elasticna linija grede

5/25/2018 Elasticna Linija Grede

1/22

5/27/2013

1

ELASTINA LINIJA GREDE

1

Deformisani oblik osovine grede naziva se elastina linija grede.

Ordinate el. linije su ugibi grede v

Z

v

Promena ugla izmeu tangente na el.liniju i ose tapa je nagib grede

x

x2

2

EI

zM

z

v1

Krivina je proporcionalna momentu

ODREIVANJE DEFORMACIJA GREDE

Maksvel-Morova metoda fiktivnog nosaa

x

x2

2

EIzM

zv1

Koristimo za odreivanje ugiba i nagiba elastine linije.

Bazira se na matematikoj analogiji izmeu diferencijalne jednaine

elastine linije

i diferencijalne zavisnosti izmeu napadnog momenta i spoljanjeg

optereenja zq

z

M2

2

Znai ugib mozemo odrediti tretirajui desnu stranu jednaine 1

kao optereenje fiktivnog grednog nosaa, pa za njega nacrtati

dijagram momenata. Tako dobijene vrednosti momenata su ugibi

elastine linije.

.........1

.........2

2


2/22

5/27/2013

2

Nagibi su jednaki transverzalnoj sili na fiktivnom nosau zTz

My

Fiktivni nosamora da ispuni analogiju graninih uslova

Ugibu odgovara momenat a nagibu transverzalna sila

a b c d e

Stvarni nosa vor aFiktivni

nosa

0M0v f

Stvarni

nosa

0T0 f

Fiktivni

oslonac

vor b

Fiktivni

nosa0M0v f

Stvarni

nosa

0TT0 DfLf

DL

Fiktivni

oslonacFiktivni nosa

D

L

L=D

Reakcija je sila koja menja vrednost T sile

Nema promene T silenema oslonca3

a b c d e

Stvarni nosa vor c

Fiktivni

nosa

0M0v f

Stvarni

nosa

Fiktivni

oslonac

vor dFiktivni

nosa

0M0v f

Stvarni

nosa

0TT0 DfLf

DL

Fiktivni

oslonac

0TT0 D

fLf

DL

vor e

Fiktivni

nosa

0M0v f

Stvarni

nosa

0T0 f

Fiktivni

oslonac

Slobodan kraj

Fiktivni nosa

D

L

DL Reakcija je sila koja menja vrednost T sile

Ima promene T sileima oslonac-reakcija

Reakcija je sila koja menja vrednost T sile

Ima promene T sileima oslonac-reakcija

4


3/22

5/27/2013

3

5

7.1 Za zadati nosaodrediti ugibvora A i nagibe tangente u

takama A i C

Postupak:

1. Na stvarnom nosau nacrtamo dijagram

momenata usled spoljanjeg optereenja

2. Usvojimo i nacrtamo fiktivni nosa

3. Opteretimo fiktivni nosasa fiktivnim

optereenjem odnosno dijagramom

momenata iz take 1 sa predznakom

minus.

F

AB C

L L

4. Vrednost fiktivnog momenta u voru

A je vrednost ugiba uvoru A

5. Vrednost fiktivnih transverzalnih sila u

vorovima A i C je vrednost nagiba u

timvorovima

F

AB C

L L

1. Crtanje dijagrama momenata

MB=-FLMomenat je negativan sa leve strane

DL

Uvorovima A i C M=0

-Fiktivni nosa

2. Usvajanje fiktivnog nosaa

vor A

0M0v f

0T0 f

vor B0M0v f

0TT0 DfLf

DL

vor C 0M0v f

6

0T0 f

MFL


4/22

5/27/2013

4

3. Opteretimo fiktivni nosasa fiktivnim

optereenjem odnosno dijagramommomenata iz take 1 sa predznakom

minus.-

MFL

FL

A B C

L L VfC

Prenesemo dijagram momenata na

fiktivni nosa, obrnemo strelice i tako

dobijemo fiktivno optereenje

4. Vrednost fiktivnog momenta u voru

A je vrednost ugiba uvoru A

FLL/2 FLL/2

Potrebno je da odredimo reakcije

fiktivnog nosa

aTrougaono podeljeno optereenje

zamenimo silama.

2/3L 2/3L 2/3L

VfA

MfA

HfA=0

7

Iz

FL

A B C

L L VfC

FLL/2 FLL/2

2/3L 2/3L 2/3L

VfA

MfA

0M)1 DB

2fC

2f

C FL6

1V0L

3

1

2

LFLV

Iz 0M)3 LB

3fA

22f

A

FL3

2M

0L3

1

2

LFLLF

6

5M

0V)2 f

2fA

22f

A

FL65V

06

LF

2

LF2V

Iz

8

Nije potrebno da crtamo

Dijagrame presenih sila


5/22

5/27/2013

5

Vrednost fiktivnog momenta uvoru A je vrednost ugiba uvoru A

x

3

A3f

AEIFL

32vFL

32M DL

Ugib je pozitivan ako se fiktivni momenat poklapa sa pozitivnim

smerom momenta

5. Vrednost fiktivnih transverzalnih sila uvorovima A i C je vrednost

nagiba u timvorovima

x

2

A2f

AEI

FL

6

5FL

6

5V Transverzalna sila je suprotna

pozitivnom smeru T sile

x

2

C2f

CEIFL

61FL

61V Transverzalna sila se poklapa

sa pozitivnim smerom T sile

Vrednost Eixse naziva krutost na savijanje i zavisi od materijala

grede (E) i njenog poprenog preseka (Ix)9

A

B C

vAAC

10

Pozitivan ugib je ugib na dole

Pozitivan nagib je ako je obrtanje tangente u smeru

kazaljke naasovniku


6/22

5/27/2013

6

7.2 Odrediti metodom fiktivnog nosaa ugib i nagib uvoru C

AC D B E z

1) Hi=02) Vi=03) MA=0

Uslovi ravnotee

kN20V06104V40610;0M)3 BBA

kN0V010VV10;0V)2 ABA sila.hornema;0H)1

11

10kN

2 2

10

10 10

FBdijagram -silaT

dijagramM

40 kNm

40

20

10

AC D

10kN

2 2

20

B E z

Dijagrami presenih sila na stvarnom nosau usled spoljanjeg

optereenja

12


7/22

5/27/2013

7

Usvajanje fiktivnog nosaa

vorovi A i B

0M0v f

0T0 f

2 2

A

A B E z

C

C

D

D

E z

2 2

B

vorovi C i E

0M0v f

0TT0 D

fLf

DL 13

Fiktivni nosasa

optereenjem

Opteretimo fiktivni nosasa dijagramom momenata sa predznakom -

Prosta greda u sredini

sa optereenjem

Konzole na krajevima

sa optereenjem

FfA

FfA

FfB

FfB

40

40

20

20

20 20

A

A

A

B

B

B

E

E

z

z

z

C

C

D

D

14


8/22

5/27/2013

8

Prosta greda u sredini sa optereenjem

Q1=202=40 kNQ2=202/2=20 kNQ2=202/2=20 kN

04V23

5Q2

3

2Q1Q;0M)1

fB321A

FfA F

fB

4020

20

Q1

Q2

Q3

A B zD

2 2

2fB

fB kNm33,33V04V

3

1020

3

420140

2fA

fA kNm67,46V033,33202040V

0VQQQV;0V)2 fB321f

A

15

Vf

C

MfCF

fA=46,67

20

AC

2

Krajnja konzola uvoru C

0M23

2

2

12202F;0M)1

fC

fAA

3fC

fC kNm38,73M0M2

3

2

2

1220267,46

0F2/220V;0V)2 f

Af

C

2fC

fC kNm67,66V067,462/220V

xC

fC

EI

67,6667,66V

xC

fC

EI

38,73v38,73M

vcjC

DL

16


9/22

5/27/2013

9

Maksvel-Morova metoda jedinine sile

Metoda Vereagina

l

0 x

)z(x)z(xdz

EI

MMf

Gde su Mx(z) momenti usled spoljanjeg optereenja

Mx(z) momenti usled jedinine sile na mestu

traene deformacije

l

0

)z(x)z(x

x

dzMMEI

1f Za konstantnu krutost na savijanje

l

0

)z(x)z(x dzMMDobijamo mnoenjem dijagrama od spoljanjeg

optereenja i dijagrama momenata usled

jedinine sile17

M

MM

l

0

)z(x)z(x AdzMM

Gde su

AM-povrina dijagrama momenata usled

spoljanjeg optereenja

M-ordinata dijagrama momenata usledjedinine sile na mestu teita dijagrama

momenata od spoljanjeg optereenja

18

TAM

M

M


10/22

5/27/2013

10

7.3 Odrediti metodom Vereagina ugib i nagib kraja konzole usled

dejstva vertikalne sile F na kraju konzole

F

L

FL- M

Dijagram momenata od

osnovnog optereenja

1

L

1L- M

Dijagram momenata od jedinine sile na

mestu i u pravcu traenog pomeranja

Ugib kraja konzole

Odreivanje ugiba kraja konzole: Opteretimo nosasa jedininom

silom na mestu traenog pomeranja i u pravcu traenog pomeranja

Zadati nosa

19

Jedinice: FL3= kNm3

MM

l

0

)z(x)z(x AdzMM

l

0

)z(x)z(x

x

dzMMEI

1f

3

FL)L

3

2()

2

LLF(A

3

MM

3

FL

EI

1v

3

x

Ugib kraja konzole

Odreivanje ugiba

24

2x kNmm

m

kNEI m

kNm

kNmv

2

3

FL- M

1L- M

L

M=2/3L

AM=FLL/2

L/3 2/3L

T

Znak pri mnoenju dijagrama: U ovom sluaju oba dijagrama momenata

su negativna pa je proizvoda pozitivan - - =+Zakljuak: Ako su dijagrami sa iste strane proizvod je +, a ako su sa

suprotnih strana nulte linije proizvod je -20


11/22

5/27/2013

11

7.4 Odreivanje nagiba kraja konzole: Opteretimo nosasa

jedininim momentom na mestu traenog pomeranja i u pravcu

traenog pomeranja

F

L

FL- M

1

L

Zadati nosa Nagib kraja konzole

MM

l

0

)z(x)z(x AdzMM

l

0

)z(x)z(x

x

dzMM

EI

1f

2

FL)1()

2

LLF(A

2

MM

2

FL

EI

1 2

x

Nagib kraja konzole (rad)

Odreivanje nagiba

1 1M-

21

Z

v

Pozitivan ugib je ugib na dole

Pozitivan nagib je ako je obrtanje tangente u smeru

kretanja kazaljke naasovniku

22


12/22

5/27/2013

12

7.5 Odrediti metodom Vereagina ugib u sredini proste grede

usled dejstva koncentrisane sile F u sredini grede

Dijagrami momenata usled

spoljanjeg optereenja

F

L

A B

A BF

F/2 F/2

+ M

FL/4

Reakcije u A i B su jednake i

vrednost im je F/2

Vrednost momenta u sredini

proste grede je

F/2l/2=FL/4

23

Dijagrami momenata usled jedinine sile u

pravcu traenog pomeranja

1

L

A B

A B1

1/2 1/2

Reakcije u A i B su jednake i

vrednost im je 1/2

Vrednost momenta u sredini

proste grede je 1/2L/2=L/4

MM

x

l

0

)z(x)z(x

x

AEI

1dzMM

EI

1f

48

FL)

4

L

3

2()

2

1

2

L

4

LF(2A

3

MM

Odreivanje ugiba+ M

L/4M

M+ M

FL/4

T

AM

T

48

FL

EI

1v

3

x

Ugib proste grede (m)

24


13/22

5/27/2013

13

7.6 Odrediti pomeranjevora C i obrtanje poprenog preseka B

nosaa na slici. Takoe odrediti i promenu rastojanja izmeu

taaka B i C.

Dato je: F1=10 kN F2=20 kN E=20 MN/cm2 I=3000 cm4

F1=10 kN

F2=20 kN

A B

C

2 2

2

Crtanje dijagrama momenata

Za reenje zadatka potrebni su nam samo dijagrami momenata.

Odrediemo dijagrame momenata bez odreivanja reakcija

oslonaca.

25

Crtanje dijagrama momenata

A B

C

D

F1=10 kN

F2=20 kN

A B

C

2 2

2

D

20

20

206

0

-

M

MdoleD=-102=-20 kNmsve do B je isti momenat

MdesnoA=-102-202=-60 kNm

mora imati suprotan smer

da bi suma bila O (vor u

ravnotei)

izjednaavanje momenata u uglu

crta se odtapa prema dijagramu

26


14/22

5/27/2013

14

2

Horizontalno pomeranjevora C

Opteretimo nosasa jedininom silomna mestu traenog pomeranja. Smer

pomeranja pretpostavimo (smer

strelice).1

A B

C

2 2

2

D

A B

C

D2

2

-

M1

MdoleD=-12=-2 msve do A je isti momenat

Odreivanje pomeranja

MM

x

l

0

)z(x)z(x

x

AEI

1dzMM

EI

1f

za odreivanje vrednosti integrala

koristiemo tablice u kojima su dati

obrasci za mnoenje dijagrama27

A B

C

2 2

2

D20

20

206

0

-

M

A B

C

D2

22

-

M1

67,262203

2A MM

mnoenje dijagrama

tap C-D x

802202A MM

tap B-D x

160220602

2A MM

tap A-B x

3MM kNm67,26616067,2680A

cm44,430001020

1067,266

EI

67,266A

EI

1h

3

6

xMM

xC

28


15/22

5/27/2013

15

Vertikalno pomeranjevora C

Opteretimo nosasa jedininom silom namestu traenog pomeranja. Smer

pomeranja pretpostavimo (smer strelice).

4

1

A B

C

2 2

2

D

MdoleD=0

MA=-14=4 mOdreivanje pomeranja

MM

x

l

0

)z(x)z(x

x

A

EI

1dzMM

EI

1f

29

A B

C

D

-

M1

2

0A MM

mnoenje dijagrama

tap C-D

402202

2A MM

tap B-D x

3MM kNm32028040A

cm33,530001020

10320

EI

320A

EI

1v

3

6

xMM

xC

30

A B

C

2 2

2

D20

20

206

0

-

M

A B

C

D

4

-

M2

2 tap A-B x

2806022046020226

2A MM


16/22

5/27/2013

16

Obrtanje preseka B

Opteretimo nosasa jedininim momentomna mestu traenog obrtanja. Smer obrtanja

pretpostavimo (smer strelice).

MA=-1 (nema jedinice)


MM

x

l

0

)z(x)z(x

x

A

EI

1dzMM

EI

1f

31

A B

C

D

1

-

M3

1

1

A B

C

2 2

2

D

0A MM

mnoenje dijagrama

tap C-D

0A MM tap B-D

2MM kNm80A

rad013,030001020

1080

EI

80A

EI

13

4

xMM

xB

32

tap A-B x

80160202

2A MM

A B

C

2 2

2

D20

20

206

0

-

M

A B

C

D

1

-

M3

1


17/22

5/27/2013

17

Promena rastojanja izmeu B i C

Opteretimo nosasa jedininim silama upravcu B-C

Momenti se javljaju samo izmeu sila


MM

x

l

0

)z(x)z(x

x

A

EI

1dzMM

EI

1f

33

1

A B

C

2 2

2

D

122

2

2M D

A B

C

D

1

M4

2

2

- 2

2

2

2

mnoenje dijagrama

tap A-B

3MM kNm472,288,18A

cm78,030001020

1047

EI

47A

EI

13

6

xMM

xCB

34

2,282202

2A MM

tap B-D x

0A MM

A B

C

2 2

2

D20

20

206

0

-

M

A B

C

D

1

M4

2

2

- 2

2

2

2

8,182203

2A MM

tap C-D x


18/22

5/27/2013

18

7.7 Za zadati nosaodrediti: a) Dijagrame M, N,

b) Ugib zgloba E EI=const.

q=10 kN/m

A B

C D E

3 4 2

4

35

Reenje

Zamenimo oslonce sa reakcijama oslonaca

q=10 kN/m

A B

C D E

3 4 2

4

VA

HA

VB

HB

Imamoetri nepoznate

reakcije

Uslovi ravnotee

1) Hi=02) Vi=03) MA=04) MDdole=00HH;0H)1 BAi

0V610V;0V)2 BAi

07V6610;0M)3 BA

04H;0M)4 BdoleD

36

DL


19/22

5/27/2013

19

0H04H;0M)4 BBdoleD Iz

0H00H;0H)1 AAi kN42,51V07V360;0M)3 BBA

kN58,8V042,5160V;0V)2 AAi

q=10 kN/m

A B

C D E

3 4 2

4

8,58 51,42

3

4tg

5

3cos

5

4sin

3

45

37

Dijagram normalnih sila

vor A

A

8,58

/2-

/2-

q=10 kN/m

A B

C D E

3 4 2

4

8,58 51,42

tap A-C N=-8,58sin=-6,86tap B-D N=-51,42

tap D-E N=0

tap C-D N=0

-51,42

N

DL

38


20/22

5/27/2013

20

Dijagram transverzalnih sila

q=10 kN/m

A B

C D E

3 4 2

4

8,58 51,42

vor A TA=8,58cos=5.15

8,58

vor C TC=8,58

vor Dlevo TLD=8,58-104=-31,42vor Ddesno TDD=-31,42+51,42=20

vor E TE=0

31,42

T-

20

x

Tx=0

8,58-10x=0

x=8,58/10=0,86 m

x

DL

39

Dijagram momenata savijanja

vor A MA=0 (zglob)

vor CL MLC=8,583=25,74vor CD MDC=M

LC

q=10 kN/m

A B

C D E

3 4 2

4

51,42

8,58

vor DL MLD=8,587-1042=MLD=-20 kNm

vor DD MDD=-1022/2=MDD=-20 kNm

vor E ME=0

f1=1042/8=20f2=1022/8=5

M

20

25,74

20

f1

f2

x=0,86Mx=8,58(3+0,86)-100,862/2=Mx=29,42 kNm

Maksimalna vrednost momenta

DL

40


21/22

5/27/2013

21

Ugibvora E

0H0M)1 BdoleD

79V0917V0M)2 BBA

7

2V01

7

9V0V)2 AA

F=1

A B

C D E

3 4 2

4

2/7 9/7

41

F=1

A B

C D E

3 4 2

4

2/7 9/7

6/76/7

22

M

- -

42

DL


22/22

5/27/2013

22

Odreivanje ugiba mnoenjem dijagrama

MMx

l

0

)z(x)z(xx

AEI

1f

dzMMEI

1f

mnoenje dijagrama

f2=5

M

20

25,74

20

f1=20

0,860,86

22

M

- -

A B

C

D E

51,3647,2586,03

5A MM

tap A-C x

x

202204

2A MM

tap D-E

43

0,86

2

-

tap C-D

M

25,74

20

f1=20

= +f1=20

20

25,74M

I II

III

IIIxIIIIIxIA MM

3MM

MM

kNm30,75A

20286,03

420274,2522074,25286,0

6

4A

3MM kNm81,912051,3630,75A

xMM

xE

EI

81,91A

EI

1v

44

elasticna linija grede

Documents