el cántaro milagroso

El cántaro milagroso

Ver un mundo en un grano de arena, y el cielo en una flor silvestre, hace que el infinito quepa en la palma de tu mano, y la eternidad en una hora.*

WILLIAM BLAKE

1 hojear un libro o una revista de matemáticas, lo más probable es que A antes de haber mirado una o dos páginas nos demos de narices con el infinito. Por ejemplo, tomando al azar unos cuantos libros de mi estantería, la segunda línea de la introducción a The Higher Arithmetic de Harold Da- venport menciona «los números naturales 1 ,2 ,3 , ... », donde los puntos sus- pensivos indican que los números naturales continúan hasta el infinito. En la página 2 del Numerical Analysis de Lee Johnson y Dean Riess se citan los desarrollos en serie infinitos correspondientes a la función exponencial. Zn- finite Linear Groups de B. A. E Wehrfritz: ¿qué más podría decir? En la pá- gina 1 de Nonlinear Dynamics and Turbulence de G. 1. Barenblatt, G. Iooss y D. D. Joseph, se dice «las ecuaciones de Navier-Stokes o bien una aproxi- mación de Galerkin de dimensión finita», lo cual nos lleva lógicamente a deducir que para los matemáticos las ecuaciones de Navier-Stokes, en conjun- to, constituyen un objeto de dimensión infinita. En la página 434 de Winning Ways de Elwyn Berlekamp, John Conway y Richard Guy se habla de un jue- go cuya posición es «CO, O, +1, +4», donde c;c es el símbolo que se utiliza ha- bitualmente para el «infinito». Parecerá que ir hasta la página 434 es irse un poco lejos, pero resulta que es la sexta página del segundo volumen, y no he examinado el primero.

* [To see a Worid in a grain of sand, / And a Heaven in a wild flower, / Hold Infinity in the palm of your hand, /And Eternity in an hour.]

70 D e aquí al infinito

Según Philip Davis y Reuben Hersh, el infinito es «el cántaro milagroso de las matemáticas». Es milagroso porque su contenido es inagotable. Si sacamos un objeto del cántaro del infinito, no habrá uno menos, sino que quedará exactamente el mismo número. Fueron precisamente paradojas como ésta las que obligaron a nuestros antepasados a ser muy prudentes con los argumentos que contenían referencias al infinito. Pero el infinito tiene un aliciente enorme: es ese lugar maravilloso donde se puede hacer que las cosas molestas desaparezcan. Es casi infinito el número de demostraciones matemáticas que se ha conseguido realizar mandando al infinito cualquier cosa que resultara difícil y contemplando cómo allí se desvane- cía por completo. Pero ¿a qué llamamos realmente infinito? ¿Es sólo una loca insensatez, o se puede hacer que sea algo razonable? ¿Son reales los infinitos matemáticos, o no son más que unos fantasmas inteligentes, lobos del infinito que se disfrazan de ovejas finitas?

El hotel de Hilbert

Si al poner la mesa colocamos en cada lugar un cuchillo y un tenedor, sa- bremos que hay exactamente tantos cuchillos como tenedores. Esto es cier- to, tanto si estamos preparando una cena íntima para dos a la luz de las ve- las, como si organizamos un banquete chino para dos mil personas, y no hace falta saber cuántos cubiertos se ponen para estar seguro de que los nú- meros concuerdan. Esta observación es la piedra angular del concepto de número. Se dice que dos conjuntos de objetos están en correspondencia uno a uno, si a cada objeto de un conjunto le corresponde un único objeto del otro conjunto, y viceversa. Aquellos conjuntos entre los que se puede establecer una correspondencia uno a uno poseen el mismo número de objetos.

Sin embargo, cuando los conjuntos son infinitos surgen las paradojas. Por ejemplo, Hilbert consideró el caso de un hotel imaginario que tuviera un número infinito de habitaciones, con los números 1, 2, 3, ... Una noche, es- tando el hotel completamente lleno, llega un huésped solitario que busca alojamiento. El gerente del hotel, que tiene solución para todo, traslada a cada huésped a la habitación siguiente, de forma que el de la habitación 1 pasa a la habitación 2, el de la 2 a la 3, y así sucesivamente. Tras haber rea- lojado a cada huésped, la habitación l queda libre para el recién llegado. Al día siguiente llega un autobús de Viajes Infinito, conteniendo un número infinito de nuevos huéspedes. Esta vez, el gerente traslada al huésped de la ha- bitación 1 a la habitación 2, al de la habitación 2 a la 4, al de la habitación 3 a la 6, ..., al de la habitación n a la 2n. De esta manera quedan libres todas las habitaciones impares, con lo que el pasajero número 1 del autobús puede alojarse en la habitación 1, el número 2 en la habitación 3, el número 3 en la 5, y en general, el número n en la habitación 2n - 1. Aunque llegaran infinitos autobuses con un número infinito de pasajeros en cada autobús, se- ría posible alojar a todo el mundo.

El cántaro milagroso 71

A lo largo de la historia, se ha hablado de paradojas similares. Proclus, que escribió sobre Euclides hacia el año 450 d.C,, observó que cada diáme- tro de un círculo divide a éste en dos mitades, por lo tanto el número de mitades es doble que el de diámetros. Ciertos filósofos de la Edad Media cons- tataron que se puede establecer una correspondencia uno a uno entre dos circunferencias concéntricas haciendo corresponder entre sí los dos puntos que están sobre el mismo radio; luego una circunferencia pequeña tiene exactamente el mismo número de puntos que otra grande. En los Discursos y demostraciones matemáticas de Galileo, el sagaz Salviati plantea el mismo problema: «Si pregunto cuántos son los cuadrados de los números, puedes responderme correctamente que son tantos como sus propias raíces; dado que cada cuadrado tiene su raíz, y cada raíz su cuadrado, ni cada cuadrado tiene más de una sola raíz, ni cada raíz más de un solo cuadrado». A esto re- plica el siempre insatisfecho Simplicius: «¿Qué es lo que hay que resolver esta vez?». Y Salviati le responde lo siguiente: «No veo que se pueda admi- tir otra conclusión, si no es la de decir que la cantidad de los números en general es una cantidad infinita; los cuadrados son infinitos; y además ni la cantidad de cuadrados es menor que la de los números en general, ni ésta mayor que aquella: en conclusión, los atributos igual, mayor y menor no tienen sentido cuando se habla de infinitos, sino sólo cuando se trata de cantidades finitas».

El infinito disfrazado

La respuesta de Galileo a estas paradojas consiste en decir que el infinito se comporta de forma diferente a cualquier otro concepto, y que lo mejor es evitarlo. Sólo que a veces es muy difícil de esquivar. El problema del infini- to empezó a aparecer con mayor frecuencia cuando el cálculo empezó a de- sarrollarse, con el caso de las series infinitas. Por ejemplo, ¿qué representa

1 1 1 1 2 4 8 16

+ - + - + ... ? 1 + - + -

Es fácil observar que, a medida que el número de sumandos aumenta, el valor de la suma se acerca cada vez más a 2. Por eso no se puede resistir la ten- tación de decir que la suma de todos los infinitos términos vale exactamente 2. Newton basó en las series infinitas sus métodos para diferenciar e integrar funciones, de manera que hay que enfrentarse con la cuestión de llegar a comprenderlas, aunque las series infinitas son paradójicas en sí mis- mas. Por ejemplo, ¿cuál sería el valor de la suma total de la serie

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +... ?

Si la escribimos de la manera siguiente:

72 De aquí al infinito

(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) +...

está claro que la suma es O. Pero, por otra parte, si escribimos:

1 - (1 - 1) - (1 - 1) -...

está claro que el valor de la suma es 1. Luego O = 1, y las matemáticas se nos vienen abajo, hundiéndose completamente en una contradicción.

El cálculo era para sus cultivadores un asunto demasiado importante como para dejarlo en suspenso debido a unas pegas de poca monta y algunos problemas filosóficos, como el anterior, de escasa relevancia. Finalmen- te se solventó el asunto convirtiendo los planteamientos que se referían a sumas infinitas en otros, más retorcidos, que trataban de sumas finitas. En vez de hablar de una suma infinita a, + a, + a2 +. . . cuyo valor es a, decimos que se puede conseguir que la suma finita a. + a, +. . . + a, difiera de a en una cantidad menor que un error prefijado E, siempre que tomemos n mayor que cierto N (que depende de E). Sólo si dicha a existe, se dice que la serie converge, es decir, se considera que tiene sentido hablar de suma. Del mismo modo, la proposición «existe una cantidad infinita de números enteros» se puede poner en versión finita diciendo «dado cualquier número en- tero, siempre existe uno mayor». Como dijo Gauss en 1831: «Protesto contra la utilización de una cantidad infinita como si fuese una entidad real; en matemáticas esto está prohibido. El infinito no es más que un modo de hablar, en el que se mencionan, en el sentido propio, aquellos límites a los que ciertas razones se pueden aproximar tanto como se desee, mientras que a otras se les permite crecer sin límite». Hoy en día, en cualquier curso universitario de análisis se enseña a los estudiantes a manejar el infinito de esta manera. Un problema típico puede ser el siguiente: «demuéstrese que (n2 + n)/n2 tiende a 1 cuando n tiende a infinito». Maldición para el es- tudiante que responde «(x2 + C C ) / C C ~ = X/X = 1». Aunque también podemos maldecir al que escriba «(n2 + n)/n2 = 1 + l/n, y haciendo n = 33 resulta que 1 + 1 / ~ = 1 + O = 1», aun siendo este argumento correcto. (Antes de que le consientan a uno escribir chapuzas como ésta, hay que demostrar un pode- roso dominio de las matemáticas que quedará probado indiscutiblemente después de utilizar una serie de tortuosos circunloquios. Una vez que se ha aprendido arduamente la difícil técnica de no ser chapucero, a nadie le im- porta que uno lo sea.)

Este modo de ver las cosas data de los tiempos de Aristóteles y se de- nomina infinito potencial. Consiste en no afirmar que existe un infinito real, sino remodelar nuestra afirmación de forma que permita que las cantidades sean en todo momento tan grandes como sea preciso. Así, ya no diríamos que el cántaro milagroso contiene una infinidad real de objetos; nos limita- ríamos a indicar que, independientemente de la cantidad que extrajéramos, siempre quedaría alguno en el interior. Dicho de esta manera, suena como


una distinción bastante dudosa; pero en el ámbito filosófico nos evita res- ponder a la peliaguda pregunta: «¿Cuántas cosas están metidas en ese cán- taro?».

iLa crisis de la suma!

No obstante, quedaban todavía algunos espíritus audaces que seguían bara- jando la idea del «infinito real» y pensando en un conjunto infinito, no como en una sucesión 1,2, 3,. . . que podía continuar en principio más allá de cualquier punto dado, sino como en un todo infinito y completo. Uno de los pri- meros que así lo hicieron fue Bernard Bolzano, autor en 1851 de un libro ti- tulado Paradojas del infinito. Pero Bolzano se interesó sobre todo por dotar al cálculo de unos fundamentos sólidos y optó por pensar que los conjuntos realmente infinitos no eran verdaderamente necesarios en dicho ámbito.

A finales del siglo XIX hubo una cierta crisis en las matemáticas. No se trataba de caprichosas paradojas filosóficas sobre el infinito, sino de una fuerte crisis sumamente prosaica que afectaba a las técnicas de trabajo coti- diano de los matemáticos, en lo referente a la teoría de las series de Fourier. Una serie de Fourier es algo de este estilo:

1 2

f ( x ) = cosx + - cos2x +

y fue desarrollada por Joseph Fourier en su

1 3 - C O S k + ...

trabajo sobre flujos térmicos. La cuestión que se planteaba era: ¿cuándo existe la-suma de estas series? En- tre unos y otros, los matemáticos empezaron a dar respuestas contradicto- rias. El asunto degeneró en un follón espantoso, debido a que muchos in- vestigadores, en vez de dar argumentos «físicos» plausibles, se dedicaron a dar buenas y lógicas razones matemáticas. Era necesario poner las cosas en orden urgentemente. En el fondo la respuesta es que una serie de Fourier se maneja bien siempre y cuando el conjunto de valores x , en los que la fun- ción f tiene un comportamiento difícil, no sea en sí demasiado desagradable. Los matemáticos no tuvieron otro remedio que examinar minuciosamente la estructura de los conjuntos de puntos de la recta real. Este problema llevó a George Cantor a desarrollar en 1874 una teoría de conjuntos realmente infinitos, tema en el que trabajó durante los años posteriores. Sus ideas, bri- llantemente originales, llamaron la atención y suscitaron admiración, pero sus contemporáneos, con una mentalidad más conservadora, no se molesta- ron mucho en disimular su desagrado. Cantor llevó a cabo dos tareas: in- ventó la teoría de conjuntos (que se ha convertido hasta tal punto en un len- guaje básico, que sin ella los matemáticos de hoy no podrían ni balbucear) y al hacerlo descubrió que algunos infinitos son mayores que otros.


El paraíso de Cantor

Cantor empezó por convertir en virtud todo lo que los demás habían consi- derado vicio. Definió un conjunto como infinito si se podía establecer una correspondencia uno a uno entre el mismo conjunto y una parte propia de él (un subconjunto). Dos conjuntos son equivalentes o tienen el mismo cardinal, si se puede establecer entre ellos una correspondencia uno a uno. El conjunto infinito más pequeño es el que tiene por elementos a los números naturales {O, 1, 2, 3, ...). Su cardinal se indica mediante el símbolo K, (alef subcero) y éste es el menor número infinito. Tiene todo tipo de propiedades misteriosas, tales como:

x, + 1 = K, , K, + rc, = K, , K; = K,

pero, no obstante, abre la vía hacia una versión coherente de la aritmética de los números infinitos. (De todas formas, ¿qué le parece que sucedería con el infinito si lo multiplicáramos por dos?) Se dice que todo conjunto cuyo cardinal sea K, es numerable. Entre los ejemplos figuran el conjunto de los números enteros negativos, el de todos los números enteros, el de los nú- meros pares, el de los impares, el de los cuadrados, el de los cubos, el de los números primos y, sorprendentemente, el de los números racionales. Esta- mos acostumbrados a imaginar que hay muchos más números racionales que enteros, porque entre los números enteros hay unos grandes intervalos, mientras que los números racionales se distribuyen de una forma más den- sa. Pero esta idea intuitiva es equívoca, porque olvida que en las correspon- dencias biunívocas no hay por qué respetar el orden en el que se sitúen los números. Un número racional p /q se define mediante un par @, q ) de nú- meros enteros, por lo que el número de racionales es K;, que como ya he- mos dicho es igual a No.

Después de estar viendo este tipo de cosas, uno empieza a preguntarse si todo conjunto infinito es numerable. Puede que Salviati tuviera razón y que So sólo sea un símbolo más sofisticado para expresar X . Cantor demos- tró que esto no es cierto. El conjunto de los números reales no es numerable: existe un infinito mayor que el infinito de los números naturales. La de- mostración es sumamente original: a grandes rasgos, la idea es suponer que los números reales son numerables y razonar hasta llegar a una contradic- ción. Supongamos que se escribe con ellos una lista, en forma de desarrollos decimales. Fórmese un nuevo decimal cuyo primer dígito después de la coma sea distinto del que tiene el primero de la lista; cuyo segundo dígito sea diferente del segundo dígito del segundo de la lista; y, en general, cuyo n-simo dígito sea diferente del que aparece en el n-simo de la lista. Enton- ces, el número que así resulta no puede estar en ningún sitio de la lista, lo cual es absurdo, ya que habíamos supuesto que la lista era completa. Así es el «razonamiento diagonal» de Cantor, que ha seguido utilizándose hasta

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hoy en todo tipo de problemas importantes. Partiendo de esta idea, Cantor pudo demostrar algo tan espectacular como que los números transcendentes tienen que existir necesariamente. Recuérdese que un número es transcendente si no satisface ninguna ecuación polinómica con coeficientes racionales. Entre los ejemplos de estos números se puede citar n = 3,14159 ... y la base de los logaritmos naturales e = 2,71828.. ., aunque a los matemáticos les llevó muchos años llegar a demostrar que era cierta la sospecha de que se trataba de números transcendentes. En 1873 Charles Hermite demostró que el número e es transcendente. El grado de dificultad de esta demostración se puede deducir del contenido de una carta en la que escribió: «No me atrevo a intentar demostrar la transcendencia del número n. Si otros lo in- tentan, nadie se alegrará tanto como yo de que lo consigan, pero créeme, querido amigo, no dejará de costarles un cierto esfuerzo». En 1882 Ferdi- nand Lindemann hizo este esfuerzo y logró adaptar el planteamiento de Hermite para realizar el estudio del número n.

Cantor demostró que no se necesitan unos teoremas tan increi’blemente difíciles para demostrar que los números transcendentes existen, probando de una manera muy sencilla que el conjunto de los números algebraicos es numerable. Dado que el conjunto de todos los números reales no es numerable, han de existir en él números que no sean algebraicos. Fin de la de- mostración (que es básicamente trivial); la audiencia se derrumba bajo el peso de su propia incredulidad. En realidad, el razonamiento de Cantor va más allá: demuestra que ha de existir una cantidad no numerable de núme- ros transcendentes. Hay más números transcendentes que algebraicos; y esto se puede probar sin necesidad de indicar ni un solo ejemplo de ninguno de estos números. Parece cosa de magia, más que de matemáticas.

Incluso Cantor pasó por momentos de incredulidad. Cuando, después de tres años intentando demostrar lo contrario, probó que un espacio de di- mensión y2 tiene exactamente el mismo número de puntos que un espacio de dimensión 1, escribió: «Lo veo, pero no lo creo». Otros lo expresaron con más contundencia; por ejemplo, Paul du Bois-Reymond afirmaba: «Resulta incompatible con el sentido común». También había algunas otras paradojas cuya solución no requería precisamente aquel imaginativo desarrollo de una original, pero coherente, intuición. Por ejemplo, Cantor demostró que, dado un cardinal infinito, siempre existe uno mayor. Hay una infinidad de infinitos diferentes. Consideremos ahora el cardinal del conjunto de todos los conjuntos con distintos cardinales: éste habría de ser mayor que cualquier cardinal, incluido él mismo. Este problema se resolvió finalmente limitando el concepto de «conjunto», pero yo no diría que la gente se haya quedado satisfecha con esta respuesta, ni siquiera hoy en día.

Había división de opiniones entre los matemáticos en cuanto a la im- portancia de las ideas de Cantor. Leopold Kronecker las estuvo atacando públicamente y vociferando contra ellas durante una década; en un momen- to dado, Cantor sufrió una crisis nerviosa. Pero Kronecker tenía una filoso- fía de las matemáticas muy restrictiva -«Dios hizo los números enteros y


todo lo demás es obra del ser humano»- y la probabilidad de que llegara a aprobar las teorías de Cantor era tan exigua como la probabilidad de que un partido conservador nacionalice la industria del automóvil. Poincaré afirmó que las generaciones posteriores considerarían tales teorías como «una en- fermedad de la que uno ya se ha curado». Hermann Weyl opinaba que la infinidad de infinitos de Cantor era «niebla en la niebla». Por otro lado, Adolf Hurwitz y Hadamard descubrieron importantes aplicaciones de la teoría de conjuntos al análisis, hablando sobre estas aplicaciones en prestigiosos con- gresos internacionales. Hilbert, el matemático que en sus tiempos llevaba la voz cantante, dijo en 1926: «Nadie nos expulsará del paraíso que creó Can- tor», y ensalzó sus ideas como «el producto más asombroso del pensamien- to matemático». Tal como ha sucedido con otras ideas notablemente originales, sólo pudieron llegar a apreciarlas aquellos que estaban dispuestos a hacer un esfuerzo para comprenderlas y aplicarlas en su propia obra. Los que se limitaban a comentarlas desde la barrera, en una actitud negativa y autosuficiente, no hicieron sino permitir que su propia soberbia prevalecie- ra sobre su imaginación y su experiencia. Hoy en día, los frutos de los tra- bajos de Cantor constituyen la base de toda la ciencia matemática.

La hipótesis del continuo

Siguiendo el enfoque de Cantor, los matemáticos se dieron cuenta rápida- mente de que existen fundamentalmente tres tipos de dominios en los que se puede trabajar: finito, numerable y no numerable. Hay modelos de razonamiento para el caso de dominios finitos que no son aplicables en ningún otro caso: por ejemplo, el «principio del casillero», según el cual no se pueden colocar n + 1 objetos en n casillas con un máximo de un objeto en cada casilla. El caso del hotel de Hilbert demuestra que esto no es cierto cuando n = h’, , y lo mismo se puede decir para cualquier n infinito. Los conjuntos numerables por su parte tienen sus propias características especiales; hay muchos casos en que 1, 2, 3 ,... es más sencillo que 1, 2, 3 ,..., n. Por ejemplo

1 1 4 9 6

1 + - + - + ...=A

como valor exacto, mientras que no se tiene una fórmula para hallar

La razón por la que 1, 2, 3 ,... es más sencillo que 1, 2, 3 ,..., n es evidente: jno hay que preocuparse por la rz del final! Por otra parte, contando 1, 2, 3, ... se llega finalmente a cualquier sitio al que se desee llegar, por lo que se puede aproximar un conjunto numerable mediante una serie de conjuntos


finitos; sin embargo, en el caso de los conjuntos no numerables no se puede hacer nada parecido. Es una diferencia muy burda, pero muy importante; y se pueden deducir muchas cosas sobre los gustos de un matemático pregun- tándole con qué tamaño de conjunto se siente más a gusto trabajando.

Cantor demostró que el cardinal de los números reales es mayor que h”,,, pero dejó sin resolver la siguiente cuestión: ¿hay otro entre ambos cardinales? Este problema se conoce como la hipótesis del continuo. Todo intento de demostrarlo falló lamentablemente; así fracasó todo intento de construir un conjunto que tuviera más elementos que el de los números enteros, pero menos que el de los reales. (¿Le recuerda esto a algo? Siga leyendo.) No fue hasta 1963 cuando Paul Cohen demostró que la respuesta dependía de lo que se entendiera por teoría de conjuntos. Existen teorías de conjuntos cantorianas en las que es cierto, y teorías de conjuntos no cantorianas en las que es falso. Se trata, de nuevo, de un asunto parecido al axioma de las parale- las de Euclides. Y, desde luego, nos tendríamos que sentir todos mucho menos satisfechos de nosotros mismos, al observar que a los matemáticos mo- dernos les ha llevado tanto tiempo acostumbrarse a la existencia de una teoría de conjuntos no cantoriana como a nuestros predecesores encontrar por fin una geometría no euclídea. «La única lección que se aprende de la historia es que nunca se aprende de la historia.»

Mi cardinal es mayor que el tuyo

Aproximadamente durante los últimos veinte años, los expertos en lógica han estudiado todo tipo de alternativas a la teoría de conjuntos convencio- nal, utilizando el enfoque axiomático que data de los tiempos de Euclides. Han descubierto todo tipo de teoremas de honrada intención cuya verdad o falsedad depende de los axiomas que se elijan. Han conseguido ordenar todo este material en términos de axiomas para la existencia de «grandes cardinales». Por ejemplo, un cardinal inaccesible es el que no es expresable mediante un número menor de cardinales menores. A grandes rasgos, el tipo de cardinal que es posible en una teoría de conjuntos determina casi todo lo demás que pueda haber en él.

Los que se dedican a la lógica matemática estudian la relativa coherencia de distintas teorías axiomáticas en términos de fiierza de coherencia. Una teoría tiene mayor fuerza de coherencia que otra si su coherencia implica la coherencia de la otra teoría (y, en especial, si puede modelar la otra teoría). El problema central dentro de la lógica matemática consiste en determinar la fuerza de coherencia en este proceso de ordenar cualquier parcela de las matemáticas, Uno de los sistemas más débiles es la aritmética general, tal como la formalizó axiomáticamente Giuseppe Peano. No obstante, incluso los sistemas débiles han resultado útiles. El análisis se sitúa dentro de una teoría más consistente, llamada aritmética de segundo orden. Axiomatizan- do la propia teoría de conjuntos surgen teorías aún más consistentes. La ver-


sión clásica, la teoría de conjuntos de Zermelo-Frankel, es todavía demasiado débil, aunque la distancia entre ésta y el análisis es grande en el sentido de que muchos resultados matemáticos requieren para su demostración más que el análisis general, pero menos que la totalidad de la teoría de conjuntos de Zermelo-Frankel. Más allá de la teoría de Zermelo-Frankel, los grandes cardinales son los que dominan. Por ejemplo, R. M. Solovay demostró que el axioma «existe un cardinal inaccesible» implica que todo conjunto de números reales es medible en el sentido de Lebesgue (véase el capítulo 13). Posteriormente Saharon Shelah demostró la implicación recíproca. Existen otros tipos de cardinales aún mayores: Mahlo, débilmente compacto, hiper- Mahlo, inefable, medible, Ramsey, supercompacto, amplio, n-amplio. Es más que suficiente para hacer que Kronecker se revuelva en su tumba infinitas veces.

el cántaro milagroso

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