el triángulo
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Figuras Geométricas
Triángulos
Desde la antigüedad se utilizaron las figuras geométricas, una de ellas
es “EL TRIÁNGULO”. Por historia sabemos que el hombre primitivo a
las puntas de sus herramientas de caza les daba forma triangular.
Los faraones tuvieron tumbas de forma de pirámide, cuyas caras
tenían las formas de un triángulo. Hoy en día, se aplican en
diversos campos. Por ejemplo: en la arquitectura, ingeniería,
topografía, etc.
Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por
tres segmentos que se cortan dos a dos en
tres puntos (que no se encuentran alineados, es decir: no
colineales). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los
segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos
forman uno de los ángulos interiores del triángulo.
Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 ángulos exteriores, 3 lados y
3 vértices.
Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un
nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una
superficie esférica se denomina triángulo esférico.
La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180º Triángulo ABC: Tiene tres lados: AB, BC, CA
Tiene tres vértices: A, B, C
Tiene tres ángulos: ∠ ABC, ∠ BCA, ∠ CAB
Los triángulos se pueden clasificar de dos formas:
Según sus lados
Según sus ángulos.
Según sus lados
Triángulo equilátero
Tres lados iguales.
Triángulo isósceles
Dos lados iguales.
Triángulo escaleno
Tres lados desiguales
Según sus ángulos
Triángulo acutángulo
Tres ángulos agudos
Triángulo rectángulo
Un ángulo recto
El lado mayor es la hipotenusa.
Los lados menores son los catetos.
Triángulo obtusángulo
Un ángulo obtuso.
Propiedades de los triángulos
1- Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que
su diferencia.
a < b + c
a > b - c
2- La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
A + B + C =180º
3- El valor de un ángulo exterior de un triángulo es
igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
α = A + B
α = 180º - C
4- En un triángulo a mayor lado se
opone mayor ángulo.
5 Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos
opuestos también son iguales.
Perímetro de un triangulo
Triángulo Equilátero
Triángulo Isósceles
Triángulo Escaleno
Área de un triángulo
Ejemplo
Hallar el área del siguiente triángulo:
= 38.5
Las rectas notables de un triángulo son:
Mediatriz
Mediana
Altura
Bisectriz
1. Mediatrices:
La MEDIATRIZ de un lado de un triángulo se define como la recta perpendicular a
dicho lado que pasa por su punto medio.
Todo triángulo ABC, tiene tres mediatrices que denotaremos como sigue:
La mediatriz del lado 'a'=BC, se denota por Ma
La mediatriz del lado 'b'=AC, se denota por Mb
La mediatriz del lado 'c'=AB, se denota por Mc
2. Alturas:
La ALTURA de un triángulo, respecto de uno de sus lados, se define como la recta perpendicular a dicho lado que pasa por el vértice opuesto.
Todo triángulo ABC, tiene tres alturas que denotaremos como sigue:
La altura respecto del lado 'a'=BC, se denota por ha
La altura respecto del lado 'b'=AC, se denota por hb
La altura respecto del lado 'c'=AB, se denota por hc
3. Medianas:
La MEDIANA de un triángulo, correspondiente a uno de sus vértices, se define como la recta que une dicho vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto.
Todo triángulo ABC, tiene tres medianas (una por cada vértice) que denotaremos como sigue:
Mediana correspondiente al vértice A, se denota por mA
Mediana correspondiente al vértice B, se denota por mB
Mediana correspondiente al vértice C, se denota por mC
4. Bisectrices:
La BISECTRIZ de un triángulo, correspondiente a uno de sus vértices, se define como la recta que, pasando por dicho vértice, divide al ángulo correspondiente en dos partes iguales.
Todo triángulo ABC, tiene tres bisectrices (una por cada ángulo) que denotaremos como sigue:
Bisectriz correspondiente al ángulo A, se denota por bA
Bisectriz correspondiente al ángulo B, se denota por bB
Bisectriz correspondiente al ángulo C, se denota por bC
El triángulo rectángulo
Una escuadra tiene forma de triángulo y uno de sus lados es recto. Por eso se
llama triángulo rectángulo. Al lado opuesto al ángulo recto se le llama hipotenusa;
a los lados que forman el ángulo recto se les llama catetos.
El triángulo rectángulo también presenta varias proyecciones como las
observaremos a continuación
Si observamos los tres vértices principales son A, B, C
Cuenta con tres lados igualmente a, b, c
Posee una altura que es “h”
Al observar esta figura vemos que al bisecar el triángulo se obtiene un vértice “H”
En el cual el primer triangulo ACH, posee tres lados b, h, m donde “m” es la
proyección del cateto “b”
Por otra parte también se obtiene otro triangulo BCH, que tiene por lados a, h, n
donde “n” es la proyección del cateto “a”
Por lo tanto el lado “c” del triángulo es la suma de m+n
Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos.
En esta imagen “a, b” son catetos y “c” representa la hipotenusa, veamos un
ejemplo:
Debemos resaltar en este punto que
para poder quitar la potencia que
tiene “c” debemos meter el número
a raíz cuadrada
Luego, el cateto es igual a la resta de los cuadrados de un cateto y la hipotenusa.
Ejemplo: Averiguar la medida del siguiente cateto
Fórmulas para averiguar la
medida del cateto:
Esto es una breve investigación sobre todos los usos y aplicaciones que se les
dan a los triángulos, ya sea no solo en matemáticas si no que también las
utilizamos en nuestra vida diaria
Estos son unos links donde podrás encontrar videos explicando ciertos ejercicios
de los triángulos
Perímetro de un triángulo
http://www.youtube.com/watch?v=DH4NDLu5TBs
Área de un triangulo
http://www.youtube.com/watch?v=zf1VlRjL0Ec
Teorema de Pitágoras
http://www.youtube.com/watch?v=J4QbmOqgVvg
http://www.youtube.com/watch?v=I2nIgM_PDSE
http://www.youtube.com/watch?v=x23aM1CtpVw