El grupo de Fermat, Pascal y Descartes

Ma Isabel BarbaMa Antonia Binimelis

Cristina Varon

21 de gener de 2011

Introduccion

El desarrollo de las matematicas, a diferencia de otros ambitos co-mo la literatura, la arquitectura o el arte, no ha sido nada equi-librado a lo largo de los tiempos. Todos conocemos la situacionque vivıa el conocimiento matematico durante el medievo a partirdel siglo V d.C. Distinguimos altibajos durante dicha epoca. Aho-ra bien, tambien conocemos el final de la historia y sabemos que,afortunadamente, las matematicas consiguieron evolucionar graciasa diferentes autores arabes y a distinguidos matematicos europeoscomo Luca Paccioli, Fibonacci o Ramon Llull.

Pero no solo las matematicas sufrieron un cambio en su dinamis-mo. En general, todo el conocimiento experimento una gran evolu-cion durante los siglos XVII-XVIII. Recordemos que, durante elmedievo, la ciencia apenas tuvo actividad. Era la epoca denom-inada Oscura. Con la llegada de los musulmanes en el siglo VIId.C., la sociedad pudo conocer otras culturas del resto del mundo,ignoradas por Europa. Ya en el S.X d.C. encontramos los primerosresultados matematicos y durante los siguientes siglos, estos no ha-cen mas que crecer. El conocimiento volvio a resurgir.

A partir del S.XII d.C. la sociedad ya disfruta de universidadesy de un nuevo companero: la burguesıa. Fenomenos que no hacenmas que favorecer la transmision de culturas y conocimientos. Yya en los siglos XIII y XIV d.C. distinguidos matematicos destacanentre el pueblo con sus nuevos descubrimientos.

Pero no solo las matematicas cambian. Otros hechos destaca-dos tienen lugar en el conocimiento, sobre todo en astronomıa: laTierra, y con ella el hombre, dejan de ser el centro del Univer-so. Copernico, Kepler, Galileo... asientan las bases de una nuevamanera de ver el mundo. Los proximos anos prometen ser revolu-cionarios. Nace una nueva era: el Renacimiento.

En efecto, en los siglos XVI-XVII d.C tiene lugar la llamadaRevolucion cientıfica basada en un cambio de mentalidad de lasociedad del momento. No se trata de un hecho en concreto, sinode varias acciones que tienen lugar al mismo tiempo y que conllevana modificar los esquemas establecidos. Las verdades consideradashasta entonces se cuestionan y surgen diversas dudas que ponen enevidencia la sabidurıa del momento:

• Se empieza a desconfiar de la intuicion.

• Crece el valor de la observacion y de la demostracion empırica.

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• Se elaboran metodos que dan paso a la induccion para olvidarla deduccion.

• Se pretende conocer con exactitud los fenomenos de la natu-raleza y para ello intentan matematizar las leyes que los rigen.

• Se empiezan a independizar las ramas de la ciencia.

Una nueva pregunta domina en el panorama: ¿Como ocurren lascosas? Varios personajes se reunıan para dar respuestas, incluso lasmujeres. Fue en Parıs donde la Revolucion, conocida con el nombrede Ilustracion, tuvo su base.

Gracias a ese deseo de la busqueda de la verdad, las matematicasse ven fuertemente necesarias. Se recuperan textos antiguos y seprocede a estudiar mas a fondo este area. Destacan los matematicosfranceses: Fermat, Descartes y Pascal quienes de una u otra ma-nera, influyeron, y mucho, en la geometrıa analıtica y probabilidadconocidas hoy en dıa.

Matematicos franceses

Gracias a matematicos como Pierre de Fermat o Rene Descartes,hoy en dıa conocemos la geometrıa analtıca. Ellos dos, en el sigloXVII d.C., se interesaron en aplicar los metodos del algebra re-nacentista en la solucion de los problemas de geometrıa. Fueronellos los encargados de determinar las coordenadas (conocidas hoycomo coordenadas cartesianas) y de representar ecuaciones alge-braicas graficamente (y viceversa: escribir la forma algebraica deuna representacion grafica). Ambos fueron rivales, y en mas deuna ocasion, demostraron los mismos resultados. Sin embargo, losmeritos son para Descartes ya que Fermat apenas publicaba obrasque demostraran su hazana.

Rene Descartes (1596) fue una persona que trato la logica, laetica, la metafısica, la historia y la literatura. Sin embargo, mastarde, se dedico a trabajar independientemente en el algebra y geo-metrıa, que se convirtieron en sus materias favoritas debido a lacertidumbre de sus pruebas.

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A Descartes le inquietaban los metodos que seguıan los griegospara llegar a sus conclusiones ya que estos no tenıan un sistema deataque ası que el se propuso corregir estas demostraciones utilizan-do lıneas y figuras tridimensionales en una grafica compuesta porun una lınea horizontal (eje X) y una lınea vertical (eje Y). Em-pezo a combinar el algebra y la geometrıa, consideradas entoncescomo independientes, para formar una nueva disciplina matematicallamada geometrıa analıtica.

La geometrıa analıtica es aquella parte de las matematicas queestudia los objetos geometricos por medio del algebra. I.e aquellarama que permite que lıneas rectas, las curvas y las figuras geo-metricas se puedan expresar mediante ejes de coordenadas. ¿Enque destaca Descartes? En los conceptos de coordenadas (dondeFermat tambien tuvo su aportacion) y de representacion de ecua-ciones algebraicas de forma curva plana ya que se le considera elcreador de esta geometrıa. De hecho, fue el primer matematicoque intento clasificar las curvas segun el tipo de ecuaciones que lasproducen. Contribuyo tambien a la elaboracion de la teorıa de lasecuaciones.

Debido a la definicion de matematica analıtica, tenemos que losdos problemas base de este area seran:

• Dada la descripcion geometrica, i.e el dibujo sobre las coor-denadas de un conjunto de puntos, encontrar la ecuacion al-gebraica que cumplen dichos puntos.

• La cuestion inversa: dada la ecuacion algebraica f(x, y) = 0,determinar el lugar geometrico de los puntos que cumplen laecuacion.

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Todos hemos oıdo el termino coordenadas cartesianas. Sin em-bargo, es curioso saber que por un par de anos de diferencia, nues-tras coordenadas podrıan haberse llamado coordenadas fermatianasya que Descartes publico su trabajo sobre geometrıa en 1637 bajoel tıtulo de Discurso del Metodo, pero Fermat, a pesar de mostrarun analisis mas sistematico, no publico su obra en vida. Fue en1679 (despues de su muerte) con el tıtulo Introduccion a los Lu-gares Planos y Solidos cuando salio a la luz su trabajo. De ahı elnombre de geometrıa cartesiana. Sin embargo, podemos decir queambos son precursores de la geometrıa analıtica.

Para Descartes, las coordenadas de un punto eran un par denumeros que medıan las distancias de dicho punto a dos rectasperpendiculares entre sı: llamadas eje X y eje Y, o bien, eje deabsisas y eje de ordenadas. Segun nuestro matematico, el punto deinterseccion de las dos rectas centrales (los ejes X e Y ) constituyeel punto cuyas coordenadas son x = 0, y = 0. A este punto se lellama origen y es el punto referencia de todo el espacio. Ası, todopunto situado a la derecha del eje Y contendra su coordenada xpositiva, y viceversa, y todo punto dibujado en la zona superior deleje X tendra coordenada y positiva, y viceversa. Para hallar lascoordenadas de cualquier punto combinamos estas cuatro normas.

De esta manera, en la figura 1, observamos que el punto A estaa a 1 unidad del eje vertical Y y a 4 unidades del horizontal X. Lascoordenadas del punto A son, por tanto, 1 y 4, y el punto quedafijado dando las expresiones x = 1, y = 4. Por otro lado, el puntoB tiene por coordenadas x = 5, y = 0.

El hecho de determinar coordenadas positivas y negativas cons-tituye la primera diferencia que encontramos entre la geometrıaanalıtica de Descartes y Fermat y la geometrıa que ya existıa (cuyosorıgenes se remontan a los griegos gracias a Apolonio), que unicamente

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contenıa magnitudes positivas. Ademas, los griegos no dibujabanel eje de coordenadas a priori como lo hacıa Descartes, sino a pos-teriori con el objetivo de estudiar las propiedades de una curvadada.

La utilizacion de las ultimas letras del alfabeto x, y, z, t... paradeterminar cantidades desconocidas es original de Descartes ası co-mo emplear las primeras letras del abecedario a, b, c... para losdatos conocidos. El tambien invento el metodo de los exponentes,x2, para indicar las potencias de los numeros. Formulo la regla cono-cida como la ley cartesiana de los signos para descifrar el numerode raıces negativas y positivas de cualquier ecuacion algebraica. Fi-nalmente, determino que el primer elemento geometrico en el punto(.).

La obra de Descartes La Geometrıa constituye un ensayo de suDiscurso del Metodo formado por tres libros. En cada libro, apare-cen diferentes conceptos y trabajos sobre la geometrıa analıtica.

En su primer libro, Libro primero, Descartes trata los problemasque se pueden resolver solo con cırculos y lineas rectas.

En su segundo libro, Libro segundo o De la naturaleza de laslıneas curvas, aborda los problemas de las ecuaciones de grado su-perior y, sobre todo, las propiedades de tangentes y normales, parapoderlas aplicar a los problemas de la luz.

En su Libro Tercero Descartes muestra que una ecuacion puedetener tantas raıces como dimensiones tiene el grado, ofrece su famosaregla de los signos y aborda los problemas de 3er grado: la trisecciondel angulo y la duplicacion del cubo senalando que a ellos puedereducirse cualquier otro problema de 3er grado.

La intencion de ambos, Descartes y Fermat, fue aplicar losmetodos algebraicos a la solucion de los problemas en geometrıa.

No obstante, Fermat, a pesar de no ser un matematico profesio-nal, como Descartes, es quiza mas conocido por sus trabajos comosu Pequeno teorema de Fermat, los llamados Numeros de Fermato sus Numeros amigos (sobre los cuales Descartes tambien traba-jaba). Es decir, el es mas conocido por su aportacion en la teorıade numeros, en especial por el ultimo Teorema de Fermat sobre elcual investigaron muchos matematicos durante 350 anos.

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Fermat dejo sin demostrar muchas proposiciones, pero nunca seha demostrado que se equivocara en algo. De hecho, matematicosposteriores han podido demostrar casi todas las proposiciones queel no probo, excepto el Ultimo Teorema de Fermat, que no se haresuelto hasta el ano 1995. El enunciado de este teorema estabaescrito en un margen de un libro titulado la Aritmetica de Diofantode Alejandrıa, traducido al latın por Bachet y publicado en 1621:

Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadradoen dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, apartedel cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontradouna demostracion realmente admirable, pero el margen del libro esmuy pequeno para ponerla.

Este enigma es una abstraccion del teorema de Pitagoras. Elenunciado en notacion moderna es el siguiente:

Si n es un numero entero mayor que 2, entonces no existennumeros naturales a > 0, b > 0 y c, tales que que cumpla la

siguiente igualdad: an + bn = cn

La nota de Fermat fue descubierta por su hijo Clemente Samuel,quien publico este libro con las anotaciones de su padre, en el ano1670. En una de sus paginas, donde Fermat escribio este resultado,termina diciendo:

Lo lamento, pero este margen es insuficiente para dar los de-talles de demostracion.

No se sabe si realmente Fermat hallo la demostracion o solo dijoque la habıa hallado, ya que no dejo rastro de ella para que otrosmatematicos pudieran verificarla.

Durante anos, muchos matematicos intentaron encontrar unaprueba para este teorema. Tanto era la obsesion, que Euler pidioa un amigo que registrara la casa de Fermat para buscar la de-mostracion. Gracias a que muchos matematicos la buscaban, se

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desarrollo la teorıa algebraica de numeros en el siglo XIX y la de-mostracion del teorema de modularidad en el siglo XX.

El primer matematico que avanzo en la demostracion fue el pro-pio Fermat, que demostro el caso n = 4 usando la tecnica del des-censo infinito, una variante del principio de induccion. En 1735,Euler demostro el caso para n = 3, aunque en 1770 se encontro unafalacia en esta demostracion. Esto se pudo corregir y encontrar unmetodo mas simple, gracias a resultados anteriores de Euler.

La persona que dio el siguiente paso en la demostracion, fue lamatematica Sophie Germain quien propuso el siguiente enunciado:

Si p y 2p + 1 son primos, se tiene que la expresion del teorema deFermat para la potencia p implica que uno de los x, y o z es

divisible por p. Por tanto, podemos hacer dos casos:

• Caso 1: ninguno de los x, y, z es divisible por p.

• Caso 2: solo uno de los x, y, z es divisible por p.

Sophie Germain probo el caso 1 para todo p menor que 100, yLegendre para p menor que 197.

En 1825, Dirichlet y Legendre generalizaron la demostracion deEuler y ası pudieron demostrar el caso n = 5. En 1839, Lamedemostro el caso n = 7.

Se llego a ofrecer un premio en metalico para el primero quediera con la demostracion exacta de este. No fue hasta el ano 1994,cuando Andrew John Wiles lo consiguio con la colaboracion delmatematico Richard Taylor.

Wiles cuenta que empezo a investigar el famoso teorema cuandosolo tenıa 10 anos. Estaba mirando un libro de matematicas en unbiblioteca publica y le causo curiosidad este gran desafıo. Decıaque era un problema hermoso y ademas el enunciado era facil deentender.

Cuando Wiles obtuvo la demostracion, dio una conferencia paraexplicarla que duro dos dıas ya que la prueba era muy larga. Sepiensa que Wiles no encontro la misma demostracion que habıahecho Fermat, ya que en aquella epoca no existıan las herramien-tas que utilizo Wiles (aparecieron mucho despues de la muerte deFermat). Ası se demostro que Fermat tenıa razon.

Otro de los resultados que obtuvo Fermat fue uno relacionadocon los numeros primos, es decir, los numeros que solo se puedendividir por uno y por si mismos.

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El problema era como averiguar si un numero era primo o no.Lo que hacıan hasta el momento era ir dividiendo el numero porlos primos mas pequenos, es decir, aplicaban el metodo de las di-visiones. Pero esto suponıa una gran dificultad a la hora de tenerque hacer tantas operaciones, por tanto, Fermat intento encontraruna solucion a este problema mas sencilla. Despues de estudiarlo,llego a la conclusion de que:

Nn = 22n + 1

Ası, obtuvo lo que llamamos los numeros de Fermat. Busco losprimeros numeros utilizando esta formula y vio que eran primos, portanto, supuso que todos los numeros que daba esta formula serıanprimos. Pero estaba equivocado ya que en 1739, Euler demostroque para n = 5 el numero de Fermat tenıa un divisor:

• N0 = 3

• N1 = 221 + 1 = 5

• N2 = 222 + 1 = 17

• N3 = 223 + 1 = 257

• N4 = 224 + 1 = 65531

• N5 = 225 + 1 = 4294967297 = 641 · 6700417

Otro de los resultados fue el llamado Pequeno teorema de Fer-mat, que lo enuncio en el ano 1636, en una carta, cosa era de cos-tumbre. Ademas, no incluyo la demostracion porque penso queserıa demasiado larga. Este teorema esta referido a la divisibilidadde numeros. Afirma que, si se eleva un numero a a la p-essimapotencia y al resultado se le resta a, lo que queda es divisible porp, siendo p un numero primo. El interes de este teorema esta en suaplicacion al problema de primalidad y sobretodo en criptografıa.

ap ≡ a(modp)

Aunque son equivalentes, el teorema suele ser presentado de estaotra forma:

Si p es un numero primo, entonces, para cada numero naturala coprimo con p , ap−1 ≡ 1(modp).

Vamos a explicar el ejemplo que da Fermat:

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1. Cogemos las potencias de 3:

3,9,27,81,243,729,..

2. El numero primo 13 divide a una de las potencias menos unaunidad, en este caso a 27, ya que 27− 1 = 26, y 13 es divisorde 26. Por tanto:

27− 1 = 26 = 33 − 1

3. Entonces, 3(exponente) a de ser dividor de 13 menos unaunidad, es decir, 12.

4. Fermat afirma que el numero 312− 1 es divisible por 13.

Una de las cosas que tambien estudio Fermat fueron los numerosamigos:

Dos numeros son amigos si son dos enteros positivos a y b talesque a es la suma de los divisores propios de b y b es la suma de losdivisores propios de a.

Un ejemplo de numeros amigos son el 220 y el 284, veamos porque:

• Los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44,55 y 110, que suman 284.

• Los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman220.

• Los numeros amigos son aquellos en los que la suma de losdivisores de uno es el otro.

220 = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284284 = 1+2+4+71+142 = 220

Fermat obtuvo una formula para calcular numeros amigos:

Para cualquier numero n mayor que 1, calculamos:

p = 3 · 2n−1 − 1

p = 3 · 2n − 1

p = 9 · 22n−1 − 1

Estos tres numeros son primos, y si los operamos de la siguientemanera, obtendremos dos numeros amigos siguientes:

9

2n · p · q 2n · r

En 1636, Fermat dijo que 17296 y 18416 eran numeros amigos.Anos despues, en 1638, Descartes, como gran competidor suyo, en-vio una carta a Mersenne contandole que habıa encontrado la ter-cera parejita de numeros amigos, 9363584 y 9437056.

Fermat tambien estudio los numeros perfectos. Un numero per-fecto es igual a la suma de sus divisores exceptuando el mismo.

Por ejemplo, son numeros perfectos lo siguientes:

6 = 1+2+3

26 = 1+2+4+7+14

496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248

8128 = 1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064

Lo que querıa Fermat era encontrar una regla que permitierahallar numeros perfectos, y que tambien sirviera para ver si unnumero era o no perfecto.

En algunos numeros, la suma de sus divisores es un multiplo delnumero. Estos numeros son denominados perfectos por multiplos.El problema de encontrar estos numeros fue propuesto por Mersenneen una carta a Descartes. Fermat descubrio el 2o ejemplo de no

perfecto por multiplos, el 672. Descartes contesto a Mersenne di-ciendole que habıa encontrado otro numero, el 1.476.304.896.

Fermat descubrio, al igual que Descartes, la regla de la alternan-cia de los signos de los coeficientes de una ecuacion, es decir, unaecuacion tiene igual numero de raices positivas como el numero decambios de signo que haya entre los coeficientes, y igual numero deraices negativas como numero de permanencias de signo. Ademas,demostro que toda ecuacion de cuarto grado es la interseccion deuna parabola con una circunferencia.

Hemos visto de nuevo la intervencion de Descartes en los mismostemas en los que trabajaba Fermat. Parece que el pensamiento deDescartes era bastante racional. De hecho, conservamos su frase:

No hay nada repartido de modo mas equitativo que la razon: todoel mundo esta convencido de tener suficiente.

Sin embargo, fueron tres suenos que tuvo, y que el interpretocomo mensajes del cielo, los que le hicieron dedicarse a la filosofıa.Segun Descartes, estaba determinado que el se dedicara a dichaarea. Ası que desde 1620 hasta 1628 viajo por Europa dedicandose alas relaciones sociales y al estudio. En estos anos, nuestro matematico

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se relaciono con la mayorıa de cientıficos de la epoca, se ejercitoen su metodo, se libero de los prejuicios, acumulo experiencias yelaboro multiples trabajos como la ley de refraccion de los rayosluminosos. Tambien en esta epoca redacto las Reglas para la direc-cion del espıritu, una obra inacabada que expone lo esencial de sumetodo.

En 1628 se centro en su area filosofica y empezo a redactar unpequeno tratado de metafısica sobre el alma y Dios que contenıalas ideas fundamentales de lo que serıan posteriormente las Medita-ciones metafısicas.

En 1629 detuvo su trabajo para redactar Tratado del mundo y dela luz que acabarıa en 1633 y que contenıa su fısica mas mecanica.Sin embargo, Descartes conocio la historia de Galileo: su conde-na por defender el geocentrismo. Ası que prefirio no publicar suobra por miedo a las represalias que la Iglesia pudiera tomar en sucontra. Aunque el sostenıa que las batallas entre ciencia y religioneran simplemente malentendidos y que en algun momento el pueblopodra entender su obra.

Mientras tanto, con el objetivo de divulgar su doctrina, publi-co resumenes de su fısica, precedidos por un prefacio, el famosoDiscurso del metodo, seguido de La Dioptrica, los Meteoros y LaGeometrıa, que solo eran ensayos de este metodo (1637). Debidoal exito de estas grandes obras, Descartes se dedico plenamentea la filosofıa publicando obras como Las Meditaciones metafısicas(1641), Principios de la filosofıa (1644) y Las pasiones del alma(1649) mas conocida como Tratado de las pasiones que constituyola ultima obra publicada en vida del autor y supervisada por el.

De hecho, Descartes es considerado como el iniciador de lafilosofıa racionalista moderna, rompiendo definitivamente con laescolastica, y como uno de los personajes mas importantes en larevolucion cientıfica.

Durante sus viajes en los anos 1644, 1647 y 1648, Descartesconocio a Pascal pero desafortunadamente, su relacion no fue deltodo buena. No compartieron ningun trabajo ya que, mas bien,podrıamos que decir que preferıan trabajar por separado.

En esos momentos, Pascal estaba haciendo experimentos sobrela presion atmosferica. En el ano 1647, probo que el vacio existıa.Cuando Descartes se entero de esto, le hizo una visita para discutirsobre este tema ya que Descartes creıa que el vacıo no existıa. Des-pues de su visita, Descartes escribio una carta a Huygens diciendo:

... tiene demasiado vacıo en su cabeza.

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Un ano despues, Pascal observo que la presion de la atmosferadecrecıa con la altura y ası dedujo que existıa un vacıo arriba de laatmosfera. Descartes, escribio a su amigo Carcavi y le dijo que:

Fui yo quien hace dos anos le aconseje hacerlo, pues aunque yomismo no lo he llevado a cabo, no tenıa duda de su exito ...

Ese mismo ano, Pascal escribio un libro, Nuevos ExperimentosConcernientes al Vacıo, cosa que hizo que tuviera disputas con otroscientıficos que tampoco creıan en el vacıo.

Pero Pascal sı conto con la colaboracion de Fermat para re-solver un problema que le plantearon: como repartir el dinero deuna apuesta si esta se ve interrumpida antes de que acabe. Lacorrespondencia que Pascal mantiene con Fermat no solo ayudaa resolver el enigma, sino que tambien provoca el nacimiento dela esperanza matematica. Al igual que Fermat, Pascal tambien esconocido por su Triangulo de Pascal o por sus aportaciones en fısicacon estudios sobre la presion, como la invencion de la jeringuilla ola presa hidraulica.

Pascal fue un nino prodigio que tuvo el privilegio de escucharasambleas de los mejores matematicos y cientıficos de Europa comoDescartes y Desargues.

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A Pascal le intereso mucho el trabajo de Desargues sobre sec-ciones conicas, hasta tal punto que escribio Essai pour les coniques,su primer trabajo matematico. La pena fue que el trabajo se perdioy hoy en dıa solo disponemos de un fragmento de una copia. Ensu trabajo esta escrito el teorema de Pascal que establece que si unhexagono arbitrario se encuentra inscrito en alguna seccion conica,y se extienden los pares opuestos de lados hasta que se cruzan,los tres puntos en los que interseccionan se encontraran ubicadossobre una lınea recta, denominada la lınea de Pascal de esta con-figuracion. Con la imagen siguiente, este teorema queda un pocomas claro.

Los puntos blancos son los vertices del hexagono y la lınea blanca,es la lınea de Pascal.

Cuando Descartes se entero de que un nino de 16 anos habıaanunciado y demostrado el teorema anterior se sintio un poco dis-gustado y comento:

No veo extrano que haya ofrecido demostraciones sobre conicasmas apropiadas que las de los antiguos, pero se pueden proponer

otros temas relacionados con este asunto que raramente se leocurrirıan a un chico de dieciseis anos.

En 1642, Pascal invento la primera maquina sumadora de la his-toria: la Pascalina. La creo para ayudar a su padre en los calculosque tenia que realizar en su trabajo ya que le permitıa sumar yrestar. Veamos como era.

Sin embargo, no tuvo gran exito, ya que era muy cara y solo sela podıan permitir las familiar ricas de la epoca.

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En 1654 Pascal publico Traite du triangle arithmetique, dondedescribe las propiedades y aplicaciones del triangulo de Pascal.

Expliquemos un poco como funciona. Inicialmente, escribimosun 1 centrado en la parte superior de la piramide, despues escribi-mos 1 en las casillas situadas en sentido diagonal descendente deambos lados. A continuacion, sumamos las parejas de cifras situa-das horizontalmente, es decir, 1+1 da 2. Como vemos en la imagenen la tercera fila, tenemos en la casilla central un 2, ya que la sumade los dos numeros de arriba suman 2, y ası sucesivamente. Eltriangulo de Pascal nos sirve para hacer calculos de combinatoria:

Podemos ver que si queremos calcular(np

)se mira la interseccion de la fila n con la columna p, y el resultadoque obtenemos es la solucion de la expresion anterior.

Gracias a el triangulo obtenemos diferentes propiedades como:(n0

)=

(nn

)= 1

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(que podemos ver en la imagen siguiente un ejemplo con el coloramarillo). (

nn− p

)=

(np

)(que podemos ver en la imagen siguiente un ejemplo con el colorrojo (se demuestra por induccion)).(

np

)= 0 si p > n

(que podemos ver un ejemplo con el color cıan, que no tiene valores,es decir que es 0).(

np

)+

(n

p + 1

)=

(n + 1p + 1

)(que podemos ver un ejemplo con el color magenta).

Tambien se demostraron otros resultados de combinatoria gra-cias al Triangulo de Pascal.

En 1654, Gombaud le plantea a Pascal el problema de dividirel dinero de una apuesta hecha por dos jugadores si el juego deazar se ha interrumpido antes de que uno de ellos ganara y se tieneque repartir el dinero de forma equitativa, teniendo en cuenta laprobabilidad que tiene cada uno de ganar el juego. Esto hace quePascal mantenga correspondencia con Fermat para resolver el enig-ma, donde nace el concepto de esperanza matematica.

Los dos matematicos fueron los grandes creadores de la Teorıade la Probabilidad gracias a la correspondencia que mantuvieron.La primera carta se la envio Pascal a Fermat y contenıa el enunciadodel problema que antes hemos mencionado. A lo largo de las cartas

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entre ambos autores, se puede observar una cierta admiracion dePascal hacia Fermat por su manera de plantear el problema y dedar una solucion. A pesar de eso, Pascal ofrece un metodo mascorto que el que habıa propuesto Fermat para calcular la gananciade cada jugador. En las cartas, Pascal presenta su primer teoremade probabilidad:

Si uno resta la diferencia de los cubos de dos numeros consecu-tivos, el resultado es seis veces todos los numeros contenidos en laraız de la menor.

Y demuestra el teorema pidiendole a su gran amigo Fermat querevise el resultado. Se dieron cuenta que habıan formulado y de-mostrado teoremas que eran practicamente identicos, esto hizo quedecidieran colaborar en sus investigaciones sobre probabilidad. Pas-cal, en la ultima carta que escribio a Fermat, le dice que uno delos teoremas que Fermat publico con su nombre, era el mismo quePascal habıa formulado en una de las cartas. Con esto, Fermatrespondio:

Su metodo, no tiene nada en comun con el mıo, y puede llegarfacilmente a las mismas conclusiones. Ahora reanudamos nuestraarmonıa.

Pero Pascal se sintio ofendido y las cartas cesaron entre el-los, aunque ya habıan dado solucion al problema planteado en laprimera carta. Gracias al trabajo de estos dos grandes autores,Leibniz desarrollarıa el calculo infinitesimal.

Al cabo de unos anos, Pascal formulo la hoy llamada Apuestade Pascal. Es una discusion sobre la creencia en la existencia deDios, suponiendo que la existencia de Dios es una cuestion de azar.Una frase de Pascal sobre el tema fue

La razon es que, aun cuando la probabilidad de la existencia deDios fuera extremadamente pequena, tal pequenez serıa

compensada por la gran ganancia que se obtendrıa, o sea, la gloriaeterna.

Hay cuatro posibilidades, puedes creer en Dios, y si existe irasal cielo; puedes creer en Dios, y si no existe entonces no ganasnada; puedes no creer en Dios y si no existe tampoco ganas nada;y finalmente puedes no creer en Dios y si existe, luego no iras alcielo. Y escribio la tabla siguiente:

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Dios existe(Dios) Dios no existe(¬ Dios)

Creer en Dios(Creer) +∞(CIELO) -N(NADA)

No creer en Dios(¬Creer) −∞(INFIERNO) +N(NADA)

A partir de 1654, Pascal abandono casi todos sus trabajos enel campo de las matematicas y se centro en el campo religioso. Enhonor a sus contribuciones cientıficas se otorgo el nombre Pascal ala unidad de medida de la presion. En el mundo literario, Pascales reconocido como uno de los autores mas importantes del pe-riodo clasico frances, y hoy en dıa se le considera uno de los masgrandes maestros de la prosa francesa. El contenido de su obra liter-aria se caracteriza por su fuerte oposicion al racionalismo de ReneDescartes y su simultanea afirmacion de que la filosofıa opuesta,el empirismo, es tambien insuficiente para alcanzar las verdadesultimas.

Conclusion

Despues de muchos anos en los que las matematicas carecieron deactividad, se empezo a estudiar sobre esta materia y ası fue surgien-do un interes por investigar y crear nuevos descubrimientos y resul-tados. En el siglo XVI d.C., debido al cambio de mentalidad quepresento la sociedad, temas que hasta el momento habian estadoapartados cobraron importancia. La gente se empieza a preguntarel porque de las cosas, intentan demostrar cosas, y no solo se basanen la intuicion para afirmar resultados. El origen de esta situacionfue en Francia, por eso, damos importancia a matematicos france-ses como Fermat, Descartes o Pascal. Gracias a ellos, entre otros,resurge el interes por las matematicas, ya que son ellos que estu-dian mas a fondo este area. No eran precisamente companeros, yeste hecho provocaba retos para ver quien encontraba primero lasolucion. Fenomeno que promovıa el estudio matematico.

Tanto Fermat como Descartes hicieron muchos avances en elarea de la geometrıa analıtica. Se puede decir que fueron los fun-dadores. Los dos eran aficionados, no matematicos formados, asıque si se hubieran dedicado plenamente a las matematicas no sabe-mos que otros tantos resultados encontrarıamos hoy en dıa. Y Fer-mat y Pascal desarrollaron la teorıa de la probabilidad dando lugara la conocida esperanza matematica.

Fermat es mas conocido por el ultimo Teorema de Fermat. Labusqueda de una demostracion estimulo el desarrollo de la teorıaalgebraica de numeros en el siglo XIX y la demostracion del teorema

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de la modularidad en el siglo XX. En 1995, cuando Wiles hizo lademostracion se abrio una nueva vıa, practicamente una nueva area:la de la modularidad. Gracias a Descartes, hoy en dıa estudiamosla geometrıa analıtica y usamos coordenadas para situar los puntosen el espacio. Y la invencion de la Pascalina ha provocado que hoyen dıa tengamos calculadoras, un instrumento indispensable parapoder hacer calculos matematicos en cualquier aula.

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