Problemas

1. - Determine si el conjunto de matrices S de la forma en donde a y b son nmeros reales, con las operaciones convencionales es un espacio vectorial.

2.

- Sea X=R-{-1} donde se define la suma y la multiplicacin por escalar de la siguiente manera:

Determine si X con estas operaciones es un espacio vectorial

3. - Determine si el conjunto X=con las operaciones :

Constituye un espacio vectorial.

4. - Determine si el siguiente conjunto V=, es un espacio vectorial, donde se han definido las operaciones de suma y multiplicacin por un escalar real de la siguiente manera:

.

5.

- con las operaciones de suma y multiplicacin por escalar es un espacio vectorial

6. - Determine si con las siguientes operaciones, es un espacio vectorial

7. Califique cada una de las siguientes proposiciones como verdadera o falsa, demustrela en caso de ser verdadera o de un contraejemplo si es falsa.

a.

- Sea un espacio vectorial y x , si , entonces x es el neutro en V.b. Sea V un espacio vectorial real cualquiera, entonces:

c.

- Sea un espacio vectorial cualquiera y w un vector en W, entonces 0w=

8. Si x, y son vectores en un espacio vectorial V, demuestre que existe un nico vector

zV, tal que x+z=y9. - Demuestre

10. Sea el espacio vectorial . Sea el subconjunto de V:

Determine si es un subespacio de

11. Sea y sea

-Determine si H es un subespacio de V

12. Determine si los siguientes subconjuntos son subespacios de

13. 4.- Sea V=. Considere los conjuntos:

Qu conjuntos son subespacios de V?

14. Determine un conjunto generador para los siguientes subespacios:

a)

b)

15. Sea los subconjuntos de V

Determine:a) Si son subespacios vectoriales de V.b) Un conjunto generador finito para cada subespacio vectorial determinado en el literal anterior.

16. -Sea V un espacio vectorial cualquiera y un conjunto linealmente independiente en V. Si se construye con ellos los siguientes vectores:

Determine si el conjunto es o no linealmente independiente.

17. Dados . Establezca cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas:

a)

Si , entonces H=es un plano.b)

Si son independientes, entonces H=es una recta.c)

Si son independientes, entonces los vectores tambin son independientes.d)

son dependientes si y solo si

18. En el espacio vectorial se escoge los vectores:

Al establecer la independencia lineal de ellos se encuentra que una de las siguientes proposiciones es verdadera. Encuntrela.

a) son linealmente independientes.b) son linealmente independientes.c) son dependientes.d) son linealmente dependientes.e) Todas las proposiciones anteriores son verdaderas.

19. Considrese el subespacio de :

Encontrar un conjunto finito de vectores S que genere al subespacio V.

20. Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones, de ser verdaderas demustrelas, de ser falsas de un contraejemplo.

a) Sean H el conjunto de matrices nn inversibles, entonces H es un subespacio de b)

Si entonces es linealmente independiente.c) Sea H un conjunto de vectores linealmente independientes, tomados de un espacio vectorial V. entonces cualquier subconjunto de H es linealmente independiente

21. Sea H un subespacio del espacio vectorial . Sea:

un conjunto generador de H.a) Determine si el conjunto generador es linealmente independiente.b) Determine si

22.

Sea y

a) Determine un conjunto linealmente independiente de Hb) Pertenece el polinomio al subespacio H? Justifique su respuesta

23. Sea el espacio vectorial real . Sea el conjunto:

Determine los elementos de S que no pertenecen a V.

24. Considere el espacio vectorial real donde se han definido la suma en V y la multiplicacin por escalar de la siguiente manera:

a) Es {(1,0),(1,1)} linealmente independientes?b) Genera {(1,0),(1,1),(e,0) a V?

25. Sea V=. Considere los subconjuntos:

a) Halle la interseccin ente los dos subespaciosb) Una base y la dimensin del subespacio hallado

26. Sea

Determine:a) Una base para b)

Si es un subespacio de c) La dimension de d) El subespacio

27. Sea y sean

a) Demuestre que H es un subespacio de Vb) Determine una base para c) Determine si la matriz identidad pertenece a

28. Sea una base del espacio vectorial V. Sean H y W dos subespacios de V, tal que:

a) Encuentre una base y determine la dimensin del subespacio b) Determine si

29. Sea , considere los siguientes subconjuntos de V

a) Puede escribirse a V como la suma de dos de los subconjuntos anteriores?b)

Determine, de ser posible, la dimensin de y de

30.

Considere V el espacio con las operaciones usuales de suma de matrices y multiplicacin por escalar. Sea el conjunto de la forma:

y el conjunto de matrices de la forma

Hallar una base y la dimensin de

31. Califique cada una de las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas. Demustrelas en caso de ser verdaderas y de un contraejemplo en caso de ser falsas.

a)

Sea y dos conjuntos de vectores de un espacio vectorial V, tales que , entonces b) Sean W, H subespacios de V, entonces c) Si es un subespacio de V entonces W es tambin un subespacio de Vd)

Sean A y B dos conjuntos linealmente independientes de vectores de V. Si entonces es tambin un conjunto linealmente independientee)

Sean vectores linealmente independientes del espacio vectorial V. Sean y entonces f)

Sea el espacio vectorial . Sean y dos subespacios de V. Entonces es un subespacio de V.g)

Sean y dos subespacios del espacio vectorial . Entonces:

32. Califique cada una de las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, en caso de ser verdaderas, demustrelas y en el caso de ser falsas de un contraejemplo.

a)

Sea un conjunto generador de V y un conjunto linealmente dependiente en V, entonces b) Todo conjunto generador de un espacio vectorial de dimensin n, tiene exactamente n vectores.c)

El conjunto es linealmente independiente en V si y solo si y no son mltiplos escalaresd)

Si es una base de un espacio vectorial V, entonces es un conjunto generador de V.e)

El conjunto es una base del espacio vectorial f)

Sean y dos subespacios de V, entonces g)

Si y entonces una base de W es h)

Si es un conjunto linealmente independiente de vectores de V, es una base de S.i)

Sea y . Si H=U entonces el conjunto es linealmente dependiente

33. Sea H un subespacio del espacio vectorial .Sea:

un conjunto generador de H.a) Determine si los vectores son linealmente independientesb) En caso de ser linealmente independientes, complete un base para

34.

Sea un subespacio del espacio euclidiano y sean y dos bases de . Encuentre la matriz de cambio de base

35.

Sean y dos bases del espacio vectorial real

a)

Determine los vectores coordenadas de y respecto a b)

Encuentre la matriz de cambio de base de a c)

Determine los vectores coordenadas de y respecto a empleando

36.

Sean y dos bases del espacio vectorial . Sea la matriz de cambio de base de a

a)

Encuentre los vectores y de la base b)

Usando la matriz de cambio de base , determine si se conoce que

37.

Sea un conjunto de vectores del espacio vectorial . Sea una base de

a)

Demuestre que es una base de si se sabe que , y b) Encuentre la matriz de cambio de base de

38.

Sean y dos bases de y sea la matriz de cambio de base de a

a) Determine la base b)

Encuentre si

39.

Sea . Si y son bases ordenadas de , y se conoce que:

, y

Determine los vectores de las bases y

40.

7. Sea y una base de tal que:

Determine:a) Los vectores de la base b) La matriz de cambio de base desde hacia la base cannica

41.

Sea un espacio vectorial con bases y . Determine la matriz de cambio de base de y

42.

Sea un espacio vectorial con bases y . Sea la matriz de cambio de base de a . Determine la matriz de transicin de la base a la base

43.

Sean y dos bases del espacio vectorial . Sea la matriz de cambio de base de a , tal que:

a) Determine los vectores de la base b)

Encuentre , si se conoce que y c)

Encuentre los vectors y

44.

Sean y dos bases del espacio vectorial

Determine:a) La matriz de cambio de base b)

Si , hallar c)

Si , hallar la matriz

45.

Sean y dos bases del espacio vectorial y sean:

Determinea) Los vectors de cada baseb)

Las coordenadas del vector con respecto a la base

Materia: Algebra Lineal Ayudante: Yoshua NezProfesor: Ing. Celleri

46.

Sean , y bases ordenadas de y se conoce que:

Si y son la primera y segunda columna de la matriz de transicin de a respectivamente.

Determine:a) Los vectores de la base b)

c)

d)

, si

47.

Sea , con bases y . Sea la matriz de cambio de base de tal que:

Determine los vectores de la base

48.

Sea , con bases y . Sea la matriz de cambio de base de a . Determine la base

49.

Sea , con bases y . Construya la matriz de cambio de base de a

50.

Sea un espacio vectorial y una base de . Se define el conjunto:

a)

Determine una base para , denotada como b)

Si es factible, calcule la matriz de cambio de base de a

51.

Sean y dos bases del espacio vectorial . Determine:

a)

La matriz de cambio de base de a b)

Si se conoce que , usando la matriz hallada en el literal anterior calcular c)

Si , hallar el vector

52.

Sean y dos bases del espacio vectorial de dimensin finita

Determine:a)

La matriz de cambio de base de a b)

Si , usando hallar c)

Si , hallar el vector

53. Sea , determine el espacio fila, columna, ncleo, recorrido, nulidad y rango.

54. Sea la matriz

a) Encuentre una base y la dimensin del espacio rengln de A y el ncleo de A

b) A partir de una base del espacio columna de A, complete una base para

55. Determine el espacio columna, rango, ncleo, nulidad y rango de la siguiente matriz:

56. 4.- Dada la matriz:

Represente explcitamente el recorrido de A, el espacio rengln de A y el ncleo

57. Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas. En caso de ser verdadera, demustrela y en caso de ser falsa de un contraejemplo

a)

Sean A y B matrices , si A es inversible entonces b)

Sea A una matriz cuadrada . Sea . Entonces el espacio fila de E es igual a su espacio columna. 7c) Si C es una matriz de cambio de base entonces su nulidad es diferente de cerod)

Sea la matriz de . El vector y el vector e) Sea A una matriz cuadrada. Si el espacio columna de A es igual al espacio rengln de A, entonces A es una matriz simtrica.f)

Sea A una matriz y B una matriz , entonces el producto A.B pertenece al espacio columna de Ag) Sea A una matriz anti simtrica, entonces la dimensin del espacio fila de A es diferente a la dimensin del espacio columna de A

58. Considere a con las operaciones convencionales de suma, producto por escalar y producto punto. Sea H es el plano que contiene a los vectores (1,2,1) y (2,0,2) y W la recta generada por (0,-1,1). Determine:

a)

b)

c) Una base ortonormal para

59. Sea H un subespacio del espacio vectorial , tal que:

Utilizando el producto interno estndar en

a) Encuentre una base ortonormal para el subespacio

b) Sea el vector . Determine un vector y un vector , tal que

60.

Determine si la funcin con regla de correspondencia es un producto interno real en

61. Determine si la funcin definida por:

,

es un producto interno en .

62. Considere con el producto interno dado por:

a) Para el operador en T en definido por , determine una base para y

b) Encuentre la proyeccin ortogonal de sobre

63. En el espacio vectorial est definido el siguiente producto interno:

a)

Encuentre un vector p(x) tal que su norma sea igual a y la medida del ngulo con el vector q(x)=1+x sea b)

Sea el subespacio de : , Cual es el vector de W que esta ms cerca de r(x)=1-2x?

64. 8) Califique cada una de las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, en caso de ser falsa de un contraejemplo y en caso de ser verdadera demustrela.65. a) Si V es un espacio vectorial con producto interno y H un subespacio de V, entonces b)

Si y son dos vectores ortonormales en , entonces c) Sea V, un espacio vectorial con producto interno, y sea una base ortonormal de V, entonces para todo x en V

d) Sea V, un espacio vectorial con producto interno, Sean u y v dos vectores cualesquiera de V, si , entonces (u+v) es ortogonal a (u-v)e) Sean u, w dos vectores cualesquiera de un espacio vectorial V con producto interno real, entonces:

f) Sea V un espacio vectorial con producto interno, y si para todo w en V (w/v)=0, entonces u es el neutro de V.

66. Determine si las transformaciones siguientes son lineales:

a.-f.-

b.-g.-

c.-h.-

d.-

e.-

67.

-Sea el espacio vectorial de las matrices simtricas. Sea la Transformacin lineal T: con regla de correspondencia:

T

a) Encuentre una base para el ncleo de T y una base para el recorrido de Tb) Encuentre la nulidad de T y el rangoc) Determine si T en un isomorfismo. Justifique su respuesta

68. Sea T: una transformacin lineal. Si se conoce que:

Determine la regla de correspondencia de T

69. Considere la transformacin lineal T: VV y sea B={ una base de V. Sea

Determine:a) La matriz asociada a Tb) Si T es un isomorfismoc) El ncleo y la imagen de T

70.

Construya de ser posible una transformacin lineal de Pen Mtal que

T(1-x)= y

71. Sea T: tal que T(A)=GA donde

a) Determine una base de la imagen de T y la nulidad de T

b) Determine la representacin matricial de con respecto a la base cannica de

72. Sea T: una transformacin lineal definida por:

a) Encuentre la representacin matricial de T con respecto a las bases cannicas de cada espacio

b) Halle una base para y otra base para de modo que la representacin matricial de T con respecto a y sea la matriz identidad.

73. Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones, demustrelas o de un contraejemplo.

a) Si T: una transformacin lineal definida por , entonces T es un isomorfismo

b) Si T es un isomorfismo de V en W y T es un operador de W en W, entonces To T es sobreyectiva

c) Existe una transformacin lineal T: tal que:T(1,0)=(1,1)T(3,2)=(1,-1)T(3,3)=(2,2)

d) Sean V y W espacios vectoriales ambos de dimensin n, sean B y B bases para V y W respectivamente, sea adems la matriz asociada a T con respecto a las bases B y B. Bajo estas condiciones det0 entonces T es un isomorfismo de V a W.

e) Sea T una transformacin lineal de V en W y si {es linealmente independiente en V y T es inyectiva, entonces {}es linealmente independiente en W

f) Si T1 y T2 son isomorfismos de V en W. Entonces(T1oT2) tambin lo es.

g) Sea T: VW un isomorfismo y . Entonces T: Vw es tambin un isomorfismo

h) Sea V=L () el espacio vectorial de las transformaciones lineales cuyo dominio es el espacio de los polinomios de grado menor igual a 2 y cuya imagen esta en , bajo estas condiciones, V es isomorfo a , el espacio de matrices cuadradas 22.

74. Considere la transformacin lineal dada por

a) Determine su representacin matricial respecto a las bases cannicasb) Determine su representacin matricial respecto a las bases:

75. Sea la transformacin lineal con regla de correspondencia:

a) Encuentre una base para el ncleo de T, una base para el recorrido de T, la nulidad y el rango de T

b) Encuentre; a representacin matricial de T respecto a las bases cannicas de y , y determine si T es un isomorfismo

76.

Construya de ser posible, una transformacin lineal T: tal que Nu(T)= e Im(T)=gen{x}. Justifique si T es un isomorfismo.

77.

12.-Sean transformaciones lineales de en dadas por:

a)Encuentre la representacin matricial de estas transformaciones con respecto a la base

b)Determine el ncleo, la nulidad y el recorrido de

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