El sistema numrico de puntos y rayas En el sistema de numeracin maya las cantidades son agrupadas de 20 en 20; por esa razn en cada nivel puede ponerse cualquier nmero del 0 al 19. Al llegar al veinte hay que poner un punto en el siguiente nivel; de este modo, en el primer nivel se escriben las unidades, en el segundo nivel se tienen los grupos de 20 (veintenas), en el tercer nivel se tiene los grupos de 2020 y en el cuarto nivel se tienen los grupos de 202020.

Numeracin maya. Los tres smbolos bsicos son el punto, cuyo valor es 1; la raya, cuyo valor es 5; y el caracol (algunos autores lo describen como concha o semilla), cuyo valor es 0. El sistema de numeracin maya, an siendo vigesimal, tiene el 5 como base auxiliar. La unidad se representa por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos sirven para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se aaden los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se contina hasta el 19 (con tres rayas y cuatro puntos) que es el mximo valor que se puede representar en cada nivel del sistema vigesimal. Este sistema de numeracin es aditivo, porque se suman los valores de los smbolos para conocer un nmero. El punto no se repite ms de 4 veces. Si se necesitan 5 puntos, entonces se sustituyen por una raya. La raya no aparece ms de 3 veces. Si se necesitan 4 rayas, entonces quiere decir que se quiere escribir un nmero igual o mayor que 20 necesitndose as emplear otro nivel de mayor orden. Para escribir un nmero ms grande que veinte se usan los mismos smbolos, pero cambian su valor dependiendo de la posicin en la que se pongan. Los nmeros mayas se escriben de abajo hacia arriba. En el primer orden (el de abajo) se escriben las unidades (del 0 al 19), en el segundo se representan grupos de 20 elementos. Por esto se dice que el sistema de numeracin maya es vigesimal. Nivel Multiplicador Ejemplo A Ejemplo B Ejemplo C En el segundo orden cada punto vale 20 unidades y cada raya vale 100 unidades. Por lo tanto, el 9 del segundo orden vale 920=180. Esas 180 unidades se suman con las 6 del primer orden y se 3 400 obtiene el nmero 186. El tercer orden tendra que estar formado por grupos de 20 unidades (20201); o sea, cada punto tendra que valer 400 unidades. Sin embargo, el sistema de numeracin maya tiene una 1 1 irregularidad: los smbolos que se escriben en este orden valen 18201 para el sistema calendrico.4 5 Esto quiere decir que cada 32 429 5125 punto vale 360 unidades. Esta irregularidad tiene que ver con que los aos mayas (tunes) estn formados por 360 das, el mltiplo de 20 ms cercano a 365. Por lo que el punto en el tercer nivel vale 360 nicamente en el cmputo de fechas y 400 en los dems casos.6 Los mayas vinculaban los nmeros del primer orden con los das (kines, en maya k'ino'ob), los del segundo orden con los meses (uinales, en maya uinalo'ob) y los del tercer orden con los aos (tunes, en maya tuno'ob). En el primer nmero, el valor 2 20

de la raya del tercer orden es 1800 (5360), el valor del 9 del segundo orden es 180 (920) y el valor del 8 del primer orden es 8 (81); por lo tanto, el nmero es 1.988. El sistema de numeracin maya tiene 4 niveles, que se utilizaban para escribir grandes cantidades. [editar] Cero Artculo principal: Cero.

Smbolo maya para el cero, ao 36 a. C. Es el primer uso documentado del cero en merica. La civilizacin maya fue la primera de Amrica en idear el cero. Este era necesario para su numeracin porque los mayas tenan un sistema posicional, es decir, un sistema de numeracin en el que cada smbolo tiene un valor diferente segn la posicin que ocupa. El smbolo del cero es representado por un caracol (concha o semilla), una media cruz de Malta, una mano bajo una espiral o una cara cubierta por una mano.7 Por ejemplo, para saber qu nmero es ste hay que obtener el valor de los smbolos. El cero indica que no hay unidades. Los dos puntos del segundo orden representan 2 grupos de 20 unidades; o sea, 40. El nmero del tercer orden es un 8, pero su valor real se obtiene al multiplicarlo por 360. Por lo tanto, el nmero es 2880+40+0= 2920. Es ms fcil leer un nmero cuando se representa con puntos, rayas y conchas, porque es una representacin sencilla que no deja lugar a dudas del valor de cada smbolo, de acuerdo con la posicin en la que se escribe. En las representaciones antropomorfas, es ms complejo entender el nmero escrito. Sistema Numrico Azteca El sistema Azteca es muy parecido al egipcio, las dos comparten la operacin aditiva; adems es muy parecido tambin al sistema Maya pero con reglas muy diferentes. Los Aztecas o Mexicas llegaron a la parte central de lo que hoy conocemos como Mxico. En 1325 fundaron la Ciudad de Tenochtitlan dentro del reino de Atzcapotzalco. La historia de la cultura Azteca muestra a un pueblo guerrero, pero eran ms que ello, por lo tanto entre otras muchas aportaciones, desarrollaron un sistema vigesimal. Y Cmo funciona? Estos son los smbolos bsicos de su sistema.

Los smbolos son un poco rebuscados pero tienen un por qu, una razn muy importante, agreg el principio partitivo que consiste en usar parte de un smbolo para expresar un

nmero de menor valor. Aqu se muestra. Aqu ms ejemplos de cmo se utiliza el sistema:

En los ejemplos podemos ver cmo al unir dos smbolos, representan un nmero que conocemos. Adems en el valor 100 lo pudimos haber sustituido por el trigo con slo tres ramitas como antes lo vimos. Es uno de los sistemas ms laboriosos pero que nos permite dividir el valor de un mismo smbolo para obtener otro que nos permita simplificar su valor. Nos encontramos con que tampoco representaban al cero.

LOS SISTEMAS DE NUMERACION A LO LARGO DE LA HISTORIA

En esta pgina encontrar informacin acerca de las distintas clases de sistemas de numeracin que distintas culturas han usado a lo largo de la Historia

Introduccin. El Concepto de Base Sistemas de Numeracion Aditivos o Egipcio o Griego Sistemas de Numeracion Hibridos o Chino Sistemas de Numeracion Posicionales o Babilnico o Maya

Introduccin. El Concepto de Base

Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guigarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un nmero al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representacin ms prctico. En diferentes partes del mundo y en distintas pocas se lleg a la misma solucin, cuando se alcanza un determinado nmero se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este nmero es la base. Se sigue aadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el nmero anterior y se aade otra marca de la segunda clase . Cuando se alcanza un nmero determinado (que puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se aade una de tercer orden y as sucesivamente. La base que ms se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10 segn todas las apariencias por ser ese el nmero de dedos con los que contamos. Hay alguna excepcin notable como son las numeracin babilnica que usaba 10 y 60 como bases y la numeracin maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad. Desde hace 5000 aos la gran mayora de las civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos hacindolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los nmeros ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance cientfico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el clculo. Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los nmeros enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos nmeros con otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad de simbolos que los hace poco prcticos. Pero sobre todo no permiten en general efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicacin, requiriendo procedimientos muy complicados que slo estaban al alcance de unos pocos iniciados. De hecho cuando se empez a utilizar en Europa el sistema de numeracin actual, los abaquistas, los profesionales del clculo se opusieron con las ms peregrinas razones, entre ellas la de que siendo el clculo algo complicado en s mismo, tendra que ser un metodo diablico aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla. El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los rabes;. Del origen indio del sistema hay pruebas documentales ms que suficientes, entre ellas la opinin de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los indroductores del nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran mrito fue la introduccin del concepto y smbolo del cero, lo que permite un sistema en el que slo diez simbolos puedan representar cualquier nmero por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones.

Sistemas de Numeracion Aditivos Para ver cmo es la forma de representacin aditiva consideremos el sistema geroglfico egipcio. Por cada unidad se escribe un trazo vertical, por cada decena un smbolo en forma de arco y por cada centena, millar, decena y centena de millar y milln un geroglfico especfico. As para escribir 754 usaban 7 geroglficos de centenas 5 de decenas y 4 trazos. De alguna forma todas las unidades estn fisicamente presentes. Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los simbolos de todas las unidades, decenas... como sean necesarios hasta completar el nmero. Una de sus caractersticas es por tanto que se pueden poner los smbolos en cualquier orden, aunque en general se ha preferido una determinada disposicin. Han sido de este tipo las numeraciones egipcia, sumeria (de base 60), hitita, cretense, azteca (de base 20), romana y las alfabticas de los griegos, armenios, judios y rabes.

El Sistema de Numeracin Egipcio Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema deescribir los nmeros en base diez utilizando los geroglficos de la figura para representar los distintos ordenes de unidades.

Se usaban tantos de cada uno cmo fuera necesario y se podian escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revs o de arriba abajo, cambiando la orientacin de las figuras segn el caso. Al ser indiferente el orden se escriban a veces segn criterios estticos, y solan ir acompaados de los geroglficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas etc.) cuyo nmero indicaban. En la figura aparece el 276 tal y como figura en una estela en Karnak. Estos signos fueron utilizados hasta la incorporacin de Egipto al imperio romano. Pero su uso qued reservado a las inscripciones monumentales, en el uso diario fue sustituido por la escritura hiertica y demtica, formas ms simples que permitian mayor rapidez y comodidad a los escribas

En estos sistemas de escritura los grupos de signos adquirieron una forma propia, y asi se introdujeron smbolos particulares para 20, 30....90....200, 300.....900, 2000, 3000...... con lo que disminuye el nmero de signos necesarios para escribir una cifra.

El Sistema de Numeracin Griego El primer sitema de numeracin griego se desarroll hacia el 600 A.C. Era un sistema de base decimal que usaba los smbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario segn el principio de las numeraciones aditivas.

Para representar la unidad y los nmeros hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofnico.

Los smbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen aadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principio multiplicativo. Progresivamente este sistema tico fue reemplazado por el jnico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros smbolos segn la tabla siguiente

De esta forma los nmeros parecen palabras, ya que estn compuestos por letras, y a su vez las palabras tienen un valor numrico, basta sumar las cifras que corresponden a las letras que las componen. Esta circunstancia hizo aparecer una nueva suerte de disciplina mgica que estudiaba la relacin entre los nmeros y las palabras. En algunas sociedades como la juda y la rabe, que utilizaban un sistema similar, el estudio de esta relacin ha tenido una gran importancia y ha constituido una disciplina aparte: la kbala, que persigue fines msticos y adivinatorios.

Sistemas de Numeracion Hbridos En estos sistemas se combina el principio aditivo con el multiplicativo. Si para representar 500 los sistemas aditivos recurren a cinco representaciones de 100, los hbridos utilizan la combinacin del 5 y el 100. Pero siguen acumulando estas combinaciones de signos para los nmeros ms complejos. Por lo tanto sigue siendo innecesario un smbolo para el 0. Para representar el 703 se usa la combinacion del 7 y el 100 seguida del 3. El orden en la escritura de las cifras es ahora fundamental para evitar confusiones, se dan as los pasos para llegar al sistema posicional, ya que si los signos del 10, 100 etc se repiten siempre en los mismos lugares, pronto alguien piensa en suprimirlos, dndolos por supuestos y se escriben slo las cifras correspondientes a las decenas, centenas etc. .Pero para ello es necesario un cero, algo que indique que algn orden de magnitud est vaco y no se confundan el 307 con 370, 3070 ... Adems del chino clsico han sido sistemas de este tipo el asirio, arameo, etope y algunos del subcontinente indio cmo el tamil, el malayalam y el cingals.

El Sistema de Numeracin Chino La forma clsica de escritura de los nmeros en China se empez a usar desde el 1500 A.C. aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades y los distintas potencias de 10. Utiliza los ideogramas de la figura

y usa la combinacin de los nmeros hasta el diez con la decena, centena, millar y decena de millar para segn el principio

multiplicativo representar 50, 700 3000. El orden de escritura se hace fundamental,ya que 5 10 7 igual podra representar 57 que 75.

Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque tambin se hace de izquierda a derecha como en el ejemplo de la figura. No es necesario un smbolo para el cero siempre y cuando se pongan todos los ideogramas, pero an as a veces se

supriman los correspondientes a las potencias de 10. Aparte de esta forma que podramos llamar cannica se usaron otras. Para los documento importantes se usaba una grafa ms complicada con objeto de evitar falsificaciones y errores. En los sellos se escriba de forma ms estilizada y lineal y an se usaban hasta dos grafas diferentes en usos domsticos y comerciales, aparte de las variantes regionales. Los eruditos chinos por su parte desarrollaron un sistema posicional muy parecido al actual que desde que incorpor el cero por influencia india en s. VIII en nada se diferencia de este.

Sistemas de Numeracin Posicionales

Mucho ms efectivos que los sitemas anteriores son los posicionales. En ellos la posicin de una cifra nos dice si son decenas, centenas ... o en general la potencia de la base correspondiente. Slo tres culturas adems de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo. Babilonios, chinos y mayas en distintas pocas llegaron al mismo principio. La ausencia del cero impidi a los chinos un desarrollo completo hasta la intraduccin del mismo. Los sistemas babilnico y maya no eran prcticos para operar porque no disponan de simbolos particulares para los dgitos, usando para representarlos una acumulacin del signo de la unidad y la decena. El hecho que sus bases fuese 60 y 20 respectivamente no hubiese representado en principio nign obstculo. Los mayas por su parte cometan una irregularidad a partir de las unidades de tercer orden, ya que detrs de las veintenas no usaban 20x20=400 sino 20x18=360 para adecuar los nmeros al calendario, una de sus mayores preocupaciones culturales. Fueron los indios antes del siglo VII los que idearon el sistema tal y como hoy lo conocemos, sin mas que un cambio en la forma en la que escribimos los nueve dgitos y el cero. Aunque con frecuencia nos referimos a nuestro sistema de numeracin cmo rabe, las pruebas arqueolgicas y documentales demuestran el uso del cero tanto en posiciones intermedias como finales en la India desde el sss. Los rabes transmitieron esta forma de representar los nmeros y sobre todo el cculo asociado a ellas, aunque tardaron siglos en ser usadas y aceptadas. Una vez ms se produjo una gran resistencia a algo por el mero hecho de ser nuevo o ajeno, aunque sus ventajas eran evidentes. Sin esta forma eficaz de numerar y efectuar clculos dificilmente la ciencia hubiese podido avanzar. El Sistema de Numeracin Babilnico Entre la muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia se desarrollaron distintos sistemas de numeracin. En el ssss A.C. se invent un sistema de base 10, aditivo hasta el 60 y posicional para nmeros superiores.

Para la unidad se usaba la marca vertical que se haca con el punzn en forma de cua. Se ponan tantos como fuera preciso hasta llegar a 10, que tena su propio signo.

De este se usaban los que fuera necesario completando con las unidades hasta llegar a 60.

A partir de ah se usaba un sistema posicional en el que los grupos de signos iban representando sucesivamente el nmero de unidades, 60, 60x60, 60x60x60 y asi sucesivamente como en los ejemplos que se acompaan.

El Sistema de Numeracin Maya Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cmo base auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servan para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que seaadan los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se contina hasta el 20, con cuatro rayas.

Hasta aqu parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados cada uno un solo signo, estos smbolos constituyen las cfras de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... segn el lugar que ocupe, y sumar el resultado. Es por tanto un sistema posicional que se escribe a arriba abajo, empezando por el orden de magnitud mayor.

Al tener cada cifra un valor relativo segn el lugar que ocupa, la presencia de un signo para el cero, con el que indicar la ausencia de unidades de algn orden, se hace imprescindible y los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto de cantidad nula. Cmo los babilonios lo usaron simplemente para indicar la ausencia de otro nmero. Pero los cientficos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la observacin astronmica y para expresar los nmero correspondientes a las fechas usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la base 20. As la cifra que ocupaba el tercer lugar desde abajo se multiplicaba por 20x18=360 para completar una cifra muy prxima a la duracin de un ao.

El ao lo consideraban dividido en 18 uinal que constaba cada uno de 20 das. Se aadan algunos festivos (uayeb) y de esta forma se consegua que durara justo lo que una de las unidades de tercer orden del sistema numrico. Adems de ste calendario solar, usaron otro de carater religioso en el que el ao se divide en 20 ciclos de 13 das. Al romperse la unidad del sistema ste se hace poco prctico para el clculo y aunque los conocimiento astronmicos y de otro tipo fueron notables los mayas no desarrollaron una matemtica ms all del calendario. EL TIWANACU Y LA DISTRIBUCION DE LOS NUMEROS PRIMOS 29/10/2005 12:39:00 AM

Estimado Marco Hostos: REVISTA ENIGMAS PERU Le envo un resumen de lo que significa el trabajo de Javier Amaru Ruiz Garcia, en su libro titulado LA SOLUCION F6 PARA LA DISTRIBUCION DE LOS NUMEROS PRIMOS y el cual esta extractado del mismo libro, Parte II. La parte I, es un resumen de lo que significa el trabajo de Riemann y su Mtodo de Continuacin Analtica, para el anlisis de series infinitas, el mtodo de Javier Amaru es el anlisis tetralctico, lgica proveniente de los estudios del Ingeniero Jorge Emilio Molina en los smbolos grabados en la Puerta del Sol. El mtodo Tetralctico es una dialctica multidimensional, cntrica y constructora de teoras. Es la lgica netamente pre-hispnica y la aun en nuestros tiempos rige el pensamiento de los Quechuas, Aymaras y en general de todos los nativos originarios de Amrica. El siguiente es el resumen del trabajo matemtico de Javier Amaru: Hemos empezado esta investigacin numrica desde 1991, a partir del estudio, de los tratados sobre la lgica Tetralctica, propuesta por el Ingeniero boliviano Jorge Emilio Molina Nos motiv la inquietud por saber y comprobar, s realmente los antiguos tiwanacotas, tuvieron sistemas numricos, sistemas operativos, y matemticas en general. Por ese motivo coincidimos con varios investigadores latinoamericanos como son: J. Molina en lgica, C. Milla Villena en arquitectura, J. Miranda Luizaga Filosofa J. Arguelles en estudios Mayas y otros, por sus aportes en ste tema. La fuente principal para sta investigacin, fue la lgica Tetralctica, por ser una lgica constructora de teoras y por su poder sistematizador. La cual nos proporcion todas las herramientas necesarias para remontarnos al pasado andino y reconstruir a partir de esa lgica, una aproximacin del pensamiento matemtico de los antiguos Amatas tiwanacotas. Foto 1 Friso superior de la Puerta del Sol en Tiwanaku

Lectura de los cdigos lgicos y matemticos, en la Puerta del Sol

Rostro del Personaje Central de la Puerta del Sol

Detalle de las aureolas del Personaje Central

Esta es la periferia del rostro del personaje central de la Puerta del Sol en Tiwanaku. El cual esta rodeado de dos aureolas, a las cuales las hemos llamado funciones duales por tener valores, tanto numricos como geomtricos (definicin de una funcin: y = f(x)) porque a cada valor de la variable x, le corresponden valores geomtricos de la variable y.) El valor numrico de 18 para cada variable x de la funcin dual, proviene de los 18 ganchos rotando en una direccin y otros 18 rotando en sentido contrario (ver Figura ). Su valor geomtrico es de cuadrado + tringulo + rectngulo. Con un valor total, sumado de 36. Las funciones Z, y Z invertida, conforman una dualidad que al ser unificadas, tienen un valor total de 36. Para la variable y le corresponden los tres valores geomtricos. Siendo sta una particularidad de la simbologa tiwanacota, cuyos artesanos labradores (Amautas, Ingenieros, artistas, etc.) conjuncionron en su iconografa, smbolos matemticos, zoomorfos, humanos y formas geomtricas, demostrando con esto, poseer un refinado gusto. Lo mismo que para sus nmeros y los cuales tiene propiedades tanto numricas, geomtricas, como rituales y sacras. 3. DESARROLLO NUMERICO DE LOS CODIGOS PRINCIPALES DE LA TETRALECTICA El cuadrado Mgico de Tiwanaku

3.1 En este acpite, realizamos el llenado numrico de los espacios vacos del cuadrado geomtrico de los ocho espacios llenados secuencialmente con 8 nmeros a partir del 1 y acomodados en contra del sentido del reloj, esto para de alguna manera seguir la tradicin andina (sin embargo esta rotacin puede ser en cualquier sentido, por ser una rotacin simtrica dentro del cuadrado, el cual permite rotaciones en 360 grados). La suma entre las parejas numricas, nos da los siguientes resultados 2 pares reales (4+5) + (3+6) = 18 = (2+7) + (1+8) 2 pares reales 2 pares virtuales (9+0) + (9+0) = 18 = (0+9) + (0+9) 2 pares virtuales Decimos pares reales por ser los anotados, al interior del cuadrado. Los pares virtuales, son los calculados, resultantes de la suma y resta. La suma total de los pares reales nos da 36 y la suma de los virtuales tambin es 36. Este sistema est dividido en parejas, porque la dualidad es una propiedad de las dos aureolas, (aureola inferior y aureola superior) y por ser este sistema, su extensin, tambin esta dividido en dos cuadrantes, el inferior y el superior (y por simetra, dividido en izquierdo y derecho). El resultado de la suma, entre cada una de las cuatro parejas es igual a 9. Por lo tanto y mediante aplicacin de la lgica, el 9 virtual automticamente tiene como pareja el 0. (9+0=9). El 9 es perifrico y el 0 es central (ambos nmeros comparten la propiedad de ser multiplicativos al infinito, es decir que cuando se los multiplica, por cualquier n entero, la suma digital del resultado da siempre 0 o 9) Por eso decimos que la pareja virtual de 0 y 9, son circulares. Los nmeros en la parte inferior del cuadrado mgico, son el resultado de la resta entre los pares reales, estos son: 1, 3, 5, 7 los cuales son acomodados a su vez en dos parejas cuyo valor sumado es de 8, (7+1) + (5+3) = 16. Siendo sta, nuestra primera conexin con los nmeros primos, adems que son el resultado de una lectura iconogrfica. Los smbolos numricos tiwanacotas

Estas figuras y mediante un desarrollo geomtrico, son extractadas del cuadrado mgico, los cuales resultan ser los smbolos numricos tiwanacotas (descubierto por J. Miranda Luizaga). Su rotacin en espejo, nos da el segundo grupo. Por tanto; este sistema numrico, es tambin un sistema dual, (es una dualidad quinaria).

Resolucin del numero Pi mediante el Cuadrado Mgico de Tiwanaku Modo operacional 2.

Esta vez dividimos las medianas de forma diagonal y debido a las leyes de simetra, siempre con su reflejo o par conjugado, los resultados son: (1+8+7+6 = 22) / (2+3+4+5 = 14) = 1,571428 una aproximacin a Pi/2. Sabemos que la propiedad dual de este sistema, se inicia desde las aureolas, y vimos que esta conformada por figuras geomtricas, mitad reales y mitad virtuales, esa informacin se mapea al rectngulo superior o plano rectangular recipiente del valor, el cual esta conformado por: 4 nmeros, 2 cuadrados y cuatro tringulos. El desarrollo de los tringulos nos da el siguiente resultado: Resolucin del Tetraedro mediante el Cuadrado Mgico de Tiwanaku

En este caso, la primera dimensin es la parte superior del cuadrado, la segunda dimensin son los 4 tringulos separados en forma de cruz y la tercera dimensin es la unin de los tringulos, los cuales forman una figura geomtrica, tridimensional, esta figura es el tetraedro y el cual tambin esta circunscrito en este sistema con la serie tetradrica. Concepcin artstica, de la serie tetradrica circunscrita en el cuadrado, realizada por el artista boliviano Miguel Salazar.

Se lo llama el hipertetradro, por ser un sistema tridimensional, con un llenado de esferas (nmeros) Resolucin del Plano Tetralctico mediante el Cuadrado Mgico de Tiwanaku El desarrollo geomtrico del cuadrado mgico, da como resultado el Plano Tetralctico

Los cuatro nueves virtuales que se calculan en el cuadrado mgico, se convierten en las cuatro matrices de 3x3 de arriba. Es una conversin de nmero a geometra. Como siguiente paso, se ha realizado un llenado numrico a cada una de las matrices. Lo cual se lo realiza de izquierda a derecha, consecutivamente comenzando del 1 y terminando en el 36. Una vez realizado el llenado numrico, de ms uno, obtenemos el resultado de Figura 6. Al haberse unificado las cuatro matrices de 3x3, con la cruz central. Su resultado es un sistema dual compuesto, exactamente como los sistemas cuadrado mgico y de las aureolas.

Una vez llenado el sistema, obtenemos el plano Tetralctico. El cual a su vez, tiene todas las propiedades de las aureolas y el cuadrado mgico, debido a que ste plano es una extensin de ambos sistemas. En ste sistema, est circunscrita, la serie de nmeros naturales N, pero de forma particular, es decir sub-dividida en 6 series. Mediante operaciones lgicas de desdoble, la serie N circunscrita en sistema, se la puede extender al infinito. Al extenderla en sentido contrario (de abajo hacia arriba) su polaridad cambia (de ms a menos) y se obtienen todos los nmeros negativos del conjunto Z, siendo el cero la lnea superior o centro de ambos conjuntos numricos, la positiva N y la negativa Z.

6. LA SOLUCION F6 PARA LA DISTRIBUCION DE LOS NUMEROS PRIMOS MEDIANTE LA PIRAMIDE PRIMA F6

Empezamos el desarrollo de La serie F6 e a partir del argumento enviado desde el plano tetralctico. Es decir que la informacin se desarrolla del centro a la periferia, de manera lateral. 7.4 La figura 8 a continuacin, es el plano tetralctico como base de una pirmide, lo cual es la representacin grfica del estiramiento tridimensional, a partir del centro de las lneas diagonales del PT. Este proceso, es el que convierte a los campos AP y EP (AC y EC) en una forma geomtrica piramidal de base cuadrangular de 7x7. Siendo un simple salto dimensional de 2d a 3d, (Hiperdimensionalizacin) pero de una manera particular, ya que el estiramiento, solamente eleva de dimensin a las series A y E, las cuales a su vez se sub-dividen en dos campos AP y EP y dos anillos AC y EC. Este estiramiento dimensional de 2d a 3d, convierte automticamente, a las series A y E en campos numricos, por estar geometrizados en la 3ra dimensin.

A continuacin vemos el desarrollo lgico de la estructura numrica piramidal estirada desde el plano tetralctico, lateralmente de 2d a 3d.

Este es el desarrollo del proceso de estiramiento del sistema geomtrico-numeral, donde los campos AP y EP, van incrementando progresivamente a partir del uno o eje central (en el vrtice central de la pirmide) y el campo A se va alejando en tamao numrico con respecto al eje central, hacia la derecha de la pirmide o vrtice derecho y el campo E se distancia con respecto al centro hacia la izquierda o vrtice izquierdo. El vrtice o pice central de esta pirmide de base cuadrangular (plano tetralctico), es la Funcin

Contadora F6, la cual cuenta los primos que se van generando en campos A y E, a partir del uno, y en secuencias de mas dos, ya que los primos se van generando de a uno por lado, es decir uno en A y al mismo tiempo uno en E. La forma piramidal, nace del estiramiento de las diagonales centrales del plano tetralctico y lo cual est demostrado numricamente con el crecimiento de los campos en las aristas de la pirmide, los cuales van incrementando con respecto al eje central. La Pirmide de nmeros primos

Nota: Todo lo anterior es una explicacin geomtrica, de cmo esta organizada la serie infinita de los nmeros primos para motivos de explicar a lectores no especializados en matemticas, lo que significa que es una descripcin de la formulacin y la lgica matemtica fundamentadas en el libro. Numeracin Inca: El Quipu Los Incas desarrollaron una manera de registrar cantidades y representar nmeros mediante un sistema de numeracin decimal posicional: un conjunto de cuerdas con nudos que denominaba quipus ("khipu" en quechua: nudo). La primera informacin que se dispone se debe a la obra que escribiera Felipe Guaman Poma de Ayala al rey de Espaa, en la "Nueva crnica y buen gobierno", con varios dibujos de quipus. Un quipu consiste en un conjunto de cuerdas, con una disposicin particular, en las que se hacen una serie de nudos. Se empleaban distintos tipos de cuerda, cada una tena al menos dos hebras:

Cuerda principal: La ms gruesa, de la que parten directa o indirectamente todas las dems. Cuerdas colgantes: Las que penden de la principal hacia abajo. Cuerdas superiores: Las que se enlazan a la principal, dirigidas hacia arriba. Una de sus utilidades era la de agrupar cuerdas colgantes. Otra, usada con frecuencia, era representar la suma de los nmeros expresados en las cuerdas colgantes. Cuerda colgante final: Su extremo en forma de lazo, est unido y apretado al extremo de la cuerda principal. Esta cuerda no aparece en todos los quipus. Cuerdas secundarias o auxiliares: Se unen a otra que esta enlazada a la principal. Se les poda a su vez unir otra cuerda auxiliar. Se ataba a la mi itad de la cuerda de la que preceda.

Los quipus tenan un mnimo de tres cuerdas, el mximo poda llegar a 2.000. Un aspecto importante a considerar era el color de las cuerdas. El color era el cdigo primario que se utilizaba para identificar lo que representaba el nmero almacenado en dicha cuerda. As utilizaban el blanco, para la plata, el amarillo para el oro, el rojo para los soldados. "Quipu Liso". Que no tiene nudos A excepcin de la cuerda principal, en cada una de las cuerdas se representaba un nmero mediante grupos de nudos y empleando un sistema de numeracin posicional.

Cada grupo de nudos corresponda a una potencia de diez y las diferentes posiciones de estos grupos indicaban a que potencia de diez corresponda dicha posicin. En cada cuerda se representaban los nmeros poniendo en lo ms alto la decena de millar, despus la unidad de millar, y as hasta llegar a la unidad en el extremo inferior de la cuerda. Cuando se lea el nmero representado en una cuerda colgante, haba que contar cuntos nudos haba que contar cuntos nudos haba en el grupo ms cercano a la cuerda principal, ese nos dara el valor del primer dgito de mayor valor del nmero. al pasar a un nuevo grupo de nudos en esa misma cuerda, iramos bajando al dgito del orden inmediatamente inferior, hasta llegar al extremo, donde se encuentran las unidades. Para distinguir al grupo de nudos correspondientes a las unidades de los dems grupos, se empleaban tres tipos (dos de ellos para las unidades):

Nudo largo con cuatro vueltas: Indicaba que el grupo de nudos corresponda al orden de las unidades y se empleaba cuando el dgito de este orden era superior a uno, En ese caso se ponan tantos nudos como indicase el dgito. Nudo flamenco o en forma de ocho: Indicaba tambin la posicin de las unidades, el dgito deba ser "1". Por lo tanto en las unidades solo apareca un nudo de este tipo. Nudo corto o sencillo: Se empleaba en las restantes posiciones, tantos como correspondiese al dgito a representar.

Para representar el "cero" en alguna posicin, no se colocaba ningn nudo. Para que la ausencia de nudos no confundiera, era dundamental que el espacio situado entre los grupos de nudos fuese aproximadamente siempre el mismo. En la figura de la izquierda, un esquema de un quipu de 3 cuerdas colgantes, una superior y una auxiliar. En las cuerdas colgantes, se representan nmeros de tres cifras, en la tercera, la decena es cero, de ella adems pende una cuerda auxiliar. Se representan nmeros que permiten ver el uso de los tres tipos de nudos empleados. Los quipucamayu "guardianes de los nudos", tenan la labor de llevar la actualizacin y almacenamiento de los registros. Cada ciudad tena si propio quipucamayu, de acuerdo a su importancia, poda llegar a tener treinta. No

obstante su uso estaba ampliamente difundido y cualquier funcionario Inca poda interpretarlo. Sistema equivalente a la escritura? Nuevas teoras sostienen que los quipus, seran un sistema de escritura. Segn un estudio reciente que publica Science, Gary Urton y Carrie Brezine, de la Universidad de Harvard, estudiando los 21 quipus encontrados en Puruchuco; han concluido que, los incas llevaban el control administrativo de la produccin y la ocupacin de cada trabajador. El artculo publicado en Science establece tres niveles de autoridades administrativas y siete categoras que se usaban para representar la cantidad de trabajadores y los impuestos que producan. Los nudos ms bajos habran sido hechos por el nivel ms bajo de la jerarqua administrativa, los oficiales locales. stos enviaran los quipu a ramas jerrquicas ms altas, que daran cuenta de las producciones, nmero de trabajadores y sus actividades. Los quipu podran contener informacin relevante en cuanto a proyectos de trabajos y futuros planes de recaudacin de impuestos. En este sentido, podran haber funcionado como "documentos" de la burocracia del imperio. Los investigadores sostienen que un tro de nudos flamencos (como nuestro nmero ocho), identificara a los quipus como provenientes de la ciudad de Puruchuco, identificar el nombre de un lugar entre los nudos, podra ser un primer paso para interpretar el resto. Son tambin contemporneos los estudios de William Burns Glynn, en su obra "Decodificacin de Quipus" elabora la teora que los quipus no eran solamente registros contables, tenan contenido literario.

Propiedades medicinales del eucalipto El eucalipto se emplea contra la tos, bronquitis y el asma. En forma de t inhibe la formacin de mucos en los bronquios, el aceite esencial desinfecta los pulmones y vuelve lquido al mucos denso.

MODO DE PREPARAR EL T DE EUCALIPTO Se vierte 1/4 de litro de agua hirviendo sobre 3 cucharaditas de hojas de eucalipto, se deja reposar por espacio de 15 minutos, se cuela y a sorbos se bebe distribuyndolo a lo largo del da. MODO DE PREPARAR UNA INFUSIN CONTRA LA TOS, LA BRONQUITIS Y EL ASMA Se mezclan a partes igualeshojas de frfara, de eucalipto y de tomillo; se aaden 2 cucharaditas de la mezcla a 1/4 de litro de agua. La preparacin es la misma que la del t. MODE DE PREPARAR JARABE DE EUCALIPTO Preparar una infusin vertiendo medio litro de agua hirviendo sobre 50 g de hojas cortadas. Tapar bien y dejar reposar durante 2 horas. Colar y agregar 850 g de azcar disolviendola con la ayuda del calor. Filtrar y agregar agua en cantidad necesaria para completar un litro. Para combatir la tos tomar 1 cucharadita del jarabe tres veces al da. Para combatir el resfriado hacer inhalaciones de eucalipto de 2 a 3 veces por da. INHALACIONES Colocar un puado de hojas en una olla de agua hirviendo. Retirar del fuego. Cubrir la cabeza con una toalla que tape completamente la olla y respirar el vapor teniendo cuidado de no quemarse. Para el reumatismo dar masajes una vez al da con tintura de eucalipto y para las digestiones lentas y difciles tomar 10 gotas de tintura disueltas en un vaso con agua 2 veces al da. TINTURA DE EUCALIPTO A un litro de lacohol al 70% agregar 200 g de eucalipto seco, tapar y agitar. Dejar macerar durante 7 das agitando diariamente. Se filtra y se envasa en un frasco oscuro. Precauciones En exceso puede causar gastroenteritis, dificultades respiratorias, convulsiones y graves intoxicaciones, por lo que se sugiere administar la dosis indicada