SHKOLLA E MESME“RUZHDI BERISHA”

DRAGASH

Lenda:FizikëTema: Ekuacioni i Bernulit

Nxënësi: Mentori:Flamur Sinani _______________ Flurim Çengaj,prof

Përmbajtja

Përmbajtja ……………………………………………………….. (1)

Dinamika e fluideve ……………………………………………... (2)

Ekuacioni i vazhdueshmeris …………………………………….. (3)

Ekuacioni i Bernulit …………………………………………... (4)

Shembull ………………………………………………………… (6)

Rrjedhime ……………………………………………………….. (6)

Parimi i Stevinit …………………………………………………. (7)

Ligji i Paskalit …………………………………………………... (8)

Ligji i Arkimedit ………………………………………………… (8)

Dinamika e fluideve

Dinamika e fluideve përshkruan lëvizjen e një fluidi,në lidhje me shkaqet

që e përcaktojnë atë.Për të gjetur ekuacionin e lëvizjes së fluideve në vend që

të studiojmë lëvizjen e cdo pike të fluidit në funksion të kohës do të tregojmë

se si ndryshojnë me kalimin e kohës shpejtësitë ,në cdo pikë të hapësirës,e

pikave të rrjedhësit që kalojnë në të.

Karakteristikat e rrjedhjes

Kur fluidi është në lëvizje,rrjedhja e tij është e qendrueshme ose

turbulente.

Thuhet se rrjedhja është e qendrueshme nëse cdo pikë e rrjedhësit

përshkruan një trajektore të tillë që të mos takohet me asnjë trajektore të cdo

pike tjetër të rrjëdhësit.Në rrjedhjen e qendrueshme shpejtësia e rrjedhësit në

cdo pikë mbetet konstante me kohën.Në rast të kundërt rrjedhja quhet

turbulente (jo e qendrueshme).

Meqë lëvizja e fluideve realë është mjaft e ndërlikuar,do të përdorim

modelin e thjeshtuar të fluidit i mbështetur në kater supozime:

1. Fluid joviskoz.Viskoziteti,i cili karakterizon shkallën e fërkimit të

brendshëm në fluid,nuk përfillet.

2. Fluid i pangjeshshëm.Densiteti i fluidit konsiderohet konstant,i pavarur

nga shtypja e tij.

3. Rrjedhja e qendrueshme.Shpejtësia e cdo pike të fluidit mbetet konstante

me kohën

4. Rrjedhja jorrotulluese.Rrjedhja e fluidit është jorrotulluese nëse fluidi

nuk ka moment këndor në lidhje me ndonjë pikë.

Dy supozimet e para në modelin tonë janë karakteristikat e fluidit

ideal .Dy të fundit janë përshkrimi i mënyrës së rrjedhjes së fluidit.

Ekuacioni i vazhdueshmërisë së rrjedhjes

Nëse jeni duke ujitur kopshtin tuaj me një tub llastiku të shkurtër,ju

shtrëngoni me dy gishtat grykën e tubit për të hedhur ujin sa më larg.Për se

ndodh kjo?

Vija në rrjedhës,tangentja në cdo pikë të së cilës ka drejtimin e

shpejtësisisë në atë pikë quhet vijë rryme.Dy vija rryme nuk priten me njëra-

tjetrën,ndryshe pikat e prerjes do të karakterizoheshin nga dy shpejtësi.Sasia e

fluidit ndërmjet dy vijave të rrymës quhet tub rryme.Fluidi mund të rrjedhë

vetem nëpër sipërfaqen e prerjes tërthore të tubit të rrymës dhe jo në sipërfaqen

anësore.

Në figurën 8.2 tregohet

një tub rryme i fluidit.Fluidi

rrjedh pa turbulencë nga e

majta në të djathtë.

Nga vetia e pangjeshshmërisë fig 8.2

do të arrijmë në një relacion

se si ndryshon shpejtësia në varësi të fig 8.2 sipërfaqes së prerjes tërthore të

tubit.Sasia e lëngut që rrjedh në tub gjatë kohës në seksionin S1 është e njëjtë

me sasinë e lëngut që rrjedh në tub në seksionin e dytë S2 gjatë kësaj kohe:

ose

nga ku marrim ……………………( 8.4)

Ekuacioni 8.4 njihet si ekuacioni i vazhdueshmërisë së rrjedhjes.

Madhësia quhet prurje e masës së fluidit (shprehet me kg/s), ndërsa

madhësia quhet prurje vëllimore (shprehet me m3/s).

Nëse fluidi është homogjen ekuacioni i vazhdueshmërisë se rrjedhjes shkruhet :

…………………….(8.5)

Për një tub rryme fluidi homogjen,në cdo seksion,prodhimi i shpejtësisë

rrjedhjes me sipërfaqen e prerjes tërthore të tubit është konstante.

Sa më i madh të jetë seksioni i tubit aq më e vogël do të jetë shpejtësia e

rrjedhjes dhe e kundërta.Kjo është arsyeja pse kur zvogëlohet seksioni i tubit

prej llastiku ku rrjedh ujë rritet shpejtësia e rrjedhjes dhe uji hidhet më larg.

Ekuacioni i Bernulit

Problemi themelor në mekanikën e rrjedhësve,përcaktimi i lidhjes së

shtypjes me shpejtësinë e

rrjedhësve,zgjidhet nëpërmjet ligjit

të shprehur nga ekuacioni i Bernulit

i cili paraqet ligjin e ruajtjes së

energjisë për fluidet.Shqyrtojmë

rrjedhjen e qendrueshme të një fluidi

ideal i cili rrjedh nëpër një gyp

jouniform si në fig 8.3. fig 8.3

Në fillim të intervalit fluidi rrjedh në mënyrë të vazhdueshme me shpejtësi v1 në

gypin me seksion S1 i cili ndodhet në lartësinë h1 nga sipërfaqja e tokës në të

majtë të gypit dhe shpejtësi v2 në gypin me seksion S2 i cili ndodhet në lartësinë

h2 nga sipërfaqja e tokës,në të djathtë të gypit.Gjatë intervalit të kohës, për

shkak fig 8.3 të ndryshimit të shtypjes në dy anët e gypit,vëllimi i fluidit do të

zhvendoset me dhe përkatësisht në të dy anët e gypit. Sistemi ynë është

fluid –Tokë.Si forcë e brendshme është forca e rëndesës dhe si forca të jashtme

janë forcat e shtypjes që ushtron pjesa tjetër e lëngut mbi gypin e zgjedhur.Puna

e plotë e kryer nga forcat e shtypjes F1=P1S1 dhe F2=P2S2 ku P1 dhe P2 janë

shtypjet në prerjet S1dhe S2:

Ndryshimi i energjisë mekanike të sistemit është i barabartë me

ndryshimin e energjisë mekanike të dy pjesëve të fluidit dhe (Pjesa e

fluidit ndërmjet tyre është e përbashkët për të dy gjendjet në fillim dhe në fund

të intervalit).Meqë fluidi është i pangjeshshëm dhe homogjen masa e fluidit në

dy pjesët është e njëjtë.

Ndryshimi i energjisë mekanike të sistemit është i barabartë me punën e kryer

nga forcat e shtypjes.Duke zëvëndësuar shprehjet e njohura marrim:

Duke pjestuar anë për anë me V dhe duke zëvëndësuar pas disa

shndërrimesh të thjeshta marrim:

………………(8.6)

Ekuacioni 8.6 shpreh ekuacionin e Bernulit sipas të cilit shuma e shtypjes

statike ,( përfaqëson peshën e shtyllës së fluidit mbi një sipërfaqe)

me shtypjen dinamike është konstante për cdo prerje të gypit të rrymës.

Shembull

Në një enë që përmban lëng me densitet është hapur një vrimë me diametër

shumë më të vogël se diametri i enës,në lartësi y1 nga fundi i enës.Distanca e

vrimës së hapur nga niveli i lëngut është h.Përcaktoni shpejtësinë e hedhjes.

Zgjidhje

Meqënëse shpejtësia e lëngut në sipërfaqen e

lirë është e papërfillshme.Duke zbatuar ligjin e Bernulit

për pikat 1 dhe 2 dhe duke ditur se P1=P0 dhe v2=0

gjejmë :

fig 8.4

këtu , atëherë shpejtësia e daljes së curkës është :

Kur ena është e hapur P=P0 dhe . Kjo njihet si formula e Toricelit :

Në një enë të hapur,hpejtësia e lëngut që del nga një vrimë e hapur në distancë h

nga sipërfaqja e lirë e lëngut është e barabartë me shpejtësinë që fiton trupi në

rënie të lirë nga kjo lartësi

Rrjedhime

Nga ekuacioni i Bernulit mund të nxjerrim disa ligje .Pjesa e mekanikës së

fluideve që studion fluidet në prehje quhet hidrostatikë Po të zëvëndësojmë

v=0 kudo në rrjedhës, marrim ekuacionin themelor të hidrostatikës:

……………….( 8.7)

Ky ekuacion është i vërtetë edhe për fluidët realë sepse meqë nuk ka lëvizje nuk

shfaqen dhe forcat e fërkimit.

N.q.se fluidi është jashtë cdo lloj fushe gravitacionale shtypja është kudo e

njëjtë:g=0 , P=const.

Parimi i Stevinit

Dihet se presioni në det apo oqean rritet me rritjen e thellësisë,gjithashtu

presioni atmosferik zvogëlohet me rritjen e lartësisë.Për një lëng me densitet

konstant shtypja rritet linearisht me rritjen e thellësisë.Për të

treguar këtë le të shqyrtojmë një kollonë lëngu me sipërfaqe të

prerjes tërthore S si në fig 8.5.Për shkak të peshës së kollonës së

lëngut me lartësi ,shtypja në fund të kollonës është më e

madhe se lart saj.Duke zbatuar ekuacionin e Bernulit kemi:

………………(8.8)

fig 8.5

Sipas këtij parimi (të nxjerrë më parë nga Stevin) trysnia e një fluidi

homogjen rritet me rritjen e thellësisë së lëngut dhe varet nga densiteti i fluidit.

P0 është shtypja në sipërfaqen e lirë të lëngut dhe P është shtypja në fund të

kollonës me lartësi Kur =0 kemi :Shtypja e lëngut është e njëjtë

në të gjitha pikat që ndodhen në thellësi të njëjtë.

Ky ekuacion tregon se shtypja e lëngut nuk varet nga forma e enës dhe as nga

sasia e fluidit në enë por varet vetëm nga thellësia .

N.q.se dy pika 1 dhe 2 janë në sipërfaqen e lirë të lëngut në kontakt me

atmosferën,atëherë P1=P2=P0 ku P0 është shtypja atmosferike.Nga 8.8 del se

h=0,pra sipërfaqja e lirë e lëngut është horizontale.

Nga ky parim rrjedh edhe parimi i enëve komunikuese.Në enët me forma dhe

seksione të ndryshëm të lidhura me një kanal horizontal fluidi homogjen do të

ngrihej në të njëjtën lartësi.

Ligji i Paskalit

Lidhja ndërmjet shtypjeve të dy pikave të cfarëdoshme 1dhe 2 në fluidin

në prehje është:

…………………….(8.9)

ku h-diferenca e niveleve të pikave 1 dhe 2 .N.q.se shtypja në pikën 1 ndryshon

me atëherë edhe shtypja në pikën 2 ndryshon me .

Ndryshimi i shtypjes në një fluid të mbyllur tejcohet njëlloj në të gjitha

pikat e fluidit dhe në faqet e enës.Ky është ligji i Paskalit.

Ju shfrytëzoni ligjin e Paskalit kur shtypni fundin e tubit të pastës së dhëmbëve.

Rritja e shtypjes në një anë të tubit rrit shtypjen kudo e cila shtyn rrjedhën e

pastës jashtë.

Një zbatim i rëndësishëm i ligjit të Paskalit është presa hidraulike.

Ligji i Arkimedit

Zbulimi më i njohur i Arkimedit ,që sot mban emrin e tij,është një nga

parimet themelore të hidrostatikës,i lidhur me shpjegimin e dukurisë së

pluskimit të trupave të zhytur në fluid.Sipas tij:

Një trup i zhytur plotësisht ose pjesërisht në fluid ndjen veprimin e një

force ngritëse me madhësi të barabartë me peshën e lëngut

që zhvendos trupi.Le të shqyrtojmë një kub të zhytur në një lëng (fig8.6).Forca

rezultante horizontale e ushtruar nga fluidi mbi faqet anësore të kubit është e

barabartë me zero (nga ligji i Paskalit). fig 8.6

Shtypja P2 e ushtruar mbi faqen e poshtme të kubit është më e madhe se

shtypja P1 e ushtruar mbi faqen e sipërme .

Ndryshimi i shtypjeve është ku - densiteti i lëngut dhe h–lartësia e

kubit.Forca rezultante vertikale e ushtruar nga lëngu është:

Pra: …………………..(8.10)

ku hS=V është vëllimi i kubit .Por jep masën e lëngut që zhvendos

kubi. Atëherë ligji i Arkimedit shkruhet në formën:

………………..(8.11)

e cila jep peshën e lëngut që zhvendos trupi .

Këtu dallojmë rastet:

1)- dendësia e trupit e barabartë me dendësinë e lëngut:trupi zhytet në lëng

aq sa asnjë pjesë e sipërfaqes së tij nuk del mbi lëng dhe nuk ulet më poshtë,

thuhet se trupi noton.Në këtë rast forca e Arkimedit është e barabartë me forcën

e rëndesës së trupit .

2)- dendësia e trupit është më e madhe se dendësia e lëngut:trupi bie poshtë

me nxitim dhe bëhet më i lehtë (sa pesha e lëngut që zhvendos).Në këtë rast

forca e Arkimedit është më e vogël se forca e rëndesës së trupit .

3)- dendësia e trupit është më e vogël se dendësia e lëngut:trupi ngrihet lart

me nxitim. Në këtë rast forca e Arkimedit është më e madhe se forca e rëndesës

së trupit .