el movimiento de la rotación usando geogebra en estudiantes de grado 7
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Trabajo de grado sobre el uso del programa geogebra para formular una situación didáctica, usado de fondo las teoria de situaciones didácticasTRANSCRIPT
1
UNA SECUENCIA DE SITUACIONES DIDÁCTICAS
ALREDEDOR DE LAS TRANSFORMACIÓN DE
ROTACIÓN EN UN AMBIENTE DE GEOMETRÍA
DINÁMICA
YEISON CUENE BOLAÑOS
WILLIAM CAMPO HURTADO
UNIVERSIDAD DEL VALLE
INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA
GRUPO DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Santiago de Cali, 16 de febrero de 2011
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UNA SECUENCIA DE SITUACIONES DIDÁCTICAS
ALREDEDOR DE LAS TRANSFORMACIÓN DE
ROTACIÓN EN UN AMBIENTE DE GEOMETRÍA
DINÁMICA
YEISON CUENE BOLAÑOS
WILLIAM CAMPO
TRABAJO DE GRADO PARA OPTAR EL TITULO DE LICENCIADO EN
EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS
DIRECTORA
MARIA FERNANDA MEJIA PALOMINO
UNIVERSIDAD DEL VALLE
INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA
GRUPO DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Santiago de Cali, 16 de febrero de 2011
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Nota de Aceptación:
_____________________________________
_____________________________________
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_____________________________________
_____________________________________
Directora María Fernanda Mejía Palomino
_____________________________________
Evaluador 1. Marisol Santacruz Rodríguez
_____________________________________
Evaluador 2. Fernando Angulo
Santiago de Cali, 17 de febrero de 2011
4
DEDICATORIA
Este trabajo es para mis colegas que tienen el poder de educar y lo transmiten.
Muchas gracias a todas las personas que nos apoyaron en la realización de este
informe final.
YEISON CUENE BOLAÑOS
Este trabajo es fruto del esfuerzo y la dedicación de dos estudiantes que creen en
una nueva y mejor educación de nuestra querida patria Colombia, y que pronto
serán futuros formadores de los colombianos del ahora y del mañana. Y está
inspirado en los educadores que nos antecedieron y los que nos precederán.
WILLIAM CAMPO HURTADO
5
AGRADECIMIENTOS
Experimento un profundo sentimiento de gratitud por el desarrollo y la producción
de este trabajo en si para con mi Dios y para con todos mis seres queridos en
especial a mi señora madre que constituye un pilar en mi vida por su devoción y
por sus frecuentes muestras de amor.
YEISON CUENE BOLAÑOS
Dio gracias a Dios y a esos seres que siempre estuvieron presentes a lo largo de
mi vida y durante el desarrollo de mi vida universitaria como son mis padres y
hermanas, así como a esos compañeros de carrera con los cuales se compartió y
debatió en pro de una nueva y mejor educación en nuestro país
Por otra parte, doy gracias a los profesores y profesoras de la UNIVERSIDAD DEL
VALLE que participaron de mi formación como un nuevo educador.
WILLIAM CAMPO HURTADO
6
TABLA DE CONTENIDO RESUMEN .............................................................................................................. 8
INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 9
CAPÍTULO 1: ........................................................................................................... 12
ASPECTOS GENERALES .................................................................................... 12
1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ......................................................... 13
1.2. JUSTIFICACIÓN ......................................................................................... 17
1.3. OBJETIVOS ................................................................................................ 20
CAPÍTULO 2: .......................................................................................................... 21
MARCO TEÓRICO ................................................................................................ 21
2.1. LA INGENIERÍA DIDÁCTICA ..................................................................... 22
2.2. ANÁLISIS DIDÁCTICO ............................................................................... 25
2.2.1. TECNOLÓGICAS DE LA INFORMACIÓN Y COMUNICACIÓN (TIC) ..... 30
2.2.2. UNA APROXIMACIÓN CURRICULAR ................................................... 36
2.3 ANÁLISIS COGNITIVO ................................................................................ 40
2.3.1 LA RELACIÓN HOMBRE – HERRAMIENTA .......................................... 40
2.3.2 EL PROBLEMA DEL DIBUJO Y EL OBJETO GEOMÉTRICO ............... 42
2.4. ANÁLISIS HISTÓRICO .............................................................................. 45
2.4.1 LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA ................................................................ 46
2.4.2. LA GEOMETRÍA ANALÍTICA. ................................................................ 48
2.4.3. LA GEOMETRÍA PROYECTIVA .............................................................. 49
2.4.4. LA GEOMETRÍA TRANSFORMACIONAL .............................................. 51
2.4.5. EL PROGRAMA ERLANGEN .................................................................. 52
2.4.5. LA TRANSFORMACIÓN DE ROTACIÓN ................................................ 54
CAPÍTULO 3: ........................................................................................................... 58
DISEÑO EXPERIMENTAL .................................................................................... 58
3.1. CARACTERIZACIÓN DE LA POBLACIÓN ................................................ 59
3.2. ANÁLISIS A PRIORI DE LA SECUENCIA .................................................. 62
3.2.2. VARIABLES DIDÁCTICAS A TENER EN CUENTA EN LA SECUENCIA
DE SITUACIONES DIDÁCTICAS ...................................................................... 65
7
3.2.3. LA ACTIVIDAD CON GEOGEBRA. ......................................................... 67
3.2.4. SECUENCIA DE SITUACIONES DIDÁCTICAS ...................................... 72
3.2.4.1 Situación Didáctica Nº 1: EL RELOJ ...................................................... 72
3.2.4.2. Situación Didáctica Nº 2: BUSCANDO PAREJA .................................. 79
3.2.4.3. Situación didáctica Nº 3: EL GUSANO ................................................. 85
CAPÍTULO 4: ........................................................................................................... 92
RESULTADOS ...................................................................................................... 92
4.1. RESULTADOS DE LA SITUACIÓN DIDÁCTICA Nº1: EL RELOJ .............. 94
4.2. RESULTADOS DE LA SITUACIÓN DIDÁCTICA Nº2: BUSCANDO PAREJA
........................................................................................................................... 98
4.3. RESULTADOS DE LA SITUACIÓN Nº3 EL GUSANO ............................. 102
CAPÍTULO 5: ......................................................................................................... 109
CONCLUSIONES ............................................................................................... 109
BIBLIOGRAFIA .................................................................................................. 116
ANEXOS ............................................................................................................. 121
ANEXO A: HOJAS DE TRABAJO DE LA SITUACIÓN DIDÁCTICA N°1 ........ 121
ANEXO B. HOJAS DE TRABAJO DE LA SITUACIÓN DIDÁCTICA N°2 ........ 141
ANEXO C. HOJAS DE TRABAJO DE LA SITUACIÓN DIDÁCTICA N°3 ........ 150
8
RESUMEN
En este documento se presenta el diseño e implementación de una secuencia de
situaciones didácticas referente al concepto de rotación en estudiantes de grado
séptimo de educación básica de la Institución Educativa Pedro Antonio Molina
sede los Vencedores, donde los estudiantes a través de la experimentación con el
programa GeoGebra identificaron las características de la transformación de
rotación, valorando el papel dinámico de GeoGebra con respecto al trabajo con
lápiz y papel.
Para esta propuesta se han tomando como organizadores conceptuales la noción
de transformación isométrica, la teoría de génesis instrumental que respalda la
integración de las tecnológicas de la información y comunicación (TIC) en el
contexto escolar, la teoría de situaciones didácticas de Brousseau y algunos
elementos de la Ingeniería Didáctica, teniendo en cuenta que ésta propuesta
didáctica es un estudio experimental de caso dentro del aula de clase, y que en el
desarrollo de la misma se puede apreciar la transformación de rotación como un
saber matemático llevado al aula utilizando Ambientes de Geometría Dinámica
(AGD), considerando el papel que cumplen estos recursos tecnológicos en la
construcción de conocimiento matemático.
PALABRAS CLAVES:
Secuencia de situaciones didácticas, Transformación de rotación, Ambientes de
Geometría Dinámica y GeoGebra.
9
INTRODUCCIÓN
Actualmente en la educación se han integrado muchos elementos tecnológicos
que no fueron creados para la enseñanza, como es el caso de los procesadores
de texto como Word y las hojas de cálculo como Excel. Sin embargo lo anterior no
quiere decir que no se hayan creado software de uso netamente educativo,
pensados para ser trabajados en el aula de clase, de hecho actualmente se
cuenta con gran variedad de éstos, en las diferentes áreas de conocimiento; por
ejemplo en matemáticas se cuenta con los Software de Geometría Dinámica
(SGD), que han sido llevados al aula y han permitido enriquecer y dinamizar el
conocimiento matemático a través de la exploración de los diferentes objetos
matemáticos que están en juego en la escena escolar. Actualmente se encuentran
en su versión para computadores y calculadoras simbólicas.
Para muchos docentes el uso de las TIC (Tecnologías de Información y la
Comunicación) es algo casi ajeno a su que hacer escolar, razón por la cual no es
raro encontrar que el estudiante maneje mejor el computador, los reproductores de
audio y video, entre otras tecnologías. En el caso del computador, tenemos
estudiantes que se dan a la tarea de explorarlos por sí mismos, sin ayuda de un
manual o un instructor, descubriendo formas y procesos que incluso tal vez no
fueron contemplados por sus creadores. Esto obliga a la escuela y especialmente
a quienes realizan la labor de educar, a contemplar el uso de estos elementos que
están presentes, en el día a día, y que no pueden ser ajenos a la educación
escolar.
De acuerdo con lo anterior, en este documento se presenta algunas situaciones
didácticas como una aproximación al estudio de la transformación de rotación en
un Ambiente de Geometría Dinámica para estudiantes de grado séptimo. Para
10
sustentar este trabajo se parte de un análisis didáctico de la transformación de
rotación como conocimiento matemático.
El documento consta de cuatro capítulos claramente diferenciados, cada uno de
los cuales se fue consolidando en el desarrollo de las indagaciones. El primer
capítulo, denominado ―ASPECTOS GENERALES‖, hace una presentación del
problema de investigación, la justificación de la propuesta y los objetivos que se
pretenden al alcanzar con ella, se muestra como el concepto de rotación se puede
llevar al aula de clase utilizando Ambientes de Geometría Dinámica. La elección
de este objeto matemático se hace a partir de los nuevos enfoques curriculares
que plantea el Ministerio de Educación Nacional (MEN), visión plasmada en los
Lineamientos Curriculares y los Estándares Básicos de Competencias en
matemáticas, donde proponen la enseñanza de la Geometría Transformacional
como uno de los elementos que viabiliza el desarrollo del pensamiento
geométrico.
En el segundo capítulo ―MARCO TEÓRICO ―se describe algunos de los elementos
de la Ingeniería Didáctica que han sido tomados como parte de la metodología
para la elaboración de este trabajo; de la misma manera se presentan las posturas
teóricas que sustentan los análisis preliminares en sus dimensiones didáctico,
cognitivo e histórico. En el análisis histórico se hace una caracterización de la
Geometría Transformacional en su desarrollo y se estudia cómo evolucionan
algunos componentes como la congruencia, la colinealidad y la equidistancia que
forman parte de la transformación de rotación. También se mira como la actividad
propuesta al integrar un software de Geometría Dinámica, en este caso
GeoGebra, implica la vinculación de las dimensiones didáctica y cognitiva que
permite una aproximación a los marcos teóricos que respaldan la introducción de
las tecnologías de la información y comunicación (TIC) en el aula de Clase.
11
En el tercer capítulo, ―DISEÑO EXPERIMENTAL‖ se presentan los criterios de
construcción y análisis de la secuencia de situaciones didácticas diseñada para
ser llevada al aula de clase y los análisis a priori de la misma, las hipótesis del
diseño y las variables didácticas.
Finalmente, en el capítulo cuarto ―RESULTADOS‖, se describe la implementación
de la secuencia de situaciones didácticas y se hacen interpretaciones con el fin de
validar las hipótesis de trabajo y confrontar los análisis a priori. Se finaliza con las
―CONCLUSIONES‖, que retoman diferentes aspectos de la elaboración de este
trabajo de grado.
12
CAPÍTULO 1:
ASPECTOS GENERALES
13
1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Como ya se ha hecho mención, en la escuela y particularmente en nuestro
sistema escolar, la introducción de las TIC en el aula de clase ha sido tardía, es
decir, la escuela no está a la par con los avances tecnológicos que se suscitan día
a día, ya sean que estos hayan sido creados y pensados para ser usados en la
escuela o en otros ámbitos.
Quienes han trabajado con TIC dentro del contexto escolar como Balacheff (2000),
especialmente con programas diseñados para ser introducidos en el aula, se han
encontrado que se dan nuevas características en la construcción del
conocimiento matemático. En el caso de las matemáticas, y dentro de la gama de
software para educación, los Ambientes de Geometría Dinámica (AGD),
micromundos1 matemáticos que ―pueden ofrecer entornos más relevantes y
poderosos para dar significado a los conceptos matemáticos‖ (Balacheff, 2000. p.
93), como lo son Cabri Geometry, Regla y Compás, GeoGebra y otros, los cuales
aun no se han integrado al aula escolar debido a las distintas barreras de
incorporación de TIC en nuestro sistema educativo colombiano.
En un documento anexo a los lineamientos curriculares, de nuevas tecnologías y
currículo de matemáticas, se mencionan las distintas barreras que afectan la
incorporación de las TIC. en el aula de clase; ellas son: poca familiaridad con los
computadores, desconocimiento sobre la utilización apropiada de los recursos
computacionales y de su potencial en la enseñanza y aprendizaje de las
1 Entiéndase por micromundos, aquellos software que han sido específicamente diseñados para
propósitos educativos, y que como características básicas tienen: I) que a partir de unas
herramientas sencillas y básicas, el aprendiz puede construir objetos más y más sofisticados y
definir herramientas más y más complejas para futuras investigaciones; II) Evolucionan a
medida que crece el conocimiento del aprendiz (Balacheff, 2000).
14
matemáticas, incapacidad económica para la adquisición de los equipos,
dificultades de tipo logístico y administrativo para usar los recursos, barreras
actitudinales, falta de compromiso institucional y limitaciones de tiempo de los
profesores para explorar y planear conjuntamente actividades para desarrollar con
los estudiantes. (MEN, 1999).
En primer lugar, la incorporación de las TIC en la educación en Colombia propició
el uso de los Ambientes de aprendizaje Informáticos en las diferentes propuestas
pedagógicas que fueron llevadas al aula de clase. Algunas de ellas fueron
publicadas en las memorias del seminario nacional formación de docentes sobre
el uso de nuevas tecnologías en el aula de matemáticas, sin embargo este
proceso no abarcó la mayoría de las instituciones del país, tan solo se tomó una
muestra de 180 instituciones, debido a que era una prueba piloto y por otra parte,
porque no todas las instituciones contaban con la infraestructura necesaria para
desarrollar el proyecto, entre otras condiciones.
En segundo lugar, para desarrollar una propuesta para la enseñanza con un
determinado software, se debe tener en cuenta que aunque estas herramientas
tecnológicas se hallan diseñado para un área de conocimiento específica, en este
caso la Geometría, presentan tanto diferencias como similitudes con otros de su
misma categoría2, en cuanto al objetivo para el cual fueron creados y los
elementos que contiene en su programación o sistema computacional (interface3).
2 Es decir con otros software creados para trabajar en la misma área de conocimiento y por
consiguiente las mismas temáticas.
3 Como ejemplo podemos citar los software de Geometría Dinámica como Cabri Geometry y
Regla y Compás, que fueron diseñados para la enseñanza de la geometría, y aunque tienen
similitudes en cuanto a las herramientas que ofrecen y la forma de trabajar con ellas, la
disposición de los elementos en la pantalla no es la misma y la creación de macros varia,
situación que puede causar cambios en los ambientes generados.
15
Estos elementos ya mencionados son llamados por Balacheff (2000, p. 10) como
―las características del comportamiento del software‖ algunas intencionadas y
otras no intencionadas, las cuales permean el tipo de razonamiento que se hace
por parte del profesor tanto como del estudiante acerca del proceso de
construcción o solución a un problema propuesto con un determinado software,
ofreciendo distintos tipos de representaciones que permiten realizar
manipulaciones de las representaciones de los objetos matemáticos según cada
programa computacional.
Otra de las características, es la licencia de funcionamiento; para este proyecto
de grado uno de los requerimientos de selección del software de Geometría
Dinámica es que sea de licencia gratuita, para aminorar los gastos en el
establecimiento educativo. Aunque algunos programas de licencia comercial
tienen disponible una versión gratuita llamada demo, esta no ofrece todas las
funciones impidiendo realizar algunas actividades, por esta razón se descartan.
Otro de los requerimientos del programa es que cuente con la función de rotación,
para puntos, segmentos, figuras y cualquier objeto geométrico partiendo de los
elementos que definen una rotación, tales como el ángulo de rotación, el centro
de rotación y los objetos a rotar en ese ambiente. Además será de gran utilidad
que el software permita insertar objetos o imágenes que sean susceptibles de
trabajar con la transformación de rotación4.
Ahora bien, los estudiantes presentan dificultades para apropiarse de la
transformación de rotación como conocimiento matemático, teniendo en cuenta
que las dificultades no solo corresponden a esta isometría, sino que:
4 Para ampliar información de las características de algunos software de Geometría Dinámica, se
recomienda ver el artículo publicado en http/:www.geometriadinamica.cl actualizado el 02 – 11 – 2006. Este documento ha sido escrito por Rafael Miranda Molina, profesor de matemáticas e informática educativa.
16
Hay diversos estudios sobre las dificultades de estas tres isometrías
básicas5 (Grenier, 1988, Gutiérrez & Jaime, 1987; Hart, 1981;
Küchemann, 1980) la conclusión global es que las traslaciones son las
más fáciles de reconocer y las simetrías de deslizamiento las más
difíciles; en cuanto a las simetrías y los giros, su grado de dificultad es
mayor o menor dependiendo de factores como el ángulo de giro y la
posición del centro o del eje (Gutiérrez, 1990, p. 3).
Reconocer si dos figuras son congruentes cuando una es derivada de la otra a
través de una modificación posicional como una rotación no es fácil para los
estudiantes porque en principio una figura tiene un carácter estático, es decir para
la mayoría de estudiantes las representaciones son inertes, fijas, a las que no se
les puede introducir trazos ni transformarlas, así que el reconocimiento de la
transformación de rotación no es algo tan obvio.
Teniendo en cuenta los anteriores planteamientos, se propuso realizar una
aproximación a los enfoques teóricos y las experiencias didácticas en Ambientes
de Geometría Dinámica (AGD), trabajando la transformación de rotación de tal
manera que se pueda dar cuenta del encuentro de esas nuevas características y
de una nueva dimensión en la construcción del conocimiento, de la que nos habla
Balacheff (2000), y dar cuenta de la siguiente pregunta:
¿Cómo favorecer el aprendizaje de la transformación de rotación en un
grupo estudiantes de grado séptimo de la Educación Básica Secundaria en
Colombia a partir de una secuencia situaciones didácticas que integre un
Ambiente de Geometría Dinámica (GeoGebra)
5 En este caso para Gutiérrez (1990) las isometrías básicas son: la traslación, los giros (también
llamada simetría axial) y las reflexiones (llamadas simetrías con respecto a un eje). Los
deslizamientos son una composición de una traslación y una reflexión.
17
1.2. JUSTIFICACIÓN
Se propone un acercamiento a la investigación teórica y empírica de un AGD
(Ambiente de Geometría Dinámica), abordando las rotaciones como temática para
grado séptimo, teniendo en cuenta que en primera instancia la integración de las
TIC (Tecnologías de la Información y la Comunicación) en la educación escolar ha
sido muy lenta y también compleja, así que los profesores en un gran número no
cuentan con las competencias computacionales necesarias para usar ambientes
de aprendizaje informáticos en el aula de clase en el desarrollo de su práctica
pedagógica; además, pese a la familiaridad de los estudiantes con el uso de las
TIC, las mismas no han sido abordadas como un instrumento mediador, es decir
empleadas para construir nuevo conocimiento al interior del aula de clase.
Como ya se mencionó anteriormente, la integración de las TIC en el aula, requiere
no solo de un manejo de los elementos de la herramienta (proceso de
instrumentalización), hay que empezar por conocer que posibilidades y
limitaciones se pueden presentar con el uso del software. Es necesario conocer y
entender cómo funciona el universo interno del software, pues lo que se ve en la
pantalla, el resultado obtenido, tiene detrás todo un proceso que puede tomar
distancia del que se desarrolla con lápiz y papel o en otro software. Además es
pertinente determinar si el ambiente realmente responde a lo buscado, si se ajusta
y permite cumplir con los objetivos trazados en la propuesta de enseñanza, si se
queda corto o por el contrario, muestra nuevas posibilidades para explorar que no
se habían tenido en cuenta antes.
A este conocimiento del funcionamiento del ambiente, hay que agregarle el
conocimiento matemático, ya que es necesario observar procesos, comprobar
teorías, que tal vez si se realizará con lápiz y papel sería dispendioso o casi
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imposible o, por otro lado, si su tratamiento fuera netamente algebraico sería difícil
apreciar o llegar a la convicción de que realmente una proposición o una
propiedad es verdadera o se cumple. Así, los Ambientes de Geometría Dinámica
permiten resolver muchos problemas o familias de problemas ―que se pueden
proponer en estos entornos y que apenas podrían considerarse trabajando con
lápiz y papel‖ (Balacheff, 2000, p. 96).
El uso de estos ambientes permiten exploraciones geométricas de amplio alcance
donde ―la mediación de una forma de tecnología impacta los contenidos del
conocimiento que se va construyendo‖ (Moreno, 2002b, p. 273). De acuerdo con
Moreno (2002a), las características del conocimiento matemático están en íntima
relación con los instrumentos que sirven como mediadores en el proceso de
construcción de dicho conocimiento.
En el caso de la Geometría, las construcciones que se realizan en estos
ambientes dan ―la posibilidad de desplazar las figuras (dragging) y conservando
relaciones estructurales de las mismas, es una forma de manipulación, de
ejecución de representaciones informáticas, que contribuyen al realismo6 de estos
objetos geométricos‖ (Moreno, 2002a, p. 88). Así, la naturaleza de las figuras que
se hacen en un Ambiente de Geometría Dinámica es diferente a la de los dibujos
que hacemos con papel y lápiz.
La diferencia fundamental entre un ambiente de papel y lápiz y de un AGD es
precisamente el dinamismo. Es decir: las figuras en la pantalla adquieren una
6 Balacheff & Kaput (1996), refiriéndose con ello al hecho de que los objetos virtuales que aparecen sobre la pantalla se pueden manipular de tal forma que se genera una sensación de existencia casi material.
19
temporalidad: ya no son estáticas, sino móviles, y por lo tanto sus propiedades
deberán estar presentes en todas las posibles posiciones que tomen en la pantalla
(MEN, 2004), por ejemplo cuando aplicamos una rotación a una figura con un
centro de giro y un ángulo respectivo ésta sigue conservando ciertos invariantes
que definen la transformación de rotación. Con esta opción, es posible reconocer
los invariantes de una construcción, según si el arrastre conserva las propiedades
matemáticas de dicha construcción o no. Esta comprobación tiene un gran
potencial didáctico ya que permite que la exploración de los estudiantes se ajuste
a las propiedades que definen y caracterizan los objetos geométricos, de tal
manera que el explorador en un ambiente dinámico permite que los estudiantes
determinen los patrones de comportamiento invariantes en las figuras.
De acuerdo con lo anterior, los Lineamientos Curriculares del área de matemáticas
enfatizan la necesidad de encaminar la enseñanza de la Geometría hacia el
desarrollo de la percepción espacial, las representaciones bi y tri dimensionales de
las figuras y el estudio de los invariantes de las figuras, sus relaciones y sus
propiedades bajo el efecto que producen las diferentes transformaciones sobre
ellas donde los Ambientes de Geometría Dinámica pueden servir de gran ayuda
(MEN, 1998).
Teniendo en cuenta esto aspectos los programas de Geometría Dinámica
contextualizados en el escenario de innovación curricular han revolucionado la
manera de hacer matemáticas y la forma de enseñarlas, proporcionando contextos
de aprendizaje con nuevas y potentes posibilidades de representación. Usando
programas de Geometría Dinámica como Cabri, Geonext, Kig, SketchPad, Regla
y Compás, Cinderella, GeoGebra y otros, los estudiantes exploran los objetos
geométricos y sus propiedades redescubriendo nuevos teoremas a partir de
situaciones de aula.
20
1.3. OBJETIVOS
1.1.1 OBJETIVO GENERAL:
Favorecer el aprendizaje de la transformación de rotación en un grupo de
estudiantes de la Educación Secundaria en Colombia a partir del diseño y
experimentación de una secuencia de situaciones didácticas integrando un
Ambiente de Geometría Dinámica (GeoGebra).
1.3.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS:
Determinar algunos referentes didácticos, cognitivos e históricos alrededor
de la enseñanza y aprendizaje de la transformación de rotación.
Proponer una secuencia de situaciones didácticas alrededor de la
transformación de rotación integrando GeoGebra.
Contribuir a la integración de Tecnologías de la Información y
Comunicación (TIC) en la enseñanza de la Geometría en la Educación
Básica Secundaria en Colombia.
Analizar los resultados de experimentación de la secuencia de las
situaciones didácticas para dar cuenta del proceso de aprendizaje de la
transformación en los estudiantes participantes.
21
CAPÍTULO 2:
MARCO TEÓRICO
22
Para el desarrollo de esta propuesta se tomarán algunos elementos de la
Ingeniería Didáctica, teniendo en cuenta que existen elementos por profundizar en
los análisis preliminares, en particular en la dimensión epistemológica, y en los
análisis a posteriori de implementación de las situaciones que se han denominado
análisis de los resultados. Sin embargo, este acercamiento a la investigación
cualitativa en Educación Matemática, da pautas para posteriores investigaciones.
A continuación se describe la Ingeniería Didáctica, se desglosa la Teoría referente
a las situaciones didácticas y cada uno de los análisis preliminares propuestos por
la Ingeniería Didáctica.
2.1. LA INGENIERÍA DIDÁCTICA
Debido al carácter social que tiene la enseñanza, los trabajos que se realicen en el
aula se deben adaptar metodologías que den cuenta tanto de la naturaleza social
de dicha enseñanza como de la naturaleza misma del conocimiento matemático.
Por tanto, para este trabajo se ha optado por incorporar algunos elementos de la
Ingeniería Didáctica como metodología de investigación.
Sus orígenes provienen de la escuela Francesa, Artigue (1998) y Farfán (1994)
aluden a que el término de Ingeniería Didáctica surge como analogía del trabajo
del ingeniero, el cual debe apoyarse en un saber científico, pero debe abordar
problemas y tomar decisiones que dependen del proceso y que escapan al control
de la ciencia en sí. Como metodología de investigación, la Ingeniería Didáctica,
ante una pregunta proveniente de la teoría que debe ser aprobada, genera el
escenario experimental a través del cual realiza la prueba. Además, según Artigue
(1998), esta metodología se diferencia fundamentalmente de otras metodologías
de investigación por los siguientes tres aspectos:
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1. Es un esquema experimental basado sobre realizaciones didácticas en
clase, es decir, sobre la concepción, realización, observación y análisis de
secuencias de enseñanza.
2. Se caracteriza, en contraste con otras investigaciones basadas sobre la
experimentación en clase, por el registro de lo que en ella sucede y por los
medios de validación que le son asociados, se sitúa en el contexto del
estudio de caso, y su validación es esencialmente interna, basada en la
confrontación entre el análisis a priori y el análisis a posteriori.
3. Los objetivos de una investigación didáctica pueden ser diversos. Douady
(1984) distingue por ejemplo, las investigaciones que se centran en el
estudio de procesos de un concepto dado en particular sobre la elaboración
de una génesis artificial del concepto , de aquellas que son transversales en
el contenido, y que se apoyan en la base de la enseñanza de un dominio
específico. (p. 285-286).
Bajo este esquema metodológico este proyecto se caracterizará por tener un
esquema de trabajo que permita realizar un estudio experimental de caso
dentro del aula de clase, en tanto habrían unas tareas diseñadas, llevadas al
aula para ser experimentadas bajo un trabajo de observación que permite
llevarnos a un análisis de las mismas; para tal efecto se retomaran algunos
elementos de la Ingeniería Didáctica. Hay que tener presente que la
profundidad de algunas de las etapas no será tan rigurosa, como en el caso de
los análisis preliminares y a posteriori. A continuación se describen cada una
de ellas:
Análisis preliminar: conformado por el cuerpo teórico que involucra
aspectos didácticos, cognitivos, epistemológico de los contenidos
contemplados en la enseñanza, la concepción de los estudiantes a
24
cerca de sus dificultades y errores, y la influencia de la escuela
tradicional.
Concepción y análisis a priori de la situación didáctica de la ingeniería;
es decir, a la luz del análisis preliminar se diseñan y presentan unas
situaciones exploratorias, sobre las que se prevé los posibles logros a
alcanzar así como algunas dificultades que se puedan presentar durante
la experimentación
Experimentación (realizaciones didácticas): tareas llevadas a cabo en el
trabajo de campo con los aprendices.
Análisis a posteriori y evaluación: conformado por el conjunto de datos
recogidos a lo largo de la experimentación, que son analizados y
posteriormente confrontados con el análisis a priori, para dar
fundamento a la hipótesis formuladas.
Consecuente con la metodología, la primera fase, el análisis preliminar, se
sustentan tres dimensiones a saber: la dimensión histórica, la dimensión didáctica
que incluye lo curricular y la dimensión cognitiva, siendo el cuerpo teórico que nos
permite caracterizar el problema en cuestión, planteando a partir de él las
realizaciones didácticas que serán llevadas al aula. Para dar pie al inicio de la
Ingeniería Didáctica se presentan las respectivas indagaciones de cada una de las
dimensiones de los análisis preliminares.
25
2.2. ANÁLISIS DIDÁCTICO
Con Brousseau (1986) la didáctica de las matemáticas experimenta la necesidad
de utilizar un modelo propio de la actividad matemática para responder a los
problemas que se planteaba la misma didáctica. De acuerdo con lo anterior no se
puede separar la didáctica de las matemáticas de las matemáticas sino que ahora
es objeto de estudio dentro de la misma didáctica los objetos matemáticos.
Para esta propuesta se toman algunos elementos de la teoría de situaciones
didácticas desarrollada por Brousseau; que define como ―una situación didáctica al
conjunto de relaciones establecidas explicitas e/o implícitamente entre un alumno
o un grupo de alumnos, un cierto medio, que comprende instrumentos y objetos, y
el profesor con el fin de hacer que los alumnos se apropien un saber constituido o
en vías de constitución‖ (Brousseau, 1986, p.126).
Se presentan algunos de esos elementos que hacen parte de la TSD. Para
empezar mencionaremos que Brousseau (1986) establece tres clases de
situaciones, como son: las situaciones didácticas, las situaciones a-didácticas y las
situaciones no didácticas.
Las situaciones no didácticas: son situaciones que no cuentan con una
organización previa que permita el aprendizaje, es decir tanto estudiantes como el
profesor se enfrentan a un problema que aparece naturalmente (por fuera de la
organización que contempla la clase como tal), en la cual no se contempla de
manera formal los roles de estudiante y profesor. En este tipo de situaciones se
espera que los estudiantes empleen todos los conocimientos adquiridos en clase.
Las situaciones didácticas: es la se inscribe dentro del sistema didáctico en un
sentido estricto, pensada para dar una clase, se enmarca bajo las reglas del
26
contrato didáctico, con una clara intencionalidad de enseñar por parte del
profesor, y de aprender por parte de los estudiantes; en este caso se establece
unos roles bien definidos para cada uno de los actores, es decir el rol de profesor
y el rol de estudiante.
Las situaciones a-didácticas: empezaremos por aclarar que las situaciones a-
didácticas no son sinónimas de las no didácticas u opuestas a las situaciones
didácticas. Lo que sí se puede afirmar es que tanto las situaciones didácticas,
como las no didácticas pueden ser vividas como a-didácticas. Para entender este
dilema diremos que en una situación a-didáctica tiene sentido si se utiliza
exclusivamente un razonamiento matemático, además los estudiantes pueden
vivirla como si fueran investigadores de un problema matemático, independientes
de una sistema de enseñanza.
Pero aclaremos aquello de ―independientes de un sistema de enseñanza‖. Si una
situación es independiente de un sistema de enseñanza puede dar pie a que se
piense que es una situación no didáctica, dado que estas se caracterizan por estar
por fuera de una estructura típica de clase, pero si el estudiante tiene una clara
intencionalidad de aprender (investigador) con la misma y además razona
matemáticamente se puede afirmar que la está viviendo como si fuera una
situación a-didáctica.
En el caso de las situaciones didácticas, las cuales son de interés para el presente
trabajo, recodemos que tiene dos componentes bien intencionados como son
enseñanza y aprendizaje; ahora la situación a-didáctica centra prioritariamente su
interés en el aprendizaje, mas esto no quiere decir que se desconozca la otra
componente, dado que una situación didáctica puede ser vivida como a-didáctica,
27
vivencia que pretende retomar la TSD y explotarla para beneficio de la clase de
matemáticas.
¿Pero cómo se logra que una situación didáctica ya vivida como a-didáctica?
Para responder esta pregunta diremos que como en toda situación didáctica existe
una intencionalidad de enseñar por parte del profesor y de aprender por parte del
estudiante, a partir de los cuales se establece un establece un contrato didáctico y
unos roles, pero cuando el contrato didáctico se rompe y los roles se transforman,
emerge la situación a-didáctica. Nótese que la intencionalidad de enseñanza y
aprendizaje está presente, pero ya de otro modo; el profesor quien conserva su
estatus de profesor y tiene la intención de enseñar crea una situación en la cual
delega la responsabilidad de resolver un problema el estudiante, y el estudiante,
que tiene la intención de aprender, acepta esta responsabilidad en tanto le es
delegada como mandato y él la recibe y quiere responder a este mandato.
Una vez aceptada la responsabilidad por parte del estudiante, empieza a
desarrollar un trabajo autónomo, formulando posibles soluciones, confirmando la
viabilidad y valides de las mismas, descartando aquellas que no dan respuesta al
problema hasta llegar a la solución real a una aproximación de la solución real.
Durante todo este proceso el rol del profesor se concentra inicialmente en crear y
dar al estudiante un problema lo suficiente bien estructurado de tal manera que la
lógica interna del mismo posibilite el trabajo autónomo del estudiante y a su vez
permita la enseñanza y el aprendizaje del saber que quiere enseñar.
Seguidamente, dentro del trabajo en clase con los estudiantes, el profesor no se
limita a ser un espectador de lo pueden o no producir los estudiantes, por el
contrario es un actor muy activo de la situación en tanto orienta y guía el trabajo
autónomo de sus estudiantes motivándolos a descubrir, generar y perfeccionar
estrategias de solución, guiando la validación de las estrategias adoptadas y
generando en conjunto con los estudiantes las conclusiones a las que se deben
28
llegar con el trabajo propuesto, de tal manera que al final los estudiantes hayan
aprendido el saber que el profesor quería adquirieran.
La intervención activa que hace el profesor durante la clase, descrita
anteriormente, a partir de la delegación de la responsabilidad al estudiante y el
compromiso de querer aceptar y aceptarla por parte del estudiante es conocida
como los actos de devolución dentro de la TSD
Por otra parte y continuando con la exposición de algunos de los elementos de la
TSD, es conveniente mencionar que existe otra taxonomía en el marco de las
situaciones didácticas, es decir, las situaciones didácticas que pueden ser vividas
como a-didácticas se pueden clasificar en:
Situaciones de acción: son aquellas en las que se genera una interacción
entre los estudiantes y el medio físico. Los estudiantes deben tomar las
decisiones que hagan falta para organizar su actividad de resolución del
problema planteado.
Situaciones de formulación: corresponden a aquellas cuyo objetivo es la
comunicación en informaciones entre los estudiantes. Para esto deben
modificar el lenguaje que utilizan habitualmente, precisándolo y
adecuándolo a las informaciones que deben comunicar
Situaciones de validación: son las que tratan de convencer a uno o a
varios interlocutores de la validez de las informaciones que se hacen. Los
alumnos deben elaborar pruebas para demostrar sus afirmaciones pues no
basta con la comprobación empírica de lo que dicen es cierto sino que hay
que explicar que necesariamente debe ser así.
29
Situaciones de institucionalización: estas situaciones están destinadas a
establecer convenciones sociales. En estas situaciones se intenta que el
conjunto de los estudiantes de una clase asuma la significación socialmente
establecida de un saber que elaborado por ellos en situaciones de acción,
de formulación y de validación.
Para Brousseau (1986), los estudiantes construyen los saberes matemáticos como
consecuencia de las situaciones didácticas. Las situaciones didácticas, son
concebidas por los investigadores en didáctica de las matemáticas, para crear las
condiciones de aprendizaje de un conocimiento dado. Sobre esta base teórica las
actividades que se proponen radican en la identificación y en el diseño de
algunas preguntas a través de la exploración, por parte del estudiante, en un
ambiente de Geometría Dinámica (AGD) con la intencionalidad de favorecer el
aprendizaje de la transformación de rotación. Ahora, estas situaciones tienen su
origen en la presentación, por el docente, de preguntas orientadas a suscitar un
comportamiento activo de los estudiantes, como por ejemplo una discusión de
aula.
Como la propuesta contempla el empleo de herramientas computacionales, en
este caso el software GeoGebra, a continuación se presenta una reflexión sobre
las características de este software, que es un micromundo para la enseñanza de
la Geometría en un ámbito escolar. Pero, ¿qué son las TIC, un micromundo o un
AGD? Para responder a este interrogante y establecer puntos en común se
presenta una caracterización de cada una de ellas.
30
2.2.1. TECNOLÓGICAS DE LA INFORMACIÓN Y COMUNICACIÓN (TIC)
En primera instancia se presentan las TIC, que han venido evolucionando a través
del tiempo: de ellas se dice que son todos aquellos medios diseñados por el
hombre para conocer, comprender, relacionarse y en lo posible controlar su
entorno; de allí que invenciones como la rueda, la imprenta, los procesos de de
industrialización entre otros hayan permitido al hombre conocer y transformar su
entorno físico y socio-cultural.
Con el paso del tiempo estas TIC han sido incorporadas en la escuela mediante el
uso de diferentes medios como los libros, las salas de audiovisuales el uso de los
computadores, por mencionar solo algunos. Sin embargo el proceso de
integración ha sido más lento, la incorporación no implica integración hace falta de
un trabajo de mayor envergadura que ha generado investigaciones de orden
teórico y empírico que fundamentan la presencia de estas herramientas en la
escuela.
Por otra parte el uso del término herramienta no es gratuito, pues el objeto
computador por sí mismo no adquiere una importancia relevante, se hace notable
en tanto es un medio que permite la construcción de conocimiento de los
estudiantes en la interacción que se suscita entre medio y sujeto en la relación con
el conocimiento matemático. Para terminar de caracterizar la herramienta
computacional o TIC se apelará a una aproximación instrumental desde el
principio de la génesis instrumental.
El principio de la génesis instrumental permite dar cuenta de cómo una
herramienta en un primer momento es asumida bajo la categoría de artefacto, es
decir un objeto tecnológico presto a emplearse en alguna labor. Pero cuando el
31
artefacto mediante unos procesos de apropiación que hace el usuario de él se
convierte en un mediador importante entre el hombre y la actividad humana que
realiza, respondiendo a unos esquemas de uso, se transforma en instrumento.
Dentro de este principio se reconocen los componentes o procesos que la
conforman, a saber:
Los procesos de instrumentalización: que permiten establecer la
diferenciación entre artefactos, que conllevan al descubrimiento de
capacidades y posibilidades que ofrecen, según el tipo de tarea a efectuar,
permitiendo al usuario seleccionar el que más se ajusta a su conveniencia
entrando en un proceso de apropiación y personalización del artefacto que le
permite incluso modificar sus funcionalidades, contemplando posibilidades de
uso que tal vez su diseñador no tuvo en cuenta.
Los procesos de instrumentación: en este caso se contempla la evolución de
los esquemas7 de uso, que son aquellos que sirven como base para el
desarrollo de una actividad pero a su vez, estos esquemas permiten la
construcción de nuevos esquemas o la transformación de otros ya
elaborados, haciendo más optimo el trabajo con el artefacto, ya convertido en
instrumento8.
Aunque cada individuo desarrolla procesos de instrumentación, los mismos son
influidos por una dimensión social, dado que estos procesos se dan al interior de
7 Desde la instrumentalización un esquema es la organización invariante de conductas para una clase de
situaciones dada (Trouche, 2004). Un esquema tiene tres funciones principales, una función pragmática
(permite al agente hacer algo), una función heurística (permite al agente planear y anticipar acciones) y
una función epistémica (permite al agente entender algo). Desde el constructivismo un esquema es la
totalidad del conocimiento que para el individuo está conectado (consciente o inconscientemente) con
un tópico matemático particular (Asiala, 1996)
8 Este paso de artefacto a instrumento se retoma y amplia en la dimensión cognitiva
32
comunidades de práctica donde se fijan lugares comunes que guían la interacción
no solo usuario-instrumento, sino además la interacción entre sujetos. Y es aquí,
donde opera otro principio, el de la orquestación instrumental compuesto por un
conjunto de individuos con unos objetivos en común, que construyen un plan de
acción y explotan el instrumento según el tipo de posibilidades que ofrezca de
acuerdo con el plan de acción trazado.
Micromundos Computacionales
Los micromundos son aquellos software que han sido específicamente diseñados
para propósitos educativos, y que como características básicas tienen:
1. Que a partir de unas herramientas sencillas y básicas, el aprendiz puede
construir objetos más y más sofisticados y definir herramientas más y más
complejas para futuras investigaciones;
2. Evolucionan a medida que crece el conocimiento del aprendiz.(Balacheff,
2000)
Un micromundo está compuesto de:
Un conjunto de objetos primitivos y operaciones que se realizan sobre estos
objetos permitiendo la operación formal del micromundo.
.Un dominio Fenomenológico, que relaciona los objetos y las operaciones
con los fenómenos que podemos apreciar en la pantalla. ―Este dominio
determina el tipo de retroalimentación que se produce como consecuencia
de las acciones y decisiones que toma el estudiante durante la exploración‖
(Moreno, 2002, p. 89).
En un micromundo el estudiante podrá explorar la estructura de los objetos,
relaciones y registros representacionales que le proporciona el micromundo.
―Podrá incluso, generar nuevos objetos complejos a partir de los objetos primitivos
33
originales. Desde esta perspectiva, podemos decir que el micromundo evoluciona
a medida que crece el conocimiento del estudiante ―(Moreno, 2002a, p. 90).
Para este caso particular nos interesan los micromundos que tienen como objeto
la enseñanza de la Geometría, también conocidos como los AGD que promueven
una transformación a nivel epistemológica de la experiencia matemáticas de los
estudiantes.
Ambientes de Geometría Dinámica
Hay que empezar por caracterizar a manera de definición que es una AGD
(Ambiente de Geometría Dinámica). Tal vez la primera impresión que se puede
hacer de él es que es un editor grafico que posibilita elaborar figuras o diagramas
geométricos en la pantalla, pero en realidad su funcionalidad va más allá, pues el
objeto geométrico presentado en la pantalla responde a unas relaciones y
propiedades geométricas, de este modo, la naturaleza de las figuras que se
construyen en un AGD es diferente a la de los dibujos que se hacen con papel y
lápiz.
Como características principales del medio geométrico dinámico tenemos las
siguientes:
a. La capacidad de arrastre (dragging) de las figuras construidas que favorece
la búsqueda de rasgos que permanecen vivos durante la deformación.
b. El uso extensivo de locus (lugar geométrico) y trace (huella que deja una
figura geométrica cuando se le arrastra) que permite visualizar y descubrir
hechos geométricos.
34
c. La animación de figuras permite presenciar el proceso constructivo de un
hecho geométrico.
Pero los AGD a diferencia de la regla, el compás y el transportador cuenta con
unos valores agregados, que si se saben trabajar, ayudan al establecimiento de
las propiedades geométricas de los objetos construidos, pues permiten visualizar
y reconocer los cambios que se producen al modificar los parámetros de una
construcción, así como detectar los invariantes que se mantienen al poner en
movimiento una figura construida o frente a las transformaciones de los objetos
construidos.
Cabe anotar que los AGD fueron pensados como instrumentos para la enseñanza,
y que cuentan con unas funciones primarias básicas que permiten abordar la
resolución de problemas geométricas siguiendo, de alguna manera, las formas
empleadas por la matemática griega empleando la regla y el compás, tal es el
caso del Cabri II plus. En este sentido los AGD llevados al salón en una clase de
Geometría permite realizar una aproximación a la misma, mediante la
experimentación y la manipulación de unos pocos elementos, con los cuales se
pueden realizar construcciones geométricas de tal manera que la deducción de
resultados se pueda ver de una manera más directa.
Pero la introducción en la escuela del los software de Geometría Dinámica como
Cabri, GeoGebra, Regla y Compás entre otros no se deben hacer sin un debido
estudio y análisis de los mismos. Estableciendo las funciones que van a cumplir,
los elementos con que cuenta cada uno, los cuales posibilitan o limitan un
determinado tipo de trabajo, así como es necesario determinar cómo se refleja el
conocimiento matemático en cada uno de ellos, es decir si el objeto matemático
que se va a tratar sufre cambios durante el proceso, así el resultado será ―el
35
mismo‖, comparado con el estudio matemático que se hace de él tradicionalmente
en la escuela y como se plantea fuera del programa o software utilizado.
Además, los AGD permiten realizar distintos tipos de arrastre de acuerdo al
propósito de la situación llevada al aula, entre esos tipos de arrastre según
Arzarello (1998) y Hölzd (1996) citados en Gutiérrez (2006) tenemos:
Arrastre de Test: para comprobar si la construcción realizada conserva las
condiciones matemáticas del problema.
Arrastre errático: se hace sin ninguna finalidad específica explorando la
búsqueda de invariantes de acuerdo a la situación planteada.
Arrastre guiado: se arrastra un objeto con la finalidad de obtener un caso
particular de la figura construida
Arrastre que se hace sobre un lugar geométrico oculto con la finalidad de
descubrir los invariantes de la situación.
GeoGebra
Es un software didáctico de uso gratuito elaborado Markus Hohenwarter para la
enseñanza de la matemática escolar y que ―reúne dinámicamente Geometría,
álgebra y cálculo‖ (Hohenwarter M. & Hohenwarter J. 2009. P 13). Al desplegar
sobre la pantalla del computador la ventana del software nos encontramos con
tres vistas: una vista gráfica en la cual se pueden realizar construcciones
geométricas haciendo uso del menú que presenta la barra de herramientas (punto,
recta, ángulo, etc.), a su vez tiene la capacidad de mostrar gráficas de funciones;
una vista algebraica la permite ingresar expresiones algebraicas como una función
cuadrática (y que inmediatamente serán mostradas en la vista gráfica), así como
mostrar las coordenadas y ecuaciones que se generan al elaborar una
36
construcción geométrica; Su vista de hoja de cálculo que permite ingresar tanto
números como cualquier otro objeto matemático (coordenadas, funciones, etc.)
Otro aspecto importante es la posibilidad que ofrece de personalizar la interfaz de
uso, ya que desde la opción vista en la barra de menú se puede ocultar opciones
de la barra de herramientas o alguna de las vistas (algebraica, gráfica y hoja de
cálculo) que ofrece el programa, según sea necesario para realizar una actividad.
Pero uno de los aspectos presentes en su vista gráfica que motivo en buena parte
la lección de este software, además de los anteriores es la posibilidad que tiene el
programa de insertar una imagen para rotarla, hacho que no es posible en otros
software como Regla y Compás o Cabri Geometry.
2.2.2. UNA APROXIMACIÓN CURRICULAR
El estudio de la Geometría dentro del currículo escolar de matemáticas en los
últimos años ha vuelto a cobrar la importancia y el lugar que había perdido con la
adopción de la matemática moderna, debido al ―cambio en el punto de vista de la
matemática en sí misma, (que ha comenzado a verse más como una actividad
humana que como una teoría formal) y de la enseñanza y el aprendizaje de la
matemática a nivel escolar‖ (Neubrand, 1998); cambio que ha permitido establecer
conexiones entre las matemáticas y los contextos de las diversas asignaturas del
currículo como las ciencias naturales, sociales y las artes disminuyendo así la
separación tradicional existente entre las diversas asignaturas que componen el
currículo. Es así como desde los lineamientos curriculares de matemáticas se
plantea la necesidad de su presencia en el currículo de matemáticas abordada
como uno de los pensamientos -El pensamiento espacial y sistemas
geométricos- a desarrollar en aras de que el estudiante construya conocimiento
matemático.
37
―El estudio de la Geometría intuitiva en los currículos de las matemáticas
escolares se había abandonado como una consecuencia de la adopción de la
―matemática moderna‖. Desde un punto de vista didáctico, científico e histórico,
actualmente se considera una necesidad ineludible volver a recuperar el sentido
espacial intuitivo en toda la matemática, no sólo en lo se refiere a la Geometría‖
(MEN, 1998, p. 35)
Pero su inclusión no ha sido al azar, para tal fin se optó por plantear un nuevo
modo de abordarla a través de la Geometría activa, emanada de uno de los
procesos de revolución educativa dentro del país liderado por el Ministerio de
Educación Nacional (MEN); esta propuesta centrada en la actividad del estudiante
y su confrontación con el mundo, da ―prioridad a la actividad de este sobre la
contemplación pasiva de figuras y símbolos, a las operaciones sobre las
relaciones y elementos de los sistemas y a la importancia de las transformaciones
en la comprensión de aquellos conceptos que a primera vista parecen estáticos.
Se trata pues de hacer cosas, de moverse, dibujar, construir, producir y tomar de
estos esquemas operatorios del material para la conceptualización o
representación interna‖ (MEN, 1998). Además para lograr esta conceptualización
inicialmente debemos partir del empleo del lenguaje natural como los mediadores
que permiten construir conceptos que sean lo suficientemente estables para que a
través del avance en el proceso educativo sean el sustento para proponer y
evaluar posibles definiciones y un simbolismo formal propio de las matemáticas.
Estas razones hacen que la Geometría activa sea ―una alternativa para
restablecer el estudio de los sistemas geométricos como herramientas de
exploración y representación del espacio‖ (MEN, 1998, p. 42).
Seguidamente, centrando la mirada en la actividad del maestro en el proceso de
enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en la escuela, en particular de la
38
Geometría, debemos tener en cuenta que la misma no solo se reduce a su hacer
en el aula a través de diferentes estrategias y herramientas didácticas que pueden
contribuir al aprendizaje, permitiendo que sea más accesible, entendible,
agradable o significativo para sus estudiantes. Dentro de estas herramientas se
podrían considerar las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC); que
son elementos que poco se consideran , no por ser desconocidos o por no
tenerlos, de hecho hace parte del diario acontecer, si no tal vez porque son
escasos los maestros que tienen una adecuada formación en este campo de las
TIC.. ―Una integración de TIC invita a nuevos mecanismos para el desarrollo
profesional con suministro continuo a largo tiempo para ayudar a los profesores
en sus esfuerzos de acción pedagógica‖ (Guin & Trouche, 2002c, p. 182).
Es por esto que “la presencia de los recursos tecnológicos en el currículo ha de
verse como un rayo de luz que "ilumina" el currículo de matemáticas a través de
un filtro, el sistema didáctico‖ (MEN, 2004, p. 95). Entonces se ha identificado que
estas herramientas tecnológicas producen cambios importantes en la experiencia
matemática de los estudiantes a nivel epistemológico razón por la cual en el
currículo de matemáticas deben considerarse.
―La Geometría de las transformaciones tiene que ver con el movimiento por lo
que es muy apropiado trabajar con programas informáticos dinámicos. Estos
permiten mover objetos alrededor de la pantalla con el mouse y ver la reflexión, o
alguna otra transformación, moviéndose simultáneamente‖ (MEN, 2004, p. 86). Así
que dentro de las propuestas curriculares vigentes encontramos el desarrollo del
pensamiento geométrico, considerando a la Geometría Transformacional como
una alternativa para que los estudiantes construyan conocimiento espacial a
partir de la experimentación y exploración sobre el mismo.
39
Como parte de la Geometría transformacional se contemplan las
transformaciones isométricas, que permiten que las figuras se transformen en
otras figuras congruentes, posibilitando el estudio del movimiento de tal manera
que el estudiante a través de la exploración y la experimentación puedan
descubrir las propiedades invariantes de las figuras. En particular, ―la rotación
posibilita la exploración de aspectos complejos tales como el sentido, la magnitud
angular y la invarianza de propiedades‖ (MEN, 1998, p. 83).
Como se puede ver las transformaciones geométricas aparecen ubicadas en el
currículo cuando ―la Geometría escolar se ha ocupado del movimiento de figuras
geométricas desde una posición a otra, y de movimientos que cambian el tamaño
o la forma‖ (MEN, 1998, p. 94). Es así como en los lineamientos curriculares y en
los Estándares del Ministerio de Educación Nacional aparecen las rotaciones
como un movimiento en el plano que se debe estudiar en el contexto escolar
inicialmente de una manera intuitiva (y en el comienzo sin definir verbalmente esta
transformación) y de esta manera proponen que se trabaje la Geometría por
medio de aquellas transformaciones que ayuden a esa exploración activa del
espacio y a desarrollar sus representaciones en la imaginación y en el plano del
dibujo teniendo en cuenta que ―el eje temático de las transformaciones y
relaciones espaciales pretende devolver la dinámica a los sistemas geométricos a
través de las transformaciones en el plano y las relaciones y operaciones
espaciales‖ (Posada, 2005, p. 42).
40
2.3 ANÁLISIS COGNITIVO
2.3.1 LA RELACIÓN HOMBRE – HERRAMIENTA
Las herramientas tecnológicas informáticas han venido evolucionando a través del
tiempo exigiendo una mirada y un tratamiento diferente del que se venía dando
como un conglomerado de simples herramientas al servicio de la humanidad para
ejecutar una labor con mayores posibilidades de efectividad y eficiencia. Durante
el transcurso de la última década podemos observar que ―al menos desde el punto
de vista de las aplicaciones que conllevan interacciones entre la persona y la
máquina, como el resultado de una creciente toma de conciencia de la necesidad
de un cambio de énfasis desde el procesamiento de la información al
procesamiento del conocimiento‖ (Balacheff, 2000).
Para hacer un recorrido por este cambio de énfasis, en primera instancia
retomaremos la definición inicial de información propuesta por Shannon (1981,
citado en Balacheff, 2000, p. 93), la cual ―se basa en una clara separación entre el
significado y la forma del mensaje‖. Esta separación se debe a que la problemática
inicial de la ciencia computacional era el manejo óptimo de grandes volúmenes de
información; para identificar este dominio de trabajo se acuñó el término de
informática. En la década de los 60a surge un nuevo dominio de trabajo conocido
como inteligencia artificial, su desarrollo indujo a una progresiva toma de
conciencia que permitió tener en cuenta no solo la forma sino también el
significado dentro de los procesos de tratamiento de información, particularmente
en las relaciones de interacción entre las máquinas y los seres humanos.
En educación, la evolución llegó a un punto cumbre cuando quedo claro que por lo
menos hasta la fecha las máquinas no pueden superar a los seres humanos, pero
el asunto de las tecnologías informáticas y de la comunicación en educación no
41
para allí, aun hay un camino grande por recorrer en la toma ―de conciencia de la
necesidad de tener en cuenta el significado y, como consecuencia, la necesidad
de considerar las relaciones entre significado y forma, entre los símbolos y su
organización‖ (MEN, 1998, p. 87), ya que en torno a esta necesidad surge una
problemática y es la de la fidelidad de los medios usados para representar el
conocimiento. Es decir, en la interacción con un ordenador, por ejemplo,
inevitablemente el significado original del conocimiento transmitido (significado
intencionado) sufre transformaciones al cambiar su forma de representación,
dando origen a interpretaciones que no se tenían presupuestadas (significado no
intencionado).
La integración de las TIC ha generado investigaciones de orden teórico y empírico
que permitan la apropiación de un marco de referencia que guiará su proceso de
integración. Cabe anotar su integración ha sido lenta, incluso en Francia, lugar
donde se originaron las primeras investigaciones a partir de estudios de
fenómenos didácticos ligados a la integración de las TIC, debido a la complejidad
que revisten los ambientes computacionales tanto para profesores como para
estudiantes cuando son parte de una práctica educativa en la escuela.
Balacheff (1994, p. 16) define la transposición informática como ―el trabajo sobre el
conocimiento que permite una representación simbólica y la puesta en práctica de
esta representación por un dispositivo informático‖ y Artigue (1998) distingue dos
clases de fenómenos que se interrelacionan en el trabajo práctico, ellos son: los
fenómenos ligados a los procesos de conocimiento transpuesto y los fenómenos
ligados a los procesos de adaptación. De los fenómenos ligados al proceso de
conocimientos transpuesto indica, que son aquellos que se refieren al trabajo
sobre el conocimiento, expuesto a través de una representación simbólica o un
sistema de signos (sistema algebraico, gráfico, etc.), y que es llevado a un nuevo
42
sistema de representación bajo un sistema computacional, donde identifica y
caracteriza dos tipos de estos fenómenos.
Fenómenos de la Pseudo- transparencia: que indica la brecha entre lo que
el estudiante escribe y lo que despliega en la pantalla.
Fenómeno de la doble referencia: ligado a la interpretación que se hace de
la tarea tanto en lápiz y papel como por medio de un sistema
computarizado.
De los fenómenos ligados al proceso de adaptación Artigue distingue tres tipos:
Fenómenos de adaptación perceptiva: esto alude a la potencialidad
desplegada por las calculadoras.
Fenómenos de transporte automático: referido a la capacidad de las
calculadoras según la complejidad de su diseño para permitir resolver
problemas propuestos a los estudiantes, introduciendo todos o la mayor
cantidad de datos del problema en la máquina.
Fenómenos de disposición localizada para las dificultades de cambiar los
registros semióticos y de esa manera cambiar la aplicaciones en una
calculadora simbólica: es decir la capacidad para reproducir el mismo tipo
de técnicas, en la misma aplicación o tarea pero ejecutando una serie de
adaptaciones sucesivas.
2.3.2 EL PROBLEMA DEL DIBUJO Y EL OBJETO GEOMÉTRICO
Además de los fenómenos ligados a los procesos de conocimiento transpuesto y
los fenómenos ligados a los procesos de adaptación, propios del la relación entre
el hombre (para este caso estudiante o profesor) y la herramienta (en este caso el
uso de un AGD), encontramos otros aspectos más asociados de manera directa
43
al uso de los AGD en relación con el conocimiento matemático (objetos
geométricos) que se pretende movilizar y los cuales pueden hacen que se
modifique ―el tipo de matemáticas que se pueda enseñar, el conjunto de
problemas y estrategias didácticas‖ (Balacheff, 2000); estos aspectos son: la
visualización y la representación.
Para abordar estos dos aspectos hay que hacer alusión a una problemática que se
suscita en el campo de la Didáctica de la Geometría, como es la falta de distinción
por parte de los estudiantes entre el dibujo y el objeto geométrico representado, al
tratar de comprender cuando un objeto puede ser considerado como figura
geométrica.
Debido a que los objetos matemáticos (en este caso las figuras o los objetos
geométricos) tienen el carácter de ser abstractos y generales, por ejemplo, no es
fácil asumir que una recta y un triángulo dibujado se consideran como tal, solo por
lo que se puede percibir a simple vista según su forma, sino que tiene unas
propiedades que le permiten servir como uno de los representantes de una
colección.
El proceso de visualización se puede entender como el de dar ―forma‖ mental o
física a ciertos conceptos y procesos matemáticos no necesariamente figurados.
Es decir, el asociar una imagen figurada de un concepto o procedimiento. Se
considera que en la Geometría se puede visualizar formas y figuras, visualizar
conceptos ó procesos sistemáticos y otros a través de las diferentes figuras
geométricas. Los procesos de visualización en Ambientes de Geometría
Dinámica son de amplio alcance ya que la manipulación directa de los objetos
geométricos en la pantalla le permite al estudiante experimentar en dominios que
44
anteriormente eran inaccesibles con lápiz y papel consintiendo ver los objetos
matemáticos como manipulables y actuando sobre ellos.
―Por representaciones entenderemos, en el ámbito de las matemáticas, notaciones
simbólicas o gráficas, o bien manifestaciones verbales, mediante las que se
expresan los conceptos y procedimientos en esta disciplina así como sus
características y propiedades más relevantes. Estas representaciones se clasifican
en registros de representación‖ (Duval, 1999). Dentro de las representaciones
geométricas está presente la compleja relación entre dibujo y objeto geométrico,
pues un dibujo no necesariamente puede ser asumido como un objeto
geométrico, debido a que la categoría de objeto geométrico encierra unas
propiedades que todo representante de una colección debe cumplir y
lamentablemente el dibujo permite observar algunas propiedades del objeto
geométrico parcialmente.
―En la actualidad, los instrumentos computacionales encarnan sistemas de
representación que presentan características novedosas: son sistemas
ejecutables de representación, que virtualmente ejecutan funciones cognitivas
que anteriormente eran primitivas de los seres humanos‖ (Moreno, 2002a).
Las representaciones en lo AGD poseen ciertas cualidades que las hacen
beneficiosas para el aprendizaje de la Geometría ya que son manipulables y se
puede actuar directamente sobre ellas. A estas se les llama representaciones
ejecutables, es decir, portadoras de la potencialidad de simular acciones
cognitivas con independencia del usuario. Es importante comprender que los
objetos que aparecen en la pantalla y que se manipulan en el ambiente ―no son
objetos concretos ni objetos del mundo matemático formal: son objetos virtuales
que están en la interface que separa el mundo conceptual de las matemáticas del
45
mundo de los objetos concretos. Son pues instrumentos de conocimiento, no
conocimiento en si mismos‖ (Moreno, 2002b).
Como indica Laborde (1998), estos dos elementos juegan un papel crucial a la
hora de abordar las actividades propuestas en el aula tanto en lápiz y papel como
al interactuar con un Ambiente de Geometría Dinámica, pues aunque el último
medio parece ser más ventajoso a la hora de evitar la confusión entre dibujo y
figura geométrica, si no se hace el debido análisis de las variables que harían
variar o apoyar el(os) objetivo(s) que se pretenden alcanzar con las diferentes
actividades según el software a usar y la tarea a desarrollar, la problemática
segura estando presente.
2.4. ANÁLISIS HISTÓRICO
Para referirse a la dimensión histórica en el campo de la transformación de
rotación es necesario mirar cómo ha evolucionado la Geometría desde la
euclidiana hasta la transformacional, en donde la rotación aparece como un
saber matemático. Hay que tener en cuenta que la Geometría desde sus
orígenes ha tenido una estrecha relación con las actividades humanas, y su
desarrollo ha dependido tanto de aspectos visuales como conceptuales y
abstractos (Mammana & Villani, 1998, citado por MEN, 2004). Si se remonta a la
prehistoria, se encontrará con que se empleó el dibujo para representar algunos
aspectos de la realidad (la caza y la recolección de frutos, entre otros), así como
para ―adornar sus pertenencias con motivos geométricos simples o producidos
por medio de simetrías. Igualmente cuando empezaron a hacer sus primeras
construcciones, comenzaron a disponerlas en forma geométrica‖ (MEN, 2004, p.
103), dando pie en gran medida al desarrollo visual de la Geometría.
46
Posteriormente los griegos desarrollaron una Geometría mucha más formal que
la existente, condensaba en el libro de los ―Elementos‖ de Euclides (325 a 265
a.C.).
En lo que se presenta a continuación, se hace una caracterización de la
Geometría plana, partiendo desde los griegos, siguiendo con la Geometría
Analítica, la Geometría Proyectiva hasta llegar a la Geometría Transformacional
donde se ubica el concepto de rotación.
2.4.1 LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Ésta Geometría es asumida como el primer tratamiento sistemático que se hizo
de la Geometría, presentado uno de los primeros tratados geométricos que lleva
por nombre los Elementos de Euclides (alrededor del 300 a.C.). En esta obra,
Euclides por primera vez organizó los objetos geométricos trabajados hasta
entonces como un sistema axiomático basado en lo que llamó: definiciones,
postulados y nociones comunes. Hay que resaltar que los griego fueron rigurosos
y los primeros en demostrar proposiciones matemáticas.
A partir del trabajo de Euclides podemos afirmar que las construcciones
geométricas utilizando regla y compás ocupan un papel importante dentro de la
actividad matemática:
En los problemas clásicos de construcción como bisecar un ángulo o un
segmento dado, o construir rectas perpendiculares o paralelas a una recta dada
que pase por un punto, o construcciones sencillas como copiar un segmento o un
47
ángulo, solo se podía construir recurriendo únicamente a los instrumentos
mencionados anteriormente.
Posteriormente se llega a las construcciones geométricas hechas usando un
compás, una regla9 un transportador y una escuadra, elementos presentes dentro
del ámbito escolar actual y además de uso común para todo aquel que estudie
algo de Geometría. En primer lugar cabe aclarar que estos instrumentos, a
diferencia de los antiguos instrumentos griegos si están graduados y se pueden
tomar y transportar medidas. Con estos instrumentos la congruencia, el
paralelismo, la perpendicularidad, la equidistancia, la curvatura entre otras
propiedades, se hacen más ―evidentes‖ ante los ojos de quien estudia Geometría
; de igual manera los Ambientes de Geometría Dinámica (AGD), favorecen que
los estudiantes se familiaricen con los objetos geométricos, así como con sus
construcciones.
A medida que se avance en este recorrido histórico se centra la atención en los
elementos característicos e inherentes a las isometrías como son la colinealidad,
la congruencia, la forma y otras invariantes que permite ejecutar y describir
transformaciones o movimientos en el plano que no deforman la figura y que
mantiene las propiedades métricas y de forma (transformaciones isométricas).
En la Geometría Euclidiana el movimiento de una figura no estaba presente pero
el concepto de congruencia de figuras lo podemos apreciar en las proposiciones
que tienen que ver con criterios de congruencia de triángulos como son las
proposiciones 4, 8, y 26 del libro I de los Elementos, entre otras. Hay que tener en
9 A Platón (–429 a –348 a.C.) se le puede atribuir el establecimiento y la restricción del empleo de dos instrumentos
básicos para la construcción de figuras geométricas como son la regla y el compás. Aunque Platón consideraba
que las construcciones realizadas con instrumentos mecánicos degeneraban el conocimiento.
48
cuenta que el concepto de congruencia se refleja desde la Geometría Euclidiana
hasta la Geometría Transformacional y este concepto es precisamente el que
involucra la noción de la transformación de rotación. Es importante decir que en
Euclides las figuras no tenían movimiento, aunque ahora las veamos de esa
manera. Para llegar a determinar la congruencia se partía de la propiedad
transitiva en la Geometría Euclidiana.
2.4.2. LA GEOMETRÍA ANALÍTICA.
Con Descartes aparece la Geometría Analítica en el siglo XVII donde se puede
apreciar esa estrecha relación entre el álgebra y la Geometría . ―En su tercer
escrito o apéndice del discurso del Método, su primer libro trata de cómo el cálculo
de la aritmética se relaciona con las operaciones de la Geometría, dando
nacimiento a la Geometría Analítica que produce una auténtica revolución en el
estudio de esta ciencia, que durante siglos había sido subsidiaria de los
descubrimientos helénicos‖.(Calcerrada, 2003). Pero, esa relación transforma la
manera de abordar el tratamiento de los problemas geométricos, empleando
métodos algebraicos que distan de los geométricos hasta entonces utilizados,
debido a el nivel de generalización que tiene el álgebra y que no había podido
conseguir la Geometría , pues la axiomática de Euclides se empleaba sólo podía
resolver casos particulares.
La Geometría Analítica eliminó el viejo problema Euclidiano del tratamiento de las
magnitudes, según el cual se establece una relación operacional entre segmentos
con segmentos, áreas con áreas y volúmenes con volúmenes, más la combinación
de estos eran imposibles, así como el tener magnitudes que superen las tres
dimensiones. Esta barrera se rompe al introducir un nuevo tipo de representación
basado en el empleo de ecuaciones las cuales toman las magnitudes euclidianas
49
y las convierten en variables que se pueden operar algebraicamente empleando el
método de las coordenadas cartesianas que caracteriza a la Geometría Analítica.
2.4.3. LA GEOMETRÍA PROYECTIVA
―Hacia el final del siglo XVIII debido al estudio sistemático realizado por Mongue
de los métodos de representación de objetos tridimensionales por medio de
dibujos, surgió la Geometría Descriptiva‖ (MEN, 2004, p. 78), la cual permitirá,
tiempo después dar paso al restablecimiento de la Geometría Proyectiva. Monge,
su creador, en conjunto con sus estudiantes y seguidores, la dotan de una
característica muy particular como es el entretejer aspectos técnicos y teóricos, y
centran su atención en la representación de objetos sólidos por medio de figuras
planas, prueba de ello es la demostración de un teorema de las cónicas mediante
el cual pone en evidencia la existencia de dos líneas de curvatura ortogonales en
cada punto de una superficie curva, comparando al mismo tiempo las cualidades
de cada uno de los métodos, el analítico y el geométrico en una demostración que
busca ser netamente geométrica.
Según Bkouche (1982) añade que la Geometría Descriptiva tenía 2 posibles
objetos de estudio como son:
1. Determinar los métodos para representar sobre una superficie plana
(bidimensional) objetos o cuerpos tridimensionales, definidos rigurosamente
2. Después, establecer la manera de reconocer una descripción exacta de las
formas de los cuerpos y deducir todas las verdades de su forma y
posiciones respectivas.
50
A partir del trabajo de Monge que permitió el desarrollo de la Geometría Proyectiva
y los dos posibles objetos estudio se puede identificar el primer nexo entre la
Geometría Descriptiva y la Geometría Proyectiva, ubicado en el tratamiento de un
problema en común, como es el de la representación, además de tratar de dar
forma a un método netamente geométrico de demostración o validación que
tuviera la misma generalidad que la lograda con el tratamiento algebraico
impulsado por la Geometría Analítica. Ello obliga a tener elementos constituidos
como invariantes que permitirán identificar propiedades que caracterizan un
objeto geométrico, sin importar el representante que se tome de una colección,
actuando como agentes de validación o agentes que entran a apoyar la validación
de un objeto o una construcción geométrica.
Al ubicarse dentro de la Geometría Proyectiva encontramos a Poncelet quien en
1882 escribe una de las primeras obras de este tipo, titulada ―El tratamiento
geométrico de las propiedades proyectivas de las figuras‖. En esta obra se puede
apreciar como su autor toma distancia de los tratamientos algebraicos y plantea un
método geométrico general que se compone de dos principios: el principio de
continuidad y el método de las proyecciones que se subdivide en dos, la
proyección central y la proyección paralela. Su método también toma distancia del
método griego ya que no toma casos particulares ―representativos‖ para generar
teoremas si no que trabaja sobre casos que pueden considerarse como generales.
El método de las proyecciones se debe principalmente al ingeniero Desargues
quien lo presenta en su obra titulada “Brouillon Project d` atteinte aux
èvènemensts de rencontes du Còne avec un plane‖ empleando este método para
realizar el estudio sobre las cónicas como perspectiva del circulo, utilizando un
caso general referido a un caso particular.
51
A partir del método de las proyecciones se desarrolla el método de las
transformaciones que se caracteriza por proyectar una figura plana sobre otra en
la cual se conserva la alineación de puntos (Colinealidad), la congruencia de las
rectas y la doble razón de 4 puntos alineados. Si una figura o cuerpo cumple con
estas características se dice que es homográfico10. Además se pueden distinguir
dos tipos de propiedades, las métricas, que dependen de la magnitud (distancias)
y las descriptivas que dependen de su forma y de sus situaciones.
Es así que en la Geometría Proyectiva es posible afirmar que dos figuras en el
plano o en el espacio son homográficas si existe una correspondencia que envía
cada punto, cada recta, cada plano de la primera figura en un punto, recta, plano
de la segunda figura tal que los puntos alineados se conservan alineados, la
concurrencia de la recta se preserva y la razón de los cuatro puntos se conserva.
Retomando los planteamientos de Bkouche en cuanto a Geometría Proyectiva
dentro de la misma se destaca la doble connotación que tiene el método: la de ser
de validación y a la vez de investigación.
2.4.4. LA GEOMETRÍA TRANSFORMACIONAL
Cuando Félix Klein que aparece en escena histórica de la Geometría y presenta
una nueva estructuración de los objetos geométricos dotándolos de una
generalidad y un sistema similar al presentado por Descartes en la Geometría
Analítica, pero esta vez propio de la Geometría, empieza a hacer presencia una
nueva Geometría conocida como la Geometría Transformacional la cual será una
evolución de la Geometría Proyectiva. Klein recurre a las transformaciones como
las traslaciones y las rotaciones. Ciertamente con el programa Erlange es cuando
10 Este término es acuñado por Chasles (1793-1880) para designar algunas transformaciones isométricas nacientes
hasta entonces, pero sobre las cuales aun no se tenía conciencia.
52
aparece la Geometría Transformacional. Entre las intersecciones entre la
Geometría Proyectiva, la teoría de grupos y la teoría de lo invariantes tuvo lugar la
constitución del programa Erlange, en el cual se integraron los aportes de
distintas geometrías como: La Geometría Analítica, la Geometría Proyectiva,
diversas manifestaciones de la Geometría Métrica y la Geometría no Euclidianas.
Es así como aparece la Geométrica Transformacional donde las rotaciones tienen
lugar como una transformación isométrica que envía puntos de una primera figura
en puntos de una segunda figura, manteniéndose la congruencia entre ambas.
Para entender el paso de la Geometría Proyectiva a la Geometría
Transformacional debemos tener en cuenta el programa Erlangen.
2.4.5. EL PROGRAMA ERLANGEN
En 1872 se origina el programa Erlangen, elaborado por Félix Klein, que permitió
establecer un punto de encuentro entre las transformaciones de la Geometría
Proyectiva y la teoría de grupos. Klein centra buena parte de su trabajo en agrupar
las transformaciones geométricas en grupos de desplazamientos, apoyado en la
teoría de grupos, de esta manera surgen las traslaciones, las rotaciones y las
simetrías (simetría axial y radial) que se caracterizan por conservar la forma del
objeto que se desplaza y dejar sus propiedades métricas invariantes; esta última
característica es la que permite hablar de una transformación isométricas.
Deteniéndonos un poco en el estudio de las invariantes realizado por Klein,
podemos afirmar que gracias a esta propiedad se logra hacer una clasificación de
los distintos tipos de geometrías a través de ciertas transformaciones espaciales.
"Dado cualquier grupo de transformaciones en el espacio que incluye el grupo
principal como un subgrupo, la teoría invariante de este grupo proporciona un tipo
definido de geometría, y toda posible geometría puede ser obtenida en esta forma"
53
(Klein, 1939, p. 133), Esta clasificación empieza con el estudio de los movimientos
rígidos como son la traslación, rotación y reflexión las que permitirán determinar
propiedades invariantes tales como que estos movimientos conservan medidas y
ángulos, así como no deforman las figuras, hechos que permiten definir estos
movimientos como isométricos y con una estructura de grupo la cual indica que
pese a las transformaciones o movimientos que se hagan sobre las figuras al final
obtendremos una imagen igual u homologa a la inicial.
A partir de la construcción de estructura de grupo y de las transformaciones que
hacen parte de él se crea un nuevo tipo de geometría, la geometría
transformacional, en donde las distintas geometrías se pueden considerar desde
aquellas propiedades invariantes que permitan conservar o por el contrario las
transformen, a partir de las transformaciones a las que sea sometido un objeto
geométrico, dándole un carácter general a la geometría tal como lo tiene el
algebra. Es así como a partir del Programa de Erlangen las geometrias se pueden
obordar desde las transformaciones, la Geometría euclídea como procedente de
una transformación métrica; la Geometría proyectiva como procedente de
transformaciones lineales; la Topología de transformaciones continuas y las
Geometrías no euclídeas de su transformación métrica particular.
Hasta aquí podemos afirmar que la introducción de la teoría de grupos permite ver
a las transformaciones como una estructura algebraica, dotada de una axiomática
moderna liberada de toda intuición física ya que empieza a contar con una nueva
forma de abstracción pues tanto enunciados, como teoremas y demostraciones
deben poderse expresar en términos de la estructura.
Sin embargo, la idea de transformación en términos de estructura no se queda
allí, evoluciona de tal manera que se pueden incluir otro tipo de transformaciones
54
como son las semejanzas11, en las que cambian las propiedades métricas pero no
la forma. Chasles (1793-1880) que introduce el término de homografía para
denotar colinealidad, hace mención a la existencia de dos tipos de
transformaciones homográficas, como son: las transformaciones deformantes y
las transformaciones no deformantes. Las transformaciones deformantes serian
las de semejanza como las homotecias y las transformaciones no deformantes
serian las isométricas.
De acuerdo con lo anterior es necesario precisar en este documento la
transformación de rotación como un saber matemático que involucra varios
aspectos.
2.4.5. LA TRANSFORMACIÓN DE ROTACIÓN
¿Qué es la transformación de rotación? La transformación de rotación es una
de las transformaciones isométricas, es decir pertenece a ese tipo de
transformaciones que no deforman las figuras sino que conservan la congruencia
entre la figura inicial y la figura imagen, que da como resultado de la
transformación. Son transformaciones isométricas las traslaciones, las
reflexiones, las rotaciones y las simetrías en deslizamiento. Así, las rotaciones
dejan invariante la figura en términos de forma, ángulos, longitudes y en sí otras
propiedades invariantes de la figura.
Los elementos que definen una rotación (Rc,α) son: el objeto a rotar (P), un punto
fijo llamado centro de rotación(C), el ángulo de rotación(α); que esta determinado
por los puntos P,C,P`, donde P` es la imagen de P; y la dirección o el sentido del
11 Las homotecias pertenecen a este tipo de transformaciones de semejanza.
55
ángulo (α opuesto a las manecillas del reloj y - α en sentido de las manecillas del
reloj). En el centro de rotación C ubicado en la intersección de las rectas que
pasan por los punto C, P y C, P` se encuentra la bisectriz del ángulo PCP`, que
divide en dos partes iguales el segmento PP`, además de que existe equidistancia
entre los segmentos CP y CP` respecto al centro de rotación C
De lo anterior podemos decir que una rotación conserva distancias respecto al
centro de rotación. El ángulo de rotación es un ángulo central y los lados de éste
son radios de la circunferencia descrita por el movimiento. El único punto que no
se mueve en esta transformación es el centro de rotación, así f(C) = C.
Considérese el espacio afín euclideo R2 y un movimiento F: R2→R2 es una
transformación isométrica que se caracteriza por conservar la distancia, es decir
D[f(P),f(Q)] = d(P,Q) Para todo P, Q Є R² siendo la distancia euclídea: d(P,Q)
=││PQ││ y así los movimientos en el plano afín reciben también el nombre de
isometrías; la palabra isometría proviene del griego y significa ―igual medida‖.
Recordemos que las traslaciones, las rotaciones y las reflexiones son movimientos
en el plano que conservan distancias y por lo tanto son isometrías, y cualquier otro
movimiento que se realice es composición de ellos y el conjunto de movimientos
en el plano GM(R2) tiene estructura de grupo con la composición de aplicaciones.
Figura 1. Rotación de un punto
56
La rotación identidad (Id(P)) es el elemento neutro de este grupo, es el movimiento
que deja invariantes todos los puntos del plano Id(P) = P. El movimiento inverso
de una rotación Rc, α es la rotación Rc, -α, ya que la composición de ambos nos
da la identidad (Rc,-α o Rc,α) (P) = Id (P) = P.
Las transformaciones poseen una enorme variedad de aplicaciones tanto dentro
como fuera de las matemáticas, por ejemplo dentro de las matemáticas permite
establecer relaciones de semejanza y congruencia entre objetos geométricos y
hacen parte de la estructura de grupo de las simetrías de un triángulo equilátero,
y por fuera de ella en la construcción de diseños de embaldosados, rosetones, los
mosaicos árabes entre otros. Por su importancia formativa estas transformaciones
están incluidas en los contenidos curriculares en la enseñanza básica y la
introducción de nuevos recursos tecnológicos puede estimular y potencializar de
manera adecuada su estudio.
Ahora bien, resulta muy importante en el ámbito escolar cuando se tiene como
temática de enseñanza la transformación de rotación tener en cuenta que los
estudiantes presentan dificultades para apropiarse de ésta transformación12
(Gutiérrez, 1990) como saber matemático ya que reconocer si dos figuras son
congruentes cuando una es la imagen de la otra a través de una rotación no es
fácil porque como primera medida una figura tiene un carácter estático para la
mayoría de los estudiantes, es decir es una representación fija, a las que no se
les puede introducir trazos ni transformarla.
En esta propuesta didáctica las actividades diseñadas se centraran en un contexto
de exploración sin desconocer la enorme variedad de aplicaciones de la
12 Documentos como Grenier (1998), Gutiérrez y Jaime (1987), Hart 1981, Küchemann (1980) son citados por
Gutierrez (1990) como estudios sobre las dificultades de las isometrías básicas de rotación, reflexión y traslación.
57
transformación de rotación en distintos contextos, como por ejemplo en la
arquitectura, la pintura, el arte, y otros.
58
CAPÍTULO 3:
DISEÑO EXPERIMENTAL
59
Dentro del período de la elaboración de la secuencia de situaciones didácticas
se propone realizar su análisis a priori, la aplicación de la secuencia, la
intervención en el aula y el análisis a posteriori. En el análisis a priori se pretende
detectar las variables didácticas contenidas dentro del diseño propuesto y se
plantea las acciones que los estudiantes deben asumir cuando se enfrentan a las
situaciones. Estas acciones servirán de unidad de análisis porque se constituyen
en objetos de observación y material para el análisis a posteriori.
En la fase de aplicación de la secuencia de situaciones didácticas en la clase se
percataran las acciones y procedimientos de los estudiantes cuando interactúan
con el diseño propuesto teniendo en cuenta las acciones planteadas en el análisis
a priori.
El análisis a posteriori deber dar cuenta por su parte la manera como la secuencia
de situaciones didácticas es utilizada por los estudiantes, que acciones se
presentan en ellos y como el ambiente en interacción (dentro del enfoque de
mediación instrumental) es incorporado y utilizado por los estudiantes.
A continuación se presenta la población objeto de estudio.
3.1. CARACTERIZACIÓN DE LA POBLACIÓN
La institución educativa que permitió hacer uso de sus instalaciones, así como la
participación de sus estudiantes de grado 7 en la ejecución del proyecto, es la
Institución Educativa Pedro Antonio Molina sede los Vencedores, ubicada en la
Cra. 1 A4 # 72D-19, municipio de Santiago de Cali, departamento del Valle de
Cauca. En ella funcionan los niveles de preescolar, básica primaria y básica
secundaria desde grado 6° hasta grado 8°, de carácter oficial cuenta con
estudiantes pertenecientes a los estrato socioeconómicos 1, 2 y 3.
60
El grado séptimo está conformado por un promedio de 40 estudiantes con edades
entre 11 y 13 años. Cabe anotar que solo participaron 20 estudiantes (10 hombres
y 10 mujeres) en la ejecución del proyecto debido a la carencia de computadores;
la elección de los estudiantes estuvo a cargo de la profesora titular de la
asignatura quien decidió enviarlos separados por genero, además del salón
presuntamente se seleccionaron estudiantes con desempeños medio y alto,
lamentablemente estudiantes con desempeño bajo no participaron de esta
actividad aunque se hubiera querida contar con la presencia de los mismos por
parte de los investigadores. Aproximadamente el 15 % de los estudiantes en este
nivel séptimo ingresaron por primera vez a la institución, provenientes de
instituciones educativas con características similares.
En relación a la sala de sistemas, sitio puntual de trabajo para este proyecto,
cuenta aproximadamente con 22 computadores de los cuales funcionan el 70%,
pero solo 3 de ellos tiene Windows Xp, los demás trabajan bajo el sistema
operativo Windows 98 y no cuenta con conexión a internet; en cuanto al hardware
de los equipos, solo dos computadores cuentan con procesador Pentium IV, uno
con procesador Pentium III y los demás con procesadores iguales o inferiores a
Pentium I, lo cual obligo al equipo investigador a conseguir y llevar equipos
portátiles, no pertenecientes a la institución, con el fin de contar con mayor número
de máquinas de trabajo.
Ya en la práctica se usaron 5 computadores, 3 pertenecientes a la institución y 2
llevados por los investigadores en los que trabajaron primero un grupo 10
estudiantes y después el otro, agrupados en parejas, durante sesiones de 45
minutos por situación. Cabe anotar que la profesora titular de la asignatura de
geometría intento trabajar con el programa Regla y Compás pero no lo pudo llevar
a cabo esta empresa, debido a la carencia de equipos en buen estado para el
elevado número de estudiantes por curso.
61
En cuanto a la relación de los estudiantes con la Geometría se puede decir que se
tiene una asignatura propia para este saber; es decir, las matemáticas que se
enseñan en la institución para grado 7° se encuentran divididas en tres
asignaturas Aritmética, Estadística y Geometría, siendo esta última sometida a
reformas por parte del comité de profesores del área de matemáticas, integrando
temáticas de la Geometría Euclidiana con la Geometría Métrica, así como
propiciar el desarrollo del pensamiento variacional a partir del trabajo de la
Geometría Plana en relación directa con los conceptos de área y perímetro.
De acuerdo con lo anterior y los estándares en matemáticas propuestos por el
Ministerio de Educación Nacional (MEN), las transformaciones isométricas
(rotación, translación y reflexión) hacen parte de la temática a tratar en grado 7°, y
además están se consideran en estrecha relación con la Geometría Euclidiana, es
así como en el momento de poner en escena el desarrollo del proyecto con los
estudiantes, ellos ya habían tocado las temáticas de traslaciones y rotaciones,
mas no habían tenido una posibilidad directa de hacerla a través de un software
de Geometría Dinámica.
El modelo pedagógico de la institución Educativa
La institución educativa cuenta con un Modelo pedagógico Técnico Humanista en
construcción, teniendo como principio rector que sus estudiantes se hagan
humanos a través de la educación y del contacto con los otros; en otras palabras,
la educación que se impartirá en la institución tendrá como objetivo desarrollar y
vivenciar el valor de la humanidad en sus estudiantes así como en los demás
miembros de la comunidad educativa.
62
Pero ¿cómo entrara a jugar este valor en el desarrollo de una formación integral
de los educandos? Para dar respuesta a este interrogante, diremos que según el
modelo pedagógico de la institución el hombre se considera un ser en formación
que busca llegar su máximo estado el cual será ser humano, es decir, todos
somos hombres o mujeres, pero tenemos diferentes grados de humanidad y
tenemos como meta ser humanos plenos, ahora para llegar a ese estado
debemos no solo tener conocimiento científicos (saber), además debemos tener
unos valores y actitudes que nos permitirán convivir con el otro en mutuo respeto y
apoyo. La búsqueda de este estado conlleva a que durante el proceso de
formación, tanto individuos en formación como formadores, se vean obligados a
estar en una permanente construcción, lo que garantiza crecimiento constante
que nos acerque cada vez más a ese estado humano ideal.
Para hacer aplicable este modelos, la institución está en procura de generar
acciones pedagógicas derivadas de una concienzuda ―observación y análisis
permanente de los comportamientos de nuestros estudiantes, de las necesidad de
formación y cualificación de los docentes que lleva implícita el estudio de los
factores externos e internos que afectan el desempeño de los estudiantes con el
fin de generar propuestas para el mejoramiento continuo‖ (PEI, 2010).
3.2. ANÁLISIS A PRIORI DE LA SECUENCIA
Esta secuencia de situaciones didácticas está pensada para la formación
geométrica de los estudiantes de grado séptimo de educación básica y
corresponde a la temática de la transformación de rotación, donde la finalidad de
las situaciones de aula propuestas es buscar que los estudiantes reconozcan
algunas características y propiedades que determinan la transformación de
rotación utilizando un Ambiente de Geometría Dinámica (AGD) como es
GeoGebra. Así que los estudiantes al explorar y conjeturar sobre los efectos de
63
rotar las figuras planas en ambientes de Geometría Dinámica irán descubriendo
las propiedades de la transformación de rotación.
3.2.1. CONSIDERACIONES DEL DISEÑO DE UNA LA SECUENCIA DE
SITUACIONES DIDÁCTICAS
Las siguientes son las hipótesis que corresponden a los análisis a priori a tener en
cuenta en el diseño de la secuencia de situaciones didácticas:
1. La exploración de una construcción que recrea una situación que involucra
objetos reales o geométricos permite la conceptualización de la
transformación de rotación.
2. El uso de GeoGebra permita una exploración dinámica de las propiedades
de la transformación de rotación desde una mirada cualitativa y cuantitativa.
Es decir, se puede determinar el valor numérico del ángulo del movimiento
o se puede hacer una descripción del ángulo (sentido, abertura).
La primera situación didáctica ―EL RELOJ‖ corresponde a una indagación que
tiene que ver con una experiencia cercana de los estudiantes con la
transformación de rotación. Se pregunta por la medida del ángulo y el centro de
rotación. La medida del ángulo de rotación está dada por el deslizador que
representa la trayectoria que sufre el horario desde la posición, inicial que es
marcando las 12, hasta la posición final, la que marca la hora indicada. El
estudiante debe descubrir que esta situación presenta el movimiento de rotación y
él debe identificar elementos como el ángulo y el centro; y reconocer que las
64
manecillas del reloj describen un movimiento circular alrededor de un punto que es
el centro del reloj y funciona como centro de rotación.
En la segunda situación didáctica ―BUSCANDO PAREJA‖ se explora con los
estudiantes la propiedad de congruencia en la rotación, el ángulo y el sentido del
mismo. El estudiante debe ser capaz de identificar la medida del ángulo que
describe la trayectoria del movimiento para que el cuadrilátero encaje con su
pareja homologa. También debe reconocer que este movimiento que se percibe
en los cuadriláteros va en contra de las manecillas del reloj. Por último el
estudiante debe ser capaz de explicar las características o propiedades que tiene
la congruencia de dos figuras como son el mismo tamaño, las mismas medidas de
los lados y otras que permitan justificar porque el cuadrilátero encaja en su pareja.
Aquí el estudiante debe reconocer que la pareja de cada cuadrilátero está dada
por la propiedad de congruencia que garantiza la transformación de rotación.
En la tercera situación didáctica, EL GUSANO, se explora el sentido del ángulo y
el centro de rotación. El gusano se puede mover en dos sentidos, derecha o
izquierda, utilizando un deslizador de tal manera que el estudiante pueda llegar a
tomar la mejor decisión para llegar a hoja D, pero para esto debe tener en cuenta
la medida del ángulo descrito por la trayectoria desde la hoja inicio hasta la hoja D
teniendo en cuenta el sentido de ángulo que representa dicha trayectoria. Hay que
tener en cuenta que estas situaciones no se trabajan con ángulos trigonométricos,
ni con medidas superiores a 360 grados.
.
Además está secuencia de situaciones didácticas inducirá al estudiante a que
infieran algunas propiedades y características de la transformación de rotación,
como son la congruencia y la equidistancia.
65
A partir de ella se propone que las relaciones entre los objetos geométricos sean
expresadas bajo representaciones gráficas en el ambiente computacional teniendo
en cuenta los elementos que definen una rotación. Las situaciones propuestas
exigen que el estudiante explore sobre las construcciones y que a través de su
análisis pueda inferir conclusiones respecto a los invariantes de la transformación
de rotación.
Se espera que los estudiantes una vez realicen las exploraciones y analicen lo
que ocurre en el Ambiente de Geometría Dinámica, de acuerdo a las distintas
situaciones, reconozcan algunos elementos que definen una transformación de
rotación.
La secuencia pretende colocar en claro la capacidad de los estudiantes para
comunicar conceptos matemáticos, lo cual se hace evidente en los diferentes usos
del lenguaje y en las representaciones figúrales. Inicialmente los estudiantes
podrían entender el movimiento de rotación en el ambiente, pero es necesario
que ellos mismos pongan a prueba su conocimiento bajo la constatación de lo que
el ambiente computacional reconoce utilizando la propiedad de arrastre a través
de la exploración que ellos realizan al mover el deslizador, el cual es un elemento
característico de GeoGebra.
3.2.2. VARIABLES DIDÁCTICAS A TENER EN CUENTA EN LA SECUENCIA
DE SITUACIONES DIDÁCTICAS
El propósito de las situaciones de enseñanza que se proponen busca que los
estudiantes se apropien de los elementos que definen la transformación de
rotación como son el ángulo, el sentido, el centro y la congruencia, haciendo uso
de un medio de un Ambiente de Geometría Dinámica como lo es GeoGebra.
66
En cada caso los estudiantes realizaran un trabajo exploratorio y elaboraran
conjeturas respecto a la rotación a partir de la mediación con GeoGebra.
De acuerdo a lo anterior se delimitaran las siguientes variables didácticas
relacionadas con la organización de la secuencia de situaciones didácticas y que
van a aparecer en los análisis a priori de cada situación didáctica (ver Tabla 1).
Tabla 1. Variables didácticas de la secuencia de situaciones didácticas
Variable 1
La congruencia de las figuras que se movilizan en la situación:
polígonos y figuras que posibilitan explorar la transformación de
rotación como un movimiento isométrico en el cual las figuras
conservan sus forma y medida
Variable 2 La posición del centro de rotación, el cual puede ser un vértice de
la figura o puede ser un punto externo a la figura. En la situación
didáctica del reloj y de buscando pareja el centro es un punto
vértice de las figuras y en la situación didáctica del gusano el centro
es un punto externo a la figura.
Variable 3 Esta variable corresponde al ángulo de rotación, en donde el
sentido del ángulo de rotación puede ser positivo o ir en contra de
las manecillas del reloj, como en la situación didáctica buscando
pareja, o puede ser negativo, como en la situación del reloj. Hay
que tener en cuenta que el ángulo de rotación está determinado por
el uso del deslizador que será el elemento que permitirá rotar cada
una de las figuras en el trabajo con GeoGebra. El deslizador
permite el arrastre en el ambiente, pero de forma guiada donde el
estudiante a través de él puede ver la medida del ángulo de
rotación.
Variable 4 ·El uso de construcciones previamente elaboradas como una
alternativa para la exploración de las características y propiedades
de la transformación de rotación como lo es la congruencia.
67
3.2.3. LA ACTIVIDAD CON GEOGEBRA.
Uno de las exigencias del programa o software a trabajar con la secuencia de
situaciones didácticas es que cuente con la función de rotación, elaboración
puntos, segmentos, polígonos y figuras que permita la exploración de los
elementos que definen una rotación como son el ángulo de rotación, el sentido
del ángulo, el centro de rotación y los objetos que se pueden rotar en ese
ambiente.
En el desarrollo de este trabajo será de gran utilidad que el software de Geometría
Dinámica permita insertar objetos o imágenes que sean susceptibles trabajar
como objetos en el ambiente, de manera que sean apropiados para la utilización
de la transformación de rotación13, y es así que en la situación tres se optó por
insertar la imagen de un gusano donde al rotarlo los estudiantes constatan las
propiedades de la rotación que se quieren explorar a partir de las preguntas que
acompañan el archivo en GeoGebra.
Se resalta el hecho que al insertar una imagen en el ambiente y efectuar sobre ella
una rotación o cualquier otra transformación, las propiedades de la transformación
se conservan sobre la imagen como si fueran figuras geométricas. La posibilidad
de usar imágenes brinda un elemento estético, agradable para la manipulación del
archivo en GeoGebra, ya que el color y la forma conservan un grado de mayor
cercanía al objeto que representan. Como en el caso de la situación didáctica N°
1, se pensó en un animal que pudiera tener el movimiento de rotación sobre un
13
En programas como Cabri, las imágenes se insertan como papel tapiz pero no se pueden manipular como
objetos en ese ambiente, en GeoGebra las imágenes se pueden manipular como si fueran figuras o
pueden ser utilizadas de papel tapiz.
68
plano, para elaborarlo en GeoGebra se tendría que realizar varias circunferencias
que luego se unieran para que fueran una sola cosa a manipular, pero dicha
opción no se encuentra en el programa, así que lo más fácil era insertar la imagen
del gusano y trabajarla como si fuera una figura. La situación, un poco en un
contexto que denominaríamos cercano a la realidad14, permite la exploración de
los objetos matemáticos en contextos diferentes a los matemáticos.
En cuanto al estudiante, al interactuar con GeoGebra debe reconocer las
representaciones virtuales básicas propias en este ambiente computacional, tales
como puntos, rectas, segmentos, y figuras, además se recomienda que haya
interactuado antes con este programa de Geometría Dinámica de tal manera que
tenga claro la forma de como la función arrastre se ve reflejada al hacer uso del
deslizador, el cual es un elemento propio de GeoGebra.
Los estudiantes contemplan la ejecución del movimiento de rotación haciendo uso
de las herramientas que el programa ofrece como es el deslizador. El uso del
deslizador se privilegia en el diseño de las situaciones para que los estudiantes a
través de esta herramienta puedan realizar la exploración de las situaciones
diseñadas, donde reconozcan algunos invariantes de la transformación de
rotación y constaten las características básicas que debe mantener el
movimiento. Con el deslizador el estudiante puede reconocer la medida del ángulo
en la rotación aplicada a la figura de acuerdo a la situación teniendo en cuenta la
orientación del deslizador desde su parte inicial hasta su parte final.
14
Alguien podría decir que el contexto no es real, porque el movimiento de los gusanos no siempre es
circular. Así que por esa razón en los contextos utilizados puede haber cercanías con la realidad, pero hay
condiciones particulares que pueden objetar con esa realidad.
69
Figura 2. Deslizador en GeoGebra
De acuerdo a la Figura 2, al punto A se ha aplicado una rotación con centro en O
y con un ángulo de 90O dando como resultado el punto A’, así (Ro, 90o) A=A’. El
deslizador representa el ángulo AOA’ y se puede apreciar que su valor es de 90o
que corresponde a la medida del ángulo AOA’, de esta manera si el estudiante
mueve el deslizador desde la parte inicial hasta la parte final observará que la
medida del deslizador cambia y por lo tanto el punto A se iría rotando la medida
de ese ángulo que se representa por dicho deslizador. Teniendo en cuenta lo
anterior el profesor en la aplicación de las situaciones debe explicarle a los
estudiante el papel del deslizador en las situaciones mencionando elementos
como su parte inicial y su parte final que representa el movimiento teniendo en
cuenta que los estudiante deben llegar a deducir que el valor del deslizador
representa la medida del ángulo utilizado en la rotación respectiva.
Así, en todas las situaciones propuestas los estudiantes tienen las construcciones,
y ellos deben explorarlas para identificar la transformación de rotación, partiendo
de los elementos que la definen y de los invariantes propios de este movimiento
isométrico. Hay que tener en cuenta que esta propuesta centra su atención en el
reconocimiento de algunos elementos básicos que definen la transformación de
rotación (como son el ángulo, el centro, el sentido y la congruencia), sin incluir el
70
análisis de otros elementos, tales como la demostración de la existencia de una
rotación, la composición de transformaciones, construcciones, la estructura
algebraica, entre otros aspectos, ya que resultaría un trabajo mucho más
complejo de lo que se pretende lograr con este diseño.
Como el diseño está centrado en que el estudiante explore y descubra las
propiedades y características, que no se ven a simple vista, se considera el uso
de construcciones ya elaboradas para la exploración de la transformación de
rotación en la secuencia de situaciones didácticas propuesta teniendo solamente
algunos invariantes de la transformación de rotación. El uso de estas
construcciones evita que los estudiantes realicen el procedimiento para
obtenerlas, ganándose tiempo en la exploración de la situación propuesta donde el
estudiante debe descubrir qué relaciones y propiedades están subyacentes en las
construcciones, las cuales corresponden a la transformación de rotación.
Duración de la situación didáctica
El tiempo estimado aproximadamente para esta secuencia de situaciones
didácticas es de cuatro sesiones de clase de 45 minutos, razón por la cual no se
contempla la elaboración de construcciones por parte de los estudiantes.
En la ejecución de la secuencia el profesor se constituye en un orientador de la
situación y de esta manera debe ser un administrador del tiempo destinado para la
secuencia, brindando apoyo y evitando que sus estudiantes se pierdan en el
propósito de la situación didáctica.
La gestión del profesor
El profesor como se mencionó anteriormente es el orientador de la secuencia de
situaciones didácticas y por lo tanto es la persona encargada de plantear los
acuerdos centrales del contrato didáctico, entre ellos están los tiempos, la
organización, la participación y las responsabilidades. El profesor debe explicar
71
cómo está organizadas las situaciones, qué tiempo se destina para resolverlas,
cuáles son las reglas de juego de cada una. Así, la gestión del profesor debe
evitar revelar las respuestas a los estudiantes y sus preguntas deben estar
orientadas a que ellos mismos busquen la respuesta sin decirles la estrategia que
permite resolver cada situación (actos de devolución).
Pre-requisitos de la situación didáctica
La situación está pensada en la formación geométrica de los estudiantes y
corresponde a una aplicación de la transformación de rotación a partir de las
propiedades o características que la definen, ya trabajadas en las clases
anteriores, en donde los estudiantes deben explorar en un Ambiente de
Geometría Dinámica cuáles son esos invariantes que caracterizan a una rotación.
Los estudiantes trabajaran en parejas haciendo uso de un computador que cuente
con el software GeoGebra.
A continuación se presenta la coherencia vertical15 de los estándares de los
niveles precedentes a grado séptimo relacionados con transformación de rotación.
Coherencia vertical
15
La coherencia vertical está dada por la relación de un estándar con los demás estándares del mismo
pensamiento en los otros conjuntos de grados.
De 6o a 7
o : Predigo y comparo los resultados de aplicar
transformaciones rígidas (traslaciones, rotaciones, reflexiones) y
homotecias sobre figuras bidimensionales en situaciones
matemáticas y en el arte.
De 4o a 5
o : Conjetura y verifica los resultados de aplicar
transformaciones d3e figuras en el plano para construir diseños
De 1
o a 3
o : Reconozco y aplico traslaciones y giros sobre una figura
72
Los estudiantes para abordar las situaciones deben tener algunos conocimientos
sobre la transformación de rotación como son su definición, los posibles elementos
que la componen, los elementos que hacen de ella un movimiento diferente
respecto a la traslación y la reflexión; también propiedades que tienen que ver con
la congruencia como la conservación de las medidas de los figuras geométricas,
así como la no deformación de las mismas. Con estas situaciones diseñadas se
espera que los estudiantes puedan explorar la transformación de rotación en un
Ambiente de Geometría Dinámica como es GeoGebra, donde las construcciones
debe someterse a la prueba de arrastre por medio de la opción deslizador,
garantizándose que efectivamente las propiedades que tiene una rotación se
cumplen en las construcciones ya elaboradas.
3.2.4. SECUENCIA DE SITUACIONES DIDÁCTICAS
La secuencia de situaciones didácticas que se presenta está constituida por tres
situaciones como son la del reloj, la de buscando pareja y la del gusano. A
continuación se presenta la descripción, la identificación de variables didácticas,
los propósitos y algunas dificultades que se pueden presentar por cada una de las
situaciones didácticas.
3.2.4.1 Situación Didáctica Nº 1: EL RELOJ
Descripción de la situación didáctica
La situación busca que los estudiantes realicen la rotación de las manecillas,
horario y minutero del reloj, indicando una hora determinada como las 8:00 y
luego una hora arbitraria utilizando el deslizador como herramienta que permite el
movimiento.
73
De esta manera los estudiantes hacen una exploración a través de los
deslizadores horario y minutero de tal manera que observen el movimiento de las
manecillas del reloj y puedan reconocer el ángulo y el centro de dicho
movimiento, con el objetivo de que al final de la situación puedan llegar a deducir
que este movimiento que realizan las manecillas del reloj es una rotación. Hay
que tener en cuenta que los estudiantes deben llegar a determinar el movimiento
sin que el profesor en ningún momento les diga que corresponde a un giro o una
rotación.
En la aplicación de esta situación se le entregará una hoja de trabajo a los
estudiantes, en la cual está la imagen del archivo en GeoGebra y las preguntas
que deben contestar a partir de la experiencia. Estas preguntas las deben
responder en parejas de tal manera que puedan dialogar cada uno con su
compañero de la posible respuesta que decidan darle a cada una de las
preguntas, hay que aclarar que el archivo informático no trae las preguntas.
Finalmente se realizará una exposición de los trabajos con el fin de que los
estudiantes comparen las acciones realizadas, teniendo en cuenta la posición
inicial, la consigna dada y la posición final de las manecillas del reloj, en donde se
les aclara a los estudiantes que el reloj propuesto no corresponde a un reloj de
verdad ya que en él hay una razón de movimiento entre las manecillas, en este
caso los movimientos de las manecillas en el reloj son dependientes, mientras que
la representación gráfica diseñada en el ambiente computacional no tiene dicha
razón de movimiento, pues el movimiento de cada manecilla es independiente al
movimiento de la otra.
74
Identificación de variables didácticas
La variable mas reiterada en esta situación es el ángulo de rotación.
La variable del ángulo de rotación: que está indicada por el deslizador y
que permite ver la medida y el movimiento circular que describen las
manecillas en el reloj.
La variable del centro de giro: es otra variable didáctica que está dada por
el lugar donde se ensamblan las manecillas horario y minutero que
corresponde al mismo centro de la circunferencia que representa el reloj.
El uso de construcciones previamente elaboradas: el estudiante no necesita
hacer construcciones. La construcción está dada para que el estudiante
manipule los elementos de manera condicionada, dado que la construcción
solo permite movimientos de rotación intencionados
Propósitos
Pretendemos que desarrollando la situación los estudiantes puedan comprender
mejor los objetos geométricos que intervienen en la rotación: el centro de rotación
y el ángulo de rotación. Estos elementos los estudiantes los deben explorar por sí
mismos reconociendo que dicho movimiento de las manecillas es una rotación. En
esta situación se abordan algunos elementos que están involucrados en la
transformación de rotación, priorizando la aplicación que tiene el ángulo, su y el
cambio de posición que se produce en las figuras representadas por las
manecillas del reloj al aplicar una rotación determinada para indicar una hora.
Ahora bien, lo que se intenta es que los estudiantes precisen las características de
la rotación como la invariancia de la forma y el tamaño, así se podrá concluir que
la trasformación es un movimiento. Es así como los estudiantes tienen la
75
oportunidad de explorar la rotación, debido a que la situación propicia una
exploración visual de una manera gráfica.
Esta situación permite recrear la posición de las manecillas del reloj para indicar
una hora de acuerdo a una rotación aplicada a estas. La situación del reloj de
acuerdo a la teoría de Brousseau es una situación de acción y validación.
Situación acción: los estudiantes deben realizar la transformación de rotación para
indicar una hora.
.
Situación de validación: los estudiantes deben socializar sus hojas de trabajo y las
imágenes obtenidas, así como también al discutir las preguntas planteadas.
Algunas dificultades que se pueden presentar
En esta situación así como en las demás, el movimiento de las manecillas del reloj
corre por cuenta del deslizador, a medida que avanza el deslizador la manecilla se
mueve y avanza, y si se regresa el deslizador, la manecilla revertirá su posición
hasta llegar al punto de partida; esta última acción puede ser entendida como
parte del movimiento que hace la manecilla del reloj durante su recorrido, pero si
se siguiera el estricto movimiento de las manecillas del reloj, como se pretende en
este trabajo, las manecillas no se devuelven siempre seguirán un mismo curso,
por tanto será de gran utilidad aclarar que el mover el deslizador revirtiendo el
movimiento, se trata de una acción que busca retornar a la posición inicial y que
no hace parte del movimiento que se quiere explorar.
También es importante mencionar la dependencia del minutero y el horario en
movimiento real del reloj, ya que a medida que avanza el minutero, lo hace el
76
horario, razón por la cual se opta por trabajar horas exactas o en punto, dado que
permiten predecir de manera más exacta la medida de un ángulo y trabajar con los
deslizadores de manera independiente el uno del otro, mientras que con horas
como las 3:15 la predicción exacta de la medida del ángulo se haría más
dispendiosa y tendría que hacerse un uso dependiente de los deslizadores, pero el
diseño de la situación no contempla este tipo de uso.
Por otra parte puede ocurrir que los estudiantes reconozcan el movimiento de
rotación al manipular las manecillas del reloj, más no necesariamente al momento
de preguntar sobre el tipo de movimiento, los estudiantes apelen a decir ―es una
rotación‖; en su lugar pueden afirmar que el movimiento es un giro, o es de forma
circular, que da vueltas, en cuyos casos asumiremos que ha reconocido que el
movimiento es una rotación, y que no lo indica de ese modo, tal vez por falta de
costumbre o desconocimiento del término rotación para caracterizar el
movimiento.
También puede ocurrir que los estudiantes asuman el sentido del ángulo de
movimiento como girar o desplazarse conforme a las manecillas del reloj o girar a
la derecha (aunque puede asumirse también como girar a la izquierda), sin recurrir
a afirmar que el movimiento que las manecillas describen está conformado por un
ángulo en sentido negativo.
77
Hoja de trabajo16 de los estudiantes
SITUACIÓN 1
1. ¿Qué ángulo describió el horario cuando pasó de marcar las 12:00 a las
8:00?
2. Si fueran las 12:00 y el horario se moviera media vuelta.
A) ¿Qué hora indica? Dibújala.
16
Son las indicaciones que se les entregó a los estudiantes en papel para que escribieran sus respuestas.
Abra el archivo:
Reloj
78
B) ¿Qué ángulo describe la trayectoria del horario?
3. Cuándo se mueve el horario y el minutero, qué punto se queda quieto?
¿Cómo se le puede llamar a este punto? Ubíquelo en la siguiente imagen
del reloj.
4. ¿Qué movimiento describe el horario y el minutero para indicar una hora?
79
3.2.4.2. Situación Didáctica Nº 2: BUSCANDO PAREJA
Descripción de la situación didáctica
En el trabajo de grado de Santacruz (2004) se presenta una situación muy similar
a la propuesta en este proyecto y dónde nace la idea de plantear una nueva
situación como es buscando pareja. Esta situación busca que los estudiantes
realicen la rotación de los tres cuadriláteros ubicados en un mismo punto de
partida, empleando los deslizadores de tal manera que cada cuadrilátero sea
llevado o encajado con su pareja homologa o congruente
De esta manera los estudiantes hacen una exploración del movimiento de los
cuadriláteros a través de los deslizadores contrario a movimiento del reloj de
manera que puedan reconocer medidas de ángulos, el cambio de sentido de
ángulo y la propiedad de congruencia, con el objetivo de establecer que el
movimiento realizado por los cuadriláteros es una rotación y además constaten
que el movimiento de rotación conserva medidas , tamaño y formas, propiedades
que hacen de la rotación un movimiento isométrico.
Cabe anotar que los movimientos que realizan los cuadriláteros son condicionados
por la estructura misma de la situación, es decir los únicos elementos susceptibles
de movimiento son los cuadriláteros, pero este movimiento no es libre, está atado
a un punto o centro de rotación ubicado en un vértice común a todos, obligando a
que el desplazamiento sea en forma circular (arrastre guiado).
En la aplicación de esta situación se le entregará una hoja de trabajo a los
estudiantes, en la cual está representado la situación que pueden ver en la
pantalla en el archivo buscando pareja de GeoGebra, solo que en el papel están
las preguntas que los estudiantes deben responder en parejas de tal manera que
80
puedan dialogar cada uno con su compañero de la posible respuesta que decidan
darle a cada una de las preguntas, hay que aclarar que el archivo informático no
trae las preguntas.
Finalmente se realizará una exposición de los trabajos con el fin de que los
estudiantes comparen las acciones realizadas, teniendo en cuenta la posición
inicial, la posición final de los cuadriláteros, la consigna dada y que cada
cuadrilátero encaje en su respectivo homologo o congruente.
Identificación de variables didácticas
Entre las variables contempladas se encuentran:
La variable del ángulo de rotación: asociada al deslizador, el cual muestra
la medida del ángulo de giro y hace que los cuadriláteros se muevan en
sentido contrario a como lo hacían las manecillas del reloj en la situación
anterior.
La congruencia de las figuras: se movilizan en esta situación por la
consigna de descubrir cuál es el homologo de cada cuadrilátero, teniendo
en cuenta que para que un cuadrilátero pueda encajar en otro debe tener
igual forma, tamaño y medida, posibilitando explorar la transformación de
rotación como un movimiento isométrico
El uso de construcciones ya elaboradas: el estudiante no necesita hacer
construcciones. La construcción está dada para que el estudiante manipule
81
los elementos de manera condicionada, dado que la construcción solo
permite movimientos de rotación intencionados
Propósitos
Se pretende con esta situación que los estudiantes puedan comprender mejor los
objetos geométricos de ángulo de rotación, congruencia y sentido del ángulo, que
intervienen en el movimiento de rotación y hacen del mismo un movimiento rígido
que no deforma las figuras. Los estudiantes deben explorar la construcción por sí
mismos reconociendo que dicho movimiento es una rotación y además se realiza
en sentido contrario a lo ocurrido con las manecillas del reloj.
Ahora bien, lo que se intenta es que los estudiantes precisen las características
que debe tener una figura o en este caso un cuadrilátero para encajar en su
homologo de tal manera que identifique que las medidas, la forma y el tamaño
inicial de cada cuadrilátero se conserva a pesar de que son sometidos a
movimientos. Otro elemento que los estudiantes deberían tener en cuenta es que
el movimiento se puede dar en dos sentidos: contrario a las manecillas del reloj o
en dirección de las manecillas de reloj (positivo o negativo). Cabe anotar que el
movimiento de todos los cuadriláteros es contrario a las mancillas del reloj y este
reconocimiento de que la rotación se puede dar en dos sentidos se hace a partir
de la comparación del movimiento que hacen las figuras en la situación anterior y
la situación actual.
En esta situación el punto de partida o inicial se representa con una línea
punteada para cada cuadrilátero la cual se hace visible cuando estos se han
desplazado de tal manera de que se pueda identificar un punto de partida y un
punto de llegada, para el caso de que los cuadriláteros que encuentran su
82
homologo. Esto con el fin de que el estudiante que no tenga éxito pueda regresar
manipulando el deslizador a la posición inicial comenzando nuevamente.
La situación de Buscando pareja de acuerdo a la teoría de Brousseau es una
situación de acción y validación.
Situación acción: los estudiantes deben realizar la transformación de rotación para
encajar cada cuadrilátero con su homologo, teniendo en cuenta que su homologo
o pareja es una figura congruente.
.
Situación de validación: los estudiantes deben confrontar las respuestas dadas en
sus hojas de trabajo argumentando elementos de congruencia, desplazamiento
circular, magnitud y dirección del movimiento.
Algunas dificultades que se pueden presentar
En esta situación nuevamente, el movimiento de los cuadriláteros corre por cuenta
del deslizador. Se deberá aclarar que el movimiento es en un solo sentido, el
observado cuando se arrastra el deslizador desde el su punto de partida hasta su
punto de llegada y, que cuando devolvemos el deslizador no sebe ser asumido
como parte del movimiento, pero si como el efecto de regresar nuevamente al
punto de partida y nuevamente comenzar el movimiento.
Esta situación tiene como expectativas alcanzar que los estudiante además de
hacer la lectura del ángulo, reconozcan que tiene dos sentidos de movimiento, el
positivo(contrario a las manecillas del reloj) y negativo según la manecillas del
reloj), pero puede ocurrir que los estudiantes expresen el reconocimiento del
sentido del ángulo sin necesariamente apelar al uso de los términos sentido
83
positivo y sentido negativo, para expresar esta diferencia, y dado que se les pide
comparar cómo son los ángulos de movimiento respecto de la situación anterior,
se puede encontrar que los estudiantes afirmen que los cuadriláteros se muevan
contrario a las manecillas del reloj, o que giran hacia la izquierda, en estos casos
se asumirá que el estudiante identifica que los ángulos tienen dos sentidos
diferentes del movimiento, aunque le falte expresar esta información en términos
geométricos de sentido positivo o negativo del ángulo.
84
Hoja de trabajo de los estudiantes
SITUACIÓN 2
1. Qué ángulo describe cada uno de los cuadriláteros para encontrar su
pareja:
a. El cuadrilátero A:__________ b. El cuadrilátero B :____________
c. El cuadrilátero C:__________
2. Con relación al reloj, ¿Cuál es la diferencia entre el movimiento de las
manecillas del reloj y el de los cuadriláteros desde la posición inicial?
3. ¿Qué propiedades debe tener el cuadrilátero que se mueve para encajar
con su pareja?
Abra el archivo:
BUSCANDO
PAREJA
B
85
3.2.4.3. Situación didáctica Nº 3: EL GUSANO
Descripción de la situación didáctica
La situación busca que los estudiantes realicen la rotación de una figura ―EL
GUSANO‖ ubicado en un punto de partida o inicio empleando dos deslizadores,
que llevaran al gusano al punto final o llegada de dos maneras diferentes según
cada deslizador; es decir el gusano se puede mover con cualquier de los dos
deslizadores pero cada uno de ellos realiza un movimiento circular en sentido
opuesto.
En esta situación los estudiantes exploran el movimiento de rotación en ambos
sentidos, positivo y negativo, para tal fin tendrán dos deslizadores uno que hace
de que el movimiento del gusano sea describiendo un ángulo en forma positiva y
otro que hace que su movimiento describa un ángulo en forma negativa. Para
lograr este objetivo e inducir a que los estudiantes emplean ambos deslizadores
se les propone encontrar la ruta más corta para llevar al gusano desde su punto
de partida hasta la hoja D o punto de llegada que opera como su alimento,
representada por circulo de color verdad.
Además, la situación añade otro elemento como es la equidistancia entre el centro
de rotación y cada uno de los puntos que conforman la trayectoria del movimiento.
Para tal fin en la parte central de la construcción, acompañando al centro de
rotación se encuentran varios puntos que representan abejas. La misión de los
estudiantes será encontrar cuál de estos puntos o abejas es el centro de rotación
teniendo en cuenta que el punto seleccionado como centro de rotación debe ser
equidistante con el centro de cada uno de los círculos que representan tanto el
punto de salida, como el de llegada y los recorridos por los cuales se desplazara el
gusano.
86
Cabe anotar que los movimientos realizados por el gusano son condicionados por
la estructura misma de la situación, es decir el único elemento susceptible de
movimiento es el gusano, pero este movimiento no es libre, está atado a un punto
o centro de rotación, exterior a la figura el cual no es fácil de identificar debido a
que junto a él hay otros puntos que parecen desempeñar la misma función,
obligando al estudiante a utilizar el concepto de equidistancia para identificar el
verdadero centro.
En la aplicación de esta situación se le entregará una hoja de trabajo a los
estudiantes, en la cual está representado la situación que pueden ver en la
pantalla en el archivo el gusano de GeoGebra, solo que en el papel están las
preguntas que los estudiantes deben responder en parejas de tal manera que
puedan dialogar cada uno con su compañero de la posible respuesta que decidan
darle a cada una de las preguntas, hay que aclarar que el archivo informático no
trae las preguntas.
Los estudiantes realizarán una exposición de los trabajos con el fin de que
comparen las acciones realizadas, teniendo en cuenta identificar el verdadero
centro de rotación, el mejor camino para llegar a la hoja D y las condiciones o
características que permiten seleccionar el mejor camino.
Identificación de variables didácticas
Entre las variables contempladas se encuentran:
La variable del ángulo de rotación: asociada los deslizadores, los cuales
muestran las medidas de los ángulos de giro y hacen que el gusano se
mueva en los dos sentidos, positivo y negativo, según el deslizador elegido
para realizar el desplazamiento.
87
La posición del centro de rotación: la cual no es fácil de identificar y
requiere emplear el concepto de equidistancia para hallar cual de todos los
puntos presentes en el centro de la construcción es el centro de rotación
puede. Además se debe tener en cuenta que a diferencia de las dos
situaciones anteriores se trabaja con un centro de rotación externo a la
figura.
El uso de construcciones ya elaboradas: el estudiante no necesita hacer las
construcciones, ésta es dada para que el estudiante manipule los
elementos de manera condicionada, dado que la construcción sólo permite
movimientos de rotación intencionados.
Propósitos
Con esta situación se pretende que los estudiantes puedan comprender mejor los
objetos geométricos de ángulo de rotación, sentido del ángulo y equidistancia del
centro de rotación respecto a los círculos que representan el desplazamiento del
gusano (hojas) y además contienen el punto de partida y el punto de llegada (la
hoja más verde), que hacen parte del movimiento de rotación. Estos elementos los
estudiantes los deben explorar por sí mismos reconociendo que dicho movimiento
es una rotación y además se realiza en ambos sentidos, positivos y negativos,
recogiendo y unificando en una sola situación el movimiento descrito por las
figuras de las dos situaciones anteriores.
Lo que se busca es que los estudiantes precisen de manera más general los
elementos que componen el movimiento de rotación como son el centro de
rotación que puede ser exterior a la figura o estar en uno de los vértices o lados de
la figura como en los dos casos anteriores; otro componente que se puede
identificar es que la rotación de una figura se puede realizar en dos sentidos;
positivo y negativo. En cuanto a la equidistancia es un nuevo elemento que se
hace más visible en esta situación debido a que el centro de rotación es exterior a
88
la figura, y para que el movimiento de rotación sea posible cada uno de los puntos
que componen el desplazamiento circular de una figura deben ser equidistantes
respecto al centro de rotación.
En esta situación observamos seis círculos que representan hojas, 5 de ellos de
color blanco y el sexto de color verde (punto de llegada, hoja D) una de los
círculos de color blanco es el punto de partida o inicial que se reconoce por que
está acompañado de la expresión ―inicio‖ en la parte inferior, una vez que el
gusanó se mueve, su figura se desplaza de circulo en circulo hasta llegar a la hoja
D, dejando vacío el circulo inmediatamente anterior por el cual se ha movido.
Para distinguir el inicio del final, se ha utilizado el color, verde para la hoja D o
punto de llegada y blanco para el punto de inicio. Al igual que en la situación
anterior si el estudiante no tiene éxito pueda regresar manipulando el deslizador a
la posición inicial comenzando nuevamente.
La situación de el gusano de acuerdo a la teoría de Brousseau es una situación de
acción y validación.
Situación acción: los estudiantes deben realizar la transformación de rotación para
mover el gusano desde el punto de inicio hasta la hoja D, para tal efecto tienen
dos deslizadores que describen un movimiento circular en forma opuesta.
.
Situación de validación: los estudiantes deben socializar las respuestas dadas en
sus hojas de trabajo argumentando elementos de sentido del movimiento,
desplazamiento circular, magnitud del ángulo de desplazamiento, comparacion de
trayectorias y equidistancia de las hojas respecto al centro de rotación
89
Algunas dificultades que se pueden presentar
A diferencia de las situaciones anteriores, se contempla un nuevo elemento como
es la equidistancia de la figura que rota respecto al centro de rotación, el cual en
esta situación no es fácil de identificar ya que está acompañado de otros puntos,
ubicados también en la parte central de la gráfica de la situación y algunos de ellos
puede ser asumidos por los estudiantes como centro de rotación, ya que
parecerían equidistantes a la figura rotada.
Respecto al sentido del ángulo, el positivo y negativo, puede presentarse que los
estudiantes efectúen este reconocimiento empleando expresiones anteriores como
contrario a las manecillas del reloj, siguiendo el movimiento de las manecillas del
reloj, girando a la derecha y girando a la izquierda, en estos casos se asumirá que
el estudiante identifica que los ángulos tienen dos sentidos diferentes de
movimiento aunque le falte expresar esta información en términos geométricos de
sentido positivo o negativo del ángulo.
Es importante anotar que el deslizador en cada caso registra la medida del ángulo
partiendo siempre de 0°, pero indiferente del movimiento de la figura la medida
que registre siempre será positiva, hecho que puede ocasionar que los estudiantes
hagan uso de los términos mencionados en el párrafo anterior y no hablen en
términos de sentido positivo y especialmente de sentido negativo, dado que el
deslizador en ningún caso registrara ángulos negativos.
90
Hoja de trabajo de los estudiantes
SITUACIÓN 3
1. Mueve el deslizador decisión A y realiza una descripción de lo que
observas. ¿Qué movimiento debe hacer el gusano para llegar a la hoja D?
2. Mueve el deslizador decisión B y realiza una descripción de lo que
observas. Existe otra manera de que el gusano pueda llegar a la hoja D?
Abra el archivo:
EL GUSANO
91
3. ¿Cuál es la mejor decisión para que el gusano se mueva de la posición
inicial a la hoja D? Justifica
4. Entre las hojas hay unas abejas que están comiendo miel y una de ellas
se encuentra a la misma distancia de todos los centros de las
circunferencias que representan las hojas: ¿Cuál es esta abeja? ¿La
posición de la abeja qué determina en el movimiento de el gusano?
92
CAPÍTULO 4:
RESULTADOS
93
Los resultados y las conclusiones de la secuencia de situaciones didácticas están
basados en el contraste de los registros de los estudiantes y los referentes
teóricos abordados a lo largo del presente trabajo. Al aplicarse la secuencia de
situaciones didácticas uno de los investigadores17, dirige la situación, da las
indicaciones y en la socialización presenta las preguntas directrices formuladas en
el diseño y el análisis a priori de la situación. Mientras que el otro investigador
apoya este rol entregando materiales como las hojas de trabajo y los lápices,
además de solucionar dudas acerca de la ejecución de cada una de las
situaciones y finalmente el otro investigador toma el registro fotográfico y de video.
Para el análisis de las situaciones aplicadas, se crean tablas con los siguientes
tres elementos que permiten la organización de la información recogida durante el
desarrollo de la secuencia. Estos tres elementos son:
• Criterios de análisis: estos surgen de los análisis a priori dando posibilidad al
estudio de determinar los aspectos desarrollados durante todo el diseño de la
secuencia de situaciones didácticas. Estos son entendidos como unidades de
análisis que permiten un acercamiento a los procedimientos abordados por los
estudiantes.
• Indicadores: son aquellos que permiten identificar y analizar los criterios en el
contexto particular de cada situación.
17
El rol de dirigir la situación será rotativo entre los ambos investigadores William Campo y Yeison Cuene
94
• Resultados: corresponde al análisis a posteriori, los cuales describen los
diferentes procesos realizados por los estudiantes, al momento de participar en las
situaciones; y las conclusiones obtenidas en el análisis a priori.
4.1. RESULTADOS DE LA SITUACIÓN DIDÁCTICA Nº1: EL RELOJ
Esta situación fue desarrollada por 20 estudiantes de grado séptimo, quienes se
organizaron en dos grupos de diez estudiantes por sección de clase, primero se
trabajó con 10 niñas y luego con 10 niños, c/u de las secciones de 45 minutos.
Hay que tener en cuenta que no se tuvo en cuenta la categoría de género para
este trabajo y que la organización se dio así porque el profesor titular del colegio
envió primero a las niñas y luego a los niños. A su vez cada grupo se repartió en
parejas para facilitar el trabajo, de tal manera que cada uno de los estudiantes
pudiera hablar y discutir cada situación con su compañero y por otro lado porque
solo se contaba con la disposición de cinco computadores en buen estado para
trabajar con los estudiantes.
Posteriormente a la organización de los estudiantes, se les entregó la hoja de
trabajo de la situación #1 donde los registros recogidos en esta situación fueron
las fotos, los videos y la solución a las preguntas realizadas por los estudiantes.
Hay que tener en cuenta que la gestión del profesor guía fue presentar la actividad
y darle orientaciones a los estudiantes respecto al trabajo de la situación El reloj.
95
Tabla 2. Resultados de la Situación Didáctica N° 1
CRITERIOS DE ANALISIS
INDICADORES RESULTADOS
Exploración respecto al ángulo de rotación
Identifica el ángulo usado en cada rotación
El 80% de los estudiantes que lograron identificar el ángulo de rotación, el 20% no lo lograron
Exploración respecto al centro de rotación
Identifica el centro de giro como un elemento de la rotación
El 60 % de los estudiantes identificaron el centro de rotación como el punto en donde se unen las manecillas y que corresponde al centro del reloj. El 40 % lo lograron con dificultad
Identificación de la rotación en un contexto no matemático como es el reloj
Reconoce los elementos que definen una rotación en un contexto no necesariamente matemático.
El 80% de los estudiantes identificaron el movimiento dado por las manecillas del reloj como una rotación. El 20% de los estudiantes lo lograron con dificultad, es decir identificaron en primera instancia que las manecillas giraban pero no asumieron que efectivamente se trataba de un movimiento llamado rotación.
Evaluación de la situación Nº1 El reloj
Cuando el estudiante logra relacionar conceptos matemáticos como es la
transformación de rotación con fenómenos de la vida real como es el movimiento
de las manecillas del reloj tiene la posibilidad de probar que efectivamente éste
movimiento corresponde a una rotación porque hay un ángulo, un centro y un
sentido; los cuales determinan el movimiento como una rotación.
Según los resultados obtenidos en esta situación se puede afirmar que los
estudiantes logran reconocer dos de los elementos que definen el movimiento de
rotación, como son el ángulo que define la amplitud de la rotación, y el centro de
96
rotación. Aunque este último causó dificultad a la mayoría de los estudiantes en el
momento de determinarlo.
La identificación del ángulo de rotación se logró en un 80%, apoyada por el uso
del deslizador, dado que este elemento permitió visualizar la medida del ángulo
(trayecto recorrido por las manecillas del reloj) a medida que cada manecilla se
movía video 2, en algunos casos los estudiantes se atrevieron a proponer un
sentido del ángulo sin ser solicitado video 1.
Figura 3. Resultados que muestran la identificación de un ángulo de rotación
En cuanto al centro de rotación, la identificación del mismo resulto más compleja.
Se puede afirmar que todos los estudiantes reconocieron la existencia de un punto
central en cual las manecillas del reloj estaban ancladas y que durante el
movimiento permanecía quieto, pero solo el 60% de los estudiantes lo reconoció
como centro de un movimiento de rotación, aunque no necesariamente le dieron
ese nombre si la asociaron con el vértice del ángulo, O ―eje‖ del movimiento video
3.
97
Gracias al reconocimiento de los anteriores elementos en mayor o menor grado al
final de la situación los estudiantes lograron identificar que el movimiento de las
manecillas del reloj era una rotación video 4.
La situación se quedo corta en especificar que el sentido positivo del ángulo
obedece a ir en contra de las manecillas del reloj, y el sentido negativo
corresponde a moverse igual que las manecillas del reloj; aunque esto se
determinó en el análisis a priori de la misma situación cuando se detecto que el
deslizador utilizado no proporciona el sentido del ángulo en cuanto a positivo o
negativo en la magnitud angular o el valor que tomaba el deslizador; es necesario
aclarar que en esta situación se pudo haber hecho énfasis en el sentido positivo y
98
negativo del ángulo si en el deslizador se hubieran dado valores negativos para
ángulos como los manejados en esta situación.
4.2. RESULTADOS DE LA SITUACIÓN DIDÁCTICA Nº2: BUSCANDO PAREJA
La organización de los estudiantes para esta situación obedece igual que para la
anterior. A cada pareja se les entregó la hoja de trabajo de la situación #2, también
se tomaron registros en video y fotos. Hay que tener en cuenta que la gestión del
profesor guía fue la de presentar las situaciones didácticas y darles orientaciones
a los estudiantes respecto al trabajo de Buscando pareja.
Tabla 3. Resultados de la situación didáctica N° 2
CRITERIOS DE ANALISIS
INDICADORES RESULTADOS
Estrategias al reconocer el ángulo de rotación
Se toman en consideración diferentes ángulos en cada movimiento
El 95% de los estudiantes lograron identificar el ángulo de rotación, que corresponde a cada cuadrilátero que determina el su desplazamiento.
Exploraciones con respecto al cambio de sentido
Diferencia el sentido utilizado en cada rotación
El 10% de los estudiantes hace uso de los términos sentido positivo y negativo del ángulo, pero lo hacen en forma contraria a la convencional. El 30 % de los estudiantes relaciona el giro a la derecha con un sentido positivo del ángulo, y el giro a la izquierda con un sentido negativo del ángulo. El 60 % de los estudiantes caracterizaron el cambio de sentido otorgándole una palabra o frase al sentido como girar a la izquierda, a la derecha, contrario a las
99
manecillas del reloj
CRITERIOS DE ANALISIS
INDICADORES RESULTADOS
Exploraciones a cerca de la identificación de invariantes
Reconoce la propiedad de congruencia en donde la forma y el tamaño son características invariantes durante la transformación.
El 60 % de los estudiantes no hablan de congruencia entre las figuras. Pero si hacen alusión a elementos propios de la congruencia considerando que el cuadrilátero que encaja en otro lo hace porque es del mismo tamaño, igual longitud entre los lados, ángulos iguales y/o de la misma forma que su pareja. El 40% de los estudiantes hablan de congruencia entre figuras y establecen propiedades tales como la no deformidad de la figura, y la misma medida entre sus lados.
Evaluación de la situación didáctica Nº2: Buscando pareja
En esta situación los estudiantes podían identificar los dos sentidos del ángulo
como el ir igual a las manecillas del reloj o el ir en contra de estas al establecer
una comparación entre el movimiento de las figuras efectuado en la situación del
Reloj y el efectuado durante esta situación. Esta comparación resultó favorable
para determinar la existencia de un cambio de sentido de ángulo al efectuar la
rotación en forma contraria a la hecha anteriormente.
En esta situación observamos que los estudiantes identificaron en mayor
proporción que el movimiento de rotación tiene asociado un ángulo y su magnitud
(95%). Al mover los cuadriláteros haciendo uso de esta transformación se
pudieron dar cuenta que el movimiento se puede hacer en dos direcciones o
sentidos y que en cada caso siempre habrá un ángulo que indica la magnitud del
100
movimiento. Nuevamente esta identificación del ángulo que determina el
movimiento de rotación fue apoyada por el deslizador, dado que este elemento
permitió visualizar la medida del ángulo (trayecto recorrido por los cuadriláteros) a
medida que cada uno de ellos se movía video 5.
En cuanto al sentido del ángulo, uno de los objetivos de esta situación, podemos
afirmar que se logró en todos los estudiantes porque identificaron la existencia del
mismo según la dirección hacia la que se efectué el movimiento, pero con algunas
diferencias. El 40 % de los estudiantes que hicieron alusión a la existencia de un
sentido negativo en esta situación y positivo de la situación anterior, lo hicieron en
forma equivocada; este error se pudo producir debido a en la situación anterior la
magnitud del ángulo que registraba el deslizador era un número positivo, así el
sentido del ángulo fuera negativo, por consiguiente estos estudiantes adoptaron el
giro a la derecha (giro de las manecillas del reloj) como un giro en sentido positivo
video 6, y al observar que en la situación actual los cuadriláteros giraban a la
izquierda, para indicar que el sentido era contrario, optaron por emplear el término
negativo, aunque la magnitud del ángulo que mostraba el deslizador fuera un
número positivo.
El otro 60% restante prefirieron hacer uso de los términos girar a la izquierda, para
este caso, girar a la derecha, para el caso de la situación anterior, o simplemente
que los cuadriláteros se movían en forma contraria a las manecillas del reloj; sin
embargo se puede asumir que identificaron la existencia de un sentido del ángulo
al efectuarse la transformación de rotación, pero que no hicieron uso de los
101
términos sentido positivo o negativo del ángulo por temor al emplearlo mal o
simplemente obviaron el empleo de los términos, ya que los términos los conocían
pues fueron trabajados en clase con su profesora titular de la materia de
Geometría .
Respecto a la congruencia, podemos afirmar que los estudiantes identificaron en
gran medida las propiedades que definen la congruencia de figuras, elemento que
hace que la transformación de rotación sea un movimiento rígido o isométrico. En
todos los casos los estudiantes hicieron alusión a la igualdad (congruencia) de la
medida de los lados, la conservación de la forma, la conservación del tamaño,
video 7 y en algunos casos la igualdad de los ángulos de las figuras18, propiedad
de la semejanza más no de la congruencia. Cabe anotar que el 40% de los
estudiantes hablaron puntualmente de la de la congruencia como elemento que
permita la solución correcta de la situación video 8.
18
Hacemos mención a la igualdad entre ángulos de la figura debido a que fue un elemento que
identificaron, así no se tuviera proyectado que lo hicieran.
102
4.3. RESULTADOS DE LA SITUACIÓN Nº3 EL GUSANO
Esta situación fue desarrollada por 20 estudiantes los cuales se organizaron de la
misma manera que en las anteriores situaciones. En esta situación también se les
entregó a los estudiantes la hoja de trabajo de la situación #3 en donde los
registros recogidos fueron fotos, videos y la solución a las preguntas realizadas
por los estudiantes.
Tabla 4. Resultados de la Situación Didáctica N° 3
CRITERIOS DE ANALISIS
INDICADORES RESULTADOS
Identificación de la rotación en otros contextos
Identifica que mediante la transformación rotación Cambia la posición de la figura
El 20% de los estudiantes identificaron que el movimiento que realizaba el gusano correspondía a una rotación y logran reconocer el ángulo que determina el movimiento. El 40% identifican que el gusano se mueva en forma circular, más no afirman que se trata de una rotación. El 30% identifican que el gusano efectúa un desplazamiento a la derecha y a la izquierda (sentido del ángulo), más no hablan de una rotación o un giro, más sin embargo consideramos que los estudiantes reconocen un movimiento en forma circular. El 10% de los estudiantes reconocen la existencia de un movimiento que cambia de posición a la figura y lo denominan translación.
Conjeturas con respecto al cambio de sentido
Consideran que dependiendo el sentido el movimiento cambia.
El 100% de los estudiantes consideran que la decisión B es la mejor porque corresponde a una trayectoria más corta y entre ellos el 40% especifican que el sentido es
103
importante en los transformación de rotación. El 100% de los estudiantes identifican que el movimiento del gusano se puede efectuar con sentidos diferentes pero solo en 50% de ellos hacen alusión directa al suceso. El 80% de los estudiantes además de reconocer el sentido lo caracterizan como positivo o negativo, apelando al sentido del ángulo. El 40 % de los estudiantes entendieron el sentido positivo como ir en contra de las manecillas del reloj y el sentido negativo como moverse igual que las manecillas del reloj.
Estrategias respecto a la identificación del centro de rotación
Reconocen el centro de rotación como un punto equidistante en el movimiento del gusano a través de las hojas
El 80% de los estudiantes tuvieron dificultad al identificar el centro de rotación porque a diferencia de las dos situaciones anteriores éste estaba ubicado externo a la figura; y además había otros puntos con los cuales el centro podía confundirse tal como se previo en el análisis a priori, más si embargo apelaron a criterios de posición. El 20 % de los estudiantes reconocieron el centro de rotación teniendo en cuenta criterios de equidistancia.
Evaluación de la situación didáctica Nº3: El gusano
Los estudiantes generalmente no tienen la posibilidad de trabajar situaciones
donde se exploren los conceptos matemáticos en contextos de la vida cotidiana y
104
haciendo uso de las TIC, como en este caso la situación del Gusano, ya que esto
requiere de suministros permanentes en la labor docente y por otro la gestión
siempre la lleva el profesor. Esto confirma que la teoría de situaciones didácticas
es de gran valor cuando se lleva al aula, debido a que se genera motivación e
interés en los estudiantes, lo que propicia que ellos construyan su propio
conocimiento a través de la indagación y la exploración.
Prosiguiendo con el análisis de las situaciones, en esta situación en particular
encontramos que los estudiantes lograron reconocer la existencia de un
movimiento de rotación, más en el momento de identificarlo como tal, encontramos
diferentes variantes. Nos encontramos que solo 20% de los estudiantes
identificaron afirmaron que el movimiento realizado por gusano era una rotación;
En cuanto al 80% restante de los estudiantes, los dividiremos en 2 grupos, el
primero con el 70% de la población, corresponden a los estudiantes que dan
indicios de identificar la existencia de un movimiento de rotación pero que apelan a
característica propias y que definen el movimiento rotación, tales como:
denominarlo como un giro (40%), o afirman que el gusano realiza un
desplazamiento o sigue una trayectoria en forma positiva o negativa (30%), lo cual
indica que están pensando en términos de un movimiento que depende de un
ángulo, y que según la dirección descrita por el movimiento indicaría el sentido
que adopta el ángulo.
105
El segundo grupo correspondiente al 10% de la población afirma que el
movimiento realizado por el gusano es una translación, lo cual es errado ya que el
movimiento de translación depende de un vector de translación, y no de un
ángulo que determina la magnitud del giro que un cuerpo se desplaza. Aun si se
explora la hoja de trabajo de estos estudiantes podemos observar que al final
redefinen el movimiento como una rotación, los cual indica que el termino
translación es empleado para referirse al cambio de posición desde el punto de
partida hasta el punto de llegada, es decir el gusano de traslada o se mueve de un
lugar a otro.
Ahora hablemos de los resultados respecto al sentido del ángulo. El tercer
interrogante de la situación busco que los estudiantes tomaran conciencia o se
dieran cuenta un figura puede efectuar el movimiento de rotación en dos sentido,
bien sea positivo o negativo, todo depende el lugar o la nueva posición a la que
deseamos llevar la figura, para tal efecto se pregunto sobre cuál era la mejor
decisión para mover rápidamente al gusano del punto de partida a su punto de
llegada, con el objetivo de obligarlos a comparar los movimientos efectuados
anteriormente.
106
Entre los logros obtenidos encontramos que efectúan comparaciones
longitudinales de trayectoria efectuada por el gusano en cada uno de los casos
anteriores, de esta comparación sale la afirmación correcta, por parte de todos los
estudiante (100%), que la mejor opción para llegar del punto de partida al punto de
llegada es la trayectoria B, en tanto es más corta. Video 9 Pero el asunto no para
allí, entre las respuestas encontramos que esta afirmación está acompañada de
aclaraciones tales como que la trayectoria es un giro en un determinado sentido, la
comparación de entre medidas de ángulos teniendo en cuenta que el ángulo es el
que define la magnitud del movimiento, y por supuesto la identificación de la
existencia de un movimiento de rotación que el gusano pude hacer en dos
sentidos diferentes bien sea siguiendo con deslizador A (trayectoria A) o
deslizador B (trayectoria B)
De los interrogantes 1 y 2 se logro que el 80% de los estudiantes identifiquen y
hagan uso de la existencia de un sentido el cual indica hacia qué lugar se efectúa
el desplazamiento rotacional. El identificar y usar el sentido del ángulo les permitió
establecer diferencias entre los movimientos para posteriormente caracterizarlos y
tomar decisiones (Cuál es la mejor opción) sobre lo explorado según lo pedido en
la situación.
De este 80% de la población, la mitad de ella, que apelaron a los términos
negativo o positivo para darle un connotación geométrica al sentido que
remplazara el girar a la derecha a la izquierda o siguiendo las manecillas del reloj,
o en contra de la manecillas del reloj, se presento un hecho muy interesante de
analizar, como lo es el afirmar acertadamente que la trayectoria seguida por el
ángulo era positiva o negativa, contrario a lo ocurrido en la situación anterior.
Analizando detenidamente como se platearon las dos situaciones podemos
107
apreciar que el punto de partida de los cuadriláteros estaba ubicado en la parte de
arriba de la pantalla, mientras que en la situación actual el gusano parte de la
parte inferior de la pantalla, debido a este cambio de posición en el punto de
partida le hablar de girar a la derecha o a la izquierda cambia de una situación a
otra; En la situación anterior los cuadriláteros que giran a la izquierda lo hacen en
sentido anti horario llamados por los estudiante negativo, mientras que en la
situación actual el gusano gira a la izquierda (negativo) cuando se desplaza
empleando el deslizador B en sentido horario, razón por la cual podemos afirmar
que los estudiantes no es que reconozcan que el sentido positivo como el anti
horario y el negativo como el horario, su respuesta acertada obedece a el cambio
de posición del punto de partida, ya que además de lo anterior los estudiantes
siguen asumiendo la derecha como positivo y la izquierda como negativa video 10.
Tan solo 2 estudiantes se percataron de la implicación que tenía el cambio de
posición del punto de partida y asumieron como en la situación anterior que el
sentido anti horario, para ellos, es negativo y además esta connotación indica que
es izquierda y no a la inversa como en los casos anteriores.
108
En cuanto a la equidistancia se pudo observar que casi todos los estudiantes
tienen en cuenta nociones intuitivas de equidistancia que les permiten ubicar el
centro de rotación, ya que todos lograron identificar correctamente el centro de
rotación, solo que el 80% tuvo mayor dificultad y para llegar a la respuesta
correcta apelaron buscar cual era el punto mejor posicionado o ubicado en el
centro, teniendo en cuenta estuviera ―en el centro‖ respecto de la ubicación de
cada hoja por donde debía pasar el gusano, así como los puntos de partida y de
llegada.
Tan solo el 20% de la población tuvieron en cuenta que la mejor forma de buscar
el centro es que estén a la misma distancia de todas las hojas así como del punto
de partida y de llegada (equidistancia) video 11.
109
CAPÍTULO 5:
CONCLUSIONES
110
Las situaciones planteadas mostraron que los estudiantes manifiestan gran interés
por nuevas propuestas de situaciones de enseñanza en Geometría, diferentes a
las tradicionales, además el empleo del software de Geometría Dinámica, permite a
los estudiantes la exploración de movimientos, como la rotación. La exploración se
hizo observando el desplazamiento de cada objeto de un punto a otro,
permitiéndosele al estudiante, si es necesario, regresar al punto de partida y
comenzar de nuevo la exploración de tal manera que verifiquen sus conjeturas y/o
puedan surgir nuevas ideas.
Por otra parte para lograr que estas situaciones fueran abordadas de manera
diferente a las situaciones tradicionales de clase, pero sin perder de vista que
fueron trazadas con fines netamente escolares, el apoyo de una teoría como la
Teoría de Situaciones Didácticas fue fundamental, base para todo este proyecto,
aunque no se aplicó en su totalidad y solo se tomaron algunos elementos de la
misma, a través de ella las situaciones tomaron connotaciones diferentes a las
tradicionales, permitiendo a los estudiantes explorar, conjeturar sobre cada
situación y lanzar sus hipótesis respecto a lo que ocurría en cada una de ellas.
Video 12
Otro elemento importante es que los estudiantes en su gran mayoría reconocieron
que al interior de cada situación estaba de fondo el movimiento de rotación, el cual
era el que permitía ejecutar los movimientos en forma restringida, es decir que se
sigue una trayectoria definida (circular), que depende de un centro y una magnitud
representada a través de la medida del ángulo. Además se afirma que para que
conceptos como el de rotación sean interiorizados por los estudiantes, se puede
disponer de situaciones que representen hechos cotidianos o contextos diferentes
al matemático, como la situación del reloj, sobre las cuales se problematice el
concepto de rotación y se lleguen su construcción.
111
Otra afirmación que se puede hacer, es que las situaciones permitieron a los
estudiantes a través de la exploración, reconocer las propiedades invariantes de los
elementos que son sometidos al movimiento de rotación. Es así como de forma
directa o indirecta, reconocen que a pesar de que las figuras se muevan, no varía
su forma o tamaño, lo que varia es su ubicación en el espacio. Es así que, aunque
no se hizo una referencia puntual, los estudiantes pudieron explorar y constatar
que la rotación es un movimiento isométrico.
En cuanto al software GeoGebra, implementado en la puesta en escena de cada
una de estas situaciones, éste les permitió a los estudiantes visualizar paso a paso
la trayectoria descrita por los objetos, a medida que los manipulan, dándole un
carácter dinámico a la situación, el cual no puede ser posible en lápiz y papel. Este
carácter dinámico es que les permite a los estudiantes lanzar hipótesis y volver al
programa para nuevamente manipular los objetos y así confirmar sus hipótesis.
Otros elementos que permite visualizar el software es la no deformación de los
objetos manipulados, permitiendo reconocer las propiedades invariantes.
Cabe anotar que para obtener los resultados descritos con anterioridad se hizo
uso de situaciones con construcciones previamente elaboradas, como imágenes o
figuras geométricas, listas para la manipulación de los estudiantes por medio de
los deslizadores que generan una dinámica de trabajo de tipo exploratorio, pero
para lograr el tipo de situaciones que se diseñaron era necesario el uso de un
artefacto que se convirtiera en instrumento, es decir en mediador del
conocimiento, y es aquí donde el software GeoGebra, pensado y creado para la
educación, cumple esta función, ya que es el instrumento del investigador
(profesor) que diseña una situación con ciertas variables didácticas, persiguiendo
determinados objetivos, así como instrumento del estudiante en tanto le permite
volcarse sobre él para identificar relaciones geométricas que tal vez en otras
situaciones y con artefactos diferentes no es posible o se hace dispendioso, así
112
como conjeturar y volver sobre las funciones que el instrumento le ofrece para
constatar las conjeturas.
Ahora, centrando la atención en las características propias de GeoGebra se puede
afirmar que ofreció grandes ventajas para llevar a cabo los diseños presentados a
los estudiantes, especialmente por dos elementos como lo son: el permitir insertar
imágenes (herramienta que no tiene Regla y Compás, o Cabri) permitiéndole a la
situación 3 salirse del formato de tarea típica geométrica, sin perder su carácter de
situación geométrica, manipulando un objeto que no era un representante de la
geometría (segmento, figura geométrica) sino que estaba fuera de ésta, pero que
su manipulación obedecía a un estructura geométrica como la rotación. En
segunda instancia encontramos la herramienta de los deslizadores (herramienta
que no tiene Regla y Compás, o Cabri), que hiso más amable el arrastre de las
figuras e imágenes que contenía cada situación y permitió comprobar la no
deformación de estos a medida que se rotaban, además de estar dotados de la
medida de los ángulos en grados, que mostraba la amplitud de los mismos
durante el proceso de manipulación que realizaron las estudiantes
De lo anterior, se puede deducir que es importante un afianzamiento de este tipo
de situaciones, ya que se observó un cambio en la actitud de los estudiantes que
suscitaron una fuerte motivación hacia el trabajo en la clase de Geometría;
además, este tipo de actividades demandan y estimulan procesos de orden
cognitivo como el análisis y el razonamiento lógico en cada uno de las
situaciones, permitiendo ir más allá de solo saber de memoria que es un
movimiento de rotación, cuales son algunas propiedades que lo definen y que
propiedades de invariancia tienen los objetos rotados, ya que el uso de la TSD
unida con el empleo de los software de Geometría Dinámica permiten, por un lado
problematizar las situaciones y hacer del estudiante un participe activo, por otro
lado, además de observar propiedades que en otros espacios y con otros
113
artefactos no se pueden determinar, dan cabida a un sinnúmero de conjeturas,
nuevas ideas geométricas, hipótesis que con la interacción entre el instrumento, el
estudiante y el profesor pueden ser resueltos y a su vez generan nuevas
conjeturas, hipótesis e ideas que les permitirán ahondar más en el estudio de la
Geometría .
Además del uso del uso del software de Geometría Dinámica GeoGebra y de la
TSD, encontramos otro eje movilizador en la realización de este proyecto como lo
es la Ingeniería Didáctica, la cual nos permitió hacer uso de algunos de sus
elementos como el análisis preliminar, a partir del cual se hizo una revisión teórica
que desembocaría en la formulación de las situaciones didácticas aquí
presentadas; un análisis a priori con el cual se determinaron las expectativas a
alcanzar y las posibles dificultades que se encontrarían durante la aplicación de
las situaciones y el análisis a posteriori, que después de la experimentación en el
aula se hace contrastando los resultados obtenidos con los esperados según al
análisis a priori.
En cuanto a las TIC, otro elemento importante en este trabajo, es que sin tener
demasiados computadores se logró realizar la experiencia. Aunque las
condiciones de la experimentación fueron difíciles y no se contó con todo el grupo
de estudiantes, el esfuerzo e interés de los investigadores logró que finalmente los
estudiantes realizaran la secuencia de situaciones didácticas. Sin embargo un
maestro en ejercicio no puede reducir el grupo de estudiantes y por tanto las
condiciones de trabajo serían más complicadas que las que se afrontaron. Es por
eso que es necesario que en las Instituciones Educativas, Secretarías de
Educación y Ministerio de Educación Nacional tomen acciones en pro de mejorar
las actuales condiciones del uso de TIC en la escuela.
114
Pero pese a este panorama desalentador, queda proponer más proyectos de aula
o continuar potencializando los ya existentes (como este que se presenta), y que
gozan de buena aceptación entre los estudiantes, según se comprobó, buscando
dar el enfoque que realmente deberían tener las TIC en las instituciones
educativas, de tal manera que además de dotación de computadores se den
verdaderos procesos de integración de TIC. De esta manera los estudiantes
estarían frente a nueva educación que vaya a la vanguardia con los cambios que
se suscitan en el mundo en que viven.
Como dificultades de la propuesta se encuentran en primer lugar que se limitó
principalmente al uso de situaciones, catalogadas dentro de la TSD, como de
situación acción y de situaciones de validación; se había podido ampliar más la
gama de situaciones de tal manera que se contemplara las de institucionalización
y formulación, dado que de una u otra manera estas estuvieron presentes en el
desarrollo de la puesta en escena, especialmente las de institucionalización en los
momentos en que se generó plenaria al interior del grupo y se llegaban a
acuerdos.
Otro aspecto a mejorar tiene que ver con el diseño de las situaciones, respecto al
uso de las magnitudes asociadas al deslizador, debido a que aunque se logró que
los estudiantes identificaron que el movimiento de rotación se puede ejecutar en
dos sentidos, la confusión en denotar con sentido positivo o negativo la trayectoria
descrita por el ángulo, obedeció a que siempre se manejaron valores positivos
para denotar la magnitud del ángulo sin importar el sentido. También a futuro se
puede contemplar la modificación de las consignas, el incremento en el tiempo de
ejecución para cada situación de tal manera que haya más tiempo para una
plenaria más rica, así como un mejor aprovechamiento de la TSD durante la
115
ejecución a partir de la revisión de la puesta en escena de la misma en esta
primera experiencia.
116
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121
ANEXOS
ANEXO A: HOJAS DE TRABAJO DE LA SITUACIÓN DIDÁCTICA N°1
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
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133
134
135
136
137
138
139
140
141
ANEXO B. HOJAS DE TRABAJO DE LA SITUACIÓN DIDÁCTICA N°2
142
143
144
145
146
147
148
149
150
ANEXO C. HOJAS DE TRABAJO DE LA SITUACIÓN DIDÁCTICA N°3
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160