elasticidad unmsm

8/16/2019 elasticidad unmsm

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ELASTICIDAD

Conceptos Básicos Ley de Hooke

Esfuerzo y deformación

Deformaciones axiales

Módulo elástico (de Youn!

Módulo de "iidez

Esfuerzos de #ensión$ Compresión y de Corte

Cur%a Esfuerzo %s& Deformación 'nitaria

Deformaciones trans%ersales& Coecientede )oisson


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Esfuerzo de tensión

Esfuerzo "elación de la fuerza perpendicular

aplicada a un o*+eto di%idida para suárea trans%ersal&

'nidad de medida meapascal (M)a!

0

A

F =σ

F

FA


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• Normal (Axial load) : la carga es perpendicular a la sección

transversal del material

.

- Tension : los extremos del material son estirados hacia afuera

para alargar al objeto, la carga es conocida como fuera de

tensión. - Compresión : !os extremos del material som empujados para

hacer al material m"s pe#ue$o, la carga es llamada una fuera de

compresión.

Tensión

Compresión

Clasificación de esfuerzos


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• %sfuero cortante : carga &angencial

Clasificación

estirando

Presión

Carga


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Esfuerzo.

Esfuerzo lonitudinal

Esfuerzo cortante

F F F F

A

σ = F/A

FF/2

F/2

F

F/2

F/2

A

τ = F/(2A)


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deformación

Deformación La relación del

cam*io de lonitud

de*ida al esfuerzopara la lonitudoriinal del o*+eto&

Es una cantidadadimensional

oL

eε =

oo

oi

l

l

l

l l ∆=

−=ε

oLLe −=

Elongación

e

L

Lo


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Esfuerzo tensionante y

deformación


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Máquina hidraulica Baldwin para pruebas de Tension Co!presion


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Diagrama Esfuerzo-Deformación

deformación (e/Lo)

"#

$

%

&

E s f

u e r z o

( F / A )

'egión

%lastica

'egión

l"stica

'uptura

ulti!aFuer'a

deTensión

p e n d i e

n t e ) E

(egion Elastica

pendiente) Módulo de *oung

(egión Plastica ulti!a +uer'a de tensión

+ractura

,e+or!ación per!anente

Es+uer'o!á-i!o

.T/σ

σ

εEσ =

ε

σE =

12

ε ε

σ

E−

=


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Esfuerzo cortante y deformación

El esfuerzo cortante es usado en a,uelloscasos donde se aplican fuerzas puramentetorsionantes a un o*+eto y se denota porel sim*olo τ& La fórmula de calculo y las unidades

permanecen iuales como en el caso deesfuerzo de tensión&

-e diferencia de el esfuerzo de tensión sólo enla dirección de la fuerza aplicada(paralela paracortante y perpendicular para tensión!


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Esfuerzo cortante

Deformación de corte o cizalladura(γ ! es denida como la tanente del

ánulo θ$ y$ en esencia$ determina,ue extensión del plano fuedisplazado&


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Relación Esfuerzo-Deformación

Ley de Hooke )ara materiales sometidos a esfuerzos

tensionantes$ a relati%amente *a+o ni%eles$

esfuerzo y deformación son proporcionales

La constante E es conocida como el módulo

de elasticidad$ o módulo de Youn& Es medida en M)a y puede %aler de ./&0x12/ a/2x123 M)a

ε=σ %


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Esfuerzo y Deformación

Esfuerzo cortante y la deformaciónse relacionan de manera similar$

pero con una constante deproporcionalidad diferente

La constante G es conocida como elmódulo de corte y relaciona el esfuerzocortante en la reion elastica&

γ =τ *


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Coeficiente de Poisson

Cuando un cuerpo es colocado *a+o unesfuerzo tensionante$ se crea unadeformación acompa4ante en la mismadirección&

Como resultado de esta elonación$5a*rá constricciones en las otras dos

direcciones& El coeciente de )oisson$ ν$ es la relación

de las deformaciones lateral para la axial&

z

y

z

x

ε

ε=

ε

ε−= ν


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Coeficiente de Poisson

#eoricamente$ los materialesisotropicos tienen un %alor decoeciente de )oisson de 2&60& El maximo %alor de ν es 2&0

no 5ay cam*io de %olumen durante el proceso&

La mayor7a de metales presentan %alores

entre 2&60 y 2&80 -e usa ademas para relacionar los

módulos elástico y de corte

1#2$ ν+= *%


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Deformación

La deformación elástica estáalrededor de los 2&220&

Despu9s de este punto$ ocurre ladeformación plástica (no recupera*le!$ yla ley de Hooke no es %álida&


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Deformación plstica


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Elasticidad

Despu9s de li*erar una cara sometida$ el o*+etorecupera su forma oriinal&

Durante este proceso$ la cur%a traza una l7nearecta de elasticidad

)aralela a la porción elástica de la cur%a


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Elasticidad


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%jemplo +.

3ongitud del cable )#00 ! dia!eter)#40 !Fuer'a longitudinal aplicada)$&5000 6 Elongacion )#40 !

$$$

$

78&401204&r A

ascales 8005%# 78&40

6 0005$&

mm

P m A

F

===

===

π π

σ

cable

Tensión

#1 Encuentre el es+uer'o nor!al4

$1 93a de+or!ación:

1;2 0#40#00

#mm

m

m

L

e

o

===ε


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%jemplo .

< .na grua esta al'ando un ob=ecto de $05000 64

< Caracteristicas del cable

diá!etro)#40 !5 longitud pre>ia al al'ado )&0 !

1 78&401 204&r 2A

a "785$& 78&40

0005$0

$$$

$

mm

P m

N

A

F

===

===

π π

σ

#1 ?Es+uer'o 6or!al en el cable:

$1 9,e+or!ación:

0007$840

a #0%&

a "785$&@

=

×

==

P

P

E

σ ε

Pa#0%&

Pa 000570

Pa 0005@0

@

.T

×=

=

=

E

y

σ

σ


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E!emplo #

σ = 15.0 Pa

ε = σ/!

= 15.0 Pa/210000 Pa

= 7.14 x 10^"5 mm/mm = 0.0000714 mm/mm

= 0.0000714 m/m

∆L = εL

= (0.0000714 m/m) * 2.50 m = 0.000178 m

= 0.178 mm! = 21 x 10^4 Pa

(#a$%&&a 'e ae$o)

2.50 m

30.0 kg

5.00 mm


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E!emplo $

.na barra de #0 !! de diá!etro de un acero al carbono #0"0 2E )$00 - #0 Pa1 es so!etida a una carga de tracción de &0 000 64

Calcule la recuperación elástica que tendra lugar tras retirar la carga

de tracción4

atos:atos: E ) $00 - #0 Pa φo) #0 !! T ) &0 000 6

órmulas:órmulas: σ ) F;A ε) σ;E

esarrollo:esarrollo:

σ ) F;A ) &0 0006; 2π2&-#0


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E!emplo %.na barra de #0 !! de diá!etro de un alu!inio 2E ) 70 - #0 Pa1 es

so!etida a una carga de tracción de @ D64 a1 Calcule el diá!etro +inal de

la barra4 b1 calcule de diá!etro +inal de la barra si se so!ete a una carga

de co!presión de @ D64 (elación de Poisson υ ) 04%%4

atos:atos: E ) 70 - #0 Pa φo) #0 !! T ) @ D6

órmulas:órmulas: σ ) F;A ε) σ;E ε) 2d+ do1;do


a)a) σ ) F;A ) @ 0006; 2π2&-#0


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E!emplo &

.na barra de #0 !! de diá!etro de un acero al carbono #0"0 2E )$00 - #0 Pa1 es so!etida a una carga de tracción de &0 000 64

Calcule la recuperación elástica que tendra lugar tras retirar la carga

de tracción4

atos:atos: E ) $00 - #0 Pa φo) #0 !! T ) &0 000 6

órmulas:órmulas: σ ) F;A ε) σ;E


σ ) F;A ) &0 0006; 2π2&-#0


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E!emplo '.na pelota de #& Dg de " c! de radio está suspendida de un punto locali'ado a $4"

! sobre el piso por !edio de un ala!bre de hierro cua longitud es de $48& ! de

diá!etro de 0400 c!5 siendo su !ódulo de *oung de #80 GPa4 /i la pelota se pone a

oscilar de tal !anera que su centro pase por el punto !ás ba=o de su traectoria a & !;s59a quH distancia del piso pasará la pelota:

atos:atos: Ala!bre E) #80 GPa5 φ) 040 c!5 3o ) $48& !

pelota !) #& Dg5 r ) " c! Altura del piso ) $4" !4

órmulas:órmulas: Fc) T !g ⇒ T ) Fc!g ) !g !>$

;( ( ) 3or ∆3 ) $48&040" ∆3) $48 ∆3 ∴ ∆3 ≅0' '

σ) Eε) E ∆3;3 ⇒ ∆3) 3o σ;E) 3oT;EA

⇒ T) #&248#&$;$481 )$77 6

⇒ ∆3) 2$77-$48&1;2π-2"4&-#0


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E!emplo (.n ala!bre >ertical de & ! de largo 040088 c!$ de área de sección trans>ersal5 tiene

un !ódulo de *oung E)$00 GPa4 .n ob=eto de $ Dg se su=eta a su e-tre!o alarga el

ala!bre elástica!ente4 /i ahora se tira de ob=eto hacia aba=o un poco se suelta5 el

ob=eto e-peri!entará un MA/ >ertical4 Encuentre el periodo de >ibración4

atos:atos: ala!bre 3o) & !5 A) 04088 c!$5 E ) $00GPa4 !asa !) $ Dg

ormulas:ormulas: 3e de IooDe F ) D4∆3 ⇒D) F; ∆3 σ) Eε⇒ F;A )E 2∆3 ;31

⇒D) AE;3o) 2848-#0


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E! l )*


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E!emplo )*.na barra de acero 2/ ) #$ - #0@ lb;plg$1 de una pulgada de diá!etro sobresale #4&

pulgadas +uera de la pared4 /i en el e-tre!o de la barra se aplica un es+uer'o cortante

de 8000 libras5 calcular la de+le-ión hacia aba=o4

atos:atos: F) 8000 lb5 φ) # plg5 l ) #4& plg

ormula:ormula: / ) 2F;A1;2d;l1⇒ d)Fl;A/

d ) K28000lb12#4& plg1L;K2π2#plg1

$

-#$-#0

@

lb;plg

$

L

d ) #4$7 - #0


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E!emplo )).na gelatina con +or!a de ca=a tiene un área en su base de #& c!$ una altura de % c!4

Cuando se aplica una +uer'a cortante de 04& 6 en la cara superior5 Hsta se despla'a "

!! en relación a la cara in+erior4 9 Cuáles son el es+uer'o cortante5 la de+or!ación al

corte el !ódulo de corte para la gelatina:atos:atos: F) 04& 65 A) #& c!$5 h ) % c!5 ∆-) " !!

ormulas:ormulas: σ/ ) Ft;A ε/)∆-;h / ) σ/ ;ε/

σ/ ) 04& 6;2#& - #0


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E!emplo )+En la +igura se !uestra un pun'ón para per+orar placas de acero5 suponga que se usa un

pun'ón con diá!etro de 047& plg para per+orar un agu=ero en una placa de plg co!o

!uestra la >ista de per+il4 /i se requiere una +uer'a P ) $8000 lb 9cuál es el es+uer'o

cortante pro!edio en la placa el es+uer'o de co!presión pro!edio en el pun'ón:

atos:atos: d) 047& plg5 P) $8000 lb5 t ) plg

ormula:ormula: A/) $πrt) πdt ) π2047& plg1204$& plg1) 04&8 plg$

σ/ ) P;A/) $8000lb;04&8 plg$ ) "7&00 lb;plg$

σC ) P;AC) P;2πd$;"1) $8000lb; 2π2047& plg1$;"1) @%"00 lb;plg$

0ódulo volum3trico: elasticidad de volumen0ódulo volum3trico: elasticidad de volumen


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0ódulo volum3trico: elasticidad de volumen0ódulo volum3trico: elasticidad de volumen

B ) es+uer'o de >olu!en;de+or!ación de >olu!en

B ) < 2∆F;A1; 2∆N;N1

B ) < ∆P; 2∆N;N1

E!emplo )"


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E!emplo )".na es+era sólida de latón 2 B ) @4# - #0 #0 6;!$1 inicial!ente está rodeada de aire5 la

presión del aire e=ercida sobre ella es de # - #0& 6;!$ 2Presión at!os+Hrica14 3a es+era

se su!erge en el ocHano a una pro+undidad a la cual la presión es $ - #07 6;!$4 E3

>olu!en de la es+era en el aire es de 04& !%

4 9 En cuánto ca!biará este >olu!en una>e' que la es+era este su!ergida:

B ) < ∆P; 2∆N;N1 ⇒ ∆N) < ∆P N;B ) < 2$ - #0 7 6;!$1204& !%1; 2@4#- #0 #0 6;!$1

⇒ ∆N)


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E!emplo )#El !ódulo >olu!Htrico para el agua es $4# GPa4 Calcule la contracción >olu!Htrica de

#00 !l de agua cuando se so!eten a una presión de #4& MPa4

B ) < ∆P; 2∆N;N1 ⇒ ∆N) < ∆P N;B ) < 2#4& - #0 @ 6;!$12#00 !l1; 2$4#- #0 6;!$1

⇒ ∆N)

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