazar varias generatrices - Para determinar la sección, basta trazar varias generatrices v1 - v1', v2 -v1 - v1', v2 - v2', v2', etc., y hallar las intersecciones respectivas, etc., y hallar las intersecciones respectivas, a, b,a, b, etc. Uniendo las etc. Uniendo las proyecciones horizontales, nos determina una elipse. La proyección vertical seproyecciones horizontales, nos determina una elipse. La proyección vertical se confunde con la traza confunde con la traza del plano. del plano.

- Se puede también determinar la sección por determinación de los ejes de la- Se puede también determinar la sección por determinación de los ejes de la elipse sección:elipse sección:

234234



- Hallar la intersección de - Hallar la intersección de ' - ' - con un plano perpendicular a él, trazado con un plano perpendicular a él, trazado por el eje del cono. Es la frontal por el eje del cono. Es la frontal f - f'f - f', o recta de máxima pendiente del, o recta de máxima pendiente del plano plano que pasa por la proyección horizontal que pasa por la proyección horizontal vv del vértice del cono. del vértice del cono.

- Se hallan las intersecciones - Se hallan las intersecciones a - a', b - b'a - a', b - b', de , de f - f' f - f' con el plano, es con el plano, es decir con las generatrices decir con las generatrices 1 1 y y 4 4, determinando así el eje mayor , determinando así el eje mayor a ba b - a' b' - a' b' de la elipse proyección y enseguida el centro de la elipse proyección y enseguida el centro o - o'o - o', como punto, como punto medio del eje que no coincidirá por lo general con la intersección de losmedio del eje que no coincidirá por lo general con la intersección de los ejes de la elipse y del cono.ejes de la elipse y del cono.

- El eje menor es la recta perpendicular - El eje menor es la recta perpendicular a b - a' b' a b - a' b' trazada por el trazada por el centro centro o - o',o - o', es decir la horizontal es decir la horizontal cd - c'd' cd - c'd' del plano del plano que que pasa por pasa por o - o'o - o'. Los extremos . Los extremos c d - c' d'c d - c' d' , son los puntos de, son los puntos de intersección de este eje con el cono. Para determinarlos, pasamos el planointersección de este eje con el cono. Para determinarlos, pasamos el plano H'H', cuya intersección es el círculo que se proyecta horizontalmente según, cuya intersección es el círculo que se proyecta horizontalmente según el círculo de centro el círculo de centro v v y radio y radio v - k, v - k, siendo siendo k - k' k - k' la intersección de la intersección de H' H' con la generatriz con la generatriz v4v4 del contorno aparente. La intersección de este del contorno aparente. La intersección de este círculo con círculo con cdcd nos da las proyecciones nos da las proyecciones c c yy d d que buscamos, que buscamos, estando las verticales estando las verticales c' - d' c' - d' confundidas con confundidas con o'. o'.

235235



fig. 196fig. 196

197.- Intersección de recta y cono: 197.- Intersección de recta y cono: ( fig. 197 )( fig. 197 )

- Nos auxiliamos de un plano - Nos auxiliamos de un plano que pase por el vértice del cono, que pase por el vértice del cono, determinando con el plano base del cono determinando con el plano base del cono , , una recta de intersección que cortauna recta de intersección que corta a la base en los puntos a la base en los puntos AA y y B.B. Uniendo los puntos hallados con el vértice Uniendo los puntos hallados con el vértice VV,, encontramos a la recta encontramos a la recta RR en los puntos en los puntos M M yy N N que son los puntos de que son los puntos de intersección de la recta intersección de la recta R R con el cono.con el cono.- En el depurado:- En el depurado:

a) Encontramos las trazas de la recta en a) Encontramos las trazas de la recta en h - h'.h - h'.

b) Ubicando un punto b) Ubicando un punto c - c' c - c' en en RR, y unido con , y unido con V, V, da da la recta la recta VcVc, cuyas trazas con las de , cuyas trazas con las de RR, nos da , nos da , que, que corta a la base del cono en corta a la base del cono en a a y y b, b, los mismos que unidoslos mismos que unidos con con VV, determinan finalmente , determinan finalmente MM y y NN en la recta en la recta RR..

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fig. 197fig. 197

198.- Representar un cilindro apoyado en uno de los planos de proyección ( fig.198.- Representar un cilindro apoyado en uno de los planos de proyección ( fig. 198 )198 )

- El cilindro viene a ser un cono cuyo vértice se encuentra en el infinito. Queda- El cilindro viene a ser un cono cuyo vértice se encuentra en el infinito. Queda engendrado por una recta generatriz que se mueve según una directriz que es elengendrado por una recta generatriz que se mueve según una directriz que es el círculo de la base.círculo de la base.

- El eje del cilindro queda determinado por una recta paralela a las generatrices- El eje del cilindro queda determinado por una recta paralela a las generatrices que une los centros de las bases. Puede ser recto u oblicuo.que une los centros de las bases. Puede ser recto u oblicuo.

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- Supongámoslo apoyado en el plano horizontal. ( fig. 198 )- Supongámoslo apoyado en el plano horizontal. ( fig. 198 )

fig. 198fig. 198

El contorno aparente horizontal viene determinado por las tangentes El contorno aparente horizontal viene determinado por las tangentes aaaa11-a'a-a'a1’1’ y y bbbb1 1 - b'b- b'b11' ' a las proyecciones horizontales de los c’rculos de la base, de centro a las proyecciones horizontales de los c’rculos de la base, de centro o o yy o o11.. Estas tangentes son paralelas a las proyecciones del eje Estas tangentes son paralelas a las proyecciones del eje o o' - o o o' - o11 o1'o1' . .

- Las generatrices del contorno aparente vertical son las - Las generatrices del contorno aparente vertical son las cc1 - c'c1' cc1 - c'c1' y y d d1 - d' d1'd d1 - d' d1'..

199.- Proyecciones de un punto del cilindro ( fig. 198 )199.- Proyecciones de un punto del cilindro ( fig. 198 )

- Para conocer las proyecciones de un punto del cilindro, basta trazar una- Para conocer las proyecciones de un punto del cilindro, basta trazar una generatriz cualquiera de éste y tomar en ella un punto arbitrario. En el caso degeneratriz cualquiera de éste y tomar en ella un punto arbitrario. En el caso de la figura 198 se elige un punto la figura 198 se elige un punto n - n' n - n' y por él se traza la generatriz y por él se traza la generatriz n s -n s - n' s'. n' s'. Cualquier punto de ella como el Cualquier punto de ella como el k - k' k - k', pertence a la superficie del, pertence a la superficie del cilindro.cilindro.

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- A la inversa: si conocemos un punto- A la inversa: si conocemos un punto K, K, por él trazamos una paralela al eje, por él trazamos una paralela al eje, kk - n,- n, y nos determina dos generatrices: y nos determina dos generatrices: m - t m - t y y n - s, n - s, con lo que se obtiene con lo que se obtiene los puntos los puntos k k y y k1. k1.

- Si la proyección se encuentra sobre el contorno aparente, como el caso del- Si la proyección se encuentra sobre el contorno aparente, como el caso del punto punto i - i'i - i', no hay más que un punto, y si finalmente la proyección dada se, no hay más que un punto, y si finalmente la proyección dada se encuentra fuera de la proyección horizontal del contorno, no existe ningún puntoencuentra fuera de la proyección horizontal del contorno, no existe ningún punto de la superficie que cumpla con esta condición.de la superficie que cumpla con esta condición.

200.-Determinar el plano tangente del cilindro 200.-Determinar el plano tangente del cilindro ( fig. 200 ) ( fig. 200 )

- Por un punto - Por un punto DD, trazamos la generatriz , trazamos la generatriz CBCB que corta a la base en que corta a la base en BB. Esta. Esta generatriz y la tangente generatriz y la tangente BH, BH, determinan el plano determinan el plano tangente. tangente.

- Si el punto - Si el punto A A fuera exterior, se traza una paralela a la generatriz, hallar la fuera exterior, se traza una paralela a la generatriz, hallar la intersección intersección H H con el plano de la base; esta paralela y la tengente con el plano de la base; esta paralela y la tengente BHBH determina el plano determina el plano tangente. tangente.

- Aplicación al sistema diédrico en el depurado: - Aplicación al sistema diédrico en el depurado: ( fig. 200 ) ( fig. 200 )

- Se trata de un cilindro oblícuo apoyado en el plano horizontal: los pasos a- Se trata de un cilindro oblícuo apoyado en el plano horizontal: los pasos a seguir para la resolucioón del presente problema son:seguir para la resolucioón del presente problema son:

- Por - Por d - d'd - d', la generatriz , la generatriz c b - c' b'c b - c' b', y enseguida la tangente por, y enseguida la tangente por b b a la a la base del plano que se confunde con la traza base del plano que se confunde con la traza del plano tangente. del plano tangente.

- Para hallar la otra traza del plano tangente, nos auxiliamos de las- Para hallar la otra traza del plano tangente, nos auxiliamos de las horizontales del plano por horizontales del plano por c c y y d d ( rectas ( rectas R R yy S S ).).

- Si el punto es exterior, por - Si el punto es exterior, por a - a', a - a', una paralela a las generatrices hastauna paralela a las generatrices hasta unir con unir con h - h' .h - h' .

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- Desde su traza - Desde su traza h - h', h - h', las tangentes las tangentes h b - h' b' h b - h' b' a la proyección horizontal a la proyección horizontal de la base.de la base.

- Ambas rectas nos determinan al plano - Ambas rectas nos determinan al plano cuya traza horizontal se cuya traza horizontal se confunde con la tangente confunde con la tangente h b.h b.

- La traza vertical se determina con la unión de las trazas verticales de las rectas- La traza vertical se determina con la unión de las trazas verticales de las rectas R R yy S. S.

201.- Determinar las secciones planas del cilindro ( fig. 201 )201.- Determinar las secciones planas del cilindro ( fig. 201 )

- - Todo plano secante puede ser paralelo al eje, o que lo corte. En el primer casoTodo plano secante puede ser paralelo al eje, o que lo corte. En el primer caso cortará según dos generatrices, o una, si es tangente. Si es secante oblícuamente,cortará según dos generatrices, o una, si es tangente. Si es secante oblícuamente, cortará a todas las generatrices y la sección será una elipse. ( fig. 201 )cortará a todas las generatrices y la sección será una elipse. ( fig. 201 )

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fig. 200fig. 200

- El eje mayor de la elipse es - El eje mayor de la elipse es ABAB que corta al eje que corta al eje EE del cilindro y es del cilindro y es perpendicular a la traza perpendicular a la traza TT del plano secante del plano secante y el y el de la base delde la base del cilindro. Las intersecciones cilindro. Las intersecciones A A yy B B del eje con la superficie cilíndrica son losdel eje con la superficie cilíndrica son los vértices. El eje menor vértices. El eje menor CDCD es paralelo a es paralelo a TT trazado por el punto medio. trazado por el punto medio. Ambos se proyectan en Ambos se proyectan en a b a b y y c dc d, perpendicular o paralelo a la traza , perpendicular o paralelo a la traza T.T.

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fig. 201fig. 201

202.- Encontrar la sección del cilindro por un plano de canto: 202.- Encontrar la sección del cilindro por un plano de canto: ( fig. 202 ) ( fig. 202 )

El cilindro tiene una de sus bases en el plano horizontal. Su proyecciónEl cilindro tiene una de sus bases en el plano horizontal. Su proyección horizontal queda confundida con la circunferencia de la base, y su proyección vertical,horizontal queda confundida con la circunferencia de la base, y su proyección vertical, coincide con la traza del plano.coincide con la traza del plano.

Para conocer la verdadera magnitud de la sección, se abate ésta sobre el planoPara conocer la verdadera magnitud de la sección, se abate ésta sobre el plano horizontal.horizontal.

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fig. 202fig. 202

203.- Encontrar la intersección de recta y cilindro: 203.- Encontrar la intersección de recta y cilindro: ( fig. 203 ) ( fig. 203 )

Se traza por la recta, un plano auxiliar que corta al cilindro paralelamente a las Se traza por la recta, un plano auxiliar que corta al cilindro paralelamente a las generatrices. Al elegirlo, hay que hacerlo de modo que corte el cilindro según dosgeneratrices. Al elegirlo, hay que hacerlo de modo que corte el cilindro según dos generatrices.generatrices.- E- E, es la recta. Por un punto cualquiera , es la recta. Por un punto cualquiera C C de ella, se traza una paralela a la generatriz de ella, se traza una paralela a la generatriz CH,CH, que con la recta que con la recta R, R, genera al plano genera al plano . .

- Se hallan enseguida las generatrices - Se hallan enseguida las generatrices NB NB yy MA MA de intersección con el plano de intersección con el plano y y el cilindro. Los puntos el cilindro. Los puntos MM y y N N son los buscados.son los buscados.

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fig. 202fig. 202

- Solución en el depurado: - Solución en el depurado: ( fig. 203 ) ( fig. 203 )

Por un punto Por un punto C C de de R, R, una paralela a las generatrices hallando sus trazas en una paralela a las generatrices hallando sus trazas en h1 h1 yy h1' h1', que unidas a las trazas de , que unidas a las trazas de RR, , h - h'h - h', nos determinan la traza , nos determinan la traza del del plano.plano.

El plano corta a la base en los puntos El plano corta a la base en los puntos A A y y B, B, desde donde levantamos paralelas a desde donde levantamos paralelas a las genertarices, las que cortan a la recta las genertarices, las que cortan a la recta RR en los puntos en los puntos M M y y N N, que son los, que son los buscados.buscados.

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fig. 203fig. 203

204.- Representación de la esfera ( fig. 204 )204.- Representación de la esfera ( fig. 204 )

- Sea - Sea o - o' o - o' el centro de la esfera de radio el centro de la esfera de radio R. R. Las proyecciones de la esfera Las proyecciones de la esfera vienen dadas por los contornos aparentes horizontal y vertical, que en el caso devienen dadas por los contornos aparentes horizontal y vertical, que en el caso de la figura 204, son los círculos máximos la figura 204, son los círculos máximos n - n' n - n' y y m - m' m - m', paralelos al plano, paralelos al plano horizontal y vertical respectivamente.horizontal y vertical respectivamente.

- El contorno aparente horizontal, es la línea de tangencia de la esfera con un- El contorno aparente horizontal, es la línea de tangencia de la esfera con un cilindro que la contiene con generatrices perpendiculares al plano horizontal.cilindro que la contiene con generatrices perpendiculares al plano horizontal. Esta línea de contorno es el círculo máximo horizontal Esta línea de contorno es el círculo máximo horizontal n - n' n - n' que se proyecta que se proyecta horizontalmente según la circunferencia horizontalmente según la circunferencia n n de centro de centro OO y radio y radio RR, y, y verticalmente según el diámetro verticalmente según el diámetro n' n' paralelo a la línea de tierra. De la mismaparalelo a la línea de tierra. De la misma manera el contorno aparente vertical es el círculo máximomanera el contorno aparente vertical es el círculo máximo m - m', m - m', paralelo al paralelo al plano vertical que se proyecta verticalmente según la circunferencia plano vertical que se proyecta verticalmente según la circunferencia m' m' de de centro centro o' o' y radio y radio r'r', y horizontalmente según el diámetro , y horizontalmente según el diámetro m m paralelo a la paralelo a la línea de tierra.línea de tierra.

205.- Representación de un punto de la esfera ( fig. 204 )205.- Representación de un punto de la esfera ( fig. 204 )245245



- Si la proyección vertical - Si la proyección vertical c' c' de un punto de la esfera se encuentra situado en de un punto de la esfera se encuentra situado en la circunferencia la circunferencia m'm' del contorno aparente vertical, su proyección horizontal del contorno aparente vertical, su proyección horizontal c, c, se hallará refiriendo aquélla al diámetro se hallará refiriendo aquélla al diámetro m, m, paralelo a la línea de tierra. paralelo a la línea de tierra.

- Si conocemos la proyección horizontal - Si conocemos la proyección horizontal d, d, situada en la circunferencia situada en la circunferencia n,n, contorno aparente horizontal, la referimos a la proyección vertical contorno aparente horizontal, la referimos a la proyección vertical n'n',, obteniendo así la otra proyección obteniendo así la otra proyección d'd'..

fig. 204fig. 204

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206.- Determinar el plano tangente a la esfera ( fig. 206 )206.- Determinar el plano tangente a la esfera ( fig. 206 )

- El plano tangente a la esfera es perpendicular al radio que pasa por el punto de- El plano tangente a la esfera es perpendicular al radio que pasa por el punto de tangencia. Por eso si se quiere trazar un plano que sea tangente a la esfera en un punto detangencia. Por eso si se quiere trazar un plano que sea tangente a la esfera en un punto de ella, bastará trazar el radio que pase por dicho punto y enseguida el plano perpendicular aella, bastará trazar el radio que pase por dicho punto y enseguida el plano perpendicular a éste y que pase por el punto. ( fig. 206 )éste y que pase por el punto. ( fig. 206 )

- En la figura 206, para trazar el plano tangente a la esfera, por el punto- En la figura 206, para trazar el plano tangente a la esfera, por el punto a - a'a - a' en la superficie esférica, se traza el radio en la superficie esférica, se traza el radio oa - o'a'oa - o'a', y por su extremo, y por su extremo a - a'a - a', el plano perpendicular al mismo, valiéndose de la horizontal , el plano perpendicular al mismo, valiéndose de la horizontal r - r'r - r', por, por cuya traza vertical cuya traza vertical v - v'v - v', pasará el plano tangente , pasará el plano tangente . .

fig. 206fig. 206

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207.- Encontrar la intersección de recta con la esfera ( fig. 207 )207.- Encontrar la intersección de recta con la esfera ( fig. 207 )

- El procedimiento a seguir en este caso, es similar al utilizado en los otros- El procedimiento a seguir en este caso, es similar al utilizado en los otros cuerpos, es decir, por un plano que pase por la recta en cuestión.cuerpos, es decir, por un plano que pase por la recta en cuestión.El plano convendrá sea elegido de modo que dé una sección fácil de determinar,El plano convendrá sea elegido de modo que dé una sección fácil de determinar, para lo cual se utilizará uno de los planos proyectantes de la recta.para lo cual se utilizará uno de los planos proyectantes de la recta.

- Si la recta fuera horizontal ( fig. 207 ), el plano auxiliar será el proyectante- Si la recta fuera horizontal ( fig. 207 ), el plano auxiliar será el proyectante vertical, que en este caso será el plano horizontal vertical, que en este caso será el plano horizontal ''. La sección. La sección producida en la esfera por el plano producida en la esfera por el plano será el será el cuya proyección cuya proyección horizontal horizontal , , corta a la recta corta a la recta r - r' r - r' en los puntos en los puntos m m yy n, n, que referidos a que referidos a la proyección vertical serán la proyección vertical serán m' m' y y n' n', intersección de la recta con la, intersección de la recta con la superficie esférica.superficie esférica.

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fig. 207fig. 207

- - Si la recta dada es cualquiera, se utilizará uno de sus planos proyectantes comoSi la recta dada es cualquiera, se utilizará uno de sus planos proyectantes como plano auxiliar, el cual cortará a la esfera, según un círculo menor cuyasplano auxiliar, el cual cortará a la esfera, según un círculo menor cuyas proyecciones se sabe hallar; pero como una de estas proyecciones seráproyecciones se sabe hallar; pero como una de estas proyecciones será generalmente una elipse, podemos evitarnos el trazado de ésta, siguiendo elgeneralmente una elipse, podemos evitarnos el trazado de ésta, siguiendo el procedimiento indicado en la figura 208, en la que la recta dada es la procedimiento indicado en la figura 208, en la que la recta dada es la r - r'.r - r'.

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fig. 208fig. 208

- - Consiste este procedimiento en girar el plano proyectante auxiliar Consiste este procedimiento en girar el plano proyectante auxiliar ( no ( no se ha dibujado la traza se ha dibujado la traza ' ' ), alrededor del diámetro vertical de la esfera,), alrededor del diámetro vertical de la esfera, hasta convertirlo en el plano hasta convertirlo en el plano 11 , paralelo al vertical. La recta dada, al girar , paralelo al vertical. La recta dada, al girar el plano, ocupará la posición el plano, ocupará la posición r1 - r1'r1 - r1', determinada por el giro de dos de sus, determinada por el giro de dos de sus puntos,puntos, a - a' a - a' y y b - b', b - b', cuyas nuevas posiciones son cuyas nuevas posiciones son a1 - a1' a1 - a1' y y b1 -b1 - b1'. b1'. Como se ve, las proyectantes horizontales de los puntos girados, son Como se ve, las proyectantes horizontales de los puntos girados, son precisamente las intersecciones de precisamente las intersecciones de r r con la proyección horizontal del contorno con la proyección horizontal del contorno aparente horizontal de la esfera, lo cual simplifica la contrucción.aparente horizontal de la esfera, lo cual simplifica la contrucción.

- El plano girado - El plano girado 11 corta a la esfera, según el círculo corta a la esfera, según el círculo , cuya, cuya proyección vertical proyección vertical '' corta a corta a r1' r1' en los puntos en los puntos m1' m1' y y n1' n1'. Deshaciendo. Deshaciendo el giro, es decir trazando por estos puntos, paralelas a la línea de tierra, éstasel giro, es decir trazando por estos puntos, paralelas a la línea de tierra, éstas cortarán a cortarán a r' r' en los puntosen los puntos m' m' y y n', n', que referidos a la proyección que referidos a la proyección horizontal horizontal r, r, nos dan las proyecciones horizontales nos dan las proyecciones horizontales mm y y n n de los puntosde los puntos buscados, buscados, m - m' m - m' y y n - n'.n - n'.

208.- Encontrar la intersección de dos cilindros ( mosdedura ) fig. 208208.- Encontrar la intersección de dos cilindros ( mosdedura ) fig. 208

- Veamos el caso de intersección de dos cilindros - Veamos el caso de intersección de dos cilindros C1C1 y y CC2, apoyados ambos por2, apoyados ambos por referencia en el plano referencia en el plano . .

- Nos trazamos cinco rectas en el plano - Nos trazamos cinco rectas en el plano , de las que la , de las que la R1R1 es tangente a es tangente a la base del cilindro la base del cilindro C1 C1, en el punto , en el punto D D, y la , y la R4R4, lo es a la base del, lo es a la base del C2 C2 en el punto en el punto 44. Las otras, . Las otras, R2R2, corta a la base del , corta a la base del C1 C1 en en C C y y EE,, y a la del y a la del C2 C2, en , en 66 y y 22; ; R3 R3 corta en corta en BB y y M M y en y en 5 5 y y 3 3,, respectivamente. La respectivamente. La R1 R1 que es tangente a que es tangente a C1 C1 en la base, en en la base, en DD, corta, corta a la base del a la base del C2 C2 en en 77 y y 1 1, y la , y la R4 R4 que es tangente a que es tangente a C1 C1, en , en 44,, corta a la base del corta a la base del C1 C1, en , en AA y y NN. Finalmente la . Finalmente la R5 R5, tangente a la, tangente a la base del base del C1 C1, en , en OO, que es exterior a la base del, que es exterior a la base del C1 C1..

- Por - Por DD, trazamos una arista del , trazamos una arista del C1 C1, la que se cortará con las aristas, la que se cortará con las aristas trazadas por trazadas por 11 y y 7 7 de de C2C2, en , en D1D1 y y D7 D7..

250250



fig. 208fig. 208

- Por - Por C C y y E E, de , de C1 C1, se realizará la misma operación, cortando en , se realizará la misma operación, cortando en C6C6 - C2- C2, y , y E6 - E2E6 - E2, a las aristas levantadas por , a las aristas levantadas por 6 6 y y 2,2, de de C2 C2..

- Lo mismo ocurre con - Lo mismo ocurre con BB y y MM, que lo harán con las aristas de , que lo harán con las aristas de C2C2, por, por 5 5 y y 33, en , en B5 - B3B5 - B3, y , y M5 - M3M5 - M3..

- Por - Por A A y y N N, conseguimos con procedimientos similares, , conseguimos con procedimientos similares, A4 A4 y y N4N4..

- Como - Como OO pertenece a pertenece a R5 R5, que es externa a la base de , que es externa a la base de C2 C2, no tendrá, no tendrá corespondiente corespondiente en las aristas de en las aristas de C2 C2..

- La unión sucesiva y ordenada de los puntos encontrados, nos dará la- La unión sucesiva y ordenada de los puntos encontrados, nos dará la sección sección N4-M3-E2-D1-C2-B3-A1-B5-C6-D7-E6-M5.N4-M3-E2-D1-C2-B3-A1-B5-C6-D7-E6-M5.

209.- Encontrar la mordedura que se produce entre los cilindros de la fig. 209.209.- Encontrar la mordedura que se produce entre los cilindros de la fig. 209.

251251



- Tenemos los cilindros - Tenemos los cilindros C1C1 y y C2 C2, apoyados ambos en el plano , apoyados ambos en el plano . .

- Observando las rectas - Observando las rectas R1, R2, R3, R4, R5R1, R2, R3, R4, R5 que pasan por la base que pasan por la base del del C2C2, se ve fácilmente que éstas atraviesan a la base del , se ve fácilmente que éstas atraviesan a la base del C1C1, en los, en los puntos puntos M y D, N y E, O y F, P y G, Q y H.M y D, N y E, O y F, P y G, Q y H.

- - Con procedimientos similares a los realizados en el caso de mordedura,Con procedimientos similares a los realizados en el caso de mordedura, vamos a ver la generación de las curvas de entrada y salida en ambos cilindros.vamos a ver la generación de las curvas de entrada y salida en ambos cilindros.

- La recta - La recta R1R1, es tangente a la base del cilindro , es tangente a la base del cilindro C2C2, pero corta a la, pero corta a la del del C1 C1, en los puntos , en los puntos D D yy M M..

- Desde estos tres puntos trazamos generatrices paralelas a las aristas- Desde estos tres puntos trazamos generatrices paralelas a las aristas de sus de sus cilindros, viendo que se cortan en cilindros, viendo que se cortan en D1 D1 y y M1 M1..

- La recta - La recta R2R2 corta a la base del corta a la base del C2C2, en los puntos , en los puntos 2 2 y y 88, en tanto, en tanto que a la del que a la del C1C1, lo hace en, lo hace en E E y y NN..

- Trazando paralelas como en el caso de - Trazando paralelas como en el caso de R1R1, desde , desde 22, , 88, , EE y y NN,, encontramos sus intersecciones en encontramos sus intersecciones en E2, N2E2, N2, por un lado, y en, por un lado, y en E8, N8 E8, N8, por, por otro.otro.

- La recta - La recta R3R3 corta en corta en 3 3 y y 77 a la base del a la base del C2 C2 y en y en F F y y OO a la del a la del C1.C1.

- - Las paralelas por ellos a sus respectivas aristas, lo hacen en Las paralelas por ellos a sus respectivas aristas, lo hacen en F3F3, , O3O3, y en, y en F7F7 y y O7. O7.

- - La rectaLa recta R4 R4 corta en corta en 4 4 y y 66 a la base del cilindro a la base del cilindro C2 C2, y , y G G y y P P a la a la del del C1.C1.

- En - En G4G4, , P4P4, y , y G6G6 , , P6P6, encontramos las intersecciones de las, encontramos las intersecciones de las paralelas a sus paralelas a sus respectivas aristas. respectivas aristas.

252252



fig. 209fig. 209210.-Encontrar la mordedura producida entre los prismas de la figura 210.210.-Encontrar la mordedura producida entre los prismas de la figura 210.

253253



- Tenemos el caso de un prisma triangular, que - Tenemos el caso de un prisma triangular, que “muerde”“muerde” a otro trapezoidal, a otro trapezoidal, que presenta similitud con el caso anterior, y que por tanto, se sigue en él losque presenta similitud con el caso anterior, y que por tanto, se sigue en él los mismos pasos.mismos pasos.

- La recta - La recta R1 R1, corta a la base del , corta a la base del P2 P2 en los puntos en los puntos 1 1 y y 77, y es tangente, y es tangente a la base del prisma a la base del prisma 11, en el punto, en el punto G G..

- Pasando por el punto- Pasando por el punto 1 1 paralelas a sus aristas laterales, se corta a la arista que paralelas a sus aristas laterales, se corta a la arista que arranca en arranca en GG del prisma del prisma 1 1, en los puntos, en los puntos G1 G1 y y G7.G7.

- - Haciendo lo mismo con la recta Haciendo lo mismo con la recta R2R2, por los puntos, por los puntos 2 2 y y 6 6, se corta a las aristas, se corta a las aristas porpor A A, en , en A2A2 y y A6A6, y a la paralela por , y a la paralela por FF a sus aristas laterales, en a sus aristas laterales, en F2 F2 y y F6F6..

- Idem por - Idem por R3R3, encontramos , encontramos B3, B5B3, B5, y, y E3, E5 E3, E5..

- Por último con la - Por último con la R4R4, encontramos, encontramos C4 C4 y y D4D4..

- Finalmente uniendo ordenadamente los puntos, se obtiene la- Finalmente uniendo ordenadamente los puntos, se obtiene la sección sección G1 - A2 - B3 - C4G1 - A2 - B3 - C4 - B5 - A6 - G7 - F6 - E5 - D4 - E3 - F2 - E1- B5 - A6 - G7 - F6 - E5 - D4 - E3 - F2 - E1..

254254



fig. 210fig. 210

255255



- Finalmente - Finalmente R5 R5 que es la tangente a la base del que es la tangente a la base del C2 C2, corta a la del , corta a la del C1 C1 en en HH y y Q Q..

- Estos puntos se reflejan en las curvas de intersección, en - Estos puntos se reflejan en las curvas de intersección, en H5 H5 y y Q5 Q5..

- - D1-E2-F3-G4-F7-E8D1-E2-F3-G4-F7-E8, será la curva de penetración del cilindro , será la curva de penetración del cilindro C2 C2, en el, en el cilindro cilindro C1C1..

- - M1-N2-O3-P4-Q5-P6-O7-H8M1-N2-O3-P4-Q5-P6-O7-H8, será la curva de salida del cilindro , será la curva de salida del cilindro C2C2 en el en el CC1.1.

211.- Encontrar la intersección de un cilindro y un cono en este caso que es el de211.- Encontrar la intersección de un cilindro y un cono en este caso que es el de penetración tangencial ( fig. 211 )penetración tangencial ( fig. 211 )

- - Tenemos el caso de las rectas Tenemos el caso de las rectas R1, R2, R3, R4, R5 R1, R2, R3, R4, R5, del plano , del plano ,, en en donde están apoyados un cono a cuya base le son tangentes laas rectasdonde están apoyados un cono a cuya base le son tangentes laas rectas R1R1 y y R5R5, y un , y un cilindro cuya base apoyada en al plano cilindro cuya base apoyada en al plano , es cortada en, es cortada en

256256



I - AI - A por por R1R1, , H - B H - B por por R2R2, , G - C G - C por por R3 R3, , F - DF - D por por R4R4, y cuyo, y cuyo punto punto FF, es el de tangencia con la recta , es el de tangencia con la recta R5R5..

- Las mencionadas rectas- Las mencionadas rectas R1 R1 y y R5 R5, son tangentes a la base del cono, en los, son tangentes a la base del cono, en los puntos puntos 11 y y 5 5..

- - Las rectesLas rectes R2 R2 y y R5R5, tangentes a la base del cono, se encuentran en, tangentes a la base del cono, se encuentran en X X..

- - La conjunción deLa conjunción de las generatrices del cono (las generatrices del cono ( 1 a 8 1 a 8 ), se encuentra en ), se encuentra en O1O1,, que al unirse con que al unirse con XX, es paralela a las aristas del cilindro., es paralela a las aristas del cilindro.

- La recta - La recta R1R1 corta a la base del cono en corta a la base del cono en I - A I - A; con los procedimientos ya; con los procedimientos ya conocidos, encontramos conocidos, encontramos I1 I1 y y A1A1, en la intersección de las rectas , en la intersección de las rectas 1 -1 - O1O1 y la arista y la arista 11 del del cilindro. cilindro.

- La recta - La recta R2 R2 corta a la base del cono en corta a la base del cono en 2 y 8 2 y 8 y a la base del cilindro en y a la base del cilindro en H y BH y B; ; 2 - O12 - O1 y y 8 - O18 - O1, se cortan con las aristas del cilindro por , se cortan con las aristas del cilindro por H yH y BB, en , en H8 - H2H8 - H2, y, y B2 - B8 B2 - B8..

- La recta - La recta R3R3 corta a la base del cono en corta a la base del cono en 3 3 y y 77, y a la base del cilindro en, y a la base del cilindro en G y CG y C. Estos a su vez, en sus respectivas intersecciones, dan . Estos a su vez, en sus respectivas intersecciones, dan G7 - G3G7 - G3 y y C7C7 - C3- C3..

- Haciendo lo mismo con la recta - Haciendo lo mismo con la recta R4R4, encontramos , encontramos F6 - F4 F6 - F4 y y D6 - D4 D6 - D4..

- De la misma manera la recta - De la misma manera la recta R5R5, determina el punto , determina el punto E5E5..

- La unión sucesiva de los puntos de intersección da la- La unión sucesiva de los puntos de intersección da la secciónsección E5 - F6 - G7 - H8 - Y1 - H2 - G3 - F4 - E5 - D6 - C7 - B8 - A1 - B2 E5 - F6 - G7 - H8 - Y1 - H2 - G3 - F4 - E5 - D6 - C7 - B8 - A1 - B2 - C3 - D4 - E5.- C3 - D4 - E5.

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Fig. 211Fig. 211

212.- Encontrar la intersección que se produce en una intersección total entre los conos de212.- Encontrar la intersección que se produce en una intersección total entre los conos de la figura 212.la figura 212.

- - Se trata de dos conos apoyados en el plano Se trata de dos conos apoyados en el plano en el que las rectas extremasen el que las rectas extremas R1R1 y y R7R7 son tangentes simultáneamente a sus bases en son tangentes simultáneamente a sus bases en 1 1 y y AA, a, a O1O1 y y O2O2, y , y 7 7 yy G G respectivamente. respectivamente.

258258



- Como el procedimiento para este tipo de trabajo, es similar a los anteriores,- Como el procedimiento para este tipo de trabajo, es similar a los anteriores, salvo que las salvo que las generatrices son convergentes en las respectivas cúspides generatrices son convergentes en las respectivas cúspides O1 O1 y y O2 O2 de los conos en cuestión, debe seguirse el mismo tipo de pasos de los conos en cuestión, debe seguirse el mismo tipo de pasos eintermedios para conseguir las secciones correspondientes.eintermedios para conseguir las secciones correspondientes.

- Las generatrices levantadas por - Las generatrices levantadas por 1 1 y y AA, puntos de tangencia de , puntos de tangencia de R1 R1 con ambas con ambas bases, se cortan en bases, se cortan en A1A1, y las levantadas por , y las levantadas por 7 7 y y G G,, puntos de tangencia de puntos de tangencia de R7 R7, lo , lo hacen en hacen en G7 G7..

R2 R2 corta en corta en 33 y y 12 12 a la base del cono a la base del cono O1 O1 y en y en R R y y B B a la del a la del O2O2, y en las secciones determinan los puntos , y en las secciones determinan los puntos B2B2 - - B12 B12 y y R2R2 - - R12 R12..

- - R3R3, a través de los puntos , a través de los puntos 3 - 11 3 - 11 y y C - P C - P, de las bases, nos da los, de las bases, nos da los puntos puntos C3 - C11C3 - C11, y , y P3 - P11 P3 - P11 en las secciones que estamos buscando. en las secciones que estamos buscando.

- De la misma manera con la recta - De la misma manera con la recta R4R4, encontramos , encontramos D4 -D10 D4 -D10 y y N4 - N10N4 - N10..

- Con - Con R5 R5, a través de , a través de 5 5 y y 99, se encuentran , se encuentran E5 - E1E5 - E1 y y M5 - M9M5 - M9..

- R6- R6 al cortar a la base del al cortar a la base del O1 O1 en en 6 6 y y 88, y a la del, y a la del O2 O2 en en FF y y H H determinan los puntos determinan los puntos E6 - E8 E6 - E8 y y H6 - H8 H6 - H8 en las elipses sección. en las elipses sección.

- La unión sucesiva de los puntos determinados, nos permite encontrar las- La unión sucesiva de los puntos determinados, nos permite encontrar las dos elipses sección: dos elipses sección: A1 - B12 - C11 - D10 - E9 - F8 - G7 - H6 - M5 - N4 - P3 A1 - B12 - C11 - D10 - E9 - F8 - G7 - H6 - M5 - N4 - P3 - R2 - A1, - R2 - A1, por un lado, y: por un lado, y: A1 - B2 - C3 - D4 -E5 - F6 - G7 - H8 - M9 - N10 A1 - B2 - C3 - D4 -E5 - F6 - G7 - H8 - M9 - N10 - P11- R12 - A1- P11- R12 - A1, por otro., por otro.

259259



fig. 212fig. 212213.- Encontrar la intersección de dos prismas ( fig. 213 )213.- Encontrar la intersección de dos prismas ( fig. 213 )

- Tenemos el caso de dos prismas, uno el Q, apoyado en el plano horizontal,- Tenemos el caso de dos prismas, uno el Q, apoyado en el plano horizontal, y el otro, el P, oblicuo que como el anterior, apoyado también en ely el otro, el P, oblicuo que como el anterior, apoyado también en el horizontal. horizontal.

- Como uno de los prismas es vertical, los planos auxiliares paralelos a las- Como uno de los prismas es vertical, los planos auxiliares paralelos a las generatrices de ambos, serán proyectantes horizontales, y sus trazas horizontales,generatrices de ambos, serán proyectantes horizontales, y sus trazas horizontales, TT11, T, T22, T, T33, T, T44, T, T55, T, T66, paralelos a las proyuecciones horizontales de las, paralelos a las proyuecciones horizontales de las generatrices del prisma oblicuo P.generatrices del prisma oblicuo P.

260260



- Los planos límites T- Los planos límites T11 y T y T66, son tangntes al prisma P, encontrándonos entonces, son tangntes al prisma P, encontrándonos entonces con un caso de penetración.con un caso de penetración.

- Siguiendo el proceso de ida y vuelta, en las coincidencias de las proyecciones,- Siguiendo el proceso de ida y vuelta, en las coincidencias de las proyecciones, tenemos los puntos encontrados de acuerdo a la siguiente secuencia:tenemos los puntos encontrados de acuerdo a la siguiente secuencia:

AA1010, B, B11, C, C22, D, D33, E, E44, F, F55, E, E66, D, D77, C, C88, B, B99, A, A1010, y, y

MM1010, L, L99, I, I88, H, H66, G, G55, H, H44, I, I22, L, L11, M, M1010

214.- Encontrar la intersección de dos pirámides (fig. 214 )214.- Encontrar la intersección de dos pirámides (fig. 214 )

- Se trata de la pirámide q - q’ de base cuadrnagular GNAM, y de la p -- Se trata de la pirámide q - q’ de base cuadrnagular GNAM, y de la p - p’, también de base cuadrangular DUST. Las cúspides son: o’ - o, de la q -p’, también de base cuadrangular DUST. Las cúspides son: o’ - o, de la q - q’, y x - x’ de la p - p’.q’, y x - x’ de la p - p’.

- Empezaremos con la unión de ambas cúspides, que nos da la recta r - r’, de- Empezaremos con la unión de ambas cúspides, que nos da la recta r - r’, de trazas v’ - v, y h’ - h.trazas v’ - v, y h’ - h.

- De acuerdo a los pasos normales, los planos auxiliares han de pasar por dicha- De acuerdo a los pasos normales, los planos auxiliares han de pasar por dicha recta, es decir por sus respectivas trazas.recta, es decir por sus respectivas trazas.

261261



- El plano - El plano - - ’, pasando por a de la base de la pirámide q - q’, que corta a’, pasando por a de la base de la pirámide q - q’, que corta a la base de la p’ - p, será un plano límite.la base de la p’ - p, será un plano límite.

- El plano - El plano - - ’, que pasa su traza vertical ’, que pasa su traza vertical ’ por d’ de la base de la pirámide’ por d’ de la base de la pirámide q - q’, será otro plano límite.q - q’, será otro plano límite.

- El presente ejercicio es un caso de mordedura.- El presente ejercicio es un caso de mordedura.

- No habiendo otro vértice entre ambos planos, no habrá necesidad de otro plano- No habiendo otro vértice entre ambos planos, no habrá necesidad de otro plano auxiliar.auxiliar.

- Ambos planos cortan a la pirámide q - q’, según las aristas a’ - a, b’ - b, c’ -- Ambos planos cortan a la pirámide q - q’, según las aristas a’ - a, b’ - b, c’ - c, y a la p - p’, segáun d - d’, e - e’ y f - f’.c, y a la p - p’, segáun d - d’, e - e’ y f - f’.

262262



- La arista a - a’, corta a las determinadas por e - e’ y f - f’, en 1’e’ - 1e y 2’f’ -- La arista a - a’, corta a las determinadas por e - e’ y f - f’, en 1’e’ - 1e y 2’f’ - 2f ( por estar las tres situadas en el plano 2f ( por estar las tres situadas en el plano ) . ) .

- Del mismo modo la determinada por d’ - d, corta a las c’ - c, b’ - b, en 4’c’ -- Del mismo modo la determinada por d’ - d, corta a las c’ - c, b’ - b, en 4’c’ - 4c y 3’d’ - 3d .4c y 3’d’ - 3d .

- La unión ordenada de los puntos así obtenidos nos da la línea quebrada de- La unión ordenada de los puntos así obtenidos nos da la línea quebrada de intersección 3’c’ - 2’f’ - 4’c’ - 1’e’ - 3’c’ - 3d - 2f - 4c - 1e - 3d.intersección 3’c’ - 2’f’ - 4’c’ - 1’e’ - 3’c’ - 3d - 2f - 4c - 1e - 3d.

263263



fig. 214fig. 214

264264



SOMBRASSOMBRAS

215.- Obtener la sombra de un punto sobre los planos de proyección. ( fig. 215 )215.- Obtener la sombra de un punto sobre los planos de proyección. ( fig. 215 )

- Tenemos un punto A ( a’ - a ), en el primer cuadrante ( en los- Tenemos un punto A ( a’ - a ), en el primer cuadrante ( en los siguientes ejercicios, como en el presente sólo se toma en cuenta puntos osiguientes ejercicios, como en el presente sólo se toma en cuenta puntos o elementos en el primer cuadrante, puesto que en los otros elementos en el primer cuadrante, puesto que en los otros son invisibles, son invisibles, y por tanto no es posible ver su sombra ).y por tanto no es posible ver su sombra ).

- Según las reglas que rigen este tipo se trabajos, la luz viene de atrás- Según las reglas que rigen este tipo se trabajos, la luz viene de atrás hacia adelante, de arriba a abajo y de izquierda a derecha, tal como lohacia adelante, de arriba a abajo y de izquierda a derecha, tal como lo indica la dirección indica la dirección ’ - ’ - del dibujo. del dibujo.

265265



fig. 215fig. 215

- Por las proyecciones del punto A, pasamos una recta paralela a la- Por las proyecciones del punto A, pasamos una recta paralela a la dirección del rayo de luz, y encontrando sus trazas, daremos con la sombradirección del rayo de luz, y encontrando sus trazas, daremos con la sombra del punto A; la primera traza que se encuentre, en este caso la vertical,del punto A; la primera traza que se encuentre, en este caso la vertical, será la que nos indique la sombra s’ - s del punto A sobre el plano vertical.será la que nos indique la sombra s’ - s del punto A sobre el plano vertical.

216.- Encontrar la sombra producida por el punto B sobre los planos de216.- Encontrar la sombra producida por el punto B sobre los planos de proyección.proyección.

- El punto B ( b’ - b ), se encuentra en el primer cuadrante ( tener en cuenta- El punto B ( b’ - b ), se encuentra en el primer cuadrante ( tener en cuenta la observación indicada en los preámbulos del ejercicio anterior ).la observación indicada en los preámbulos del ejercicio anterior ).

266266



- En este caso la sombra del punto será la traza horizontal de la recta que- En este caso la sombra del punto será la traza horizontal de la recta que pase por el punto B, paralela a la dirección del rayo de luz.pase por el punto B, paralela a la dirección del rayo de luz.

217.- Encontrar la sombra producida por el punto O en los planos de217.- Encontrar la sombra producida por el punto O en los planos de proyección.proyección.

- Esta vez, como el punto O se encuentra en el primer bisector ( sus- Esta vez, como el punto O se encuentra en el primer bisector ( sus proyecciones son simétricas respecto de la línea de tierra ), lasproyecciones son simétricas respecto de la línea de tierra ), las proyecciones de la recta que pasa por el punto, son concurrentes en laproyecciones de la recta que pasa por el punto, son concurrentes en la línea de tierra, estando en ésta por lo tanto, la sombra del punto enlínea de tierra, estando en ésta por lo tanto, la sombra del punto en cuestión.cuestión.

267267



fig. 216fig. 216

268268



fig. 217fig. 217

218.- Encontrar la sombra de la recta A - B ( a’ - b, a - b ), sobre los planos de218.- Encontrar la sombra de la recta A - B ( a’ - b, a - b ), sobre los planos de proyección.proyección.

- Siguiendo los lineamientos de los ejercicios anteriores,- Siguiendo los lineamientos de los ejercicios anteriores, encontramos separadamente las sombras de los dos puntos de la rectaencontramos separadamente las sombras de los dos puntos de la recta mencionada, las mismas que unidas homónimamente, nos darán lamencionada, las mismas que unidas homónimamente, nos darán la sombra de la recta A—B. ( La sombra está en el plano sombra de la recta A—B. ( La sombra está en el plano vertical, y es la vertical, y es la a” - b” )a” - b” )

269269



fig. 218fig. 218

219.- Encontrar la sombra de la recta B - C ( b’ - c’, b - c ), sobre los planos 219.- Encontrar la sombra de la recta B - C ( b’ - c’, b - c ), sobre los planos de de proyección.proyección.

- El proceso es exactamente el mismo que en los ejercicios de este grupo, - El proceso es exactamente el mismo que en los ejercicios de este grupo, solamente que en el presente caso, la sombra de la recta mencionada solamente que en el presente caso, la sombra de la recta mencionada estará ubicada en el plano horizontal. estará ubicada en el plano horizontal. ( b” - c” )( b” - c” )

270270



fig. 219fig. 219

220.- Encontrar la sombra de la recta C - D ( c’ - d’, c - d ), la misma que se220.- Encontrar la sombra de la recta C - D ( c’ - d’, c - d ), la misma que se proyectará sobre ambos planos de proyección. ( fig. 220 )proyectará sobre ambos planos de proyección. ( fig. 220 )

- De estos dos puntos de la recta, la sombra de uno de ellos, la del C ( c” ),- De estos dos puntos de la recta, la sombra de uno de ellos, la del C ( c” ), está en el plano horizontal, en cambio la del D ( d” ), está en el planoestá en el plano horizontal, en cambio la del D ( d” ), está en el plano vertical; esto nos indica, que en algún momento, la sombra pasa de un planovertical; esto nos indica, que en algún momento, la sombra pasa de un plano de proyección al otro, produciéndose un quiebre en la sombra, quiebre quede proyección al otro, produciéndose un quiebre en la sombra, quiebre que se manifiesta en la línea de tierra, tomando este punto el nombre dese manifiesta en la línea de tierra, tomando este punto el nombre de “punto de inflexión”.“punto de inflexión”.

271271



fig 220fig 220- Encontramos por separado primero ambas sombras, pero antes de- Encontramos por separado primero ambas sombras, pero antes de unirlas,debemos ver el lugar del punto de inflexión mencionado; paraunirlas,debemos ver el lugar del punto de inflexión mencionado; para ello, hallamos la traza horizontal del rayo de luz que pasa por d’ - d, laello, hallamos la traza horizontal del rayo de luz que pasa por d’ - d, la misma que será la h1 - h’1, que será la sombra virtual o l que se hallaríamisma que será la h1 - h’1, que será la sombra virtual o l que se hallaría en el plano horizontal de no existir el vertical; ésta es la d’’’, que en casosen el plano horizontal de no existir el vertical; ésta es la d’’’, que en casos similares la denominaremos como “sombra virtual”.similares la denominaremos como “sombra virtual”.

- Uniendo las dos sombras o trazas horizontales de los puntos que- Uniendo las dos sombras o trazas horizontales de los puntos que determinan la recta ( c” y d’’’ ), encontraremos que se cruza a la línea dedeterminan la recta ( c” y d’’’ ), encontraremos que se cruza a la línea de tierra en el punto o’ - o, que viene a ser el punto de inflexión; por lotierra en el punto o’ - o, que viene a ser el punto de inflexión; por lo tanto, la sombra de la recta C - D, será: tanto, la sombra de la recta C - D, será: c” - o’ - d”c” - o’ - d” . .

221.- Encontrar la sombra que proyecta una recta sobre los planos de221.- Encontrar la sombra que proyecta una recta sobre los planos de proyección. ( fig. 221 )proyección. ( fig. 221 )

- Se trata de la recta e’d’ - ed, la sombra de cuyos puntos está- Se trata de la recta e’d’ - ed, la sombra de cuyos puntos está compartida entre los planos horizontal y vertical, que presenta por locompartida entre los planos horizontal y vertical, que presenta por lo tanto, como en el caso anterior, un punto de inflexión sobre la línea detanto, como en el caso anterior, un punto de inflexión sobre la línea de tierra.tierra.

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- La sombra del punto D ( d” ), se encuentra ubicada en el plano- La sombra del punto D ( d” ), se encuentra ubicada en el plano vertical, ( d”, es la traza vertical del rayo de luz que pasa por d’ - dvertical, ( d”, es la traza vertical del rayo de luz que pasa por d’ - d ), en tanto que la del punto E ( e” ), está ubicada sobre el horizontal), en tanto que la del punto E ( e” ), está ubicada sobre el horizontal ( e” es la traza horizontal del rayo de luz que pasa por e’ - e ); ello nos( e” es la traza horizontal del rayo de luz que pasa por e’ - e ); ello nos indica que en algún momento la sombra de la recta en cuestión pasará por laindica que en algún momento la sombra de la recta en cuestión pasará por la línea de tierra ( punto de inflexión ).línea de tierra ( punto de inflexión ).

- Para determinar el punto de inflexión de la recta, encontramos la sombra- Para determinar el punto de inflexión de la recta, encontramos la sombra virtual de E ( e’’’ ), que viene a ser la traza vertical del rayo de luz quevirtual de E ( e’’’ ), que viene a ser la traza vertical del rayo de luz que pasa por E, cuya sombra real acabamos de ver, es e”; uniendo la sombrapasa por E, cuya sombra real acabamos de ver, es e”; uniendo la sombra vertical de D ( d” ), con la virtual de E ( e’’’ ), severtical de D ( d” ), con la virtual de E ( e’’’ ), se encuentra sobre la líneaencuentra sobre la línea de tierra, el punto de inflexión o’ - o, el mismo que unido a e”de tierra, el punto de inflexión o’ - o, el mismo que unido a e” (sombra sobre el plano horizontal, nos determinará en definitiva la sombra(sombra sobre el plano horizontal, nos determinará en definitiva la sombra de la recta buscada.de la recta buscada.

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fig. 221fig. 221

222.- Obtener la sombra de un polígono paralelo al plano horizontal, sobre los planos222.- Obtener la sombra de un polígono paralelo al plano horizontal, sobre los planos de proyección.de proyección.

- Se trata de una figura heptagonal cuyas proyecciones son las- Se trata de una figura heptagonal cuyas proyecciones son las abcdefg - a’b’c’d’e’f’g’, ubicada en sentido horizontal, es decirabcdefg - a’b’c’d’e’f’g’, ubicada en sentido horizontal, es decir paralelo al plano horizontal.paralelo al plano horizontal.

- Pasando rectas paralelas al sentido indicado para el rayo de luz, por- Pasando rectas paralelas al sentido indicado para el rayo de luz, por cada uno de los vértices del polígono, vamos encontrando punto acada uno de los vértices del polígono, vamos encontrando punto a punto sus sombras, las mismas que unidas una a una siguiendo elpunto sus sombras, las mismas que unidas una a una siguiendo el orden de los vértices, determinarán la sombra proyectada por elorden de los vértices, determinarán la sombra proyectada por el polígono sobre los planos de proyección.polígono sobre los planos de proyección.

- Los puntos de inflexión presentadas por la sombra de esta figura,- Los puntos de inflexión presentadas por la sombra de esta figura, están marcados por están marcados por oo y y pp, los mismos que se determinan de la forma, los mismos que se determinan de la forma indicada en los párrafos anteriores, es decir a través de las sombras virtualesindicada en los párrafos anteriores, es decir a través de las sombras virtuales de g ( g’’’, vertical ), y de e ( e’’’, también vertical ). La unión de la sombrade g ( g’’’, vertical ), y de e ( e’’’, también vertical ). La unión de la sombra real de real de aa ( a” ) con la virtual de g ( g’’’ ), nos da ( a” ) con la virtual de g ( g’’’ ), nos da oo en línea de tierra ( punto de en línea de tierra ( punto de inflexión ); asimismo la unión de la sombra real de inflexión ); asimismo la unión de la sombra real de dd (d” ) con la virtual de e (d” ) con la virtual de e ( e’’’ ), nos da ( e’’’ ), nos da pp también al línea de tierra, siendo por tanto la sombra del también al línea de tierra, siendo por tanto la sombra del polígono heptagonal, la figura polígono heptagonal, la figura a”- b”- c”- d”- p - e” -f” - g” - o. a”- b”- c”- d”- p - e” -f” - g” - o.

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fig. 222fig. 222

223.- Determinar la sombra de un polígono hexagonal, paralelo al plano223.- Determinar la sombra de un polígono hexagonal, paralelo al plano vertical, sobre los planos de proyección. ( fig. 223 )vertical, sobre los planos de proyección. ( fig. 223 )

- Se trata del polígono exagonal abcdef - a’b’c’d’e’f’, el que al estar paralelo- Se trata del polígono exagonal abcdef - a’b’c’d’e’f’, el que al estar paralelo al plano vertical se proyecta en verdadera magnitud sobre el plano vertical, enal plano vertical se proyecta en verdadera magnitud sobre el plano vertical, en tanto que en el plano horizontal lo hace como una recta paralela a la línea detanto que en el plano horizontal lo hace como una recta paralela a la línea de tierra.tierra.

- Como en el caso anterior, hallamos la sombra del polígono, obteniéndola- Como en el caso anterior, hallamos la sombra del polígono, obteniéndola punto por punto, pasando por cada vértice, rectas paralelas al sentido del rayopunto por punto, pasando por cada vértice, rectas paralelas al sentido del rayo de luz, y hallando sus respectivas trazas, la primera obtenida de las cualesde luz, y hallando sus respectivas trazas, la primera obtenida de las cuales será la respectiva sombra.será la respectiva sombra.

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fig. 223fig. 223

- La sombra resulta compartida entre los dos planos de proyección, lo que se- La sombra resulta compartida entre los dos planos de proyección, lo que se manifiesta por el hecho que presenta dos puntos de inflexión, los manifiesta por el hecho que presenta dos puntos de inflexión, los oo y y p,p, que se que se encuentran como se vio anteriormente, mediante el hallazgo de las sombrasencuentran como se vio anteriormente, mediante el hallazgo de las sombras virtuales de virtuales de aa ( a’’’ sobre el horizontal ), y la de d ( d’’’, también sobre el ( a’’’ sobre el horizontal ), y la de d ( d’’’, también sobre el horizontal ).horizontal ).

- La sombra del polígono es pues la poligonal - La sombra del polígono es pues la poligonal a” - b” - c” - d” - p - e” - f” - oa” - b” - c” - d” - p - e” - f” - o - a”- a”..

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224.- Encontrar la sombra de un polígono hexagonal oblicuo, sobre los 224.- Encontrar la sombra de un polígono hexagonal oblicuo, sobre los planos planos de proyección. ( fig. 224 )de proyección. ( fig. 224 )

- Se trata del polígono hexagonal a’b’c’d’e’ - abcde, el mismo que se- Se trata del polígono hexagonal a’b’c’d’e’ - abcde, el mismo que se encuentra en posición oblicua respecto de los planos de proyección.encuentra en posición oblicua respecto de los planos de proyección.

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Fig. 224Fig. 224

- Obteniendo punto por punto sombra de cada uno de ellos, nos dará como- Obteniendo punto por punto sombra de cada uno de ellos, nos dará como resultado encontrar la sombra del polígono que se solicita, viendo además queresultado encontrar la sombra del polígono que se solicita, viendo además que como en los anteriores, se presentan dos puntos de inflexión sobre la línea decomo en los anteriores, se presentan dos puntos de inflexión sobre la línea de tierra, los mismos que son los puntos tierra, los mismos que son los puntos oo y y pp, que se encuentran mediante sus, que se encuentran mediante sus sombras virtuales, el a’’’ sobre el horizontal, y el d’’’ sobre el vertical.sombras virtuales, el a’’’ sobre el horizontal, y el d’’’ sobre el vertical.

- Por lo tanto la sombra del polígono, es la poligonal a” - b” - c” - p - d” - e” -- Por lo tanto la sombra del polígono, es la poligonal a” - b” - c” - p - d” - e” - f” - o - a”.f” - o - a”.

225.- Encontrar la sombra de un polígono hexagonal contenido en un plano oblicuo,225.- Encontrar la sombra de un polígono hexagonal contenido en un plano oblicuo, utilizando la regla de afinidad. ( fig. 225 )utilizando la regla de afinidad. ( fig. 225 )

- Se trata del polígono a b c d e f - a’ b’ c’ d’ e’ f’, contenido en el plano - Se trata del polígono a b c d e f - a’ b’ c’ d’ e’ f’, contenido en el plano ’’ - - , para lo que se utilizó las rectas: v’, para lo que se utilizó las rectas: v’11 - v - v11, horizontal ( contiene los, horizontal ( contiene los vértices A y D ), oblicua v’vértices A y D ), oblicua v’22 - v - v22, h’, h’22 - v - v22 ( contiene los vértices B y E ) y la ( contiene los vértices B y E ) y la oblicua v’oblicua v’11 - v - v11, h’, h’11 - h - h11 ( contiene los vértices F y C ). ( contiene los vértices F y C ).

- El sentido de la luz lo da la dirección del rayo - El sentido de la luz lo da la dirección del rayo ’ - ’ - ..

- Por el procedimiento normal, se encuentra el primer punto, el- Por el procedimiento normal, se encuentra el primer punto, el correspondiente a la sombra de A. De acuerdo al desarrollo de la figuracorrespondiente a la sombra de A. De acuerdo al desarrollo de la figura adjunta, se ve que la sombra de este punto, se encuentra en la traza horizontaladjunta, se ve que la sombra de este punto, se encuentra en la traza horizontal de la recta, que según la dirección del rayo de luz , pasa por a’ - a, esto esde la recta, que según la dirección del rayo de luz , pasa por a’ - a, esto es a”.a”.

- Siguiendo la regla de afinidad, se prolonga la proyección horizontal del- Siguiendo la regla de afinidad, se prolonga la proyección horizontal del segmento af, hasta cortar la traza horizontal del plano, esto es segmento af, hasta cortar la traza horizontal del plano, esto es ,, determinando el punto o; uniendo seguidamente este punto o de determinando el punto o; uniendo seguidamente este punto o de con a”, con a”, cortaremos a la paralela a cortaremos a la paralela a que pase por f ( en proyección horizontal ), que pase por f ( en proyección horizontal ),

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donde encontraremos la sombra f”, correspondiente a F, ( también sobre eldonde encontraremos la sombra f”, correspondiente a F, ( también sobre el plano horizontal ).plano horizontal ).

- Prolongando ahora el segmento f e ( siempre en proyección horizontal ),- Prolongando ahora el segmento f e ( siempre en proyección horizontal ), encontramos p en encontramos p en ; igual que en el paso anterior, unimos ahora el punto p ; igual que en el paso anterior, unimos ahora el punto p en en , con la paralela trazada por f ”, a la dirección del rayo de luz , , con la paralela trazada por f ”, a la dirección del rayo de luz , encontrando así a e”, que será la sombra de E.encontrando así a e”, que será la sombra de E.

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fig. 225fig. 225

- Por lo desarrollado hasta el momento, vemos que las tres sombras buscadas- Por lo desarrollado hasta el momento, vemos que las tres sombras buscadas y halladas hasta el momento, corresponden a las ubicadas sobre el planoy halladas hasta el momento, corresponden a las ubicadas sobre el plano horizontal; las otras tres estarán en el plano vertical.horizontal; las otras tres estarán en el plano vertical.

- La sombra del segmento AB va a presentar un punto de inflexión sobre la- La sombra del segmento AB va a presentar un punto de inflexión sobre la línea de tierra, para lo cual, encontramos la sombra virtual de A ( la trazalínea de tierra, para lo cual, encontramos la sombra virtual de A ( la traza vertical del rayo de luz que pasa por él ), a’’’; prolongando ahora lavertical del rayo de luz que pasa por él ), a’’’; prolongando ahora la proyección vertical a’b’ hasta la traza vertical proyección vertical a’b’ hasta la traza vertical ’ , ubicamos en ella el punto’ , ubicamos en ella el punto s’; la unión de s’ con a’’’, cortará a la paralela a la dirección del rayo de luzs’; la unión de s’ con a’’’, cortará a la paralela a la dirección del rayo de luz por b’, en b”, sombra correspondiente a B.por b’, en b”, sombra correspondiente a B.

- La unión de b” con a’’’, permite ver el punto de inflexión mencionado, en la- La unión de b” con a’’’, permite ver el punto de inflexión mencionado, en la línea de tierra, en o’.línea de tierra, en o’.

- Para encontrar la sombra de C, utilizamos la diagonal a’c’ en proyección- Para encontrar la sombra de C, utilizamos la diagonal a’c’ en proyección vertical; su prolongación corta a vertical; su prolongación corta a ’, en q’; la unión de q’ con a’’’, cortará a’, en q’; la unión de q’ con a’’’, cortará a la paralela trazada por c’ a la dirección del rayo de luz, en c”, sombra de C.la paralela trazada por c’ a la dirección del rayo de luz, en c”, sombra de C.

- La sombra de D, la hallamos por la diagonal AD cuya traza vertical es v’1;- La sombra de D, la hallamos por la diagonal AD cuya traza vertical es v’1; la unión de ésta con a’’’, corta a la paralela al rayo de luz por d’, en d”, sobrala unión de ésta con a’’’, corta a la paralela al rayo de luz por d’, en d”, sobra del punto D.del punto D.

- El segmento DE presenta el otro punto de inflexión que nos permitirá hallar- El segmento DE presenta el otro punto de inflexión que nos permitirá hallar la poligonal correspondiente a la sombra de la figura del presente problema.la poligonal correspondiente a la sombra de la figura del presente problema. Para ello, se encuentra la sombra virtual de d, el d’’’, traza horizontal del rayoPara ello, se encuentra la sombra virtual de d, el d’’’, traza horizontal del rayo

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de luz que pasa por d. La unión de e” con d’’’ corta a la línea de tierra en x,de luz que pasa por d. La unión de e” con d’’’ corta a la línea de tierra en x, que es el otro punto de inflexión.que es el otro punto de inflexión.

Uniendo ahora todos los puntos encontrados en los diversos pasosUniendo ahora todos los puntos encontrados en los diversos pasos realizados en el presente ejercicio, nos permite ver la sombra delrealizados en el presente ejercicio, nos permite ver la sombra del hexágono irregular sobre ambos planos de proyección, esto es, la figura:hexágono irregular sobre ambos planos de proyección, esto es, la figura: a” - f ” - e” - x - d” - c” - b” - o’a” - f ” - e” - x - d” - c” - b” - o’ . .

226.- Encontrar la sombra de un prisma sobre los planos de proyección. ( fig. 226 )226.- Encontrar la sombra de un prisma sobre los planos de proyección. ( fig. 226 )

- Se trata de un prisma de base pentagonal, apoyado sobre el plano horizontal,- Se trata de un prisma de base pentagonal, apoyado sobre el plano horizontal, que va a proyectar sombra sobre ambos planos de proyección.que va a proyectar sombra sobre ambos planos de proyección.

- La observación del volumen nos permite ver que éste tiene en proyección- La observación del volumen nos permite ver que éste tiene en proyección vertical sombra en las caras a’b’ - b’c’ - y c’d’, en tanto que en la horizontalvertical sombra en las caras a’b’ - b’c’ - y c’d’, en tanto que en la horizontal las sombras proyectadas son las de las caras ab - bc y cd.las sombras proyectadas son las de las caras ab - bc y cd.

- Sin embargo en el desarrollo del presente ejercicio, aunque aparentemente- Sin embargo en el desarrollo del presente ejercicio, aunque aparentemente no pareciera, la sombra recién empieza a proyectarase desde la arista b.no pareciera, la sombra recién empieza a proyectarase desde la arista b.

- En efecto, de acuerdo a lo visto hasta el presente en la proyección de- En efecto, de acuerdo a lo visto hasta el presente en la proyección de sombra de rectas, la sombra de la arista sombra de rectas, la sombra de la arista AA, es el punto a”, y la de la arista , es el punto a”, y la de la arista BB,, es b”; la sombra de la arista a - a1, empieza en la base de la misma, vala decires b”; la sombra de la arista a - a1, empieza en la base de la misma, vala decir desde su proyección horizontal “ a ”, por lo tanto la sombra de la arista seríadesde su proyección horizontal “ a ”, por lo tanto la sombra de la arista sería la unión de ésta con a”; lo mismo ocurre con la sombra de la arista b - b1, lala unión de ésta con a”; lo mismo ocurre con la sombra de la arista b - b1, la misma que es la unión de su base “ b ” con b”. La observación de la sombramisma que es la unión de su base “ b ” con b”. La observación de la sombra de estas dos aristas nos permite ver que la sombra de la arista a - a1, quede estas dos aristas nos permite ver que la sombra de la arista a - a1, que dentro de la sombra proyectada por la b - b1. Por lo que para determinar ladentro de la sombra proyectada por la b - b1. Por lo que para determinar la sombra del área cubierta por las aristas A y B, debemos encontrar la sombrasombra del área cubierta por las aristas A y B, debemos encontrar la sombra virtual de B, la b’’’, la misma que debe unirse con la “ b ”, produciendo unvirtual de B, la b’’’, la misma que debe unirse con la “ b ”, produciendo un punto de inflexión en la línea de tierra, tal como se observa en la figurapunto de inflexión en la línea de tierra, tal como se observa en la figura respectiva.respectiva.

- La sombra de C es el punto c’’’, y la de D es la d’’’; estas dos últimas- La sombra de C es el punto c’’’, y la de D es la d’’’; estas dos últimas sombras, las de C y D, se encuentran en distintos cuadrantes, por lo que entresombras, las de C y D, se encuentran en distintos cuadrantes, por lo que entre ambas debe producirse el otro punto de inflexión, para lo que debe buscarseambas debe producirse el otro punto de inflexión, para lo que debe buscarse la sombra virtual ya sea de C o de D; en este caso hallamos la de C, la c’’’,la sombra virtual ya sea de C o de D; en este caso hallamos la de C, la c’’’, que unida a la d” de D, nos da el punto de inflexión buscado “ 1 ”.que unida a la d” de D, nos da el punto de inflexión buscado “ 1 ”.

- Al igual que ocurre con la sombra de A, sucede con la de E, la e”, la misma- Al igual que ocurre con la sombra de A, sucede con la de E, la e”, la misma que queda oculta dentro de la sombra general del prisma, que en definitiva esque queda oculta dentro de la sombra general del prisma, que en definitiva es

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la unión de las sucesivas sombras encontradas, vale decir la: la unión de las sucesivas sombras encontradas, vale decir la: b - o - b” - c” - 1b - o - b” - c” - 1 - d” d.- d” d.

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fig. 226fig. 226

227.- Encontrar la sombra de un cubo libre de apoyos, proyectada sobre los227.- Encontrar la sombra de un cubo libre de apoyos, proyectada sobre losplanos de proyección. ( fig. 227 )planos de proyección. ( fig. 227 )

- Se trata del cubo abfehdcg - a’d’c’b’f’e’h’g’.- Se trata del cubo abfehdcg - a’d’c’b’f’e’h’g’.

- Al estar el presente objeto prácticamente “flotando” en el aire, la sombra del- Al estar el presente objeto prácticamente “flotando” en el aire, la sombra del mismo deberá buscarse punto por punto, observando luego aquello que quedemismo deberá buscarse punto por punto, observando luego aquello que quede en sombra y lo que resulte en luz.en sombra y lo que resulte en luz.

fig. 227fig. 227

283283



- Los puntos e - f y b, como se observa en el gráfico adjunto, proyectan- Los puntos e - f y b, como se observa en el gráfico adjunto, proyectan sombra sobre el plano vertical en: e” - f” y b”, en tanto los h - d - c y g, losombra sobre el plano vertical en: e” - f” y b”, en tanto los h - d - c y g, lo hacen sobre el plano horizontal en: h” - d” - c” y g”. hacen sobre el plano horizontal en: h” - d” - c” y g”.

- La sombra de las aristas e - h y g - f , producen en la línea de tierra los- La sombra de las aristas e - h y g - f , producen en la línea de tierra los correspondientes puntos de inflexión correspondientes puntos de inflexión oo y y xx..

- Por lo tanto la sombra proyectada por el cubo sobre los planos de- Por lo tanto la sombra proyectada por el cubo sobre los planos de proyección, es la poligonal: proyección, es la poligonal: e” - f” - x - g” - c” - d” - o .e” - f” - x - g” - c” - d” - o .

228.- Encontrar la sombra proyectada por una pirámide hexagonal, sobre 228.- Encontrar la sombra proyectada por una pirámide hexagonal, sobre los los planos de proyección. planos de proyección.

- Se trata de la pirámide exagonal de base abcdef, apoyada sobre el plano- Se trata de la pirámide exagonal de base abcdef, apoyada sobre el plano horizontal.horizontal.

- La cúspide de la pirámide está representada por el punto O ( o’ - o ), hacia - La cúspide de la pirámide está representada por el punto O ( o’ - o ), hacia el cual convergen todas las aristas de la pirémide, partiendo de los vértices de el cual convergen todas las aristas de la pirémide, partiendo de los vértices de la base.la base.

- El rayo de luz tiene la dirección marcada por la letra - El rayo de luz tiene la dirección marcada por la letra ( ( ’ - ’ - ). ).

- Las paralelas trazadas por los vértices extremos de la base de la pirámide, - Las paralelas trazadas por los vértices extremos de la base de la pirámide, ( a y e ), nos muestra la parte de la pirámide que estará en sombra; ésta, por ( a y e ), nos muestra la parte de la pirámide que estará en sombra; ésta, por estar la pirámide apoyada sobre el plano horizontal, comenzará a poryectarse estar la pirámide apoyada sobre el plano horizontal, comenzará a poryectarse desde la base hasta el punto sombra de la cúspide O ( o’ - o ).desde la base hasta el punto sombra de la cúspide O ( o’ - o ).

- Aplicando el principio ya utilizado anteriormente de cómo encontrar la - Aplicando el principio ya utilizado anteriormente de cómo encontrar la sombra de un punto, hallamos la de la cúspide, la misma que estará en o’’; a sombra de un punto, hallamos la de la cúspide, la misma que estará en o’’; a objeto de encontrar el punto de inflexión de la sombra, encontramos su objeto de encontrar el punto de inflexión de la sombra, encontramos su sombra virtual que estará en o’’’.sombra virtual que estará en o’’’.

- Uniendo por tanto las sombras de c y e ( son ellos mismos ) con o’’, - Uniendo por tanto las sombras de c y e ( son ellos mismos ) con o’’, podremos ver la sombra proyectada de la pirámide; la arista que parte de e podremos ver la sombra proyectada de la pirámide; la arista que parte de e hacia la o’’’, nos muestra el punto de inflexión en la línea de tierra.hacia la o’’’, nos muestra el punto de inflexión en la línea de tierra.

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fig. 228fig. 228

2.- Partes visibles y ocultas de un triángulo con sus puntos en:2.- Partes visibles y ocultas de un triángulo con sus puntos en:

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a)a) LTLTb)b) 4to. cuadrante y 24to. cuadrante y 2dodo. bisector. bisectorc)c) 3er. cuadrante3er. cuadrante

7.- Representar una recta que tenga un punto en primer bisector, 7.- Representar una recta que tenga un punto en primer bisector, primer cuadrante y otro en el segundo bisector cuarto cuadrante.primer cuadrante y otro en el segundo bisector cuarto cuadrante.

8.- Representar una recta que tenga un punto en el segundo 8.- Representar una recta que tenga un punto en el segundo cuadrante, segundo bisector, y otro en el primer cuadrante, primer cuadrante, segundo bisector, y otro en el primer cuadrante, primer bisector.bisector.

10.- Intersección de una recta paralela al segundo bisector con otra 10.- Intersección de una recta paralela al segundo bisector con otra oblicua.oblicua.

12.- Trazas de una recta vertical, con el primer y segundo bisector.12.- Trazas de una recta vertical, con el primer y segundo bisector.

13.- En una recta con trazas verticales, en el vertical superior y 13.- En una recta con trazas verticales, en el vertical superior y horizontal anterior, señalar un punto en el segundo cuadrante y horizontal anterior, señalar un punto en el segundo cuadrante y segundo bisector.segundo bisector.

19.- Intersección de una recta paralela al segundo bisector con otra 19.- Intersección de una recta paralela al segundo bisector con otra oblicua.oblicua.

20.- Trazas de una recta de punta con el primer y segundo bisector.20.- Trazas de una recta de punta con el primer y segundo bisector.

21.- Trazas de una recta vertical con el primer y segundo bisector.21.- Trazas de una recta vertical con el primer y segundo bisector.

22.- En una recta con traza vertical, en el vertical superior y 22.- En una recta con traza vertical, en el vertical superior y horizontal, en el horizontal anterior, señalar un punto en el segundo horizontal, en el horizontal anterior, señalar un punto en el segundo cuadrante y segundo bisector.cuadrante y segundo bisector.

24.- Intersección de recta oblicua con plano horizontal.24.- Intersección de recta oblicua con plano horizontal.

25.- Intersección de recta oblicua con un plano frontal.25.- Intersección de recta oblicua con un plano frontal.

27.- Intersección de recta oblicua con plano de perfil.27.- Intersección de recta oblicua con plano de perfil.

28.- Intersección de recta oblicua con plano proyectante vertical.28.- Intersección de recta oblicua con plano proyectante vertical.286286



29.- Intersección de recta oblicua con plano proyectante horizontal.29.- Intersección de recta oblicua con plano proyectante horizontal.

30.- Intersección de plano horizontal con plano frontal.30.- Intersección de plano horizontal con plano frontal.

31.- Intersección de plano horizontal con plano de perfil.31.- Intersección de plano horizontal con plano de perfil.

32.- Intersección de plano frontal con plano de perfil.32.- Intersección de plano frontal con plano de perfil.

33.- Intersección de plano horizontal con plano vertical.33.- Intersección de plano horizontal con plano vertical.

34.- Intersección de plano horizontal con plano proyectante 34.- Intersección de plano horizontal con plano proyectante horizontal.horizontal.

35.- Intersección de plano frontal con plano proyectante vertical.35.- Intersección de plano frontal con plano proyectante vertical.

36.-Plano frontal con plano proyectante horizontal.36.-Plano frontal con plano proyectante horizontal.

37.- Intersección de dos planos paralelos a la línea de tierra : uno 37.- Intersección de dos planos paralelos a la línea de tierra : uno del cuarto al tercer cuadrante y otro del cuarto al primero.del cuarto al tercer cuadrante y otro del cuarto al primero.

38.- Distancia de un punto a una recta, estando el punto en el primer38.- Distancia de un punto a una recta, estando el punto en el primer cuadrante.cuadrante.

31.- Distancia de un punto a una recta, estando el punto en el 31.- Distancia de un punto a una recta, estando el punto en el segundo cuadrante.segundo cuadrante.

32.- Distancia de un punto a una recta, estando el punto en el tercer 32.- Distancia de un punto a una recta, estando el punto en el tercer cuadrante.cuadrante.

33.- Distancia de un punto a una recta, estando el punto en el cuarto 33.- Distancia de un punto a una recta, estando el punto en el cuarto cuadrante.cuadrante.

34.- Recta paralela a un plano.34.- Recta paralela a un plano.

48.- Que figura se ve en el plano horizontal, si sobre él se apoya un 48.- Que figura se ve en el plano horizontal, si sobre él se apoya un octaedro.octaedro.

51.- Verdadera magnitud de la sección de la piramide cortado por un51.- Verdadera magnitud de la sección de la piramide cortado por un plano oblicuo.plano oblicuo.

54.- Representar una recta vertical contenida en un plano 54.- Representar una recta vertical contenida en un plano cualquiera.cualquiera.

55.- Representar una recta de punta contenida en un plano 55.- Representar una recta de punta contenida en un plano horizontal.horizontal.

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56.- Representar una recta vertical, contenida en un plano frontal.56.- Representar una recta vertical, contenida en un plano frontal.

57.-Intersección de una recta cualquiera con un plano paralelo a la 57.-Intersección de una recta cualquiera con un plano paralelo a la línea de tierra.línea de tierra.

58.- Intersección de una recta con un plano dado por dos rectas que 58.- Intersección de una recta con un plano dado por dos rectas que se cortan.se cortan.

59.- Representar una recta paralela a un plano proyectante vertical.59.- Representar una recta paralela a un plano proyectante vertical.

60.- Representar una recta paralela a un plano proyectante 60.- Representar una recta paralela a un plano proyectante horizontal.horizontal.

61.-Representar una recta perpendicular a otra cualquiera.61.-Representar una recta perpendicular a otra cualquiera.

62.-Abatir una recta frontal de un plano.62.-Abatir una recta frontal de un plano.

63.- Abatir una recta horizontal de un plano.63.- Abatir una recta horizontal de un plano.

64.- Representar un plano perpendicular a otro.64.- Representar un plano perpendicular a otro.

65.- Por cambio de plano, convertir una recta horizontal, en de 65.- Por cambio de plano, convertir una recta horizontal, en de punta.punta.

66.- Por cambio de plano, convertir una recta frontal, en vertical.66.- Por cambio de plano, convertir una recta frontal, en vertical.

67.- Por giro, convertir una recta horizontal, en punta.67.- Por giro, convertir una recta horizontal, en punta.

68.-Por giro, convertir una recta frontal, en vertical.68.-Por giro, convertir una recta frontal, en vertical.

69.- Recta oblicua con plano horizontal.69.- Recta oblicua con plano horizontal.

70.- Recta oblicua con plano frontal.70.- Recta oblicua con plano frontal.

71.- Recta oblicua con plano paralelo a la línea de tierra71.- Recta oblicua con plano paralelo a la línea de tierra

72.- Recta oblicua con plano de perfil.72.- Recta oblicua con plano de perfil.

73.- Recta oblicua con plano proyectante vertical.73.- Recta oblicua con plano proyectante vertical.

74.- Recta oblicua con plano proyectante horizontal.74.- Recta oblicua con plano proyectante horizontal.

75.- Plano horizontal con frontal.75.- Plano horizontal con frontal.

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76.- Plano horizontal con plano de perfil.76.- Plano horizontal con plano de perfil.

77.-Plano frontal con plano de perfil.77.-Plano frontal con plano de perfil.

78.- Plano horizontal con plano proyectante vertical.78.- Plano horizontal con plano proyectante vertical.

79.-Plano horizontal con plano proyectante horizontal.79.-Plano horizontal con plano proyectante horizontal.

80.-Plano frontal con plano proyectante vertical.80.-Plano frontal con plano proyectante vertical.

81.- Plano frontal con plano proyectante horizontal81.- Plano frontal con plano proyectante horizontal

82.- Dos planos paralelos a la LT: uno del 2º al 4º por el 3º , y otro 82.- Dos planos paralelos a la LT: uno del 2º al 4º por el 3º , y otro del 2º al 4º por el 1º.del 2º al 4º por el 1º.

83.- Distancia de un punto a una recta 1er. cuadrante.83.- Distancia de un punto a una recta 1er. cuadrante.

84.- Distancia de un punto a una recta: 2º cuadrante84.- Distancia de un punto a una recta: 2º cuadrante

85.- Distancia de un punto a una recta : 3er. cuadrante.85.- Distancia de un punto a una recta : 3er. cuadrante.

86.-Distancia de un punto a una recta 4to. cuadrante.86.-Distancia de un punto a una recta 4to. cuadrante.

87.- Recta paralela a un plano.87.- Recta paralela a un plano.

88.- Recta perpendicular a otra recta.88.- Recta perpendicular a otra recta.

89.-Mínima distancia entre dos rectas que se cortan.89.-Mínima distancia entre dos rectas que se cortan.

90.- Mínima distancia entre dos rectas que no se cortan.90.- Mínima distancia entre dos rectas que no se cortan.

91.-Abatir sobre el plano vertical una recta frontal.91.-Abatir sobre el plano vertical una recta frontal.

92.- Abatir sobre el plano vertical una recta horizontal.92.- Abatir sobre el plano vertical una recta horizontal.

93.- Representar un cuadrilatero contenido en un plano paralelo a la 93.- Representar un cuadrilatero contenido en un plano paralelo a la LT.LT.

94.- Representar un cuadrilatero contenido en un plano 94.- Representar un cuadrilatero contenido en un plano perpendicular al 1er. bisectorperpendicular al 1er. bisector

95.- Representar un cuadrilatero contenido en un plano 95.- Representar un cuadrilatero contenido en un plano perpendicular al 2perpendicular al 2dodo. bisector.. bisector.

96.- Verdadera magnitud de un triángulo contenido en un plano 96.- Verdadera magnitud de un triángulo contenido en un plano paralelo a la LT.paralelo a la LT.

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97.- Verdadera magnitud de un triángulo contenido en un plano 97.- Verdadera magnitud de un triángulo contenido en un plano perpendicular al primer bisector.perpendicular al primer bisector.

98.- Verdadera magnitud de un triángulo contenido en un plano 98.- Verdadera magnitud de un triángulo contenido en un plano perpendicular al segundo bisector.perpendicular al segundo bisector.

99.- Sobre qué plano apoyaría un prisma para que su base se vea en 99.- Sobre qué plano apoyaría un prisma para que su base se vea en verdadera magnitud.verdadera magnitud.

100.-Sobre que plano apoyaría una piramidepara que su base se vea 100.-Sobre que plano apoyaría una piramidepara que su base se vea en verdadera magnitud.en verdadera magnitud.

101.- Qué figura se ve en el plano horizontal si sobre él se apoya un 101.- Qué figura se ve en el plano horizontal si sobre él se apoya un octaedro.octaedro.

102.- Qué figura se ve en el plano vertical si sobre él se apoya un 102.- Qué figura se ve en el plano vertical si sobre él se apoya un octaedro.octaedro.

103.- Verdadera magnitud de la sección de un prisma cortado por un103.- Verdadera magnitud de la sección de un prisma cortado por un plano oblicuo.plano oblicuo.

104.- Verdadera magnitud de la sección de una pirámide cortada por104.- Verdadera magnitud de la sección de una pirámide cortada por un plano oblicuo.un plano oblicuo.

105.- Representar una recta que en verdadera magnitud tenga 40 105.- Representar una recta que en verdadera magnitud tenga 40 cm.cm.

106.- Representar un pentágono en vrdadera magnitud y luego sus 106.- Representar un pentágono en vrdadera magnitud y luego sus proyecciones.proyecciones.

107.- En una recta horizontal, encontrar su traza con el segundo 107.- En una recta horizontal, encontrar su traza con el segundo bisector.bisector.

108.- Señalar las rectas que pueden estar contenidas en un plano 108.- Señalar las rectas que pueden estar contenidas en un plano horizontal.horizontal.

109.- Señalar las rectas que pueden estar contenidas en un plano 109.- Señalar las rectas que pueden estar contenidas en un plano frontal.frontal.

110.- Determinar un plano por una recta horizontal y otra frontal.110.- Determinar un plano por una recta horizontal y otra frontal.

111.- Dada una recta horizontal, determinar el plano que la 111.- Dada una recta horizontal, determinar el plano que la contenga.contenga.

112.- Dada una recta frontal, determinar el plano que la contenga112.- Dada una recta frontal, determinar el plano que la contenga

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113.- Representar una recta de punta contenida en un plano 113.- Representar una recta de punta contenida en un plano cualquiera.cualquiera.

114.-Proyecciones Conceptos114.-Proyecciones Conceptos

115.- Proyecciones Clases115.- Proyecciones Clases

116.-Alejamiento Cota116.-Alejamiento Cota

117.- 13 posiciones del punto117.- 13 posiciones del punto

118.- La recta Concepto118.- La recta Concepto

119.- La recta posiciones 119.- La recta posiciones

120.- Recta de perfil120.- Recta de perfil

121.- Rectas que se cortan121.- Rectas que se cortan

122.- El plano Determinación122.- El plano Determinación

123.- Recta en el plano123.- Recta en el plano

124.- Posiciones de la recta124.- Posiciones de la recta

125.- Recta de máx. pdte.125.- Recta de máx. pdte.

126.- Recta de máx incl.126.- Recta de máx incl.

127.- Posiciones del plano127.- Posiciones del plano

128.- Intersección de planos128.- Intersección de planos

129.- Intersección fuera del depurado129.- Intersección fuera del depurado

130.- Casos part. de intersección de planos130.- Casos part. de intersección de planos

131.- Interseción de recta y plano131.- Interseción de recta y plano

132.- Recta que corta a otras tres132.- Recta que corta a otras tres

133.- Recta que corta a otras dos y es paralela a un plano133.- Recta que corta a otras dos y es paralela a un plano

134.- Recta que corta a otras dos y es paralela a una tercera recta134.- Recta que corta a otras dos y es paralela a una tercera recta

135.- Recta paralela a un plano135.- Recta paralela a un plano

136.- Paralelismo Concepto136.- Paralelismo Concepto

137.- Perpendicular Concepto137.- Perpendicular Concepto291291



138.- Teorema de las tres perpendiculares138.- Teorema de las tres perpendiculares

139.- Perpendicular a otra recta139.- Perpendicular a otra recta

140.- Plano perpendicular a otro 140.- Plano perpendicular a otro

141.- Perpendicular común (1er.pr.)141.- Perpendicular común (1er.pr.)

142.- Perpendicular común (2142.- Perpendicular común (2dodo. pr.). pr.)

143.- Perpendicular común (3er.pr.)143.- Perpendicular común (3er.pr.)

144.- Distancia entre dos puntos144.- Distancia entre dos puntos

145.- Distancia de un punto a un plano145.- Distancia de un punto a un plano

146.- Distancia de un punto a una recta146.- Distancia de un punto a una recta

147.- Distancia entre rectas paralelas147.- Distancia entre rectas paralelas

148.- Distancia entre planos paralelos148.- Distancia entre planos paralelos

149.- Mínima distancia entre dos rectas que se cruzan149.- Mínima distancia entre dos rectas que se cruzan

150.- Abatimiento de un plano 150.- Abatimiento de un plano

151.- Abatimiento de una figura plana151.- Abatimiento de una figura plana

152.- Abatimiento de una recta152.- Abatimiento de una recta

153.- Abatimiento de un plano153.- Abatimiento de un plano154.- Abatimiento de una figura plana154.- Abatimiento de una figura plana

155.- Rebatimiento155.- Rebatimiento

156.- Angulo de dos rectas156.- Angulo de dos rectas

157.- Angulo de recta y plano157.- Angulo de recta y plano

158.- Angulo de dos planos158.- Angulo de dos planos

159.- Cambio de planos159.- Cambio de planos

160.- El punto en el cambio de planos160.- El punto en el cambio de planos

161.- La recta en el cambio de planos161.- La recta en el cambio de planos

162.- Nuevas trazas del plano en el cambio de planos162.- Nuevas trazas del plano en el cambio de planos

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163.- Verdadera Mag. por cambio de planos 163.- Verdadera Mag. por cambio de planos

164.- Giros164.- Giros

165.- Giro de un punto165.- Giro de un punto

166.- Giro de una recta166.- Giro de una recta

167.- Giro de un plano167.- Giro de un plano

168.- Verdadera Mag. por giros168.- Verdadera Mag. por giros

169.- Cuerpos regulares169.- Cuerpos regulares

170.- Prisma Concepto170.- Prisma Concepto

171.- Construcción de un prisma recto171.- Construcción de un prisma recto

172.- Plano y prisma172.- Plano y prisma

173.- Recta y prisma173.- Recta y prisma

174.- Piramide y tetraedro 174.- Piramide y tetraedro 175.- Octaedro 175.- Octaedro

176.- Plano y pirámide 176.- Plano y pirámide

177.- Recta y Pirámide177.- Recta y Pirámide

178.- Verdadera magnitud de una sección178.- Verdadera magnitud de una sección

179.- Intersección de dos planos determinados por:179.- Intersección de dos planos determinados por:

a)a) Tres puntos no colineados: A) primer cuadranteTres puntos no colineados: A) primer cuadranteB)B) segundo cuadrantesegundo cuadranteC)C) tercer cuadrantetercer cuadrante

b)b) Recta R que va del primer cuadrante al tercero pasando por Recta R que va del primer cuadrante al tercero pasando por el el cuarto, y cuarto, y

Recta S, horizontal del primero al segundo cuadranteRecta S, horizontal del primero al segundo cuadrante


a)a) Tres puntos no colineados: A) cuarto cuadranteTres puntos no colineados: A) cuarto cuadranteB) primer cuadrante y primer bisectorB) primer cuadrante y primer bisector

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C) segundo cuadrante y segundo bisectorC) segundo cuadrante y segundo bisector

b)b) Recta S que va del segundo cuadrante al cuarto pasando por Recta S que va del segundo cuadrante al cuarto pasando por el el tercero, y Recta T, frontal del segundo al tercer tercero, y Recta T, frontal del segundo al tercer cuadrantecuadrante


a)a) Tres puntos no colineados: A) vertical superiorTres puntos no colineados: A) vertical superiorB) tercer cuadrante y primer bisectorB) tercer cuadrante y primer bisector

C)C) cuarto cuadrantecuarto cuadrante

b)b) Recta R que va del primero al tercer cuadrante pasando por Recta R que va del primero al tercer cuadrante pasando por el el segundo, y Recta S oblícua cualquiera que es segundo, y Recta S oblícua cualquiera que es de máxima de máxima pendiente del plano pendiente del plano


a)a) Tres puntos no colineados: A) horizontal anteriorTres puntos no colineados: A) horizontal anteriorB)B) cuarto cuadrante y segundo bisectorcuarto cuadrante y segundo bisectorC)C) tercer cuadrantetercer cuadrante

b)b) Recta S que va del segundo al cuarto pasando por el Recta S que va del segundo al cuarto pasando por el primero, yprimero, yRecta T oblícua cualquiera que es de máxima inclinación del planoRecta T oblícua cualquiera que es de máxima inclinación del plano


294294



a)a) Tres puntos no colineados: A) vertical inferiorTres puntos no colineados: A) vertical inferiorB) segundo cuadranteB) segundo cuadrante

C)C) tercer cuadrantetercer cuadrante

b)b) Recta R horizontal cualquieraRecta R horizontal cualquieraRecta S frontal cualquieraRecta S frontal cualquiera

184.- Perpendicular común (1er. procedimiento)184.- Perpendicular común (1er. procedimiento)

185.- Perpendicular común (2185.- Perpendicular común (2dodo. procedimiento). procedimiento)

186.- Perpendicular común (3er. procedimiento)186.- Perpendicular común (3er. procedimiento)

187.- Rebatimiento de una figura plana de 5 vértices187.- Rebatimiento de una figura plana de 5 vértices

188.- Verdadera magnitud por cambio de planos188.- Verdadera magnitud por cambio de planos

189.- Distancia de un punto a una recta189.- Distancia de un punto a una recta

190.- Abatimiento de una figura plana de 5 vértices190.- Abatimiento de una figura plana de 5 vértices

191.- Verdadera magnitud por giros191.- Verdadera magnitud por giros

192.- Angulo de recta y plano192.- Angulo de recta y plano

193.- Recta que corta a otras tres (1er. procedimiento)193.- Recta que corta a otras tres (1er. procedimiento)

295295



296296



1.- Intersección de dos planos1.- Intersección de dos planos

2.- Intersección de dos planos2.- Intersección de dos planos



5.- Perpendicular común, primer procedimiento5.- Perpendicular común, primer procedimiento

6.- Perpendicular común, primer procedimiento6.- Perpendicular común, primer procedimiento

7.- Perpendicular común, segundo procedimiento7.- Perpendicular común, segundo procedimiento

8.- Perpendicular común, segundo procedimiento8.- Perpendicular común, segundo procedimiento

9.- Perpendicular común, tercer procedimiento9.- Perpendicular común, tercer procedimiento

10.- Perpendicular común, tercer procedimiento10.- Perpendicular común, tercer procedimiento

11.- Abatimiento sobre el plano vertical11.- Abatimiento sobre el plano vertical

12.- Rebatimiento a partir del plano vertical12.- Rebatimiento a partir del plano vertical

13.- Cambio de planos para rectas13.- Cambio de planos para rectas

14.- Verdadera magnitud por cambio de planos14.- Verdadera magnitud por cambio de planos

15.- Giro de una recta15.- Giro de una recta

16.- Verdadera magnitud por giro16.- Verdadera magnitud por giro

17.- Prisma recto sobre plano oblícuo17.- Prisma recto sobre plano oblícuo

18.- Intersección de prisma por plano oblícuo18.- Intersección de prisma por plano oblícuo

19.- Intersección de prisma con recta19.- Intersección de prisma con recta

20.- Construcción del tetraedro20.- Construcción del tetraedro

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21.- Construcción del octaedro21.- Construcción del octaedro

22.- Intersección de pirámide con plano oblícuo22.- Intersección de pirámide con plano oblícuo

23.- Intersección de pirámide con recta23.- Intersección de pirámide con recta

24.- Sombra de un punto sobre prisma por la ley de afinidad24.- Sombra de un punto sobre prisma por la ley de afinidad

25.- Sombra de un punto sobre prisma por la ley de afinidad25.- Sombra de un punto sobre prisma por la ley de afinidad

26.- Sombra de un polígono oblícuo26.- Sombra de un polígono oblícuo

27.- Sombra de un polígono oblícuo27.- Sombra de un polígono oblícuo

1.- Trazas de una recta de punta con el 1º y 2º bisector1.- Trazas de una recta de punta con el 1º y 2º bisector

2.- Trazas de una recta vertical con el 1º y 2º bisector2.- Trazas de una recta vertical con el 1º y 2º bisector

3.- Intersección de recta horizontal con frontal3.- Intersección de recta horizontal con frontal

4.- Intersección de recta oblícua con otra de punta4.- Intersección de recta oblícua con otra de punta

5.- Intersección de recta oblícua con vertical5.- Intersección de recta oblícua con vertical

6.- Intersección de recta de punta con vertical6.- Intersección de recta de punta con vertical

7.- Intersección de recta paralela a la línea de tierra con otra de 7.- Intersección de recta paralela a la línea de tierra con otra de puntapunta

8.- Intersección de recta paralela a la línea de tierra con vertical8.- Intersección de recta paralela a la línea de tierra con vertical

9.- Intersección de plano horizontal con frontal9.- Intersección de plano horizontal con frontal

10.- Intersección de recta de punta con plano frontal10.- Intersección de recta de punta con plano frontal

11.- Intersección de recta de punta con plano horizontal11.- Intersección de recta de punta con plano horizontal

12.- Intersección de recta vertical con plano horizontal12.- Intersección de recta vertical con plano horizontal

13.- Intersección de recta vertical con plano frontal13.- Intersección de recta vertical con plano frontal

14.- Punto en el 1er. bisector de un plano14.- Punto en el 1er. bisector de un plano

15.- Punto en el 215.- Punto en el 2dodo. bisector de un plano. bisector de un plano

16.- Recta paralela al 1er. bisector16.- Recta paralela al 1er. bisector

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17.- Recta paralela al segundo bisector17.- Recta paralela al segundo bisector

18.- Recta vertical en un plano proyectante vertical18.- Recta vertical en un plano proyectante vertical

19.- Recta vertical en un plano proyectante horizontal19.- Recta vertical en un plano proyectante horizontal

20.- Recta horizontal en un plano proyectante horizontal20.- Recta horizontal en un plano proyectante horizontal

21.- Recta horizontal en un plano proyectante vertical21.- Recta horizontal en un plano proyectante vertical

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ejerciciosa de geo

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