ekonometrija, osnovne studije predavač: aleksandra...
TRANSCRIPT
Struktura predavanja
• Klasični dvostruki (višestruki) linearni regresioni model
- matrična notacija
* Napomena: Delovi prezentacije koji se odnose na matričnu formu preuzeti
su iz Mladenović i Petrović (2017).
• Pretpostavke višestrukog KLRM
• Svojstva ocena dobijenih primenom metoda ONK
• Zaključivanje u višestrukom lineranom regresionom
modelu
• Testiranje linearnih ograničenja na parametre modela
Višestruki linearni regresioni model
(matrična notacija)
U matričnoj notaciji (k=3):
y=XB + e,
gde je: y (nx1) vektor kolona; X (nxk) matrica; B
(kx1) vektor kolona; e (nx1) vektor kolona.
Matrica X: svaki red predstavlja vrednost svih eksplanatornih prom. koje odgovaraju jednoj opservaciji, a svaka kolona predstavlja sve vrednosti jedne eksplanatorne prom. u uzorku.
Dvostruku linearni regresioni model (k=3):
matrična notacija
Model:
gde je:
Y=XB + e,
.,,
1
1
1
,2
1
2
1
0
21
2212
2111
2
1
nnnn
e
XX
XX
XX
X
Y
Y
Y
Y
Klasicni višestruki linearni regresioni model
Analiticki oblik višestrukog linearnog regresionog modela:
Parametri β1, β2,..., βk-1 su parcijalni koeficijenti nagiba.
Npr: ako se X1i poveća za jednu jedinicu, očekivana
promena Yi je β1 jedinica, pod pretpostavkom da se ne
menja uticaj ostalih objašnjavajućih promenljivih X2,X3,...,Xk-1.
.n,...,2,1iza,X...XXY ii1k1ki22i110i
Uopštena forma višestrukog
linearnog regresionog modela
Model sa (k-1) objašnjavajućompromenljivom (ukupno k parametra).
Matrični zapis:
Metod ONK (matrična notacija)
Primenom metoda ONK dobijamo sledeću ocenu modela:
Vektor B sadrži ocene parametara.
Ocene b1, b2, …, bk-1 predstavljaju ocene parcijalnih koeficijenata nagiba.
Višestruki linearni regresioni
model (matrična notacija, nastavak)
Odgovarajuća regresiona uzoračka funkcija je:
Metodom ONK minimizira se Σei2, koja se može predstaviti
kao:
Rezidulana suma kvadrata S je:
Napomena: Kako su B’X’Y i Y’XB skalari, njihov zbir je dat u jednobraznoj formi 2B’X’Y.
.XBY
.XBYe,rezidulavektorejegde,e'eesn
1i
2
i
.XB'X'BY'X'B2Y'YXB'X'BXB'YY'X'BYÝ
XBY'X'B'YXBY'XBYe'eS
Metod ONK (nastavak) Ocene se dobijaju uz uslov minimiziranja rezidulane sume
kvadrata.
Izjednačavanjem prvog parcijalnog izvoda sa nulom dobijamo:
Odatle dobijmo kompletan sistem jednačina: B=(X’X)-1
X’Y, pri čemu su za k=3 matrice X’X (dim. 3 x 3) i vektor X’Y (dim. 3 x 1):
.0XB'X2Y'X2B
S
.','
2
1
2
2212
21
2
11
21
ii
ii
i
iiii
iiii
ii
YX
YX
Y
YX
XXXX
XXXX
XXn
XX
Metod ONK (nastavak)
Dakle, izraz za vektor ocena: B=(X’X)-1 X’Y.
Matrica X’X (dim. k x k) i vektor X’Y (dim. k x 1) u opštem slučaju definišu se na sledeći način:
Metod ONK (matrična notacija)
Da bi rešenje bilo definisano potrebno je da postoji inverzna vrednost matrice (X’X). Rang matrice X treba da je k (očekivano je da je n>k) da bi rešenje postojalo.
Dodatno, drugi parcijalni izvod:
je pozitivno definitna matrica (bez dokaza).
Pri tome, polazeći od sistema normalnih jednačina:
(X’X)B=(X’ Y), gde je: (X’X)B=X’ (e+XB)=X’e + (X’X)B,
proizilazi da je: X’ e = 0
,X'X2'BB
S2
Metod ONK (matrična notacija)
Uslov X’ e = 0 možemo zapisati u razvijenom obliku kao:
iz čega sledi:
- Kako je zbir reziduala jednak nuli (element 1 x 1), to je i aritmetička sredina reziduala jednaka nuli.
- Zbir proizvoda svake od objašnjavajućih promenljivih i reziduala je nula (pokazano za k=3).
Alternativna forma polaznog modela
Matrična forma matričnog modela u centriranim podacima:
y=xb + e,
pri čemu je:
Alternativna forma polaznog modela
(nastavak)
Primenom metoda ONK na matrični model:
y=xb + e,
dobijamo ocene sadržane u vektoru b:
.1
1
2
1
yxxx
b
b
b
b
k
Ocene metodom ONK (nastavak)
Ukoliko su podaci izraženi u centriranim podacima (za k=3) regresiona uzoračka funkcija je:
Tada je vektor reziduala (ista forma kao polaznog modela): e=y-xb.
Prema uslovu za dobijanje ocena ONK:
b=(x’x)-1x’y.
.b
bb:jegde,xby
2
1
:,0'
dobijamoodakleb
ee
b
S
Ocene metodom ONK (za k=3)
Izraz za ocene parcijalnih koeficijenata nagiba b=(x’x)1x’y, možemo zapisati razvijeno kao:
Kako je izraz na desnoj strani gornje jednakosti jednak:
konačno dobijamo poznate ocene:
Pretpostavke višestrukog KLRM
(svojstva sučajne greške modela)
1) E(e)=0, podrazumeva da je očekivana vrednost svake od komponenti slučajne greške jednaka nuli, tj. E(εi)=0, za i=1,2,..., n; E(Y)=XB.
2) E(ee’)=σ2In, gde je In jedinična matrica dimenzija (nxn). U pitanju je simetrična kovarijaciona matrica:
.I
00
00
00
EEE
EEE
EEE
'eeE n
2
2
2
2
2
nn2n1
n2
2
221
n121
2
1
Pretpostavke višestrukog KLRM
(nastavak)
Prema pretpostavci 2) sve komponente slučajne greške
modela poseduju istu varijansu (σ2), dok je kovarijansa
Između svake dve slučajne komponente jednaka nuli,
E(εiεj)=0, za i≠j.
- Ovim su definisane homoskedastične i
neautokorelisane greške (sferične greške).
3) e: N(0, σ2In), vektor slučajnih greški poseduje
višedimenzionu normalnu raspodelu sa vektorom srednje
vrednosti nula (prva pretpostavka) i kovarijacionom
matricom σ2In (druga pretpostavka).
- Kako su komponente u slučajnom vektoru nekorelisane i
svaka od njih normalno raspodeljena, sledi da je i Y slučajna
prom. sa višedimenzionom N raspodelom (veza Y i e je linearna).
Pretpostavke višestrukog KLRM
(svojstva objašnjavajućih promenljivih)
4) Elementi matrice X su nestohastički sa fiksim vrednostima u ponovljenim uzorcima.
- Objašnjavajuće promenljive sadžane u matrici X nisu
slučajne promenljive.
5) Matrica X, dimenzija (n x k), k<n, je ranga k.
- Isključuje se mogućnost da postoji tačna linearna
kombinacija između objašnjavajućih promenljivih.
- U tom slučaju bi se proizvoljna od k kolona mogla izraziti kao tačna linearna kombinacija preostalih kolona, odnosno rang matrice X bi bio manji od k.
- Tada matrica (X’X) postaje singularna, tako da nije moguće odrediti njenu inverznu matricu, a time ni vektor ocena B.
Ocena varijanse slučajne greške modela
Varijansa slučajne greške σ2 ocenjuje se na osnovu vektora reziduala:
Na osnovu postavke matrice M sledi:
1. Martrica M je simetrična dimenzija n x n (M=M’).
2. Matrica M je idempotentna (M’M=MM’=M)
3. MX=0.
Odatle, vektor reziduala je: e=M(XB+e)=Me.
Rezidualna suma kvadrata je: e’e=e’Me.
.'':,''
''
11
1
XXXXIMjegdeMYYXXXXI
YXXXXYXBYYYe
nn
Ocena varijanse slučajne
greške modela (nastavak)
Očekivana vrednost sume kvadrata reziduala je:
E(e’e)=E (e’Me)=E (tr(e’Me)), jer je e’Me skalar
= E (tr(Mee’))=σ2 tr(M), usled neautokorelisanosti.
Dalje, sledi:
tr(M)=tr(In)-tr(X(X’X)-1 X’)= tr(In)-tr((X’X)-1 X’X)=n-k.
E(e’e)=(n-k) σ2 , odnosno
Dakle, nepristrasna ocena varijanse σ2 se dobija kao suma kvadrata reziduala podeljena sa brojem stepeni slobode (n-k).
.kn
e'es2
Svojstva ocena dobijenih metodom ONK
1) Lineranost
Vektor ocena slobodnog člana i parcijalnih koef.
nagiba je: B=(X’X)-1 X’Y=CY,
gde C matrica dimenzija k x n, čiji su elemeti konstante
(opšti član matrice cij, i=0,1, ..., k-1; j=1,2,..., n). Pokazati za
k=3.
2) Nepristrasnost
Vektor ocena B može se predstaviti u funkciji od
vektora slučajnih greški:
B= (X’X)-1 X’Y= (X’X)-1X’(XB+e)=(X’X)-1 X’XB+(X’X)-1 X’e=
= B + Ce;
Sledi: E(B) = B + C E(e) =B, dakle ocene su nepristrasne.
Pokazati za k=3.
Svojstva ocena dobijenih metodom ONK
(nastavak)
4) Najbolja ocena
Ocene ONK su linearne i nepristrasne, a da bi bile najbolje
potrebno je da njihova varijansa bude najmanja moguća.
Ispunjeno u slučaju sferičnih grešaka (bez dokaza).
5) Konzistentnost
Vektor ocena B može se predstaviti kao:
B= (X’X)-1 X’Y =B + (X’X)-1 X’e, pri čemu je granična
vrednost drugog sabirka jednaka nuli (bez dokaza).
Varijanse ocena bo, b1,b2,..., bk-1
Posmatramo simetričnu matricu (k x k):
E(B-B)(B-B)’ = E(Ce)E(Ce)’ =C E(ee’)C ’ = σ2 CC ’
= (X’X)-1 X’ E (ee’)X (X’X)-1 = σ2 (X’X)-1
Reč je o matrici varijansi i kovarijansi ocena vektora B, V(B).
1211101
1221202
1121101
1020100
,cov,cov,cov
,cov,cov,cov
,cov,cov,cov
,cov,cov,cov
kkkk
k
k
k
bvbbbbbb
bbbvbbbb
bbbbbvbb
bbbbbbbv
BV
Varijanse ocena bo, b1,b2,..., bk-1
(nastavak)
Odnosno, matrica varijansi i kovarijansi ocena vektora B, V(B):
Varijanse ocena bo, b1,b2,..., bk-1 (nastavak)
Pojedinačne varijanse se često označavaju sa σ2aii, i=0,1,...,k-1, gde je sa aii označen i-ti dijagonalni element matrice (X’X)-1 .
Za model sa centriranim podacima:
E(b-b)(b-b)’ = V(b)= σ2 (x’x)-1
Varijanse ocena bo, b1,b2,..., bk-1 (nastavak)
Odnosno, razvijeno za model sa centriranim podacima:
Pokazati za k=3.
Varijanse i kovarijnsa ocena b1 i b2 (za k=3)
Varijansa ocene b1 je:
pri čemu je sa r – koeficijent korelacije između X1i i X2i. Slično se izračunava i varijansa ocene b2.
Kovarijansa ocena između b1 i b2:
Raspodela relevantne test -statistike
Kako je raspodela vektora slučajnih greški, e:N(0,σ2In), sledi da i vektor zavisne promenljive poseduje višedimenzionu N raspodelu, Y:N(XB,σ2In).
Vektor ocena parametara B je linerana funkcija vektora Y, te sledi: B: N(B, σ2(X’X)-1).
Svaka od proizvoljnih ocena je normalno raspoređena sa parametrima:
bj: N (βj, σ2ajj),
pri čemu je ajj j-ti dijagonlani element matrice (X’X)-1.
Raspodela relevantne test –statistike
(nastavak)
Kako e’e/σ2 poseduje χ2n-k stepeni slobode, odakle
imamo:
pri čemu je sbj oznaka za standardnu grešku ocene patrametra bj.
Uobičajen postupak testiranja.
,
jb
jj
jj
jj
s
b
as
b
k-nt
Testiranje pojedinačne značajnosti parametara
Pretpostavimo da je hipoteza od interesa:
H0: βj = 0, H1:βj ≠ 0 j=1,2,...,k-1.
Diskriminacija između postavljenih hipoteza realizuje se primenom t - testa, primenom test-statistika :
Odnosno, značajnost pojedinačnog uticaja svake od objašnjavajucih promenljivih na zavisnu promenljivu se proverava kao:
Pokazati da ova test-statistika poseduje t-raspodelu sa (n-k) stepeni slobode...
).(: knts
bstatistikatest
jb
jj
).(: knts
bstatistikatest
jb
j
Testiranje statističke značajnosti cele regresije
Hipoteze od interesa:
Nulta hipoteza: regresija nije statistički značajna (zajednički uticaj objašnjavajućih promenljivih nije statistički značajan).
Alternativna hipoteza: objašnjavajuće promenljive ostvaruju statistički značajan uticaj na kretanje zavisne promenljive (bar jedan od parametara je značajno različit od nule).
0R:H tacnanije H hipoteza:H
0R:H0...:H
2
101
2
01k210
Ispitivanje kvaliteta regresije na osnovu koeficijenta determinacije
Relevantna statistika je:
Pravilo odlučivanja:
Ako je izračunata vrednost date statistike veća od kritične vrednosti F-raspodele sa k-1 i n-k stepeni slobode, tada se nulta hipoteza odbacuje uz izabrani nivo značajnosti (objasniti br. stepeni slobode tri relevantna varijabiliteta...).
Različite situacije sa stanovišta statističke značajnostiocena koef. determinacije i pojedinačnih regresionihkoeficijenata (objasniti!).
)/()1(
)1/(
)/(litet varijabiniNeobjasnje
1)-(k / litet varijabiObjasnjeni
2
21
1
knR
kRF
knF
k
kn
k
kn
Parcijalni modeli
U višestrukom KLRM parametar uz datu objašnjavajuću promenljivu (βj) označava reakciju Y na njenu jedničnu promenu, pod pretpostavkom da se fiksira uticaj preostalih objašnjavajućih promenljivih.
Apriori se eliminiše dejstvo ostalih promenljivih u modelu prilikom interpretacije parcijalnog koeficijenta nagiba.
Potvrda u konceptu parcijalnih modela:
pri čemu je prva grupa promenljivih sadržana u matrici X1, a preostale promenljive se nalaze u drugoj grupi, sadržanoj u matrici X2.
,2
1
212211 eB
BXXeBXBXY
Parcijalni modeli (nastavak)
Za analizu uticaja samo promenljivih sadržanih u X1, potrebno je izdvojiti efekat dejstva promenljivih X2 iz modela, odnosno iz Y i X1.
Ocenjuju se parametri sledeće dve zavisnosti:
1) Model zavisnosti Y od X2 (reziduali ovog modela M2Y)
2) Model zavisnosti X1 od X2 (reziduali ovog modela M2X1),
gde je M2=In-X2(X2’X2)-1X2 ’.
Novi (parcijalni) model sačinjavaju promenljive iz kojih je odstranjen uticaj X2:
M2Y=M2X1B*+e*,
gde je B* vektor novih parametara, dok je e* vektor novih slučajnih greški.
Parcijalni modeli (nastavak)
Vektor novih ocena parcijalnog modela B* je:
Vektor novih reziduala parcijalnog modela e* je:
e*= M2Y-M2X1B*.
Frish-Waugh-Lovell-ova
(Friš-Uo-Lovel-ova) teorema
U tom slučaju važi: B1=B* i e=e*.
Dokaz:
Sistem normalnih jednačina: (X’X)B=X’Y možemo zapisati kao:
pri čemu iz druge jednačine sledi da je:
Nakon zamene B2 u prvu jednačinu dobijamo da je B1=B*:
Frish-Waugh-Lovell-ova
teorema (nastavak)
Slično tome, dokazujemo da je e=e*.
Krećemo od vektora reziduala polaznog modela:
Množenje sa leve strane sa M2 daje:
jer je M2X2=0.
Na levoj strani jednakosti imamo reziduale polaznog modela e, jer je M2e=e (posledica uslova metoda ONK: X2’e=0, odnosno e=M(XB+e)=Me), odakle je e=e*.
Frish-Waugh-Lovell-ova
teorema (nastavak)
Vektoru ocena uz k-g promenljivih u modelu sa ukupno k promenljivih odgovara vektor ocena iz modela sa samo k-g promenljivih, u kome su zavisna promenljiva i svaka od k-g objaš. prome. korigovane za uticaj g promenljivih.
Alternativno rečeno, dodavanjem novog skupa objašnjavajućih promenljivih u model ne menja se ocena uticaja prvobitno uključenih promenljivih, koja je izvedena iz modela sa promenljivima iskazanim u funkciji odstupanja od tog dodatog skupa promenljivih.
Model sa podacima iz koga je izdvojena
komponenta determinističkog rasta
U AVS često se koristi model koji uključuje promenljivu linearnog trenda (t=1,2,..., n).
Polazni model je:
Umesto ovog modela za ocene parcijalnih koeficijenata nagiba može se koristiti parcijalna verzija modela.
Sve promenljive u parcijalnom modelu predstavljaju reziduale iz modela u kome se konkretna promenljiva ocenjuje u funkciji od slobodnog člana i linearnog trenda.
.,...,2,1,... ,1122110 nizaXXXtY iikkiii
Postupak detrendiranja podataka
Od ukupno k+1 parametra polaznog modela, parcijalni model sadrži k-1 parametar:
gde ydi, označava vrednost i-te opservacije zavisne promenljive, koja je korigovana za efekat slobodnog člana i trenda. Slično, xd1i predstavlja i-ti rezidual iz regresije X1i
na konstantu i linearni trend.
Da bi smo od početnog došli do parcijalnog modela definišemo matricu M2 prema: M2=In-X2(X2’X2)
-1X2 ’
.,...,2,1,... ,112211 nizaxdxdxdyd iikkiii
.
1
21
11
2
n
X
Model sa centriranim podacima
Model sa centriranim podacima:y=xb+e.
Dobijaju se identične ocene parcijalnih koeficijenata nagiba.
Može se tretirati kao parcijalni model: sve promenljive su prethodno ocenjene kao funkcija slobodnog člana (ta ocena parametra je aritmetička sredina date promenljive).
Razlika polazne promenljive i aritm. sredine daje nove promenljive parcijalnog modela.
Testiranje statističke značajnosti podskupa
parametara (test dodatih regresora)
Ako je particija matrice objašnjavajućih promenljivih: X=(X1
X2). Prvu grupu čini (k-g), a drugu grupu preostalih gpromenljivih.
Ocenjujemo polazni model (model bez ograničenja):
Model koji ne sadrži matricu X2 zasniva se na pretpostavci B2=0 (model sa ograničenjem):
U modelu sa ograničenjem na parametre modela vektor ocena (k-g) parametra B1 označen je sa Bo i dobija se kao:
pri čemu je korespondirajući vektor reziduala iz ovog modela: e0=Y-X1B1(o).
.2
1
212211 eB
BXXeBXBXY
,11 eBXY
Test statističke značajnosti
podskupa parametara
Test-statistika kojom se proverava validnost nulte hipoteze H0: B2=0 je data u formi F-testa:
gde se slovo o u indeksu odnosi na sumu kvadrata
reziduala i koeficijent determinacije modela
ocenjenog sa ograničenjem.
Za specijalan slučaj hipoteze H0: B2=0 za g=1, test se svodi na testiranje značajnosti pojedinačnih parametara (F1
n-k=t2n-k).
,
R1
RR
g
kn
kn/ee
g/e'eeeF
2
2
o
2
'
o
'
og
kn
Testiranje opštih linearnih
ograničenja na parametre
Ekonomski kriterijumi često zahtevaju da koeficijenti u ocenjenom modelu zadovoljavaju izvesna ograničenja (npr. konstantni prinosi u Cobb-Douglasovoj funkciji; odsustvo iluzije novca (zbir elastičnosti tražnje s obzirom na nominalni dohodak i cene je jednak nuli i sl.)).
Dva alternativna postupka:
1) Oceniti f-ju ne vodeći računa o ograničenjima, a zatim testirati da li ocenjeni koeficijenti zadovoljavaju zahtevane restrikcije.
2) Oceniti model sa inkorporiranim ograničenjima, a zatim testirati značajnost razlike između ocena takvog modela (pod ograničenjem) i modelom bez ograničanje.
Testovi linearnih ograničenja na parametre
Pri testiranju jednog ograničenja(jednostavna nulta hipoteza) koristise t-test (ili alternativno, F-test).
U slučaju testa više ograničenja(kad je nulta hipoteza složena) F-statistika.
Prvi postupak testiranja: t-test
Testiranje jednog linearnog ograničenja
Posmatramo nultu hipotezu kojom se tvrdi da je istinito linearno ograničenje oblika:
Alternativna hipoteza je:
pri čemu su parametri r0, r1, ..., rk-1 poznati.
Primenom metoda ONK na polazni model (model bez ograničenje) dobijaju se ocene b0, b1,..., bk-1 i obrazuje se ocena linearne kombinacije prema nultoj hipotezi:
.111100
qbrbrbr kk
.: 1111000 qRBrrrH kk
,: 1111001 qRBrrrH kk
Testiranje jednog linearnog ograničenja
(nastavak)
Standardna greška linearne kombinacije dobija se kao:
Skalarni oblik ove ocene varijanse je:
Nulta hipoteza se testira na osnovu tn-k raspodele:
.1'2'2 RXXsRqs
.,cov2,cov2 1212110
2
1
2
1
22
1
22
0
2
10
kkkkokkbb bbrrbbrrsrsrsrqs
.
qs
qqt kn
Prvi postupak testiranja: jedno
ograničenje
Jedno postavljeno ograničenje:
H0: RB=r ; H1: RB≠r,
gde je R’ vektor konstanti specifikovanih da
odgovaraju ograničenju, a r poznata konstanta.
Npr. Hipoteza o konstantnim prinosima (β1+β2=1) u Cobb-Douglasovoj f-ji Q=β0K
β1Lβ2
se definiše:
R=[1 1], B’=[β1 β2], r =1.
Testiranje g=1 ograničenja
Ukoliko je potrebno testirati samo jedno ograničenje na parametre modela (g=1), kao alternativa t-testu, može se koristiti F1
n-k raspodela.
F test statistika za proveru tačnosti H0: RB=r (test Wald-ovog tipa):
Nije uvek jednostavno da se izračuna, te se u praksi koristi varijanta (isto kao kod testiranja podskupa parametara):
.
/
/)'
1'1''
gee
grRBRXXRrRBF g
kn
.
1/
/'2
22
'
'
R
RR
g
kn
knee
geeeeF ooog
kn
Drugi postupak testiranja: složenija
ograničenja
Za višestruki linearni model: Y=XB+e, može se govoriti o opštim lineranim ograničenjima.
Nulta i alternativna hipoteza se definišu na sledeći način: H0: RB=r ; H1: RB≠r,
gde je R poznata matrica tipa (g x k) i ranga g (g je
broj ograničenja), a r je vektor poznatih vrednosti
dimenzije g x 1.
Npr. ukoliko u je modelu sa tri objašnjavajuće promenljive
g=2, odnosno testiramo dva ograničenja(β1=β2 i β3=0), tada
su u nultoj hipotezi:
.0
0;;
100
011321
'
rBR
Drugi postupak testiranja: F-test
Distinkcija između nulte i alternativne hipoteze:
H0: RB=r ; H1: RB≠r,
vrši se pomoću sledeće F statistike:
gde se oznaka (O) odnosi na model sa ograničenjem, dok
se za model bez ograničenja ponekad koristi oznaka (B),
g je broj ograničenja.
Na ovaj način se testira važenje većeg broj ograničenja (značajnost podskupa parametara modela predstavlja specijalan slučaj ovog testa).
,
R1
RR
g
kn
kn/ee
g/e'eeeF
2
2
o
2
'
o
'
og
kn
Ocenjivanje parametara metodom ONK
modela pod ograničenjem
Vektor parametara takvog modela označen je sa (B*).
Minimizira se rezidualna suma kvadrata, uz uslov postavljen nultom hipotezom: RB=r, tj. u centriranim podacima Rb=r.
Formira se pomoćna funkcija Lagranžovih multiplikatora:
gde je λ’ vektor od g elemenata Lagranžovih
multiplikatora.
Uslov za minimum: prvi izvodi funkcije Q po b* i λ se
izjednačavaju sa nulom.
,****2
***
''''''
''
rRbXbXbyXbyy
rRbxbyxbyQ
Ocene dobijene metodom ONK
modela pod ograničenjem
Metod ONK pod ograničenjem dobijaju se NLNO (bez dokaza)!
E(b*)=β, odnosno ocena je nepristrasna ukoliko važi nulta hipoteza.
Pri tome:
Ocene dobijene metodom ONK modela pod ograničenjem daje manje varijanseocenjenih parametara nego ocena bez ograničenja.
bb var*var
Primer
Ako je Cobb-Douglasova proizvodna funkcija oblika Y=β0K
β1Lβ2 eu, gde je Y proizvodnja, K kapital i L rad, ocenjena na bazi podataka za SAD za period 1Q1960-1Q1991 (primer: Asteriou and Hall, 2015):
T=125
.3315.0)088.0()008.0(
;968.0log624.0log383.0514.4ˆlog
22
2
Bee
RLKY
Primer (nastavak)
a) Testirati statističku značajnost pojedinačnog uticaja rada i kapitala na proizvodnju, na nivou značajnosti α = 0,05.
b) Testirati statističku značajnost istovremenog uticaja objašnjavajućih promenljivih na zavisnu, na nivou značajnosti α = 0,05.
c) Testirati hipotezu da rad i kapital ostvaruju jednak efekat na kretanje proizvodnje.
d) Testirati hipotezu da rad ostvaruje dvostruko veći efekat na kretanje proizvodnje u odnosu na kapital.
e) Testirati hipotezu da su u datoj grani industrije prinosi konstantni (β1+β2=1). Predložiti pojednostavljenje funkcije ako se ocenjuje pod datim ograničenjem.
Primer: CD funkcija (nastavak)
Model bez ograničenja:
cov(b1,b2)=-0.0003372;
Model ocenjen pod ograničenjem (pod e)H0: β1+β2=1):
Rezultat Wald-ovog testa:
t-statistic 0.082798 122 0.9341
F-statistic 0.006855 (1, 122) 0.9341
)007116.0(
.331516.0;9593.0)log(log3834.0533.4)logˆ(log 2
0
2 eRLKLY
,331497.0)088.0()008.0(
;968.0log624.0log383.0514.4ˆlog
22
2
Bee
RLKY