EstalmatMadrid25defebrerode2017AngélicaBenitoyAnaGranados

ElTeoremadeFuturamaI:PermutacionesPermutaciones.¿Quéesunapermutación?Unapermutaciónesunareordenacióndenobjetos,quepodemosconsiderarcomounareordenacióndelosnúmeros{1,…,n}.1.¿Conocesalgúnejemplodepermutaciónquenoseadenúmeros?2.Dados4objetosdistintos,¿cuántasposiblespermutacioneshay?¿Ysitenemos7?¿Yparanobjetosdistintos?Notacióndepermutaciones:escribirlaspermutacionesdeformamatemática.Empecemosconunejemplo:tenemos4elementosdistintos(queescribiremoscomo1,2,3y4),yqueremosqueel1vayaal4,el3al1,el4al3,yqueel2sequedefijo,esdecir:

1à43à14à3

Loescribimoscomounamatrizdedosfilas:

¡¡Ventajas!!Esmuyfácildeentenderydevercómose“intercambian”losnúmeros.¡¡Inconvenientes!! Cada vez que queramos escribir una permutación tenemos queescribirdosvecescadanúmero…¡quépereza!

Pero…noharíafaltaescribirtanto,¡bastaríaconescribirlafiladeabajo!(4213)

Habríaunaformaaúnmássencillayútildeescribirlaspermutaciones:Lanotacióndeciclos:Elejemploanterior,escribiríamos

(143)Pero…¿¡Estoquéquieredecir?!Conestanotación,loquequeremosdeciresqueel1vaal4quevaal3quedevueltavaal1,formandounciclo.Estanotacióndeciclostieneunsignificadocompletamentedistintoaladeeliminarlafiladearribaquehemosmencionadoantes(yquenovamosavolverausar).3.¿¿Cualquierpermutacióndecuatroelementossepuedeescribircomounciclo??4.¿Cómopodemosresolveresteproblema?Fíjateenelejemploquehaspensado,¿quéharías?Ejercicio1:Escribeenformadematrizdedosfilaslassiguientespermutaciones(135)(2768)(14)(53)(29)Ejercicio2:¿cuálesdelassiguientespermutacionesde{1,2,…,8}soniguales?Escríbelascomomatricesdedosfilas

(135)(2768) (2768)(135) (7682)(135)(351)(6827) (8276)(513) (6827)(513)

Como habrás podido ver, haymuchas formas posibles de escribir una permutaciónusando la notación de ciclos. Vamos a fijar la siguiente forma de describir laspermutaciones:

1. Empieza por el elemento más pequeño. Si el elemento queda fijo, pasa alsiguientenúmero.Sinoquedafijo,comienzalapermutaciónconestenúmerocomolaprimeraentradadelcicloycomplétalo.

2. Unavezquehascompletadoelciclo,compruebasihayalgúnotroelementoquenoquedafijo,silohay,repiteelpaso1.

Enelejercicioanterior,¿cuálseríalaformadeescribirlapermutaciónsiguiendoesta“receta”?Combinandopermutaciones.Comohemosvisto,esinteresantesaberescribirunapermutación,pero…¿quépasasiqueremoscombinarvariasdeellas?¿Enquésituacionesdelavidarealseteocurrequepuedesencadenarsucesivas“reordenaciones”?¿Qué pasa si en {1, 2, 3} empezamos con la permutación (1 2) seguida de la (1 3)?Escríbelo, si sepuede,comounaúnicapermutaciónusando lanotacióndeciclos.Esdecir,

(12)(13)=

Calculaahora(13)(12)=¿Esconmutativalaoperacióndecombinarpermutaciones?

Ejercicio 3: Escribe como una única permutación las siguientes combinaciones depermutacionesde{1,2,3,4,5,6}:(1342)(3645)(1623)=(12)(23)(34)(45)=(135)(32)(54321)(413)(13)=Identidad.¿Existealgunapermutaciónquenohacenadaalcombinarlaconotras?(Comoel0enlasumaorestaoel1enelproductoodivisión).Inversas.Enlosnúmerosenteros,dadounnúmero,sepuedeencontrarsuopuesto,aunquenosiempresuinverso.Esdecir,podemosencontrarelinversorespectodelasuma,peronorespectodelamultiplicación.Sítenemosinversos(respectoasumayproducto)enlosnúmerosracionalesyenlosnúmerosmodularescuandotenemosunnúmeroprimo.Paralaspermutacionespasalomismorespectoalaoperacióncombinación.Ejercicio:Calcula lassiguientes inversasen{1,2,…,6}ycombínalasparaverquesoninversas:[(134)]-1

[(256)]-1[(134)(256)]-1[(12)(23)(34)(45)]-1

Algunascuriosidadesdelaspermutaciones.❍ Operacióncerrada:Comohabráspodidoobservar,cuandocombinábamosvarias

permutacionesde{1,2,…,n},obteníamossiempreunasimplepermutacióndelmismo {1, 2, …, n}. Esto pasa siempre, es decir, la combinación de dospermutacionesesunapermutación.¿Sabríasexplicarporqué?

❍ Asociatividad.Dadastrespermutacionesp1,p2yp3.Haydosmanerasposiblesdecombinarlaslastressiguiendoelordenenelquelashemosescrito:p1[p2p3]y[p1p2]p3Enlaprimeracombinamosprimerop2yp3ycombinamosp1conelresultadodelosotrosdos. En la segunda,primero combinamosp1 yp2, para combinar suresultadoconp3.¿Importa lamanera de agrupar las combinaciones de las permutaciones? Larespuesta es no y por eso decimos que combinar permutaciones es unaoperaciónasociativa.Ejercicio:Calcula(1345)(243)(163)delasdosposiblesformas.

❍ LaoperacióncombinarNOesconmutativa,esdecir,esmuyimportanteelordenenelqueleamoslascombinacionesdelaspermutaciones.Ejercicio:Escribeunejemplo,distintodelquevimosantes,decombinacióndepermutacionesquenoseaconmutativo.Ejercicio:apesardelafaltadeconmutatividad,síquehaycasosenlosquelacombinación de permutaciones conmuta. Escribe un ejemplo en el que estopasa. ¿Sabrías describir algún caso general en el que la combinación depermutacionesdeesetiposiempreconmute?

❍ Transposición.Unatrasposiciónesunapermutaciónenlaquesólosereordenandoselementos.Porejemplo:(12)ó(57)ó(26).

- Toda permutación se puede escribir como combinación de transposiciones.Ejemplo:En{1,2,3,4,5}tenemoslapermutación(125).Estapermutaciónsepuede conseguir considerando primero la transposición (1 2) y después latransposición(15),esdecir(12)(15).Ejercicio:Calcula(12)(15)ycompruebaquees(125).Ejercicio:Escribe(1234)comoproductodetransposicionesen{1,2,3,4,5}.

ElTeoremadeFuturamaEl problema (y su solución) que vamos a ver ahora, aparece por primera vez en elepisodiodelaserieFuturamatitulado“ElprisionerodeBenda”(6x10).ElguionistadeestecapítulofueKenKeeler,undoctorenmatemáticaaplicadaporlaUniversidaddeHarvard. Keeler demostró este teoremapara la serie, por ello, recibió el premiodelGremiodeGuionistasdeAméricacomoelmejorguionoriginaldetelevisiónen2010.ElproblemadeFuturama:ElProfesorFarnsworthyAmydecidenprobarsuflamantemáquina“intercambiadoradecerebros”queacabandeinventar.

Cuandointentanvolverasucuerpooriginal,descubrenunerrorclaveeneldiseñodelamáquina:nopermitequeunmismopardecuerposentreenlamáquinamásdeunavez.Ejercicio:Escribeloqueacabadeocurrirenellenguajedelaspermutaciones.Ejercicio: ¿Pueden recuperar Amy y el Profesor su cuerpo original? ¿qué operaciónnecesitanhacerenlenguajematemático?

Pidiendo ayuda: El problema general que se plantea en el episodio es si existe unamanera (sin inventarotramáquina, locualnovenposible)de recuperar loscuerposoriginales.AmyyelProfesornopuedenvolveraentrarjuntosalamáquina,pero¿quépasasilepidenayudaaBender?¿puedenrecuperarlostressucuerpooriginal?Esdecir,sepuedecalcular(12)-1en{1,2,3}conlasrestriccionesdelamáquina.Pregunta:¿quéposiblespermutacioneshanpodidoocurrirdespuésdeentrarBender?Escríbelousandoellenguajedepermutacionesytransposiciones(ciclosdelongitud2).Pregunta:¿YsientraahoraLeela?¿podránrecuperarsucuerpooriginalloscuatro?Esdecir,en{1,2,3,4},existenlasinversasdelaspermutacionescalculadasarriba.Pregunta:Y sidespuésdelprimercambioentreAmyyelProfesorhubieranentradoLeelayBenderalavez,¿habríaunaformadequeloscuatrorecuperaransucuerpo?Esdecir,existe(12)-1en{1,2,3,4}conlasrestriccionesdelamáquina.

Juego:1) Entumesade5,cogedetiquetas,ponedlevuestronombreyunnúmero(distinto

cadauno)del1al5.2) Eligea3personasdetumesaquesonlosquevanapoderusarlamáquina.3) Siguiendolasreglasdelamáquina,entradvariasvecesenlamáquina.4) Escribelapermutaciónfinalqueoshaquedadodedosmaneras:

a. Comocombinacióndelastransposicionesquehabéisidohaciendo.b. Comounaúnicapermutaciónfinal.

5) ¿Quécuerpoycerebrotienecadauno?6) ¿Podéisvolverarecuperarvuestroscuerpossiahoratodoslosmiembrosdela

mesapodéisentraralamáquina?Elproblemageneral:CLIP.Lapreguntaqueseplanteaenelepisodioes:Si en lamáquina entran 4 omás personas, ¿existe unamanera para que cada unorecuperesucuerpooriginal?LarespuestaesSí,dehecho, larespuestaaestapreguntaesel llamadoTeoremadeFuturamaoTeoremadeKeeler.Teorema:Noimportacómoungrupodegentehaya intercambiadosusmentesysuscuerpos,siempreesposiblequecadapersonarecuperesucuerpousandocomomuchodospersonasextra.VamosaprobarelTeorema,perolovamosahacerporpasos…Empezamoscon4personas(Amy,elProfesor,BenderyLeela).Siguiendolasreglasdelamáquina,

1) ¿quépermutacionesen{1,2,3,4}decuerpos/mentessonposibles?2) ¿cuálesnosepuedendar?

Nosvamosapreocuparporelpeorcaso,lapermutaciónfinales(1234).ConlaayudadeAnayAngélica(quevamosanumerarlascomoxey),¿cómopuedesescribirlainversade(1234)en{1,2,3,4,x,y}?¿Ysialamáquinaentraran5personasylapermutaciónfinalfuera(12345)?Intentaencontrarlainversaen{1,2,3,4,5,x,y}.Juego:¿Quéseteocurreparan?

ImagendelapizarraconlademostracióndelTeoremaqueapareceenelepisodio“ElprisonerodeBenda”.Todosloscambiosdecuerposqueserealizanduranteelcapítulo: