“el teorema de la curva de jordan. -...

UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL“LISANDRO ALVARADO”

Decanato de Ciencias y TecnologíaLicenciatura en Ciencias Matemáticas

“El Teorema de la curva de Jordan. ”

Trabajo Especial de Grado presentado por

Br. Jesús Medina.

como requisito final

para obtener el título de Licenciado

en Ciencias Matemáticas

Área de Conocimiento: Análisis Complejo.

Tutor: M.Sc Miguel J. Vivas C.

Barquisimeto, Venezuela. Noviembre de 2010

A mis Padres y a Dellys

AGRADECIMIENTOS

Primeramente a Dios por darme la humildad, sencillez, perseverancia y sabiduría;

a mis padres y a Dellys por el apoyo incondicional y al Prof. Miguel Vivas por su

gran orientación. A todas las profesoras y profesores que estuvieron en la formación

de mi carrera y a nuestra gran casa UCLA por abrirme sus puertas y a sus beneficios

adquiridos durante toda la carrera.

i

RESUMEN

En este trabajo se presenta una demostración reciente (1998) y especialmente

simple (debida a [1]) del Teorema de la curva de Jordan (la cual establece que el

complemento en el plano de una curva de Jordan tiene exactamente dos componen-

tes conexas, una acotada y otra no acotada, donde cada una de ellas tienen a la curva

de Jordan como frontera). También se incluyen las demostraciones muy simples del

Teorema de extensión de Tietze y del Teorema del punto fijo de Brouwer.

En el capítulo I presentamos algunos resultados preliminares, entre estos está el Teo-

rema de extensión de Tietze que lo demostramos usando el Lema de Urysohn y el

Criterio de M-Weierstrass.

En el capítulo II se demuestra el Teorema del punto fijo de Brouwer. En dicha

demostración sólo involucra el concepto de homotopía en términos de relación de

equivalencias.

Finalmente en el capítulo III desarrollaremos tres Lemas claves (en el cual sus de-

mostraciones usamos los teoremas, ya antes mencionados) para la demostración del

Teorema de la curva de Jordan, el cual dicha demostración la descomponemos en

cinco pasos para facilitar su estudio.

ÍNDICE

Agradecimientos i

Resumen iii

Introducción 1

1. Preliminares. 3

1.1. Teorema de extensión de Tietze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Teorema del punto fijo de Brouwer. 23

2.1. Teorema del punto fijo de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3. El Teorema de la curva de Jordan. 31

3.1. Teorema Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Referencias 49

v

Índice de figuras

1. Curva de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1. Homeomorfismo entre [−1, 1]× [−1, 1] y D(0,1) . . . . . . . . . . . . . 17

1.2. Homeomorfismo entre ∂ ([−1, 1]× [−1, 1])[−1, 1] y ∂ ([a, b]× [c, d]) . . 19

3.1. Interpretación geométrica del Teorema del punto fijo de Brouwer. . . 32

3.2. La curva de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3. La curva de Jordan tras moverla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

vii

INTRODUCCIÓN

Una curva de Jordan J en el plano, es una curva homeomorfa al círculo unitario

y mediante la Figura 1 podemos observar que el complemento en el plano de una

curva de Jordan divide al plano en dos pedazos (una acotada y otra no acotada)

donde cada una tiene a la curva J como frontera. Este es el enunciado del Teorema

de la curva de Jordan.

Figura 1: Curva de Jordan.

Es un teorema evidente y difícil en topología. Evidente en el sentido de que su

enunciado es fácil de comprender y además se percibe como cierto lo que dice. Difícil

en el sentido de que su demostración es rigurosa. El Teorema de la curva de Jordan

es casi único en esas condiciones.

Dado el carácter excepcional del teorema, se va a presentar una demostración lo

más explícita y sencillamente posible, debido a que es uno de los teoremas más

importantes y usados de la Topología, Análisis, Geometría y en la matemática en

general.

También se presentarán todos los resultados previos de la misma, que se reducen

básicamente en tres: el Teorema de extensión de Tietze, la relación de homotopía y

el Teorema del punto fijo de Brouwer.

1

Capítulo 1

PRELIMINARES.

En esta sección, presentaremos algunos resultados preliminares que serán usados

en los siguientes capítulos.

Definición 1.1. Una topología sobre un conjunto X es una colección = de subcon-

juntos de X que satisface:

(i) ∅ y X ∈ =.

(ii) Si A1, A2, . . . , An ∈ =,n⋂k=1

Ak ∈ =.

(iii) Si Aλλ∈J , ⋃λ∈J

Aλ ∈ =.

A (X ,=) se le denomina espacio topológico, en ocasiones sólo se coloca X .

Los elementos de = se le denominan abiertos.

Notación 1.1. Si x0 ∈ C y r > 0 entonces,

D(x0,r) es el disco abierto o bola abierta con centro x0 y radio r, esto es,

D(x0,r) = x : |x0 − x| < r.

D(x0,r) es el disco cerrado o bola cerrada con centro x0 y radio r, es decir,

D(x0,r) = x : |x0 − x| ≤ r.

S1 es el círculo unitario, o sea el círculo con centro 0 y radio 1, esto es,

S1 = x : |x| = 1.

I = [0, 1].

3

4 CAPÍTULO 1. Preliminares.

Definición 1.2. Sea f : S1 −→ S1, se dice que es una aplicación antípoda si

f(x, y) = (−x,−y).

Ejemplo 1.1. Si f : S1 −→ S1, definida por f(cos θ, senθ) = (cos(θ+π), sen(θ+π)),

con θ ∈ [0, 2π], entonces f es una aplicación antípoda.

Demostración. En efecto,

f(cos θ, senθ) = (cos(θ + π), sen(θ + π)),∀θ ∈ [0, 2π]

= (cos θ cos π − senθsenπ, cos θsenπ + senθ cos π),∀θ ∈ [0, 2π]

= (− cos θ,−senθ),∀θ ∈ [0, 2π].

Por lo tanto f es una aplicación antípoda.

Definición 1.3. Sea S ⊂ R2 y x0 ∈ S,

Diremos que x0 es un punto interior de S si existe r > 0, tal que, D(x0,r) ⊂ S.

El interior de S es el conjunto que consiste de los puntos interiores de S y es

denotado por int(S), esto es,

int(S) = x ∈ S : x es punto interior de S.

S es un conjunto abierto si S = int(S).

Definición 1.4. Un punto x ∈ S ⊂ R2 es un punto frontera si para cada r > 0,

D(x,r) contiene al menos un punto de S y al menos un punto que no está en S, es

decir,

∀r > 0,D(x,r)

⋂S 6= ∅ ∧ D(x,r)

⋂(R2 \ S) 6= ∅.

La frontera de S es el conjunto que consiste de los puntos frontera de S, denotado

por ∂(S), esto es,

∂(S) = x ∈ S/ ∀r > 0,D(x,r)

⋂S 6= ∅ ∧ D(x,r)

⋂(R2 \ S) 6= ∅.

Definición 1.5. Sean (X ,=) y (Y ,=′) espacios topológicos. Una función f : X −→Y es continua, si ∀ V ∈ =′ entonces f−1(V) ∈ =. Esto es, f es una función continua

si y sólo si la imagen inversa de todo abierto (cerrado) en Y es un conjunto abierto

(cerrado) en X .

5

Teorema 1.1. (Lema del pegamento). Sean X y Y espacios topológicos y sean A

y B cerrados en X , tal que, X = A⋃B. Supongamos que f : A −→ Y y g : B −→ Y

funciones continuas, tales que, f(x) = g(x),∀x ∈ A⋂B. Entonces la función h :

X −→ Y, definida por:

h(x) =

f(x) si x ∈ A.g(x) si x ∈ B.

es continua.

Demostración. Sea F un subconjunto cerrado en Y , como f y g son continuas,

entonces, f−1(F ) y g−1(F ) son cerrados en A y B respectivamente. Como A y B son

cerrados en X , entonces f−1(F ) y g−1(F ) son cerrados en X .

Luego,

h−1(F ) = f−1(F )⋃g−1(F ) es un cerrado en X .

Así, h es continua.

Definición 1.6. Sea X un espacio topológico. Una separación de X es un par U ,Vde subconjuntos no vacíos, disjuntos y abiertos de X , tales que, U

⋃V = X .

Si no existe tal separación, diremos que X es conexo.

Teorema 1.2. La imagen mediante una función continua de un conjunto conexo es

un conjunto conexo.

Demostración. Sea f : X −→ Y , con X conexo. Supongamos por el absurdo que

f(X ) no es conexo, y sea U ,V una separación de f(X ).

Luego por ser f continua se tiene que C = f−1(U) y D = f−1(V), forman una

separación de X .(→←)

Definición 1.7. Se define una componente conexa como un subconjunto conexo

máximal, esto es, un subconjunto conexo que no está propiamente contenido en otro

subconjunto conexo.

Definición 1.8. Un espacio topológico X es localmente conexo, si para todo x ∈ X ,

y para cada vecindad Vx de x, existe un conjunto conexo y abierto Cx, tal que,

x ∈ Cx ⊂ Vx.


Definición 1.9. Sean X un espacio topológico, a, b ∈ R y x, y ∈ X . Un arco en Xde x a y es una función continua, f : [a, b] −→ X , tal que, f(a) = x y f(b) = y.

Un espacio topológico X es arcoconexo si para todo par de puntos x, y ∈ X , existe

un arco en X de x a y.

Definición 1.10. Un espacio topológico X es localmente arcoconexo, si para todo

x ∈ X , y para cada vecindad Vx de x, existe un conjunto arcoconexo y abierto Cx,tal que, x ∈ Cx ⊂ Vx.

Teorema 1.3. Si M es un espacio métrico localmente arcoconexo. Entonces M es

conexo si y sólo si es arcoconexo.

Demostración. Ver [6], pág. 105.

Definición 1.11. Sea X un espacio topológico y f : X −→ S1 una aplicación

continua, diremos que f tiene un logaritmo continuo, si existe una función continua

φ : X −→ R, tal que, f(x) = eφ(x),∀x ∈ X .

Definición 1.12. Dados dos puntos x, y ∈ R2, denotamos por xy al segmento de

recta que los une en R2, esto es,

xy = (1− α)x+ αy : α ∈ I

Definición 1.13. Sean (Rn, d) un espacio métrico, a ∈ Rn y A ⊂ Rn, A 6= ∅. Se

define la distancia del punto a al conjunto A mediante:

dist(a,A) = ınfd(a, x) : x ∈ A.

Definición 1.14. Sean (Rn, d) un espacio métrico, a ∈ Rn, A ⊂ Rn, A 6= ∅ y A es

acotado. El diámetro de A es definido como:

diam(A) = supd(x, y) : x, y ∈ A.

Definición 1.15. Sean (Rn, d) un espacio métrico, A,B ⊂ Rn, con A,B 6= ∅ y

ω ∈ Rn (fijo). Diremos que f : A −→ B es una homotecia si existe k ∈ R \ 0 y

cumpla que, ∀x ∈ A y ∀y ∈ B,

f(x) = y ⇔ d(ω, y) = kd(ω, x)

En tal caso, A y B son homotéticos.

7

Definición 1.16. Sean X y Y espacios topológicos y f : X −→ Y una función

biyectiva. Diremos que f es un homeomorfismo si f y f−1 son continuas. En este

caso, diremos que X y Y son homeomorfos.

Por la definición de función continua, una biyección f : X −→ Y es un homeomor-

fismo, si y sólo si,

U ⊂ X es abierto (cerrado) en X ⇔ f(U) es abierto (cerrado) en Y .

Definición 1.17. Se dice que un espacio topológico (X ,=) es normal si para todo

par de conjuntos cerrados disjuntos F y D en X ; existen abiertos disjuntos U, V ∈ =,

tal que, F ⊂ U y D ⊂ V .

Definición 1.18. Sea Aλλ∈L una familia de subconjuntos deRn y X ⊂ Rn diremos

que:

Aλλ∈L es un cubrimiento de X si,

X ⊂⋃λ∈L

Aλ.

Aλλ∈L es un cubrimiento abierto de X si Aλ es abierto en Rn, ∀λ ∈ L.

X es compacto, si todo cubrimiento abierto Aλλ∈L de X posee un subcubri-

miento finito, esto es; si existen λ1, λ2, . . . , λn ∈ L, tal que,

X ⊂n⋃i=1

Aλi.

Teorema 1.4. Sea S ⊂ C ⊂ Rn, si S es cerrado en Rn y C es compacto, entonces

S es compacto.

Demostración. Sea Aλλ∈L un cubrimiento abierto de S, hagamos A = Sc entonces

A es abierto, (ya que S es cerrado). Luego,

Rn = S⋃A

= (⋃λ∈L

Aλ)⋃A,

entonces,


C ⊂ (⋃λ∈L

Aλ)⋃A.

Así C tiene un cubrimiento abierto y como C es compacto, existen λ1, λ2, . . . , λn ∈ L,

tales que,

C ⊂ (n⋃i=1

Aλi)⋃A,

pero como S ⊂ C y S⋂A = ∅ entonces,

S ⊂n⋃i=1

Aλi.

Así S es compacto.

Teorema 1.5. C ⊂ Rn es compacto si y sólo si C es cerrado y acotado.


Definición 1.19. Sea f una función definida en un conjunto Ω ⊂ R, se dice que es

uniformemente continua sobre Ω,

∀ε > 0, ∃ δ(ε) > 0, tal que, x, y ∈ Ω, |x− y| < δ ⇒ |f(x)− f(y)| < ε.

Teorema 1.6. (Teorema de Bolzano-Weierstrass) Toda sucesión acotada en

Rn posee una subsucesión convergente.


Teorema 1.7. Sea f : X ⊂ R −→ R, si f es continua y X es compacto entonces f

es uniformemente continua.

Demostración. Supongamos por el absurdo que f no es uniformemente continua, es

decir;

∃ ε > 0, ∀δ(ε) > 0, tal que, ∃ xδ, yδ ∈ X , |xδ − yδ| < δ ∧ |f(xδ)− f(yδ)| ≥ ε.

En particular, ∀n ∈ N existen xn, yn ∈ X ,

|xn − yn| <1

n∧ |f(xn)− f(yn)| ≥ ε. (1.1)

9

Así obtenemos dos sucesiones (xn), (yn) en X , tales que,

xn − yn −→ 0 ∧ |f(xn)− f(yn)| ≥ ε.

Ahora (xn) es una sucesión en X el cual es acotado. Luego por el Teorema de

Bolzano-Weierstrass existe (xnk) subsucesión de (xn), tal que, xnk

−→ a ∈ R y

como X es cerrado, entonces a ∈ X . Ahora como f es continua en X entonces,

f(xnk) −→ f(a).

Por otro lado como yn también es una sucesión en X entonces existe una subsucesión

de yn, tal que,

xnk− ynk

−→ 0 ⇒ ynk−→ a,

⇒ f(ynk) −→ f(a), ( ya que f es continua).

Luego f(xnk)− f(ynk

) −→ f(a)− f(a) = 0, lo que contradice a (1.1).

Definición 1.20. Sea (fn) una sucesión de funciones reales definidas sobre un con-

junto S de R, diremos que,

(fn) converge puntualmente a la función f sobre S, denotado por fn −→ f

sobre S, es decir, ∀x ∈ S.

∀ε > 0,∃N = N(ε, x) ∈ N, tal que, n ≥ N ⇒ |fn(x)− f(x)| < ε.

(fn) converge uniformemente a la función f sobre S, denotado por fnu−→ f

sobre S, es decir,

∀ε > 0,∃N = N(ε) ∈ N, tal que, n ≥ N ⇒ |fn(x)− f(x)| < ε,∀x ∈ S.

(fn) es uniformemente de Cauchy sobre S, si cumple que,

∀ε > 0,∃N = N(ε) ∈ N, tal que, m, n ≥ N ⇒ |fn(x)− fm(x)| < ε,∀x ∈ S.

Definición 1.21. Diremos que la serie de funciones∑∞

k=1 gk satisface el criterio

uniforme de Cauchy sobre S, si la sucesión de sumas parciales (Sn) es uniformemente

de Cauchy sobre S, lo cual es equivalente a decir que,

∀ε > 0,∃N = N(ε) ∈ N, tal que m, n ≥ N ⇒ |Sn(x)−Sm(x)| = |n∑

k=m+1

gk(x)| < ε,∀x ∈ S.


Teorema 1.8. Sea (fn) una sucesión de funciones reales definidas sobre un conjunto

S de R. Si fnu−→ f sobre S y fn es continua en x0, ∀n ∈ N, entonces f es continua

en x0.

Demostración. Dado que fnu−→ f sobre S entonces,

∀ε > 0,∃N = N(ε) ∈ N, tal que n ≥ N ⇒ |fn(x)− f(x)| < ε

3,∀x ∈ S.

Por otro lado como fN es continua en x0, entonces existe δ > 0, tal que para cualquier

x ∈ S, se cumple que,

|x− x0| < δ ⇒ |fN(x)− fN(x0)| <ε

3,∀x ∈ S.

Así, ∀x ∈ S, se tiene que,

|x− x0| < δ ⇒ |f(x)− f(x0)| = |f(x)− fN(x) + fN(x)− fN(x0) + fN(x0)− f(x0)|

≤ |f(x)− fN(x)|+ |fN(x)− fN(x0)|+ |fN(x0)− f(x0)|

<ε

3+ε

3+ε

3= ε.

Luego,

∀ε > 0, ∃ δ > 0, tal que, |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− f(x0)| < ε,∀x ∈ S.

Por lo tanto f es continua en x0.

Teorema 1.9. Sea (fn) una sucesión de funciones uniformemente de Cauchy sobre

S ⊂ R, entonces existe una función f : S −→ R, tal que, fnu−→ f sobre S.

Demostración. Como (fn) es uniformemente de Cauchy sobre S, entonces

∀ε > 0,∃N = N(ε) ∈ N, tal que, m, n ≥ N ⇒ |fn(x)− fm(x)| < ε

2,∀x ∈ S. (1.2)

Fijemos x0 ∈ S de (1.2), (fn(x0)) es de Cauchy en S. Luego como (fn(x0))

converge y como x0 ∈ S es arbitrario, (fn(x0)) converge para cualquier x0 en S.

Definamos f : S −→ R, por,

f(x0) = lımn−→+∞

fn(x0),∀x0 ∈ S,

11

entonces fn −→ f , sobre S.

Fijemos nuevamente un x ∈ S y n ≥ N de (1.2), entonces,

m ≥ N ⇒ |fn(x)− fm(x)| < ε

2,

⇒ − ε2< fn(x)− fm(x) <

ε

2,

⇒ − ε2< fm(x)− fn(x) <

ε

2,

⇒ − ε2

+ fn(x) < fm(x) <ε

2+ fn(x),

⇒ − ε2

+ fn(x) ≤ lımm−→+∞

fm(x) ≤ ε

2+ fn(x),

⇒ − ε2

+ fn(x) ≤ f(x) ≤ ε

2+ fn(x),

⇒ − ε2≤ f(x)− fn(x) ≤

ε

2,

⇒ |f(x)− fn(x)| ≤ε

2< ε.

Así, como n ≥ N y x ∈ S son arbitrarios se tiene que,

dado ε > 0,∃N = N(ε) ∈ N, tal que n ≥ N ⇒ |fn(x)− f(x)| < ε,∀x ∈ S.

Por lo tanto fnu−→ f .

Teorema 1.10. (Criterio de M-Weierstrass). Sea S un espacio topológico y

sea para cada entero positivo k, fk : S −→ R una función real continua. Además

supongamos que existe una serie convergente de términos positivos∑+∞

k=1Mk, tal que

para cualquier x ∈ S y para todo k, |fk(x)| ≤ Mk. Entonces la serie∑+∞

k=1 fk(x)

converge uniformemente a una función f(x), ∀x ∈ S, y tal función f así definida es

continua.

Demostración. En primer lugar dado que∑+∞

k=1Mk < +∞, entonces se cumple que,

dado ε > 0,∃N = N(ε) ∈ N, tal que,

m,n ≥ N ⇒ |n∑

k=m+1

Mk| < ε⇒n∑

k=m+1

Mk < ε.


Luego, para los mismos m,n tomados anteriormente se tiene que,

m,n ≥ N ⇒ |Sn(x)− Sm(x)| = |n∑

k=m+1

fk(x)|,∀x ∈ S,

≤n∑

k=m+1

|fk(x)|,∀x ∈ S,

≤n∑

k=m+1

Mk,

< ε.

Así, (Sn) es uniformemente de Cauchy en S, entonces por el Teorema 1.9 existe

f : S −→ R, tal que, (Sn(x)) converge uniformemente a f(x),∀x ∈ S.

Por otro lado como fn es continua en S, ∀n ∈ N, entonces Sn =∑n

k=1 fk tam-

bién es continua en S, luego por Teorema 1.8, f es continua en S.

Por lo tanto,∑∞

k=1 fk converge uniformemente a una función continua f sobre S.

Teorema 1.11. La serie geométrica∑+∞

n=1 arn−1 cumple que:

Si |r| < 1, entonces la serie converge a,

S =a

1− r.

Si |r| ≥ 1, entonces la serie diverge.

Definición 1.22. Dados A ⊂ S y una función f : A −→ Y , diremos que la función

F : S −→ Y es una extensión de f si y soló si para cada a ∈ A, f(a) = F (a).

Teorema 1.12. (Lema de Urysohn.) Si S es un espacio normal, A y B son

conjuntos cerrados disjuntos de S, entonces existe una función continua real f :

S −→ I, tal que, f(A) = 0 y f(B) = 1.

Demostración. Ver [3] páginas 62− 63.

Corolario 1.1. Si S es un espacio normal, A y B son conjuntos cerrados disjuntos

de S, entonces existe una función continua real f : S −→ [a, b], tal que, f(A) = ay f(B) = b.

13

Demostración. Sea h : I −→ [a, b], definido por, h(x) = a+ (b− a)x, un homeomor-

fismo, (ya que I y [a, b] son homeomorfos).

Por otro lado, por el Teorema anterior se tiene que existe una función continua real

g : S −→ I, tal que, g(A) = 0 y g(B) = 1. Luego haciendo la composición, f = hg :

S −→ [a, b], con f(A) = h(g(A)) = h(0) = a y f(B) = h(g(B)) = h(1) = b.

El siguiente teorema garantiza la extensión de funciones continuas a espacios

normales. Fue demostrado por Urysohn, pero lleva el nombre de Tietze, ya que

fue éste el último quien antes lo había demostrado para espacios métricos.

1.1. Teorema de extensión de Tietze.

Teorema 1.13. (Teorema de extensión de Tietze.) Si S es un espacio normal

y C un conjunto cerrado de S. Sea f : C −→ [a, b] una aplicación continua de C en el

intervalo [a, b]. Entonces existe una extensión continua F de f con F : S −→ [a, b].

Demostración. Podemos suponer sin perdida de generalidad, que el intervalo [a, b]

es homeomorfo a [−1, 1]. En efecto, la aplicación h : [a, b] −→ [−1, 1]; dada por

h(x) =2x− a− bb− a

,

es un homeomorfismo y la aplicación h f de C en [−1, 1] puede ser extendida a una

aplicación F : C −→ [−1, 1], entonces h−1 F es la extensión pedida para f .

Vamos a demostrar el teorema construyendo una serie que converge a f en el conjunto

C y a una cierta función F en todo S. Ahora sean,

K0 =

x ∈ C : f(x) ≤ −1

3

= f−1

([−1,−1

3

]),

H0 =

x ∈ C : f(x) ≥ 1

3

= f−1

([1

3, 1

]).

Luego, K0 yH0 son imágenes inversas de intervalos cerrados por una función continua

f , así son cerrados en C y por consiguiente cerrados en S, además K0 y H0 son

disjuntos. Por el Corolario 1.1, existe una función continua,

g1 : S −→[−1

3,1

3

], tal que, g1(K0) = −1

3y g1(H0) =

1

3.


Para esta función podemos verificar que,

|f(x)− g1(x)| ≤2

3,∀x ∈ C.

En efecto,

Supongamos que x ∈ K0 ⊂ C, entonces,

f(x) ≤ −1

3y g1(x) = −1

3.

Así,

−1 ≤ f(x) ≤ −1

3⇒ 1

3− 1 ≤ f(x)− g1(x) ≤ −

1

3+

1

3

⇒ −2

3≤ f(x)− g1(x) ≤ 0

⇒ |f(x)− g1(x)| ≤2

3.

Ahora supongamos que x ∈ K0 ⊂ C, entonces,

f(x) ≥ 1

3y g1(x) =

1

3.

Así,

1

3≤ f(x) ≤ 1 ⇒ 1

3− 1

3≤ f(x)− g1(x) ≤ 1− 1

3

⇒ 0 ≤ f(x)− g1(x) ≤2

3

⇒ |f(x)− g1(x)| ≤2

3.

Finalmente para los x ∈ C \ K0,H0, cumplen que,

|f(x)| < 1

3y |g1(x)| <

1

3.

Luego,

|f(x)− g1(x)| ≤ |f(x)|+ |g1(x)| <1

3+

1

3=

2

3.

15

Por lo tanto,

|f(x)− g1(x)| ≤2

3,∀x ∈ C.

Ahora definamos f1 := f − g1, la cual es una función continua en C, con

f1 : C −→[−2

3,2

3

].

Sean,

K1 =

x ∈ C : f(x) ≤

(−1

3

) (2

3

)= f−1

([(−2

3

),

(−1

3

) (2

3

)]),

H1 =

x ∈ C : f(x) ≥

(1

3

) (2

3

)= f−1

([(1

3

) (2

3

),2

3

]).

Nuevamente como antes y por el Corolario 1.1 existe una función continua,

g2 : S −→[(−1

3

) (2

3

),

(1

3

) (2

3

)], con g2(K1) =

(−1

3

) (2

3

)y g2(H1) =

(1

3

) (2

3

),

además,

|f1(x)− g2(x)| ≤(

2

3

)2

,∀x ∈ C,

esto es,

|f(x)− (g1(x) + g2(x))| ≤(

2

3

)2

,∀x ∈ C.

Supongamos que g1, g2, . . . gn han sido definidas sobre S con,

|gn(x)| ≤(

1

3

) (2

3

)n−1

,∀x ∈ S,

y con la propiedad,

|f(x)−n∑i=1

gi(x)| ≤(

2

3

)n

,∀x ∈ C.

De manera inductiva definamos a,

fn(x) = f(x)−n∑i=1

gi(x),∀x ∈ C.

Así, obtenemos dos conjuntos disjuntos Kn, Hn como,

Kn = f−1

([−

(2

3

)n

,

(−1

3

) (2

3

)n]),

Hn = f−1

([(1

3

) (2

3

)n

,

(2

3

)n]),


con lo cual por el Corolario 1.1 asegura la existencia de una función continua,

gn+1 : S −→[(−1

3

) (2

3

)n

,

(1

3

) (2

3

)n], tal que,

gn+1 (Kn) =

(−1

3

) (2

3

)n

y gn+1 (Hn) =

(1

3

) (2

3

)n

,

con,

|gn+1(x)| ≤(

1

3

) (2

3

)n

,∀x ∈ S,

además,

|f(x)−n+1∑i=1

gi(x)| ≤(

2

3

)n+1

,∀x ∈ C.

Así, g1, g2, . . . gn es un sucesión de funciones continuas sobre S, tal que,

|gn(x)| ≤(

1

3

) (2

3

)n−1

,∀x ∈ S. (1.3)

|f(x)−n∑i=1

gi(x)| ≤(

2

3

)n

,∀x ∈ C. (1.4)

Por otro lado haciendo,

Mn =1

3

(2

3

)n−1

,

entonces,

∞∑n=1

Mn =∞∑n=1

1

3

(2

3

)n−1

=13

1− 23

= 1.

Así de (1.3) se tiene que |gn(x)| ≤ Mn, satisfacen las hipótesis del Teorema 1.10

(Criterio de M-Weierstrass) entonces,∑∞

i=1 gi converge uniformemente a una

función F : S −→ R, en S. Luego como∑∞

n=1Mn = 1, entonces |F (x)| ≤ 1,∀x ∈ S,

como se pedía.

Ahora de (1.4) se tiene que∑∞

i=1 gi converge uniformemente a f , en C. Así,

|f(x)− F (x)| = 0,∀x ∈ C.

Con lo cual F es la extensión buscada para f .

17

Proposición 1.1. El conjunto [−1, 1]× [−1, 1] es homeomorfo al D(0,1) y tal homeo-

morfismo lleva la ∂ ([−1, 1]× [−1, 1]) a S1.

Demostración. Para demostrar que [−1, 1] × [−1, 1] sea homeomorfo a D(0,1) basta

construir un homeomorfismo ϕ que envié rectas que pasan por el origen en [−1, 1]×[−1, 1], a rectas que pasan por el origen en D(0,1) y tales rectas mantienen la misma

ecuación. Ver figura 1.1.

Figura 1.1: Homeomorfismo entre [−1, 1]× [−1, 1] y D(0,1)

Primero definamos los siguientes conjuntos,

A = 0 × [−1, 1],

B = [−1, 1]× 0,

C =[(x ≤ y ∧ x ≥ −y, ∀x, y ∈ [−1, 1]

⋃x ≥ y ∧ x ≤ −y, ∀x, y ∈ [−1, 1]

)\ A

] ⋃(0, 0),

D =[(x ≥ y ∧ x ≥ −y, ∀x, y ∈ [−1, 1]

⋃x ≤ y ∧ x ≤ −y, ∀x, y ∈ [−1, 1]

)\B

] ⋃(0, 0).

Además, A⋃B

⋃C

⋃D = [−1, 1] × [−1, 1], A

⋂B

⋂C

⋂D = (0, 0) y C

⋂D =

x = y, ∀x, y ∈ [−1, 1]⋃x = −y, ∀x, y ∈ [−1, 1].

Definamos ϕ : [−1, 1]× [−1, 1] −→ D(0,1), como,

ϕ(x, y) =

f(x, y) si (x, y) ∈ A,g(x, y) si (x, y) ∈ B,fα(x, y) si (x, y) ∈ C,gβ(x, y) si (x, y) ∈ D.

Donde f : A −→ A, definido por,

f(x, y) = (0, y),


g : B −→ B, definido por,

g(x, y) = (x, 0),

fα : C −→ D(0,1)

⋂C, como:

fα(x, y) = (α√

1 + α2x,

α√1 + α2

y),

siendo y = αx, ∀(x, y) ∈ C, donde,

α =y′

x′, (x′, y′) ∈ ([−1, 1]× 1) \ (0, 1),

y finalmente gβ : D −→ D(0,1)

⋂D, como:

gβ(x, y) = (β√

1 + β2x,

β√1 + β2

y),

siendo y = βx, ∀(x, y) ∈ D, donde,

β =x′′

y′′, (x′′, y′′) ∈ (1 × [−1, 1]) \ (1, 0).

Luego como f , g, fα y gβ, son homeomorfismos y llevan también puntos de la

∂([−1, 1]× [−1, 1]) a puntos de S1, además f(0, 0) = g(0, 0) = fα(0, 0) = gβ(0, 0) =

(0, 0) y fα(C⋂D) = gβ(C

⋂D). Por lo tanto ϕ está bien definida, entonces por

el Teorema 1.1 (Lema del Pegamento) se tiene que ϕ es un homeomorfismo de

[−1, 1]× [−1, 1] en D(0,1) y tal homeomorfismo lleva la ∂ ([−1, 1]× [−1, 1]) a S1.

Proposición 1.2. ∂ ([a, b]× [c, d]) es homeomorfo al S1, con a 6= b y c 6= d.

Demostración. Primero demostraremos que ∂ ([−1, 1]× [−1, 1]) es homeomorfo a

∂ ([a, b]× [c, d]) (luego por la proposición anterior S1 es homeomorfo a ∂ ([a, b]× [c, d])).

Ver figura 1.2.

Ahora definamos los siguientes conjuntos,

A = [−1, 1]× −1

B = [−1, 1]× 1,

C = −1 × [−1, 1],

D = 1 × [−1, 1],

además A⋃B

⋃C

⋃D = ∂ ([−1, 1]× [−1, 1]).

19

Figura 1.2: Homeomorfismo entre ∂ ([−1, 1]× [−1, 1])[−1, 1] y ∂ ([a, b]× [c, d])

Definamos β : ∂ ([−1, 1]× [−1, 1]) −→ ∂ ([a, b]× [c, d]), como,

β(x, y) =

f(x, y) si (x, y) ∈ A,g(x, y) si (x, y) ∈ B,h(x, y) si (x, y) ∈ C,k(x, y) si (x, y) ∈ D.

Donde f : A −→ [a, b]× c, definido por,

f(x, y) = ((b− a)x+ a+ b

2, c),

g : B −→ [a, b]× d, definido por,

g(x, y) = (((b− a)x+ a+ b

2, d),

h : C −→ a × [c, d], como:

h(x, y) = (a,(d− c)y + d+ c

2),

y finalmente gβ : D −→ b × [c, d], como:

gβ(x, y) = (b,(d− c)y + d+ c

2).


Luego como f , g, h y k, son homeomorfismos y además β está bien definida,

entonces por el Teorema 1.1 (Lema del Pegamento) se tiene que β es un ho-

meomorfismo de ∂ ([−1, 1]× [−1, 1]) en ∂ ([a, b]× [c, d]). Luego por la proposición

anterior se tiene que S1 es homeomorfo a ∂ ([−1, 1]× [−1, 1]).

Por lo tanto S1 es homeomorfo a ∂ ([a, b]× [c, d]).

Definición 1.23. Sea C ⊂ Rn se dice convexo si y sólo si,

∀x, y ∈ C, αx+ (1− α)y ∈ C, α ∈ I.

Proposición 1.3. Sea Cj una familia arbitraria de subconjuntos convexos en Rn,

entonces⋂j∈J Cj es convexo.

Demostración. Sean x, y ∈⋂j∈J Cj entonces x, y ∈ Cj,∀j ∈ J .

Luego para α ∈ I se tiene que,

αx+ (1− α)y ∈ Cj,∀j ∈ J ⇒ αx+ (1− α)y ∈⋂j∈J

Cj.

Por lo tanto⋂j∈JCj es convexo.

Proposición 1.4. Sean C1 y C2 conjuntos convexos en R. Entonces, C1 × C2 es un

conjunto convexo en R2.

Demostración. Sean (a1, a2), (b1, b2) ∈ C1 × C2 y α ∈ I, entonces,

α(a1, a2) + (1− α)(b1, b2) = (αa1, αa2) + ((1− α)b1, (1− α)b2)

= (αa1 + (1− α)b1, αa2 + (1− α)b2) ∈ C1 × C2, (C1 y C2 son convexos).

Así, C1 × C2 es convexo en R2.

Proposición 1.5. Si x0 ∈ Rn entonces el disco D(x0,r) es un conjunto convexo en

Rn.

Demostración. Sean x, y ∈ D(x0,r), es decir, ‖x − x0‖ < r y ‖y − x0‖ < r. Ahora

veamos que αx+ (1− α)y ∈ D(x0,r), α ∈ I.

21

En efecto, ∀α ∈ I se tiene que,

‖(αx+ (1− α)y)− x0‖ = ‖αx+ (1− α)y − x0 + αx0 − αx0‖

= ‖α(x− x0) + (1− α)y − (1− α)x0‖

= ‖α(x− x0) + (1− α)(y − x0)‖

≤ ‖α(x− x0)‖+ ‖(1− α)(y − x0)‖

= α‖x− x0‖+ (1− α)‖y − x0‖

< αr + (1− α)r = αr + r − αr = r.

Luego, ‖(αx+ (1− α)y)− x0‖ < r, α ∈ I.Así, D(x0,r) es convexo en Rn.

Capítulo 2

TEOREMA DEL PUNTO FIJO DEBROUWER.

En esta sección, presentaremos una demostración breve y elegante del Teorema

del punto fijo de Brouwer procedente de [1]. En dicha demostración sólo se involucra

el concepto de homotopía en términos de relación de equivalencias.

Definición 2.1. Sean X e Y espacios topológicos. Una homotopía de X a Y es una

aplicación, H : X × I −→ Y , continua. Dos aplicaciones continuas f, g : X −→ Yson homotópicas, y se denota f ∼ g, si existe una homotopía H de X en Y , tal que,

H0 = f y H1 = g, donde Ht(x) = H(x, t),∀(x, t) ∈ X × I.

El siguiente resultado establece la propiedad básica del concepto de homotopía.

Lema 2.1. La relación de homotopía es de equivalencia.

Demostración. Sean f, g, h : X −→ Y funciones continuas entre los espacios topoló-

gicos X e Y .

(a) Reflexiva.

Basta tomar H(x, t) = f(x), ∀(x, t) ∈ X × I. Luego H es continua y además

H0 = f = H1.

Así, f ∼ f .

(b) Simétrica.

Si f ∼ g entonces existe una función continua F : X × I −→ Y con F0 = f ,

F1 = g. Ahora definamos H : X × I −→ Y como H(x, t) = F (x, 1− t).

23

24 CAPÍTULO 2. Teorema del punto fijo de Brouwer.

Por otro lado,

t ∈ I ⇒ 0 ≤ t ≤ 1

⇒ 0 ≥ −t ≥ −1

⇒ 1 ≥ 1− t ≥ 0

⇒ 1− t ∈ I.

Luego podemos ver que H = F h, donde h(x, t) = (x, 1− t),∀(x, t) ∈ X × I.Así, H es continua en X ×I (por ser la composición de dos funciones continuas

en X × I) y H0 = F1 = g y H1 = F0 = f .

Por lo tanto, g ∼ f .

(c) Transitiva.

Supongamos que f ∼ g y g ∼ h, entonces existen F,G : X ×I −→ Y continuas

con F0 = f , F1 = g, G0 = g, G1 = h.

Definamos H : X × I −→ Y , como,

H(x, t) =

F (x, 2t) si 0 ≤ t ≤ 1/2.

G(x, 2t− 1) si 1/2 ≤ t ≤ 1.

La aplicación H está bien definida porque si t = 1/2 entonces,

F (x, 2t) = F1 = g = G0 = G(x, 2t− 1).

Por otro lado,

t ∈ [0, 1/2] ⇒ 0 ≤ t ≤ 1/2

⇒ 0 ≤ 2t ≤ 1

⇒ 2t ∈ I.

Luego, H es continua en X × [0, 1/2], (ya que F lo es en X × I).Ahora,

t ∈ [1/2, 1] ⇒ 1/2 ≤ t ≤ 1

⇒ 1 ≤ 2t ≤ 2

⇒ 0 ≤ 2t− 1 ≤ 1

⇒ 2t− 1 ∈ I.

25

Así, H también es continua en X × [1/2, 1], (ya que G lo es en X × I).Luego como H es continua en los dos subconjuntos cerrados, X × [0, 1/2] y

X × [1/2, 1] de X ×I, entonces H es continua en X ×I y además H0 = F0 = f

y H1 = G1 = h.

Por lo tanto, f ∼ h.

Lema 2.2. Si f : X −→ S1 es una aplicación continua con f(X ) 6= S1 entonces f

tiene un logaritmo continuo.

Demostración. Sea q ∈ R, tal que, eiq /∈ f(X ) (pues por hipótesis existe u ∈ S1 \f(X )). La aplicación exp : (q, q + 2π) −→ S1 \ eiq, definida como exp(t) = eit =

(cos t, sent) es un homeomorfismo y llamaremos L a su inversa, la cual es continua.

Luego como la imagen de f está dentro del dominio de L entonces podemos definir a

φ : X −→ R, como φ(x) = L(f(x)), ∀x ∈ X , la cual es continua y además se cumple

que,

eiφ(x) = eiL(f(x)) = f(x),∀x ∈ X .

Por lo tanto, f tiene un logaritmo continuo.

Lema 2.3. Sean f1, f2 : X −→ S1 funciones continuas con

|f1 − f2| = sup|f1(x)− f2(x)| : x ∈ X ≤ 1.

Entonces f1 tiene un logaritmo continuo si y sólo si f2 también lo tiene.

Demostración. Definamos h : X −→ S1 como,

h(x) =f1(x)

f2(x).

Entonces,

|h(x)− 1| = |f1(x)

f2(x)− 1| = |f1(x)− f2(x)| ≤ |f1 − f2| ≤ 1.

Luego h no es sobreyectiva, ya que si −1 ∈ h(X ) entonces | − 1 − 1| = 2 > 1,

así −1 /∈ h(X ). Aplicando el lema anterior, existe φ : X −→ R continua, tal que,


h(x) = eiφ(x).

(⇒) Supongamos ahora que f1 tiene un logaritmo continuo, es decir, existe φ1 :

X −→ R continua, tal que, f1(x) = eiφ1(x),∀x ∈ X ; entonces, φ1 − φ : X −→ R es

continua. Luego,

f1(x)

f2(x)= h(x),∀x ∈ X ⇒ eiφ1(x)

f2(x)= eiφ(x),∀x ∈ X

⇒ f2(x) = ei(φ1(x)−φ(x)),∀x ∈ X

⇒ f2(x) = ei(φ1−φ)(x),∀x ∈ X .

Por lo tanto f2 tiene un logaritmo continuo.

(⇐) Supongamos ahora que f2 tiene un logaritmo continuo, es decir, existe φ2 :

X −→ R continua, tal que, f2(x) = eiφ2(x),∀x ∈ X ; entonces φ2 + φ : X −→ R es

continua. Así,

f1(x)

f2(x)= h(x),∀x ∈ X ⇒ f2(x)

eiφ2(x)= eiφ(x),∀x ∈ X

⇒ f1(x) = ei(φ2(x)+φ(x)),∀x ∈ X

⇒ f1(x) = ei(φ2+φ)(x),∀x ∈ X .

Por lo tanto f1 tiene un logaritmo continuo.

Lema 2.4. Sea X compacto y H : X ×I −→ S1 una homotopía. Entonces H0 tiene

un logaritmo continuo si y sólo si H1 tiene un logaritmo continuo.

Demostración. Como X×I es compacto yH continua, entoncesH es uniformemente

continua, en particular existe n ∈ N; tales que, para (s, t) ∈ I,

|s− t| ≤ 1/n⇒ |H(x, t)−H(x, s)| < 1,∀ ∈ X .

Sea fj = Hj/n, donde j ∈ 0, . . . , n, y está bien definida ya que j/n ∈ I,entonces,

27

|(j + 1)/n− j/n| = 1/n ⇒ |H(x, (j + 1)/n)−H(x, j/n)| < 1,∀x ∈ X

⇒ |fj+1(x)− fj(x)| < 1,∀x ∈ X .

Luego aplicando el Lema anterior, se tiene que fj+1 tiene un logaritmo continuo

si y sólo si fj tiene un logaritmo continuo, lo que reiterado el proceso desde 0 hasta

n, se tiene que, f0 = H0 tiene un logaritmo continuo si y sólo si fn = H1 lo tiene.

Lema 2.5. Sea X compacto y f : X −→ S1 una aplicación continua; f es homotópica

a una aplicación constante si y sólo si f tiene un logaritmo continuo.

Demostración. (⇒) Sea H : X × I −→ S1 una homotopía con H0 = f y H1 = c,

constante.

Como H1 tiene un logaritmo continuo, ya que existe φ(x) = q,∀x ∈ X , con q ∈ R,

eiq = c. Así, H0 = f tiene un logaritmo continuo, (por el lema anterior).

(⇐) Supongamos que f tiene un logaritmo continuo, es decir, existe ψ : X −→ R

continua, tal que, f(x) = eiψ(x).

Ahora definamos G : X × I −→ S1 como G(x, t) = eitψ(x), es continua y además

G0 = 1 y G1 = f .

Por lo tanto f es homotópica a una constante.

Corolario 2.1. Sea n ∈ Z\0 y sea γn : S1 −→ S1 definida por γn(z) = zn.

Entonces γn no es homotópica a una aplicación constante.

Demostración. Supongamos por absurdo que γn es homotópica a una aplicación

constante entonces por el lema anterior γn tiene un logaritmo continuo, es decir,

existe φ : X −→ R, continua, tal que, γn(x) = e2πiφ(x)(donde φ es el resultado de

dividir el logaritmo continuo que proporciona el lema anterior por 2π).

Luego dado x ∈ S1, existe θ ∈ R, tal que, x = e2πiθ, lo cual se sustituye en la

igualdad anterior, se tiene que,

e2nπiθ = e2πiφ(e2πiθ).


Así pues, la función f : R −→ R definida como f(θ) = φ(e2πiθ)− nθ, es continua

y además,

e2πif(θ) = e2πi(φ(e2πiθ)−nθ)

= e2πiφ(e2πiθ)−2nπiθ

= e2πiφ(e2πiθ)e−2nπiθ

= e2nπiθe−2nπiθ

= 1.

Así, e2πif(θ) = (cos 2πf(θ), sen2πf(θ)) = (1, 0), lo que ocurre si y sólo si f(θ) es

entero, esto es, f(R) ⊂ Z. Como f es continua, R es conexo y las únicas componentes

conexas de Z son los puntos, entonces f es constante.

Pero,

f(0) = φ(1) =Log(γn(1))

2πi=Log(1)

2πi= 0,

f(1) = φ(e2πi)− n = φ(1)− n = −n.

Lo cual contradice que f es constante.

Corolario 2.2. La aplicación identidad de S1 no es homotópica a una aplicación

constante.

Demostración. Haciendo n = 1 en el corolario anterior se obtiene lo pedido.

Con este último corolario tenemos todas las herramientas necesarias para la de-

mostración que a continuación se presenta del Teorema del punto fijo de Brouwer.

2.1. Teorema del punto fijo de Brouwer

Teorema 2.1. (Teorema del punto fijo de Brouwer.)

29

Sea f : D(0,1) −→ C una aplicación continua con f(S1) ⊂ D(0,1). Entonces existe

un punto x ∈ D(0,1), tal que, f(x) = x.

Demostración. Supongamos por absurdo que f(x) 6= x, ∀x ∈ D(0,1), y definamos

g : S1 −→ S1, como:

g(u) = r(u− f(u)),

donde r : C \ 0 −→ S1, se define como:

r(z) =z

|z|.

Luego g es una composición de funciones continuas, y tal composición es posible ya

que u−f(u) no se anula para ningún u ∈ S1,(puesto que f(S1) ⊂ D(0,1) y en el D(0,1)

no hay puntos fijos) así g está bien definida y es continua.

Sea H : S1 × I −→ C la aplicación continua,

H(u, t) = u− tf(u).

Dicha aplicación no se anula ya que:

Si t = 1, entonces H(u, 1) = u− f(u) 6= 0,∀u ∈ S1.

Ahora si t < 1, entonces, tf(u) ∈ int(D(0,1)), (ya que u ∈ S1 y f(S1) ⊂ D(0,1)),

que nunca será igual a u ya que u está en la frontera del disco.

Luego se puede definir F = r H : S1×I −→ S1 y además, ∀u ∈ S1, se obtiene que:

F0(u) = (r H)0(u) = r(H0(u)) = r(u) =u

|u|= u,

F1(u) = (r H)1(u) = r(u− f(u)) = g(u).

Así, F0 = ıS1 y F1 = g, es decir,

ıS1 ∼ g. (2.1)

Por otra parte, sea G : S1 × I −→ C la aplicación continua,

G(u, t) = tu− f(tu).

Dicha aplicación no se anula ya que tu, con 0 < t < 1, esta contenido en el disco y

f no tiene puntos fijos en el. Así se puede definir la siguiente composición,


B = r G : S1 × I −→ S1.

Y además, ∀u ∈ S1, se cumple que,

B0(u) = (r G)0(u) = r(−f(0)), es una constante.

B1(u) = (r G)1(u) = r(G1(u)) = r(u− f(u)) = g(u).

Así se tiene que,

r(−f(0)) ∼ g. (2.2)

Luego por (2.1) y (2.2) y usando la simetría y transitividad de la relación de

homotopía,

ıS1 ∼ r(−f(0)).

Lo que contradice el corolario anterior.

Capítulo 3

EL TEOREMA DE LA CURVA DEJORDAN.

En este capítulo presentaremos tres lemas en el cual se emplea el Teorema del

punto fijo de Brouwer y el Teorema de extensión de Tietze. Estos lemas son las herra-

mientas claves para la demostración del Teorema de la curva de Jordan procedente

de [1].

Definición 3.1. Una curva de Jordan (en R2) es un subconjunto de R2 homeomorfo

a S1.

Lema 3.1. Sea X = [a, b] × [c, d] y sean g, h : [−1, 1] −→ X continuas. Sean∏1 : X −→ [a, b] y

∏2 : X −→ [c, d] las proyecciones a los factores y supongamos

que, ∏1(g(−1)) = a,

∏1(g(1)) = b,

∏2(h(−1)) = c y

∏2(h(1)) = d.

Entonces,

g([−1, 1])⋂h([−1, 1]) 6= ∅

Demostración. Supongamos por absurdo que g([−1, 1])⋂h([−1, 1]) = ∅, definamos

entonces,

N(s, t) = max|∏

1(g(s))−∏

1(h(t))|, |∏

2(g(s))−∏

2(h(t))|,

∀s, t ∈ [−1, 1]. Por la hipótesis de reducción al absurdo, N(s, t) 6= 0,∀s, t ∈ [−1, 1],

ya que si para algún punto (s, t) ∈ [−1, 1] × [−1, 1], se cumpliera que N(s, t) = 0,

como es el máximo de dos cantidades no negativas, ambas serían cero y por lo tanto

g(s) = h(t), lo que estamos suponiendo que no ocurre. Además N es una función

continua, por ser el máximo de dos funciones continuas.

31

32 CAPÍTULO 3. El Teorema de la curva de Jordan.

Figura 3.1: Interpretación geométrica del Teorema del punto fijo de Brouwer.

Definamos ahora F : [−1, 1]× [−1, 1] −→ [−1, 1]× [−1, 1], como

F (s, t) =

(∏1(h(t))−

∏1(g(s))

N(s, t),

∏2(g(s))−

∏2(h(t))

N(s, t)

).

F es continua y por la construcción de N , una de sus componentes es ±1 y la otra

va estar en [−1, 1], es decir,

F ([−1, 1]× [−1, 1]) ⊂ ∂([−1, 1]× [−1, 1]).

Como [−1, 1]× [−1, 1] es homeomorfo al D(0,1) (por Proposición 1.1 )y como tal

homeomorfismo lleva la ∂([−1, 1] × [−1, 1]) en S1, por el Teorema 2.1 (Teorema

del punto fijo de Brouwer), se tiene que existe (s, t) ∈ [−1, 1] × [−1, 1], tal que,

F (s, t) = (s, t). Pero como F (s, t) ∈ ∂([−1, 1]× [−1, 1]), entonces |s| = 1 o |t| = 1.

Caso 1: Cuando s = 1,

F (1, t) = (1, t)⇒ 1 =

∏1(h(t))−

∏1(g(1))

N(1, t)=

∏1(h(t))− bN(1, t)

.

Pero∏

1(h(t)) ≤ b, (ya que∏

1 : X −→ [a, b]).

Así,

1 =

∏1(h(t))− bN(1, t)

≤ 0. (→←).

33

Caso 2: Cuando s = −1,

F (−1, t) = (−1, t)⇒ −1 =

∏1(h(t))−

∏1(g(−1))

N(−1, t)

=

∏1(h(t))− aN(−1, t)

.

Pero∏

1(h(t)) ≥ a, (ya que∏

1 : X −→ [a, b]).

Así,

−1 =

∏1(h(t))− aN(1, t)

≥ 0. (→←)

Caso 3: Cuando t = 1,

F (s, 1) = (s, 1)⇒ 1 =

∏2(g(s))−

∏2(h(1))

N(s, 1)

=

∏2(g(s))− dN(s, 1)

.

Pero∏

2(g(s)) ≤ d, (ya que∏

2 : X −→ [c, d]).

Así,

1 =

∏2(g(s))− dN(s, 1)

≤ 0. (→←)

Caso 4: Cuando t = −1,

F (s,−1) = (s,−1)⇒ −1 =

∏2(g(s))−

∏2(h(−1))

N(s,−1)

=

∏2(g(s))− cN(s,−1)

.

Pero∏

2(g(s)) ≥ c, (ya que∏

2 : X −→ [c, d]).

Así,

−1 =

∏2(g(s))− cN(s,−1)

≥ 0. (→←)


Lema 3.2. Sea n > 1 y K un compacto en Rn. Entonces Rn\K tiene una componente

conexa U , tal que, Rn \ U es acotado. En consecuencia U es la única componente

conexa no acotada de Rn \ K.

Demostración. Como K es compacto entonces hay una bola cerrada D(0,r), tal que,

K ⊂ D(0,r). Sea E = Rn \ D(0,r) ⊂ Rn \ K y como n > 1 entonces E es conexo, así

E ⊂ U , donde U es una componente conexa en Rn \ K, luego,

Rn \ U ⊂ Rn \ E = D(0,r).

Así, Rn \ U es acotado.

Por otro lado U no es acotado, porque si lo fuese y como Rn \ U es acotado

entonces también lo sería,

U⋃

(Rn \ U) = Rn. (→←)

Ahora cualquier otra componente V de Rn \K que no sea U será disjunta con U ,

luego, V ⊂ Rn \ U ⊂ D(0,r). Es decir, U es la única componente conexa no acotada;

todas las demás (si las hay) son acotadas.

Lema 3.3. Sea J una curva de Jordan en R2. Si R2 \ J no es conexo y U es una

componente conexa suya, entonces ∂(U) = J.

Demostración. Si R2 \ J no es conexo, entonces tendrá al menos dos componentes

conexas. Sea U una de ellas; cualquier otra componente conexa digamosW de R2\J,

verifica que W⋂U = ∅ y dado que U

⋂∂(U) = ∅, (por ser U abierto) se tiene que

∂(U) ⊂ J.

Ahora procedamos por el absurdo que ∂(U) 6= J; entonces habrá un punto p ∈ J que

no está en ∂(U) y por ser la ∂(U) un compacto (por Teorema 1.4, ya que es cerrado en

el compacto J ), entonces existe un arco A homeomorfo a I, con ∂(U) ⊂ A ⊂ J\p.Como suponemos que hay al menos dos componentes conexas y sólo una no es aco-

tada por el Lema 3.2, las demás serán acotadas. Sea q un punto que pertenezca a

la componente acotada (si U es acotado, tomemos q ∈ U) y sea ∆q = D(q,r) un

disco cerrado centrado en q, que contenga a J en su interior (J está acotado), con

lo que S = ∂(∆q) está contenido en la componente no acotada de R2 \ J; ya que

S ⊂ R2 \ int(∆q) ⊂ R2 \ J.

35

Por otro lado como A es homeomorfo a I, por el Teorema 1.13 (Teorema de ex-

tensión de Tietze) la identidad ıA : A −→ A, se extiende a una función continua

r : ∆q −→ A.

Definamos g : R2 −→ R2 \ q como:

g(z) =

r(z) si z ∈ Uz si z ∈ R2 \ U ,

si U es acotado, o bien como:

g(z) =

z si z ∈ Ur(z) si z ∈ R2 \ U ,

si U no es acotado.

Como U y R2 \ U son cerrados cuya unión es R2 y U⋂R2 \ U = ∂(U) ⊂ A y

en A se tiene que r|A = ıA, así g está bien definida y además es continua (de hecho

no importa que U esté acotado o no, porque la función g sólo define a r en la parte

acotada, que es la que está contenida en ∆q).

Nótese también que q no está en la imagen de g en ningún caso.

Sean H := g|∆q : ∆q −→ ∆q \ q; P : ∆q \ q −→ S, la proyección desde q a Sdada por,

P (x) =x− q‖x− q‖

r,∀x ∈ ∆q \ q;

y T : S −→ S, la aplicación antípoda (pues S es homotética a S1).

Si z ∈ S, entonces H(z) = z, (pues S está dentro de la componente no acotada)

y además P (z) = z. Luego, T (P (H(z))), es el antípoda en S de z, que no tiene

punto fijos.

Si z ∈ int(∆q), entonces T (P (H(z))) no tiene puntos fijos, ya que T P H :

int(∆q) −→ S.

Así, T P H : ∆q −→ S, que además es continua y no tiene puntos fijos. Lo

cual contradice el Teorema 2.1 (Teorema del punto fijo de Brouwer).

Antes de la demostración del teorema de la curva de Jordan, hagamos un poco

de historia del mismo. Jordan conjeturó y creyó haber probado el teorema que lo


inmortalizaría. Sin embargo su demostración no era correcta y por más que lo intentó

no pudo enmendarla. El honor de la primera demostración correcta fue para O.

Veblen en 1905.

3.1. Teorema Principal

Teorema 3.1. (Teorema de la curva de Jordan). El complemento en el plano

de una curva de Jordan J tiene exactamente dos componentes conexas (una acotada

y otra no acotada) cada una de ellas tiene a J como frontera.

Figura 3.2: La curva de Jordan.

Demostración. Para la demostración de este teorema lo haremos en 5 pasos.

(i) Comenzaremos por mover la curva hasta situarla en condiciones que faciliten

su estudio.

Dado que J es un compacto (y homeomorfo a S1), entonces existen x, y ∈ J,

tal que, d(x, y) = diam(J). Ahora, sea L la recta que une a x con y, P la

37

recta ortogonal a L que pasa por x y Q la recta ortogonal a L que pasa por y.

Entonces,

P⋂

J = x.

En efecto.

Supongamos que existe otro punto p ∈ P⋂

J, p 6= x, entonces por el teorema

de Pitágoras,

d(p, y)2 = d(p, x)2 + d(x, y)2,

luego, d(p, y) > d(x, y) = diam(J), lo que contradice la elección de x e y

(contradice la definición de diámetro de un conjunto).

Por otro lado,

Q⋂

J = y.

En efecto.

Supongamos que existe otro punto a ∈ Q⋂

J, a 6= y, por el teorema de Pitá-

goras,

d(a, x)2 = d(a, y)2 + d(x, y)2,

luego, d(a, x) > d(x, y) = diam(J), lo cual contradice la elección de x e y

(contradice la definición de diámetro de un conjunto).

Así pues, mediante una conveniente rotación puede conseguirse que la recta P

sea el eje Y, la recta L sea el eje X y la recta Q sea una recta vertical que pasa

por el punto (b, 0) con b > 0. En esa situación la curva J está contenida en la

banda que determinan las rectas P y Q. Como J es compacto, entonces existen

rectas horizontales R y S, por encima y por debajo respectivamente del eje X,

tales que, el rectángulo que determinan juntos con las rectas P y Q, contiene

a la curva J y ni R ni S cortan a la curva J.

Mediante una apropiada traslación puede conseguirse que R sea el eje X y S la

horizontal que pasa por el punto (0, d), con d > 0.

Ahora se puede suponer que J cumple las siguientes condiciones (ver figura

3.3):

(1) J ⊂ X = [0, b]× [0, d].

(2) J⋂

(0 × [0, d]) = x y J⋂

(b × [0, d]) = y.

(3) J⋂

([0, b]× 0, d) = ∅.


Figura 3.3: La curva de Jordan tras moverla.

(ii) Sea u = (b/2, d) y l = (b/2, 0); dados dos puntos e y f del segmento ul, diremos

que e ≤ f , si∏

2(e) ≤∏

2(f). Entonces, J⋂ul 6= ∅.

En efecto.

Para demostrarlo utilizaremos el Lema 3.1, el cual nos dice que las imágenes

de dos funciones continuas definidas en un rectángulo, se cortan siempre que

una vaya del lado arriba al lado de abajo y la otra del lado izquierdo al de-

recho. Luego buscaremos unas parametrizaciones continuas γ1 y γ′2 de ul y J

respectivamente que cumplan las condiciones del Lema y obtener lo pedido.

Ver figura 3.4

Busquemos una parametrización para ul,

ul = (x, y) ∈ R2(x, y) = (b/2, t), con t ∈ [0, d],

para ul podemos definir γ1 : [0, d] −→ R2, por γ1(b/2, t), la cual es continua en

[0, d] y además,

γ1([0, d]) = ul.

Por lo tanto, γ1 es una parametrización continua para ul, donde u está en la

parte superior y l en la parte inferior.

Ahora busquemos una parametrización para J.

39

Figura 3.4:

La curva J se puede parametrizar de modo que su punto inicial sea x y quedar-

nos sólo con el arco B que hay hasta llegar a y. Debido a que J es homeomorfo

a S1, entonces existe ϕ : J −→ S1 un homeomorfismo, tal que, B = ϕ−1(C),donde C es un arco en S1 con punto inicial ϕ(x) = w y punto final ϕ(y) = z.

Luego bastaría encontrar una parametrización al arco C de S1 que tengan como

punto inicial w = −eiq y punto final z = −ei(q+π), para algún q ∈ R.

Definamos tal parametrización como,

γ2 : [q, q + π] −→ R2, por γ2(θ) = −eiθ = (− cos(θ),−sen(θ)), q ∈ R,

Así, γ2 es continua en su respectivo dominio y además γ2([q, q+π]) = C. Luego

γ2 es una parametrización continua para el arco C con punto inicial w y punto

final z en S1.

Por otro lado,

ϕ(x) = w = γ2(q), ϕ(y) = z = γ2(q + π)⇒ x = ϕ−1(γ2(q)), y = ϕ−1(γ2(q + π)).

Luego definamos,

γ′2 : [q, q + π] −→ R2, por γ′2(θ) = ϕ−1(γ2(θ)),

la cual es continua en [q, q + π] y además γ′2([q, q + π]) = B. Así, γ′2 es una pa-

rametrización continua para el arco B en J con punto inicial x (lado izquierdo)


y punto final y (lado derecho).

Luego, γ1([0, d]) = ul y γ′2([q, q + π]) = B, satisfacen las condiciones del Lema

3.1, entonces,

J⋂

ul 6= ∅.

Como además ul y J son compactos, su intersección también lo es, y con el

orden antes definido tendrá un máximo,

u− = sup(J⋂

ul), ( ya que J⋂

ul es acotado ).

Por otro lado como los punto x e y dividen a la curva J (homeomorfo a S1)

en dos arcos abiertos, llamaremos a J(u) al que contiene a u− y J(l) al otro

arco. Luego J(u)⋃x, y ⊂ J, es cerrado y como J es compacto, entonces

J(u)⋃x, y es compacto, (por Teorema 1.4). Así, (J(u)

⋃x, y)

⋂ul es com-

pacto y cuya intersección tendrá un mínimo,

m+ = ınf((J(u)⋃x, y)

⋂ul).

Nótese que puede ocurrir que m+ = u−. Ver figura 3.5

Figura 3.5:

(iii) Probemos que el segmento m+l corta a J(l).

En efecto.

41

Primero llamaremos I(u−,m+) al subarco de J(u) que une a u− con m+.

Entonces,

uu−⋃

I(u−,m+)⋃

m+l,

es un arco que une a u con l y J(l) es un arco que une a x con y, entonces por

Lema 3.1 ambos arcos se cortan. Ahora bien dado por la construcción de uu−

no puede cortar a J(l), (u− está en J(u) por definición y los puntos de uu−

están por encima; luego no están en J, ya que u− era el máximo de los que

si estaban) y también sabemos que I(u−,m+) ⊂ J(u) que tampoco corta a J(l).

Así, el punto de corte que hemos visto que existe, y tiene que estar en m+l,

luego m+l corta a J(l). Ver figura 3.6

Figura 3.6:

Por otra parte J(l)⋃x, y ⊂ J es cerrado y como J es compacto, enton-

ces J(l)⋃x, y es compacto, (por Teorema 1.4). Así, m+l

⋂(J(l)

⋃x, y) es

compacto y cuya intersección tendrá un máximo y un mínimo,

m− = sup(m+l⋂

(J(l)⋃x, y)),

l+ = ınf(m+l⋂

(J(l)⋃x, y)).


Nótese que puede ocurrir que m− = l+.

Sea ahora, m el punto medio del segmento m−m+. Como m+ ∈ ul⋂

J(u) y

m− ∈ m+l⋂

J(l), ambos son puntos distintos, luego m 6= m+, m 6= m− y así

m /∈ J, dado que si estuviera en J, o estaría en J(l) y entonces se encontraría

debajo de m− que es el máximo de m+l⋂

(J(l)⋃x, y), (ya que m 6= m−) lo

que es imposible ya que m es el punto medio de m−m+; ó estaría en J(u) y en-

tonces se encontraría por encima de m+ que es mínimo de (J(u)⋃x, y)

⋂ul,

(ya que m 6= m+) lo que es imposible ya que m es el punto medio de m−m+.

Ver figura 3.7

Figura 3.7:

(iv) Sea U la componente conexa de R2 \ J que contiene a m. Probemos que U es

acotada.

Supongamos por absurdo que U no es acotado, entonces no puede estar total-

mente contenido en X , luego,

U \ X 6= ∅.

43

Así, sea p ∈ U \X y dado que toda componente conexa es arcoconexa (ya que

R2 \J es localmente arcoconexo) y como p y m están en la misma componente,

entonces existe una curva β : I −→ U , tal que, β(0) = m y β(1) = p.

Ahora como m ∈ ul ⊂ X y p /∈ X , β(I)⋂∂(X ) 6= ∅ (ya que de lo contrario U

no sería arcoconexa).

Sea,

t′ = ınft ∈ I : β(t) ∈ ∂(X ),

que existe ya que es un subconjunto cerrado de I, (ya que β es continua,

entonces la imagen inversa de cualquier cerrado en β(I) es cerrado en I) luego

es compacto, (por Teorema 1.4). Sea w = β(t′) yW = β([0, t′]), entoncesW es

un arco que une a m con w contenido en X⋂U , ya que W ⊂ X , pues m ∈ X

y w es el primer punto que corta a la ∂(X ), (por ser β continua y por como

definimos a t′) y W ⊂ U por ser imagen inmediata de β.

Por otro lado, los puntos x e y desconectan a la ∂ (X ) (que es homeomorfa

a S1, por la Proposición 1.2) en dos componentes conexas o arcos abiertos

A1 y A2 una superior que contiene a u y la otra inferior que contiene a l,

respectivamente. Como w 6= x, y (ya que w ∈ β(I) ⊂ U ⊂ R2 \ J), entonces

w ∈ A1 o w ∈ A2.

Si w está en el arco inferior A2, entonces hay un arco A en A2 que une a w

con l y no corta a J (ya que por paso (i), J sólo corta a ∂ (X) en x e y; que no

están en A2).

Entonces,

uu−⋃

I(u−,m+)⋃

m+m⋃W

⋃A,

es un arco que une a u con l, y no corta a J(l)⋃x, y, (ya que uu− que

queda por encima de J(u), que no corta a J(l); I(u−,m+) ⊂ J(u), que no lo

corta; m+m queda por encima, así tampoco lo corta; W no lo corta, ya que

W ⊂ U ⊂ R2\J; y A no lo corta porque está en A2, que no corta a J(l)⋃x, y)

(ver figura 3.8), lo que contradice el Lema 3.1.


Figura 3.8:

Ahora si w está en el arco superior A1, entonces hay un arco B en A1 que une

a w con u y que no corta a J (ya que por paso (i), J sólo corta a la ∂(X ) en x

e y, que no están en A1). Así,

ll+⋃

I(l+,m−)⋃

m−m⋃W

⋃B,

(donde I(l+,m−) es un subarco de J(l) que une l+ con m−), es un arco que

une a l con u, que no corta J(u)⋃x, y, (ya que ll+ queda por debajo de

J(l) que no lo corta; I(l+,m−) ⊂ J(l), que tampoco lo corta; m−m está por

debajo de m+, luego por definición de m+ tampoco la corta; W no la corta,

ya que W ⊂ U ⊂ R2 \ J y B no lo corta, (porque está en A1 que no corta a

J(u)⋃x, y)) lo que contradice el Lema 3.1.

Por lo tanto U está acotado.

(v) Como consecuencia del paso anterior y de los Lemas 3.2 y 3.3 , tenemos que

el complemento de la curva Jordan tiene al menos dos componentes conexas

(de las cuales sólo una es no acotada y hay al menos una acotada), cada una

de las cuales tiene a J como frontera. Así para completar la demostración del

teorema bastará probar que la única componente acotada es U , (U es la misma

45

componente acotada del paso anterior).

En Efecto,

Supongamos por absurdo que V es otra componente acotada de R2\J y distinta

a U . Definamos Y = int(X )⋃x, y ⊂ X , luego J ⊂ Y , entonces,

R2 \ Y =(R2 \ int(X )

)\ x, y ⊂ R2 \ J,

es un conexo (por estar entre R2 \ int(X ), que es conexo, y su adherencia) no

acotado contenido en R2 \ J, luego,

R2 \ Y ⊂ Z,

donde Z es la componente no acotada de R2 \J, que existe en virtud del Lema

3.2. Tomando complementos, se tiene que,

R2 \ Z ⊂ Y ,

pero R2 \ Z es la unión de J con todas las componentes conexas acotadas de

R2 \J, en particular como U y V son componentes conexas acotadas de R2 \J,

entonces están dentro de Y ⊂ X .

Sea I(m−, l+) el subarco de J(l) que une m− con l+ y sea,

H = uu−⋃

I(u−,m+)⋃

m+m−⋃

I(m−, l+)⋃

l+l,

que es un arco que une a u con l. Ver figura 3.9

Como u, l están en R2 \ Y ⊂ Z y como uu− y l+l son conexos, uu− ⊂ Z⋃

J

y l+l ⊂ Z⋃

J; como,(Z

⋃J) ⋂

V = ∅ ⇒ uu−⋂V = ∅, l+l

⋂V = ∅.

Dado que m ∈ U y V⋂U = ∅, se tiene que m+m−

⋂V = ∅, ya que m+ ∈ J(u)

y m− ∈ J(l) y los demás puntos del segmento están en U (ya que por Lema

3.3, ∂ (U) = J, entonces los puntos del segmento de recta m+m− = αm− +

(1 − α)m+, α ∈ I, que se aproximan a m+ (cuando α → 0) y los que se

aproximan a m− (cuando α→ 1), están en U).


Figura 3.9:

Además, I(u−,m+)⋃

I(m−, l+) ⊂ J, luego esos dos arcos tampoco cortan a V .

Es decir,

H⋂V = ∅.

Por otro lado, x, y /∈ H (ya que no están en J(l), ni en J(u) ni en el segmento

ul) y H es compacto, (ya que es cerrado y es subconjunto del compacto X ).

Luego se puede definir los números positivos ε = dist(x,H) y δ = dist(y,H),

entonces,

Vx = D(x, ε2) ∧ Vy = D(y, δ

2),

son entornos abiertos de x e y respectivamente, que no cortan a H. Ver figura

3.10

Por el Lema 3.3, ∂ (V) = J, luego J ⊂ V , y como x, y ∈ J, entonces,

Vx⋂V 6= ∅ ∧ Vy

⋂V 6= ∅,

esto es, existe x1 ∈ Vx⋂V y como x /∈ V , ese x1 6= x y también existe

y1 ∈ Vy⋂V y como y /∈ V , ese y1 6= y. Por lo tanto,

xx1 ⊂ Vx⋂X ∧ yy1 ⊂ Vy

⋂X ,

47

Figura 3.10:

ya que Vx y Vy, por ser discos en R2 y X por ser un rectángulo en R2 son

convexos en R2 (por las Proposiciones 1.5 y 1.4) y la intersección de convexos

es convexa, (así el segmento de recta que se forma con cualquier par de puntos

en la intersección, va a estar dentro de la intersección).

Por otro lado como V es arcoconexo (por Teorema 1.3, ya que V es localmente

arcoconexo y conexo), entonces existe un arco E en V que une x1 e y1. Así,

xx1

⋃E

⋃y1y,

es un arco en Vx⋃V

⋃Vy, que une a x con y, que no corta a H(ya que ni Vx,

ni V , ni Vy cortan a H), que a su vez une a u con l, lo que contradice el Lema

3.1.

Luego, U es la única componente conexa acotada de R2 \ J.

Y finaliza la demostración.

REFERENCIAS

[1] Arenas García, Francisco y Puertas, María Luz , El Teorema de la Curva de

Jordan . Divulgaciones Matemáticas Vol. 6 No. 1 (1998), 43-60.

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Yersey, 1975.

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[4] Do Carmo P. Manfredo, Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-

Hall, Inc., Upper Saddle River, New Jersey, 07458.

[5] Vivas, C. Miguel J., Análisis en una Variable Compleja. UCLA. Editorial Hori-

zonte, Primera edición, Barquisimeto, 2009.

[6] Lima, E., Espaços Métricos. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e

Aplicada, CNPq. 1977.

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