el teorema de pitagoras

of 15 /15
EL TEOREMA DE PITÁGORAS Matemáticas Preuniversitarias Dra. Lourdes Palacios & M.I.B. Norma Castañeda

Author: nahia383

Post on 02-Aug-2015

1.111 views

Category:

Documents


2 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

1. EL TEOREMA DE PITGORAS Matemticas Preuniversitarias Dra. Lourdes Palacios & M.I.B. Norma Castaeda 2. El Teorema de Pitgoras.

  • Este teorema es de los ms famosos de la geometra plana.
  • Hay ms de 300 pruebas de este teorema.
  • Antes de enunciarlo procedemos a hacer un poco de historia acerca de Pitgoras.

3. Pitgoras

  • Naci en 572 a. de c. aproximadamente. En la isla de Samos, una de las islas del mar Egeo, cerca de la ciudad de Mileto, donde naci Tales.
  • Es muy probable que haya sido alumno de este ltimo.

4. Pitgoras

  • Parece que Pitgoras estuvo en Egipto y posiblemente viaj en forma ms extensa por el Oriente antiguo.
  • Tiempo despus emigra alpuerto griego de Crotona en Italia del sur. Ah fund la clebre escuela pitagrica, asi como una fraternidad unida a ritos secretos y cabalsticos.
  • Se dedic al estudio de la filosofa, la matemtica y la astronoma.

5. Teorema de Pitgoras

  • tiene la misma rea que la suma de las reas de los cuadrados construidossobre los catetos.

c 2 =a 2 +b 2 c b a En un tringulo rectngulo, el cuadrado construidosobre la hipotenusa, 6. Esta es una forma de probar el teorema anterior. Considera la siguiente figura a { b El rea del cuadro verde es c 2 El rea del cuadro rojo es (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 El rea de cada trangulo es (ab)/2, entonces la suma de las cuatro reas es 2abc El rea del cuadro verde ms el rea de los tringulos es igual al rea del cuadro grande es decir, c 2 +2ab= a 2 +2ab+b 2 c 2 = a 2 +b 2b c c c 7. Tenemos ahora otra prueba. Demostremos que en la figura(AB) 2 =(AC) 2 +(BC) 2

  • Iniciando en el tringulo ABC, trazamos la perpendicular BD a AB.
  • ABC y ABD tienen dos ngulos iguales (el recto y BAC = BAD)
  • ABC es semejante a ABD entonces:
  • ABC =ADB=CDB(1)
  • (AC)/(AB) = (AB)/(AD) y
  • AD=AC+CD

8. Utilizando las dos igualdades anteriores tenemos:

  • (AC)/(AB) =(AB)/(AC+CD)
  • (AC)(AC+CD)=(AB) 2
  • (AB) 2 =(AC) 2 +AC CD
  • Por (1), ABC ABD
  • AC/BC=BC/CD
  • CD=(BC) 2 /(AC)
  • (AB) 2 =(AC) 2 +(BC) 2
  • Que es lo que queramos probar.

9.

  • Puedes encontrar otra prueba muy divertida si vas a UNIVERSUM.
  • Tambin puedes consultar la pgina de Internet http://www.utp.ac.pa/articulos/pitagoras.html

a { c b

  • La siguiente figura te dar otra idea para demostrar el Teorema de Pitgoras.

10. Trabajos en equipo: Demostraciones del Teorema de Pitgoras. Dem 1 Dem 2 Dem 3 Equipo 1:Brenda Arredondo P. Sol Roman B. Daniela Soto D. Carlos M. Velasco G. Equipo 2:Luis E. Snchez P. Daniel Rodrguez F. Ivan Torres G. Alejandra Vieyra C. Equipo 3:Claudia Snchez A. Miguel Snchez S. Alan Torres G. Enrique Solis C. 11. Ejemplo 1: Combate de incendios.

  • Para combatir un incendio forestal, el Departamento de Silvicultura desea talar un terreno rectangular alrededor del incendio, como vemos en lafigura. Las cuadrillas cuentan conequipos deradiocomunicacin de 3000 yardas de alcance. Pueden seguir en contacto las cuadrillas en los puntos A y B?

12. Solucinal ejemplo 1

  • Los puntos A, B y C forman un tringulo rectngulo. Para calcular la distanciacdel punto A al punto B se utiliza el teorema de Pitgoras, sustituyendo aapor 2,400 y abpor 1,000, y despejando ac .
  • a 2 + b 2 = c 2
  • 2400 2 +1000 2 = c 2
  • 6,760,000= c 2
  • c =2600
  • Las dos cuadrillas estn a 2600 yardas de distancia. Esa distancia es menor que la del alcance de los radios, por lo que las cuadrillas se pueden comunicar.

13. Ejemplo 2 Construccin de una va rpida.

  • En una ciudad, las calles van de norte a sur y las avenidas de este a oeste. Las calles y avenidas tienen 750 pies de separacin entre s. El gobierno de la ciudad desea construir una va rpida desde el cruce de la Calle 21 con la avenida 4, hasta el cruce de la Calle 111 con la avenida 60. Qu longitud tendr la va rpida?

14. Solucin al ejemplo 2

  • Podemos representar las calles de la ciudad con el sistema coordenado que se muestra en la figura, en que las unidades de cada eje representan 750 pies. Si representamos el extremo de la va en la Calle 21 y Avenida 4 mediante el punto (x 1 ,y 1 )=(21, 4), el otro extremo estar en (x 2 ,y 2 )=(111, 60)
  • Ahora podemos emplear el teorema de Pitgoras para calcular la longitud de la va rpida.
  • d 2 =(x 2 -x 1 ) 2 +(y 2 -y 1 ) 2
  • d 2 =(111-21) 2 +(60-4) 2
  • d 2 =8100+3136
  • d=106

15. Enunciemos ahora la conclusin a el ejemplo 2

  • Como cada unidad representa 750 pies, la longitud de la va es de (106)(750)=79,500 pies. Cada milla tiene 5,280 pies, por lo tanto dividimos 79,500 entre 5,280 para convertir los 79,500 pies en 15.056818 millas. Es decir, la va rpida tendr aproximadamente 15 millas de longitud.