elastic approximation for a solar parabolic trough

8/2/2019 Elastic approximation for a solar parabolic trough

1/15

E l a s t i c a p p r o x i m a t i o n f o r a s o l a r p a r a b o l i c

t r o u g h

F e b r u a r y 2 9 , 2 0 1 2

G a n g X i a o ( U n i v e r s i t y o f N i c e , F r a n c e )

A b s t r a c t

F o r t h e p r o d u c t i o n o f t h e r e e c t i v e s u r f a c e o f a s o l a r p a r a b o l i c t r o u g h

c o n c e n t r a t o r i n t h e f o r m o f a p a r a b o l i c c y l i n d e r , a c o s t e e c t i v e m e t h o d i s

t o u s e t h e e l a s t i c b u c k l i n g o f a a t s h e e t . H o w e v e r , t h e s u r f a c e r e s u l t i n g

i n s u c h a b u c k l i n g i s o n l y a c o a r s e a p p r o x i m a t i o n o f t h e p a r a b o l a , t h a t i s

n o t p r e c i s e e n o u g h f o r t h e n e e d o f a h i g h q u a l i t y c o n c e n t r a t o r .

W e p r o p o s e a m e t h o d t o c o r r e c t t h i s d e f e c t o f a p p r o x i m a t i o n b y a p p l y -

i n g a d d i t i o n a l e x t e r n a l f o r c e s o n t h e b u c k l e d s h e e t . T h e s e e x t e r n a l f o r c e s

i n c l u d e a n e d g e t o r s i o n f o r c e a n d a p r e s s i n g f o r c e o n t h e s h e e t . O p t i m a l

p o s i t i o n s a n d p a r a m e t e r s o f t h e s e a d d i t i o n a l f o r c e s a r e c o m p u t e d f o r v a r -

i o u s c a s e s , t h a t g i v e a r e s u l t i n t h e o r e t i c a l m a x i m a l c o n c e n t r a t i o n r a t i o

u p t o 1 7 1 , s o t h i s m e t h o d o e r s a v e r y a t t r a c t i v e a p p r o a c h f o r l o w c o s t

a n d h i g h e c i e n c y s o l a r e n e r g y s o l u t i o n s .

I n t r o d u c t i o n

A p a r a b o l i c t r o u g h [ 8 ] i s a c o n c e n t r a t i n g s o l a r t h e r m a l e n e r g y c o l l e c t o r , t h a t

u s e s a m i r r o r i n a f o r m o f a p a r a b o l i c c y l i n d e r t o r e e c t s o l a r r a y s t o w a r d s a

r e c e i v e r t u b e l o c a t e d a t t h e f o c u s l i n e o f t h e p a r a b o l a . I t h a s t h e a d v a n t a g e o f

b e i n g r e l i a b l e a n d o f l o w c o s t , w h i l e i t c a n r e a c h a w o r k i n g t e m p e r a t u r e h i g h

e n o u g h f o r e c i e n t p o w e r g e n e r a t i o n .

T h e g e o m e t r i c p r e c i s i o n a n d m a n u f a c t u r i n g c o s t o f t h e p a r a b o l i c m i r r o r i s

o n e o f t h e f u n d a m e n t a l f a c t o r s i n t h e p r o d u c t i o n o f a p a r a b o l i c t r o u g h . T r a -

d i t i o n a l l y , t h e s u p p o r t o f t h e m i r r o r i s a r i g i d s h e e t p r e c i s e l y p r e f o r m e d t o t h e

s h a p e o f a p a r a b o l i c c y l i n d e r . T h i s c o n s t i t u t e s a n i m p o r t a n t p a r t o f t h e c o s t

o f t h e p r o d u c t , b e c a u s e b o t h t h e r i g i d i t y o f t h e m a t e r i a l a n d t h e p r e c i s i o n r e -

q u i r e m e n t o f t h e f o r m i n g p r o c e s s a r e e x p e n s i v e .

A l t e r n a t i v e l y , i t i s p o s s i b l e t o m a k e u s e o f t h e e l a s t i c b u c k l i n g o f a a t s h e e t

t o f o r m a n a p p r o x i m a t e l y p a r a b o l i c c y l i n d e r , a s u n d e r c e r t a i n c o n d i t i o n s , t h e

s h a p e o f t h e b u c k l e d a t s h e e t i s u s e f u l l y c l o s e t o t h e p a r a b o l a [ 4 , 5 ] . W h i l e

t h e c o s t a d v a n t a g e o f t h i s a p p r o a c h i s o b v i o u s , i t o n l y p r o v i d e s a r o u g h a p -

p r o x i m a t i o n t h a t d o e s n o t m e e t t h e p r e c i s i o n r e q u i r e m e n t o f a h i g h q u a l i t y

1


2/15

s o l a r c o n c e n t r a t o r , n o r d o e s i t a l l o w a n y c o r r e c t i o n o f e v e n t u a l d e f e c t s o f t h e

m a t e r i a l o r t h e m a n u f a c t u r i n g p r o c e s s e s .

T h e a i m o f t h e p r e s e n t a r t i c l e i s t o p r o p o s e a n i m p r o v e d a p p r o x i m a t i o n o f

t h e p a r a b o l i c c y l i n d e r b y t h e e l a s t i c d e f o r m a t i o n o f a a t s h e e t , b y a p p l y i n g

a d d i t i o n a l e x t e r n a l f o r c e s b e s i d e s t h e b u c k l i n g f o r c e . T h e s e i n c l u d e a t o r s i o n

f o r c e a t e a c h e d g e o f t h e s h e e t , a n d t w o p r e s s i n g p o i n t s i n t h e c u r v e . W i t h

o p t i m a l a m o u n t o f t h e f o r c e s a n d o p t i m a l p o s i t i o n s o f t h e p o i n t s , t h i s m e t h o d

l e a d s t o a n a p p r o x i m a t i o n o f t h e p a r a b o l a w i t h a m u c h h i g h e r p r e c i s i o n . I n

p r a c t i c e , t h e a d d i t i o n a l f o r c e s c a n b e a p p l i e d u s i n g a d j u s t a b l e m e c h a n i s m s , s o

t h a t m i n o r d e f e c t s o f t h e m a t e r i a l o r t h e m a n u f a c t u r i n g c a n b e c o r r e c t e d b y

a d j u s t i n g t h e s e f o r c e s .

W e w i l l c a r r y o u t t h e o r e t i c c a l c u l a t i o n s o n t h e p o s i t i o n s a n d f o r c e s , t o d e -

d u c e t h e p r e c i s i o n o f t h e a p p r o x i m a t i o n o f t h e p a r a b o l a , i n t e r m s o f t h e t h e o r e t i c

m a x i m a l c o n c e n t r a t i o n r a t i o o f t h e p a r a b o l i c t r o u g h . S o m e r e s u l t s o f t h e c a l -

c u l a t i o n s a r e s u m m a r i z e d i n T a b l e 1 , w h e r e o p t i m a l v a l u e s o f p a r a m e t e r s a n d

t h e o r e t i c a l m a x i m a l c o n c e n t r a t i o n r a t i o s a r e g i v e n f o r v a r i o u s c a s e s . I n p r a c t i c e ,

t h e a c t u a l c o r r e c t i n g f o r c e s m u s t b e a d j u s t e d i n t h e e l d u s i n g o p t i c a l m e t h o d s .

T h e s e o p t i c a l m e t h o d s w i l l b e e x p l a i n e d i n a f u t u r e a r t i c l e .

T h e n a l s e c t i o n d e s c r i b e s t h e r e a l p r o d u c t s o f s o l a r c o n c e n t r a t o r s c o n -

s t r u c t e d a c c o r d i n g t o t h e m e t h o d . W i t h a h i g h l y c o m p e t i t i v e c o s t l e v e l a n d

a t h e o r e t i c m a x i m a l c o n c e n t r a t i o n r a t i o u p t o 1 7 1 , t h i s m e t h o d o e r s a v e r y

a t t r a c t i v e a p p r o a c h f o r l o w c o s t a n d h i g h e c i e n c y s o l a r e n e r g y s o l u t i o n s .

1 T h e e q u a t i o n o f a n e l a s t i c b u c k l i n g

T h e b u c k l i n g o f a a t s h e e t i s s i m p l y t h e d e v e l o p m e n t o f t h a t o f a s t r a i g h t r o d

o n a p e r p e n d i c u l a r d i m e n s i o n . T h e r e f o r e i t i s e n o u g h t o c o n s i d e r t h e h i n g e d

e l a s t i c b u c k l i n g o f a s t r a i g h t u n i f o r m r o d , w h o s e d i a m e t e r i s s u p p o s e d t o b e

i n n i t e s i m a l l y s m a l l . W h e n t h e t w o e d g e s o f t h e r o d i s c o m p r e s s e d t o s o m e

e x t e n t , t h e r o d w i l l e l a s t i c a l l y d e f o r m t o a c u r v e d s h a p e ; i t i s t h i s s h a p e t h a t

w e w a n t t o d e t e r m i n e . T h e p r i n c i p l e i s c l a s s i c a l [ 1 ] , b u t i n m o s t l i t e r a t u r e t h e

e q u a t i o n s a r e d e d u c e d a s s u m i n g t h a t t h e d e f o r m a t i o n o f t h e r o d i s s m a l l , w h i c h

i s n o t o u r c a s e . S o w e r e - d e d u c e t h e e q u a t i o n h e r e u s i n g t h e c u r v a t u r e i n s t e a d

o f t h e s e c o n d d e r i v a t i v e t o t a k e i n t o a c c o u n t t h e f a c t t h a t t h e r e s u l t i n g c u r v e i s

f a r f r o m s t r a i g h t . T h e d i s c u s s i o n a l s o s e r v e s t o s e t u p t h e f r a m e w o r k f o r l a t e r

d e v e l o p m e n t .

S u p p o s e t h a t t h e o r i g i n a l r o d i s u n d e r a h o r i z o n t a l p o s i t i o n , a n d t h a t i t s

w e i g h t i s i n n i t e s i m a l , s o t h a t t h e r e i s n o e e c t o f t h e g r a v i t y . I n t h i s c a s e , t h e

b u c k l e d r o d f o r m s a c u r v e a s i n F i g u r e 1 .

W e w i l l m a k e u s e o f t h e f o l l o w i n g n o t a t i o n s .

y = y(x) T h e m a t h e m a t i c a l f u n c t i o n o f t h e c u r v e .

(x, y) T h e c o o r d i n a t e s o f a p o i n t o n t h e c u r v e .

(x0, y0) T h e s t a r t i n g e d g e o f t h e c u r v e .

2


3/15

F i g u r e 1 : T h e b u c k l i n g c u r v e

(x1, y1) T h e e n d i n g e d g e o f t h e c u r v e .

(x2, y2) T h e b o t t o m o f t h e c u r v e , t h a t i s , w h e r e t h e t a n g e n t i s h o r i z o n t a l .

W T h e o p e n i n g w i d t h o f t h e c u r v e : W = x1 x0 .

T h e m a x i m a l d e p t h o f t h e c u r v e : = y0 y2 .

T h e a r c l e n g t h o f t h e c u r v e , f r o m (x0, y0) t o (x1, y1).

y (x) T h e d e r i v a t i v e i s t h e s l o p e o f t h e c u r v e a t (x, y) .

y0

= y (x0).

0 T h e t a n g e n t a n g l e o f t h e c u r v e a t t h e s t a r t i n g e d g e : 0 = arctan (y0) .

1 T h e t a n g e n t a n g l e o f t h e c u r v e a t t h e e n d i n g e d g e : 1 = arctan (y1) .

(x) T h e c u r v a t u r e o f t h e c u r v e a t (x, y) . W e h a v e

(x) = y

(x)1 + y (x)2

3/2 ..

(x) T h e a r c l e n g t h o f t h e c u r v e f r o m (x0, y0) t o (x, y) .

(x2, vr) T h e p o s i t i o n o f t h e s o l a r r e c e i v e r .

r T h e e l a s t i c c o e c i e n t o f t h e m a t e r i a l .

F T h e e x t e r n a l f o r c e a t t h e s t a r t i n g e d g e . I t s d i r e c t i o n i s h o r i z o n t a l .

T h e f u n d a m e n t a l f a c t o n e l a s t i c i t y i s t h a t t h e c u r v a t u r e o f t h e c u r v e a t a p o i n t

(x, y)i s p r o p o r t i o n a l t o t h e m o m e n t o f f o r c e e x e r c i s e d o n t h a t p o i n t [ 2 , p . 2 1 8 ] ,

o n c e t h e t h i c k n e s s i s i n n i t e s i m a l . A s t h i s m o m e n t i s e q u a l t o F(y y0), w eh a v e t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n .

(x) = F

r(y y0) ( 1 )

3


4/15

S u b s t i t u t i n g t h e f o r m u l a o f (x) , w e g e t t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n f o r t h e b u c k l e d c u r v e :

y = F

r(y y0)

1 + y2

3/2( 2 )

U n d e r t h e h y p o t h e s e s , t h e c u r v e i s s y m m e t r i c , t h a t i s , y1 = y0 a n d 1 = 0 .B y s y m m e t r y , t h e c o m p u t a t i o n n e e d s o n l y b e d o n e o n t h e r s t h a l f o f t h e

c u r v e , f o r t h e i n t e r v a l [x0, x2] . A n d w e c a n x t h e r s t b o u n d a r y c o n d i t i o n s x0 = y0 = 0 , s o t h a t t h e c u r v e i s d e t e r m i n e d b y t h e s e c o n d b o u n d a r y c o n d i t i o n o n y

0, o r i n o t h e r t e r m s , t h e s t a r t i n g a n g l e 0 .

M o r e o v e r , i t i s c l e a r f r o m ( 1 ) t h a t t h e c o e c i e n t

F

ro n l y a e c t s t h e s c a l i n g

o f t h e c u r v e , t h a t i s , c u r v e s o b t a i n e d f r o m t h e e q u a t i o n ( 2 ) w i t h d i e r e n t v a l u e s

o f

F

ra r e a l l s i m i l a r . S o w e c a n s i m p l i f y t h e s i t u a t i o n b y p u t t i n g

F

r= 1 . A s a

r e s u l t , t h e e q u a t i o n b e c o m e s

y = y

1 + y23/2

. ( 3 )

N o t e t h a t t h e e n d i n g p o i n t (x2, y2) w i l l b e d e r i v e d f r o m t h e e q u a t i o n a n d f r o m t h e c o n d i t i o n y

2= 0 .

N o w i t i s e a s y t o s o l v e ( 3 ) b y t h e n u m e r i c a l m e t h o d t h a t i n c r e m e n t a l l y

c o m p u t e x, y, y, y s t e p b y s t e p , s t a r t i n g f r o m (x0, y0) . H e r e i s t h e P A R I / G P c o d e f o r d o i n g s o [ 9 ] .

\ \ s o u r c e c o d e f o r P A R I / G P

\ \ C o m p u t a t i o n o f t h e b u c k l i n g c u r v e , u n c o r r e c t e d .

\ p 1 0

s t e p = 0 . 0 0 0 0 1 ; \ \ n u m e r i c t e p

x 0 = 0 ; \ \ x 0

y 0 = 0 ; \ \ y 0

y 1 0 = - 1 ; \ \ s t a r t i n g d e r i v a t i v e

y 2 0 = 0 ; \ \ s e c o n d d e r i v a t i v e

y f = - 0 . 0 8 0 3 3 ; \ \ p o s i t i o n o f t h e r e c e i v e r

s u n r a d = 0 . 0 0 5 ; \ \ S u n ' s a n g u l a r r a d i u s

a r c = 0 ;

p r i n t s = 1 0 ; \ \ n u m b e r o f p o i n t s t o p r i n t ; a p p r o x i m a t i v e

c o u n t e r = 0 ; \ \ s t e p c o u n t e r

p r i n t s t e p = f l o o r ( 1 / p r i n t s / s t e p ) ;

o n e _ s t e p ( ) = {

x + = s t e p ;

y = y + y 1 * s t e p ;

y 2 = - y * ( 1 + y 1 ^ 2 ) ^ ( 3 / 2 ) ;

y 1 + = y 2 * s t e p ;

a r c + = s t e p * s q r t ( 1 + y 1 ^ 2 ) ;

c o u n t e r + + ;

4


5/15

}

d i s t ( ) = { \ \ C o m p u t e s u p p e r a n d l o w e r b o u n d s o f t h e c o n e

\ \ i m a g e d i s t a n c e f r o m t h e c e n t e r o f t h e r e c e i v e r

D = s q r t ( ( x - x e n d ) ^ 2 + ( y - y f ) ^ 2 ) ;

s s = 1 + y 1 ^ 2 ; \ \ v e c t o r l e n g t h ;

\ \ t h e v e c t o r o f r e f l e c t e d l i g h t i s

\ \ ( 2 y ' , ( y ' 2 - 1 ) )

d 0 = ( ( x - x e n d ) * ( y 1 ^ 2 - 1 ) - 2 * ( y - y f ) * y 1 ) / s s ; \ \ s c a l a r p r o d u c t

d 1 = d 0 + D * s u n r a d ; \ \ u p p e r b o u n d

d 2 = d 0 - D * s u n r a d ; \ \ l o w e r b o u n d

i f ( d 1 > m a x u p , m a x u p = d 1 ) ;

i f ( - d 2 > m a x d n , m a x d n = - d 2 ) ;

}

o u t p u t ( ) = {

p r i n t ( x " " y " " y 1 " " y 2 " " d 1 " " d 2 ) ;

}

\ \ F i r s t p a s s

x = x 0 ; y = y 0 ; y 1 = y 1 0 ; y 2 = y 2 0 ; a r c = 0 ;

w h i l e ( y 1 < = 0 , o n e _ s t e p ( ) )

x e n d = x ;

y e n d = y ;

W = 2 * x e n d ;

\ \ S e c o n d p a s s

m a x u p = 0 ; m a x d n = 0 ;

x = x 0 ; y = y 0 ; y 1 = y 1 0 ; y 2 = y 2 0 ; a r c = 0 ;

d i s t ( ) ;

o u t p u t ( ) ; \ \ T h e s t a r t i n g p o i n t

w h i l e ( y 1 < = 0 , o n e _ s t e p ( ) ; d i s t ( ) ; i f ( c o u n t e r % p r i n t s t e p = = 0 , o u t p u t ( ) ) )

o u t p u t ( ) ; \ \ T h e e n d i n g p o i n t

c o n c = x e n d / m a x ( m a x u p , m a x d n ) ; \ \ m a x i m a l c o n c e n t r a t i o n r a t i o

p r i n t ( " a r c l e n g t h = " a r c ) ;

T h e a b o v e c o d e g i v e s t h e f o l l o w i n g s e r i e s o f p o i n t s o n t h e c u r v e f o r

y0

= 1 ,w h e r e e a c h p o i n t i s g i v e n w i t h 4 c o o r d i n a t e s (x, y, y, y).

0 0 - 1 0

0 . 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 . 0 9 9 5 3 2 2 1 9 3 6 - 0 . 9 8 6 0 3 6 8 5 0 1 - 0 . 2 7 5 6 8 5 9 2 7 3

0 . 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 . 1 9 6 3 4 0 8 8 2 7 - 0 . 9 4 6 1 8 2 4 9 2 4 - 0 . 5 1 2 2 9 2 1 6 8 2

0 . 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 . 2 8 8 0 7 9 3 7 6 2 - 0 . 8 8 5 6 7 4 2 0 4 7 - 0 . 6 8 6 6 9 1 6 9 1 5

0 . 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 . 3 7 3 0 0 5 6 5 1 0 - 0 . 8 1 1 0 2 2 7 6 7 8 - 0 . 7 9 6 1 6 3 3 0 5 1

0 . 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 . 4 5 0 0 1 5 2 1 8 6 - 0 . 7 2 8 2 3 5 3 7 7 7 - 0 . 8 5 1 9 3 9 4 7 9 5

0 . 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 . 5 1 8 5 3 6 7 0 1 0 - 0 . 6 4 1 8 8 7 9 0 9 9 - 0 . 8 7 0 0 5 3 5 1 6 6

0 . 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 . 5 7 8 3 7 6 6 0 1 1 - 0 . 5 5 4 9 8 4 8 9 5 8 - 0 . 8 6 5 2 2 9 2 9 4 1

0 . 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 . 6 2 9 5 7 3 9 1 7 2 - 0 . 4 6 9 2 3 2 5 9 7 9 - 0 . 8 4 8 5 6 7 5 5 3 2

0 . 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 . 6 7 2 2 8 9 0 9 0 9 - 0 . 3 8 5 4 1 4 4 5 8 9 - 0 . 8 2 7 5 2 5 3 5 8 8

1 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 . 7 0 6 7 2 8 7 1 5 9 - 0 . 3 0 3 7 1 6 9 8 0 6 - 0 . 8 0 6 7 4 2 9 2 4 0

5


6/15

1 . 1 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 . 7 3 3 0 9 8 3 7 3 9 - 0 . 2 2 3 9 6 5 2 0 5 9 - 0 . 7 8 8 9 4 7 1 5 2 8

1 . 2 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 . 7 5 1 5 7 4 7 7 2 7 - 0 . 1 4 5 7 7 6 5 8 9 1 - 0 . 7 7 5 6 6 1 5 4 3 9

1 . 3 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 . 7 6 2 2 9 0 1 1 2 8 - 0 . 0 6 8 6 5 5 4 9 7 7 3 - 0 . 7 6 7 6 8 7 3 3 7 3

1 . 3 8 9 6 2 0 0 0 0 - 0 . 7 6 5 3 6 5 0 8 6 9 0 . 0 0 0 0 0 5 9 6 2 1 1 7 0 5 0 - 0 . 7 6 5 3 6 5 0 8 6 9

a r c l e n g t h = 1 . 6 3 3 5 8 2 1 2 9

I n s t e a d o f t h e c u r v e i t s e l f , t h e d e f e c t s o f t h e b u c k l i n g c u r v e a s a n a p p r o x i m a -

t i o n o f t h e p a r a b o l a a r e m o r e e a s i l y s h o w n b y t h e c o m p a r i s o n o f t h e c u r v a t u r e s o f

t h e t w o c u r v e s , o r e q u i v a l e n t l y , t h e c o m p a r i s o n o f t h e s e c o n d d e r i v a t i v e s . N o t e

t h a t y i s c o n s t a n t f o r t h e p a r a b o l a . T h e s e c o n d d e r i v a t i v e s o f t h e b u c k l i n g c u r v e , a s c o m p u t e d b y t h e n u m e r i c a l a l g o r i t h m , i s s h o w n i n F i g u r e 2 .

F i g u r e 2 : y f o r t h e b u c k l i n g c u r v e , y0

= 1 .

W i t h r e s p e c t t o t h e c o n s t a n t

yf o r t h e p a r a b o l a , F i g u r e 2 s h o w s t w o m a i n

a p p r o x i m a t i o n e r r o r s o f t h e b u c k l i n g c u r v e : t h e m o s t i m p o r t a n t i s t h e i n s u -

c i e n t c u r v a t u r e n e a r t h e e d g e s ; i n f a c t , t h e c u r v a t u r e r e a c h e s z e r o t o w a r d s t h e

e d g e s . T h e s e c o n d d e f e c t i s t h a t i n t h e m i d d l e o f t h e c u r v e , t h e r e a r e t w o s m a l l

s h o u l d e r s w h e r e t h e c u r v a t u r e i s s l i g h t l y t o o h i g h . T h e s e s h o u l d e r s s e v e r e l y

l i m i t t h e u s a b l e c o n c e n t r a t i o n r a t i o e v e n i f o n e s a c r i c e s t h e r e e c t i o n s n e a r t h e

e d g e s o f t h e m i r r o r .

2 O p t i c a l i n t e r p r e t a t i o n

W h e n a s u r f a c e i s u s e d f o r r e e c t i n g s o l a r r a d i a t i o n s , t h e t a n g e n t d i r e c t i o n o f

t h e s u r f a c e a t e a c h p o i n t i s m o r e i m p o r t a n t t h a n t h e p o s i t i o n o f t h e p o i n t .

T h e r e f o r e , t h e e e c t o f t h e i m p e r f e c t a p p r o x i m a t i o n t o t h e p a r a b o l a b y t h e

e l a s t i c b u c k l i n g o f a a t s h e e t m u s t b e s t u d i e d v i a r a y t r a c i n g . T h i s i s d o n e i n

t h e f o l l o w i n g m a n n e r .

L e t C b e a s y m m e t r i c c u r v e a s i n F i g u r e 3 , g i v e n b y t h e f u n c t i o n y = y (x) ,t h a t s u r v e s a s a m i r r o r t o r e e c t s o l a r r a d i a t i o n s . T h e s o l a r r a d i a t i o n b e a m R1c o m e s v e r t i c a l l y d o w n t o m e e t t h e c u r v e C a t a p o i n t (x, y), a n d t h e r e e c t e d r a d i a t i o n R2 i s t h e r e e c t i o n s y m m e t r y o f R1 w i t h r e s p e c t t o t h e n o r m a l l i n e N

o f t h e c u r v e a t (x, y) .L e t (xf, yf) b e t h e c e n t e r o f t h e r e c e i v e r . W e a s s u m e xf = x2 a s w h a t i s

n o r m a l l y t h e c a s e . T h e n t h e o p t i c a l p r e c i s i o n o f t h e c u r v e C c a n b e d e s c r i b e d b y t h e m i n i m a l d i s t a n c e d (x) b e t w e e n t h e l i n e R2 a n d t h e p o i n t (xf, yf).

6


7/15

F i g u r e 3 : R a y t r a c i n g o n t h e r e e c t i v e c u r v e

N o w l e t (xr, yr) b e t h e p o i n t o f r e e c t i o n a s i n F i g u r e 3 . T h e e q u a t i o n o f

R1 i s X = xr , t h a t o f t h e n o r m a l l i n e N i s (X xr) + y (xr) (Y y (xr)) = 0 ,t h e r e f o r e t h e r e e c t e d b e a m R2 h a s t h e e q u a t i o n [ 1 2 ]

2y (xr) (Y yr) =

y (xr)2 1

(X xr) , ( 4 )

a n d i t s d i s t a n c e t o t h e p o i n t (xf, yf) i s g i v e n b y t h e f o r m u l a

d (xr) =

y (xr)

2 1

(xf xr) 2y (xr) (yf yr)

y (xr)2

+ 1. ( 5 )

N o t e t h a t w e d e n e d (xr) a s a s i g n e d v a l u e . I f C i s a p e r f e c t p a r a b o l a a n d (xf, yf) i s t h e f o c u s o f t h e p a r a b o l a , i t i s e a s i l y

s e e n f r o m ( 5 ) t h a t

d (x) = 0f o r a l l p o i n t s

(x, y)o n

C.

T h e p r e c i s i o n o f a r e e c t i v e s u r f a c e m u s t b e m e a s u r e d b y t h e m a x i m a l c o n -

c e n t r a t i o n r a t i o i t o e r s . W h e n

Ci s n o t t h e p a r a b o l a , t h e r e i s n o o b v i o u s

p o s i t i o n f o r t h e f o c u s yf, a n d t h e c o n c e n t r a t i o n r a t i o d e p e n d s o n t h e v a l u e o f yf. M o r e o v e r , i n o r d e r t o c o m p u t e t h i s m a x i m a l c o n c e n t r a t i o n r a t i o , t h e S u n ' s a n g u l a r d i a m e t e r m u s t b e t a k e n i n t o a c c o u n t . T h e o r e t i c a l l y , t h i s a n g u l a r d i a m -

e t e r v a r i e s f r o m 9 . 2 m r a d t o 9 . 5 m r a d [ 7 ] , b u t d u e t o t h e a t m o s p h e r i c s c a t t e r i n g ,

t h e e e c t i v e a n g u l a r d i a m e t e r f o r a s o l a r c o n c e n t r a t o r i s a l w a y s s l i g h t l y l a r g e r .

S o w e w i l l t a k e t h e v a l u e o f 1 0 m r a d i n o u r c o m p u t a t i o n s .

T h e s o l a r r a d i a t i o n s h i t t i n g a p o i n t o n t h e r e e c t i v e m i r r o r i s n o t a s i n g l e

b e a m l i n e , b u t a c o n e o f b e a m s o f a n g u l a r d i a m e t e r 1 0 m r a d . A s a r e s u l t ,

t h e r e e c t e d r a d i a t i o n s a l s o f o r m a c o n e o f t h e s a m e a n g u l a r d i a m e t e r . W h e n

t h e l a t t e r c o n e r e a c h e s t h e r e c e i v e r l o c a t e d a t d i s t a n c e

Df r o m t h e r e e c t i n g

p o i n t , t h e c o n e ' s i m a g e i s a d i s k o f d i a m e t e r

D/100. I n p a r t i c u l a r , t h e r e c e i v e r ' s

d i a m e t e r s h o u l d n o t b e s m a l l e r t h a n D/100, o r p a r t o f t h e r e e c t e d r a d i a t i o n s w o u l d b e l o s t .

A s s u m i n g t h a t t h e r e c e i v e r o f t h e c o n c e n t r a t o r i s i n p e r f e c t c i r c u l a r f o r m ,

l e t u s d e n e t h e c o n c e n t r a t i o n r a t i o t o b e t h e r a t i o o f t h e o p e n i n g w i d t h W o ft h e r e e c t i v e m i r r o r t o t h e d i a m e t e r o f t h e r e c e i v e r . U n d e r t h i s d e n i t i o n , t h e

7


8/15

t h e o r e t i c a l u p p e r l i m i t o f t h e c o n c e n t r a t i o n r a t i o f o r a o n e - d i m e n s i o n a l c o n c e n -

t r a t o r i s 2 0 0 , b e c a u s e t h e m a x i m a l v a l u e o f D i s a t l e a s t W/2 . T h i s u p p e r l i m i t c a n b e r e a c h e d w h e n C i s a p e r f e c t p a r a b o l a w i t h y (x0) = 1 .

T h e s i t u a t i o n i s m o r e c o m p l i c a t e d f o r t h e b u c k l i n g c u r v e , s o w e c a n o n l y

s h o w s o m e e x a m p l e s w i t h g i v e n p o s i t i o n s o f yf. F o r e a c h r e e c t i n g p o i n t (x, y)o n C, w e c a n a p p r o x i m a t e l y t a k e

d1 (x) = d (x) +D (x)

200, d2 (x) = d (x)

D (x)

200

a s r e s l e c t i v e l y t h e u p p e r a n d l o w e r b o u n d s o f t h e r e e c t e d c o n e , a s d i s t a n c e s t o

t h e c e n t e r o f t h e r e c e i v e r . W e a p p r o x i m a t e l y t a k e

D (x) =

(x xf)2

+ (y yf)2

.

F o r y (x0) = 1 a n d yf = 0.08033, F i g u r e 4 s h o w s t h e l o w e r a n d u p p e r b o u n d s o f t h e r e e c t e d c o n e , i n t e r m s o f t h e m i n i m a l d i s t a n c e o f t h e c o n e ' s

b o u n d a r y t o t h e c e n t e r o f t h e r e c e i v e r , f o r a l l t h e r e e c t i n g p o i n t s (x, y) . T h i s i s t h e b e s t p o s i t i o n f o r t h e m a x i m a l c o n c e n t r a t i o n r a t i o i f a l l t h e r e e c t e d r a d i -

a t i o n s a r e t o b e i n t e r c e p t e d . B u t o n e c a n r e a d f r o m F i g u r e 4 t h a t t h e m a x i m a l

c o n c e n t r a t i o n r a t i o w i l l n o t e x c e e d 16, w h i c h i s n o t o f a n y s e r i o u s u s e i n p r a c t i c e .

F i g u r e 4 : C o n e p o s i t i o n s f o r vr = 0.08033

F i g u r e 5 s h o w s t h e s a m e b o u n d s f o r

y (x0) = 1 a n d yf = 0.15. T h i s p o s i t i o n o f t h e r e c e i v e r i s o p t i m i z e d i n c a s e t h a t r a d i a t i o n s r e e c t e d f r o m z o n e s

n e a r t h e e d g e s a r e s a c r i c e d . N o t e t h a t i n t h i s c a s e , t h e m a x i m a l c o n c e n t r a t i o n

r a t i o i s r a t h e r c l o s e t o 63 b u t n o t 73, b e c a u s e t h e f a c t o f t h r o w i n g a w a y e d g e - r e e c t e d r a d i a t i o n s r e d u c e s t h e e e c t i v e o p e n i n g w i d t h o f t h e s o l a r c o n c e n t r a t o r .

A d d i n g o t h e r i n e v i t a b l e e r r o r s , t h e u s a b l e c o n c e n t r a t i o n r a t i o w o u l d b e b e l o w

50 .

3 C o r r e c t i n g t h e b u c k l i n g c u r v e

O u r a i m i s t o c o r r e c t t h e t w o d e f e c t s o f t h e y c u r v e ( F i g u r e 2 ) o f t h e b u c k l i n g c u r v e : t h e g r a d u a l d r o p o f t h e c u r v a t u r e t o w a r d s z e r o n e a r t h e e d g e s , a n d t h e

t w o s h o u l d e r s o f t h e c u r v a t u r e i n t h e m i d d l e .

8


9/15

F i g u r e 5 : C o n e p o s i t i o n s f o r vr = 0.15

S e l e c t t w o s y m m e t r i c p o i n t s (xp, yp) a n d (xq, yq) o n t h e c u r v e , a s s h o w n i n F i g u r e 6 . A s t h e p o s i t i o n o f t h e c u r v e c a n n o t b e d e t e r m i n e d b e f o r e t h e

c o m p u t a t i o n , t h e s e p o i n t s w i l l b e d e n e d b y t h e a r c l e n g t h

p f r o m (x0, y0)t o (xp, yp). B y s y m m e t r y , p i s a l s o e q u a l t o t h e a r c l e n g t h f r o m (xq, yq) t o

(x1, y1).

F i g u r e 6 : C o r r e c t i o n f o r c e s a p p l i e d o n t h e b u c k l i n g c u r v e

T h e r s t c o r r e c t i o n f o r c e a p p l i e d t o t h e r o d i s a n e d g e t o r s i o n a p p l i e d t h r o u g h

a s u p p o s e d l y r i g i d m e c h a n i s m T w i t h o n e e n d s e a l e d t o t h e e d g e o f t h e r o d a n d a n o t h e r e n d e x e r c i s i n g a p r e s s u r e o n t h e p o i n t (xp, yp). L e t t h e p r e s s i n g f o r c e o f t h e s e c o n d e n d b e

Fe , a n d l e t ke = Fe/r . I n t h i s s e t t i n g , t h e t o r s i o n f o r c e h a s n o e e c t o n p o i n t s (x, y) s u c h t h a t x > xp . F o r x xp , t h e e e c t o n t h e c u r v a t u r e (x) i s e q u a l t o

ke

(x xp)

2+ (y yp)

2cos() ,

w h e r e i s t h e a n g l e b e t w e e n t h e v e c t o r (x xp, y yp) a n d t h e t a n g e n t v e c t o r o f C a t (x

p, yp

) . A s t h e c u r v a t u r e o f C n e a r t h e e d g e i s v e r y s m a l l , i t i s s a f e t o

m a k e a n a p p r o x i m a t i o n b y r e p l a c i n g

(x xp)

2+ (y yp)

2b y t h e a r c l e n g t h

p (x) a n d cos() b y 1 . S o w e g e t t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n o n t h e e e c t o f t h e t o r s i o n o n t h e c u r v a t u r e o f t h e c u r v e .

9


10/15

e (x) =ke (p (x)) i f x xp

0 i f x > xp( 6 )

T h e p o s i t i o n o f t h e p r e s s i n g p o i n t (xp, yp) i s v e r y i m p o r t a n t . A s i m p l e - m i n d e d t w i s t i n g o f t h e e d g e s w i t h o u t p r e s s i n g p o i n t , a s p r o p o s e d i n [ 3 ] , d o e s

n o t g i v e a s a t i s f a c t o r y c o r r e c t i o n o f t h e c u r v e , b e c a u s e w h i l e c o r r e c t i n g t h e d r o p

o f c u r v a t u r e n e a r t h e e d g e s , s u c h a m e c h a n i s m w i l l w o r s e n t h e s h o u l d e r e e c t

s e e n i n F i g u r e 2 .

S e c o n d l y , w e a d d a p r e s s i n g f o r c e

Fm o n t h e p o i n t (xp, yp) ( a n d s y m m e t r i - c a l l y o n (xq, yq) t o o ) , t o t h e n o r m a l d i r e c t i o n o f t h e c u r v e . A s a v e c t o r , w e c a n w r i t e i t s d e c o m p o s i t i o n i n t o c o o r d i n a t e c o m p o n e n t s

Fm = (sin (p) Fm, cos(p) Fm) ,

w h e r e p

= arctan (y (xp

)) i s t h e t a n g e n t a n g l e o f C a t (xp

, yp

) . L e t Fmh

a n d

Fmv b e t h e a m p l i t u d e s o f t h e t w o c o m p o n e n t s :

Fmh = sin(p) Fm =y (xp)

1 + y (xp)2

Fm ,

Fmv = cos (p) Fm =Fm

1 + y (xp)2

.

H e r e w e h a v e a m i n o r p r o b l e m t h a t y (xp), h e n c e p , c a n n o t b e d e t e r m i n e d i n a d v a n c e . F o r t u n a t e l y , i n p r a c t i c e Fm i s s m a l l w i t h r e s p e c t t o F, s o t h a t o n e c a n t a k e a n i n i t i a l v a l u e o f p t h e n m a k e s u c c e s s i v e r u n s o f t h e n u m e r i c a l a l g o r i t h m , e a c h t i m e r e p l a c i n g p b y t h e v a l u e c o m p u t e d f r o m t h e p r e c e d i n g r u n . T h e s e r i e s o f t h e s u c c e s s i v e v a l u e s o f

pc o n v e r g e s v e r y f a s t .

L e t km = Fm/r , kmh = Fmh/r = sin(p) km , kmv = Fmv/r = cos (p) km .F o r t h e d i r e c t i o n s s h o w n i n F i g u r e 6 , t h e e e c t o f t h e p r e s s i n g f o r c e o n t h e

c u r v a t u r e o f

Ci s a s f o l l o w s .

m (x) =

0 i f x xp

kmv (x xp) kmh (y yp) i f x > xp( 7 )

N o t e t h a t

Fm i s a n e x t e r n a l f o r c e t h a t m u s t d r a w i t s r e a c t i v e f o r c e a t t h e e d g e o f t h e c u r v e . I n o t h e r w o r d s , t h e t o t a l e x t e r n a l f o r c e a p p l i e d t o (x0, y0) i s n o w t h e v e c t o r (F Fmh,Fmv) . I t s e e c t o n t h e c u r v a t u r e s h o u l d b e m o d i e d t o

1 (x) = (kmh 1) (y y0) kmv (x x0) . ( 8 )

N o w t h e t o t a l e e c t o f t h e 3 f o r c e s o n t h e c u r v a t u r e i s

(x) = 1 (x)+e (x)+m (x) . C o m b i n i n g ( 6 ) , ( 7 ) , ( 8 ) a n d w i t h n o r m a l i z i n g c o n d i t i o n s F/r = 1 a n dx0 = y0 = 0 , w e g e t t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n f o r t h e c o r r e c t e d b u c k l i n g c u r v e :

(x) =

kmvx + (kmh 1) y + ke (p (x)) i f x xp

kmvxp + kmhyp y i f x > xp. ( 9 )

1 0


11/15

T h i s e q u a t i o n c a n b e n u m e r i c a l l y s o l v e d u s i n g t h e s a m e a l g o r i t h m a s i n

S e c t i o n 1 , w i t h t h e s u b r o u t i n e o n e _ s t e p ( ) r e p l a c e d b y t h e f o l l o w i n g c o d e .

o n e _ s t e p _ c o r r e c t e d ( ) = {

x + = s t e p ;

y = y + y 1 * s t e p ;

i f ( a r c < = l a m b d a _ p , x p = x ; y p = y ; y 1 p = y 1 ) ;

k a p p a 1 = - k m v * x + ( k m h - 1 ) * y + k e * ( l a m b d a _ p - a r c ) ;

k a p p a 2 = - k m v * x p + k m h * y p - y ;

i f ( a r c < = l a m b d a _ p , k a p p a = k a p p a 1 , k a p p a = k a p p a 2 ) ;

y 2 = y 2 * s q r t ( 1 + y 1 ^ 2 ) ^ ( 3 / 2 ) ;

y 1 + = y 2 * s t e p ;

a r c + = s t e p * s q r t ( 1 + y 1 ^ 2 ) ;

c o u n t e r + + ;

}

T h e m a i n p a r a m e t e r s o f t h e c o r r e c t i o n s e t u p a r e s u m m a r i z e d i n t h e f o l l o w i n g

l i s t .

p T h e a r c l e n g t h t h a t d e n e s t h e p o i n t s t o e x e r c i s e c o r r e c t i n g f o r c e s .

ke T h e u n i f o r m i z e d e d g e t o r s i o n f o r c e .

km T h e u n i f o r m i z e d p r e s s i n g f o r c e .

p T h e t a n g e n t a n g l e o f C a t (xp, yp) .

yf T h e p o s i t i o n o f t h e r e c e i v e r .

N o w f o r a g i v e n s e t o f i n i t i a l v a l u e s a n d p a r a m e t e r s {y0

, p, ke, km, yf}, t h e n u m e r i c a l m e t h o d s i m i l a r t o t h a t i n S e c t i o n 1 c a n b e a p p l i e d t o s o l v e ( 9 ) a n d

c o m p u t e t h e v a l u e o f m a x i m a l c o n c e n t r a t i o n r a t i o . T h e n s t a n d a r d o p t i m i z a t i o n

m e t h o d s s u c h a s m u l t i p l e l i n e s e a r c h c a n b e a p p l i e d t o o p t i m i z e t h e p a r a m e t e r

s e t {p, ke, km, yf} a n d g e t t h e o p t i m i z e d m a x i m a l c o n c e n t r a t i o n r a t i o f o r a g i v e n i n i t i a l v a l u e

y0

. T a b l e 1 g i v e s t h e r e s u l t s o f t h e o p t i m i z a t i o n f o r s e l e c t e d

v a l u e s o f

y0

. W e a r e p u t t i n g

km = 0 i n s o m e l i n e s o f t h e t a b l e , b e c a u s e t h e v a l u e s o f t h u s o b t a i n e d a r e a l r e a d y u s e f u l , s o t h a t t h e m e c h a n i s m f o r a d d i n g t h e p r e s s i n g f o r c e m a y b e r e m o v e d f o r t h e s e c a s e s .

y0

0 p/ y (xp) ke km yf W

- 0 . 9 5 43.5 0.2095 0.5942 0.36 0 0.0708 2.812 168- 1 45 0.19 0.6659 0.4 0 0.0012 2.797 157- 1 45 0.2 0.6473 0.36 0.03 0.001 2.84 171

- 1 . 0 5 46.4

0.185 0.7182 0.3627 0 0.0705 2.7764 110- 1 . 0 5 46.4 0.2075 0.6684 0.3039 0.1095 0.0734 2.949 166

- 1 . 1 47.7 0.208 0.7024 0.279 0.17 0.1445 3.03 153

T a b l e 1 : T h e o p t i m i z e d m a x i m a l c o n c e n t r a t i o n r a t i o s

1 1


12/15

W e r e m a r k t h a t t h e g r e a t c o n c e n t r a t i o n r a t i o s u p t o 171 i n T a b l e 1 a r e n e i t h e r r e a c h a b l e n o r d e s i r a b l e i n p r a c t i c e . T h e y a r e n o t r e a c h a b l e b e c a u s e

o t h e r e r r o r s w i l l a d d t o t h e i m p e r f e c t i o n , s u c h a s d e f o r m a t i o n s , m a n u f a c t u r i n g

e r r o r s , s u r f a c e i r r e g u l a r i t i e s , e t c . A n d t h e y a r e n o t d e s i r a b l e b e c a u s e t h e h i g h

c o n c e n t r a t i o n r a t i o i m p l i e s a v e r y t h i n r e c e i v e r t u b e , t o o t h i n t o b e p r a c t i c a l l y

u s e f u l . I n p r a c t i c e , a c o n c e n t r a t i o n r a t i o a r o u n d 1 0 0 w o u l d b e m o r e o r l e s s t h e

u p p e r l i m i t . H o w e v e r , t h e m u c h h i g h e r t h e o r e t i c a l m a x i m a l c o n c e n t r a t i o n r a t i o

i s n e c e s s a r y t o g u a r a n t e e t h a t t h i s p r a c t i c a l c o n c e n t r a t i o n r a t i o c a n b e o b t a i n e d

a t r e a s o n a b l e p r o d u c t i o n c o s t s .

F i g u r e s 7 a n d 8 g i v e r e s p e c t i v e l y t h e

yc u r v e a n d t h e b o u n d s o f t h e r e e c t e d

c o n e o n t h e r e c e i v e r f o r t h e c a s e o f y0 = 1 , = 171 .

F i g u r e 7 :

yc u r v e o f t h e c o r r e c t e d b u c k l i n g c u r v e f o r

y0

= 1 .

F i g u r e 8 : B o u n d s o f t h e r e e c t e d c o n e f o r t h e c o r r e c t e d c u r v e w i t h

y0

= 1.

4 E e c t i v e r e a l i z a t i o n s

V a r i o u s a t s h e e t m a t e r i a l s c a n b e u s e d t o c o n s t r u c t t h e r e e c t i v e s h e e t : p l a s -

t i c s , a l u m i n i u m , s t e e l . F o r e a c h o f t h e s e m a t e r i a l s , t h e r e i s a n u p p e r l i m i t o f

t h e t h i c k n e s s t h a t m u s t b e r e s p e c t e d , i n o r d e r t h a t t h e d e f o r m a t i o n o f t h e s h e e t

d o e s n o t c r e a t e s t r e s s i n t h e m a t e r i a l t h a t e x c e e d s i t s y i e l d s t r e n g t h . T a b l e 2

1 2


13/15

g i v e s t h e l i m i t o f t h e t h i c k n e s s f o r s o m e c o m m o n m a t e r i a l s , a s s u m i n g a u s a b l e

s t r e n g t h a t 6 0 % o f t h e y i e l d s t r e n g t h a n d y0 = 1 .

M a t e r i a l s t a i n l e s s s t e e l i r o n a l u . a l l o y P S

Y o u n g ' s m o d u l u s 200GP a 200GP a 70GP a 3GP aY i e l d s t r e n g t h 300MP a 200M P a 240MP a 50MP a

U s a b l e s t r e n g t h 180MP a 120M P a 140MP a 30MP aM a x . t h i c k n e s s W/1100 W/1670 W/500 W/100

T a b l e 2 : M a x i m a l t h i c k n e s s o f m a t e r i a l s

T h e a c t u a l c o n c e n t r a t i o n r a t i o o f t h e c o l l e c t o r i s d e t e r m i n e d b y t h e d i a m e t e r

o f t h e r e c e i v e r t u b e , s o i t c a n b e c h a n g e d s i m p l y b y r e p l a c i n g t h e r e c e i v e r .

S e v e r a l m o d e l s o f c o n c e n t r a t i n g s o l a r c o l l e c t o r s h a v e b e e n c o n s t r u c t e d s i n c e

2 0 0 8 , u s i n g t h e c o r r e c t e d e l a s t i c r e e c t i v e s u r f a c e a n d a c c o r d i n g t o t h e c l o s e d

c o l l e c t o r d e s i g n p r i n c i p l e d e s c r i b e d i n [ 1 1 ] .

F i g u r e 9 s h o w s a n e x p e r i m e n t a l c o l l e c t o r m o d e l m a d e i n p l a s t i c s s h e e t s .

T h e c o l l e c t o r h a s a w i d t h o f 0.86m a n d a l e n g t h o f 1m . T h e r e e c t i v e b a c k i s a m i r r o r - p l a t e d P S s h e e t w i t h a t h i c k n e s s o f 2mm. T h e o r i g i n a l s h e e t i s n o t p e r f e c t l y a t , b u t t h e s l i g h t i r r e g u l a r i t i e s h a v e b e e n c o m p e n s a t e d b y t h e

c o r r e c t i o n m e c h a n i s m s w i t h o u t m u c h d i c u l t y .

F i g u r e 9 : A p l a s t i c c o l l e c t o r m o d e l

T h e f r o n t p i c t u r e a t t h e l e f t s h o w s t h e c o l l e c t o r u n d e r t r a c k i n g w i t h a r e c e i v e r

t u b e o f d i a m e t e r 10mm. H e n c e t h e c o n c e n t r a t i o n r a t i o i s 86 t i m e s , w i t h a v e r y s a t i s f a c t o r y i n t e r c e p t f a c t o r . T h e o n l y n o t i c e a b l e a r e a s w h e r e t h e r e e c t e d

r a d i a t i o n s m i s s t h e r e c e i v e r i s n e a r t h e j o i n i n g p i e c e s b e t w e e n t h e b a c k a n d t h e

e n d s h e e t s , a s t h e j o i n i n g p i e c e s a n d t h e i r x a t i n g b o l t s c r e a t e l o c a l s t r e s s a n d

l o c a l d e f o r m a t i o n i n t h e r e e c t i v e s h e e t s . O n e c a n s e e t h i s p h e n o m e n o n f r o m

t h e i m a g e o f t h e r e c e i v e r i n t h e f r o n t p i c t u r e o f t h e c o l l e c t o r : T h i s i m a g e i s

p e r f e c t l y s t r a i g h t e x c e p t a t t h e j o i n i n g r e g i o n o f t h e b a c k a n d t h e e n d .

T h e e d g e c o r r e c t i o n m e c h a n i s m i s c o m p o s e d o f r e g u l a r l y s p a c e d m e t a l r o d s ,

o n e e n d o f t h e m b e i n g x e d o n a s o l i d b a r r u n n i n g a l o n g t h e e d g e o f t h e r e e c t i v e

b a c k s h e e t . T h e s o l i d b a r e v e n l y d i s t r i b u t e s t h e t o r s i o n f o r c e e x e r c i s e d b y t h e

r o d s t o t h e w h o l e e d g e o f t h e b a c k s h e e t .

1 3


14/15

T h e p r e s s i n g f o r c e i s e x e r c i s e d b y t w o s t e e l w i r e s p r e s s i n g o n t w o a l u m i n i u m

a n g l e s r u n n i n g a l o n g t h e b a c k . F o r e x p e r i m e n t a l r e a s o n s , t h e t w o a l u m i n i u m

a n g l e s a r e n o t p l a c e d a t t h e c o m p u t e d o p t i m a l p o s i t i o n s i n t h e p i c t u r e .

W a t e r i s c i r c u l a t i n g i n t h e r e c e i v e r t o p r e v e n t i t f r o m o v e r h e a t i n g .

F i g u r e 1 0 g i v e s a d e t a i l e d v i e w o f t h e e d g e c o r r e c t i o n m e c h a n i s m o n t h e b a c k

o f a n i m p r o v e d s o l a r c o l l e c t o r m o d e l . T h e r e i s a g l i d a b l e w i r e c u r s o r o n e a c h

r o d , w h o s e p o s i t i o n d e t e r m i n e s t h e s t r e n g t h o f t h e e d g e c o r r e c t i o n f o r c e .

F i g u r e 1 0 : E d g e c o r r e c t i o n m e c h a n i s m

R e f e r e n c e s

[ 1 ] T i m o s h e n k o & G e r e , T h e o r y o f e l a s t i c s t a b i l i t y , M c G r a w - H i l l 1 9 6 1

[ 2 ] F e r d i n a n d P . B e e r , E . R u s s e l l J o h n s t o n , J r . , J o h n T . D e W o l f , M e -

c h a n i c s o f m a t e r i a l s 3 r d e d i t i o n , M c G r a w H i l l 1 9 7 2

[ 3 ] R . D a m e , A d j u s t a b l e s o l a r c o n c e n t r a t o r , U S p a t e n t 4 1 0 6 4 8 4 , 1 9 7 8

[ 4 ] D . L a n d r i d g e e t a l . , S o l a r r a d i a t i o n r e e c t o r , P C T p a t e n t a p p l i c a -

t i o n W O 8 0 / 0 2 6 0 4 , 1 9 8 0

[ 5 ] P . G . M c C o r m i c k , O p t i c a l e v a l u a t i o n o f c y l i n d r i c a l e l a s t i c a l c o n c e n -

t r a t o r s , S o l a r E n e r g y V o l u m e 2 6 , I s s u e 6 , 1 9 8 1 , P a g e s 5 1 9 - 5 2 3

[ 6 ] R . C . R e u t e r J r . & R . K . W i l s o n , D e f o r m a t i o n o f a T h i n , E l a s t i c

P l a t e t o a D e e p P a r a b o l i c C y l i n d e r , J . A p p l . M e c h . V o l u m e 5 0 ,

I s s u e 1 , 2 2 1 , 1 9 8 3

[ 7 ] W . B . S t i n e & R . W . H a r r i g a n , S o l a r E n e r g y S y s t e m s D e s i g n ,

J o h n W i l e y 1 9 8 5 . U p d a t e d v e r s i o n a v a i l a b l e o n l i n e f r o m

h t t p : / / w w w . p o w e r f r o m t h e s u n . n e t /

[ 8 ] H . P r i c e e t a l . , A d v a n c e s i n p a r a b o l i c t r o u g h s o l a r p o w e r t e c h n o l -

o g y , J . S o l . E n e r g y E n g . V o l u m e 1 2 4 , I s s u e 2 , 2 0 0 2

1 4


15/15

[ 9 ] C . B a t u t , K . B e l a b a s , D . B e r n a r d i , H . C o h e n , M . O l i v i e r ,

U s e r ' s g u i d e t o P A R I / G P , 2 0 0 0 - 2 0 0 3 . A v a i l a b l e o n l i n e f r o m

h t t p : / / p a r i . m a t h . u - b o r d e a u x . f r /

[ 1 0 ] Y u . P . R y l o v , E l a s t i c a l l y d e f o r m e d t h i n - w a l l e d s o l a r e n e r g y c o n c e n -

t r a t o r s , T e c h n i c a l P h y s i c s V o l u m e 4 8 , N u m b e r 1 1 , 2 0 0 3 , 1 4 8 0 - 1 4 8 5 ,

D O I : 1 0 . 1 1 3 4 / 1 . 1 6 2 6 7 8 4

[ 1 1 ] G . X i a o , A c l o s e d p a r a b o l i c t r o u g h s o l a r c o l l e c t o r , H A L - 0 0 1 7 7 6 0 1 ,

2 0 0 7

[ 1 2 ] R e e c t i o n ( m a t h e m a t i c s ) i n W i k i p e d i a ,

h t t p : / / e n . w i k i p e d i a . o r g / w i k i / R e e c t i o n _ % 2 8 m a t h e m a t i c s % 2 9

1 5

elastic approximation for a solar parabolic trough

Documents