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UNIVERSITÄT DUISBURG-ESSENFakultät für Ingenieurwissenschaften, Abt. Maschinenbau und VerfahrenstechnikLehrstuhl Steuerung, Regelung und SystemdynamikRegelungstechnik 10. Februar 2012

90 Minuten Seite 1

Einlesezeit

Für die Durchsicht der Klausur wird eine „Einlesezeit“ von 10 Minuten gewährt. Während dieserZeitdauer ist es Ihnen nicht gestattet, mit der Bearbeitung der Aufgaben zu beginnen. Dies bedeu-tet konkret, dass sich während der gesamten Dauer der Einlesezeit keinerlei Schreibgeräte (Stifte,Füller, etc.) auf dem Tisch befinden dürfen sowie die Nutzung von mitgeführten Unterlagen re-spektive (elektronischer) Wörterbücher bzw. tragbarer Translater strengstens untersagt ist. NehmenSie Ihre Schreibgeräte und Unterlagen erst zur Hand, wenn die Prüfungsaufsicht auf das Ende derEinlesezeit hingewiesen hat und füllen Sie zunächst das Deckblatt sowie Seite 3 vollständig aus.

Viel Erfolg!

NAME

VORNAME

MATRIKEL-NR.

TISCH-NR.

Klausurunterlagen

Ich versichere hiermit, dass ich sämtliche für die Durchführung der Klausur vorgesehenen Unter-lagen erhalten, und dass ich meine Arbeit ohne fremde Hilfe und ohne Verwendung unerlaubterHilfsmittel und sonstiger unlauterer Mittel angefertigt habe. Ich weiß, dass ein Bekanntwerden sol-cher Umstände auch nachträglich zum Ausschluss von der Prüfung führt. Ich versichere weiter, dassich sämtliche mir überlassenen Arbeitsunterlagen sowie meine Lösung vollständig zurück gegebenhabe. Die Abgabe meiner Arbeit wurde in der Teilnehmerliste von Aufsichtsführenden schriftlichvermerkt.

Duisburg, den(Unterschrift der/des Studierenden)

Falls Klausurunterlagen vorzeitig abgegeben: Uhr

Bewertungstabelle

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Gesamtpunktzahl

Angehobene Punktzahl

%

Bewertung gem. PO

in Ziffern

(Datum und Unterschrift 1. Prüfer, Univ.-Prof. Dr.-Ing. Dirk Söffker)

(Datum und Unterschrift 2. Prüfer, Dr.-Ing. Yan Liu)

(Datum und Unterschrift des für die Prüfung verantwortlichen Prüfers, Söffker)

Fachnote gemäß Prüfungsordnung:

� � � � � � � � � � �

1,0 1,3 1,7 2,0 2,3 2,7 3,0 3,3 3,7 4,0 5,0sehr gut gut befriedigend ausreichend mangelhaft

Bemerkung:


Seite 3

Hinweise

Achtung: Schreiben Sie Ihre Antwort für ALLE Aufgabendirekt unter die entsprechende Aufgabe in den Aufgabenbogen!

Verwenden Sie KEINE Bleistifte oder roten Stifte für dieBeantwortung von Fragen oder für Zeichnungen! (Rote Stifte werdebei der Korrektur verwendet.)

Diese Prüfung lege ich ab als� Pflichtfach� Wahlfach� Auflage(Bitte ankreuzen.)

Maximal erreichbare Punktzahl: 60

Mindestprozentzahl für die Note 1,0: 95%

Mindestprozentzahl für die Note 4,0: 50%


Seite 4

Aufgabe 1 (15 Punkte)

1a) (2 Punkte)Zeichnen Sie den Funktionsverlauf m(t) für die gegebene Laplacetransformierte

M(s) = 6e−2s

3s − 3e−3s

2s + 6e−6s − 4e−8s

8s .

1 2 3 4 5 60

1

2

3

7 8 9

m(t)

t

Abbildung 1.1: Funktionsverlauf


Seite 5

1b) (2 Punkte)Gegeben Sie die Übergangsfunktion h(t) Abb. 1.2

0

h(t)

t

Abbildung 1.2: Übergangsfunktion

Welche Übertragungsfunktion beschreibt das Verhalten des in Abb. 1.2 gegebenen Verhaltens?

Kreuzen Sie die richtige(n) Antwort(en) an. Es sind mehrere Lösungen möglich.

© G(s) = P © G(s) = PIDT1

© G(s) = PDT1 © G(s) = PIDT2

Friederike Koegler

Schreibmaschinentext

x


Seite 6

1c) (4 Punkte)Geben Sie das Ein-/Ausgangsverhalten eines PIT2-Systems in Form einer Übertragungsfunk-tion an. Geben Sie hierbei zunächst allgemein alle Pole und Nullstellen an. Zeichnen Siedas zugehörige Bode-Diagramm für ein System mit den Parametern k = 10, w0 = 2, D = 0und TI = 0.5 in das nachfolgende Diagramm ein. Zeichnen Sie hierzu zunächst das exakte(quantitativ) approximierte Bode-Diagramm und anschließend den realen Verlauf ein (Hinweislog(10)=1). Nutzen Sie hierfür das Diagramm auf der nächsten Seite.

Übertragungsfunktion

Y (s)

U(s)=

K(1 + TIs)

TIs( 1w2

0

s2+2Dw0

s+1)

Nullstelle ⇒ s = −1TI

Pole s1 = 0 s2,3 = w0(−D ±√

D2 − 1)

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-50

0

50

100

150

200

10-2

10-1

100

101

102

-180

-90

-45

-135

w=2

-225

ω [rad/s]

-20 dB

Dec

-40 dB

Dec

|GO1|[ dB]

φ[◦]

Bodediagramm


Seite 8

1d) (3 Punkte)

Gegeben ist das System A,B,C mit A =

[0 1−1 −1

], B =

[0 b

]T, C =

[c 0

], wobei c = 1.

Welche Übertragungsfunktion beschreibt das genannte System?


© G(s) = bs2 + s + 1

© G(s) = bcs2 + s + 1

© G(s) = bc(s2 + s − 1)

© G(s) = cb(s2 + s + 1)

Friederike Koegler


x

Friederike Koegler


x


Seite 9

1e) (4 Punkte)

Der nachstehende approximierte Verlauf des Bode-Diagramms (Abb. 1.3). beschreibt dasVerhalten eines dynamischen Systems.

w

w

1 : 1

1 : 11 : 1

2 : 1

w1 w2 w3 w4 w5w6

w4w2

G

K1

K2

90◦

−90◦

−180◦

180◦

ϕ

Abbildung 1.3: Approximiertes Bode-Diagramm

Für die Funktionsfähigkeit des Systems ist es erforderlich, dass der Phasenverzug am Aus-gang möglichst minimal ist, konkret also im Bereich ϕ ∈ [−35◦ bis 35◦] liegt. In welchemFrequenzbereich muss das System betrieben werden?


© ωNutz ∈ [0, ω2] © ωNutz ∈ [ω3, ω5]

© ωNutz ∈ [ω2, ω3] © ωNutz ∈ [ω5, ω6]

∑�

Friederike Koegler


x

Friederike Koegler


x


Seite 10

Aufgabe 2 (20 Punkte)Der in Abbildung 2.1 dargestellte Regelkreis besteht aus einem Regler GR(s), einer Strecke GS(s)und einem Übertragungselement GM(s), das die dynamischen Eigenschaften eines Messglieds be-schreibt.

W (s) E(s) U(s) X(s)

Y (s)

GR(s) GS(s)

GM(s)

-

Abbildung 2.1: Blockschaltbild des Systems

Das Übertragungsverhalten der Strecke GS(s) wird durch die Differenzialgleichung

10x(t) + 7x(t) + 3x(t) = u(t) +

∫u(t)dt mit x(0) = x(0) = 0

beschrieben.Das Übertragungsverhalten des Übertragungselements GR(s) wird durch die Differenzialgleichung

u(t) = 3e(t) + 2e(t)

beschrieben.Das Übertragungsverhalten des Übertragungselements GM(s) wird durch die Differenzialgleichung

2y(t) + 3y(t) = x(t) mit y(0) = 0

beschrieben.

2a) (3 Punkte)Bestimmen Sie die Übertragungsfunktionen für die Strecke GS(s) = X(s)

U(s), für den Regler

GR(s) = U(s)E(s)

und für das Übertragungselement GM(s) = Y (s)X(s)

.

GS(s) =s + 1

s(10s2 + 7s + 3)

GR(s) = 2s + 3

GM(s) =1

(2 + 3s)


Seite 11

2b) (2 Punkte)Wie lautet die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises Go(s) = X(s)

E(s)?

GO(s) =(s + 1)(2s + 3)

s(10s2 + 7s + 3)

Ist der offene Regelkreis GO(s) asymptotisch stabil? Kreuzen Sie die richtige(n) Antwort(en)an. Es sind mehrere Lösungen möglich.

© Asymptotisch stabil, weil spi < 0.

© Nicht asymptotisch stabil, weil spi > 0.

© Nicht asymptotisch stabil, weil spi ≤ 0.

© Asymptotisch stabil, weil spi ≤ 0.

Friederike Koegler


x

�� !"�# $��"�� % ��&�� % �'��(%'��(�� )*# ��"�� +*)+

�� )+

�� J"��1�� %�� 2B�� % �( �2��%�� %��

G�(s) =(3s− 1)(2s+ 3)

s(10s2 + 7s+ 1)

"��"��#

+�6 5F ;��6�� %�� ;�� % %�� !(8��%� %�� J"��2� %�� 2B�� ω → 0 ��% ω → +∞# 4�� M��1 5%#�# �88�2I�(��16 %��2%�%��(( ��% %�� =��1� %�� 2B�� # �� %�� 1�� M��/�� % �� %�� J"��2�#

s�� = 0, 33 ��% s�� = −1, 5s� = 0 s� = −0, 5 ��% s = −0, 2

|G(j0)| = ∞ ϕ(j0) = 90◦

|G(j∞)| = 0 ϕ(j∞) = −90◦

�� A �2%�%��((

�� (��(��8��

�� !"�# $��"�� % ��&�� % �'��(%'��(�� )*# ��"�� +*)+

�� )<

-5 0 5 10 15 20 25 30

-300

-200

-100

0

100

200

300

Polar Plot

Real Axis

Imagin

ary

Axis

�� A =��1�

+%6 5E ;��6�� "��1�� %�� 2�� 2�� %�� 2B�� '��(�G�(s) (��

G�(s) =2s+ 3

10s2 + 7s+ 1

(�� 1�� 288�� (�� :�� 3��/��2��1� 53=-6 �� %��#��"�� %�� M��1�� %�� 3=- ��#

�� !"�# $��"�� % ��&�� % �'��(%'��(�� )*# ��"�� +*)+

�� )E

�� A 3��/��2��1�

+�6 5+ ;��63�� M��1� 5�� ### �� 2? �2�� 3��6 �(8�� 9�� %�� 3��%�� (�1�� 8�� %�� '��(1�� (�I�(�� "�� % r 5(�� r = |Re(λi)| �� %�� "�� λi (�� (��(�� 6 �� 2��K ��/�� "�� %�� # �� %�� 3=- �� +%6 2%�� /�� %�� &�� %�� /��%�� ;2�� #


Seite 15

2f) (4 Punkte)Zwei Systeme werden gemäß Abbildung 2.5 angeordnet. Das dynamische Verhalten von Sy-stem 1 ist

T u1 + u1 = K2y,

das von System 2 ist

u2 = (K1 − K2)y + TDK2y.

System 1 Schalter

+

+

System 2

y u

u1

u2

Abbildung 2.5: Blockschaltbild

Klassifizieren Sie die Úbertragungseigenschaften der Komponenten.Geben Sie das Übertragungsverhalten des Gesamtsystems bei geschlossenem Schalter alsÜbertragungsfunktion an.Geben Sie das Übertragungsverhalten des Gesamtsystems bei geschlossenem Schalter als E/A-Beziehung im Zeitbereich an (u(t = 0) = y(t = 0) = y(t = 0) = 0).

System 1 PT1,System 2 PD

G1(s) =K2

Ts + 1

G2(s) = K2 − K1 + TDK2s

G(s) = G1(s) + G2(s)

G(s) =K1 + s(TDK2 + TK1 − TK2) + TTDK2s

2

Ts + 1

yK1 + y(TDK2 + TK1 − TK2) + yTTDK2 = uT + u

∑�


Seite 16

Aufgabe 3 (Musterlösung)Für einen elektrischen Linearmotor soll eine Positionsregelung entworfen werden.Die Geschwindigkeit v(t) = p(t) kann in Abhängigkeit der anliegenden Klemmenspannung u(t)näherungsweise durch

T2

∫∫v(t) dt dt + T1

∫v(t) dt + v(t) = k1

∫u(t) dt + k2

∫∫u(t) dt dt

angegeben werden.Die Positionsregelung soll mit Hilfe eines Reglers mit dem Übertragungsverhalten

u(t) = kR p(t)

realisiert werden. Der Regler wird in Gegenkopplung (negative Rückführung) zum Linearmotorverschaltet.Hinweis: Bringen Sie die Beschreibungen zunächst in eine lösungsadäquate Form.

3a) (6 Punkte)Klassifizieren Sie das Übertragungsverhalten GS(s) = v(s)

u(s)und GR(s) = u(s)

p(s)von Strecke und

Regler. Geben Sie die Übertragungsfunktion GO(s) mit entsprechender Klassifikation für denoffenen Regelkreis an.

Lösung:

Motor:

T2 v + T1 v + v = k1 u + k2

∫u dt ⇒ PIT2

GS(s) =v(s)

u(s)=

1s

k2 + k1

T2 + T1s + s2

Regler:u = kR p ⇒ P

GR(s) =u(s)

p(s)= kR

Offener Regelkreis:

GR(s) =u(s)

v(s)=

1

skR GO(s) =

s kRk1 + k2kR

s(T2 + T1s + s2)⇒ PIT2


Seite 17

3b) (3 Punkte)Geben Sie die Übertragungsfunktionen GW(s) und GD(s) für das Führungs- und Störver-halten des Gesamtsystems (Linearmotor mit Positionsregelung in Gegenkopplung) an undklassifizieren Sie, falls möglich, das jeweilige Verhalten.

Lösung:

GW(s) =GO

1 + GO

=

s kRk1 + k2kR

s(T2 + T1s + s2)

1 +s kRk1 + k2kR

s(T2 + T1s + s2)

=s kRk1 + k2kR

(s(T2 + T1s + s2)) + (s kRk1 + k2kR)

⇒ PDT3

GD(s) =1

1 + GO

=1

1 +s kRk1 + k2kR

s(T2 + T1s + s2)

=s(T2 + T1s + s2)

(s(T2 + T1s + s2)) + s kRk1 + k2kR

⇒ (nicht klassifizierbar)


Seite 18

3c) (9 Punkte)Drei Systeme werden jeweils mit einem P-Regler in Gegenkopplung geregelt. Für die Über-tragungsfunktionen des jeweiligen offenen Kreises wurden folgende Pole und Nullstellen be-stimmt:

System 1:Nullstellen: s01 = −4 + i; s02 = −4 − i; s03 = −5Polstellen: s1 = −2 + i; s2 = −2 − i; s3 = −2 s4 = −1

System 2:Nullstellen: s01 = −3 + i; s02 = −3 − i

Polstellen: s1 = −1; s2 = −0, 5; s3 = −1 + i; s4 = −1 − i

System 3:Nullstellen: s01 = −1; s02 = −2Polstellen: s1 = 1 + i; s2 = 1 − i s3 = 1

Begründen Sie anhand von qualitativ gezeichneten Wurzelortskurven, welches dieser Systeme fürwelche Fälle stabil ist. Führen Sie ggf. Fallunterscheidungen durch.

Lösung:

System 1:

⇒ stabil


Seite 19

System 2:

⇒ instabil, falls k>kkrit

System 3:

⇒ stabil für k>kkrit


Seite 20

3d) (7 Punkte)Eine Regelstrecke GS(s) mit

GS(s) =4 + 1

s

s2 + 3s + 2

soll mit einem Regler mit der Übertragungsfunktion GR = 42s+1

esTt in Gegenkopplung geregeltwerden. Bestimmen Sie für das resultierende offene System die Übertragungsfunktion undleiten Sie hieraus die Null- und Polstellen sowie qualitativ (zu zeichnen ist zunächst dasapproximierte Verhalten) das Bodediagramm und die dazugehörige Ortskurve ab. BestimmenSie im Bodediagramm grafisch den Phasen- und den Amplitudenrand für den geschlossenenRegelkreis.

Bestimmen Sie näherungsweise die maximale Totzeit Tt zum Erreichen der Stabilitätsgrenze.Hinweis: Für den Phasengang ϕ(ω) eines Totzeitelements gilt

ϕ(ω) = −ωTt.

Lösung:

GO(s) =4 + 16s

2s4 + ts3 + ts2 + 2se−sTt

s01 = −14, s1 = 0, s2 = −1

2, s3 = −1, s4 = −2

Bodediagramm:


Seite 21

Ortskurve:

Bestimmung Phasenreserve (qualitative Lösung ausreichend):s∗ aus A(s∗) = 1 ⇒ s∗ = 100,2 ≈ 1, 6φ(s∗) ≈ −178◦ ⇒ −2◦ = −1, 6T ∗

t ⇒ Tt ≈ 1, 25

∑�

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