.Dtalogos, 67 (1996) pp. 39-66.

EL FUNDAMENTO LOGICO-MATEMATICO DE lA TEORiA HILBERTIANA DE lA DEMOSTRACION

LUIS FELIPE SEGURA

Introducci6n

En 1900, durante el Congreso Internacional de Matematicas en Paris, Hilbert presenta una lista de 23 problemas que, en su opinion habrlan de orientar la investigaci6n en las decadas siguientes [Hilbert 1900, 290] .1 Poco antes, en un articulo fechado en octubre de 1899, pero publicado hasta el afio siguiente y que marcarla el inicio de una larga e influyente (aunque no continua) serie de publicaciones sobre el tema (que habrla de extenderse por casi 40 afios), Hilbert [1899b] habia presentado un primer intento de axiomatizacion de los numeros reales e n 18 principios y planteado, por primera vez en relacion a este, de manera con creta , problemas como el de la consistencia e independencia de sus axiomas. Hilbert daba, asi, un paso significative hacia la solucion de estas dificul­tades, aproximandose tambien de manera decisiva no solo a lo que pareda la conclusion definitiva del programa de fundamentacion de las matematicas, iniciado con la llamada aritmetizacion del analisis, sino igualmente a la culminacion de los trabajos de Gauss, We ie rstrass, Dedekind y Cantor.

El programa de Hilbert para la fundamentacion constituye la posicion conocida desde Brouwer [Brouwer 1912, 82] y se asocia, ademas de a Hilbert

de las como

, . matemattcas formalismo

mismo a no mbres

1 De los problemas de esta lista, aquellos que serlan de interes para e l problema de los fu ndamentos serlan el primero (Ia hip6tesis del continuo), e l segundo (Ia consistencia de los axiornas de Ia aritmetica), el sexto (Ia axiomatizaci6n de Ia fisica) y el decimo (un procedimiento de decisi6n para Ia solubilidad de las ecuaciones diofantinas).

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como Bernays, Ackermann, von Neumann, Gentzen, Herbrand, Schonfinkel, Curry y Schutte (entre otros).

Es comun en la actualidad hablar de la imposibilidad del progr~ma formalista tal y como este era concebido por Hilbert y mencionar en este contexto los resultados de Godel acerca de la incompletud esencial de la aritmetica [Godel 1931]. Sin embargo, es muy poco conocido en detalle el curso que el programa formalista sigui6 tanto en Hilbert como en sus continuadores pre- y postgodelianos, lo mismo que su conexi6n con la problematica que lo explica, sin la cual, por lo demas, la significaci6n bist6rica de los teoremas de completud [Godel 1930] e incompletud de Godel no seria, en gran medida, comprensible2.

Mucho mas afortunado ha sido, por ejemplo, el logicismo, otro pro­grama de fundamentaci6n contemporaneo a Hilbert cuyo desarrollo habrla de topar igualmente con dificultades de prinetpto y practicamente insuperables.3 La obra de Frege y Russell se sigue citando y estudiando (con provecho), sobre todo en los ambitos filos6ficos, a pesar de que muchos aspectos de la misma deban considerarse como ampliamente superados.4

Lo que sigue se ocupa de una exposici6n interpretativa de los diferen­tes aspectos del desarrollo de la concepcion hilbertiana de los funda­mentos de las matematicas que habrian de desembocar en la llamada teoria de la demostraci6n como una propuesta de soluci6n de los pro­blemas suscitados por aquellos en los primeros decenios de nuestro siglo. Es nuestra intenci6n aqui, asimismo, mostrar el caracter espedficamente matematico (en oposici6n a uno mas filos6fico, como seria el caso del logicismo y tambien, aunque en otro sentido, del intuicionismo) de esta propuesta; es decir, su plausibilidad tomando en

2 De hecho, Godel mismo reconoce que el libro de Hilbert y Ackermann [1928] despert6 su interes por los problemas de completud en relaci6n a Ia 16gica y las matematicas [cf. Wang 1987, 17].

3 La prlmera parte de esta afirmaci6n seria tambien valida para el intuicionismo, Ia otra posici6n clasica en torno de estes problemas.

4 Un indicador de esta situaci6n lo constituye el hecho de que Ia obra mas comprensiva de Hilbert en relaci6n a estes t6picos, los Grundlagen der Mathematik [Hilbert y Bemays, 1934, 19391, en colaboraci6 n con Bemays, tan importante al menos como las Grundgesetze der Arltbmetik de Frege o los Principia Matbematica de Whitehead y Russell no han sido nunca traducidos, ni siquiera en partes (excepto como citas), a ninguna lengua.

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cuenta la bistoria y Ia metodologia de las matematicas, tal y como estas han sido entendidas por la mayoria de los matematicos.

Con lo anterior, sin embargo, no queremos decir que el fo rmalismo, en esta su forma primigenia (la unica a la que nos referiremos), haga caso omiso de la filosofia. Mas bien , la tesis que aqui queremos sustentar es la de que, a pesar de tratarse de una problematica de un gran contenido filos6fico, el enfasis de Hilbert se pone mas bien en el aspecto mas concreto e hist6rico de lo que ba sido Ia practica matematica y no tanto en consideraciones filos6ficas de principio que, de heche, encuen­tra sumamente problematicas o de plano err6neas (logicismo) o bien demasiado proclives a una normatividad ajena a la historia de la disci­plina, lo que haria practicamente imposibles o demasiado cornplicadas pruebas y formas de argumentaci6n importantes de las matematicas, afectando a ramas enteras de la misma (intuicionismo).

En otras palabras, la tesis que aqu1 se sostiene es que el formalismo de Hilbert seria una tentativa conservadora y justificacionista de soluci6n de los problemas de los fundamentos, una tentativa que es, ante todo, practica desde el punto de vista matematico, que pretende ser unica y definitiva y que posee igualmente un trasfondo fil os6fico supuestamente kantiano, segun Hilbert mismo, pero que, en realidad, mas bien habrla

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que ubicar en la linea de concepciones afines al positivismo l6gico (si bien este, con excepci6n, si se quiere, de Godel,5 no tom6 mucho en cuenta su trabajo , adoptando los Principia como su vision oficial de los fundamentos de las matematicas).6

La aritmetizacion del analisis y el concepto de niimero

En la primera decada de nuestro siglo confluye, en torno a la problematica de los fundamentos en las matematicas, una serie de tendencias que influyen de manera decisiva en la conformaci6n de los planteamientos de Hilbert. Con sus definiciones de los numeros reales, Dedekind y Cantor hab1an dado un paso de la maxima importancia en la tarea de fundamentaci6n iniciada por Weierstrass, es decir, en el llamado proceso de aritmetizaci6n del ana/isis, en la reconstrucci6n y definici(m precisa de todos los sistemas numericos clasicos a partir del

5 Godel mismo no pensaba haber formado parte nunca del Circulo de Viena, ni compartia Ia rnayoria de sus concepciones. Cfr. [Wang 1987, 20].

6 Todavia en 1931, por ejemplo, Carnap [1931] habla del logicismo casi como Ia concepci6n definitiva en Ia filosofia de las rnatematicas.

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de los numeros naturales, con la adici6n en cada caso de las !eyes de Ia 16gica y de ciertas operaciones conjuntistas. En particular, en su pequena obra Was sind und was sol/en die Zahlen?, Dedekind [1888] presenta una primera formulaci6n de los principios que hoy conocemos como los axiomas de Peano, asi como de ciertos principios relativos a totalidades (que mas tarde Zermelo [por ejemplo, en 1907, 261] incorporara en su axiomatizaci6n de Ia teoria de conjuntos). El problema que Dedekind se plantea entonces es el de obtener esos principios a partir de algo aun mas elemental. Esta idea constituye el punto de partida del logicismo de Frege y Russell y un supuesto basico en sus construcciones. Con ello surgen tambien, sin embargo, dos cuestiones de gran importancia y estrechamente vinculadas, aunque independientes entre sl. Por una parte, la relativa a la posibilidad de ir todavia mas lejos en Ia tarea de fundamentaci6n, es decir, la de hallar un fundamento para Ia aritmetica misma, algo que nos permita obtener esta (a Ia manera en Ia que v.gr. los reales pueden obtenerse a partir de los racionales) y que sea aun mas ele!lJental que el sistema de los numeros naturales, esto es, algo que pueda ser considerado mas primitivo que los numeros naturales mismos. La aceptaci6n de esta posibilidad constituye el punto de partida del planteamiento de Frege y sera despues tambien asumida sin cuestionamiento de ninguna indole por Russell .7

Otros problemas basicos, que en esta epoca se perfilan cada vez con mayor claridad, son el de la naturaleza de Ia verdad matematica y el de Ia existencia de los objetos matematicos. Aparte de la cuesti6n deductiva de que dentro de una teoria axiomatica estos problemas pueden re­ducirse a los problemas correspondientes para los axiomas, iCOnstituyen estos autenticas proposiciones? Y, de ser positiva Ia respuesta , ien que reside su validez? iSon los objetos matematicos, numeros, lineas, conjuntos, etc. algo que depende de las construcciones intelectuales de los matematicos o algo que existe por si mismo? etc.

En 1879, en su Begriffschrift, Frege [1879] habia transformado de golpe la l6gica en una disciplina exacta. Los trabajos paralelos de Peano y sus resultados en torno a la formalizaci6n como el lenguaje propio de las matematicas contribuyen igualmente a clarificar Ia noci6n de de­mostraci6n, dejando de lado definitivamente, seg(ln se piensa entonces, cualquier recurso a elementos intuitivos en una argumentaci6n

7 Dedekind mismo piensa que sus principios y resultados ( inclusive el de Ia existencia del infinito) poseen un caracter 16gico.

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matematica. En tales circunstancias, Ia 16gica se convierte no s6lo en el candidate mas viable para una respuesta afirmativa al problema relative a Ia posibilidad de fundamentaci6n de los naturales, sino, a1 mismo tiempo, en una disciplina cuya relaci6n con las matematicas, en especial con Ia aritmetica de los naturales, es preciso elucidar.8

Otro elemento de gran importancia en Ia conformaci6n de las ideas de Hilbert en torno a los fundamentos se encuentra en Ia teoria canto­riana de conjuntos. En el ultimo cuarto de siglo, esta se habia convertido, por una parte, en un recurso lingiilstico de gran flexibilidad que permitia Ia expresi6n elegante, unitaria y suscinta de argumentaciones y pruebas en las matematicas. Pero, al mismo tiempo, por Ia otra, se habia puesto de manifiesto de manera cada vez mas clara su caracter basico en estas. Ella rnisma (o parte de ella) se presupone en todas las teorias, al postu­larse axiomas y principios validos para cierta colecci6n de objetos y, en general, siempre que se habla de totalidades. Ia teoria de conjuntos (o partes importantes de ella) resultan imprescindibles para el analisis de conceptos matematicos primitives como los de numero, relaci6n, arden, funci6n, sucesi6n, limite, etc. y, en consecuencia, tambien para el estudio y el desarrollo de los fundamentos de Ia aritmetica y el analisis.

Hay, sin embargo, otro aspecto sustancial de esta teoria que consti­tuye su contenido caracteristico y propiamente matematico y que suscit6 desde un inicio encendidas reacciones tanto a favor como en contra, el relative al infinito. En efecto, Cantor concibe Ia teoria de conjuntos como una teoria acerca del infinite. A diferencia de Ia mayoria de sus contem­poraneos, Cantor considera el infinite no como alga potencial en el sen­tide aristotelico, sino como algo real y acabado, es decir, como algo ac­tual y susceptible de una consideraci6n objetiva del mismo tipo que, digamos, el numero 3. A partir de esta idea, Cantor construye una arit­metica de lo infinite, una aritmetica transfinita, de manera analoga a como Ia aritmetica de los naturales es una aritmetica del ambito de lo finito discrete. Parece entonces plausible hablar, en lo que respecta a Ia intuici6n, de una analogia entre el axioma de las paralelas en la gee­metria euclideana y Ia suposici6n fundamental en la teoria de conjuntos de un infinite real. Sea esto como sea, con esta posicion Cantor lleva tambien . a sus ultimas consecuencias una actitud relativa a los objetos

8 En 1931, von Neumann [1931, 61] observa a este respecto que "es notable que la cuesti6n (en si misma filos6fico-epistemol6gica) de la validez de las matematicas clasicas se ha convertido en una de caracter l6gico-matematico".

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matematicos que podemos describir como metaj tsica y que tendria entre otros de sus representantes en esta epoca a Weierstrass. Dedekind, Frege y a Balzano como un importante antecedente -aunque no segiin parece9 a Hilbert- y que mas adelante sera conocida como el platonismo.10

En este contexto hacen su aparaci6n las paradojas de Ia teoria de conjuntos que, en realidad, habrian de servir como una especie de catalizador para una serie de problemas de principia que habian ido surgiendo en todos estos aiios, pero que no se plantearian de manera acuciosa sino hasta finales de Ia primera decada de este siglo y que ponian de rnanifiesto la existencia de diferencias fundamentales en relaci6n a lo que constituye la esencia rnisma de Ia actividad maternatica.

Tenidas al principioll como un elemento relativamente normal que ciertamente seiialaba la existencia de inexactitudes en la periferia de una teoria en curso de elaboraci6n, pero que de ninguna manera ponian · en tela de juicio la legitimidad de la misma, las paradojas recordaban en las matematicas de finales de siglo mas bien aquellas falacias que resultaban de las sucesiones aditivas infinitas que habian sido aclaradas en el analisis (Bolzano-Cantor). Es decir, se pensaba que el desarrollo rnismo de Ia

9 Dedekind mismo piensa equivocadamente que Ia existencia del infinito se sigue a partir de consideraciones puramente l6gicas [Cfr. 1888, §66, donde se presenta un argumento psicol6gico que justificaria esta conclusion] . La actitud de Hilbert a este respecto tiene que ver con su peculiar postura en torno al problema de lo que significa existencia en las matematicas (vease mas adelante). Es importante notar, sin embargo, que algunos de sus primeros resultados en la teoria de invariantes habian provocado polernica y se les habla llamado teol6gicos, precisamente en virtud de hacer un uso esencial de la reducci6n al absurdo para establecer un resultado existencial, lo que presupone una actitud platonista. Hilbert piensa a la saz6n, por lo demas, que "el valor de las pruebas puramente existenciales [por reducci6n al absurdo] consiste justamente en que eliminan Ia construcci6n individual y en que muchas construcciones se subsumen bajo una idea fundamental , de tal modo que unicamente lo que es esencial a las demostraciones se pone de manifiesto. La brevedad y Ia econornia del pensamiento son la raz6n de ser de las pruebas existenciales ... , prohibirlas equivale a echar por la borda las matematicas en su totalidad" [cit. en Reid 1970, pp.35-37].

10 Brouwer [1912, 124] piensa, ademas, que habria un e lemento de caracter nacional (aleman) en todo esto, una afirrnaci6n no contradicha por Ia inclusion de Russell en esta lista, a quien Brouwer practicamente ignora.

11 La paradoja de Russell, por ejemplo, descubierta por este en 1901 , era conocida por Zerrnelo y Hilbert ya en 1895-6 [cf. Hilbert 1903]. Cantor sabia asirnismo desde estos anos de la existencia de las antinornias del maximo ordinal y el maximo cardinal [cf. Grattan-Guinness 1980, 75)

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teona se encargaria de su eliminaci6n natural. Esta actitud confiada ter­mina abruptamente con Ia publicaci6n de Ia paradoja de Zermelo-Russell que pone de manifiesto Ia existencia de dificultades substanciales en relaci6n a Ia noci6n misrrui de conjunto.

La critica de Brouwer

Otro elemento indispensable para Ia comprensi6n del planteamiento hilbertiano lo constituye la profunda critica de Brouwer a los fundamen­tos de las matematicas.

Siguiendo una linea de pensamiento cuyo iniciador habia sido Kronecker, Brouwer piensa que gran parte de las argumentaciones en las matematicas carece estrictamente de sentido, pues viola principios que se desprenden de Ia naturaleza misma de los objetos matematicos. Estos no son sino construcciones de la mente humana, productos de Ia raz6n y carecen de cualquier tipo de existencia independiente. Existir en las matematicas significa construir y mostrar, por lo que Ia ley del tercero excluido carece de validez general. Los elementos de las construcciones matematicas son, en ultima instancia, los numeros naturales y el infinito potencial que constituyen precisamente Ia elaboraci6n intelectual de los contenidos primigenios de Ia intuici6n.12 Existen, por lo tanto, Hmites a Ia raz6n matematica; esta no puede operar en el ambito de Ia pura posibilidad y requiere de contenidos previos, dados a priori en Ia intui­ci6n. I.a l6gica clasica no es, en consecuencia, una representaci6n acep­table de Ia raz6n matematica. Mas bien, Ia l6gica es una extrapolaci6n indebida (a ambitos arbitrarios de objetos) de principios validos en Ia esfera de lo finito. Un problema que entonces surge es el de Ia signi­ficatividad real de ciertas proposiciones matematicas y, en general, el de establecer criterios plausibles para Ia misma. Lo que se requiere es una especie de critica de Ia raz6n matematica, una revision de todas las matematicas a la luz de esos criterios.

12 El fen6meno fundamental del intelecto humano consiste en Ia reunion de mementos separados de Ia vida y esta separaci6n es temporal. Esto seria lo que podria llamarse el caracter uno-dos [two-oneness) 'Y constituye tambien Ia intuici6n basica de las matematicas, dando origen, en primer Iugar, a todos los o rdinales finitos; dando tambien origen, en segundo, puesto que puede repetirse indefinidamente, al primer ordinal infinite, omega y, finalmente, por oposici6n a lo continuo y lo discrete [cf. Brouwer 1912, 128).

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El metodo axiomatico y Ia metamatematica

El enfoque de Hilbert, en relaci6n a Ia filosof1a de las matematicas; se encuentra estrechamente vinculado a su experiencia como matematico creativo y representa, en realidad, un desarro llo natural de sus investiga­ciones en tomo a los fundamentos de Ia geometria y el metodo axio­matico, de frente a Ia problematica surgida con Ia aparici6n de las paradojas, la critica de Brouwer y el intento de validar los procedimien­tos y resultados de las matematicas clasicas.I3

las contribuciones de Hilbert al desarrollo de Ia axiomatica son, en particular, en varios sentidos, fundamentales. Seg(In el, lo que constituye propiamente la ciencia son los conocimientos ordenados. Este orden se desarrolla a traves de diferentes fases. En una etapa inicial se alcanza una conceptualizaci6n estructurada que da Iugar a Ia teoria de cierta esfera del conocimiento [1917, 405]. El descubrimiento de ciertos principios basicos, a partir de los cuales puede obtenerse la totalidad de las afirma­ciones validas en esa teoria, da lugar a una primera y concreta axiomati­zaci6n, que es seguida po r un segundo paso, en el que esos axiomas o principios basicos pueden obtenerse a partir de otros. Este proceso es descrito por Hilbert como una ubicaci6n mas profunda de los Jundamentos de una ciencia particular y comparado con Ia necesidad de ampliar una construcci6n garantizando al mismo tiempo su seguridad [ibid, 407].14

Ser1an dos las condiciones a satisfacer por la teoria de una disciplina:

En primer Iugar, Ia independencia de los principios; y, en segundo y fundamentalmente, la consistencia de los mismos.

13 "Con los metodos que Ud. propone", observaria Hilbert a Brouwer durante la discusi6n posterior a una conferencia de este en Gottingen, "la mayoria de los resultados de las matemati.cas modernas tendria que ser abandonada y, para mi, lo fundamental no es obtener menos resultados, sino obtener mas" [cit. en Reid 1970, p. 184).

l4 Un ejemplo de este proceso lo tendriamos en la geometria misma. La ordenaci6n de los hechos geometricos habria dado Iugar a Ia geometria euclideana, su fundamentaci6n mas profunda como axiomatizaci6n rigurosa seria llevada a cabo por Hilbert mismo en sus Fundamentos de Ia Geometria. Ademas, en este sentido, todo lo que es sujeto del pensamiento cientifico, al alcanzar cierto grado de desarrollo que pennita elaborar una teoria, cae en Ia esfera de la axiomatizaci6n, convirtiendose tambien, en consecuencia, en objeto de estudio de las matematicas.

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Hilbert habia obtenido un primer e importante resultado a este res­pecto en 1899. Su Grundlagen der Geometrie [1899a] presenta no solo un sistema de axiomas para la geometria euclideana con la pretension de ser absolutamente riguroso en un sentido logico y adecuado para la ob­tencion deductiva del corpus conocido de esta rama de las matematicas, sino que, en su segunda parte, el objeto de investigacion lo constituye la teoria misma recien expuesta. Hilbert demuestra alli, por ejemplo, la in­dependencia y la consistencia de sus axiomas. Esta ultima propiedad de un sistema axiomatico sera decisiva para la concepcion hilbertiana de los fundamentos. La prueba que Hilbert presenta es una prueba relativa, es decir, Hilbert hace ver que si en la geometria de Euclides se obtuviera una contradiccion, algo analogo tendria que ocurrir en Ia aritmetica de los numeros reales. lS

Este procedimiento de relativizar la consistencia de una teoria puede aplicarse en relacion a diversos sistemas (por ejemplo, grupos de Galois y analisis). Sin embargo, tanto en el caso de la aritmetica como en el de la teoria de conjuntos, este procedimiento resulta impracticable: su uti­lizacion supone que Ia teoria a la que otra se relativiza es, en algun sentido, mas elemental que esta .

El mismo aflo y siguiendo las lineas de investigacion de su trabajo sobre Ia geometria, Hilbert presenta la primera de una serie de axiomati­zaciones de Ia teoria de los numeros, examinando algunas relaciones de dependencia logica entre sus principios [1899b]. Es importante hacer hincapie en que todas estas ideas son presentadas por Hilbert antes de la Hamada crisis de los fundamentos, desencadenada por la difusion de las paradojas y los desacuerdos resultantes en cuanto a su causa. Pareceria, mas bien, que el curso que sigue su pensamientos se encuentra influido tanto por el reconocimiento definitive de las geometrias no euclideanas en las matematicas, como por el desarrollo del analisis en conexion con el concepto de "infinitamente pequeflo", esto es, la elucidacion definitiva del continuo aritmetico, el afan de estructurar con el maximo de rigor una teoria axiomatica, el problema natural conexo de investigar las rela­ciones de esta con otras y tal vez tambien por la necesidad, en vista de su conocimiento de "ciertas inconsistencias", de dar finalmente un fun­damento precise y totalmente conclusive a su investigaci6n.

15 Puede considerarse, sin embargo, que las geometrias no euclideanas representan los primeros resultados de consistencia de teorias. El logro de Hilbert a este respecto seria aqui mas bien el de haber dado un gran impulse ordenador al organizar Ia investigaci6n en este terrene.

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En este mismo articulo Hilbe rt presenta tambien una de las ideas basicas de su pensamiento : La demostraci6n de consistencia de los axiomas de una teoria como garantia de la existencia de los obJe.tos a que estos se refieren. En particular, Ia prueba de consistencia del sistema de axiomas de los reales aseguraria Ia existencia como algo acabado [fe rtig] de este conjunto [1899b, 184]. Hilbert infiere de este crite ria la inexistencia del conjunto de todos los cardinales cantorianos.

Ahora bien , Ia imposibilidad 16gica de dar una prueba de consistencia relativa de Ia teoria de los numeros requie re abordar este problema con un enfoque radicalmente dive rse. Hasta ento nces, el mecanisme habia consistido en Ia construcci6n de un modelo para Ia teo ria en cuesti6 n. Esta via se encuentra cancelada en este caso. Hilbert inaugura una nueva rama de las matematicas, cuyo objeto seria Ia investigaci6n global de una teoria, en una especie de autentica reflexi6n de 22 grado16 equiparable a Ia critica que el flsico hace de sus instrumentos y, particularmente impor­tante, con la que la ftl.osofia lleva a cabo con la raz6 n, Ia metamatematica o teoria de la demostraci6n [1922a, 170]. Los objetivos centrales de Ia metamatematica hilbertiana serian , en consecuencia, Ia demostraci6n de Ia consistencia e independencia de los axiomas, asi como de su co mple tud. En los primeros escritos de Hilbert sobre estos temas [1899a,1899b], el proble ma principal lo constituye la independencia de los axiomas; el surgimiento de las contrad icciones privilegia naturalmente · la consistencia como Ia exigencia basica, mie ntras que la completud no se plantea claramente como un problema centraP7 sino re lativamente tarde [en 1928. Cfr. tambien 1931 , 192]. Hilbert seguira p o r algun tiempo la practica matematica comun e intuitiva de considerar que un sistema de axiomas es adecuado si permite establecer todos los resultados impo rtantes conocidos en re laci6n al ambito de o bjetos de que se trate.

De hecho, la transici6 n de lo intuitive y "empirico" a lo explkito y demostrativo, en el caso tanto de 1a independencia como de Ia consis­tencia y completud, constituye Ia problematica basica propiamente es­pecifica de Ia metamatematica . En realidad , podemos hablar de una pre ­tensio n absolutista de esta teoria . Se trata de establecer Ia imposibilidad

16 Es este precisamente el sentido que tiene Ia afirmaci6n de Hilbert acerca dt! que "proceder de manera axiomatica no significa otra cosa que pensar conscientemente [mit Bewusstsein denken]" [1922a, 161).

17 Aunque si se habia planteado como problema (secundario) desde un inicio [cf. Hilbert 1899b, 181].

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de ciertas demostraciones, por lo tanto, de una reflexi6n acerca de todas las pruebas posibles. Es esto lo que Hilbert tiene en mente cuando habla [1923, 178] de su Beweistheorie como de una soluci6n definitiva del problema de los fundamentos en cuanto tal.

LOgica y miltemilticas

Ahora bien, esta idea plantea por lo menos dos problemas impo r­tantes. Por una parte, el de una consideraci6n de la totalidad de las de­mostraciones, que claramente incluye la posibilidad de una reflexi6n pu­ramente formal y, por lo tanto, de manera esencial, a Ia 16gica. Hilbert concluye de aqui no s6lo Ia necesidad (satisfecha ya por los trabajos de Frege y Peano) de una formalizaci6n de Ia 16gica misma, sino de una axiomatizaci6n simultanea de Ia l6gica y la aritmetica. El planteamiento mismo parece incurrir, por la o tra, en un circulo vicioso. Una prueba ab­soluta de consistencia resulta en rigor imposible. Es necesario partir de algo incuestionado, incuestionable y suficiente, si es que Ia propuesta hilbertiana ha de emprenderse con sentido.

, Un candidate natural seria la 16gica misma . Esta seria la postura del

logicismo. Sin embargo, Hilbert considera insuficiente tal enfoque. Las razones para ello son por lo menos dos: a) en su forma linguistica (y, por lo tanto, mas afin a Hilbert), el logicismo requiere para obtener resul­tados basicos18 de axiomas como el de reducibilidad e infinitud, esto es, seg(ln Hilbert, de principios totalmente artificiales y arbitrarios;19 b) Hilbert acepta Ia parte analitica de la critica de Brouwer, aunque no sus conclusiones, considerando tambien, consecuentemente, 1a filosofia kantiana como el marco conceptual en que Ia metamatematica ha de encontrar su a poyo.

Las matematicas requieren, como todo conocimiento, de "algo dado en Ia intuici6n" [1922a, 162]; hay algo previa, a priori y necesario en relaci6n a elias: "Las matematicas disponen de un contenido indepen­diente de toda 16gica y no pueden nunca, en consecuencia, encontrar en

18 Por ejemplo, el principio de inducci6n matematica y ·Ia existencia de un conjunto sucesor.

19 Como muchos otros en su tiempo, Hilbert da una interpretaci6n lingiUstica de Ia teoria de los tipos de Russell. Russell rnismo oscila, sin embargo, entre una consideraci6n lingilistica y una no lingilistica de sus objetos, las funciones proposicionales.

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esta su fundamentacion. La logica misma requiere como condicion de su aplicabilidad ... de ciertos objetos extralogicos dados y anteriores a to do pensamiento" [1925, 171].

Esta dificultad es de gran importancia en el pensamiento de Hilbert y seiiala el punto de interaccion entre lo finito y lo infinite en su concep­cion, proporcionando al mismo tiempo Ia justificacion de este y de toda la metamatematica.

El infioito

El infmito no posee ningun tipo de reaHdad material. Tanto los resul­tados de Ia fisica de las partkulas como los de Ia astronomla parecerian refutar Ia idea de una existencia fisica del infinite. Y sin embargo, segun Hilbert, el infinite posee un Iugar perfectamente justificado en nuestro pensamiento, ademas de constituir un elemento imprescindible en Ia manifestacion matematica del mismo [1925, 165].

la aparicion de las contradicciones en Ia teoria de conjuntos arroja ante todo, una sombra de duda sobre Ia legitimidad de un tratamiento del infinite como algo actual y, por ende, sobre Ia licitud de Ia totalidad de Ia aritmetica transfinita. Se plantean entonces para Hilbert tres dificultades esenciales:

1. la conservacion del aspecto transfinite de Ia teoria cantoriana de conjuntos; 2. Ia necesidad absoluta de reestablecer en Ia totalidad de las matematicas20 Ia misma seguridad argumentativa que es usual en Ia teoria elemental de numeros y 3. Ia determinacion del ambito de validez de las leyes de Ia logica aristotelica, habida cuenta que su manejo irrestricto involucra una referenda al infinite.

Lo que se requiere, seg(ln Hilbert, mas que una proscripcion del in­finite actual de las matematicas y una restriccion de Ia aplicabilidad de los principios logicos, es aclarar el status conceptual de Ia idea de infinite en las matematicas [1925, 123]. Hilbert cree poder conciliar de esta manera su conviccion relativa a Ia legitimidad matematica de Ia aritmetica transfinita de Cantor, su aceptacion de Ia parte analitica de Ia critica de Brouwer y el caracter irrestricto y sencillo de Ia validez de las leyes logi­cas usuales.

20 La idea de Hilbert acerca de las matematicas comprende basicamente e l amllisis, la aritmetica, Ia l6gica y Ia teoria de conjuntos.

so

El flnitismo

El punto de partida de Hilbert lo constituye lo que el llama la Inhaltlichkeit [1917, 413], el contenido concreto, como podemos traducir este difkil termino hilbertiano.21 I.a esfera de significatividad de lo con-

~

creta se circunscribe a lo finito. Esta es la esfera de lo finitario o fin itista. Esta nocion parecerla ser Ia interpretacion que hace Hilbert de Ia intuicion fundamental o primigenia de Brouwer [1907, 70] y Hilbe rt parece concebirlo exactamente como algo completamente diferente a lo formal y puramente sintactico, es decir, como algo puramente semantico. I.a intuicion primigenia garantizaria exclusivamente Ia existencia de aquellas construcciones conceptuales que resultan de Ia combinacion finita de las operaciones i) de crear un numero ordinal finito y ii) de crear el numero ordinal infinite omega [Brouwer 1912, 86], esto es, de aquellas construcciones que pueden efectuarse por medias exclusivamente finitistas, recursivos, sin recurrir a principios con implicaciones transfinitos (como la ley del tercero excluido).

I.a idea de Hilbert es garantizar Ia existencia matematica del infinite por medio de una justificacion finitista y constructiva, esto es, con sus propias palabras, "las inferencias que recurren al infinite deben ser reemplazadas por procesos finitos con los que se obtiene lo mismo que con aquellas, es decir, con los que resultan posibles las mismas argu­mentaciones demostrativas y los mismos metodos de obtencion de for­mulas y teoremas" [1925, 162].

Por lo demas, el finitismo remite filosoficamente a Kant. I.a idea de Hilbert es, aqu1, que el punta de partida para una reconstruccion y fun­damentacion de las matematicas clasicas, que incluya Ia teor1a transfinita de conjuntos, deben ser los contenidos de la intuicion; que la logica no puede operar en el vado, sino a partir de ciertos contenidos dados de nuestra intuicion [Brouwer 1907, 72]; y, por lo tanto,. que su aplicacion r<::quiere de un examen previa de la idoneidad de los objetos a los que se a plica. El finitismo no ser!a, en realidad, otra cosa que lo a priori, algo que

21 Literalmente ·lnhalt· significa 'contenido'. Hilbert utiliza este termino o derivaciones del mismo para hablar de inferencias concretas, correcci6n concreta, tratamiento concreto, punto de vista concreto, teoria concreta de numeros, consideraciones concretas, significado concreto, expresiones comunicativas concretas, etc. El significado basico de Ia particula ·concreto· en estas expresiones se explica a continuaci6n. En nuestro escrito utilizaremos siempre este termino en su acepci6n hilbertiana.

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habr!a que satisfacer como condici6n de posibilidad de las matematicas [1931, 486].

Una consecuencia importante de este planteamiento es que el logi­cismo constituye un intento de fundamentaci6n err6neo de las matematicas. La 16gica no puede ser anterior a los contenidos de nuestra intuici6n. Esta seria, entonces, Ia alternativa a un d rculo vicioso en Ia fun­damentaci6n de las matematicas: lo incondicional y dado son los con­tenidos de Ia intuici6n, tal como Kant y Brouwer lo han aclarado; Ia base de la que debemos partir para justificar las matematicas es, por lo tanto, el finitismo.

I.a inferencia l6gica de contenidos, los modos concretos de inferencia (como Hilbert los llama) dependen, en cuanto a correcci6n , de su concordancia con el finitismo. Las paradojas tienen su origen en un uso indebido y descuidado de las inferencias concretas, es decir, de modos argumentativos que solo son aplicables en el terreno de lo finito, a construcciones conceptuales arbitrarias, entre elias a conceptos que remiten directa o indirectamente al infinito [1925, 170].

Asi, aunque Hilbert coincide con Brouwer en Ia necesidad de to mar como punto de partida los contenidos finitos de nuestra intuici6n, con­sidera, a diferencia de este, 1a 16gica como un instrumento impres­cindible para 1a ordenaci6n sistematica de aquellos, es decir, para 1a ciencia y el conocimiento en general y, de manera especffica, absoluta­mente esencial a Ia actividad matematica.

De cualquier modo, el finitismo implica Ia renuncia a 1a generalidad irrectricta de la 16gica clasica, a una simplicidad esencial en las argu­mentaciones y, por supuesto, a la teoria cantoriana de los numeros transfinitos. Habida cuenta de que la actitud de Hilbert es, como quedo dicho, conservacionista, esto pareceria conducir a una especie de calle­j6n sin salida .

Elementos Ideates en las Matematicas

Hilbert piensa, sin embargo, que la historia de las matematicas pro­porciona suficientes ejemplos de situaciones similares, esto es, de situa­ciones aparentemente irresolubles que parecerla hacer necesario pres­cindir de conceptos o de metodos centrales para Ia elaboraci6n general de una teoria (por ejemplo, Ia existencia de ·infinitesimales·, la de nume­ros ·imaginarios· o complejos, etc.)

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En particular, las matematicas han desarrollado un metodo de investi­gaci6n que Hilbert considera el paradigma al que toda ciencia debe ria aspirar: la axiomatizaci6n . La ciencia es conocimiento sistematico y en las matematicas sistematizar significa axiomatizar.

Un aspecto notable de la axiomatizaci6n lo constituye el recurso a los elementos ideales, de gran utilidad para la simplificaci6n y generalizaci6n de resultados y procedimie ntos. De este modo, por ejemplo, han sido introducidos en la geometria euclideana los llamados •puntos al infin ite•, que garantizan la validez sin excepciones del principia de que dos rectas cualesquiera se intersectan en un solo punto. Algo semejante ocurre en el algebra cuando el campo de los numeros reales se adiciona con los numeros complejos (o ''imaginaries", como tambien se les llam6, en oposici6n a los "reales", los "verdaderamente existentes"), que simp I ifi­can grandeme nte los teoremas acerca de Ia existencia y el numero de rakes de una ecuaci6n . Es precisamente este metodo el que nos ofrece, segiin Hilbert, una vta de soluci6n al d ilema de renunciar a Ia 16gica aristotelica o de incurrir en falacias y abandonar las pretensiones de una maxima exactitud en las matematicas.

Lo que podemos hacer ante esta situacion es introducir, aparte de los enunciados finitistas, enunciados ideales que nos permitan preservar las sencillas reglas formales de Ia l6gica clasica [1925, 174].

El algebra sugiere un procedimiento plausible. En ella, las variables (por ejemplo, •a" y ·b" en .. a+b=b+a .. ) son consideradas como algo mas que signos, como objetos aut6nomos, al tiempo que las formulas mismas son tenidas por proposiciones concretas que formalizan p ropos tc1ones concretas de la teo ria de los numeros. 22

Desde el punto de vista finitista, un enunciado de este tipo (·a+b=b+a• s6lo resulta admisible como abreviatura comunicativa de un enunciado de la teoria elemental de los numeros que se mantendria es­trictamente en el plano de lo finite, aunque no seria susceptible, p o r ejemplo, de negacion (interpretado como una afirmaci6n universal) . .. a +b=b+a· es lk ita en ella siempre que ·a· y ,.b. representen signos numericos determinados. Por el contrario, en el algebra , una formula como esta no nos comunica nada concreto, sino que constituye una

22 La idea, aqu1, es que cualquier numero natural puede obtenerse por yuxtaposici6n de barras verticales (en una sucesi6n fin ita I I I I ... I) y que expresiones como ·a+b=b+a· no significan otra cosa que Ia sucesi6n de barras que consiste de los signos de a anadidos a los de b tiene Ia misma longitud que Ia sucesi6n de barras que consiste de los signos de b anadidos a los de a.

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figura formal que generaliza y simplifica una multitud de formulas con cifras en Iugar de ·a· y ·b·i es decir, no significa en si misma nada, pero nos permite derivar otras formulas (como •7+3=3+7•) a las que si asig­namos un significado, "interpretandolas como comunicacion de enuncia­dos finitistas" [1925, 175].

Generalizando esta idea, podemos considerar las matematicas en su totalidad como una coleccion de formulas de distintos tipos:

a) los enunciados estrictamente finitistas que pueden confirmar o refutarse directa e intuitivamente, y en relacion a los cuales la logica dasica resulta incondicionalmente aplicable (v.gr ·3 mayor que 2· , ·5+4=9+2·);

b) los enunciados fmitistas de caracter problematico, po r ejemplo, aquellos que no son separables (aunque la logica clasica posee una esfera de validez fmita, sus operaciones pueden a cada momento hacernos salir de esta);23

c) los enunciados ideales (cuya funcion principal consiste en la s im­plificacion y, en particular, en preservar la validez general de la logica clasica.

Mientras que el principio de no contradiccion y la ley del tercero ex­cluido pueden aplicarse a los enunciados a), no pueden aplicarse de manera irrestricta a los enunciados del segundo grupo y son aplicables con restricciones (so pena de incurrir en falacias y paradojas de no ob­servarse estas) a los enunciados ideales.

Las consideraciones anteriores, orientadas a dar un fundamento se­guro y no circular a la metamatematica, aunadas a la postulacion de con­tenidos previos de la intuicion como condicion necesaria para que Ia logica sea posible, implican, ademas, la necesiclad de una fo rmalizacion simultanea de la logica clasica y la teoria de los numeros,24 cuya correc­ci6 n y adecuidad sedan garantizadas metamatematicamente, esto es, con pruebas estrictamente finitistas.

23 Si se aftrma, por ejemplo, que existe l,Ul numero prima q mayor que p y menor o igual a P. + 1, puede inferirse, de acuerdo con ella, que existe q mayor que p. Este enunciado no es fmitista, aunque el primero sl lo sea.

24 Por lo demas, este argumento mostra ria de nueva cuenta Ia implausibilidad del enfoque logicista desde la perspectiva hilbertiana.

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Formalizacion

El calculo logico se convierte, de acuerdo con lo anterior y a difere n­cia de lo que ocurre en Frege o en Russell , en una coleccion de signos carentes de todo significado, esto es, de enunciados de un lenguaje es­pecial, introducido ex prof eso, que permite expresar las proposiciones matematicas como formulas y las inferencias en ella por media de procesos puramente formales de transformacion mecanica de expresiones. "De este modo -dice Hilbert- obtene mos, en Iugar de las matematicas reales que se · sirven del lenguaje comun para Ia comunicacion, una coleccion de formulas con signos matematicos y logicos que se agrupan seg(In reglas definidas" [1925, 177], una coleccion de formulas sin significado que nos permite , ademas, Ia investigacion global y concreta de sus caracter1sticas y que de esta manera , esto es, indirectamente, tambien nos permiten la investigacion y el establecimiento de propiedades de Ia matematica real misma. Hilbert hace hincapie, as!, en el aspecto linguistico de las matematicas, distinguiendo, por primera vez (quiza con Schroder con antecedente a este respecto) en la historia de estas, entre sintaxis y semantica. Su objetivo consiste, entonces, en dar cuenta de esta ultima con base en aquella y de esta apelando exclusivamente a recursos finitistas. Esta es la idea central de la Beweistheorie hilbertiana [1922, 179].

I.a conservacion de Ia teor1a cantoriana de los numeros transfinitos exige, sin embargo, ir mas alia del ambito de una logica de lo finito, esto es, requiere esencialmente de principios transfinitos. El planteamiento adquiere, sin embargo, en el enfoque hilbertiano, caracter1sticas espe­ciales. Como es clara que las inferencias transfinitas se encuentran es­trechamente relacionadas con los cuantificadores, se tratarla, en princi­pia, de introducir axiomas especiales transfinitos. Hilbert necesita de uno solo: el axioma de transfinitud

A(iA) ~ A(a),

mas tarde conocido como la f ormula epsilon , donde i(A) es una funcion selector similar a Ia funcion de eleccion de Zermelo. A partir de ello , Hilbert obtiene los principios aristotelicos normales relatives a la cuanti­ficacion [1931 , 490; Hilbert y Bemays 1934, par. 1] .

I.a justificacion de este axioma proporcionar1a tambien, Hilbert, Ia justificacion del infinite en las matematicas: Una

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"' segun "' teona

formalizada que tuviera como (formulas-)teoremas expresiones que puedan considerase como una representacion de los teoremas y resultados mas importantes de Ia teoria cantoriana de los numeros transfinitos yen relacion a la cual pudiera ademas demostrarse, mediante una argumentacion finitista , que es consistente, garantizaria plenamente tanto el axioma como los teoremas de las matematicas reales que representa. Esto es lo que para Hilbert quiere decir que lo infinito se justifique a partir de lo finito [1922b, 182].

El metodo finitista es el que Hilbert considera adecuado para el planteamiento del problema de dar una prueba de consistencia no rela­tiva de las teorias matematicas fundamentales (incluyendo el calculo logico ideal con sus inferencias transfinitas incorporado en ellas).25 De hecho, el procedimiento de introduccion de elementos ideates en un sistema exige de estos, como unico requisito, su consistencia con los demas principios de Ia teoria [1917, 411]: ((La extension [de un sistema axiomatico] por medio de Ia adicion de ideates solo es lkita cuando con ello no se da origen a contradicciones en el dominio anterio r mas estre­cho; esto es, cuando las relaciones que resultan para los objetos previos al eliminar los ideales son siempre validas en el dominio o riginal" [1925, 179].

Hilbert desarro lla, para las pruebas metamatematicas, un procedi­miento que habria de echar rakes: Establecer una propiedad para el sistema significa establecerlo para cada una de las formulas demostra­bles. Es bajo esta pe rspectiva que ciertos problemas, como el de 1a de­cidibilidad, esto es, la solubilidad de todo problema matematico (una tesis mantenida por Hilbert desde su conferencia de Paris) adquiere sen­tido. Pero tambien otros problemas de gran importancia (suficiencia logica, consistencia directa, e tc.) adquieren ahara una formulaci6n

• prec1sa. , Estos serian los supuestos basicos del analisis hilbertiano que desem-

bocaria en la teoria de la demostracion. En lo que resta, nos ocuparemos no de sus desarro llos mas importantes (las aproximaciones a una prueba finitista de Ia aritmetica con los resultados parciales de Ackermann, von Neumann, los teo remas de completud e incompletud de Godel o la

25 En realidad, una prueba fin itista de Ia consistencia del calculo de predicados mostraria que Ia utilizaci6n de principios •transfinitos· como el uso, en toda su generalidad, del principio del tercero excluido, no suscita ningun problema al aplicarse a principios que ya son consistentes.

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prueba de Gentzen de 1936, etc.), sino de la discusi6n de algunos de sus supuestos basicos.

El Problema de Ia Existencia en Matematicas

Uno de los aspectos mas importantes del analisis hilbertiano del problema de los fundamentos lo constituye la noci6n de existencia . Para Hilbert, •existencia· en las matematicas es sin6nimo de ·consistencia•. El infinite existe en las matematicas porque la suposici6n de su existencia no conduce a ninguna contradicci6n. Pocos anos antes Cantor habia sostenido algo similar para justificar la ·realidad· de sus construcciones transfinitas.

Por una parte , esto resulta congruente con la interpretacion de las matematicas como una actividad absolutamente independiente de Ia ex­periencia. En este sentido, es igualmente aceptable hablar, por ejemplo, de que Ia ciencia no avala ningun tipo de existencia factica del infinite y al mismo tiempo de que este, no obstante, existe matematicamente. ·Existir• adquiere entonces un significado peculiar, diferente al estable­cido por Ia tradici6n filos6fica y el uso mismo del lenguaje. A primera vista, Ia idea de Hilbert a este respecto parecer!a ser que las matematicas se ocupan de Ia posibilidad pura. Que algo exista no significa otra cosa que es posible, y esta posibilidad pareceria efectivamente regulada por la consistencia.

Ahora bien, aunque es cierto que, en general, Ia inconsistencia implica inexistencia, la pregunta aqlli es si Ia consistencia es tambien una condici6n suficiente para que algo exista, como Cantor y Hilbert pre­tenderian.

Hilbert parece, ademas, pensar en Ia consistencia no s6lo como un mecanisme para establecer existencia, sino tambien como un criterio de significatividad yen este como determinante de Ia existencia, apoyando­se nuevamente, en apariencia, en que el ambito de los objetos de las matematicas esta conformado por Ia posibilidad pura. Para Hilbert las matematicas (en especial las matematicas reales, las que hacen los matematicos cotidianamente) constituyen una elbaoraci6n puramente intelectual de sistemas conceptuales de indole deductiva, una teoria que puede establecerse leg!timamente a partir de Ia experiencia, por abstrac-

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cion o libre postulacion y esta misma libertad vale tambH~n (salva con­tradictionis) en lo que ataiie a la eleccion de sus conceptos. 26

Sin embargo, la posibilidad pura presupuesta por Hilbert no es com­patible con su aceptacion explicita de una intuicion basica como la ma­teria prima a partir de Ja cual se desarrollan, seg(In Brouwer y Hilbe rt mismo, las matematicas, ni con el rechazo de este ultimo del logicismo por desatender precisamente esta fuente. En realidad, ·significatividad•, •consistencia· y ·existencia« no pueden ser sinonimos sino en una teoria de signos: "En el principia era el signa" [1922a, 162], como Hilbert blbli­camente lo formula. En este sentido, entonces, pareceria que la critica de Brouwer al formalismo como vado y la identificacion del Programa de Hilbert con este como una teorla de signos pareceria estar por lo menos parcialmente justificada .

Podria pensarse, sin embargo, en otra interpretacion. En Hilbert te­nemos, en concordancia, con la distincion entre enunciados concretes e ideales, una concepcion de las matematicas como algo que se manifiesta e n tres niveles. Tendriamos, asi:

1) las matematicas reales [die eigentliche Mathematik]; las matema­ticas historicas con su cumulo de resultados, metodos y supuestos (entre otros, la logica clasica irrestricta y el infinite como algo actual);

2) las matematicas formalizadas, que se obtendrian de las matema­ticas reales mediante Ja introduccion de un lenguaje especial y no am­biguo por abstraccion de significados. En este nivel, lo unico que puede hacerse es manejar los signos introducidos de acuerdo con ciertas reglas

. , . . smtacttcas prectsas;

3) las matematicas concretas [inhaltliche Mathematik] o intuicionistas en las que se adopta un enfoque estrictamente finitista y constructivista.

I.a relacion entre estos niveles seria, entonces, la siguiente: El infinite actual y los metodos no constructivos de demostracion (par ej. Ja reduc­cion al absurdo) tienen su lugar propio en las matematicas reales. Son estas, en realiclad, a las que se quiere dar un fundamento firme, son ellas las que histo ricamente llamamos matematicas. Si logramos •traducirlas•, esto es, formalizarlas, de tal manera que, prescindiendo de todo signifi­cado, podamos lograr que Ja teorla real, con todos sus axiomas y resul­tados, pueda ser •representada· hacienda a Ja vez explicita la logica sub-

26 Cfr. Hilbert 1900, p. 297. Aunque este es uno de sus primeros trabajos en relaci6n a estos problemas, un remanente de ello parece haber permanecido en los escritos posteriores de Hilbert.

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yacente, sin que quede nada a Ia intuici6n (salvo el reconocimiento de los signos formales mismos), tendriamos a nuestra disposici6n una es­tructura esencialmente mas clara y sencilla que la teoria real y a partir de la cual podemos establecer de esta manera mediata conclusiones sobre , esta.

Las consideraciones sobre Ia teoria formalizada deben llevarse a cabo en las matematicas concretas, metamatematicamente, esto es, a partir de principios estrictamente constructivos y finitistas. La funci6n esencial del tercer nivel es precisamente permitirnos establecer resultados sobre la teoria formal y asi tambien, indirectamente, sobre la teoria real, a partir de una base minima e incuestionable. Esto disipa claramente el peligro de la superfluidad o de un drculo vicioso: lo que se justifica es mucho mas que aquello con lo que se justifica 0

En particular, una prueba de consistencia (digamos) de la teoria for­mal de los reales, establecida en el nivel 3, mostraria al mismo tiempo el caracter no contradictorio de Ia teoria real de los numeros reales.

Dos diferencias de gran importancia entre estes niveles son las re lati­vas al significado y a Ia existencia. Mientras que, como qued6 dicho, en el nivel 2 no hay significados (aparte, si se quiere, de uno absolutamente elemental y relativamente arbitrario de la buena formaci6n de las formu­las), en los otros si parece haberlos. Y una dificultad analoga se presenta en relaci6n a la existencia: Mientras que en el nivel 2 no hay referenda alguna, por lo que ni siquiera tiene sentido preguntar si algo existe o no, fuera de si una cierta expresi6n ·(Ex) ... • puede afirmarse como teorema del sistema formal o no, en los niveles 1 y 3 si parece hablarse de obje­tos, esto es, de algo que existe o no.

La soluci6n que Hilbert ofrece a estas dificultades es exactamente analoga. En sentido estricto, esto es, haciendose cargo de los problemas de principio planteados por Brouwer y otros, la existencia matematica unicamente se presenta en el nivel 3. Es decir, solamente existe lo que puede ser construido de manera finitista. Sin embargo, en aras del es­piritu de generalidad que es esencial a las matematicas, por su fecundi­dad hist6rica y con la condici6n de consistencia, puede hablarse tam­bien, en un segundo sentido, de la existencia de los elementos ideales de

, una teona.

En tal caso ·existencia• pareceria adquirir un significado doble. Lo que existe en las matematicas intuicionistas existe tambien en las matematicas de contenido, pero, en general, lo que existe en estas no

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•

necesariamente existe en las primeras. Cuando las nociones involucradas van mas alla de la esfera finitista , Ia existencia en las matematicas de con­tenido se valida via la formalizaci6n y apelando a Ia metamatematica para una prueba de consistencia . Hay, no obstante, un sentido amplio de existencia que resulta de Ia extrapolaci6n de los principios de las matematicas intuicionistas y que no s6lo es inocuo en Ia medida en que se preserva la consistencia, sino que al mismo tiempo es necesario, en aras del espiritu de generalidad y simplicidad de Ia ciencia misma. En o tras palabras, la ·existencia• en un sentido lato representaria un recurso de Ia raz6n para superar sus propios limites, en analogia con Ia postulaci6n de elementos ideates que serian lo que Kant llama ideas, esto es, "conceptos de la raz6n que superan toda experiencia [en este caso matematica] y p o r media de los cuales se complementa lo concreto en el sentido de una totalidad" [1925, 190].

la dualidad existencial en Hilbert implica una posicion peculiar en cuanto al problema del platonismo en las matematicas. Es evidente que en el nivel finitista los objetos no poseen una existencia aut6noma; el constructivismo, Ia posibilidad efectiva de su construcci6n, es alli deter­minante. En este sentido, Hilbert no participa de la actitud metafisica que caracteriza a aquella postura. Sin embargo, Hilbert pretende justificar en el nivel formal precisamente construcciones con supuestos esencialmente platonistas (como el infinite actual o la ley del tercero excluido). El esquema de justificaci6n es siempre el mismo: existe una especie de astucia de Ia raz6n, esta es capaz de rebasar sus propios limites. Podemos concluir, entonces, que el formalismo asume una postura intermedia, participando tanto del intuicionismo constructivista como del platonismo cantoriano.

Estamos ahora, finalmente, en condiciones de evaluar la afirmaci6n de que filos6ficamente Hilbert se encuentra mas cerca del positivismo 16gico que del pensamiento de Kant, a pesar de su constante referenda a , este .

El punto de partida de Hilbert lo constituye el hecho hist6rico de la ciencia y, particularmente, de las matematicas como Ia mas exacta de las disciplinas. La intenci6n de Hilbert es precisamente rescatar, reivindicar esta exactitud y este caracter indubitable y, por lo tanto, unico de las matematicas, todo ella puesto en tela de juicio con Ia aparici6n de las paradojas. No se trata, como en Kronecker o Brouwer, de criticar y prescindir de partes de ella, sino de darles una base segura y definitiva,

•

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ademas, de unica.27 En esta tarea nos topamos con una especie de ar­monla preestablecida de la razon matematica [1931, 485], con desarrollos independientes que hacen posible una nueva sintesis, con peldafios en el paso progresivo de 1a ciencia hacia el grado maximo de exactitud, esto es, hacia el conocimiento y la verdad,28 que pondrla, ademas, de mani­fiesto una unidad esencial a toda la ciencia.29 La axiomatizacion es Ia forma desarrollada del pensamiento cientlfico, e l ideal al que toda ciencia tendrla que aspirar, y la metamatematica es 1a teorla matematica del metoda axiomatico, la crltica de 1a razon matematica y el instrumento matematico para asegurar las matematicas. En otras palabras, las matematicas no necesitan salir de si mismas para justificarse.

El programa de Hilbert comparte rasgos importantes tanto con el intuicionismo como con el logicismo. Formalismo y logicismo (en su version russelliana) coinciden30 en su concepcion de la logica como lenguaje, de las matematicas como una sintaxis logica, aunque difieren en sus supuestos filosoficos: para Hilbert en el principia es la intuicion (estrechamente ligada a 1a razon y a los metodos logico-matematicos); para el logicismo, en el comienzo no hay sino re laciones abstractas. Ambas versiones lingi.ilsticas de las matematicas son , en consecuencia, refutadas po r los teoremas de Godel.

Hemos mencionado ya, por otra parte, la aceptacion parcial, por parte de Hilbert, de la critica de Brouwer. Hilbert discrepa , sin embargo, de este al aceptar como parte de las matematicas nocio nes y metodos de demostracio n transfinita y po r conside rar la logica como un instrume nto imprescindible y fundamental para la actividad matematica, como una guia y un criteria de correccion para la misma (por lo tanto, previa a las

27 Los sistemas formales de Hilbert serian una representaci6n del pensamiento. Como parece poco probable encontrar una mejor formalizaci6n de enunciados, pruebas, metodos, etc., seria tambien practicamente (mica [cf. 1922b, 181 y 1931, 192].

28 En Hilbert se da, ademas, una especie de optirnismo cientificista, consistente en Ia certeza de que la raz6n cientffica es capaz de resolver cualquier problema que se plantee. Este es el sentido de su lapidaria afirmaci6n acerca de que Wtr mussen wissen. Wir werden wissen [Tenemos Ia obligaci6n de saber y sabremos] y habria sido igualmente [cf. Reid 1970, 198] la causa aparente de su resistencia emocional a aceptar los resultados de incompletud de Godel.

29 En este sentido, el 6° de los problemas planteados por Hilbert en Paris, esto es, Ia axiomatizaci6n de Ia fisica, seria el primer paso en esta tarea unificadora, en cuya base se encontrarian las maternaticas.

30 A pesar de la confusion que existe en Russell en cuanto al status de su objetos primitives: las funciones proposicionales.

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demostraciones), cuya sistematizaci6n resulta igualmente esencial, mien­tras que el intuicionismo le o torga apenas un papel secundario y supedi­tado a la intuici6n, por lo que cualquier codificaci6n de ella ha de ser por necesidad incompleta.31

Otro punto de divergencia importante entre ambos lo constituye el papel dellenguaje. Mientras que en el intuicionismo el lenguaje sigue ala intuici6n y encuentra en esta su justificaci6n , su materia prima, es decir, las matematicas y, en general, la ciencia son mas que lenguaje,32 en el formalismo, a pesar de aceptarse el papel basico de la intuici6n en el metalenguaje, el lenguaje mismo (el lenguaje objeto) no s6lo abarca Ia totalidad de las rnatematicas, sino que estas encuentran en un cierto tipo de lenguajes su justificaci6n, pudiendo, en realidad, reducirse a ellos. Precisamente los resultados de incompletud de Godel habrian mostrado que las matematicas no pueden reducirse ala sintaxis,33 confirmando as! la independencia de las matematicas con respecto a Ia l6gica.34 P0r lo demas, para el intuicionismo, cada proposici6n, individualmente consi­derada, posee o noun significado yes o no verdadera, mientras que para el formalismo lo que importa no es Ia verdad, sino la consistencia del sis­tema como un todo.

Formalismo e intuicionismo poseen, a pesar de sus divergencias fun­damentales , una base comun, el finitismo. Las soluciones propuestas p or ambos constituyen hist6ricamente un avance definitive en relaci6n al enfoque serniaxiomatico, semiformalizado y semiintuitivo del logicismo russelliano. En palabras de Weyl: "No hay duda alguna de que Brouwer y Hilbert elevaron el problema de los fundamentos de las matematicas a un nuevo nivel. Un retorno al enfoque de los Principia Mathematica de Whitehead y Russell es impensable" [1944, 274].

3l Seglin H. Weyl (1944, 270], Hilbert "es un formalista estricto en las matematicas, mientras que se convierte en un intuicionista estricto en Ia meramatematica".

32 Brouwer cuenta entre los fo rmalistas no s61o a Hilbert, sino igua lmente a Dedekind, Peano, Russell y Zermelo: "La concepci6n formalista no reconoce otras matematicas que el lenguaje matematico", viendo como algo esencial el metodo axiomatico [Brouwer 1911 , 121).

33 Entendida esta de una manera estrictamente finitista o sin una regia parecida a Ia regia omega -introducida por Tarski y mas tarde adoptada por Hilbert [1931, 424].

34 En realidad, las condusiones de los teoremas de Godel son en cierto sentido , , plenamente hilbertianas: La raz6n matematica, al ocuparse de Ia forrnalizaci6n como un instrumento de Ia raz6n, reconoce sus propios limites.

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Como hemos visto, por ultimo, Ia estrateg1a de Hilbert en su inte nto de preservar las matematicas clasicas se da a traves de una escisi6n en cuanto al significado de las pro posiciones matematicas: los enunciados finjtistas poseen un significado pleno; el resto s6lo uno ·ideak Hilbert pre tende salvar las matematicas clasicas por medio de Ia fo rmalizaci6n , esto es, convirtiendo los enunciados en formulas carentes de todo sig­nificado y Ia argumentaci6 n matematica en un mero juego reglado. En esta transici6n , verdad cede su Iugar a Ia consistencia, como una propiedad puramente smtactica de este juego de transformaciones fo r­males. Asi, a Ia critica brouweriana del significado de ciertas proposi­ciones, Hilbert responde prescindiendo de todo significado, excepto en el nivel metamatematico o concreto , donde puede decirse que son las proposiciones mismas y no los o bjetos Ia materia de mvestigaci6n .

Ahora bien, Hilbert encuentra que un procedimiento idealizante y globalizante como este se encuentra validado por Ia historia de las matematicas. De hecho, Ia introducci6n de e lementos ideales liga Ia es­tructu raci6n de una teoria con Ia h istoria de la teoria misma, pues es obvio que lo que se generaliza debe estar ya p resente en Ia teoria. En este sentido, resulta tambien injustificada la critica que frecuentemente se hace a Hilbert, acerca de que si las matematicas no son sino una teorla de los signos, una teoria en la que, ademas, podemos prescind ir de todo significado, nose entiende por que se eligen unos axiomas y no otros. En realidad, segun hemos dicho, Hilbert no pre tende prescindir de toda intuici6n. No s6lo porq ue lo que verdaderamente le importa es salvar a las matematicas reales, esto es, unas matematicas en las que los signifi­cados son esenciales, sino porque en el nivel 3, en la matematica, e l contenido, la intuici6n resulta absolutamente imprescind ible. Hilbert mismo rechaza un formalismo extre mo35 como inadecuado para dar un fundamento filos6fico aceptable a las matematicas.

Aunque en su fo rma original el p rograma hilbertiano de fundamen­taci6n de las matematicas conduce a un resultado negativo,36 sus frutos

35 Tipo Curry.

36 Basandose en una formulaci6n informal de estos resultados, M. Detlefsen [1986, 1989 y 1992] ha criticado esta que puede llamarse Ia interpretacion p ri ncipal de los teoremas de incomple tud godelianos. Concisamente expuesto, el a rgumento es como sigue: No es el primero, sino e l segundo teorema de Godel (G 2) el que aparentemente refuta e l p rograma de Hilbert (HP) para Ia fundamentaci6n de las matematicas. El enunciado de este teorema, suplementado con ciertas suposiciones, constituiria el argumento godeliano propiamente dicho en contra de las

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- - ~ ~ - - • • -- ~ .... --- - c •

son altamente positives. Entre los grandes logros de Hilbert en este terreno se encuentran el desarrollo del metodo axiomatico y Ia constituci6n de la metamatematica como una nueva rama de las matematicas. De hecho, inclusive los resultados de Godel poseen un as­pecto constructive, al proporcionarnos una idea mas clara de los enfo­ques y ·alcances del finitismo.37 En este sentido, los objetivos hilbertianos de la ciencia como un refinamiento y una ordenaci6n constantes de nuestro pensamiento habrlan sido plenamente satisfechos.

Universidad Metrop olitana-1, Mexico

pretensiones de Ja metarnatematica hilbertiana. Esta supuesta refutacion requiere, s in embargo , Ia transicion de un pla no 16gico a uno epistemol6gico. La suplementacion es logicamente necesaria, aunque ep istemologicarnente insuficiente para establecer Ia conclusi6n acerca de Ia imposibilidad de HP.

Es esta, sin embargo, historicamente, Ia lectura que se ha hecho de tales teoremas (de parte de Godel mismo, al igual que de Bemays y con reservas tambi€m de Hilbert mismo, de otra manera no se expLica el ultimo p:irrafo a Ia nota .z u r Einfubrung· a su obra de 1934.

Detlefsen parece tener razon, sin embargo, en su seiialamiento de que el enunciado mismo de los teorernas requiere una interpretact6n para aplicarse a HP, por lo que, desde un punto de vista estrictamence l6g ico, no implican necesariamence Ia imposibilidad de dicho programa. Que el elemenco hjst6rico de esta interpretacion es mas b ien determinance parece ser algo que el mismo Detlefsen acepta al admitir que "a pesar de todo, un renacimiento [del HP] no es .. . una expectativa razonable [1989, 131].

37 "Lo unico que se ha demostrado -dice Godel (en una carta a Reid [1970, 217])­es que el objetivo especificamente ep istemol6gico que Hilbert tenia en mente es imposible. .. Sin embargo, considerando Ia situacion desde otra perspectiva, las pruebas de consistencia, basadas en suposiciones metamatematicas mas fuertes (como las de Gentzen y otros) son igualmente interesantes y nos permiten una vision interna de gran importancia en Ia estructura te6rico-demostrativa de las matematicas . .. ".

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