el lenguaje de la lógica proposicional
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Lenguaje LogicaTRANSCRIPT
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Tema 2. EL LENGUAJE DE LA
LÓGICA PROPOSICIONAL
a) La construcción de fórmulas bien formadas
![Page 2: El Lenguaje de La Lógica Proposicional](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062500/563dbb1e550346aa9aaa6db4/html5/thumbnails/2.jpg)
Cuando el lenguaje falla…
Una oración puede ser defectuosa a 3 niveles:
1. SINTÁCTICO
A esta oración del castellano les falla algo
A este otra oración le fallar todavía más cosa
Última es esta galimatías un oración puro
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Cuando el lenguaje falla…
Una oración puede ser defectuosa a 3 niveles:
2. SEMÁNTICO
Esta pitufa del castellano tiene una palabra un poco rara
Las ideas verdes incoloras duermen furiosamente
Confucio es impar
La existencia es el devenir del karma cuántico
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Cuando el lenguaje falla…
Una oración puede ser defectuosa a 3 niveles:
3. PRAGMÁTICO
Él ha dicho que le dé la medicina
“Declaro abierta la sesión” (dicho por un conserje del Parlamento)
¿Me da un libro sobre cómo hacer amigos, carahuevo?
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3 niveles de análisis del lenguaje
1. SINTAXIS: Centrada en la estructura formal de las oraciones
2. SEMÁNTICA: Centrada en las condiciones de verdad de las oraciones
3. PRAGMÁTICA: Centrada en los efectos del contexto sobre las oraciones
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3 niveles de análisis del lenguaje
En lógica sólo nos va a interesar la sintaxis y la semántica.
Dentro de la semántica sólo nos va a interesar la parte formal: el modo en que la disposición formal de los elementos afecta a los valores de verdad
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El alfabeto lógico
• Todo lenguaje necesita de:
1. Un alfabeto, i.e., un conjunto de elementos primitivos desde los que construimos sus expresiones
• El alfabeto latino no resulta ser el mismo que el ruso
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El alfabeto lógico
• Todo lenguaje necesita de:
2. Reglas de combinación de los elementos primitivos
• Inglés y español comparten alfabeto, pero no admiten las mismas combinaciones:
THR no es una combinación de letras admisible en español
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Alfabeto de la lógica proposicional
• El lenguaje de la lógica proposicional (L0) necesita tres tipos distintos de símbolos:
1. CONSTANTES PROPOSICIONALES
2. CONECTIVAS LÓGICAS
3. SÍMBOLOS AUXILIARES
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Alfabeto de la lógica proposicional
1. CONSTANTES PROPOSICIONALES
- Simbolizan oraciones o proposiciones, i.e., unidades que tienen un valor de verdad
- Son los equivalentes lógicos de ‘llueve’, ‘yo soy Pepe’, ‘mañana es viernes,
‘el universo es una sucesión infinita de transmigraciones cósmicas
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Alfabeto de la lógica proposicional
1. CONSTANTES PROPOSICIONALES- Utilizaremos las siguientes letras minúsculas:
p, q, r, s, t, u- Si necesitamos simbolizar más oraciones (un
número infinito de ellas), recurrimos a subíndices numéricos:
p1, p2, p3, p4, p5 …
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Alfabeto de la lógica proposicional
2. CONECTIVAS LÓGICAS
- Las oraciones pueden conectarse entre sí por medio de partículas con valor lógico
- Las principales partículas son cinco, que equivalen a las siguientes:
Y , O, SI…(ENTONCES), SI Y SÓLO SI, NO
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Alfabeto de la lógica proposicional
2. CONECTIVAS LÓGICAS- Estas partículas caen en dos grupos:a) Binarias: Las que conectan dos oraciones:
‘Hume canta Y Kant humea‘Platón tiene razón O la tiene Aristóteles’‘SI Dios no existe, todo está permitido’‘Aprobaré lógica SI Y SÓLO SI estudio’
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Alfabeto de la lógica proposicional
2. CONECTIVAS LÓGICAS- Estas partículas caen en dos grupos:b) Monarias: Las que se aplican a una sola
oración:‘NO hay vida más allá de Marte’‘NO todos los filósofos están locos’‘Los filosófos NO están locos’
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Alfabeto de la lógica proposicional
2. CONECTIVAS LÓGICAS- En lógica estas partículas reciben nombres y
símbolos especiales:
No = NEGADOR
¬
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Alfabeto de la lógica proposicional2. CONECTIVAS LÓGICAS- En lógica estas partículas reciben nombres y
símbolos especiales:
Y = CONYUNTOR
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Alfabeto de la lógica proposicional2. CONECTIVAS LÓGICAS- En lógica estas partículas reciben nombres y
símbolos especiales:
O = DISYUNTOR
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Alfabeto de la lógica proposicional2. CONECTIVAS LÓGICAS- En lógica estas partículas reciben nombres y
símbolos especiales:
SI…(ENTONCES) = CONDICIONAL
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Alfabeto de la lógica proposicional2. CONECTIVAS LÓGICAS- En lógica estas partículas reciben nombres y
símbolos especiales:
SI Y SÓLO SI = BICONDICIONAL
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Alfabeto de la lógica proposicional
3. SÍMBOLOS AUXILIARES- Son paréntesis y corchetes, que sirven para
agrupar los otros símbolos de manera que se puedan evitar ambigüedades:
( ) [ ]
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Alfabeto de la lógica proposicional
He aquí todo de una vez:
CONSTANTES: p, q, r, s, t, u, p1, p2, p3 …
CONECTIVAS: ¬, , , , AUXILIARES: (, ), [, ]
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Recursividad• La mayoría de los lenguajes son recursivos:
empleando un número finito de elementos es posible construir un número infinito de oraciones.
La mosca a la que persigue la araña a la que persigue el ratón al que persigue el gato al que persigue el perro es de color negro.
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Recursividad
• Una fuente de recursividad es la posibilidad de unir oraciones simples para formar compuestas.
• Las partículas lógicas desempeñan en esto un papel fundamental.
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Recursividad• La recursividad comienza por tomar algunos elementos
básicos y definir cómo se construyen los elementos complejos a partir de ellos:
- Dadas las oraciones ‘Hume canta’, ‘Kant baila’, también son oraciones las siguientes:Hume canta y Kant bailaHume canta o Kant bailaSi Hume canta, Kant bailaHume no cantaKant no bailaHume canta si y sólo si Kant baila ETC.
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Recursividad• Podemos seguir aplicando esto en general: dadas
las oraciones O y O’, son también oraciones las siguientes:O y O’, O o O’, Si O entonces O’, no O, etc.
• Podemos aplicar la regla cuantas veces queramos: dado que ‘Hume canta y Kant baila’ y ‘Hegel da palmas’ son oraciones, también lo será ‘Si Hume canta y Kant baila, Hegel da palmas’
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Recursividad-Hume canta o Kant baila o Hegel da palmas-Hume canta y Kant baila y Hegel da palmas-Hume canta, o Kant baila y Hegel da palmas-Hume canta o Kant baila, y Hegel da palmas-Si Hume canta y Hegel da palmas, Kant baila-Hegel da palmas si y sólo si Kant baila-Si Hume canta, entonces si Kant baila, Hegel da
palmas
![Page 27: El Lenguaje de La Lógica Proposicional](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062500/563dbb1e550346aa9aaa6db4/html5/thumbnails/27.jpg)
Recursividad• La recursividad permite construir algunas oraciones peculiares:-Hume canta y Kant baila y Hume canta y Kant baila y Hume canta y Kant
baila…-Si Hegel da palmas, Hegel da palmas-Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o
Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta o Hume canta
Son peculiares desde el punto de vista pragmático, pero sintáctica y semánticamente están bien construidas
![Page 28: El Lenguaje de La Lógica Proposicional](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062500/563dbb1e550346aa9aaa6db4/html5/thumbnails/28.jpg)
Recursividad• Nuestro lenguaje lógico también va a ser
recursivo.• Las oraciones en nuestro lenguaje se van a llamar
FÓRMULAS• Comenzaremos por definir cuáles son las
oraciones simples o fórmulas atómicas• A continuación daremos un método de
combinación de fórmulas atómicas para obtener oraciones compuestas o fórmulas moleculares
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Fórmulas atómicas• Serán las que correspondan a las oraciones
simples del castellano: sin ninguna partícula lógica.
• Se trata por tanto de las constantes proposicionales:pqr…
son (algunas) fórmulas atómicas
![Page 30: El Lenguaje de La Lógica Proposicional](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062500/563dbb1e550346aa9aaa6db4/html5/thumbnails/30.jpg)
Fórmulas moleculares
• Las formaremos a partir de las atómicas, empleando las conectivas lógicas:
p qp rq p
r q
q
son (algunas) fórmulas moleculares
![Page 31: El Lenguaje de La Lógica Proposicional](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062500/563dbb1e550346aa9aaa6db4/html5/thumbnails/31.jpg)
Ambigüedad• En el lenguaje natural con frecuencia
aparecen posibles ambigüedades:
-Hume canta o Kant baila y Hegel da palmas
¿Da o no da palmas Hegel?
Ahora sí: Hume canta o Kant baila, y Hegel da palmas
Ahora no se sabe: Hume canta, o Kant baila y Hegel da palmas
![Page 32: El Lenguaje de La Lógica Proposicional](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062500/563dbb1e550346aa9aaa6db4/html5/thumbnails/32.jpg)
Ambigüedad• En lógica queremos construir fórmulas que
excluyan toda ambigüedad.• En el lenguaje natural usamos diversos
elementos para evitar la ambigüedad, como: 1) pausas prosódicas, 2) signos de puntuación y, 3) el contexto.
• Pero en lógica sólo tenemos un recurso (parecido a 2): construir las fórmulas con reglas muy precisas.
![Page 33: El Lenguaje de La Lógica Proposicional](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062500/563dbb1e550346aa9aaa6db4/html5/thumbnails/33.jpg)
Ambigüedad- Nuestro principal recurso contra la ambigüedad
son los PARÉNTESIS.- Sea: p Hume canta ; q Kant baila;
r Hegel da palmas
p q r es AMBIGUA; equivale a:
Hume canta o Kant baila y Hegel da palmas
p (q r) H canta, o K baila y Heg da palmas
(p q) r H canta o K baila, y Heg da palmas
![Page 34: El Lenguaje de La Lógica Proposicional](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062500/563dbb1e550346aa9aaa6db4/html5/thumbnails/34.jpg)
Metavariables- Si la lógica es nuestro lenguaje objeto, el
castellano es su metalenguaje.- Pero necesitamos ampliar nuestro
metalenguaje con algunos símbolos que hacen las veces de abreviaturas.
- Para referirnos a fórmulas en general usaremos letras griegas:
…- Las llamaremos METAVARIABLES
![Page 35: El Lenguaje de La Lógica Proposicional](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062500/563dbb1e550346aa9aaa6db4/html5/thumbnails/35.jpg)
Metavariables- Una constante, como p, representa aquello que la
hace verdadera o falsa (llueve; las rosas son rojas, etc)
- Una metavariable, como , representa cualquier fórmula:
p ; ¬q ; pr ; p (q r) ; p (p p)…
- Vamos a definir nuestras reglas de formación de fórmulas de manera más precisa
![Page 36: El Lenguaje de La Lógica Proposicional](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062500/563dbb1e550346aa9aaa6db4/html5/thumbnails/36.jpg)
Reglas de formación
• (i) Toda constante proposicional sola es una fórmula (atómica)
• (ii) Si es fórmula, entonces ¬ es fórmula• (iii) Si , son fórmulas, ( ), ( ), (
), ( ) son fórmulas• (iv) Sólo son fórmulas las secuencias que
satisfacen (i), (ii) o (iii)
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Reglas de formación
• (i) Toda constante proposicional sola es una fórmula
- De este modo obtenemos nuestras fórmulas atómicas:p q r s
t
u p1 p2 p3 …
![Page 38: El Lenguaje de La Lógica Proposicional](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062500/563dbb1e550346aa9aaa6db4/html5/thumbnails/38.jpg)
Reglas de formación• (ii) Si es fórmula, entonces ¬ es fórmula- Dadas las anteriores, también son fórmulas:
¬p ¬q ¬r ¬s¬t
¬u ¬p1 ¬p2 ¬p3 …
-Podemos aplicar recursivamente (ii) sobre las fórmulas recién obtenidas: ¬¬p ¬¬q … ¬¬¬pTodas estas también son fórmulas
![Page 39: El Lenguaje de La Lógica Proposicional](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062500/563dbb1e550346aa9aaa6db4/html5/thumbnails/39.jpg)
Reglas de formación
• (iii) Si , son fórmulas, ( ), ( ), ( ), ( ) son fórmulas
-Dadas (i) y (iii) serán fórmulas:(p q) (p s) (p r) … (q p ) …(p q) (p s) (p r) … (q p) …(p q) (p r) …(p q) (p r) …
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Reglas de formación
• (iii) Si , son fórmulas, ( ), ( ), ( ), ( ) son fórmulas
-Si además tenemos en cuenta (ii), son fórmulas:(p ¬q) (¬p s) (p ¬r) … (q ¬p ) …(¬p q) (p ¬s) (¬p ¬r) … (¬q p) …(p ¬q) (¬p r) (¬p ¬r) … (¬p q) (p ¬r) (¬p r) …
![Page 41: El Lenguaje de La Lógica Proposicional](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062500/563dbb1e550346aa9aaa6db4/html5/thumbnails/41.jpg)
Reglas de formación
• (iii) Si , son fórmulas, ( ), ( ), ( ), ( ) son fórmulas
-Y podemos aplicar otra vez (ii) sobre las últimas fórmulas :
¬(p ¬q) ¬(¬p s) ¬(p ¬r) … ¬(q ¬p ) …¬(¬p q) ¬(p ¬s) ¬(¬p ¬r) …¬ (¬q p) …¬(p ¬q) ¬(¬p r) ¬(¬p ¬r) … ¬(¬p q) ¬(p ¬r) ¬(¬p r) …¬¬(p q) … ¬¬(¬p ¬q) … ¬(p ¬¬q) …
![Page 42: El Lenguaje de La Lógica Proposicional](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062500/563dbb1e550346aa9aaa6db4/html5/thumbnails/42.jpg)
Reglas de formación
- Y podemos seguir aplicando (ii) y (iii) cuanto queramos:
(p (p q)) (¬p (q ¬s)) (p ¬r) (q ¬p )(p ((¬p q) (p ¬s))) ((¬p ¬r) (¬q p)) (p ¬q)…
![Page 43: El Lenguaje de La Lógica Proposicional](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062500/563dbb1e550346aa9aaa6db4/html5/thumbnails/43.jpg)
Reglas de formación
(iv) Sólo son fórmulas las secuencias que satisfacen (i), (ii) o (iii)
- Esta es una cláusula de cierre, que limita nuestras fórmulas exclusivamente a las formadas por las reglas anteriores.
![Page 44: El Lenguaje de La Lógica Proposicional](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062500/563dbb1e550346aa9aaa6db4/html5/thumbnails/44.jpg)
Reglas de simplificación
• Pueden suprimirse siempre:
(a) Los dos paréntesis externos:
(p (q ¬r)) p (q ¬r)
(Nota: El símbolo se lee como ‘es equivalente a’)
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Reglas de simplificación
• Pueden suprimirse siempre:
(b) Los paréntesis internos no precedidos de negador en secuencias compuestas totalmente por conyuntores o totalmente por disyuntores:
(p (q r)) (p q r) pero (p ¬(q r)) (p ¬q r) !!
(p (¬q r)) (p ¬q r) pero (p ¬(q r)) (p ¬q r) !!
![Page 46: El Lenguaje de La Lógica Proposicional](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062500/563dbb1e550346aa9aaa6db4/html5/thumbnails/46.jpg)
Conectiva dominante• Consideremos cómo se forman las fórmulas
moleculares:- La última regla de formación que hayamos usado
ha tenido que ser (ii) o (iii), i.e., la última regla ha introducido el negador o una conectiva binaria:
¬p lo último introducido es el negador ¬q ¬r lo último introducido es el conyuntor p (q r) lo último introducido es el disyuntor ¬(p q) (¬p ¬q) lo último introducido es
![Page 47: El Lenguaje de La Lógica Proposicional](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062500/563dbb1e550346aa9aaa6db4/html5/thumbnails/47.jpg)
Conectiva dominante• La última conectiva introducida será la
CONECTIVA DOMINANTE de la fórmula.• Es importante distinguirla, porque es a la que
habrá que atender para determinar el valor de verdad de la fórmula.
p (r s)¬(p (q r))¬p (p (p p))¬((p q) ¬(p q))(((p q) p) q) p¬(p ¬(q r ¬(p q)))
¬
el segundo el primer ¬
no es fórmula
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Ejercicio: ¿cuáles son fórmulas?
(¬(p ¬q)
(p q) ¬p q
((q (r ¬s)) (¬¬p q)) ¬r
¬(s (p q¬))
¬(p (¬q ¬(r (¬s t))))
¬¬¬¬¬¬ ¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬p
(¬q (r (¬p q))) (q (¬r (p ¬q)))
NO
NO
SÍ
NO
SÍ
NO
SÍ
¬
![Page 49: El Lenguaje de La Lógica Proposicional](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062500/563dbb1e550346aa9aaa6db4/html5/thumbnails/49.jpg)
Ejercicio: ¿cuáles son fórmulas?((¬q r) ¬(p q)) ¬(q r) ((p ¬q) q)
¬(p ¬q) ¬r) ¬s) t))))
(((p q ¬r) (¬q ¬p)) (p ¬s)) (¬p q r)(p (q ¬p r)) (p q)
(((p (q ¬r)) (¬q s)) (s ¬p)) (p q)
(p q ¬r) (p ¬q ¬r) (¬p q r)(p q) (¬p q) (p ¬q) (¬p ¬q)
NO
NO
SÍ
NO
NO
SÍ
SÍ
![Page 50: El Lenguaje de La Lógica Proposicional](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062500/563dbb1e550346aa9aaa6db4/html5/thumbnails/50.jpg)
Ejercicio: conectiva dominante
¬(p ¬q)
(p q) (¬p q)
((q (r ¬s)) (¬¬p q)) ¬r
¬(s (p q))
¬(p (¬q ¬(r (¬s t))))
¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬p
(¬q (r (¬p q))) (q (¬r (p ¬q)))
el primer ¬
¬
el primer ¬
el primer ¬
2º
![Page 51: El Lenguaje de La Lógica Proposicional](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062500/563dbb1e550346aa9aaa6db4/html5/thumbnails/51.jpg)
Ejercicio: conectiva dominante(((¬q r) ¬(p q)) ¬(q r)) ((p ¬q) q)
¬((((p ¬q) ¬r) ¬s) t)
(((p q ¬r) (¬q ¬p)) (p ¬s)) (¬p q r)(p (q (¬p r))) (p q)
(((p (q ¬r)) (¬q s)) (s ¬p)) (p q)
(p q ¬r) (p ¬q ¬r) (¬p q r)(p q) (¬p q) (p ¬q) (¬p ¬q)
2º el primer ¬
2º
3er cualquier
cualquier