1. Uvod

Donošenje poslovnih odluka je sve složeniji i zahtjevniji proces, često u uvjetima

rizik. U biti ekonomskog problema je ekonomiziranje s raspoloživom količinom

oskudnih resursa da bi se zadovoljile čovjekove potrebe.

Sve se ekonomske pojave i procesi manifestuju u obliku količina, kvantiteta, koje

se tijekom vremena u procesu privrednog razvoja stalno mijenjaju (npr. količina

proizvodnja, potrošnje, investija, izvoza, uvoza itd. mijenjaju se tokom vremena).

Istovremeno sve se ekonomske pojave ili procesi (ekonomske varijable, varijable)

međusobno zavisni tj. promjena jedne od njih utiče u određenoj mjeri i na promjene

ostalih.

Osnovni zadatak ekonomske analize je utvrđivanje

međuzavisnosti koje postoje među ekonomskim pojavama i procesima

radi njihovog objašnjavanja i predviđanja.

Kvantitativna ekonomska analiza – osim utvrđivanja egzistencije,primjenom

različitih matematičkih metoda, nastoji kvantificirati međuzavisnosti koje postoje među

ekonomskim pojavama i procesima u realnom ekonomskom svijetu.

Osnovna karakteristika kvantitativne ekonomske analize je u tome što ona na

temelju utvrđenih međuzavisnosti može kvantificirati posljedice koje će na cijeli skup

ekonomskih varijabli imati autonomna promjena jedne od njih. Ona je pretpostavka

svakog predviđanja.

1

2. EKONOMSKE FUNKCIJE

2.1. Funkcija tražnje

Tražnja nekog proizvoda na tržištu zavisi od niza faktora: od cene tog proizvoda, cene ostalih proizvoda na tržištu, od standarda potrošača, od navike potrošača za kupovinu tog proizvoda, od ukusa potošača itd. Naravno, nemoguće je obuhvatiti sve faktore koji utiču na tražnju nekog proizvoda na tržištu. Istovremeno analiza funkcije tražnje je kvalitetnija ukoliko se ona sprovodi na većem broju parametara koji utiču na nju. Očigledno je da se takva  analiza mora vršiti po pravilima analize funkcija više promenljivih.

Mi ćemo naše matematičko ispitivanje tražnje svesti na nivo funkcije jedne promenljive, i to na analizu funkcije tražnje nekog proizvoda od njegove cene.

Za tražnju se najčešće koriste simboli x ili rjeđe se koriste d (demand) i q (quatity demand). Najčešće se u razmatranje uzimaju varijable:

P – cijena samog dobra,

p1 , p2, ... – cijene dobara koja su sa promatranim dobrom u uskoj vezi (supstituti, komplementi),

k – dohodak potrošača,

t – vrijeme

Funkcija tražnje koja iskazuje zavisnost količine tražnje o navedenim varijablama ima oblik:

x = f ( p, p1 , p2, k, t )

Definiše se funkcija potražnje u užem smislu

x = f ( p )

budući da najveći uticaj na promjenu količine tražnje nekog dobra ima njegova cijena a pritom treba isključiti uticaj ostalih faktora.

Oblast definisanosti ove funkcije se određuje iz uslova:

            1.         p>0    (cena je naravno uvek pozitivna)

2

            2.         x>0    (potražnja za nekim proizvodom mora biti pozitivna)

            3.         x’=f1’(p)<0   (porast cene nekog proizvoda smanjuje njegovu

potražnju) .

Što je veća cijena nekog dobra to je manja potražnja za njim, tj. potražnja se mijenja obrnuto proporcionalno s promjenom cijene što se može zapisati matematičkomformulom:

x '=dxdp

<0

Aproksimira se nekom od sljedećih funkcija:

1. x=a−p

b

2. x=1

ap+b

3. x=a−p2

b

4. x=a−√ pb

5. x=√ a−pb

6. x=b

pα+c , α >0

7. x=a e−bp

8. x=pα e−b (p+c)

gdje su a, b i c pozitivne realne konstante za neko vremensko razdoblje.

Za ekonomsku analizu posmatra se samo I kvadrant, tj. područje na kojem su cijena i tražnja nenegativne i pri tom se to područje naziva područjem varijabiliteta cijene i tražnje.

Svakoj od navedenih funkcija odgovara krivulja koja opada u I kvadrantu, a osnovna razlika među njima je u tome da neke od njih opadaju sporije, a neke brže, tj. neke su krivulje konveksne, a neke konkavne.

3

Grafički ćemo prikazati neke od navedenih funkcija:

1) x=a−p

b je polinom 1. stepena, tj. linearna funkcija

Slika 1.

Graf linearne funkcije je pravac (Slika 1). Sjecište sa osi x je u tački (0,a/b), a sjecište sa osi p je u tački (a,0), pa je graf zadane funkcije prikazan na slici 1.

Područje varijabiliteta je:

pÎ[0,a] i xÎ[0,a/b)

2) x=1

ap+b je racionalna funkcija koja nema nula funkcije.

Horizontalna asimptota je pravac x = 0, a vertikalna asimptota je pravac p=−ba

.

Derivacija zadane funkcije (prvi izvod) je

x'= −a

(ap+b )2

a budući je a pozitivan broj, prva derivacija je negativna za sve vrijednosti od p, što znači da je funkcija q padajuća funkcija. Sjecište sa osi x je u točki (0,1/b) , pa je graf prikazan na slici 2.

4

Slika 2.

Područje varijabiliteta:

pÎ[0,¥) i xÎ(0 ,1b ]

3) x=a−p2

b je polinom 2. stepena, tj. kvadratna funkcija čiji je graf

parabola s nulama funkcije u ±√a i maksimumom u tački T (0 ,ab) a graf te

funkcije prikazan je na slici 3.

Slika 3.

Područje varijabiliteta:

p∈ [0 ,√a ] i x∈[0 ,ab ]

4) x=√ a−pb

je iracionalna funkcija s nulama funkcije p = a i sjecištem sa

osi ordinata u točki (0 ,√ ab ) . Karakteristike funkcije na osnovu znaka prvog i drugog

izvoda su:

x '= −12√b√a−p

<0 ¿>¿ padajuća funkcija koja nema ekstrema

5

x ' '= −1

4√b√(a−p)3<0=¿ konkavna funkcija

Slika 4.

Područje varijabiliteta: pÎ[0, +¥) i xÎ(0, a]

2.2. Funkcija ponude

Ponuda nekog dobra je količina tog dobra koja se iznosi na tržište, a ovisi o:

– cijeni samog dobra,

– troškovima proizvodnje tog dobra,

– cijeni dobara koja su povezana s tim dobrom,

– organizaciji tržišta

Promatrat će se funkcija ponude u užem smislu x̂= f̂ ( p) koja iskazuje zavisnost količine ponude nekog dobra o cijeni tog dobra.

Ukoliko na ponudu djeluje samo cijena onda govorimo o promjeni ponuđene količine. Grafički se uticaj cijene prikazuje pomakom uzduž jedne krivulje, krivulje ponude. Odnos ponude i cijene je proporcionalan, odnosno rast cijena dovodi do povećanja ponude. Vrijedi i obratno. Ukoliko na ponudu djeluje neki od necjenovnih faktora govorimo o spremnosti ponuđača da pri istom nivou cijena ponude veće ili manje količine nekog proizvoda/usluge, odnosno o promjeni ponude.

Što je veća cijena, to će biti veća i ponuda - veća cijena dobra, uz iste troškove, znači veću dobit za proizvođača .

6

Tržišna ravnoteža ili ekvilibrij nastaje kada je potražnja x1 za nekim dobrom jednaka ponudi x2 toga dobra. Cijena pri kojoj se uspostavlja ravnoteža zove se ravnoteža ili ekvilibrij cijena.

Grafički tržišna ravnoteža ostvaruje se u sjecištu krivulja ponude i potražnje, gdje je xE ravnotežna cijena, a xE odgovarajuća ravnotežna količina ponude odnosno potražnje.

  Ponuda jednog proizvoda predstavlja količinu tog proizvoda iznetog na tržište po određenoj ceni. Ponuda jednog proizvoda, takođe zavisi od mnoštva faktora poput troškova proizvodnje, tehnoloških i vremenskih uslova, cene proizvoda itd..

  Oblast definisanosti funkcije x̂= f̂ ( p) se određuje iz uslova:

 1.         p>0     (cena je naravno uvek pozitivna)

 2.         x̂>0     (ponuda nekog  proizvoda mora biti pozitivna)

 3.         x̂’= f̂ ’(p)>0    (porast cene nekog proizvoda stimuliše proizvođača da ga što više nudi tržištu).

Ako su funkcije ponude i tražnje jednog proizvoda određene, onda se može odrediti ravnoteža na tržištu iz uslova  x̂1= x̂2,  odnosno  f̂ 1(p)= f̂ 2(p).

Necjenovni faktori koji utiču na ponudu su slijedeći:

• Troškovi ulaza i tehnologije

• Cijene komplementarnih proizvoda

• Organizacija tržišta

• Nenadani događaji.

2.3. Funkcija prihoda

7

P=p ∙ x=p ∙ f ( p) je opšti oblik funkcije prihoda, gde je x=f(p) poznata

tražnja (realizovani obim proizvodnje) i p cena po jedinici proizvoda.

Prihod je maksimalan za p=p0 ako je P'(p0)=0 i P''(p0)<0 (ili ako u tački p0

prvi izvod P'(p) menja znak iz "+" u "-").

Izvod funkcije P= p x je p'=x+px' granični prihod.

2.4. Funkcija troškova C = F (x) (Funkcija ukupnih troškova, prosečnih troškova i graničnih troškova)

C - ukupni troškovi, x (potražnja koja se realizuje) fizički obim proizvodnje.

Funkcija ukupnih troškova predstavlja funkcionalnu zavisnost troškova

C=f3(x)

Oblast definisanosti funkcije ukupnih troškova se određuje iz uslova:

1. x>0   (obim proizvodnje je naravno uvek pozitivan)

 2. C>0   (ukupni troškovi proizvodnje su naravno pozitivni)

 3.  C’=f3’(x)>0  (porast proizvodnje povećava ukupne troškove proizvodnje)

Funkcija prosečnih troškova predstavlja količnik ukupnih troškova i ukupne proizvodnje. Prosečni troškovi se i označavaju sa C, tj.

C=Cx

 

Oblast definisanosti funkcije prosečnih troškova je određena oblašću definisanosti funkcije ukupnih troškova C.

Funkcija graničnih troškova je prvi izvod funkcije ukupnih troškova, odnosno C’. Iz definicije prvog izvoda znamo da važi sledeće:

C '=dCdx

= lim∆ x →0

C ( x+∆ x )−C (x )∆ x

  .

8

Veza između prosečnih i graničnih troškova data je u vidu sledeće teoreme:

Teorema 1.  Ako prosečni troškovi rastu sa porastom proizvodnje, tada su granični troškovi veći od prosečnih troškova, a ako prosečni troškovi opadaju s porastom proizvodnje, tada su granični troškovi manji od prosečnih troškova.

2.5. Funkcija dobiti

Ako su date funkcije prihoda P=Ф( x) i troškova C=F(x) gde je x - obim proizvodnje (realizovana tražnja), tada je funkcija dobiti:

D(x)=P(x)−C(x)=Ф( x)−F(x).Sa aspekta dobiti ima smisla proizvoditi sve dok je D0 pri čemu su za D=0, tj. P - C = 0 P = C postignute granice rentabilnosti.

Sa skice P=C za x = x1 x= x2 pa je interval rentabilnosti (x1, x2). D ima maksimum ako je D'=0 i D''<0

Slika 5.

Svako profitabilno poslovanje traži da se postigne maksimalna vrijednost ove funkcije. Da bi smo to postigli potrebno je odrediti prvi izvod funkcije dobiti, D' i njega

9

izjednačimo sa nulom. Rešenje jednačine, odnosno nule prvog izvoda D' daju vrijednost optimalnog obima xop proizvodnje za koji se postiže maksimalna dobit samo ako je za tu vrednost drugi izvod, D" manji od nule.

Dakle potreban i dovoljan uslov za maksimum ove funkcije je:

D' ( xop)=P' ( xop )−C' ( xop )=0 i D ' ' ( xop )<0

Dmax ( xop ) se postiže pri obimu proizvodnje xop , optimalnom obimu proizvodnje (Slika 6.).

Slika 6.

2.6.Funkcija troškova

10

Ako nam je poznata funkcija graničnih troškova C' = F'(x), onda ćemo funkciju ukupnih troškova dobiti preko integrala te funkcije po promenljivoj q:

C=∫C ' ( x ) dx=∫ F' ( x ) dx

2.7. Funkcija prihoda

Funkciju ukupnih prihoda iz funkcije graničnih prihoda dobijamo preko integrala:

P x=∫P '(x )dx ;

Pp=∫P ' ( x ) dp ;

3. ELASTIČNOST EKONOMSKIH FUNKCIJA

Pod pojmom elastičnosti se smatra mogućnost da jedna veličina reaguje na

11

promenu veličine od koje zavisi. Elastičnost se meri i izračunava pomoću

njenog koeficijenta E y, x (x je nezavisno promenljiva, y je zavisno promenljiva).

Po definiciji koeficijent elastičnosti je granična vrednost količnika relativnih

promena promenljivih y i x kad priraštaj Δx teži 0.

E y, x= lim∆x →0

∆ yy

∆ xx

=xy

lim∆x → 0

∆ y∆ x

=xy

. y '

Kada je:

E y, x<1 , y je neelastična prema x

E y, x=1 , jednačina normalne elastičnosti

E y, x>1 , y je elastična prema x

3.1 Elastičnost potražnje

E x , p=−p

xx '

Znak minus se kod elastičnosti tražnje dodaje u definiciji da se obezbedi

pozitivna vrednost koeficijenta ( x ' ima, po pravilu, negativnu vrednost).

E x , p pokazuje za koliko će se procenata (promila) približno promeniti (smanjiti) tražnja

kada se cena poveća za jedan procenat (promil).

E x , p < 1 – potražnja je neelastična, porast cene za 1% dovodi do pada tražnje za

manje od 1%,

E x , p = 1 – potražnja opada za 1% kada cena raste za 1%

12

E x , p>1 – potražnja je elastična,kada se cena poveća za 1% tražnja opada za višeod 1%

Elastičnost ukupnih troškova izračunava se po koeficijentu:

Ec , x=xC

C ' koji se može napisati i kao Ec , x=

C 'Cx

=C 'C

Elastičnost prosječnih troškova je:

EC , x=xC

C '=xCx

.C ' x−C

x2 = xC

C '−1=EC , x−1

Dakle može se EC , x izračunati preko EC , x.

Analiza koeficijenta elastičnosti ukupnih troškova upućuje nas na povezanost graničnih i prosečnih troškova. Kada je:

Ec , x<1 , tada je C '<C

Ec , x=1, tada je C '=C

Ec , x>1 tada je C '>C

U opštem slučaju važi da su minimalni prosečni troškovi jednaki graničnim troškovima.

3.2 Elastičnost funkcije prihoda

Koeficijent elastičnosti izračunavamo preko cijene

EP, p=pP

P '( p)

13

ili preko potražnje

Ep , x=xP

P' (x )

Kako je P=p x p=p f ( p) možemo pisati:

EP , p=p

p f ( p )(f ( p )+ p f ' ( p ) )= f ( p )+ p f ' ( p )

f ( p )=1+ p

f ( p )f ' ( p )

¿1+Ex , p

Kada je E x , p<1 (potražnja neelastična), ukupni izdaci potrošača se povećavaju,

ako je E x , p=1 tada porast ili pad cijene ne utiču na prodaju,

a za E x , p>1 (potražnja je elastična), porast cijene dovodi do opadanja prihoda i obrnuto.

4. ANALIZA PONUDE I TRAŽNJE

Analiza ponude daje odgovor na pitanje kako se mijenja ponuda (kako se ponašaju ponuđači) kad na ponudu djeluje cijena, odnosno kada na ponudu djeluju necjenovni faktori. Zapravo, ponuđači određuju koliko će proizvoditi/prodavati prema odnosu cijene i troškova u proizvodnji.

14

Analiza tražnje daje odgovor na pitanje kako se mijenja potražnja (kako se ponašaju kupci) kad se mijenja cijena dobra ili kako se mijenja kad na nju utječu necjenovni faktori.

4.1. Tržni mehanizam - analiza ponude i potražnje

Mehanizam ponude i tražnje, osim za analizu služi da bi se predvidio utjecaj promjene ekonomskih uvjeta na cijene i količine. U poljoprivredi on se koristi za procjenu uticaja niza mjera agrarne politike na reakciju proizvođača, prerađivača, trgovaca i potrošača. Na primjer,kako će premije za mlijeko uticati na proizvodnju mlijeka u nekoj zemlji.

Odnos između tržišne cijene dobara i količine toga dobra, koje se kupuje, naziva se šema potražnje, odnosno njezin grafički prikaz daje krivulju tražnje. Krvulja tražnje ima padajući smjer. Uzrok za to su efekt dohotka i efekt supstitucije.

Efekt dohotka kaže da ako se ništa drugo ne promjeni, a raste cijena proizvoda, potrošačev dohodak se smanjuje i on kupuje manje proizvoda.

Efekt supstitucije kaže, ako raste cijena jednog dobra, a sve ostalo ostaje isto, da dio potrošača zamjenjuju to dobro s njegovim supstitutom, odnosno dolazi do smanjenja tražnje. Postoje iznimke kad rast cijena ne vodi do smanjenja tražnje, odnosno kad pad cijena ne vodi do povećanja potraživane količine. To su Giffenov paradoks, Veblenov efekt i slučaj "Špekulacije."

4.2. Susret ponude i tražnje – tržna ravnoteža

Sile tržišta, ponuda i potražnja, djeluju na tržište da bi se postigla ravnoteža cijena

i količina, odnosno ravnoteža na tržištu.

Tržnu ravnotežu nazivamo još ekvilibrij, a ona se grafički prikazuje točkom

sjecišta krivulja ponude i potražnje. Ekvilibrij ili tržna ravnoteža ponude i potražnje na

15

konkurentnom tržištu nastaje kod cijene kod koje su ponuda i potražnja u ravnoteži.

Javlja se kod cijene kod koje su količine koje se traže upravo jednake količinama koje se

nude, ili grafički prikazano na sjecištu krivulja ponude i tražnje.

Kod cijene iznad ekvilibrija količine koje proizvođači žele ponuditi, nadmašiti će

količine koje potrošači žele kupiti, proizvest će višak dobara i utjecati na smanjenje

cijena. Isto tako cijene niže od ekvilibrija stvoriti će nestašicu te će kupci nastojati podići

cijene do ekvilibrija.

4.3 Pomak od ravnoteže

Ukoliko se radi o povećanju tražnje, bilo zbog povećanja dohotka ili nečeg

drugog, krivulja tražnje se pomiče u desno. Posljedica povećanja potražnje, pri istoj

krivulji ponude, je nova tačka ravnoteže, te povećanje ponuđenih količina i povećanje

cijena. Ukoliko se radi o smanjenju tražnje to se grafički prikazuje pomakom krivulje

potražnje u lijevo. Posljedica smanjenja tražnje, pri istoj razini ponude, je nova ravnoteža,

smanjenje potraživanih količina i smanjenje cijena.

Ukoliko se radi o povećanju ponude, to se grafički prikazuje pomakom

krivulje ponude u desno. Posljedica povećanja ponude, pri istoj razini potražnje, je

nova ravnoteža, povećanje ponuđenih količina i smanjenje cijena. Ukoliko se radi

o smanjenju ponude to se grafički prikazuje pomakom krivulje u lijevo. Posljedica

smanjenja ponude, pri istoj razini potražnje, je nova ravnoteža, smanjenje

ponuđenih količina i povećanje cijena.

5.ZAKLJUČAK

Uvođenjem metoda matematičke analize u ekonomiju, ekonomska je nauka u

svojim savremenim oblicima postala kvantitativna nauka.

Osnovna karakteristika ekonosmkih funkcijaogleda se u tome što ona na temelju

utvrđenih međuzavisnosti može kvantificirati posljedice koje će na cijeli skup

16

ekonomskih varijabli imati autonomna promjena jedne od njih. Ona je pretpostavka

svakog predviđanja.

Prednosti primjene matematičke tehnike u analizi ekonomskih problema su:

- pretpostavke i zaključci izražavaju se matematičkim simbolima, “matematičkim

jezikom” koji je koncizniji i precizniji,

- da bismo primjenili matematički jezik, prisiljeni smo eksplicitno definisati svoje

pretpostavke. Budući da se svaki zaključak temelji na određenim pretpostavkama, tako

precizno i eksplicitno definisanje pretpostavki od kojih

se u analizi polazi precizira i rezultate analize. To olakšava kritičku analizu

rezultata i precizno definisanje ograničenja kojima su rezultati podvrgnuti,

- čitav proces koji se sastoji od skupa pretpostavki do skupa zaključaka koristi

matematička pravila i teoreme što analizu čini efikasnijom i preciznijom,

“Kvantitativni duh” u ekonomskoj nauci uveden je radi nastojanja da se

ekonomski pojmovi precizno definišu i da se ekonomija konstruiše u jednu rigoroznu

naučnu disciplinu.

6. LITERATURA

1.Dr. Aleksa Macanović, 2010, Kvantitativne Metode”, Visoka škola za

primijenjene i pravne nauke Prometej, Banjaluka

2. Grupa autora: Dragan Vugdelija, Katalin Mesaroš, LJiljana Jovašević, Branko

17

Gledović, Valentina Pavlović, 2010, Visoka Poslovna Škola, Valjevo

3.Anđelković, S. 1992. Istraživanje tržišta-kvantitativna analiza potrošačke

tražnje, udžbenik, Institut za ekonomska istraživanja, Ekonomski fakultet,

Kragujevac.

4.Prof. Dr. Olivera Nikolić, 2008., “Ekonomske funkcije”, Univerzitet Singidunum,

Beograd

18