EL TEOREMA DE PITÁGORAS

Matemáticas Preuniversitarias

Dra. Lourdes Palacios & M.I.B. Norma Castañeda

El Teorema de Pitágoras.

❧ Este teorema es de los más famosos de la geometría plana.

❧ Hay más de 300 pruebas de este teorema.

❧ Antes de enunciarlo procedemos a hacer un poco de historia acerca de Pitágoras.

Pitágoras ❧ Nació en 572 a. de c. aproximadamente. En la isla de Samos, una de las islas del mar Egeo, cerca de la ciudad de Mileto, donde nació Tales.

❧ Es muy probable que haya sido alumno de este último.

Pitágoras

❧ Parece que Pitágoras estuvo en Egipto y posiblemente viajó en forma más extensa por el Oriente antiguo.

❧ Tiempo después emigra al puerto griego de Crotona en Italia del sur. Ahí fundó la célebre escuela pitagórica, asi como una fraternidad unida a ritos secretos y cabalísticos.

❧ Se dedicó al estudio de la filosofía, la matemática y la astronomía.

Teorema de Pitágoras

tiene la misma área que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

c2=a2+b2

c

b

a

En un triángulo rectángulo, el cuadrado construido

sobre la hipotenusa,

Esta es una forma de probar el teorema anterior. Considera la siguiente figura

a{b

El área del cuadro verde es c2

El área del cuadro rojo es (a+b)2=a2+2ab+b2

El área de cada tríangulo es (ab)/2, entonces la suma de las cuatro áreas es 2ab

c

El área del cuadro verde más el área de los triángulos es igual al área del cuadro grande es decir, c2+2ab= a2+2ab+b2

c2= a2+b2

b

c

c

c

Tenemos ahora otra prueba. Demostremos que en la figura (AB)2=(AC)2+(BC)2

❧ Iniciando en el triángulo ABC, trazamos la perpendicular BD a AB.

❧ ABC y ABD tienen dos ángulos iguales (el ∠recto y ∠BAC = ∠BAD)

❧ ABC es semejante a ABD entonces:

❧ ∠ ABC = ∠ ADB= ∠ CDB (1)❧ (AC)/(AB) = (AB)/(AD) y❧ AD=AC+CD

Utilizando las dos igualdades anteriores tenemos:

❧ (AC)/(AB) =(AB)/(AC+CD)

❧ (AC)(AC+CD)=(AB)2

❧ (AB)2=(AC)2+AC•CD

❧ Por (1), ABC≈ABD

❧ AC/BC=BC/CD

❧ CD=(BC)2/(AC)

❧ (AB)2=(AC)2+(BC)2

❧ Que es lo que queríamos probar.

❧ Puedes encontrar otra prueba muy divertida si vas a UNIVERSUM.

❧ También puedes consultar la página de Internet http://www.utp.ac.pa/articulos/pitagoras.html

a{ c

b

• La siguiente figura te dará otra idea para demostrar el Teorema de Pitágoras.

Trabajos en equipo: Demostraciones del Teorema de Pitágoras.

Dem 1 Dem 2 Dem 3

Equipo 1: Brenda Arredondo P.Sol Roman B.Daniela Soto D.Carlos M. Velasco G.

Equipo 2: Luis E. Sánchez P.Daniel Rodríguez F.Ivan Torres G.Alejandra Vieyra C.

Equipo 3: Claudia Sánchez A.Miguel Sánchez S.Alan Torres G.Enrique Solis C.

Ejemplo 1: Combate de incendios. Para combatir un incendio

forestal, el Departamento de Silvicultura desea talar un terreno rectangular alrededor del incendio, como vemos en la figura. Las cuadrillas cuentan con equipos de radiocomunicación de 3000 yardas de alcance. ¿Pueden seguir en contacto las cuadrillas en los puntos A y B?

Solución al ejemplo 1

❧ Los puntos A, B y C forman un triángulo rectángulo. Para calcular la distancia c del punto A al punto B se utiliza el teorema de Pitágoras, sustituyendo a a por 2,400 y a b por 1,000, y despejando a c.

❧ a2+b2=c2

❧ 24002+10002=c2

❧ 6,760,000=c2

❧ c=2600❧ Las dos cuadrillas están a 2600 yardas de distancia. Esa

distancia es menor que la del alcance de los radios, por lo que las cuadrillas se pueden comunicar.

Ejemplo 2 Construcción de una vía rápida.

En una ciudad, las calles van de norte a sur y las avenidas de este a oeste. Las calles y avenidas tienen 750 pies de separación entre sí. El gobierno de la ciudad desea construir una vía rápida desde el cruce de la Calle 21 con la avenida 4, hasta el cruce de la Calle 111 con la avenida 60. ¿Qué longitud tendrá la vía rápida?

Solución al ejemplo 2❧ Podemos representar las calles de la ciudad con el

sistema coordenado que se muestra en la figura, en que las unidades de cada eje representan 750 pies. Si representamos el extremo de la vía en la Calle 21 y Avenida 4 mediante el punto (x1,y1)=(21, 4), el otro extremo estará en (x2,y2)=(111, 60)

❧ Ahora podemos emplear el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la vía rápida.

❧ d2=(x2-x1)2+(y2-y1)

2

❧ d2=(111-21)2+(60-4)2

❧ d2=8100+3136❧ d=106

Enunciemos ahora la conclusión a el ejemplo 2

❧ Como cada unidad representa 750 pies, la longitud de la vía es de (106)(750)=79,500 pies. Cada milla tiene 5,280 pies, por lo tanto dividimos 79,500 entre 5,280 para convertir los 79,500 pies en 15.056818 millas. Es decir, la vía rápida tendrá aproximadamente 15 millas de longitud.